Cálculo no lineal de estructuras de hormigón con elementos finitos de fisuración distribuida....

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Investigaciones y estudios

CÁLCULO NO LINEAL DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN CON ELEMENTOS FINITOS DE FISURACIÓN DISTRIBUIDA. EJEMPLOS

PRÁCTICOS REALIZADOS CON EL PROGRAMA ATENA

Jacinto RUIZ CARMONA Dr. Ingeniero de Caminos UCLM / mecanismo Prof. Asociado / Director Técnico [email protected]

Juan REY REY Ingeniero de Caminos Mecanismo / UPSAM Director / Prof. Asociado [email protected]

Vladimir ČERVENKA Ph.D Civil Engineer Červenka consluting President Vladimir.Cervenka @cervenka.cz

RESUMEN

En el presente trabajo mostramos diferentes ejemplos de modelos de elementos finitos que incluyen ecuaciones constitutivas avanzadas para reproducir el comportamiento del hormigón en fractura, implementadas en el programa comercial ATENA, desarrollado por Červenka Consulting. La ponencia se divide en tres partes, una primera en la que se realiza una introducción a las ecuaciones constitutivas en fractura desde un punto de vista descriptivo, otra segunda en la que validamos el código comercial con ensayos de una campaña experimental, reciente y una tercera en la que presentamos ejemplos. Con esta ponencia queremos poner de relevancia como existen herramientas en el mercado que pueden ayudarnos a comprender mejor el comportamiento de elementos estructurales de hormigón armado y postesado. Los modelos permiten una optimización de los diseño, el estudio de problemas de interacción estructura-terreno y ayudan a explicar la aparición de diferentes patologías o fallos.

PALABRAS CLAVE: Hormigón armado, calculo no lineal, modelos fisura distribuida, fisura cohesiva, ATENA

1. Evolución de los modelos de fisuración en el hormigón

En los últimos años el desarrollo de las técnicas numéricas ha permitido que se pueda realizar el análisis detallado de los elementos estructurales teniendo en cuenta las características no lineales tanto geométricas como de los materiales. En el caso particular del hormigón, su carácter heterogéneo y cuasifrágil no ha permitido una evolución tan rápida de los modelos como en el caso de materiales metálicos. No obstante el desarrollo de modelos basados en técnicas de mecánica de fractura ha facilitado que se formulen ecuaciones constitutivas capaces de reproducir el comportamiento del hormigón teniendo en cuenta la perdida de rigidez al fisurarse.

En la literatura especializada se pueden encontrar actualmente numerosos modelos que reproducen los procesos de fisuración en hormigón. Específicamente dentro del campo de los

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elementos finitos el modelado del comportamiento del hormigón armado ha estado unido al desarrollo de ecuaciones constitutivas para estudiar el comportamiento de materiales cuasifrágiles. Con carácter general los modelos estos modelo los podemos clasificar en tres grupos, modelos de continuo, discretos y modelos mixtos. En los modelos de continuo, véase la Figura 1, la unidad básica es el volumen infinitesimal, describiéndose el comportamiento del material mediante una relación entre tensiones y deformaciones. En los modelos de fisura discreta, véase la Figura 1b, la ecuación constitutiva establece una relación entre las fuerzas internas en los nudos y los desplazamientos relativos de estos nudos. El tercer grupo lo forman los modelos mixtos que combinan características de los modelos de continuo y modelos discretos [1], Figura 1c.

Figura 1. Modelos básico para representar el comportamiento de materiales cuasifrágiles: a) modelos de continuo; b) modelos de fisura discreta y c) modelos mixtos (figura adoptada de la referencia [1]). Los primeros modelos en desarrollarse para tratar de modelar el comportamiento en fractura del hormigón fueron los de continuo. Estos utilizaban en principio ecuaciones basadas en la ley de Hooke. La mayor desventaja de estos modelos es la dependencia de los resultados del tamaño de la malla, debido a que la energía liberada acaba dependiendo de éste parámetro. Los modelos de continuo evolucionaron a partir de la regla de flujo plástico. Ejemplos de ecuaciones constitutivas basadas en plasticidad encontramos en las referencias [2, 3].

Los modelos de fisura discreta aparecieron como alternativa a los modelos de continuo. La aproximación discreta fue iniciada por Ngo y Scordelis [4], posteriores desarrollos de estos trabajos los encontramos en las referencias [5, 6]. En estos trabajos la localización de las fisuras y sus trayectorias se predefinían y para poder ir reproduciendo el progreso de la fractura se necesitaban frecuentes remallados. Específicamente dentro del hormigón la aparición del modelo de fisura cohesiva propuesto por Hillerborg y colaboradores [7] supuso un salto cualitativo en la modelación de la fractura del hormigón. Basándose en este concepto se han desarrollado diversas formulaciones matemáticas con el fin de implantarlas en modelos de elementos finitos para reproducir el comportamiento del hormigón con especial atención a los procesos de fisuración y pérdida de rigidez de las estructuras.

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En los últimos veinte años han aparecido varias teorías con el fin de solventar los problemas para determinar la trayectoria de las fisuras y su localización. Estas teorías incluyen elementos finitos que pueden introducir discontinuidades en su interior. Esta idea ha sido explotada recientemente y entre los modelos más extendidos encontramos, los de fisura distribuida [8], modelos de fisura embebida [9] y los denominados elementos finitos extendidos (X-FEM) [10].

En la presente ponencia exponemos resultados de la aplicación para la localización del daño del modelo propuesto por Bažant y Oh [8] de fisuración cohesiva distribuida en banda [8] e implantado en el programa comercial ATENA, desarrollado por Červenka Consulting [11]. Con esta ponencia queremos poner de relieve la disponibilidad que existe en el mercado de herramientas que nos pueden permitir un análisis tanto global como detallado de las estructuras de hormigón ayudándonos tanto a optimizar y racionalizar el armado de nuestras estructuras como a desarrollar nuevas tipologías.

2. Ecuaciones constitutivas

El modelo utiliza una ecuación constitutiva que se cuadrada dentro del grupo de modelos mixtos, véase la figura 1, e incluye las siguientes características para el modelado del hormigón:

• Comportamiento no lineal en compresión incluyendo endurecimiento y ablandamiento

• Fractura del hormigón en tracción basada en mecánica de fractura no lineal

• Criterio de fallo por tensiones biaxiales

• Reducción de la resistencia a compresión tras la fisuración (MCF)

• Efecto tensión stiffening

• Reducción de la rigidez a cortante tras la fisuración

Las ecuaciones constitutivas se basan en la teoría de fisura distribuida en bandas. Esta emplea un criterio tipo Rankine como criterio de fallo. El endurecimiento/ablandamiento plástico en el fallo por compresión es modelado mediante la superficie plástica propuesta por Menetrey-Willan [12]. El fallo por tracción se basa en el modelo cohesivo [7].

La inclusión de la armadura se puede realizar de dos formas definiendo las barras de forma discreta o incluyendo un refuerzo de forma distribuida según una cierta cuantía directamente en la matriz del hormigón. Se pueden introducir características no lineales al acero.

Las constantes elásticas del material derivan de una función que relaciona las tensiones y deformaciones a partir de una ley uniaxial equivalente, véase la figura 2. Esta aproximación está basada en la teoría de la hipoelasticidad. Este enfoque está basado simplemente en reformular de manera incremental la ecuación constitutiva elástica, con lo que se obtiene un formato semejante al del problema con deformaciones infinitesimales. El modelo considera que la trayectoria de la tensión en el proceso de carga no coincide con la de descarga debido a la disipación de energía causada por el daño en el material. Un detallado tratamiento teórico del tema puede ser encontrado en la referencia [13].

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Figura 2. Ecuaciones constitutivas: a) ley uniaxial tensión-deformación equivalente; b) función de ablandamiento y c) superficie de plastificación.

3. Contrastación experimental

Para contrastar la respuesta del modelo hemos comparado los resultados obtenidos en una reciente campaña experimental [14] con los resultados obtenidos con el modelo. Se ensayaron 16 vigas de geometría similar y armadas con 4 cuantías de armado diferentes, véase la Fig. 5a. En esta campaña experimental se estudio la posición inicial y forma de la fisura que determina el fallo del elemento. La caracterización de los materiales fue realizada mediante ensayos independientes de acuerdo con Normativas y recomendaciones vigentes. La tensión de adherencia, al no ser medida en la campaña experimental, se ha determinado mediante la formulación establecida en el Código Modelo (CEB-FIB).

Figura 3: Contrastación experimental: a) Geometría; b) Características de los materiales

a) b)

c)

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Figura 4: Contrastación experimental: Comparación entre resultados experimentales y numéricos. El armado de la viga se representa en los mapas de fisuración

Observamos como el modelo reproduce de forma adecuada el comportamiento de los ensayos tanto en las curvas carga-desplazamiento como los mapas de fisuración. Es destacable como el modelo logra reproducir tanto el fallo por flexión en las vigas menos armadas, por tracción diagonal para la viga armada con dos barras de 12 mm y el fallo por compresiones para la viga más armada. Es esta última se observa la aparición de fisuras paralelas a la biela comprimida

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4. Ejemplos prácticos

En esta sección vamos a presentar algunos ejemplos de proyectos e informes en los que se ha utilizado e programa. Los ejemplos presentados se han realizado con la versión 2D, no obstante el programa también permite realizar modelos 3D.

4.1. Proceso de fisuración en contrafuertes de muro en un parking subterráneo

En la figura 5 mostramos el proceso de fisuración de un contrafuerte que se diseñó para un parking subterráneo. En el modelo se introdujeron los empujes del terreno, se empotro la base y se apoyo la parte superior del contrafuerte dado que existía un forjado a ese nivel.

Figura 5: Proceso de fisuración de un contrafuerte

En la figura 5 en la fase 3 vemos como se forma una biela de compresión en la parte inferior del contrafuerte. En posteriores pasos de carga vemos como se acentúa la biela hasta que en el último paso podemos apreciar cómo se produce la rotura por corte de la sección inferior.

El modelo realizado con el programa ATENA nos facilitó información detallada sobre el comportamiento del contrafuerte así como del valor de las tensiones de compresión en la biela, las tensiones de las barras de acero en ELU y ELS y las aperturas de fisura.

Se realizó un análisis paramétrico para comprobar cómo afectaba la resistencia del hormigón a la resistencia del conjunto y de las diferentes disposiciones de armadura y así poder optimizar el diseño de la estructura. Este modelo se completó con otros cálculos elásticos de todo el conjunto del edificio. Se validó que los mapas tensionales en las primeras fases de carga fueran similares a los obtenidos en el modelo elástico. De esta forma nos asegurábamos que el comportamiento del contrafuerte aislado estuviera reproduciendo el modelo general

4.2. Diseño de una viga pared

En la figura 6 mostramos el resultado del análisis de una viga pared en un voladizo. La viga abarcaba el canto de una planta y dada la posición de las ventanas, como complemento de un modelo de bielas u tirantes se realizo un análisis del comportamiento del mismo en ELS y ELU con el programa ATENA.

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Figura 6: Viga pared en voladizo: a) mapa de fisuración; b) distribución tensiones compresión y en las armadura

Se realizó un primer predimensionamiento a partir de un modelo elástico y posteriormente pudimos comprobar con el programa ATENA las tensiones en las barras, aperturas de las fisuras en servicios y comprobación de las flechas. El modelo permitió racionalizar el armado y asegurar que el comportamiento del voladizo era admisible.

4.3. Pórticos postesado de geometría compleja

En la figura 7 mostramos los resultados de un modelo realizado para diseñar unos pórticos postesados que presentaban una geometría compleja, con diferentes inclinaciones y espesores de losa. Se trata de una cubierta transitable para un nuevo museo en Pontevedra. La luz entre soportes es de unos 20 metros.

En el modelo se reprodujeron las diferentes fases de puesta en obra, tesado, carga muerta y sobrecarga. Esto permitió realizar un análisis tanto de las tensiones en vacío como en tras la aplicación de la sobrecarga. Se pudo analizar el efecto de la fisuración en la redistribución de esfuerzos, la cual no es captado por los modelos elásticos convencionales. El modelo complementó a otros más sencillos para optimizar el diseño de la armadura pasiva y activa.

Con este ejemplo vemos como se puede modelar un proceso de carga y como se puede estudiar la evolución de las tensiones y deformaciones en el armado tanto activo como pasivo y en el hormigón. Debemos de tener en cuenta que en todos los modelos de fisuración son no lineales, lo que requiere realizar los cálculos paso a paso. Asimismo para cada combinación de carga es necesario la realización de un modelo ya que al no ser lineales no se pueden realizar combinaciones de carga y envolventes en un único modelos como se realiza en los modelos elásticos.

a)

b)

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Figura 7: pórtico postesado: a) mapa de fisuración y desplazamientos tras tesado; b) mapa de fisuración y desplazamientos tras aplicación carga muerta; c) mapa de fisuración y desplazamientos tras aplicación de la sobrecarga; d) tensiones principales

4.4. Cimentación de un molino solar

El programa permite también el análisis de problemas de interacción entre terreno y estructura. Como ejemplo en la figura 8 mostramos el resultado de un modelo que se ha realizado para estudiar la cimentación de un aerogenerador. En el modelo se incluye el terreno circundante.

Figura 8: Cimentación de un aerogenerador: a) mapa de fisuración; b) tensiones de compresión.

a)

b)

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Se modelo tanto el terreno como la cimentación y se aplicaron las cargar sobre esta facilitadas por el peticionario. El terreno se modelo con un modelo plástico de Drucker-Prager y se dispusieron contactos sin resistencia a tracción entre la zapata y el terreno. En la figura 8a se muestra el mapa de fisuración y las tensiones en los contactos, se aprecia la fisuración entre la virola y la cimentación. También puede observarse como la cimentación se despega del suelo y las tensiones por movilización del terreno en los laterales.

En la figura 8b observamos como se transmiten las tensiones de compresión de la cimentación en el terreno. El modelo se utilizó para determinar la repercusión de una baja de resistencia y poder explicar la aparición de unas fisuras en la superficie de las cimentaciones.

4.5. Análisis de patologías en un pilar

El último ejemplo que presenta un modelo que se realizó con el programa ATENA para explicar la aparición de unas fisuras en unos pilares, poder determinar la capacidad portante del pilar y su necesidad de refuerzo.

Figura 9: patologías pilar hormigón: a) mapa de fisuración programa; b) tensiones de compresión; c) mapa de fisuración observado en el pilar.

En la figura 9a se observa el papa de fisuración teórico obtenido con el modelo, en la figura 9b las tensiones principales de compresión. Hemos marcado con unas flechas rojas las direcciones principales de estas compresiones. En la figura 9c el mapa de fisuración real observado el pilar. Las direcciones principales de las compresiones coinciden con las fisuras. El modelo confirmo las hipótesis iníciales sobre el fallo del pilar, indicando que este había fallado por cortante al no disponerse la cuantía de acero necesaria.

Con este ejemplo queremos mostrar como de forma sencilla los modelos que permiten reproducir la fisuración pueden ser herramientas potentes a la hora de determinar el origen u la repercusión de patologías en elementos de hormigón armado.

a) b) c)

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5. Conclusiones

Actualmente existen numerosas herramientas en el mercado que permiten realizar análisis de elementos de hormigón armado y postesado utilizando modelos de elementos finitos que permiten reproducir la fisuración en el hormigón. En esta ponencia hemos presentado diversos ejemplos de resueltos con el programa ATENA desarrollado por Červenka Consulting.

Se han contrastado los resultados obtenidos con el programa con recientes resultados experimentales, obteniéndose ajustes correctos para el fallo por flexión, cortante y compresión en vigas de hormigón armado sin cercos, lo cual nos indica la bondad del programa. También se presentan diversos ejemplos en los que se han utilizado modelos de fisuración tanto para el diseño de nuevos elementos estructurales, el análisis de problemas de interacción estructura-terreno y la evaluación de patologías y sus repercusiones en la capacidad. El uso de estos modelos puede ayudar a comprender mejor el comportamiento de elementos estructurales lo que conlleva una optimización de los mismos y la posibilidad de desarrollar nuevas tipologías.

Referencias

[1] JIRASEK, M. Modeling of Localized Inelastic Deformation. Lecture notes. Short course at the Czech Technical University, Prague 13-17 September, 2004.

[2] WILLAM, K. J., AND WARNKE, E. P. Constitutive model for the triaxial behavior of concrete. In Concrete Structures Subjected to Triaxial Stresses (Zurich, 1974), vol. 19, International Association of Bridge and Structural Engineers, pp. 1-30

[3] FEENSTRA, P. H., AND DE BORST, R. A. Composite plasticity model for concrete. International Journal of Solids and Structures 33 (1996), 707-730.

[4] NGO, D., AND SCORDELIS, A. C. Finite element analisys of reinforced concrete beams. ACI Journal Proceedings 64, 3 (1967), 152-163

[5] JIRASEK, M. Comparative study on finite elements with embedded discontinuities. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 118, 1-3 (2000), 307-330

[6] SAOUMA, V. E. Interactive finite elements analysis of reinforced concrete: A fracture mechanics approach. Ph.D. thesis, Cornell University, Ithaca, New York, 1981

[7] HILLERBORG, A., MODEER, M., AND PETERSSON, P. E. Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements. Cement and Concrete Research, 6 (1976), 773-782

[8] BAŽANT, Z.P, OH, B.H. Crack Band Theory for Fracture of Concrete, Materials and Structures, RILEM, Vol. 16, (1983) 155-177.

[9] OLIVER, J. Modelling strong discontinuities in solids mechanics via strain softening constitutive equations. Part 1. International Journal for Numerical Methods in Engineering 39 (1996), 3575-3642

[10] MOES, N., DOLBOW, J., AND BELYTSCHKO, T. A Finite element method for crack growth without remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering 46 (1999), 131-150

[11] ČERVENKA, J. Discrete Crack Modeling in Concrete Structures. Ph.D. thesis, University of Colorado, Boulder, Colorado, 1994

[12] MENETREY, P., WILLAM, K.J. (1995), Triaxial failure criterion for concrete and its generalization. ACI, Structural Journal, 1995, 92(3), 311-318.

[13] CHEN, W.F, SALEEB, A.F. (1982). Constitutive Equations For Engineering Materials, John Willey & Sons, ISBN 0-471-09149-9

[14] A. CARPINTERI, J.R. CARMONA, AND G. VENTURA, Failure mode transitions in RC beams. Part 2 experimental tests. ACI Structural Journal, (2011), 108(3), 286-293

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