BAB I DASAR LOGIKA

Logika Informatika

BAB I

DASAR LOGIKA

1.1 Kalimat Deklaratif

Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen-

argumen) dan hubungan yang ada di antara kalimat-kalimat

tersebut. Tujuannya adalah memeberikan aturan-aturan

sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat

bernialai benar. Kalimat yang dipelajari dalam logika

bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti

matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh

karena itu, aturan-aturan yang berlaku di dalamnya

haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada kalimat

atau disiplin ilmu tertentu.Ilmu logika lebih mengarah

pada bentuk kalimat (sintaks) daripada arti kalimat itu

sendiri (semantik)

Suatu Kalimat Deklaratif (Proposisi) adalah kalimat yang bernilai benar

atau salah, tetapi tidak keduanya.

Contoh Proposisi:

a. 2 + 2 = 4 (bernilai

benar)

b. 4 adalah bilangan prima (bernilai

salah)

c. Jakarta adalah ibukota negara Indonesia.

(bernilai benar)

STMIK ‘Sinus’ Ska i Wawan Laksito YS

Logika Informatika -1

d. Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta.

(bernilai salah)

Contoh Bukan Proposisi :

a. Dimana letak pulau Bali ? (kalimat tanya)

b. Simon lebih tinggi dari Lina (ada banyak

orang bernama Simon atau

Lina di dunia)

c. x + y = 2 (nilaikebenaran

tergantung niali x dan

y)

d. 2 mencintai 3 (relasi mencintai tidak

berlaku di bilangan)

.

1.2 Penghubung Kalimat

Seringkali beberapa kalimat perlu digabungkan menjadi

satu kalimat yang lebih panjang, sehingga diperlukan

penghubung kalimat. Dalam Logika dikenal 5 penghubung :

Simbol Arti Bentuk

~ Tidak / Not / Negasi Tidak ….. Dan / And / konjungsi …… dan ……. Atau / Or / Disjungsi …… atau …… Imlikasi Jika …. Maka ….. Bi-Implikasi ….. bila dan hanya

bila ….

STMIK ‘Sinus’ Ska Wawan Laksito YS


Dalam matematika digunakan huruf-huruf kecil seperti p,

q, r,…. Untuk menyatakan sub kalimat dan simbol-simbol

penghubung untuk menyatakan penghubung kalimat.

Contoh :

a. Misal p menyatakan kalimat “ 4 adalah bilangan genap”

q menyatakan kalimat “3 adalah bilangan ganjil”

maka kalimat “ 4 adalah bilangan genap dan 3 adalah

bilangan ganjil” dapat dinyatakan dengan simbol p q

b. Misal p : 2 + 2 = 4

q : bunga melati berwarna putih.

maka kalimat “Jika 2 + 2 = 4, maka bunga melati

berwarna putih” dapat dinyatakan dengan simbol p q

Pada contoh b diatas, kalau kalimat tersebut diartikan

dalam kehidupan sehari maka kalimat tersebut tidak

berarti (tidak ada hubungan antara kedua kalimat

penyusunnya). Tetapi secara logika matematis hal

tersebut dapat diterima, karena di dalam matematika

tidak disyaratkan adanya adanya hubungan antara kedua

kalimat penyusunnya. Dalam Logika matematika, penekanan

lebih ditujukan kepada bentuk/susunan kalimat saja

(sintak), dan bukan pada arti kalimat penyusunnya dalam

kehidupan sehari-hari (semantik). Kebenaran suatu

kalimat berimplikasi semata-mata hanya tergantung pada

nilai kebenaran kalimat penyusunnya, dan tidak



tergantung pada ada/tidaknya relasi antara kalimat-

kalimat penyusunnya.

Jika p dan q merupakan kalimat-kalimat, maka tabel

kebenaran penghubung tampak pada tabel berikut :

p q ~p p q p q p q p q

T T F T T T TT F F F T F FF T T F T T FF F T F F T T

( T = True/benar, F = False/salah )

Secara umum, jika ada n variabel (p,q,…), maka tabel kebenaran memuat 2n

baris.

Dari tabel :

p q bernilai benar jika p maupun q benar, selain itu

bernilai salah

p q bernilai benar jika ada sedikitnya satu variabel

bernilai benar

Dalam kalimat p q , p disebut hipotesis (anteseden)

dan q disebut konklusi (konsekuen). Kalimat p q

disebut kalimat berkondisi karena kebenaran kalimat q

tergantung pada kebenaran kalimat p. kalimat p q

akan berniali salah kalau p benar dan q salah. Sebagai



contoh perhatikan apa yang diucapkan seorang pria

terhadap kekasihnya berikut ini :

“Jika besok cerah, maka aku datang” >> p : “besok

cerah” , q : “aku akan datang”

- Jika baik p maupun q keduanya benar (baris ke-1

tabel kebenaran), pria tersebut tidak berbohong.

- jika p salah (ternyata keesokan harinya hujan,

tidak cerah), maka pria tersebut terbebas dari

janjinya karena janji tersebut bersyarat, yaitu kalau

besok cerah. Jadi, baik pria tersebut datang (berarti

q benar, sehingga menyatakan baris ke-3 tabel) maupun

tidak datang (q salah ,sehingga menyatakan baris ke-4

tabel), pria tersebut tidak akan disalahkan.

- Akan tetapi, pria tersebut akan disalahkan

(berarti implikasi berniali salah) apabila keesokkan

harinya cuaca cerah ( p benar) tetapi ia tidak datang

(q salah). Ini sesuai baris ke-2 tabel.

Kalimat kondisi ganda (biconditional) p q ,berarti

(p q) (q p). Supaya p q berniali benar maka

p q maupun q p, keduanya harus bernilai benar (ingat

bahwa kedua implikasi tersebut dihubungkan dengan kata hubung

“dan”). Perhatikan tabel berikut :

p q p q q p p q atau (p q)



( q p)T T T T TT F F T FF T T F FF T T T T

Jadi p q bernilai benar jika p dan q keduanya

bernilai benar atau keduanya bernilai salah

Soal Latihan :

1. Misal k : Monde orang kaya, s : Monde bersuka cita

Tulislah bentuk simbolis kalimat-kalimat berikut :

a. Monde orang yang miskin tetapi bersuka cita

b. Monde orang kaya atau ia sedih

c. Monde tidak kaya ataupun bersuka cita

d. Monde seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih.

Anggaplah ingkaran kaya adalah miskin, ingkaran dari bersuka cita

adalah sedih.

2. Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam bentuk simbol-simbol logika

dibawah ini !

a. ~(~p ~q) c. (p q) ~(p q)

b. ~(~p q) d. (~p (~q r)) (q r) (p r)

3. Pada kondisi bagaimanakah agar kalimat di bawah ini bernilai benar ?



“Tidaklah benar kalau rumah kuno selalu bersalju atau angker, dan tidak

juga benar kalau sebuah hotel selalu hangat atau rumah kuno selalu

rusak.”

4. Jika p dan q bernilai benar (T) ; r dan s bernilai salah (F)

Tentukan nilai kebenaran kalimat berikut ini :

a. p (q r)

b. (p q r) ~((p q) ( r s))

c. (~(p q) ~r) (((~p q) ~r) s)

Dua kalimat disebut Ekuivalen (secara logika) bila dan

hanya bila keduannya mempunyai nilai kebenaran yang sama

untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing

kalimat penyusunnya. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat

yang ekuivalen, maka dituliskan p q .

Soal Latihan

5. Tentukan apakah pasangan kalimat-kalimat di bawah ini ekuivalen

a. ~(~p) dengan p

b. ~(p q) dengan ~p ~q

c. p q dengan ~p q

Beberapa hukum ekuivalensi logika disajikan dalam daftar

dibawah ini :

1. Hukum Komutatif : p q q p ; p q q p

2. hukum Asosiatif : (p q) r p (q r)



(p q) r p (q r)

3. Hukum Distributif : p (q r) (p q) (p r)

p (q r ) (p q) (p r)

4. Hukum Identitas : p T p ; p F p

5. Hukum Ikatan : p T T ; p F F

6. Hukum Negasi : p ~p T ; p ~p F

7. Hukum Negasi Ganda : ~(~p) p

8. Hukum Idempoten : p p p ; p p p

9. Hukum De Morgan : ~(p q) ~p ~q

~(p q) ~p ~q

10. Hukum Absorbsi : p (p q) p ; p (p q)

p

11. Negasi T dan F : ~T F ; ~F T

Dengan hukum-hukum tersebut, kalimat-kalimat yang

kompleks dapat disederhanakan.

Contoh :

Sederhanakan bentuk ~(~p q) (p q)

Penyelesaian :

~(~p q) (p q) (~(~p) ~q) (p q)

(p ~q) (p q)

p (~q q)

p F

p

Jadi ~(~p q) (p q) p



Dalam membuktikan ekuivalensi P Q, ada 3 macam cara

yang bisa dilakukan :

1.P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-

hukum yang ada), sehingga akhirnya didapat Q

2.Q diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-

hukum yang ada) sehingga akhirnya didapat P.

3.P dan Q masing-masing diturunkan secara terpisah

( dengan menggunakan hukum-hukum yang ada ) sehingga

akhirnya sama-sama didapat R

Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks

diturunkan ke bentuk yang lebih sederhana.

Soal Latihan

6. Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa menggunakan

tabel kebenaran

a. ~(p ~q) V (~p ~q) ~p

b. ~((~p q) (~p ~q) ) (p q) p

c. (p (~(~p q))) (p q) p

Untuk menunjukkan ekuivalensi 2 kalimat yang melibatkan

penghubung (implikasi) dan (bi-implikasi), Kita

harus terlebih ahulu mengubah penghubung dan menjadi

penghubung , dan ~. (kenyataan bahwa (p q) (~p

q) mempermudah kita untuk melakukannya)



7. Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa menggunakan

tabel kebenaran

a. (q p) (~p ~q)

b. (p (q r)) ((p q) r)

8. Ubahlah bentuk ~(p q) sehingga hanya memuat penghubung , atau

~

1.3 Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu

bernilai benar (T), Tidak peduli bagaimanapun nilai

kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Sebaliknya,

Kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu

bernilai salah (F), tidak peduli nilai kebenaran masing-

masing kalimat penyusunnya.

Dalam tabel kebenaran, suatu Tautologi selalu bernilai T

pada semua barisnya, dan kontradiksi selalu bernilai F

pada semua barisnya. Kalau kalimat tautologi diturunkan

lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya selalu

menghasilkan T. Sebaliknya , Kontradisi akan selalu

menghasilkan F.

9. Tunjukkan bahwa kalimat-kalimat di bawah ini adalah Tautologi dengan

menggunakan tabel kebenaran.

a. (p q) q

b. q (p q)



Kesatuan dari 2 buah kalimat ekuivalen p dan q yang

dihubungkan dengan penghubung selalu merupakan

Tautologi karena jika p q maka p dan q selalu

mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jika p dan q

mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka p q selalu

akan berniali benar.

10. Tunjukkan bahwa (p q) (~q ~p) berupakan Tautologi, tanpa

menggunakan tabel kebenaran

1.4 Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Misal diketahui implikasi p q

Konvers-nya adalah q p

Invers-nya adalah ~p ~q

Kontraposisinya adalah ~q ~pSuatu yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu

ekuivalen dengan konraposisinya. Akan tetapi, tidak demikian dengan Invers dan

konvers. Suatu implikasi tidak selalu ekuivalen dengan Invers ataupun Konvers-nya.

Hal ini dapat dilihat pada tabel kebenaran yang tampak pada pada tabel berikut :

p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~pT T F F T T T TT F F T F T T FF T T F T F F TF F T T T T T T



Dalam tabel terlihat bahwa nilai kebenaran kolom p q

selalu sama dengan nilai kebenaran kolom ~q ~p

(Kontraposisi), tetapi tidak selalu sama dengan kolom q

p (konvers) maupun kolom ~p ~q (invers).

Disimpulkan bahwa (p q) (~q ~p) merupakan suatu

Tautologi.

11. Apakah Konvers, invers, dan Kontraposisi kalimat dibawah ini :

a. Jika A merpakan suatu bujursangkar, maka A merupakan suatu

persegi panjang.

b. Jika n adalah bilangan prima > 2, maka n adalah bilangan ganjil

1.5 Inferensi Logika

Logika selalu berhubungan dengan pernyataan-pernyataan

yang ditentukan nilai kebenarannya. Sering kali

diinginkan untuk menentukan benar tidaknya kesimpulan

berdasarkan sejumlah kalimat yang diketahui nilai

kebenarannya.Argumen Valid dan Invalid

Argumen adalah rangkaian kalimat-kalimat. Semua kalimat-

kalimat tersebut kecuali yang terakhir disebut Hipotesa

(atau assumsi/premise). Kalimat terakhir disebut

kesimpulan.

Secara umum, hipotesa dan kesimpulan dapat digambarkan

sebagai berikut :

p1


}hipotes

a


p2

…….

pn

q } kesimpulan (tanda q dibaca “

jadi q”)

Suatu Argumen dikatakan Valid apabila untuk sembarang

pernyataan yang disu yang disubstitusikan ke dalam

hipotesa, jika semua hipotesa tersebut benar, maka

kesimpulan juga benar. Sebaliknya, meskipun semua

hipotesa benar tetapi ada kesimpulan yang salah, maka

argumen tersebut dikatakan Invalid.

Kalau suatu argumen dan semua hipotesanya bernilai benar,

maka kebenaran nilai konklusi dikatakan sebagai

“diinfernsikan” (diturunkan) dari kebenaran hipotesa”

Untuk mengecek apakah suatu argumen merupakan kalimat

yang valid, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai

berikut :

1.Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat

2.Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua

hipotesa dan kesimpulan.

3.Carilah baris kritis, yaitu baris dimana semua hipotesa

bernilai benar.

4.Dalam Baris kritis tersebut, jika semua nilai

kesimpulan benar, maka argumen itu valid. Jika diantara



baris kritis tersebut ada baris dengan nilai kesimpulan

yang salah, maka argumen tersebut invalid.

Contoh :

Tentukan apakah Argumen di bawah ini Valid/Invalid.

a. p (q r) b. p (q ~r)

~r q (p r)

-------------- ----------------

p q p r

Penyelesaian :

a. Ada 2 Hipotesa, masing-masing p (q r) dan ~ r.

Kesimpulannya adalah p q. Tabel kebenaran hipotesa-

hipotesa dan kesimpulan adalah sbb :

Baris

ke

p q r q r p (q r) ~r p q

1. T T T T T F T

2. * T T F T T T T

3. T F T T T F T

4. * T F F F T T T

5. F T T T T F T

6. * F T F T T T T

7. F F T T T F F

8. F F F F F T F

Baris Kritis adalah baris 2, 4, dan 6 (baris yang semua

hipotesanya bernilai T ). Pada baris-baris tersebut

kesimpulannya juga bernilai T. Maka argumen tersebut

bernilai valid.



b. silahkan anda coba sendiri.

1.5.1 Metode-Metode Inferensi

Pada bagian ini dipelajari beberapa metode infernsi,

yaitu teknik untuk menurunkan kesimpulan berdasarkan

hipotesayang ada, tanpa harus menggunakan tabel

kebenaran.

1. Modus Ponens

Perhatikan implikasi “ bila p maka q “ yang

diasumsikan bernilai benar. Apabila selanjutnya

diketahui bahwa anteseden (p) benar, supaya

implikasi p q benar, maka q juga harus bernilai

benar. Infersi seperti itu disebut Modus Ponens.

Secara simbolik, Modus Ponens dapat dinyatakan sbb :

p q

p

---------

qHal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran yang tampak pada

tabel berikut.

Bariske

p q p q p q

1. * T T T T T2. T F F T F3. F T T F T4. F F T F F



Baris Kritis adalah baris pertama. Pada baris

tersebut, konklusi (q) bernilai T sehingga

argumennya valid.



2. Modsus Tollens

Bentuk Modus Tollens mirip dengan Modus Pones,

hanya saja hipotesa kedua dan kesimpulan merupakan

kontraposisi hipotesa pertama modus ponens. Hal

ini mengingat kenyataan bahwa suatu implikasi

selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.

Secara simbolik, bentuk inferensi Modus Tollens

adalah sebagai berikut :

p q~q--------- ~p

Contoh:

Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati

Zeus tidak dapat mati

--------------------------------------------------

-------

Zeus bukan seorang manusia.

3. Penambahan Disjungtif

Inferensi Penambahan Disjungtif didasarkan atas

fakta bahwa suatu kalimat dapat digeneralisasikan

dengan penghubung “ ”. Alasannya adalah karena

penghubung “ “ bernilai benar jika salah satu

komponennya bernilai benar.

Sebagai contoh : “Ani suka jeruk” (bernilai

benar). Kalimat tersebut tetap bernilai benar jika

ditambahkan kalimat lain dengan penghubung “ ”.



Jadi kalimat “Ani suka jeruk atau apel” juga tetap

bernilai benar dan tidak tergantung pa

suka/tidaknya Ani akan apel.

Bentuk Simbolis metode Infernsi Penambahan

Disjungtif adalah sebagai berikut :

p q

a. ---------- b.

----------

p q p q



4. Penyderhanaan Konjungtif

Inferensi penyederhanaan Konjungtif merupakan

kebalikan dari inferensi Penambahan Disjungtif.

Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan

penghubung ” “, kalimat tersebut dapat diambil

salah satunya secara Khusus. Penyempitan kalimat

ini merupakan kebalikan dari penambahan Disjungtif

yang merupakan perluasan kalimat.

Bentuk simbolis metode Inferensi penyederhanaan

Konjungtif adalah sbb :

p q p qa. ---------- b.---------- p qContoh :

Lina menguasai bahasa Basic dan Pascal---------------------------------------------

---- Lina mengusai bahasa Basic

5. Silogisme Disjungtif

Prinsip dasar Silogisme Disjungtif adalah

kenyataan bahwa apabila kita diperhadapkan pada

satu diantara 2 pilihan yang ditawarkan (A atau

B), sedangkan kita tidak memilih A, Maka satu-

satunya pilihan yang mungkin adalah memilih B. Hal

ini sering dijumpai dalam kehidupan sehar-hari.

Jika seseorang ditanyai oleh penjual warung : “

Kamu minum es jeruk atau es the?”. Dan orang yang



ditanya tersebut harus memilih salah satu,

sedangkan ia tidak suka es jeruk, pastilah ia

memilih es teh.

Secara simbolis, bentuk metode inferensi Silogisme

Disjungtif adalah sebagai berikut :

p q p qa. ~p b. ~q

---------- -----------

q pContoh :

Kunci kamarku ada di sakuku atau tertinggal

di rumah

Kunci kamarku tidak ada di sakuku

---------------------------------------------

--------------------

Kunci kamarku tertinggal di rumah

6. Silogisme Hipotesis

Prinsip Silogisme Hipotesis adalah sifat transitif

pada implikasi. Jika implikasi p q dan q r

keduanya bernilai benar, maka implikasi p r

bernilai benar pula.

Secara simbolis, bentuk metode inferensi Silogisme

Hipotesis adalah sbb :

p qq r----------



p rContoh :

Jika 18486 habis dibagi 18, maka 18486 habis

dibagi 9

Jika 18486 habis dibagi 9, maka jumlah digit-

digitnya habis dibagi 3

--------------------------------------------------

---------------------------------

18486 habis dibagi 18, maka jumlah digit-

digitnya habis dibagi 9.

7. Dilema (Pembagian Dalam Beberapa Kasus)

Kadeng-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan

dengan penghubung “ “, Masing-masing kalimat

dapat mengimplikasikan sesuatu yang sama.

Berdasrkan hal itu maka suatu kesimpulan dapat

diambil.

Secara simbolis, bentuk metode infernsi Dilema

adalah sebahgai berikut :

p qp rq r--------- r

Contoh :

Nanti malam Adi mengajak saya nonton atau mengajak

saya makan di restoran



Jika Adi mengajak saya nonton, maka saya akan

senang

Jika Adi mengajak saya makan di restoran, maka

saya akan senang

--------------------------------------------------

-------------------------------

Nanti malam saya akan senang

8. Konjungsi

Inferensi Konjungsi sebenarnya sudah dibahas pada

sub-bab awal. Jika ada dua kalimat yang masing-

masing benar, maka gabungan kedua kalimat tersebut

dengan menggunakan ““ (konjungsi) juga bernilai

benar.

Bentuk Inferensi dengan Konjungsi adalah sbb :

pq

------------ p q

Kedelapan bentuk infernsi dapat dirngkas pada tabel berikut :Aturan Bentuk Argumen

Modus Ponen

p qp

--------- q

Modus Tollen p q~q--------- ~p

Penambahan Disjungtif p q



-------- p q

-------- p q

PenyederhanaanKonjungtif

p q------

p

p q------

qSilogisme Disjungtif p q

~p-------

q

p q~q

------- p

Silogisme Hipotesis p qq r

--------r

Dilema P qp rq r

--------r

Konjungsi pq

-------- p q

Soal latihan :

12. Pada suatu hari, Anda hendak pergi ke kampus dan baru sadar bahwa Anda

tidak memakai kacamata. Setelah mengingat-ingat, ada beberapa fakta yang

Anda pastikan kebenaranya :

a. Jika kacamataku ada di meja dapur, maka aku pasti sudah melihatnya

ketika sarapan pagi.

b. Aku membaca koran di ruang tamu atau akau membacanya di dapur.

c. Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka pastilah kacamataku

kuletakkan di meja tamu.

d. Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi

e. Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata kuletakkan di meja

samping ranjang.

f. Jika aku membaca koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur.



Berdasarkan fakta-fakta tersebut, tentukan dimana letak kacamata tersebut!

13. Buktikan Kevaidan Argumen di bawah ini dengan menggunakan

prinsip=prinsip infernsi Logika.

p q

(p q) r

-----------------

r


BAB I DASAR LOGIKA

Documents

Transcript of BAB I DASAR LOGIKA