Ari Wibisana -1406527570

Ari Wibisana - 1406527570

1. a.

Akan dicari apakah ada nilai c dalam interval [-1,5] sehingga Ù-1

5f@xD * g@xD âx � f@cD * Ù

-1

5g@xD âx

Pertama kita definisikan dahulu fungsinya.

f@x_D := 3 x3

+ 2 x2

- 10 x - 2

g@x_D := 4 x3

- 2 x2

+ 5 x + 12

Lalu kita selesaikan persamaan dengan perintah Solve :

SolveBà-1

5

f@xD * g@xD âx � f@cD * à-1

5

g@xD âx , cF

::c ® -2

9

-1

70 560

I1 + ä 3 M I1 385 696 321 475 200 - 69 148 800 400 944 876 238 041 M1�3

-

1

36 ´ 142�3

I1 - ä 3 M 1

5

I180 354 061 + 9 400 944 876 238 041 M 1�3>,

:c ® -2

9

-1

70 560

I1 - ä 3 M I1 385 696 321 475 200 - 69 148 800 400 944 876 238 041 M1�3

-

1

36 ´ 142�3

I1 + ä 3 M 1

5

I180 354 061 + 9 400 944 876 238 041 M 1�3>,

:c ®1

35 280

J-7840 + I1 385 696 321 475 200 - 69 148 800 400 944 876 238 041 M1�3

+

28 ´ 52�3 I14 I180 354 061 + 9 400 944 876 238 041 MM1�3N>>

Atau jika kita ingin mengetahui dalam nilai desimal :

NBSolveBà-1

5

f@xD * g@xD âx � f@cD * à-1

5

g@xD âx , cFF88c ® -2.35843 + 3.1951 ä<, 8c ® -2.35843 - 3.1951 ä<, 8c ® 4.05019<<Sehingga didapat nilai c yang berada pada interval [-1,5] yaitu c = 4.05019 atau dengan nilai eksak

c=-7840+J1 385 696 321 475 200-69 148 800 400 944 876 238 041 N1�3

+28 ´ 52�3 J14 J180 354 061+9 400 944 876 238 041 NN1�3

35 280

b. Akan dicari fungsi f(x) dan g(x) sehingga pada interval tertentu (a,b) tak ada nilai c pada interval (a,b)

yang memenuhi Ùa

bf@xD * g@xD âx � f@cD * Ù

a

bg@xD âx

Untuk f(x) = x3 - 2x + 8 dan g(x) = x dan interval H-1, 1L perhatikan bahwa :

In[28]:= Clear@f, gDIn[59]:= f@x_D := -x

2+

1

x2 + 1

In[58]:= g@x_D := x

In[60]:= NBSolveBà0.5

1

f@xD * g@xD âx � f@cD * à0.5

1

g@xD âx , cFFSolve::ratnz : Solve was unable to solve the system with inexact coefficients.

The answer was obtained by solving a corresponding exact system and numericizing the result. �

Out[60]= 88c ® -0.785382<, 8c ® 0. - 1.2722 ä<, 8c ® 0. + 1.2722 ä<, 8c ® 0.785382<<

2.

Perhatikan fungsi berikut : b(x) = x

3; x £ 1 dan

3 x ; x > 1

Akan dibuktikan b(x) terturunkan di semua titik di real.

Pertama kita definisikan dahulu fungsinya.

b@x_D := PiecewiseA99x3, x £ 1=, 83 x - 2, x > 1<=E

Lalu perhatikan bahwa :

DAx3, xE

3 x2

D@3 x, xD3

Sehingga fungsi terturunkan untuk x<1 dan x>1. Lalu untuk x=1 ,kita cek dengan definisi turunan,

didapat :

LimitB b@xD - b@1Dx - 1

, x ® 1, Direction ® 1F3

LimitB b@xD - b@1Dx - 1

, x ® 1, Direction ® -1F3

Karena nilai limit kiri sama dengan limit kanan maka fungsi terturunkan di x=1. Sehingga terbukti

bahwa b[x] terturunkan di semua titik di real.

Maka kita punya fungsi piecewise yaitu b(x) = x

3; x £ 1

3 x ; x > 1yang terturunkan di semua titik real.

Berikut ditambahkan grafik dari fungsi :

Plot@b@xD, 8x, -2, 2<D

2 Tugas Akhir Praktikum Matdas - Ari Wibisana.nb

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

3.

Akan dicari titik - titik sehingga f[x] = x

2Cos

Π

xx < 0 , x > 0

0 x = 0 tidak terturunkan.

Kita definisikan dahulu fungsinya.

f@x_D := PiecewiseB::x2

* AbsBCosB Π

x

FF, x < 0>, :x2

* AbsBCosB Π

x

FF, x > 0>, 80, x = 0<>FLalu perhatikan bahwa :

Plot@f@xD, 8x, -1, 1<D

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Secara kasat mata, terlihat pada gambar bahwa fungsi tak terturunkan ketika fungsi berpotongan

dengan sumbu x. Namun kita akan membuktikannya.

Perhatikan bahwa fungsi kontinu dan untuk c sedemikian sehinnga f(c) tak nol, maka kita dapat

mengambil interval I[c-∆,c+∆] dengan ∆>0 sehingga f(x}=x2

CosΠ

xatau f(x}=-x

2Cos

Π

xuntuk semua x

pada I.

Dan perhatikan pula bahwa :

Clear@xD

Tugas Akhir Praktikum Matdas - Ari Wibisana.nb 3

DBx2

* CosB Π

x

F, xF2 x CosB Π

x

F + Π SinB Π

x

F

Sehingga fungsi terturunkan pada semua titik di I.

Maka jika c titik sedemikian sehingga f(c) tak nol, maka fungsi terturunkan di c.

Lalu jika f(c) = 0 , maka kita dapat mengambil ∆ >0 yang cukup kecil sehingga untuk setiap a,b pada

interval [c-∆,c+∆] jika a<c<b maka a2

CosΠ

a< 0 < b

2Cos

Π

batau b2 Cos

Π

b< 0 < a

2 CosΠ

a

Akibatnya limit kiri dan limit kanan dari f@xD-f@cD

x-c=

f@xD-0

x-c=

f@xDx-c

= c

2Cos

Π

c

x-cakan berbeda tanda.

Sehingga terbukti bahwa jika c titik sedemikian sehingga f(c)=0 maka fungsi tak terturunkan di c.

Maka untuk mencari dimana saja fungsi tak terturunkan kita cukup menyelesaikan f(x)=0.

Untuk x=0, f(x)=0 sehingga di x=0, fungsi tak terturunkan. Lalu jika x tak sama dengan 0, persamaan

dapat diselesaikan dengan perintah Reduce :

Clear@xDReduceBx

2* CosB Π

x

F � 0, xFC@1D Î Integers &&

-1 + 4 C@1D ¹ 0 && x �Π

-Π

2+ 2 Π C@1D ÈÈ 1 + 4 C@1D ¹ 0 && x �

Π

Π

2+ 2 Π C@1D

Atau dapat disederhanakan bahwa solusi persamaan diatas adalah x =2

2 k-1dengan k bilangan bulat.

Maka fungsi tak terturunkan di x = 0 dan x = 2

2 k-1dengan k adalah bilangan bulat.

4.

Akan dicari titik - titik ekstrim dari f(x) = x1�3H1 - xL2�3

= Hx^3 - 2 x^2 + xL1�3

Titik ekstrim dapat berupa titik ujung dari Interval daerah asal ,titik stasioner, dan titik singular. Kita

akan analisa tiap titik tersebut.

Pertama kita definisikan dahulu fungsi kita:

f@x_D := Ix3

- 2 x2

+ xM1�3

Lalu kita cari turunan pertama dari f(x).

D@f@xD, xD1 - 4 x + 3 x2

3 Ix - 2 x2 + x3M2�3

Perhatikan bahwa f’(x) tak mempunyai nilai di x=0 dan x=1. Lalu kita akan mencari titik dimana f(x)=0.

SolveB 1 - 4 x + 3 x2

3 Ix - 2 x2 + x3M2�3

� 0, xF

::x ®1

3

>>


Sehingga f’(x) = 0 ketika x=1/3.

Sehingga kita mendapat titik yang perlu diperhatikan yaitu saat x = 0, x = 1, dan x = 1

3.

Perhatikan bahwa, range dari fungsi ini adalah (-¥ , ¥) sehingga fungsi tak memiliki titik ekstrim golbal.

Kita akan mencari nilai ekstrim lokal.

ReduceB 1 - 4 x + 3 x2

3 Ix - 2 x2 + x3M2�3

£ 0, xF

1

3

£ x < 1

ReduceB 1 - 4 x + 3 x2

3 Ix - 2 x2 + x3M2�3

³ 0, xF

0 < x £1

3

ÈÈ x > 1

Lalu perhatikan bahwa untuk c< 1

3, f’(c)>0, untuk c>

1

3, f ' HcL < 0 sehingga berdasarkan definisi, saat x

= 1

3merupakan titik ekstrim lokal.

Alasan yang serupa juga berlaku unutuk x = 1, sehingga x = 1 juga merupakan titik ekstrim lokal.

Maka titik ekstrim lokal dari fungsi ini adalah ketika x = 1

3dan x = 1. Kita cari nilai y saat x =

1

3dan x = 1

f@1 � 3D22�3

3

f@1D0

Maka titik ekstrim dari fungsi ini adalah (1

3,

22�3

3 ) da n (1,0)

5. Dengan definisi integral Riemann akan dicari nilai dari limit dari In2M J 1

n3

+13

+1

n3

+23+ ....... +

1

n3

+n3

N saat

n mendekati tak hingga.

Pertama perhatikan bahwa :

n2

1

n3

+ 13

+

1

n3

+ 23

+ ... .... +

1

n3

+ n3

=

n3

1

n3

+ 13

+

1

n3

+ 23

+ ... ....+

1

n3

+ n3

1

n

=

n3

n3

+ 13

+

n3

n3

+ 23

+ ... ....+

n3

n3

+ n3

1

n

=

13

13

+ J 1

nN3

+

13

13

+ J 2

nN3

+ ... ....+

13

13

+ I n

nM3

1

n

= âi=1

n1

1 + J i

nN3

1

n

Sehingga kita sama saja dengan mencari nilai dari Ù0

1 1

1+x3

â x.

Pertama kita definisikan dahulu fungsinya :


Sehingga kita sama saja dengan mencari nilai dari Ù0

1 1

1+x3

â x.


In[6]:= f@x_D :=1

1 + x3

RRSUM@a_, b_, n_D := Sum@f@a + i * Hb - aL � nD * Hb - aL � n, 8i, 1, n<DTableForm@Table@8n, N@RRSUM@0, 1, nDD<, 8n, 100, 1000, 100<D,

TableHeadings ® 88<, 8"n", "Riemann Sum"<<Dn Riemann Sum

100 0.833143

200 0.834397

300 0.834815

400 0.835023

500 0.835149

600 0.835232

700 0.835292

800 0.835336

900 0.835371

1000 0.835399

Dapat kita lihat hasilnya sekitar 0.83.

Sekarang coba kita cek dengan menggunakan integral dan limit.

à0

1

f@xD âx

1

18

I2 3 Π + Log@64DM

NBà0

1

f@xD âxF0.835649

LimitBâi=1

n n2

n3 + i3

, n ® InfinityF1

9

I 3 Π + Log@8DM

Sehingga didapat bahwa nilai limit tersebut adalah 0.835649 atau dengan nilai eksak

1

18J2 3 Π + Log@64DN.

Berikut gambar fungsi bentuk integral Riemann :

In[7]:= REPT@f_, 8a_, b_, n_<D := Module@8dx, k, xstar, rrect, plot<, dx = N@Hb - aL � nD;

xstar = Table@a + i * dx, 8i, 0, n<D;

rrect = Table@Line@88xstar@@iDD, 0<, 8xstar@@iDD, f@xstar@@i + 1DDD<,

8xstar@@i + 1DD, f@xstar@@i + 1DDD<, 8xstar@@i + 1DD, 0<<D, 8i, 1, n<D;

plot = Plot@f@xD, 8x, a, b<, Filling ® AxisD;

Show@plot, Graphics@8Green, rrect<DDD


In[10]:= REPT@f, 80, 1, 50<D

Out[10]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

6.

Akan dicari mana fungsi yang memiliki rata-rata terbesar di interval [0,4] antara dua fungsi berikut :

f(x) = 2Cosx - x

g(x) = xsin2

x


f@x_D := 2 Cos@xD - x

g@x_D := x * HSin@xDL2

Lalu kita cari nilai rata - ratanya :

NB 1

4à

0

4

f@xD âxF-2.3784

NB 1

4à

0

4

g@xD âxF0.788457

Sehingga didapat bahwa yang memiliki nilai - nilai terbesar pada interval [0,4] adalah g(x) = xSin2

x

7.

Akan dicari aproksimasi nilai Π dengan menggunakan Integral Riemann titik kiri, tengah, dan kanan.

Kita menggunakan petunjuk soal yaitu Π = 4Ù0

1 1

1+t2

ât

Aproksimasi penjumlahan Riemann dengan titik kiri.

Pengambilan titik kiri dinyatakan dengan : x ke - i = a +iHb-aL

n dengan i=0 , 1, 2 , ...... , n-1

Kita definisikan dahulu fungsinya :

Clear@fDLRSUM@a_, b_, n_D := 4 Sum@f@a + i * Hb - aL � nD * Hb - aL � n, 8i, 0, n - 1<D


f@x_D :=1

1 + x2

TableForm@Table@8n, N@LRSUM@0, 1, nDD<, 8n, 100, 1000, 100<D,


100 3.15158

200 3.14659

300 3.14492

400 3.14409

500 3.14359

600 3.14326

700 3.14302

800 3.14284

900 3.1427

1000 3.14259

Kita cek apabila n mendekati tak hingga:

Limit@LRSUM@0, 1, nD, n ® InfinityDΠ

Sehingga untuk n mendekati tak hingga, nilai ini mendekati nilai Π.

Dapat disimpulkan dengan cara ini kita mendapat aproksimasi dari nilai Π yaitu mendekati 3,14 seperti

yang sudah kita kenal sekarang.

Aproksimasi penjumlahan Riemann dengan titik kanan

Pengambilan titik kanan dinyatakan dengan : x ke - i = a +iHb-aL

n dengan i=1, 2 , ...... , n


RRSUM@a_, b_, n_D := 4 Sum@f@a + i * Hb - aL � nD * Hb - aL � n, 8i, 1, n<DTableForm@Table@8n, N@RRSUM@0, 1, nDD<, 8n, 100, 1000, 100<D,


100 3.13158

200 3.13659

300 3.13826

400 3.13909

500 3.13959

600 3.13993

700 3.14016

800 3.14034

900 3.14048

1000 3.14059

Kita cek apabila n mendekati tak hingga:

Limit@RRSUM@0, 1, nD, n ® InfinityDΠ








Aproksimasi penjumlahan Riemann dengan titik tengah

Pengambilan titik tengah dinyatakan dengan : x ke - i = a + Ii +1

2M Hb-aL

n dengan i=1, 2 , ...... , n


MRSUM@a_, b_, n_D := 4 SumBfBa + i +1

2

* Hb - aL � nF * Hb - aL � n, 8i, 1, n<FTableForm@Table@8n, N@MRSUM@0, 1, nDD<, 8n, 1000, 10 000, 1000<D,


1000 3.13959

2000 3.14059

3000 3.14093

4000 3.14109

5000 3.14119

6000 3.14126

7000 3.14131

8000 3.14134

9000 3.14137

10 000 3.14139

Limit@MRSUM@0, 1, nD, n ® InfinityDΠ




Dapat disimpulkan dengan ketiga cara aproksimasi dengan integral Riemann, nilai Π mendekati 3,14.

8.

Akan dicari daerah dibawah f(x) = 1 - x

2

Πdan diatas g(x) = Cosx

Pertama kita gambarkan fungsi agar memperoleh gambaran visualnya. Kita definisikan dahulu

fungsinya :

f@x_D := 1 -@xD2

Π

g@x_D := Cos@xD


Plot@8f@xD, g@xD<, 8x, -5, 5<, PlotStyle ® 8Red, Blue<,

PlotRange ® 8-5, 4<, Filling ® 81 ® 82<<D

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

Lalu kita cari titik potong dari dua fungsi tersebut :

FindRootB1 -x2

Π� Cos@xD, 8x, -2<F

8x ® -2.27496<

FindRootB1 -x2

Π� Cos@xD, 8x, 2<F

8x ® 2.27496<

FindRootB1 -x2

Π� Cos@xD, 8x, 0<F

8x ® 0.<Maka grafik berpotongan di x = -2.27496 , 0 , dan 2,27496. Sehingga luas daerah dapat dicari dengan

integral :

à-2.27496

0 Hf@xD - g@xDL âx + à0

2.27496Hf@xD - g@xDL âx

0.527109

Maka luas daerahnya adalah 0.527109


Ari Wibisana -1406527570

Documents

Transcript of Ari Wibisana -1406527570