Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Civil

Informe II

Análisis Teórico y Experimental de

un Modelo Estructural

CI4202 Análisis Estructural

Profesor: Ricardo Herrera

Ayudante de Laboratorio: Pedro Soto

Ayudante: Rodrigo Silva

Grupo: 5

Fecha Entrega: 3 de Octubre de 2014

1. Introducción

Los avance de la Ingeniería Civil han permitido el desarrollo de las ciudades, mediante la

incorporación de mejoras en las obras civil y estructurales que permiten entre muchas cosas la

optimización del uso de suelo mediante edificaciones verticales (edificios), conexión entre

personas y servicios con infraestructura vial (carreteras, aeropuertos, etc.), generar más

trabajo y mejorar la calidad de vida (industrias en general), etc.

El presente informe tiene como fin presentar de manera clara y concisa el desarrollo

del diseño y construcción de una estructura, la cual debe ser un Marco Arriostrado. Durante el

transcurso de este proyecto complementario al curso CI4202-1 Análisis Estructural se entregarán

cuatro informes y se realizarán dos laboratorios, en los cuales se aprenderá, entre otras cosas,

a modelar uniones, rótulas, bielas, etc. Además, esto permitirá aplicar los principios teóricos

adquiridos durante el curso y compararlos con los resultados que se obtendrán

experimentalmente.

Este primer informe constará de las siguientes partes:

Descripción general de la Estructura Real.

Descripción del modelo.

Croquis a escala del modelo.

Descripción de los elementos estructurales del modelo.

Materiales.

Planos de carga.

Finalmente, el objetivo de esta actividad es construir un modelo a escala del diseño

real de la estructura escogida, así, poder comprender el concepto de análisis estructural en

este tipo de elementos y tener la “experiencia” que permita entender el comportamiento de la

estructura y sus limitantes, de este modo, poder comprender de mejor forma lo aprendido

teóricamente. La estructura escogida deberá tener un GIE mayor o igual a 4, y debe resistir las

cargas en el ensayo.

2. Descripción General de la Estructura Real

Debido a que el tema del semestre corresponde a estructuras compuestas por marcos

arriostrados, la estructura escogida para el trabajo complementario es el Edificio John Hancock

Center, el cual se encuentra ubicado en Chicago, Illinois, Estados Unidos.

Este edificio fue construido entre 1965 y 1969 alberga oficinas, locales comerciales y

departamentos residenciales.

En la figura 1 se muestra el edificio real y la tabla 1 contiene las características principales de

la estructura.

Figura 1: postal del edificio John Hancock Center

TABLA 1: características generales del edificio

Altura máxima (a la antena) 459 [m]

Altura al último piso 337 [m]

Superficie total planta baja 4366 [m2] Superficie total planta alta 1580 [m2] Peso de la estructura

metálica 46000 [ton]

3. Descripción del Modelo Estructural

3.1 Elección del modelo estructural según GIE

En primera instancia se iba a realizar un modelo idéntico al real (figura 2), pero en ese caso

se estaría trabajando con un grado de indeterminación (GIE) igual a 27. Debido a que ese valor

era excesivo para los fines del curso, la estructura a modelar se simplificó, llegando a la mostrada

en la figura 3.

Figura 2: primer modelo propuesto

Figura 3: modelo estructural modificado (definitivo)

Se calcula el GIE del modelo definitivo aplicando la fórmula:

𝐺𝐼𝐸 = 𝐵 + 2𝑅 + 3𝑆 + 𝑉 − 3𝑁

Donde:

𝐵: número de bielas.

𝑅: número de rótulas.

𝑆: número de uniones correspondiente a soldaduras

𝑉: número de reacciones.

𝑁: número de barras.

Por lo tanto se tiene:

𝑮𝑰𝑬 = 𝟓

3.2 Dimensiones del modelo estructural

El modelo será construido con palos de maqueta de 7,5 x 7,5 [mm] y se replicará en

un segundo plano para modelarlo en tres dimensiones. La figura 4 muestra las dimensiones

globales del modelo en elevación.

Figura 4: dimensiones globales (en elevación) del modelo (medidas en centímetros) [no a escala]

Elemento

Área Transversal

[cm2]

Material

Inercia Sección Transversal

[cm4]

Longitud

[cm]

1 0,56 Madera 0,026 15

2 0,56 Madera 0,026 15

3 0,56 Madera 0,026 15

4 0,56 Madera 0,026 15

5 0,56 Madera 0,026 10

6 0,56 Madera 0,026 15

7 0,56 Madera 0,026 18

8 0,56 Madera 0,026 18

Figura 5: enumeración de elementos estructurales principales

Los elementos serán de sección rectangular, sus características se muestran en la tabla 2.

TABLA 2: resumen de las características de los elementos constituyentes del modelo

3.3 Croquis del modelo estructural

3.4 Condiciones de apoyo

La estructura de tres dimensiones cuenta con dos tipos de apoyos, dos apoyos simples

y dos deslizantes, para modelarlos, será necesario añadir un palo de maqueta pegado a la última

barra de la estructura.

Figura 7: ubicación de los apoyos en un plano de la estructura

Apoyo Simple

Para estos apoyos, se utilizarán este apoyo por escuadras metálicas, las

cuales serán empotradas a la base de la estructura. Para permitir la

rotulación de la estructura se utilizaron tornillos de menor tamaño y

tuercas.

Figura 8: Croquis de apoyo simple

Apoyo Deslizante

Para modelar los apoyos deslizantes, se utilizarán unas placas, las

cuales sujetarán el palo de maqueta añadido a la estructura, a la base,

permitiendo su libre movimiento horizontal.

Figura 9: Croquis de apoyo deslizante

3.5 Descripción de conexiones

La figura 10 muestra la ubicación de cada tipo de unión en el modelo estructural.

Figura 10: ubicación de las uniones en un plano de la estructura

Para modelar el tipo de conexiones que presenta la estructura, del tipo soldadura y rótulas,

se utilizaron los siguientes elementos:

Unión Rotulada

Se utiliza una placa de metal plana en la cual las barras que se conectan a esta puedan

tener un giro y asemejar el movimiento rotular.

Figura 10: Esquema de las conexiones rotuladas

Unión Soldada

Se utiliza una placa de metal angulado con la cual se sujetan ambas barras empotrándose

a la estructura y simulando una soldadura.

Figura 11: Esquema de las conexiones soldadas

3.6 Materiales

Para los elementos estructurales (barras y bielas) se utilizarán palos de maqueta, los

cuales son confeccionados con madera de raulí. El raulí es una madera liviana, elástica, con una

resistencia mecánica de nivel medio. Las propiedades mecánicas y físicas de la madera a

utilizar se muestran en la tabla 3.

TABLA 3: propiedades físicas y mecánicas del raulí

Densidad [g/cm3] 0,6

Módulo de elasticidad (flexión) [kg/cm2] 94000

Módulo de elasticidad (compresión) [kg/cm2]

150500 Tensión admisible (flexión) [kg/cm2] 7

75

Tensión admisible (compresión) [kg/cm2]

320

La madera es un material ortótropo, una forma común de anisotropía, ya que presenta un

módulo de elasticidad diferente para tres direcciones perpendiculares entre sí (a lo largo de la

fibra, tangencial a los anillos de crecimiento y perpendicular a los anillos de crecimiento).

Mientras el esfuerzo a tracción sea en la dirección de las fibras, la madera tendrá buena

resistencia, siendo ésta menor si se trabaja a compresión.

Para las conexiones y los apoyos, como se mencionó anteriormente, se emplearán

escuadras metálicas, pernos y platinas.

3.7 Punto de aplicación de la carga

Para el ensayo de la estructura, se aplicará una carga horizontal, puntual y variable, en una

esquina superior de la estructura, mientras que los desplazamientos se medirán en las uniones

de las barras 1-2, y 2-5. A continuación se presenta un diagrama de las ubicaciones de los puntos

de carga y desplazamiento:

Figura 12: Punto de Carga y Puntos de Medición de desplazamiento

4. Metodología Experimental

4.1 Ensayo de Flexión Pura

La metodología del ensayo fue la siguiente:

- En un palo de maqueta del material con el cual será construida la estructura, raulí de

área 7,5x7,5 [mm] en este caso, se le realizaron dos orificios con el fin de poder ser

sujetado a dos apoyos simples.

- Se midió la distancia entre ambos apoyos y, para poder tener una flexión pura, en cada

extremo del palo de maqueta se fijó una distancia de 5 [cm] desde el apoyo en donde

se dispuso un canasto de metal.

- En cada canasto de metal se fueron depositando plomos del mismo peso, o muy

similar, con el fin de generar una flexión en la barra.

- A medida que se fueron agregando pesos con un instrumento del laboratorio se fueron

midiendo las deformaciones correspondientes a cada plomo generada sobre el palo de

maqueta.

- Una vez obtenidos 9 puntos distintos se graficó la curva carga vs. deformación.

Figura 13: esquema ensayo de flexión pura

4.2 Ensayo de Voladizo

Para este ensayo, se sujetó el palo de maqueta a una distancia de 8.9 [cm] desde un extremo, a

través de una prensa. Posteriormente, se aplicaron distintas cargas en el extremo libre (no

apoyado). A medida que se iban aumentando las cargas se fue midiendo con un dial la deflexión que

experimentaba el palo en el punto en que se aplicaban las cargas. La figura 14 muestra un esquema

de este ensayo.

Figura 14: esquema ensayo de voladizo

5. Determinación del Módulo de Elasticidad (E)

5.1 Ensayo de Voladizo

Los resultados obtenidos en este ensayo se detallan en la tabla 4.

TABLA 4: resultados ensayo de voladizo

Carga (kgf) Desplazamiento [cm]

0,05 0,003

0,1 0,005

0,15 0,012

0,2 0,014

0,3 0,02

0,5 0,035

1 0,069

1,5 0,11

Al graficar estos resultados se obtiene la figura 15.

Figura 15: carga vs deformación voladizo

Para un elemento en voladizo se conoce la siguiente expresión que determina su deflexión

en el extremo:

∆=𝑃𝐿3

3𝐸𝐼

Despejando E de esta ecuación, se tiene: 𝐸 =𝑃

∆∗

𝐿3

3𝐼

Si se observa el gráfico de la figura 14, se ve que la recta que mejor aproxima la relación

entre los puntos tiene una pendiente igual a:

𝑚 = 13,707 [𝑘𝑔𝑓

𝑐𝑚]

Siendo esta pendiente equivalente a la relación 𝑃

∆

y = 13,707x + 0,0158R² = 0,9982

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

Car

ga [

kgf]

Deformación [cm]

Voladizo

Por lo tanto, E se calcula de la siguiente forma: 𝐸 = 𝑚 ∗𝐿3

3𝐼

Sabiendo que el largo del voladizo es 𝐿 = 8,9 [𝑐𝑚] y que el momento de inercia de una

sección cuadrada de 7,5x7,5 [cm] es 0,02636719, se obtiene un módulo de elasticidad igual a

𝑬 = 𝟏𝟐𝟐. 𝟏𝟓𝟗, 𝟓𝟑𝟓 [𝐤𝐠𝐟

𝐜𝐦𝟐]

5.2 Ensayo de Flexión Pura

Los datos obtenidos en el ensayo de flexión pura se muestran en la tabla 5.

TABLA 5: resultados del ensayo de flexión pura

Carga [kgf] Deformación [cm]

0,09569 0,013

0,19569 0,028

0,38869 0,049

0,48869 0,065

0,59769 0,087

0,68869 0,102

0,79769 0,122

0,88869 0,134

0,99769 0,157

Con los datos de la tabla 5 se realiza un gráfico que relaciona ambas variables estudiadas (figura 16).

Figura 16: carga vs deformación flexión pura

Al analizar los momentos internos en la estructura ensayada, se llega a que su momento flector puro

es

𝑀 = 𝑃(𝐿2 − 𝐿1)

y = 6,2241x + 0,0475R² = 0,9929

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Car

ga [

kgf]

Deformación [cm]

Flexión Pura

Además se tiene que ∆=𝑀𝐿

𝐸𝐼

Por lo tanto, de las ecuaciones anteriores se tiene 𝐸 =𝑃

∆∗

[𝐿(𝐿2−𝐿1)]

𝐼

Entonces, sabiendo que

𝐿 = 50,1 [𝑐𝑚] (largo de la probeta ensayada)

𝐿1 = 5 [𝑐𝑚] (distancia entre el punto de aplicación de la carga y el extremo de la probeta)

𝐿2 = 14,8 [𝑐𝑚] (distancia entre el punto de apoyo y el extremo de la probeta)

Y además, de la figura 16 se tiene que la pendiente del gráfico es 𝑚 = 6,2241 [𝑘𝑔𝑓

𝑐𝑚]

Se tiene que

𝑬 = 𝟏𝟏𝟓. 𝟖𝟗𝟖, 𝟏𝟔𝟒 [𝒌𝒈𝒇

𝒄𝒎𝟐]

Si se comparan los resultados obtenidos en las secciones 5.1 y 5.2 con el valor entregado en

la tabla 3 de la sección 3.6, se puede ver que el orden de magnitud de los valores entregados por

los ensayos es similar al valor dado para el módulo de elasticidad de la madera, sin embargo es de

esperarse que este valor fluctúe, ya que la madera no se encuentra bajo las mismas condiciones, y

puede sufrir variaciones en sus propiedades mecánicas. Por eso es importante ensayar el material

que se empleará en la construcción del modelo, para tener valores confiables de las propiedades

mecánicas.

6. Anexo

A continuación se adjunta el desarrollo del cálculo de la matriz de flexibilidad, vector de cargas y

vector de desplazamientos.