Análisis Numérico

E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 1

AnálisisNumérico

Parte 5


Integración

� A menudo es necesario evaluar la integral definida de una función queno tiene solución analítica, o no es fácil de obtener. Los métodosnuméricos con los que aproximamos esas integrales reciben el nombrede cuadratura numérica. De entre los métodos existentes para elcálculo de integrales uno de los más comunes es el de Newton-Cotes,que trata de aproximar las integrales de funciones complicadas enintegrales de funciones más simples y de fácil integración.

� Donde fn(x) es un polinomio de la forma

� Las integrales se pueden calcular o bien sustituyendo todo el intervalode integración por un único polinomio o utilizando varios polinomios deorden inferior.

∫ baf(x)dx ≈

∫ bafn(x)dx

fn(x) = a0 + a1x+ . . .+ an−1xn−1 + anx

n


Integración

� Las fórmulas de Newton-Cotes pueden ser cerradas o abiertas. Lascerradas son aquellas en las que conocemos los valores de la funciónen los extremos del intervalo de integración, mientras que en lasabiertas los límites de integración se extienden más allá del rango delos datos.

� En este capítulo nos centraremos más en las cerradas. Las abiertastendrán importancia para la evaluación de integrales impropias y laresolución de ecuaciones diferenciales ordinarias

f(x)

a b

f(x)

a b

a) cerrada b) abierta


Integración

� Regla trapezoidal, es la primera de las fórmulas de integracióncerrada de Newton-Cotes. Y utiliza un polinomio de primer orden paraaproximar la función.

� Donde f1(x) es el polinomio de Lagrange de primer orden y E(1) el errorcometido en la aproximación a la integral.

∫ baf(x)dx =

∫ baf1(x)dx+ E(1)

f(x)

a = x0 b = x1

f(x0)

f(x1)


Integración

� Integrando el polinomio de Lagrange obtenemos:

� Que se denomina regla trapezoidal. El error se obtiene integrando elerror cometido al utilizar el polinomio interpolador de grado 1. Nóteseque este error es proporcional a la derivada segunda de un puntodesconocido dentro del intervalo de integración (ε). Por tanto, seráexacta para funciones sin curvatura (rectas), cuya derivada segundasea nula.

∫ baf(x)dx ≈

∫ x1

x0

[x− x1

x0 − x1f(x0) +

x− x0

x1 − x0f(x1)

]dx =

=

[(x− x1)2

2(x0 − x1)f(x0) +

(x− x0)2

2(x1 − x0)f(x1)

]x1

x0

=

=(x1 − x0)

2[f(x0) + f(x1)]


Integración

� Una forma de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es dividir elintervalo de integración en un número finito de segmentos, y aplicar elmétodo a cada uno de ellos. El área global será la suma de las áreasde los segmentos. Las ecuaciones resultantes son llamadas fórmulasde integración compuestas.

E(1) =∫ x1

x0

1

2f ′′(ε)(x− x0)(x− x1)dx =

=f ′′(ε)

2

∫ x1

x0

(x− x0)(x− x1)dx =

=f ′′(ε)

2

[x3

3− (x1 + x0)x2

2+ x0x1x

]x1

x0

=

= −f ′′(ε)(x1 − x0)3

12


Integración

� Así, para n+1 puntos base igualmente espaciados (x0,x1,�,xn)tendremos n segmentos de anchura

h =b− an

f(x)

a = x0 b = xnx1 x2 x3 x4 xn−1xn−2

xn−3

h

f(x0)f(x1)f(x2) f(xn)

f(xn−1)

f(xn−2)


Integración

� La integral de la función entre a y b será:

� Aplicando la regla trapezoidal

� Agrupando términos

I =∫ baf(x)dx =

∫ xnx0

f(x)dx =∫ x1

x0

f(x)dx+∫ x2

x1

f(x)dx+ . . .+

+∫ xn−1

xn−2

f(x)dx+∫ xnxn−1

f(x)dx

I = hf(x0) + f(x1)

2+ h

f(x1) + f(x2)

2+ . . .

+ hf(xn−2) + f(xn−1)

2+ h

f(xn−1) + f(xn)

2

I =h

2

f(x0) + 2

n−1∑i=1

f(xi) + f(xn)


Integración

� El formato general de la ecuación será:

� La altura promedio representa un promedio ponderado de los valoresde la función, en la que los puntos interiores tienen el doble de pesoque los puntos extremos.

� El error de la fórmula trapezoidal compuesta se puede obtener comosuma de los errores individuales de los segmentos.

I = (b− a)

f(x0) + 2n−1∑i=1

f(xi) + f(xn)

2n

Ancho Altura promedio

E(1) = −(b− a)3

12n3

n∑i=1

f ′′(εi)


Integración� Donde f��(εεεεi) es la segunda derivada en un punto desconocido dentro

de cada uno de los subintervalos. Este resultado se puede simplificar alestimar la media o valor promedio de la segunda derivada para todo elintervalo.

� Por tanto el error global se puede rescribir como

� Con lo que si dismimuímos el tamaño de paso a la mitad (aumentamosal doble el número de subintervalos) el error de truncamiento se reducea la cuarta parte.

f̄ ′′ ≈

n∑i=1

f ′′(εi)

n

E(1) = −(b− a)3

12n2f̄ ′′


Integración

� Reglas de Simpson, otra forma de mejorar las aproximaciones a lasintegrales es usando polinomios de grado mayor. Por tanto las fórmulasque resultan de tomar integrales usado polinomios de grado dos y tresse denominan reglas de Simpson. La que utiliza tres puntos se llamaregla de Simpson 1/3 (a), y la que emplea cuatro puntos y unpolinomio cúbico regla de Simpson 3/8 (b).

f(x) f(x)

a) b)


Integración

� Regla de Simpson 1/3, resulta de la utilización de una interpolaciónpolinomial de segundo orden

� Donde f2(x) es el polinomio de Lagrange de segundo orden y E(2) elerror cometido en la aproximación a la integral.

� Integrando el polinomio de Lagrange

∫ baf(x)dx =

∫ baf2(x)dx+ E(2)

∫ baf(x)dx ≈

∫ x2

x0

[(x− x1)(x− x2)

(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0)+

+(x− x0)(x− x2)

(x1 − x0)(x1 − x2)f(x1)+

+(x− x0)(x− x1)

(x0 − x2)(x2 − x1)f(x2)]dx


Integración

� Simplificando llegamos a la fórmula

� Donde

� La especificación �1/3� proviene del hecho de que h está dividida por 3en la fórmula general. Si reorganizamos términos

I ≈h

3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]

h = (b− a)/2


I ≈ (b− a)f(x0) + 4f(x1) + f(x2)

6


Integración� El error que cometemos al aplicar la regla de Simpson 1/3 en un solo

paso se calculará de forma diferente a la regla trapezoidal.Supongamos que la función f está expandida a partir del polinomio deTaylor en torno al punto x1.

� Integrando en el intervalo deseado (x0,x2)

� Como h=x2-x1=x1-x0 sustituyendo obtenemos

f(x) = f(x1) + f ′(x1)(x− x1) +f ′′(x1)

2(x− x1)2+

+f ′′′(x1)

6(x− x1)3 +

f(4)(ε1)

24(x− x1)4

∫ x2

x0

f(x)dx = [f(x1)(x− x1) + f ′(x1)(x− x1)2/2 +f ′′(x1)

6(x− x1)3

+f ′′′(x1)

24(x− x1)4 +

f(4)(ε1)

120(x− x1)5]x2

x0


Integración

� Sustituyendo la derivada segunda por la derivada calculada pordiferencias finitas centrales

� Obtenemos

� Se puede demostrar que en esta expresión los valores εεεε1111 y εεεε2 sepueden sustituir por un valor común εεεε perteneciente al intervalo (x0,x2).Con lo que el error queda

∫ x2

x0

f(x)dx = 2hf(x1) +h3

3f ′′(x1) +

f(4)(ε1)

60h5

∫ x2

x0

f(x)dx =h

3[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]−

h5

12

[1

3f(4)(ε2)− 1

5f(4)(ε1)

]

E(2) = −h5

90f(4)(ε) = −

(b− a)5

2880f(4)(ε)

f ′′(x1) =1

h2

[f(x0)− 2f(x1) + f(x2)

]−h2

12f(4)(ε2)


Integración� La regla de Simpson 1/3 es más exacta que la trapezoidal, e incluso

más exacta de lo esperado, ya que pese a obtenerse a partir de unpolinomio de grado dos es capaz de integrar de forma exactapolinomios de grado 3. Ya que en éstos, la derivada cuarta es nula, ypor tanto el error de la fórmula de cuadratura es cero.

� Al igual que la regla trapezoidal, se puede mejorar la aproximacióndividiendo el intervalo de integración en un número finito de segmentosde igual anchura. La integral total se puede representar como

� Nótese que sólo se puede aplicar si el número de segmentos es par. Alsustituir la regla de Simpson 1/3 para cada tramo

I =∫ x2

x0

f(x)dx+∫ x4

x2

f(x)dx+ . . .+∫ xnxn−2

f(x)dx

I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)

6+ 2h

f(x2) + 4f(x3) + f(x4)

6

+ . . .+ 2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)

6


Integración� Agrupando términos

� El error se obtiene sumando los errores individuales. Si como en elcaso de la regla trapezoidal empleamos el valor medio de la derivadacuarta el error global queda

� Por tanto la regla Simpson 1/3 es una fórmula que da resultados muyprecisos, pero está limitada para casos con valores igualmenteespaciados y un número par de segmentos.

I ≈ (b− a)

f(x0) + 4n−1∑

i=1,3,5

f(xi) + 2n−2∑

j=2,4,6

f(xj) + f(xn)

3n


E(2) = −(b− a)5

180n4f̄(4)


Integración

� Regla de Simpson 3/8, resulta de la utilización de una interpolaciónpolinomial de tercer orden, se necesitan 4 puntos dato

� Donde f3(x) es el polinomio de Lagrange de tercer orden y E(3) el errorcometido en la aproximación a la integral.

� Si integramos el polinomio de Lagrange en el intervalo (a,b)=(x0,x3) deforma análoga a como lo hicimos para el caso anterior, y simplificamosobtenemos la regla de Simpson 3/8 de un solo paso

� Donde h=(b-a)/3. Ésta es la tercera fórmula cerrada de Newton-Cotes.Reorganizando términos se puede expresar como

∫ baf(x)dx =

∫ baf3(x)dx+ E(3)

I ≈3h

8[f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]


Integración

� Así los dos puntos interiores tienen pesos tres octavos, mientras quelos puntos extremos pesan un octavo. El error en la fórmula Simpson3/8 es de

� Como el denominador es mayor que el de la fórmula del error para laregla Simpson 1/3, esta fórmula es más exacta. Aunque las dos tienenel mismo orden de exactitud. Ésta última se usa cuando en número deintervalos es impar.

I ≈ (b− a)f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)

8


E(3) = −3h5

80f(4)(ε) = −

(b− a)5

6480f(4)(ε)


Integración� Para la realización de los algoritmos de cómputo de las reglas de

Simpson hay que tener en cuenta varias cosas:� Se pueden programar para integrar funciones en forma tabulada.

Para este caso es importante tener en cuenta que las fórmulas quehemos obtenido en teoría se basaban en la equidistancia entredatos. Por tanto si éstos no están igualmente espaciados tenemosque tenerlo en cuenta a la hora de programar.

� Un programa general tendría que ser capaz de evaluar integralesde funciones conocidas. Seleccionando él mismo las abscisasdato.

� Los programas están condicionados por la paridad de lossegmentos que utilizamos. Si son pares utilizamos la regla deSimpson 1/3. Si son impares usamos Simpson 1/3 con losprimeros segmentos excepto con los tres últimos, con los queusamos la fórmula Simpson 3/8.


Integración� Hemos visto como las fórmulas de Newton-Cotes nos permiten integrar

funciones tabuladas y funciones conocidas. Pero hay métodos másexactos para el cálculo de funciones conocidas. Uno de ellos es lacuadratura de Gauss.

� Cuadratura de gauss-las fórmulas de Newton-Cotes que hemos vistohasta ahora se basaban en estimaciones de los valores de la funciónen puntos fijos. Así, por ejemplo, en la aplicación de la reglatrapezoidal, en la que la recta (polinomio aproximante) pasa por lospuntos extremos, dependiendo de la forma de la función que tratemosde integrar, cometeremos un error mayor o menor (a).

f(x) f(x)

a) b)


Integración� Pero si eliminamos la restricción de que los puntos por los que pasa el

polinomio aproximante (recta) sean los extremos del intervalo,podríamos seleccionar una recta tal que se equilibren los errorespositivos con los negativos (b).

� A continuación desarrollaremos la fórmula de Gauss-Legendre de dospuntos. Supongamos que tenemos que integrar una función en elintervalo (-1,1). Tomamos este intervalo para simplificar los cálculos.Posteriormente se verá como generalizar para cualquier intervalo.

−1 1x0 x1

f(x0)f(x1)

x


Integración� El objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los coecifientes de

una ecuación de la forma

� Donde w1 y w2 son dos coeficientes desconocidos que representan lospesos de la función en los puntos x1 y x2. Como tenemos cuatroincógnitas, necesitamos cuatro ecuaciones que obtendremos desuponer que con esta fórmula integramos de forma exacta polinomiosde hasta grado 3 (cúbicas).

I ≈ w0f(x0) + w1f(x1)

w0 + w1 =∫ 1

−11dx = 2

w0x0 + w1x1 =∫ 1

−1xdx = 0

w0x20 + w1x

21 =

∫ 1

−1x2dx =

2

3

w0x30 + w1x

31 =

∫ 1

−1x3dx = 0


Integración� Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

� Sustituyendo en la fórmula general obtenemos la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos, que obtiene la integral exacta de polinomiosde hasta tercer orden.

� El problema es que esta integral sólo vale para el intervalo (-1,1). Siqueremos que valga para cualquier intervalo (a,b) tenemos que hacerun cambio de variable.

w0 = w1 = 1

x0 = − 1√3

x1 =1√3

I ≈ f(−

1√3

)+ f

(1√3

)


Integración� Supongamos por tanto que quiero calcular la siguiente integral

mediante el método de Gauss-Legendre. Y quiero utilizar la fórmulageneral que va del intervalo (-1,1). He de aplicar una transformaciónlineal, que pase de la variable x a la z.

� La transformación lineal será

x0 x1 x

−1 1z0 z1 z

a b

Transformaciónlineal

∫ baf(x)dx =

∫ 1

−1f(z)dz

x = m1 +m2z


Integración� De tal forma que z=-1 para x=a y z=1 para x=b.

� Resolviendo este sistema obtenemos m1 y m2. Con lo cual tenemos

� Sustituyendo en la integral

x =z(b− a) + a + b

2dx =

b− a2

dz

∫ baf(x)dx =

∫ 1

−1f

(z(b− a) + a+ b

2

)b− a

2dz =

=b− a

2

1∑i=0

wif

(zi(b− a) + a + b

2

)

z = −1; x = a; a = m1 −m2

z = 1; x = b; b = m1 +m2


Integración� La fórmula de Gauss-Legendre se puede mejorar con la inclusión de

más puntos. De tal forma que dados n+1 puntos, podré calcular deforma exacta cualquier polinomio de grado menor o igual a (2n+1).

0. 8611363120.3478548

0. 3399810440.6521452

-0.3399810440.6521452

f(8) (ε)-0.8611363120.34785484

0. 7745966690.5555556

00.8888889

f(6) (ε)-0.7745966690.55555563

0.5773502691.0

f(4) (ε)-0.5773502691.02

ErrorPuntos (xi)Pesos (wi)Puntos (n+1)

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