Análisis de Señales de Medidas Mecánicas para el ...

Departamento de Física Aplicada a los Recursos Naturales

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas

TESIS DOCTORAL

Análisis de Señales de Medidas Mecánicas

para el

Mantenimiento Predictivo Avanzado

Cristina Montalvo Martín

Ingeniero de Minas

Directores

Miguel Balbás Antón

Agustín García-Berrocal Sánchez

Septiembre 2010

Agradecimientos

Sin duda, cuando empecé a escribir los agradecimientos, las primeras personas en las

que pensé fueron mis padres, sin su ayuda esto hubiera sido imposible. Después pensé en

mis hermanos que siempre me ayudan tanto y me dan tan buenos consejos. Por supuesto,

Miguel, Agustín y Juan son piezas fundamentales en este trabajo. Sin ellos esto no hubiera

sido posible, no sólo por su apoyo técnico sino por su apoyo moral.

Es inevitable dar las gracias a Diego, Ester, Marcos y Ruben, que aunque ellos no

saben lo que es una tesis doctoral, me hacen muy feliz con sus Gormitis, Spidermans,

Hello Kitties y sus fondos de bikini.

Mi estancia en Göteborg y conocer a Imre ha sido muy positivo para mi y para la

tesis.

El orienteering me ha ayudado mucho a desconectar y ahí tengo que dar las gracias a

Alberto y a Juan, que no se pierden una y siempre cuentan conmigo.

Antonio ha sido una persona muy inuyente en mi vida y aunque no ha participado

directamente en esta tesis, sus consejos deportivos y de todas las clases siempre se han

tenido en cuenta.

i

A Jose, que de vez en cuando tiene que aguantar mis historias para no dormir y siempre

me encuentra una solución sabia para mis problemas.

A Pablo, por ser como es, por comprender y perdonar mis meteduras de pata y porque

a su lado me siento en una burbuja.

A So, porque es mi muy mejor amiga y lo seguirá siendo desde el otro lado del planeta.

A Fer, porque eres genial y porque jamás olvidaré cuánto me ayudaste para aprobar

estructuras. Ah, y porque el Puerto Rico es super divertido.

A Gemix, Tobich y Mongo que aunque ya no les veo mucho y nunca conseguí ganarles

al Risk, las tardes interminables de juegos de mesa con ellos eran estupendas.

ii

Índice general

1. INTRODUCCIÓN 1

I FUNDAMENTOS TEÓRICOS 7

2. FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE VIBRACIONES ALEATORIAS 9

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Ruido y señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Procesos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1. Función de densidad de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2. Esperanza Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3. Desviación típica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.4. Autocorrelación y autocovarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Sistemas en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1. Sistemas Linealas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2. Función de respuesta al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. Sistemas en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

iii

ÍNDICE GENERAL

2.5.1. La transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2. La transformada de Laplace discreta: transformada z . . . . . . . . 38

2.5.3. La transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.4. Procesamiento de señales de aleatorias: densidad espectral . . . . . 49

2.6. Modelos Autorregresivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.7. Ajuste de resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.7.1. Justicación para el uso de la fórmula de Breit-Wigner en resonan-

cias mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.8. La transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.8.1. Relación con la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.8.2. Relación con la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.8.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.8.4. Señal analítica: amplitud y fase instantáneas . . . . . . . . . . . . . 77

2.8.5. Ejemplo de un sistema no lineal: Oscilador de Dung . . . . . . . . 78

II SISTEMAS LINEALES 85

3. ANÁLISIS DE RUIDO NEUTRÓNICO PARA MANTENIMIENTO

DE CENTRALES NUCLEARES 87

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.1.1. Ruido neutrónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1.2. Medida de los modos de vibración de los internos de un reactor . . 93

iv

ÍNDICE GENERAL

3.2. Evolución de la investigación precedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3. Ajustes de Breit-Wigner de señales in-core y ex-core . . . . . . . . . . . . . 101

3.3.1. Toma de datos en Ringhals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.3.2. Procesamiento de datos y ajuste no lineal . . . . . . . . . . . . . . 107

3.3.3. Resultados de las medidas ex-core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.3.4. Resultados de las medidas in-core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.3.5. Coherencia entre medidas in-core y ex-core . . . . . . . . . . . . . . 134

3.4. Breit-Wigner y álgebra de cuaterniones: una herramienta para el manteni-

miento predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.4.1. Índice global de vigilancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.4.2. Discusión de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.5. Conclusiones relativas al Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.6. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4. ANÁLISIS DE RUIDO APLICADO A SENSORES DE CENTRALES

NUCLEARES 149

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.1.1. El sensor capacitivo de presión y la línea sensora . . . . . . . . . . . 153

4.1.2. Modelo dinámico del sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156


4.3. Propuesta de un modelo de cuatro polos para los sensores de presión capa-

citivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

v

ÍNDICE GENERAL

4.3.1. Modelo de cuatro polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.3.2. Valores de las constantes del modelo de 4 polos . . . . . . . . . . . 173

4.3.3. PSD y longitud de la línea sensora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.3.4. Método de Monte-Carlo para la medida del tiempo de respuesta . . 178

4.4. Incertidumbre en la estimación del tiempo de respuesta . . . . . . . . . . . 185

4.4.1. Fuentes de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.4.2. Función modelo para el tiempo de respuesta . . . . . . . . . . . . . 187

4.4.3. Factor de cobertura para el tiempo de respuesta . . . . . . . . . . . 188

4.5. Obtención in situ del cuarto polo de un sensor de presión capacitivo tipo

Rosemount . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4.6. Modelo bilineal de un sensor de presión capacitivo para la detección del

síndrome de la pérdida de aceite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.6.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.6.2. Modelización del síndrome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.6.3. Resultados de la simulación del análisis de ruido . . . . . . . . . . . 215


4.8. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

III SISTEMAS NO LINEALES 225

5. LA TRANSFORMADADEHILBERT Y ELMANTENIMIENTO PRE-

DICTIVO 227

vi

ÍNDICE GENERAL

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.2. La transformada de Hilbert-Huang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

5.2.1. La descomposición en modos empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . 229


5.4. La transformada de Hilbert como herramienta para el control de calidad . 238

5.4.1. Estudio de un caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

5.4.2. Modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

5.4.3. Validación del modelo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

5.5. La transformada de Hilbert-Huang para caracterizar las palas de un aero-

generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

5.5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

5.5.2. Modos propios de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

5.5.3. Análisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

5.5.4. Estimación del rozamiento de los modos empíricos . . . . . . . . . . 256


5.7. Publicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6. CONCLUSIONES Y PUBLICACIONES 265

A. Álgebra de cuaterniones 275

B. Ajustes no lineales de las PSDs utilizando una fórmula de Breit-Wigner279

B.1. AJUSTES DEL PRIMER PERIODO: FEBRERO 2009 . . . . . . . . . . . 279

vii

ÍNDICE GENERAL

B.1.1. Señales de los detectores ex-core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

B.1.2. Señales de los detectores in-core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

B.2. AJUSTES DEL SEGUNDO PERIODO: MARZO 2009 . . . . . . . . . . . 322



B.3. AJUSTES DEL TERCER PERIODO: ABRIL 2009 . . . . . . . . . . . . . 364



C. INSTRUMENTACIÓNNUCLEARDE UN PWRDISEÑOWESTING-

HOUSE 395

C.1. Instrumentación intra-nuclear o in-core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

C.2. Instrumentación extra-nuclear o ex-core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

D. INSTRUMENTACIÓNNUCLEARDE LOS REACTORES TIPO BWR407

viii

Índice de guras

2.1. Lazo de un reactor PWR mostrando la ubicación de sus sensores. Tomado

de[57]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Ruido asociado a una señal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Representación esquemática de un proceso estocástico. . . . . . . . . . . . 19

2.4. Representación de una función de densidad gaussiana. . . . . . . . . . . . 22

2.5. Autocorrelación de un ruido blanco gaussiano. . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6. Esquema de un sistema que relaciona la señal de entrada x(t) con la de

salida y(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7. Ejemplo de una señal armónica continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.8. Ejemplo de una señal armónica discreta del tipo x[n] = Acos(ωn). . . . . . 30

2.9. Ejemplo de una delta de Dirac δ(t) continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.10. Ejemplo de una delta de Dirac δ[n] discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.11.Mapa complejo de estabilidad de polos en el plano s. . . . . . . . . . . . . . 37

2.12. Ejemplo de tres secuencias discretas con retardos entre ellas de un tiempo

de muestreo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

2.13. Región de convergencia de la transformada z. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.14. Representación gráca de los coecientes de la serie de Fourier. . . . . . . 46

2.15. Espectro de las resonancias de vibración de los internos de un PWR obte-

nidas a partir de una señal de un detector de neutrones ex-core. . . . . . . 51

2.16. Coherencia y fase entre una señal de temperatura del termopar de salida del

núcleo y un detector in-core de neutrones de un PWR de diseño Westinghouse. 53

2.17. PSD de una señal de un sensor de presión capacitivo y la obtenida con un

modelo autorregresivo con 20 coecientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.18. Criterio de Akaike para la señal cuya PSD está representada en la gura

2.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.19. Vista de los internos de un reactor PWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.20. PSD de los internos de un reactor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.21. Contorno cerrado con un punto singular en x0. . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.22. Descomposición del contorno C dado en la gura 2.21. . . . . . . . . . . . 65

2.23. Pulso de Cauchy para θ = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.24. Transformada de Hilbert del pulso de Cauchy para θ = 0, 5. . . . . . . . . . 68

2.25. Respuesta al impulso de un oscilador de Dung no lineal con ε = 5 . . . . 79

2.26. Respuesta al impulso de un oscilador armónico lineal. . . . . . . . . . . . . 80

2.27. Amplitud instantánea frente al tiempo de un oscilador de Dung con ε = 5

y de un oscilador lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.28. Frecuencia instantánea frente al tiempo de un oscilador de Dung con

ε = 5 y de un oscilador lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

x

ÍNDICE DE FIGURAS

2.29. Amplitud instantánea vs frecuencia instantánea para los casos lineal y no

lineal de un oscilador Dung con ε = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.30. Detalle de la amplitud instantánea vs frecuencia instantánea para los casos

lineal y no lineal de un oscilador de Dung con ε = 5. . . . . . . . . . . . 84

3.1. Esquema de una planta nuclear tipo PWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.2. Reactor Westinghouse PWR de cuatro lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3. Vista 3D y sección lateral de la vasija de un reactor PWR. . . . . . . . . . 90

3.4. Esquema de un detector de neutrones ex-core. . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.5. Esquema de un detector de neutrones in-core o cámara de sión. . . . . . . 93

3.6. PSDs en tres momentos del ciclo (febrero, marzo y abril) procedentes de

señales in-core (a) y ex-core (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.7. Ubicación de los detectores ex-core alrededor del núcleo en la central de

Ringhals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.8. Ubicación en el interior del núcleo del reactor 4 de Ringhals de los detec-

tores in-core cuyas medidas han sido analizadas. . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.9. Ejemplo de señal obtenida a través de un detector in-core móvil. Cada uno

de los picos corresponde al momento en el que el detector es desplazado

de una posición a la siguiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.10. Secuencia del procedimiento de ajuste. En (a) el ajuste se realiza hasta 4

Hz, en (b) hasta 9 Hz, y en (c) hasta 12 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

xi

ÍNDICE DE FIGURAS

3.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.11. PSDs de señales de detectores ex-core durante los tres periodos de medida.

Detector N41 superior (a), detector N43 superior (b) y detector N41 inferior

(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.12. Ajustes no lineales de los promedios de las PSDs de las señales de los

detectores superiores (a) e inferiores (b) correspondiente al mes de febrero. 116

3.13. Ajuste de la PSD de la señal procedente del detector N-44 superior. (To-

mada en febrero). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.14. (a) y (b) evolución de la frecuencia. (c) y (d) amplitud de los modos 1 y 2

para dos ciclos de combustible diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.15. PSDs obtenidas de las señales del detector in-core B en la posición 1(a) y

en todas las posiciones (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.16. PSDs obtenidas de las señales del detector in-core A en la posición 1 en

tres periodos diferentes(a) y del detector in-core E en la posición 3 en los

mismos periodos (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.17. PSD de la señal del detector B en la posición 6 y su ajuste no lineal de

Breit-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.18. PSD de la señal del detector C en la posición 3 y su ajuste no lineal de

Breit-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.19. PSD de la señal del detector A en la posición 4 y su ajuste no lineal de

Breit-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

xii

ÍNDICE DE FIGURAS

3.20. Perles de amplitudes obtenidos a través del ajuste no lineal de Breit-

Wigner de las PSDs de los detectores in-core A(a) C(b) y E(c) corres-

pondientes al Modo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.21. Axialmodo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.22. Coherencias entre el detector ex-core N41 superior y los detectores in-core

(d) y entre el detector ex-core N44 inferior y los detectores in-core (e) . . . 135

3.23. Vigilancia global de resonancias para el combustible (a) y el barrilete (b).

Los casos (c) y (d) recogen los resultados anteriores, haciendo que el factor

de asimetría B se considere nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.1. Ubicación de los principales sensores de presión, caudal y nivel en un lazo

de un PWR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.2. Medida del tiempo de respuesta de un sensor de presión a partir de una

rampa de presión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.3. Obtención de la respuesta del sensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.4. Tipos de medida de presión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.5. Módulo sensor de un transmisor de presión capacitivo tipo Rosemount. . . 155

4.6. Esquema de presiones al inicio (Pi) y al nal de la línea sensora (P0). . . . 157

4.7. Analogía eléctrica de la línea sensora y la membrana de aislamiento. . . . . 158

4.8. Diagrama de la línea sensora y la parte interna del sensor Rosemount. . . . 160

4.9. Analogía eléctrica de la línea sensora y la membrana de aislamiento. . . . . 161

xiii

ÍNDICE DE FIGURAS

4.10. Analogía eléctrica del sistema compuesto por la línea y el sensor nombrando

las intensidades de corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.11. PSD de una señal tomada en un experimento de laboratorio procedente de

un Rosemount . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.12. Analogía eléctrica propuesta para modelar el sensor acoplado a la línea

sensora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.13. Analogía eléctrica propuesta para modelar el sensor acoplado a la línea

sensora con las intensidades que recorren cada rama. . . . . . . . . . . . . 171

4.14. Detalle de la analogía eléctrica propuesta para modelar el sensor acoplado

a la línea sensora con las intensidades que recorren cada rama. . . . . . . . 172

4.15. PSD de la respuesta simulada del sistema sensor-línea y su ajuste por medio

de un modelo autorregresivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.16. PSDs de dos sensores acoplados a líneas sensoras cuyas longitudes son 6

y 17 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.17. Procedimiento seguido para obtener el tiempo de respuesta simulando la

excitación con ruido blanco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.18. Distribución estadística del tiempo de respuesta de un sensor acoplado a

una línea corta (10 m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.19. Distribuciones estadísticas de sensores acoplados a líneas de diferente lon-

gitud. (a) l = 31 m , τ = 0, 15 s y στ = 0, 05 s.(b) l = 65 m , τ = 0, 15 s

y στ = 0, 05 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

xiv

ÍNDICE DE FIGURAS

4.20. (a) Simulación de Monte-Carlo obtenida con n = 5 (Orden de Akaike) para

un sensor acoplado a una línea sensora corta (12 m). (b) Simulación de

Monte-Carlo con n = 5 (Orden de Akaike) para una línea sensora larga

(26 m). (c) Simulación de Monte-Carlo con n = 10 (Orden óptimo) para

una línea sensora corta (12 m). (b) Simulación de Monte-Carlo con n = 10

(Orden óptimo) para una línea sensora larga (26 m). . . . . . . . . . . . . 183

4.21. Función de probabilidad rectangular que sigue la incertidumbre tipo B aso-

ciada a la causa sistemática de elegir un número no óptimo de coecientes

autorregresivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.22. Señales registradas in situ de tres sensores de caudal tipo Rosemount ubi-

cados en un reactor PWR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4.23. Interface gráca de la herramienta sptool de Matlab para diseño de ltros. . 195

4.24. Interface gráca de la herramienta sptool de Matlab para diseño de ltros

donde se muestra la frecuencia de corte (Fc) y la frecuencia de muestreo

(Fs). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.25. Señal correspondiente al sensor 1(superior) y su correspondiente tras el

ltrado(inferior). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197


ltrado(superior). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198


ltrado(superior). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

xv

ÍNDICE DE FIGURAS

4.28. PSD de la señal procedente del sensor capacitivo de caudal número 1 y su

ajuste autorregresivo utilizando cuatro coecientes . . . . . . . . . . . . . . 200


ajuste autorregresivo utilizando cuatro coecientes. . . . . . . . . . . . . . . 201


ajuste autorregresivo utilizando cuatro coecientes. . . . . . . . . . . . . . . 202


ajuste autorregresivo utilizando seis coecientes. . . . . . . . . . . . . . . . 204





4.34. Ruido típico en el síndrome de pérdida de aceite. . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.35.Modelo físico simplicado del sensor de presión y su correspondiente eléctrico.213

4.36. Reducción de la varianza del ruido en función del cambio de capacidad

∆C/C1 = (C2 − C1)/C1 asociado a la presencia del síndrome. . . . . . . . 215

4.37. Aumento del sesgo del ruido en función del cambio de capacidad ∆C/C1 =

(C2 − C1)/C1 asociado a la presencia del síndrome. . . . . . . . . . . . . . 216

4.38. Tiempo de respuesta, calculado suponiendo linealidad, en funcion del cam-

bio de capacidad ∆C/C1 = (C2−C1)/C1 asociado a la presencia del síndrome.217

4.39. Índice ∆τ/τ en función del cambio de capacidad ∆C/C1 = (C2 − C1)/C1

asociado a la presencia del síndrome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

xvi

ÍNDICE DE FIGURAS

5.1. Señal inicial (a) y señal con las envolventes de los máximos y mínimos

locales y la media de éstas (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

5.2. Señal de partida x(t) y el residuo r1(t) obtenido tras calcular el primer

modo empírico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

5.3. Respuesta dinámica de una viga , sus modos empíricos y el residuo nal. . 234

5.4. Respuesta de un sensor de presión capacitivo tipo Rosemount 1153 deun

PWR que sufre el síndrome de la pérdida de aceite ante una entrada armónica.239

5.5. Backbones correspondientes a la respuesta de un sensor lineal ante una

entrada armónica y a la respuesta de un sensor no lineal averiado ante

una entrada armónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

5.6. Respuesta de un sensor de presión capacitivo tipo Rosemount 1153 de un

PWR que sufre el síndrome de la pérdida de aceite ante una entrada armónica.241

5.7. Backbones correspondientes a la respuesta de un sensor lineal ante una

entrada armónica y a la respuesta de un sensor no lineal averiado ante

una entrada armónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.8. Esquema sencillo de presiones inicial y nal en un sensor capacitivo tipo

Rosemount. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

5.9. Relación entre la presión y el volumen de la cámara interna de un sensor

no lineal, debido al síndrome de la pérdida de aceite. . . . . . . . . . . . . . 244

5.10. Backbones simuladas correspondientes a un modelo lineal del sensor (k = 0)

y a un modelo no lineal con k = 0, 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

xvii

ÍNDICE DE FIGURAS

5.11. Backbones simuladas correspondientes a un modelo lineal del sensor (k = 0)

y a un modelo no lineal con k = 0, 05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

5.12. PSD de las señales simuladas del sensor para un caso lineal (k = 0) y para

un caso no lineal con k = 0, 05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

5.13. Esquema del ensayo realizado para medir frecuencias en ap y en lag en

una pala de aerogenerador de 20 metros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.14. Respuesta al impulso de la pala de un aerogenerador de 20 metros. . . . . . 255

5.15. Espectro de Fourier de la respuesta al impulso representada en la gura 5.14.255

5.16.Modos empíricos y residuo de la señal de respuesta al impulso de una pala

de aerogenerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

5.17. Frecuencias instantáneas de los modos empíricos de la señal de respuesta

al impulso de una pala de aerogenerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

5.18. Rozamiento frente al tiempo de cada modo empírico de la respuesta al im-

pulso de una pala de aerogenerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

B.1. Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector ex-core N41 superior. . . . . . . 280




B.5. Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector ex-core N41 inferior. . . . . . . 284



xviii

ÍNDICE DE FIGURAS


B.9. Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detectores superiores ex-core. . . . . . . . 288

B.10.Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detectores inferiores ex-core. . . . . . . . 289

B.11.Ajuste no lineal de Breit-Wigner de los dos modos en torno a 7-8 Hz de los

detectores superiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290


detectores inferiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

B.13.Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector A, posición 1. . . . . . . . . . . 292






B.19.Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector B, posición 1. . . . . . . . . . . 298






B.25.Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector C, posición 1. . . . . . . . . . . 304



xix

ÍNDICE DE FIGURAS




B.31.Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector D, posición 1. . . . . . . . . . . 310






B.37.Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector E, posición 1. . . . . . . . . . . 316






B.43.Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector ex-core N41 superior. . . . . . . 322




B.47.Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector ex-core N41 inferior. . . . . . . 326



xx

ÍNDICE DE FIGURAS


B.51.Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detectores superiores ex-core. . . . . . . . 330





















xxi

ÍNDICE DE FIGURAS























xxii

ÍNDICE DE FIGURAS


B.93.Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detectores superiores ex-core. . . . . . . . 372





















xxiii

ÍNDICE DE FIGURAS




C.1. Disposición típica de la instrumentación nuclear en un PWR. . . . . . . . 400

C.2. Localización típica de los detectores de rango de potencia. . . . . . . . . . . 401

C.3. Sistema de instrumentación ex-core o extra-nuclear, detectores de neutrones

y rango de operación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

D.1. Rangos y solapes de la instrumentación nuclear de un BWR. . . . . . . . . 410

D.2. Situación relativa de la instrumentación nuclear en un BWR. . . . . . . . 411

xxiv

Índice de tablas

3.1. Identicación de las vibraciones registradas en las PSDs procedentes de las

señales de los detectores de neutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2. Lista de medidas in-core y ex-core realizadas en Febrebero, Marzo y Abril

de 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.3. Parámetros obtenidos del ajuste de las PSDs de las señales de tres detec-

tores ex-core correspondientes a febrero de 2009 . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.4. Datos de amplitud y frecuencia de los modos 1 y 2 correspondientes a las

fases 12 y 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.5. Parámetros obtenidos del ajuste de las PSDs de las señales de tres detec-

tores in-core en tres posiciones axiales diferentes . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.6. Cuaterniones adimensionales para la primera resonancia de los elementos

combustibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.7. Cuaterniones adimensionales para la resonancia del soporte del barrilete . 141

4.1. Clasicación de seguridad de los equipos de las plantas nucleares . . . . . . 151

xxv

4.2. Coecientes del denominador de la función de transferencia del sensor y la

línea sensora en función de los parámetros de la analogía eléctrica . . . . . 173

4.3. Valores de las constantes de la analogía eléctrica de 4 polos . . . . . . . . . 174

4.4. Descriptores estadísticos del tiempo de respuesta de sensores acoplados a

líneas de diferentes longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.5. Valores de tiempos de respuesta medios, desviaciones típicas y curtosis para

modelos autorregresivos de diferentes número de coecientes y longitud de

línea de 21 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4.6. Valores típicos de los parámetros del sensor y la línea sensora . . . . . . . 214

4.7. Coecientes AR: a+ corresponde al caso normal (C2 = 0) y a− corresponde

al caso de pérdida de aceite en el que C2/C1 = 2. Tiempo de muestreo 0,01 s.218

5.1. Diferentes modos de vibración de una viga dependiendo de la longitud de

la misma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Resumen

Para contribuir al diseño de un mantenimiento mecánico avanzado, se utilizan en esta

tesis las técnicas de análisis de ruido para monitorizar las vibraciones de los internos de

un reactor PWR y para vigilar la respuesta dinámica de los sensores de presión capaci-

tivos tipo Rosemount ampliamente utilizados en la industria, sobre todo en las plantas

nucleares. Para el primer caso, se han ajustado mediante un método no lineal de Breit-

Wigner los espectros de resonancias obtenidos por medio de las señales de detectores de

neutrones in-core y ex-core en tres periodos de tiempo distintos. El ajuste persigue como

objetivo una vigilancia avanzada de los parámetros de cada resonancia y una mejora en

la identicación de éstas. En este sentido, se propone un método basado en el álgebra de

cuaterniones para llevar a cabo una monitorización más sencilla. El segundo caso incluye

la propuesta de un nuevo modelo de cuatro polos (en vez de tres) para los sensores de

presión capacitivos y la búsqueda de éste en el ruido de salida registrado en los sensores.

Además, se incluye un modelo bilineal para detectar una avería muy extendida del sensor:

el síndrome de la pérdida de aceite. Por último, se realiza un análisis de señales no linea-

les correspondiente a un sensor a través de la transformada de Hilbert. A raíz de él, se

xxvii

establece un nuevo sistema de control de calidad del sensor basado en el análisis armónico

de Hilbert. En vista de este resultado, se aplica la transformada de Hilbert-Huang a otras

señales mecánicas para identicar parámetros de rozamiento.

Abstract

In oder to contribute to the design of an advanced mechanical maintenance, in this

thesis the noise analysis technique is used to monitor the vibrations of the internals of a

PWR reactor and to carry out the surveillance of the dynamical response of Rosemount

type capacitive pressure transmitters that are widely used in the industry, above all in

nuclear plants. For the rst case, the resonance spectrums obtained through the signals

coming from in-core and ex-core neutron detectors in three periods of time have been

tted using a non-linear method based on a Breit-Wigner formula. The tting pursues an

advanced surveillance of the parameters of each resonance and an improvement in their

identication. Moreover, a method based in the quaternion algebra is proposed so as to

achieve a simpler monitoring. The second case includes the proposal of a new model of

four poles (instead of three) for the capacitive pressure transmitters and the search of the

fourth pole in the output noise registered in the transmitters. Besides, a bilinear model is

outlined to detect a very spread out breakdown of the sensor, the oil loss syndrome. At

last, a sensor non-linear signal is analyzed using the Hilbert transform and due to this, a

new system for the quality control of the sensors based on harmonic Hilbert analysis is

xxix

established. At the sight of this result, the Hilbert Huang transform is applied to other

mechanical signals in order to indetify friction parameters.

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

El mantenimiento predictivo de maquinaria por medio del análisis de vibraciones es

uno de los paradigmas más conocidos y estudiados de la Ingeniería Mecánica, y que ade-

más ha servido de referencia en otros campos de la técnica. El desarrollo de técnicas de

medida requiere de inversión en equipamiento y la puesta a punto de las herramientas

matemáticas de tratamiento de los datos registrados. Sin embargo, la capacidad de aná-

lisis está muy determinada por la potencia de dichas herramientas. En esta tesis, por

mantenimiento avanzado se entiende el desarrollo de metodologías que permitan mejorar

los procedimientos ya establecidos o nuevas técnicas de tratamiento de señales que per-

mitan ir más allá de los análisis estandarizados, sin necesidad de una inversión adicional

en equipamiento; y a veces, sin necesidad siquiera de recoger nuevos registros in situ.

En relación al término I+D+i, el mantenimiento avanzado debería encuadrarse en la

innovación, ya que no crea los fundamentos básicos de las herramientas de tratamiento

(Investigación) y no requiere de la ejecución material de novedades técnicas en cuanto

a sensores y cadenas de registro (Desarrollo). En este último sentido, si el desarrollo

1

1. INTRODUCCIÓN

proporciona tecnología a partir de inversión económica, el mantenimiento avanzado, en

tanto que innovación, proporciona benecios económicos a partir de la aplicación del

conocimiento. También en esto se ve su diferencia con la Investigación básica, donde la

inversión da como resultado el acopio de conocimiento.

Los trabajos de la tesis se inscriben en el ámbito de las señales de medida mecánicas,

y pueden considerarse dentro de la Ingeniería Mecánica como continuadores del mante-

nimiento clásico por análisis de vibraciones. Sin embargo el nivel avanzado del manteni-

miento que se ha abordado, encuentra su aplicación natural en el ámbito de la operación

de las Centrales Nucleares, y desde ahí puede extenderse a otros campos que puedan de-

mandárselo. El mantenimiento de las centrales nucleares, dada la necesidad de precisión

y exactitud, y la dicultad de implantación en entorno hostil, aporta un campo de prueba

muy adecuado donde las nuevas ideas son bien recibidas como innovación, ya que éste

se traduce en mejoras de la seguridad de las plantas, optimización en la producción e,

incluso y más importante, en la posibilidad de aumentar el tiempo de operación.

Por tanto, se han realizado diferentes trabajos donde el avance en el mantenimiento

predictivo se centra en el análisis de las señales de medida de sistemas mecánicos. Dentro

del análisis de los sistemas mecánicos, la problemática es muy diferente según puedan

aplicarse técnicas lineales o no; por ello la tesis, después de exponer la fundamentación

teórica en el Capítulo 2, divide sus aportaciones en dos Partes: la primera dedicada a los

métodos lineales y la segunda a los no lineales.

La primera parte está compuesta por dos capítulos: Capítulo 3 y Capítulo 4. El primero

de éstos está dedicado al análisis de ruido neutrónico procedente de los detectores in-core

2

y ex-core, es decir, ubicados en el interior y exterior del núcleo respectivamente. Estos

detectores se utilizan normalmente para el cálculo de la potencia del reactor, no obstante,

sus registros pueden utilizarse para monitorizar las vibraciones de las partes mecánicas

internas del reactor tales como los elementos combustibles, el movimiento del barrilete, los

efectos termohidráulicos, etc. Las Densidades Espectrales de Potencia (PSDs) obtenidas

por medio del análisis de este ruido se han venido estudiando desde los años 80, y aunque

cada reactor es distinto, sus espectros tienen patrones semejantes.

En el Capítulo 3 se recogen los resultados de los análisis de más de 100 señales proce-

dentes de estos detectores ubicados en el reactor cuarto de la central sueca de Ringhals,

que corresponde a un reactor de agua a presión (PWR) diseño Westinghouse. El objetivo

de este análisis es la identicación de los modos de vibración interpretando ciertas zonas

del espectro obtenido a través de las señales tanto in-core como ex-core. Especialmente el

estudio se enfoca al movimiento del barrilete y a las vibraciones de los elementos combus-

tibles; así como al seguimiento de su evolución temporal, a través de la vigilancia de los

parámetros de las resonancias obtenidos por medio de un ajuste no lineal de Breit-Wigner.

Este trabajo se encuadra dentro de un proyecto de investigación fruto del acuerdo entre la

central de Ringhals y el Departamento de Ingeniería Nuclear de la Universidad de Chal-

mers en Göteborg, donde la autora realizó una estancia de doctorado bajo la dirección del

profesor Imre Pázsit. También, dentro del Capítulo 3 se incluye una aplicación del álge-

bra de cuaterniones para simplicar la monitorización conjunta de los cuatro parámetros

que caracterizan cada resonancia según la fórmula de Breit-Wigner: amplitud, frecuencia,

amortiguamiento y asimetría. Esta aplicación de los cuaterniones es especialmente útil

3

1. INTRODUCCIÓN

cuando deben vigilarse múltiples picos de resonancia y, además, se desea vigilar cómo

evoluciona no sólo la posición de los mismos, sino su amplitud y amortiguamiento.

En el Capítulo 4, que corresponde al segundo capítulo de la primera parte, se estudian

las aplicaciones del análisis de ruido para el mantenimiento predictivo de los sensores de

presión capacitivos. La respuesta dinámica de estos sensores se vigila por medio de la

medida de su tiempo de respuesta. Una de las técnicas más utilizada para medirlo in

situ es realizar el análisis de ruido de la señal de salida del sensor y obtener un modelo

autorregresivo que caracterice la dinámica del sensor. Esto se traduce en una serie de

coecientes que pueden emplearse para reproducir la respuesta del sensor ante cualquier

entrada. El tiempo de respuesta se mide como la respuesta ante una rampa de presión

simulada numéricamente. Este procedimiento implica realizar un modelo teórico previo

que describa el comportamiento dinámico del sistema sensor-línea y que pueda indicar

que parámetros deben vigilarse. En esta tesis se propone un nuevo modelo del sensor,

compuesto por cuatro polos (dos complejos conjugados y dos reales), ante la evidencia

empírica recogida en recientes estudios de que un solo polo real no es suciente. Una vez

se han simulado respuestas correspondientes a diferentes longitudes de la línea sensora, se

ha descubierto que la aplicación del criterio de Akaike para seleccionar el orden óptimo

del modelo autorregresivo conduce a errores de medida por falta de repetibilidad. Se ha

estudiado como evitarlo en la aplicación en planta aplicando un criterio de selección basado

en la curtosis de la distribución asociada a la repetibilidad de la medida. Se simula la

repetibilidad de la medición del tiempo de respuesta aplicando el método de Monte-Carlo

para determinar el error sistemático asociado a la medida en función de la longitud de la

4

línea sensora. En este sentido, se ha elaborado un procedimiento analítico para calcular

el nivel de conanza de la incertidumbre asociada a dicha medida. Además, se propone

un modelo bilineal para simular una avería típica del sensor, el síndrome de la pérdida de

aceite. Por último, debido a la evidencia empírica de que es necesario un cuarto polo para

describir la dinámica del sensor, se han analizado señales de planta procedentes de tres

sensores capacitivos y se ha conseguido obtener, a través de sus modelos autorregresivos,

el cuarto polo de cada sensor, así como los tiempos de respuesta asociados a los mismos.

En la última parte de la tesis, dedicada a la no linealidad, se hace referencia a los

sistemas que presentan salidas no lineales y se utilizan herramientas destinadas a detectar

y caracterizar la no linealidad, como la transformada de Hilbert o la transformada de

Hilbert-Huang. En el Capítulo 5 se introduce la transformada de Hilbert-Huang y se

especica a qué clase de señales se aplica. En cuanto a las aplicaciones desarrolladas en la

tesis, se incluye un trabajo basado en el uso de la transformada de Hilbert para controlar

el proceso de fabricación de los sensores de presión capacitivos. Si se registra la respuesta

de un sensor recién fabricado sometido a excitación sinusoidal, el análisis por medio de la

transformada de Hilbert permite detectar defectos en el llenado de la cámara de medida

con aceite de silicona, ya que, un llenado deciente se traduce en una falta de linealidad

en la respuesta. Por último, y como contrapartida al análisis global que se puede realizar

por medio de la transformada de Fourier, se aplica la transformada de Hilbert-Huang a

señales mecánicas provenientes de sistemas no lineales para conseguir un estudio local de

los diferentes modos empíricos de vibración, con objeto de estimar el rozamiento asociado

a los mismos. Como aplicación a un caso de estudio se presenta la dinámica del ensayo de

5

1. INTRODUCCIÓN

frecuencias de vibración de una pala de aerogenerador, reinterpretando los registros, ya

analizados con la transformada de Fourier aplicando ahora la descomposición en modos

empíricos de Hilbert-Huang.

En resumen, se han presentado avances en el mantenimiento; tanto en el campo de

los sistemas lineales, como en aquellos que dejan de serlo por avería o por una dinámica

intrínsecamente no lineal. En los casos lineales, las propuesta se han centrado en la mejora

y optimización de técnicas ya establecidas. Los resultados obtenidos tienen una gran

incidencia en la práctica, dada la amplia utilización que el análisis de señales de medida

mecánicas tiene actualmente.

La no linealidad, sin embargo, es una especicación que solamente indica que no

es posible aplicar las metodologías habituales (análisis de Fourier, vigilancia paramétrica,

etc.). Por ello, según sea la manera en que el sistema sea no lineal, el tipo de herramienta a

aplicar es muy distinto; siendo necesario entonces un desarrollo especíco para cada caso.

De ahí que en la tesis se hayan observado solamente aquellos problemas donde es aplicable

la transformada de Hilbert, tanto en la versión clásica como la empírica de Hilbert-Huang.

El trabajo desarrollado en este sentido, en vez de encaminarse a la mejora y optimización,

ha ido hacia la propuesta de nuevas técnicas de vigilancia de sistemas mecánicos sometidos

a vibración que, además, puedan aplicarse en el control de calidad de fabricación.

6

Parte I

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

7

Capítulo 2

FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE

VIBRACIONES ALEATORIAS

2.1. Introducción

El estudio de las vibraciones aleatorias y de los procesos estocásticos no es nuevo, hay

que remontarse a principios del siglo XX para encontrar los primeros estudios. De hecho,

fue Einstein, quien al realizar sus trabajos sobre el movimiento browniano, estableció un

marco para comprender la oscilación aleatoria de partículas suspendidas en un medio

uido [42][43]. Después de Einstein, se sucedieron varios trabajos para generalizar su

estudio del movimiento browniano [93]. No fue hasta 1930 cuando Wiener desarrolló el

concepto de Densidad Espectral de Potencia [125], tan usado hoy en día para describir en el

dominio de la frecuencia el contenido de una señal de un proceso estacionario estocástico.

La aportación de Wiener fue tan importante que estableció la relación entre la función

de autocorrelación y la Densidad Espectral de Potencia a través de la transformada de

9

2. FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE VIBRACIONES ALEATORIAS

Fourier. Un proceso estocástico se dividía de esta manera en un conjunto de infnitas

señales cuyas varianzas estaban vinculadas a una determinada banda de frecuencia. Pero

sin duda una de las aportaciones más notables es la que se ha denominado la armación

de Wiener,

Sxx(ω) = |H(ω)|2 Sww (2.1)

donde Sxx(ω) es la transformada de Fourier de la autocorrelación de la respuesta de un

sistema,|H(ω)| es el modulo de la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del

sistema y Sww la transformada de Fourier de la autocorrelación de la entrada.

Uno de los acontecimientos más importantes para la aplicación de la teoría de los

procesos estocásticos a la ingeniería mecánica se produjo en 1958 cuando Crandall organizó

un programa de verano dedicado a presentar los temas fundamentales de las vibraciones

aleatorias [93] al que le siguió otro de similares características en 1963 [34]. En estos

años la teoría de las vibraciones aleatorias se extendió a campos muy diversos, desde la

automoción, los vehículos espaciales e incluso el diseño de misiles. En casi todos los casos

las vibraciones eran una causa de fatiga y de fallo de componentes que debía vigilarse y

evitarse. Tal y como Crandall comenta en su libro Random Vibration [35], el estudio del

ruido, muy extendido en los circuitos de comunicación, pasa a ser un tema clave en la

ingeniería mecánica.

Otro de los campos donde el ruido merecía estudiarse fue en la ingeniería nuclear. Las

investigaciones llevadas a cabo en el reactor experimental del actual Oak Ridge National

Laboratory (ORNL) se dedicaban a la medida de las oscilaciones de los neutrones [38].

A mediados de siglo se pudo ver como a través del espectro de frecuencia de detectores

10

2.1. Introducción

de neutrones se podían identicar vibraciones anómalas de las barras de control. De

hecho, Moore a nales de los años 50 [85] ya estableció las bases para calcular la función

de transferencia del reactor a través del ruido neutrónico. De esta manera, el análisis

de señales aleatorias y concretamente del ruido neutrónico se convirtió en una potente

herramienta para el mantenimiento predictivo avanzado en las plantas nucleares.

Desde nales de los 50 hasta los 80 el avance de las técnicas de análisis de ruido

marcaron un antes y un después. A principios de los 60 Thie [115] estableció una serie de

métodos para estudiar el ruido, calcular su potencia espectral así como la utilización de

la desviación típica para propósitos de vigilancia. Los espectros de frecuencia procedentes

del ruido se estudiaban para calcular ciertos parámetros de la planta con la ventaja de

que el análisis de ruido no interrumpe la operación de la misma [130]. Pero sin duda, uno

de los campos de investigación más fructíferos desde aquellos años y que continúa hasta

la actualidad es la vigilancia del movimiento de los internos del reactor a partir del ruido

neutrónico procendente de detectores in-core y ex-core (interiores y exteriores al núcleo).

En los primeros trabajos,el movimiento del núcleo se ajustaba a la de un simple oscilador

armónico [116], mientras que en posteriores trabajos se utilizaron modelos estocásticos

más complicados basados en la fórmula de Breit-Wigner que facilitaban las tareas de

monitorización y vigilancia [128][100].

En este sentido, no se puede olvidar el tratamiento de las series temporales de ruido

ya sean de potencia, ujo en el interior del reactor, ujo del agua de alimentación del

núcleo, de presión, etc. Para ello se comenzaron a utilizar métodos como los modelos

autorregresivos (AR model) que sostienen que una serie temporal puede reconstruirse a

11


través de su historia anterior y de una serie de coecientes tal y como indica la ecuación

siguiente:

X(n) =M∑m=1

A(m)X(n−m) + Z(n) (2.2)

donde X(n) es la serie temporal, A(m) son los coecientes autorregresivos que multiplican

a los valores de la serie en instantes anteriores X(n−m) y Z(n) constituye un ruido blanco

de entrada al sistema no correlacionado con X(n). Teniendo en cuenta esta última ar-

mación se llega a la denominada ecuación de Yule-Walker que relaciona la autocorrelación

de la serie temporal C(l) con los coecientes autorregresivos:

C(l) =M∑m=1

A(m)C(l −m); l = 1, 2.....M (2.3)

De esta manera los coecientes autorregresivos son capaces de simular las respuestas diná-

micas de diferentes sistemas de la planta para vericar si se cumplían las especicaciones

dadas por las autoridades nucleares [119]. También surgió el modelo autorregresivo de

media móvil o ARMA(autoregressive moving average) en el que el ruido excitador en un

instante n también depende de sí mismo en instantes anteriores a través de unos coe-

cientes:

X(n) =M∑m=1

A(m)X(n−m) +B(m)Z(n−m) (2.4)

Una de las incógnitas a la hora de aplicar estos métodos era determinar el orden M . Así

en 1974 surgió el criterio de información de Akaike basado en la minimización de la en-

tropía [2]. La metodología basada en los modelos autorregresivos propició la investigación

también en España, concretamente en el Ciemat, donde se redactaron informes técnicos

explicando la metodología y su implementación informática [15]

12

2.1. Introducción

Los hallazgos y el interés en el diagnóstico de plantas era tan grande que se comenzaron

a organizar congresos para reunir a los expertos de la materia. En este sentido cabe citar

el SMORN o Specialist Meeting On Reactor Noise, cuya primera cita se produjo en 1975

y se celebra cada 4 años y el IMORN o Informal Meeting on Reactor Noise que ya ha

celebrado su edición 29 desde el año 1969 [121]. Ya en el año 1979 aparecieron los primeros

reviews en análisis de ruido [109]. Era necesario recopilar toda los avances producidos

hasta el momento, correlacionando la teoría estocática con la mecánica estadística y el

procesamiento de señales. El análisis de ruido era y sigue siendo una potente herramienta

para la seguridad de las plantas y la extensión de su vida útil, problema que tanto preocupa

hoy en día.

Los estudios a este respecto son muy variados y se han realizado en los últimos 30

años en muchos reactores, tanto comerciales como experimentales. Los objetivos de es-

tos trabajos estaban dirigidos principalmente a reconocer las frecuencias de resonancia

de los soportes del combustible del reactor, como por ejemplo en el reactor Sequoyah-1,

un reactor PWR de diseño Westinghouse de 1150-MW [113, 112]. Otros ejemplos son la

colaboración entre las centrales nucleares suecas y el departamento de ingeniería nuclear

de la Chalmers University of Technology de Göteborg[3, 104, 102]. En todos estos tra-

bajos, las mejoras en el ajuste de los espectros de resonancia tanto de detectores in-core

como ex-core han dado lugar a un progresivo entendimiento de las diferentes resonancias,

tanto su origen físico como su evolución con el quemado de combustible. Otros reactores

donde se han realizado similares trabajos de diagnóstico son: el reactor PWR de Bors-

sele(Holanda) [118, 39] en los reactores CANDU de Ontario Power Generation y Bruce

13


Power [54], en Corea (PWR) [96], o Laguna Verde en Méjico (BWR) [92]. En otro ca-

sos, como ocurrió en España, las investigaciones perseguían la mejora del mantenimiento

aunando los parámetros de la resonancia en un número único [51].

Otra de las vertientes fundamentales del análisis de ruido es su aplicación al mante-

nimiento de sensores en la planta. Presión, temperatura, caudal y otras variables deben

medirse adecuadamente para garantizar la seguridad. En la gura siguiente se muestra un

gráco de la ubicación de ciertos sensores en una central nuclear. Como se ha mencionado

Figura 2.1: Lazo de un reactor PWR mostrando la ubicación de sus sensores. Tomado

de[57].

antes, los métodos en el dominio del tiempo como los modelos AR y ARMA propiciaron

la mejora del mantenimiento y se aplicaron para el cálculo del tiempo de respuesta de sen-

14

2.1. Introducción

sores de temperatura [120]. Un poco más adelante Hashemian propuso las posibilidades

de conocer los diferentes sensores de la planta a través del estudio del ruido de proceso

excitador [68]. Todos estos avances se tradujeron en el encargo por parte de la Nuclear

Regulatory Comission de una serie de informes técnicos cuyos objetivos eran investigar

los procesos de envejecimiento, los tiempos de respuesta, las averías más comunes, así

como la comparación de diferentes fabricantes de los sensores de presión y temperatura

utilizados en la planta [26, 86, 67, 44, 33, 61, 60].

El ímpetu del análisis de ruido aplicado a la instrumentación también se dejó notar

en España. En el Ciemat se diseñaron unos termómetros gamma in-core para el Proyecto

Halden que además se podían utilizar para calcular la velocidad del caudal en el interior

del núcleo a través de la correlación cruzada entre las señales de dos sensores colocados

en el mismo eje vertical [14]. Por otro lado se exploraron técnicas en las que a través de la

Densidad Espectral de Potencia de un sensor de presión, se obtenía la autocorrelación y

con ella los coecientes autorregresivos para el cálculo del tiempo de respuesta [8]. No era

necesario de esta manera tener la propia señal de ruido para realizar el análisis, sino que

era suciente el gráco de la PSD obtenida en planta. Otro informe técnico de relevancia es

el realizado tras nalizar el proyecto VISSP de Vigilancia in Situ de Sensores de Presión

del Ciemat donde los datos de ruido de presión se apoyaban en un modelo teórico del

mismo basado en una analogía eléctrica [6]. Con este modelo se pudo calcular de una

manera analítica la expresión del tiempo de respuesta [123]. Así, más adelante, gracias a

los modelos teóricos realizados del sensor, se investigaron métodos para simular la línea

sensora acoplada a éste [80] y la manera de vigilar averías como el bloqueo de la línea

15


[81][57] o la presencia de burbujas en ésta[11]. También, el comportamiento no lineal

de los sensores asociados a ciertas averías han establecido otras líneas de investigación

encaminadas a construis modelos no lineales que sean útiles para el mantenimiento de

éstos [49, 22].

2.2. Ruido y señal

La palabra ruido se encuentra muy a menudo en nuestro vocabulario diario; "Qué

ruidoso es este sitio", "Deja de hacer ruido", "Sus declaraciones han producido mucho

ruido","Mucho ruido y pocas nueces", etc. Si se busca la palabra en el diccionario de la

Real Academia de la Lengua, se pueden ver varias acepciones, las tres primeras son:

1. Sonido inarticulado, por lo general desagradable.

2. Litigio, pendencia, pleito, alboroto o discordia.

3. Apariencia grande en las cosas que no tienen gran importancia.

Como se puede ver, la palabra ruido no tiene demasiada buena publicidad en nuestro

idioma, de hecho, la propia fonética de la palabra es hasta un poco desagradable.

El ruido se reere a algo cuya naturaleza no es determinista sino aleatoria, de carácter

estocástico. En el mundo del tratamiento de señales una perturbación aleatoria o esto-

cástica x(t) es aquella que no es previsible, es decir, es tal que su valor en un instante

cualquiera t no puede deducirse o preverse a partir de los valores que ha tomado en los

instantes anteriores [5, 4]. ¾Dónde puede aparecer el ruido? En toda señal siempre hay un

16

2.2. Ruido y señal

ruido asociado. De hecho, algunos autores hablan de éste como de una uctuación natu-

ral, inherente a cualquier proceso dinámico [59]. Así, si se registra una determinada señal,

una vez alcanzado el régimen permanente, la componente continua de ésta constituye la

señal en sí, mientras que la componente alterna constituye el ruido [58]. En la gura 2.2,

se muestra un ejemplo tomado de [57]. Por tanto, la señal proporciona una cantidad, un

Figura 2.2: Ruido asociado a una señal.

valor cuantitativo del proceso a estudiar, mientras que el ruido se concentra en el aspecto

cualitativo, en el cómo. En muchas ocasiones, el ratio señal-ruido se usa frecuentemente

como una medida del nivel de éste último [114]. Esta tesis, encuadrada en la ingeniería

mecánica aplicada a instalaciones nucleares se concentrará en el ruido registrado en el

17


reactor. De hecho, la propia naturaleza estocástica de las siones establece un contexto

muy adecuado para el análisis de ruido.

Así, se pueden clasicar los ruidos en el reactor de dos maneras distintas:

Clasicación según la fuente del ruido, normalmente referido a un proceso dentro

del reactor como el ruido neutrónico o ruido de ebullición.

Clasicación según la variable del sistema que contiene el ruido. En los reactores,

existe una gran cantidad de instrumentación que proporciona señales de ujo neu-

trónico, presión, caudal, temperatura, posición de las barras de control, etc [114].

En todos estos casos, el ruido de interés no debe confundirse con el ruido de fondo que

debe eliminarse adecuadamente a través de ltros.

Como se puede apreciar, el estudio del ruido puede proporcionar mucha información

de la dinámica de un proceso, de un sensor, en denitiva, de un sistema. No obstan-

te, debido a su carácter estocástico, existen varias disciplinas implicadas en su análisis;

estadística, probabilidad, teoría de sistemas, análisis armónico, etc. En los siguientes epí-

grafes se tratarán los aspectos fundamentales de éstas para su estudio y su aplicación al

mantenimiento en plantas.

2.3. Procesos estocásticos

En una planta nuclear, la componente de alterna de las señales procedentes de los sen-

sores, ya sean éstos de presión, temperatura, detectores de neutrones, etc, representan la

18


uctuaciones naturales(ruido) existentes como consecuencia del ujo de agua, del proceso

de sión, de las vibraciones de los compoenentes del sistema, etc. Si se desean registrar

todas las posibles uctuaciones que tienen lugar correspondientes a un determinado fenó-

meno, se obtendrá un conjunto de señales aleatorias que componen lo que se denomina un

proceso estocástico. Así, en la gura 2.3 se muestra el registro de varias señales aleatorias

y todas ellas, representan un proceso estocástico. Como se puede observar, existen dos

Figura 2.3: Representación esquemática de un proceso estocástico.

variables en el proceso para cada señal aleatoria x, por un lado el tiempo t, y por otro el

número de muestra ξ . Así pues, se tiene una familia de funciones, que son las diferentes

realizaciones del proceso estocástico[95]:

x(t, ξ)

La idea central en el concepto de proceso estocástico es que no sólo una única señal tempo-

ral describe el proceso sino que se necesita todo el conjunto(ensemble) para su completa

19


denición[35]. Además, es necesario mencionar que para una realización concreta ξi, la

expresión x(t, ξi) es una función del tiempo. Por otro lado, para un instante determinado

ti, x(ti, ξ) es una cantidad que depende de ξ, es decir, es una variable aleatoria[95]. Debido

a que existe un innito número de funciones x(t, ξ), es conveniente revisar los conceptos

de probabilidad para estimar las propiedades de las muestras de ruido.

El ruido presente en un reactor es estacionario lo que implica que los parámetros

de su modelo probabilístico, como la esperanza matemática, la varianza o la función de

densidad de probabilidad, son invariantes en el tiempo y por tanto en vez de referirnos

a p(x, t) (función de densidad de probabilidad) es suciente hablar de p(x). Además es

común encontrar procesos que son estacionarios y ergódicos. Por proceso ergódico se

entiende aquel en el que una de sus realizaciones contiene toda la información del conjunto

estadístico (ensemble).

2.3.1. Función de densidad de probabilidad

Si se desea saber, en una realización concreta, con qué frecuencia ocurre un determi-

nado valor de una uctuación aleatoria, se necesitará conocer el ratio entre el número de

veces que ocurre dicho valor y el número total de valores posibles que se pueden registrar.

p =número de veces que aparece el valor xnúmero total de valores registrados

(2.5)

Cuando se conocen todas las probabilidades de todos los posibles valores, se tiene la

denominada función de densidad de probabilidad p(x). No obstante, teniendo en cuenta

20


que un proceso estocástico depende del tiempo y de la muestra que se considere, se pueden

denir diferentes tipos de funciones de densidad de probabilidad. Así, se puede hablar de

la función de densidad de los posibles valores registrados para un cierto tiempo t1, es decir,

p(x(t1, ξ)) o de la función de densidad de probabilidad para obtener pares de valores en dos

instantes diferentes t1 y t2, es decir, p(x(t1, ξ), x(t2, ξ)). En este caso, se pueden considerar

funciones de densidad de probabilidad de primer orden, de segundo orden, etc. Una de

las funciones de probabilidad más usadas en estadística es la gaussiana o normal. El

teorema central del límite establece que cuando los resultados de un cierto experimento

son debidos a un conjunto de causas independientes que actáun sumando sus efectos,

siendo cada efecto individual de poca importancia respecto del conjunto, es esperable

que los resultados sigan una distribución normal[97]. En la gura 2.4 se representa dicha

distribución:

21


Figura 2.4: Representación de una función de densidad gaussiana.

Las variables µ y σ son la media y la desviación típica respectivamente y se explicarán

en los epígrafes siguientes.

No se puede olvidar dentro de las funciones de densidad de probabilidad, que el área

encerrada bajo ellas debe ser igual a la unidad, ya que dicha integral representa la proba-

bilidad de que ocurra alguno de entre todos los sucesos posibles.∫ ∞−∞

p(x)dx = 1 (2.6)

Si por el contrario, nos interesara calcular la probabilidad de que x se encuentre entre a

y b, la integral sería:

p(a < x < b) =

∫ b

a

p(x)dx (2.7)

En cualquier caso, la probabilidad siempre es un número positivo o nulo.

22


2.3.2. Esperanza Matemática

Si se tiene una variable aleatoria X que puede tomar un conjunto de M valores dis-

cretos xi con probabilidades p(xi), la esperanza matemática de dicha variable como su

propio nombre indica es su valor esperado que se denota por E[x] y es un número real

denido por[52]:

E[x] =M∑i=1

xip(xi) (2.8)

Es por tanto una suma ponderada de probabilidades y se representa, en el caso de una

variable aleatoria continua como:

E[x] =

∫ ∞−∞

xp(x)dx (2.9)

siendo p(x) la función de densidad de probabilidad.

Como se puede observar, la esperanza matemática también es el primer momento de

la función de densidad de probabilidad p(x) y en consecuencia es una medida del centro

de la función. Se conoce más a menudo como media de X y se representa por µ.

Sin embargo, para el caso de datos experimentales registrados a lo largo del tiempo,

la media se denota por[6, 114]:

µ = lımT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2xdt (2.10)

Por supuesto, como en la práctica no se pueden tener registros innitos, la media puede

estimarse de la siguiente manera:

x =1

N

N∑i=1

xi (2.11)

siendo N en esta expresión, el número total de observaciones.

23


2.3.3. Desviación típica

La desviación típica es una medida de la dispersión con respecto a la media de los

valores de la variable aleatoria o, en nuestro caso, de los diferentes valores que toma el

ruido. Desde un punto de vista discreto su expresión es:

σx =

√√√√ 1

N

N∑i=1

(xi − µ)2p(xi) (2.12)

Como se puede apreciar, al escribir la notación continua de la desviación típica y elevarla

al cuadrado, se obtiene la varianza que coincide con el momento de orden dos de la función

de densidad de probabilidad p(x)

σ2x =

∫ ∞−∞

(x− µ)2p(x)dx (2.13)

Se podría denir igualmente el momento de orden n de la siguiente manera:

mn =

∫ ∞−∞

(x− µ)np(x)dx (2.14)

Estos momentos que se acaban de denir son momentos centrales, ya que a cada x se le

resta la media µ.

Como se mencionaba anteriormente, debido a la imposibilidad de tener señales inni-

tas, la estimación de la varianza en la práctica se realiza como sigue:

s2 =1

N

N∑i=1

(xi − x)2 (2.15)

2.3.4. Autocorrelación y autocovarianza

Puesto que las muestras de ruido a tratar son aleatorias, será preciso medir de una

manera cuantitativa la similitud entre dos ruidos. Así, si se tienen dos procesos x(t) e y(t),

24


la medida cuantitativa de la dependencia estadística entre ambos en un cierto instante

t1 se calcula como el valor esperado del producto x1y1, siendo x1 = x(t1) e y1 = y(t1)

respectivamente. El producto x(t)y(t) es una variable aleatoria con cierta función de

densidad de probabilidad conjunta p[x(t)y(t)], por lo que:

E[xy] =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞xyp(x, y)dxdy (2.16)

En la práctica, los procesos son estacionarios y ergódicos, y se dispone de un registro nito

de longitud N , xii=1,...,N que representa una realización de x(t), y otra yii=1,...,N para

y(t). Entonces la esperanza se estima como:

E[xy] =1

N

N∑i=1

(xiyi) (2.17)

Si se desea calcular la dependencia entre el proceso x en el instante t, y el proceso y en el

instante t + τ . debería obtenerse la esperanza E[x(t)y(t + τ)]. Si se vuelven a considerar

registros de longitud nita, dicho valor esperado puede estimarse como:

E[x(t)y(t+ τ)] =1

N

N∑i=1

(xiyi+ τ∆t

) (2.18)

donde se ha supuesto que τ es múltiplo del tiempo de muestreo empleado para digitalizar

las realizaciones de los procesos, y que además:

yi+ τ∆t

= 0 siτ

∆t> N (2.19)

El tiempo total de registro de las señales, T , será T = N . Por tanto, si se calculara este

valor para τ = 1, τ = 2, hasta τ = N − 1, se obtendría una función de τ denominada

correlación cruzada. En general, dicha función se expresa como:

Rxy(τ) = lımT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2x(t)y(t+ τ)dt (2.20)

25


Como se mencionaba anteriormente, también se puede denir la autocorrelación, que sería

igual que (2.20) pero cambiando la función y por x:

Rxx(τ) = lımT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2x(t)x(t+ τ)dt (2.21)

Otra función que se puede denir en este contexto, es la autocovarianza, aunque es cierto

que en la nomenclatura del análisis de ruido y de la señal es mucho más común hablar de

correlación:

Cxx(τ) = lımT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2[x(t)− µ][x(t+ τ)− µ]dt (2.22)

Como se puede observar, la diferencia existente entre ambas funciones está en que en el

caso de la autocovarianza, a la señal se le resta su media. En muchas ocasiones se menciona

el denominado coeciente normalizado de correlación como:

ρxy =Cxyσxσy

(2.23)

que evidentemente puede ser también una función del desfase temporal τ . Puede demostrarse[88]

que este coeciente puede relacionarse tanto con la correlación como con la covarianza

cruzadas:

ρxy(τ)σxσy = Cxy(τ)

ρxy(τ)σxσy = Rxy(τ)− µxµy

(2.24)

La función de autocorrelación mide de una manera cuantitativa si en un instante determi-

nado la señal x(t) determina el valor de x(t+ τ), o, en el caso de dos señales distintas, si

existe una relación de causa y efecto entre ellas. Uno de los casos más sencillos llegados a

este punto, es el caso de la autocorrelación de un ruido blanco gaussiano, entendiendo por

26


tal aquel ruido cuya distribución de amplitudes es una gaussiana y cuya autocovarianza

es nula para τ > 0.

En la gura 2.5 se ha calculado la autocorrelación de una señal aleatoria gaussiana

creada a través del comando randn de Matlab. Como se observa, la función de autoco-

rrelación en este caso es una delta de Dirac1. El ruido sólo está correlacionado consigo

mismo para τ = 0.

Figura 2.5: Autocorrelación de un ruido blanco gaussiano.

1Véase el epígrafe 2.4.2 para la denición de delta de Dirac

27


2.4. Sistemas en el dominio del tiempo

Las señales estocásticas o deterministas son datos que se registran en el dominio del

tiempo. En estos epígrafes se van a establecer las bases para comprender los sistemas

lineales y las propiedades que los denen. Al nal de esta sección se llegará al concepto

de función de respuesta al impulso que permite realizar el análisis de los sistemas en el

dominio de la frecuencia.

2.4.1. Sistemas Linealas LTI

Un sistema es un conjunto de elementos en el que puede originarse un proceso consis-

tente en que a cada estímulo o entrada corresponde una salida o respuesta. Así, de esta

manera, se tiene una señal de entrada y una de salida que se relacionan entre sí mediante

la transformación que provoca el sistema.

Normalmente los sistemas se esquematizan a través de una caja negra que relaciona

la señal de entrada con la señal de salida. En la gura 2.6 se representa un esquema de

un sistema.

Figura 2.6: Esquema de un sistema que relaciona la señal de entrada x(t) con la de salida

y(t).

28


Los sistemas pueden ser discretos o continuos. Un sistema de tiempo continuo es aquel

en el que las señales de entrada y salida se expresan mediante funciones continuas del

tiempo. La notación utilizada en estos sistemas es la siguiente:

x(t)→ y(t) (2.25)

Una señal continua y armónica se representa de la siguiente manera:

Figura 2.7: Ejemplo de una señal armónica continua.

Por otro lado, un sistema de tiempo discreto es aquel en el que las señales de entrada

y salida se expresan a través de señales discretas y se simboliza de la siguiente manera:

x[n]→ y[n] (2.26)

Así, una señal armónica discreta del tipo x[n] = Acos(ωn) se representa tal y como se

muestra en la gutra 2.8

29


Figura 2.8: Ejemplo de una señal armónica discreta del tipo x[n] = Acos(ωn).

Es importante evaluar si los sistemas son lineales o no. Diremos que un sistema es

lineal si: siendo g1(t) la salida de un sistema cuya entrada es f1(t) y g2(t) la salida a una

entrada f2(t) del mismo sistema, y a1 y a2 dos constantes arbitrarias, entonces se cumple:

L[a1f1(t) + a2f2(t)] = a1L[f1(t)] + a2L[f2(t)] (2.27)

siendo L una transformación lineal[91]. En denitiva, se trata de cumplir el denominado

principio de superposición que consiste en: si una entrada consta de la suma ponderada

de varias señales, entonces la salida es la suma ponderada de las respuestas del sistema a

cada una de estas señales[94].

Otra de las propiedades a tener en cuenta en el estudio de sistemas es la invarianza

en el tiempo. Se dice que un sistema es invariante en el tiempo si un desplazamiento de la

30


señal de entrada causa un desplazamiento de la señal de salida. En concreto si y[n] es la

salida a una entrada x[n] , entonces y[n− n0] es la salida a una entrada x[n− n0] . Para

sistemas continuos diríamos que ante la entrada x(t) se obtiene la salida y(t) y, que por

tanto, ante la entrada x(t − t0) la respuesta correspondiente es y(t − t0) . Los sistemas

discretos o continuos que cumplen la invarianza en el tiempo y la linealidad se denominan

genéricamente Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo y se les denota con las letras

LTI ( Linear Time Invariant). Estos sistemas juegan un importante papel en el diseño

y análisis de sistemas ya que muchos procesos de la naturaleza se pueden modelar como

tales.

31


2.4.2. Función de respuesta al impulso

Existe una señal en el estudio de sistemas que es muy útil, se trata del impulso uni-

tario o delta de Dirac. Una delta de Dirac δ(t) se dene formalmente como aquella señal

que es nula en todo instante excepto en el instante cero, en que se hace innita, siendo∫ +∞−∞ δ(t)dt = 1. En la gura 2.9 se muestra un ejemplo de una δ(t).

Figura 2.9: Ejemplo de una delta de Dirac δ(t) continua.

En el caso de un sistema discreto, la representación se muestra en la gura 2.10:

Figura 2.10: Ejemplo de una delta de Dirac δ[n] discreta.

32


También se la puede denir a través de la denominada propiedad de la selección, tal

que: ∫ ∞−∞

x(t)δ(t− τ)dt = x(τ) (2.28)

Como se puede observar, la delta de Dirac selecciona un determinado valor de la

función x(t), en este caso x(τ), puesto que la delta está desplazada en t = τ .

Teniendo en cuenta la propiedad de la selección, la función impulso unitario nos per-

mite denir las señales como suma de impulsos. Así una señal continua x(t) se puede

expresar:

x(t) =

∫ ∞−∞

x(τ)δ(t− τ)dτ (2.29)

Por tanto, se puede pensar en x(t) como una "superposición"de impulsos ponderados y

desplazados , donde el peso en el impulso δ(t− τ) es x(τ)dτ [91]. Para el caso de una señal

discreta, la notación sería algo distinta:

x[n] =∞∑

−k=−∞

x[k]δ[n− k] (2.30)

Considerando esta última propiedad, se puede evaluar la respuesta de un sistema como

suma de las respuestas a impulsos unitarios. Supongamos que h(t) denota la respuesta

de un sistema lineal a un impulso unitario. Por tanto, teniendo en cuenta el principio

de superposición y la propiedad de selección, se puede expresar la respuesta y(t) de un

sistema a una entrada x(t) por la siguiente integral:

y(t) =

∫ ∞−∞

x(τ)h(t− τ)dτ (2.31)

33


Que para el caso de sistemas discretos se expresaría como sigue:

y[n] =∞∑

k=−∞

x[k]h[n− k] (2.32)

La ecuación 2.31 es la integral de convolución y representa un sistema LTI en términos

de su respuesta al impulso. La convolución de dos señales se indica de forma simbólica a

continuación:

y(t) = x(t) ∗ h(t) (2.33)

2.5. Sistemas en el dominio de la frecuencia

Hasta este momento se han visto los sistemas en el dominio del tiempo y se ha llegado

al concepto de función de respuesta al impulso que dene las características de un sistema

desde el punto de vista temporal. No obstante, el contenido frecuencial de las señales

es muy importante para conocer mejor los sistemas de los que derivan. Existen varias

herramientas que nos permiten pasar desde el dominio del tiempo al de la frecuencia

como son la transformada de Laplace y la transformada de Fourier. En los siguientes

epígrafes se explican ambas herramientas y se relacionan con los conceptos propios del

dominio temporal.

2.5.1. La transformada de Laplace

El método de la transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas

ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Mediante el uso de

la transformada de Laplace, es posible convertir muchas funciones comunes, tales como

34


las funciones senoidales o exponenciales en funciones de una variable s compleja[90]. La

transformada de Laplace de una función f(t) se dene de la siguiente manera:

L[f(t)] = F (s) =

∫ ∞0

e−stf(t)dt (2.34)

La variable compleja es s = σ + jω, donde σ y ω son las partes real e imaginaria

respectivamente. Se dice que la transformada de Laplace es una aplicación desde el dominio

del tiempo al de la frecuencia, pero en general es una aplicación desde un dominio a su

dominio inverso. La transformada inversa de Laplace se dene a continuación:

L−1[F (s)] = f(t) =

∫ ∞0

estF (s)ds (2.35)

Parece complicado evaluar la integral de inversión, de hecho, rara vez se utiliza para

encontrar f(t)[90]. La transformada de Laplace se utiliza para sistemas que poseen unas

condiciones iniciales nulas y por tanto nos interesa conocer el transitorio y el permanente.

De hecho los límites de la integral 2.34 nos indican que efectivamente el sistema parte del

reposo.

Existencia de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral converge. La

integral convergerá si f(t) es seccionalmente continua en cada intervalo nito en el rango

t > 0 y si es de orden exponencial conforme t tiende a innito. Se dice que una función

f(t) es de orden exponencial si existe una constante σc real positiva tal que la función:

e−σct |f(t)| (2.36)

35


tiende a cero conforme t tiende a innito. Si el límite de la función e−σt |f(t)| tiende a

cero para σ mayor que σc y el límite tiende a innito para σ menor que σc, el valor de σc

se denomina abscisa de convergencia. Por ejemplo, para la función Ae−αt:

lımt→∞

e−σt∣∣Ae−αt∣∣ (2.37)

tiende a cero si σ > −α. En este caso, la abcisa de convergencia es σc = α. La integral∫∞0e−stf(t)dt sólo converge si σ, la parte real de s, es mayor que la abscisa de convergencia

σc .Por tanto, debe elegirse el operador L de forma tal que la integral converja.

Función de transferencia

Una de las propiedades más importantes de la transformada de Laplace es que la trans-

formada de un producto de convolución es igual al producto de las transformadas. Esta

propiedad indica que si se aplica la transformada de Laplace al producto de convolución

dado en la ecuación 2.33 se obtiene:

L [y (t)] = L [x (t) ∗ h (t)] (2.38)

Si a continuación se tiene en cuenta dicha propiedad, se obtiene:

Y (s) = X (s) ·H (s) (2.39)

Como se puede observar la señal de entrada y salida en el dominio de la frecuencia

quedan relacionadas entre sí mediante una simple operación, evitando realizar la integral

2.31. El término H(s) correspondiente a la transformada de Laplace de la respuesta al

impulso del sistema se denomina función de transferencia. Por tanto, la salida del sistema

se puede obtener realizando la transformada inversa de Laplace de Y (s).

36


Análisis de estabilidad de H(s) en el plano complejo

Si se tiene una ecuación diferencial con coecientes constantes del tipo:

andny(t)

dtn+ an−1

dn−1y(t)

dtn−1+ ...+ a1

dy(t)

dt+ a0y(t) = x(t) (2.40)

Al realizar la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación, se puede obtener la

función de transferencia del sistema que es:

H(s) =Y (s)

X(s)=

1

ansn + an−1sn−1 + ...a1s1 + ao(2.41)

Como se puede apreciar se trata de una función racional en s.

Las raíces del denominador de la función de transferencia se denominan polos. Así, si

se tiene la función de transferencia dada por:

H(s) =1

s2 + 2s+ 5(2.42)

Sus polos se obtendrán calculando las raíces del denominador, que en este caso son:

s1 = −1 + 2j y s∗1 = −1 − 2j. Se pueden representar dichos polos en un diagrama

de Argand, tal que aquellos situados en el semiplano derecho darán lugar a un sistema

inestable, mientras que los situados en el izquierdo corresponden a un sistema estable. En

la gura 2.11 se han representado los polos s1 y s∗1 y la región de estabilidad

Figura 2.11: Mapa complejo de estabilidad de polos en el plano s.

37


2.5.2. La transformada de Laplace discreta: transformada z

La transformada z es la contrapartida de la transformada de Laplace para señales

discretas. Para entender la transformada z hay que tener en cuenta como convertir una

señal continua x(t) en una discreta x[n]:

x(t)→ x(n ·∆t)→ x[n] (2.43)

Así, la variable t queda dividida en n puntos separados un cierto intervalo de tiempo ∆t

denominado intervalo de muestreo. Por otro lado, la integral que dene la Transformada

de Laplace se cambiaría a un sumatorio tal y como sigue:

X(s) =

∫ ∞0

x(t)e−stdt→ X[z] =∞∑n=0

x[n]z−n (2.44)

lo que implica que la variable z es:

e−st = e−sn∆t = z−n → z = es∆t (2.45)

Operador retardo

Una de las propiedades fundamentales de la transformada z es el denominado operador

retardo. El operador retardo o z−1 indica que existe un periodo de muestreo de desfase.

Así, si la transformada z de x[n] es X(z), la transformada de la misma secuencia retardada

un periodo de muestreo es:

x[n]→ X(z) x[n− 1]→ z−1X(z) (2.46)

Veámoslo con un ejemplo numérico sencillo. Si se tiene la secuencia x[n]:

38


3,2,1,0,0,0,...

Su transformada z será:

X(z) = 3 + 2z−1 + 1z−2

Como se puede ver, el valor 3, al ser el primer valor, está multiplicado por z0, o lo que

es lo mismo, el desfase es 0, el siguiente valor, que se encuentra desfasado con respecto al

primero un tiempo de muestreo, vendrá multiplicado por z−1 y así sucesivamente con el

resto de valores. Por otro lado, como se mencionaba antes, la secuencia x[n−1] retardada

con respecto a x[n] un tiempo de muestreo tendrá la siguiente transformada z:

z−1X(z) = 3z−1 + 2z−2 + 1z−3

En la gura 2.12 se muestran tres señales x[n], x[n− 1] y x[n− 2].

39


Figura 2.12: Ejemplo de tres secuencias discretas con retardos entre ellas de un tiempo de

muestreo.

Función de transferencia

Cuando se tiene un sistema discreto y se desea calcular la respuesta, tal y como se ha

comentado antes, se debe calcular la convolución entre la función de respuesta al impulso

y la entrada:

y[n] = x[n] ∗ h[n] (2.47)

En el caso de la transformada z, la convolución se transforma en una multiplicación

de polinomios en z, de manera que la transformada z de la salida Y (z) se obtiene:

Y (z) = X[z]×H(z) (2.48)

donde H(z) es la transformada z de la secuencia de respuesta al impulso h[n].

40


Región de convergencia

Si se representa la variable z como una exponencial compleja se tiene:

z = rejΩ (2.49)

Así, en un diagrama de Argand, z es un número complejo cuyo módulo es r y su

ángulo es Ω . Como se mencionaba anteriormente, la región de estabilidad en el plano s

se encuentra en el semiplano izquierdo. Por tanto, un polo de una determinada función

de transferencia en s es del tipo:

s1 = −a± bj (2.50)

donde a y b son números reales positivos. Si se tiene en cuenta la relación existente entre

la variable s y z:

z = es∆t (2.51)

Por tanto, al tomar logaritmos se tiene:

ln(rejΩ) = s∆t (2.52)

Aplicando las propiedades de los logaritmos, la ecuación 2.52 queda convertida susti-

tuyendo s por un número complejo del semiplano izquierdo en lo que sigue:

ln(r) + jΩ = (−a± bj)∆t (2.53)

Si se igualan las partes reales y complejas separadamente se tiene:

ln(r) = −a ·∆t jΩ = ±bj ·∆t (2.54)

41


De la primera ecuación se puede ver, que dado que el periodo de muestreo ∆t es

siempre un número positivo, el logaritmo natural de r debe tener el mismo signo que la

parte real de s, es decir, negativo. Esto sólo puede ocurrir si r es menor o igual que 1. Por

tanto, la región de convergencia de los polos en la transformada z es el círculo unidad.

Figura 2.13: Región de convergencia de la transformada z.

Aplicación de la transformada z a las ecuaciones diferenciales

Es fácil reconocer las posibilidades de la transformada de Laplace para resolver ecua-

ciones diferenciales al transformar las derivadas de orden n en simples polinomios del

mismo orden. La transformada z tiene unas características muy similares pero aplicada

a las ecuaciones diferenciales discretas, es decir, en diferencias nitas. Así por ejemplo,

la función de transferencia en s que relacione la respuesta del sistema con la fuerza exci-

tadora de un oscilador armónico de masa m, rigidez k y amortiguación c es la siguiente:

md2y(t)

dt2+ c

dy(t)

dt+ ky(t) = x(t)→ H(s) =

Y (s)

X(s)=

1

ms2 + cs+ k(2.55)

42


No obstante, si la ecuación estuviera discretizada, es decir, en diferencias nitas, habría

que proceder de manera distinta. En primer lugar, hay que aproximar los términos de

derivada segunda y primera con los desarrollos en serie de Taylor:

y(t+ ∆t) = y(t) + ∆tdy

dt+

∆t2

2

d2y

dt2+ ...

y(t−∆t) = y(t)−∆tdy

dt+

∆t2

2

d2y

dt2+ ..

(2.56)

teniendo en cuenta esto, se obtiene que las derivadas primera y segunda son:

dy

dt=y(t+ ∆t)− y(t−∆t)

2∆t

d2y

dt2=y(t+ ∆t)− 2y(t) + y(t−∆t)

∆t2

(2.57)

De esta manera, se obtiene una aproximación de las derivadas que puede ser más o

menos exacta en función del número de términos que se empleen de la serie de Taylor. A

continuación, dado que se está trabajando con señales discretas, y(t) pasa a ser y[n], y

y(t + ∆t), y[n + 1]. Para abreviar la notación, a partir de ahora se escribirá yi en vez de

y[n] y por consiguiente, yi+1 e yi−1 para y(t+ ∆t) e y(t−∆t) respectivamente. Por tanto,

la aproximación de las derivadas queda de la siguiente manera:(dy

dt

)i

=yi+1 − yi−1

2∆t(d2y

dt2

)i

=yi+1 − 2yi + yi−1

∆t2

(2.58)

Una vez obtenidas estas aproximaciones, se puede sustituir en la ecuación diferencial,

que ahora quedaría convertida en una ecuación en diferencias nitas:

xi+1 = myi+1 − 2yi + yi−1

∆t2+ c

yi+1 − yi2∆t

+ κyi (2.59)

43


Se puede reordenar la ecuación de manera que la respuesta del sistema yi+1 quede en

función de los valores de y[n + 1] en instantes anteriores y del valor de la entrada en ese

momento xi+1:

yi+1 = a1yi+ a2yi−1 + κxi+1 (2.60)

o también

yi = a1yi− 1 + a2yi−2 + κxi (2.61)

Los coecientes a1 a2 y κ dependen de las propiedades intrínsecas del sistema, es decir,

de los valores de m, c y k. Hallando la transformada z a ambos lados de la ecuación:

X(z) = a1z−1X(z) + a2z

−2X(z) + κY (z) (2.62)

Finalmente, la función de transferencia del sistema en z queda:

H(z) =X(z)

Y (z)=

κ

1− a1z−1 − a2z−2(2.63)

2.5.3. La transformada de Fourier

La transformada de Fourier es una aplicación que al igual que la transformada de

Laplace transforma una función del tiempo en una función de la frecuencia. Se utiliza en

aquellos casos en los que las condiciones inciales se han olvidado, es decir para señales

estacionarias. En esta sección se llegará a la expresión de la transformada de Fourier una

vez revisado el concepto de serie de Fourier.

44


La serie de Fourier

El análisis en el dominio de la frecuencia implica, entre otras cosas, que toda función

periódica puede ser descompuesta en una serie de componentes armónicos. Así, una cierta

función x(t) de periodod T se puede escribir como una serie innita cuyos términos son:

x(t) = a0 + a1cos(2πt

T) + a2cos(

4πt

T) + ...+ b1sin(

2πt

T) + b2sin(

4πt

T) + ... (2.64)

o en notación más compacta

x(t) = a0 +∞∑k=1

akcos(2πkt

T) + bksin(

2πkt

T) (2.65)

donde cada uno de los coecientes ak y bk se obtienen por medio de las integrales siguientes:

a0 =1

T

∫ T/2

−T/2x(t)dt

ak =2

T

∫ T/2

−T/2x(t) cos

2πkt

Tdt k ≥ 1

bk =2

T

∫ T/2

−T/2x(t) sin

2πkt

Tdt k ≥ 1

(2.66)

Si se representan estos coecientes frente a la frecuencia, se obtiene la gura 2.14:

45


Figura 2.14: Representación gráca de los coecientes de la serie de Fourier.

Como se puede ver, la separación entre un punto y otro del eje de las abscisas es

∆ω = 2πT, siendo ωk = 2πk

T. Así, a medida que aumente el periodo de la función x(t), dicha

separación disminuye. En el caso límite, cuando T → ∞, la gráca de los coecientes se

convierte en una función continua dependiente de la frecuencia y, en consecuencia, ∆ω se

convierte en dω. Por otro lado, si se sustituye la ecuación 2.65 en 2.66 y se toma que el

coeciente a0 es nulo(x(t) tiene media nula), se obtiene:

x(t) =∞∑k=1

2

T

∫ T/2

−T/2x(t) cos

2πkt

Tdt

cos

2πkt

T+

+∞∑k=1

2

T

∫ T/2

−T/2x(t) sin

2πkt

Tdt

sin

2πkt

T

(2.67)

sustituyendo y expresando todo en función de ∆ω y ωk:

x(t) =∞∑k=1

∆ω

π

∫ T/2

−T/2x(t) cosωktdt

cosωkt+

+∞∑k=1

∆ω

π

∫ T/2

−T/2x(t) sinωktdt

sinωkt

(2.68)

como se decía anteriormente, para el caso en que T → ∞, entonces ∆ω → dω y los

46


sumatorios se transforman en integrales según:

x(t) =

∫ ∞ω=0

dω

π

∫ ∞−∞

x(t) cosωtdt

cosωt+

+∞∑ω=1

dω

π

∫ ∞−∞

x(t) sinωtdt

sinωt

si se toma

A(ω) =1

2π

∫ ∞−∞

x(t) cosωtdt

B(ω) =1

2π

∫ ∞−∞

x(t) sinωtdt

(2.69)

De esta manera, la función x(t) se puede expresar como:

x(t) = 2

∫ ∞0

A(ω) cosωtdω + 2

∫ ∞0

B(ω) sinωtdω (2.70)

La ecuación 2.70 es una representación de x(t) mediante una integral de Fourier o una

transformada inversa de Fourier

La transformada directa e inversa de Fourier

La fórmula de Euler es el recurso que nos permitirá llegar a la representación formal

de la transformada de Fourier. Se sabe que:

eiθ = cos θ + i sin θ (2.71)

Deniendo X(ω) como

X(ω) = A(ω)− iB(ω) (2.72)

47


se pueden reordenar las ecuaciones 2.69 resultando:

X(ω) =1

2π

∫ ∞−∞

x(t)(cosωt− i sinωt)dt

=1

2π

∫ ∞−∞

x(t)e−iωtdt

(2.73)

Esta es la expresión de la transformada de Fourier de la función x(t) y la transformada

inversa de dene como:

x(t) =

∫ ∞−∞

X(ω)e−iωtdω (2.74)

Condiciones de existencia de la transformada de Fourier

La existencia de la trasformada de Fourier para x(t) está denida por las condiciones

siguientes:

1. x(t) sea integrable absolutamente, es decir,

x(t) =

∫ ∞−∞

x(t)dt <∞ (2.75)

2. x(t) tenga un número nito de máximos y mínimos dentro de cualquier intervalo

nito.

3. x(t) tenga un número nito de discontinuidades dentro de cualquier intervalo nito.

Además, cada una de esas discontinuidades debe ser nita. (Condición de Dirichlet).

4. x(t)→ 0 cuando t→∞

Por lo tanto, las señales absolutamente integrables que son continuas o tienen varias dis-

continuidades tienen transformada de Fourier. Además, como ocurría con la transformada

48


de Laplace, la transformada de un producto de convolución de dos funciones es igual al

producto de las transformadas. Así, la transformada de Fourier de la respuesta de un

sistema será igual a:

Y (ω) = X(ω)H(ω) (2.76)

siendoX(ω) la transformada de Fourier de la entrada a un sistema yH(ω) la transformada

de Fourier de la función de respuesta al impulso de dicho sistema.

2.5.4. Procesamiento de señales de aleatorias: densidad espectral

Las señales aleatorias no cumplen los requisitos dados en la sección anterior para la

existencia de la transformada de Fourier, por tanto, será su autocorrelación ( o correlación

cruzada, en el caso de dos señales distintas) la que se someterá a un análisis de Fourier.

Así, la función de autocorrelación Rx(τ) cumplirá el requisito dado por la ecuación 2.75

y además, dado que los ruidos tienen media nula, puesto que la componente de continua

se ha eliminado, se cumple que su autocorrelación tienda a cero cuando τ →∞.

Así, a la transformada de Fourier de la autocorrelación se le denomina densidad es-

pectral de potencia (PSD)y se denota por:

Sx(ω) =1

2π

∫ ∞−∞

Rx(τ)e−iωτdτ (2.77)

La transformada inversa de la PSD, nos daría la autocorrelación:

Rx(τ) =

∫ ∞−∞

Sx(ω)eiωτdω (2.78)

49


Como se puede observar, para τ = 0, la autocorrelación, por su propia denición, es

la esperanza del valor cuadrático medio y en función de la PSD es:

Rx(τ = 0) =

∫ ∞−∞

Sx(ω)dω (2.79)

lo que implica que el área encerrada bajo la PSD es el valor cuadrático medio o varianza

del ruido x(t). La PSD muestra, para cada intervalo de frecuencia f + df ,la varianza

que tiene la componente del ruido en dicha banda de frecuencia. En la gura 2.15 se ha

representado la PSD de una señal de un detector ex-core de neutrones. En ella se muestran

las resonancias de vibración de los internos de un reactor de agua a presión (PWR).

50


Figura 2.15: Espectro de las resonancias de vibración de los internos de un PWR obtenidas

a partir de una señal de un detector de neutrones ex-core.

En el caso en el que se analice un ruido blanco, es decir, aquel cuya autocorrelación

sea una delta de Dirac ∆(t), al calcular la PSD, se obtiene un valor constante, lo que

signica que el ruido blanco abarca todas las frecuencias posibles. Siempre y cuando un

determinado ruido tenga un espectro continuo en las frecuencias que sean de interés,

diremos que es blanco. Cuando se excita a un sistema con un ruido blanco, al contener

éste todas las frecuencias, se puede caracterizar el sistema con el simple hecho de conocer

su respuesta. La teoría general de vibraciones y concretamente la armación de Wiener

dice:

Sy(ω) = |H(ω)|2 Sx(ω) (2.80)

51


Donde Sy(ω) es la PSD de la señal de salida, Sx(ω) la PSD de la de entrada y H(ω) la

función de transferencia. Así, sabiendo que la señal excitadora de un sistema es un ruido

blanco y, en consecuencia, que su PSD es constante, se tiene:

Sy(ω) = |H(ω)|2 S0 (2.81)

Como se puede observar, la densidad espectral de potencia de la salida es suciente para

encontrar la función de transferencia del sistema. Si en lugar de la autocorrelación, se

tiene la correlación cruzada de x e y, se puede obtener la Densidad Espectral Cruzada(

Cross Spectrum Density, CPSD) a través de la transformada de Fourier:

Sxy(ω) =1

2π

∫ ∞−∞

Rxy(τ)e−iωτdτ (2.82)

Descriptores espectrales: la Coherencia y la Fase

Cuando se tienen dos ruidos y se quiere saber la relación de causa efecto entre dos

magnitudes, se suele representar la denominada coherencia que se dene como:

γ2(ω) =|Sxy(ω)|2

Sx(ω)Sy(ω)(2.83)

Para cuanticar el retraso existente entre una señal y otra, es necesario calcular la fase

de la coherencia.Así por ejemplo, para saber si las oscilaciones en la temperatura producen

oscilaciones en la potencia, se puede calcular la coherencia entre la señal del termopar de

salida del núcleo y la de un detector in-core de neutrones. En la gura siguiente se muestra

la coherencia y la fase existentes entre amabas señales:

Se observa que la coherencia es mayor en la zona de baja frecuencia, concretamente

para f < 0,8Hz, lo que implica que existe una relación entre las uctuaciones de tempe-

52

2.6. Modelos Autorregresivos

Figura 2.16: Coherencia y fase entre una señal de temperatura del termopar de salida del

núcleo y un detector in-core de neutrones de un PWR de diseño Westinghouse.

ratura y las de potencia y que se producen para frecuencias pequeñas. Además, la zona

de alta coherencia coincide con una fase lineal, es decir, existe un retraso entre la señal

de temperatura y la de potencia.


Esta sección se podría haber incluido dentro de los sistemas en el dominio del tiempo,

ya que los modelos autorregresivos(AR) se encuentran en ese dominio. No obstante, se ha

53


preferido incluirlos en una sección diferente debido a su gran utilidad dentro del análisis

de ruido y a que también es necesario utilizar la información que nos proporcionan en el

dominio frecuencial.

Un sistema autorregresivo se representa de la siguiente manera2:

yi =n∑k=1

akyi−k + xi (2.84)

donde yi es la respuesta de un sistema en el instante i, yi−k es la respuesta del sistema en

instantes anteriores, ak son los denominados coecientes autorregresivos y xi es la entrada

del sistema. Así, con esta ecuación se pone de maniesto que la salida de un determinado

sistema puede ser conocida sabiendo la respuesta del sistema en instantes anteriores (yi−k),

una serie de coecientes y la propia entrada. Si la entrada es un ruido blanco, al multiplicar

la ecuación (2.84) miembro a miembro por yi−m y tomar el valor esperado, el término del

ruido blanco desaparece porque xi sólo está correlacionado consigo mismo en el instante

i y por tanto:

E[yiyi−m] =n∑k=1

akE[yi−kyi−m] (2.85)

al estimar los valores esperados empleando toda la muestra de N datos se obtiene:

1

N

N∑i=1

yiyi−m =n∑k=1

ak

(1

N

N∑i=1

yi−kyi−m

)(2.86)

que como se puede ver, se trata de esperanzas matemáticas de productos de señales en

2En el epígrafe 2.5.2 se vio como la aplicación de un esquema numérico a la ecuación diferencial de un

sistema dinámico conduce a un modelo autorregresivo. La ecuación (2.60) es un ejemplo de un modelo

autorregresivo de orden 2

54


instantes distintos, o sea, son autocorrelaciones:

Ci =n∑k=1

akCi−k i = 1, 2...N (2.87)

Esta expresión es la denominada ecuación de Yule-Walker y se escribe en forma ma-

tricial como:

C1

C2

...

Cm

=

C0 C1 . . . Cm−1

C1 C0 . . . Cm−2

......

......

Cm−1 Cm−2 . . . C0

·

a1

a2

...

am

que en forma abreviada es:

~C = P~a (2.88)

donde la matriz P , es simétrica y es una matriz de Toeplitz. Por tanto, multiplicando por

la inversa de P a ambos lados de 2.88, se obtienen los coecientes autorregresivos. Dichos

coecientes nos caracterizan el sistema que estemos estudiando y simplican considera-

blemente el análisis de sistemas discretos. Además, es posible conseguir por medio de ellos

la función de transferencia del sistema. En la sección de la transformada z, se detalló de

qué manera se puede obtener la función H(z) a través de una ecuación en diferencias

nitas. Una ecuación autorregresiva es equivalente a una ecuación en diferencias nitas

y por tanto, la función de transferencia se obtendría de manera equivalente quedando

55


nalmente:

H (f) =κ

1−n∑k=1

ake−j2πf∆t

(2.89)

Esto supone un importante aspecto para la aplicación de los modelos autorregresivos

en el mantenimiento industrial. Por un lado, la simplicidad matemática de los coecientes

facilitan las tareas de monitorización, y por otro, se puede comparar la PSD obtenida con

el modelo AR, con la que daría el análisis en frecuencia de una determinada señal. En la

gura 2.17 se muestra la PSD de un sensor de presión capacitivo con la obtenida a través

de los coecientes autorregresivos.

Figura 2.17: PSD de una señal de un sensor de presión capacitivo y la obtenida con un

modelo autorregresivo con 20 coecientes.

En este caso concreto, se ha utilizado un número muy alto de coecientes autorregre-

56

2.7. Ajuste de resonancias

sivos, no obstante para propósitos de vigilancia, habría que buscar el orden óptimo del

modelo. Existen varios criterios, pero sin duda el más utilizado es el denominado Criterio

de Información de Akaike (AIC)[2] que está basado en la minimización de la entropía y

se expresa como:

AIC = Nln(σν2) + 2n (2.90)

donde N es el número de datos de la señal o ruido,σ2ν es la varianza del ruido y n es el orden

del modelo. La varianza del ruido se calcula a través de los coecientes autorregresivos y

de los valores de la autocorrelación de la siguiente manera:

σ2ν = Co −

n∑i=1

aiCi (2.91)

Así, para diferentes valores de n, se tendrá un valor de AIC diferente y un valor de la

varianza del ruido distinto. Aquel valor de n que minimice AIC proporciona el orden

óptimo. En la gura 2.18 se muestra una representación de los valores de AIC para

diferentes órdenes del modelo. La señal bajo estudio es la misma cuya PSD se representó

en la gura 2.17.

Como se puede observar en la gura, si se escogiera el mínimo valor del criterio de

Akaike, prácticamente habría que quedarse con el orden 50, no obstante, se suele seguir

el principio de parsimonia y en este caso concreto, un orden 4 o 5 sería suciente.


Hasta este momento se ha tratado la naturaleza de las señales estocásticas, su pro-

cesamiento y análisis tanto en el tiempo como en la frecuencia. Gracias a los modelos

57


Figura 2.18: Criterio de Akaike para la señal cuya PSD está representada en la gura

2.17.

autorregresivos se han detallado las posibilidades de mantenimiento predictivo y vigilan-

cia que ofrecen los coecientes hallados por medio de dichos modelos. No obstante, aunque

a través de ellos sea posible determinar los polos de las funciones de transferencia de los

sistemas de la planta, los coecientes por sí mismos no tienen un signicado físico, o al

menos, no es trivial obtenerlo.

Por tanto, existen determinadas situaciones en las que ese problema puede solucionarse

y abordarse el tratamiento y el ajuste de la PSD de una manera diferente. En el marco del

mantenimiento predictivo en Centrales Nucleares al considerar el caso de los internos de un

reactor de agua a presión (PWR), se calcula la PSD de su señal de vibración obteniéndose,

en denitiva, un espectro de resonancias asociado a cada uno de los componentes. En la

58


gura 2.19 se representan de manera esquemática cada uno de estos elementos.

Figura 2.19: Vista de los internos de un reactor PWR.

En una PSD se pueden identicar las zonas de frecuencia de los elementos más im-

portantes, si bien es cierto, la identicación detallada es todavía una tarea de futuros

trabajos de investigación. En la gura 2.20 se señalan los intervalos de frecuencia y los

elementos que producen dicha vibración.

59


Figura 2.20: PSD de los internos de un reactor.

Toda vibración está caracterizada por una amplitud, un amortiguamiento y una fre-

cuencia. Así, cada una de las resonancias que se pueden ver en la gura 2.20 podrían

ajustarse a un modelo de oscilador armónico del tipo siguiente:

|x|2 =

∣∣∣∣ F0/m

−ω2 + 2jγω + ω20

∣∣∣∣2 (2.92)

No obstante, debido a que las resonancias se solapan entre sí, ajustar esta ecuación a

cada una de ellas puede resultar una tarea muy tediosa. A esto se le suma la dicultad

añadida de que normalmente las resonancias cabalgan sobre un fondo que depende de

60


la frecuencia. Por eso, existen otras fórmulas mucho más adecuadas y que se han venido

usando para el ajuste de las PSDs en diferentes momentos del ciclo. La más usada es

la fórmula de Breit-Wigner [100, 128, 129]que asigna a cada resonancia 4 parámetros; A,

amplitud, B, coeciente de asimetría, ν, la frecuencia amortiguada y µ el amortiguamien-

to. Así, para cada resonancia indicada con el subíndice λ, se tiene la siguiente expresión:

φ =

∑λ

µλAλ + (ω − νλ)Bλ

µ2λ + (ω − νλ)2

+µλAλ − (ω + νλ)Bλ

µ2λ + (ω + νλ)2

(2.93)

De esta manera, a medida que aumenta el ciclo, las resonancias se solapan y con el

parámetro B de asimetría se pueden discernir unas resonancias de otras. Como todos

los parámetros tienen un signicado físico y van asociados a una zona determinada del

espectro, la vigilancia parámetrica se simplica. Si el ajuste se hubiera realizado con un

modelo autorregresivo, se tendría un número elevado de coecientes cuyo signicado físico

es difícil de asignar. No obstante, a pesar de las ventajas de esta fórmula, el ajuste de

resonancias está basado en la experiencia, ya que es el propio analista el que tiene que

identicar el número de resonancias presentes para poder realizar el ajuste. Es por ello,

que la investigación del movimiento de los internos del reactor sigue estando en continua

mejora.

61


2.7.1. Justicación para el uso de la fórmula de Breit-Wigner en

resonancias mecánicas

La función de transferencia de un sistema que vibra y que posee una única resonancia se

expresa en el dominio s como un par de polos complejos conjugados p y p∗ respectivamente:

H(s) =A0

(s− p)(s− p∗)(2.94)

donde A0 es una constante relacionada con la amplitud de la resonancia. La correspon-

diente PSD para s = jω es:

PSD(ω) = |H(jω)|2 =A2

0

(|p|2 − ω2)2 + [2ωRe(p)]2(2.95)

Esta expresión es válida para todas las frecuencias, pero en la cercanía de una reso-

nancia se pude simplicar porque la ecuación 2.94 se puede escribir como:

H(s) ≈ A0

2jIm(p)(

1

s− p− 1

s− p∗) (2.96)

En una resonancia, si s está cerca de p, entonces debe estar alejado de p∗, porque

Re(p) << Im(p) y s = jω, así que el primer término en la ecuación 2.96 es mucho mayor

que el segundo. Despreciando el segundo término, la función de transferencia se aproxima

como sigue:

H(s)A0

2jIm(p)(

1

s− p) (2.97)

Por tanto, la PSD es:

PSD(ω) =A2

0

4Im2(p)

1

re2(p) + [ω − Im(p)]2(2.98)

62

2.8. La transformada de Hilbert

que es una fórmula, más simple que la ecuación 2.95 pero válida únicamente en la cer-

canía de la resonancia. Por tanto, la PSD de un sistema vibratorio con n resonancias se

representa por:

PSD(f) =n∑k=1

φ(f) +BGk (2.99)

donde BGk es el fondo, que se estima por medio de la representación gráca de la PSD

para cada resonancia, y φk la expresión de Breit-Wigner para la resonancia k. Cada

resonancia se caracteriza explicitamente por:

φk =Akµ

2k +Bk(fk − f)

µ2k + 4π2(f − fk)2

(2.100)

donde, como se ha mencionado anteriormente, para la resonancia k se tiene:

fk, frecuencia de la resonacia

Ak, amplitud

µk, amortiguamiento

Bk, factor de asimetría


La transformada de Hilbert de una función f(x) se dene como:

f (x0) =1

πP

∞∫−∞

f (x)

x− x0

dx (2.101)

donde P denota el valor principal de Cauchy y permite expandir el tipo de funciones

para las que la denición dada por (2.101) existe. Así, la integral se puede calcular de

63


forma simétrica en torno a x = x0 de la siguiente manera siguiendo la denición del valor

principal de Cauchy:

P

∞∫−∞

f (x)

x− x0

dx = lımε→0

x0−ε∫−∞

f (x)

x− x0

dx+

∞∫x0+ε

f (x)

x− x0

dx

(2.102)

La transformada de Hilbert se parece mucho a la integral de Cauchy en el campo

complejo:

f (z0) =1

2πj

∮C

f (z) dz

z − z0

(2.103)

donde C es cualquier curva cerrada del plano complejo que contenga al punto z = z0.

Figura 2.21: Contorno cerrado con un punto singular en x0.

Por tanto, para calcular una transformada de Hilbert, se pueden utilizar las propieda-

des de la variable compleja. Así, la integral a realizar en un contorno como el de la gura

2.21, sería la siguiente:

∮C

f (z) dz

z − x0

=

∫Γ

f (z) dz

z − x0

+ P

∫f (x) dx

x− x0

+

∫Ω

f (z) dz

z − x0

(2.104)

Los contornos vienen dibujados en la gura 2.22.

64


Figura 2.22: Descomposición del contorno C dado en la gura 2.21.

Hay que tener en cuenta que para resolver estas integrales hay que suponer que R

tiende a innito y que ε tiende a cero. Por tanto, las integrales son en realidad los siguientes

límites:

∮C

f (z) dz

z − x0

= lımR→∞

∫Γ

f (z) dz

z − x0

+ P

∫f (x) dx

x− x0

+ lımε→0

∫Ω

f (z) dz

z − x0

(2.105)

La integral en el lado izquierdo de la ecuación se puede resolver mediante el teorema

de los residuos; la primera del lado derecho, por el teorema de Jordan se hace cero, ya

que el radio tiende a innito; la segunda integral del valor principal de Cauchy, es la

transformada de Hilbert multiplicada por π ; y la última, se resuelve parametrizando el

contorno Ω mediante:

z − x0 = rejθ

dz = jrejθdθ

(2.106)

sustituyendo en 2.105, nos queda:

2πj

∑semiplanosuperior

res

(f (z)

z − x0

) = P

∫f (x) dz

x− x0

+ lımε→0

0∫π

f(x0 + rejθ

)jrejθdθ

rejθ(2.107)

En la última integral, en el límite, cuando ε tiende a cero, f(x0 +rejθ) = f(x0), por tanto,

65


si se despeja el valor principal:

P

∫f (x) dz

x− x0

= 2πj


res

(f (z)

z − x0

)−f (x0)

0∫π

jdθ (2.108)

y operando un poco

P

∫f (x) dz

x− x0

= 2πj


res

(f (z)

z − x0

)+f (x0)πj (2.109)

En denitiva, la integral del valor principal de Cauchy se puede expresar como:

P

∫f (x) dz

x− x0

= 2πj


res

(f (z)

z − x0

)+

1

2residuo en x0

(2.110)

Pongamos un ejemplo práctico de cómo calcular una transformada de Hilbert de una

función denominada pulso de Cauchy y de expresión h(t) = 1t2+θ2 donde θ es un parámetro

. Lo primero, como se va a utilizar la variable compleja para calcularla, se construye con

h(t) la siguiente función en z:

F (z) =1

(z2 + θ2) (z − t)=h (z)

z − t(2.111)

A continuación, se identican los polos de la función:

z1 = jθ z2 = −jθ z3 = t (2.112)

Para cada polo, se calculan los residuos:

Residuo en z = jθ → (z − jθ) · F (jθ) =1

2jθ (jθ − t)

Residuo en z = t→ (z − t) · F (t) =1

(θ2 + t2)

(2.113)

66


Para el polo en z = −jθ no se ha calculado el residuo ya que está dentro del semiplano

inferior tal y como se obtuvo en 2.110.

La transformada de Hilbert de h(t) queda de la siguiente manera:

h (t) =2πj

π

[1

2jθ (jθ − t)+

1

2

1

(θ2 + t2)

](2.114)

Si se opera,

h (t) =

[− (jθ + t)

θ (θ2 + t2)+j

θ

θ

(θ2 + t2)

]=

−tθ (θ2 + t2)

= −h (t)t

θ(2.115)

En las guras siguientes se representa el pulso de Cauchy para θ = 0, 5 y su transfor-

mada de Hilbert de acuerdo al resultado obtenido en (2.115).

Figura 2.23: Pulso de Cauchy para θ = 0, 5.

67


Figura 2.24: Transformada de Hilbert del pulso de Cauchy para θ = 0, 5.

2.8.1. Relación con la transformada de Laplace

La transformada de Laplace se dene como una aplicación que va desde un dominio

al dominio inverso, en el caso más común, del tiempo a la frecuencia y se dene como:

L [f (t) , s] =

∞∫0

f (t) e−stdt (2.116)

Si se aplica la doble transformada, se vuelve al dominio original. Veamos qué ocurre si se

transforma dos veces f(t):

L L [f (t) , s] , τ =

∞∫0

L [f (t) , s] e−sτds (2.117)

Como se puede ver, en la primera transformada se pasa del dominio del tiempo t al de s, y

en la segunda, se va desde s al dominio τ . Si se desarrolla la primera de las transformadas,

68


se tiene:

L L [f (t) , s] , τ =

∞∫s=0

∞∫t=0

f (t) e−ste−sτdsdt (2.118)

Primero se integra respecto a la variable s y empleando la notación LL para la doble

transformada, se obtiene:

L f (t) , τ =

∞∫t=0

f (t)

t+ τdt (2.119)

Esta integral se parece mucho a la transformada de Hilbert sólo que la variable t sólo se

extiende a valores positivos. Si se parte de un desarrollo numérico de la integral de Hilbert

como el que sigue:

f (t) =∆t

π

[...+

f (−2)

−2− t+f (−1)

−1− t+f (0)

−t+f (1)

1− t+f (2)

2− t+ ...

](2.120)

y se toma la mitad izquierda de la serie:

A =

∞∫0

f (−τ)

−τ − tdτ = −

∞∫0

f (−τ)

τ + tdτ = −LL [f (−τ) , t] (2.121)

ahora si se toma la mitad derecha:

B =

∞∫0

f (τ)

τ − tdτ = LL [f (τ) ,−t] (2.122)

resultando:

f (t) =1

π(A+B) =

1

π(LL [f (τ) ,−t]− LL [f (−τ) , t]) (2.123)

Así la transformada de Hilbert se expresa como una resta de dos transformadas dobles de

Laplace.

69


2.8.2. Relación con la transformada de Fourier

La transformada de Hilbert se determina fácilmente a través de la transformada de

Fourier que se denota por F (ω):

F (ω) =

∞∫−∞

f (t) e−jωtdt (2.124)

La transformada inversa de Fourier es:

f (t) =1

2π

∞∫−∞

F (ω) ejωtdω (2.125)

Así, la transformada inversa de la función f(t) = 1tes:

F (ω) =

∞∫−∞

1

te−jωtdω = −jπ sgn (ω) (2.126)

donde sgn(ω) es la función signo. Se puede, por tanto, considerar la transformada de

Hilbert como un producto de convolución:

h (t) = − 1

π

∞∫−∞

h (τ)1

t− τdτ = − 1

πh (t) ∗ 1

t(2.127)

Como se sabe que la transformada de la convolución de un producto es el producto de las

transformadas, se obtiene:

TF[h (t)

]= − 1

πTF [h (t)] ·TF

[1

t

]= − 1

πH (ω) [−jπ sgn (ω)] = j sgn (ω)H (ω) (2.128)

Si se realiza la transformada inversa:

h (t) =1

2π

∞∫−∞

j sgn (ω)H (ω) ejωtdω (2.129)

70


Como la transformada de Fourier es en general un número complejo con su parte real e

imaginaria tal que H(ω) = Re(H) + jIm(H), entonces:

si ω > 0→ j sgn (ω)H (ω) = − Im (H) + j Re (H)

si ω < 0→ j sgn (ω)H (ω) = Im (H)− j Re (H)

(2.130)

Por tanto, para calcular la transformada de Hilbert de una función h(t) primero se calcula

su transformada de Fourier, después las frecuencias positivas se multiplican por j, es decir,

se giran 90o, y a las negativas se les gira -90o. Por último, se calcula la transformada inversa

de Fourier.

Pongamos como ejemplo la transformada de Hilbert de las funciones seno y coseno.

Así, primeramente, se calculan sus transformadas de Fourier:

TF [cos (ω0t)] = π [δ (ω − ω0) + δ (ω + ω0)]

TF [sen (ω0t)] = jπ [δ (ω + ω0)− δ (ω − ω0)]

(2.131)

calculando ahora la transformada inversa y multiplicando por jsgn(ω) se tiene:

1

2π

∞∫−∞

j sgn (ω) π [δ (ω + ω0) + δ (ω − ω0)] ejωtdω =j

2

[−e−jω0t + ejω0t

] jj

= − sen (ω0t)

1

2π

∞∫−∞

j sgn (ω) jπ [δ (ω + ω0)− δ (ω − ω0)] ejωtdω = −1

2

[−e−jω0t − ejω0t

]= cos (ω0t)

(2.132)

Por tanto, las transformadas de Hilbert son:

H [cos (ω0t)] = − sen (ω0t)

H [sen (ω0t)] = cos (ω0t)

(2.133)

71


2.8.3. Propiedades

Para poder usar la transformada de Hilbert es necesario conocer alguna de sus pro-

piedades. En este epígrafe se explican algunas de sus propiedades desde el punto de vista

de las aplicaciones sin entrar demasiado en la demostración matemática.

Existencia

Puesto que la transformada de Hilbert requiere realizar una transformada directa e

inversa de Fourier, en principio todas aquellas funciones sobre las que se puede aplicar el

análisis de Fourier podrán transformarse mediante Hilbert. A nosotros nos interesa ana-

lizar con la transformada de Hilbert todas aquellas señales como las de los sismogramas,

cardiogramas, ruidos, uctuaciones térmicas, etc. que en la mayor parte de los casos, por

ser desarrollables en serie de Fourier, y en consecuencia, tendrán transformada de Hilbert.

Doble transformada

La doble transformada de una función h(t) es −h(t). Para demostrarlo, partamos de

la serie de Fourier de h(t):

h (t) =∞∑

k=−∞

hkejωkt (2.134)

La transformada de Hilbert de esta expresión es:

h (t) =∞∑

k=−∞

hkj sgn (ω) ejωkt (2.135)

72


y aplicando de nuevo la transformada de Hilbert:

ˆh (t) =

∞∑k=−∞

hkj sgn (ω) j sgn (ω) ejωkt = −h (t) (2.136)

Linealidad

De la propia denición de la transformada se deduce la linealidad.

Norma

Si h(t) es una función de cuadrado integrable también lo es su transformada de Hilbert,

y además:∞∫

−∞

h2 (t) dt =

∞∫−∞

h2 (t) dt (2.137)

Si se desarrolla en serie de Fourier, la integral del lado izquierdo de la ecuación se puede

expresar como:∞∫

−∞

h2 (t) dt =∞∑

k=−∞

|hk|2 (2.138)

Ortogonalidad

Una función y su transformada de Hilbert son ortogonales, es decir:

∞∫−∞

h (t) h (t) dt = 0 (2.139)

Para su demostración aprovecharemos que conocemos la transformada de Hilbert del

coseno y del seno y utilizaremos la serie de Fourier:

∞∫−∞

∞∑k=−∞

[ak cos (ωkt) + bksen (ωkt)]∞∑

n=−∞

[−ansen [ωnt) + bn cos (ωnt)]dt = 0 (2.140)

73


Teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad de las funciones trigonométricas,

para las integrales son nulas, resultando:

∞∑k=−∞

∞∫−∞

[akbk cos2 (ωkt)− akbk sen2 (ωkt)

]dt =

∞∑k=−∞

∞∫−∞

[akbk cos (2ωkt)] dt = 0 (2.141)

Transformada de una función constante

Si se tiene una función constante del estilo a h(t) = A, su serie de Fourier asociada es

h(t) = A cos(ωt) con ω = 0, la transformada de Fourier será −A sen(ωt) que es nula para

todos los instantes.

Funciones pares e impares

Si h(t) es una función par, entonces su transformada es impar y viceversa, si es impar,

su transformada es par. Esto se demuestra fácilmente ya que si una función es par, su

desarrollo en serie de Fourier sólo tendrá términos coseno, cuya transformada de Hilbert

son términos en seno que son funciones impares.

Transformada de la convolución

La transformada de Hilbert de la convolución de dos funciones es la convolución de

una de ellas con la transformada de Hilbert de la otra. En efecto, si h(t) es la convolución

de dos funciones:

h (t) = h1 (t) ∗ h2 (t) (2.142)

74


al realizar la transformada de Fourier, se tiene:

H(ω) = TF [h (t)] = TF [h1 (t) ∗ h2 (t)] = H1 (ω) ·H2 (ω) (2.143)

introduciendo el factor j(ω):

j(ω)H(ω) = [j(ω)H1(ω) ·H2(ω)(2.144)

y por último, se realiza la transformada inversa de Fourier:

h (t) = h1 (t) ∗ h2 (t) (2.145)

donde se comprueba, que la transformada de la convolución es la convolución de la trans-

formada de Hilbert de una de las funciones por la otra sin transformar.

Generalización del teorema de Parseval

Se cumple que:∞∫

−∞

h1 (t) · h2 (t) dt =

∞∫−∞

h1 (t) · h2 (t) dt (2.146)

Si se desarrollan ambas funciones en serie de Fourier compleja:

∞∫−∞

h1 (t) · h2 (t) dt =

∞∫−∞

∑k,n

h1kejωkt · h2ne

jωntdt =∑k,n

|h1kh2k| (2.147)

Realizando el producto de las transformadas de Hilbert de ambas funciones se tiene:

∞∫−∞

h1 (t) · h2 (t) dt =

∞∫−∞

∑k,n

h1kh2nejt(ωn+ωk)+j π

2(sgnωn+sgnωk)dt =

∑k

|h1kh2k| (2.148)

ya que los desfases ±π/2 no cambian el módulo.

75


Intercambio con la derivada

La transformada de la derivada es la derivada de la transformada. En efecto, partiendo:

h (t) =∑k

hkejtωk ; h (t) =

∑k

j sgn (ω)hkejtωk (2.149)

entonces la derivada respecto del tiempo es:

dh

dt=∑k

jωkhkejtωk (2.150)

transformando por Hilbert ambos miembros:

H

[dh

dt

]=∑k

jωkj sgn (ω)hkejtωk =

dh

dt(2.151)

Esta es una de las propiedades más interesantes pues permite aplicar la transformada a

ecuaciones diferenciales lineales. No obstante, el caso más interesante se encuentra en las

ecuaciones no lineales y para ello se necesita además la transformada de un producto de

funciones.

Transformada de un producto de funciones

La transformada de un producto de funciones es:

H [f · g] = f · g + f · g +H(f · g

)(2.152)

Comprobémoslo con un caso sencillo:

H [sen 2x] = cos 2x o H [sen 2x] = 2H [senx cosx] (2.153)

76


En la segunda ecuación se tiene un producto de funciones, si f = cosx y g = senx,

entonces:

2H [f · g] = cos 2x = cos2 x− sen2 x = f · g + f · g (2.154)

que en este caso:

H [f · g] = cos 2x = cos2 x− sen2 x = f · g + f · g −H [f · g] (2.155)

pero observamos en este caso que −H[f ] = H[f · g] , así pues se concluye que:

H [senx · cosx] = ˆsenx · cosx+ senx · ˆcosx+H [ ˆsen x · ˆcosx] (2.156)

2.8.4. Señal analítica: amplitud y fase instantáneas

La transformada de Hilbert permite denir el concepto de señal analítica. Sea x(t) una

señal, entonces, se dene su señal analítica como:

xa (t) = x (t) + jH [x (t)] = x (t) + jx (t) (2.157)

donde xa(t) es la señal analítica y x(t) la transformada de Hilbert de la señal x(t). La

señal analítica se puede expresar como:

xa (t) = A (t) ejφ(t) (2.158)

Donde A(t) es el módulo de xa(t) y se denomina amplitud instantánea y φ(t) es la fase

instantánea que se calcula a través de φ = tan−1 x(t)x(t)

. Por tanto para denir la frecuencia

instantánea ω(t), se opera de la siguiente manera:

ω (t) =dφ

dt(rad/s)→ f =

1

2π

dφ

dt(Hz) (2.159)

77


Así, para detectar la no linealidad de una determinada señal, se calculan su frecuencia

y amplitud instantáneas[25][72] y se representan en una gráca donde la frecuencia está

en eje de las abscisas y la amplitud en el de las ordenadas. Esta representación se deno-

mina columna vertebral o backbone en inglés. En un sistema lineal, la columna vertebral

suele consistir en una recta vertical, es decir, una única frecuencia que tiene varias am-

plitudes, como ocurre en la respuesta al impulso de un oscilador armónico amortiguado.

Sin embargo, cuando el sistema es no lineal, ya no existe una única frecuencia y la recta

vertical se curva. En el siguiente epígrafe, se va a ejemplicar el cálculo de las frecuencias

y amplitudes instantáneas mediante un oscilador no lineal de Dung.

2.8.5. Ejemplo de un sistema no lineal: Oscilador de Dung

Sea un oscilador de Dung con un término independiente no lineal tal y como se

muestra en la siguiente ecuación:

md2y

dt2+ c

dy

dt+ k

(1 + εy2

)y = 0 (2.160)

Donde m es la masa, c es el amortiguamiento y k la constante de rigidez. En la gura

2.25, se puede ver el aspecto de la respuesta al impulso para el caso de ε = 5:

78


Figura 2.25: Respuesta al impulso de un oscilador de Dung no lineal con ε = 5 .

La no linealidad se comprueba a través de las diferentes frecuencias que muestra la

oscilación. En torno a 2-4 segundos, el periodo de la oscilación es mucho más pequeño

que en el entorno de los 10 segundos. Por otro lado, si se compara con la respuesta lineal,

es decir, para un caso en que ε = 0, las oscilaciones mantienen la misma frecuencia a lo

largo de todo el intervalo temporal tal y como se observa en la gura 2.26.

79


Figura 2.26: Respuesta al impulso de un oscilador armónico lineal.

80


Realizando la transformada de Hilbert de la señal, se puede obtener, como ya se explicó

anteriormente, la frecuencia y la amplitud instantáneas. En las guras 2.27 y 2.28 se han

representado la amplitud y frecuencia instantáneas frente al tiempo de un oscilador lineal

y uno no lineal con ε = 5.

Figura 2.27: Amplitud instantánea frente al tiempo de un oscilador de Dung con ε = 5

y de un oscilador lineal.

81


Figura 2.28: Frecuencia instantánea frente al tiempo de un oscilador de Dung con ε = 5

y de un oscilador lineal.

En la gura 2.27 no se observa un gran diferencia entre el caso lineal y el no lineal. No

obstante, en la 2.28 correspondiente a las frecuencias instantáneas, se puede apreciar que

en el caso no lineal, al comienzo de la oscilación, hay frecuencias que doblan la frecuencia

natural del oscilador, en este caso, 0,5 Hz. A medida que nos acercamos a los 10 segundos,

ambas frecuencias se igualan. Estas representaciones no son sucientes para diagnosticar

de forma eciente la no linealidad de un sistema, por ello se utiliza muy a menudo la

representación backbone como se muestra en la gura 2.29.

Como ya se adelantó al hablar de las señales analíticas, la columna vertebral de un

82


Figura 2.29: Amplitud instantánea vs frecuencia instantánea para los casos lineal y no

lineal de un oscilador Dung con ε = 5.

83


oscilador armónico lineal es una línea vertical, lo que implica que la frecuencia de la

oscilación se mantiene constante aunque la amplitud cambie. Sin embargo, en el caso no

lineal la columna se curva hacia la derecha debido a la aparición de frecuencias más altas

al comienzo de la oscilación. En la gura 2.30 se puede ver una representación detallada

de la gura 2.29.

Figura 2.30: Detalle de la amplitud instantánea vs frecuencia instantánea para los casos

lineal y no lineal de un oscilador de Dung con ε = 5.

84

Parte II

SISTEMAS LINEALES

85

Capítulo 3

ANÁLISIS DE RUIDO NEUTRÓNICO

PARA MANTENIMIENTO DE

CENTRALES NUCLEARES

3.1. Introducción

En este capítulo se va a tratar la aplicación del análisis de ruido, concretamente del

ruido neutrónico en reactores de agua a presión (PWR), para el mantenimiento de los

internos del reactor. Un reactor nuclear es una planta industrial que aprovecha la energía

de la sión del uranio para producir energía eléctrica. En la gura 3.1 se muestra un

esquema sencillo de un reactor PWR:

87

3. ANÁLISIS DE RUIDO NEUTRÓNICO PARA MANTENIMIENTO DECENTRALES NUCLEARES

Figura 3.1: Esquema de una planta nuclear tipo PWR.

Un reactor PWR está compuesto por tres sistemas de refrigeración:

1. Sistema de refrigeración del reactor. Según el diseño, puede estar formado por

dos, tres o cuatro lazos (loops) unidos a la vasija. En la gura 3.2 se muestra un

diseño con cuatro. Cada uno de los lazos se compone de una bomba y de un generador

de vapor. El agua ligera se calienta a su paso por las barras de combustible y debido

a que la presión se mantiene con el presurizador, se evita el cambio de fase. Por

último va a al generador de vapor.

2. Sistema de refrigeración secundario. Incluye el circuito principal de vapor así

como el del agua de alimentación procedente del condenador.

3. Sistema de refrigeración del condensador. Se compone de un circuito por el

que uye agua procedente de una fuente externa (mar, río, lago, etc).

Nuestro objetivo de estudio se centra en la vasija del reactor y los modos de vibración

88

3.1. Introducción

Figura 3.2: Reactor Westinghouse PWR de cuatro lazos.

de sus componentes internos: núcleo, barras de combustible, barras de control, circuito de

agua, entre otros. En la gura 3.3 se muestra una vista 3D de la vasija y un corte lateral

con sus elementos más importantes.

3.1.1. Ruido neutrónico

Se entiende por ruido neutrónico las uctuaciones del ujo de neutrones presentes

en la vasija. Debido a que estas uctuaciones son inherentes al proceso de sión, su

medida no supone la interrupción en la operación. La medida de estas uctuaciones da

una información muy valiosa de la dinámica de los elementos estructurales del reactor.

Existen varias fuentes de ruido neutrónico que se explican a continuación brevemente:

1. Ruido a potencia zero: Se trata de las uctuaciones que tienen un origen mi-

89


Figura 3.3: Vista 3D y sección lateral de la vasija de un reactor PWR.

croscópico y que se producen a cualquier nivel de potencia. Son las únicas que se

registran para potencias muy bajas y son debidas a las reacciones en cadena y al

proceso de sión sin tener en cuenta ningún elemento estructural del reactor

2. Ruido inducido por la reactividad: Son uctuaciones macroscópicas del ujo

de neutrones debido a la uctuación de reactividad y pueden proceder de fuentes

mecánicas, hidráulicas o térmicas entre otras.

3. Ruido geométrico: Cambios en la geometría de los componentes del reactor que

a su vez se traduce en cambios en las uctuaciones del ujo neutrónico.

El ruido neutrónico se mide con detectores de neutrones. La instrumentación nuclear

es diferente en los reactores tipo PWR y en los BWR. De hecho, en estos últimos sólo

90

3.1. Introducción

existe instrumentación intra-nuclear, es decir, ubicada en el interior del reactor. En esta

tesis se han analizado señales procedentes de detectores de reactores PWR, por tanto,

la instrumentación nuclear de los reactores BWR no será objeto de estudio. Así, en los

reactores PWR existen dos tipos de detectores neutrónicos según su ubicación:

Ex-core: Se trata de detectores que se colocan en el exterior del núcleo. Suele haber

8 detectores, cuatro superiores y cuatro inferiores para el rango da potencia más alto.

In-core: Se trata de detectores ubicados en el interior del núcleo para la medida

del ujo neutrónico. Con esta medida se calcula la potencia del reactor ya que

ambas magnitudes son proporcionales. Son detectores móviles que se utilizan para

elaborar un perl axial del ujo neutrónico una vez al mes. Normalmente, existen

unas zonas en la placa de sujeción de los elementos combustibles que se reservan

para la instrumentación in-core. Dicha instrumentación, además de los detectores

de neutrones, incluye los termopares para la medida de temperatura del agua de

salida del núcleo.

Los detectores de neutrones ex-core miden los neutrones a través de pulsos de voltaje

que se producen por partículas cargadas que están en el interior del detector. Como los

neutrones no están cargados, para producirse ionización es necesario que los neutrones

den lugar a una reacción que produzca partículas cargadas y que éstas ionicen un gas que

se encuentre en el interior del detector[29]. Los pares iónicos producidos se recogen en los

electrodos del detector produciéndose una corriente eléctrica. A continuación se presenta

91


la reacción nuclear que tiene lugar en los detectores para producir los pares iónicos:

10n+ 10

5 B → 115 B → 7

3Li+ α + Energía (3.1)

En la gura 3.4 se muestra un esquema de un detector ex-core. Los detectores in-core

Figura 3.4: Esquema de un detector de neutrones ex-core.

tienen un principio de funcionamiento diferente. Se denominan cámaras de sión ya que

están compuestos por un material físil de manera que al incidir los neutrones sobre él,

se producen siones y, en consecuencia, los productos de éstas de alta energía ionizan un

gas, normalmente argón, que se ubica en el interior del detector[29]. Cuando el material

físil se agota el detector ya no puede medir más. En la gura 3.5 se muestra un esquema

del detector.

92

3.1. Introducción

Figura 3.5: Esquema de un detector de neutrones in-core o cámara de sión.

3.1.2. Medida de los modos de vibración de los internos de un

reactor

El ruido registrado por los detectores ex-core e in-core es procesado para identicar

los modos de vibración de cada uno de los elementos internos del reactor. Los espectros

obtenidos a partir de los registros de unos y otros son ligeramente distintos, ya que su

posición en el reactor es diferente. En primer lugar, los detectores in-core suelen registrar

el ruido durante menos tiempo, ya que al contener un material físil, éste se consume y

dejan de ser operativos. En consecuencia, la PSD in-core tien un perl menos denido

que la registrada por los detectores ex-core. En la gura 3.6 se muestran 6 PSDs, las de

la izquierda proceden de tres señales ex-core, y las de la derecha son tres señales in-core,

correspondientes a tres meses consecutivos de vigilancia.

93


Figura 3.6: PSDs en tres momentos del ciclo (febrero, marzo y abril) procedentes de

señales in-core (a) y ex-core (b).

Como se puede observar, los espectros son ligeramente diferentes dependiendo si se

trata de señales in-core o ex-core. Respecto al momento en el que fueron tomados, se

puede apreciar cómo en los tres meses considerados apenas existe diferencia, y las PSDs

prácticamente se solapan unas con otras.

El espectro de frecuencias se puede dividir en las zonas especicadas por la tabla

3.1.Es necesario mencionar que de todos los elementos, el que ha dado lugar a mayor

número de estudios y publicaciones es el movimiento del barrilete (Core Barrel Motion,

CBM). El barrilete está anclado a la parte superior de la vasija y vibra de dos maneras

diferentes: por un lado se tiene una vibración pendular en torno a los 8 Hz (Beam mode)

y un segundo modo en torno a los 20 Hz (Shell mode) que corresponde a un movimiento

extensional del barrilete que se traduce en una modicación de su diámetro.

94

3.2. Evolución de la investigación precedente

Frecuencia Elemento estructural

<1 Hz Vibraciones termohidráulicas

2-3 Hz Primer modo de vibración de elementos combustibles

6-7 Hz Segundo modo de vibración de elementos combustibles

8 Hz Primer modo de vibración del barrilete (Beam Mode)

12 Hz Escudo térmico

15 Hz Vasija

20 Hz Segundo modo de vibración del barrilete (Shell Mode)

Tabla 3.1: Identicación de las vibraciones registradas en las PSDs procedentes de las

señales de los detectores de neutrones


El mantenimiento predictivo de los internos del reactor se ha venido realizando desde de

los años 70. En el año 1975, Thie [116] estableció que se podía relacionar el movimiento del

barrilete del núcleo con la señal obtenida a través de los detectores de neutrones aplicando

la ecuación de un oscilador armónico simple. Así, la PSD de cada resonancia se puede

modelar por:

PSD(ω) =pico en f0

(ω20−ω2)2

4ζ2ω20

+ ω2

ω20

(3.2)

donde ζ es el ratio de amortiguamiento, ω0 es la frecuencia natural del sistema dada

por√k/m, m es la masa del barrilete y k la constante de rigidez del resorte asociado. Por

95


tanto, existen tres parámetros asociados a cada resonancia. Además, es posible obtener la

amplitud media del barrilete como:

RMS =π

2∆f × pico (3.3)

donde ∆f = 2ζf0 y se obtiene como la anchura del pico a media altura y picoPSD es la

amplitud de la resonancia.

Durante estos años surgieron otros trabajos encaminados a identicar las resonancias

de las diferentes PSDs de diversas Centrales. Así en la central de Stade, en Alemania, se

realizó un estudio mecánico del movimiento del reactor [16]. Se establecieron dos direc-

ciones preferentes, una pendular y otra vertical. En Holanda, en la central de Borselle, las

medidas de los detectores in-core y ex-core se utilizaron para identicar las resonancias

y establecer una relación entre éstas, la concentración de boro y el momento del ciclo

[39]. También surgieron otros trabajos relacionados con la identicación y monitorización

de las vibraciones de los internos en las centrales francesas [18]. Cada central tenía un

espectro con unas características propias, aunque en general, las bandas de frecuencia

vinculadas a cada elemento estructural eran muy similares. Por ello, Thie, en el capítulo

9 de su libro sobre ruido en el reactor [114] ya estableció ciertas bases para conocer las

propiedades mecánicas de los internos. Por un lado, describió la existencia de dos tipos

de movimientos del barrilete: uno pendular (Beam mode) y otro que produce cambios en

la forma del mismo (Shell mode). Dado que el barrilete está anclado a la vasija desde su

parte superior, el paso del refrigerante produce el movimiento pendular que a su vez será

el causante de la vibración de los elementos combustibles, de los detectores de neutrones

96


in-core o de las barras de control. Respecto al segundo modo de vibración, la causa de

vibración se establece en la frecuencia fundamental de revolución de las bombas.

A continuación se publicaron trabajos para comprender los modos de vibración de

los elementos combustibles. En [113], Sweeney y Renier del Laboratorio Nacional de Oak

Ridge comprobaron que existía un aumento de la amplitud de la PSD procedente de los

detectores ex-core en torno a los 2-4 Hz(modo 1 de los elementos combustibles) a lo largo

de un ciclo, al aumentar el quemado y disminuir la concentración de boro. No obstante

se estableció que, tras corregir la señal del detector, las amplitudes de vibración de los

elementos combustibles no se veían afectadas por tales cambios a lo largo del ciclo.

Otro trabajo de interés es el realizado en el reactor Sequoya-1 [111], ya que comparó

medidas ex-core de dos ciclos distintos e in-core a lo largo de un ciclo. Entre las observa-

ciones a recalcar se encuentran: el aumento de la amplitud de la PSD a lo largo del ciclo

y su disminución tras la recarga de combustible; la detección de un pico ancho en torno

a los 8 Hz que probablemente englobe el movimiento del barrilete y el segundo modo del

combustible, y por último, se manifestó la dicultad de calcular el factor de escala que

traduce el ruido a vibraciones estructurales de cada elemento interno.

Un trabajo de gran relevancia dado su potencial de cara a la vigilancia de los internos

es la utilización de la fórmula de Breit-Wigner para el ajuste de la PSD [128]. A este

trabajo le siguieron otros donde se ponía en práctica el nuevo método de ajuste [100, 126].

De esta manera, cada resonancia viene caracterizada por cuatro parámetros que no sólo

tienen en cuenta las propiedades mecánicas de los elementos estructurales, sino también el

momento del ciclo de combustible y en consecuencia, el porcentaje de solapamiento entre

97


unas resonancias y otras. Dichos parámetros son:

Amplitud, Aλ

Frecuencia, νλ

Amortiguamiento, µλ

Asimetría, Bλ

La fórmula de Breit-Wigner es:

φ(ω) =∑λ

µλAλ + (ω − νλ)Bλ

µ2λ + (ω − νλ)2

+µλAλ − (ω + νλ)Bλ

µ2λ + (ω + νλ)2

(3.4)

Esta fórmula permite hacer un ajuste no lineal directo de la PSD y caracterizar cada

resonancia con cuatro parámetros con signicado físico.

Durante los años siguientes siguieron muchas publicaciones donde se explicaban méto-

dos para la mejora de la traducción del ruido a una vibración estructural y se aumentaba

de esta manera la base de datos de espectros de resonancias procedentes de cada planta

nuclear [111, 36, 112, 131, 17, 79]. La tarea de identicación de las resonancias era y es

difícil y cada planta tiene sus propias idiosincrasias.

En 1991, durante el SMORN VI celebrado en Gatlinburg (EE.UU.) se reservó una

sesión bajo el título Monitorización y vigilancia del movimiento de las estructuras de los

PWR y BWR donde se exponían los resultados concernientes al movimiento del barrilete

y de los internos de plantas de Argentina[98], Checoslovaquia [122], EEUU [126, 24] [99],

Hungría [70] y Francia [117].

98


Desde estos años a la actualidad se han seguido realizando mejoras en este campo.

Por ejemplo, también existen trabajos donde, además del movimiento de los internos, era

importante conocer la velocidad del refrigerante a su paso por el reactor[62].

Sin duda, de los estudios más notables en seguimiento, monitorización y mejora conti-

nua de ésta, es el caso del trabajo conjunto realizado entre la universidad de Chalmers y el

reactor Ringhals de Suecia. En 1999 Pázsit [104]explicaba parte de los avances obtenidos

en años anteriores, de donde se destaca el modelo k−α que tiene en cuenta la disposición

de los detectores ex-core alrededor del núcleo y la física de reactores para identicar más

ecientemente cada componente del ruido neutrónico. Otros trabajos que han examinado

las posibilidades que ofrecen los detectores in-core y su ubicación preferente es [3] donde

se recomienda que se coloquen en la periferia del núcleo y en un único cuadrante si sólo se

dispone de unos pocos. También se destaca entre otros [54, 78, 96, 108] donde se examinan

nuevos datos de plantas nucleares en Canadá, Ucrania, Korea y Alemania.

Más recientemente cabe destacar nuevos informes técnicos de las medidas tomadas

en Ringhals [102]. En la fase 12 de este proyecto de diagnóstico de reactores se pone

en práctica un nuevo algoritmo de ajuste de las PSDs procedentes de los detectores

ex-core basado en la fórmula de Breit-Wigner. El ajuste permite la identicación de las

resonancias y se realiza hasta una frecuencia de 10 Hz. Además se realizan perles axiales

de amplitudes de vibración obtenidos de medidas in-core. No obstante, el ajuste de las

medidas in-core con la fórmula de Breit-Wigner no pudo llevarse a cabo y los resultados se

basan en una inspección visual. Así, la fase 13 de este proyecto [103] en la que la autora de

esta tesis estuvo participando, puso en práctica el algoritmo de ajuste a todo el espectro

99


de resonancias ex-core e in-core. Se realizaron nuevos perles axiales de amplitudes de

vibración y se conrmó que existían dos frecuencias de vibración en torno a los 8 Hz:

una de amplitud constante en el tiempo, posiblemente relacionada con el Beam mode; y

una de amplitud creciente relacionada con el segundo modo de vibración de los elementos

combustibles. Por último, hay que destacar, que pese a las ventajas que brinda la fórmula

de Breit-Wigner para el mantenimiento predictivo de los internos, la dicultad del ajuste

es considerable, ya que requiere mucha experiencia y en la mayoría de los casos, el número

de resonancias a ajustar es muy elevado y desconocido. Además, un seguimiento de las

resonancias a lo largo de un ciclo supone muchas medidas y muchos parámetros que

monitorizar.

100

3.3. Ajustes de Breit-Wigner de señales in-core y ex-core

3.3. Ajustes de Breit-Wigner de señales in-core y ex-

core

El trabajo que se presenta en esta sección fue realizado por la autora de la presente

tesis en la Universidad de Chalmers en Göteborg dentro del Departamento de Ingeniería

Nuclear bajo la dirección del Dr. Imre Pászit. Se encuadra dentro de un proyecto de

investigación entre dicho departamento y la Central nuclear de Ringhals gestionada por

la empresa Vatenfall. Dicho proyecto, que actualmente se encuentra en su fase 13, es fruto

de la colaboración entre el equipo de investigación del Dr. Pázsit y la central nuclear para

la mejora continua del mantenimiento y el diagnóstico de la misma.

En la fase anterior (fase 12)[102], en lo que se reere a la monitorización de los internos

del reactor, y más concretamente, al diagnóstico del movimiento del barrilete, se puso en

funcionamiento un algoritmo basado en la fórmula de Breit-Wigner y programado en

Matlab para el ajuste de las PSDs procedentes de señales ex-core. El ajuste se realizó

hasta los 10 Hz, ya que la zona de interés se encuentra en torno a los 8 Hz. Los resultados

indicaron que en torno a esta zona del espectro(beam mode) existen dos resonancias: Modo

1, en torno a los 7 Hz y el Modo 2, en torno a los 8 Hz. Además, dado que se tomaron tres

medidas correspondientes a tres momentos de un mismo ciclo de combustible (octubre

2006, febrero 2007, abril 2007), fue posible llevar a cabo un análisis de la tendencia (trend

analysis) de ciertos parámetros a lo largo del tiempo. Entre los parámetros analizados se

encuentran: las amplitudes de los modos 1 y 2 y las frecuencias de éstos. Se pudo observar

101


que existe un comportamiento distinto de ambos modos, lo que indujo a pensar que son

debidos a dos fenómenos físicos diferentes. En el caso del Modo 1, la frecuencia se mantuvo

constante a lo largo del ciclo al igual que la amplitud de la resonancia. No obstante, el

Modo 2 sufrió un aumento de su amplitud. Las explicaciónes ante estos resultados fueron:

Modo 1: Es la frecuencia del movimiento del barrilete (CBM, core barrel motion).

Modo 2: Se trata de la vibración de los elementos combustibles debido al ujo

turbulento del refrigerante. Dado que las características mecánicas de los elementos

combustibles cambian con el quemado, esto explicaría el cambio en la amplitud.

Respecto a las medidas in-core, sólo se disponía de registros de un momento del ciclo,

Abril 2008. Se tomaron con 5 detectores móviles que registraron en 6 posiciones axiales

diferentes. Así, se representaron perles axiales de las amplitudes de las resonancias de

interés y se compararon dichos resultados con datos de ciclos anteriores. Se pudo ver

cómo cada resonancia tenía un comportamiento axial diferente y que los resultados eran

consistentes con lo observado en las medidas ex-core. Sin embargo, hay que mencionar

que a las PSDs obtenidas de las señales in-core no se les realizó el ajuste no lineal basado

en la fórmula de Breit-Wigner y, en consecuencia, los perles de amplitudes se basan en

una mera inspección visual de las PSDs.

En conclusión, los objetivos que se planteaban para la fase 13 del proyecto [102] y que

serán explicados en esta sección son:

Aplicar el algoritmo de ajuste no lineal basado en la fórmula de Breit-Wigner de las

PSDs procedentes de las medidas ex-core de tres momentos diferentes del ciclo. El

102


ajuste se amplió hasta los 20 Hz

Comprobar que existen dos resonancias (Modo 1 y Modo 2) en torno a los 8 Hz y

validar las hipótesis establecidas en la fase 12 respecto al origen físico de las mismas

Realizar los ajustes no lineales de las PSDs de señales in-core y realizar perles

axiales con los parámetros obtenidos de los ajustes

Calcular las coherencias entre las señales in-core y ex-core

103


3.3.1. Toma de datos en Ringhals

Figura 3.7: Ubicación de los detectores

ex-core alrededor del núcleo en la cen-

tral de Ringhals .

Los datos analizados en esta parte de la tesis

proceden del reactor 4 de Ringhals, Suecia. Se

trata de un PWR de diseño Westinghouse. Las

medidas corresponden a tres momentos del ci-

clo: febrero, marzo y abril de 2009 procedentes

de detectores in-core y ex-core. La frecuencia de

muestreo utilizada fue de 62.5 Hz y el tiempo to-

tal del registro, 3 horas. Los detectores ex-core

son ocho, cuatro colocados en la parte superior

del núcleo y otros cuatro en la parte inferior. Su

disposición alrededor del núcleo es tal y como se muestra en la gura 3.7.

Por otro lado, los detectores in-core cuyas medidas han sido analizadas son cinco y son

móviles de manera que registran datos en seis posiciones axiales diferentes a lo largo de las

tres horas de medida. Hay que tener en cuenta que en el reactor el número de detectores

in-core es mucho mayor, dado que se utilizan para realizar mapas de ujo neutrónico

durante la operación y con una periodicidad especicada. En el caso que nos ocupa, sólo

se analizaron señales procedentes de 5 de estos detectores. En la gura 3.8 se muestra un

esquema de su posición en el núcleo y de las seis posiciones axiales.

104


Figura 3.8: Ubicación en el interior del núcleo del reactor 4 de Ringhals de los detectores

in-core cuyas medidas han sido analizadas.

Por tanto, al nal de cada periodo de medida se obtiene un archivo ASCII con un

conjunto de señales correspondientes a cada detector. En la tabla 3.2 se especican los

sensores que registraron datos en cada periodo (Febrero, Marzo o Abril). Existen 16

canales de medida, de los cuales dos están destinados a medir la componente de continua

de los detectores ex-core (N41 y N42 superior DC ), un canal a la medida de la presión,

5 a los detectores in-core (Incore A, B, C, D y E) y ocho a las señales de alterna de los

detectores ex-core (N41-N44 superior AC y N41-N44 inferior AC). En Abril las medidas

realizadas cambiaron ligeramente respecto a Febrero y Marzo, y en los canales 1, 5 y 7

(D3 termopar, N4 termopar y L8 termopar) se conectaron termopares para la medida de

la temperatura del refrigerante. Los termopares se identican por una letra y un número

que corresponden a las coordenadas de ubicación en el núcleo.

105


Canal de medida Febrero Marzo Abril

1 N41 Superior DC N41 Superior DC D3 Termopar

2 N42 Superior DC N42 Superior DC N42 Superior DC

3 Presión Presión Presión

4 Incore A Incore A Incore A

5 Incore B Incore B N4 Termopar

6 Incore C Incore C Incore C

7 Incore D Incore D L8 Termopar

8 Incore E Incore E Incore E

9 N41 Superior AC N41 Superior AC N41 Superior AC




13 N41 Inferior AC N41 Inferior AC N41 Inferior AC




Tabla 3.2: Lista de medidas in-core y ex-core realizadas en Febrebero, Marzo y Abril de

2009

106


Figura 3.9: Ejemplo de señal obtenida a través de un detector in-core móvil. Cada uno de

los picos corresponde al momento en el que el detector es desplazado de una posición a

la siguiente.

Hay que mencionar que dado que dado que los detectores in-core son móviles, en el

momento de su desplazamiento, el ruido aumentaba su amplitud considerablemente (véase

la gura 3.9). Por ello, fue necesario eliminar esa parte de la señal de cada registro in-core.

3.3.2. Procesamiento de datos y ajuste no lineal

Una vez obtenidos los datos, fue necesario utilizar las herramientas de análisis de señal

para su procesamiento. En el caso de las medias ex-core se ha procedido de la siguiente

manera:

1. Lectura de datos: Es necesario leer el archivo donde se encuentren los datos

procedentes de los detectores.

107


2. Cálculo de las PSDs de cada detector: Cada señal procedente de cada detector

es dividida en una serie de bloques. A cada uno de los bloques se le divide por la

componente de continua [114] y se le aplica la transformada de Fourier, y a partir

de ésta, se calcula la PSD. Por último se suman todas las PSDs de cada bloque

y se promedia entre el número de bloques. Este procedimiento sigue los estándares

que se aplican en el análisis de ruido [114].

X = xii=1,...N ⇒ n =N

tbloq⇒ bloquek = xjj=(k−1)tbloq+1,...,k·tbloq

⇒ PSDk =fft(bloquek) · [fft(bloquek)]∗

DC2⇒ PSDt =

n∑k=1

PSDk

n

(3.5)

donde X es la señal, n es el número de bloques en que se divide la señal, tbloq es el

tamaño de cada bloque, PSDk es la densidad espectral de cada bloque, PSDt es la

densidad espectral de toda la señal promediada y DC es la componente de continua

de la señal.

3. Cálculo de las PSDs de los detectores superiores e inferiores: En algunas

ocasiones no nos interesa obtener la PSD de cada detector sino realizar un promedio

de las PSDs de los detectores superiores o inferiores.

4. Ajuste no lineal: Se ha realizado en Matlab con el comando lscurvet y está

basado en la fórmula de Breit-Wigner:

PSD(ω) =∑λ

µ2λAλ + (ω − νλ)Bλ

µ2λ + (ω − νλ)2

(3.6)

108


donde λ es el subíndice de la resonancia, µ es el amortiguamiento de la resonancia,

A es la amplitud, B es el factor de asimetría y ν es la frecuencia de la resonancia.

Para realizar el ajuste se ha ido barriendo la PSD desde las zonas de baja frecuencia

hasta la de alta de una manera acumulativa. Así, en primer lugar se intenta ajustar

el primer pico especicando los cuatro valores iniciales de frecuencia, amortigua-

miento, amplitud y asimetría. Una vez que se consigue el ajuste, se procede con la

siguiente resonancia pero ajustando conjuntamente la primera, de manera que el

primer barrido ajusta una resonancia, el segundo ajusta la primera y la segunda, y

así sucesivamente. Los valores del ajuste del primer barrido servirán como valores

iniciales del segundo, teniendo en cuenta que ahora el número de valores iniciales es

ocho en vez de cuatro. En la gura 3.10 se muestra una secuencia de ajuste en el

que progresivamente se obtienen los parámetros de las resonancias hasta 12 Hz.

109


(a) Ajuste hasta 4 Hz

(b) Ajuste hasta 9 Hz

110


(c) Ajuste hasta 12 Hz

Figura 3.10: Secuencia del procedimiento de ajuste. En (a) el ajuste se realiza hasta 4 Hz,

en (b) hasta 9 Hz, y en (c) hasta 12 Hz.

Este procedimiento puede resultar muy largo y tedioso. Hay determinados parámetros

como el amortiguamiento, la amplitud o la frecuencia que pueden obtenerse a través de

la gráca de la PSD, no obstante, la asimetría es mucho más difícil de predecir y ésta a

su vez determina los parámetros anteriores. Por tanto, el proceso requiere experiencia y

en muchas ocasiones es imprescindible añadir resonancias al ajuste que en principio no se

aprecian a simple vista.

Para el caso de los detectores in-core, se ha procedido de manera similar aunque existen

algunas diferencias ya que la toma de datos es diferente y además no existe componente

de continua en los datos suministrados para el análisis. Por tanto, el procesamiento de los

111


datos se puede resumir como sigue:

1. Filtrado de la señal: Previo al cálculo de la PSD, es necesario eliminar de la señal

aquellos picos correspondientes al momento en el que se desplazan los detectores de

una posición a otra.

2. Obtención de cada posición axial: La señal es dividida en seis, dado que cada

una de éstas representa una posición axial y debe ser analizada separadamente.

3. Cálculo de las PSDs: Obtención de la PSD de cada posición axial. Como hay

seis posiciones y cinco detectores, hacen un total de 30 PSDs in-core que se pueden

ajustar. El procedimiento de cálculo de la PSD es igual que en el caso ex-core, con

la consideración que las señales ahora son de menor longitud y por tanto, el tamaño

de cada bloque debe ser reducido.

4. Ajuste no lineal: Los ajustes se han llevado a cabo como en el caso de las señales

ex-core. Debido a que el perl de las PSDs in-core está menos denido, su ajuste

es más problemático y lleva más tiempo.

Como se ha mencionado, el ajuste es una tarea que consume mucho tiempo, por un

lado, porque es difícil dar con los adecuados valores iniciales y por otro, porque no se sabe

de antemano cuántas resonancias están presentes en el espectro. Además, cada detector

está en una posición distinta respecto al núcleo, esto implica que los valores iniciales para

el ajuste también dieren de un detector a otro.

112


En total, en esta fase se han ajustado un total de 30 PSDs ex-core y 30 in-core por

cada periodo de medida.

3.3.3. Resultados de las medidas ex-core

En este epígrafe se van a mostrar las PSDs obtenidas de las señales procedentes de

los detectores ex-core en tres momentos distintos del ciclo y los ajustes no lineales de las

mismas. Además, la atención se concentrará en el estudio del beam-mode y su evolución

en estos tres meses de estudio.

En la gura 3.11 se muestran las PSDs de varios detectores ex-core en los tres meses

en los que se realizaron medidas.

113


(a)

(b)

114


(c)

Figura 3.11: PSDs de señales de detectores ex-core durante los tres periodos de medida.

Detector N41 superior (a), detector N43 superior (b) y detector N41 inferior (c)

Como se puede observar, en todas las PSDs la amplitud en la zona nal del espectro

es ligeramente mayor en abril que en el resto de meses. Se cumple por tanto que la

amplitud aumenta a lo largo del ciclo. Además, se aprecia que la resonancia en torno a

los 8 Hz, el beam mode, es un pico muy ancho y que probablemente se trate de al menos

dos resonancias.

Aplicando el algoritmo de ajuste no lineal a los promedios de las PSDs delos detectores

inferiores y superiores se obtienen los grácos dela gura 3.12, mientras que el ajuste de

un detector concreto se muestra en la gura 3.13

115


(a) Detectores superiores

(b) Detectores inferiores

Figura 3.12: Ajustes no lineales de los promedios de las PSDs de las señales de los

detectores superiores (a) e inferiores (b) correspondiente al mes de febrero.

116


Figura 3.13: Ajuste de la PSD de la señal procedente del detector N-44 superior. (Tomada

en febrero).

La inspección visual muestra que los ajustes de las PSDs son muy adecuados. Co-

mo resultado de los ajustes, se obtiene una serie de parámetros correspondientes a cada

resonancia. En la tabla 3.3 se muestran los resultados de Febrero de tres detectores.

Como se puede observar, el número de resonancias no es el mismo en los tres detectores.

Por ello, el ajuste se complica aún más si cabe. Con respecto al beam mode, se puede

apreciar cómo existen dos resonancias en torno a las frecuencias de 7-8 Hz. Si se analizan

las frecuencias y amplitudes obtenidas para el Modo 1 y el Modo 2 en los detectores

inferiores a lo largo de los tres meses, se puede ver la evolución de dichas resonancias en

ese periodo de tiempo. En la gura 3.14 se muestra dicha evolución junto con la que se

observó en otro ciclo anterior de combustible, concretamente, la correspondiente a la fase

117


Tabla 3.3: Parámetros obtenidos del ajuste de las PSDs de las señales de tres detectores

ex-core correspondientes a febrero de 2009

118


12 del proyecto entre Ringhals y Chalmers[102].

(a) evolución frecuencia fase 12 (b) evolución frecuencia fase 13

(c) evolución amplitud fase 12 (d) evolución amplitud fase 13

Figura 3.14: (a) y (b) evolución de la frecuencia. (c) y (d) amplitud de los modos 1 y 2

para dos ciclos de combustible diferentes.

Del análisis de las guras se deducen varias cosas. En primer lugar, las medidas ana-

lizadas y ajustadas en esta tesis pertenecen a un periodo de tiempo que apenas abarca 3

meses, mientras que las medidas analizadas en la fase 12, se extendían mucho más en el

tiempo. Por tanto, es mucho más fácil ver cambios apreciables en la fase 12. No obstante,

119


Periodo Frec.1(Hz) Amp.1 (u.a.) Frec.2(Hz) Amp.2(u.a.)

Octubre 2006 6.92 1.60 7.80 0.429

Febrero 2007 6.90 1.80 7.75 15.70

Abril 2007 6.77 2.80 7.75 19.20

(a) Fase 12 (octubre 2006-abril 2007)

Periodo Frec.1(Hz) Amp.1(u.a.) Frec.2(Hz) Amp.2(u.a.)

Febrero 2009 6.80 4.60 8.03 13.2

Marzo 2009 6.85 5.20 8.06 16.1

Abril 2009 6.87 7.40 8.03 17

(b) Fase 13 (febrero 2009-abril 2009)

Tabla 3.4: Datos de amplitud y frecuencia de los modos 1 y 2 correspondientes a las fases

12 y 13

si se tienen en cuentan los cambios relativos en ambos periodos de tiempo se podrían

comparar las medidas de Febrero y Abril de 2007 con las de Febrero y Abril de 2009. En

la tabla 3.4 se resumen dichos datos.

Como se puede apreciar, la frecuencia de las resonancias se ha mantenido constante a

lo largo del periodo Febrero-Abril 2009. Para el caso de la amplitud, el comportamiento

es bastante diferente. El primer modo registra un aumento de su amplitud del 28,8% y

de un 60,9% para el segundo modo. Si se calcula este incremento relativo en el periodo

Febrero-Abril de la fase 12, los resultados son muy similares. Se obtiene un 22,3% en

120


el primer modo y 55,6% en el segundo. Por tanto, los resultados obtenidos ahora son

consistentes con los ajustes de la fase anterior aunque éstos se hayan realizado únicamente

hasta los 10 Hz, y lo que es más, se observa un comportamiento muy diferente entre ambas

resonancias, reforzándose la hipótesis de que sus orígenes físicos son distintos. No obstante,

debido a la cercanía en el tiempo de las medidas realizadas en la fase 13, ha sido imposible

apreciar el cambio tan brusco en amplitud que se registró en la fase 12 en el Modo 2 desde

Octubre hasta Abril. Sería necesario, para conrmar hipótesis, que las tres medidas fueran

realizadas a lo largo de un ciclo en tres momentos distintos: principio del ciclo, mitad del

ciclo y fase nal antes de la recarga. Así, se podría conrmar que el Modo 2 corresponde

a la vibración incoherente de los elementos combustibles debido al ujo turbulento y que

el brusco cambio en su amplitud se debe al propio agotamiento del material físil.

La identicación correcta de ambas resonancias es muy importante para el diagnóstico,

ya que no es lo mismo suponer que es el propio barrilete el que registra una oscilación

mayor, o que por el contrario, es debido al cambio en las propiedades mecánicas de las

barras de combustible. Una adecuada identicación de las zonas del espectro supone una

mejora en el mantenimiento y en denitiva, en la seguridad de la planta.

121


3.3.4. Resultados de las medidas in-core

Las PSDs obtenidas de las medidas in-core también son ajustadas con el algoritmo no

lineal de ajuste basado en la fórmula de Breit-Wigner. En la fase 12 [102] no se llevó a cabo

el ajuste, y el estudio de los perles axiales de amplitud correspondientes a las resonancias

del beam-mode se realizó por medio de inspección visual. En este caso, para evitar dicha

subjetividad se ha preferido ajustar las resonancias y obtener los cuatro parámetros que

las caracterizan.

La dicultad del ajuste es mucho mayor debido a que las PSDs están menos denidas.

Hay que recordar que en cada posición axial el detector permaneció unos 30 minutos, lo

que comparado con las tres horas de recogida de datos por parte de los detectores ex-core,

es mucho menos tiempo. A esto hay que añadir que el desplazamiento de los detectores

implica la eliminación de parte de las medidas.

En las grácas de la gura 3.15 se muestra la PSD correspondiente al detector B en

la posición 1, y las PSDs que se obtienen de las seis posiciones axiales correspondientes

a la medida de Febrero 2009.

Por otro lado, también se pueden visualizar los datos a lo largo del tiempo en una

determinada posición axial tal y como aparece en la gura 3.16

122


(a) Detector in-core B posición1

(b) Detector in-core B todas las posiciones

Figura 3.15: PSDs obtenidas de las señales del detector in-core B en la posición 1(a) y

en todas las posiciones (b)

123


(a) Detector in-core A posición1

(b) Detector in-core E posición3

Figura 3.16: PSDs obtenidas de las señales del detector in-core A en la posición 1 en tres

periodos diferentes(a) y del detector in-core E en la posición 3 en los mismos periodos (b)

124


Como se puede apreciar, las PSDs de los detectores in-core evolucionan de manera

diferente según la ubicación del detector en el núcleo y de la posición axial de éste. En la

gura 3.16, en la PSD del detector E, se puede apreciar que la amplitud ha aumentado con

el tiempo, mientras que no se observa lo mismo para el detector A, también en la misma

gura. Además, la zona del espectro en torno al beam-mode cambia según la posición axial

y en algunos casos, parece observarse una tercera resonancia. En denitiva, el ajuste de

estas PSDs es mucho más difícil.

En las guras 3.17, 3.18 y 3.19 se presentan los ajustes no lineales basados en la fórmula

de Breit-Wigner.

125


Figura 3.17: PSD de la señal del detector B en la posición 6 y su ajuste no lineal de

Breit-Wigner

126


Figura 3.18: PSD de la señal del detector C en la posición 3 y su ajuste no lineal de

Breit-Wigner

127


Figura 3.19: PSD de la señal del detector A en la posición 4 y su ajuste no lineal de

Breit-Wigner

En la tabla 3.5 se recopilan los resultados de los ajustes. El número de resonancias

utilizadas para el ajuste de las PSDs in-core es mucho mayor. Es necesario utilizar más

de las que en principio se predicen por inspección visual. Otros autores han denominado

a estas resonancias como espúreas, ya que probablemente no tengan signicado físico

pero son necesarias para el ajuste y en denitiva, para que el método funcione[127]. En el

caso de los detectores in-core el número de resonancias asciende en algunos casos a 15, y

en torno al beam-mode se obtiene una tercera resonancia con frecuencia de unos 7,5 Hz.

128


Tabla 3.5: Parámetros obtenidos del ajuste de las PSDs de las señales de tres detectores

in-core en tres posiciones axiales diferentes

129


En cuanto a los perles axiales de las amplitudes de las resonancias del beam-mode,

es decir, los denominados Modo 1 y Modo 2, dado que sólo se tienen medidas de los tres

meses considerados (Febrero, Marzo y Abril) para los detectores A, C y E, el análisis de

la evolución temporal sólo ha tenido en cuenta dichos detectores. En la gura 3.20 se

muestran los perles de amplitudes de cada detector del Modo 1 y en la gura 3.21 los

correspondientes al Modo 2.

(a) Perl axial de amplitud del Modo 1 Detector in-core A

130


(b) Perl axial de amplitud del Modo 1 Detector in-core C

(c) Perl axial de amplitud del Modo 1 Detector in-core E

Figura 3.20: Perles de amplitudes obtenidos a través del ajuste no lineal de Breit-Wigner

de las PSDs de los detectores in-core A(a) C(b) y E(c) correspondientes al Modo 1

131


(a) Perl axial de amplitud del Modo 2 Detector in-core A

(b) Perl axial de amplitud del Modo 2 Detector in-core C

132


(c) Perl axial de amplitud del Modo 2 Detector in-core E

Figura 3.21: Perles de amplitudes obtenidos a través del ajuste no lineal de Breit-Wigner

de las PSDs de los detectores in-core A(a) C(b) y E(c) correspondientes al Modo 2

En el caso de los perles del Modo 1, es decir, el pico de frecuencia 6.8 Hz, son muy

parecidos a lo observado en la fase 12. Además, aunque es difícil sacar conclusiones a partir

de estos resultados, sí se puede mencionar que la amplitud no aumenta con el tiempo.

De hecho, en muchas de las posiciones axiales, la amplitud del mes de Febrero es la más

alta. Este hecho refuerza la hipótesis de que esta resonancia está ligada al movimiento del

barrilete (Core Barrel Motion) y no a los elementos combustibles.

Respecto a la dependencia axial del pico en torno a 8 Hz, se observa un comportamiento

mucho más complicado. En este caso, las amplitudes de Abril suelen ser las más altas en

133


la mayor parte de las posiciones axiales. En la fase 12, la amplitud de este pico tomado de

los datos ex-core se incrementó drásticamente durante el ciclo de combustible, y entonces

se asumió que estaba relacionada con el segundo modo de vibración de los elementos

combustibles. Aunque estas hipótesis no pueden conrmarse con los datos aportados en

la fase 13, ambos resultados, fase 12 y 13, son consistentes entre sí. Se necesitaría una

tercera evidencia correspondiente a medidas más separadas en el tiempo para que se pueda

seguir la evolución de las resonancias a lo largo de todo un ciclo, desde el principio hasta

el nal.

3.3.5. Coherencia entre medidas in-core y ex-core

Entre los cálculos que se realizaron con los datos, también se comprobaron las cohe-

rencias existentes entre las PSDs ex-core y las pertenecientes a las medidas in-core. La

coherencia entre dos señales se evalúa como el módulo del espectro cruzado de ambas.

En la gura 3.22 se muestran las coherencias respecto a la frecuencia de los detectores

ex-core N41 superior y N44 inferior con todos los detectores in-core.

134


(d) Coherencias entre el detector ex-core N41 superior y los detectores in-core

(e) Coherencias entre el detector ex-core N44 inferior y los detectores in-core

Figura 3.22: Coherencias entre el detector ex-core N41 superior y los detectores in-core

(d) y entre el detector ex-core N44 inferior y los detectores in-core (e)

135


La coherencia más alta se encuentra en torno a los 6-8 Hz, es decir, en el beam mode.

Esto nos conrma el hecho de que las medidas in-core y ex-core están altamente correla-

cionadas en ese rango de frecuencia. Por tanto, el hecho de obtener información de ambos

detectores es muy útil para entender el origen físico de los diferentes picos.

136

3.4. Breit-Wigner y álgebra de cuaterniones: una herramienta para elmantenimiento predictivo

3.4. Breit-Wigner y álgebra de cuaterniones: una he-

rramienta para el mantenimiento predictivo

El número tan alto de datos que se obtienen de los detectores ex-core e in-core supone

una gran cantidad de trabajo si se quieren analizar todos ellos. A esto se le añade que

para los propósitos de diagnóstico de los internos es necesario realizar ajustes no lineales

que como ya se mencionó en los epígrafes anteriores, requiere experiencia y puede resultar

muy tedioso. No obstante, el diagnóstico es necesario, y en las plantas es fundamental

para garantizar la seguridad.

En el ajuste de una PSD, ya sea in-core o ex-core, se obtienen por cada resonancia

cuatro parámetros. El apartado anterior estuvo enteramente dedicado al análisis de la

evolución de la amplitud y de la frecuencia de dos de las resonancias obtenidas. Ni siquiera

se observaron otros parámetros como el amortiguamiento o la asimetría. Si a esto se añade

que el espectro tiene más de 10 resonancias y cada una contiene cuatro parámetros que

las caracterizan, el volumen de datos a analizar es enorme y se plantea como una tarea

que consume mucho tiempo. Por ejemplo, en la sección 3.3 se ajustó un gran número de

PSDs; tres periodos de medida, ocho detectores ex-core, cinco detectores in-core y seis

posiciones axiales por cada detector. Todas estas medidas suponen un total de 10 PSDs

que ajustar correspondientes a los datos ex-core y otras 30 PSDs para los in-core. Como

son tres periodos de medida se tienen un total de 120 PSDs.

La falta de tiempo en investigación no suele ser el problema fundamental, pero cuando

137


se pone a punto un método para la operación en planta, se requiere que éste sea sencillo

y además no consuma mucho tiempo. Por tanto, lo que se va a plantear en esta fase de

la tesis tiene que ver con la operatividad al ejecutar los análisis en la planta. La idea

fundamental es que el ajuste de las resonancias se lleve a cabo exclusivamente en aquellas

zonas del espectro que sean de interés y en segundo lugar, se construya un índice que

englobe los cuatro parámetros de la resonancia. De esta manera, en lugar de realizar un

análisis histórico de cada parámetro, se podría tener en en el análisis de un sólo parámetro

global toda la información condensada.

3.4.1. Índice global de vigilancia

Las principales resonancias bajo vigilancia son los elementos combustibles y el mo-

vimiento del barrilete. No permanecen constantes a lo largo del ciclo sino que tanto sus

amplitudes como sus frecuencias registran cambios pero ¾cuál es el porcentaje de variación

en un determinado periodo?

Después de obtener las PSDs de las señales de los detectores ex-core y realizarles

un ajuste no lineal de Breit-Wigner hasta la zona de frecuencia de interés, los cuatro

parámetros de las resonancias pueden obtenerse y construirse con ellos cuatro grácas

para observar su evolución temporal (trend analysis). Esto se ha realizado anteriormente

[127] y lo que se propone en esta tesis es que se aúnen los cuatro parámetros en un

único número, un cuaternión. En el apéndice A se recogen los fundamentos del álgebra

de cuaterniones.

Así, si cada resonancia está formada por la amplitud A, la asimetría B, la frecuencia ν

138


y el amortiguamiento µ, se puede construir un cuaternión q tal que q = (B; ν, µ, A), donde

B es la parte real y el resto ν, µ, A) la parte vectorial o imaginaria. Como los cuaterniones

se pueden dividir, se puede calcular el cambio relativo en un periodo evaluando:

q − q0

q0

× 100 (3.7)

El módulo de dicho cuaternión, un número real, sería la respuesta ante la pregunta de la

variación porcentual durante un periodo determinado. El índice que se propone para la

vigilancia se dene por:

INDEX =

∣∣∣∣q − q0

q0

∣∣∣∣ 100

4(3.8)

La división entre cuatro se debe a que existen cuatro parámetros. El módulo del

cuaternión se dene por:

|q|2 = B2 + ν2 + µ2 + A2 (3.9)

Los cuatro parámetros deben tener la misma dimensión física, y el módulo calculado

no la tiene, por tanto, es necesario convertir el cuaternión en una magnitud adimensio-

nal. Así q = (B; ν, µ, A) se transforma en (B/B0; ν/ν0, µ/µ0, A/A0) donde el subíndide

0 representa dichos parámetros al principio del ciclo de combustible. En consecuencia, el

cuaternión de referencia es (1; 1, 1, 1). El álgebra de cuaterniones es paralela al álgebra

de números complejos; el conjugado se dene cambiando el signo de la parte vectorial:

q = (B;−ν,−µ,−A). Además, el álgebra de cuaterniones [55] es isomorfa al álgebra de

matrices complejas:

139


Q =

B − iν −µ+ iA

µ+ iA B + iν

; |q|2 = Det(Q)

Con las relaciones especicadas, INDEX se puede calcular de forma inmediata permi-

tiendo una monitorización global de las resonancias. En las tablas 3.6 y 3.7 se especican

los cuaterniones para el primer modo de vibración de los elementos combustibles y para

la vibración del barrilete a lo largo de 15 meses, en este caso, un ciclo.

Mes B/B0 ν/ν0 µ/µ0 A/A0

0 1.000 1.000 1.000 1.000

8 1.241 0.947 1.140 1.266

11 1.720 0.958 1.168 1.618

13 1.529 0.943 1.252 1.400

15 4.176 0.887 1.374 1.725

Tabla 3.6: Cuaterniones adimensionales para la primera resonancia de los elementos com-

bustibles

Se puede observar que la parte real del cuaternión es la que experimenta mayor cambio,

llegando incluso a cambiar el signo.

En la gura 3.23 la cantidad INDEX se representa para dos resonancias: el caso (a)

para el combustible y el (b) para el barrilete. INDEX alcanza valores muy altos en el

caso (b); esto es debido al aumento del solape con el segundo modo de vibración de los

elementos combustibles, como también se observa en la tabla 3.7. Aunque el parámetro

140


Mes B/B0 ν/ν0 µ/µ0 A/A0

0 1.000 1.000 1.000 1.000

8 -9.351 0.928 1.096 1.250

11 -4.390 0.934 0.999 1.448

13 -12.87 0.919 1.071 1.456

15 -23.11 0.881 0.950 1.546

Tabla 3.7: Cuaterniones adimensionales para la resonancia del soporte del barrilete

B juega un papel muy importante en el ajuste no lineal, para los propósitos de vigilancia

temporal, no tiene ningún signicado físico y por tanto se puede prescindir de él. Así que

dicho parámetro se puede considerar cero y en consecuencia evitar que el solape sea uno de

los aspectos que se monitoricen. En la gura 3.23, (c) y (d) los casos anteriores con B = 0.

El máximo valor de INDEX es alrededor del 20% para la resonancia del combustible y

se alcanza al nal del ciclo( gura 3.23 c)).Para el caso del soporte del barrilete, INDEX

aumenta hasta un 10% alcanzándolo al nal del ciclo también ( gura 3.23 d).

3.4.2. Discusión de los resultados

La gura 3.23 reeja la complejidad de la operación en los reactores de agua a presión

en el caso del combustible. En la tabla 3.6 la frecuencia de resonancia decrece un 10%,

reejando el quemado de combustible; esto produce el cambio en la densidad de manera

monótona. Por la misma razón, el parámetro de amortiguamiento aumenta un 37% al

141


Figura 3.23: Vigilancia global de resonancias para el combustible (a) y el barrilete (b). Los

casos (c) y (d) recogen los resultados anteriores, haciendo que el factor de asimetría B se

considere nulo.

nal del ciclo. El aumento del amortiguamiento signica que la amplitud de la vibración

mecánica del elemento combustible debería decrecer, y éste es el caso, pero el detector

ex-core ve al combustible como una fuente de neutrones, y éstos son absorbidos por el

boro, un veneno neutrónico.

Se puede observar que la amplitud decrece en el mes 11, esto indica la inserción de un

nuevo veneno neutrónico: las barras de control.

Para la resonancia del soporte del barrilete, la tabla 3.7 muestra un INDEX que

crece monotonamente, lo que es mucho más conveniente para la monitorización. Todos

los cambios son moderados; la frecuencia resonante se mueve a la izquierda un 12%,

142


indicando una ligera relajación de la fuerza de anclaje; el parámetro de amortiguamiento

permanece practicamente constante; pero la amplitud aumenta un 54%. El factor de

asimetría aumenta considerablemente al igual que el segundo modo de vibración de los

elementos combustibles. Cerca del nal del ciclo ambas resonancias apenas se distinguen

y por ello, la fórmula de Breit-Wigner es fundamental para el ajuste.

INDEX es la magnitud construida para el propósito de mantenimiento predictivo a

través del álgebra de cuaterniones. Sólo se ha reejado su módulo, no obstante la fase

también se podría monitorizar para el mismo objetivo. Además, INDEX ha tenido en

cuenta sólo aquellos parámetros de la resonancia importantes para el seguimiento y con

signicado físico.

143


3.5. Conclusiones relativas al Capítulo 3

Las conclusiones a las que se ha llegado en este capítulo de la tesis son:

Aplicación satisfactoria del algoritmo de ajuste no lineal. Uno de los obje-

tivos principales de esta sección era aplicar un algoritmo de ajuste no lineal basado

en la fórmula de Breit-Wigner a las PSDs obtenidas con detectores ex-core e in-

core. El algoritmo ha funcionado correctamente para ambos tipos de medidas y los

parámetros obtenidos pueden utilizarse a partir de ahora para el diagnóstico de los

internos del reactor.

Estudio del Beam Mode a través de las medidas ex-core. Se ha comprobado

que existen dos resonancias en torno al Beam Mode con dos comportamientos dis-

tintos. Los resultados son consistentes con los trabajos anteriores de otros autores

de los que la presente tesis es continuación. El primer modo de resonancia está vin-

culado al movimiento del barrilete debido al ligero aumento de la amplitud durante

el periodo de medida, y que el segundo modo registra un aumento de la ampli-

tud considerable que probablemente está vinculado a la vibración de los elementos

combustibles debido al ujo turbulento.

Estudio de los perles axiales de amplitud por medio de las medidas in-

core. Los perles axiales in-core son consistentes con las medidas ex-core. En ellos

se puede apreciar que la amplitud del primer modo no registra un aumento con el

tiempo, mientras que el segundo modo sí.

144


Consistencia con las medidas realizadas hasta ahora. Todos los resultados

obtenidos son consistentes (Véase página anterior) y sería conveniente que una vez

adquirida la experiencia en el ajuste de resonancias en esta fase, se pudiera aplicar

el algoritmo de ajuste a nuevas medidas más separadas en el tiempo. Lo ideal sería

tener al menos una medida a principio del ciclo y realizar otras al nal para com-

probar que los cambios observados en los registros de ruido son diferentes según el

momento del ciclo.

Índice de vigilancia global. Se ha construido un índice de vigilancia de los inter-

nos del reactor a través del álgebra de cuaterniones. El cuaternión está formado por

cuatro números que son los parámetros de una resonancia resuelta por una fórmula

de Breit-Wigner.

Ajuste en la cercanía de la resonancia. La fórmula de Breit-Wigner permite

que el ajuste de las resonancias sea local y por tanto, si sólo se pretende hacer un

seguimiento de una determinada resonancia no es necesario ajustar todo el espectro.

Creación de una gura modelo. La gura 3.23 se puede utilizar para el segui-

miento de las vibraciones de los internos como un modelo de comportamiento. En

caso de que el ciclo muestre otro comportamiento, los operadores deberían pregun-

tarse que podría estar pasando.

Calibración de las rectas. El álgebra de cuaterniones debe ajustarse a cada

reactor concreto, así para un determinado reactor, sus rectas de INDEX frente al

tiempo pueden cambiar ligeramente.

145


3.6. Publicaciones

Artículos en revistas

A.García-Berrocal, C.Montalvo, J.Blázquez y M.Balbás. Resolución de reso-

nancias de vibración. Aplicación a un problema de mantenimiento predicti-

vo.Anales de Ingeniería Mecánica. Año16, 2, 2008.

A. Garcia-Berrocal, J. Blazquez, C. Montalvo, and M. Balbás.Resolving mecha-

nical resonances with breit-wigner formula. Journal of Vibration and Control,

15(8), 126712802009.

Informes técnicos

I. Pázsit, C. Montalvo-Martin, T. Tambouratzis, and V. Dykin. Final report

on the research project Ringhals diagnostics and monitoring stage 13. Techni-

cal report, Chalmers internal report CTH-NT-230/RR-15, 2010.Department of

Nuclear Engineering

Se trata de un informe interno sobre el proyecto de investigación entre la Uni-

versidad de Chalmers y la central nuclear de Ringhals. Por otro lado, la colabo-

ración con Pázsit dará lugar a un artículo que pueda incluir todos los resultados

obtenidos en esta parte de la tesis.

146

3.6. Publicaciones

Ponencias a congresos

A.García-Berrocal, C.Montalvo, J.Blázquez y M.Balbás. Resolución de reso-

nancias de vibración. Aplicación a un problema de mantenimiento predicti-

vo.XVII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica, Gijón, 14-15 febrero de

2008.

Imre Pázsit C. Montalvo et al. Diagnostics of core barrel and fuel assembly

vibrations in the Ringhals PWRs, Sweden. American Nuclear Society: Winter

Meeting, Las Vegas November 2010. Resumen aceptado

147


148

Capítulo 4

ANÁLISIS DE RUIDO APLICADO A

SENSORES DE CENTRALES

NUCLEARES

4.1. Introducción

El análisis de ruido en planta se reere a la monitorización y al diagnóstico de las

propiedades dinámicas de uctuaciones aleatorias o periódicas que se detectan en los

dispositivos de medida, ya sean éstos de ujo neutrónico, presión, caudal, temperatura,

etc. El análisis de ruido es una herramienta muy eciente para el tratamiento de la señal

debido a su sensibilidad y porque no requiere necesariamente introducir instrumentación

especial en el reactor y, por tanto, el sistema no se ve afectado al medir un parámetro

dinámico[92].

Existen varias magnitudes que deben medirse periódicamente en la planta: presión,

149

4. ANÁLISIS DE RUIDO APLICADO A SENSORES DE CENTRALESNUCLEARES

temperatura, caudal, ujo neutrónico, etc. Una de las principales es la presión (los sensores

de presión también miden el caudal y el nivel) que se suele medir a través de sensores capa-

citivos, y entre éstos, los más utilizados son los de tipo Rosemount. Por tanto, el correcto

mantenimiento de éstos, así como el de las líneas sensoras a las que están conectados, es

fundamental para la seguridad de las plantas.

En las centrales hay una media de entre 200-800 sensores de presión[59]. En la gura 4.1

se muestra la ubicación de los sensores de presión en un lazo de un PWR. Los fabricantes

de sensores los someten a una serie de condiciones simuladas de accidente para conseguir su

licenciamiento. Ello consiste en certicar si un sensor puede soportar ciertas condiciones

de radiación o no. No todos los sensores tienen que medir en las mismas condiciones,

dependerá de su ubicación en la planta. Así, existe una clasicación de la instrumentación

de planta en función de si ésta es de vital importancia para la seguridad o no lo es. En

la tabla 4.1 tomada de [1] se detalla la nomenclatura utilizada por la IAEA y por otros

países. Los sensores catalogados como 1E son aquellos que se encuentran en los sistemas

primario y secundario.

Para el mantenimiento de sensores, las autoridades reguladoras establecen que el fun-

cionamiento dinámico de éstos debe vericarse a través de la medida de su tiempo de

respuesta [44, 33, 89]. Las medidas del tiempo de respuesta en las centrales nucleares

vienen realizándose desde 1980, y por medio de ellas se ha detectado la degradación de

los sensores o las averías propias de las líneas sensoras como: burbujas, fugas , bloqueos,

etc [59].

Uno de los métodos para la medida del tiempo de respuesta es el ensayo de la rampa

150

4.1. Introducción

Figura 4.1: Ubicación de los principales sensores de presión, caudal y nivel en un lazo de

un PWR.

Tabla 4.1: Clasicación de seguridad de los equipos de las plantas nucleares

151


en laboratorio. Tras someter al sensor a una rampa de presión, el tiempo de respuesta

se calcula tal y como muestra la gura 4.2. Esta medida también se puede realizar in

situ a través de las técnicas de análisis de ruido en el dominio del tiempo, por medio

de un modelo autorregresivo y calculando la respuesta a la rampa. En el dominio de la

frecuencia, la gura 4.3 muestra un esquema para obtener la señal del sensor, su PSD, y

el tiempo de respuesta a partir de la frecuencia de corte.

Figura 4.2: Medida del tiempo de respuesta de un sensor de presión a partir de una rampa

de presión.

Así, si se conocen los coecientes autorregresivos que caracterizan la respuesta diná-

152

4.1. Introducción

Figura 4.3: Obtención de la respuesta del sensor.

mica del sensor, se puede calcular la respuesta de éste a una rampa por medio de:

yi =n∑k=1

ak · yi−k + κxi i = 1...N (4.1)

siendo yi la respuesta a la rampa en el instante i, ak los coecientes autorregresivos del

modelo, n el orden del modelo, κ la ganancia del sistema, xi la rampa de entrada al

sistema y N la longitud del registro.

Además de la medida del tiempo de respuesta, ya sea in situ o no, es muy conveniente

tener un modelo del sensor para entender adecuadamente su comportamiento dinámico.

La elaboración de un modelo permite correlacionar el sensor con un sistema teórico y así

poder llevar a cabo una vigilancia más detallada del mismo que permita un diagnóstico

temprano de posibles averías.

4.1.1. El sensor capacitivo de presión y la línea sensora

Un sensor de presión es una combinación de dos sistemas: un sistema mecánico y uno

eléctrico. El sistema mecánico contiene un elemento sensor elástico (diafragma, tubo de

Bourdon, fuelles, etc.) que sufren una exión en respuesta a la presión. El movimiento de

153


este elemento sensor se detecta usando un medidor de desplazamiento y se convierte a una

señal eléctrica que es proporcional a la presión[59]. Los sensores de presión pueden medir

Figura 4.4: Tipos de medida de presión.

presión absoluta, presión manométrica o presión diferencial. Para la medida absoluta, un

lado del elemento sensor está abierto a la presión de proceso y el otro al vacío. En el

caso de la manométrica, un lado está abierto a la de proceso y el otro al ambiente y en

el último caso, los dos lados están abiertos al proceso. En la gura 4.4 se muestra un

154

4.1. Introducción

esquema aclaratorio. El rango superior de presiones estáticas es aproximadamente 200

bares en PWRs y 100 bares en BWRs.

Figura 4.5: Módulo sensor de un trans-

misor de presión capacitivo tipo Rose-

mount.

Sólo unos pocos fabricantes de sensores de

presión (menos de 10) suministran la mayor par-

te de los sensores que se usan en los sistemas de

seguridad de las plantas nucleares. Así, Foxboro,

Barton y Rosemount han fabricado la mayoría

de los sensores para las plantas de EEUU desde

1960 [59]. En esta tesis, nos centraremos en los

sensores Rosemount, que son sensores capaciti-

vos rellenos de aceite de silicona. Están formados

por un módulo sensor denominado celda δ ( δ-

cell) que está aislado del uido de proceso por

medio de una membrana aislante. En el interior se encuentra el aceite de silicona que

se usa para transmitir la presión desde la membrana de aislamiento hasta la sensora a

través de unos microtúbulos. Cuando el aceite circula desde la membrana aislante hasta la

sensora, su constante dieléctrica cambia y por tanto cambia la capacidad del condensador

cuyas placas están a ambos lados del diafragma sensor. En la gura 4.5 se representa el

módulo sensor del Rosemount.

En las centrales nucleares los sensores se ubican fuera del proceso que se quiere medir

para evitar su envejecimiento prematuro. Para conectar las líneas hidráulicas de procesos

y en denitiva, las señales hidráulicas con el sensor se utilizan las denominadas líneas

155


sensoras. Contienen un uido ya sea agua, aceite o incluso un gas como aire, nitrógeno,

etc. Suele tratarse de tubos y no de tuberías para evitar las uniones en soldadura y en

consecuencia las posibles fugas. Su diámetro varía entre 10 y 15 mm y su longitud desde

10 metros hasta 200 [59]. No obstante, como la longitud afecta el tiempo de respuesta

del sistema sensor-línea sensora, se preere que sean lo más cortas posible. La media de

longitud de las líneas está en torno a 20 metros [59].

Las líneas sensoras pueden presentar varias averías:

Bloqueos: Debido al boro, residuos o lodos.

Burbujas: En las líneas de baja presión puede atraparse aire o gas.

Escapes: Debido a problemas en las válvulas.

Estos problemas suelen causar un aumento del tiempo de respuesta, valores erróneos

de presión e incluso resonancias en el espectro que no corresponden al sistema sensor-línea.

Como se puede apreciar, la medida del tiempo de respuesta es un parámetro de vigilancia

del sensor y también de la línea.

4.1.2. Modelo dinámico del sensor

En primer lugar, consideremos la línea sensora y una membrana elástica al nal de la

línea cuya sección y longitud son A y l respectivamente. Al principio de la línea la presión

inicial es Pi, al nal es P0, la velocidad del uido es u y la densidad del mismo ρ tal y

como muestra la gura 4.6.

156

4.1. Introducción

Figura 4.6: Esquema de presiones al inicio (Pi) y al nal de la línea sensora (P0).

Como las longitudes de las líneas sensoras están en torno a 20 m y, teniendo en

cuenta que en las plantas el uido es agua a presión cuya comprensibilidad isotérmica es

aproximadamente cT = 70 × 10−12 dinas−2 y su densidad es del orden de 0,76 g/cm3, la

velocidad del sonido es en estas condiciones:

c =

√1

(0,76) (70 · 10−12)= 137102 cm/s = 1371 m/s (4.2)

Dado que las frecuencias de interés están en torno a los 10 Hz, la longitud de onda

acústica está en torno a 137 m. Como las líneas sensoras tienen una longitud de 20 m

aproximadamente, se puede suponer que los puntos del uido están en fase.

Así, suponiendo un término de rozamiento en la línea fR , que la masa del uido es

M y que la elongación de la onda sonora es ξ, se tiene para la ecuación del movimiento:

Md2ξ

dt2= − (Po − Pi)A− fRM

dξ

dt(4.3)

Sabiendo además que M = ρlA y que la membrana elástica tiene una rigidez tal que

157


Cd = A ξP0:

Pi = ρld2ξ

dt2+ fRρl

dξ

dt+Aξ

Cd(4.4)

Como se puede observar, existe una analogía eléctrica, ya que si suponemos que la veloci-

dad v = dξdtes análoga a la intensidad de corriente y la presión a la diferencia de potencial,

la densidad, longitud y término de rozamiento pueden ser agrupados como parámetros

eléctricos:

R = fRρl

A; L = ρ

l

A; C =

A

Cd(4.5)

siendo R la resitencia óhmica, L el coeciente de autoinducción y C la capacidad Así,

sustituyendo en (4.4):

Pi = LAd2ξ

dt2+RA

dξ

dt+Aξ

Cd(4.6)

Lo que supone el circuito eléctrico de la gura 4.7: Tomando la transformada de Laplace

Figura 4.7: Analogía eléctrica de la línea sensora y la membrana de aislamiento.

en (4.6), resulta:

Pi =

[LAs2 +RAs+

A

Cd

]ξ (4.7)

158

4.1. Introducción

donde Pi y ξ son las transformadas de Laplace de Pi y ξ respectivamente. Teniendo en

cuenta la relación existente entre la presión nal P0 y la elongación dada por Cd = A ξP0

,

la función de transferencia entre la presión inicial y la presión de salida será:

HP0/Pi =1

LCds2 +RCds+ 1(4.8)

Esta función de transferencia es similar a la de un oscilador armónico cuya ecuación

genérica es:

H (s) =ω2

0

s2 + 2ζω0s+ ω20

(4.9)

donde ω0eslafrecuencianaturaldelsistemayζ es el coeciente de amortiguamiento. De

manera que la frecuencia resonante es:

f0 =1

2π

√1

LCd(4.10)

La función de transferencia presentará un pico a esta frecuencia, de manera que con la

vigilancia del pico se puede ver si la membrana ha perdido o no rigidez. Así, una deriva

del pico a zonas de alta frecuencia, supone que la rigidez de la membrana ha disminuido,

y si la deriva es hacia zonas de baja frecuencia, habrá ocurrido lo contrario.

Por otro lado, dado que L está relacionado con la longitud de la línea sensora, el

pico resonante también puede tener una posición distinta en función de la longitud de

la línea sensora. Así, para líneas largas, la frecuencia del pico se trasladará a zonas de

baja frecuencia, y en caso de líneas cortas, la resonancia derivará hacia la zona de alta

frecuencia.

159


El polo real en los sensores Rosemount: la parte interna

En el apartado anterior se ha modelado la línea sensora, no obstante se necesita un

modelo para la parte interna del sensor. La membrana elástica que aísla el sensor de la

línea continúa en una serie de tubos cerámicos que reducen la velocidad del uido interno

que es aceite de silicona. Cuando el aceite oscila, la capacidad del condensador cambia.

Un esquema sencillo se muestra en la gura 4.8.

Figura 4.8: Diagrama de la línea sensora y la parte interna del sensor Rosemount.

Como se ha demostrado antes, la analogía eléctrica de la línea sensora y la membrana

elástica es la mostrada en la gura 4.9: Puesto que en la parte interna del sensor la

velocidad del uido disminuye y ésta es análoga a la intensidad de corriente, se debe

añadir una rama en paralelo que tendrá una elevada resistencia hidráulica (numerosos

tubos cerámicos) y un condensador. El circuito análogo se representa en la gura 4.10 con

160

4.1. Introducción

Figura 4.9: Analogía eléctrica de la línea sensora y la membrana de aislamiento.

las posibles intensidades que lo recorren. En la gura 4.10, r es una resistencia hidráulica

Figura 4.10: Analogía eléctrica del sistema compuesto por la línea y el sensor nombrando

las intensidades de corriente.

tal que r >> R y C el efecto de capacidad asociado al condensador. Dado que la masa

de aceite es mucho menor que la de agua, se desprecia el efecto de la inercia en la rama

en paralelo. Para plantear la función de transferencia HV0/VI , el circuito se resolverá, de

modo que:

Vi (s) = [R + Ls] I (s) +

[1

Ms

]I1 (s) (4.11)

161


V0 (s) =

[1

Cs

]I2 (s) (4.12)

Como se puede ver, de acuerdo a la gura 4.10, las ecuaciones (4.11)y (4.12) expresan

las relaciones existentes entre las transformadas de Laplace de las diferencias de potencial

y las intensidades. Operando adecuadamente, la función de transferencia queda de la

siguiente manera:

HV0/Vi =1

(R + Ls) [rMCs2 + Cs+Ms] + rCs+ 1(4.13)

El denominador es un polinomio de orden 3 y tiene por tanto una raíz real que será

solución de:

[LCrM ] s3 +

[LC

(1 +

M

C

)+ rMRC

]s2 +

[RC

(1 +

M

C

)+ rC

]s+ 1 = 0 (4.14)

Obtención de los polos mediante la fórmula de Vieta

Puesto que ya se ha obtenido un polinomio de grado tres como denominador de la

función de transferencia del sistema de medida formado por la línea sensora y el sensor

de presión, a continuación se va a proceder a analizar los polos de dicha función mediante

la fórmula de Vieta de los polinomios cúbicos. Dicha fórmula establece que si x1, x2 y x3

son las raíces de un polinomio de grado tres tal que x3 + ax2 + bx+ c = 0 , entonces:

a = − (x1 + x2 + x3) , b = x1x2 + x2x3 + x3x1, c = −x1x2x3 (4.15)

162

4.1. Introducción

Así, de esta manera, a, b y c se pueden expresar en función de los parámetros de la analogía

eléctrica:

a =LC

(1 + M

C

)+ rMRC

LCrM, b =

RC(1 + M

C

)+ rC

LCrM, c =

1

LCrM(4.16)

Como en nuestro caso, hay dos polos complejos conjugados (p y p∗) y un polo real (p1), y

se trata de un sistema subamortiguado donde la parte real de los polos complejos es muy

pequeña, entonces:

R(1 + M

C

)+ r

LrM= pp∗ + pp1 + p∗p1 = |P |2 + p1 (p+ p∗) = |P |2 + p12 Re (p) ∼= |P |2 (4.17)

Además, es necesario aclarar que el polo real p1 es mucho menor que |P | y que la resistencia

de la línea sensora es es mucho menor que la interna del sensor, es decir, r >> R, entonces:

R(1 + M

C

)+ r

LrM∼=

1

LM∼= |P |2 ; |P | =

√1

LM(4.18)

Teniendo en cuenta ahora el coeciente de grado 0 y lo obtenido en (4.17):

1

LCrM= −pp∗p1 = − |P |2 p1 =

−p1

LM(4.19)

Lo que quiere decir que el polo real es negativo y que depende de los siguientes parámetros:

−p1∼=

1

rC(4.20)

Como se puede ver, el polo real depende de los parámetros internos del sensor. En conclu-

sión, el polo real nos sirve para la vigilancia de la estructura interna del sensor, mientras

que los polos complejos hacen referencia a la línea sensora acoplada a él.

163



El análisis del ruido neutrónico procedente de los detectores ex-core e in-core se ha

venido realizando desde los años 70 por la necesidad de monitorizar el movimiento del

reactor. A nales de los 70 Upadhyaya y otros autores [120] aplicaron modelos autorre-

gresivos a varios sistemas de la planta, entre ellos, a las termorresistencias, con el objetivo

de medir in situ su tiempo de respuesta. Más adelante, la necesidad de realizar un se-

guimiento de otros sensores de la planta adquirió importancia y comenzaron a llevarse a

cabo los primeros estudios exhaustivos sobre la dinámica de los sensores de presión y de

su línea sensora, y la inuencia de los efectos de las burbujas y bloqueos en el tiempo de

respuesta, en el Laboratorio Nacional de Oak Ridge[26][27]. Dicho estudio se redujo a los

sensores Foxboro que no son capacitivos y en él se compararon las medidas de laborato-

rio con los resultados de los métodos del análisis de ruido. Ese mismo año, otro informe

técnico realizado en Oak Ridge[86, 87] estudió el ruido de presión para su utilización en

el diagnóstico de defectos en las líneas sensoras.

En el año 1988, Hashemian, uno de los mayores expertos actuales en instrumentación

nuclear, publicó dos artículos [68, 69] donde se establecía el potencial del análisis de

ruido para la vigilancia. En el primero, desde una perspectiva global de los sistemas de la

planta, explicó las posibilidades de monitorización mediante análisis de ruido en función

del tipo de sensor y su ubicación. En el segundo, comparaba las medidas en laboratorio

con los resultados obtenidos mediante el análisis de ruido para la obtención del tiempo de

respuesta. El análisis resultó ser muy útil para la vigilancia de sensores de presión por su

164


sensibilidad a la hora de detectar fallos en las líneas sensoras con la medida del tiempo

de respuesta.

En aquellos años, en España, el Ciemat publicó varios informes técnicos que establecían

las bases para la utilización de modelos autorregresivos para el mantenimiento de sistemas

en la planta [15, 13, 12]. En dichos informes se incluía el código de programación utilizado,

de manera que el enfoque de los estudios era eminentemente práctico.

Los informes técnicos que recopilaban información sobre la dinámica y el comporta-

miento de los sensores en diversas situaciones fueron muy numerosos en los años siguientes.

Destaca especialmente uno que se publicó como resultado de un programa de investigación

de la Comisión Nuclear Reguladora de EEUU (Nuclear Regulatory Comission, NRC)[67]

donde se estudió ampliamente el efecto de la radiación y de los procesos que afectan a la

operatividad de los sensores de presión, entre los que se encuentran los capacitivos de tipo

Rosemount. Este estudio incluía modelos teóricos de los sensores, de sus líneas hidráulicas

y toda la experiencia acumulada en tests de laboratorio y en la planta.

Una de las averías más problemáticas de los sensores tipo Rosemount era la pérdida

de aceite de su cámara interna. Por ello, instituciones como la NRC y la EPRI(Electrical

Power Research Institute) publicaron informes para la detección temprana de dicha avería

[44, 33].

Así, con toda la experiencia acumulada, en el congreso SMORN VI en la sesión de

Monitorización de sensores (Sensor monitoring and signal validation) se presentaron va-

rias ponencias sobre la dinámica de los sensores capacitivos y los modelos autorregresivos,

entre las que destacaban la publicada por el Ciemat para detectar burbujas en las líneas

165


sensoras a través del análisis espectral[10] y la presentada por Hashemian para medir el

tiempo de respuesta in situ de los sensores de presión[66].

En los años siguientes, continuó la publicación de informes técnicos resultado de in-

vestigaciones sobre la dinámica de sensores y sus particularides, tanto a cargo del Ciemat

[8, 7, 21] como a cargo de la NRC [60].

La producción cientíca del Ciemat en los años 90 en el entorno del diagnóstico de

sensores de plantas es muy relevante. Así, Blázquez y Ballestrín [23] establecieron que el

conjunto sensor-línea sensora es un sistema cuya función de transferencia tiene un polo

complejo asociado al acoplamiento entre el sensor y la línea, y otro real, que hace referencia

al propio sensor. El tiempo de respuesta de los sensores está inuenciado por la línea y

otros factores de la planta; no obstante, en ciertos casos en los que la línea es corta, el polo

real del sensor es dominante, y la línea apenas afecta al tiempo de respuesta del sensor.

Por tanto, las tareas de vigilancia se facilitan y pueden llevarse a cabo por técnicos de

la planta. Así, continuando con esta investigación, se obtuvo una expresión analítica del

tiempo de respuesta en [123] y se llevó a cabo el proyecto VISSP (Vigilancia in Situ de

Sensores de Presión)[6], en el que se recopilaron los modelos teóricos de los sensores y

las bases del análisis de ruido, los programas realizados para la vigilancia de éstos y los

resultados obtenidos en determinadas plantas.

Puesto que las averías de los sensores son importantes para el mantenimiento, para el

caso de las burbujas en la línea sensora se propuso la vigilancia de la frecuencia del pico

resonante como parámetro para la detección[11]. Otros trabajos, aunque fuera del ámbito

nuclear, también propusieron para el diagnóstico del bloqueo de la línea el uso de wavelets

166


sobre la señal de salida del sensor[133].

En el campo de los sensores de plantas nucleares no podemos olvidar el trabajo rea-

lizado por Glöckler en los reactores CANDU [53, 54]. En ellos se detalla la manera de

calcular la función de transferencia de los sensores de presión e incluso llega a probar en

laboratorio la existencia de, al menos, que existen dos polos reales asociados al modelo

teórico del sensor.

En referencia a la construcción de nuevos modelos teóricos del sensor que representen

posibles averías se encuentra el estudio de la pérdida de linealidad [49, 22]. En ellos se

aborda el problema de la pérdida de aceite de silicona de los sensores tipo Rosemount. En

un caso se construye un modelo bilineal para representar el diferente comportamiento del

sensor ante una rampa de presión en función de si éste está averiado o no, y en el otro, se

deriva un modelo no lineal que caracteriza completamente la respuesta del sensor si éste

sufre el síndrome de la pérdida de aceite.

Por otro lado , Hashemian publica dos libros de instrumentación orientados al mante-

nimiento en plantas[58, 59]. Dichos libros suponen una referencia para los técnicos e in-

vestigadores de la instrumentación nuclear. Además decide realizar su tesis doctoral [57]

donde propone una manera de poner en funcionamiento un sistema de monitorización

on-line de los sistemas de la planta. Dicho sistema se basa en su experiencia profesional

en el campo de la instrumentación de sensores de presión, temperatura y detectores de

neutrones.

Muy recientemente, los trabajos realizados se han enfocado a mejorar los modelos

teóricos del sensor[80] y utilizar éstos como una nueva herramienta de detección de averías;

167


ya se trate de bloqueos en la línea [81] o de burbujas en la misma[82]. En 2009-2010

Hashemian ha publicado varios artículos [63, 65, 64] en los que revisa las posibles averías

de los sensores y las líneas, enfatiza las ventajas de detectarlas a través del análisis de

ruido on line en planta, los diferentes métodos para medir el tiempo de repuesta utilizados

hasta el momento y las causas que pueden provocar una falta de exactitud en los sensores.

168

4.3. Propuesta de un modelo de cuatro polos para los sensores de presióncapacitivos

4.3. Propuesta de un modelo de cuatro polos para los

sensores de presión capacitivos

Los sensores de presión tipo Rosemount se llevan al laboratorio en muchas ocasiones

para la medida de su tiempo de respuesta. En uno de estos experimentos[53] se puso de

maniesto la existencia de un segundo polo real antes no contemplado en los modelos

propuestos para el sistema transmisor-línea sensora[30, 49, 50].

Hay que tener en cuenta que un experimento de laboratorio consiste en separar el sensor

de su línea sensora y, por tanto, la PSD resultante de dicho experimento corresponde a

un modelo de dos polos reales tal y como se muestra en la gura 4.11.

Figura 4.11: PSD de una señal tomada en un experimento de laboratorio procedente de

un Rosemount .

El tiempo de respuesta se puede calcular a través de la frecuencia de corte correspon-

diente a la caída a 3 dB o aplicando una rampa de presión simulada al modelo autorre-

169


gresivo. En cualquiera de los dos casos, el tiempo de respuesta es único y no depende

de la línea sensora. Como ya se vio anteriormente en el epígrafe 4.1.2, el tiempo de res-

puesta depende fundamentalmente de la estructura interna del sensor y no de su línea.

Por tanto, si se utiliza un modelo de 4 polos para la vigilancia in situ del sensor, habría

que plantearse si la presencia del pico del espectro de frecuencias podría afectar al polo

real de alta frecuencia. Como ya se explicó anteriormente, el pico depende de la longitud

de la línea sensora y, por tanto, habría que comprobar si el valor medido del tiempo de

respuesta se ve afectado sensiblemente por la longitud de la línea sensora.

4.3.1. Modelo de cuatro polos

La analogía eléctrica detallada en el epígrafe 4.1.1 era un circuito RLC acoplado a una

rama en paralelo con una resistencia y una condensador. El primer condensador muestra

el acoplamiento entre el sensor y la línea mediante la membrana aislante y el segundo, se

reere a la membrana sensora en el interior del sensor. No obstante, ante la evidencia de

un segundo polo, se plantea modelar el sistema mediante la analogía eléctrica de la gura

4.12.

Como la velocidad del uido es análoga a la intensidad de corriente, la segunda rama

en paralelo implica que el aceite de silicona ha cambiado su velocidad. En el interior del

sensor existe una segunda reducción de la velocidad debido a la alta resistencia hidráulica

de los tubos cerámicos.

A continuación, se va a proceder a obtener la función de transferencia a partir de la

analogía. Para ello se necesita nombrar las diferentes intensidades de corriente según se

170


Figura 4.12: Analogía eléctrica propuesta para modelar el sensor acoplado a la línea sen-

sora.

muestra en la gura 4.13. lo que también se puede plantear como se recoge en la gura

Figura 4.13: Analogía eléctrica propuesta para modelar el sensor acoplado a la línea sensora

con las intensidades que recorren cada rama.

4.14: donde L es la inercia de la línea sensora, R la resistencia de la línea sensora, M , la

capacidad del diafragma de acoplamiento, r1 la resistencia interna de parte de los tubos

cerámicos, C1 la capacidad que hace referencia al cambio de velocidad del aceite que se

produce en el interior de sensor, r2 la resistencia de la otra parte de los tubos cerámicos

y C2 la capacidad asociada a la membrana sensora.

171


Figura 4.14: Detalle de la analogía eléctrica propuesta para modelar el sensor acoplado a

la línea sensora con las intensidades que recorren cada rama.

Las ecuaciones para llegar a la función de transferencia son las siguientes:

Vi = (R + Ls) I +1

MsI1

V0 =1

C2sI4

(4.21)

Para seguir planteando todas las ecuaciones se necesita la impedancia equivalente del

acoplamiento paralelo entre C1 y el conjunto serie r2 y C2:

z =C2r2s+ 1

C1C2r2s2 + C1s+ C2s(4.22)

I1 = Ir1 + z

r1 + z + 1Ms

(4.23)

I2 = I1Ms

r1 + z + 1Ms

(4.24)

172


I4 = I2

1C1s

r1 + z + 1Ms

(4.25)

Empleando un poco de álgebra, nalmente se obtiene la siguiente función de transferencia,

donde los coecientes del denominador vienen especicados en la tabla 4.2.

H (s) =1

D (s); D (s) = a4s

4 + a3s3 + a2s

2 + a1s+ 1 (4.26)

a1 RM +RC1 +RC2 + r1C1 + r2C2 + r1C2

a2 Rr1MC1 +Rr1MC2 +Rr2MC2 +Rr2C1C2 + r1r2C1C2 + LM + LC1 + LC2

a3 Rr1r2MC1C2 + Lr1MC1 + Lr1MC2 + Lr2MC2 + Lr2C1C2

a4 Lr1MC1C2r2

Tabla 4.2: Coecientes del denominador de la función de transferencia del sensor y la

línea sensora en función de los parámetros de la analogía eléctrica

4.3.2. Valores de las constantes del modelo de 4 polos

A la hora de dar valores a las constantes de la analogía eléctrica se han tenido en

cuenta los valores empleados en la literatura en el modelo de 3 polos[49] y los tiempos

obtenidos por Göckler[53] en el laboratorio. Estos tiempos son:

τ = 80 · 10−3 s ; τ ′ = 15 · 10−3 s (4.27)

Y están relacionados con las constantes del sistema de la siguiente manera:

τ = 2τ2 ; τ ′ = τ1/2 (4.28)

173


Siendo τ1 y τ2 :

τ1 = r1C1 ; τ2 = r2C2 (4.29)

Asumiendo, sin pérdida de generalidad, que r1 = r2 , los valores de las constantes de la

analogía eléctrica son los siguientes:

Sistema Mecánico Analogía eléctrica Valores típicos

Inercia de la línea sensora Inductancia (L) 5,55× 107Pa s2m - 3

Fricción de la línea sensora Resistencia (R) 2,21× 108Pa sm - 3

Diafragma de aislamiento Capacidad (M) 1,03× 10−12 m3Pa - 1

Fricción de la parte interna Resistencia (r1) 1,25× 1012Pa sm - 3

Fricción de la parte interna Resistencia (r2) 1,25× 1012Pa sm - 3

Cambio de velocidad Capacidad (C1) 2,4× 10−14 m3Pa - 1

Diafragma sensor Capacidad (C2) 3,2× 10−14 m3Pa - 1

Tabla 4.3: Valores de las constantes de la analogía eléctrica de 4 polos

Esto supone que la función de transferencia, en unidades SI, sea la siguiente:

H (s) =1

6,18× 10−8s4 + 5,986× 10−6s3 + 0,00128s2 + 0,1102 s+ 1(4.30)

Como se puede apreciar, el coeciente de s4 es muy pequeño, y al comparar estos resultados

con el modelo de tres polos, las diferencias no deberían, en principio ser muy grandes.

174


Los polos de la función de transferencia 4.30 son los siguientes:

p1 = −10,23

p2 = −81,50

p = −2,57 + 139,26j

p∗ = −2,57− 139,26j

(4.31)

Si se calcula la frecuencia de corte de los polos reales, se obtiene lo siguiente:

fp1 =−p1

2π= 1,63Hz

fp2 =−p2

2π= 12,97Hz

(4.32)

Como se puede ver existen dos polos, uno de baja frecuencia y otro de alta frecuencia.

Los tiempos asociados a cada polo son los siguientes:

τp1 =1

2πfP1

=1

2π · 1,63= 97,64 · 10−3 s

τp2 =1

2πfP2

=1

2π · 81,5= 1,95 · 10−3 s

(4.33)

El par de polos complejos conjugados se sitúa en la frecuencia siguiente:

|P | = |P ∗| = 138,829Hz fpico =138,829

2π= 22,17Hz (4.34)

En el modelo de tres polos, el pico resonante está muy lejos del polo real, no obstante,

en el modelo de cuatro polos, puede situarse cerca del polo real de alta frecuencia.

4.3.3. PSD y longitud de la línea sensora

Para un modelo de sensor-línea como el explicado en la sección anterior, de cuatro po-

los, dos de ellos complejos conjugados y dos reales, se tiene una PSD como la representada

en la gura 4.15.

175


Figura 4.15: PSD de la respuesta simulada del sistema sensor-línea y su ajuste por medio

de un modelo autorregresivo.

No obstante, tal y como se explicó en el epígrafe 4.1.2, la frecuencia del pico está dada

por los parámetros de la analogía eléctrica, que en el caso que nos ocupa son:

fpico =1

2π

√1

ML(4.35)

Además, la inercia de la línea L se traduce a longitud de la línea sensor l de la siguiente

manera:

l =LA

ρ(4.36)

siendo A la sección de la línea y ρ la densidad del agua. Para los cálculos realizados

en esta tesis, se han tomado valores de la literatura [11] siendo A = 1, 37 · 10−4 m2 y

ρ = 760 kg/m3. Por tanto, para cada frecuencia del pico resonante se tendrá una longitud

176


de línea diferente y un máximo de longitud de línea lmaxima para el que el modelo es válido

dada por:

λ =v

fpicolmaxima =

λ

2(4.37)

siendo λ la longitud de la onda de presión y v la velocidad del agua (obtenida en el epígrafe

4.1.2). Por tanto, a la hora de simular sensores y sus longitudes de línea se debe tener en

cuenta el máximo de longitud de línea que permite el modelo. Para longitudes de línea

muy largas se utilizan modelos algo más complicados.

En la gura 4.16 se representan dos PSDs correspondientes a dos modelos de ajuste

AR de sensores acoplados a líneas de longitudes diferentes.

Figura 4.16: PSDs de dos sensores acoplados a líneas sensoras cuyas longitudes son 6 y

17 m.

177


4.3.4. Método de Monte-Carlo para la medida del tiempo de res-

puesta

El análisis de ruido del sensor ha consistido en considerar que la señal de salida del

sensor, que es un sistema de cuatro polos, es la respuesta ante un ruido blanco y que

por tanto, los coecientes autorregresivos del sistema se pueden obtener con la ecuación

de Yule-Walker [101]. El orden óptimo del modelo está dado por el criterio de Akaike[2]

o cualquier otro criterio basado en la predicción del error de la varianza del modelo[28].

Para medir el tiempo de respuesta, se obtiene la respuesta a la rampa simulada a tra-

vés del modelo autorregresivo. No obstante, no basta con que se simule la medida una

vez del tiempo de respuesta, sino que para ver la incertidumbre del método debido a la

repetibilidad de las medidas se han usado 1000 muestras de ruido blanco que han dado

lugar a 1000 conjuntos de coecientes autorregresivos con sus correspondientes tiempos

de respuesta. En la gura 4.17 se indica el procedimiento seguido para obtener el tiempo

de respuesta a través de la respuesta del modelo del sensor ante un ruido blanco.

La desviación típica στ de la distribución que englobe todos los tiempos de respuesta

obtenidos es una estimación de la incertidumbre de la medida. Así, si la media aritmética

τ fuera diferente del valor analítico τ0 obtenido de la función de transferencia del sistema,

la medida estaría afectada por un error de medida [19, 20].

Cuando los sensores se simulan suponiéndose acoplados a líneas sensoras cortas, τ es

cercano al valor analítico τ0 y además, la curtosis, el momento de cuarto orden normalizado

(µ4/σ4τ ), de la distribución de τ es mucho más alta que la de una distribución rectangular.

178


Figura 4.17: Procedimiento seguido para obtener el tiempo de respuesta simulando la ex-

citación con ruido blanco.

En la gura 4.18 se muestra un histograma correspondiente a una línea sensora de 10 m,

donde τ = 0,10 s, στ = 0,03 s, la curtosis es 3,25 y τ0 = 0, 11 s. Se observa que el rango

τ ± στ incluye a τ0.

Sin embargo, cuando las líneas sensoras son largas, los resultados son diferentes, tal y

como se muestra en la gura 4.19.

Longitud (m) 65 31 28 26 13.7 10

τ (s) 0.15 0.15 0.14 0.14 0.10 0.10

στ (s) 0.05 0.05 0.05 0.05 0.03 0.03

Curtosis 2.04 1.66 1.74 1.84 3.37 3.25

Máximo (s) 0.25 0.26 0.25 0.25 0.21 0.18

Mínimo (s) 0.02 0.06 0.06 0.06 0.06 0.06

Tabla 4.4: Descriptores estadísticos del tiempo de respuesta de sensores acoplados a líneas

de diferentes longitudes

179


Figura 4.18: Distribución estadística del tiempo de respuesta de un sensor acoplado a una

línea corta (10 m).

Los resultados de la tabla 4.4 corresponden al mismo tiempo de referencia τ0 = 0, 11 s.

Se puede observar que a medida que la longitud de línea es mayor, la desviación típica

se hace mayor. Además, la curtosis toma valores cercanos a 1,8 (valor característico de

una distribución rectangular) cuando las líneas sensoras son largas y de valor mayor que

2 cuando son cortas.

Discusión de resultados

La simulación de la medida in situ del tiempo de respuesta aplicando un modelo

autorregresivo, y eligiendo el orden del modelo por medio del criterio de Akaike y el

principio de parsimonia, da resultados aceptables cuando la línea sensora es corta. Sin

embargo, cuando la línea sensora es larga, aparece un error sistemático quedando afectado

180


(a) Distribución estadística de τ para una línea sensora de 31 m

(b) Distribución estadística de τ para una línea sensora de 65 m

Figura 4.19: Distribuciones estadísticas de sensores acoplados a líneas de diferente longi-

tud. (a) l = 31 m , τ = 0, 15 s y στ = 0, 05 s.(b) l = 65 m , τ = 0, 15 s y στ = 0, 05 s.

181


el resultado de la medida. En la práctica, dicho error es desconocido y puede dar lugar a

una errónea sustitución del sensor.

En esta tesis se propone corregir el error sistemático utilizando un orden de modelo

distinto al obtenido con el criterio de Akaike [28] hasta que la simulación por el método

de Monte-Carlo dé lugar a valores de la curtosis de la distribución estadística de los

tiempos de respuesta mayores que los de una rectangular y además, que el valor medio

de ésta (τ) sea compatible con el valor analítico (τ0). En la gura 4.20 se muestran los

histogramas obtenidos aplicando el criterio de Akaike y un orden mucho mayor que da

lugar a distribuciones de curtosis mucho más altas.

Como se puede apreciar, las simulaciones que han utilizado un orden mayor al dado

por el criterio de Akaike tienen curtosis más altas y se acercan a distribuciones parecidas

a una gaussiana, de manera que el error sistemático de la medida del tiempo de respuesta

se elimina.

En la práctica, para determinar el orden del modelo autorregresivo, la medida debe

simularse con cada una de las longitudes de línea de interés. El orden aplicado para

analizar el ruido procedente de la planta se obtiene con el método de Monte-Carlo.

Cuando el criterio de Akaike se aplica, el hecho de que aparezcan valores de curtosis

bajas en las distribuciones por Monte-Carlo permite establecer si la línea sensora es larga

o no. En el modelo dinámico del sensor, los dos polos reales se relacionan con el tiempo

de respuesta, aunque la contribución del polo de alta frecuencia sea despreciable en la

práctica. Sin embargo, es muy probable que la frecuencia del pico resonante tome valores

cercanos a la frecuencia del polo real de alta frecuencia e incluso alacance el rango de

182


Figura 4.20: (a) Simulación de Monte-Carlo obtenida con n = 5 (Orden de Akaike) para

un sensor acoplado a una línea sensora corta (12 m). (b) Simulación de Monte-Carlo con

n = 5 (Orden de Akaike) para una línea sensora larga (26 m). (c) Simulación de Monte-

Carlo con n = 10 (Orden óptimo) para una línea sensora corta (12 m). (b) Simulación

de Monte-Carlo con n = 10 (Orden óptimo) para una línea sensora larga (26 m).

183


frecuencias limitado por ambos polos. La frecuencia del pico estará siempre alejada del

polo de más baja frecuencia ya que el modelo físico lo requiere. Se puede considerar

entonces que las líneas largas son aquellas en las que el pico resonante esté cerca del polo

real de alta frecuencia y es en esos casos cuando surge el error a la hora de simular la

medida utilizando el criterio de Akaike.

184

4.4. Incertidumbre en la estimación del tiempo de respuesta

4.4. Incertidumbre en la estimación del tiempo de res-

puesta

La incertidumbre en la estima del tiempo de respuesta tiene dos componentes: una

se deriva del cálculo de los coecientes autorregresivos y la otra, de la variabilidad de

la muestra de ruido utilizada. Para obtener la primera, hay que tener en cuenta que los

coecientes autorregresivos se obtienen a través de las ecuaciones de Yule-Walker:

C1

C2

...

Cm

=

C0 C1 . . . Cm−1

C1 C0 . . . Cm−2

......

......

Cm−1 Cm−2 . . . C0

·

a1

a2

...

am

donde a1, a2...am son los coecientes autorregresivos y C0, C1, Cm son los valores de la

autocorrelación del ruido para diferentes desfases. Abreviadamente se expresa en notación

vectorial como función de la matriz de autocorrelación P y del vector ~a de coecientes:

~C = P~a

Por tanto, si a es una estima del vector ~a, la matriz de covarianza será:

E∣∣(~a− a) (~a− a)t

∣∣ =σ2ν

N −mP−1 (4.38)

donde σ2ν es una estima de la varianza del ruido blanco, n el orden del modelo AR y N

el tamaño de la muestra de ruido. Como se puede observar, este cálculo no es trivial y

185


además supone que en la matriz de covarianzas (eq:4.38) haya que considerar no sólo los

elementos de la diagonal, sino también los no-diagonales.

En esta parte de la tesis se propone otra manera de calcular la incertidumbre que

implique un cálculo más sencillo y práctico.

4.4.1. Fuentes de incertidumbre

Para calcular la incertidumbre en la estima del tiempo de respuesta se deben conocer

las incertidumbres tipo A, uA, y tipo B,uB. La de tipo A depende de la variabilidad de

la muestra de ruido y por tanto, la distribución de probabilidad de esta componente es

de tipo gaussiana. Por otro lado , la de tipo B es debida al error sistemático al escoger

un número de coecientes distinto del óptimo, es decir, si se deben elegir 8 coecientes,

se escogen 7 o 9. En principio, la probabilidad de escoger un modelo autorregresivo con

un coeciente menos o más que el óptimo es idéntica a la de elegir un modelo con dos

coecientes de discrepancia con respecto al óptimo. Por tanto, la incertidumbre tipo B

sigue una distribución de probabilidad rectangular cuya semi-anchura a, depende de la

diferencia entre el tiempo de respuesta óptimo y el estimado tal y como se muestra en la

gura 4.21.

186


Figura 4.21: Función de probabilidad rectangular que sigue la incertidumbre tipo B asocia-

da a la causa sistemática de elegir un número no óptimo de coecientes autorregresivos.

4.4.2. Función modelo para el tiempo de respuesta

El tiempo de respuesta se puede expresar en función del valor estimado y de la incer-

tidumbre asociada a esa estimación como:

τ = τe ± U(τ) (4.39)

siendo τe el valor estimado por el modelo AR y U(τ) la incertidumbre expandida del

tiempo de respuesta que se expresa como:

U(τ) = ku(τ) (4.40)

siendo u(τ) la incertidumbre típica y k el factor de cobertura. La incertidumbre típica se

calcula a partir de los valores de las incertidumbre tipo A y tipo B:

u(τ) =√u2B + u2

A (4.41)

187


Por tanto, se puede expresar el tiempo de respuesta como una función modelo del valor

estimado τe y de las correcciones que se deberían aplicar por la variabilidad de la muestar

de ruido, δτA y por el error sistemático al escoger un número inadecuado de coecientes,

δτB:

τ = τe + δτA + δτB (4.42)

y, en consecuencia, la incertidumbre típica se calcula como:

u2(τ) = u2(δτA) + u2(δτB) (4.43)

4.4.3. Factor de cobertura para el tiempo de respuesta

Para hallar el factor de cobertura será necesario calcular analíticamente la función de

probabilidad para estimar la incertidumbre del valor esperado del tiempo de respuesta

siendo la función modelo del tipo Y = X1 + X2. A esta función de probabilidad la de-

nominaremos gaussiana-aplanada (Flatten-gaussian) y se puede hallar por medio de los

polinomios caos[83] o bien utilizando los momentos centrales[37]. Para una solución ana-

lítica, se necesitan estos métodos dado que la función rectangular no es analítica en los

bordes. En esta tesis, se seguirá el método de los momentos centrales, teniendo en cuenta

que los momentos impares son cero debido a la simetría de la función de densidad de

probabilidad gaussiana-aplanada; por tanto, sólo se considerarán los momentos segundo

y cuarto.

La función generadora de momentos para la gaussiana-aplanada debe ser:

MY (t) = exp

(σ2gt

2

sinh(art)

art

), ar =

√3σr, (4.44)

188


donde el primer factor corresponde a una distribución gaussiana y el segundo a una

rectangular con semi-anchura ar. Desarrollando My(t) en serie de Taylor hasta el cuarto

orden, se obtienen el segundo y cuarto momentos:

µ2 = σ2g + σ2

r ; µ4 = 3σ4g + 6σ2

gσ2r +

9

5σ4r (4.45)

Se puede observar que µ2 es la suma de las varianzas, como se esperaba; pero µ4 contiene

un término cruzado que es dominante en el caso en que ambas varianzas sean de orden

de magnitud similar.

La forma analítica de la función de densidad de probabilidad gaussiana-aplanada

pFG(Y ) se obtiene aplicando el principio de máxima entropía limitado con los cuatro

momentos [41]. El resultado es:

pFG(Y ) = Ae−aY2−bY 4

(4.46)

donde A es el factor de normalización para que el área sea la unidad y los coecientes a

y b se obtienen como los multiplicadores de Lagrange haciendo la entropía máxima.

Se requieren algunas restricciones para los coecientes: por razones de convergencia,

b > 0. No obstante, el coeciente a, considerado como un multiplicador de Lagrange,

podría ser negativo. En este caso, la distribución gaussiana-aplanada no sería unimodal.

Para evitar este caso, se requiere que la condición a > 0 se cumpla siempre.

El factor de normalización A se calcula de:

∫ ∞∞

pFG(Y )dY = 1 (4.47)

189


denotando α = ab1/2, se obtiene∫ ∞∞

pFG(Y )dY

= 2b−1/4

∫0∞e−αu

2−u4

du

= 2b−1/4

[1

4Γ

(1

4

)F1

(1

4;1

2;α2

4

)− α1

4Γ

(3

4

)F1

(3

4;3

2;α2

4

)](4.48)

donde F1(n;m;x) es la función de primer orden hipergeométrica conuente. Si se

realiza el cambio de variables: λ = b−1/4, s = (2a)−1/2, la forma completa de la función

de densidad de probabilidad es:

PFG(Y ) =( 2λ) exp

(−Y 2

2s2− Y 4

λ4

)Γ(1

4)1F1(1

4; 1

2; λ4

16s4)− λ2

2s2Γ(3

4)1F1(3

4; 3

2; λ4

16s4)

(4.49)

Para obtener el factor de cobertura se necesitan las constantes a y b, que pueden ser

calculadas como multiplicadores de Lagrange en el proceso de minimización de la entropía,

o bien igualando el segundo y cuarto momentos obtenidos de las medidas con los momentos

de la función de densidad de probabilidad. En cualquier de los dos casos se necesita resolver

un sistema de ecuaciones no lineales.

Debido a esta dicultad, es mucho más sencillo construir distribuciones gaussianas

aplanadas generando números aleatorios uniformemente distribuidos. Así se puede obtener

el factor de cobertura kv, que para un nivel de conanza del 95% tiene la siguiente

expresión empírica:

kv =1, 64σr + 1, 96σg

σr + σg(4.50)

Para nuestro caso concreto, se necesita la incertidumbre tipo A o σg y una incertidum-

bre tipo B o σr que se obtienen de los datos de las estimaciones del tiempo de respuesta.

190


En la tabla 4.5 se presentan los diferentes tiempos de respuesta medios obtenidos con

cada modelo AR de n coecientes, así como las desviaciones típicas de las distribuciones

de los tiempos de respuesta obtenidos con el método de Monte-Carlo par auna longitud

de línea de 21 m.

n τ σ curtosis

5 0,1186 0,0417 2,72

6 0,0967 0,0182 4,7177

7 0,0969 0,0136 2,78

8 00986 0,0115 2,92

9(óptimo) 0,1010 0,0108 2,95

10 0,1016 0,0101 3,25

Tabla 4.5: Valores de tiempos de respuesta medios, desviaciones típicas y curtosis para

modelos autorregresivos de diferentes número de coecientes y longitud de línea de 21 m

Así, para el cálculo de la incertidumbre tipo B, se toman los valores de la tabla 4.5:

uB =τn=9 − τn=7√

3=

0, 0041√3

= 0, 0024 (4.51)

siendo la incertidumbre típica:

u(τ) =√u2A + u2

B =√

0, 00242 + 0, 012 = 0, 01s (4.52)

El factor de cobertura es según (4.50):

kv =1, 64σr + 1, 96σg

σr + σg=

1, 64 · 0, 0024 + 1, 96 · 0, 01

0, 0024 + 0, 01= 1, 898 ≈ 1, 9 (4.53)

191


Por tanto, la incertidumbre expandida de la estimación del tiempo de respuesta es:

U(τ) = kvu(τ) = 1, 9 · 0, 01 = 0, 019s (4.54)

192

4.5. Obtención in situ del cuarto polo de un sensor de presión capacitivo tipoRosemount

4.5. Obtención in situ del cuarto polo de un sensor de

presión capacitivo tipo Rosemount

Puesto que según se ha explicado en el epígrafe 4.3 las medidas en laboratorio muestran

que al menos existen dos polos reales asociados a la parte interna del sensor, aplicando la

metodología conocida como Dynamic Data System [110, 71], sería posible, aplicando los

métodos del análisis de ruido y utilizando un adecuado tiempo de muestreo, obtener un

modelo autorregresivo con únicamente cuatro coecientes autorregresivos que permitiera

la identicación de los dos polos reales del sensor.

En esta parte de la tesis se han analizado señales procedentes de tres sensores capaci-

tivos de caudal procedentes de un PWR registrados con un tiempo de muestreo de 0,02

segundos. El registro de las señales se ha realizado in situ, estando operativo el sensor en

todo momento. En la gura 4.22 se han representado las señales procedentes de cada uno

de los sensores.

193


(a) Señal del sensor 1

(b) Señal del sensor 2

(c) Señal del sensor 3

Figura 4.22: Señales registradas in situ de tres sensores de caudal tipo Rosemount ubicados

en un reactor PWR 194


Como se puede observar, las tres señales tienen componentes de baja frecuencia que

añaden una cierta tendencia que debe ser eliminada ltrando adecuadamente. En el caso

que nos ocupa, se ha utilizado la herramienta de Matlab sptool para ltrar las señales. En

los tres casos se han utilizado ltros pasaaltos de Butterworth cuya frecuencia de corte

ha sido 0,04 Hz.

En las guras 4.23 y 4.24 se muestran dos impresiones de pantalla de la interface

gráca de sptool para diseñar el ltro.

Figura 4.23: Interface gráca de la herramienta sptool de Matlab para diseño de ltros.

195


Figura 4.24: Interface gráca de la herramienta sptool de Matlab para diseño de ltros

donde se muestra la frecuencia de corte (Fc) y la frecuencia de muestreo (Fs).

En las guras 4.25 4.26 y 4.27 se representan las señales y su correspondiente resultado

tras la aplicación del ltro.

196


Figura 4.25: Señal correspondiente al sensor 1(superior) y su correspondiente tras el l-

trado(inferior).

197



trado(superior).

198



trado(superior).

Como se puede apreciar, el ltro ha eliminado la tendencia que se observaba previa-

mente. Las señales de planta no sólo registran los datos del sensor sino todo aquello que

rodea al mismo y que forma parte de la operación de la planta. La eliminación de ciertas

frecuencias es fundamental para una correcta interpretación de los datos y para poder

obtener el cuarto polo, tal y como se verá más adelante.

199


El siguiente paso es calcular la PSD de la señal y estimar el modelo autorregresivo a

través del cuál se obtendrán los polos del sistema. En las guras que se van a presentar

a continuación (4.28, 4.29 y 4.30) se han obtenido las PSDs y se han ajustado con un

modelo AR de cuatro coecientes autorregresivos.

Figura 4.28: PSD de la señal procedente del sensor capacitivo de caudal número 1 y su

ajuste autorregresivo utilizando cuatro coecientes .

200



ajuste autorregresivo utilizando cuatro coecientes.

201



ajuste autorregresivo utilizando cuatro coecientes.

202


Como se puede apreciar, el modelo autorregresivo con únicamente cuatro coecientes

no es suciente para ajustar la PSD de la señal. La operación de ltrado no ha conseguido

eliminar una zona de baja frecuencia que da lugar a un par de polos complejos conjugados.

Son precisamente éstos los que aparecen en los modelos autorregresivos. Así, los polos del

modelo para el caso del sensor 3 (gura 4.30) son:

p1 = −3, 3842 + 87, 6560i

p∗1 = −3, 3842− 87, 6560i

p2 = −6, 4601 + 10, 4149i

p∗2 = −6, 4601− 10, 4149i

(4.55)

Los polos p1 y p∗1 corresponden al acoplamiento entre la línea sensora y el sensor

capacitivo y dan lugar al pico que se observa en la parte derecha de la PSD. Los otros

polos p2 y p∗2 corresponden a una componente de baja frecuencia que no forma parte del

sistema línea-sensor y que no se ha conseguido eliminar con el ltrado. No obstante, dado

que ltrar es una operación complicada y podría eliminardel espectro alguno de los polos

reales del sensor, se ha preferido ajustar la PSD con seis coecientes autorregresivos. Así,

el par de coecientes a añadir debe corresponder a los dos polos reales que contribuyen al

tiempo de respuesta del sensor.

En las guras 4.31, 4.32 y 4.33 se muestran los ajustes con los seis coecientes.

203



ajuste autorregresivo utilizando seis coecientes.

204




205




206


Como se puede ver,es suciente tomar seis autorregresivos para ajustar las PSD de

las señales. Los polos en el plano s obtenidos a través del modelo autorregresivo para el

sensor no 1 son:

p1 = −2, 9516 + 89, 8452i

p∗1 = −2, 9516− 89, 8452i

p2 = −25,9637 + 22, 0523i

p∗2 − 25, 9637− 22, 0523i

p3 = −6, 5987

p4 = −96, 3488

(4.56)

donde p1 y p∗1 son los polos complejos asociados al acoplamiento entre la línea y el sensor,

p2 y p∗2 son los polos complejos de la componente de baja frecuencia que no se ha podido

eliminar mediante el ltrado, y p3 y p4 son los dos polos reales del sensor. Las frecuencias

de corte de estos últimos polos y los tiempos asociados a los mismos son:

p3 = −6, 6 f3 = 1, 05 Hz τ3 = 0, 15 s

p4 = −96, 35 f4 = 15, 33 Hz τ4 = 0, 01 s

(4.57)

lo que supone que el tiempo de respuesta τ del sensor es 0,16 s, valor que está de acuerdo

con lo medido en laboratorio para estos sensores[53].

207


Los polos obtenidos para el sensor no 2 son:

p1 = −2, 79 + 89, 79i

p∗1 = 2, 79− 89, 79i

p2 = −0,22, 97 + 23, 77i

p∗2 = −22, 97− 23, 77i

p3 = −5, 26

p4 = −155, 73

(4.58)

que corresponden con las siguientes frecuencias de corte y tiempos de respuesta:

f3 = 0, 8371 Hz τ3 = 0, 19 s

f4 = 24, 7846 Hz τ4 = 0, 006 s

(4.59)

Por último, los polos en el plano s del sensor no 3 son:

p1 = −2, 61 + 89, 87i

p∗1 = 2, 61− 89, 87i

p2 = −23, 85 + 23, 29i

p∗2 = −23, 85− 23, 29i

p3 = −6, 99

p4 = −136, 98

(4.60)

y sus frecuencias de corte y tiempos asociados:

f3 = 1, 1126 Hz τ3 = 0, 1431 s

f4 = 21, 8005 Hz τ4 = 0, 0073 s

(4.61)

208


Como se puede ver, el polo real de alta frecuencia, es decir, el cuarto polo, es difícil de

encontrar debido a que su contribución al tiempo de respuesta es pequeño y porque se

ubica muy cerca del pico resonante. No obstante, forma parte de la dinámica del sensor y

en consecuencia, dado que contribuye al tiempo de respuesta, debe ser vigilado. Además,

la metodología que aquí se ha expuesto ha demostrado ser ecaz para realizar dicha

vigilancia in-situ.

209


4.6. Modelo bilineal de un sensor de presión capacitivo

para la detección del síndrome de la pérdida de

aceite

La pérdida de aceite de silicona en un sensor de presión es una anomalía difícil de

detectar [53]. El aceite de silicona rellena un pequeño canal que reduce la presión entre

la membrana de aislamiento y la membrana sensora. Como el sensor es capacitivo, el

aceite actúa también como dieléctrico inuyendo en la capacidad eléctrica del sensor.

Dicha pérdida de aceite provoca que el comportamiento de la membrana sensora pierda

su simetria, actuando con una rigidez distinta según el signo de la sobrepresión a que esté

sometida. El tiempo de respuesta del sensor no es sensible al síndrome de pérdida de aceite

de silicona en su fase incipiente cuando aún no se puede asegurar la existencia de la avería;

la respuesta ya no es lineal, con lo que, en rigor, si se somete al sensor a una rampa de

presión, el tiempo de respuesta depende del signo de la rampa. El cambio de las condiciones

dinámicas del sensor produce un comportamiento bilineal. La aparición de no linealidades

en los sistemas de planta, aparte de ser un indicador de avería incipiente, hace necesario

implementar estrategias de compensación en los lazos de control[124]. Se han estudiado

procedimientos empíricos para lograr una detección temprana de esta anomalía, pero en

esta tesis se desarrolla una justicación teórica mediante la modelización del sensor, con

la posibilidad de obtener un indice de alarma que evidencie la existencia del síndrome.

210

4.6. Modelo bilineal de un sensor de presión capacitivo para la detección delsíndrome de la pérdida de aceite

4.6.1. Antecedentes

Cuando se produce una pérdida de aceite se puede observar que el comportamiento del

sensor da lugar a un desvio signicativo de la medida en relacion con los valores dados por

otros canales redundantes, al tiempo que una disminucion del nivel de ruido a la salida del

sensor, dicultad para su calibracion y respuesta lenta despues de una parada del reactor.

Todo ello fue observado por primera vez en 1987, en transmisores de presion dife-

rencial Rosemount 1153HD5PC. Estos transmisores fueron declarados fuera de servicio

y el fabricante, tras diversas pruebas, identicó la anomalía como una fuga del aceite.

Como consecuencia de este suceso algunos investigadores y el propio fabricante [107] em-

prendieron estudios para entender este síndrome y generar procedimientos de detección

incipiente.

Las investigaciones experimentales demostraron que la membrana retardaba su vuelta

a la posicion de equilibrio después de una sobrepresión [67], con lo que se ocasionaba una

asimetría en la vibración de la membrana.

Esta asimetría de las oscilaciones se reeja en los valores del ruido, hay una relación

entre el sesgo de la distribución de amplitudes [67] y el valor de la pérdida.

En la gura 4.34 se muestra un ejemplo característico de ruido bilineal. Sin embargo

el detectar sesgo en el ruido no es suciente para asegurar la existencia del síndrome,

porque también otras anomalías pueden dar lugar al sesgo. Debe existir al mismo tiempo

una disminución de la varianza.

211


Figura 4.34: Ruido típico en el síndrome de pérdida de aceite.

En las pruebas en el laboratorio se encontraron tiempos de respuesta diferentes según

que la rampa fuera positiva o negativa; especialmente, en el modelo indicado, en el caso

en que el punto de tarado correspondía a baja presión, las membranas vuelven a su

posición de equilibrio muy lentamente en la rampa negativa, con tiempos de respuesta

muy superiores a los obtenidos para la rampa positiva.

4.6.2. Modelización del síndrome

La gura 4.35 muestra la analogía eléctrica propuesta para modelar la pérdida de

aceite del sensor. Como se observa, el modelo de partida para el conjunto sensor-línea

sensora es el de un sistema de tres polos. Los valores típicos de los parámetros de dicho

circuito se han tomado de la literatura [11] y se recogen en la tabla 4.6.

212


Figura 4.35:Modelo físico simplicado del sensor de presión y su correspondiente eléctrico.

Las características del síndrome podrían explicarse según la gura 4.35 repartiendo la

capacidad de la membrana sensora en dos condensadores. Cuando la presión es positiva,

hay una rigidez dieléctrica normal (C1), y cuando es negativa, la pérdida de aceite ocasiona

otra rigidez (C2). Para separarlas se incluyen los diodos en el modelo, que deja asi de ser

lineal.

La respuesta no lineal se puede modelizar empleando dos funciones de transferencia

cuya forma es [123]:

H (s) =1/Cs

(LS +R)(1− r+1/Ls1/Ms

) + r + 1/Cs(4.62)

Una de las funciones de transferencia se obtiene seleccionando C = C1 si V0 > 0, y la

otra tomando C = C2 si V0 < 0. Esto es necesario para explicar por qué los tiempos de

213


Tabla 4.6: Valores típicos de los parámetros del sensor y la línea sensora

214


respuesta a rampas positivas y negativas son distintos. Las respuestas a la rampa vienen

dadas por la transformada inversa de Laplace de H(s)/s2. De aquí pueden calcularse los

tiempos de respuesta para ambas rampas.

4.6.3. Resultados de la simulación del análisis de ruido

La primera manifestación del síndrome es la pérdida de amplitud del ruido. En la

gura 4.36 se observa cómo disminuye la varianza al aumentar la capacidad C2 respecto a

la de referencia C1. Los sensores redundantes que no sufren el síndrome son la clave para

identicar el primer síntoma. Es necesario también detectar la falta de simetría.

Figura 4.36: Reducción de la varianza del ruido en función del cambio de capacidad

∆C/C1 = (C2 − C1)/C1 asociado a la presencia del síndrome.

En la gura 4.37 se ha representado el sesgo en función del cambio de capacidad.

Es una función creciente debido a que la asimetría es maniesta y a que la varianza es

215


decreciente. Los sensores redundantes que no sufren el síndrome tienen un sesgo nulo.

Figura 4.37: Aumento del sesgo del ruido en función del cambio de capacidad ∆C/C1 =

(C2 − C1)/C1 asociado a la presencia del síndrome.

El análisis de frecuencia es menos adecuado para la detección del síndrome. Se debe

a que la línea sensora y la rigidez de la membrana aisladora, que explican la resonancia

del espectro, permanecen inalterados por el síndrome, habiéndose observado sólamente

un pequeño corrimiento del polo real hacia la izquierda.

El tiempo de respuesta es la base para la vigilancia de los sensores, pero en un sistema

no lineal no es unívoco, por lo que, en rigor, este concepto no debería usarse. Ademas,

aunque τ se calculase, no es el parámetro de vigilancia adecuado para detectar el síndrome

de la pérdida de aceite. En efecto, se ha calculado τ simulando el síndrome con diferentes

niveles de incidencia; tal y como se observa en la gura 4.38 no se trata de un buen

indicador de la avería como la varianza o el sesgo.

216


Figura 4.38: Tiempo de respuesta, calculado suponiendo linealidad, en funcion del cambio

de capacidad ∆C/C1 = (C2 − C1)/C1 asociado a la presencia del síndrome.

Para realizar un análisis, basado en el tiempo de respuesta, en el caso del síndrome,

puede procederse de una manera más simple: se descompone la señal de ruido en sus

partes positiva y negativa:

x+j =

xj, si xj ≥ 0

0, si xj < 0

; x−j =

0, si xj ≥ 0

xj, si xj < 0

(4.63)

Ambas señales se han analizado como ruidos lineales, puesto que no son señales deter-

ministas. Se han obtenido los tiempos de respuesta τ+ y τ− correspondientes a cada una de

ellas. Se ha llamado a+ al conjunto de coecientes cuando el ruido es positivo y a− cuando

es negativo. Los coecientes a+ toman el mismo valor que los a que se obtendrían si no

existiera la pérdida de aceite. El sentido de este análisis se justica porque un ruido lineal

217


Tabla 4.7: Coecientes AR: a+ corresponde al caso normal (C2 = 0) y a− corresponde al

caso de pérdida de aceite en el que C2/C1 = 2. Tiempo de muestreo 0,01 s.

descompuesto según (4.63) da lugar a dos señales con coecientes AR a+ y a− iguales a

los correspondientes al ruido lineal original.

Si se consideran los valores de la tabla 4.6 para simular el comportamiento del sensor,

y se supone una incidencia del síndrome tal que C2/C1 = 2, un posible conjunto de

coecientes AR se recoge en la tabla 4.7.

Si a partir de los coecientes AR a+ y a− se calcula la respuesta a la rampa positiva y

negativa, se obtienen distintos valores, en conformidad con los valores determinados en las

experiencias de laboratorio. Se han obtenido las respuestas a las rampas para C2/C1 = 2.

Los tiempos de respuesta obtenidos son τ+ = 0, 24 s, caso normal; y τ− = 0,47 s, caso del

síndrome.

Puede obtenerse un indice dado por el cociente |τ− − τ+| /τ donde τ+ y τ− son los

tiempos de respuesta obtenidos descomponiendo la señal de ruido en sus partes positiva y

negativa, respectivamente; y τ es el tiempo de respuesta considerando el ruido procedente

de un sistema lineal. El índice así calculado es un indicador de la gravedad del síndrome.

218


En la gura 4.39 se muestra la representación del índice de anomalía en función del cambio

de capacidad producido por el síndrome. Como puede observarse en la gura 4.39, cuando

este índice es mayor que 100% indica la presencia de la anomalía, ya que a partir del 100%

cambia cualitativamente la distribucion de los valores: primero se ajustan a una recta y

después forman una nube en torno a una recta diferente.

Figura 4.39: Índice ∆τ/τ en función del cambio de capacidad ∆C/C1 = (C2 − C1)/C1

asociado a la presencia del síndrome.

219



Las conclusiones a las que se ha llegado en este capítulo de la tesis son las siguientes:

Obtención de un nuevo modelo de un sensor capacitivo a partir de una

analogía eléctrica: Se ha obtenido un nuevo modelo de cuatro polos (dos reales

y dos complejos conjugados) para el sensor capacitivo de presión tipo Rosemount a

partir de una analogía eléctrica y como consecuencia de la evidencia en laboratorio

de que existe al menos un polo real extra a añadir al modelo anterior de tres polos.

El orden del modelo dado por el criterio de Akaike no es correcto, si las

líneas sensoras son largas: Se ha utilizado el análisis de ruido para simular la

medida in situ del tiempo de respuesta del modelo de cuatro polos y se ha observado

que el tiempo obtenido tiene un error sistemático cuando se utiliza el criterio de

Akaike para obtener el orden del modelo autorregresivo en un sensor acoplado a

líneas sensoras largas.

Aplicación de un método de Monte Carlo para establecer un nuevo orden

del modelo AR que evite el error sistemático y aplicación a las medidas

reales: Por medio de un método de Monte Carlo se obtienen distribuciones estadís-

ticas del tiempo de respuesta. El orden óptimo del modelo es aquel cuya distribución

estadística tiene curtosis mucho más altas que la de una rectangular. El método de

Monte-Carlo establece el orden óptimo para cada longitud de línea y éste luego

podrá ser utilizado para la obtención del modelo AR en la práctica.

220


Propuesta de un modelo bilineal para reproducir el comportamiento del

sensor cuando sufre el síndrome de la pérdida de aceite: Se propone un

modelo para explicar cuantitativamente el comportamiento bilineal observado en los

sensores de presión del tipo Rosemount que presentan el síndrome de la pérdida de

aceite. El modelo consiste en una analogía eléctrica con dos diodos para reproducir

respuestas no lineales.

Simulación de la avería utilizando dos modelos AR diferentes: Se ha si-

mulado la respuesta bilineal con dos modelos AR, de manera que cada uno de ellos

proporcione la respuesta cuando actúe cada uno de los diodos. Se han simulado

cuarenta respuestas lineales variando poco a poco la capacidad del sensor, así se

ha podido detallar la evolución de la avería. Este procedimiento evita resolver nu-

méricamente ecuaciones diferenciales estocásticas no lineales, y permite extender la

aplicación de los modelos AR, que en el ámbito del mantenimiento son más conocidos

que los métodos no lineales.

Diagnóstico de la avería por medio de parámetros estadísticos del ruido

no lineal: El análisis de ruido de las señales generadas reproduce los resultados ex-

perimentales observados tanto en el laboratorio como en las plantas. Se ha diagnos-

ticado el síndrome a partir del decrecimiento de la varianza, y a partir del aumento

del sesgo del ruido no lineal generado. También se ha comprobado que el tiempo

de respuesta no es la magnitud de vigilancia adecuada para detectar la presencia

incipiente del síndrome.

221


Obtención de un índice de vigilancia para cuanticar la intensidad de la

anomalía: Considerando la asimetría del ruido bilineal, se ha propuesto un índice

de vigilancia basado en el tiempo de respuesta, para cuanticar la intensidad de la

anomalía. Este índice tiene la ventaja de calcularse con los algoritmos lineales que

se emplean para medir el tiempo de respuesta, extendiéndose así la aplicación de

una metodología lineal bien conocida al ámbito no lineal.

Obtención del cuarto polo de un sensor de presión capcitivo: Se ha obtenido

el cuarto polo del sensor a través del análisis de las PSDs procedentes de tres

sensores capacitivos tipo Rosemount de planta. Dicho hallazgo implica variar el

tiempo de muestreo de las señales, ltrar la señal con un ltro pasaaltos y realizar

un ajuste autorregresivo con un número de coecientes que evite los polos espúreos.

4.8. Publicaciones

Artículos en revistas

J.Blázquez, A.García-Berrocal, C.Montalvo y M.Balbás. The coverage factor

in a Flatten-Gaussian distribution. Metrologia, 2008, 45, 503-506.

C.Montalvo, M.Balbás, J.Blázquez y J.M.Chicharro. Vigilancia paramétrica de

la bilinealidad de transmisores de presión por análisis de ruido. Información

tecnológica, 2010, 21(2), 77-84.

C.Montalvo, M.Balbás, J.Blázquez and A.García-Berrocal. Application of the

222

4.8. Publicaciones

Monte Carlo method for capacitive pressure transmitters surveillance in Nu-

clear Power Plants. Enviado aMathematics and Computers in Simulation Mayo

2010.


A.García-Berrocal, J.M.Chicharro, C.Montalvo, J.Blázquez y M.Balbás. Ca-

racterización de un comportamiento bilineal mediante análisis de ruido: una

aplicación al mantenimiento predictivo. 8o Congreso Iberoamericano de Inge-

niería Mecánica, Cuzco, 23 al 25 de Octubre de 2007.

J.Blázquez, A.García-Berrocal, M.Balbás y C.Montalvo. Factor de cobertura

con incertidumbres combinadas de Tipo A y B.4o Congreso Español de Metro-

logía, Santander,1 al 3 de junio de 2009.

C.Montalvo, M.Balbás, J.Blázquez y A.García-Berrocal.Obtención por medio

de análisis de ruido del cuarto polo de un sensor capacitivo de presión. Acta

de congreso. XVII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica, Ciudad Real,

Noviembre 2010.

223


224

Parte III

SISTEMAS NO LINEALES

225

Capítulo 5

LA TRANSFORMADA DE HILBERT

Y EL MANTENIMIENTO

PREDICTIVO

5.1. Introducción

El análisis de Fourier ha demostrado ser una herramienta fundamental en el análisis

de señales en el dominio de la frecuencia. No obstante tiene sus limitaciones y cuando los

sistemas no son lineales o existen frecuencias que desaparecen o aparecen con el tiempo,

Fourier no es capaz de discriminar el momento en que eso ocurre. Para esos casos se

necesitan otro tipo de herramientas en las que el análisis no sólo sea global sino también

local y se puedan ver los cambios que sufren las frecuencias de vibración de los sistemas

a lo largo del tiempo.

La transformada de Hilbert y más recientemente, la transformada de Hilbert-Huang

227

5. LA TRANSFORMADA DE HILBERT Y EL MANTENIMIENTOPREDICTIVO

se han utilizado para la caracterización de sistemas no lineales, o que no son estacionarios

ni ergódicos. Existe una gran cantidad de datos en la realidad que no pueden ser anali-

zados como sistemas lineales, estacionarios y ergódicos de disciplinas muy dispares como:

sísmica, geofísica, medicina, economía, biología, etc.

En este último capítulo de la tesis se va a utilizar la transformada de Hilbert en el

análisis de señales no lineales de un sensor de presión capacitivo tipo Rosemount y además

se aplicará la transformada de Hilbert-Huang para el análisis de señales procedentes de

una pala de aerogenerador. Este último caso, que no se encuadra dentro de la ingeniería

nuclear, se muestra como ejemplo de las posibilidades que ofrece la transformada de

Hilbert-Huang en el mantenimiento avanzado en problemas mecánicos, objeto de nuestra

tesis.

228

5.2. La transformada de Hilbert-Huang


La transformada de Hilbert-Huang es una herramienta para analizar señales no linea-

les y no estacionarias. Se ha validado empíricamente y ha demostrado ser muy efectiva

para una gran variedad de señales de disciplinas muy distintas[77, 73, 74]. El método

para obtener esta transformada se compone de dos partes: la descomposición en modos

empíricos de la señal (Empirical Mode Descomposition EMD) y el análisis de cada uno

de los modos a través de la transformada de Hilbert (Hilbert Spectral Analysis HSA).

En esta sección se va a describir el método sin entrar en profundidad en las peculiari-

dades matemáticas de éste.

5.2.1. La descomposición en modos empíricos

La descomposición en modos empíricos se basa en la suposición de que los diferentes

modos de vibración de una señal, ya sean lineales o no lineales, tienen el mismo número de

máximos locales o relativos y de intersecciones con el eje de las abscisas. Además, existe

otra condición, y es que las señales a analizar deben ser simétricas con respecto a su media.

Por tanto, se asume que una señal está formada por la suma de estos modos de vibración

que se denominan Modos Intrínsecos(Intrinsic Mode Function, IMF ). En denitiva, cada

una de estas funciones intrínsecas debe satisfacer las siguientes condiciones:

El número de extremos debe ser igual o diferir en una unidad con el número de

intersecciones con el eje de las abscisas.

229


En cualquier punto del modo, la media entre la envolvente de los máximos locales

y la de los mínimos locales debe ser cero.

Para obtener los modos, primeramente se deben obtener los máximos locales, y por

medio de una interpolación cúbica de tipo spline, se obtiene su envolvente. Con los mí-

nimos, se procedería de la misma manera y se calcula la media entre ambas envolventes.

Así, partiendo de una señal determinada, se obtienen sus envolventes y la media de éstas

tal y como muestra la gura 5.1.

Por tanto, si x(t) es la señal inicial, al restarle la media obtenida de las envolventes

m1(t), se obtiene h1(t), que podría ser el primer modo de la señal:

h1(t) = x(t)−m1(t) (5.1)

Para saber si h1(t) es el primer modo empírico de la señal x(t) es necesario que cumpla

las propiedades enunciadas anteriormente. Si no las cumple, es necesario seguir llevando a

cabo el proceso con h1(t) de obtención de envolventes y medias, lo que se denomina sifting

process, hasta obtener el modo empírico deseado. Así, el siguiente paso sería considerar

que h1(t) es la señal de partida y repetir el proceso de sifting :

h11(t) = h1(t)−m11(t) (5.2)

siendo m11 la media de las envolventes de h1(t), y siendo h11(t) el posible nuevo modo de

vibración. Después de repetir este proceso k veces, se alcanza el primer modo de vibración

h1k(t) como:

h1k(t) = h1(k−1)(t)−m1k(t) (5.3)

230


(a) Señal

(b) Señal, envolventes y media

Figura 5.1: Señal inicial (a) y señal con las envolventes de los máximos y mínimos locales

y la media de éstas (b)

231


y se denota por:

c1(t) = h1k(t) (5.4)

Como la señal todavía tiene información, es necesario seguir descomponiéndola en sus

otros modos empíricos, para ello se obtiene el denominado residuo r1(t) como:

r1(t) = x(t)− c1(t) (5.5)

Este residuo será sometido al proceso de sifting antes mencionado. En la gura 5.2 se

representa la señal de partida y el residuo obtenido tras calcular el primer modo empírico.

Figura 5.2: Señal de partida x(t) y el residuo r1(t) obtenido tras calcular el primer modo

empírico.

232


La suma de todos los modos empíricos y el residuo obtenido en el último proceso de

sifting componen la señal de partida tal y como se indica a continuación:

x(t) =n∑j=1

cj(t) + rn(t) (5.6)

donde n es el número total de modos obtenidos.

En la gura 5.3 se muestran los modos empíricos obtenidos tras el análisis de la

respuesta dinámica de una viga[105]. También se añade el residuo de la señal.

233


Figura 5.3: Respuesta dinámica de una viga , sus modos empíricos y el residuo nal.

234



Los sistemas lineales han sido ampliamente estudiados; sin embargo, la no linealidad

de los sistemas requiere un análisis local que no puede proporcionar la transformada de

Fourier. Uno de los primeros trabajos en ingeniería mecánica para obtener analíticamente

parámetros locales del sistema, tales como las frecuencias naturales y los amortiguamien-

tos, a través de la transformada de Hilbert y del concepto de señal analítica fueron [45, 46].

El primero se reere únicamente a sistemas de segundo orden no lineales y sin excitación,

y en el segundo se analizan sistemas forzados. En 1996 se publicó un review [56] donde

se explicaban los métodos utilizados para realizar análisis de sistemas no lineales en el

tiempo y en la frecuencia. Las transformadas wavelets o la propia transformada de Hil-

bert eran explicadas junto con otras herramientas que se habían venido utilizando hasta

entonces. Parte de las conclusiones señalaban que aún no existía un método que destacara

sobre el resto en este tipo de sistemas.

En 1997 Feldman publicó dos trabajos [25, 47] en los que identicaba por medio de

la transformada de Hilbert las características no lineales de varios sistemas como un

oscilador de Dung o un sistema sin memoria. En ellos se explicaban las ventajas de

abordar una sistemática de tiempo-frecuencia frente al análisis de Fourier para el estudio

de los sistemas no lineales.

En 1996 Huang, en un capítulo del libro Advances in applied mathematics [76] expli-

caba de qué manera se podían estudiar los efectos no lineales observados en las ondas del

agua a través de la transformada de Hilbert. La idea se basaba en que, debido al cambio de

235


frecuencia que experimentan las ondas en ciertos momentos, debía ser posible realizar un

análisis local donde pudiera observarse dicho cambio, y para ello propuso la transformada

de Hilbert.

Sin embargo, la transformada de Hilbert tenía sus problemas. La aparición de fre-

cuencias negativas a la hora de obtener las frecuencias instantáneas o las dicultades que

surgen en el análisis de los extremos de las señales, a veces provocaban que no fuese

adecuado un análisis directo con la transformada de Hilbert para tratar datos reales no

estacionarios y no lineales. Por ello, en 1998 Huang y otros investigadores de la NASA y

de varios centros de investigación de EE.UU propusieron en [77] un método que combi-

naba la transformada de Hilbert con la descomposición de la señal en una serie de modos

empíricos. De esta manera se reducían los problemas asociados al uso de la transformada

de Hilbert, debido a que la señal inicial era dividida en una serie de componentes con

signicado físico.

Desde ese momento hasta ahora, la utilización de la transformada de Hilbert se ha

extendido considerablemente y se ha convertido en una herramienta muy útil en el estudio

de sistemas no lineales y no estacionarios. Aunque en un principio surgió en los estudios

oceanográcos [40], o dentro de las ciencias naturales, como es el caso de su aplicación en

las señales geofísicas[72], luego se ha ido ampliando a la detección de daños en estructuras

dentro de la ingeniería civil [132], al estudio de series de matemática nanciera [75], al

análisis de señales procedentes de detectores de neutrones para la obtención de parámetros

de vigilancia de las plantas nucleares[84] y a un sinfín de disciplinas y aplicaciones que

sería imposible incluir en su totalidad en esta tesis.

236


Por último cabe citar que han surgido estudios que comparan las técnicas de la trans-

formada de Hilbert-Huang con el simple análisis de Hilbert [48] o con la transformada

wavelet[31], también utilizada en el ámbito de la no linealidad y el análisis local, y libros

que recopilan toda la experiencia acumulada en el uso de la transformada de Hilbert-

Huang y sus aplicaciones [74, 73].

237


5.4. La transformada de Hilbert como herramienta pa-

ra el control de calidad

Los sensores de presión capacitivos están muy extendidos en las plantas nucleares hoy

en día[49]. Como se ha comentado en capítulos anteriores, están compuestos por una

membrana de aislamiento que separa la línea sensora de la parte interna del sensor que

contiene una serie de microtúbulos rellenos de aceite de silicona[60]. Éstos terminan en

una membrana sensora unida a las placas de un condensador. La exactitud del sensor está

determinada por el proceso de llenado de la cámara interna con el aceite de silicona[58],

de manera que un llenado parcial de la misma puede afectar a la respuesta dinámica del

sensor. De hecho, el síndrome de la pérdida de aceite es una de las averías más notables,

ya que la respuesta del sensor deja de ser lineal[49, 22]. En este capítulo se va a analizar

la respuesta de un sensor con grados diferentes de incidencia del síndrome a través de la

transformada de Hilbert y del diagrama backbone. Los resultados se compararán con los

de un sensor no averiado cuyo comportamiento es lineal, para nalmente proponer dicha

herramienta como método de control de calidad en el proceso de llenado con aceite de

silicona de la cámara interna del sensor.

238

5.4. La transformada de Hilbert como herramienta para el control de calidad

5.4.1. Estudio de un caso

En este epígrafe la transformada de Hilbert se aplicará al estudio de un sensor Rose-

mount modelo 1153 ubicado en un reactor PWR cuya respuesta ante una onda de presión

ha sido registrada. El sensor bajo estudio ha sufrido el síndrome de la pérdida de aceite,

lo que implica que su cámara interna no está completamente llena de aceite de silicona.

Primeramente la onda de presión utilizada como entrada al sensor tiene una amplitud

alta, mientras que la segunda aplicada es de amplitud menor. En la gura 5.4 se muestra

la respuesta del sensor en el primer caso.

Figura 5.4: Respuesta de un sensor de presión capacitivo tipo Rosemount 1153 deun PWR

que sufre el síndrome de la pérdida de aceite ante una entrada armónica.

En la gura 5.4 se observa que la onda de respuesta del sensor está rota y la no

linealidad se aprecia a simple vista. Después de aplicar la transformada de Hilbert a esta

239


señal se obtiene el diagrama backbone mostrado en la gura 5.5. En él las amplitudes y

frecuencias instantáneas están normalizadas con respecto a la frecuencia aparente de la

respuesta (0,2 Hz) y la amplitud máxima registrada.

Figura 5.5: Backbones correspondientes a la respuesta de un sensor lineal ante una entrada

armónica y a la respuesta de un sensor no lineal averiado ante una entrada armónica.

En la gura 5.5 se aprecia el backbone de la respuesta de un sensor lineal en gris y otro,

no lineal, que sufre el síndrome de la pérdida de aceite en negro. El comportamiento lineal

se caracteriza por tener una cierta amplitud instantánea única y una cierta frecuencia

instantánea, única también mientras que el caso no lineal comprende un rango mayor de

amplitudes y frecuencias.

La respuesta ante una entrada de menor amplitud se presenta en la gura 5.6. Apa-

240


rentemente, en la gura 5.6 se aprecia simetría y linealidad en la señal. Si de nuevo se

aplica la transformada de Hilbert y se representa el diagrama backbone junto con el del

caso lineal, se obtiene la gura 5.7

Figura 5.6: Respuesta de un sensor de presión capacitivo tipo Rosemount 1153 de un PWR

que sufre el síndrome de la pérdida de aceite ante una entrada armónica.

241


Figura 5.7: Backbones correspondientes a la respuesta de un sensor lineal ante una entrada

armónica y a la respuesta de un sensor no lineal averiado ante una entrada armónica.

El sensor averiado muestra una mayor dispersión de los valores tal y como se pudo ver

en el caso de la entrada armónica de mayor amplitud. También hay una cierta tendencia

a que los valores de la backbone sigan una pendiente determinada. La transformada de

Hilbert, a través de las frecuencias y amplitudes instantáneas, es decir, a través del análisis

local, es capaz de diferenciar casos lineales de los no lineales, aunque éstos tengan una no

linealidad incipiente.

242


5.4.2. Modelo no lineal

Los sensores de presión capacitivos están formados por una membrana de aislamiento

conectada a la membrana sensora a través de unos tubos capilares rellenos de aceite de

silicona. Un esquema sencillo para explicar la relación entre las presiones iniciales y nales

en el sensor se muestra en la gura 5.8

Figura 5.8: Esquema sencillo de presiones inicial y nal en un sensor capacitivo tipo

Rosemount.

Por tanto, la relación existente entre la presión de entrada y la de salida está dada por

la siguiente ecuación diferencial de primer orden:

pi = p+ τodp

dt(5.7)

donde pi es la presión de entrada, p la presión de salida y τ0 es el tiempo de respuesta,

que en el caso lineal es único.

No obstante, si el modelo es no lineal, la respuesta del sensor dependerá del valor de

la presión registrada[22]. Para deducir una ecuación para la respuesta del sensor en estas

condiciones, se considerará la relación existente entre la presión y el volumen desplazado

de aceite de silicona V (p) aproximando al segundo término de una serie de Taylor para

243


presión positiva:

V (p) =

C0p p ≤ 0

C0

(p+ ap2

)p > 0

(5.8)

donde C0 es la compresibilidad del aceite de silicona, p es la presión y a es una constante

positiva. Evaluando la compresibilidad y teniendo en cuenta (5.8), se obtiene la expresión

siguiente: (dV

dp

)pm

=

C0 p ≤ 0

C0 (1 + 2apm) p > 0

(5.9)

donde pm es la máxima presión que el sensor puede tolerar. En la gura 5.9 se representa

la relación entre V y p.

Figura 5.9: Relación entre la presión y el volumen de la cámara interna de un sensor no

lineal, debido al síndrome de la pérdida de aceite.

Como se puede ver en la gura 5.9, la pendiente alcanza su máximo en pm, lo que es

244


equivalente a decir que la compresibilidad es mayor en ese punto. Si la compresibilidad

para presiones positivas se expresa como una función dependiente de una constante y la

compresibilidad del aceite, entonces (5.9) se transforma en:

(dV

dp

)pm

=

C0 p ≤ 0

nC0 n ≥ 1 p > 0

(5.10)

En consecuencia, la no linealidad ha sido expresada en función del aumento de com-

presibilidad, debido al hecho de que la cantidad de aceite en el interior del sensor ha

disminuido y el parámetro a ahora se puede expresar como una función de n y pm como

se muestra a continuación:

a =n− 1

2pmn ≥ 1 pm > 0 (5.11)

sustituyendo esta última ecuación en (5.10):

(dV

dp

)pm

=

C0 p ≤ 0

C0 +

(n− 1

pm

)C0p = C0

(1 +

n− 1

pmp

)= C0 (1 + kp) k > 0 p > 0

(5.12)

donde k es un parámetro que caracteriza la no linealidad. Considerando que la ecuación

del modelo de la gura 5.8 se obtiene aplicando la segunda ley de Newton:

(pi − p)A = RAdV

dt= RA

dV

dp

dp

dt(5.13)

siendo A la sección del canal y R un término de fricción. Así sustituyendo 5.12 en 5.13,

entonces:

(pi − p) = RC0(1 + kp)dp

dt(5.14)

245


Como RC0 es el tiempo de respuesta, sustiyéndolo en (5.14) se obtiene:

(pi − p) = τ0(1 + kp)dp

dt(5.15)

Como se aprecia, cuando k es igual a cero, el modelo es lineal. Si el valor absoluto del

parámetro k se incrementa, la no linealidad asociada al sensor cambia. El parámetro k se

usa, por tanto, como un índice que determina el grado de no linealidad.

5.4.3. Validación del modelo no lineal

Para validar el modelo no lineal, la respuesta simulada ante una entrada senoidal de un

sensor Rosemount se ha analizado vía transformada de Hilbert. El diagrama backbone de

amplitudes y frecuencias instantáneas se puede simular numericamente para cada valor de

k, que es el parámetro que caracteriza el grado de no linealidad y por tanto, la severidad

del síndrome. En la gura 5.10 se representa un ejemplo en el que se ha simulado el

backbone para un caso lineal k = 0 y un caso en el que k = 0, 3.

246


Figura 5.10: Backbones simuladas correspondientes a un modelo lineal del sensor (k = 0)

y a un modelo no lineal con k = 0, 3.

La simulación se ha realizado con una entrada senoidal cuya frecuencia era 0,2 Hz y su

amplitud 1,7. Para la representación backbone, las frecuencias y amplitudes se normalizan

tal y como se hizo en los casos anteriores. Por otro lado, se aprecia que el caso no lineal

tiene mayor número de frecuencias y amplitudes instantáneas y que además presentan

una tendencia con una pendiente tal y como se mostró en epígrafes anteriores.

247


Para aquellos casos en los que la no linearidad es incipiente (síndrome de difícil de-

tección), el valor absoluto del parámetro k debe ser muy pequeño. El diagrama backbone

para k = 0, 05 y el caso lineal se presentan en la gura 5.11. Como se puede apreciar de

Figura 5.11: Backbones simuladas correspondientes a un modelo lineal del sensor (k = 0)

y a un modelo no lineal con k = 0, 05.

la gura 5.11, cuando el parámetro k decrece, las frecuencias y amplitudes instantáneas

cubren un área más pequeña en la gráca, pero en cualquier caso, la diferencia entre el

caso lineal y el no lineal es apreciable.

248


Es preciso mencionar que el espectro en frecuencias de la señal del sensor realizado con

la transformada de Fourier presenta un armónico adicional(véase gura 5.12. La principal

diferencia con el análisis de Fourier es que la transformada de Hilbert permite distinguir

aquellos casos de incipiente avería.

Figura 5.12: PSD de las señales simuladas del sensor para un caso lineal (k = 0) y para

un caso no lineal con k = 0, 05.

249


5.5. La transformada de Hilbert-Huang para caracteri-

zar las palas de un aerogenerador

5.5.1. Introducción

La posibilidad de que alguno de los elementos de los aerogeneradores entre en resonan-

cia, dando lugar a vibraciones muy elevadas pudiendo provocar roturas o accidentes, hace

necesario caracterizar los diferentes elementos que lo constituyen. Uno de ellos son las

palas, que son sometidas a un control de calidad por medio de una serie de ensayos[106].

Existen diferentes tipos de ensayos y diferentes frecuencias a medir. Así, los ensayos se

realizan midiendo las señales de las palas cuando éstas están empotradas en un soporte y

tienen libre un extremo(véase gura 5.13). El acelerómetro, que suele estar colocado en el

extremo libre de la pala, mide las frecuencias en ap (abatimiento) o en lag(arrastre)[106];

es decir, las que se producen paralelamente al soporte de empotramiento o perpendicu-

larmente a él. Este tipo de ensayos se lleva a cabo soltando rápidamente la pala desde

un posición inicial y midiendo dichas frecuencias o bien, sometiendo a la pala a un cierto

impulso inicial[9].

Debido a la heterogeneidad de los materiales con los que se construyen las palas, obte-

ner un modelo de éstas para llegar a una ecuación de movimiento es una tarea compleja.

Normalmente están compuestas de bra de vidrio y sus perles son de alta aerodinamici-

dad y en consecuencia, de geometría complicada.

250

5.5. La transformada de Hilbert-Huang para caracterizar las palas de unaerogenerador

Figura 5.13: Esquema del ensayo realizado para medir frecuencias en ap y en lag en una

pala de aerogenerador de 20 metros.

Uno de los parámetros a medir, y que no se conocen previamente, es su rozamiento.

Se puede medir realizando un análisis de Fourier, por medio de la anchura de cada pico

resonante o incluso a través de un ajuste no lineal de Breit-Wigner. No obstante, los

parámetros obtenidos por medio de la inspección visual del espectro son aproximados y

además el análisis de Fourier es global, no permite un estudio localizado de las vibraciones

de las palas.

Por tanto, con el objetivo de caracterizar mejor el comportamiento dinámico de las

palas y el rozamiento asociado a las mismas, se realiza un análisis de señal por medio de

la transformada de Hilbert-Huang. Este análisis permite la descomposición de la señal en

una serie de modos empíricos; y por medio de la transformada de Hilbert de los mismos,

se obtienen las amplitudes y frecuencias instantáneas así como el rozamiento asociado a

ellos[46]. Además, dado que el análisis con esta metodología es local, se pueden determinar

251


con mayor precisión los diferentes modos de vibración y la escala de tiempos asociada a

los mismos.

En esta parte de la tesis se analiza, por medio de esta metodología, una señal proce-

dente de un ensayo de suelta repentina en ap de pala de aerogenerdor y se obtienen sus

modos empíricos. De cada modo, y con un análisis armónico basado en la transformada de

Hilbert, se obtienen la amplitud instantánea y la frecuencia instantánea frente al tiempo.

A continuación se obtiene el rozamiento de cada modo a través del decremento logarítmico

y de las frecuencias instantáneas.

5.5.2. Modos propios de vibración

Una pala empotrada se puede asimilar a una viga elástica uniforme con un extremo

libre y otro empotrado. La elongación y de la viga depende de la posición y del tiempo

según la ecuación diferencial en derivadas parciales:

EI∂4y

∂x4= −Aγ

g

∂2y

∂t2(5.16)

donde E es el módulo de Young, I es el momento de inercia de la sección recta, A es

la sección, γ es el peso especíco de la viga y g la constante de la gravedad. Se puede

resolver aplicando el método de separación de variables, tal que la solución se escriba como

el producto de dos funciones que dependen del espacio y del tiempo respectivamente:

y(x, t) = X(x) · T (t) (5.17)

252


Introduciendo esta forma de solución en la ecuación diferencial (5.16) se obtienen dos

ecuaciones diferenciales ordinarias independientes[32]:

d2T

dt2+ λ2T = 0 (5.18)

d4X

dx4= K4X (5.19)

siendo la relación entre las constantes de estas ecuaciones:

K4 =λ2

b2(5.20)

donde b es igual a: √EIg

Aγ(5.21)

La solución general de (5.18) es:

T = A cosλt+ b senλt (5.22)

y la de (5.19):

X = C1 senKx+ C2 cosKx+ C3senhKx+ C4 coshKx (5.23)

Cuando el extremo izquierdo de la viga está empotrado y el otro libre, las condiciones de

contorno vienen dadas por:

(X)x=0 = 0;

(dX

dx

)x=0

= 0;(d2X

dx2

)x=l

= 0;

(d3X

dx3

)x=l

= 0;

(5.24)

253


que conducen a la siguiente solución:

cosKl coshKl = −1 (5.25)

donde l es la longitud de la viga. Las diferentes raíces de esta ecuación se muestran en la

tabla 5.1[32].

K1l K2l K3l K4l K5l K6l

1,875 4,694 7,855 10,996 14,137 17,279

Tabla 5.1: Diferentes modos de vibración de una viga dependiendo de la longitud de la

misma

5.5.3. Análisis de Fourier

En la gura 5.14 se presenta la señal obtenida de una pala sometida a un ensayo en de

suelta repentina en ap . En la gura 5.15 se representa el espectro de dicha señal donde

se indican las frecuencias de los dos picos resonantes que se observan.

254


Figura 5.14: Respuesta al impulso de la pala de un aerogenerador de 20 metros.

Figura 5.15: Espectro de Fourier de la respuesta al impulso representada en la gura 5.14.

La simple inspección visual de la señal nos indica que existen al menos dos frecuencias

255


involucradas en la vibración de la pala, y que se muestran claramente en el espectro de

Fourier. Además, a través de un ajuste de Breit-Wigner se podrían obtener los parámetros

característicos de cada resonancia, entre ellos el rozamiento. No obstante, esto requiere

un ajuste no lineal que como ya se explicó en el capítulo 3 requiere mucha experiencia y

es muy poco práctico. Hallar el rozamiento a través de la anchura del pico proporciona

un valor aproximado y además el análisis de Fourier, al tener carácter global no aporta

información sobre la duración de cada vibración.

5.5.4. Estimación del rozamiento de los modos empíricos

Según consta en la literatura [46], es posible obtener el rozamiento frente al tiempo de

una señal por medio de las amplitudes y frecuencias instantáneas. Sea y(t) la solución de

una ecuación diferencial del tipo:

d2y

dt2+ 2h0(A)

dy

dt+ ω2

0(A)y = 0 (5.26)

siendo A la amplitud instantánea de la señal analítica de y, h0 el rozamiento del sistema

y ω0 la frecuencia natural del sistema. También se puede expresar (5.27) en función de la

señal analítica de y(t):

d2Y

dt2+ 2h0(A)

dY

dt+ ω2

0(A)Y = 0 (5.27)

siendo Y la señal analítica de y(t). Sabiendo que la primera y segunda derivada de Y se

pueden expresar en función de la amplitud instantánea A y de la frecuencia instantánea

256


ω [46] tal y como sigue:

Y = Y (t) [A (t)

A (t)+ jω (t)]

Y = Y (t) [A (t)

A (t)− ω2 (t) +

2jA (t)ω (t)

A (t)+ jω (t)]

(5.28)

Resolviendo la ecuación para las partes reales e imaginarias, se obtiene el término del

rozamiento:

h0(t) = −AA− ω

2ω(5.29)

Así, para llegar a obtener el rozamiento de los modos empíricos de la señal que se está

estudiando, habrá que proceder a la descomposición de la misma según los modos empí-

ricos enunciados por Huang. En la gura 5.16 se muestran los dos modos obtenidos (c1(t)

y c2(t)) y el residuo.

257


Figura 5.16: Modos empíricos y residuo de la señal de respuesta al impulso de una pala

de aerogenerador.

Como se puede observar, la descomposición en modos empíricos ha dado lugar a dos

modos y a un residuo. El primer modo c1 tiene una frecuencia mayor que el segundo

modo c2. Se observa también que el residuo es prácticamente nulo, lo que indica que de

la señal era imposible extraer un tercer modo. En torno al tercer segundo de la vibración

de la pala, se aprecia un cambio considerable en la frecuencia del primer modo. Teniendo

en cuenta que la descomposición de Huang da lugar a modos de vibración con una de-

terminada frecuencia característica, el hecho de que exista un cambio implica que dicho

modo desaparece en torno a ese instante. Esta observación es mucho más evidente con

258


una representación de las frecuencias instantáneas de cada modo empírico, tal y como se

muestra en la gura 5.17:

Figura 5.17: Frecuencias instantáneas de los modos empíricos de la señal de respuesta al

impulso de una pala de aerogenerador.

Como se aprecia, la frecuencia instantánea del primer modo se sitúa en torno a los

5 Hz, tal y como indicaba el espectro de frecuencias de Fourier. El segundo modo tiene

una frecuencia de unos 2 Hz. Aproximadamente a partir de los 3 segundos se produce un

cambio brusco en la frecuencia del primer modo, pasando a situarse en los 2 Hz; es decir,

en la frecuencia del segundo modo. Al desaparecer el primer modo, la descomposición en

modos empíricos sólo puede encontrar un único modo de vibración, por eso el primero

259


pasa a tener la frecuencia del segundo y el segundo tiende a una frecuencia nula.

Para obtener el rozamiento de los modos, sólo se ha analizado la señal hasta los 2,5 s, ya

que es cuando uno de los modos desaparece. En la gura 5.18 se representa el rozamiento

del primer modo.

Figura 5.18: Rozamiento frente al tiempo de cada modo empírico de la respuesta al impulso

de una pala de aerogenerador .

Calculando el valor esperado de h1(t) se obtiene un valor de 0, 048 para el rozamiento.

260



Se ha detectado y caracterizado un comportamiento no lineal incipiente al aplicar

la transformada de Hilbert a la respuesta de un sensor de presión capacitivo que

comienza a sufrir el síndrome de la pérdida de aceite, cuando dicho sensor es excitado

con una entrada senoidal.

La detección y caracterización de dicha anomalía no puede llevarse a cabo con los

métodos tradicionales de análisis de Fourier debido al carácter global de éstos.

Dada la gran sensibilidad de la metodología se propone utilizar la transformada de

Hilbert para vericar que el proceso de llenado de la cámara interna de los sensores

de presión capacitivos con aceite de silicona se ha realizado correctamente tras su

fabricación.

Se ha tomado un modelo teórico de la literatura y se ha usado para validar con éxito

la metodología.

Se ha aplicado la descomposición en modos empíricos de vibración de la señal de

respuesta al impulso de una pala de aerogenerador, por medio de la transformada

de Hilbert- Huang. Se han identicado dichos modos y se ha analizado su carácter

estacionario. Además se ha estimado el rozamiento asociado a cada uno de ellos.

261


5.7. Publicaciones

Revistas

C. Montalvo, A. García-Berrocal, J. Blázquez and M. Balbás. The Hilbert

transform as a quality control tool in capacitive pressure transmitters. Mecha-

nical Systems and Signal procesing,24, 1025 - 1031, 2010.


C. Montalvo, J. Blázquez, M. Balbás y A. García-Berrocal. La transformada

de Hilbert como herramienta para el control de calidad en sensores de presión

capacitivos. 9o Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica, Las Palmas

de Gran Canaria 2009.

C. Montalvo, J. Blázquez, M. Balbás y A. García-Berrocal. Aplicación de las

transformadas de Hilbert a la dinámica de una pala de aerogenerador.XVIII

Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica, Ciudad Real, Noviembre 2009.

262

Capítulo 6

CONCLUSIONES Y

PUBLICACIONES

CONCLUSIONES

Las conclusiones referentes al análisis de ruido aplicado a sensores son:

Se ha obtenido un nuevo modelo de un sensor de presión capacitivo tipo Rose-

mount a partir de una analogía eléctrica. El nuevo modelo tiene cuatro polos:

dos reales y dos complejos conjugados. La nueva propuesta se basa en la evi-

dencia empírica de que existía un cuarto polo no contemplado hasta ahora en

los modelos realizados del sensor.

El criterio de Akaike no es correcto cuando se quiere medir el tiempo de res-

puesta de un sensor de presión capacitivo a partir de su modelo de cuatro polos

si la línea sensora asociada a éste es larga. Para establecer el criterio adecuado

265

6. CONCLUSIONES Y PUBLICACIONES

se ha utilizado un método de Monte-Carlo que obtiene las distribuciones esta-

dísticas de los tiempos de respuesta según la longitud de línea. El nuevo criterio

se basa en la curtosis de dichas distribuciones, que deben ser mucho más altas

que las correspondientes a las de una distribución rectangular. El método de

Monte-Carlo establece el orden óptimo para cada longitud de línea y éste luego

podrá ser utilizado para la obtención del modelo AR en la práctica.

Las contribuciones a la incertidumbre en la estimación del tiempo de respuesta

hacen que la metodología internacionalmente empleada para expandir la incer-

tidumbre no sea aplicable, por lo que se ha desarrollado un cálculo analítico

original para expandir la incertidumbre adecuadamente.

Se ha obtenido el cuarto polo del sensor a través del análisis de las PSDs pro-

cedentes de tres sensores capacitivos tipo Rosemount de planta. Dicho hallazgo

implica variar el tiempo de muestreo de las señales, ltrar la señal con un ltro

pasaaltos y realizar un ajuste autorregresivo con un número de coecientes que

evite los polos espúreos.

Se propone un modelo para explicar cuantitativamente el comportamiento bili-

neal observado en los sensores de presión del tipo Rosemount que presentan el

síndrome de la pérdida de aceite. El modelo consiste en una analogía eléctrica

con dos diodos para reproducir respuestas no lineales.

Se ha simulado la respuesta bilineal con dos modelos autorregresivos y se han

hallado los tiempos de respuesta de cada modelo que coinciden con los obtenido

266

en laboratorio. Con los dos tiempos de respuesta, se ha obtenido un índice de

vigilancia que varía en función de la incidencia de la anomalía.

Las conclusiones referentes a la detección de comportamientos no lineales en los

sensores de presión son:

Se ha detectado y caracterizado un comportamiento no lineal incipiente al apli-

car la transformada de Hilbert a la respuesta de un sensor de presión capacitivo

que comienza a sufrir el síndrome de la pérdida de aceite, cuando dicho sensor

es excitado con una entrada senoidal.

Dada la gran sensibilidad de la metodología basada en la transformada de

Hilbert, se propone su utilización para vericar que el proceso de llenado de la

cámara interna de los sensores de presión capacitivos con aceite de siliconpa se

ha realizado correctamente tras su fabricación.

Las conclusiones referentes al mantenimiento y diagnóstico de los internos de un

reactor PWR son:

El ajuste basado en una fórmula de Breit-Wigner se ha implementado en código

Matlab y se ha aplicado satisfactoriamente a las PSDs de las señales de los

detectores de neutrones tanto in-core como ex-core. Los parámetros obtenidos

por medio del ajuste pueden utilizarse a partir de ahora para el diagnóstico de

los internos del reactor.

En el análisis de los internos, los parámetros del ajuste correspondientes al ran-

267


go de frecuencia entre 7-8 Hz determinan que existen dos modos de vibración,

uno vinculado al movimiento del barrilete y otro a los elementos combustibles.

El origen físico de ambos modos se justica por la diferente evolución experi-

mentada por las amplitudes de las resonancias a lo largo de los tres periodos

de tiempo analizados.

Se ha construido un índice de vigilancia de los internos del reactor a través

del álgebra de cuaterniones. El cuaternión está formado por cuatro números

que son los parámetros de una resonancia resuelta por una fórmula de Breit-

Wigner. Así, para cada reactor y cada resonancia se puede elaborar una serie de

rectas modelo de comportamiento que pueden ser utilizadas por los operadores

en tareas de vigilancia y mantenimiento.

Los resultados obtenidos referentes a la aplicación de la transformda de Hilbert-

Huang se resumen en la siguiente conclusión:

Se ha aplicado la descomposición en modos empíricos de vibración de la señal

de respuesta al impulso de una pala de aerogenerador, por medio de la trans-

formada de Hilbert- Huang. Se han identicado dichos modos y se ha analizado

su carácter estacionario. Además se ha estimado el rozamiento asociado a cada

uno de ellos.

268

PUBLICACIONES

Revistas Internacionales

J.Blázquez, A.García-Berrocal, C.Montalvo y M.Balbás. The coverage fac-

tor in a Flatten-Gaussian distribution. Metrologia, 2008, 45, 503-506.

A. García-Berrocal, J. Blázquez, C. Montalvo, and M. Balbás.Resolving

mechanical resonances with Breit-Wigner formula. Journal of Vibration

and Control, 15(8), 12671280,2009.

C.Montalvo, M.Balbás, J.Blázquez and A.García-Berrocal. Application of

the Monte Carlo method for capacitive pressure transmitters surveillance

in Nuclear Power Plants. Pendiente de la aceptación de la revisión de julio

2010 en Mathematics and Computers in Simulation.

C.Montalvo, M.Balbás, J.Blázquez y J.M.Chicharro. Vigilancia paramé-

trica de la bilinealidad de transmisores de presión por análisis de ruido.

Información tecnológica, 2010, 21(2), 77-84.

C. Montalvo, A. García-Berrocal, J. Blázquez and M. Balbás. The Hilbert

transform as a quality control tool in capacitive pressure transmitters.

Mechanical Systems and Signal procesing, 24, 1025 - 1031, 2010.

Revistas Nacionales

A.García-Berrocal, C.Montalvo, J.Blázquez y M.Balbás. Resolución de re-

sonancias de vibración. Aplicación a un problema de mantenimiento pre-

269


dictivo. Anales de Ingeniería Mecánica. Año 16, 2, 2008.

Informes técnicos

I. Pázsit, C. Montalvo-Martin, T. Tambouratzis, and V. Dykin. Final re-

port on the research project Ringhals diagnostics and monitoring stage 13.

Technical report, Chalmers internal report CTH-NT-230/RR-15, 2010.


A.García-Berrocal, J.M.Chicharro, C.Montalvo, J.Blázquez y M.Balbás.

Caracterización de un comportamiento bilineal mediante análisis de ruido:

una aplicación al mantenimiento predictivo.8o Congreso Iberoamericano de

Ingeniería Mecánica, Cuzco, 23 al 25 de Octubre de 2007.

A.García-Berrocal, C.Montalvo, J.Blázquez y M.Balbás. Resolución de re-

sonancias de vibración. Aplicación a un problema de mantenimiento pre-

dictivo. XVII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica, Gijón, 14-15 de

febrero de 2008.

J.Blázquez, A.García-Berrocal, M.Balbás y C.Montalvo. Factor de cober-

tura con incertidumbres combinadas de Tipo A y B.4o Congreso Español

de Metrología, Santander,1 al 3 de junio de 2009.

C. Montalvo, J. Blázquez, M. Balbás y A. García-Berrocal. La transforma-

da de Hilbert como herramienta para el control de calidad en sensores de

presión capacitivos. 9o Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica,

Las Palmas de Gran Canaria 2009.

270

C.Montalvo, M.Balbás, J.Blázquez y A.García-Berrocal. Obtención por

medio de análisis de ruido del cuarto polo de un sensor capacitivo de

presión. XVII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica, Ciudad Real,

Noviembre 2010. (Pendiente de celebración, aceptado)

C. Montalvo, J. Blázquez, M. Balbás y A. García-Berrocal. Aplicación

de las transformadas de Hilbert a la dinámica de una pala de aeroge-

nerador.XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica, Ciudad Real,

Noviembre 2010. (Pendiente de celebración, aceptado)

Imre Pázsit, C. Montalvo et al. Diagnostics of core barrel and fuel assem-

bly vibrations in the Ringhals PWRs, Sweden. American Nuclear Society:

Winter Meeting, Las Vegas November 2010. (Pendiente de celebración,

aceptado)

FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

Implantación y análisis del índice de vigilancia basado en el álgebra de cuater-

niones en datos de la central de Ringhals, Suecia.

Análisis de nuevas medidas procedentes de los detectores de neutrones en tres

momentos del ciclo de combustible nuclear: principio, en el medio y al nal.

El objetivo es conrmar hipótesis sobre el origen físico de cada resonancia, en

especial el movimiento del barrilete.

Aplicar la transformada de Hilbert-Huang a señales de tipo senoidal de los

271


sensores capacitivos de presión para mejora en el diagnóstico de averías.

Extender la metodología del análisis de ruido y de la transformada de Hilbert-

Huang a señales de otros sensores, especialmente los de temperatura, para

cubrir necesidades de las plantas nucleares.

272

APÉNDICES

273

Apéndice A

Álgebra de cuaterniones

En esta tesis sólo se han necesitado las propiedades elementales del álgebra de cuater-

niones. Los cuaterniones son vectores de cuatro elementos que componen un álgebra

desde un punto de vista matemático; por tanto, un cociente entre cuaterniones da

lugar a un cuaternión. Fueron inventados por el matemática irlandes William Rowan

Hamilton en 1883 como una extensión de los números complejos.

Un complejo se compone de un vector de dos elementos (x0, x1), las partes real e

imaginaria. El cuaternión es un vector de cuatro elementos (σ, x1, x2, x2) donde la

parte real σ, denominada aquí 'escalar' y la parte imagainaria se extiende a tres

dimensiones y se denomina 'vector': v = (v1, v2, v3). Abreviadamente el cuaternión

se represneta por (σ, v).

Como cualquier vector el cuaternión se escribe como: q = σeo + v1e1 + v2e2 + v3e3,

siguiendo la analogía con los números complejos:

e0 = 1

275

A. Álgebra de cuaterniones

e21 = e2

2 = e23 = −1

eiej + ejei = 0; i, j = 1, 2, 3,

e1e2 = e3; e2e3 = e1; e3e1 = e2.

Con estas reglas el producto de dos cuaterniones q = (σ, v) y p = (ρ, u) se dene

como

pq = (σρ− v) + (σu+ v + v ∧ u)

donde v · u es un producto escalar y v ∧ u el producto vectorial. Se puede observar

la analogía con el producto de dos números complejos (x0, x1) y (yo, y1):

xy = (x0yo − x1y1) + (x0iy1 + y0ix1 + ix1 ∧ iy1)

donde ix1 ∧ iy1 = 0 porque ix1 y iy1 son vectores paralelos.

El cuaternión conjugado de q = (σ, v) es q∗ = (σ,−v); por tanto su módulo es: |q|2 =

qq∗ = σ2 + v21 + v2

2v23. Entonces existe un representación polar de los cuaterniones:

q = |q| (cosφ+ w senφ)

donde la fase φ = tan− 1(|v| /σ), y w = v/ |v|, un vector unitario en la dirección de

v.

Se puede observar que el producto cuaterniónico es asociativo pero no conmutativo

debido al producto vectorial.

Finalmente, el álgebra de cuaterniones es isomorfa al álgebra de matrice complejas:

Q =

σ − iv1 −v2 + iv3

v2 + iv3 σ + iv1

; |q|2 = Det(Q)

276

que puede usarse para la implementación práctica del álgebra de cuaterniones es el

ordenador.

277

A. Álgebra de cuaterniones

278

Apéndice B

Ajustes no lineales de las PSDs

utilizando una fórmula de

Breit-Wigner

B.1. AJUSTES DEL PRIMER PERIODO: FEBRE-

RO 2009

279

B. Ajustes no lineales de las PSDs utilizando una fórmula de Breit-Wigner

B.1.1. Señales de los detectores ex-core

Figura B.1: Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector ex-core N41 superior.

280

B.1. AJUSTES DEL PRIMER PERIODO: FEBRERO 2009


281



282



283


Figura B.5: Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector ex-core N41 inferior.

284



285



286



287


Figura B.9: Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detectores superiores ex-core.

288


Figura B.10: Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detectores inferiores ex-core.

289


Figura B.11: Ajuste no lineal de Breit-Wigner de los dos modos en torno a 7-8 Hz de los

detectores superiores.

290



detectores inferiores.

291


B.1.2. Señales de los detectores in-core

Figura B.13: Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector A, posición 1.

292



293



294



295



296



297


Figura B.19: Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector B, posición 1.

298



299



300



301



302



303


Figura B.25: Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector C, posición 1.

304



305



306



307



308



309


Figura B.31: Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector D, posición 1.

310



311



312



313



314



315


Figura B.37: Ajuste no lineal de Breit-Wigner, detector E, posición 1.

316



317



318



319



320



321


B.2. AJUSTES DEL SEGUNDO PERIODO: MAR-

ZO 2009



322

B.2. AJUSTES DEL SEGUNDO PERIODO: MARZO 2009


323



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361



362



363


B.3. AJUSTES DEL TERCER PERIODO: ABRIL

2009



364

B.3. AJUSTES DEL TERCER PERIODO: ABRIL 2009


365



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388



389



390



391



392



393


394

Apéndice C

INSTRUMENTACIÓN NUCLEAR

DE UN PWR DISEÑO

WESTINGHOUSE

El sistema de Instrumentación Nuclear se utiliza en los PWR de diseño Westing-

house para vigilar la distribución de potencia y para la protección de la planta

(generando las alarmas apropiadas y el disparo del reactor). El control y vigilancia

de la distribución de potencia relativa en el núcleo es de suma importancia, dado

que el nivel de potencia del reactor está limitado por el pico de densidad de potencia

y el límite de la ebullición nucleada.

La instrumentación in-core o intranueclear y ex-core o extranuclear satisfacen las

siguientes necesidades: por una lado la intranuclear da una medida de distribución

relativa de potencia dentro del núcleo, no teniendo ninguna función de protección al

respecto. Por otro lado la extranuclear está calibrada con respecto a la intranuclear

395

C. INSTRUMENTACIÓN NUCLEAR DE UN PWR DISEÑOWESTINGHOUSE

y se utiliza para protección automática del reactor en casos de picos de potencia

indeseables.

C.1. Instrumentación intra-nuclear o in-core

La instrumentación intra-nuclear (guraC.1) facilita información de la distribución

del ujo neutrónico y de la temperatura del agua de refrigeración en diferentes zonas

del núcleo próximas a las varillas de combustible. Con esta información, se puede

determinar la distribución de potencia en el núcleo en cualquier momento de la vida

del combustible.

Consta de dos tipos de sensores: los termopares y los detectores de ujo neutrónico

móviles.

Los termopares están situados en zonas seleccionadas para medir la temperatura del

refrigerante en diferentes puntos del núcleo; esta información se utiliza para calcular

la distribución de potencia radial y la distribución entálpica del refrigerante.

Los detectores móviles de neutrones exploran la totalidad de la longitud de los

elementos de combustible seleccionados de arriba a abajo, de esta manera obtenemos

un mapa de distribución de ujo del núcleo en tres dimensiones.

La temperatura y distribución del ujo se utilizan para determinar la distribución

de potencia del núcleo. La información de la distribución de potencia se utiliza para:

calibrar y comprobar la respuesta de los detectores de ujo externos al reactor.

396


determinar una distribución de potencia lineal, quemado de combustible e in-

ventario de éste.

Esta información permite determinar cualquier anomalía en el núcleo, de manera

que se pueden tomar medidas correctivas antes de alcanzar una situación peligrosa.

Termopares

Se utilizan termopares de cromel-alumel con vaina de acero inoxidable para medir

la temperatura en la parte superior de los elementos combustibles.

Para alojar los termopares en la vasija se utilizan unos conductos instalados per-

manentemente encima del conjunto superior del soporte del núcleo. Se insertan los

termopares en estos conductos con un útil especial que proporciona la fuerza axial

para colocar el termopar en un asiento cónico al nal del conducto dentro de la

vasija. Las conexiones eléctricas se hacen mediante un conector en la parte superior

de los conductos y fuera de la vasija. Una vez insertado el termopar, se hace un

sellado entre el termopar y el nal de conducto.

Detectores móviles de neutrones

Para acomodar los detectores de neutrones, se colocan tubos de instrumentación

huecos en diversas posiciones del interior del núcleo. El fondo de la vasija se conecta a

la mesa de sellado mediante tubos guía que envuelven a los tubos de instrumentación

anteriormente mencionados. Existe un tubo guía para cada uno de los tubos de

instrumentación; los tubos guía se sueldan al fondo de la vasija del reactor y tienen

aproximadamente 2.5 cm de diámetro externo.

397


Los tubos de instrumentación son de acero inoxidable y pueden ser introducidos

y extraídos del núcleo del reactor a través de los tubos guía. Cuando los tubos

de instrumentación están totalmente insertados llegan desde detrás de la mesa de

sellado, por la parte inferior de la vasija, hasta la parte superior del núcleo. Los tubos

están cerrados en su extremo, son estancos y sirven de barrera de presión entre el

refrigerante del reactor y la atmósfera, y sólo pueden ser introducidos o extraídos

durante los periodos de despresurización de la Central. Antes de la inserción de

los tubos de instrumentación, los tubos guía están sellados mediante tapones para

permitir la realización de los ensayos hidráulicos. Los tubos de instrumentación no

están introducidos durante estos ensayos puesto que el combustible no está cargado

y los tubos no tienen por consiguiente puntos de apoyo.

Durante el funcionamiento del reactor los tubos de instrumentación están jos, y

sólo se mueven durante la carga de combustible u operaciones de mantenimiento del

reactor. En estas ocasiones, detrás de la mesa de sellado debe haber un espacio libre

para permitir la extracción de los tubos de instrumentación.

El ujo neutrónico interior se mide mediante cámaras de sión en miniatura o de-

tectores que puedan ser posicionados remotamente en el interior de los tubos de

instrumentación. Estos detectores proporcionan un mapa de ujo de la totalidad

del núcleo del reactor mediante la medición del ujo de determinados elementos de

combustible.

Los detectores de ujo van acoplados en los extremos de cables de accionamientos

398


helicoidales (conteniendo en su interior cables coaxiales forrados) que sirven para

su inserción y extracción. Cada detector se conecta a una unidad de accionamiento

y se emplea para medir la distribución de ujo en diez elementos de combustible

diferentes. Mediante la ayuda de un sistema de transferencia mecánico, los detectores

pueden emplearse para otras zonas.

El sistema de accionamiento trabaja de tres modos: Automático, Especial y Manual.

El modo Automático no requiere prácticamente la intervención del operador. En este

modo los detectores se introducen y extraen de los tubos de instrumentación en una

forma semisecuencial predeterminada, se recogen los datos, se realizan los cálculos

y el ordenador da resultados.

En el modo Especial se requiere que el operador acciones el teclado del sistema para

elegir los caminos que quiere explorar y los detectores que quiere usar. Los detectores

se mueven automáticamente, se recogen los datos, se realizan los cálculos y se dan

los resultados. Este modo se emplea para realizar los mapas de ujo de una cuarta

parte del núcleo.

El modo Manual requiere una interrelación mayor entre máquina y operador. En

este modo el operador elige mediante el teclado el camino a explorar, detector a

emplear, velocidad y dirección del detector, rango de la medida y registro gráco de

datos.

399


Figura C.1: Disposición típica de la instrumentación nuclear en un PWR.

400

C.2. Instrumentación extra-nuclear o ex-core


El Sistema de Instrumentación Extra Nuclear mide el nivel de potencia del reactor y

el ujo de neutrones desde el rango fuente pasando por el rango intermedio y hasta

el 120 % de la potencia nominal del reactor. El sistema emplea ocho detectores de

ujo neutrónico situados en pozos de instrumentos en torno al reactor.

El sistema está en operación de un modo continuo proporcionando alarmas y señales

de control y de protección del reactor. La gura C.2 muestra una vista en planta de

la disposición típica del emplazamiento de los detectores.

Figura C.2: Localización típica de los detectores de rango de potencia.

401


Detectores

El sistema utiliza ocho conjuntos detectores situados en pozos de instrumentación,

en torno al reactor dentro del blindaje primario. Dos de estos detectores son conta-

dores proporcionales utilizados en los canales del intervalo de fuente: están situados

en pozos verticales para instrumentos, situados diametralmente opuestos y a una

elevación correspondiente a la mitad de la altura total del núcleo.

En los dos pozos donde van instalados los dos detectores fuente, van instaladas

igualmente dos cámaras de ionización compensadas de una longitud similar a la

altura del núcleo.

En estas cámaras los electrodos internos se encuentran divididos en dos secciones

iguales para proporcionar, básicamente, un total de ocho cámaras no compensadas

de ionización , cubriendo aproximadamente cada una de ellas la mitad de la longitud

total del núcleo.

Estos cuatro conjuntos detectores están situados en pozos verticales para instru-

mentos, contiguos a las cuatro esquinas del reactor.

Los rangos de operación de los diferentes detectores están indicados en la gura C.3.

402


Figura C.3: Sistema de instrumentación ex-core o extra-nuclear, detectores de neutrones

y rango de operación.

403


Canales de rango fuente

Los dos canales de rango fuente utilizan contadores proporcionales. El ujo de neu-

trones (medido en la zona de blindaje primario) produce impulsos en los detectores.

Estos impulsos se transmiten a través de un cable triaxial hasta un preamplicador

y de aquí al equipo situado en la sala de control.

Estos dos canales proporcionan información de rango de fuente, nivel de disparo de

reactor, alarmas y señales para los sistemas de control y protección del reactor. Tam-

bién se utilizan durante la operación de parada, con objeto de proporcionar señales

de alarma en el caso de producirse un aumento imprevisto de reactividad. Durante

la fase inicial de arranque existe una señal sonora de los incrementos producidos.

Canales de rango intermedio

Los dos canales de Rango Intermedio utilizan, cada uno, una cámara de ionización

compensada. La señal de salida de la cámara de ionización va a través e un cable

coaxial, al equipo situado en la sala de control.

Estos canales dan el nivel de ujo neutrónico intermedio al mismo tiempo que pro-

porcionan alarmas por elevado ujo neutrónico y por señales de disparo del reactor.

Proporcionan también una señal que interrumpe el suministro de lata tensión a los

detectores de los rango fuente.

Los canales de fuente e intermedio producen una indicación de la velocidad de

arranque en la sala de control.

404


Canales de rango de potencia

Existen tres tipos de medidas de potencia, utilizando cada uno cuatro señales eléc-

tricas independientes.

Cuatro señales de corriente provenientes de las secciones inferiores de las cá-

maras de ionización.

Cuatro señales de corriente provenientes de las secciones superiores de las cá-

maras de ionización.

Cuatro señales de corriente equivalentes a la suma o promedio de las señales

anteriores.

Las señales de los detectores superiores e inferiores proporcionan información de

desequilibrio axial de la distribución de ujo. También funcionan como parte del

sistema de protección por exceso de potencia.

En la sala de control se reejan las corrientes medias de salida de la parte superior e

inferior de los detectores. Estas entradas medias proporcionan las señales de parada

del reactor debido a exceso de potencia, señales de protección por cada de barras

de control y señales de para de dichas barras.

405


406

Apéndice D

INSTRUMENTACIÓN NUCLEAR

DE LOS REACTORES TIPO BWR

Existen tres tipos de instrumentación nuclear para la medida del ujo neutrónico.

Según la potencia del reactor sea más o menos alta, los detectores utilizados son

diferentes:

Rango fuente: Medida y registro del ujo neutrónico para potencias muy bajas.

Para este rango se utilizan los detectores SRM (Source Range Monitor).

Rango intermedio: Medida y registro del ujo neutrónico para potencias bajas.

Para este rango se utilizan los detectores IRM (Intermediate Range Monitor).

Rango de potencia: Medida y registro del ujo neutrónico para potencias altas.

Para este rango se utilizan los detectores LPRM (Local Power Range Monitor).

Las señales de estos detectores se envían a los APRM (Average Power Range

Monitor) donde son promediadas. Los APRM no poseen detector y constan

407

D. INSTRUMENTACIÓN NUCLEAR DE LOS REACTORES TIPO BWR

exclusivamente de circuitos electrónicos que promedian las señales.

Obviamente, deberá existir un solape entre los diferentes tipos para que el ujo sea

siempre vigilado. Es más, los detectores de rango fuente e intermedio deben tener

la posibilidad de extraerse del núcleo una vez cumplidos sus cometidos respectivos,

ya que se quemarían cuando la planta estuviera en rangos altos de potencia.

Los detectores de cada rango son esencialmente cámaras de sión que constan de

un electrodo central y un electrodo exterior recubierto de U3O8 enriquecido en 235U .

Los neutrones, al penetrar en el recubrimiento del detector producen la sión de

los átomos de 235U , introduciéndose los productos de sión en la cámara . Éstos,

al tratar de partículas de una gran masa, energía y carga eléctrica, provocarán la

ionización del argón que llena la cámara.

Detectores SRM

Vigilan el ujo neutrónico durante las paradas, recargas y en los arranques. El

sistema consta de:

1. Cuatro cámaras de són que pueden introducirse en el núcleo del reactor desde

sala de control y que miden el nivel de ujo neutrónico.

2. Cinco fuentes emisoras de neutrones, localizadas en el interior del núcleo, que

proporcionan el ujo neutrónico adicional requerido para alcanzar la sensibili-

dad mínima de los detectores

408

Detectores IRM

Se dispone de ocho canales de IRM agrupados en 2 grupos de cuatro.

El sistema suministra al operador la información necesaria durante el calentamiento

del reactor, sobre la evolución de la potencia neutrónica.

Detectores LPRM

A potencias altas, el sistema de detectores de potencia local, LPRM, suministra

información del ujo neutrónico existente en diferentes puntos del núcleo.

Son detectores muy similares a los anteriores, pero permanentemente instalados en

el núcleo.

Están alojados en tubos secos ( 1 tubo para cada detector) y todo el conjunto se

instala dentro de una envoltura llamada tubo de instrumentación.

Los conjuntos de detectores son instalados entre los elementos combustibles donde

no hay dispuestas barras de control.

Las 132 señales generadas por las cámaras LPRM se distribuyen entre los 8 APRM

que promedian las señales adecuadamente. Si alguna cámara LPRM estuviera de-

fectuosa, enviando al APRM correspondiente una señal muy baja o muy alta, la

potencia térmica indicada por este APRM estaría falseada siendo por tanto conve-

niente, realizar un bypass.

409


Figura D.1: Rangos y solapes de la instrumentación nuclear de un BWR.

410

Figura D.2: Situación relativa de la instrumentación nuclear en un BWR.

411


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