análise de experimentos para identificação de propriedades

ANÁLISE DE EXPERIMENTOS PARA IDENTIFICAÇÃO DE PROPRIEDADES TERMOFÍSICAS

Rafael de Sá Bunte

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA

MECÂNICA.

Aprovada por:

_________________________________________________

Prof. Helcio Rangel Barreto Orlande, Ph.D.

_________________________________________________

Prof. Albino José Kalab Leiroz, Ph.D.

_________________________________________________

Prof. Nísio de Carvalho Lobo Brum, D.Sc.

_________________________________________________

Prof. Nilson Costa Roberty, D.Sc

_________________________________________________

Profª. Mila Rosendal Avelino, D.Sc.

.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

ABRIL DE 2006

ii

BUNTE, RAFAEL DE SÁ

Análise de Experimentos para Identifica-

ção de Propriedades Termofísicas[Rio de

Janeiro] 2006.

X, 103p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,

Engenharia Mecânica, 2006)

Dissertação – Universidade Federal do

Rio de Janeiro, COPPE.

1. Transferência de Calor

I. COPPE / UFRJ II. Título (série)

iii

Para Vittorio Adolf Berté Bunte, que está

sempre comigo nos meus pensamentos.

iv

AGRADECIMENTOS

• Agradeço ao meu orientador, Hélcio Rangel Barreto Orlande, pela paciência, extrema

confiança, pelo apoio e atenção que sempre me dedicou.

• Agradeço a minha co-orientadora, Mila Rosendal Avelino, pela amizade e pelo

incansável incentivo prestado à minha formação acadêmica.

• Agradeço a Universidade Estadual do Rio de Janeiro (UERJ) e, em particular, ao meu

chefe, Gustaf A. P. Akerman, por me permitirem concluir um projeto e um desejo

particular.

• Agradeço à minha família pela minha formação e por me ensinarem a sempre seguir

em frente e nunca desistir.

• Agradeço a todos os amigos que de forma silenciosa, e que talvez nunca seja

conhecida, contribuíram para que eu pudesse realizar este projeto.

v

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

ANÁLISE DE EXPERIMENTOS PARA IDENTIFICAÇÃO DE PROPRIEDADES

TERMOFÍSICAS.

Rafael de Sá Bunte

Janeiro / 2006

Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande

Programa: Engenharia Mecânica

O objetivo deste trabalho é implementação de três diferentes arranjos

experimentais, visando a melhor configuração experimental para a identificação das

propriedades termofísicas de sólidos ortotrópicos. Estes experimentos envolvem o

aquecimento parcial de uma única superfície do sólido. Avalia-se, entre outras coisas, a

utilização ou não de um transdutor de fluxo de calor, de dois corpos-de-prova idênticos

simetricamente aquecidos e de diferentes disposições de sensores de temperaturas. Nos

testes realizados, utilizou-se um material isotrópico com propriedades termofísicas

conhecidas. Para a obtenção das propriedades deste material foi utilizado o equipamento

NETZSCH Nanoflash do LTTC/PEM/COPPE/UFRJ, baseado no Método Flash. Sendo as

propriedades do material dos corpos-de-prova conhecidas com pequena incerteza, foi

possível a simulação computacional do problema de condução de calor para a comparação

entre resultados computacionais e experimentais. Para a simulação computacional foi

utilizada a solução analítica, obtida com a técnica da Transformada Integral Clássica para o

fluxo de calor constante, bem como o Método de Elementos Finitos através do programa

comercial SolidWorks/COSMOSWorks para o fluxo de calor variável.

vi

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Sciences (M.Sc.)

ANALYSIS OF EXPERIMENTS FOR THE IDENTIFICATION OF THERMOPHYSICS

PROPERTIES.

Rafael de Sá Bunte

January / 2006

Advisor: Helcio Rangel Barreto Orlande

Department: Mechanical Engineering

The objective of this work is the implementation of three different experimental

arrangements, for the best arrangement to identify thermophysical properties of orthotropic

solids. These experiments involve the partial heating of one surface of the solid. It is

evaluated, among others things, the use or not of a heat flux transducer, two identical

specimens symmetrically heated and different locations of temperature sensors. For the

tests, an isotropic material with known thermophysical properties was used. The

NETZSCH Nanoflash equipment of the LTTC/PEM/COPPE/UFRJ, based on the Flash

Method, was used for the identification of the properties of this material. Being the

properties of the specimen material known with small uncertainty, the computational

simulation of the heat conduction problem for the comparison between computational and

experimental results was possible. In the computational simulation we used an analytical

solution, obtained with the Classical Integral Transforms Technique for a constant heat

flux, as well as the Finite Elements Method through a commercial program

SolidWorks/COSMOSWorks in the variable heat flux case.

vii

SUMÁRIO

NOMENCLATURA VII

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO X

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA XII

CAPÍTULO 3 – SOLUÇÃO ANALÍTICA XVI

CAPÍTULO 4 – SOLUÇÃO NUMÉRICA 30

CAPÍTULO 5 – SIMULAÇÃO EXPERIMENTAL 32

5.1 - Construção do Aparato Experimental 32

5.2 - Caracterização do Material do Corpo-de prova 36

5.3 - Procedimentos do Experimento 42

5.4 - Análise de Incerteza 42

CAPÍTULO 6 – RESULTADOS E DISCUSSÕES 43

CAPÍTULO 7 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES 58

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 59

APÊNDICE 1 – ESTUDO DE CASO 67

APÊNDICE 2 – CALIBRAÇÃO DOS TERMOPARES 71

viii

NOMENCLATURA

a, b, c dimensões adimensionais do sólido nas direções x, y e z,

respectivamente

a1, b1 dimensões adimensionais da resistência elétrica nas direções x e y,

respectivamente

kx, ky, kz componentes da condutividade térmica adimensionais nas direções

x, y e z , respectivamente

q0 fluxo de calor adimensional aplicado durante o intervalo t >0

h coeficiente de filme – convecção livre

T temperatura adimensional

T temperatura transformada em z

T~

temperatura transformada em z e y

T~

temperatura transformada em z, y e x

t tempo adimensional

tf tempo final adimensional

th tempo de aquecimento adimensional

x, y, z variáveis espaciais

cp calor específico à pressão constante

ddp diferença de potencial

R resistência elétrica

Ur incerteza dos resultados

X média das amostras do parâmetro

Sr índice de exatidão absoluto

ts variável aleatória da distribuição de Student

LETRAS GREGAS / SÍMBOLOS

σ desvio padrão dos erros de medida

β erro sistemático

ρ massa específica do corpo-de-prova

ix

SUBSCRITOS

i referente ao tempo ti, i = 1, …, I

1,2,3 referente às direções x, y e z, respectivamente

SOBRESCRITOS

* variáveis dimensionais

‘ variáveis do problema transformado em isotrópico

T matriz ou vetor transposto

10

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

Novos materiais e a busca pela otimização de projetos em engenharia tem motivado

a procura de métodos eficientes de determinação multidimensional e simultânea das

propriedades termofísicas.

Os compósitos, dentre os novos materiais recentemente estudados, vêm

progressivamente ocupando lugar de destaque no meio científico. De fato, materiais

compósitos proporcionam vantagens significativas, possibilitando a fabricação de produtos

com propriedades específicas, em cada caso particular de aplicação. A implicação direta

destes atributos amplia de forma expressiva o campo de aplicações. A literatura disponível

abordando propriedades mecânicas destes materiais é vasta, entretanto a quantidade de

estudos que enfatizam a identificação de propriedades termofísicas desta classe específica

de materiais é modesta.

Vale ressaltar que os próprios processos de produção de materiais compósitos

conhecidos até o momento não possuem tecnologia suficiente para o controle e exatidão

das propriedades físicas, acarretando em variações das propriedades térmicas resultantes

em cada lote produzido. Tais fatos justificam a necessidade de se obter um método

eficiente de identificação multidimensional e simultânea das propriedades termofísicas.

Sendo assim, este trabalho tem como objetivo a comparação de três arranjos

experimentais para a escolha do mais apropriado para utilização na identificação de

propriedades termofísicas de sólidos ortotrópicos. São realizados experimentos com cada

uma destes arranjos, utilizando-se um material isotrópico com propriedades bem

conhecidas, no caso o TEFLON. Além disso, é implementada a solução analítica para o

problema de condução de calor em questão, bem como é obtida a solução deste problema

através de um programa comercial. O programa utilizado foi o

SolidWorks/COSMOSWorks [38], que se baseia no Método de Elementos Finitos.

Apresenta-se a seguir a forma de organização deste trabalho.

O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica de alguns trabalhos recentes desta

área em particular e que foram tomados como base para este trabalho.

O Capítulo 3 apresenta a formulação matemática e a descrição do problema físico.

Neste capítulo também é apresentada a formulação matemática em termos adimensionais.

11

O Capítulo 4 descreve solução analítica para o problema físico. Primeiro a solução

do problema direto é detalhada e, em seguida, o problema é transformado em isotrópico e a

Técnica da Transformada Integral é aplicada.

O Capítulo 5 apresenta a solução numérica para o problema tratado por este

trabalho. Será apresentada uma simulação em elementos finitos para a verificação dos

resultados encontrados pela solução analítica.

O Capítulo 6 descreve os três arranjos experimentais que foram utilizados neste

trabalho. O material do corpo-de-prova, bem como os sensores e os instrumentos utilizados

também são apresentados neste capítulo.

No Capítulo 7 são apresentados os resultados obtidos com os diferentes arranjos

experimentais. São também apresentados, e comparados com os resultados experimentais,

os resultados obtidos com a solução analítica e com a solução numérica.

Finalmente, no Capítulo 8 são apresentadas as conclusões do trabalho, assim como

as sugestões para a realização de trabalhos futuros.

No apêndice são apresentados os resultados das calibrações dos termopares

utilizados nos experimentos.

12

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A Técnica da Transformada Integral Clássica, apresentada por OZISIK [1] é

apropriada tanto para problemas de condução de calor homogêneos quanto não-

homogêneos, embora cuidados devam ser tomados para sua aplicação em problemas não-

homogêneos. Esta técnica consiste na expansão da solução do problema em termos de

autofunções. Defini-se um par transformada/inversa, tendo como base esta expansão. Em

seguida, é aplicada a transformação ao problema original, resultando em infinitas equações

diferenciais ordinárias para problemas transientes como o deste trabalho. Sendo estas

equações desacopladas, a solução analítica de cada uma delas pode ser obtida e então é

aplicada a fórmula da inversa para obtenção da solução do problema original. Por outro

lado, se as equações foram acopladas a Técnica da Transformada Generalizada [2] é então

utilizada. OZISIK [1] também apresenta a transformação de um problema de condução de

calor para um meio ortotrópico em um problema de condução para um meio isotrópico.

COTTA e MIKHAILOV [2] apresentam a reordenação dos autovalores como

solução para que possamos transformar os somatórios duplos e triplos, referentes às

soluções obtidas com a Técnica da Transformação Integral, em um somatório simples. A

vantagem que esta técnica possui é a redução do tempo computacional, já que a

reordenação é feita de forma que os termos mais significativos sejam levados em

consideração no somatório.

Diversas técnicas experimentais foram desenvolvidas no passado para a

identificação de diferentes propriedades termofísicas, como o método da placa quente

protegida [34] para a condutividade térmica e o Método Flash [18] para a difusividade

térmica.

O método baseado em uma emissão de um pulso de calor, assim como o método

flash, foi inicialmente desenvolvido por PARKER et al [17] em 1961. O método foi

modelado segundo a difusão de um pulso de calor através de um sólido isolado

perfeitamente e de espessura conhecida. Nesta modelagem, vale ressaltar, utilizou-se uma

formulação unidimensional e transiente. Contudo, a proposta apresentada por PARKER

não incluiu o efeito das perdas de calor das superfícies da amostra e supõe um pulso de

aquecimento instantâneo na superfície frontal do sólido.

Em 1963, COWAN [29] propôs a solução para a distribuição de temperatura em

uma placa fina de um material sólido, onde as perdas de calor por convecção e radiação

13

não são desprezíveis. Porém, seu método requer um conhecimento aproximado do valor

das perdas de calor. Apenas no caso de perdas por radiação o conhecimento do valor da

emissividade pode dar com razoável exatidão o valor destas perdas.

Em 1975 CLARK e TAYLOR [30] propuseram um outro método de identificação

da difusividade térmica baseado no procedimento de COWAN [29]. Eles propuseram um

método para determinar a difusividade térmica analisando a parte aquecida da curva de

temperatura do corpo-de-prova, antes que a superfície posterior da amostra atinja sua

temperatura máxima, ao invés de analisar a curva de temperaturas quando esta resfria.

KOSKI [31] analisou um problema bidimensional transiente de transferência de

calor e incluiu um fator de perda de calor adimensional para caracterizar as perdas

radioativas da amostra. Estas perdas são descritas através do número radioativo de Biot e

quando este número é igual à zero não há perda de calor da amostra. Contudo, esta análise

é limitada a casos onde este fator de perda, é menor que 1,2.

Em 1986, DEGIOVANNI e LAURENT [32] propuseram um método diferente para

analisar as curvas de temperatura obtidas experimentalmente. Eles supuseram que o tempo

do pulso do laser é pequeno comparado com a metade do tempo de subida da temperatura,

não sendo esta suposição uma correção do tempo do pulso finito. Esta análise considerou a

perda de calor por todos os lados da amostra e produziu resultados exatos em amostras

espessas e com baixa difusividade térmica.

O Método da Placa Quente Protegida [34] (“Guarded-Hot-Plate”), se baseia na Lei

de Fourier para a transferência de calor por condução. Neste processo, a placa aquecida,

situada na parte superior, é mantida numa temperatura constante através da circulação de

água quente proveniente de um calorímetro. No centro da sua face inferior, existe uma

chapa metálica interna de aquecimento elétrico, contendo um sistema de resistência elétrica

por onde circula uma corrente, fornecendo um fluxo de calor constante para a amostra a ser

ensaiada. A temperatura da outra placa, denominada “placa fria”, também é mantida

constante mediante a retirada de calor através da circulação de um refrigerante. A chapa

metálica interna de aquecimento elétrico é envolvida tanto lateral como superiormente,

pela placa superior. O objetivo da circulação desta água aquecida pelo interior da placa

quente é proteger o fluxo de calor gerado pela chapa metálica. Este artifício é que define o

método como sendo método das placas protegidas. O objetivo é manter a temperatura desta

placa protetora na mesma temperatura da chapa interna, evitando com isto perdas de calor

pelas superfícies laterais e pela superfície superior da placa de aquecimento, de modo que

14

no estado estacionário a potência elétrica alimentando a placa de aquecimento é

proporcional ao fluxo de calor de calor (Lei de Fourier) através do material a ser ensaiado.

GUIMARÃES et al. [33] investiga em seu trabalho a influência do fluxo de calor

imposto, a geometria do material e suas características sobre os resultados experimentais.

Já TAKTAK [6] e TAKTAK et al [7], através do critério D-ótimo, otimizam o

tempo de aquecimento, tempo final e posicionamento dos sensores na estimativa da

condutividade térmica e da capacidade volumétrica de materiais compósitos.

Através de medições de fluxo de calor na superfície, além das medidas de

temperatura, DOWDING et al. [8,9] estimam propriedades térmicas de um compósito

carbono-carbono bidimensional. Nestes trabalhos testa-se fazer o tempo de aquecimento

menor que o tempo final do experimento.

KIM et al. [17] estima as componentes bidimensionais da condutividade térmica e

a capacidade térmica volumétrica dependente da temperatura de um sólido anisotrópico

aquecendo parcialmente uma superfície apenas.

MEJIAS [10] apresenta em sua tese de mestrado um estudo em que se verifica o

posicionamento e número de sensores, tempo de aquecimento e tempo final do

experimento para estimar as condutividades térmicas de um material ortotrópico. Neste

trabalho considerou-se um problema físico envolvendo o aquecimento de três superfícies

de um sólido na forma de um paralelepípedo, enquanto que as outras três superfícies

permaneciam isoladas ou a uma temperatura prescrita.

MEJIAS et al.[11] utilizam o Mathematica para, através da computação simbólica,

resolver um problema de estimativa das componentes de condutividade térmica de um

sólido ortotrópico. Realiza-se a análise dos coeficientes de sensibilidade, o projeto ótimo

de experimentos e escreve-se uma rotina para a minimização da função objetivo através do

método Levenberg-Maquardt.

MEJIAS et al.[12] realizam um projeto ótimo de experimentos onde se verifica a

influência do processo de aquecimento e das dimensões do sólido para a estimativa das

componentes de condutividade térmica de um sólido ortotrópico.

RODRIGUES et al.[13] modelou um problema físico alternativo mais simples de

ser implementado experimentalmente. Um paralelepípedo com uma das superfícies

parcialmente aquecida. Tal fato faz com que o problema de condução de calor seja

tridimensional, independentemente das condições de contorno das outras superfícies. Neste

trabalho foram simuladas várias situações, variando o posicionamento dos sensores de

temperatura, o tempo final do experimento e, também, se as temperaturas usadas na

15

solução do problema inverso deveriam ser as lidas durante o aquecimento ou durante o

resfriamento do material. O trabalho aqui proposto objetiva confrontar o modelo proposto

por RODRIGUES et al. com dados experimentais sob as mesmas condições físicas.

BECK e ARNOLD [14] apresentam em seu livro métodos de minimização da

função objetivo, como é feita a análise estatística dos resultados e métodos de otimização

das experiências.

16

CAPÍTULO 3 – SOLUÇÃO ANALÍTICA

O problema físico em estudo foi tomado como um paralelepípedo do material com

dimensões *a , *b e *c nas direções *x , *y e *z respectivamente. Na superfície 0* =z foi

instalada uma resistência elétrica de dimensões *1a e *

1b nas direções *x e *y

respectivamente, com o restante da superfície isolada. Esta placa fornece um fluxo de calor

uniforme *0q durante um intervalo de tempo *

ht . Após esse intervalo de tempo toda a

superfície fica isolada. Por sua vez, a superfície ** cz = é mantida sob convecção natural.

Todas as outras superfícies são consideradas isoladas. O paralelepípedo encontra-se

inicialmente à temperatura constante 0θ . A Fig. 3.1 apresenta o modelo do problema físico

a ser estudado neste trabalho.

Figura 3.1 – Problema físico em estudo.

17

O problema físico é descrito matematicamente da seguinte forma:

0;0;0;0 em *******

*2*

2*

2*

2*

2*

2*

><<<<<<

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

tczbyax

tc

zk

yk

xk pzyx

θρθθθ (3.1.a)

0* =∂∂xθ em 0* =x e ** ax = para 0* >t (3.1.b-c)

0* =∂∂yθ em 0* =y e ** by = para 0* >t (3.1.d-e)

),,( *****

* tyxqz

kz =∂∂

−θ em 0* =z para 0* >t (3.1.f)

)(**

*∞−=

∂∂ θθθ hz

kz em ** cz = para 0* >t (3.1.g)

0θθ = em 0* =t (3.1.h)

O fluxo de calor na superfície 0* =z pode ser descrito da seguinte forma:

( )

<<<<= regiãodessa fora 0

0;0 )(,,*1

**1

**__

*0**** byaxtqtyxq (3.1.i)

Para a adimensionalização do problema definido pelas equações (3.1) foram utilizados os

seguintes grupos adimensionais:

( ) ref

ref

kT

q lθ θ∞−

= ; 2

*

lctk

tp

ref

ρ= ;

refhhh

*

= ; (3.2.a-c)

refqqq

*

= ; refq

qq

__*

0__

0 = ; refq

qq

*0

0 = ; (3.2.d-f)

lxx

*

= ; lyy

*

= ; lzz

*

= ; (3.2.g-i)

laa

*

= ; l

bb*

= ; l

cc*

= ; (3.2.j-l)

laa

*1

1 = ; l

bb*

11 = ;

ref

ref

klh

Bi = (3.2.m-o)

ref

xx k

kk

*

= ; ref

yy k

kk

*

= ; ref

zz k

kk

*

= ; (3.2.p-r)

18

onde refk , refh e refq são respectivamente a condutividade térmica de referência, coeficiente

de filme de referência e o fluxo de calor de referência usados na adimensionalização do

problema.

Desta forma, o problema físico (3.1), adimensionalizado, é dado por:

tT

zTk

yTk

xTk zyx ∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

em 0;0;0;0 ><<<<<< tczbyax (3.3.a)

0=∂∂

xT em 0=x e ax = , para 0>t (3.3.b-c)

0=∂∂

yT em 0=y e by = , para 0>t (3.3.d-e)

( )tyxqzTkz ,,=∂∂

− em 0=z , para 0>t (3.3.f)

0=+∂∂ BiT

zTkz em cz = , para 0>t (3.3.g)

0=T em 0=t (3.3.h)

onde,

( ) ( )

=0

,,__

0 tqtyxq regiãodessafora

byax 11 0;0 <<<< (3.3.i)

A Técnica da Transformada Integral Clássica é utilizada neste trabalho para a

obtenção da solução do problema direto (3.3). Em OZISIK [1] é descrito este

procedimento para a transformação do problema para um meio ortotrópico em um

problema para um meio isotrópico. Assim, as variáveis são apresentadas, conforme

OZISIK [1], pelas equações (3.4):

'x

kx xk

=

, '

y

ky yk

=

, '

z

kz zk

=

, (3.4.a-c)

'x

ka ak

=

, '

y

kb bk

=

, '

z

kc ck

=

, (3.4.d-f)

1 1'x

ka ak

=

, 1 1'

y

kb bk

=

(3.4.g-i)

19

onde k é a condutividade térmica de referência para a transformação, que pode ser obtida

através da relação:

( )1

23

21

=k

kkk zyx (3.5)

Utilizando-se as equações (4.1), a transformação da equação (3.3.a) pode ser escrita como:

tT

kzT

yT

xT

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂ 1

''' 2

2

2

2

2

2

em 0;''0;''0;''0 ><<<<<< tczbyax (3.6)

As condições de contorno e inicial são, portanto:

0'=

∂∂

xT em 0'=x e '' ax = , para 0>t (3.7.a-b)

0'=

∂∂

yT em 0'=y e '' by = , para 0>t (3.7.c-d)

)','('

' yxqzTkz =∂∂

− em 0'=z , para 0>t (3.7.e)

0'

' =+∂∂ BiT

zTkz em '' cz = , para 0>t (3.7.f)

0=T , em 0=t (3.7.g)

onde,

( )

=0

',' 0qyxq

regiãodessaforabyax ''0;''0 11 <<<<

(3.7.h)

Primeiramente, os autovalores, as autofunções e as normas são calculados através

dos problemas de autovalor, obtidos pela separação de variáveis, conforme OZISIK [1], da

versão homogênea do problema em questão. Depois disto, a solução é obtida

analiticamente através da Técnica da Transformada Integral Clássica. Estes problemas

auxiliares são apresentados pelas equações (3.8)-(3.10).

Direção x:

0)','(''

)','( 22

2

=+ xXdx

xXdmm

m βββ

(3.8.a)

20

0'

)','(=

dxxdX mβ em 0'=x e ax =' (3.8.b-c)

Direção y:

0)','(''

)','( 22

2

=+ yYdy

yYdnn

n γγγ

(3.9.a)

0'

)','(=

dyydY nγ em 0'=y e by =' (3.9.b-c)

Direção z:

0)','(''

)','( 22

2

=+ zZdz

zZdpp

p ηηη

(3.10.a)

0'

)','(=

dzzdZ pη

em 0'=z (3.10.b)

0)','('

)','(=+ zBiZ

dzzdZ

pp η

η em cz =' (3.10.c)

Cada problema de autovalor apresenta a respectiva autofunção e norma, conforme

OZISIK [1]:

)''cos()','( xxX mm ββ = ; '

21aNm

= para 0≠mβ e '

11aNm

= para 00 =β (3.11.a-c)

)''cos()','( yyY nn γγ = ; '

21bNn

= para 0≠nγ e '

11bNn

= para 00 =γ (3.12.a-c)

)''cos()','( zzZ pp ηη = ; BiBic

BiN p

p

p ++

+=

)('21

22

22

ηη

(3.13.a-b)

Sendo os autovalores dados por OZISIK [1]:

''

am

mπβ =

''

bn

nπγ =

)''tan('

cBi

pp η

η = (3.14-16)

O seguinte par transformada/inversa ao longo da direção z é definido para

resolvermos o problema dado pelas equações (3.6) e (3.7)

21

Transformada: ∫=

='

0'

'),',','()','(),',','(c

zpp dztzyxTzZtyxT ηη (3.17.a)

Inversa: ∑∞

=

=1

),',','()','(

),',','(p

pp

p tyxTN

zZtzyxT η

η (3.17.b)

Integrando por partes e utilizando a equação (3.10.a):

∫= =

−

∂

∂−

∂∂

=∂∂'

0'

2'

0'2

2

''

)','('

)','(''

)','(c

zp

c

z

ppp T

zzZ

TzTzZdz

zTzZ η

ηηη (3.17.c)

Substituindo na equação (3.17.c) as condições de contorno (3.7.e-f) e (3.10.b-c),

além da equação (3.16), tem-se para cada período:

Período ( t > 0 ):

∫=

−=∂∂'

0'

22

2

''

)','(''

)','(c

zp

zp T

kyxqdz

zTzZ ηη (3.17.d)

O problema definido pelas equações (3.6) e as condições de contorno e inicial para

o período definido é multiplicado pelas equações (3.7), por )','( zZ pη e integrando-se de 0

a c’ em z’ as equações (3.17), obtém-se:

Período (t > 0):

tT

kkyxqT

yT

xT

zp ∂

∂=+−

∂∂

+∂∂ 1

')','('

''2

2

2

2

2

η (3.18.a)

0'=

∂∂

xT em 0'=x e '' ax = , para htt ≤<0 (3.18.b-c)

0'=

∂∂

yT em 0'=y e '' by = , para htt ≤<0 (3.18.d-e)

0=T , em 0=t (3.18.f)

22

Um novo par transformada/inversa é definido em relação à direção y’, assim:

Transformada: ∫=

='

0'

'),',','()','(),',','(~ b

ypnpn dytyxTyYtxT ηγηγ (3.19.a)

Inversa: ∑∞

=

=0

),',','(~)','(

),',','(n

pnn

np txT

NyY

tyxT ηγγ

η (3.19.b)

Utilizando as equações (3.7.h) e (3.15), conclui-se que:

∫=

=

===

'

0' 1

1

0npara '

')'(

1,2,3,...npara ''

)''()'(

)','(~''

)','()','(b

y

z

nz

n

nz

n

kbxq

kbsenxq

xqdyk

yxqyY γγ

γγ (3.19.c)

onde,

( )

=0

' 0qxq

regiãodessaforaax ''0 1<<

(3.19.d)

Multiplicando, então, os problemas definidos pelas equações. (3.18) e (3.19) por

)','( yY nγ e integrando de 0 a b’ em y’, utilizando as equações (3.9.a) e (3.19), obtém-se:

Período ( t > 0):

tT

kxqT

xT

npn ∂∂

=++−∂∂

~1)','(~~

)''('

~22

2

2

γηγ (3.20.a)

0'

~=

∂∂

xT em 0'=x e '' ax = , para htt ≤<0 (3.20.b-c)

0~=T , em 0=t (3.20.d)

23

Definindo, portanto, um novo par transformada/inversa em relação à direção x’:

Transformada: ∫=

='

0'

'),',','(~

)','(),',','(~ a

xpnmpnm dxtxTxXtT ηγβηγβ (3.21.a)

Inversa: ∑∞

=

=0

),',','(~)','(

),',','(~

mpnm

m

mpn tT

NxX

txT ηγββ

ηγ (3.21.b)

Utilizando a equação (4.18.d) e (4.12), obtém-se:

)','(~')','(~)','('

0'nm

a

xnm qdxxqxX γβγβ =∫

=

(3.21.c)

sendo,

0 1 1

0 1 1

0 1 1

0 1 1

' ' para m 0 e n 0'

' ( ' ') para m 0 e n 1,2,3,...' 'ˆ( ', ')

( ' ') ' para m 1,2,3,... e n 0' '

( ' ') ( ' ')' '

z

n

z nm n

m

z m

m n

z m n

q a bk

q a sen bk

qq sen a b

kq sen a sen b

k

γγ

β γββ

β γβ γ

= =

= =

== =

para m 1,2,3,... e n 1,2,3,...'

= =

(3.21.d)

Multiplicando então os problemas definidos pelas equações (3.20) por )','( xX mβ e

integrando de 0 a a’ em x’, utilizando as equações (3.8.a) e (3.21) obtém-se:

Período ( t > 0):

)','(~ ~

)'''(~

222nmpnm qkTk

dtTd γβηγβ =+++ (3..22.a)

0~=T , em 0=t (3.22.b)

Através da aplicação da técnica da Transformada Integral, todas as derivadas

parciais em relação as variáveis espaciais foram transformadas e os problemas diferenciais

parciais reduzidos a equações diferenciais ordinárias de primeira ordem para a

24

transformada integral ),',','(~

tT pnm ηγβ da temperatura, com suas respectiva condições

iniciais transformadas. Resolvendo as equações (3.22) e substituindo nas expressões de

inversão apresentadas as equações (3.17), (3.19) e (3.21) os resultados são descritos como:

Período (t > 0):

∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

=0 0 0

)','(~)''cos()''cos()''cos(1p n m

nmpnmpnm

qzyxNNN

T γβηγβ

++− ++−

222

)'''(

'''1

222

pnm

tk pnmeηγβ

ηγβ

(3.23.c)

O somatório triplo das equações (3.23.c) pode ser desmembrado conforme equação

(3.23.e):

∑∑∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

+++=1 1 10 0 0 1 1 1 11 p n mp n m p p p mn

, (3.23.e)

sendo m = 0 e n = 0 para o somatório simples, m = 0 para o primeiro somatório duplo e n =

0 para o segundo somatório duplo.

Reescrevendo-se a equação (3.23.c), utilizando-se a equação (3.23.e) e

substituindo-se as equações (3.11.b-c), (3.12.b-c), (3.13.b) e (3.21.d), obtém-se:

Período 1 (t>0):

( )( )2' '

2 20 1 1

22 21

' ' 12cos( ' ') '' ' ' '' '

pk t

p p

p z pp

q a b ez Bik a b kc Bi Bi

ηη η

ηη

− ⋅∞

=

−+⋅ ⋅ +

⋅+ +∑

( )( )2 2( ' ' ) '

2 20 1 1

2 22 21 1

' ( ' ') 14cos( ' ')cos( ' ') '' ' ' ' ( ' ' )'

n pk tnp n p

p n z n n pp

q a sen b ez y Bik a b kc Bi Bi

γ ηγη γ ηγ γ ηη

− +∞ ∞

= =

−+⋅ ⋅ +

++ +∑∑

( )( )2 2( ' ' ) '

2 20 1 1

2 22 21 1

' ( ' ') 14cos( ' ')cos( ' ') '' ' ' ' ( ' ' )' '

m pk tmp m p

p m z m m pp

q b sen a ez x Bik a b kc Bi Bi

β ηβη β ηβ β ηη

− +∞ ∞

= =

−+⋅ ⋅ +

++ +∑∑

( )2 2

0 1 12 2 22 2

1 1 1

8cos( ' ')cos( ' ')cos( ' ') ' ( ' ') ( ' ')' ' ' ' ' ( ' ' ' )' '

p n m p n m

n p m z n m m n pp

z y x Bi q sen b sen ak a b kc Bi Bi

η γ β η γ βγ β β γ ηη

∞ ∞ ∞

= = =

+⋅ ⋅ ⋅

+ ++ +∑∑∑

( )2 2 2( ' ' ' ) '1 m n pk te β γ η− + +− (3.24.a)

25

Substituindo as variáveis das equações (3.4) nas equações (3.24), a solução é obtida

fundamentada nas variáveis adimensionais do problema direto. Assim:

Período 1 ( 0t > ):

( )( )2

2 20 1 1

22 21

12cos( )z pk t

p p

p z pp

q a b ez Biab kc Bi Bi

ηη η

ηη

−∞

=

−+⋅ ⋅ +

+ +∑

( )( )2 2( )

2 20 1 1

2 22 21 1

( ) 14cos( )cos( )( )

y n z pk k tnp n p

p n n y n z pp

q a sen b ez y Biab k kc Bi Bi

γ ηγη γ ηγ γ ηη

− +∞ ∞

= =

−+⋅ ⋅ +

++ +∑∑

( )( )2 2( )

2 20 1 1

2 22 21 1

( ) 14cos( )cos( )( )

x m z pk k tmp m p

p m m x m z pp

q b sen a ez x Biab k kc Bi Bi

β ηβη β ηβ β ηη

− +∞ ∞

= =

−+⋅ ⋅ +

++ +∑∑

( )2 2

0 1 12 2 22 2

1 1 1

8cos( )cos( )cos( ) ( ) ( )( )

p n m p n m

n p m n m x m y n z pp

z y x Bi q sen b sen aab k k kc Bi Bi

η γ β η γ βγ β β γ ηη

∞ ∞ ∞

= = =

+⋅ ⋅ ⋅

+ ++ +∑∑∑

( )2 2 2( )1 x m y n z pk k k te β γ η− + +− (3.25)

sendo

am

mπβ =

bn

nπγ =

cp

p 2)12( πη −

= (3.26.a-c)

26

CAPÍTULO 4 – SOLUÇÃO NUMÉRICA

A solução exata de um problema contínuo consiste em encontrar uma ou mais

funções analíticas que definam o comportamento físico das variáveis, nas quais o problema

é formulado. No Método de Elementos Finitos as variáveis do problema são expressas em

termos de funções de interpolação ponderadas através de parâmetros a determinar.

Normalmente estes parâmetros estão associados às variáveis do problema ou a outras

grandezas físicas.

O processo de modelagem matemática de um problema físico e a discretização em

elementos finitos introduzem erros inevitáveis. A formulação matemática introduz erros de

idealização. E a solução introduz erros numéricos. Desses três tipos de erros, apenas o de

discretização é específico do Método de Elementos Finitos. Erros de modelagem são

introduzidos antes que o método seja utilizado e só podem ser controlados usando técnicas

corretas. Erros de solução são acumulados pelo solver, são difíceis de controlar, mas

felizmente são usualmente muito pequenos.

O Método de Elementos Finitos nada mais é do que uma técnica que permite

construir estas funções de interpolação. O método requer que o domínio seja dividido em

regiões, denominadas elementos finitos. Nestas regiões serão definidas funções

apropriadas para cada tipo de problema. Este método permite a composição de diferentes

tipos de elemento e sua seleção representa o passo crítico do método.

Desta forma vale ressaltar as principais causas dos erros associados à solução

numérica:

- Discretização do modelo;

- Entrada de dados;

- Funções de interpolação utilizadas;

- Linearização da teoria e do material;

- Solução numérica;

- Erros de arrendondamento da máquina;

- Cálculo de resultados.

Freqüemtemente, o mais difícil dos passos é a análise dos resultados. Uma

interpretação apropriada dos resultados requer que apreciemos as suposições, ass

simplificações e os erros introduzidos nos três primeiros passos: construindo o modelo

matemático, o modelo em elementos finitos e a solução do modelo em elementos finitos.

27

O programa computacional escolhido para ser utilizado neste trabalho foi o

SolidWorks/COSMOSWorks[38]. Este programa comercial é uma ferramenta de análise de

projeto baseado na técnica numérica dos elementos finitos. Este programa permite uma

perfeita integração com o sistema operacional Windows, por ter sido especificamente

desenvolvido para este sistema.

A simulação foi feita para os três arranjos experimentais descritos no Capítulo 6

respeitando as mesmas condições de contorno e condição inicial citadas nas equações da

solução analítica para os arranjos 1 e 2. Para o arranjo 3 foram respeitadas todas as

informações dos arranjos anteriores exceto a condição de fluxo variável na face

parcialmente aquecida. Os valores para o fluxo para o arranjo 3 foram os obtidos através

das medições do transdutor de fluxo da calor nos casos estudados já que a solução analítica

não foi formulada para este caso. Os dados utilizados, condutividade térmica, calor

específico e densidade, foram adquiridos através de ensaios realizados no

LTTC/PEM/COPPE/UFRJ. Contudo, como pode ser verificado no Capítulo 6, os valores

destes parâmetros apresentam variação com a temperatura. Desta forma foram utilizados

valores médios nas simulações numéricas. Vale ressaltar que o refinamento da malha foi

testado, para se verificar a convergência dos resultados. Contudo, este procedimento não

influenciou de forma significativa nos resultados obtidos.

A figura abaixo ilustra a malha gerada na solução numérica do problema físico aqui

estudado. Ela foi construída de forma que seus elementos fossem bem pequenos, possuindo

9642 nós e 6239 elementos. Estes elementos possuem 2,89708 mm de tamanho, uma

tolerância de 0,144853 mm e uma taxa de proporção de 3,4457. Não há elementos

distorcidos.

Figura 4.1 – Detalhamento da malha

28

As figuras a seguir representam o campo de temperaturas dos arranjos estudados ao

final do tempo de experimento.

Arranjo 01 - 6,32V:

Figura 4.2 – Campo de temperaturas no tempo final do experimento

29

Arranjo 02 – 5,50 V:


30

Arranjo 03 – 5,60 V:


31

CAPÍTULO 5 – SIMULAÇÃO EXPERIMENTAL Neste capítulo são apresentados três arranjos experimentais analisados neste

trabalho, tendo como objetivo a identificação da melhor configuração para a

determminação das componentes de condutividade térmica de sólidos ortotrópicos. Tais

arranjos envolvem o aquecimento parcial de apenas uma superfície do sólido, tal qual

analisado anteriormente, sob o ponto de vista da solução do problema inverso, na

referência [13]. Para O teste doa arranjos experimentais implementados utilizou-se

TEFLON , por ser um material isotrópico com propriedades bem conhecidas através do

método-padrão ASTM.

5.1 – Construção do Aparato Experimental O corpo-de-prova ensaiado tem como geometria um paralelepípedo de arestas a* =

39,1 ± 0,01 mm, b* = 34,9 ± 0,01 mm e c* = 17,8± 0,01 mm. Sendo l = a*, que é a

dimensão de referência para a adimencionalização. Isto significa que a =1, b=0,6694 ,

c=0,3414l como valores das dimensões adimensionais do corpo-de-prova e a1 = 0,75 a e

b1 = 0,75 b como valores adotados para os parâmetros adimensionais de comprimento e da

largura da resistência elétrica, respectivamente. O fluxo de calor adotado, a saber, *0qqref =

resulta em 10 =q . Para as componentes da condutividade térmica, os valores são kref = kx

= ky = kz = 0,213 W / m K, valor obtido através do “método flash” de ensaio (ver seção 5.3),

e que resultam em xk = yk = zk =1.

Foram escolhidos três arranjos experimentais para efeito de comparação. O

primeiro foi montado utilizando um corpo-de-prova, uma resistência elétrica e quatro

sensores de temperatura. No segundo, a montagem utilizou dois corpos-de-prova, uma

resistência elétrica e oito sensores. Esta configuração foi usada a fim de fazer medições,

similares a primeira configuração, porém, simultâneas em dois corpos. O terceiro, e última,

é similar a primeira, mas possui um transdutor de fluxo de calor localizado entre a

resistência elétrica e o material ensaiado. As figuras 5.1.1, 5.1.2, e 5.1.3 ilustram melhor os

referidos arranjos, respectivamente. A comparação dos resultados encontrados em cada

arranjo experimental objetiva determinar qual deles, ou se mais de um, possui

características apropriadas para ser utilizado na determinação simultânea das componentes

da condutividade térmica de um material ortotrópico.

32

Figura 5.1.1 – Arranjo experimental 01



As escolhas do posicionamento dos sensores, das dimensões da resistência elétrica,

do tempo final ótimo dos ensaios e do período de leitura das temperaturas, aquecimento ou

resfriamento, foram feitos com base na análise dos coeficientes de sensibilidade e da

maximização da matriz de informação FI . Esta análise nos permite comparar possíveis

pontos de medição de temperatura, a fim de se determinar, com o menor intervalo de

33

incerteza, quais deles são os melhores na obtenção das propriedades termofísicas, como

descrevem em seus trabalhos OZISIK e ORLANDE, RODRIGUES, ORLANDE e

MEJIAS [9,13], respectivamente. As tabelas 5.1.1, 5.1.2 e 5.1.3 apresentam de forma

sucinta o posicionamento dos sensores. Vale ressaltar que os sensores posicionados em

(0.,0.5,1) e (0.5,0.5,-1) são auxiliares, determinando o término de cada experimento.

Sensor Posição do Sensor 1 (0.5, 1, 0.5) 2 (1, 0.5, 0.5) 3 (0.75, 0.75, 0) 4 (0.5,0.5,1)

Tabela 5.1.1 – Posições de sensores no arranjo 01

Sensor Posição do Sensor

1 (0.5, 1, 0.5) 2 (1, 0.5, 0.5) 3 (0.75, 0.75, 0) 4 (0.5,0.5,1) 5 (0.5, 1, -0.5) 6 (1, 0.5, -0.5) 7 (0.75, 0.75, 0) 8 (0.5,0.5,-1)


Sensor Posição do Sensor

1 (0.5, 1, 0.5) 2 (1, 0.5, 0.5) 3 (0.75, 0.75, 0) 4 (0.5,0.5,1)


Os sensores selecionados foram termopares do tipo “k”, cromel-alumel, por sua

grande faixa de temperatura de trabalho e seus menores erros de medição, comparados aos

outros tipos de termopar. A respectiva calibração dos mesmos foi realizada na Unidade de

Metrologia Térmica – UNIMET do Laboratório de Tecnologia e Transferência de Calor

(PEM COPPE-UFRJ) através de um banho metrológico. O método de calibração foi o

direto.

As etapas do banho metrológico consistem em verificar a estabilidade térmica do

banho, a homogeneidade radial e axial, sendo que este conjunto de verificações deve ser

realizado na temperatura limite superior e do limite inferior do banho.

34

A estabilidade térmica do banho é verificada fazendo-se 30 medições consecutivas

durante 30 minutos, em 3 posições axialmente distintas do banho; a cerca de 40mm do

fundo, a cerca de 40mm do nível máximo e no ponto médio do reservatório. Estas

medições devem ser feitas em 3 temperaturas diferentes; a maior, a menor e a 20ºC acima

ou abaixo da temperatura ambiente.

Para a verificação da homogeneidade térmica radial, o tempo e o número de

medições em cada ponto são os mesmos da estabilidade térmica. Porém, estas medições

são feitas na termoresistência padrão calibrada e no termopar na posição central do

reservatório, calculando-se a diferença média das temperaturas medidas. Em seguida,

mantendo-se a termoresistência na posição original, repete-se o procedimento alternando a

posição do termopar em cada um dos cantos do reservatório.

Este processo deverá ser realizado para as mesmas temperaturas utlizadas na

verificação da estabilidade térmica.

A máxima diferença das médias das temperaturas encontradas dentre as 5 posições

e 3 nas temperaturas avaliará a homogeneidade radial.

Como na verificação radial, a verificação da homogeneidade térmica axial possui o

mesmo tempo de duração e o mesmo número de medições em cada ponto a ser analisado.

As temperaturas da verificação também são as mesmas. Só que neste caso, a

termoresistência é mantida na posição central, a 40 mm de profundidade e, variando a

posição do termopar, efetua-se outras 4 séries de 30 medições, sendo que a última deve fiar

a 40 mm da superfície.

Os resultados obtidos nas calibrações radial e axial têm como finalidade estabelecer

as regiões de maior homogeneidade para a realização das calibrações de instrumentos. Os

resultados encontrados no padrão devem ser analisados diretamente com os encontrados no

termopar utilizado. A homogeneidade axial será avaliada pela máxima diferença das

médias das temperaturas, encontrada dentre as 5 posições medidas e nas 3 temperaturas.

Os equipamentos utilizados foram uma termoresistência calibrada (PT 100) e

multímetro digital calibrado, com resolução mínima de 0,001 omhs. Já as condições

ambientais de trabalho definidas pela UNIMET foram: Temperatura de 22 ± 3ºC e

umidade relativa de 60 ± 10 %.

Os resultados da calibração estão disponíveis no Apêndice 2.

Para a fabricação da resistência elétrica levou-se em consideração que o seu regime

transiente de aquecimento não tivesse interferência na execução do experimento. Assim a

resistência elétrica possui dimensões equivalentes a a1 e b1 (29,3 e 26,2 ± 0,01mm) e sua

35

resistência elétrica é igual a 34,2 ± 0,05Ω. Já a espessura da resistência é menor que 0,2

mm.

Figura 5.1.4 – Esquema de Construção da Resistência Elétrica

A temperatura e o tempo em que cada medida do experimento foi realizada foram

registrados pelo sistema de aquisição de dados AGILENT 34970A. Este sistema combina

versatilidade e exatidão em suas medições. Por ser de simples implementação e operação,

ele permite ao usuário medir, armazenar e analisar dados diferentes de maneira simultânea,

podendo o usuário fazer seus ensaios operando diretamente sobre o aparelho ou usando a

interface do computador. Também permite fazer conversões e gerar relatórios de maneira

fácil, direta e rápida. Isto tudo com a vantagem de ser compatível com a plataforma

computacional Windows.

Para assegurar a estabilidade no fluxo de calor a ser utilizado em cada ensaio, foi

utilizado um retificador de corrente e um multímetro marca TECHMASTER, modelo DM

8300. Desta forma, a influência da rede elétrica foi minimizada e a voltagem desejada foi

ajustada em cada caso ensaiado. O aparato experimental pode ser observado na fotografia

da Fiq. 5.1.1.

Figura 5.1.1 – Aparato experimental

36

5.2 – Caracterização do Material do Corpo-de-Prova O corpo-de-prova foi confeccionado a partir de uma placa de politetra-fluoretileno

(TEFLON®). Esta informação, entretanto, não garante a confiabilidade necessária para se

tratar o material para a realização do experimento. As inúmeras técnicas de fabricação, a

substituição do flúor por cloro na composição química e a adição de cargas, corantes e

pigmentos, por exemplo, afetam as propriedades do material. Isto é facilmente notado pelo

grande número de produtos encontrados no mercado sob o mesmo nome comercial.

Para a caracterização do material em questão e subseqüente utilização do mesmo

para a realização das estimativas das propriedades térmicas, testes de termogravimetria

[21] foram realizados no Instituto de Macromolécula (IMA-UFRJ) para a especificação

correta do material. A realização do ensaio foi feita utilizando o equipamento Perkin Elmer

TGA -7. O ensaio consiste em aquecer uma amostra, de 4 a de 6 mg do material em

questão, a uma taxa de aquecimento constante, que varia de 10 a 20 ºC por minuto, sob

uma atmosfera de nitrogênio. O intervalo de aquecimento é de 30 a 800 ºC. Ao atingir

temperaturas imediatamente superiores a 600ºC o TEFLON inicia sua queima e quando

este processo se encerra o seu teor de cinzas não deverá ser superior a 2% de sua massa,

caso contrário ficam configuradas alterações em sua composição original, adição de cargas

e/ou outras impurezas, o que acarretará em alterações em suas propriedades e sua isotropia.

Os resultados obtidos deste ensaio confirmam a características necessárias ao

material para ser utilizado nos arranjos experimentais propostos neste trabalho, já que o

material atende as especificações necessárias, ou seja, os teores de cinzas e sua queima

estão dentro dos limites aceitos. As figuras 6.2.1 e 6.2.2 ilustram os resultados obtidos.

37

Figura 5.2.1 – Resultado do ensaio de Termogravimetria – amostra 01

38

Figura 5.2.2 – Resultado do ensaio de Termogravimetria – amostra 02

39

Observando as figuras acima, percebe-se que o material apresentou as

características esperadas. Através do “Onset X”, verifica-se a temperatura em que inicia-se

o processo de queima, 603,882 ºC na primeira figura e 600,089 ºC na segunda. O “Delta

Y” permite verificar o percentual queimado do material, 99,7243% na primeira figura e

98,542% na segunda. Em ambas as amostras ensaiadas a temperatura foi imediatamente

superior a 600 ºC e o teor de cinzas inferior a 2%, referências para a caracterização do

material [21].

Para a determinação de propriedades termofísicas do material do corpo de prova

faz-se necessário um método reconhecido pela comunidade científica como um

procedimento de referência, qualificado pelo seu grau de incertezas de resultados

apresentados e pela capacidade de caracterizar materiais de referência e outros

procedimentos. Desta forma, foi adotado o “Método Flash” neste trabalho.

O foco deste trabalho é a construção de um experimento capaz de determinar

simultaneamente as componentes da condutividade térmica de um sólido ortotrópico em

regime transiente. Contudo, no “Método Flash” a difusividade térmica é o dado primitivo e

o calor específico o secundário. A condutividade térmica não é medida; é obtida através

dos dados primário e secundário. Porém, por necessitar de amostras reduzidas, ser rápido e

por determinar a condutividade de forma indireta com baixos níveis de incerteza de

resultados o método possui características suficientes para a função de caracterização do

material do corpo-de-prova.

Para a execução deste ensaio “Flash”, foram utilizadas amostras retiradas do

mesmo material usado no experimento deste trabalho, a saber: dois discos de 12,7 mm de

diâmetro e 1,1 e 1,2 mm de espessura cada. Como o método baseia-se na emissão de um

pulso de luz e o material do ensaio era de cor branca, os corpos-de-prova precisaram de

uma aplicação de um filme de grafite para minimizar a reflexão do pulso emitido e,

conseqüentemente, evitar erros nos resultados obtidos. Entretanto, o material em questão,

TEFLON®, possui uma característica de anti-aderência. Esta qualidade dificultava a

realização do ensaio, pois o filme de grafite se desprendia do corpo-de-prova conforme o

ensaio prosseguia. Para evitar tal inconveniente, a aplicação do filme foi feita após o

aquecimento e estabilização do material a uma temperatura de 180 ºC tendo o seu

resfriamento ocorrido em condições de ar tranqüilo, ou convecção natural. Desta forma, o

grafite aplicado permaneceu aderido ao corpo-de-prova e as características originais do

material não se alteraram [22].

40

Com a solução do problema da aderência do grafite aos corpos-de-prova, o ensaio

foi realizado aquecendo as amostras de 25 em 25ºC , partindo da temperatura de 25 até

alcançar 175ºC. O pulso de energia foi ajustado, já que o mesmo possui três diferentes

tipos: curto, médio e longo, de maneira que as condições necessárias para a obtenção de

dados confiáveis fossem alcançadas.

As tabelas a seguir ilustram os resultados encontrados para a condutividade térmica

e para difusividade térmica.

Shot Number Temperature (ºC) Model

Diffusivity (mm2/s)

Conductivity (W/mK) Cp (J/gK) Pulse type

1 25,4 Rad-pc 0,084 0,183 0,909 3 (long) 2 24,5 Rad-pc 0,087 0,19 0,931 3 (long) 3 24,4 Rad-pc 0,09 0,195 0,977 3 (long) 4 25 Rad-pc 0,09 0,194 0,985 3 (long) 5 25,1 Rad-pc 0,089 0,192 0,957 3 (long)

Mean 24,9 0,088 0,191 0,952 Std. Dev. : 0,4 0,002 0,005 0,031

6 50,4 Rad-pc 0,1 0,236 1,053 3 (long) 7 49,1 Rad-pc 0,1 0,234 1,025 3 (long) 8 49,6 Rad-pc 0,1 0,236 1,028 3 (long) 9 50 Rad-pc 0,099 0,234 1,022 3 (long) 10 50,1 Rad-pc 0,099 0,233 1,015 3 (long)

Mean 49,4 0,1 0,235 1,028 Std. Dev. : 0,5 0,001 0,001 0,014

11 74,5 Rad-pc 0,1 0,305 1,368 3 (long) 12 74,9 Rad-pc 0,099 0,301 1,325 3 (long) 13 74,9 Rad-pc 0,099 0,301 1,329 3 (long) 14 75 Rad-pc 0,098 0,301 1,326 3 (long) 15 75 Rad-pc 0,098 0,301 1,33 3 (long)

Mean 74,9 0,099 0,302 1,336 Std. Dev. : 0,2 0,001 0,002 0,018

Tabela 5.2.1 – Resultados obtidos para a condutividade térmica – Método Flash

5.3 – Procedimentos do Experimento

Os corpos-de-prova foram serrados e retirados manualmente de uma placa de

TEFLON® com dimensões iguais a 400 x 400 x 25 mm. As dimensões finais foram

alcançadas usinando os corpos-de-prova em uma plaina limadora marca SANCHES

BLANES modelo P400, com incerteza de ± 0,01 mm . O posicionamento dos sensores foi

determinado por traçagem e feito com o auxílio de uma broqueadeira de coordenadas

marca WMW, modelo BKoE 315 x 500. O resultado da confecção dos corpos-de-prova está

apresentado nas fotos das figuras 5.3.1 e 5.3.2.

41

Figuras 5.3.1 e 5.3.2 – Posicionamento dos sensores

Com os sensores posicionados e as faces laterais do corpo-de-prova isoladas com

espuma de poliestireno (ISOPOR), aplicamos pasta térmica, que tem a função de

minimizar o efeito da resistência térmica de contato, nos locais de posicionamento dos

sensores, da resistência elétrica (face z = 0) e do transdutor de fluxo de calor. Em seguida a

placa foi posicionada no aparato experimental e a face z = 0 foi isolada termicamente, para

os arranjos 1 e 2, e o transdutor foi devidamente instalado, para o arranjo 3. O aquecimento

foi iniciado simultaneamente às medições. Por se tratar de um problema transiente, o

aquecimento e as medições são interrompidos quando o(s) sensor(es) da face oposta à

resistência elétrica apresenta variação de temperatura superior à incerteza da leitura de

temperatura. O intervalo em que cada uma das medições realizadas de cada termopar

realizado foi de 1 segundo.

A seguir, será discutido o procedimento para a validação dos resultados obtidos

experimentalmente.

5.4 – Análise de Incerteza

O sucesso de um trabalho experimental está fortemente relacionado ao

planejamento do experimento. Questões como o objetivo do teste e se os parâmetros que

estão sendo medidos levarão às conclusões a que se espera chegar parecem ser

elementares, mas devem ser consideradas freqüentemente durante o programa

experimental. O controle do experimento, dos princípios físicos que regem o fenômeno em

estudo, das instalações experimentais e equipamentos utilizados para as medições indicam

as variáveis que devem ser cuidadosamente controladas.

HOLMAN e GAJDA [24] sugerem um procedimento experimental para o

planejamento de um experimento. Resumidamente, deve-se após identificar a necessidade

dos experimentos, a instrumentação a ser utilizada e o tempo necessário para a realização

42

da experiência, iniciar um plano detalhado dos experimentos, estabelecendo claramente os

objetivos, verificando a performance do modelo e a análise teórica do fenômeno físico.

A definição de incerteza é bastante intuitiva, entretanto o entendimento intuitivo é

de caráter qualitativo e existem procedimentos normatizados para a terminação quantitativa

deste parâmetro. LASSAHN [25] apresenta em seu artigo uma detalhada interpretação da

incerteza de medição.

Desta forma, surge a necessidade de se realizar uma análise da incerteza

experimental. Em MONTGOMERY [27] é possível encontrar uma descrição abrangente a

cerca da análise e projetos de experimentos. Todavia, uma síntese do procedimento a ser

adotado para a realização da análise da incerteza pode ser realizada obedecendo aos

seguintes passos principais:

1. Estabelecimento das variáveis primárias que devem ser medidas;

2. Determinação da exatidão requerida para as medições das variáveis primárias e o

número necessário de repetições das medições para adequada análise dos dados.

3. Processamento dos dados antes da realização dos experimentos, para assegurar que os

dados que estão sendo obtidos são adequados para atingir os objetivos previamente

estabelecidos.

4. Análise das possíveis fontes de erros deve ser realizada antes da execução dos

experimentos definitivos, para que as modificações possam ser implementadas, caso sejam

necessárias, para que a incerteza dos resultados finais esteja compatível com a requerida

pelos objetivos.

A seqüência de passos acima permite que sejam selecionados os instrumentos e o

projeto das instalações experimentais assegurando que os objetivos propostos sejam

atingidos. A estimativa da incerteza deve ser adicionada ao planejamento do experimento.

A escolha do método usado para realizar as medições leva em conta a escolha da

instrumentação. NAKRA [28] aborda a incerteza associada à instrumentação, tratando

detalhadamente da análise de incerteza dos equipamentos mais comummente utilizados.

Uma análise da incerteza durante o período de planejamento do experimento

possibilita fazer a melhor escolha dos instrumentos a serem utilizados. De forma sucinta,

43

segundo sugestão de ABERNETHY et al. [23], a análise da incerteza apresenta os

seguintes passos:

1. Uma vez que as variáveis a serem medidas foram estabelecidas, selecionam-se as

técnicas de medição;

2. É realizada uma análise de incerteza para cada técnica de medição selecionada, levando

em conta as estimativas da exatidão dos instrumentos a serem utilizados;

3. As diferentes técnicas de medição utilizadas são então avaliadas com relação ao custo,

disponibilidade de instrumentação, facilidade de obtenção de dados e da estimativa da

incerteza.

5.4.1 – Cálculo da Incerteza do Fluxo de Calor

Arranjo 01:

Dados de Entrada

V 6.32:= R 34.2:= a1 0.0293:= b1 0.0262:=

IncertV 0.005:= IncertR 0.05:= Incerta1 0.00001:= Incertb1 0.00001:=

Cálculo da Incerteza

δv 2 IncertV⋅:= δ r 2 IncertR⋅:= δa1 2 Incerta1⋅:= δb1 2 Incertb1⋅:=

uvδv

2

12:= ur

δ r2

12:= ua1

δa12

12:= ub1

δb12

12:=

uv 0.003= ur 0.029= ua1 5.774 10 6−×= ub1 5.774 10 6−×=

C1V

V2

R∂

∂:= C2

R

V2

R∂

∂:= C3

a1a1 b1⋅( )∂

∂:= C4

b1a1 b1⋅( )∂

∂:=

uQ C12 uv

2⋅ C22 ur

2⋅+:= uQ 0.001=

44

Fluxo de calor : q= 1521,385 ± 1,945 W/m2

uA C32 ua1

2⋅

C4

2 ub12⋅

+:= uA 2.269 10 7−×=

QV2

R:= A a1 b1⋅:= q

QA

:=

C5Q

QA

∂

∂:= C6

A

QA

∂

∂:=

uq C52 uQ

2⋅ C62 uA

2⋅+:=

45

Arranjo 02:

Fluxo de calor : q= 1152,207 ± 1,589 W/m2

Dados de Entrada

V 5.50:= R 34.2:= a1 0.0293:= b1 0.0262:=

IncertV 0.005:= IncertR 0.05:= Incerta1 0.00001:= Incertb1 0.00001:=

Cálculo da Incerteza

δv 2 IncertV⋅:= δ r 2 IncertR⋅:= δa1 2 Incerta1⋅:= δb1 2 Incertb1⋅:=

uvδv

2

12:= ur

δ r2

12:= ua1

δa12

12:= ub1

δb12

12:=

uv 0.003= ur 0.029= ua1 5.774 10 6−×= ub1 5.774 10 6−×=

C1V

V2

R∂

∂:= C2

R

V2

R∂

∂:= C3

a1a1 b1⋅( )∂

∂:= C4

b1a1 b1⋅( )∂

∂:=

uQ C12 uv

2⋅ C22 ur

2⋅+:= uQ 0.003=

uA C32 ua1

2⋅

C4

2 ub12⋅

+:= uA 2.269 10 7−×=

QV2

R:= A a1 b1⋅:= q

QA

:=

C5Q

QA

∂

∂:= C6

A

QA

∂

∂:=

uq C52 uQ

2⋅ C62 uA

2⋅+:=

46

CAPÍTULO 6 – RESULTADOS E DISCUSSÕES Os resultados encontrados e suas respectivas discussões serão apresentados

seguindo a ordem citada anteriormente dos arranjos experimentais. As Figuras

apresentados, com o intuito de melhor comparação, apresentam os resultados analíticos,

numéricos e experimentais, dos pontos sob estudo, em conjunto.

6.1 – ARRANJO 01: Apresentam-se nesta seção os resultados obtidos com o arranjo experimental 01.

Neste caso, foi imposta uma tensão elétrica sobre a resistência de 6,32 ± 0,005V.

Considerando que a potência elétrica dissipada resulta em um fluxo de calor constante

sobre o corpo-de-prova, isto é, desprezando-se o aquecimento da própria resistência, o

fluxo de calor é de 1521,54 ± 1,945 W / m2.

O aquecimento do corpo-de-prova foi realizado em 350 segundos e as medidas de

temperatura de cada sensor foram tomadas a cada 5 segundos.

As figuras 6.1.1–4 apresentam as variações da temperatura para os sensores (0.75a,

0.75b, 0), (0.5a, b, 0.5c) e (a, 0.5b, 0.5c) respectivamente, do arranjo 1 (ver tabela 6.1.1).

Nestas figuras são apresentadas as medidas de temperatura, assim como os resultados

obtidos com a solução analítica e a solução numérica por elementos finitos, considerando o

fluxo de calor constante.

É possível observar nas figuras 6.1.1-6 que os resultados obtidos com a solução

analítica, a solução numérica e as medições experimentais têm boa concordância na escala

gráfica. Vale ressaltar que um posicionamento equivocado dos termopares pode acarretar

em diferenças significativas nos valores experimentais encontrado, já que o gradiente de

temperatura na face aquecida é grande. Isto é facilmente verificado no conjunto de figuras

4.2-4. As diferenças entre as medidas reais e os resultados analíticos e computacionais

possuem variações menores que 5%, aceitáveis para valores experimentais.

47

R 06 - Posição (0.75a, 0.75b ,0)

21

26

31

36

41

46

0 70 140 210 280 350

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius

)

Dados ExperimentaisResultados Analíticos

Figura 6.1.1 – Temperaturas medidas e temperaturas analíticas

Figura 6.1.2 – Temperaturas estimadas numericamente

48



R 07 - Posição (0.5a, b, 0.5c)

23,5

24,0

24,5

25,0

25,5

26,0

26,5

0 70 140 210 280 350

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius)


49



R 08 - Posição (a, 0.5b, 0.5c)

23,5

24,0

24,5

25,0

25,5

26,0

26,5

0 70 140 210 280 350

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

siusu


50




sobre o corpo-de-prova, isto é, desprezando-se o aquecimento da própria resistência, o

fluxo de calor é de 1152,324 ± 1,589 W / m2.


temperatura de cada sensor foram tomadas a cada 1 segundo.

As figuras 6.2.1–12 apresentam as variações da temperatura para os sensores

(0.75a, 0.75b, 0), (0.5a, b, 0.5c), (a, 0.5b, 0.5c), (0.75a, 0.75b, 0) do corpo de prova

inferior, (0.5a, b, -0.5c) e (a, 0.5b, -0.5c) respectivamente, do arranjo 2 (ver tabela 5.1.2).

Nestas figuras são apresentadas as medidas de temperatura, assim como os resultados

obtidos com a solução analítica e a solução numérica por elementos finitos, considerando o

fluxo de calor constante.








51

R06 - Posição (0.75a, 0.75b, c) CP superior

24,0

27,0

30,0

33,0

36,0

0 41 82 123 164 205 246

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius)

Dados ExperimentaisResultado Analítico



52

R 03 - Posição (0.75a, 0.75b, c) CP inferior

24,0

27,0

30,0

33,0

36,0

0 41 82 123 164 205 246

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius

)




53



R 07 - Posição (0.5a, b, 0.5c) CP superior

24,00

24,50

25,00

25,50

26,00

0 36 72 108 144 180 216

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius)


54



R 04 - Posição (0.5a, b, -0.5c) CP inferior

24,0

24,5

25,0

25,5

26,0

0 27 54 81 108 135 162 189 216 243

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius)


55



R08 - Posição (a, 0.5b, 0.5c) CP superior

24,0

24,5

25,0

25,5

26,0

0 41 82 123 164 205 246

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius)


56



R01 -Posição (a, 0.5b, -0.5c) CP inferior

24,0

24,5

25,0

25,5

26,0

0 41 82 123 164 205 246

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius)


57




sobre o transdutor de fluxo de calor, isto é, desprezando-se o aquecimento da própria

resistência, e o fluxo de calor é medido ao longo do tempo através do transdutor.


temperatura de cada sensor foram tomadas a cada 1 segundo.

As figuras 6.3.1–6 apresentam as variações da temperatura para os sensores (0.75a,

0.75b, 0), (0.5a, b, 0.5c) e (a, 0.5b, 0.5c) respectivamente, e o fluxo de calor medido, do

arranjo 03 (ver tabela 6.1.3). Nestas figuras são apresentadas as medidas de temperatura,

assim como os resultados obtidos com a solução analítica e a solução numérica por

elementos finitos, considerando o fluxo de calor constante.








58

Figura 6.3.1 – Temperaturas medidas


R 03 - Posição (0.75a, 0.75b ,0)

26,028,030,032,034,036,038,040,0

0 48 96 144 192 240

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius)

Dados Experimentais

59



R 04 - Posição (0.5a, b, 0.5c)

25,50

26,00

26,50

27,00

27,50

28,00

28,50

29,00

0 48 96 144 192 240

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius)

Dados Experimentais

60



R 01 - Posição (a, 0.5b, 0.5c)

25,5026,0026,5027,0027,5028,0028,5029,00

0 48 96 144 192 240

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

siusu

Dados Experimentais

61

Figura 6.3.7 – Fluxo de Calor Medido x Tempo

62

CAPÍTULO 7 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES

Apresentamos neste trabalho a escolha de arranjos experimentais para a estimativa

das componentes de condutividade térmica de um sólido ortotrópico. O experimento

proposto consiste em uma face parcialmente aquecida por um determinado tempo, com a

face oposta mantida a temperatura constante e as outras faces mantidas isoladas. Com base

nos resultados apresentados no Capítulo 6 podemos concluir que:

Os resultados experimentais encontrados mostram que o modelo matemático

apresentado representa melhor o problema físico aqui estudado. A condição de contorno

convectiva mostrou-se mais apropriada, ao contrário que foi proposto anteriormente por

outros trabalhos [13], para a formulação do problema. Isto pode ser verificado

confrontando os resultados deste trabalho com os do Apêndice 1.

O posicionamento da resistência elétrica tem influência crucial em todos valores

experimentais encontrados de temperatura. Isto fica mais evidente no sensor (0.75a, 0.75b,

0). Um deslocamento inferior a 2 mm, valor este próximo do diâmetro da ponta quente do

termopar utilizado, pode gerar grandes erros na medição, o que pode ser verificado nas

figuras do Capítulo 5. Somado a isto, a própria construção da resistência usada, apesar de

tentar homogeneizar o fluxo, influencia diretamente os valores de temperatura,

principalmente no sensor da face aquecida. Caso um de seus filamentos se posicione sobre

o ponto de medição suas temperaturas elevam-se de modo considerável.

Entre os arranjos experimentais examinados, aquele que faz uso do transdutor de

fluxo de calor (arranjo 03) mostra-se o mais apropriado. Isto se deve ao fato de que o

transdutor permite a correta identificação do fluxo utilizado, revelando inclusive a sua

variação durante a evolução do experimento. Isto contribui para minimizar os erros

intrínsecos do experimento.

Fica como sugestão para continuação desse trabalho, um desenvolvimento de um

modelo analítico capaz de determinar as propriedades termofísicas utilizando uma

condição de contorno convectiva na face oposta à aquecida. Outras sugestões são a de um

modelo que utilize temperaturas medidas na faces não aquecidas diretamente e/ou um que

utilize um fluxo de calor variável com o tempo, já que o modelo analítico de trabalhos

anteriores baseiam-se na medição na face aquecida [13].

63

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[38] COSMOSWorks 2005 Professional Training Manual.

66

APÊNDICE 1 – ESTUDO DE CASO

Este apêndice tem como objetivo mostrar as diferenças dos valores de temperatura

encontrados, sob um modelo analítico com temperatura prescrita na face oposta à aquecida,

com os valores medidos experimentalmente e com os obtidos neste trabalho. Com o

objetivo de ilustração, é apresentada a equação e gráficos de temperatura desta modelagem

para comparação com o modelo apresentado no Capítulo 3 e os resultados obtidos no

Capítulo 6. Para esta comparação usamos o caso em que a voltagem do experimento é de

6,32 V.

Período 1 ( 0t > ):

2

01 1 2

1

(1 )(2 cos( 'z pk t

pp p

q eT a b zabc

η

ηη

−∞

=

−= +∑

2 2( )

1 1 2 21 1

(1 )4 ( )cos( )cos( )( )

y n z pk k t

n n pp n n y n z p

ea sen b y zk k

γ η

γ γ ηγ γ η

− +∞ ∞

= =

−+

+∑∑

2 2( )

1 1 2 21 1

(1 )4 ( )cos( )cos( )( )

x m z pk k t

m m pp m m x m z p

eb sen a x zk k

β η

β β ηβ β η

− +∞ ∞

= =

−+

+∑∑

1 11 1 1

8 sen( )sen( )cos( )cos( )cos( )m n m n pp n m

a b x y zβ γ β γ η∞ ∞ ∞

= = =∑∑∑

2 2 2( )

2 2 2

(1 )( )

x m y n z pk k k t

m n x m y n z p

ek k k

β γ η

β γ β γ η

− + +−+ +

(A.1.1)

67

CASO – 6,32 V

- Tempo de Duração do Experimento: 350 segundos

- Intervalo das Medições: 5 segundos

R 06 - Posição (0.75a, 0.75b ,0)

23

28

33

38

43

0 45 90 135 180 225 270 315

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius

)


Gráfico A.1.1 – Temperaturas medidas e temperaturas analíticas

Gráfico A.1.2 – Temperaturas estimadas numericamente

68

R 07 - Posição (0.5a, b, 0.5c)

23,5

24,0

24,5

25,0

25,5

26,0

26,5

0 45 90 135 180 225 270 315

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius

)




69

R 08 - Posição (a, 0.5b, 0.5c)

23,5

24,0

24,5

25,0

25,5

0 45 90 135 180 225 270 315

Tempo (segundos)

Tem

pera

tura

(Cel

sius

u




Como podemos observar nos gráficos acima, diferentemente do que ocorreu com os

resultados obtidos neste trabalho, as temperaturas possuem diferenças de até

aproximadamente 20% entre si.

70

APÊNDICE 2 – CALIBRAÇÂO DOS TERMOPARES

análise de experimentos para identificação de propriedades

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