Álgebra de las funciones (con valores) reales[editar]Sea   un conjunto cualquiera no vacío y sea   el conjunto formado por todas las funciones de   en  . Muchas de las operacionesy propiedades algebraicas de los números reales se pueden extender a  , como veremos a continuación.

Sean   elementos de  . Se definen a continuación operaciones entre esas funciones.

Suma de funciones:  Resta de funciones:  Producto de funciones: 

También, se puede extender a relaciones de igualdad.

 si y solo si, para todo  .

La manera en que se hace la extensión, garantiza que muchas de las propiedades de los números reales se extienden a  . Se indicana continuación aquellas más importantes.

La suma de funciones es asociativa, conmutativa, y con neutro la función constante  , con opuesto aditivo   para cada función  .

La resta es tal que  . La multiplicación es asociativa, conmutativa, y con neutro la

función constante  , pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo tienen recíprocos.

La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Nótese que todas las propiedades anteriores son análogas a las propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Cuando el conjunto X tiene al menos dos elementos, hay divisores de cero en  . En efecto, supongamos que   y definamos   tales que   y   y  . Se ve, inmediatamente, que el producto   es la función

constante 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es.

El conjunto   junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.

Sea  . Entonces, cada función de   define una pareja de números   que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado  . Esto nosdice que, en este caso, podemos identificar   con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con  .

Sea   Razonado como arriba, podemos identificar a   con  .

Sea   Razonado como arriba, podemos identificar a   con  .

Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares,tríos, duplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación.La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.

Sea  , el conjunto de los números naturales. En este caso,   es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto como la suma y multiplicación usual de sucesiones.

Funciones numéricas[editar]Las funciones numéricas son funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los números reales. Estas funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales. En el resto del artículo,funciones significará funciones numéricas. Muchas veces, para estas funciones, se da solamente la regla o fórmula de la función. En esa situación se aplica el convenio del dominio natural y se supone que el codominio (natural) consiste de todo  .

Funciones acotadas[editar]

Se dice que una función   está acotada cuando su conjunto imagen estáacotado. Es decir, hay un número   tal que para todo   del dominio de la función se cumple que

.

Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen al intervalo [-1,1] y son, por lo tanto acotadas. Una función está acotada cuando su gráfica está entre dos líneas horizontales.

En forma análoga se define las nociones de función acotada superiormente y función acotada inferiormente, queriendo decir que su conjunto imagen está acotado superiormente o inferiormente respectivamente. Por ejemplo, f(x)=|x| tiene por conjunto imagen  , está acotada inferiormente.

Funciones monótonas[editar]Artículo principal: Función monótona

Una función f en un intervalo [a,b] es monótona si verifica cualquierade las siguientes propiedades:

1. es estrictamente creciente,

si para todo   si y solo si  .2. es estrictamente decreciente,

si para todo   si y solo si  .3. es creciente,

si para todo   si y solo si  .4. es decreciente,

si para todo   si y solo si  .Propiedades[editar]

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.

La suma de funciones monótonas de un mismo tipo tiene el mismo tipode monotonía. Lo anterior no se verifica ni para restas ni para productos.

Funciones pares e impares[editar]Artículo principal: Paridad de una función

Una función es par cuando presenta simetría sobre el eje   (ordenadas), esto es, si para todo elemento   de su dominio se cumpleque   también está en el dominio y

Una función es impar cuando presenta simetría respecto al origen, estoes, si para todo elemento   de su dominio se cumple que   también está en el dominio y

Una función que no presenta simetría par, no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del de coordenadas o el eje de ordenadas (eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Propiedades[editar]

La suma de dos funciones pares o dos funciones impares es par. El producto de función par por par o impar por impar, da par. Todas las otras combinaciones dan impar.

Funciones periódicas[editar]Artículo principal: Función periódica

Decimos función es periódica si se cumple:   donde   es un período de la función. El periodo es el menor de los periodos positivos, cuando exista tal número.

Los ejemplos clásicos son las funciones seno y coseno con periodos iguales a  . Si int denota la función parte entera(que produce el mayor entero menor o igual al argumento) entonces la función   tal que   tiene periodo 1.

Una función es periódica alternada cuando se

cumple:  . Estas últimas también son conocidas comofunciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas[editar]Artículos principales: Función convexa y Función cóncava.

Función convexa.

Una función   es convexa sobre un intervalo cuando el segmento que une dos puntos de la gráfica de  , siempre esta por encima o tocando la gráfica.

Una función   es estrictamente convexa sobre un intervalo cuando el segmento que une dos puntos de la gráfica de  , siempre esta por encima de la gráfica.

Una función   es cóncava (estrictamente cóncava) sobre un intervalo cuando   es convexa (estrictamente convexa).

Una función   es estrictamente convexa sobre un intervalo cuando el segmento que une dos puntos de la gráfica de  , siempre esta por encima de la gráfica.nota 1

Las técnicas del cálculo diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, cóncava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Se verifica que una función es convexa estricta en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la gráfica de la función. Una función es cóncava estricta en un intervalosi la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

Véase también[editar] Función matemática Función discreta

Notas[editar]

1. Volver arriba↑ La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

2. Unidad 3: FUNCIONES REALESUno de los conceptos fundamentales de la  Matemática es el de función. Este concepto constituye uno de los peldaños básicos de los conocimientos matemáticos necesarios para losestudiantes de Ingeniería en su formación profesional. CONTENIDOS:   Definición de función. Dominio y  rango de una función.Representación gráfica de funciones reales. Clasificación defunciones; inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Estudio de algunasfunciones algebraicas: lineales, cuadráticas y polinómicas.Racionales e irracionales. Traslaciones verticales y horizontales.Funciones definidas explícitamente e implicitamente. Operacionesalgebraicas con funciones. Composición de funciones.    Funcióninversa. Funciones pares, impares, acotadas, crecientes,decrecientes y periódicas. Funciones trigonométricas y susinversas. Funciones exponenciales: gráfico y propiedades. Funcioneslogarítmicas: gráfico y propiedades. Funciones como modelosmatemáticos. COMPETENCIAS ESPECÍFICAS: 

o    Comprende el concepto de función identificando variables independientes y dependientes.

o    Conoce el concepto de función real de variable real y elsignificado de su dominio  y recorrido.

o    Determina dominio y recorrido de funciones realesconociendo sus reglas de asociación.

o    Conoce las funciones elementales, sus principalescaracterísticas y su representación gráfica.

o    Reconoce funciones, pares, impares, inyectivas,sobreyectivas y biyectivas.

o    Conoce y aplica las operaciones con funciones.

o    Grafica, opera, compone y calcula la inversa de funciones.

o    Reconoce la  grafica y traslada funciones como parte enteray valor absoluto.

o    Conoce los conceptos de acotación, monotonía, crecimiento,decrecimiento, y periodicidad de una función.

o    Aplica funciones lineales, cuadráticas, trigonométricas ysus inversas, funciones exponenciales y logarítmicas en laresolución de problemas.

Resuelve problemas de aplicación o contextualizados, aplicando losconocimientos básicos de funciones reales.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D     

   x       f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibeel nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x).Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice impar

El dominio es R.

Dominio de la función irracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

El dominio es R.

Dominio de la función seno

El dominio es R.

Dominio de la función coseno

El dominio es R.

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

Gráfica de funciones

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función fle corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función.

Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª,

se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

f o i = i o f = f

Función inversa o recíproca

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f 1−  que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f 1− (b) = a.

f o f  -1 = f  -1 o f = x

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función en x e y.

2.Se intercambian las variables.

3.Se despeja la variable x en función de la variable y.

Crecimiento y decrecimiento

Tasa de variación

El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro.

t.v.= f(x+h) - f(x)

Función estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es positiva.

Función creciente

f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es positiva o igual a cero.

Función estrictamente decreciente

f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa.

Función decreciente

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa o igual a cero.

Cotas

Función acotada superiormente

Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.

El número k se llama cota superior.

Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′ .

El número k′ se llama cota inferior.

Función acotada

Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.

k′ ≤ f(x) ≤ k

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto deldominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto deldominio de la función.

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Simetría

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:

f(-x) = f(x)

Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.

Simetría respecto al origen

Una función f es simétrica respecto al origen cuando paratodo x del dominio se verifica:

f(-x) = -f(x)

Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

Funciones periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todonúmero entero z, se verifica:

f(x) = f(x + z T)

Si tenenos una función periódica f(x) de periodo T, la función g(x) = f(kx) tiene de periodo:

CLASES DE FUNCIONESA continuación se presenta un vídeo donde se gráfica una función enel programa geogebra, de tal manera que puedes recurrir a

programas informáticos para obtener la gráfica de cualquier función real.

las funciones reales se pueden clasificar de acuerdo a su estructura entres grupos:

FUNCIONES POLINOMICAS

    FUNCIÓN LINEAL

Es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la abscisa donde la recta intercepta al eje. La grafica que se origina es una línea recta, si m es positiva la recta se inclina hacia la derecha y si m es

negativa la recta se inclina hacia la izquierda.

EJEMPLO:

FUNCIÓN CONSTANTE

Es una función de la forma f(x) = k, donde k es una constante. La grafica quese origina es una línea recta paralela al eje x.El dominio de la función constante son todos los números reales  y el rango es un conjunto unitario formado por el elemento imagen de todos los elementos del dominio.

EJEMPLO:

  FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es una función de la forma f(x) = ax2+ bx+c, donde a,b,c y son números reales. Lagrafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola; si a es positiva, la grafica abre hacia arriba ysi a es negativa la grafica abre hacia abajo.La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo exponente de la variable.

EJEMPLO: 

    FUNCIÓN POLINOMICA

Una función Polinómica es de la forma f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a donde an,an-1,…,a son constantes reales y n es numero entero no negativo que indica el grado de p(x),siempre que an≠0.

Ejemplo: 

 

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función valor absoluto se define como:

Es de la forma f(x) = IxI, cuyo dominio son los reales y el rango son los realesmayores o iguales a cero. La grafica quese obtiene es  una curva en forma de v. 

EJEMPLO: 

   FUNCIÒN RAIZ CUADRADA

Es una función que asigna a un argumentosu raíz cuadrada positiva. Es de la forma f(x) = √x , donde  el dominio de la función son los valores de x que hacen que el radicando sea positivo y elrango son los reales mayores o iguales acero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente que está por encima deleje x

Ejemplo: 

     FUNCiÓN RACIONAL

Es una función de la forma f(x) = p(x)/q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x)≠0. La función racionalno está definida para valores de x en elcual q(x) se hace diferente de cero,

este valor al representarlo gráficamentees una asíntota. La grafica que se obtiene son curvas interrumpidas por la asíntota.

Ejemplo: 

  FUNCIONES TRASCENDENTALES

    FUNCIÓN EXPONENCIAL

Es una función de la forma f(x) = ax, donde a>o y a≠1 .cuyo  dominio son los números reales y el rango son los realesmayores que cero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente si a>1 ydescendente si  o<a<1.

Ejemplos:

  FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Es una función inversa a la función exponencial, es de la forma f(x) = logax, donde a>o y a≠1. La graficaque se obtiene es una curva simétrica a la función exponencial.

Ejemplos:

  FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Las funciones trigonométricas surgen de estudiar el triangulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos lados cualesquiera dependen del valor de los

ángulos del triangulo. Se distinguen seis tipos de funciones trigonométricas,Las cuales cada una de ellas tiene su dominio, rango, periodo y su gráfica es distinta, como son:

Ejemplos: 

f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = tan x

f(x) = cot x

f(x) = sec x

f(x) = cscx

 APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES EN LA VIDA COTIDIANAUna población de bacterias que se duplica cada 20 minutos; la población mundial que crece al1.14% (unas 75 millones de personas por año); el valor de uncoche que se deprecia 10% anual;un virus muy infeccioso como el SARSo la viruela (cada enfermo infecta a varios); un depósitoen el bancoque aumenta al 5% anual; una substancia radiactiva que se descompone(en estecaso la cantidad presente disminuye exponencialmente) : todos ellos y muchos más sonejemplos de funciones exponenciales o procesos que pueden interpretarse como funcionesexponenciales.Comparando una función exponencial (azul) y

una función lineal (rojo)La función exponencial crece muy rápido para valorespositivos de x. Si comparamos la función exponencial enazul, con una Función Lineal, en rojo, vemos que laexponencial crece mucho más rápido y deja a la lineal envalores muy por debajo : el mismo incremento de dosunidades en x, causa aumento de dos unidades en y para lafunción lineal en rojo, pero de seis unidades en y para laexponencial en azul.Tiempo de DuplicaciónUna forma rápida de calcular el tiempo de duplicación (de un depósito bancario a interéscompuesto, o de una población) en una función exponencial es aplicar la muy antigua Regladel 70, (o del 72, también llamada) que ya descubrió en la Edad Media el monje Luca Pacioli, elsabio que inventó la contabilidad:70/rSi tenemos que la población mundial crece al r= 1,14 % anual , dividimos 70/1,14 = 61,40 años.La población mundial, actualmente, se duplica en algo másde 61 años.En 1963 el crecimiento de la población mundial era la escalofriante proporción de r = 2,20 %por año. Vemos si había diferencia en el tiempo de duplicación.70/2,20 = 31,8 añosAplicación: Tiempo de Duplicación de la Población UruguayaSegún CIA factbook, Population growth rate: 0.486% (2008 est.)70 dividido r70/0,486 = 144 años