Álgebra de Boole

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Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática, es una estructuraalgebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF)[cita requerida], así comoel conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

1 Historia2 Definición

2.1 Axiomas necesarios2.2 Teoremas fundamentales2.3 Orden en el álgebra de Boole2.4 Principio de dualidad

3 Otras formas de notación del álgebra de Boole4 Estructuras algebraicas que son Álgebra de Boole

4.1 Lógica binaria4.1.1 Axiomas4.1.2 Teoremas fundamentales4.1.3 Orden en el álgebra de Boole

4.2 Álgebra de conjuntos4.2.1 Axiomas4.2.2 Teoremas fundamentales4.2.3 Orden en el álgebra de Boole

4.3 Lógica proposicional o de predicados4.3.1 Axiomas4.3.2 Teoremas fundamentales4.3.3 Orden en el álgebra de Boole

5 Operaciones en álgebra de Boole5.1 Operaciones nularias5.2 Operaciones unarias5.3 Operaciones binarias

6 Fórmula de Boole bien formada6.1 Jerarquía de los operadores

7 Véase también8 Referencias9 Bibliografía10 Enlaces externos

Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemáticoinglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeñofolleto: The Mathematical Analysis of Logic,1 publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entreAugustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas

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algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde fue extendido como un libro másimportante: An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories ofLogic and Probabilities (también conocido como An Investigation of the Laws of Thought2 o simplemente TheLaws of Thought3 ), publicado en 1854.

Las interpretaciones respectivas de los símbolos 0 y 1 en el sistema de lógica son Nada yUniverso.

George Boole4

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. ClaudeShannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Estalógica se puede aplicar a dos campos:

Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar unaimplementación de la función.

Dado un conjunto: formado cuando menos por los elementos: en el que se ha definido:

Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.

Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.

La operación binaria interna, que llamaremos suma:

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado desumar a con b.

La operación binaria interna, que llamaremos producto:


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Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado delproducto a y b.

Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de quese trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.

Axiomas necesarios

Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: son un álgebra de boole, si cumplelas siguientes axiomas:

1a: La ley asociativa de la suma:

1b: La ley asociativa del producto:

2a: Existencia del elemento neutro para la suma:

2b: Existencia del elemento neutro para el producto:

3a: La ley conmutativa de la suma:

3b: La ley conmutativa del producto:

4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:

4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:

5a: Existe elemento complemento para la suma:

5b: Existe elemento complemento para el producto:


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Teoremas fundamentales

Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremasfundamentales:

6a: Ley de idempotencia para la suma:

6b: Ley de idempotencia para el producto:

7a: Ley de absorción para la suma:

7b: Ley de absorción para el producto:

8a: Ley de identidad para la suma:

8b: Ley de identidad para el producto:

9: Ley de involución:

10: Ley del complemento:

11: Leyes de De Morgan:

Orden en el álgebra de Boole

Sea: un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que aantecede a b y lo denotamos:


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Adición Producto

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si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. 2. 3. 4.

Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente elcumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.

Si se cumple que:

Para los valoras a, b de , que cumple que a antecede a b, o que b antedede a a, se dice que a y b soncomparables.

Si se cumple que:

Para los valores a, b de , que cumples qua a no antecede a b, y que b no antedede a a, se dice que a y b sonno comparables.

Principio de dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual,formada mediante el intercambio de los operadores suma con los de producto, y de los con los .

En Lógica binaria se suele emplear la notación , común en la tecnología digital, siendo la formamás usual y la más cómoda de representar.


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Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:

Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para laspuerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadasNAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letrasmayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}

Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:

En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden tomar los valores {F, V}, falsoo verdadero, equivalentes a {0, 1}

Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así:

En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto:

En esta notación las leyes de De Morgan serían así:

Otra forma en la álgebra de conjuntos del Álgebra de Boole, las leyes de De Morgan serían así:

Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Seemplean apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal enálgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letramayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras.

La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúsculas para lasvariables:

y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:


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Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultarbibliografía. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y dependede la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación.

Hay numerosos casos de distintas análisis de estructuras algebraicas que corresponden al álgebra de Boole,aunque en apariencia son muy diferentes, su estructura es la misma, vamos a ver algunos de ellos, con elpropósito de hacer palpable las similitudes en la estructura y los distintos ámbitos de aplicación y distintaterminología para referirse a las operaciones o a las variables, veámoslos.

Lógica binaria

Una serie de temas, aparentemente tan distintos, tiene dos cosas en común, la lógica binaria basada en los cerosy los unos y el álgebra de Boole, posiblemente la forma más conocida de este álgebra, que en ocasiones da lugara la interpretación que el álgebra de Boole es la lógica binaria exclusivamente, así el conjunto en este casoestá formado por dos elementos {0,1}, o {F, V}, o {no, sí}, dos valores contrapuestos, que son las dos posiblesalternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin perdida de la generalidad, tomaremos el conjunto: {0,1}como ya hemos dicho:

Donde:

La operación unaria interna, que llamaremos negación:

La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada elemento a de {0,1}, leasigna un b de {0,1}.

Para todo elemento a en {0.1}, se cumple que existe un único b en {0,1}, tal que b es la negación de a. Como seve en la tabla.

La operación binaria interna, que llamaremos suma:

Con la operación suma definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, leasigna un c de B.


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Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado desumar a con b.

la operación binaria interna, que llamaremos producto:

Con la operación producto definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, leasigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado delproducto a y b. Como se puede ver en la tabla.

Axiomas

Así es un álgebra de boole al cumplir los siguientes axiomas:

1a: La ley asociativa de la suma:

1b: La ley asociativa del producto:

2a: Existencia del elemento neutro para la suma:

2b: Existencia del elemento neutro para el producto:

3a: La ley conmutativa de la suma:

3b: La ley conmutativa del producto:

4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:

4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:


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5a: Existe elemento complementario para la suma:

5b: Existe elemento complementario para el producto:

Luego es álgebra de boole.


Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:

6a: Ley de idempotencia para la suma:

6b: Ley de idempotencia para el producto:

7a: Ley de absorción para la suma:

7b: Ley de absorción para el producto:

8a: Ley de identidad para la suma:

8b: Ley de identidad para el producto:





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Partiendo de álgebra de Boole, dadas dos variables binarias: a, b, que cumplen alguna de estascondiciones:

entonces a es menor o igual que b. Dados los valores binarios 0 y 1, podemos ver:

1. 2. 3. 4.

Estas cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas supone el cumplimiento de lasotras, en este caso es sencillo comprobarlas todas. Luego podemos decir que 0 antecede a 1 y lo denotamos:

Si además sabemos que 0 y 1 son valores distintos:

El valor binario 0 es menor que el valor binario 1.

Álgebra de conjuntos

Partiendo de un conjunto U, cualesquiera, llamamos conjunto potencia de U, alconjunto de todos los subconjuntos posibles de U y lo denotamos .

A título de ejemplo podemos considerar:

Que tiene como conjunto potencia:

Donde podemos definir:

Y como es obvio:


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La operación unaria interna, que llamaremos complemento:

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento A de P(U), leasigna un B de P(U).

Para todo elemento A en P(U), se cumple que existe un único B en P(U), tal queB es el complemento A.

Definiendo el complemento de un conjunto así:

B es el complemento de A, si se cumple que para todo x que pertenezca a B, x pertenece a U y x no pertenece aA.

La primera operación binaria la llamaremos unión:

Con esta operación binaria interna definimos una aplicación que, a cada parordenado (A, B) de P(U) por P(U), le asigna un C de P(U).

Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un únicoC en P(U), tal que C es la unión A y B.

Definiendo la unión de dos conjuntos como:

El conjunto C es la unión de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A o de B

La segunda operación binaria la llamaremos intersección:

Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U)por P(U), le asigna un C de P(U).


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Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es laintersección A y B.

Definiendo la intersección de dos conjuntos como:

El conjunto C es la intersección de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A y deB.

Axiomas

Con lo que podemos plantear: , para un U conocido, como álgebra de boole si cumple las

siguientes axiomas:

1a: La ley asociativa de la unión:

1b: La ley asociativa de la intersección:

2a: Existencia del elemento neutro para la unión:

2b: Existencia del elemento neutro para la intersección:

3a: La ley conmutativa de la unión:

3b: La ley conmutativa de la intersección:

4a: Ley distributiva de la unión respecto de la intersección:

4b: Ley distributiva de la intersección respecto a la unión:

5a: Existe elemento complementario para la unión:

5b: Existe elemento complementario para la intersección:


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Concluyendo que es un álgebra de boole.



6a: Ley de idempotencia para la unión:

6b: Ley de idempotencia para la intersección:

7a: Ley de absorción para la unión:

7b: Ley de absorción para la intersección:

8a: Ley de identidad para la unión:

8b: Ley de identidad para la intersección:





Dado álgebra de Boole, podemos comprobar:


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1. 2. 3. 4.

Para los conjuntos A y B que cumplen estas propiedades, podemos decir que A antecede a B, que en el caso deconjuntos se diría A es igual o un subconjunto de B y lo denotamos:

Entendiéndose que A es igual o un subconjunto de B cuando:

El conjunto A es igual o un subconjunto de B, si para todo elemento x quepertenezca a A, x pertenece a B.

También se puede comprobar:

Para todo A de las partes de U, si se cumple que: la unión de A y U es U, la intersección de A y U es A, la unióndel complemento de A y U es U, la intersección de A y el complemento de U es el conjunto vacío, entonces Aes igual o un subconjunto de U.

Esta conclusión forma parte de la definición de las partes de U, pero se puede llegar a ella por el cumplimientode una de las cuatro condiciones expuestas, como ya se mencionó, las cuatro condiciones son equivalentes y elcumplimiento de una de ellas implica el cumplimiento de las demás.

Aplicando el mismo razonamiento podemos ver:

Siendo B un conjunto de las partes de U, llegando a la conclusión de que el conjunto vacío es igual o unsubconjunto de B.

Lógica proposicional o de predicados

Una proposición, o un predicado, es un valor de verdad que puede expresarse de forma verbal o con expresioneso relaciones matemática o lógica, por ejemplo:

'Hoy es miércoles.''El edificio es alto.'


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'El perro está ladrando.'

Son proposiciones expresadas verbalmente, y también lo son:

'x = 3''mcd(a, b) = 2n + 1'

Dado que cada una de ellas puede ser verdadera o falsa, las proposiciones suelen designarse con letra:

p= 'Llueve'q= 'Llueve mucho'r= 'Llevo paraguas's= 'La calle está mojada'

Las afirmaciones verdadero y falso también son proposiciones, designaremos con: al conjunto deproposiciones, a fin de ver que la lógica de proposiciones es un álgebra de Boole, además consideraremos:

La operación unaria interna, que llamaremos negación:

La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada proposición a, le asigna otrapoposición b.

Para toda proposición a, se cumple que existe una única proposición b, tal que b es la negación de a.

La primera operación binaria interna, que llamaremos disyunción:

Con la operación disyunción, definimos una aplicación que a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un cde B.

Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de ladisyunción de a y b.

La segunda operación binaria interna, que llamaremos conjunción:

Con la operación conjunción definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna unc de B.


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Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de laconjunción de a y b.

Axiomas

Así es un álgebra de boole al cumple los siguientes axiomas:

1a: La ley asociativa de la disyunción:

1b: La ley asociativa de la conjunción:

2a: Existencia del elemento neutro para la disyunción:

2b: Existencia del elemento neutro para la conjunción:

3a: La ley conmutativa de la disyunción:

3b: La ley conmutativa de la conjunción:

4a: Ley distributiva de la disyunción respecto a la conjunción:

4b: Ley distributiva de la conjunción respecto al disyunción:

5a: Existe elemento complementario para la disyunción:

5b: Existe elemento complementario para la conjunción:

Luego es álgebra de boole.



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6a: Ley de idempotencia para la disyunción:

6b: Ley de idempotencia para la conjunción:

7a: Ley de absorción para la disyunción:

7b: Ley de absorción para la conjunción:

8a: Ley de identidad para la disyunción:

8b: Ley de identidad para la conjunción:


10: Ley de complemento:



Sabiendo que es álgebra de Boole, se puede comprobar que:

1. 2. 3. 4.

Para las proposiciones: a, b que cumplen alguna de estas condiciones se puede afirmar que a antecede a b. Queen el caso de proposiciones o predicados se dice que a es tanto o más fuerte que b, o que b es más débil que a, y


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lo representamos:

Así por ejemplo dadas las proposiciones:

a= Llueve muchob= Llueve

podemos ver:

Si: llueve mucho o llueve entonces llueve.

Si se da la circunstancia de cualesquiera de dos, que llueve mucho o llueve, claramente llueve en cualquier caso.

Si: llueve mucho y llueve entonces llueve mucho.

Si afirmamos que llueve mucho y que llueve, y se cumplen las dos circunstancias entonces es que llueve mucho.

Si: no llueve mucho o llueve es verdadero.

No llueve mucho indica que puede que llueva poco o que no llueva, si no llueve mucho o llueve abarca todas lasposibilidades, desde tiempo seco a muy lluvioso, luego la afirmación es verdadera en todo caso.

Si: llueve mucho y no llueve es falso.

Si afirmamos que llueve mucho y simultáneamente que no llueve, la afirmación es claramente falsa.

La afirmación más restrictiva es la más fuerte y la menos restrictiva la más débil, en este caso:

La proposición llueve mucho es tanto o más fuerte que llueve, la afirmación llueve mucho es un caso particularo el mismo caso de llueve.

El álgebra de Boole se basa en un conjunto en el que se han definidos tres operaciones internas: una unaria ydos binarias, como ya hemos visto, siendo cómoda esta definición. Estrictamente hablando solo son necesariasdos, la unaria y una de las binarias, así, por ejemplo, en la lógica binaria con la negación y el producto podemosdefinir la suma.

Con la ley de De Morgan:


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Esta expresión resulta más compleja, pero partiendo de la negación yel producto binarios define la suma binaria.

En la imagen de la derecha podemos ver un circuito en paralelo dedos pulsadores a y b, que corresponde a la suma binaria de a y b, ysu equivalente en un circuito en serie de a y b, los dos dan comoresultado la misma tabla de verdad, y por tanto son equivalentes, loartificioso el circuito serie para obtener el mismo resultado que en uncircuito paralelo deja ver lo conveniente de considerar esa función, laposibilidad de obtener la suma de dos variables binarias mediante lanegación y el producto señalan que, de forma primaria, el álgebra deBoole se basa solo en dos operaciones, y que cualquier expresión enla que intervenga la suma puede transformarse en otra equivalente enla que solo intervienen la negación y el producto.

En el caso de la teoría de conjuntos con el complemento y la intersección podemos definir la unión:

De una forma similar al álgebra binaria, o cualquier otra álgebra de Boole, La definición del álgebra con solo dosoperaciones complica las expresiones, pero permite determinar ciertas relaciones muy útiles, así como otrasoperaciones distintas.

En el álgebra de Boole definido en un conjunto las operaciones son internas, dado que parte de elemento de, para obtener un resultado en .

Sin perdida de la generalidad, y dado los distintos formas que puede adoptar el álgebra de Boole consideraremosla lógica proposicional con las proposiciones: a, c, b, etc. Que pueden tomar los valores verdadero: V o falso: F.Y las conectivas lógicas sobre esas proposiciones que dan como resultado otras proposiciones lógicas, cadaproposición: a, b, c, etc. Define un conjunto A, B, C, etc. Que podemos representar de forma gráfica en undiagrama de Venn.

Operaciones nularias

Una Operación nularia es la que devuelve un valor sin necesidad de argumentos, podemos ver Tautología yContradicción

La tautología presenta el valor verdadero sin necesidad de argumentoso independientemente de las variables sobre la que se calcule. Enteoría de conjuntos corresponde al conjunto universal.

En lógica proposicional corresponde al valor: verdadero:

En un circuito de conmutación corresponde a una conexión fija o puente cerrado.


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La contradicción, por el contrario, presenta siempre el valor falso, sinnecesitar argumentos o independientemente de los argumentospresentados. En teoría de conjuntos corresponde al conjunto vacío.

En lógica proposicional corresponde al valor: falso:

En un circuito de conmutación, corresponde a la no conexión o puente abierto.

Operaciones unarias

Una Operación unaria es la que solo necesita un argumento para presentar un resultado, podemos ver dosoperaciones unarias: identidad y negación.

La operación identidad de una proposición presenta el valor de lavariación.

Esta operación se puede hacer con el dispositivo electrónico Bufferamplificador.


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En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente abierto: Interruptor NA.

La operación negación lógica de una variable presenta el valorcontrario del argumento, o los casos contrarios de los recogidos enel argumento.

Esta operación se hace con la Puerta NOT.

En un circuito de conmutación corresponde a un interruptor normalmente cerrado: Interruptor NC.

Operaciones binarias

La operación binaria es la que necesita dos argumentos, de hecho es la forma más generalizada de operación,normalmente cuando nos referimos a operaciones, nos referimos a operaciones binarias, en el álgebra de Boolepodemos ver las siguientes operaciones binarias:

La conjunción lógica presenta resultado verdadero solo cuando sus dos argumentos son verdaderos.


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Normalmente representado:

La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a laintersección de conjuntos en teoría de conjuntos, o a lapuerta lógica AND:

en circuitos de conmutación seria un circuito en serie de interruptores.

La Negación alternativa presenta resultado verdadero entodos los casos excepto cuando sus dos argumentos sonverdaderos. Esta operación es la negación de la conjunción.

La conjunción lógica de proposiciones es equivalente a lapuerta lógica NAND.

La disyunción lógica acepta dos argumentos presentando como resultado verdadero si uno u otro de losargumentos es verdadero.

La disyunción puede expresarse:

La operación disyunción lógica de proposiciones, es equivalente a la unión de conjuntos en teoría de conjuntos,


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a la puerta lógica OR:

y al circuito en paralelo en circuitos de conmutación

La Negación conjunta presenta resultado verdadero solocuando sus dos argumentos son falsos. Esta operación es lanegación de la disyunción.

La negación conjunta de proposiciones es equivalente a lapuerta lógica NOR.

La condicional material presenta resultado falso si elprimer argumento es verdadero y el segundo falso, en elresto de los casos presenta resultado verdadero, estaoperación no es conmutativa y puede expresarse:

A esta operación también se llama implicación: a implicab:

si a es verdadero b es verdadero.si a es falso y b es verdadero, la implicación es falsa.si a es falsa, la implicación es verdadera independientemente el valor de b.


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A esta operación le corresponde un conjunto de puertas lógicas complejas:

La negación condicional material presenta resultadoverdadero si el primer argumento es verdadero y elsegundo falso, en el resto de los casos presenta resultadofalso, esta operación no es conmutativa y es la negaciónde la condicional material, también suele llamarsediferencia de a y b, puede expresarse:


La Condicional material inversa es la operación que presenta resultado falso si el primer argumento es falso y elsegundo verdadero, en el resto de los casos presenta resultado verdadero, esta operación no es conmutativa y esel resultado de permutar a y b en la condicional material, puede expresarse:


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A esta operación le corresponde un conjunto de puertaslógicas complejas:

La Negación condicional material inverso presentaresultado verdadero si el primer argumento es falso y elsegundo verdadero, en el resto de los casos presentaresultado falso, esta operación no es conmutativa y es lanegación de la condicional inverso, también suele llamarsediferencia: b - a, puede expresarse:


La bicondicional presenta resultado verdadero si los dosargumentos son iguales, esto es: si a y b son verdaderos osi a y b son falsos.

Le corresponde la Puerta XNOR.


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La disyunción exclusiva presenta resultado verdadero silos dos argumentos son dispares, esto es si de los dosargumentos uno es verdadero y otro falso, es la negaciónde la bicondicional:

Esta operación también se llama o exclusivo, uno o el otro pero no los dos, le corresponde la puerta lógica:XOR.

Partiendo de un conjunto: y donde a, b, c, d, ... son variables o constantes que pueden tomar valores delconjunto , donde se han definido las siguientes operaciones internas:


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podemos decir que son fórmulas bien formadas: fbf:

1: Una variable o constante:

2: La negación de una variable o constante:

3: La operación binaria entre dos variables o constantes:

4: El resultado de sustituir en una fórmula bien formada, una variable o constante por una fórmula bien formada:

La aplicación repetida de estos criterios dará siempre una fórmula bien formada.

ejemplo:

Se podrán emplear tantos paréntesis como sean necesarios para evitar ambigüedades, evitando siempre lautilización superflua de paréntesis.

Jerarquía de los operadores

Al evaluar una expresión booleana, deben realizarse las operaciones de acuerdo con su nivel jerárquico,realizando primero la de mayor jerarquía. Si existen paréntesis, deben resolverse primero los más internos ytrabajar hacia fuera. En ausencia de paréntesis, la jerarquía de las operaciones es, de mayor a menor, lasiguiente:

1. 2. 3.

Si se tienen varias operaciones con la misma jerarquía, éstas pueden ser evaluadas de derecha a izquierda o deizquierda a derecha, el resultado será el mismo.

Como ejemplo, considérese la evaluación de las siguientes expresiones booleanas:


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Función booleanaFormas Canónicas (Álgebra de Boole)Circuitos de conmutaciónLógica binariaPuerta lógicaSistema digitalTabla de verdadOperador a nivel de bits

Boole, George; Requena Manzano, Esteban: tr. (1 de 1984). El análisis matemático de la lógica (2 edición).Ediciones Cátedra, S.A. ISBN 978-84-376-0208-0.

1.

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3.

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Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Álgebra de Boole.Álgebra de Boole - Definición (ftp://ftp.ehu.es/cidira/dptos/depjt/Apuntes/Electronica%20digital/Algebra%20de%20conmut.pdf)Álgebra de Boole y puertas lógicas (http://apuntes.rincondelvago.com/algebra-de-boole-y-puertas-logicas.html)Tema 5: Álgebra de Boole y Funciones Lógicas (http://arantxa.ii.uam.es/~ig/teoria/temas/IG_tema-5-2008-2009.pdf)Álgebra de Boole (http://electronred.iespana.es/alg_boole.htm)Álgebra Booleana (http://lc.fie.umich.mx/~jrincon/elec3-cap4.pdf)TEMA 6. ÁLGEBRA DE BOOLE (http://ocw.usal.es/eduCommons/ensenanzas-tecnicas/electronica/contenido/electronica/Tema6_AlgebraBOOLE.pdf)BOOLE-DEUSTO SW didáctico: Tablas de verdad, V-K, autómatas... (http://paginaspersonales.deusto.es/zubia)Álgebra de Boole (http://serbal.pntic.mec.es/~cmunoz11/boole.pdf)Álgebra de Boole (http://users.dcc.uchile.cl/~clgutier/Capitulo_3.pdf)Álgebra de Boole (http://usuarios.lycos.es/bnunez/Archivos%20propios/Digitales/Algebra_Boole.pdf)Álgebra de Boole y Diseño de Computadoras (PDF) (http://www.box.net/shared/db3n75vgfg)Curso Completo de Electrónica Digital (http://www.edudevices.com.ar/download/articulos/digitales/Cur_dig_03.pdf)Álgebra de Boole y circuitos con puertas lógicas (http://www.esi2.us.es/~jaar/Datos/FIA/T3.pdf)TEMA 3. Álgebra de Boole (http://www.uhu.es/rafael.lopezahumada/descargas/tema3_fund_0405.pdf)

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