2012 Серия: Физика Вып. 1 (19)

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 1 (19)

СОДЕРЖАНИЕ

Памяти профессора Дмитрия Викторовича Любимова 5

Бойчук А. Н., Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Ориентационные явления в фер-ронематике во вращающемся магнитном поле 7

Полудницин А. Н., Шарифулин А. Н. Лабораторное и теоретическое исследо-вание бифуркаций квазидвумерной конвекции в наклоняемой кубической полости 16

Кондрашов А. Н., Бабушкин И. А. Влияние наклона и центробежных сил на кон-векцию в ячейке Хеле – Шоу 23

Пшеничников А. Ф., Буркова Е. Н. О сегрегации частиц в магнитной жидкости в однородном магнитном и гравитационном полях 29

Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Ориентационные явления в ферронематиках в электрическом и магнитном полях 38

Пшеничников А. Ф., Кузнецов А. А. Влияние магнитодипольных взаимодейст-вий на равновесную намагниченность ферроколоидов: численное моделирование 47

Ощепков А. Ю. Исследование механизмов релаксации намагниченности в мезо-скопических парамагнетиках с помощью компьютерного моделирования 54

Спивак Л. В., Мясников Н. Н. Вейвлет–анализ спектров Баркгаузена в аморф-ном сплаве Fe78B12Si9Ni1 61

Скрябина Н. Е., Пинюгжанин В. М., Фрушар Д. Деформационные механизмы формирования текстуры в сплаве AZ31 в процессе РКУП 65

Кюнцель И. А. О температурной зависимости энергии активации термически активированных движений в твердых телах 74

Спивак Л. В. , Лунегов И. В. , Сабиров А. А., Куликова М. А. , Шеляков А. В.Структура поверхности сплава Ti50Ni25Cu25 до и после расстеклования 82

Изместьев И. В., Коняев С. А. Изменение диэлектрических свойств некоторых моторных масел при их деструкции 85

Семенищев А. П. , Мамыкин А. Д. , Шадт А. К., Лунегов И. В. Моделирование микрополосковых линий в СВЧ-диапазоне 91

ВЕСТНИК BULLETIN OF PERM UNIVERSITY

2012 Series: Physics Number. 1 (19)

CONTENTS

In memory of Professor Dmitriy Viktorovich Lyubimov 5Boychuk A. N., Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Orientational phenomena in a ferrone-matic under rotating magnetic field 7Poludnitsin A. N., Sharifulin A. N. Laboratory scale and theoretical investigation of bifurca-tions of quasi 2D convection in the tilted cubic cavity 16Kondrashov A. N. , Babushkin I. A. The influence of inclination and centrifugal forces onthe convection in the Hele – Shaw cell 23Pshenichnikov A. F., Burkova E. N. On the segregation of particles in a magnetic fluid in uni-form magnetic and gravitational fields 29Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Orientational phenomena in ferronematics subjected toelectric and magnetic fields 38Pshenichnikov А. F., Kuznetsov А. А. Influence of magneto-dipole interactions on equilibriummagnetization of ferrocolloids: numerical simulation 47Oschepkov A. Y. Research of relaxation mechanisms of magnetization in mesoscopic para-magnets by means of computer simulation 54Spivak L. V., Мyasnikov N. N. Wavelet-analysis of Barkhausen spectra in an amorphousFe78B12Si9Ni1 alloy 61Skryabina N. Е., Pinyugzhanin V. М., Fruchart D. Deformation mechanisms of formation ofAZ31 alloy texture during ECAP 65Kyuntsel I. A. About temperature dependence of the activation energy of thermally acti-vated motions in solids 74Spivak L. V., Lunegov I. V., Sabirov A.A., Kulikova M. A., Shelyakov A. V. Structure ofTi50Ni25Cu25 alloy surface before and after devitrification 82Izmestiev I. V., Konyaev S. A. Change of dielectric properties some engine oils at their de-struction 85Semenishchev A. P., Mamykin A. D., Shadt A. K., Lunegov I. V. Modeling of microstriplines in the microwave range 91

© Редакционная коллегия, 2012

5

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––2012 Серия: Физика Вып. 1 (19)

Памяти профессора Дмитрия Викторовича Любимова

Ушел из жизни заведующий кафедрой теорети-ческой физики, профессор, доктор физико-математических наук, Заслуженный деятель науки Российской федерации Дмитрий Викторович Лю-бимов (06.02.1949-10.03.2012).

Дмитрий Викторович родился в семье учителей физики. Еще в школе у него возник интерес к фи-зике, и после окончания школы он поступил в Пермский университет на физический факультет, с которым связана вся его дальнейшая судьба. Уже студентом он показал себя талантливым исследо-вателем. Под руководством профессора Г.З. Гер-шуни им была выполнена первая работа по гидро-динамике, в которой он использовал новые методы анализа конвективных течений. В дальнейшем эти исследования были продолжены. Дмитрий Викто-рович создал новые направления в области гидро-механики и тепломассообмена, в науке о конвек-ции. К их числу относится цикл пионерских исследований тепловой конвекции в пористой сре-де и хаотических режимов конвекции в ячейке Хе-

ле–Шоу, а также вибрационной конвекции. Им развиты новые подходы к теории течений в систе-мах с поверхностями раздела, создана общая тео-рия течений и теплообмена в неоднородных средах под действием вибраций, примененная ко многим конкретным проблемам. Результаты этих исследо-ваний обобщены в монографиях, изданных в Рос-сии и за рубежом, в многочисленных научных статьях. Им опубликовано свыше 300 научных ра-бот, из них более ста в зарубежной печати.

В последние 15 лет Дмитрий Викторович воз-главлял Пермскую школу физической гидродина-мики. Он был руководителем еженедельного го-родского гидродинамического семинара, объединяющего ученых Перми и широко извест-ного в России и за рубежом. Под его руководством защищено 17 кандидатских и 3 докторских диссер-тации. Руководимая Д.В. Любимовым кафедра тео-ретической физики на протяжении многих лет за-нимала лидирующие позиции по научной работе среди кафедр университета и Пермской области.

Дмитрий Викторович был выдающимся уче-ным, заслуженно пользовавшимся авторитетом российских и зарубежных исследователей. Он ру-ководил многочисленными международными и российскими научными проектами, был Нацио-нальным координатором проекта по программе Российско-Германско-Французского университета, одним из руководителей работ по программе На-ционального исследовательского университета.

За выдающиеся достижения в области теории гидродинамической устойчивости и турбулентно-сти ему была присуждена премия Пермского края в области физики, математики и информатики им. А.А. Поздеева, премия 1-й степени Национального комитета по теоретической и прикладной механике им. акад. Г.И. Петрова, Почетные грамоты Мини-стерства науки и образования. В 1996 году ему было присвоено звание “Соросовский профессор”,в 2004 году он был избран членом Национального комитета по теоретической и прикладной механи-ке. В 2007 г. ему было присвоено почетное звание Заслуженного деятеля науки Российской Федера-ции.

Дмитрий Викторович был прекрасным челове-

6 Памяти профессора Д. В. Любимова

ком. Он с уважением относился к сотрудникам и студентам, и люди отвечали ему взаимностью. За-мечательный преподаватель, он своими лекциями раскрывал студентам красоту физики, любил раз-бирать парадоксы в физике и математике, получать изящные решения физических задач. Дмитрий Викторович пользовался исключительным уваже-нием и любовью многих поколений студентов. Он был доброжелательным человеком, обладающим широчайшим кругозором и фундаментальными

знаниями. Своей преданностью Науке, Универси-тету, самоотверженным служением он вызывал восхищение окружающих и создавал полюс при-тяжения для молодых талантливых людей, для всех, кто разделял эти ценности.

Друзья, коллеги, ученики и сотрудники Дмит-рия Викторовича Любимова глубоко переживают тяжелую утрату и выражают глубокие соболезно-вания его родным и близким.

Редакционная коллегия

© Бойчук А. Н., Захлевных А. Н., Макаров Д. В., 2012

7


УДК 532.783; 539.22

Ориентационные явления в ферронематикево вращающемся магнитном поле

А. Н. Бойчук, А. Н. Захлевных, Д. В. МакаровПермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассмотрено поведение ориентационной структуры ферронематика в однородном вращаю-щемся магнитном поле. Вычислены углы поворотов векторов ориентации ферронематика (директора и намагниченности) относительно направления магнитного поля при различных значениях материальных параметров и скорости вращения магнитного поля. Показано, что во вращающемся магнитном поле система уравнений, описывающая динамику ферронематика,имеет решения, соответствующие только угловой ориентационной фазе ферронематика. Су-ществовавшие в статическом случае пороговые переходы между фазами “размываются”.

Ключевые слова: ферронематик, жидкий кристалл, вращающееся магнитное поле.

1. Введение

Как известно, ориентация молекул жидких кри-сталлов (ЖК) чувствительна к воздействию внеш-них силовых полей, например электрического или магнитного [1]. При помещении в магнитное поле нематического жидкого кристалла, обладающего положительной диамагнитной анизотропией, его молекулы стремятся ориентироваться своимидлинными осями вдоль направления поля. При стационарном вращении магнитного поля весь жидкий кристалл может быть вовлечен во враще-ние. Это явление впервые было открыто и изучено Цветковым [1, 2]. Хотя анизотропия диамагнитной восприимчивости ЖК позволяет изменить ориен-тацию жидкого кристалла с помощью внешнего магнитного поля, для увеличения магнитной вос-приимчивости жидкокристаллического образцаБрошар и де Жен [3] предложили внедрять иголь-чатые магнитные частицы в матрицу нематическо-го жидкого кристалла. Полученная таким образом магнитная суспензия получила название ферроне-матика (ФН). Одной из характерных особенностейФН является наличие сильной ориентационной связи между ЖК-матрицей и магнитными части-цами. Даже при небольшой по объему концентра-ции магнитных частиц магнитная восприимчи-вость суспензии увеличивается на несколько порядков по сравнению с восприимчивостью чис-того ЖК, что позволяет ориентировать их слабыми магнитными полями, сохраняя при этом свойства,

характерные для жидкокристаллической фазы [4–5].

Целью данной работы является теоретическое описание ориентационных явлений в ферронема-тическом жидком кристалле, помещенном в одно-родное вращающееся магнитное поле.

2. Основные уравнения

2.1. Свободная энергия ферронематика

В основе континуального подхода к описанию ферронематического жидкого кристалла лежит обобщение термодинамического потенциала (сво-

бодной энергии) FdVF жидкого кристалла с

учетом внедренного в матрицу небольшого коли-чества однодоменных игольчатых частиц магнит-ной примеси. Объемную плотность свободной энергии ферронематика для мягкого сцепления между магнитными частицами и ЖК можно запи-сать в следующем виде [3, 6]:

1 2 3 4 5F F F F F F , (1)

2 2 21 1 2 3

1(div ) ( rot ) ( rot )

2F K K K n n n n n ,

2 sF M f m H , 23

1( )

2aF n H ,

ffv

TkF B ln4 , 2

5 ( )w

F fd

n m .

8 А. Н. Бойчук, А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров

Здесь 1K , 2K и 3K – модули ориентационной уп-

ругости нематического жидкого кристалла (кон-станты Франка), n – директор ферронематика (единичный вектор, характеризующий направле-ние преимущественной ориентации длинных осей молекул нематика), SM – намагниченность насы-

щения материала магнитных частиц, f – объемная

доля магнитных частиц в суспензии, m – единич-

ный вектор намагниченности суспензии, a – ани-

зотропия диамагнитной восприимчивости немати-ка (далее всюду предполагается, что 0a ), –

объем феррочастицы, Bk – постоянная Больцмана,

T – температура, w – поверхностная плотность энергии сцепления молекул нематического жидко-го кристалла с поверхностью магнитных частиц, d – диаметр феррочастицы. Значение w выбира-ется положительным, поэтому в отсутствие маг-нитного поля минимуму свободной энергии (1) от-вечает взаимная ортогональная ориентация директора и намагниченности )( mn ; ее принято

называть гомеотропным сцеплением директора и намагниченности.

Слагаемое 1F представляет собой объемную

плотность энергии ориентационно-упругих дефор-маций поля директора (потенциал Франка), 2F –

объемная плотность энергии взаимодействия маг-нитного поля H с магнитными моментами

mμ vM s феррочастиц (дипольный механизм

влияния магнитного поля на ФН), 3F – объемная

плотность энергии взаимодействия магнитного по-ля H с нематической матрицей (квадрупольный механизм влияния магнитного поля), 4F – вклад

энтропии смешения идеального раствора магнит-ных частиц в объемную плотность энергии, 5F –

объемная плотность энергии поверхностного вза-имодействия магнитных частиц с директором. Магнитными диполь-дипольными взаимодейст-виями будем пренебрегать вследствие малой объ-емной доли феррочастиц в суспензии.

2.2. Уравнения движения ферронематика

Для описания динамики ориентационной структуры ферронематического жидкого кристалла будем использовать обобщенную континуальную теорию Эриксена–Лесли [1–3, 6–12]. В этом слу-чае уравнение движения можно записать следую-щим образом:

ik ki

d

dt

v, (2)

здесь k kd dt t v – полная производная по

времени, ( )eki ki ki – тензор напряжений, яв-

ляющийся суммой тензора вязких напряжений ki

и тензора напряжений Эриксена ( )eki . Здесь введе-

но обозначение k kx , и далее всюду предпо-

лагается суммирование по повторяющимся тен-зорным индексам.

Уравнение несжимаемости имеет вид

0i i iiA v , (3)

где 2/)( kiikikA vv – симметричная часть

тензора градиентов скоростей.Выражение для тензора вязких напряжений

ki , записанное в предположении линейности

обобщенных потоков по отношению к сопряжен-ным им обобщенным силам, может быть записано в следующем виде:

1 2 3ki k i l m lm k i i kn n n n A n N n N

4 5 6ki k l li i l lkA n n A n n A .

Коэффициенты s имеют размерность вязкости и

носят название коэффициентов Лесли, однако только пять из них являются независимыми,так как между ними существует связь [1–2]:

2 3 6 5 .

Вектор iN представляет собой скорость изме-

нения директора относительно движущегося ЖК и определяется соотношением

ii ik k

dnN n

dt ,

где 2/)( kiikik vv – антисимметричная

часть тензора градиентов скоростей.

Тензор напряжений Эриксена ( )eki , входящий в

ki , дается выражением

( )

( )e

ki i lkik l

Fp n

n

,

где p – давление, ki – символ Кронекера.

2.3. Уравнения движения директора и единичного вектора намагниченности

Уравнение движения директора in имеет вид

( )1 2

ni i k kih N n A , (4)

где 231 и 322 – коэффициенты

вращательной вязкости нематика [1].Уравнение движения единичного вектора на-

магниченности im согласно [6] записывается в ви-

де

( )1 2( )m

i p i p k kih M m A f , (5)

Ориентационные явления в ферронематике во вращающемся магнитном поле 9

где 1p и 2 p – коэффициенты вращательной вяз-

кости магнитных частиц, а вектор

kikii mdtdmM характеризует скорость изме-

нения единичного вектора намагниченности im

относительно движущегося ЖК.

Молекулярные поля ( )nih и ( )m

ih , входящие в

уравнения движения директора (4) и вектора на-магниченности (5), определены следующим обра-зом:

( )

( )n

i ki k i

F Fh

n n

,

( )

( )m

i ki k i

F Fh

m m

.

Вследствие единичности векторов n и m вариа-ция свободной энергии F должна производиться

при дополнительных условиях 2 1n и 2 1m ,учитываемых методом множителей Лагранжа.

2.4. Уравнение диффузии магнитных частиц

Уравнение диффузии магнитных частиц в не-матике (закон сохранения числа магнитных час-тиц) запишем следующим образом [6]:

0)(

fU

t

fii , (6)

здесь )( )( fvFDU mii – скорость феррочастиц

относительно нематической матрицы, D – коэф-фициент переноса, v – объем феррочастицы,

542)( FFFF m – вклад магнитных частиц в

свободную энергию F ферронематика (1).Таким образом, уравнения (1) – (6) представ-

ляют собой полную систему уравнений динамики ферронематика.

3. Ферронематик во вращающемся магнитном поле

Рассмотрим ферронематический жидкий кри-сталл в однородном магнитном поле

)0,cos,sin( ttH H , вращающемся с посто-

янной угловой скоростью вокруг оси z (рис. 1).Анализируя поведение директора и единичного

вектора намагниченности вдали от поверхностей, ограничивающих образец ферронематика, будем пренебрегать влиянием границ и градиентами ди-ректора. В этом случае распределение магнитных частиц в образце можно считать однородным, т.е.эффекты магнитной сегрегации [3, 13–19] полага-ем отсутствующими. Директор n и единичный вектор намагниченности m в этом случае можно записать в следующем виде:

)0,sin,(cos n ,

)0,cos,sin( m , (7)

здесь )(t и )(t – углы ориентации директора и

единичного вектора намагниченности. Напомним, что поверхностная плотность свободной энергии w выбрана положительной, так что в отсутствие внешних полей минимуму энергии (1) отвечает взаимная ортогональная ориентация директора и намагниченности )( mn . В этом случае магнит-

ное поле оказывает конкурирующее действие на ФН, так как магнитные частицы и директор стре-мятся ориентироваться вдоль поля, чему, однако, препятствует гомеотропное сцепление между n и m . Будем считать, что меняться со временем мо-гут только поля директора и намагниченности, при этом сам ферронематик остается неподвижным, т.е. скорость v жидкокристаллической суспензии равна нулю. Для рассматриваемого решения (7)уравнения движения ферронематика (2) выполня-ются тождественно.

Уравнения движения директора (4) и единично-го вектора намагниченности (5) с учетом соотно-шений (7) примут вид

)(2sin2

1)(2sin 2

1

tHf

d

w

ta ,

)sin()(2sin1

tHM

d

w

tsp . (8)

В случае, когда магнитная примесь отсутствует,т.е. 0f , из системы (8) получаем соотношение

)(2sin2

1 21

tH

ta ,

которое совпадает с уравнением для угла поворота директора в чистом нематике, помещенном в од-нородное вращающееся магнитное поле [1–2].Анализ решений этого уравнения показывает, что при угловой скорости вращения поля

)2( 12 Hac директор следует за магнит-

ным полем с той же угловой скоростью , но от-стает от него по фазе на постоянное значение. Ес-ли скорость вращения поля c , то директор

Рис. 1. Ферронематик во вращающемся магнитном поле


движется вслед за магнитным полем с более слож-ной, зависящей от времени, фазовой задержкой.

Для удобства теоретического анализа запишем систему уравнений (8) в безразмерной форме. Для этого в качестве единицы измерения напряженно-сти магнитного поля выберем величину

as fMH 0 , при которой дипольный 2F и

квадрупольный 3F вклады в объемную плотность

свободной энергии F ферронематика (1) становят-ся одного порядка. В магнитном поле 0HH

происходит смена основного механизма влияния поля на систему от дипольного (влияние на маг-нитные моменты частиц, 0HH ) к квадруполь-

ному (влияние на диамагнитную НЖК-матрицу,

0HH ) и наоборот. Кроме того, в терминах угла

t , описывающего отклонение вектора напря-женности магнитного поля H от оси y , система

уравнений (8) может быть записана следующим образом:

)(2sin2

1)(2sin 2 h , (9)

)sin()(2sin hf . (10)

Здесь точкой обозначена производная по и вве-дены следующие безразмерные величины:

0H

Hh ,

221

fM s

a ,

fdM

w

s

a2

,

1

1

p , (11)

где h представляет собой безразмерную напря-женность магнитного поля, – безразмерная уг-

ловая скорость вращения магнитного поля, –безразмерная энергия сцепления магнитных частиц с НЖК-матрицей, а параметр характеризует от-

ношение коэффициентов вращательной вязкости магнитных частиц и нематика.

Полагая [1, 2, 20–22] анизотропию диамагнит-

ной восприимчивости 710a , объемную долю

магнитных частиц 610f , намагниченность на-

сыщения материала магнитных частиц 210sM Гс, коэффициенты вращательной вязко-

сти 1.01 пуаз и 11 p пуаз, поверхностную

плотность энергии сцепления молекул нематика с магнитными частицами 1w эрг/см2, поперечный

диаметр магнитных частиц 510d см, угловую скорость вращения магнитного поля 1 рад/с, находим 10 , 1 и 1 . Из сделанных вы-

ше оценок видно, что для реальных значений ма-териальных параметров 1f . В этом случае

можно пренебречь слагаемым f в левой части

уравнения (10), тогда система (9) – (10) примет следующий вид:

)(2sin2

1)(2sin 2 h ,

)(2sin)sin( h . (12)

Таким образом, система уравнений (12) описы-вает нестационарные решения для углов ориента-ции директора и вектора намагниченности как функции энергии сцепления , напряженности hи угловой скорости вращения магнитного поля .

Для анализа ориентаций директора n и еди-ничного вектора намагниченности m относитель-но вращающегося вектора напряженности магнит-ного поля H удобно ввести новые углы ориентации (рис. 2):

21

, 2 , 21 . (13)

Здесь 1 и 2 – углы, характеризующие ориента-

ции директора и намагниченности относительно вектора напряженности магнитного поля, – угол между директором и единичным вектором намаг-ниченности.

С учетом соотношений (13) система уравнений (12) принимает вид

12

211 2sin2

1)(2sin)1( h ,

)(2sinsin 212 h . (14)

Эта система нестационарных уравнений описывает ориентационную динамику директора и намагни-ченности относительно вращающегося магнитногополя.

3.1. Стационарные уравнения динамики ферронематика

В стационарном случае ( 1 , т.е. 01 ) ди-

ректор и намагниченность вращаются с постоян-ной угловой скоростью вслед за магнитным по-

лем, система уравнений (14) принимает вид

Рис. 2. Углы между вектором магнитного поля H , директором n и намагниченно-стью m


0 1 2 3h

=0

=0.1

h=0.1

(а)

1 2 3

h

h=0.1

=

=

0

-(б)

Рис. 3. Углы ориентации директора (а) и вектора намагниченности (б) как функции напряженности магнитного поля h для энергии сцепления 1 и различных значе-ний угловой скорости вращения 0

1 2 3h

=0

=0.1

h=0.1

0

(а)

1 2 3h

h=0.1

=0

=0.1

0

-(б)

Рис. 4. Углы ориентации директора (а) и намагниченности (б) как функции напря-женности магнитного поля h для энергии сцепления 1 при различных значениях угловой скорости вращения 0

12

21 2sin2

1)(2sin h ,

)(2sinsin 212 h . (15)

В отсутствие вращения )0( с ростом при-

ложенного однородного магнитного поля в ФН по-следовательно возникают, сменяя друг друга, три ориентационные фазы: гомеотропная, угловая и планарная [23]. Каждая фаза отвечает своему типу взаимной ориентации директора и вектора намаг-ниченности. Углы отклонения директора и намаг-ниченности от направления магнитного поля в этих ориентационных фазах как функции напря-женности поля показаны на рис. 3 и 4 сплошнымилиниями. В слабых магнитных полях единичный вектор намагниченности ориентирован параллель-но магнитному полю )||( Hm и ортогонален ди-

ректору )( mn . Такая взаимно ортогональная

ориентация директора и намагниченности соответ-ствует гомеотропной фазе ферронематика, в кото-рой 2/1 , 02 . Эта фаза устойчива в

магнитных полях hh [23], где

/211 h .

С увеличением напряженности поля гомео-тропная ориентационная фаза сменяется угловой фазой, в которой угол между директором и намаг-

ниченностью отличен от нуля и π/2 и уменьшает-

ся с ростом приложенного поля. Угловая фаза тер-модинамически устойчива при ||hhh [23], где

/211|| h .


-6

-4

-2

0

1 2 3

h

01

(а)

-6

-4

-2

0

1 2 3

h

0.1

1

h=0.1

(б)

Рис. 5. Зависимость эффективной свобод-ной энергии ферронематика от напря-женности магнитного поля h для 1 :

(а) без вращения )0( , (б) при угловой

скорости вращения поля 1.0 (сплош-

ными линиями показаны решения, соответ-ствующие минимуму энергии )

Поскольку в статическом случае )0( задача

симметрична по отношению к повороту плоскости, образуемой директором и намагниченностью, на произвольный угол вокруг вектора магнитного по-ля, то в каждой такой плоскости возможно два симметричных решения (сплошные линии на рис. 3 и 4) для углов отклонения директора и на-магниченности от направления магнитного поля. Два состояния ферронематика, описываемых эти-ми решениями, энергетически эквивалентны. Ростнапряженности магнитного поля приводит к пере-ходу системы в планарную фазу при ||hh . В ней

директор и намагниченность ориентированы вдоль направления магнитного поля )||||( Hmn . Пере-

ходы между всеми ориентационными фазами про-исходят пороговым образом при hh и ||hh

по типу фазовых переходов второго рода.

Во вращающемся магнитном поле )0( си-

стема (15) имеет решения, соответствующие толь-ко угловой ориентационной фазе (рис. 3 и 4, штри-ховые линии). Исчезает симметрия вырожденных состояний ферронематика, существовавших в ста-тическом магнитном поле )0( и инвариантных

по отношению к одновременному отражению ди-ректора и намагниченности относительно направ-ления поля. Пороговые переходы размываются все интенсивнее с увеличением скорости вращения магнитного поля . Кроме того, стационарные

состояния ориентационной структуры ферронема-тика возможны не при любых значениях скорости вращения и напряженности магнитного поля. В заштрихованных областях на рис. 3–6 система уравнений (15) не имеет решений. При этих пара-метрах углы отклонения директора и намагничен-ности сложным образом зависят от времени, и их поведение описывается только нестационарной си-стемой уравнений динамики ферронематика (14).

3.2. Устойчивость стационарных решений

Исследуем устойчивость стационарных решений системы (15), изображенных на рис. 3 и 4. Для это-го определим эффективную плотность свободной энергии , вариацией которой по углам 1 и 2

можно получить уравнение (15), описывающее ориентационную структуру ферронематика в ста-ционарном случае. С учетом выражения (1) и со-отношений (7) и (14) в безразмерном виде она мо-жет быть представлена следующим образом:

1212

122

2 )(coscos2

1cos hh ,

(16)

где последнее слагаемое получено интегрировани-ем вязкого момента по [24]. Зависимость эф-

фективной свободной энергии от напряженно-сти магнитного поля h для различных значений

угловой скорости вращения магнитного поля

представлена на рис. 5. Минимальные значения свободной энергии и соответствующие им ус-тойчивые решения для углов ориентации директо-ра и намагниченности (рис. 6) изображены сплош-ными линиями. Неустойчивые решения на рис. 5 и 6 показаны штриховыми и пунктирными линиями.

В слабом магнитном поле без вращения )0( устойчива так называемая гомеотропная

фаза с взаимно ортогональной ориентацией дирек-тора и намагниченности )( mn , при этом вектор

намагниченности параллелен магнитному полю)||( Hm . Вращение поля )0( приводит к ис-

чезновению решений, описывающих стационарноесостояние ферронематика (рис. 5 и 6, заштрихо-


0 1 2 3h

h=0.1

0.1

1

(а)

1 2 3

h

h=0.1

0

-

0.1

1

(б)

Рис. 6. Углы ориентации директора (а) и вектора намагниченности (б) как функции напряженности магнитного поля h для энергии сцепления 1 и угловой скорости вращения 1.0 (сплошными линиями по-

казаны устойчивые решения)

ванная область). Однако с ростом напряженности поля такие решения появляются; они описываютдиректор и намагниченность, вращающиеся с по-стоянной угловой скоростью вслед за вектором

магнитного поля, причем вектор намагниченности отстает от него по фазе. Увеличение напряженно-сти поля приводит к тому, что ориентации дирек-тора и намагниченности меняются скачком (верти-кальные отрезки на рис. 5б и 6) так, что вектор намагниченности начинает опережать вектор маг-нитного поля, по-прежнему вращаясь с постоянной угловой скоростью .

3.3. Сильные магнитные поля

Рассмотрим случай сильного магнитного поля

)1( h , когда отклонения директора и вектора

намагниченности относительно вектора напряжен-ности магнитного поля малы, поэтому будем ис-кать 1 и 2 в виде разложения по 1 :

...2211 , ...2

212 .

Подставляя эти разложения в систему уравнений (15), в первом порядке по углы отклонения ди-ректора и намагниченности можно записать сле-дующим образом:

21h

,

32

2

h

. (17)

Как видно из соотношений (17), с ростом на-пряженности магнитного поля ориентации дирек-тора n и намагниченности m асимптотически стремятся к направлению поля H , что подтвер-ждается численным решением стационарных урав-нений движения ферронематика (см. рис. 6,сплошные линии).

3.4. Слабые магнитные поля

В случае слабых магнитных полей )1( h ,

пренебрегая квадратичным по полю слагаемым в первом уравнении системы (15), получаем точные решения для углов 1 и 2 , определяющих откло-

нения директора и намагниченности от вращаю-щегося магнитного поля:

))((222sin 222222

21

hh

h,

h

2sin . (18)

Анализ выражений (17) – (18) показывает, что стационарные состояния ориентационной структу-ры ферронематика в этом случае существуют при слабых скоростях вращения магнитного поля

1 h и не при любых значениях энергии сце-

пления директора и намагниченности, что под-тверждается результатами численного решения си-стемы (15), которые представлены на рис. 4 и 6.Видно, что имеется критическое значение скоро-сти вращения поля, при превышении которого ста-ционарные решения исчезают, т.е. ориентационная структура ферронематика ведет себя нестационар-ным образом и описывается системой уравнений (14).

В дальнейшем планируется определить грани-цы существования стационарных состояний фер-ронематика и проанализировать нестационарные режимы поведения его ориентационной структуры.

4. Заключение

В работе рассмотрен аналог эффекта Цветкова[1] для магнитной суспензии на основе нематиче-


ского жидкого кристалла – ферронематика. Теоре-тически исследована его ориентационная структу-ра в однородном вращающемся магнитном поле. Рассмотрен ферронематик с “мягкими” гомео-тропными условиями сцепления между директо-ром и намагниченностью. Получена нестационар-ная система уравнений, описывающая ориентационную структуру ферронематика во вра-щающемся магнитном поле. Проанализированы стационарные решения системы уравнений дина-мики ферронематика. Произведен численный рас-чет углов поворота директора и вектора намагни-ченности для различных значений напряженности приложенного магнитного поля, энергии сцепле-ния магнитных частиц с НЖК-матрицей и скоро-сти вращения магнитного поля.

Показано, что во вращающемся магнитном по-ле система уравнений, описывающая динамику ферронематика, имеет решения, соответствующие его угловой ориентационной фазе. Существовав-шие в статическом случае пороговые переходы “размываются”. С увеличением скорости вращения при фиксированных значениях энергии сцепления и напряженности магнитного поля стационарные состояния системы исчезают, тем самым вращение оказывает дестабилизирующее воздействие на ста-ционарное состояние системы.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта 10-02-96030 РФФИ.

Список литературы

1. Gennes P. G. de, Prost J. The Physics of LiquidCrystals. Oxford: Clarendon Press, 1993. 596 p.

2. Stewart I. W. The Static and Dynamic ContinuumTheory of Liquid Crystals. L. and N. Y.: Taylor &Francis, 2004. 360 p.

3. Brochard F., Gennes P. G. de. Theory ofmagnetic suspensions in liquid crystals // J. Phys.(France). 1970. Vol. 31. P. 691–708.

4. Райхер Ю. Л., Бурылов С. В., Захлевных А. Н.Ориентационная структура и магнитные свой-ства ферронематика во внешнем поле // Журн. экспер. теор. физики. 1986. Т. 91. С. 542–551.

5. Raikher Yu. L., Burylov S. V., Zakhlevnykh A. N.Magnetic behavior of a ferronematic layer in anexternal magnetic field // J. Magn. Magn. Mater.1987. Vol. 65. P. 173–176.

6. Raikher Y. L., Stepanov V. I. Dynamic magneto-optical response of ferronematic liquid crystals //J. Intel. Mater. Syst. Struct. 1996. Vol. 7. P. 550–554.

7. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Influence ofshear flow on the Freedericksz transition innematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2006. Vol.74. 041710 (9 pp.).

8. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Shear flow of aferronematic in a magnetic field // Mol. Cryst.Liq. Cryst. 2007. Vol. 475. P. 233–245.

9. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Влияние сдви-гового течения на ориентационные фазы фер-ронематика в магнитном поле // Вестн. Перм. ун-та. 2007. Вып. 1(6). С. 39–51.

10. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фре-дерикса в ферронематиках при наличии сдви-гового течения // Вестн. Перм. ун-та. 2008. Вып. 1(17). С. 87–93.

11. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Magneticfield-induced orientational phases offerronematics in shear flow // J. Magn. Magn.Mater. 2008. Vol. 320. P. 13121321.

12. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. MagneticFreedericksz transition in ferronematic layerunder shear flow // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011.Vol. 540. P. 135–144.

13. Burylov S. V., Raikher Y. L. Macroscopicproperties of ferronematics caused byorientational interactions on the particle surfaces.I. Extended continuum model // Mol. Cryst. Liq.Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107122.

14. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Эффекты маг-нитной сегрегации в слое ферронематического жидкого кристалла при наличии сдвигового течения // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2011. Вып. 1(16). С. 55–63.

15. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov V. S. One-dimensional structures in ferrocholesteric filmwith weak homeotropic anchoring on the layerboundaries // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2001. Vol.367. P. 175–182.

16. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricriticalphenomena at the Freedericksz transition inferronematics // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81.051710 (9 pp.).

17. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фре-дерикса в ферронематиках: трикритическое поведение // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2009. Вып. 1(27). С. 6268.

18. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фре-дерикса первого рода в ферронематиках // Жидкие кристаллы и их практическое исполь-зование. 2010. Вып. 2(32). С. 58–66.

19. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. First orderorientational transitions in ferronematic liquidcrystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540.P. 219–226.

20. Blinov L. M., Chigrinov V. G. Electrooptic Effectsin Liquid Crystal Materials. N.Y.: Springer-Verlag, 1994. 459 p.

21. Ouskova E., Buluy O., Blanc C., Dietsch H.,Mertelj A. Enhanced magneto-optical propertiesof suspensions of spindle type mono-dispersedhematite nano-particles in liquid crystal // Mol.Cryst. Liq. Cryst. 2010. Vol. 525. P. 104–111.

22. Garbovskiy Y. A., Glushchenko A. V. Liquidсrystalline сolloids of nanoparticles: preparation, properties, and applications // Solid State Physics.2010. Vol. 62. P. 1–74.


23. Zakhlevnykh A. N. Threshold magnetic fields andFreedericksz transition in a ferronematic // J.Magn. Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238–244.

24. Derfel G. Shear flow induced cholesteric-nematictransition // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1983. Vol. 92.P. 41–47.

Orientational phenomena in a ferronematicunder rotating magnetic field

A. N. Boychuk, A. N. Zakhlevnykh, D. V. MakarovPerm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

The behavior of the orientational structure of a ferronematic in a uniform rotating magnetic field isconsidered. We calculated the angles of rotation of ferronematic orientation vectors (the director andmagnetization) relative to the magnetic field at various values of material parameters and the rota-tional velocity of the magnetic field. It is shown, that in a rotating magnetic field system of equationsdescribing the dynamics of ferronematic has solutions corresponding to the angular orientation fer-ronematic phase only. The imposing of a rotating field leads to a “smoothing” of the threshold tran-sitions between phases existed in the static case.

Keywords: ferronematic, liquid crystal, rotating magnetic field.

© Полудницин А. Н. , Шарифулин А. Н., 2012

16

В Е С Т Н И К П Е Р М С К О Г О У Н И В Е Р С И Т Е Т А2012 Физика Вып. 1 (19)

УДК 536.25

Лабораторное и теоретическоеисследование бифуркаций квазидвумернойконвекции в наклоняемой кубическойполости

А . Н . Полудницинa , А . Н . Шарифулинb

aПермский государственный национальный исследовательский университет,614990, Пермь, ул. Букирева, 15bПермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Пермь, Комсомольский пр., 29

Приводятся результаты исследования влияния плавного циклического наклона с отклонением до сорока градусов на квазидвумерный режим валиковой стационарной конвекции воздуха в подогреваемой снизу кубической полости. Верхняя и нижняя (более нагретая) грани куба изотермические, а боковые идеально теплопроводны. Ось, вокруг которой осуществляется наклон, проходит через центры противоположных вертикальных граней. Структура и интен-сивность конвекции определяются по показаниям четырех дифференциальных термопар, расположенных в центральном поперечном сечении куба. Их показания использовались и для построения бифуркационных диаграмм в области чисел Релея до восьми надкритичностей. Показано, что плавный циклический наклон от нулевого угла наклона (подогрев снизу) до за-данного отрицательного угла, затем к положительному и обратно до нулевого приводит к гистерезисным переходам между режимами валикового течения. Переход от нормального режима к аномальному с противоположным привычному направлением вращения вала про-исходит плавно при нулевом угле, а между аномальным и нормальным скачкообразно – с гис-терезисом. Обнаружено, что в области гистерезиса бифуркационные диаграммы имеют па-раллельные, практически горизонтальные участки. Теоретическое объяснение этого эффекта проведено с помощью обобщенной модели Лоренца.

Ключевые слова: бифуркация, гистерезис, аномальное течение, конвекция, кубическая полость.

1. Введение

Целью настоящей работы является лаборатор-ное моделирование и исследование аномальной конвекции воздуха в наклоняемой кубической по-лости. Интерес к аномальной конвекции воздуха в кубической полости обусловлен недавно обнару-женным явлением спонтанной генерации крупно-масштабного вертикального вихревого течения при переходе от аномального к нормальному ре-жиму конвекции [1]. Отметим, что в последнее время возрос интерес и к другим аномальным кон-вективным течениям, для которых характерно па-радоксальное, противоположное привычному, на-правление течения воздуха. Аномальным течением является, например, так называемый костер Каина, когда нагретый воздух от расположенного на гори-

зонтальной плоскости локального источника тепла движется не вверх, а стелется по поверхности [2].

Детальное экспериментальное изучение ано-мальной конвекции воздуха в наклоняемой куби-ческой полости позволяет надеяться на прояснение механизма формирования упомянутого парадок-сального течения над костром Каина, который в лабораторных условиях пока не воспроизводился.

Аномальный режим конвекции воздуха в по-догреваемой снизу кубической полости с тепло-проводными границами наблюдался впервые в [3]при малом отклонении от условий подогрева стро-го внизу. Было сделано предположение о метаста-бильности, т.е. ограниченной устойчивости, ано-мального режима конвекции. В [1] показано, что аномальная стационарная конвекция в кубической полости является устойчивой даже при значитель-ных конечных отклонениях от подогрева снизу.

Лабораторное исследование бифуркаций квазидвумерной конвекции… 17

Было обнаружено, что переход от аномального режима к нормальному происходит через рожде-ние крупномасштабного нестационарного конвек-тивного вертикального вихря при превышении уг-лом наклона критического значения ( )cr Ra , зави-

сящего от числа Релея Ra .В настоящей работе исследуется зависимость

от числа Рэлея критического угла наклона ( )cr Ra . Критические углы определяются путем

анализа бифуркационных диаграмм – зависимо-стей показаний термопар от угла наклона полости. Показано, что эти бифуркационные диаграммыимеют гистерезисный характер. Полученные в эксперименте бифуркационные диаграммы срав-ниваются с полученными с помощью маломодовой модели конвекции, так называемой обобщенной модели Лоренца.

2. Методика получения аномального течения

Лабораторная модель имеет форму куба с дли-ной ребра d , заполненного воздухом. Все грани куба изготовлены из меди. Две противоположные грани, соответствующие / 2z d , соединены с теплообменниками и поддерживаются при посто-янных температурах / 2cold roomT T T и

/ 2hot roomT T T , где roomT – комнатная темпера-

тура, а T – перепад температур между теплооб-менниками. Полость может поворачиваться с ма-лой постоянной угловой скоростью вокруг оси ко-ординат y (оси, проходящей через центры проти-

воположных граней). Угол наклона полости оп-ределен так, что 0 соответствует подогреву снизу, а – подогреву сверху. При этих углах наклона в полости осуществляется условие меха-нического равновесия и возможно состояние покоя жидкости. Это состояние при устойчиво при

любых значениях числа Рэлея 3g d T

Ra

, а

при 0 , т.е. при подогреве снизу, механическое равновесие теряет устойчивость при превышении числом Рэлея критического значения

6796cRa [4]. Отметим, что при величине ребра

куба, равной 4.0L см , выбранной для экспе-

римента, это критическое значение достигается для воздуха при комнатной температуре

020roomT C и перепаде температур между тепло-

обменниками 01T C с точностью не менее процента, поэтому в условиях настоящего экспе-римента выполняется эмпирическое соотношение

0,T r C , (1)

где / cr Ra Ra – нормированное число Релея (над-

критичность). Надкритическое движение имеет

форму вала, с осью, параллельной либо оси y , ли-

бо оси x (схематически представлено на рис.1).

Структура температурного поля ( , , , )T x y z t в по-

лости распознавалась путем обработки показаний

четырех термопар: 1x , 2

x , 1y и 2

y . Все термопа-

ры расположены в сечении куба, соответствующем 0z .

z

x

g

O

/2d

y

n

/2d/2d

/2d

/2d

/2d H o t

Cold

Рис. 1. Схематический вид аномального конвективного течения в кубической по-лости. Аномальность течения проявляется в том, что вдоль нагретого и приподнятого дна полости газ движется не вверх, а вниз. Рисунок соответствует 0 и 0

Значения термопар, получаемые в режиме ре-ального времени, связаны с полем температур, со-отношениями

12 2 2 2

22 2 2 2

12 2 2 2

22 2 2 2

( ) ( , ,0, ) ( , ,0, ),

( ) ( , ,0, ) ( , ,0, ),

( ) ( , ,0, ) ( , ,0, ),

( ) ( , ,0, ) ( , ,0, ).

d d d dx

d d d dx

d d d dy

d d d dy

t T t T t

t T t T t

t T t T t

t T t T t

(2)

Для стационарных режимов конвекции при 0 , т.е. при подогреве снизу и небольших зна-

чениях надкритичности 8r , показания парал-лельных термопар совпадали, при этом, если пока-зания первой пары были отличны от нуля, показа-ния второй были равны нулю, т.е. выполнялось одно из следующих соотношений:

1 2

1 2

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) 0x x x

y y

t t t

t t

(3)

или1 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0y y y x xt t t t t .

Это свидетельствует о симметричном валико-вом характере движения газа.

Получение в полости аномального конвектив-ного течения и определение границ его существо-

18 А. Н. Полудницин, А. Н. Шарифулин

вания осуществлялось следующим образом. Задав наклон 0.5 градуса и установив фиксирован-ный перепад температуры на теплообменниках, получили нормальное одноваликовое течение с осью вала по оси y . Затем осуществили медлен-

ный наклон полости как в сторону положительных углов, так и в сторону отрицательных с заданной малой угловой скоростью. При числах Релея ниже критического направление вращения конвективно-го вала совпадает с направлением наклона модели, т.е. вектор угловой скорости частиц воздуха для

0 направлен вдоль положительного направле-ния оси y . Смена направления наклона полости,

т.е. задание 0 , приводит к плавной смене на-правления вращения конвективного вала. Но если увеличить число Релея так, что оно станет больше критического, можно добиться того, что положи-тельная циркуляция воздуха будет существовать и при наклоне камеры, направленном против на-правления вращения вихря. Это состояние будет существовать вплоть до некоторого значения угла наклона полости – критического, при превышении которого происходит поворот конвективного вала

на 0180 . Причем поворот происходит вокруг оси, параллельной оси z , проходящей через центры изотермических граней куба за достаточно корот-кое время – от одной до нескольких секунд – в за-висимости от скорости наклона полости. Посколь-ку поворот конвективного вала осуществляется за короткое время, есть основания полагать, что он осуществляется в режиме твердотельного враще-ния.

3. Анализ конвективных бифуркаций с помощьюмаломодовой модели

Как показывают эксперименты, при умеренных надкритичностях 8r для любого угла наклона выполняются условия (3), поэтому движение вполости можно считать валиковым. Бифуркации валикового течения, пока оно не меняет свою структуру, аналогичны. Хорошо теоретически ис-следованы бифуркации плоского одновихревого конвективного течения в наклоняемых вокруг оси симметрии бесконечных горизонтальных цилинд-рах кругового [5, 6] и квадратного[7–11] сечений. Отметим, что плоское валиковое течение в беско-нечных горизонтальных цилиндрах при подогреве снизу экспериментально не реализуемо ввиду большей опасности ячеистых возмущений вдоль оси цилиндра [12]. Валиковое течение наблюдает-ся в эксперименте в случаях, когда длина полости вдоль вала имеет величину порядка поперечного размера полости или много меньше его. Первый случай реализуется, например, в кубической по-лости[13], а второй – в коротком горизонтальном круговом цилиндре[14]. Изложение этих и некото-

рых других работ можно найти в [13]. В коротких горизонтальных цилиндрах, каковым можно счи-тать и куб, валиковое течение перестает быть пло-ским, но сохраняет его основные черты. Мы бу-дем его называть квазидвумерным, поскольку час-тицы газа (жидкости) движутся в вертикальных плоскостях по близким к круговым, замкнутым траекториям.

В дальнейшем валиковую конвекцию будем рассматривать на примере кубической полости. Экспериментальному и численному исследованию конвекции в кубической полости посвящено боль-шое количество работ. Практически во всех рабо-тах подогрев осуществляется строго снизу, т.е. ко-гда 0 (см., например, [3, 4] и ссылки, приве-денные в этих статьях). Такие условия подогрева, называемые условиями механического равновесия, в приложениях не реализуются. Несмотря на это,такая постановка вопроса меет значительный ака-демический интерес, т.к. в соответствии с теорией бифуркаций стационарных состояний динамиче-ских систем [15–17] структура течения жидкости и ее устойчивость при отклонениях от условий ме-ханического равновесия могут быть близкими к реализующимся в условиях механического равно-весия. Как показывают расчеты [18], имеется большое разнообразие типов неустойчивости приподогреве снизу.

При докритических числах Рэлея, когда при подогреве снизу, т.е. при 0 , в кубической по-

лости реализуется состояние механического рав-новесия, наклон на угол вокруг оси y приводит

к возникновению валикового течения [1, 3, 19].Как уже отмечалось выше, валиковое течение яв-ляется первым надкритическим течением при по-догреве строго снизу. При наклонах куба вокруг оси y от состояния, соответствующего подогреву

снизу ( 0 ), на произвольный малый угол надкритическое течение также остается валико-вым. При этом наклон, в случае соосности с валом уже имеющегося течения, либо усиливает, либо тормозит уже имеющееся надкритическое движе-ние. Эксперименты показали, что в случае, когда ось наклона и ось надкритического течения взаим-но перпендикулярны, даже небольшой наклон приводит к изгибу надкритического вала. Далее будут рассмотрены лишь соосные наклоны, не ме-няющие валиковую структуру течения.

Для качественного анализа бифуркаций ста-ционарного валикового течения, возникающих при плавном изменении наклона полости и числа Рэ-лея, будем использовать вслед за [6] обобщенную модель Лоренца. Параметрами модели являются угол наклона полости , совпадающий с накло-

ном, введенным ранее, и надкритичность

cr Ra Ra . Состояние системы определяется

тремя переменными, , и , являющимися


=

решениями системы трех нелинейных обыкновен-ных дифференциальных уравнений:

(sin cos sin ),

(1 ),

/ 2.

r

(4)

Система (4) предложена без вывода в [6]. Вы-вод модели для случая параллелепипеда с идеаль-ными стенками приведен в [8]. Система (4) описы-вает поведение во времени 2D поля скоростей,представленного амплитудой ( )t безразмерной

функции тока ( , , )x z t , и температурного поля,

представленного двумя переменными ( )t и ( )t ,

характеризующими отклонения безразмерной тем-пературы от своего равновесного (теплопро-водного) распределения:

( , , ) cos cosX Z t t X Z , (5)

( , , )

cos cos sin 2 .

X Z t

t X Z t Z

(6)

Здесь / , /X x d Z z d – безразмерные про-

странственные координаты. Каждая из них меня-

ется в интервале 1 2,1 2 . Компоненты безраз-

мерной скорости xv и zv в данной модели связаны

c функцией тока ( , , )X Z t и ее амплитудой ( )t

соотношениями

sin ,cos

sin cos .

X

Z

v t X ZZ

v t X ZX

(7)

В модели (4) в отличие от [6, 8–10] фиксирова-но значение геометрического параметра 2b , со-ответствующего квадратному сечению полости.

В случае подогрева снизу, т.е. при 0 , мо-дель переходит в классическую модель Лоренца,описывающую ячеистую конвекцию в плоском го-ризонтальном слое с идеальными границами (зада-ча Рэлея).

Уравнения (4) выведены для описания валико-вой конвекции в бесконечном цилиндре квадрат-ного сечения, структура которого не меняется при наклоне полости. Для наклоняемого слоя они не применимы, так как при наклоне слоя, в отличиеот поворота цилиндра вокруг оси, возникает плос-копараллельное течение, т.е. вал с бесконечной шириной. Поэтому в случае наклоняемого плоско-го следует учитывать взаимодействие разномас-штабных течений.

Рассматриваемая модель удобна для интерпре-тации экспериментальных данных по валиковой конвекции в наклоняемой кубической полости.

Действительно, из (6), (2) следует, что когда отклонение температуры от равновесного соответ-ствует (6), выполняется соотношение

( ) 2 ( )x t T t . (8)

Тогда переменная модели (4) с точностью до постоянного коэффициента, совпадает с показани-ем термопар, расположенных параллельно оси x .

Это означает, что, измеряя показания термопар 1x

и 2x и сравнивая с полученными из решения

системы (4), можем судить о применимости по-следней. Стационарные состояния динамической системы (4) определяются двумя управляющими параметрами ( , r ) и одним параметром состоя-

ния.

Рис. 2. Бифуркационная кривая в обобщен-ной модели Лоренца и некоторые пути на плоскости параметров, интересные с точ-ки зрения реализации в эксперименте. См. пояснения в тексте

В качестве параметра состояния можно вы-брать любую переменную – , или . Прове-

дем вначале анализ стационарных состояний и их бифуркаций для случая, когда параметром состоя-ния является амплитуда функции тока . В теории

бифуркаций стационарных состояний динамиче-ских систем[15–17] показано, что в случае, когда управляющих параметров два, бифуркации ста-ционарных состояний определяются особенностью отображения типа сборки Уитни. К бифуркациям стационарных режимов тепловой конвекции в ци-линдрической полости эта теория была применена в [6]. Для применения ее к кубической полости приравняем к нулю производные во времени в сис-теме (4) и получим систему трех нелинейных ал-гебраических уравнений для определения , , :

(sin cos sin ),

(1 ),

/ 2.

r

(9)


–

+

Исключив и , получаем кубическое урав-

нение, определяющее зависимость ( , )Ra :

3 2(1 cos ) 2 sin 0.r r (10)

Рис. 3. Бифуркационные диаграммы ( )r в

обобщенной модели Лоренца, соответст-вующие горизонтальному расположению полости ( 0) и полости наклоненной на

небольшой угол ( 0.2)

Амплитуды и распределения температу-

ры связаны с выражениями

2

2 2

2, .

2 2

(11)

Кубическое уравнение (10) может иметь одинили три действительных корня. Приравняв к нулю дискриминант, получаем условие, когда два из трех корней равны

3 3

2 2

8 cos

3cos ( ) 27

24 cos 8 0.

r

r

r

(12)

Уравнение (12) задает на плоскости параметров ( , )r бифуркационную кривую, представленную

на рис. 2. При плавном изменении параметров за-дачи, угла наклона и числа Рэлея r на плоско-сти параметров вдоль заданной кривой, пересе-кающей бифуркационную кривую, динамическая система (4) может испытывать бифуркацию. Ли-нию на плоскости параметров, задающую закон изменения параметров ( )t и ( )r t , принято назы-

вать путем. Бифуркацию принято изображать с помощью бифуркационной диаграммы –зависимости параметра состояния системы, на-пример, функции тока от параметра, задающего

положение на линии на плоскости параметров. На

рисунке отрезками 1–4 представлены пути, соот-ветствующие принятым в эксперименте способам изменения управляющих параметров. Как правило, в эксперименте поддерживаются постоянными все параметры, кроме одного. В данном эксперименте могли меняться два параметра – перепад темпера-туры T и угол наклона полости . Пути 1 и 2 на плоскости параметров соответствуют плавному изменению r , т.е. перепаду температур T для двух фиксированных значений наклона 0 и

0.2 . Решения уравнения (4) для различных фиксированных и r представлены на рис.3 и рис. 4 соответственно. В соответствии с теорией бифуркаций представленные зависимости называ-ются бифуркационными диаграммами.

Рис. 4. Бифуркационные диаграммы для двух значений числа Рэлея

Бифуркационные диаграммы, соответствующие путям 1 и 2, представлены на рис.3 . В теории теп-ловой конвекции бифуркационные диаграммы, аналогичные представленным на этом рисунке, впервые были получены в [5] без привлечения тео-рии бифуркаций. Бифуркационная диаграмма, со-ответствующая горизонтальному расположению полости, т.е. при 0 , имеет вид “трезубца”, ее в

теории принято называть “вилочной бифуркаци-ей”, или “совершенной бифуркацией”. В экспери-менте и нелинейных численных расчетах ее полу-чение затруднено, так как любое отклонение от го-ризонтальности полости или неоднородности ус-ловий подогрева приводит к ее разрушению. По-этому эту бифуркацию и условия, которые приво-дят к ее возникновению, называют структурно не-устойчивыми. Для рассматриваемой в данной ра-боте задачи о стационарной конвекции воздуха в кубической полости совершенная и несовершенная бифуркации были экспериментально получены в [3].

Бифуркационные диаграммы ( ) , соответст-

вующие путям 3 и 4 , представлены на рис. 4. Обе эти диаграммы структурно устойчивы, т.е. их то-пология не меняется при малых изменениях любо-го параметра задачи. Диаграмма, соответствующая


0.3r , говорит о том, что при плавном изменении

наклона полости при докритическом значении числа Рэлея течение в полости плавно меняет свою интенсивность, принимая положительные значения ( 0 ), когда 0 и отрицательные

при 0 . Таким образом, при изменении пара-

метров задачи вдоль пути 3 бифуркаций не проис-

ходит. При малых зависимость ( , )r можно

получить из (9):

sin .r (13)

Как видно из рис. 4, эта зависимость справед-лива при 0.3r . В случае 2r , соответствую-щему пути 4 на плоскости параметров, плавное изменение приводит тому, что при переходе че-рез значение 0 направление вращения валаостается прежним, лишь плавно уменьшается его интенсивность. Как видно из рис. 2, путь 4 пересе-кает бифуркационную кривую дважды. Первое пересечение не сопровождается бифуркацией, би-фуркации происходят при втором пересечении би-фуркационной кривой, они отмечены стрелками на рис. 4. Видно, что циклическое изменение наклона полости приводит к гистерезисным переходам ме-жду состояниями с противоположными направле-ниями закрутки вала.

Рис. 5. Показания термопар для одного надкри-тического, 0.8r и трех надкритических значе-ний приведенного числа Рэлея r

Функция тока характеризует интенсивность

течения в полости. Ее скачки, представленные на рис. 4, хорошо иллюстрируют смену направления закрутки конвективного вала. В эксперименте функция тока не может быть измерена, а вторая

переменная модели может, так как она связана

с показаниями термопар x в соответствии с (8).

Зависимости ( )x , экспериментально полу-

ченные при циклическом наклоне полости, пред-ставлены на рис. 5. Как видно из рисунка, бифур-

кационные диаграммы ( )x претерпевают би-

фуркации, сходные с представленными на рис. 4

бифуркациями ( , )r в обобщенной модели Ло-

ренца. Область гистерезиса увеличивается с рос-том числа Рэлея. Кроме того, показания термопар в области гистерезиса практически не зависят от угла наклона, т.е. бифуркация происходит неожи-данно, ее нельзя предсказать по поведению x при

изменении .Такое поведение показаний термопар предска-

зывает и обобщенная модель Лоренца. На рис. 6представлены диаграммы ( ) для двух значений

приведенного числа Рэлея. Их можно получить пу-тем пересчета с помощью (11) диаграмм для ,

представленных на рис. 4. Они имеют вид, сход-ный с диаграммами, полученными в эксперименте,т.е. в области гистерезиса надкритическая диа-грамма имеет практически горизонтальные участ-ки.

Рис. 6. Бифуркационные диаграммы ( ) в

обобщенной модели Лоренца


Путем анализа показаний термопар при цикли-ческом наклоне полости получено семейство би-фуркационных диаграмм. Обнаружено, что в ис-следованной области чисел Рэлея в гистерезисной области они практически горизонтальны.

Для объяснения обнаруженного эффекта ис-пользована обобщенная модель Лоренца, которая качественно верно отражает форму эксперимен-тальных бифуркационных диаграмм.


1. Шарифулин А. Н., Полудницин А. Н., Кравчук А. С. Лабораторное моделирование нелокаль-ного возникновения тропического циклона//Журн. эксперим. и теор. физики. 2008. Т. 134,№ 6. C. 1269–1279.

2. Тарунин Е. Л., Шарапова А. М. Устойчивость осесимметричных течений в цилиндрической области // Вестн. Перм. ун-та. 2009. Вып. 3. Сер.: Математика. Механика. Информатика. С.102–108.

3. Зимин В. Д., Кетов А. И. Надкритические кон-вективные движения в кубической полости//Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.1974. № 4. C.110–114.

4. Mizushima J., Matsuda O. Onset of 3D Convec-tion in a Cubic Cavity// J. Phys. Soc. Jpn.1997.Vol. 66, N 8. P. 233–2341.


5. Чернатынский В. И., Шлиомис М. И. Конвек-ция вблизи критических чисел Рэлея при почти вертикальном градиенте температуры// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1973.№1. C. 64–70.

6. Nikitin A. I, Sharifulin A. N. Concerning the bi-furcations of steady-state thermal convection re-gimes in a closed cavity due to the Whitney fold-ing-type singularity//Heat Transfer – Soviet Re-search. 1989. Vol. 21, N. 2. March-April, P.213–221.

7. Mizushima J., Hara Y. Routes to unicellular con-vection in a tilted rectangular cavity//J.Phys.Soc.Jpn. 2000. Vol. 69. N 8, Р. 2371–2374.

8. Сагитов Р. В., Шарифулин А. Н. Устойчивостьстационарной тепловой конвекции в накло-няемой прямоугольной полости в маломодо-вом приближении // Теплофизика и аэромеха-ника. 2008. Т. 15, № 2. С. 247–256.

9. Сагитов Р. В., Шарифулин А. Н. О стационар-ных режимах конвекции в обобщенной модели Лоренца// Вестн. ПГТУ. Сер. Прикладная ма-тематика и механика. 2006. С. 86–90.

10. Сагитов Р. В., Шарифулин А. Н. Аналитиче-ское исследование устойчивости стационар-ных режимов тепловой конвекции в наклоняе-мой замкнутой полости в маломодовом при-ближении// Гидродинамика. Вып.16. Пермь. 2007. С. 259–275.

11. Шарифулин А. Н., Суслов С. А. Конвективные бифуркации несжимаемой жидкости в накло-няемой полости квадратного сечения. Высоко-производительные параллельные вычисления на кластерных системах(НРС-2010)// Матер. XМеждунар.конф.: Пермь, 2010. Т.2. С.315–319.

12. McHugh J. P. The onset of convection in horizon-

tal cilinders// Quarterlу of applied mathematics,

Vol. 58, N 3, Sept. 2000. Р. 425–436.

13. Зимин В. Д., Фрик П. Г. Турбулентная конвек-

ция. М.: Наука, 1988. 173 с.

14. Богатырев Г. П., Гилев В. Г. Надкритические

конвективные движения в коротком горизон-

тальном цилиндре// Изв. АН СССР. Механика

жидкости и газа. 1980. № 4. C.137–142.

15. Golubitsky М., Schaeffer D. A. Theory for imper-

fect bifurcation via singularity theory//Commun.

Pure Appl. Math. 1979. Vol.32. P. 21–98.

16. Арнольд В. И. Особенности бифуркации и ка-

тастрофы// Успехи физ. наук. 1983. T. 141,

Вып. 4. С. 569–590.

17. Thom R. Structural Stability and Morphogenesis.

Benjam. 1972. 256 р.

18. Буссе Ф., Любимов Д. В., Любимова Т. П., Се-

дельников Г. А. Трехмерные режимы конвек-

ции в кубической полости// Изв.РАН. Механи-

ка жидкости и газа. 2008. Вып.1. С.3–11.

19. Тарунин Е. Л., Шарифулин А. Н., Полудницин

А. Н., Сагитов Р. В., Фоминский, Д. А., Шари-

фулин В. А. Экспериментальное исследование

и моделирование бифуркаций конвективных

течений в наклоняемой кубической полости //

Региональный конкурс РФФИ-Урал. Результа-

ты научных исследований, полученные за

2007–2009 гг.: сб. ст. Пермь – Екатеринбург.

2010. Ч. 1. С. 140-144.

Laboratory scale and theoreticalinvestigation of bifurcations of quasi 2Dconvection in the tilted cubic cavity

A. N. Poludnitsin a , A. N. Sharifulin b

aPerm State University, 614990, Perm, Bukireva St., 15bPerm State technical University, 614990, Perm, Komsomolsky pr., 29

We present the results of investigation of the effect of cyclic smooth slope with a deviation of up to fortydegrees in the quasi-stationary regime of roll type convection in a cubic cavity heated from below. The upper andlower (warmer), the cube insulated, and the side is perfect heat conduction. The axis around which, byinclination, passes through the centers of opposite vertical faces. The structure and intensity of convection aredetermined by the testimony of four differential thermo-couples located in the central cross section of acube. Their testimony was also used to construct the bifurcation diagrams for Rayleigh numbers up to eightsupercriticality. It is shown that a smooth circular slope from zero slope (heating from below) to a predeterminednegative angle, and then to positive and back to zero leads to hysteretic transitions between modes of roll typeflow. The transition from normal to abnormal in the opposite direction of the usual rotation of the shaft, issmooth at zero angle, and between abnormal and normal jumps with hysteresis. It was found that in the area ofhysteresis the branches of bifurcation diagrams are almost parallel to the angle axis. The theoretical explanationof this effect is made by means of the generalized Lorentz model.

Keywords: bifurcation, hysteresis, abnormal flow, convection, cubic cavity.

© Кондрашов А. Н., Бабушкин И. А., 2012

23


УДК 532.5.013.4

Влияние наклона и центробежных сил на конвекцию в ячейке Хеле – Шоу

А. Н. Кондрашов, И. А. БабушкинПермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В работе экспериментально исследовано влияние угла наклона и действие центробежных сил на конвективные течения в ячейке Хеле – Шоу при точечном постоянном и пульсационном подогреве снизу. Рассмотрено влияние на конвекцию факторов, связанных с конструкцией экспериментальной установки. Исследовано применение конвективной ячейки в качестведатчика инерционных ускорений.

Ключевые слова: тепловая конвекция, ячейка Хеле–Шоу, теплофизические измерения, центробежные силы, параметрическое воздействие.

1. Введение

В работах [1–3] представлены результаты экс-периментов и проведено теоретическое обоснова-ние идеи создания конвективного датчика на осно-ве ячейки Хеле – Шоу, позволяющего регистриро-вать ограниченные по времени вибрационные сиг-налы и восстанавливать их исходные характери-стики.

В данной работе особое внимание уделялось тестированию прибора на случай возникновения нежелательных режимов конвекции, влияющих на его показания, изучались границы примененияприбора. В ходе исследований были выявлены до-полнительные функциональные возможности, по-зволяющие датчику регистрировать продолжи-тельные по времени монотонные инерционные воздействия. В связи с этим проведены дополни-тельные эксперименты, направленные на поиск новых областей применения датчика. Наиболее подробно рассматривалась возможность использо-вания прибора в качестве угломера, или датчика ускорений, для чего были проведены эксперимен-ты с изменением угла наклона кюветы и с влияни-ем центробежных сил.

2. Описание установки и методика проведения эксперимента

Рабочая полость лабораторной модели (рис. 1)представляет собой прямоугольный параллелепипед высотой h = 32 мм, шириной l = 24 мм, толщиной 2d = 4 мм. Широкие граниполости ограничены массивом из плексигласатолщиной 20 мм, что практически исключает теп-

ловое влияние внешней среды. Узкие грани,закрытые алюминиевым массивом, теплопроводны. В качестве рабочих жидкостейиспользовали гептан и силиконовое масло. Значе-ния теплопроводности используемых в работе ма-териалов: плексиглас – 0.19 Вт/(мК), гептан –0.12 Вт/(мК), силиконовое масло – 0.70 Вт/(мК),

алюминий – 237 Вт/(мК).

Рис.1. Лабораторная модель. Расположе-ния дифференциальных термопар: 1 – ка-нал “нагреватель – холодильник”, 2–4 –“сигнальные” термопары

В работах [1, 2] было показано, что использо-вание гептана в качестве рабочей среды предпоч-тительнее других жидкостей по его физическимхарактеристикам. Однако низкая плотность и вяз-

О влиянии наклона и центробежных сил на конвекцию в ячейке Хеле – Шоу 24

кость гептана не позволяют провести качествен-ную визуализацию возникающих конвективных структур, поэтому для этих целей применялось си-ликоновое масло. Перепад температур в полостисоздается точечным нагревателем и холодильни-ком, представляющим собой параллелепипед со сторонами 15 : 24 : 16 мм {2}. Нагревательный элемент, выполненный в виде резистора с сопро-тивлением 1 кОм, встроен в плиту из плексигласа размерами 100 : 100 : 16 мм. Возникающий пере-пад температур (далее по тексту ∆T) между нагре-вателем и холодильником регистрировался “кон-трольной” термопарой (термопара 1, рис. 1). Для изучения температурного поля использовались го-ризонтальные “сигнальные” термопары (их пока-

зания обозначены как ∆θ), расположенные в цен-тре ячейки (термопара 2 на рис. 1) и вблизи нагре-вателя (термопара 3, рис. 1). Сравнивая время, со-ответствующее достижению теплым всплываю-щим термом спая центральной термопары (термо-пара 4, рис. 1) при наличии вертикального воздей-ствия, со временем всплытия при нормальных ус-ловиях (без ускоренного движения), мы определя-ли величину ускорения, действующего на уста-новку.

Для сбора показаний термопар использовался прибор “Термодат - 49СД1”, специально изготов-ленный для лабораторной модели сейсмологиче-ского датчика [2] на Пермском предприятии “Сис-темы контроля”. Прибор имеет четыре канала для измерения температуры: три – для подключения сигнальных термопар и один для подключения контрольной термопары, измеряющей разность температур между нагревателем и холодильником. Программное обеспечение блока управления регу-лирует работу научной аппаратуры: обеспечивает поддержание разности температур между нагрева-телем и холодильником и пульсационный режимподогрева (благодаря периодической подаче на-пряжения по позиционному закону в виде сту-пеньки), отображает текущие результаты измере-ний в цифровом виде, архивирует в памяти блока управления и сбора данных полученную за время работы информацию, осуществляет ее перезапись на сменный носитель без использования дополни-тельного компьютера. Длительность одного экспе-римента, в зависимости от задачи, варьировалась от 60 до 240 минут. Для оценки аппаратных шумов и смещения сигнала, вызванного неточностью спа-ев горизонтальных термопар в рабочей полости, а также смещением нуля каналов блока управления и сбора данных, были произведены контрольные измерения в статическом режиме при вертикаль-ном расположении кюветы. По термограммам сиг-нальных термопар и контрольной дифференциаль-ной термопары “нагреватель – холодильник” про-изведена оценка времени выхода прибора на ста-ционарный режим. Так, для гептана, при мощно-сти нагревателя 0.14 Вт и разности температур между нагревателем и холодильником 4.1°С, вре-

мя выхода прибора на стационарный режим не превышало 25 минут. А для силиконового масла, в зависимости от условий нагрева, время выхода на режим составляло от 20 минут (при мощности на-грева 0.14 Вт) до 45 минут (с мощностью 2 Вт).Погрешность поддержания температуры нагрева-теля относительно холодильника составляла 0.1°С (2.5% от средней разности температур). Для ви-зуализации возникающих структур в масло добав-лялась алюминиевая пудра, массовая доля которой в растворе не превышала 0.1%. Рабочая полость освещалась рассеянным лазерным лучом, а отра-женный от алюминиевых частиц свет регистриро-вался высокоскоростной видеокамерой. Съемка проводилась с частотой 10 кадров в секунду. Пу-тем наложения фотографий друг на друга получа-ли изображение с треками частиц, что позволилоизучить структуру возникающего течения, а также оценить его интенсивность в различных областях ячейки.

Для изучения влияния центробежных сил использовалась экспериментальная установка, изображенная на рис. 2.

Рис. 2. Схема экспериментальной установки для исследования влияния центробежных сил

На четырех ножках размещалась рама с электрическим двигателем, на оси которого была закреплена штанга длиной 250 см. На расстоянии

r = 50 см от оси вращения на штангеустанавливалась корзина для оборудования. Такаяконструкция позволяла совершать вращательные движения в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω от 0.4 до 2.5 c–1 при изменении напряжения питания двигателя. Разброс угловой скорости относительно среднего значения в экспериментах не превышал 4%. На элемент жидкости в рабочей камере действует постоянная центробежная сила с ускорением rω2, значение ко-торого считается приблизительно одинаковым для

всей полости, так как r >> l. Меняя угловуюскорость, можно плавно регулировать величину инерционного воздействия. В случае строго

25 А. Н. Кондрашов, И. А. Бабушкин

вертикальной ориентации оси вращения в неинерциальной системе отсчета, связанной с кюветой, вектор ускорения результирующей подъемной силы, будучи постоянным по направлению и величине, лежит в плоскости широких граней. Результирующая массовая сила ориентирована к горизонту под некоторым углом, значение которого зависит от угловой скорости вращения. В случае наклона оси вращения относи-тельно вертикали на угол β (рис. 3) вектор ускорения свободного падения g = gγ в общем случае уже не лежит в плоскости (x, y).

Рис. 3. Геометрия задачи и система ко-ординат

В лабораторной системе отсчета, связанной с ячейкой, вектор γ прецессирует вокруг единичного орта ey. Это нарушает двухмерность движения в плоскости широких граней, что должно привести к появлению поперечной компоненты скорости. Однако в опытах угол наклона β был мал, следовательно, малы γx и γz.

Конвективные структуры, возникающие в полости при вращении и наличии угла наклона,

обусловлены изменением отношения горизон-

тальной (ax) и вертикальной (ay) составляющих ускорений, действующих на систему. Поэтому для удобства сравения различных результатов при

описании используется величина относительного ускорения ax/ay, соответствующая тангенсу угла

наклона широких граней кюветы при ее наклоне,или отношение соответствующих составляющих результирующего ускорения при воздействии

центробежных сил (в зависимости от контекста).

3. Результаты эксперимента

3.1. Исследование влияния наклона

Проведены эксперименты по исследованию

влияния наклона кюветы относительно вертикали на конвективную систему в плоскости широких граней. В качестве рабочей жидкости выбрали

силиконовое масло. Для создания угла наклонаиспользовали систему из двух пластин, подвижно

соединенных между собой торцами. К нижней пластине прикреплялась направляющая пластина с отверстиями, равноотстоящими друг от друга с

известным шагом по высоте. Такая конструкция позволяла изменять угол наклона в диапазоне

значений от 0 до π через 0.03 радиан.При строго вертикальном расположении по-

лости в статике возникающее течение характери-

зуется лево-правой симметрией. Появление угла наклона нарушает симметрию, так как теплый

конвективный факел остается параллелен вектору ускорения свободного падения. В системе отсчета,

связанной с ячейкой, он наклоняется в плоскости широких граней в сторону, обратную направлению поворота (рис. 4). На рисунке представлена эво-

люция течения при перепаде температур между нагревателем и холодильником в 70°С.

Рис. 4. Эволюция течения с увеличением угла наклона плоскости широких граней


Эксперименты проводились при различных пе-репадах температур между нагревателем и холо-дильником. На основе термограмм, полученных с помощью термопарных измерений, найдена зави-симость среднего значения разницы температур между спаями сигнальных термопар от тангенса угла наклона кюветы (рис. 5).

0 0.2 0.4 0.6ax/ay

0

4

8

12

16

<>a

b

c

d

Рис. 5. Показания сигнальной термопары в зависимости от тангенса угла наклона

Напомним, что тангенс угла наклона выражен через отношение горизонтальной и вертикальнойсоставляющей ускорения в системе отсчета, свя-занной с ячейкой.

При перепаде температур между нагревателем и холодильником в 100°С полученная зависимость имеет максимум при величине угла – 11°, который смещается в область меньших значений углов при понижении мощности нагревателя. Этот максимумсвязан со сносом растущего вала теплого конвективного факела от нагревателя, в результате чего оба спая дифференциальной термопары оказываются на одном конвективном валу и разница температур между ними уменьшается.Участок возрастания функции, вплоть до 11°,хорошо аппроксимируется полиномом второй степени (рис. 6).

Таким образом, при оценке чувствительности датчика при его работе в качестве угломера можно сделать вывод, что прибор имеет большую чувствительность при большей мощности нагрева. Так, при разнице температур в 100°С, прибор позволяет различить два угла, отличающиеся на 0.44°, а при перепаде 30°С чувствительность прибора – 0.54°.

3.2. Исследование влияния центробежных сил при постоянном подогреве

Экспериментально изучено действие центробежных сил на конвективные течения в

ячейке Хеле – Шоу при точечном постоянном подогреве снизу. В качестве рабочей жидкости ис-пользовался гептан.

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2ax/ay

0

4

8

12

16

<> a

b

c

d

Рис. 6 Фрагмент, выделенный пунктиромна рис. 5

При строго вертикальном расположении полости и отсутствии вращения конвективный факел над нагревателем характеризуется лево-правой симметрией. Приведение системы во вращение нарушает симметрию полей скорости и температуры. За счет действия центробежной силы теплый конвективный факел наклоняется в плоскости широких граней в сторону оси вращения. На рис. 7 представлены эксперимен-тальные термограммы сигнальных термопар при изменении угловой скорости вращения.

Рис. 7. Общий вид термограммы

На рисунке показан отклик двух сигнальных термопар (обозначены 2 и 3) и термопары “нагре-ватель – холодильник” (обозначена 1). Четырем горизонтальным участкам термограммы соответ-ствуют различные значения частот. Как и в случае наклона кюветы, разница температур между спая-

a b c

d

1

2

3

27 А. Н. Кондрашов, И. А. Бабушкин

<ΔΘ>

ми сигнальных термопар с ростом угловой скоро-сти сначала увеличивается (рис. 7, участки a и b), а после достижения определенного значения ω на-чинает уменьшаться (рис. 7, участок c). Таким об-разом, зависимость средней разницы температур между спаями сигнальных термопар от угловой скорости вращения соответствует результатам, по-лученным при наличии угла наклона.

Эксперимент также выявил существование верхнего предела чувствительности прибора к внешнему инерционному ускорению (d). Для геп-тана, в данной геометрии задачи он составил 3 м/c2, что соответствует угловой скорости враще-ния 2.5 с-1. При достижении критического значе-ния частоты течение становится нерегулярным. Кроме того, наличие небольшого наклона плоско-сти вращения к горизонту приводит, как отмеча-лось выше, к прецессии результирующего вектора ускорений в лабораторной системе отсчета, что создает колебания конвективного факела вблизи среднего значения. Поэтому амплитуда сигнала имеет вид периодической функции, период кото-рой совпадает с периодом вращения (рис. 8).

Рис. 8. Фрагмент термограммы

До определенного значения угловой скорости (ω = 0.54 с-1) или соответствующего ей ускорения(0.15 м/c2) амплитуда сигнала возрастает, что со-ответствует росту величины инерционной силы. Дальнейший рост ω приводит к уменьшению ам-плитуды колебаний сигнала, так как с увеличени-ем частоты инерционного воздействия гидродина-мическая система из-за своей инертности не успе-вает отреагировать на внешнее возмущение.

Рис. 9 демонстрирует влияние угловой скорости вращения, выраженной черезотносительное ускорение, на среднюю разницу температур между спаями горизонтальной термопары, расположенной вблизи нагревателя.

Получившаяся зависимость качественно повторяет результаты, полученные при наличииугла наклона кюветы (рис. 6), и также хорошо аппроксимируется полиномом второй степени. Таким образом, по значению сигнала можно судить о внешнем инерционном воздействии.

3.3. Влияние центробежных сил при пульса-ционном нагреве

С целью повышения чувствительности датчика к непродолжительным по времени воздействиям (толчкам, ударам, небольшим смещениям) изуча-лась возможность использования пульсационного режима подогрева.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10ax/ay

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

<>

Рис. 9. Зависимость средней разницы температур между спаями сигнальной термопары от угловой скорости (выраженной в терминах относительного ускорения

Для создания внешнего инерционного воздей-ствия использовали ту же вращательную установ-ку, что и при постоянном нагреве. Рабочей жидко-стью оставался гептан. Выдерживались те же ус-ловия вращения кюветы. Пульсационный подогрев проводили с использованием блока питания и управления “Термодат - 49СД1”, с помощью кото-рого была осуществлена возможность периодиче-ской подачи напряжения по позиционному закону.В ходе эксперимента изучали зависимости ампли-туды сигнала и среднего значения разницы темпе-ратур между спаями горизонтальной термопары, расположенной вблизи нагревателя, от угловой скорости вращения и, как следствие, действияцентробежной силы (рис. 9). Результатам, приве-денным на рисунке, соответствуют значения ниж-ней уставки – 2.6 оС, верхней уставки – 3 оС, вре-мени полупериода 10 с. Опыты выявили сущест-вование максимумов амплитуды сигнала и разни-цы температур, регистрируемой сигнальными тер-мопарами. Наличие точек экстремума объясняется параметрическим воздействием изменяющегося наклона плоскости вращения, что подтверждается и численным экспериментом [4]. При строго вер-тикальном расположении полости и отсутствии вращения конвективный факел над нагревателем


характеризуется лево-правой симметрией. Приве-дение системы во вращение нарушает симметрию полей скорости и температуры. За счет действия центробежной силы теплый конвективный факел наклоняется в плоскости широких граней в сторо-ну оси вращения.

<ΔΘ>

Рис. 9. Зависимость амплитуды сигнала и среднего значения разницы температур между спаями горизонтальной термопа-ры от угловой скорости вращения

Кроме того, небольшой наклон плоскости вра-щения создает колебания конвективного факела вблизи среднего отклонения относительно оси вращения. При достижении определенного значе-ния угловой скорости (ω = 1с-1 на рисунке соответ-ствует значению отношения ускорений ax/ay = 0.05)резко увеличивается средняя амплитуда сигнала и значение среднего перепада температур на сиг-нальных термопарах. Это является следствием “опрокидывания” конвективного факела, связан-ного с параметрическим воздействием небольшого наклона плоскости вращения, так как возникают

колебания вблизи среднего отклонения относи-тельно оси вращения.

4. Выводы

Изучено влияние угла наклона широких граней кюветы относительно вертикали. Рассмотрена возможность применения конструкции в качестве угломера в диапазоне малых углов. Исследовано поведение конвективной системы при постоянном и пульсационном подогреве в поле центробежных сил.

Продемонстрировано соответствие экспериме-нальных данных исследования течения в ячейке Хеле – Шоу при наклоне кюветы с результатами, полученными при её вращении с постоянным на-гревом. В конвективной системе такой конфигура-ции обнаружен параметрический резонанс.

По комплексу характеристик, выявленных в ходе экспериментальных исследований, приборможет быть использован в качестве датчика силь-ных ускорений.


1. Бабушкин И. А. и др. Измерение инерционных микроускорений с помощью конвективных датчиков // Поверхность. 2009. № 2. С. 72–77.

2. Бабушкин И. А. и др. Сейсмоприемник на ос-нове ячейки Хеле–Шоу // Прикладная физика. 2008. № 3. С. 134–140.

3. Бабушкин И. А., Демин В. А., Пепеляев Д В. Принципы регистрации инерционных сигна-лов с помощью конвективных датчиков // Изв. ТПУ. Сер.: Энергетика. 2010. Т. 317. № 4. С. 38–43.

4. Бабушкин И. А., Демин В. А., Кондрашов А. Н.,Пепеляев Д. В. Тепловая конвекция в ячейке Хеле–Шоу при действии центробежных сил // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2012.№1. С. 38–43.

The influence of inclination and centrifugal forceson the convection in the Hele – Shaw cell

A. N. Kondrashov, I. A. BabushkinPerm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm

We experimentally investigated the effect of inclination angle and the action of centrifugal forces onthe convective flow in a Hele-Shaw cell under constant and pulsating point heating from below. Theinfluence of convection on the factors associated with the construction of the experimental modelwas studied. The use of convective cells as a sensor inertial acceleration was investigated.

Keywords: thermal convection, the Hele–Shaw cell, thermal measurements, the centrifugal force,the impact parameter.

© Пшеничников А. Ф., Буркова Е. Н., 2012

29


УДК 537.84

О сегрегации частиц в магнитной жидкости в однородном магнитном и гравитационном полях

А. Ф. Пшеничникова, Е. Н. Бурковаb

a Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Ак. Королева, 1b Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В работе исследована сегрегация частиц в магнитной жидкости, заполняющей длинный ци-линдр квадратного сечения. Причиной сегрегации является магнитофорез частиц, связанный с размагничивающими полями, и седиментация частиц в поле тяжести. В качестве примера приведены картины изолиний концентрационного и размагничивающего полей в квадратной полости при вертикальной ориентации внешнего магнитного поля. Показано, что в случае слабых гравитационных полей ключевую роль в пространственной сегрегации частиц играют магнитодипольные межчастичные взаимодействия. Получены зависимости коэффициента сегрегации частиц от параметра агрегирования. Показано, что наличие агрегатов в системе приводит к многократному усилению сегрегации.

Ключевые слова: магнитная жидкость, магнитофорез, диффузия, агрегаты, равновесное распределение.

1. Введение

Как известно, первоначально однородная магнитная жидкость со временем становится пространственно неоднородной по концентрации магнитной фазы вследствие гравитационной седиментации и магнитофореза частиц (движениячастиц под действием неоднородного магнитного поля). В отсутствии конвективного движения единственным фактором, препятствующим этому расслоению, является градиентная диффузия. Рас-пределение концентрации в полости для произвольного момента времени может быть найдено путем решения краевой задачи,включающей уравнения Максвелла для магнитного поля и динамическое уравнение диффузии с учетом членов, ответственных за магнитофорез и седиментацию частиц [1–3]. В случае разбавленных растворов эффекты, связанные с размагничивающими полями имагнитодипольными межчастичными взаимодействиями в магнитных жидкостях,играют второстепенную роль и ими можно пренебречь. Но в концентрированных системахстерические, магнитодипольные и гидродинамические взаимодействия между коллоидными частицами становятся существенными, поэтому магнитная и диффузионная части задачи должны решаться совместно.

В случае однородной намагниченности

величина размагничивающего поля полностью определяется формой тела и не зависит от его размеров. Если внешнее поле однородно, задача имеет точное аналитическое решение для тела в виде произвольного трехосного эллипсоида и его предельных конфигураций [4]. В этом случае напряженность поля внутри тела связана с напряженностью внешнего поля H0 простымсоотношением H = H0 – M, где const –размагничивающий фактор, зависящий только от отношения осей эллипсоида и их ориентации в магнитном поле. Размагничивающий фактор максимален 1) для плоской пластины, намагниченной в поперечном направлении, и минимален 0) для тела, вытянутого вдоль силовых линий. В приближении однородно намагниченного тела (постоянные магниты, разбавленные магнитные жидкости или сильные магнитные поля) аналитическое решение может быть найдено также для произвольного прямоугольного параллелепипеда и круглого цилиндра конечной длины [5]. В остальных случаях необходимо численное решение задачи сиспользованием приближенных методов.

Ситуация с вычислением намагниченности и напряженности поля внутри магнитной жидкости существенно усложняется, если жидкость неоднородна по концентрации частиц. В этом случае магнитные силовые линии деформируются не только на границе тела, но и внутри объема. Причиной неоднородности является магнитофорез

О сегрегации частиц в магнитной жидкости… 30

– дрейф частиц в неоднородном магнитном поле –или седиментации – дрейф частиц под действием силы тяжести. Если размеры полости с магнитной жидкостью малы по сравнению с высотой барометрического распределения, а внешнее магнитное поле однородно, размагничивающие поля оказываются единственной причинойсегрегации частиц в жидкости. Именно такая ситуация рассматривается в настоящей работе. Ее цель – демонстрация эффектов сегрегации, вызванных размагничивающими полями. Задача рассматривается на примере полости в виде длин-ного цилиндра квадратного сечения, помещенной в однородные внешние магнитное и гравитационное поля. Конвективные течения отсутствуют.

2. Магнитофорез и диффузия частиц вмагнитных жидкостях

Различные варианты уравнения массообмена,отличающиеся полнотой учета межчастичных взаимодействий и анизотропии коэффициентов переноса, предлагались ранее в [1, 6–11]. Нами используется уравнение, полученное в [12] как наиболее полное из известных. Оно описывает изменение объемной доли коллоидных частиц во времени и пространстве. Применительно к рассматриваемой ниже задаче (отсутствие конвективных течений) оно имеет вид

0

2 2

24

*

2 41

(1 )

e e

D KL G

divGt

e

,(1)

2

2

2

2

4 (1 0.04 )( , ) *

3 (1 0.308 )

(1 1.28972 0.72543 )*

(1 0.83333 )

G

. (2)

Здесь K() = b/b0, b и b0 – подвижности частиц в магнитной жидкости и жидкости-носителе соот-ветственно, D0 = b0kT – эйнштейновское значение коэффициента диффузии, 10-7 Гн/м, m2 / 4 d3 k T – параметр магнитодипольных взаимодействий (отношение энергии магнитоди-польных взаимодействий к энергии теплового движения, m, d – магнитный момент и полный диаметр частицы соответственно, G(,) – относи-тельный вклад магнитодипольных взаимодействий в плотность свободной энергии, e – единичный вектор, направленный вдоль ускорения свободного падения, Gγ – обратная высота барометрического распределения. Первое слагаемое в (1) отвечает за магнитофорез, второе – за диффузию, третье – за

стерические взаимодействия и последнее – за эф-фективное притяжение частиц, связанное с магни-тодипольными взаимодействиями. Интенсивность магнитофореза и намагниченность жидкости Mопределяются эффективным магнитным полем He

согласно модифицированной модели [13, 14]:

( ) ( )11

3 48L L

e

M H dM HH H

dH

,

( )LM mnL ,

0( ) , ee e

mHmnL

H kT

HM , (3)

где n = 6 /d3 – числовая плотность частиц. Урав-нения (3) многократно проверялись различными методами. Они хорошо согласуются с эксперимен-тальными данными по начальной восприимчиво-сти магнитных жидкостей и с результатами чис-ленного моделирования в области малых и уме-ренных значений параметра магнитодипольных взаимодействий [15–17]. Коэффициент при в фигурных скобках в правой части (1) можно рас-сматривать как эффективный коэффициент диф-фузии D коллоидных частиц:

2 2

0 4 2

2 4( ) 1

(1 )

GD D K

.(4)

Последнее слагаемое в (4) описывает добавку,связанную с магнитодипольными взаимодейст-виями. Разложение свободной энергии для системы взаимодействующих сферических диполей в ряд по концентрации частиц приведено в [12] c точностью до квадратичных по слагаемых. В этом случае

2

2

0

8 5( ) 1 ..

3 2 25D D K

. (5)

Аппроксимация (2) для свободной энергии обеспечивает хорошее количественное согласие с результатами численного моделирования при < 2. В области >3 количественного сопоставления не проводилось, однако фазовая диаграмма для спинодального распада системы,полученная на основе уравнения (4), выглядит вполне реалистично [12]. Уравнение (1) в целом хорошо описывает результаты численных экспериментов по сегрегации частиц в широкой области безразмерных параметров (2 и <0.4), однако не допускает модификацию, которая позволила бы учесть влияние агрегатов, так как невозможно рассчитать аналитически свободную энергию частично агрегированной системы. По этой причине нами в дальнейшем используется

31 А. Ф. Пшеничников, Е. Н. Буркова

приближенное выражение для коэффициента диффузии, полученное ранее в [18]:

2

0 2

20

24( )

(3 4 )

8 8( ) 1 ...

3 3

D D K

D K

. (6)

Видно, что коэффициенты диффузии (5) и (6) сов-падают в линейном по приближении, а квадра-тичные слагаемые отличаются примерно на 7%. Второй подход менее строг, но позволяет записать систему уравнений, описывающую взаимодейст-вующие потоки индивидуальных частиц и агрега-тов в рамках двухфракционной модели. Он ис-пользовался для анализа пространственного рас-пределения частиц в тонком слое концентриро-ванной магнитной жидкости, помещенном в неод-нородное магнитное поле. Концентрационные профили, полученные в результате расчета, далихорошее согласие с экспериментом [19, 20].

Как видно из (1), (6), процессы магнитофореза и диффузии в концентрированных системах описываются нелинейным динамическим уравнением массообмена, содержащим слагаемое, зависящее от намагниченности и напряженности поля в веществе. Последнее обстоятельство особенно важно. Из-за него размагничивающее поле и неоднородность концентрации частиц в полости оказываются взаимосвязаны и усиливаютдруг друга. Это означает, что магнитная и диффузионная части задачи должны решаться совместно. Главной особенностью этой проблемы является то, что характерное время затухания концентрационных возмущений D L2/2Dминимум на шесть-семь порядков превышает время релаксации магнитного момента B 3V/kT (L – характерный размер полости, D –коэффициент диффузии, – вязкость магнитной жидкости, V – объем коллоидной частицы). По этой причине намагниченность жидкости можно считать термодинамически равновесной с очень хорошей степенью точности, а концентрационное поле считать замороженным на этапе вычисления магнитного поля. В данной работе динамическое уравнение массообмена (1) решалось численно, методом конечных объемов в двумерной постановке.

3. Двухфракционная модель

Рассмотрим в качестве основной двухфракци-онную модель магнитной жидкости, в которой первая фракция представлена одиночными части-цами, а вторая – агрегатами, включающими в себя от нескольких частиц до нескольких десятков час-тиц. Полидисперсностью частиц внутри первой фракции и разбросом агрегатов по размерам пре-

небрегается. Ранее такая модель успешно исполь-зовалась для описания результатов диффузионных опытов с разбавленными растворами [20, 6, 21].Это предположение оправдано тем, что в линей-ном по концентрации частиц приближении при-ращение к эффективной вязкости раствора и отно-сительной подвижности частиц определяется их суммарной объемной долей, независимо от рас-пределения частиц по размерам. Коэффициент диффузии достаточно слабо зависит от размера частиц (обратно пропорционально), поэтому рас-чет по средним размерам частиц удовлетворитель-но согласуется с экспериментальными данными [20]. Менее очевидна возможность применения двухфракционной модели в задачах с магнитофо-резом частиц, так как сила, действующая на кол-лоидную частицу со стороны градиентного маг-нитного поля, пропорциональна ее магнитному моменту m, т.е. кубу диаметра магнитного ядра [4]. Это уже сильная зависимость. Положение спа-сают два обстоятельства. Во-первых, самые круп-ные частицы, вносящие наибольший вклад в на-магниченность жидкости, объединяются в агрега-ты, влияние которых учитывается отдельно. Во-вторых, мелкие частицы вносят малый вклад в на-магниченность системы и их присутствие в жид-кости можно учесть приближенно. Оставшаяся часть частиц имеет относительно узкое распреде-ление частиц по размерам и может быть замененаодной фракцией. Отличие в размерах отдельных частиц и агрегатов уже не может быть проигнори-ровано. Применительно к рассматриваемой здесь задаче это означает, что потоки одиночных частиц и агрегатов должны описываться отдельными уравнениями.

При записи потока индивидуальных частиц бу-дем учитывать относительно малую скорость диффузии агрегатов и их большой (по сравнению с одиночными частицами) размер. В этом случае влияние отдельного агрегата аналогично влиянию неподвижного круглого диска эквивалентного ра-диуса. Поток одиночных частиц описывается уравнением типа (1), но с учетом уменьшения “проницаемости” среды. В отсутствие силы тяже-сти и конвективных течений плотность объемного потока частиц будет равна

1

21 1

1 11 14

1

21

2

( ) 1 *

2 (4 )( ) ( ) 1

(1 )

24

(3 4 )

e e

D K

L

J

, (7)

где φ1, φ2 – объемные доли одиночных и агрегиро-ванных частиц соответственно, – коэффициент упаковки частиц в агрегате. Дополнительный множитель в круглых скобках в правой части (7)описывает уменьшение площади поперечного се-


чения, свободного от агрегатов. Кроме того, при записи последнего слагаемого в (7) принято во внимание, что поток частиц, обусловленный маг-нитодипольными взаимодействиями, пропорцио-нален концентрации индивидуальных частиц и градиенту магнитной восприимчивости, т. е. гра-диенту полной концентрации φφφ. Все ос-тальные слагаемые получаются из (1) заменой объемной доли φ на объемную долю одиночных частиц φ1.

В свою очередь, агрегаты дрейфуют в колло-идном растворе мелких одиночных частиц, кото-рый можно рассматривать как сплошную среду с относительной вязкостью, зависящей от гидроди-намической концентрации одиночных частиц φ1. В качестве формулы для этой вязкости можно взять, например, аппроксимацию Чонга – Христиансена, применимость которой к магнитным жидкостям в широком интервале концентраций магнитной фа-зы продемонстрирована в [22, 23]:

21 1 0 1 1( ) 1 0.75 / ( )m , (8)

где m = 0.605 – коэффициент случайной плотной упаковки для сферических частиц, а η0 – вязкость жидкости-носителя. Для относительной подвиж-ности частиц такой проверенной формулы нет. В дальнейшем, следуя [8], будет использоваться ап-проксимация Рассела, согласно которой относи-тельная подвижность равна

6.5

( ) 1K . (9)

Что касается коэффициента диффузии Эйн-штейна для агрегатов, то в предположении о ква-зисферической форме агрегатов он будет равен

232 1

1

( )

( )

KD D

N

,

где N – среднее число частиц в агрегате. При ма-лых и умеренных значениях параметра магнито-

дипольных взаимодействий ≤ 1 корреляция меж-ду магнитными моментами частиц в агрегате не-существенна, поэтому сила, действующая на агре-гат во внешнем поле, увеличивается в N раз по сравнению с силой, действующей на одиночную частицу. С учетом вышесказанного, плотность по-тока агрегированных частиц можно записать в ви-де

2 32 1

1 0

22 2

2 242

22

2

( / )*

( ) /

2 (4 )( ) ( ) 1

( )*

24

(3 4 )

e e

KD

N

N L

J

.(10)

Динамика магнитофореза в отсутствие конвек-тивного движения жидкости описывается систе-мой из двух уравнений диффузии стандартного типа

( )iidiv

t

J (11)

с очевидным условием непроницаемости границ полости для коллоидных частиц:

1 2 0n n J J . (12)

Система уравнений (7) – (10) с граничными ус-ловиями (12) решалась численно методом конеч-ных объемов.

4. Расчет размагничивающего поля

Размагничивающее поле определяется обычно путем решения сопряженной краевой задачи для некоторой геометрической области, включающей в себя собственно намагниченное тело и окружающее пространство. Если в намагничиваю-щейся среде нет электрических токов, то задача сводится к решению статических уравнений Максвелла и материального уравнения, связываю-щего намагниченность M с напряжен-ностью поля H внутри вещества. На границе тела накладывается условие непрерыв-ности нормальной компоненты магнитной индукции B =0 (H + M) и тангенциальных компонент напряженности. При таком подходе и численном решении задачи возникает серьезная проблема, связанная с дальнодействующим характером магнитных полей, создаваемых магнитной жидкостью. Границы внешней области должны быть достаточно удалены от центра полости, чтобы обеспечить затухание магнитного поля, но достаточно близки, чтобы размер массива переменных оставался в разумных пределах и соответствовал возможностям компьютера. Вынужденный компромисс является источником некоторой трудно оцениваемой систематической погрешности.

Эта погрешность отсутствует при исполь-зовании метода узкой щели, предложенной в [24].В этом методе используется то обстоятельство, что в узкой щели, вырезанной в пробной элементарнойячейке и содержащей точку P(x, z), продольная компонента напряженности совпадает с продоль-ной компонентой напряженности в самом теле и такое же соотношение выполняется для поперечной компоненты индукции. Это обстоятельство является прямым следствием граничных условий для индукции и напряженности магнитного поля. Согласно принципу суперпозиции вклад магнитной жидкости в напряженность H в точке P(x, z)определяется суммированием вкладов H всех элементарных ячеек, содержащих магнитную жидкость, но вклад пробной ячейки, содержащей


точку P(x, z), вычисляется отдельно. Если размер элементарной ячейки достаточно мал и намагниченность внутри нее можно считать однородной, то для вычисления H можно использовать формулы из [5]. В частном случае плоской задачи и прямоугольной формы элементарных ячеек вклад отдельного элемента V = xz в напряженность поля в точке P(x, z)определяется системой уравнений

,2 4

2 4

x zx

xzz

M MH Arc Lg

MMH Arc Lg

,

2 2

2 2

2 2( /2) ( /2)ln

2 2( /2) ( /2)

( / 2) ( / 2)ln

( / 2) ( / 2)

rx x rz z

rx x rz z

rx x rz zLg

rx x rz z

,

/ 2 / 2arctg arctg

/ 2 / 2

/ 2 / 2arctg arctg

/ 2 / 2

rx x rx xArc

rz z rz z

rx x rx x

rz z rz z

, (13)

где rx = x – x0, rz = z – z0 – проекции радиуса-вектора, соединяющего центр элемента V (x0, z0) сточкой P (x, z), на координатные оси. Просумми-ровав вклады H всех внешних (по отношению к точке P) элементарных ячеек, прибавляя к этой сумме вклад пробной ячейки и напряженность внешнего поля, получим выражение для напря-женности поля в магнитной жидкости:

0

,

( , ) ( , )

2 ( , )arctg

x x

x

HxH x z H x z

M x z z

x

(14)

0

2 ( , )( , ) ( , ) arctg .z

z

M x z xH x z H x z Hz z

z

Добавка к внешнему полю в правой части (14)и есть размагничивающее поле, т.е. поле, создаваемое самой магнитной жидкостью. Если намагниченность среды M(x, z) как функция координат известна, то формулы (13), (14)однозначно определяют напряженность магнитного поля как внутри, так и снаружи жидкости. При решении динамического уравнения (1) шаг по времени сопровождался уточнением намагниченности и магнитного поля путем последовательного применения уравнений (3), (13)и (14). Мы использовали двухшаговый итерацион-

ный алгоритм, обеспечивающий лучшую сходи-мость по сравнению с пошаговым алгоритмом.

5. Магнитная жидкость без агрегатов

Для демонстрации важной роли размагничивающих полей в задачах о сегрегации частиц в магнитной жидкости были рассчитанымагнитные и концентрационные поля в длинном цилиндре квадратного сечения в однородном магнитном поле, ориентированном перпендику-лярно оси цилиндра (плоская задача). Для численного решения уравнения магнитодиффузии (1) использовался метод конечных объемов и явная схема с выбором шага по времени, обеспечивающим устойчивость решения. Уравнение магнитодиффузии приведено к безразмерному виду. В качестве единицы длины выбиралась сторона квадрата с, а единицы измерения времени – время затухания концентрационных возмущений в разбавленном растворе = c2/D0. Шаг t по времени изменялся в процессе счета в зависимости от максимального значения эффективного коэффициента диффузии D в полости, который, в свою очередь, зависел от локальной концентрации частиц. В безразмерной форме шаг по времени был равен

1

2 2max

0, 45 1 1t

D x z

.

Границы полости непроницаемы для частиц, поэтому нормальная компонента полного потока частиц на границе равна нулю. Для выполнения этого условия для пограничных и угловых ячеек записывались отдельные уравнения баланса частиц, в которых изначально отсутствовал локальный поток через границы полости. В качестве основных параметров, определяющих интенсивность магнитофореза и структуру концентрационных полей, выступали средняя по объему концентрация , параметр Ланжевена 0, определенный через внешнее поле, и параметр магнитодипольных взаимодействий .

Внешние магнитное и гравитационное полябыли однородны. В качестве начального условия использовалось однородное распределение частиц, соответствующее отсутствию размагничивающих полей. Равновесное неоднородное распределение частиц в полости устанавливалось через некоторое время в диапазоне от 5 до 50 безразмерных единиц в зависимости от значений параметра магнито-дипольных взаимодействий. Систематическую ошибку, связанную с небольшой задержкой установления размагничивающих полей по сравнению с концентрационным полем в динамической задаче, можно считать достаточно малой, поскольку общее число итераций в системе было на два порядка выше, чем число итераций,требуемых для получения приемлемой точности


решения статической задачи. Представленные ниже результаты получены для средней по объему концентрации частиц <> = 0.1 и параметраЛанжевена 0 = 6.

В полости квадратного сечения горизонтальная и вертикальная ориентация магнитного поля ста-новятся равноправными и приводят к идентичным картинам изолиний концентрации. На рис. 1 в ка-честве примера приведены изолинии концентра-ции для вертикально направленного магнитного поля и = 2. Видно, что частицы вытесняются из центральной области

Рис. 1. Изолинии концентрации частиц в полости квадратного сечения при верти-кальной ориентации внешнего поля. = ,

< > = 0.1, 0 = 6, Gγ = 0

Рис. 2. Изолинии размагничивающего поля в квадратной полости при вертикальной ориентации внешнего поля. = 2,< > = 0.1, 0 = 6, Gγ = 0

и концентрируются вблизи вертикальных границ, вдоль которых формируются относительно тон-кие “пограничные” слои с высокой концентраци-ей частиц. Появление таких слоев связано, оче-

видно, с тем, что вблизи вертикальных границ размагничивающие поля минимальны, а напря-женность поля внутри полости максимальна. Структура размагничивающих полей в попереч-ном сечении цилиндра приведена для сравнения на рис. 2. Размагничивающее поле приведено в безразмерном виде – как значение параметра Ланжевена, определенного через модуль напря-женности размагничивающего поля.

Наибольшей величины размагничивающее по-ле достигает вблизи горизонтальных границ, на которых нормальная компонента напряженности испытывает скачок. По этой причине там наблю-дается минимум напряженности поля и минималь-ная концентрация частиц.

Для оценки степени сегрегации частиц (т.е. ме-ры неоднородности системы) нами выбран коэф-фициент сегрегации K – отношение максимально-го перепада концентрации к ее минимальномузначению:

max

min

1K

. (15)

Этот же коэффициент может рассматриваться как индикатор термодинамической неустойчивости системы, или параметр порядка. Система считает-ся неустойчивой, если коэффициент сегрегации изменяется скачком или обнаруживает расходи-мость при непрерывном изменении какого-либо безразмерного параметра, определяющего свойст-ва системы (средней концентрации части, пара-метра Ланжевена, параметра агрегирования илиформ-фактора). Зависимость коэффициента сегре-гации частиц в полости от параметра магнитоди-польных взаимодействий приведена на рис. 3для различных значений внешнего поля. Числен-ные значения K получены экстраполяцией концен-трационных профилей на границы полости, где наблюдаются максимальные градиенты плотности.Видно, что в однородном внешнем поле сегрега-ция частиц полностью обусловлена межчастичны-ми взаимодействиями: в системе невзаимодейст-вующих частиц ( = 0) сегрегации нет. При > 1эффекты сегрегации становятся очень сильными.Благодаря им локальные концентрации частиц мо-гут отличаться друг от друга на сотни процентов.

С ростом напряженности внешнего поля сегре-гация увеличивается и в области ξ0 > 6, > 3 ко-эффициент сегрегации обнаруживает расходи-мость (кривая 1 на рис. 3). Эта расходимость трак-туется нами как признак неустойчивости системы(спинодального распада), приводящей к расслое-нию жидкости на слабо и сильно концентрирован-ные области с резкой границей между ними. При-чиной расслоения являются магнитодипольные межчастичные взаимодействия. Подобного рода расслоение рассматривается обычно как фазовый переход типа “газ – жидкость”. Оно исследовалось ранее во многих работах по магнитным жидкостям


с использованием различных методов [25–30].Критические значения параметра агрегирования *, найденные в этих работах, зависят от метода решения задачи и принятых допущений. Так, для случая нулевого внешнего поля * варьируется от 2.82 до 4.45, а критические значения концентрации – от 0.034 до 0.13.

Рис. 3. Коэффициент сегрегации частиц в зависимости от параметра агрегирова-ния в вертикальном магнитном поле.<φ> = 0.1, Gγ = 0. Кривая 1 соответству-ет ξ0 = 6; 2 – ξ0 = 4

В рамках принятой здесь модели условием фа-зового расслоения (спинодального распада) систе-мы в нулевом поле является обращение в нуль эф-фективного коэффициента диффузии (4). Решение соответствующего уравнения, полученное в [11],показывает, что критической точке соответствуют * = 4.2 и * = 0.034. Включение внешнего поля понижает * до трех. Полученные в настоящей ра-боте результаты вполне согласуются с известными данными с тем только существенным отличием, что благодаря размагничивающим полям рассмат-риваемая здесь система неоднородна по концен-трации уже при < *, а выбранная нами средняя концентрация частиц < > = 0.1 вряд ли совпадает с критическим значением.

В области умеренных значений параметра Ланжевена коэффициент сегрегации изменяется немонотонно с ростом энергии взаимодействий, а при больших параметрах начинает уменьшаться(кривая 2 на рис. 3). Этот результат оказался не-сколько неожиданным, так как > 3 мы ожидалипоявление концентрационных структур, напоми-нающих лабиринтные структуры в ячейке Хеле –Шоу, частично заполненной магнитной жидко-стью [29, 30]. Возможно, что отсутствие таких структур – артефакт, связанный с ограниченнойобластью применения уравнения массообмена (1).В любом случае к результатам, полученным в об-ласти > 3, нужно относиться с некоторой осто-рожностью в силу того, что уравнение массообме-на (1) имеет ограниченную область применения.

Включение сильного гравитационного полясущественно усложняет процесс сегрегации. В

этом случае в зависимости от взаимной ориента-ции двух полей магнитное поле может как усили-вать, так и ослаблять концентрационную неодно-родность. На рис. 4 в качестве примера приведен коэффициент сегрегации для системы в верти-кальном магнитном поле. Видно, что коэффициент сегрегации частиц примерно на порядок выше, нежели на рис. 2. При больших параметрах агре-гирования магнитодипольные взаимодействия многократно усиливают разделение, однако вклю-чение магнитного поля уменьшает его. Причина такого поведения системы в конкуренции между гравитационной седиментацией и размагничи-вающими полями. Оседание частиц в поле тяжести уменьшает толщину “атмосферы” из коллоидных частиц и гравитационную составляющую потен-циальной энергии, но увеличивает размагничи-вающее поле и магнитостатическую энергию сис-темы. Увеличение магнитного поля препятствует оседанию частиц в поле тяжести, что и демонст-рирует рис. 4.

Рис. 4. Коэффициент сегрегации частиц в зависимости от параметра агрегирова-ния в магнитном и гравитационном полях. <φ> = 0.1, G=5. Кривая 1 соответствует ξ0 = 2; 2 – ξ0 = 4

6. Частично агрегированная жидкость

Приведенные выше результаты описывают перераспределение магнитной жидкости, которая состоит из одиночных частиц. В том случае, когда в магнитной жидкости дрейфуют не только одиночные частицы, но и агрегаты, состоящие из большого числа N частиц, для описания концен-трационных полей можно воспользоваться двухфракционной моделью и системой уравнений (7), (10), (13). В этом случае потоки частиц, связанные с магнитофорезом и седиментацией в поле тяжести, увеличиваются в N раз каждый, но их отношение остается неизменным.

Численное решение уравнений (7) и (10)проводилось методом конечных объемов, с явной схемой и постоянным шагом по времени. Средняяпо объему концентрация оставалась неизменной в процессе счета < φ > = 0.1. Объемная доля агрегированных частиц принималась равной


< φ2 > = 0.03, а среднее число частиц в агрегате N = 50. Агрегаты полагались рыхлыми(коэффициент упаковки частиц в агрегате = 0.3),а магнитное поле умеренным (0 = 1). Влияние гравитационного поля не учитывалось (G = 0).

Рис. 5. Коэффициент сегрегации частиц в зависимости от параметра агрегирова-ния в вертикальном магнитном поле ξ0 = 1, <φ> = 0.1

Результаты расчета в виде зависимости коэф-фициента разделения от параметра агрегирования приведены на рис. 5. Как и следовало ожидать, наличие агрегатов в системе даже при малых значениях параметра агрегирования и в отсутствиегравитационного поля приводит к многократному усилению сегрегации. Как видно из сравнения рис. 3 и рис. 5, при коэффициент сегрега-ции увеличивается примерно в шесть раз – с 0.5 до трех единиц.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-96038) в рамках программы ОЭММПУ РАН (проект 12-Т-1-1008).


1. Blums E. Ya., Mayorov M. M., Cebers A. O. Mag-netic fluids / Walter de Gruyter. Berlin, 1997.

2. Bashtovoi V. G., Polevikov V. K., Suprun A. E. etal. Influence of Brownian diffusion on static ofmagnetic fluid // Magnetohydrodynamics. 2007.Vol. 43, N 1. P. 17 – 25.

3. Bashtovoi V. G., Polevikov V. K., Suprun A. E. etal. The effect of magnetophoresis and Browiandiffusion on the levitation of bodies in a magneticfluid // Magnetohydrodynamics. 2008. Vol. 44,N 2. P. 121 – 126.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

5. Пшеничников А. Ф. Магнитное поле в окрест-ности уединенного магнита // Магнитная гид-родинамика. 1993. № 1. С. 37 – 40.

6. Ivanov A. S., Pshenichnikov A. F. Magnetophore-sis and diffusion of colloidal particles in a thinlayer of magnetic fluids // J. Magn. Magn. Mater.2010. Vol. 322. P. 2575 – 2580.

7. Буевич Ю. А., Зубарев А. Ю., Иванов А. О. Бро-уновская диффузия в концентрированных фер-роколлоидах // Магнитная гидродинамика.1989. № 2. С. 39 – 43.

8. Иванов А. О. Фазовое расслоение магнитной жидкости: дис… докт. физ.-мат. наук. Екате-ринбург, 1998. 295 с.

9. Morozov K. I. The translational and rotational dif-fusion of colloidal ferroparticles // J. Magn.Magn. Mater. 1993. Vol. 122. P. 98 – 101.

10. Morozov K. I. Gradient diffusion in concentratedferrofluid under the influence of a magnetic field// Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53, N 3. P. 3841 –3846.

11. Pshenichnikov A. F., Elfimova E. A. Influence ofinterparticle interactions on diffusion processes inmagnetic fluids // Physics Procedia. 2010. Vol. 9.P. 101 – 104.

12. Pshenichnikov A. F., Elfimova E. A., Ivanov A. O.Magnetophoresis, sedimentation and diffusion ofparticles in concentrate magnetic fluids // J.Chem. Phys. 2011. Vol. 134. P. 184508.

13. Ivanov A. O., Kuznetsova O. B. Magnetic proper-ties of dense ferrofluids: An influence of interpar-ticle correlations // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64.041405 (7 pp).

14. Ivanov A. O. et al. Magnetic properties ofpolydisperse ferrofluids: A critical comparison be-tween experiment, theory, and computer simula-tion // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75. 061405.

15. Pshenichnikov A. F., Lebedev A. V. Low-temperature susceptibility of concentrated mag-netic fluids // J. Chem. Phys. 2004. Vol. 121, N11. P. 5455 – 5467.

16. Пшеничников А. Ф., Лебедев А. В. Магнитнаявосприимчивость концентрированных ферро-коллоидов // Коллоидный журнал. 2005. Т. 67, №2. С. 218 – 230.

17. Ivanov A. O. et al. Magnetic measurements as akey for the particle size distribution in ferrofluids:experiment, theory, and computer simulations //Magnetohydrodynamics. 2007. Vol. 43, N 4. P.393 – 399.

18. Пшеничников А. Ф. О влиянии межчастичныхвзаимодействий на диффузионные процессы в магнитных жидкостях // Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем: сб. науч. тр. / Ставр. ун-т. Став-рополь, 2009. С. 143 – 149.

19. Пшеничников А. Ф., Иванов А. С. Магнитофо-рез частиц и агрегатов в концентрированной магнитной жидкости // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2011. Вып. 3 (18). С. 34 – 40.

20. Ivanov A. S., Pshenichnikov A. F. Dynamics ofmagnetophoresis in dilute magnetic fluids // Mag-netohydrodynamics. 2010. Vol. 46. P. 125 – 136.

21. Buzmakov V. M., Pshenichnikov A. F. Magneto-phoresis and diffusion of colloidal particls in athin layer of microaggregates in magnetite col-


loids // J. Colloid Interface Sci. 1996. Vol. 182. P.63 – 70.

22. Пшеничников А. Ф., Гилев В. Г. Реология и на-магниченность концентрированных магнети-товых коллоидов // Коллоид. журн. 1997. Т. 59, № 3. С. 382 – 389.

23. Лебедев А. В. Вязкость концентрированныхколлоидных растворов магнетита // Коллоид.журн. 2009. Т. 71, № 1. С. 78 – 83.

24. Pshenichnikov A. F. Computation of demagnetiz-ing fields and particle distribution in magneticfluid with inhomogeneous density // Journal ofMagnetism and Magnetic Materials. 2012. Vol.324. P. 1342 – 1347.

25. Tsebers A. O. Thermodynamic stability of magne-tofluids // Magnetohydrodynamics. 1982. Vol. 18,N 2. P. 137 – 142.

26. Морозов К. И. Термодинамика магнитных жидкостей // Изв. АН СССР, сер. физическая,1987. Т. 51, № 6. С. 1073 – 1080.

27. Пшеничников А. Ф., Шурубор И. Ю. Расслое-ние магнитных жидкостей: условия образова-ния и магнитные свойства капельных агрега-тов // Изв. АН СССР, сер. физическая, 1987. Т. 51, № 6. С. 1081 – 1087.

28. Bacri J. C. et al. Phase-diagram of an ionic mag-netic colloid – experimental stady of the effect ofionic strength // J. Colloid Interface Sci. 1989.Vol. 132, N 1. P. 45 – 53.

29. Buyevich Yu. A., Ivanov A. O. Equilibrium prop-erties of ferrocolloids // Physica A. 1992. Vol.190, N 3 – 4. P. 276 – 294.

30. Tsebers A. O., Maiorov M. M. Magnetostatic in-stabilities in plane layers of magnetizable liquids// Magnetohydrodynamics. 1980. Vol. 16, N 1. P.21 – 27.

On the segregation of particles in a magnetic fluid inuniform magnetic and gravitational fields

A. F. Pshenichnikovа, E. N. Burkovab

a Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Korolyov St. 1, 614013, Permb Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

We studied the segregation of particles in a magnetic fluid that fills in a long a cylinder of squarecross section. The reason for segregation is magnetophoresis particles associated with the demagnet-izing fields, and sedimentation of particles in a gravitational field. For example, we have presented apicture of isolines of the concentration and the demagnetizing field in a square cavity with verticalorientation of the external magnetic field. It is shown that in the case of weak gravitational fields, akey role in the spatial segregation of the particles are magnetic dipole interparticle interactions. Thedependences of the coefficient of segregation of particles on the parameter of aggregation. It isshown that the presence of aggregates in the system leads to a multiple increase segregation.

Keywords: magnetic fluid, magnetophoresis, diffusion, aggregates, equilibrium distribution.

© Захлевных А. Н., Макаров Д. В., 2012

38


УДК 532.783; 539.22

Ориентационные явления в ферронематиках в электрическом и магнитном полях

А. Н. Захлевных, Д. В. МакаровПермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В рамках континуальной теории изучен электрический переход Фредерикса в ферронемати-ческом жидком кристалле, помещенном в однородное магнитное поле. Обнаружено трикри-тическое поведение этого перехода и показана возможность управления характером перехода с помощью внешнего магнитного поля. Получено аналитическое выражение для трикритиче-ского сегрегационного параметра. Установлено немонотонное поведение критического элек-трического поля перехода Фредерикса в зависимости от внешнего магнитного поля.

Ключевые слова: ферронематик, жидкий кристалл, переход Фредерикса, фазовые переходы, трикрити-ческое поведение.

1. Введение

Как известно, жидкие ферромагнетики в при-роде не встречаются, поскольку их температура плавления выше так называемой температуры Кю-ри, при которой разрушается дальний порядок в ориентации магнитных моментов атомов и проис-ходит фазовый переход в парамагнитное состоя-ние. По этой причине жидкие ферромагнетики мо-гут быть только искусственно приготовленными средами. Первыми были синтезированы так назы-ваемые магнитные жидкости [1], которые пред-ставляют собой коллоидные суспензии магнитных частиц в изотропной жидкости. Эти суспензии, од-нако, после выключения внешнего магнитного по-ля не сохраняют остаточной намагниченности. По своей сути магнитные жидкости являются пара-магнетиками, которые из-за высокой магнитной восприимчивости часто называют “суперпарамаг-нетиками”.

Можно тем не менее синтезировать суспензию, обладающую в отсутствие поля ферромагнитными свойствами, если в качестве матрицы использовать анизотропную жидкость. Примером подобного ма-териала является ферронематик (ФН) [2–3] – низ-коконцентрированная суспензия магнитных частиц в нематическом жидком кристалле (НЖК). Для то-го чтобы создать некомпенсированный ферроне-матик, обладающий спонтанной намагниченно-стью, нужно добавить анизометричные магнитные частицы в жидкий кристалл, нагретый выше точки просветления, и охладить его в жидкокристалличе-

ское состояние во внешнем магнитном поле. В ре-зультате ФН будет обладать намагниченностью даже в отсутствие магнитного поля. Благодаря жидкокристаллической матрице ФН обладает хо-рошей текучестью и анизотропией физических свойств, а внедренные в НЖК-матрицу феррочас-тицы обусловливают сильный магнитный отклик суспензии [4–5].

Помимо текучести и высокой чувствительности к внешнему полю, ферронематикам присуще такое явление, как перераспределение магнитной приме-си в однородном магнитном поле [3]. Поскольку магнитные частицы не закреплены в ЖК-матрице, они имеют возможность пространственного пере-мещения, мигрируя в те области, где минимальна сумма их магнитной и ориентационной энергий в жидкокристаллической матрице. Явление накапли-вания магнитных частиц в “выгодных” частях об-разца в однородном магнитном поле получило на-звание эффекта сегрегации. Этот эффект приводит к трикритическому поведению магнитного перехо-да феррохолестерик – ферронематик [6] и магнит-ного перехода Фредерикса в ферронематиках [7–10].

Благодаря сцеплению магнитных частиц с жид-ким кристаллом существуют два механизма влия-ния магнитного поля на ориентационную структу-ру суспензии [11]: магнитный квадрупольный (воздействие на жидкокристаллическую матрицу) и магнитный дипольный (воздействие на магнит-ные частицы). Конкуренция между ними приводит к возвратным ориентационным переходам в фер-рохолестериках [12–13]. Наличие электрического

Ориентационные явления в ферронематиках в электрическом и магнитном полях 39

поля, способного напрямую влиять только на ЖК-матрицу, дает еще один механизм влияния – квад-рупольный электрический. Конкуренция междутремя этими механизмами приводит к возвратным ориентационным переходам и в ферронематиках [14]. Изменить ориентационную структуру по-следних можно, используя вязкие анизотропные свойства нематической матрицы, т.е. подвергнув ферронематики течению. Как показано в работах [15–21], наличие течения с постоянным градиен-том скорости сдвигает или размывает индуциро-ванные магнитным полем переходы между ориен-тационными фазами ферронематика. В последнее время активно исследуются оптические свойства [22–26] и ориентационные переходы в ФН при различных условиях сцепления с ограничивающи-ми поверхностями [27]. Подробный обзор, посвя-щенный истории исследования жидкокристалличе-ских коллоидов, их классификации, способам приготовления, а также многочисленным прило-жениям, можно найти в работе [28].

В настоящей работе анализируется влияние се-грегационных эффектов и внешнего магнитного поля на электрический переход Фредерикса в ФН.

2. Уравнения равновесия

Рассмотрим слой ферронематического жидкого кристалла толщиной L , заключенный между дву-мя параллельными пластинами (см. рис.1). Введем прямоугольную систему координат, ось x напра-вим вдоль пластин, ось z – перпендикулярно пла-стинам; начало координат выберем в середине слоя. Приложим ортогонально слою ФН однород-ные электрическое (0, 0, ) EE и магнитное

(0, 0, )H H поля.

Пренебрегая деталями структуры на молеку-лярном масштабе, для описания деформаций ФНбудем использовать континуальную теорию, в ко-торой направление преимущественной ориентации молекул ЖК характеризуется единичным вектором

n , называемым директором, а ориентация магнит-ных частиц – единичным вектором m вдоль на-магниченности суспензии. Ориентацию директора n на поверхности слоя будем считать планарной

(ось легкого ориентирования 0n направлена вдоль

оси x ), а сцепление директора на границах слоя –жестким, т.е. заданная ориентация директора на границе не меняется под действием внешних сило-вых полей. Для определения термодинамически устойчивых конфигураций директора ФН необхо-димо найти минимум полной свободной энергии

dVFVF , которая является функционалом от-

носительно директора )(rn , намагниченности

)(rm и концентрации магнитных частиц ( )f r .

При наличии электрического и магнитного полей с учетом мягкого поверхностного сцепления маг-нитных частиц с ЖК-матрицей объемная плот-ность свободной энергии ферронематика VF при-

нимает вид [1, 29]

1 2 3 4 5 6VF F F F F F F , (1)

2 2 21 1 2 3

1(div ) ( rot ) ( rot )

2F K K K n n n n n ,

22 0

1( )

2aF n H , 3 0 sF M f m H ,

ffv

TkF B ln4 , 2

5 ( )w

F fd

n m ,

26 0

1( )

2aF n E .

Здесь 1K , 2K , 3K – модули ориентационной упру-

гости нематика (константы Франка), a – анизо-

тропия диамагнитной восприимчивости ЖК, 0 –

магнитная проницаемость вакуума, sM – намаг-

ниченность насыщения материала магнитных час-тиц, 0 – диэлектрическая проницаемость вакуу-

ма, a – анизотропия диэлектрической

проницаемости ЖК, ( )f r – локальная объемная

доля магнитных частиц в суспензии, n – директор ЖК, m – единичный вектор намагниченности сус-

пензии, v – объем феррочастицы, d – диаметр

феррочастицы, Bk – постоянная Больцмана, T –

температура, w – поверхностная плотность энер-гии сцепления НЖК с поверхностью магнитных частиц. Будем полагать 0w , так что в отсутствие

внешних полей минимуму энергии 5F отвечает

взаимная ортогональная ориентация директора и намагниченности ( )n m , которую будем назы-

вать гомеотропным сцеплением. Анизотропии диамагнитной восприимчивости a и диэлектри-

ческой проницаемости a НЖК-матрицы будем

считать положительными. В этом случае директор,

Рис. 1. Ориентация слоя ферронематика в электрическом E и магнитном H полях

А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров40

как и намагниченность, стремится ориентировать-ся вдоль электрического и магнитного полей, чему противодействует гомеотропное сцепление между n и m .

Слагаемое 1F представляет собой объемную

плотность энергии ориентационно-упругих дефор-маций поля директора (потенциал Озеена–Франка), 2F – объемная плотность энергии взаи-

модействия магнитного поля с нематической мат-рицей (квадрупольный механизм влияния магнит-ного поля на ФН), 3F – объемная плотность

энергии взаимодействия магнитного поля с маг-нитными моментами феррочастиц (дипольный ме-ханизм влияния магнитного поля на ФН), 4F –

вклад энтропии смешения идеального раствора магнитных частиц в объемную плотность свобод-ной энергии, 5F – объемная плотность энергии

поверхностного взаимодействия магнитных частиц с директором, 6F – объемная плотность энергии

взаимодействия электрического поля с нематиком. Магнитными диполь-дипольными взаимодейст-виями будем пренебрегать вследствие малой объ-емной доли феррочастиц ( 1f ) в суспензии.

Директор n и единичный вектор намагничен-ности m будем искать в виде (рис. 1)

cos ( ), 0, sin ( )z z n ,

sin ( ), 0, cos ( )z z m . (2)

В качестве единицы длины выберем толщину слоя L и введем безразмерную координату

/z z L . В дальнейшем для упрощения записи мы

опускаем знак тильда над безразмерными пере-менными в уравнениях. Определим безразмерные величины:

0

1

aH LK

H , 0

1

aUK

U , 3

1

Kk

K ,

2

1

wf L

K d , 0

1s

a

b M f LK

,

2

1

Bk T f L

K v . (3)

Здесь /f Nv V – средняя объемная доля магнит-

ных частиц в ФН; при однородном распределении

магнитных частиц по слою ( )f z f . Параметр H

является безразмерной напряженностью магнитно-го поля, где в качестве единицы измерения выбра-

на величина 11 0/( )q aL K H . Она определена

из условия, что при qH H энергия упругих де-

формаций 1F и диамагнитный вклад 2F в свобод-

ную энергию ФН (1) оказываются одного порядка. При qH H ориентационные искажения возни-

кают благодаря диамагнитной анизотропии ЖК-матрицы (квадрупольный механизм воздействия

магнитного поля на ФН). Аналогичное сопостав-ление упругого 1F и дипольного 3F вкладов дает

другую характерную величину напряженности по-

ля 21 0/( )d sK M f LH . В этом случае при

dH H ориентационные искажения вызваны вли-

янием магнитного поля на частицы (дипольный механизм). Параметр /q db H H представляет со-

бой отношение этих полей и потому характеризует режимы воздействия магнитного поля на ФН [30].При 1b ( )d qH H искажение ориентацион-

ной структуры ФН осуществляется дипольным ме-ханизмом, а при 1b ( )q dH H – квадруполь-

ным механизмом. Смена режима воздействия от дипольного к квадрупольному (и наоборот) проис-ходит в полях, для которых вклады 2F и 3F в сво-

бодную энергию становятся одного порядка, т.е.

при 0 /s aM f H H .

Мы также определили безразмерное напряже-ние U между пластинами, ограничивающими слой ФН. В качестве единицы измерения напряжения

выбрана величина 1 0/( )q aK U , которая зада-

ет характерное напряжение перехода Фредерикса в чистом нематике. Она определяется из сопостав-ления энергии упругих деформаций 1F и диэлек-

трического вклада 6F в свободную энергию ФН

(1).Так называемый сегрегационный параметр [30]

2( / )L представляет собой квадрат отноше-

ния двух характерных длин: толщины слоя L и се-

грегационной длины 1/ 21( / )BvK k T f , характе-

ризующей масштаб области концентрационного расслоения ФН. При 1 распределение маг-

нитных частиц по слою ФН близко к однородному, поскольку характерный размер области, где имеет место концентрационное перераспределение, ста-новится малым по сравнению с толщиной слоя. В случае 1 неоднородность распределения маг-

нитных частиц в слое становится существенной.Кроме того, введены безразмерная энергия

сцепления магнитных частиц с НЖК-матрицей и отношение модулей ориентационной упругости k .

Как уже отмечалось, ФН обладает двумя меха-низмами отклика на приложенное магнитное поле. Первый из них ( 3F ) линеен по полю и определяет

ориентационный отклик ФН в достаточно слабых магнитных полях. Этот вклад описывает влияние внешнего магнитного поля непосредственно на магнитные моменты феррочастиц и ввиду связи

5F – опосредованно на нематическую матрицу.

Второй механизм, квадратичный по полю, описы-вается слагаемым 2F и отвечает воздействию поля


на диамагнитную ЖК-матрицу, а через нее соглас-но 5F – на магнитные моменты феррочастиц. В

некоторых случаях необходимо разделить влияние на магнитные частицы и матрицу. Для этого ФН можно, наряду с магнитным полем, поместить в электрическое поле, воздействие которого на ЖК-матрицу описывается вкладом 6F .

Ориентационная часть свободной энергии слоя

ФН dVFVF , определяемая соотношением (1),

в безразмерном виде )/(~

1SKFLF может быть

записана следующим образом:

22222/1

2/1

sin)(2

1)(

2

1~UH

dz

dKF

dzgggbHg )(sinlncos 2 , (4)

где S – площадь пластин, ограничивающих слой ФН, и введены обозначения

( ) ( ) /g z f z f , (5)2 2( ) cos sink K . (6)

Здесь ( )g z – приведенная объемная доля магнит-

ных частиц в ФН. Минимизация свободной энер-гии (4) по )(z , )(z и ( )g z с учетом жесткого

планарного сцепления директора с границами слоя

0)21()21( (7)

и при условии постоянства числа частиц в суспен-зии

f dV Nv (8)

дает следующую систему интегральных уравнений[14]:

0

1/ 2

0

1( , ) ,

2d

R (9)

sin sin 2( ) 0,bH (10)

0

1/ 2

0

1( , )

2g d

R , (11)

где 2 2

2 2 2 20 0

cos sin

( )(cos cos ) 2 ( )

k

H U g g

R , (12)

)(sincosexp 2

bHQg . (13)

Здесь введены обозначения 0 0 0( , )g g для

функции распределения магнитных частиц в сере-дине слоя, 0 (0) и 0 (0) для углов ориен-

тации директора и намагниченности в серединеслоя. В уравнениях (9) и (11) выбран знак плюс, т.е. записано решение для верхней половины слоя

0z , отвечающее положительным (вращение против часовой стрелки) значениям угла ориента-ции директора. Константа нормировки Q функции

распределения (13) находится из уравнения (8), ко-торое теперь имеет вид (11).

Таким образом, система уравнений (9) – (11)определяет функции распределения магнитных ча-стиц 0g и углов ориентации директора 0 и на-

магниченности 0 в середине слоя ФН от напря-

женности внешнего магнитного поля H ,напряжения U , энергии сцепления , константы анизотропии упругости k , параметра b и различ-ных значений сегрегационного параметра .

Заметим, что так называемое уравнение связи (10) определяет взаимную ориентацию директора и намагниченности [29], а выражение (13) описы-вает эффект сегрегации [3], заключающийся в рос-те концентрации магнитных частиц в тех местах образца, где минимальна сумма их магнитной энергии в поле H и ориентационной энергии в ЖК-матрице. При эффектами магнитной

сегрегации можно пренебречь. В этом случае, как видно из уравнений (12) и (13), нормировочный интеграл 1Q , а объемная доля магнитных час-

тиц ( ) 1g z , т.е. ( )f z f .

Полагая [28] 62.1 10a , 12

1 6.4 10K H,

113 1.0 10K H, 298T K, 72.0 10f ,

55 10sM 1А м , 6 410 10w 1H м ,

87.5 10d м, 228.8 10v 3м и считая тол-щину слоя 250L мкм, находим 1k ,

210 1 , 10b и 2~ 10 . Как видно из этих

оценок, малость свидетельствует о важности

учета сегрегационных эффектов в рассматривае-мой задаче.

3. Переходы Фредерикса второго рода

Система уравнений равновесия (9) – (11) до-пускает однородное решение ( ) ( ) 0z z , от-

вечающее планарной текстуре слоя ФН с ортого-нальной взаимной ориентацией директора и намагниченности ( || )n m H . Это решение, одна-

ко, становится неустойчивым и сменяется неодно-родным решением при cH H , где cH – поле

Фредерикса. Критическая напряженность магнит-ного поля cH , выше которой появляется неодно-

родная ориентация поля директора и намагничен-ности, найдена в работе [14]:

2 2 2 2 (2 )c c cH U bH bH . (14)

Это выражение определяет порог переходов Фре-дерикса в ФН при совместном действии электри-ческого E и магнитного H полей. В отсутствие


магнитного поля ( 0)H пороговое значение на-

пряжения cU в ФН совпадает с критическим на-

пряжением перехода Фредерикса LCcU в чис-

том нематике [2], а в отсутствие электрического поля ( 0)U совпадает с выражением, получен-

ным в работе [7]. В ФН без магнитной примеси

( 0f ) уравнение (14) дает LCcH (чистый не-

матик).На рис. 2 изображена диаграмма ориентацион-

ных переходов Фредерикса второго рода в ФН, по-строенная по формуле (14). Показанная на ней кривая определяет границу перехода Фредерикса в ФН при совместном действии электрического и магнитного полей. Область под кривой отвечает невозмущенному состоянию ФН, т.е. однородной планарной текстуре ФН с ортогональной взаимной ориентацией директора и намагниченности ( )n m , а область над кривой соответствует воз-

мущенному, т.е. неоднородному, состоянию.

Характерной особенностью представленной нарис. 2 фазовой диаграммы является наличие воз-вратных фазовых переходов в ФН, обусловленныхконкуренцией между квадрупольными электриче-

ским 20[~ ( ) ]a n E и магнитным

20[~ ( ) ]a n H механизмами влияния на НЖК-

матрицу и дипольным 0[~ ]sM f m H влиянием

магнитного поля на магнитные моменты ферро-частиц. При заданных значениях энергии сцепле-ния и параметра b существует диапазон значе-ний напряженности электрического поля , для

которого по мере роста H осуществляется после-

довательность переходов из неоднородного со-стояния ФН (обусловленного электрическим пере-

ходом Фредерикса при напряжении LCcU U ) в

однородное состояние, а затем снова в неоднород-ное.

Ширина области возвратных переходов най-

дена аналитически в работе [14], где показано, что диапазон значений напряженности электрического поля, допускающий возвратную однородную фазу ФН, расширяется с ростом энергии сцепления и

параметра b и не зависит от степени сегрегации,

характеризуемой параметром .

4. Разложение Ландау свободной энергии ФН

Рассмотрим переходы Фредерикса между од-нородными и неоднородными состояниями ФН,вызванные электрическим полем при наличии маг-нитного. Из выражения (14) и рис. 2 следует, что напряжение cU перехода Фредерикса в ФН явля-

ется однозначной функцией H :

2 2c EU bHs H , 2 (2 )Es bH , (15)

поэтому возвратные ориентационные переходы уже не могут быть вызваны изменением электри-ческого поля. Кроме того, магнитное поле H не должно превосходить критического поля cH маг-

нитного перехода Фредерикса в ФН при 0U [7],в противном случае переход Фредерикса в ФН не удастся индуцировать электрическим полем (см. рис. 2). Если это требование выполняется, то сво-бодную энергию (4) вблизи cU можно представить

в виде ряда по степеням )cos()( 0 zz и

)()( zsz E , где 10 . Разложение Ландау

свободной энергии в четвертом порядке по 0

примет вид

2 40 0 0( )

2 4E E

cF F U U

, (16)

где

bHF 0

~, E cU ,

2 2 2 *13 (2 ) 4 ( )

16E E E EbHs s k

.

Здесь введено обозначение

ksbHs

bHs

EE

EE 222

2*

4)2(3

)(

. (17)

Минимизация свободной энергии (16) по 0

дает выражение для угла поворота директора в се-редине слоя

H/Hc

1

10

UUc

LC

LC

Рис. 2. Кривая ориентационных переходов второго рода в ферронематике для 10

и 10b . Здесь LC LCc cU H – напряже-

ние электрического и поле магнитного пе-реходов Фредерикса в чистом нематике,

– ширина области, в которой возможны возвратные фазы


0 *c

E

E

U U

, (18)

где 2 2 2

16

3 (2 ) 4

cE

E E

E

bHs s k

.

Соотношение (18) показывает, что электриче-ский переход Фредерикса в магнитном поле, как и магнитный переход Фредерикса [7], обладает

трикритическим поведением. При *E (слабая

сегрегация) в ФН происходит ориентационный пе-

реход второго рода, а при *E (сильная сегре-

гация) – переход первого рода.

Отличие переходов Фредерикса в ФН, индуци-рованных электрическим полем в присутствии

магнитного, от магнитных переходов Фредерикса в электрическом поле в том, что они не могут быть возвратными переходами, т.к. напряжение перехо-

да cU (15) является однозначной функцией маг-

нитного поля H . Если магнитное поле отсутствует

)0( H , то электрические ориентационные пере-

ходы в ФН, как и должно быть [2], являются пере-ходами второго рода, поскольку в этом случае

0* E .

Трикритическое значение сегрегационного па-

раметра *E (17) для электрического перехода

Фредерикса в ФН (18) является функцией напря-женности магнитного поля H . На рис. 3 представ-

лены зависимости *E от H для различных значе-

ний константы анизотропии ориентационной упру-

гости k и параметра b , характеризующего режи-

мы влияния магнитного поля на ФН. Видно, что *E увеличивается по мере роста напряженности

магнитного поля. Таким образом, если в отсутст-вие магнитного поля электрический переход Фре-дерикса в ФН является переходом второго рода

(т.е. *E ), то включение магнитного поля уве-

личивает *E , что, в свою очередь, может привести

к соотношению *E , и электрический переход

Фредерикса в магнитном поле станет переходом первого рода (см. рис. 4). Кроме того, уменьшение

анизотропии ориентационной упругости k увели-

чивает трикритическое значение сегрегационного

параметра *E (рис. 3а), а уменьшение параметра

b , напротив, приводит к уменьшению *E

(рис. 3б).

5. Электрические переходыФредерикса первого рода

Как показано выше, электрический переход в

магнитном поле при *E является переходом

первого рода. Найдем напряжение tU равновесно-

го перехода Фредерикса первого рода, которое оп-ределяется из условия равенства свободных энер-гий возмущенного (4) и невозмущенного состояний ФН:

0

~~FF , (19)

где свободная энергия невозмущенного состояния имеет вид

bHFF 0

0~~

. (20)

С помощью уравнения (8) выражение (19) при-водится к следующему виду:

0 1 2 3 H

0.5

1

1.5

210

b = 10

k = 1.56

k = 0.9

E*

(а)

0 1 2 3 H

0.5

1

1.5

2

b = 10

b = 1

k = 1.5610E

*

(б)

Рис. 3. Трикритическое значение сегрегаци-

онного параметра *E как функция напря-

женности магнитного поля H для различ-ных значений (а) константы анизотропии ориентационной упругости k и (б) пара-

метра b


U/Uc

/2

0LC1 2

1

2

3

45

6

6

H=0.3

H=3.0

Hm=1.57

H=01.

2.

3.

4.

5. H=4.0

6. H=4.8

= 0.5

= 10

b = 10

k = 1.56

Рис. 4. Угол ориентации директора 0 в

середине слоя ферронематика как функция напряжения U ; устойчивые ветви реше-ний изображены сплошными линиями, а метастабильные и неустойчивые – штри-ховыми

0

1 2 2 2 20

0

12 ( , ) ( ) ( ) sin

2d H U

R K

0ln 0 bHgeQ , (21)

где e – основание натурального логарифма, а

функции ( )K , ( )R , )(g определены выраже-

ниями (6), (12) и (13) соответственно. Это уравне-ние решается совместно с уравнениями ориента-ционного равновесия (9) – (11). Для электрического перехода Фредерикса в заданном магнитном поле H уравнение (21) определяет на-пряжение равновесного перехода Фредерикса пер-вого рода tU (рис. 4).

В отсутствие магнитного поля )0( H вне-

дренные в ЖК магнитные частицы ведут себя как пассивная примесь. В этом случае приложенное к ФН электрическое поле воздействует только на ЖК-матрицу, поэтому электрический ориентаци-онный переход в ФН (рис. 4, кривая 1) совпадает с классическим переходом Фредерикса в ЖК [2] и является переходом второго рода.

Наличие магнитного поля ||H | E может при-

вести как к изменению критического поля элек-трического перехода Фредерикса, так и к измене-нию характера перехода от второго рода к

первому. В слабых магнитных полях при *E

(см. рис. 3) поле перехода увеличивается, но ха-рактер перехода остается прежним. Рост напря-

женности магнитного поля до mH H (где mH –

значение магнитного поля, отвечающее макси-

мальному значению напряжения LCm cU U на

фазовой диаграмме, рис. 2) увеличивает поле пе-

рехода, но при *E (см. рис. 3) этот переход

становится переходом первого рода (рис. 4, кривая3). При дальнейшем увеличении магнитного поля характер электрического перехода Фредерикса в ФН не меняется, но критическое поле уменьшается(рис. 4, кривые 4–6). Такое немонотонное поведе-ние электрического перехода Фредерикса в ФН при наличии магнитного поля, сопровождающееся изменением характера ориентационного перехода,

связано с тем, что внешнее магнитное поле ||H | E

воздействует как на директор n [квадрупольный

магнитный механизм влияния 20~ ( )a n H ], так

и на намагниченность m (дипольный магнитный

механизм 0~ sM f m H ). Сцепление между ди-

ректором и намагниченностью [слагаемое 5F в

(1)] и их взаимная ортогональная ориентация при-водят к конкуренции этих механизмов: в слабых магнитных полях дипольный механизм, отвечаю-щий за ориентацию намагниченности, преобладает над квадрупольным, приводя к увеличению поля перехода. В сильных магнитных полях преоблада-ет уже квадрупольный механизм, ответственный за поведение директора, который приводит к умень-шению критического поля. Изменение характера перехода связано с зависимостью трикритического

значения (17) сегрегационного параметра *E от

магнитного поля, что позволяет сделать *E как

больше, так и меньше E (рис. 3).


В работе теоретически исследовано влияние внешнего магнитного поля на электрический пере-ход Фредерикса в ферронематических жидких кристаллах. Обнаружено трикритическое поведе-ние этого перехода, ответственным за которое ока-зывается явление перераспределения магнитных частиц внутри слоя (эффект сегрегации), и показа-на возможность управления характером перехода с помощью внешнего магнитного поля. Установлено немонотонное поведение критического поля элек-трического перехода Фредерикса в зависимости от внешнего магнитного поля. Это обусловлено кон-куренцией между дипольными и квадрупольными механизмами влияния электрического и магнитно-го полей на ориентационную структуру ФН.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта 10-02-96030 РФФИ.


1. Шлиомис М. И. Магнитные жидкости // Успехи физ. наук. 1974. T. 112. C. 427–458.


2. Gennes P. G. de, Prost J. The Physics of LiquidCrystals. Oxford: Clarendon Press, 1993. 596 p.

3. Brochard F., Gennes P. G. de. Theory of magneticsuspensions in liquid crystals // J. Phys. (France).1970. Vol. 31. P. 691708.

4. Райхер Ю. Л., Бурылов С. В., Захлевных А. Н.Ориентационная структура и магнитные свой-ства ферронематика во внешнем поле // Журн. экспер. теор. физики. 1986. Т. 91. С. 542–551.

5. Raikher Yu. L., Burylov S. V., Zakhlevnykh A. N.Magnetic behavior of a ferronematic layer in anexternal magnetic field // J. Magn. Magn. Mater.1987. Vol. 65. P. 173–176.

6. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov, V. S. One-dimensional structures in ferrocholesteric film withweak homeotropic anchoring on the layer bounda-ries // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2001. Vol. 367. P.175–182.

7. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricritical phe-nomena at the Freedericksz transition in ferrone-matics // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. 051710(9 pp.).

8. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фреде-рикса в ферронематиках: трикритическое пове-дение // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2009. Вып. 1(27). С. 6268.

9. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фреде-рикса первого рода в ферронематиках // Жид-кие кристаллы и их практическое использова-ние. 2010. Вып. 2(32). С. 58–66.

10. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. First orderorientational transitions in ferronematic liquidcrystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540.P. 219–226.

11. Zakhlevnykh A. N. Threshold magnetic fields andFreedericksz transition in a ferronematic // J.Magn. Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238 – 244.

12. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov, V. S. Structure ofthe domain walls in soft ferrocholesterics // Mol.Cryst. Liq. Cryst. 1999. Vol. 330. P. 593–599.

13. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov, V. S. Magneticproperties of ferrocholesterics with soft particleanchoring // J. Magn. Magn. Mater. 2000. Vol.210, P. 279–288.

14. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Reentrant phasetransitions in ferronematic liquid crystals // Mol.Cryst. Liq. Cryst. 2012. Vol. 553. P. 199–210.

15. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Influence ofshear flow on the Freedericksz transition in nemat-ic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74.041710 (9 pp.).

16. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Shear flow of aferronematic in a magnetic field // Mol. Cryst. Liq.Cryst. 2007. Vol. 475. P. 233–245.

17. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Влияние сдви-гового течения на ориентационные фазы фер-ронематика в магнитном поле // Вестн. Перм. ун-та. 2007. Вып. 1(6). С. 39–51.

18. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фре-дерикса в ферронематиках при наличии сдвиго-вого течения // Вестн. Перм. ун-та. 2008. Вып. 1(17). С. 87–93.

19. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Magnetic field-induced orientational phases of ferronematics inshear flow // J. Magn. Magn. Mater. 2008. Vol.

320. P. 13121321.20. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Эффекты маг-

нитной сегрегации в слое ферронематического жидкого кристалла при наличии сдвигового те-чения // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2011.Вып. 1(16). С. 55–63.

21. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. MagneticFreedericksz transition in ferronematic layer undershear flow // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol.540. P. 135–144.

22. Ouskova E., Buluy O., Blanc C., Dietsch H., Mer-telj A. Enhanced magneto-optical properties ofsuspensions of spindle type mono-dispersed hema-tite nano-particles in liquid crystal // Mol. Cryst.Liq. Cryst. 2010. Vol. 525. P. 104–111.

23. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Магнитоопти-ческий отклик ферронематика на внешнее маг-нитное поле // Вестн. Перм. ун-та. Сер.:Физика. 2010. Вып. 1(38). С. 26–31.

24. Zadorozhnii V. I., Bashtova K. V., Reshetnyak V.Yu., Sluckin T. J. Magneto-optical response oftwisted ferronematic cells // Mol. Cryst. Liq. Cryst.2010. Vol. 526. P. 38–45.

25. Podoliak N., Buchnev O., Buluy O., D'AlessandroG., Kaczmarek M., Reznikov Y., Sluckin T. J. Mac-roscopic optical effects in low concentration ferro-nematics // Soft Matter. 2011. Vol. 7. P. 4742–4749.

26. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. Optical trans-mission factor of a ferronematic liquid crystal un-der magnetic field induced orientational transitions// Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2012. Vol. 553. P. 220–232.

27. Захлевных А. Н., Семенова О. Р. Ориентацион-ные переходы в слое ферронематика с биста-бильным сцеплением на границе // Журн. тех-нич. физики. 2012. Т. 82. С. 1–9.

28. Garbovskiy Y. A., Glushchenko A. V. Liquid сrys-talline сolloids of nanoparticles: preparation, prop-erties, and applications // Solid State Physics.2010. Vol. 62. P. 1–74.

29. Burylov S. V., Raikher Y. L. Macroscopic proper-ties of ferronematics caused by orientational inter-actions on the particle surfaces. I. Extended con-tinuum model // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol.

258. P. 107122.30. Zakhlevnykh A. N., Sosnin P. A. Ferrocholesteric-

ferronematic transition in an external magneticfield // J. Magn. Magn. Mater. 1995. Vol. 146. P.

103110.


Orientational phenomena in ferronematicssubjected to electric and magnetic fields

A. N. Zakhlevnykh, D. V. MakarovPerm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

In the framework of continuum theory the electric Freedericksz transition in ferronematic liquidcrystal in a uniform magnetic field is studied. We find the tricritical behavior of the transition andwe show the ability to control the character of the transition by an external magnetic field. We derivethe analytical expression for the tricritical segregation parameter, determining the phase-transitioncharacter change. Nonmonotonic behavior of the critical electric field of the Freedericksz transitionas a function of external magnetic field is determined.

Keywords: ferronematic, liquid crystal, Freedericksz transition, phase transitions, tricritical behavior.

_____________________________________© Пшеничников А. Ф., Кузнецов А. А., 2012

47

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––2012 Физика Вып. 1 (19)

УДК 537.84

Влияние магнитодипольных взаимодействий на равновесную намагниченностьферроколлоидов: численное моделирование

А. Ф. Пшеничниковa,b , А. А. Кузнецовb

a Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, ул. Ак. Королева, 1b Пермский государственный национальный исследовательский университет,614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Методом Монте-Карло исследовано влияние магнитодипольных взаимодействий на высоко-концентрированную систему твёрдых сфер. Предложена модель пермеаметра, не наклады-вающая на систему периодических граничных условий. Проведены эксперименты в широком диапазоне концентрации частиц и энергии магнитодипольных взаимодействий. Для области умеренных параметров агрегирования предсказания модели совпадают с многократно под-тверждёнными результатами других работ. В области сильных магнитодипольных взаимо-действий, представляющей собой предмет дискуссий, перехода в магнитоупорядоченное со-стояние не обнаружено.

Ключевые слова: магнитная жидкость, межчастичные взаимодействия, равновесная намаг-ниченность, фазовый переход.

1. Введение

Физические свойства жидких ферроколлоидов (магнитных жидкостей) во многом определяются межчастичными (Ван-дер-ваальсовыми, стериче-скими, диполь-дипольными и гидродинамически-ми) взаимодействиями. Эти взаимодействия при-водят к нелинейной зависимости начальной вос-приимчивости от концентрации частиц, отклонению ее температурной зависимости от за-кона Кюри, образованию наноразмерных агрега-тов, уширению спектра времен релаксации намаг-ниченности, многократному усилению магнитофо-реза и фазовому переходу типа “газ – жидкость” [1– 5]. В настоящей работе основное внимание со-средоточено на двух типах межчастичных взаимо-действий: магнитодипольных и стерических. Такой подход оправдывается тем, что гидродинамические взаимодействия вообще не влияют на равновесные свойства системы, а влияние Ван-дер-ваальсовыхвзаимодействий многократно ослабляется исполь-зованием защитных оболочек. Говоря об интен-сивности диполь-дипольных взаимодействий, под-разумевают обычно отношение энергии этих взаи-модействий (при минимальном расстоянии между частицами) к энергии теплового движения. Без-размерной характеристикой такого соотношения

служит параметр агрегирования λ:

2 30 / 4m d kT ,

где μ0 – магнитная постоянная, m – магнитный мо-мент коллоидной частицы, d – её диаметр, k – по-стоянная Больцмана, T – температура. В области малых и умеренных значений параметра агрегиро-вания (λ ≤ 2) результаты аналитических и числен-ных исследований хорошо согласуются между со-бой и с экспериментальными данными. Однако с ростом параметра агрегирования си-туация изменяется на противоположную: при λ > 3результаты исследования критическим образом за-висят от способа их получения. Это обстоятельст-во относится, в первую очередь, к проблеме фазо-вого перехода второго рода типа “парамагнетик –ферромагнетик”. Хотя экспериментально такие пе-реходы до сих пор не наблюдались [5] , теория не даёт однозначного заключения о его невозможно-сти. Вопрос о том, способны ли сильные магнито-дипольные взаимодействия привести к появлению в магнитной жидкости дальнего ориентационного порядка, продолжает активно обсуждаться в науч-ной литературе. Фазовые переходы концентриро-ванных ферроколлоидов в “ферромагнитное” со-стояние получены аналитически вначале в рамках эффективного поля Вейсса [6], а затем с использо-

48 А. Ф. Пшеничников, А. А. Кузнецов

ванием функционала плотности самосогласован-ного поля [7].

Общее качественное рассмотрение проблемы в рамках формализма прямой корреляционной функции ставит такие переходы под сомнение. К такому же выводу приводит критический анализ метода функционала плотности, проведенный в [8]. Недостаток большинства аналитических моде-лей – распространение принципов изучения сис-тем со слабыми и умеренными взаимодействиямина область сильных взаимодействий, где их при-менимость не гарантирована. Поэтому особую роль в изучении фазовых переходов в дипольных системах играет численное моделирование с ис-пользованием методов Монте-Карло и методов мо-лекулярной динамики. В этом случае никаких формальных ограничений на энергию межчастич-ных взаимодействий не накладывается. Тем не ме-нее результаты численных экспериментов также оказались противоречивыми. Фазовый переход в“ферромагнитное” состояние обнаружен в [9–11] и не обнаружен в [12–15]. Очевидно, что такая си-туация могла возникнуть только из-за различий в использовавшихся алгоритмах вычислений.

Как известно [15], успех исследования систем взаимодействующих диполей численными мето-дами во многом зависит от решения двух серьез-ных методических проблем. Первая связана с ог-раниченностью размера моделируемой системы, которая вытекает из ограниченности машинных ресурсов, и возможностью перехода к термодина-мическому пределу. В малых системах существует зависимость свойств от количества частиц. Тради-ционный метод решения этой проблемы – наложе-ние периодических граничных условий. Другая трудность – появление размагничивающих полей, связанных с преломлением силовых линий на гра-нице образца. При намагничивании образца не-замкнутой формы внутри него создаётся дополни-тельное поле, направленное против внешнего. Для тел эллипсоидальной формы размагничивающее поле пропорционально намагниченности, а коэф-фициент пропорциональности, взятый с обратным знаком, называется размагничивающим фактором. Размагничивающий фактор зависит от относитель-ной длины образца, т.е. отношения его продольно-

го (относительно внешнего поля) размера к попе-речному. Влияние размагничивающих полей мо-

жет оказаться очень сильным: в случае магнитомягких материалов с высокой проницае-мостью их намагниченность в большей степени зависит от формы образца, нежели от свойств ма-териала. Размагничивающие поля нужно либо ис-ключить, либо учесть при анализе результатов. Для решения этой проблемы применяются схемы, где периодические граничные условия сочетаются стехникой суммирования по Эвальду. Интересно, что во всех работах, где наблюдался переход в магнитоупорядоченное состояние, использовались именно такие схемы. Разумно задаться вопросом, не является ли переход в “ферромагнитное” со-стояние артефактом, порождённым особенностями численного эксперимента.

Вклад суммирования по Эвальду в появлениепотенциально ложного перехода был исследован в работе [16]. Предполагалось, что к переходу могут привести возникающие при суммировании эффек-тивные короткодействующие слагаемые в потен-циале взаимодействия. Накладывались нестан-дартные одномерные периодические граничные условия, обеспечивающие отсутствие размагничи-вающего фактора без применения техники Эваль-да. Несмотря на это, переход был обнаружен.

Что касается периодических граничных усло-вий, то, хотя они и позволяют смоделировать сис-тему с эффективно бесконечным числом частиц, они исключают в ней возможность неоднородно-стей на масштабах, превышающих размер элемен-тарной ячейки, и навязывают квазикристалличе-скую структуру материала в целом.

В данной работе периодические граничные ус-ловия не используются. Моделируется поведение ячейки магнитной жидкости, помещённой в пер-меаметр. Это измерительный прибор, широко применяемый в лабораторной практике и на про-изводстве для построения кривой намагничивания и петли гистерезиса ферромагнитных образцов. Электромагнит пермеаметра выполнен обычно в виде прямоугольной рамы (“ярма”) из магнитомяг-кого материала с воздушным зазором. Испытуе-мый образец помещается в зазор и плотно зажима-ется между полюсами электромагнита. С помощью

L

H

μ2 >> μ2 >> μ1

Z

aa

1m

μ1

X

Y

0

Рис. 1. Схема моделируемой в численном эксперименте системы

Влияние диполь-дипольных взаимодействий на намагниченность… 49

намотанных на ярмо катушек вдоль образца созда-ётся высокооднородное магнитное поле. Силовые линии собственного магнитного поля (т.е. размаг-ничивающего поля), создаваемого образцом, замы-каются через железное ярмо, а не через простран-ство, прилегающее к боковой поверхности образ-ца. Благодаря железному ярму размагничивающее поле внутри образца уменьшается до пренебрежи-мо малой величины. При численном моделирова-нии считается, что образец зажат между двумя па-раллельными бесконечными плоскостями, про-странство за которыми однородно заполнено магнитомягким веществом с μ → ∞. Такие гранич-ные условия легко учесть с помощью дополни-тельного слагаемого в полной энергии магнитного диполя.

2. Описание численного эксперимента

Схема моделируемой системы представлена на рис. 1. Ячейка с жидкостью – круговой цилиндр с жёсткими непроницаемыми стенками. Частицы жидкости аппроксимируются твердыми сферами диаметром d и магнитным моментом m. Все про-странственные величины на рис. 1 обезразмерены и приводятся в единицах d. Основными парамет-рами образца являются общее количество частиц N, относительная длина цилиндра L (отношениедлины цилиндра к диаметру) и объёмная доля час-тиц φ. Равновесное состояние системы определя-ется тремя безразмерными параметрами – объём-ной долей частиц φ, параметром агрегирования λ и энергией взаимодействия частицы с внешним маг-нитным полем H0, т.е. параметром Ланжевена ξ:

0 0mH

kT

. (1)

Замыкание магнитной цепи с помощью ярма пер-меаметра позволяет пренебречь разностью между напряженностью H внутри образца и напряженно-стью H0 внешнего поля, т.е. решает одну из глав-ных проблем, возникающих при моделировании дипольных систем. Основной целью численного

эксперимента являлось определение равновесной намагниченности M системы:

cosM mn , (2)

где n – числовая концентрация частиц, θ – угол между моментом частицы m и напряжённостью поля H. Квадратные скобки в правой части (2) оз-начают последовательное усреднение по ансамблю частиц и по времени.

Приведенная магнитостатическая энергия час-тицы состоит из трех слагаемых:

5 31 ij ij

3(e r )(e r ) (e e )cos

Ni ij j ij i ji

i ijj i

UU

kT r r

, (3)

где ei – единичный вектор вдоль магнитного мо-мента i-й частицы, rij – обезразмеренный (в едини-цах d) вектор, соединяющий i-ю и j-ю частицы.Первое слагаемое в (3) есть энергия взаимодейст-вия частицы с внешним полем, второе – энергия диполь-дипольных взаимодействий с частицами системы, а третье – энергия взаимодействия час-тицы с полюсными наконечниками пермеаметра. Последнее слагаемое в (3) можно определить, ре-шая стандартную магнитостатическую задачу о диполе, расположенном вблизи границы между двумя полупространствами с магнитными прони-цаемостями μ1 и μ2 (рис. 2). Опуская громоздкие промежуточные вычисления, запишем результат:

22 13

2 1

(1 cos )8

U

kT l

, (4)

где l – расстояние от центра сферического диполя

до границы. Применяя эту формулу к моделируе-

мой системе (рис. 1) с шириной рабочего зазора L,

учитывая существования двух границ и условие

μ2 >> μ1 , получим

32

3 3

3 ( )(1 cos )

8 ( )i i i

i i

U L Lz L z

kT z L z

. (5)

В настоящей работе использовался стандарт-ный алгоритм Метрополиса [17]. Стерические взаимодействия частиц учитывались введением прямого запрета на взаимное проникновение час-тиц и пересечение частиц со стенками цилиндра. Начальное микросостояние системы создавалось путем хаотического заполнения цилиндрического образца сферическими диполями со случайными ориентациями их магнитных моментов. Необхо-димое число Монте-Карло шагов подбиралось та-ким образом, чтобы среднеквадратичная погреш-ность вычислений, определенная по десяти выбор-кам, не превышала 1%.

3. Результаты расчетов

Так как переход “парамагнетик – ферромагне-Рис. 2. К вопросу об энергии взаимодейст-вия частицы и стенки пермеаметра

mμ1 μ2

θ

l


тик” сопровождается быстрым ростом начальнойвосприимчивости с понижением температуры, ос-новное внимание в данной работе было сфокуси-ровано на вычислении начальной восприимчиво-сти при различных температурах и концентрациях магнитной фазы. Результаты этих расчетов пред-ставлены в виде зависимости начальной воспри-имчивости χ от ее ланжевеновского значения:

0 2 83

L

m n

kT

, (6)

строго пропорционального концентрации и обрат-но пропорционального температуре. В приближе-нии Ланжевена, как известно, межчастичные взаимодействия не учитываются, поэтому разница между χ и χL может служить мерой влияния меж-частичных взаимодействий на равновесную на-магниченность системы. Из определения началь-ной восприимчивости непосредственно следует, что

0 0

cos3 L

H

M

H

. (7)

Так как линейный участок кривой намагничивания ограничен условием ξ < 0.3, вычисления началь-ной восприимчивости проводились при ξ = 0.28.Все расчеты проведены для системы, содержащей 103 взаимодействующих частиц. В качестве основ-ных “входных” параметров использовались пара-метр агрегирования λ и объемная доля частиц φ.

На рис. 3 приведена динамика установления равновесного состояния системы – зависимость начальной восприимчивости от числа МК-шагов (т.е. от времени). Видно, что равновесное распре-деление частиц наступает примерно после тысячи МК-шагов. В дальнейшем (при вычислении на-магниченности системы) в расчет принимались только такие равновесные состояния. Сплошная линия на рис. 3 соответствует известной формуледля начальной восприимчивости дипольной сис-темы, полученной в рамках модифицированной модели эффективного поля [4].

2

13 144

L LL

. (8)

Эта формула хорошо согласуется с результатами лабораторных экспериментов и с результатами численного моделирования в области умеренных параметров агрегирования λ ≤ 2 [5, 18]. Как видно из рисунка, результаты, полученные в данной ра-боте, также хорошо согласуются с этой формулой.

Еще одной серьезной методической проблемой при МК-моделировании дипольной системы явля-ется оптимальный выбор геометрических размеров образца. Из-за конечных размеров системы вблизи поверхности полюсного наконечника образуется

узкая щель, недоступная для магнитных ядер частиц в силу стерического отталкивания. Появ-ление такой щели означает появление слабого

Рис. 3. Установление термодинамического равно-весия в системе. Начальная восприимчивость в за-висимости от числа МК-шагов. Сплошная линия соответствует формуле (8)

размагничивающего поля и необходимость введе-ния соответствующей поправки к напряженности поля внутри образца. Схема пермеаметра в чис-ленном эксперименте позволяет многократно уменьшить размагничивающее поле, но не устра-няет проблему полностью, если размер образца недостаточно большой. Очевидно, что поправка на размагничивающее поле должна уменьшаться с удлинением образца, что позволяет рассчитать ее по зависимости эффективной восприимчивости системы от длины образца. Рис. 4 демонстрирует эту зависимость. С увеличением относительной длины образца его восприимчивость увеличивает-ся, выходя на постоянное значение при L > 20. Да-лее всюду полагалось L = 25.

Рис. 4. Влияние относительного удлинения образ-ца на его восприимчивость. Сплошная линия соот-ветствует формуле (8)

Еще одна потенциальная возможность умень-шить размагничивающий фактор – уменьшениепараметра a (рис.1) – минимального расстояния, на которое могут приблизиться к полюсам электо-


ромагнита центры частиц. Его “естественная” ве-личина для твёрдых сфер a = 0.5, однако его эф-фективное значение можно варьировать, изменяя

потенциал стерических взаимодействий частиц с полюсными наконечниками. В проведенных нами тестовых экспериментах параметр a варьировался в пределах от 0.2 до 2. Некоторое уменьшение восприимчивости с ростом a действительно было обнаружено, однако различие в крайних точках диапазона составило только 2% (при ошибке оп-ределения χ в 0.7%). По этой причине во всех дальнейших расчетах использовалось значение a =0.5, соответствующее твердым сферам и твердой границе.

Рис. 5. Восприимчивость системы в зависимости от ланжевеновской восприимчивости. Вверху: ◊ –λ = 1.5, □ – λ = 2.8; внизу λ = 4.0. Сплошная линия соответствует формуле (8)

На рис. 5 представлены непосредственно зави-симости χ = χ (χL). Каждая кривая снималась при фиксированном λ (фиксированной температуре),при постепенном повышении φ. Как видно из ри-сунка, расчётные точки достаточно точно ложатся на аналитическую зависимость (8). Это даёт осно-вания считать, что при реализации схемы не было

допущено существенных ошибок, и она верно описывает систему взаимодействующих сфериче-ских диполей в области умеренных взаимодейст-вий. Для фазового перехода в магнитоупорядочен-ное состояние естественно было бы ожидать появ-ления (при некотором высоком λ) на графике неограниченного возрастания магнитной воспри-имчивости и асимптотического её стремления к прямой χL = const. Ничего подобного в нашей рабо-те не наблюдалось, по крайней мере, в области λ <4. Напротив, в области 8<χL<10 наблюдается даже некоторое занижение восприимчивости по сравне-нию с формулой (8). Причины такого занижения пока непонятны. В настоящее время рассматрива-ются две рабочие версии: 1) Причиной занижения являются квазисферические агрегаты, исследован-ные в [2]. 2) Несмотря на новый алгоритм расчета, размагничивающие поля учтены не полностью, и необходимо вводить корректирующую поправку. Для сравнения – в работе [16] значительное пре-вышение расчётной восприимчивости над анали-тическим значением наблюдается уже при λ = 2.2 и χL = 8.

Другим признаком фазового перехода могла бы быть спонтанная намагниченность – появление ненулевого среднего магнитного момента в отсут-ствие внешнего поля. Нами была предпринята по-пытка обнаружения спонтанной намагниченностисистемы при ξ = 0. Результаты испытания приведе-ны на рис. 6 в виде зависимости z–компоненты на-магниченности от времени (числа МК-шагов). Из рисунка видно, что флуктуации намагниченности растут по амплитуде с ростом λ (то есть с ростом ланжевеновской восприимчивости) в полном соот-ветствии с формулой (8) и диссипативно-флуктуационнной теоремой. Большинство резуль-татов на рис. 6 получено на большом отрезке вре-мени (порядка 106 МК-шагов) при постоянном значении λ = 4. Тем не менее спонтанной намагни-ченности не обнаружено. Напротив, численное моделирование с использованием периодических граничных условий приводит к спонтанной намаг-ниченности уже при λ = 2.9, а время перехода не превышает 2105 МК-шагов [16].


Итак, в работе численно исследовано влияние диполь-дипольных взаимодействий на равновес-ную намагниченность концентрированной систе-мы твёрдых сфер. В отличие от известных работ нами использована модель пермеаметра, не накла-дывающая на систему периодических граничных условий. Проведены численные эксперименты в широком диапазоне концентрации частиц и энер-гии магнитодипольных взаимодействий. Для об-ласти умеренных параметров агрегирования пред-сказания предложенной модели совпадают с мно-гократно подтверждёнными результатами других работ. В области сильных магнитодипольных


взаимодействий, представляющей собой предмет дискуссий, перехода в магнитоупорядоченное со-стояние не обнаружено вплоть до λ = 4. Тем самым получен дополнительный довод в пользу того, что наблюдавшийся ранее переход системы взаимо-действующих диполей в “ферромагнитное” со-стояние является артефактом, связанным с исполь-зованием периодических граничных условий.

Работа выполнена в рамках программы ОЭММПУ РАН (проект 12-Т-1-1008).


1. Пшеничников А. Ф., Шлиомис М. И. О причи-нах температурного максимума магнитной восприимчивости ферроколлоидов // Изв. АН СССР. Серия физическая. 1987. Т. 51, N 6. С. 1067 – 1072.

2. Морозов К. И. Термодинамика магнитных жид-костей // Изв. АН СССР. Cерия физическая.1987. Т. 51, N 6. С. 1073 – 1080.

3. Pshenichnikov A. F. Equilibrium magnetizationof concentrated ferrocolloids // J. Magn. Magn.Mater. 1995. Vol. 145. P. 319 – 326.

4. Ivanov A. O., Kuznetsova O. B. Magnetic proper-ties of dense ferrofluids: An influence of interpar-ticle correlations // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64.Issue 4. 041405.

5. Пшеничников А. Ф., Лебедев А. В. Магнитная восприимчивость концентрированных ферро-коллоидов // Коллоид. журнал. 2005. Т. 67, №2. С. 218 – 230.

6. Цеберс А. О. Термодинамическая устойчи-вость магнитной жидкости // Магнитная гид-родинамика. 1982. № 2. С. 42 – 48.

7. Szalai I., Dietrich S. Global phase diagrams of bi-nary dipolar fluid mixtures // Mol. Phys. 2005.Vol. 103, N. 21–23. P. 2873 – 2895.

8. Morozov K. I. Long-range order of dipolar fluids// J. Chem. Phys. 2003. Vol. 119, N. 24. P. 13024– 13032.

9. Ivanov A. O. Spontaneous ferromagnetic orderingin magnetic fluids // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68,

N. 1. 011503.10. Wei D. Q., Patey G. N. Ferroelectric liquid-crystal

and solid-phases formed by strongly interacteddipolar soft spheres // Phys. Rev. A. 1992. Vol.46, N 12. P. 7783 – 7792.

11. Weis J. J. The ferroelectric transition of dipolarhard spheres // J. Chem. Phys. 2005. Vol. 123. N.4. 044503.

12. Klapp S. H. L., Schoen M. Spontaneous orienta-tion order in confined dipolar fluid film // J.Chem. Phys. 2002. Vol. 117. N. 17. P. 8050 –8062.

13. Wolde P. R., Oxtoby D. W., Frenkel D. Chainformation in homogeneous gas-liquid nucleationof polar fluids // J. Chem. Phys. 1999. Vol. 111. N10. P. 4762 – 4773.

14. Пшеничников А. Ф., Мехоношин В. В. Фазовое расслоение дипольных систем: численное мо-делирование // Письма в ЖЭТФ. 2000. Т. 72,вып. 4. С. 261 – 267.

15. Pshenichnikov A. F., Mekhonoshin V. V. Equilib-rium magnetization and microstructure of the sys-tem of interacting superparamagnetic particles:Numerical simulation // J. Magn. Magn. Mater.2000. Vol. 213. P. 357 – 369.

16. Пшеничников А. Ф., Разумков А. В. // Труды XVI Зимней школы по механике сплошных сред / ИМСС УрО РАН. Пермь, 2009. С. 4 – 7.

17. Хеерман Д. В. Методы компьютерного экспе-римента в теоретической физике. М.: Наука, 1990. 108 с.

18. Ivanov A. O, et. al. Magnetic measurements as akey for the particle size distribution in ferrofluids:experiment, theory, and computer simulations //Magnetohydrodynamics. 2007. Vol. 43. N 4. P.393 – 399.

Рис. 6. Флуктуации магнитного момента системы в отсутствие внешнего поля. φ = 0.36


Influence of magneto-dipole interactions onequilibrium magnetization of ferrocolloids:numerical simulation

A. F. Pshenichnikova ,b , А. А. Kuznetsovb

a Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Korolyov St. 1, 614013, Permb Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

The Monte Carlo method is used to study the influence of magneto-dipole interactions onthe high concentration system of solid spheres. A model of the permeameter, which doesnot impose periodic boundary conditions on the system, is proposed. Experimental studiesare carried out in wide ranges of particle concentration and magneto-dipole interaction en-ergy. For the region of moderate aggregation parameters, the predictions of the model co-incide with the results confirmed repeatedly in other works. In the case of the region ofstrong magneto-dipole interactions, which has long been the subject of discussion, no tran-sition to a magnetic ordered state is observed.

Keywords: magnetic fluid, interparticle interactions, equilibrium magnetization, phasetransition.

© Ощепков А.Ю., 2012

54

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––2012 Серия:Физика Вып. 1 (19)

УДК 530.145+004.94

Исследование механизмов релаксации намагниченности в мезоскопических парамагнетиках с помощью компьютерного моделирования

А. Ю. ОщепковПермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассмотрена динамика намагниченности парамагнитного образца, содержащего ограничен-ное количество спинов ½, с помощью компьютерного моделирования уравнений движения для спиновых переменных в полуклассическом представлении. Проведено сравнение резуль-татов моделирования с известной феноменологической теорией релаксации, показана адек-ватность созданной модели, намечены области ее дальнейшего применения.

Ключевые слова: полуклассическая теория парамагнитной релаксации, компьютерное моделирование.

1. Уравнения движения для векторов спиновой поляризациив парамагнетике

1.1. Цель работы

Под парамагнетиком обычно понимают об-разец, содержащий частицы, обладающие орби-тальным или спиновым моментом (электрон-ным или ядерным) и соответствующим ему магнитным моментом, взаимодействие между которыми мало, так что справедливо прибли-женное представление о движении отдельной частицы, находящейся в окружении соседей. В полуклассической микроскопической теории релаксации воздействие окружения моделирует-ся классическими магнитными и электрически-ми полями [1, 2]. Хаотизация ориентации маг-нитных моментов вследствие теплового движения приводит к установлению равновесно-го значения намагниченности в парамагнетике.

Во многих практических приложениях, на-пример для описания формы линии магнитного резонанса в макроскопических образцах, доста-точно феноменологических уравнений Блоха.Эти уравнения дают простую экспоненциальную зависимость от времени для продольной состав-ляющей суммарного магнитного момента, опре-деляющего намагниченность.

Предложено множество способов описания релаксационных процессов на основе рассмот-рения микроскопических уравнений движения отдельных частиц. Рассмотрим для примера подход для спина 1/2, разработанный автором статьи и изложенный в диссертационной работе [3]. Как известно, единичный вектор спиновой поляризации для спина 1/2

ˆ( ) ( ( ) )m t Sp t

, (1)

где ̂

– матрицы Паули, ( )t – зависящая от

времени матрица плотности [4], которая описы-вается уравнением [5]

m m H . (2)

Здесь – гиромагнитное отношение,

0 ( )H H h t

– (3)

магнитное поле, действующее на частицу. По-стоянное магнитное поле

0 0(0,0, )H H

(4)

формирует уровни энергии

1 0 2 0

1 1, .

2 2E H E H (5)

( – постоянная Планка). Состояние с мини-мальным уровнем энергии

1E является основным

(состояние 1), состояние2E – возбужденное

(состояние 2). ( )h t

в [3] представляет собой слу-

чайное магнитное поле, -коррелированное по времени (белый шум). Уравнение (2) играет

Исследование механизмов релаксации намагниченности… 55

роль уравнения Ланжевена для случайной пере-менной m

. Для функции распределения ( , )W m t

получается уравнение Фоккера – Планка, реше-ние которого с помощью метода моментов по-зволяет найти релаксационное уравнение для намагниченности образца, отнесенной к одной частице:

( , )M m W m t dm

. (6)

Современные технологии позволяют мани-пулировать (управлять) небольшим количеством спинов и даже отдельными спинами. С такими задачами сталкиваются при реализации кванто-вых алгоритмов в квантовом компьютере. Двухуровневая система, являющаяся простей-шим носителем информации, называется “ку-бит” [6]. Релаксационные процессы, называемые в теории квантовой информации декогеренцией (или декогерентизацией), приводят к переходу кубита из одного состояния в другое. Основная задача здесь состоит в стабилизации состояниякубита на время проведения вычислений. Для разработки и отладки алгоритмов стабилизации с использованием методов компьютерного мо-делирования в применяемой математическоймодели необходимо адекватно учесть процессыдекогеренции, обусловленной окружением час-тицы. Методы, развитые для макроскопических образцов, в этом случае не работают. Отметим, что системы из малого числа частиц, в которых статистические закономерности не работают вследствие больших флуктуаций, принято назы-вать мезоскопическими (промежуточными меж-ду микро- и макросистемами) [7].

Цель данной работы состоит в разработке микроскопических уравнений движения для век-тора поляризации частиц со спином 1/2 в полу-классическом приближении. Исследование про-цессов релаксации в системе с помощью полученных уравнений частично имеет само-стоятельный интерес, но в основном является проверкой адекватности построенной математи-ческой модели микроскопических движений.

1.2. Форма микроскопических уравнений движения для парамагнетика

Для спина 1/2 мультиполи состояния (спин-тензоры) пропорциональны сферическим ком-понентам вектора поляризации [4]. Спин-тензоры ранга выше 1 отсутствуют, поэтому все энергетические взаимодействия в полуклассиче-ском подходе моделируются взаимодействием оператора спина с магнитным полем. Таким об-разом, гамильтониан парамагнитного образцаможет быть записан в виде

( ) ( )0

1

1 ˆˆ ( ( ))2

Nk k

k

H H h t

. (7)

Вместо выражения (6) намагниченность те-перь должна быть определена по формуле

( )

1

1 Nk

k

M mN

, (8)

где величины ( )km

определяются по формуле (1) для k-го спина. Постоянное магнитное поле в (7)одинаково для всех частиц. Составляющую поля

( ) ( )kh t

представим в виде( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( , )k k k k

rand srh t h t h m t

. (9)

Здесь ( ) ( )krandh t

– стохастическое поле, модели-

рующее влияние окружения, в том числе сосед-них спинов. Данное поле вызывает равноверо-ятные переходы между состояниями 1 и 2 и приводит к беспорядку в системе, т.е. к размаг-ничиванию образца.

Составляющая ( , )srh m t

отвечает за разруше-

ние инверсных заселенностей в парамагнетике за счет спонтанного перехода из возбужденного состояния 2 в основное состояние 1. В полу-классической теории явление спонтанного из-лучения обычно описывается полем притяжения вектора спиновой поляризации к направлению постоянного поля

0( , ) ( )srh m t H m

. (10)

Наличие поля (10) в (7) приводит к появлению в уравнении (2) нелинейного слагаемого Ландау–

Лифшица0( )m H m

. Отметим, что модель

Ландау–Лифшица была первоначально предло-жена для описания изменения со временем на-магниченности однодоменного ферромагнетика из чисто феноменологических соображений. Однако в работе [8] показано, что модель явля-ется универсальной и “описывает поведение ан-самбля двухуровневых систем любой природы, между которыми имеется некоторое определен-ное взаимодействие”.

Таким образом, уравнение движения вектора поляризации отдельного спина принимает вид

( ) ( ) ( ) ( )0

( ) ( )0

( )

( ).

k k k krand

k k

m m m t

m m

(11)

Здесь введены обозначения 0 0H ,

( ) ( )k krand randh . В выбранной модели предпола-

гается, что характер изменения случайного поля различен для каждого отдельного спина, причем среднее значение флуктуирующего поля опре-деляется температурой решетки, а эффективная величина поля самоизлучения от температуры не зависит и одинакова для всех частиц.

Для решения уравнений (11) и определения намагниченности по формуле (8) применяются методы компьютерного моделирования в среде MATLAB+Simulink.

56 А.Ю. Ощепков

В разделе 2 выбирается модель случайных

воздействий ( ) ( )krandh t

. Для этого проведено иссле-

дование влияния на квантовые переходы маг-нитных полей, вращающихся вокруг произволь-но ориентированных осей с частотами, близкими или равными частоте ларморовой прецессии спина.

В разделе 3 исследуется процесс релаксации

намагниченности в системе, содержащей до не-

скольких сотен частиц, с учетом выбранной мо-

дели случайных воздействий и эффекта спон-

танного излучения в форме Ландау–Лифшица.

В разделе 4 обсуждаются полученные ре-

зультаты, проводится сравнение экстраполяци-

онной релаксационной кривой с одноэкспонен-

циальным законом релаксации, вытекающим из

решения уравнений Блоха для продольной со-

ставляющей намагниченности макроскопиче-

ского образца. Делается вывод об адекватности

предложенной математической модели.

В заключении приводятся итоговые резуль-

таты исследования и определяются основные

области дальнейшего применения разработан-

ной модели.

2. Влияние случайных воздействий на релаксацию намагниченности

2.1. Роль частотного спектра ортогонального вращающегося поля

В данной работе нас будет интересовать по-ведение только продольной (z-составляющей) намагниченности, т.е. изменение ориентации вектора поляризации по отношению к направле-

нию поля 0H

. Известно, что с наибольшей веро-

ятностью переходы вызываются магнитными полями, вращающимися в плоскости, перпенди-

кулярной направлению поля 0H

в направлении,

определяемом знаком гиромагнитного отноше-ния, с частотой ларморовой прецессии спина (частота резонанса) [5]. Однако поля, поляризо-ванные по кругу, не лежащему в ортогональной плоскости, с частотой, отличной от резонанс-ной, также могут привести к переходам, только с меньшей интенсивностью. В данном пункте исследуем влияние на интенсивность переходов ортогональных полей различной частоты, в сле-дующем пункте – влияние неортогональных по-лей.

Для исследований необходимо решить диф-ференциальное векторное уравнение (2), в кото-

ром поле ( )h t

имеет вид

( ) ( cos , sin ,0)r r rh t h t h t

, (12)

где частота может изменяться в пределах

min 0 max{ } .

Для компьютерного моделирования поведе-ния величины ( )zm t идеально подходит пакет

Simulink [9].

Рис. 1. Блок “SpinDynamic”, реализующий решение векторного уравнения (2)

На рис. 1 показан фрагмент S-модели“SpinDynamic”, реализующий решение вектор-ного уравнения (2). Матрица А стандартной ABCD-модели Simulink, обозначенной“Dynamic”, описывающая взаимодействие век-

тора m

со стационарным полем 0H

, имеет вид

0

0

0 0

0 0

0 0 0

A

.

Блок “Spin&Variable Fields” реализует вектор-ное произведение векторов, подаваемых на его вход. Вектор (12) подается на вход 1 VariableFields.

Рис. 2. Зависимость ( )zm t при00,005rh H .

1–0 , 2–

00,995 , 3–00,990

S-модель запускается из m-файла “model_spin_dyn.m”, в котором задаются все па-раметры задачи, время (Tstop) и шаг (DT) моде-лирования. Выход S-модели 1 “SpinComponents” возвращается в m-файл для обра-ботки и построения графиков. Всюду в работе положено

0 02 ( 1) , т.е. время измеряется

в периодах ларморовой прецессии. На рис. 2 приведен результат моделирования при Tstop=1000, DT=1/2000. На графиках показано изменение продольной составляющей вектора

mz

t


поляризации от времени ( )zm t при 00,005rh H

для трех различных частот вращения ортого-нального поля:

0 (график 1), 00,995

(график 2) и 00,990 (график 3). Из графи-

ков видно, что в случае резонанса (график 1) спин переориентируется из состояния 1zm в

состояние 1zm и обратно с периодом

2 / 200r rT h . Поперечные переменные xm

и ym при этом осциллируют с высокой частотой

0 (на графиках не показаны). Определим пол-

ное изменение продольной составляющей:min1z zDm m . При резонансе 1 ( 1) 2zDm .

Отклонение частоты от резонансной существен-но уменьшает величину

zDm и немного изменя-

ет период колебаний.Зависимость ( )zDm будет иметь различный

вид при разных амплитудах вращающегося поля

rh . Для установления роли этой амплитуды с

помощью математической модели проведена протяжка по частоте при различных величинах

rh . Результаты показаны на рис.3. Значения от-

ношений 0/rh H указаны на графиках. Анализ

данных показывает, что для частот, удовлетво-ряющих условию

0 4 ( )r r rh , (13)

изменение продольной составляющей составля-ет более 10%. Частоты, лежащие вне интервала, указанного в (13), не вызывают существенного изменения намагниченности, поэтому в наших задачах их можно не рассматривать.

Рис. 3. Зависимость ( )zDm при трех значениях

0/rh H (указаны на графиках)

2.2. Динамика вектора спиновой поляризации в неортогональных вращающихся полях

Рассмотрим теперь случай, когда ось z , во-

круг которой происходит вращение поля rh

, со-

ставляет с осью z лабораторной системы коор-

динат угол , как это показано на рис. 4.

Рис. 4. Неортогональное вращающееся поле rh

Направление оси Х лабораторной системы координат выберем так, чтобы ось вращения лежала в плоскости XZ. Используя явный вид

матрицы вращения, для поля rh

в лабораторной

системе координат в этом случае получим вы-ражение

cos 0 sin cos

( ) 0 1 0 sin

sin 0 cos 0

( cos cos , sin , sin cos ).

r

r r

r r r

h t

h t h t

h t h t h t

(14)

Уравнения (2) примут конкретный вид:

0

0

sin sin cos ;

cos cos sin cos ;

sin cos cos .

x y r z r y

y x r z r x

z r x r y

m m tm tm

m m tm tm

m tm tm

(15)Решение уравнений (15) для ортогонального поля ( 0 ) и выполнения условия резонанса

0 при начальных условиях

0 0(0) (sin ,0,cos )m

известно [10, (2.18)]:

0 0 0 0

0 0 0 0

0

sin cos cos sin sin ;

sin sin cos sin cos ;

cos cos .

x r

y r

z r

m t t t

m t t t

m t

(16)

Отметим, что решение для zm при

0 0 изо-

бражено графически на рис. 2 (график 1).Для нахождения решения уравнений (15) в

общем случае отметим, что решение (16) в предположении

0r содержит быстро изме-

няющуюся фазу 0 и медленную переменную

:

0 0 0 0, ; rt . (17)

В силу (17) будем искать решение уравнений (15) с помощью метода Крылова–Боголюбова–Митропольского [11] в сокращенной форме. Сразу предположим, что искомое решение име-ет вид, аналогичный (16) с неизвестной медлен-

Z’

X

Y

rh

Z

X’

Y’

0H


ной фазой :

0 0 0 0

0 0 0 0

0

sin cos cos sin sin ;

sin sin cos sin cos ;

cos cos .

x

y

z

m t t

m t t

m

(18)

Продифференцируем третье уравнение в системе (18) и подставим в (15). Для ортого-нального поля при 0 в результате получим

0 0cos sin cos sinr , (19)

откуда имеем ,r rt , т.е. сразу получа-

ем решение (16). При 0 соотношение, аналогичное (19),

может быть разрешено относительно только для

0 0 . Решение при этом имеет вид

2 20

0

1cos sin sin 2

2 2 2r

r t t

. (20)

Быстро осциллирующим слагаемым с малой ам-плитудой в (20) с течением времени можно пре-небречь и записать результат

2cos2

r t

, (21)

который означает, что переориентация спина в неортогональных полях происходит с частотой, зависящей от угла ориентации оси вращения по-ля.

Полученный результат легко проверить с помощью компьютерного моделирования. Для этого на вход 1 Variable Fields блока “SpinDy-

namic” нужно подать вектор ( )rh t

из (14) и оп-

ределить период переориентаций спина при раз-личных значениях угла . Интересно отметить, что проведенные численные исследования не обнаружили осцилляций частоты перехода, а подтвердили результат (21), причем для любых начальных условий, а не только при условии

0 0 , которое было существенно использовано

при проведении аналитических выкладок.Полученный результат показывает, что неор-

тогональные поля при частотах вращения, близ-ких к резонансной, также вызывают переориен-тацию спина, однако частота переориентаций зависит от направления оси вращения. Для мо-делирования случайных воздействий важно, что наклон оси вращения возмущающего поля мо-жет быть промоделирован изменением эффек-тивной амплитуды ортогонального поля в соот-ветствии с (21).

Таким образом, для описания случайных по-лей ( )k

rand в (11) достаточно рассматривать ор-

тогональные поля, частота вращения которых лежит в интервале (13), а амплитуда в каждой точке k представляет собой случайную величи-ну, удовлетворяющую определенному закону распределения.

3. Релаксация намагниченности при наличии диссипации

Для моделирования уравнений (11) в подсис-тему “SpinDynamic” S-модели был добавлен блок, соответствующий слагаемому Ландау–Лифшица (рис. 5).

Рис. 5. Блок “SpinDynamic”, реализующий реше-ние векторного уравнения (11)

S-модель программно запускается из m-файла “model_spin.m”, в котором задаются все параметры задачи и параметры моделирования. Для последних были установлены значенияTstop=4000, DT=1/8000. Выбор случайной ам-плитуды ортогонального поля, подаваемого на вход 1 Variable Fields, осуществлялся блоком Random Number библиотеки Simulink. Указан-ный блок возвращает случайную величину, рас-пределенную по нормальному закону с задан-ным средним значением (‘Mean’) и дисперсией (‘Var’). Генератор случайных чисел управляется инициализатором ‘Initial seed’. При запуске мо-дели с одинаковым инициализатором процесс будет повторяться.

Программа циклически запускает S-модель Nраз, результат каждого запуска передается об-ратно в программу, которая суммирует данные, а по окончании цикла определяет компоненты средней намагниченности по формуле (8). Су-щественно, что при каждом k-м запуске значе-ние переменной ‘Initial seed’ выбирается слу-чайно, тем самым обеспечивается стохастич-ность воздействия для k-го спина.

На рис. 6 показан результат численного экс-перимента для образца, содержащего N спинов при среднем значении амплитуд вращающихся случайных магнитных полей

0/ 0,005r и от-

сутствии спонтанного излучения (1 – N = 10; 2 –N = 50; 3 – N = 300). Из графиков видно, что спустя 600–700 циклов прецессионного движе-ния в образце устанавливается равновесное со-стояние со средней намагниченностью, близкой к нулю, с большими флуктуациями, величина которых уменьшается при возрастании количе-ства частиц, как и должно быть для мезоскопи-ческих систем.


Рис. 6. Зависимость ( )zM t при 0 .

0/ 0,005, 0,004r r r . 1 – N = 10;

2 – N = 50; 3 – N = 300

На рис. 7 приведены результаты численных экспериментов при

0/ 0,001r для трех зна-

чений относительной интенсивности спонтанно-го излучения .

Рис. 7. Зависимость ( )zM t при0/ 0,001r .

1– 0,0005 , 2– 0,001 , 3 – 0,01 . N=200

Рис. 8. Зависимость ( )zM t при0/ 0,005r .

1 – 0 . 2– 0,005 , 3 – 0,025 , 4 0,05 ,

N=200

Видно, что при увеличении параметра

увеличивается среднее значение намагниченно-сти, а флуктуационные процессы подавляются. Графики тех же зависимостей приведены на рис.8 для

0/ 0,005r .

Сравнительный качественный анализ резуль-татов, приведенных на рис. 7 и рис. 8, показыва-ет, что равновесное значение намагниченности определяется не средней амплитудой возму-щающих полей и интенсивностью процесса са-моизлучения по отдельности, а их отношением. Это естественно, поскольку релаксационные процессы определяются игрой упорядочиваю-щих сил (стремление системы к основному со-стоянию) и тепловых движений, вызывающих беспорядок [12]. Получение количественных оценок требует проведения дальнейших иссле-дований.

4. Определение релаксационных параметров

Сравним полученные данные о протекании релаксационных процессов для образца с огра-ниченным количеством частиц с феноменологи-ческими уравнениями, применяемыми для опи-сания макроскопических систем. В теории парамагнитной релаксации успешно использу-ются уравнения Блоха [1], описывающие экспо-ненциальную зависимость намагниченности об-разца от времени.

Попытки экстраполировать полученные ре-лаксационные кривые, приведенные на рис. 7 и рис. 8, гладкой функцией с одним декрементом приводят к плохим результатам: отклонения графика от экстраполирующей зависимости в переходной области существенно превышают величины флуктуаций. Использование двухэкс-поненциальных зависимостей приводит к мини-мизации ошибки.

Обработка графика 3 на рис. 8 по методу наименьших квадратов с применением блока динамической настройки параметров Simulinkдает следующий результат:

/ 28 / 900( ) 0,05 0,71 0,24t tzM t e e . (22)

Таким образом, в мезоскопическом парамаг-нетике выделяется первоначальная фаза быст-рого изменения намагниченности и последую-щий медленный переход к равновесию,очевидно соответствующий поведению макро-скопических систем.


Полученные результаты описания процессов релаксации в парамагнетиках с ограниченным количеством спинов показали, что при увеличе-

t

Mz

t

Mz

12

34

t

Mz

2

1

3


нии их числа в системе процесс релаксации про-текает аналогично известным процессам для макроскопических образцов. Тем самым пока-зана достоверность модели взаимодействия от-дельного спина с окружением, выраженной уравнениями (11). Уравнения могут служить ос-новой для разработки модели алгоритмов управления ориентацией спиновой поляризациив парамагнетике, в том числе для стабилизации состояний кубита, подверженного дестабилизи-рующему влиянию окружения.


1. Абрагам А. Ядерный магнетизм.М.:Иностр. лит., 1963. 552 с.

2. Александров И. В. Теория магнитной ре-лаксации. Релаксация в жидкостях и твер-дых неметаллических парамагнетиках. М.: Наука, 1975. 400 с.

3. Ощепков А. Ю. Кинетика спиновых систем, взаимодействующих со стохастическим

полем решетки // Дис. … канд. физ.-мат.

наук. Пермь, 1987. 182 с.

4. Блум К. Теория матрицы плотности и ее приложения. М.: Мир, 1983. 248 с.

5. Rabi I. I., Ramsey N. N., Shwinger J. Use ofRotating Coordinates in Magnetic ResonanceProblems // Rev. Mod. Phys. 1954. Vol.26. Is-sue 2. P. 167.

6. Валиев К. А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления // Успехи физ. наук.2005. Т. 175, № 1. С. 3 – 39.

7. Жуковский В. Ч., Кревчик В., Семенов М.Б., Тернов А. И. Квантовые эффекты в ме-зоскопических системах. Ч.I. Квантовое туннелирование с диссипацией. М. 2002.108 с.

8. Скроцкий Г. В. Еще раз об уравнении Лан-дау–Лифшица // Успехи физических наук.1984. Т. 144, № 1. С. 681 – 686.

9. Дэбни Дж. Simulink 4. Секреты мастерства. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2003. 403 с.

10. Лёше А. Ядерная индукция. М.: Иностр. лит., 1963. 684 с.

11. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 536 с.

12. Карери Дж. Порядок и беспорядок в струк-туре материи. М.: Мир, 1985. 232 с.

Research of relaxation mechanisms of magnetizationin mesoscopic paramagnets by means of computersimulation

A. Y. OschepkovPerm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

The dynamics of the paramagnetic magnetization of a sample containing a limited amount of spin ½,with the help of computer simulation of the equations of motion for the spin variables in the semi-classical representation are considered. A comparison of simulation results with the knownphenomenological theory of relaxation is shown the adequacy of the model created, the areaidentified for its further use.

Keywords: semiclassical theory of paramagnetic relaxation, computer simulation.

© Спивак Л. В, Мясников Н. Н., 2012

61


УДК 669.295.24

Вейвлет-анализ спектров Баркгаузена в аморфном сплаве Fe78B12Si9Ni1

Л. В. Спивак, Н. Н. МясниковПермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В работе исследовано влияние водорода на эффект Баркгаузена в аморфном сплаве Fe78B12Si9Ni1. Показано, что введение водорода приводит к увеличению числа скачковБаркгаузена без изменения амплитуды таких скачков. Впервые применен вейвлет-анализ спектра шумов Баркгаузена и установлена средняя длительность скачков 10-4 с.

Ключевые слова: аморфный, ферромагнетик, вейвлет-анализ, эффект Баркгаузена.

1. Введение

Эффект Баркгаузена (ЭБ) в ферромагнитных

материалах является одной из характеристик до-

менной структуры ферромагнетика. В кристалли-

чески неупорядоченных структурах, таких как

аморфные металлы и сплавы, исследованию ЭБ

посвящено значительное число работ [1]. По мето-

дике регистрации скачков Баркгаузена (СБ) их

можно условно разделить (см. [2]) на квазистацио-

нарные и динамические. В первом случае СБ реги-

стрируются при медленном изменении внешнего

намагничивающего поля. Во втором – при высоко-

частотном (50 Гц и более).

Поскольку между структурой сплава и шумом

Баркгаузена (ШБ) имеется определенная корреля-

ция, для решения чисто прикладных задач в свое

время был создан [3] прибор СКИФ-1, исполь-

зующий накладной электромагнит для намагничи-

вания и вмонтированную в общий блок регистри-

рующую ЭДС СБ измерительную катушку. На

выходе имелась информация об интегральном зна-

чении ЭДС СБ за несколько циклов перемагничи-

вания. Эта технология была использована нами

при создании измерительного комплекса, позво-

ляющего регистрировать СБ за каждый полуцикл

намагничивания и программного обеспечения для

анализа ШБ.

При квазистационарных методах анализа ШБ

малое число (13) таких скачков (за цикл перемаг-

ничивании АМС) и стохастический характер воз-

никновения СБ создавали определенные затрудне-

ния в статистическом обеспечении таких

экспериментов (исследований).

Применение же данного комплекса позволяло на хорошей статистической базе получать данные об амплитудных характеристиках СБ ферромаг-нитного материала. Однако в отличие от квазиста-ционарных методов регистрации СБ при высоко-частотных методиках резко сужались возможности определения длительности СБ как одной из харак-теристик скорости движения доменной границы при перемагничивании ферромагнетика. Для оп-тимизации ситуации возникла идея использования вейвлет-анализа ШБ для получения информации о длительности таких скачков при высокочастотных измерениях. Возможность реализации такой по-становки и стало предметом настоящего исследо-вания.

2. Методика исследования

Объектом исследования являлась аморфнаялента аморфного сплава (АМС) Fe78B12Si9Ni1 тол-щиной 30 мкм и длиной 3050 мм.

Насыщение АМС водородом проводили в тече-ние 10 минут из кислого электролита (1N H2SO4 +As2O3). Плотность катодного тока 50 А/м2. Об-разцы сплава 2НСР служили катодом, в качестве анода использовалась платиновая проволока.

Измерение ЭДС Баркгаузена (Б) и частотного спектра осуществляли с помощью специально раз-работанной установки. Датчик ЭДС Баркгаузена состоял из накладного электромагнита, наводяще-го магнитное поле в объеме образца, и измери-

Вейвлет-анализ спектров Баркгаузена аморфного сплава… 62

,

тельной катушки, улавливающей магнитный поток от скачков Баркгаузена. Частота переключения магнитного поля составляла 100 Гц. Перемагничи-вание в объеме образца было однородным. Маг-нитное поле менялось в пределах от – 100 А/м до + 100 А/м, частота дискретизации – 16 кГц (160 то-чек в 10 мс). Импульсы ЭДС от СБ с помощью широкополосного усилителя (коэффициент усиле-ния 2500) с малым уровнем шума усиливались до величины, позволяющей их дальнейшую регистра-цию. Прибором наблюдения и регистрации служил осциллограф PCS64i. Обработка эксперименталь-ных данных осуществлялась по специальной про-грамме. Поскольку эффект Баркгаузена носит сто-хастический характер, производилось осреднение результатов измерения за 30 циклов перемагничи-вания.

Погрешность экспериментов составляет 10–15%, что в первую очередь обусловлено неоднород-ностью исследуемого материала.При вейвлет-анализе данных был использован не-прерывный вейвлет[4, 5]:

где

вещественная, или комплексная, функция, назы-ваемая анализирующим вейвлетом; a – параметр,

отвечающий за масштаб (период) )(, tba ; b – па-

раметр, отвечающий за положение (сдвиг); k – по-казатель степени масштабного множителя (в на-шем случае взят за 1). В качестве анализирующеговейвлета был выбран вейвлет

Морле ).2/exp()exp()( 2ttit o .

Полученные в результате записи ШБ дискрет-ные кривые “время – намагниченность” обрабаты-вались в пакете “Wolfram Mathematica 8.0”.

3. Экспериментальные результаты и их обсуждение

На рис. 1 представлен результат наложения скач-ков Баркгаузена за 30 циклов перемагничивания АМС в исходном состоянии. Амплитуды ЭДС единичных СБ распределены таким образом, что образуют спектр значений ЭДС СБ, отвечающий наложению разноименного внешнего магнитного поля. В этом спектре можно выделить три области: область гигантских СБ в центре и две прилегаю-щие к ней боковые с амплитудами скачков, замет-но отличающимися от максимальной величины. Для аморфных сплавов в исходном состоянии ха-рактерны узкие, в достаточной степени симмет-ричные (близкие к гауссовскому распределению)пики. В отличие от кристаллических веществ, ха-рактеризующихся широким спектром скачков по

амплитуде и по значениям намагничивающего по-ля, теоретически все перемагничивания в магни-томягких АМС должны идти одним скачком, так как петля гистерезиса аморфного сплава обычно имеет прямоугольную форму [6].

Рис. 1. Спектр шумов Баркгаузена в АМС. Исходное состояние

Рис. 2. Спектр шумов Баркгаузена в АМС. После 10 мин наводораживания

Рис. 3. Зависимость числа СБ от ампли-туды. 1 – исходное состояние. 2 – после 10 мин наводораживания

Если же существуют различные по эффектив-ности препятствия для движения доменных стенок, то менее сильно закрепленные границы доменов начинают движение при относительно более сла-бом магнитном поле, тогда как сильно закреплен-ные – при более сильном магнитном поле.

dta

bttfaba n

*)(),(

a

btttba )()(,

Л. В. Спивак, Н .Н. Мясников63

Рис. 4. Вейвлет - представление спектра Баркгаузена для АМС. Исходное состоя-ние

Рис. 5. Вейвлет - представление спектра Баркгаузена для АМС. После 10 мин наво-дораживания

Все это должно привести к появлению спектра СБ по амплитуде и времени их наблюдения, что и есть в действительности.

При введении в АМС водорода заметно возрас-тает ширина рассматриваемых пиков (рис. 2). Максимальная амплитуда СБ при этом остается практически неизменной. Значительно увеличива-ется число “гигантских” скачков по сравнению с исходным состоянием (см. рис. 3). Расширяется диапазон магнитного поля, в котором фиксируют-ся СБ.

По-видимому, одним из следствий введенияводорода в АМС является изменение локального рельефа поля внутренних напряжений, оказываю-щего заметное влияние на подвижность доменных границ ферромагнетика и характеристики ШБ [7–10]. Кроме того, водород может захватываться стенками Блоха и также влиять на подвижность границ доменов [11].

На рис. 4 представлено вейвлет - преобразова-ние спектра ШБ для АМС в исходном состоянии. Ордината на рис. 4 характеризует длительность СБ(условные единицы), по шкале абсцисс отложена развертка по полю в выбранной системе дискрети-зации, а интенсивность сигнала на вейвлет – плос-кости дает представление о плотности таких со-стояний. На вейвлет–плоскости для АМС в

исходном состоянии фиксируются две области та-ких временных характеристик. Вейвлет–анализ по-зволяет оценить длительность СБ. Она охватывает диапазон от 10-4 3 10-3 с.

Введение водорода заметно усложняет вид вейвлет–плоскости для спектра ШБ (рис.5). С од-ной стороны, фиксируются дополнительные полю-са локализации СБ по их длительности. С другой –расщепление относительно симметричного харак-тера распределения СБ (см. рис. 4) на ряд обособ-ленных участков на вейвлет–плоскости с более выраженной их локализацией. Однако на сам диа-пазон изменения длительности СБ введение водо-рода практически не влияет.

Таким образом, введение водорода в АМС из-меняет распределение СБ не только по амплитудеи значению стартового поля, но и по длительности таких сигналов. Все это свидетельствует о глубо-кой трансформации доменной структуры ферро-магнитного АМС при введении в него водорода.

4. Выводы

1. В содержащем водород АМС скачки Барк-гаузена начинаются при меньших значениях маг-нитного поля, что косвенно свидетельствует об увеличении коэрцитивной силы в таких сплавах.

2. Введение водорода не влияет на максималь-ные значения амплитуды СБ, но увеличивает число таких скачков за цикл перемагничивания.

3. В исходном состоянии в АМС наблюдаются два полюса плотности распределения СБ по их длительности. Введение водорода сопровождается появлением дополнительных полюсов поляриза-ции и более выраженной их локализацией. Однако на сам диапазон изменения длительности СБ вве-дение водорода практически не влияет.


1. Рудяк В. М. Эффект Баркгаузена // Успехи физ.

наук. 1970. Т. 101, Вып. 3. С. 429462.2. Чернышов Е. Т., Чернышова Н . Г., Чечурина Е.

Н. Магнитные измерения на постоянном и пе-ременном токе. М.: Стандартгиз. 1962. 186 с.

3. Ломаев Г. В. Эффект Баркгаузена и его исполь-зование в технике измерений. Ижевск: Изд-во УдГУ, 1984. 216 с.

4. Чуи Ч. Введение в вэйвлеты / Пер. с англ. М.: Мир, 2001. 412 с.

5. Короновский А. А., Храмов А. Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. М.: Физ-матлит, 2003. 176 с.

6. Золотухин И. В. Физические свойства аморф-ных металлических материалов. М.: Металлур-гия, 1986. 176 с.

7. Durin G., Zapperi S. Barkhausen noise in softamorphous magnetic materials under applied stress//J. Appl. Phys. 1999. Vol. 85, N 8. P. 51965198.

Вейвлет-анализ спектров Баркгаузена аморфного сплава… 64

8. Durin G., Zapperi S. Universality and size effectsin the Barkhausen noise //J. Appl. Phys. 2000. Vol.87, N 97. P. 70317033.

9. Eszenyi G., Szabo S., Harasztosi L., Zamborszky F.еt al. Barkhausen-noise and mechanical sensitivityin finemet-type materials // Journal of ElectricalEngineering. 2008. Vol. 59, N 7. P. 6669.

10. Laurson L., Mughal A., Durin G еt al. Modeling

domain wall dynamics in thin magnetic strips withdisorder //IEEE Trans. Magn. 2010. Vol.46, P.262265.

11. Cengia L., Kováč F. Influence of annealing andhydrogenation-dehydrogenation processes of inter-nal stresses and barkhausen noise of Fe83B17 amor-phous alloy //J. Mater. Sci. 2001. Vol. 36. P.41254129.

Wavelet-analysis of Barkhausen spectrain an amorphous Fe78B12Si9Ni1 alloy

L. V. Spivak, N. N. МyasnikovPerm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm

The hydrogen influence on Barkhausen effect in an amorphous Fe78B12Si9Ni1 alloy has been investi-gated. The hydrogenation results in the increase of Barkhausen jumps value without change of am-plitude of such jumps. The wavelet-analysis of Barkhausen noise spectrum has been applied for thefirst time. Average duration of the jumps was established as ~ 10-4 s.

Keywords: amorphous, ferromagnetic, wavelet-analysis, Barkhausen effect.

© Скрябина Н. Е., Пинюгжанин В. М., Фрушар Д., 2012

65


УДК 669.7/.8

Деформационные механизмы формирования текстуры в сплаве AZ31 в процессе РКУП

Н. Е. Скрябинаa, В. М. Пинюгжанинa, Д. Фрушарb

a Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

b Институт Л. Нееля, НЦНИ, BP166, 38042, Гренобль, Франция

Исследованы механизмы образования текстуры деформации в сплаве AZ31 посредством рав-ноканального углового прессования (РКУП) при комнатной температуре. Установлено, что формирование текстуры сплава в процессе однократного прохода осуществляется за счет скольжения в базисной плоскости и двойникования. Теоретическое рассмотрение в рамках представлений механики среды со структурой позволяет установить корреляцию между усло-виями деформации в зоне сдвига и типом текстуры. Показано, что фактор Шмида в случаетекстурированных поликристаллических материалов можно использовать для оценки воз-можности реализации пластической деформации по определенному механизму.

Ключевые слова: пластическая деформация, РКУП, текстура, AZ31, фактор Шмида.

1. Введение

Оптимальной формой хранения водорода с точки зрения эффективности и безопасности явля-ются гидриды металлов. Среди перспективных ма-териалов для реализации такого подхода особого внимания заслуживают магний и сплавы на его ос-нове, которые способны обратимо поглощать во-дород в количестве, удовлетворяющем требованию DOE [1]. Подготовка материалов для насыщения водородом, как правило, сводится к измельчению его структуры путем интенсивной пластической деформации. Это позволяет значительно улучшить кинетику реакции прежде всего за счет увеличения удельной доли поверхностей раздела в образце. В случае с магнием улучшения сорбционных харак-теристик можно достичь, используя равноканаль-ное угловое прессование (РКУП) на определенном этапе подготовки материала [2]. В ходе РКУП происходит радикальная перестройка микрострук-туры, которая, однако, сопровождается не только фрагментацией материала, но и образованием сильно выраженной текстуры [3].

Вопрос о влиянии текстуры кристаллических твердых фаз на кинетику поглощения ими водоро-да мало освещен в литературе. В этом направлении довольно показательной является работа [4] по изучению диффузионных свойств пленок Ni с раз-личной предпочтительной ориентацией зерен. Проведенные авторами испытания показали пре-

восходство всех текстурированных образцов над образцом, состоящим из хаотично ориентирован-ных кристалликов. Степень такого превосходства зависела от типа текстуры. Принимая во вниманиеданные, представленные в работах [3, 5], указан-ную закономерность можно распространить и на материалы на основе магния. В частности, авторы публикации [5], исследуя кинетику абсорбции во-дорода многослойными тонкими пленками Mg/Ni,обнаружили преимущество в случае, когда базис-ные плоскости Mg (типа 0001 ) располагались

параллельно поверхности образца по сравнению с ситуацией, когда подобной ориентацией обладали

пирамидальные плоскости типа 1110 .

Зависимость скорости поглощения водорода магниевыми сплавами от характера текстуры мо-жет быть обусловлена несколькими обстоятельст-вами. Во-первых, энергетические барьеры для ад-сорбции водорода на разных атомных плоскостях могут отличаться в силу различной плотности атомных рядов и характера электронных связей. Во-вторых, сплавы на базе магния имеют гексаго-нальную кристаллическую решетку, которая ха-рактеризуется анизотропией диффузионных свойств, обусловленной симметрией структуры [6]. Сильно текстурированный поликристалл можно в определенной степени рассматривать подобно мо-нокристаллу, поскольку теперь весь объем мате-риала обладает одним или несколькими выделен-ными направлениями, вдоль которых свойства не

66 Н. Е. Скрябина, В. М. Пинюгжанин, Д. Фрушар

меняются при переходе от одного зерна к другому.Кроме того, в сплавах с предпочтительной ориен-тацией зерен большинство из них обычно имеют близкие углы разориентировки (см., к примеру, ра-боту [7]), а потому, вероятно, и схожие диффузи-онные свойства.

Таким образом, упорядочение структуры спла-ва обеспечивает формирование в нем предпочти-тельных каналов диффузии водорода макро- или мезоскопического уровня. Следовательно, знание принципов текстурообразования при конкретном способе пластической деформации позволит раз-работать стратегию получения материала с высо-кими сорбционными параметрами. Цель настоя-щей работы состоит в изучении механизмов образования текстуры деформации в промышлен-ном магниевом сплаве AZ31 посредством РКУП.

2. Формирование текстуры. Теоретическое рассмотрение

Закономерности формирования преимущест-венных ориентировок в сплаве AZ31 (96 % Mg, 3% Al, 1% Zn, вес. %) путем РКУП проще всего рас-смотреть на примере однократного прессования заготовки при комнатной температуре. В таких ус-ловиях не требуется учитывать влияние рекристал-лизационных процессов, кроме того, магниевый сплав как ГПУ материал имеет ограниченное чис-ло систем скольжения, что упрощает анализ и по-зволяет предсказать особенности текстуры без не-обходимости обращаться к сложным вычислениям.

Согласно результатам, представленным в рабо-тах [8–13], пластическая деформация в магнии и его сплавах может осуществляться при вовлеченииодной или нескольких систем скольжения – базис-

ной 0001 0121 , призматической 0110

0121 , а также пирамидальных – 1110

0121 и 2211 3121 . Деформация также

может реализоваться за счет двойникования [14],

которое происходит по плоскости 2110 в на-

правлении сдвига 0111 либо по плоскости

1110 в направлении 2110 . Перечисленные

системы скольжения (двойникования) в магниевых сплавах сильно неравноправны, что количественно выражается в различии пороговых сдвиговых на-пряжений, необходимых для активации конкретно-го механизма деформации. В случае одноосного сжатия или растяжения кристалла под влиянием нагрузки σ сдвиговое напряжение τ, действующее в плоскости скольжения в направлении скольже-ния, находят как σ∙cos (φ)∙cos (λ), где φ – угол меж-ду осью образца и нормалью к плоскости скольже-ния, а λ – угол между направлением силы и направлением скольжения. Скольжение дислока-ций (или двойникование) будет иметь место, когда приведенное напряжение сдвига достигнет некото-

рого критического значения τс. Это утверждение называют законом Шмида, а само произведение μ= cos (φ)∙cos (λ) – фактором Шмида.

Предварительным экспериментом [15] было ус-тановлено, что сплав AZ31 в исходном состоянии не имеет выделенных направлений. Таким обра-зом, поликристалл до деформации можно предста-вить как совокупность большого числа хаотично ориентированных зерен (кристалликов), настолько большого, чтобы материал можно было считать изотропным. Конечный элемент материала, для которого выполняется приближение изотропности или у которого проявляются макроскопические свойства, характерные для всего агрегата (т.е. те-ряются индивидуальные особенности фрагментов и их совокупностей немакроскопических разме-ров), принято называть представительным объе-мом. Другими словами, в масштабе представи-тельного объема деформацию сплава допустимо описывать, используя математический аппарат ме-ханики сплошных сред.

Описание эволюции свойств поликристалличе-ского агрегата сводится к заданию уравнений для всего образца и его отдельного фрагмента – зерна,а также граничных условий, отражающих совмест-ность деформации соседних зерен материала в представительном объеме. Полученную систему уравнений дополняют гипотезой о связи механиче-ских характеристик на различных уровнях и зако-ном нагружения образца.

В современных теориях пластичности мерой реакции деформируемого тела на внешнее воздей-ствие является тензор скорости градиентов смеще-ний Lij,. симметричная часть которого представля-ет собой тензор скорости деформации Dij, а антисимметричная составляющая Wij характеризу-ет поворот деформируемого элемента как жестко-го целого [16–17].

jiijijjiijij

ijijij

LLWLLD

WDL

21,

21

(1)

Тензор скорости вращения зерна в общем слу-чае представляет собой сумму двух вкладов: пер-вый из них Ωij соответствует переориентации не-взаимодействующих зерен в поле макронапряже-ний, второе слагаемое ωij является результатом действия на конкретное зерно моментных напря-жений, возникающих из-за различий в его пласти-ческой деформации и деформации смежных зерен:

kjijki

ijijij

we

w

21

. (2)

Вектор угловой скорости i находят как сверт-

ку wkj с тензором Леви–Чивиты eijk. Интегрирова-ние величины i и суммирование по всем зернам

даст искомое распределение кристаллографиче-

Деформационные механизмы формирования текстуры сплава AZ31 67

ских ориентировок в образце в данный момент времени.

Учитывая результаты исследований [12–13],при комнатной температуре направление разворо-та зерна будет зависеть от исходной ориентации и скорости пластических сдвигов только в одной (базисной) плоскости скольжения, а также плоско-стях двойникования. Двойникование развивается на самых ранних стадиях деформирования как са-мостоятельная мода пластичности и вместе с тем представляет собой механизм, призванный обеспе-чить непрерывность деформации при переходе от одного фрагмента сплава к другому. Связанную с двойникованием переориентацию участков зерна можно интерпретировать подобно аккомодацион-ному развороту, поскольку истоками самих двой-ников в ГПУ материалах обычно являются межзе-ренные границы и ранее сформировавшиеся двойниковые прослойки [18].

Таким образом, приращение функции распре-деления ориентировок за счет двойникования це-лесообразно полностью связать с тензором ψij. В силу аддитивности каждого из вкладов – ωij и ψij –на первом этапе рассуждений не будем принимать во внимание двойникование и связанные с ним пластические аккомодации (ψij = 0), оставаясь в рамках одной из хорошо зарекомендовавших себя в физике пластичности модели Т. Линя [19–20],основные приближения которой заключаются в следующем:

а) скорости полных деформаций Dij поликри-сталлического агрегата определяются аддитивным вкладом упругих De

ij и пластических Dpij состав-

ляющих; б) скорости полных деформаций Dij поликри-

сталлического агрегата равны скоростям полных деформаций dij отдельных зерен;

в) пластические деформации являются изохо-рическими;

г) упрочнение изотропно и определяется сум-марным сдвигом по всем системам скольжения.

Для каждой системы скольжения полагают справедливым закон Шмида, а развитие пластиче-ской деформации на уровне зерна удовлетворяю-щим критерию Мизеса–Тейлора [19] о необходи-мости активации как минимум пяти независимых систем скольжения или, в крайнем случае, двойни-кования. Однако условие Мизеса не выполняется, если деформация поликристалла осуществляется исключительно путем двойникования.

Равенство тензоров Dij и dij является в данном случае математическим выражением гипотезы Войта [17], согласно которой напряжение поли-кристаллического агрегата определяется усредне-нием напряжений в его зернах. Указанная законо-мерность в общем случае не отражает реальную ситуацию. Однако поскольку для нас представляет интерес установившееся состояние, при котором фрагменты поликристалла достигли наиболее

предпочтительной ориентировки в поле дейст-вующих напряжений, сделанное предположение можно считать оправданным.

Хотелось бы отметить, что более громоздкие вязкопластические и самосогласованные прибли-жения эффективной среды [21–22] сводятся к мо-дели Линя при комнатной температуре и в отсут-ствие учета краевых эффектов для зерен материала.

В физических теориях пластичности поворот зерна обычно интерпретируют как вращательное движение квазитвердого тела. При таком рассмот-рении зерно представляется заключенным в жест-кую оболочку, а тензор скорости вращения ωij на-ходят как [17]

Sjiji

S

ij nbbn2

. (3)

Величины ib и in представляют собой соот-

ветственно безразмерные компоненты направле-ния скольжения и нормали к плоскости в задейст-вованной системе скольжения с порядковым номером S. Из формулы (3) следует, что в отсутст-вие процессов пластической аккомодации направ-ление вращения зерна и, соответственно, текстура материала будет определяться геометрией дефор-мации представительного объема через суперпози-цию вкладов от действующих систем скольжения.Для выяснения направления ориентации изолиро-ванного зерна в поле макроскопических напряже-ний “в пределе” можно положить Lij = lij, где lij яв-ляется тензором скорости градиента смещений микрообъема, считая, что его поворот будет со-вершаться до тех пор, пока не будет достигнута корреляция (в данном случае равенство) между макро- и микроструктурными характеристиками сплава.

Рис. 1. Системы координат для описания геомет-рии деформации представительного объема при РКУП


Согласно авторам публикации [23], градиент скорости перемещений L' в зоне сочленения кана-лов РКУП матрицы в системе координат (XYZ)'(рис. 1) записывают как

000

000

00

ijL . (4)

В данном случае полагают, что деформация осуществляется путем простого сдвига вдоль на-правления Ox', а перемещение материала происхо-дит исключительно в плоскости XOY.

В системе координат (XYZ), удобной с позиции наблюдателя (когда одна из осей направлена вдоль оси канала прохода), тензор градиента скорости cмещений будет выглядеть следующим образом:

22

000

0cossinsin

0coscossin2

2

ijL

. (5)

Антисимметричная часть тензора Lij

000

00)sin(cos

0sincos0

222

22

ijW .(6)

Если активным будет являться одно направле-ние скольжения, то тензор скорости поворота зер-на в соответствии с формулой (3) запишется как

0

0

0

2

32323131

32322121

31312121

bnnbbnnb

nbbnbnnb

nbbnnbbn

ij

. (7)

Приравнивая (6) и (7), получим систему урав-нений

0

0

1

3232

3131

2121

nbbn

nbbn

nbbn

. (8)

Рассмотрим возможные случаи соотношения между компонентами n3 и b3 в уравнениях (8):

1) n3 ≠ 0, b3 ≠ 0, тогда n1/n2 = b1/b2 и b1 – b1 =1/n2, что само по себе является невыполнимым ус-ловием;

2) n3 = 0, b3 ≠ 0, откуда следует равенство n1 =n2 = 0, которое противоречит первому уравнению в системе (8);

3) n3 ≠ 0, b3 = 0, откуда следует равенство b1 =b2 = 0, которое также противоречит первому урав-нению в системе (8).

Таким образом, обязательным условием совме-стности уравнений (8) является равенство нулю компонент n3 и b3, т.е. как нормаль к плоскости скольжения, так и направление скольжения при геометрии сдвига, заданного тензором Lij, должны расположиться в плоскости XOY.

Исходя из взаимной ортогональности векторов

b

и n

, их компоненты можно записать следую-щим образом: n1 = sign(n1)∙cos(δ), b1 = sign(b1)∙sin(δ), n2 = sign(n2)∙sin(δ), b2 = sign(b2)∙cos(δ), где sign(x) – функция знака, δ – угол между осью абс-цисс и нормалью к плоскости скольжения.

Используя условие связи dij = Dij, получаем

Sjiji

S

ij nbbnD2

. (9)

В свою очередь, симметричная часть тензора Lij

000

0cossin2cossin

0cossincossin2

222

22

ijD . (10)

Подставляя выражения для ni и bi в уравнение(9) и сравнивая с компонентами тензора Dij, нахо-дим δ = 90°– Φ/2. При сопоставлении величин d11 и D11 с соответствующими значениями d12 и D12 , об-наруживается, что

0cos

0sincos

212

11

bn

bn, (11)

т.е. в системе координат (XYZ) компоненты векто-ра-нормали к плоскости скольжения противопо-ложны по знаку, следовательно, в рассматривае-мый момент времени плоскость скольжения расположена параллельно плоскости сдвига.

Представляется, что в процессе деформации при повороте зерна базисная плоскость будет стремиться ориентироваться параллельно плоско-сти макроскопического сдвига, а направление скольжения – вдоль направления сдвига. При этомв проекции YOZ нормаль к базисной плоскости составит с осью канала прохода в направлении OYугол δ = 90°– Φ/2.

Далее учтем, что по мере накопления пластиче-ских сдвигов в процесс деформации может вовле-каться максимальное число базисных системскольжения. Такое предположение вполне оправ-данн в силу требования сохранения сплошности межзеренных границ (критерий Мизеса) и вместе с тем трудности перемещения дислокаций в иных (небазисных) плоскостях. В базисной плоскости существуют две независимые системы скольжения, дислокации в которых перемещаются вдоль на-

правлений b

и b

.Используя (3), вычисляем тензор Ωij, суммируя

вклады от каждой системы скольжения. Затем,


проводя рассуждения, аналогичные тем, что былиизложены выше для ситуации с одним направле-нием скольжения, приходим к следующим равен-ствам:

cos

sin

0

0

22

11

33

3

bb

bb

bb

n

. (12)

Параметр λ представляет собой отношение вкладов в сдвиговую деформацию от каждой сис-темы скольжения. В отличие от ситуации с одним направлением скольжения здесь каждая его ком-понента заменяется суммой соответствующих про-екций 11 bb и bb 2 , ориентация нормали n

при этом сохраняется. Другими словами, реализа-ция еще одного направления движения дислокаций не меняет тенденцию к расположению базисной плоскости параллельно плоскости сочленения ка-налов. При условии равенства накопленных де-формаций, т.е. когда λ = 1 и 33 bb , направления

скольжения b

и b

будут располагаться симмет-рично относительно прямой, вдоль которой осу-ществляется макроскопический сдвиг. Асимметрия этих векторов будет свидетельствовать о преиму-щественном вкладе какого-либо направления скольжения и может получить количественную оценку вычислением соответствующих факторов Шмида.

До сих пор все рассуждения основывались на том, что направление и степень разворота каж-дого из зерен характеризуется исключительно ин-тенсивностью базисного скольжения. Тем не менееопределенную роль в формировании текстуры мо-жет играть и двойникование. Как уже отмечалось ранее, двойникование в магниевых сплавах осуще-

ствляется по плоскости типа 2110 в направлении

сдвига 0111 либо по плоскости 1110 в на-

правлении 2110 . По мере деформирования магниевых сплавов в основном, как правило, обра-

зуются двойники типа 01112110 (см., к

примеру, работы [13, 24, 25]). По отношению к ис-ходному зерну они ориентированы таким образом, что угол между базисными плоскостями двойника и недвойникованной областью составляет 86° [13,25].

Хотелось бы подчеркнуть, что двойникова-ние, будучи самостоятельным механизмом дефор-мации, может обеспечить лишь небольшое число фиксированных переориентаций одной части зерна относительно другой. Поэтому интенсивность тек-стуры, обусловленной двойникованием в образце с беспорядочно ориентированными зернами, по всей вероятности, будет меньше интенсивности тексту-ры, возникшей вследствие базисного скольжения.

Другими словами, в этом случае роль двойникова-ния в упорядочении структуры не может рассмат-риваться как первостепенная.

Естественно предположить, что двойникование будет иметь место в тех локальных микрообъемах материала, где базисная плоскость преимущест-венно ортогональна плоскости сдвига, а потому не может быть задействована для реализации пласти-ческой деформации. В этой ситуации двойникова-

ние по системе 01112110 , согласно изло-

женному выше правилу, обеспечит разворот базисной плоскости на угол 86°, в результате чегоона сориентируется практически параллельно плоскости пересечения каналов РКУП матрицы.

Обобщая приведенные выше рассуждения, можно заключить, что РКУП деформация сплава AZ31 при комнатной температуре приведет к фор-мированию текстуры, соответствующей упорядо-ченному расположению базисных плоскостей спреимущественной ориентацией их нормалей вдоль некоторого направления (оси текстуры).Ось текстуры будет расположена в плоскости YOX(рис. 1) и составит с направлением экструзии угол δ = 90°– Φ/2. Число активных систем скольжения будет равно количеству направлений в базисной плоскости, соответствующих наибольшему значе-нию фактора Шмида.

3. Материалы и методика эксперимента

С целью подтверждения развитых выше поло-жений была исследована текстура промышленного сплава AZ31 после однократной РКУП деформа-ции при комнатной температуре. Брусок сплава размером 10×10×100 мм продавливали через кана-лы РКУП матрицы с углом пересечения 105°. Об-разец представлял собой пластинку размерами 10×10×2 мм, вырезанную из центральной части за-готовки сплава перпендикулярно направлению экструзии.

Рентгенографическое исследование текстуры проводили при помощи дифрактометра Texture (Siemens) в Cu-Кα излучении. Построение и расчет полюсных фигур вели с использованием про-граммного обеспечения Igor Pro 5 (продукт WaveMetrics Inc.) и LaboTex Inc. Особенности ко-личественного анализа преимущественных ориен-тировок изложены в работе [2]. Установка кри-сталлографических и кристаллических коорди-натных осей показана на рис. 2.

Величину фактора Шмида рассчитывали по ме-тодике, описанной в работах [26] для всех систем скольжения и двойникования. Полученный резуль-тат представили в виде комбинации μ0 / μ+ / μ–, где значения μ0, μ+ и μ– соответствуют вкладам от не-коллинеарных направлений сдвига в плоскости


каждого типа, где реализуется пластическая де-формация (рис. 3, а).

а)

б)

Рис. 2. Кристаллическая и кристаллографическая установка координатных осей по отношению к образцу (а) и гексагональной системе координат (б) (X, Y, Z – оси кристаллической системы коор-динат, LD – продольное направление, TD – попе-речное направление, ED – направление экструзии)

Двойникование, а также пирамидальное

скольжение в плоскостях типа 2211 , может осу-

ществляться по шести независимым направлениям. В связи с этим из каждой пары направлений, при-надлежащих плоскостям (граням) одной четырех-гранной пирамиды (см. рис. 3, б), выбрали то, ко-торому отвечает больший фактор Шмида.

а)

б)Рис. 3. К пояснению выбора направлений сдвига при расчете фактора Шмида: а – неколлинеарные направления скольжения в плоскостях типа

{ 0002 }, { 0110 } и { 1110 }, б – пример плоскостей

типа { 1110 }, принадлежащих одной четырех-гранной пирамиде

4. Результаты экспериментаи их обсуждение

Полюсные фигуры, соответствующие отраже-ниям от плоскостей с индексами (002), (100), (101)и (110) в заготовке, прошедшей однократную РКУП деформацию при комнатной температуре, представлены ниже на рис. 4. Крестиками на про-екциях обозначены местоположения полюсов плоскостей, принадлежащих локальным микро-объемам материала с одинаковой кристаллографи-ческой ориентацией. С целью расшифровки полу-ченных распределений интенсивности принимается, что в исходном состоянии (до де-формации) плоскость, для которой построена по-люсная фигура, располагается параллельно по-верхности образца и ориентирована по отношению к его системе координат так, как показано на рис. 2, б. После деформации исследуемая плоскость за-


а)

б)

в)

г)

Рис. 4. Полюсные фигуры, снятые для различных плоскостей в образце сплава AZ31, прошедшего РКУП деформацию при комнатной температуре: а – (002), б – (100), в – (101), г – (110)

нимает новое положение, отвечающее некоторым индексам hkl в исходной кристаллографической

системе координат. Лежащее в плоскости направ-ление скольжения теперь характеризуется индек-

сами uvw .

Как и следовало ожидать, наибольшая интен-сивность отражений характерна для плоскостей базиса (002), причем сам текстурный максимумсмещен от центра в направлении TD. В процессе деформации базисные плоскости в заготовке сори-ентировались таким образом, что их нормали вы-строились преимущественно вдоль прямой, со-ставляющей с направлением экструзии угол 38–40°относительно оси канала прохода, а сама базисная плоскость сориентировалась параллельно плоско-сти сдвига. Тем самым сформировалась волокни-

стая текстура с осью 100210 . Приведенное зна-

чение угла согласуется с результатом, который может быть получен из формулы 90°– Φ/2 для Φ =105°.

Таблица 1. Значения фактора Шмида для образца сплава AZ31, деформированного в каналах РКУП матрицы одним проходом при комнатной темпе-ратуре (ось напряжений вдоль направления [001])

Системаскольжения

(двойникования)

Фактор Шмидаμ0 / μ+ / μ–

Базисная 0.43 / 0.43 / 0.00Призматическая 0.00 / 0.20 / 0.20

Перваяпирамидальная

0.00 / 0.20 / 0.20

Втораяпирамидальная

0.27 / 0.13 / 0.05

Двойникование

2110 01110.19 / 0.19 / 0.06


1110 21100.23 / 0.23 / 0.01

Рассчитанные значения фактора Шмида для текстуры указанного типа приведены в табл. 1. В данном случае направление оси образца было вы-брано совпадающим с направлением экструзии ED(см. рис. 2), которое в кристаллографических ко-ординатах соответствует индексам 001 . Хорошо

видно, что наиболее высокие значения данного по-казателя μ0 = μ+ = 0.43. Следовательно, приве-денное напряжение сдвига достигается в именно базисной плоскости скольжения. Исходя из этого,деформация в процессе РКУП развивалась пред-


положительно по базисным плоскостям. Наличие двух направлений с одинаковыми значениями фак-тора Шмида μ0 = μ+ = 0.43 и одного с μ- = 0 ука-зывает на то, что в ходе прессования, по-видимому, были задействованы именно два на-правления скольжения, что согласуется с вывода-ми, сделанными на основе предложенной ранее модели.

Аналогичная ситуация наблюдается и при рас-чете факторов Шмида, когда направление оси об-разца выбирается таким образом, что совпадает с поперечным направлением TD (табл. 2), которое в исходной установке (см. рис. 2) расположеновдоль направления 120 .

Таблица 2. Значения фактора Шмида для образца сплава AZ31, деформированного в каналах РКУП матрицы одним проходом при комнатной темпе-ратуре (ось напряжений вдоль направления [120])

Системаскольжения

(двойникования)

Фактор Шмидаμ0 / μ+ / μ–

Базисная 0.43 / 0.43 / 0.00Призматическая 0.00 / 0.25 / 0.25

Перваяпирамидальная

0.00 / 0.22 / 0.22

Втораяпирамидальная

0.22 / 0.03 / 0.04


2110 01110.16 / 0.16 / 0.10


1110 21100.12 / 0.12 / 0.02

Системы двойникования характеризуются практически вторым по величине фактором Шми-да μ0 = μ+ = 0.19 ÷ 0.23 (см. табл. 1) и в то же вре-мя, значительно меньшим значением критических касательных напряжений при комнатной темпера-туре по сравнению с призматическими и пирами-дальными системами скольжения [12]. Указанные обстоятельства свидетельствует в пользу двойни-кования как предпочтительного механизма дефор-мации перед скольжением в небазисных плоско-стях.

Таким образом, преимущественный вклад кон-кретной системы скольжения в деформацию и об-разование текстуры в ходе РКУП может быть ус-тановлен, исходя из предложенного геометричес-кого рассмотрения на основе правила Шмида. При комнатной температуре формирование текстуры в магниевых сплавах происходит в процессе реали-зации пластической деформации скольжением дислокаций по двум направлениям в базиснойплоскости и (или) двойникованием. При этом вклад двойникования как самостоятельного меха-низма образования текстуры оказывается меньше.

За плодотворную дискуссию по расчету волок-нистой текстуры авторы выражают свою призна-тельность профессору лаборатории кристаллогра-фии г. Кана (Франция) Daniel Chateigner, а также Министерству образования Пермского края за со-финансирование работы по Соглашению № С-26/2011 и Министерству образования и науки Рос-сийской Федерации за частичное финансирование работы по математическому моделированию ин-тенсивной пластической деформации (рук. Скря-бина Н.Е.).


1. Тарасов Б. П., Лотоцкий М. В., Яртысь В. А.Проблема хранения водорода и перспективы использования гидридов для аккумулирования водорода // Рос. Хим. Журн. 2006. Т. 1, №. 6. C.34–48.

2. Скрябина Н. Е., Fruchart D., Girard G., MiragliaS. Формирование текстуры деформации в спла-ве AZ31 под воздействием равноканального уг-лового прессования // Вестн. Перм. ун-та. 2010.Сер. Физика. Вып. 1 (38) С. 97–101.

3. Girard G., Fruchart D., Miraglia S. et al. EqualChannel Angular Pressing (ECAP), a severe plasticdeformation (SPD) technique to promote fast hy-drogen absorption in mg alloys // Metal HydrogenSystems: Proc. Inter. Sympos. Moscow, Russia,2010. P. 141.

4. Cao Y., Li H., Szpunar J., Shmayda W. T. Effectsof Textures on Hydrogen Diffusion in Nickel //Material Science Forum. 2002. Vol. 408–412. P.1139–1144.

5. Ye S., Ouyang L., Zhu M. Hydrogen storage prop-erties of preferentially orientated Mg-Ni multilayerfilm prepared by magnetron sputtering // Rare Met-als. 2007. Vol. 25, № 6. P. 295–299.

6. Mehrer H. Diffusion In Solids: Fundamentals,Methods, Materials Diffusion-Controlled Proc-esses. Leipzig: Springer-Verlag Berlin Heidelberg,2007. 651 p.

7. He Y., Pan Q., Qin Y. et al. Microstructure andmechanical properties of ultrafine grain ZK60 al-loy processed by equal channel angular pressing //J. Mater. Sci. 2010. Vol 45. P. 1655–1662.

8. Черняева Т. П., Грицина В. М. ХарактеристикиГПУ-металлов, определяющие их поведениепри механическом, термическом и радиацион-ном воздействии // Вопросы атомной науки итехники. 2008. Вып. 2. С. 15–27.

9. Del Valle J. A., Pérez-Prado M. T., Ruano O. A.Deformation Mechanisms Responsible for theHigh Ductility in a Mg AZ31 Alloy Analyzed byElectron Backscattered Diffraction // Metal. Mater.Trans. Eng. 2005. Vol. 36A. P. 1427–1438.

10. Liu Y., Wu X. An Electron-Backscattered Diffrac-tion Study of the Texture Evolution in a Coarse-


Grained AZ31 Magnesium Alloy Deformed inTension at Elevated Temperatures // Metal. Mater.Trans. Eng. 2006. Vol. 37A. P. 7–17.

11. Yang P., Meng L., Hu Y. et al. Analysis of Defor-mation Processes of Magnesium Alloy at ElevatedTemperatures By Orientation Mapping // ImageAnalysis & Stereology. 2004. Vol. 23. P. 53–61.

12. Barnett M. R. A Taylor Model Based Descriptionof the Proof Stress of Magnesium AZ31 duringHot Working // Metal. Mater. Trans. 2003. Vol.34A. P. 1791–1806.

13. Li H., Hsu E., Szpunar J. et al. Determination ofActive Slip / Twinning Modes in AZ31 Mg AlloyNear Room Temperature // J. Mater. Eng. Perfom.2007. Vol. 16, № 3. P. 321–326.

14. Knezevic M., Levinson A., Harris R. et al. Defor-mation twinning in AZ31: Influence on strain hard-ening and texture evolution // Acta Mater. 2010.Vol. 58. P. 6230–6242.

15. Скрябина Н. Е., Заболотский Д. С., Fruchart D.et al. Инновационные технологии. Перспектив-ные материалы для водородной энергетики // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Физика. 2009. Вып. 1(27). С. 89–96.

16. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M. Delannay L. De-formation Texture Prediction: From The TaylorModel To The Advanced Lamel model // Int. J.Plasticity. 2005. Vol. 21. P.589–624.

17. Трусов П. В., Ашихмин В. Н., Швейкин А. И.Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических мате-риалов // Механика композиционных материа-лов и конструкций. 2009. Т. 15, № 3. С. 327–344.

18. Полухин П. И., Горелик С. С., Воронцов В. К.Физические основы пластической деформации.М.: Металлургия, 1982. 584 с.

19. Lin Т. H. Analysis of elastic and plastic strain inface-centered cubic crystal // Journal of the Me-chanics and Physics of Solids 1957. № 5. P. 143–149.

20. Линь Т. Г. Физическая теория пластичности // Физические теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. 1976. Т. 7. С. 7–68.

21. Lebensohn R. A., Tome C. A Self-Consistent Vis-coplastic Model: Prediction Of Rolling TexturesOf Anisotropic Polycrystals // Mater. Sci. Eng.1994. Vol. 175. P. 71–82.

22. Huang S., Zhang S., Li D. Modeling texture evolu-tion during rolling process of AZ31 magnesium al-loy with elastoplastic self consistent model //Trans. Nonferrous Met. Soc. China. 2011. Vol. 21.P. 1348–1354.

23. Beyerlein I. J., Lebensohn R. A., Tome C. Model-ing texture and microstructural evolution in theequal channel angular extrusion process // Mater.Sci. Eng. 2003. Vol. 345. P. 122–138.

24. Ghaderi A., Barnett M. R.. Sensitivity of deforma-tion twinning to grain size in titanium and magne-sium // Acta Mater. 2011. Vol. 59. P. 7824–7839.

25. Barnett M. R., Keshavarz Z., Beer A. G., Ma X.Non-Schmid behavior during secondary twinningin a polycrystalline magnesium alloy // Acta Mater.2008. Vol. 56. P. 5–15.

26. Скрябина Н. Е., Пинюгжанин В. М., FruchartD. Механизмы формирования текстуры сплаваAZ31 в процессе РКУП // Вестн. Перм. ун-та.Сер. Физика. 2011. Вып. 2 (17). С. 79–85.

Deformation mechanisms of formation of AZ31alloy texture during ECAP

N. Е. Skryabina a, V. М. Pinyugzhanina, D. Fruchartb

a Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Permb Institute L. Neel, CNRS, BP166, 38042, Grenoble, France

The mechanisms of formation of texture in AZ31 alloy via equal channel angular pressing (ECAP)at the room temperature are researched. It is revealed that texture in the process of single pass formsdue to basal slip and twinning. Theoretical consideration within conceptions of mechanics of struc-tured medium allows establishing the correlation between deformation conditions in the shear zoneand type of the texture. It is showed that Schmid factor in the case of textured polycrystalline mate-rials can be used for an estimation of capabilities of plastic deformation by means of certain mecha-nism.

Keywords: plastic deformation, ECAP, texture, AZ31, Schmid factor.

© Кюнцель И. А., 2012

74


УДК 543.422.25; 539.143.44

О температурной зависимости энергии активации термически активированных движений в твердых телах

И. А. КюнцельПермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Рассмотрена концепция температурной зависимости энергии активации термически активи-рованных внутрикристаллических молекулярных движений. Концепция позволяет удовлетво-рительно объяснить все особенности различных наиболее полно изученных методом ядерно-го квадрупольного резонанса движений.

Ключевые слова: ядерный квадрупольный резонанс, термоактивированная подвижность, энергия акти-вации.

1. Введение

Термически активируемые движения, пред-ставляющие собой дискретные скачки молекул или их фрагментов между возможными положениями равновесия, интенсивно изучаются в настоящее время многочисленными методами как в газооб-разном и жидком, так и в твердом состоянии хи-мических веществ. Интерес к этим исследованиям вызван современными представлениями о важной роли термически активируемых движений в фор-мировании таких свойств соединений, которые связаны с их химической и биологической актив-ностью. Примером могут служить реакции катали-за, скорость которых может быть прямо связана со скоростью термоактивированных движений. Осно-ванием для этого предположения служат имею-щиеся к настоящему времени данные о наличии термически активированной подвижности в про-межуточных продуктах реакций ряда веществ, об-ладающих ярко выраженными каталитическими свойствами (SnCl4, SbCl3, Cl2, AlBr3 и др.).

В твердых телах основными методами изуче-ния термически активируемых движений являются методы радиоспектроскопии, и в частности методядерного квадрупольного резонанса (ЯКР). Вслед-ствие специфического характера связи спектраль-ных (резонансная частота и ширина линий) и осо-бенно релаксационных (время спин-решеточной релаксации) параметров ЯКР с локальным распре-делением электрических полей метод ядерного квадрупольного резонанса обеспечивает высокую

чувствительность при регистрации термически ак-тивированных движений, возможность надежной идентификации их типов и получение точной ин-формации о количественных параметрах движе-ний. К настоящему времени этим методом изучено значительное число химических соединений, обла-дающих различными видами термоактивирован-ной подвижности. Быстрое количественное накоп-ление информации создает возможность анализи-ровать совокупность данных для однотипно построенных соединений, где осуществляется мо-лекулярное движение одного вида, и получать ин-тегральную информацию о закономерностях моле-кулярной термоактивационной подвижности.

В работах [1–6] нами проанализированы ре-зультаты исследований методом ядерного квадру-польного резонанса трех видов термоактивирован-ных движений (далее ТАД): реориентаций симметричных групп CCl3 около оси симметрии 3-го порядка, псевдовращательного движения ато-мов хлора в молекулах с тригонально-бипирамидальной формой и реориентационно-инверсионного движения групп NO2 в хлориро-ванных нитробензолах. Обнаружено их сущест-венное различие, заключающееся в различном поведении параметров, описывающих темпера-турную зависимость времени T1 квадрупольной спин-решеточной релаксации ядер хлора, регист-рирующих движение. Здесь мы рассмотрим более подробно основные результаты этого анализа, свя-занные с температурным поведением энергии ак-тивации ТАД.

О температурной зависимости энергии активации… 75

2. Время спин-решеточной релаксации квадрупольных ядер при наличии ТАД

Характер действия термоактивированного дви-жения на время T1 спин-решеточной релаксации квадрупольных ядер различен в зависимости от то-го, находятся они внутри движущегося фрагмента или вне его. Пример типичного поведения зависи-мости T1(T) ядер, участвующих в термически акти-вируемом движении непосредственно, показан на рис. 1 для ядер 35Cl в комплексном соединении 2SbCl3·C6H4(СH3)2-p [7], где три атома хлора фраг-ментов SbCl3 совершают псевдовращательное движение. Подобный характер зависимости T1(T)наблюдается и в случае реориентационного дви-жения трихлорметильной группы. Здесь кривые T1(T) обычно демонстрируют две четко выражен-ные области. При низких температурах релаксация определяется колебательными (либрационными) движениями молекул и их фрагментов, которые создают малоэффективный механизм температур-ного изменения T1, аппроксимируемый следующей эмпирической формулой:

naTTT либр)(1

1 . (1)

Либрационный механизм действует при всех тем-пературах; в молекулярных кристаллах при квази-гармоническом режиме колебаний показатель сте-пени n имеет величину равную ~2.

Т пл

-1

0

1

2

3

2 4 6 8 10 12 14

1/(T , кK)

lg(T

1,

мc)

Рис. 1. Температурная зависимость времени квадрупольной спин-решеточной релаксации ядер 35Cl в кристалле 2SbCl3·C6H4(СH3)2-p [7]. Сплош-ные линии – аппроксимация уравнениями (1)–(3).Штриховые и штрихпунктирная линии – экстра-поляция вкладов от либрационного движения и псевдовращения. Тпл – точка плавления комплекса

Термоактивированное движение создает значи-тельно более эффективный механизм релаксации, который быстро становится доминирующим при высоких температурах. Активационный механизм описывается обычно формулой

)/exp(

)/exp()( 0cакт1

1

RTEb

RTEkkTT

. (2)

В этой формуле коэффициент k определяется гео-метрией конкретного вида движения, ωc – частота корреляции движения, E – энергия активации, ω0 –множитель порядка частоты молекулярных коле-баний, имеющей величину 1012 – 1013 с–1, R – уни-версальная газовая постоянная. Экспоненциальный рост частоты ТАД приводит к росту ширины ли-нии, который происходит по аналогичному закону, и быстрому затуханию (увяданию) сигнала ЯКР часто задолго до плавления кристалла; температу-ра, выше которой сигнал уже не виден, называется температурой увядания Tув. Полная скорость спин-решеточной релаксации определяется суммой вкладов (1) и (2):

актлибрнабл )()()( 11

11

11 TTTTTT . (3)

Наблюдаемое обычно изменение T1 на термоакти-вационном участке кривой T1(T) в зависимости от соотношения вкладов (1) и (2) составляет 1 – 3 по-рядка величины на интервале температур до ~50–70 градусов. Либрационный и термоактивацион-ный вклады показаны на рис. 1 пунктирными и штрихпунктирной линиями соответственно. Вид-но, что на каждое из трех неэквивалентных ядер хлора в молекуле либрации действуют неодинако-во в зависимости от резонансной частоты ядра и его ориентации по отношению к осям молекуляр-ных колебаний [8] (резонансный механизм релак-сации). Термоактивационный же вклад (нерезо-нансный механизм [9, 10]) одинаков для всех ядер, участвующих в одном общем движении (в данном случае рис. 1 демонстрирует развитие псевдовра-щения, в котором участвуют одно аксиальное и два экваториальных ядра хлора молекулы комплекса). Описанное поведение зависимости T1(T) наблюда-ется для реориентаций трихлорметильной группы и для псевдовращения, где резонирующие ядра хлора участвуют в движениях.

Термоактивированное движение нитрогруппы NO2 наблюдалось по поведению зависимости T1(T)ядер хлора, соседних по отношению к данной группе (см. ссылки в работе [6]). В этом случае движущаяся группа создает на квадрупольном яд-ре-зонде так называемый модуляционный меха-низм спин-решеточной релаксации, который менее эффективен по сравнению с вышеописанным акти-вационным механизмом, поскольку он обусловлен флуктуациями очень небольшой части градиента электрического поля, создаваемого движущейся группой на соседнем квадрупольном ядре-зонде. Модуляционный вклад в зависимость T1(T) выра-жается формулой [11]

22

22

22

11

1

'

31)(

c

c

c

cмод

q

qCTT , (4)

где C – коэффициент, характеризующий степень невалентных взаимодействий движущейся группы

76 И. А. Кюнцель

с резонирующим ядром, = 2, – частота ЯКР, q' – доля ГЭП на квадрупольном ядре, создаваемая движущейся группой, q – полный ГЭП на квадру-польном ядре, )/exp(0c RTE – время корреля-

ции, а E – энергия активации движения. Модуля-

ционный вклад также аддитивен с либрационным вкладом (1). Он не приводит к увяданию сигнала ЯКР, а основным его проявлением в релаксации является появление более или менее выраженного минимума в зависимости T1(T) квадрупольных ядер-зондов. Пример такого поведения приведен на рис. 2.

Т пл

0

0.4

0.8

1.2

2 4 6 8 10

1/(T , кК)

lg(T

1,

мс)

Рис. 2. Температурная зависимость времени квадрупольной спин-решеточной релаксации ядер 35Cl в пикрилхлориде, 2,4,6-(NO2)3C6H2Cl [12].Сплошная линия – аппроксимация суммой уравне-ний (1) и (4). Штрихпунктирная и штриховые ли-нии – вклады от либрационного движения молеку-лы и активационного движения двух динамически неэквивалентных групп орто-NO2. Тпл – точка плавления

Для анализа конкретного вида ТАД в группе однотипных соединений представляет интерес ис-пользовать параметры ЯКР в температурных точ-ках, которые либо являются специфическими для метода ЯКР, либо выбраны искусственно по опре-деленному правилу. К первым относятся темпера-турные точки, связанные с явлением увядания ре-зонансных сигналов, Tув, когда квадрупольные ядра непосредственно участвуют в ТАД, и с мини-мумом в температурной зависимости времени T1,Tмин, когда квадрупольные ядра чувствуют движе-ние соседних молекулярных фрагментов, создаю-щее модуляционный механизм релаксации. Во втором случае это так называемые условные точки Tусл. Во всех случаях принцип анализа данных одинаков (см. [3, 6]), и мы рассмотрим его на при-мере условной температуры.

По нашему определению, условная температу-ра – это температура, при которой время T1акт ≡(T1акт)усл имеет определенное, выбранное нами зна-чение. Как было показано ранее [3], в качестве (T1акт)усл удобно выбрать значение 1 мс. В этом слу-чае из уравнения (2) можно получить

услусл TATk

RE

1000

ln 0 . (5)

Для каждого вида ТАД коэффициент k имеет кон-кретную величину, определяемую, как уже говори-лось, геометрией движения. Коэффициент ω0 при этом в разных соединениях также не должен зна-чительно зависеть от особенностей внутри- и меж-молекулярного строения, и с учетом того, что он стоит под знаком логарифма, можно принять, что в первом приближении коэффициент A является константой для данного движения. Таким образом, формула (5) должна хорошо описывать экспери-ментальные данные и представляет интерес для проверки используемой модели движения. Анало-гичные простые выражения можно получить для температурных точек Tув и Tмин [3, 6].

Наиболее интересные и ярко выраженные раз-личия демонстрируют результаты анализа реори-ентационного движения компактных симметрич-ных групп CCl3, с одной стороны, и псевдовращательного движения, включающего существенно неэквивалентные экваториальные и аксиальные связи тригонально-бипирамидальных молекул, с другой стороны.

Нами установлено, что наиболее подробно изу-ченное методом ЯКР реориентационное движение группы CCl3 вполне соответствует описанной про-стой модели (5). Показанные на рис. 3 результаты для ~70 реориентирующихся групп CCl3, получен-ные из математической обработки полных

y = 0.1862x

r 2 = 0.864

y = 0.1936x - 1.6739

r 2 = 0.8654

0

20

40

60

80

0 100 200 300 400

Т усл(акт), К

Е,

кДж

/мо

ль

Рис. 3. Соотношение между энергией активации реориентаций группы CCl3 и условной темпера-турой, при которой Т1акт(35Cl) = 1 мс [3]

экспериментальных кривых T1(T), укладываются на прямую, проходящую через начало координат [3, 5] с коэффициентом A = (186 ± 3) Дж/мольК, что оправдывает наше предположение о приблизи-тельном постоянстве коэффициента ω0 (для груп-пы CCl3 ω0 – это частота вращательных качаний группы), а значит и коэффициента b в формуле (2). Выполнение этого условия означает, что в случае реориентаций трихлорметильной группы для раз-ных соединений с индивидуальной энергией акти-


вации E все прямые T1(T)акт на графиках, подобных рис. 1, пересекают ось ординат в одной, достаточ-но узкой, области значений (средняя величина b=5.3×1012 с–1, соответственно ω0=4×1012 с–1, по-скольку для трихлорметильной группы k=4/3 [10]),хотя и с довольно большим разбросом, который характеризует величину экспериментальной ошиб-ки измерения (величина возможной ошибки опре-деления коэффициента b может достигать ± более одного порядка).

Качественно другое поведение демонстрируют данные ЯКР, полученные при изучении псевдо-вращения в тригонально-бипирамидальных моле-кулах хлорфосфоранов [2] и комплексов трихло-рида сурьмы [4, 5] (рис. 4). Здесь значения b могут

y = 0.3567x - 30.471

r 2= 0.9453

y = 0.2508x

r 2= 0.8603

0

40

80

120

0 100 200 300 400

Т усл(акт), К

E0,

кДж

/мо

ль

Рис. 4. Зависимость между измеренными (эф-фективными) значениями энергии активации псевдовращения и условной температурой, при которой T1акт(35Cl) = 1 мс, для комплексов три-хлорида сурьмы [4]

превышать 1017 с–1, что выходит за рамки обычных значений частот молекулярных колебаний, опре-деляющих параметры ЯКР (1012–1013 с–1). Обнару-женный в этих соединениях широкий диапазон из-менения предэкспоненциального множителя в уравнении Аррениуса (2) проявляется в том, что корреляционная прямая, связывающая энергию ак-тивации с условной температурой, проходит дале-ко от начала координат (рис. 4). Особенностью этих соединений является и тот факт, что между параметрами уравнения Аррениуса прослеживает-ся явная связь: чем больше E, тем больше b.

3. Интерпретация данных ЯКР. Температурная зависимость энергии активации

В работах [2, 4, 5] нами показано, что все отме-ченные особенности и закономерности исследо-ванных двух видов ТАД можно объяснить предпо-ложением о принципиальной возможности существования температурной зависимости энер-гии активации. В твердых телах этой зависимости вполне можно ожидать, поскольку энергия актива-ции в большой мере определяется межмолекуляр-

ным вкладом (см., например, [13]), который может оказаться чувствительным к изменению объема образца при его нагревании вследствие изменения межмолекулярных невалентных взаимодействий.

Как показано в работе [5], формулу (2) в более общем виде, т.е. с учетом температурной зависи-мости энергии активации, можно представить так:

,expexp1

exp

)(exp

)(exp)(

00

00

0акт1

1

RT

Eb

RT

E

RT

Ek

RT

TEk

RT

TEbTT

(6)

где TT

ETEE

)(0 , а TE / – температурный

коэффициент энергии активации; в молекулярных кристаллах он обычно отрицателен (кристалл рас-ширяется с ростом температуры, и энергия актива-ции уменьшается). Таким образом, значения коэф-фициентов b0 и E0 уравнения Аррениуса (6) (измеряемые эффективные значения) могут ока-заться больше значений kω0 и E (при данной тем-пературе). При TE / = 0 формула (6) переходит в формулу (2) с температурнонезависимой энерги-ей активации.

Измеряемая в эксперименте величина E0 имеет

смысл энергии активации при Т = 0 К, а величина b0, получаемая из данных весьма небольшого вы-сокотемпературного участка экспериментальной кривой T1(T) как константа, характеризует средний для конкретного соединения коэффициент темпе-ратурного изменения энергии активации

TE / ≡ C, соответствующий линейной аппрок-симации E0 = E – C·T зависимости Е(Т). В связи с

этим мы будем использовать формулу (6) в виде

.expexpexp)( 00

0акт

11

RT

Eb

RT

E

R

CbTT (6a)

Из формул (6), (6а) можно получить

Eусл = A·Tусл , (7)

где A = R∙ln(k0/1000) const для родственных со-

единений. В таком виде выражение (7) является общим для любого ТАД и имеет ту же форму, что и раньше (см. (5)), с той разницей, что в общем случае (7) Eусл есть конкретное значение темпера-турнозависимой энергии активации в точке Tусл.Подобные выражения справедливы для температур Tув и Tмин.

4. Параметры уравнения Аррениуса

Одним из наиболее интересных фактов, обна-руженных в соединениях с псевдовращением, яв-ляется, как уже говорилось, наличие корреляции между измеряемыми параметрами b0 и E0 уравне-ния Аррениуса (6), описывающего термоактиваци-онный вклад в релаксацию. Пример такой корре-


ляции показан на рис. 5 для псевдовращения в комплексах трихлорида сурьмы [4, 5]. Коэффици-ент корреляции довольно высок (r2=0.84), и зави-симость между параметрами, несомненно, есть. Аналогичная картина наблюдается и для псевдо-вращательного движения в хлорфосфоранах (r2=0.74 [2, 5]). Подобная корреляция в виде ли-нейного соотношения между логарифмом пред-экспоненты и энергией активации вида

qpEA ln (8)

y = 0.0628x + 11.478

r 2= 0.8408

y = 0.0428x + 11.022

r 2= 0.2292

7

11

15

19

0 30 60 90 120

E 0, кДж/моль

lg(b

0,

с-1)

Рис. 5. Соотношение между измеренными экспе-риментально параметрами уравнения Аррениуса, описывающего термоактивационный вклад в ско-рость спин-решеточной релаксации ядер 35Cl для псевдовращения в комплексах SbCl3 (светлые квадраты) и для реориентаций группы CCl3 (тем-ные квадраты)

часто наблюдается при изучении скоростей хими-ческих реакций, таких как реакции разложения, горения, взрыва и др. [14, 15], и обычно называет-ся компенсационным эффектом. Этот термин, вслед за авторами статьи [16], в которой впервые обращено внимание на возможность существова-ния температурной зависимости энергии актива-ции, использован в нашей статье [5] при описании фактов, изложенных выше. Однако такое механи-ческое заимствование термина в данном случае яв-ляется не вполне оправданным. При описании ки-нетики реакций термин “компенсационный эффект” характеризует конкретное вещество, для которого различными авторами получены различ-ные наборы параметров уравнения Аррениуса, часто очень сильно различающиеся. Дело в том, что названные выше реакции имеют сложную при-роду и измеряемая для них энергия активации ха-рактеризует общий (суммарный) процесс. Течение таких реакций зависит от многих факторов, свя-занных с предысторией образца, методикой прове-дения эксперимента; приводимые авторами ре-зультаты зависят также и от конкретной модели, использованной при интерпретации этого сложно-го процесса. Получаемые в таких условиях пара-метры, по существу, не имеют определенного смысла сами по себе, однако все они характеризу-ют реальную скорость химической реакции. Дей-

ствительно, при измерениях конкретной скорости реакции в одном и том же соединении завышенное (заниженное) значение энергии активации ведет к автоматическому увеличению (уменьшению) пре-дэкспоненты, что приводит к одному и тому же значению измеренной экспериментально скорости реакции (иллюстрацию этого можно представить на рис. 1: в показанных координатах прямая, соот-ветствующая активационному вкладу, “качается” приблизительно около точки, соответствующей середине температурного интервала, по которому определяются параметры уравнения Аррениуса в разных экспериментах). Термин “компенсацион-ный эффект” и характеризует подобную ситуацию. Наборы параметров уравнения Аррениуса, полу-ченные разными авторами, обычно удовлетворяют зависимости (8) при очень высоком коэффициенте корреляции. Таким образом, уравнение (8) опреде-ляет компенсационные параметры p и q конкрет-ного соединения, справедливые для всех измере-ний. Результат, значительно отклоняющийся от зависимости (8), считается ошибочным [14].

Результаты, полученные нами при интерпрета-ции данных ЯКР в соединениях с псевдовращени-ем, имеют другую природу. Термически активиро-ванное движение всегда рассматривается как элементарный процесс, имеющий вполне опреде-ленную энергию активации, которая зависит все-цело от конкретного строения молекулы и кри-сталла. Поэтому в нашем случае соотношение, показанное на рис. 5, не имеет тех свойств, кото-рые присущи уравнению (8), описывающему ком-пенсационный эффект в отдельно взятом соеди-нении. В то же время концепция температурной зависимости энергии активации дает простое объ-яснение существованию зависимости типа (8) в различных соединениях. Из соотношения (6) вид-но, что связь между E0 и lnb0 есть не что иное, как связь между энергией активации и ее температур-ным коэффициентом. Корреляция между E0 и ∂E/∂T вполне понятна. При нагревании кристалла изменение объема, вызывающее изменение меж-молекулярных расстояний, действует на межмоле-кулярную составляющую потенциального барьера.В однотипных соединениях объемные эффекты приблизительно одинаковы и приводят к более сильному изменению межмолекулярного вклада в энергию активации в том соединении, где этот вклад имеет большее значение. Поскольку величи-на барьера имеет еще и внутримолекулярную со-ставляющую, которая в разных соединениях может быть разной, то в нашем случае нельзя ожидать та-ких высоких значений коэффициента корреляции между измеряемыми параметрами, как это обычно бывает при описании кинетики реакций в конкрет-ном соединении [14, 15]. Таким образом, термин “компенсационный эффект” в нашем случае не от-ражает природу явления, и в концепции темпера-турной зависимости энергии активации вместо не-


го лучше ввести какой-либо другой термин, на-пример, термин “термоэффект”, под которым бу-дет пониматься существование корреляционной зависимости параметров уравнения Аррениуса, описывающего скорость квадрупольной релакса-ции при определенном типе ТАД.

Обнаружение корреляции между параметрами уравнения Аррениуса, по-видимому, является од-ним из весомых аргументов в пользу использова-ния концепции температурной зависимости энер-гии активации. Так, для реориентационного движения группы CCl3, рассмотренного в [3, 5], коэффициент корреляции зависимости lgb0 от E0

r2=0.23 (см. рис. 5), что значительно меньше, чем в случае псевдовращения. Это обстоятельство согла-суется с возможностью описания совокупных ре-зультатов простым соотношением (5). Таким обра-зом, оба эти факта свидетельствуют о незначительности влияния температуры на вели-чину энергии активации реориентаций группы CCl3. Тем не менее общая тенденция, просматри-вающаяся на рис. 5, не исключает полностью на-личия такого влияния, поскольку в данном случае оно может просто маскироваться эксперименталь-ными погрешностями. Примеры возможного при-менения концепции температурной зависимости энергии активации в случае реориентаций группы CCl3 рассмотрены в работе [17].

С другой стороны, иллюстрацию проявления значительного термоэффекта дают известные дан-ные по реориентационному движению фрагмента AlBr3 в комплексных соединениях типа AlBr3·основание [18–20] и MAl2Br7 [21], в которых измерены большие значения предэкспоненциаль-ного множителя b0. На рис. 6 для них показана за-висимость энергии активации от условной темпе-ратуры, вычисленной нами из данных [18–21], а нарис. 7 – соотношение между энергией активации и

y = 0.2107x

r2

= 0.7722

y = 0.3512x - 37.945

r 2= 0.9296

0

20

40

60

80

100

0 100 200 300 400T усл(акт), К

E0,

кДж

/мо

ль

Рис. 6. Зависимость между измеренными значе-ниями энергии активации движения и условной температурой для комплексов AlBr3

логарифмом предэкспоненты (термоэффект). Вид-но, что эти результаты хорошо согласуются друг с другом: с одной стороны, невозможность описать данные с помощью простых соотношений типа (5),

а с другой – большой коэффициент корреляции для термоэффекта. Этим они очень похожи на резуль-таты, полученные в случае псевдовращения. Таким образом, комплексные соединения бромистого алюминия – еще один пример возможного сущест-вования значительной температурной зависимости энергии активации, которая является, по-видимому, следствием большого активационного объема движущегося фрагмента.

y = 0.1105x + 7.3311

r 2 = 0.885

4

8

12

16

20

0 20 40 60 80 100

E 0, кДж/мольlg

(b0,

с-1)

Рис. 7. Соотношение между параметрами урав-нения Аррениуса (6) для термоактивационного движения ядер брома в комплексах AlBr3

Интересны результаты, полученные при иссле-довании термоактивированного движения группы NO2 в кристаллических нитрохлорбензолах. Из рис. 8 видно, что имеющиеся экспериментальные данные для этой группы [6] практически одинако-во описываются и простой функцией типа (5), и более общей линейной зависимостью со свобод-ным членом, которая только незначительно откло-няется от начала координат. В то же время провер-ка существования корреляции между параметрами уравнения Аррениуса, E0 и lnb0, дает для коэффи-циента корреляции небольшое значение r2=0.56.Оба эти факта свидетельствуют о незначительной температурной зависимости энергии активации. Рис. 8 показывает, что в первом приближении имеющиеся данные можно аппроксимировать про-стой формулой, аналогичной формуле (5), которая получается из условия минимума зависимости T1(T) ωτc = 1 (см. уравнение (4)):

минTBE , (9)

где )51.104()/ln( мин0 RB Дж/мольК, ω0 –

частота внутримолекулярных колебаний нитро-группы, ωмин – частота квадрупольного резонанса при температуре минимума зависимости T1(T). От-сюда можно оценить значение частоты характери-стических колебаний группы NO2, приняв в каче-стве ωмин среднюю частоту ЯКР в изученных до сих пор хлорнитробензолах (пределы ее изменения составляют 33–39 МГц; такое изменение может привести к изменению lnω0 только на доли про-цента). Ее среднее значение составляет ω0 =6.2×1013 с–1, что заметно больше, чем аналогичная


величина для группы CCl3 (ω0=4×1012 с–1). Форму-ла (9) позволяет быстро оценивать энергию акти-вации из оценки температуры Tмин, а при деталь-ном анализе полной зависимости T1(T) контро-лировать получаемые результаты.

y = 0.1177x - 2.9902

r2

= 0.8194

y = 0.1041x

r 2= 0.8072

0

10

20

30

0 100 200 300

T мин, К

E0,

кДж

/мо

ль

Рис. 8. Аппроксимация экспериментальных дан-ных, полученных для хлорпроизводных нитробен-золов, различными функциями [6]


Предложенный нами метод анализа экспери-ментальных данных, основанный на использова-нии характеристических температурных точек, ли-бо связанных со спецификой метода ЯКР, либо выбранных по определенному правилу, дал воз-можность провести исследование наиболее полно изученных к настоящему времени видов термиче-ски активированных внутримолекулярных движе-ний. Такой подход позволил объяснить аномаль-ные результаты, получаемые при анализе температурных зависимостей времени спин-решеточной релаксации квадрупольных ядер-зондов, на основе развитой концепции темпера-турной зависимости энергии активации движений. Полученные результаты позволяют взглянуть с но-вой стороны на изучаемые динамические процессы в кристаллах, а также получить простые формулы, полезные для оценки энергии активации в различ-ных условиях.


1. Кюнцель И. А. Комплексы хлороформа: спек-тры ЯКР 35Cl, строение и молекулярная дина-мика // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Физика. 2003. Вып. 1. С. 60–72.

2. Кюнцель И. А., Мокеева В. А. Оценка энергии активации псевдовращения в кристаллических хлорфосфоранах из данных ЯКР // Там же. 2007. Вып.1(6). С. 79–84.

3. Кюнцель И. А., Мокеева В. А. Оценка энергии активации реориентационного движения груп-пы CCl3 в кристаллах по данным ЯКР-спектроскопии // Журн. физ. хим. 2007. Т. 81, № 6. С. 1064–1069.

4. Кюнцель И. А., Мокеева В. А. ЯКР 35Cl и псев-довращение в кристаллических молекулярных комплексах трихлорида сурьмы с ароматиче-скими углеводородами // Коорд. хим. 2008. Т. 34, № 1. С. 17–21.

5. Кюнцель И. А., Мокеева В. А. Ядерный квадру-польный резонанс и термически активирован-ная молекулярная подвижность в твердых телах: реориентации симметричных молеку-лярных образований и псевдовращение в три-гонально-бипирамидальных молекулах // Физ. тверд. тела. 2011. Т. 53, №. 7. С. 1249–1254.

6. Кюнцель И. А., Мокеева В. А. ЯКР 35Cl в хлор-содержащих нитробензолах. Эффекты реориен-тационного движения нитрогруппы // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Физика. 2008. Вып.1(17). С. 42–45.

7. Кюнцель И. А., Мокеева В. А. Внутримолеку-лярная подвижность в комплексных соединени-ях 2SbCl3·п-(CH3)2C6H4 и SbCl3·C6H5COCH3 //Коорд. хим. 2001. Т. 27, № 12. С. 887–889.

8. Bayer H. Zur Theorie der Spin-Gitterrelaxation inMolekülkristallen // Z. Phys. 1951. Bd. 130, N 2.S. 227–238

9. Alexander S., Tzalmona A. Relaxation by slow mo-tional processes. Effect of molecular rotations inpure quadrupole resonance // Phys. Rev. 1965.Vol. 138, N 3A. P. 845–855.

10. Айнбиндер Н. Е., Амирханов Б. Ф., Изместьев И. В. и др. Ядерная квадрупольная спин-реше-точная релаксация при наличии медленных ре-ориентаций в молекулярных кристаллах // Физ. тверд. тела. 1971. Т. 13, № 2. С. 424–433.

11. Woessner D. E., Gutowsky H. S. Nuclear purequadrupole relaxation and its temperature depend-ence in solids // J. Chem. Phys. 1963. Vol. 39, N 2.P. 440–456.

12. Kyuntsel I. A. Cl-35 NQR study of thermoactivatedmotions of nitro groups in picryl chloride // Z.Naturforsch. 1996. Vol. 51a, N 5–6. P. 713–715.

13. Золотарев И. В., Осипенко А. Н., Сойфер Г. Б.Роль кристалла в формировании барьера ре-ориентаций атомных групп в твердых телах (по данным ЯКР-спектроскопии) // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Физика. 2003. Вып. 1. С. 47–52.

14. Brill T. B., Gongwer P. E., Williams G. K. Ther-mal decomposition of energetic materials. 66. Ki-netic compensation effects in HMX, RDX, andNTO // J. Phys. Chem. 1994. Vol. 98, N 47. P.12242–12247.

15. Vyazovkin S., Wight C. A. Kinetics in solids //Annu. Rev. Phys. Chem. 1997. Vol. 48. P. 125–149.

16. Лебедев Я. С., Цветков Ю. Д., Воеводский В. В.О происхождении компенсационного эффекта в случае реакции рекомбинации радикалов в об-лученных полимерах // Кинетика и катализ. 1960. Т. 1, № 4. С. 496–502.


17. Кюнцель И. А., Мокеева В. А. Воздействие тем-пературы на параметры реориентационного движения группы CCl3 в кристаллах // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Физика. 2011. Вып. 1(16). С. 69–75.

18. Ishihara H., Yamada K., Okuda T. et al. Molecularreorientation in AlBr3·NH3 as studied by the 81Brnuclear quadrupole resonance // Bull. Chem. Soc.Jpn. 1995. Vol. 68, N 7. P. 1863–1866.

19. Ishihara H., Nakashima S., Yamada K. et al. NQRstudy of AlBr3 complexes with donor-acceptor O–

Al bond // Z. Naturforsch. 1990. Vol. 45a, N 3–4.P. 237–242.

20. Yamada K., Okuda T., Negita H. 81Br and 27AlNQR of AlBr3·2C5H5N, AlBr3·1.5CH3CN andAlBr3·2CH3CN // Ibid. 1986. Vol. 41, N 1–2. P.230–235.

21. Yamada K., Okuda T., Ichiba S. AlBr3 group re-orientation in NaAl2Br7 and KAl2Br7 studied bymeans of 81Br, 27Al NQR and 27Al NMR // Bull.Chem. Soc. Jpn. 1987. Vol. 60, N 12. P. 4197–4201.

About temperature dependence ofthe activation energy of thermallyactivated motions in solids

I. A. Kyuntsel

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

The conception of the temperature dependence of the activation energy of thermally activated in-tracrystalline molecular motions has been considered. The conception explains satisfactorily all spe-cial properties of various thermally activated motions studied in detail by means of the nuclear quad-rupole resonance method.

Keywords: nuclear quadrupole resonance, thermally activated motions, activation energy.

© Спивак Л. В., Лунегов И. В., Сабиров А. А., Куликова М. А., Шеляков А. В., 2012

82


УДК 669.295.24; 669.788

Структура поверхности сплава Ti50Ni25Cu25до и после расстеклования

Л.В. Спивакa, И.В. Лунегова , А.А.Сабировa , М.А. Куликоваb,

А.В. Шеляковc

aПермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15b Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614000, Пермь, Комсомольский пр., 29аcМосковский инженерно-физический институт (Государственный университет), 115409, Москва, Каширское шоссе, 31

Впервые с помощью атомно-силового микроскопа исследована поверхность быстрозакален-ных сплавов системы TiNiCu в аморфном и кристаллическом состояниях. Обнаружены нано-размерные кристаллы, ориентированные нормально к поверхности ленты как до, так и после кристаллизационной обработки. Высказано предположение, что наноразмерные кристалличе-ские фазы в сплавах, находящихся в аморфном состоянии, являются “замороженными” цен-трами кристаллизации в процессах расстеклования.

Ключевые слова: кристаллический, аморфный, мартенсит, спектроскопия.

1. Введение

Появление новых методов исследования позво-ляет вернуться к рассмотрению тех вопросов, от-веты на которые не удалось получить ранее. В ча-стности, это относится к морфологии мартен-ситных кристаллов на поверхности быстрозака-ленных сплавов на базе квазибинарной системы TiNi-TiCu. Применение классических оптических методов и методов растровой электронной микро-скопии оказались в этом случае малоинформатив-ными, по-видимому, из-за относительно низкой разрешающей способности.

После охлаждения расплава со скоростью 106

К/с достигается состояние, которое можно охарак-теризовать как рентгеноаморфное. При нагреве сплава выше температуры расстеклования в про-цессе кристаллизации образуется (см. [1]) мелко-кристаллическая структура (В2–фаза с ОЦК кри-сталлической решеткой), которая при охлаждении ниже температуры мартенситного превращения (70 °С < Т) претерпевает переходы В2 В19 или В2 RВ19' [2]. Как известно, характерной осо-бенностью мартенситного превращения является возникновение на поверхности образца специфи-ческого рельефа. Изучение присущих такому рель-ефу особенностей и составило предмет настоящего

исследования.


Сплав Ti50Ni25Сu25 получали в виде ленты тол-щиной 4060 мкм методами спиннингования рас-плава и планарного литья со скоростью охлажде-ния около 106 К/с. Рентгеноструктурные исследования проведены на дифрактометрах ДРОН-3 и ДРОН-2 в медном излучении, 1, с мо-нохроматором. Рентгеноструктурным анализом ус-тановлено, что после охлаждения с такой скоро-стью сплавы находятся в аморфном состоянии.

Для исследования поверхности использовали атомно-силовой микроскоп Ntegra Prima. В рабо-те реализован метод контактной топографии. Ско-рость сканирования зависела от рельефа поверхно-сти и чувствительности кантиливера.

Исследование проводилось на гладкой, проти-воположной контактной, поверхности ленты.


Изучение сплава в исходном аморфном состоя-нии показало (см. рис. 1), что поверхность ленты имеет негомогенное строение с лакунами, обу-словленными скорее всего выходом растворенных

Структура поверхности сплава Ti50Ni25Cu25 до и после расстеклования 83

в жидком металле газов при сверхбыстром охлаж-дении расплава.

Характерный размер таких элементов лежит в пределах 1020 нм по высоте и нескольких мкм в двух других измерениях. Наблюдаемая картина существенно изменяется при переходе к рассмот-рению поверхности ленты сплава, находящемся в кристаллическом состоянии. Для нее характерна относительно однородно структурированная по-верхность с простой 2Dтопологией.

Рис. 1. Строение поверхности АМС в ис-ходном состоянии. 3Dпредставление

Картина существенно усложняется с переходом к 3Dинтерпретации результатов сканированиясплава в кристаллическом состоянии (рис. 2).

Рис. 2. Строение поверхности АМС `по-сле рекристаллизационного отжига. 3D

представление

Наблюдается “лес” ориентировочных к поверх-ности ленты игольчатых образований, которые можно трактовать как мартенситные кристаллы, возникшие при охлаждении В2–фазы ниже точки начала мартенситного превращения. Исследование выявило несколько морфологических типов таких образований. Первый из них, тонкоигольчатый, за-нимает подавляющую часть исследуемой поверх-ности. Второй, относительно немногочисленный тип кристаллов, имеет значительно большую тол-щину, чем первый. И наконец, третий морфологи-ческий тип имеет столбчатую морфологию и встречается избирательно на отдельных участках ленты.

Полученные результаты позволяют утверждать, что основное число возникающих в поверхност-ных объемах кристаллов ориентированы нормаль-но к поверхности, что, по-видимому, является следствием наличия в закристаллизовавшемся сплаве некоторой выраженной кристаллогеомет-рической текстуры в ориентации кристаллитов.

Рис. 3. Строение поверхности АМС `по-сле рекристаллизационного отжига. 3Dпредставление

Следует отметить, что ориентация мартенсит-ных кристаллов кристалллографически согласова-на с ориентацией исходной структуры В2–фазы.

Рис. 4. Строение поверхности АМС в ис-

ходном состоянии. 3D представление

Наличие нескольких морфологических типов структуры поверхности является, как мы полагаем, следствием сосуществования присущих данным сплавам мартенситных R, В19, В19 фаз.

Можно высказать предположение, что наблю-даемые мартенситные кристаллы в силу своей ори-ентации не участвуют в термомеханических эф-фектах, типичных для сплавов с эффектом памяти формы [3, 4].

Более детальное исследование поверхности сплава, находящегося в аморфном состоянии, при-вело к обнаружению на поверхности ленты обра-зований, похожих на отдельные элементы структу-ры поверхности такого же сплава, находящегося в кристаллическом состоянии (см. рис. 4, 5).

μm

nm

μmμm

nm

μm

μm

nm

μm

nm

μmμm

84 Л. В. Спивак, И. В. Лунегов, А. А. Сабиров, М. А. Куликова, А. В. Шеляков

Рис. 5. Строение поверхности АМС в ис-ходном состоянии. 3D–представление

Их присутствие можно связать с предположе-нием (см. [5]) о том, что в быстрозакаленном сплаве имеются "замороженные" центры кристал-лизации. В этих участках при температуре ниже температуры мартенситного превращения проис-ходит образование мартенситных кристаллов, вы-ход которых на поверхность ленты зафиксирован в данных экспериментах.


1. Показано, что после мартенситных превра-щений в прошедшем рекристаллизационную обра-ботку сплаве Ti50Ni25Cu25 мартенситные кри-сталлы могут быть ориентированы нормально к поверхности ленты и имеют различную морфоло-гию.

2. Гипотеза о наличии в быстрозакаленных сплавах “замороженных” центров кристаллизации находит определенное подтверждение в проведен-ных исследованиях.

3. Метод силовой атомной спектроскопии по-зволяет выявить не известные ранее особенности строения быстрозакаленных сплавов в аморфном и кристаллическом состояниях.


1. Rösner H., Schlossmacher P., Shelyakov A.V. etal. The influence of coherent TiCu plate-like pre-cipitates on the thermoelastic martensitic trans-formation in melt-spun Ti50Ni25Cu25 shape mem-ory alloys // Acta Mater. 2001. Vol. 49, P.15411548.

2. Potapov P. L., Shelyakov A. V., Schryvers D. Onthe crystal structure of TiNi-Cu martensite//Scripta Materialia. 2001. Vol. 44, N 1. P. 17.

3. Лихачев В. А., Кузьмин С. Л., Каменцева З. П.Эффект памяти формы. Л.: ЛГУ, 1987. 216 с.

4. Кондратьев В. В., Муслов С. А., Пушин В. Г. идр. Структура и свойства В2-соединений ти-тана. Предмартенситная устойчивость ОЦК(В2)-решетки // ФММ. 1988. Т. 66, № 2. С.359369.

5. Судзуки К., Фудзимори Х., Хасимото К.Аморфные металлы. М.: Металлургия, 1987.328 с.

Structure of Ti50Ni25Cu25 alloy surface before andafter devitrification

L. V. Spivaka, I. V. Lunegova, A. A. Sabirova, M. A. Kulikovab, A. V Shelyakovc

a Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Permb Perm State Technical University, Komsomolsky Pr., 29, 614000, Permb Moscow Engineering Physics Institute (State University), Kashirskoe Shosse, 31, 115409, Moscow

The surface of quickly hardening TiNiCu alloy systems in amorphous and crystalline conditions by meansof atomic-power microscope have been explored for the first time. The nano dimensional crystals orderlyoriented to the surface of a tape were discovered both before, and after crystallization processing. In theamorphous condition the nano dimensional crystalline phase may be represented as "frozen" crystalliza-tion centers in further devitrification processes.

Keywords: amorphous, crystalline, martensite, ASTM spectroscopy.

nm

μm μm

© Изместьев И. В., Коняев С. А., 2012

85


УДК 537. 226

Изменение диэлектрических свойств некоторых моторных масел при их деструкции

И. В. Изместьев, С. А. Коняев Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Экспериментально исследованы диэлектрические свойства ряда всесезонных моторных масел (ММ) различных производителей. Измерения компонент комплексной диэлектрической про-ницаемости при комнатной температуре проведены с помощью прецезионного анализатора диэлектриков WK6440B в интервале частот от 100 Гц до 3 МГц. Чистые масла представляют собой неполярные диэлектрики. В двух из девяти отработанных ММ обнаружено увеличение tgδ на частотах 100 кГц – 3МГц. Появление полярной компоненты в составе ММ связано с окислением молекул углеводородов исходного масла. При деструкции ММ появление макси-мума в частотной зависимости tgδ предложено рассматривать в качестве браковочного пока-зателя, а наблюдаемый максимум в диапазоне нескольких мегагерц рассматривать в качестве объективного критерия, служащего основанием для замены некоторых марок масел.

Ключевые слова: жидкие диэлектрики, моторные масла.

1. Введение

В настоящее время существует большой выбормоторных масел (ММ), без которых невозможна эффективная работа двигателя внутреннего сгора-ния. Наличие сил трения, износ поверхностей де-талей и тепловыделение на них отрицательно влияют на качество масла, его свойства изменяют-ся. В итоге ММ теряет свои первоначальные свой-ства, оно испытывает деструкцию. Окисление уг-леводородов масла, срабатывание присадок, накопление в масле продуктов неполного сгорания топлива, продуктов изнашивания деталей, воды, пыли – вот основные причины, приводящие к ста-рению масла. При эксплуатации масел изменяются такие показатели качества, как вязкость, темпера-тура вспышки, щелочное число, кислотное число и т.д. [1].

Разработка новых и совершенствование существующих методов диагностики качества ММ представляются важнейшими задачами как с научной, так и с экономической точек зрения. На практике браковка ММ осуществляется в основном не по его техническому состоянию, а по пробегу автомобиля. Использование ММ, которое в процессе эксплуатации подверглось деструкции и перестало отвечать установленным требованиям, существенно снижает ресурс двигателя. Кроме

этого, часто приходится иметь дело с отбраковкой имеющихся на рынке фальсифицированных масел и доставкой их с нарушением технических условий. Другими словами, существует проблема объективной оценки качества ММ как в начале, так и в процессе его эксплуатации. При невозможности теоретического рассмотрения таких задач в силу большой сложности структуры ММ как объекта исследования, эффективным подходом к решению задачи отбраковки ММ, с нашей точки зрения, является внедрение современных прецезионных радиофизических методов измерения. Внедрение таких методовконтроля ММ позволит снизить риск эксплуатации некачественных ММ и перейти к их отбраковке по техническому состоянию.

Химические свойства ММ определяют общее щелочное число (TBN), общее кислотное число (TAN), число сильных кислот (SAN), содержание серы, сульфатная зольность и другие. Такие пока-затели, как, например, TBN и TAN, используются в качестве диагностических параметров [1], по ко-торым можно судить о качестве ММ. Для практи-ческого применения приняты браковочные показа-тели срока службы ММ, которые приведены в табл. 1. Учитывая сложный состав ММ, в настоя-щей работе для характеристики степени деструк-ции некоторых масел предлагается использовать

86 И. В. Изместьев, С. А. Коняев

такую интегральную характеристику, как ком-плексная диээлектрическая проницаемость.

Согласно международному стандарту SAE (So-ciety of Automotive Engineers) моторные масла де-лятся на шесть зимних классов (0W, 5W, 10W, 15W, 20W и 25W) и пять летних (20, 30, 40, 50 и 60). В этих рядах большим числам соответствует большая вязкость. Всесезонные масла, пригодные для круглогодичного применения, обозначают сдвоенным номером, один из которых указывает зимний, другой — летний класс, например, SAE5W-30 или 10W-40, 15W-40, 20W-50 и т. п.

Таблица 1. Браковочные показатели срока службы ММ

Браковочные показателиДопустимые

изменения по-казателя, %

Прирост 25Изменение

вязкости Снижение 20

Содержание не раствори-мых в бензине примесей

1.0

Содержание воды 0.5

Содержание топлива 0.8

Ниже в табл. 2 приведен список всесезонных масел, которые были исследованы при выполнении настоящей работы. В последнем столбце указан пробег автомобиля, после которого масло посчи-тали отработанным и слили его.

Таблица 2. Список исследованных в работе масел

Но-мер мас-ла

Марка ММВязкость по SAE

Пробег автомо-биля, км

1 MOL 5W-40 35002 Mannol 5W-40 160003 Xado 5W-40 120004 Mobil 1 5W-40 100005 Castrol 10W-40 8000

6Лукойл Супер-люкс

10W-40 9000

7 Xado 10W-40 80008 Лукойл Люкс 10W-40 13000

9Лукойл Стандарт

15W-40 11000

2. Диэлектрические свойства моторных масел

Параметром диэлектрика, определяющим его способность образовывать ёмкость, является ди-электрическая проницаемость ε. Все жидкости ус-

ловно можно разделить на две группы: неполярные (ε=2÷3) и полярные, когда ε>3 [2].

Пусть мы имеем конденсатор произвольной формы и размеров (обозначим его ёмкость C0), в пространстве между электродами которого нахо-дится вакуум (вакуумный конденсатор). Если те-перь, не меняя размеров, формы и взаимного рас-положения электродов конденсатора, заполнить пространство между ними материалом с диэлек-трической проницаемостью ε, то ёмкость конден-сатора увеличится и достигнет значения С=εС0.Другими словами, диэлектрическую проницае-мость можно определить как число, показываю-щее, во сколько раз увеличится ёмкость вакуумно-го конденсатора, если мы, не изменяя размеров и формы, заполним его веществом.

Такие диэлектрики, как моторные масла, в силу ряда причин обладают способностью к дипольнойили ориентационной поляризации. Сущность этого вида поляризации, по мнению Дебая, сводится к повороту (переориентации) в направлении элек-трического поля имеющих постоянный дипольный момент молекул полярного диэлектрика [3]. В уп-рощённой модели молекула представляла собой шар, вращающийся с преодолением трения в вяз-кой среде. В некоторых случаях может иметь ме-сто поворот не целых молекул, а отдельных частей (сегментов). Характерное время между вращения-ми (время релаксации) может быть различным. Для дебаевской шаровой модели молекулы, вра-щающейся в жидкой среде, обладающей динами-ческой вязкостью η, время релаксации может быть выражено формулой

kTàc 3/4 3 . (1)

Очевидно, что время τc может быть различным: оно тем больше, чем больше размеры молекулы и чем больше динамическая вязкость как коэффици-ент внутреннего трения вещества.

В отличие от деформационной поляризации дипольная поляризация вызывает рассеяние элек-трической энергии, переходящей в диэлектрике в тепло, и приводит к появлению потерь, которые характеризуются углом диэлектрических потерь, тангенс которого представляет собой отношение активного и реактивного токов:

./tg pa II (2)

При параллельной схеме замещения конденса-тора с диэлектриком (которую мы применили при обсуждении результатов)

CUI p ; RUIa ; ./1/tg CRII pa (3)

Обычно диэлектрическую проницаемость рассмат-ривают как комплексную величину

j , (4)

Изменение диэлектрических свойств некоторых моторных масел… 87

действительная часть которой ε' представляет со-

бой “истинную” диэлектрическую проницаемость, а мнимая ε″ отражает потери, причём

.tg/ (5)

Величина ε″ равна коэффициенту диэлектрических

потерь tg .

Если при наложении поля с частотой ω учесть все три синусоидальных тока: ёмкостной ток, ток абсорбции и сквозной ток проводимости, то полу-чим формулы [3]

,0 sCC (6)

)]1([

)(tg

22

22

Cs

GsG

I

I

p

a , (7)

где s – соответствующая току абсорбции прово-димость, τ – время релаксации вектора поляриза-ции, С∞ – емкость заполненного диэлектриком конденсатора при больших частотах, когда не ска-зывается влияние реактивного компонента тока абсорбции

Рис. 1. Зависимость от частоты: а) емко-сти и б) тангенса угла диэлектрических потерь заполненного диэлектриком кон-денсатора

(в том числе из-за ориентационной поляризации дипольных молекул), G – сквозная проводимость диэлектрика. В соответствии с изложенными тео-ретическими предпосылками (6) и (7) зависимостьемкости заполненного диэлектриком конденсатора и tgδ от частоты приложенного к диэлектрику на-пряжения имеет вид графиков, показанных на рис.

1, а

tglim0

и 0tglim

. Кроме этого, при

ωД функция tg имеет максимум. Значение ωД

найдем в результате дифференцирования (7) по частоте и приравнивания производной к нулю. Ес-ли сквозной ток мал, то G << s, а в пределе при G =0 из формулы (7) получаем

cc

ÄC

s

2

1, (8)

C

sC

s

c

cìàêñ

212

tg

. (9)

Для случая чисто дипольного механизма потерь при s << C∞τс максимум tgδ наблюдается, когда

.1ñÄ (10)

Уравнение (9) – условие максимума диэлектри-ческих потерь в полярном диэлектрике при данной температуре. В другом крайнем случае для диэлек-трика, в котором существуют лишь потери от электропроводности, tgδ обратно пропорционален частоте.

При исследовании ММ возникает необходи-мость определения диэлектрической проницаемо-сти ε* сложного диэлектрика, представляющего собой хаотическую смесь большого числа компо-нентов. Для интерпретации результатов предложен ряд формул, вывод которых основан на различных теоретических предпосылках [3]. Широкое приме-нение, например, находит логарифмический закон, который для смеси m компонентов имеет вид

m

i iiy1 ,lglg (11)

где y i – объёмное содержание i-го компонента, ε i

– его диэлектрическая проницаемость. Так как состав конкретного ММ неизвестен, то

делать какие-либо выводы на основании (11) не-возможно. Можно предполагать, однако, что при окислении углеводородов, которые составляют ос-нову ММ, образуются молекулы с большим ди-польным моментом, которые в вязкой среде про-явят себя при изучении диэлектрических потерь. В частотной зависимости tgδ может появиться деба-евский максимум.

Поскольку ММ содержат большое количество присадок с различными химическими свойствами, то носителями заряда могут быть ионы (образую-щиеся вследствие диссоциации основных молекул жидкости или молекул примеси) либо более круп-ные (коллоидные) заряженные частицы [4,5]. Кол-лоидные частицы, абсорбируя свободные ионы жидкости, приобретают заряд. Такие частицы дви-гаются в направлении электрического поля, внося вклад в электрический ток. В связи с этим разли-чают два типа электропроводности жидких ди-

С0

С∞

sτ

ωа)

tgδ

ωωДб)

tgδмакс


электриков – ионную и катафоретическую. С уве-личением степени диссоциации увеличивается ди-электрическая проницаемость. В таких слабопо-лярных жидкостях, как углеводороды, состав-ляющие основу ММ, ионная электропроводность определяется в основном примесями, так как дис-социация основных молекул маловероятна. Наибо-лее часто встречающимися примесями согласно табл. 1 являются растворенные газы, вода, элек-тролитические загрязнения и мелкие твердые час-тицы. При обычной промышленной очистке жид-ких неполярных диэлектриков удельная проводимость γ обычно лежит в пределах от 10-8

до 10-10 См/м [5]. У полярных жидкостей проводи-мость может быть больше, так как степень диссо-циации молекул примесей в таких жидкостях вы-ше. Можно ожидать, что при деструкции удельная проводимость ММ будет возрастать вследствие поглощения влаги, образования продуктов поли-меризации, окисления масла, составляющего осно-ву ММ, и прочих весьма сложных химических процессов.

Как видно из соотношений (6), (7) и рис. 1, на-личие тока абсорбции приводит к увеличению как активной проводимости сверх величины G, так и емкости (сверх величины С∞). Если на переменном токе существуют лишь потери от электропровод-ности, то обратный коэффициент диэлектрических потерь пропорционален частоте

),108,1/()tg( 101 f (12)

где f выражено в Гц, а γ – удельная объемная про-водимость в См/м.

При выполнении работы проведены измерения диэлектрических свойств чистых и отработанных ММ из табл. 2, которые широко применяются в ав-томобилях с бензиновым двигателем. В качестве измерительной ячейки применен воздушный

Таблица 3. Результаты измерений на час-тоте 1 кГц

Чистое маслоОтработанное

маслоНо-

мер масла ε tgδ ε tgδ

1 2.37 0.15 2.43 0.11

2 2.34 0.21 2.36 0.11

3 2.26 0.17 2.52 0.21

4 2.25 0.15 2.52 0.20

5 2.34 0.18 2.61 0.17

6 2.43 0.13 2.50 0.13

7 2.25 0.06 2.58 0.14

8 2.44 0.36 24.80 0.38

9 2.30 0.05 2.42 0.03

подстроечный конденсатор КПВ – 50 пФ, который заполнялся тем или иным ММ, а измерения осуще-

ствлялись с помощью прецизионного анализатора компонентов WK6440B при комнатной температу-ре в диапазоне частот от 100 Гц до 3 МГц при на-пряжении на конденсаторе 1В. Результаты измере-ний на частоте 1 кГц приведены в табл. 3. Исключение составляет ММ8, для которого пред-ставлены результаты при f=100 Гц. Погрешность измерения емкости ячейки с образцом не превы-шала 0.2%, а тангенса угла диэлектрических по-терь – 0.001 [4].

Видно, что диэлектрическая проницаемость всех чистых ММ не превышает 3 при достаточно большом tg δ, величина которого определяется на-личием ионов кислотных и щелочных присадок. В отработанном масле диэлектрическая проницае-мость в среднем заметно увеличивается. Особенно это касается ММ8, в котором, видимо, при окисле-нии углеводородов образуются дипольные молеку-

Рис. 2. Частотные зависимости емкости и тангенса угла диэлектрических потерь заполненной маслом ячейки для двух ММ:а) и б) – чистое, в) и г) – отработанное ММ9 (пробег 11000 км); д) и е) – чистое, ж) и з) – отработанное ММ8 (пробег 13000 км)

лы с большой массой, движение которых из-за

увеличения локальной вязкости заторможено на-столько, что дебаевский максимум появляется на

2 4

С,

пФ

120

115

lg(f, Гц)а) lg(f, Гц)42

tgδ

0

0,2

б)

lg(f, Гц)2 4

С,

пФ

118

120

в)

tgδ

0

0,2

lg(f, Гц)2 4г)

lg(f, Гц)2 4

С,

пФ

115

120

д)

tgδ

0

2

lg(f, Гц)2 4е)

С,

нФ

0

1

lg(f, Гц)2 4ж) lg(f, Гц)2 4

tgδ

0,2

0,7

з)

Изменение диэлектрических свойств некоторых моторных масел… 89

частоте порядка 100 кГц. В качестве примера на рис. 3 приведены записи частотных зависимостей ёмкости и tgδ ячейки, заполненной чистыми и от-работанными маслами, когда процессы деструкции приводят к появлению максимума (ММ8) или пер-воначальному возрастанию tgδ (ММ9) при часто-тах, близких к 1 – 3 МГц за счет дебаевских по-терь. В других маслах при частотах до 3 МГц при комнатной температуре таких изменений не заре-гистрировано.

При обработке данных на низких частотах в

области практически гиперболического спада час-

тотной зависимости тангенса угла потерь (100 ÷

1000 Гц) с учетом формулы (12) построены зави-

симости обратного коэффициента диэлектриче-

ских потерь от частоты f и определены на пере-

менном токе удельные объемные проводимости γ

всех образцов. Среднестатистические зависимости

(εtgδ)-1 от частоты для каждого масла представля-

ют собой прямые линии с корреляционным отно-

шением R2 не менее 0,95. Результаты представлены

в табл. 4.

Таблица 4. Удельная проводимость ММ на переменном токе

Чистое маслоОтработанное мас-

лоНомер масла

γ, 10-8 См/м γ, 10-8 См/м

1 1.89 1.45

2 2.6 1.38

3 2.14 2.88

4 1.99 2.67

5 2.36 2.09

6 1.76 1.79

7 0.75 1.92

8 3.14 3.94

9 0.66 0.44

Из табл. 3 и 4 видно, что все чистые и отрабо-

танные масла – неполярные (за исключением отра-

ботанного ММ8) жидкости, имеющие высокую и

характерную для технических масел проводимость

[4].

Для наиболее вязких отработанных ММ8 и

ММ9 наблюдается не только определяемый про-

водимостью спад tgδ, но и увеличение его при вы-

соких частотах. В растворе сложного состава, ко-

торым является ММ, в обсуждаемом частотном

интервале начинают проявляться дебаевские ди-

польные потери. По мере увеличения срока экс-

плуатации ММ8 эти потери возрастают, а макси-

мум tgδ сдвигается в область частот,

составляющих сотни килогерц.

В процессе деструкции ММ8, как результат

окисления углеводородов, появляются полярные

макромолекулы, концентрация которых возрастает

при увеличении пробега автомобиля. Вязкость

ММ8 и ММ9 возрастает, а эффективное время

корреляции переориентации полярных молекул

увеличивается. Это интересная особенность дест-

рукции масла, которая, видимо, наряду с увеличе-

нием размеров коллоидных частиц, приводит к

коксованию (образованию твердых полимеров) на

поршневых кольцах двигателя внутреннего сгора-

ния. Появление дебаевского максимума tgδ в диа-

пазоне 2 – 3 мегагерц может служить основанием

для замены моторного масла.

3. Выводы

Все чистые исследованные ММ в целом пред-

ставляют собой неполярные жидкости с диэлек-

трической проницаемостью, находящейся в интер-

вале 2÷3.

Тангенс угла диэлектрических потерь в диапа-

зоне от 100 Гц до 1 МГц определяется проводимо-

стью масел, составляющей от 0,44×10-8 до 3,94×10-

8 См/м.

В процессе эксплуатации диэлектрические

свойства ММ заметно изменяются. Так, в маслах 8

и 9 проявляются диэлектрические потери, опреде-

ляемые образованием при окислении масла ди-

польных молекул. В результате в ММ8 появляется,

а в ММ9 намечается появление максимума дебаев-

ских потерь. С увеличением пробега автомобиля в

ММ8 величина максимума увеличивается и сдви-

гается в область более низких частот, что свиде-

тельствует о появлении дипольных молекул и уве-

личении их концентрации.

С учётом дальнейших исследований можно ре-

комендовать следующий критерий момента слива

отработанного масла: при появлении дебаевского

максимума в отработанном масле в диапазоне не-

скольких мегагерц масло следует сливать.


1. Гнатченко И.И., Бородин В.А., Репников В.Р.

Автомобильные масла, смазки, присадки: справ.

пособие. М.: АСТ; СПб.:Полигон, 2000. 360 с.

2. Надь Ш. Б. Диэлектрометрия. М.: Энергия,

1973. 200 с.

3. Тареев Б.М. Физика диэлектрических материа-

лов. М.: Энергия, 1973. 328 с.

4. Адамчевский И. Электрическая проводимость

жидких диэлектриков. Л.: Энергия, 1972. 295 с.

5. Борисова М.Э., Койков С.Н. Физика диэлектри-

ков. Л.: ЛГУ, 1979. 240 с.


Change of dielectric propertiessome engine oils at their destruction

I. V. Izmestiev, S. A. Konyaev

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

Dielectric properties of some all-weather engine oils (EO) of various producers are experimentallyinvestigated. Measurement of complex inductivity components at a room temperature are lead bymeans of precision analyzer of dielectrics WK6440B in the interval frequencies from 100 Hz up to 3MHz. Pure oils represent not polar dielectrics. In two of nine completed EO the increase tg δ on fre-quencies 100 kHz – 3 MHz is revealed. Appearance of polar components in structure of EO is con-nected with oxidation of molecules of hydrocarbons of initial oil. At destruction EO appearancemaxima in frequency dependence tg δ is offered as rejection parameter, and an observable maximumover the range several megahertz to observe as installation the objective criterion forming the basisfor replacement of some brands of oils.

Keywords: liquid dielectrics, engine oils.

© Семенищев А. П., Мамыкин А. Д., Шадт А. К., Лунегов И. В., 2012

91


УДК 669.295.24; 669.788

Моделирование микрополосковых линий в СВЧ–диапазоне

А. П. Семенищев, А. Д. Мамыкин, А. К. Шадт, И. В. Лунегов

Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

В настоящее время в качестве проводника высокочастотного поля в интегральной оптике ис-пользуется микрополосковая линия передачи, и в частности её разновидность – копланарный вол-новод. Использование копланарных волноводов в СВЧ-устройствах повышает гибкость конструи-рования, упрощает исполнение при реализации некоторых функций устройств. С помощью про-граммной среды моделирования CST Microwave Studio было изучено влияние геометрических раз-меров и различных материалов на s-параметры линии. Выбраны наилучшие сочетания для даль-нейшего применения.

Ключевые слова: микрополосковая линия, моделирование.

1. Введение

Симметричная полосковая линия (рис. 1,а) яв-ляется наиболее часто используемой линией пе-редачи СВЧ-диапазона.

Рис. 1. Полосковая (а) и микрополосковая (б) линии

Основным типом волны симметричной полоско-вой линии является ТEM-волна.

Конфигурация микрополосковой линии (МПЛ) показана на рис. 1,б. Микрополосковая линия яв-ляется неоднородной линией передачи, так как не все силовые линии поля между полосковым про-водником и заземленной пластиной проходят че-рез подложку. Поэтому волна, распространяющая-ся вдоль микрополоскового проводника, является не чистой ТEM-волной (является “квази – ТEM-волной”). Эффективная диэлектрическая прони-цаемость εэф меньше диэлектрической проницае-мости подложки, так как она учитывает поле вне подложки. В отличие от несимметричной полоско-вой линии с малым значением диэлектрической проницаемости подложки, в МПЛ электромагнит-ное поле концентрируется между микрополоском

и заземленным основанием (экраном), поэтому потери на излучение уменьшаются.

Рис. 2. Распределение в несимметричной по-лосковой линии электрического поля

Наглядное представление о структуре электро-магнитного поля в любой линии передачи дает его графическое изображение. Распределение элек-тромагнитного поля, тока, мощности в поперечном сечении воздушной микрополосковой линии пока-зано на рис. 2 [1].

Копланарные волноводы широко применяются в интегральных СВЧ–схемах. Использование ко-планарных волноводов в СВЧ–устройствах повы-шает гибкость конструирования, упрощает испол-нение при реализации некоторых функциональных устройств. Конфигурация копланарного волновода показана на рис. 3,а. Другая конфигурация (рис. 3,б) называется копланарной полосковой линией. Обе конфигурации относятся к категории “копла-нарных линий”, в которых все проводники распо-ложены в одной плоскости (на одной стороне под-

Моделирование микрополосковых линий в СВЧ–диапазоне… 92

ложки). Достоинством линий этих типов является возможность более простого монтажа пассивных и активных компонентов последовательно или па-раллельно с линией. При этом нет необходимости в высверливании отверстий или изготовлении па-зов в подложке.

Рис. 3. Копланарный волновод (а) и копланар-ная полосковая линия (б)

В копланарном волноводе и копланарной полоско-вой линии распространяется волна квази-TEM ти-па.

Копланарные волноводы используются в опти-ческих модуляторах на основе интерферометра Маха–Цендера. У таких модуляторов существует проблема, связанная с рассинхронизацией скоро-стей оптической и электромагнитной волн [2]. Од-ним из решений этой проблемы является внедре-ние буферного слоя между подложкой и электро-дами. Одной из задач данного исследования было промоделировать и проанализировать s-параметры линий с различными материалами и толщинами буферного слоя.


Моделирование проводилось программой CSTMicrowave Studio. Исследовалось влияние геомет-рических размеров и различных материалов на s-параметры линии. При варьировании размеров и материалов буферного слоя были использованы следующие материалы для буферного слоя: бензо-циклобутан (BCB), SiO2, Teflon AF 1600, TeflonAF 2400. Для каждого материала толщина буфер-ного слоя варьировалась в диапазоне 0.5–2 мкм с шагом 0.5 мкм. Для подложки был выбран матери-ал ниобат лития на х срезе. Перечислим следую-щие характеристики материалов:

• (LiNbO3) ниобат лития: ε=(43; 43; 28),tan(δ)=(0.004; 0.004; 0.004),

• (BCB) Бензоциклобутан: ε=2.7,tan(δ)=0.002,

• SiO2: ε=3.9,• Teflon AF 1600: ε=1.92, tan(δ)=0.0003,• Teflon AF 2400: ε=1.88, tan(δ)=0.0004.

Геометрические параметры моделируемой ли-нии:

• длина 1.5 см,• ширина 3.2 мм,• толщина подложки 500 мкм,• толщина электродов 10 мкм,• ширина управляющего электрода 10 мкм,• ширина зазоров между электродами 25

мкм.

Также была промоделирована топология patch-антенны [3] в виде полуволнового плоского резо-натора на рабочую частоту 40 ГГц для дальней-шего объединения с полосковой линией и созда-ния сенсора электрического поля на основе интер-ферометра Маха–Цендера. В ходе моделирования

Рис. 4. Поперечный срез моделируемой линии

варьировалась ширина антенны (W) и дополни-тельных patch-элементов (WC) (рис. 5). Расчетная длина антенны составляла 1106 мкм.

Рис. 5. Топология patch-антенны


Моделирование и анализ производились в по-лосе частот 30–40 ГГц. Исследование копланарной линии дало следующие результаты:

чем длиннее линия, тем больше полос “рабочих” частот, но тем они уже;

наиболее предпочтительно использовать высокие электроды: в этом случае копланарная линия является лучшим проводником электромаг-нитного излучения;

при данных геометрических параметрах материал электродов незначительно влияет на графики S-параметров, а значит, и на распростра-нение СВЧ-излучения.

Двойная, или разветвляющаяся, копланарная линия на данный момент является наиболее пер-спективным вариантом топологии для электрооп-тических модуляторов. Перспективность обуслов-лена высокой степенью симметричности данной топологии, а также тем, что оптические волноводы в подложке ниобата лития дублируют ход элек-тродов на поверхности. В результате этого дости-гается высокая степень модуляции, что позволяет

Моделирование микрополосковых линий в СВЧ–диапазоне… 93

либо снизить управляющее напряжение, либо уменьшить длину электродов, тем самым расши-рив “рабочую” полосу частот.

Лучшим материалом буферного слоя при x-срезе LiNbO3 стал BCB. На рис. 6, 7 представлены зависимости s-параметров от частоты при различ-ных толщинах буферного слоя из BCB при x-срезе LiNbO3.

Рис. 6. Зависимость s11 от частоты при раз-личных толщинах буферного слоя из BCB при x-срезе LiNbO3

Рис. 7. Зависимость s21 от частоты при различ-ных толщинах буферного слоя из BCB при x-срезе

LiNbO3

На рис. 6 видно, что максимальное затухание отраженной волны происходит на частоте 32.8 ГГц при толщине буферного слоя в 2 мкм. Из рис. 7видим, что на частоте 32.8 ГГц происходит мини-мальное подавление проходящей волны при тол-щине буферного слоя в 2 мкм.

В ходе моделирования антенны была полученаокончательная топология длиной L=1140 мкм,шириной W=990 мкм. На частоте 39.8 ГГц макси-мальное затухание отраженной волны составляет23.9 дБ, ширина полосы на уровне -10дБ равна

0.54 ГГц, что составляет 1.4% от центральнойчастоты и является типичным значением для по-лосковой антенны (рис. 8). Минимальное значение КСВн равно 1.13 на частоте 39.8 ГГц. В дальней-шем планируется моделирование объединенной топологии антенны и копланарной линии.

Рис. 8. Зависимость s11 patch-антенны


По результатам данного исследования можно сделать следующие выводы. Двойную копланар-ную линию можно использовать в широкополос-ных электрооптических модуляторах типа Маха–Цендера. Определяющими геометрическими пара-метрами для такого модулятора будут высота электродов и длина рабочей зоны. Увеличение указанной длины приведёт к увеличению числа резонансных пиков графика S11-параметра, что не скажется на работе модулятора в целом. Высота же электродов должна быть по возможности большей – порядка 15 мкм. Для x–среза ниобата лития лучшим на полосе 30–40 ГГц является BCBпри толщине буферного слоя в 2 мкм.

Работа проведена при финансовой поддержке Министерства Образования и Науки Российской Федерации, Договор № 13.G25.31.0004


1. Проектирование полосковых устройств СВЧ: учеб. пособие. Ульяновск, 2001. 129 с.

2. Удд Э. Волоконно-оптические датчики: ввод.курс для инженеров и науч. работников. М.: Техносфера, 2008. 520 с.

3. Панченко Б.А., Нефедов Е.И. Микрополоско-вые антенны. М.: Радио и связь, 1986. 144 с.

Modeling of microstrip lines in the microwave rangeA. P. Semenishchev, A. D. Mamykin, A. K. Shadt, I. V. Lunegov

Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm

At the present time as a conductor of high-frequency fields in integrated optics research, uses mi-crostrip transmission line. In particular, its variety – coplanar waveguide. The use of coplanarwaveguide in microwave devices, increases the flexibility of constructions simplifies the executionof the implementation of certain features. With the help of simulation software environment CSTMicrowave Studio has been studied the influence of geometrical dimensions and different materialson the s-parameters of the line. Selected the best combination for future use.

Keywords: microstrip lines, modeling.

2012 Серия: Физика Вып. 1 (19)

Documents

Transcript of 2012 Серия: Физика Вып. 1 (19)