физика к цт

Репетитор по физике и математике – Иванов Алексей Алексеевич www.alexeiivanov.com

Физика © 2008 - 2014 1.ДЗ. Кинематика

___________________________________________________________________________________________________________

1

1.00. Введение.

I. Элементарные математические сведения

В дальнейшем считается, что Вы имеете следующие познания.

1. 2 2a b a b a b

2. 2 2 22a b a ab b

3. 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

4. Корни квадратного уравнения 2 0ax bx c 1,2 ,

2

b Dx

a

где 2 4D b ac .

5. Операции со степенями.

5.1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению

степеней этих сомножителей с тем же показателем (abc...)n=anbncn..

5.2. Произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени

произведения этих величин anbncn...=(abc...)n

5.3. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же

степень делителя / /n n na b a b

5.4. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней

складываются aman=am+n или ama–n=am–n

5.5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя

вычитается из показателя степени делимого или

m mm nm n m n

n n

a aa a a

a a

5.6. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются: (am)n=amn

6. Элементарная тригонометрия

6.1 2 2sin cos 1x x

6.2 2 2cos2 cos sinx x x

6.3 sin2 2sin cosx x x

6.4 sin 1

tgcos ctg

xx

x x

6.5 Советую выписать на листик и иметь перед глазами (а к тестированию выучить)

формулы приведения и численные значения тригонометрических функций основных

углов.

7. Элементарная геометрия

7.1. Длина окружности 2L R

7.2. Площадь круга 2S R

7.3. Объем прямоугольного параллелепипеда V abc

7.4. Площадь поверхности шара 24S R

7.5. Объем шара 34

3V R

7.6. Теорема Пифагора 2 2 2c a b ,

где c – гипотенуза, a и b – катеты прямоугольного треугольника

7.7. Теорема косинусов 2 2 2 2 cosC A B AB

http://www.alexeiivanov.com/



___________________________________________________________________________________________________________

2

1.01. Перевод величин. Система СИ.

Система СИ

Основные единицы измерения величин в системе СИ таковы:

1. единица измерения длины - метр (1 м),

2. времени - секунда (1 с),

3. массы - килограмм (1 кг),

4. количества вещества - моль (1 моль),

5. температуры - кельвин (1 К),

6. силы электрического тока - ампер (1 А),

7. Справочно: силы света - кандела (1 кд, практически не используется при решении задач).

При выполнении расчетов в системе СИ углы измеряются в радианах.

Остальные физические величины – производные, то есть любую другую физическую величину

можно выразить через приведенные выше. Например, скорость выражается через единицы расстояния и

времени – м/с.

При переводе величин пользуйтесь таблицей (ее нужно выучить):

КРАТНЫЕ ДОЛЬНЫЕ

приставка обозначение множитель приставка обозначение множитель

тера Т 1012 пико п 10–12

гига Г 109 нано н 10–9

мега М 106 микро мк 10–6

кило к 103 милли м 10–3

гекто г 102 санти с 10–2

дека да 101 деци д 10–1

Пример: перевести 15 см2 в единицы системы СИ.

Решение:

15 см2 = 15 см . см = 15 . 10–2 м . 10–2 м = 15 . 10–4 м2 = 1,5. 10–3 м2.

Вам часто придется переводить единицы скорости. Поэтому, для облегчения перевода, удобно

запомнить следующее соотношение:

км 1000м 1м 1 м1 =1 =1 =

ч 3600с 3,6с 3,6 с,

то есть для того чтобы скорость из км/ч перевести в м/с достаточно просто разделить ее на 3,6. Для

обратного перевода (из м/с в км/ч) необходимо скорость в м/с умножить на 3,6.




___________________________________________________________________________________________________________

3

ТЕСТ 1.01.

1. Укажите правильный перевод: 0,05 мм =

1. 5.10–3 м 2. 5.10–5 м 3. 5.10–1 м 4. 0,05 м

2. Укажите правильный перевод: 0,5 км =

1. 500 м 2. 0,5.10–3 м 3. 5.103 м 4. 5.104 м

3. Укажите правильный перевод: 2,25 мм2 =

1. 2,25.10–3 м2 2. 225.10–6 м2 3. 225.10–8 м2 4. 2,25.10–8 м2

4. Укажите правильный перевод: 5,1.102 км2 =

1. 51.106 км2 2. 5,1.106 м2 3. 5,1.107 м2 4. 51.107 м2

5. Укажите правильный перевод: 0,035 Мм =

1. 35 км 2. 3500 км 3. 350 км 4. 3,5 км

6. Укажите правильный перевод: 1200 нм =

1. 1,2.10–6 м 2. 120.10–6 м 3. 1200.10–6 м 4. 12.10–9 м

7. Расположите в порядке возрастания: 1) 8,8 см; 2) 2,5 дм; 3) 0,55 м; 4) 890 мм.

1. 3124 2. 1234 3. 3241 4. 4213

8. Расположите в порядке убывания: 1) 80,5 см2; 2) 0,53 дм2; 3) 0,75 м2; 4) 550 мм2.

1. 3241 2. 2341 3. 4312 4. 3124

9. Расположите в порядке возрастания: 1) 5050 см3; 2) 5,1 л; 3) 0,051 м3; 4) 50000 мм3.

1. 2341 2. 3241 3. 4312 4. 4123

10. Укажите правильный перевод: 72 км/ч =

1. 5 м/с 2. 10 м/с 3. 15 м/с 4. 20 м/с

11. Укажите правильный перевод: 25 м/с =

1. 36 км/ч 2. 54 км/ч 3. 72 км/ч 4. 90 км/ч

12. Укажите правильный перевод: 7200 м/мин =

1. 60 м/с 2. 120 м/с 3. 240 м/с 4. 360 м/с

13. Укажите правильный перевод: 4 см3 =

1. 4•10-4 м3 2. 4•10-5 м3 3. 4•10-6 м3 4. 4•10-7 м3

14. Укажите правильный перевод: 7,3 л =

1. 7,3 м3 2. 7,3•103 м3 3. 7,3•10-3 м3 4. 7,3•10-1 м3

15. Укажите правильный перевод: 0,21 мм =

1. 2,1•10-3 м 2. 2,1•10-4 м 3. 2,1•10-5 м 4. 2,1•10-6 м

16. Укажите правильный перевод: 0,05•10-4 км2 =

1. 5•10-3 м2 2. 5•10-2 м2 3. 5•10-1 м2 4. 5 м2

17. Укажите правильный перевод: 23,1•102 см3 =




___________________________________________________________________________________________________________

4

1. 2,31•10-1 м3 2. 23,1•10-2 м3 3. 23,1•10-3 м3 4. 23,1•10-4 м3

18. Укажите правильный перевод: 850•10-2 дм2 =

1. 8,5•10-2 м2 2. 8,5•10-3 м2 3. 8,5•10-4 м2 4. 8,5 м2

19. Укажите правильный перевод: 46,5 Мм =

1. 4,65•106 м 2. 4,65•107 м 3. 4,65•108 м 4. 4,65•109 м

20. Укажите правильный перевод: 0,09 нм =

1. 9•10-9м 2. 9•10-10м 3. 9•10-11м 4. 9•10-12м

1.02. Путь и перемещение.

Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без

выяснения причин этого движения.

Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве

относительно других тел с течением времени.

Всякое тело имеет определенные размеры. Однако, во многих задачах механики нет

необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с

расстояниями до других тел, то данное тело можно считать материальной точкой. Так при движении

автомобиля на большие расстояния можно пренебречь его длиной, так как длина автомобиля мала по

сравнению с расстояниями, которое он проходит.

Интуитивно понятно, что характеристики движения (скорость, траектория и т.д.) зависят от того,

откуда мы на него смотрим. Поэтому для описания движения вводится понятие системы отсчета.

Система отсчета (СО) – совокупность тела отсчета (оно считается абсолютно твердым),

привязанной к нему системой координат, линейки (прибора, измеряющего расстояния), часов и

синхронизатора времени. Например, если мы говорим, что находимся в системе отсчета связанной с

Землей, то тело отсчета это Земля, а движение в этой системе выглядит так, как видел бы его человек

стоящий неподвижно в любой точке Земли. Если мы говорим, что находимся в системе отсчета

связанной, например, с самолетом, значит тело отсчета это самолет, а

движение в этой системе выглядит так, как видел бы его человек сидящий в

самолете.

Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело

(материальная точка) описывает в данной СО некоторую линию, которую

называют траекторией движения тела. Форма траектории относительна,

то есть зависит от выбора системы отсчета. Например, движение Луны. Его




___________________________________________________________________________________________________________

5

можно рассматривать относительно Земли и относительно Солнца. При этом формы траектории будут

существенно отличаться.

Перемещением S тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное

положение тела с его конечным положением. Перемещение есть векторная величина. Перемещением

может в процессе движение увеличиваться, уменьшаться и становиться равным нулю (см. рисунок).

Пройденный путь L равен длине траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь –

скалярная величина. Путь не может уменьшаться.

ПУТЬ ТОЛЬКО ВОЗРАСТАЕТ

либо остается постоянным (если тело не движется).

При движении тела по криволинейной траектории модуль (длина) вектора перемещения всегда

меньше пройденного пути.

При равномерном (с постоянной скоростью) движении путь может быть найден по формуле:

L = v·t,

где: v – скорость тела, t – время в течении которого оно двигалось. Перемещение обычно находится из

геометрических соображений.

► Часто геометрические соображения для нахождения перемещения требуют знания теоремы

Пифагора, повторим:

c2 = a2 + b2

где: c – гипотенуза прямоугольного треугольника, a и b – катеты этого треугольника.

Пример:

Мяч упал с высоты 3 м, отскочил от пола и был пойман после отскока на высоте 1 м. Во

сколько раз путь, пройденный мячом, больше модуля перемещения мяча?

Решение:

Модуль перемещения и путь могут быть найдены непосредственно из рисунка

1 2 1 22м, 4м.S h h l h h

откуда 1 2

1 2

2h hl

h hS

.

ТЕСТ 1.02.

1. Тело начало двигаться вдоль оси х с постоянной скоростью 6 м/с из точки, имеющей координату х0

= –7 м. Через сколько секунд координата тела окажется равной 5 м?

1. 2 2. 4 3. 3 4. 5

2. Пешеход переходил дорогу со скоростью 4,2 км/ч по прямой, составляющей угол 30° с

направлением дороги, в течение одной минуты. Определите ширину дороги.

1. 35 2. 40 3. 70 4. 55

3. Человек обходит прямоугольное здание по периметру. Ширина здания 50 м, длина 20 м. Путь и

перемещение человека равны:

1. 70 м, 70 м 2. 140 м, 0 м 3. 0 м, 140 м 4. 140 м, 140 м




___________________________________________________________________________________________________________

6

4. Три тела, начавшие равномерное движение со скоростями, значения которых указаны на рисунке,

прошли один и тот же путь. В каком из нижеприведенных соотношений находятся между собой их

времена движений?

1. t2=t3>t1 2. t2=t3<t1 3. t1>t3>t2 4. t3>t1>t2 5. t2=t3=t1

5. Материальная точка начала равномерное движение со скоростью 1 м/с из точки А, являющейся

вершиной равностороннего треугольника АВС, со стороной 10 см. Во сколько раз пройденный

путь за 0,5 с отличается от перемещения за то же время?

1. В 50 раз больше. 2. В 50 раз меньше. 3. В 5 раз больше.

4. В 5 раз меньше. 5. В 2 раза больше.

6. Тело, двигаясь по окружности радиуса R, сделало 2,5 оборота. Определите путь и перемещение

тела.

1. 5πR, 2R 2. 2,5πR, R 3. 5πR, 0 4. 2πR, 2R

7. По арене цирка лошадь пробежала круг диаметром 12 м за 30 с. Определите путь и перемещение

лошади за 15 с движения; за 30 с.

8. Тело переместилось из точки с координатами x1=10 м, y1=12 м в точку с координатами x2=11 м,

y2=10 м. Сделайте чертеж, найдите вектор перемещения и его проекции на оси координат.

9. Самолет, пролетев по прямой 1400 км, повернул под углом 90º и пролетел еще 300 км. Определите

путь и перемещение самолета.

10. Лодка прошла по озеру в направлении точно на северо-восток 3 км, а затем еще 1 км на север.

Определите модуль вектора перемещения.

11. По бикфордову шнуру пламя распространяется равномерно со скоростью 0,8 см/с. Какой длины

шнур необходимо взять, чтобы поджигающий его мог отбежать на безопасное расстояние, равное

120 м, пока пламя по шнуру дойдет до взрывчатого вещества? Скорость бега принять равной 4 м/с.

12. Противотанковое орудие стреляет прямой наводкой по танку. Разрыв снаряда замечен на батарее

через 0,6 с, а звук от разрыва услышан через 2,1 с после выстрела. На каком расстоянии от батареи

находился танк? С какой горизонтальной скоростью летел снаряд? Скорость звука равна 340 м/с.

Сопротивлением воздуха пренебречь.

13. Мяч брошенный с высоты 5 м после отскока был пойман на высоте 3 м. Во сколько раз путь мяча

больше его перемещения?

14. Кольцо сварено из двух полуколец радиусом R, скорости звук в которых равны v1 и v2. Через какое

время встретятся звуковые волны, возбужденные ударом в точке сварки?

1.03. Средняя скорость.

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту перемещения тела в пространстве.

Скорость бывает средней и мгновенной. Мгновенная скорость описывает движение в данный

конкретный момент времени в данной конкретной точке пространства, а средняя скорость




___________________________________________________________________________________________________________

7

характеризует все движение в целом, в общем, не описывая подробности движения на каждом

конкретном участке.

Мгновенная скорость

(в задаче это скорость в данной точке

пространства или в данный момент

времени, например, скорость тела спустя 2

секунды падения, скорость мяча на высоте

4 метра над столом).

Средняя скорость

(в задаче это скорость на участке пути или за

некоторое время движения, например, скорость за 2

секунды падения, скорость на первых 20 метрах пути)

Пути

)(0

tLt

L

t

.

Это та самая скорость, которую

показывает спидометр автомобиля.

Она не имеет направления и

определяет быстроту прохождения

пути.

Отношение ВСЕГО пути ко ВСЕМУ времени

движения.

ср ,L

t

где L – весь путь, который прошло тело, t –

все время движения. Таким образом,

получаем:

1 2 3ср

1 2 3

....

...

L L L

t t t

Перемещения

)(

0

tSt

S

t

.

Эта скорость имеет направление.

Она всегда направлена по

касательной к траектории.

Отношение ВСЕГО перемещения ко ВСЕМУ

времени движения.

полн

полнср

t

S

.

Пример:

Велосипедист, проехав 4 км со скоростью 12 км/ч, остановился и отдыхал в течение 40 мин.

Оставшиеся 8 км пути он проехал со скоростью 8 км/ч. Найдите среднюю скорость (в км/ч)

велосипедиста на всем пути.

Решение:

321

321СР

ttt

SSSV

,

где S1 = 4 км, S2 = 0 км, S3 = 8 км, t1 = ч12

4, t2 =

60

40ч, t3 =

8

8ч.

После расчета получаем: ответ - 6 км/ч.




___________________________________________________________________________________________________________

8

Пример:

Первые 3/4 времени своего движения поезд шел со скоростью 80 км/ч, остальное время — со скоростью

40 км/ч. Какова средняя скорость (в км/ч) движения поезда на всем пути?

Решение:

t1 = 4

3t, t2 =

4

1t, S1 =60 t, S2 = 10 t.

21

21СР

tt

SSV

,

Ответ: 70 км/ч.

ТЕСТ 1.03.

1. Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в три раза большей, чем вторую.

Средняя скорость на всем пути составляет 6 км/ч. Какова средняя скорость (в км/ч) катера на

первой половине пути?

1. 10 2. 12 3. 11 4. 13

2. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч. Оставшуюся часть пути он

половину времени ехал со скоростью 35 км/ч, а последний участок – со скоростью 45 км/ч.

Найдите среднюю скорость (в км/ч) автомобиля на всем пути.

1. 48 2. 52 3. 50 4. 55

3. Велосипедист проехал 3 км со скоростью 12 км/ч, затем повернул и проехал некоторое

расстояние в перпендикулярном направлении со скоростью 16 км/ч. Чему равен модуль

перемещения (в км) тела, если средняя скорость пути за все время движения равна 14 км/ч?

1. 3 2. 5 3. 4 4. 6

4. Первую половину всего времени движения автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, вторую –

со скоростью 40 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля?

5. Первую половину пути автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, а вторую – со скоростью 40

км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля?

6. Три четверти пути автомобиль прошел со скоростью 60 км/ч, остальную часть пути – со

скоростью 80 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?

7. Первую половину времени движения вертолет перемещается на север со скоростью 30 м/с, вторую

половину – на восток со скоростью 40 м/с. Определите среднюю скорость пути и среднюю

скорость перемещения вертолета за время его движения.

8. Первую половину времени движения вертолет перемещался на север со скоростью 1 30v м/с, а

вторую половину времени – на восток со скоростью 2 40v м/с. Разность v между средней

путевой скоростью и модулем скорости перемещения составляет …

9. Первые 1 2,0t с после начала движения тело движется со скоростью 1 5,0 м/с, а затем в

течение 2 3,0t с – со скоростью 2 7,0 м/с. Средняя скорость тела равна …

10. Первую половину времени тело движется со скоростью 1 6,0 м/с под углом 1 45 к оси x ,

а вторую половину времени – под углом 2 135 к оси x со скоростью 2 9,0 м/с. Средняя

скорость перемещения равна …

11. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он проехал со скоростью 1 12

км/ч. Затем половину оставшегося времени он ехал со скоростью 2 6,0 км/ч, а затем до конца

пути со скоростью 3 4,0 км/ч. Средняя скорость велосипедиста на всем пути составляет …




___________________________________________________________________________________________________________

9

12. Первую половину пути тело движется со скоростью 1 6,0 м/с под углом 1 45 к оси x , а

вторую половину пути – под углом 2 135 к оси x со скоростью 2 9,0 м/с. Средняя путевая

скорость движения равна …

13. На первой половине пути автобус двигался со скоростью в 8k раз большей, чем на второй

половине. Средняя скорость автобуса на всем пути 16 км/ч. Скорость автобуса на обоих

половинах пути составляет …

14. Поезд первую половину пути шел со скоростью в 1,5k раза большей, чем вторую половину.

Если средняя скорость поезда на всем пути составила 43,2 км/ч, то разность значений

скорости поезда на обоих участках равна … км/ч.

15. Один человек половину времени движется со скоростью 1 4,00 км/ч, а вторую половину

времени со скоростью 2 6,00 км/ч. Второй человек проходит половину этого же маршрута со

скоростью 1 4,00u км/ч, а вторую половину маршрута со скоростью

2 6,00u км/ч. Во сколько

раз первый человек пройдет маршрут быстрее, чем второй?

1.04. Равноускоренное прямолинейное движение.

Ускорение – векторная физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости тела.

Ускорение, как и скорость, бывает средним и мгновенным. Средним ускорением тела a называют

отношение изменения скорости к промежутку времени t, в течение которого происходило

изменение скорости:

0at t

.

Далее, если иное не указано в условии задачи, мы считаем, что если тело движется с ускорением,

то оно остается постоянным. Такое движение тела называется равноускоренным (или

равнопеременным). При равноускоренном движении скорость тела изменяется на одинаковую

величину за любые равные промежутки времени. В этом случае среднее ускорение равно

мгновенному (и далее мы будем просто употреблять термин «ускорение»).

Равноускоренное движение бывает собственно ускоренным, когда тело увеличивает скорость

движения, и замедленным, когда скорость уменьшается. Для простоты решения задач удобно для

замедленного движения брать ускорение со знаком «–».

Если тело не изменяло направление движения, то в скалярном виде

0at

,

где υ0 – начальная скорость тела, υ – конечная скорость тела (то есть спустя промежуток времени t).

Единица измерения ускорения 2

1м/с м1 .

1с сa Ускорение 15 м/с2 означает, что каждую

секунду тело изменяет свою скорость на 15 м/с. Следовательно за 2 секунды тело изменит свою

скорость на 30 м/с и т.д. Таким способом легко устно делать расчеты.




___________________________________________________________________________________________________________

10

Из формулы 0at

, следует формула

υ = υ0 + at.

Перемещение (!!! но не путь !!!) при равноускоренном движении рассчитывается по формулам:

2

02

atS t ,

2 2

0

2S

a

, 0

ср .2

S t t

В последней формуле использована одна особенность равноускоренного движения. При

равноускоренном движении среднюю скорость можно рассчитывать как среднее арифметическое

начальной и конечной скоростей.

0ср

2

.

Этим свойством очень удобно пользоваться при решении многих задач.

Из формул для равноускоренного движения 2 2

0

2S

a

можно получить выражение для

определения конечной скорости тела, если известны начальная скорость 0, ускорение a и

перемещение S:

2

0 2aS

Если начальная скорость 0 равна нулю, эти формулы принимают вид

2

2S

a

, 2aS

►С расчетом пути все сложнее. Если тело не меняло направления движения, то путь численно равен

перемещению. А если меняло – надо отдельно считать путь до остановки и путь после остановки.

Использование формул для перемещения приведет к типичной ошибке!

ТЕСТ 1.04.

1. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, попадает в земляной вал и проникает в него на глубину 20

см. Сколько времени двигалась пуля внутри вала? С каким ускорением? Движение считать

равнозамедленным.

2. Тело движется по прямой с ускорением 0,5 м/с2. Начальная скорость тела 5 м/с. Ускорение

направлено против скорости движения. Запишите уравнение движения тела и зависимость

скорости тела от времени. Определите время движения и путь, пройденный телом до остановки.

3. Поезд двигался равнозамедленно и через 6 мин остановился на станции, находящейся на

расстоянии 3,6 км от пункта отправления. Определите ускорение и скорость поезда в начале

торможения.

4. Локомотив, находясь на расстоянии 400 м от светофора и двигаясь со скоростью 72 км/ч, начал

тормозить. Определите положение локомотива относительно светофора через 10 с, если при

торможении его ускорение было равно 0,1 м/с2.

5. Ружейная пуля при вылете из ствола длиной 60 см имела скорость 300 м/с. Каковы ускорение и

время движения пули?




___________________________________________________________________________________________________________

11

6. При скорости 15 км/ч тормозной путь автомобиля равен 1,5 м. Каким будет тормозной путь при

скорости 90 км/ч? Ускорение в обоих случаях одно и то же.

7. Мотоциклист и велосипедист одновременно начинают движение. Ускорение мотоциклиста в 3

раза больше, чем ускорение велосипедиста. Во сколько раз большую скорость разовьет

мотоциклист: а) за одно и то же время; б) на одном и том же пути?

8. Материальная точка, движущаяся равноускоренно из состояния покоя, проходит за время t1 путь

S1. За какое время t2 (от начала движения) она пройдет путь S2?

9. Наблюдатель стоит на платформе около передней площадки вагона электропоезда и замечает,

что первый вагон проходит мимо него после начала равноускоренного движения за 5 с.

Определите время, за которое пройдет мимо наблюдателя шестой вагон, если длина каждого

вагона равна 15 м, а расстояние между вагонами 1,5 м.

10. Из точки А с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с2 начинает движение некоторое тело.

Спустя секунду из точки В начинает двигаться другое тело, движущееся навстречу первому с

постоянной скоростью 5 м/с. Расстояние АВ равно 100 м. Сколько времени будет двигаться

первое тело до встречи со вторым?

11. Автомобиль начал движение с ускорением 0,5 м/с2 в тот момент, когда мимо него

равноускоренно проезжал трамвайный вагон со скоростью 18 км/ч. Какую скорость будет иметь

автомобиль, когда он догонит трамвай? Ускорение трамвая 0,3 м/с2.

12. Скорость тела, движущегося с постоянным ускорением а уменьшилась в 2 раза. Определите

время, в течение которого произошло это уменьшение скорости, и путь, пройденный при этом

телом. Начальная скорость тела – v0.

13. Два автомобиля выходят из одного пункта в одном направлении. Второй автомобиль выходит на

20 с позже первого. Оба движутся равноускоренно с одинаковым ускорением 0,4 м/с2. Через

сколько времени, считая от начала движения первого автомобиля, расстояние между ними

окажется равным 240 м?

14. Тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, прошло за t с S м, при этом его скорость возросла

в n раз. Найдите ускорение тела.

15. От движущегося поезда отцепляют последний вагон. Поезд продолжает двигаться с той же

скоростью. Как будут относиться пути, пройденные поездом и вагоном до момента остановки

вагона? Считать, что вагон двигался равнозамедленно.

16. Два поезда прошли одинаковый путь S за одно и то же время t, однако один поезд, трогаясь с

места, прошел весь путь равноускоренно с ускорением 3 см/с2, а другой поезд половину пути шел

со скоростью 18 км/ч, а следующею половину – со скоростью 54 км/ч. Определите путь,

пройденный поездами.

17. Поезд, трогаясь с места, через 1 10t с приобретает скорость 1 60 см/с. За какое время

2t от

начала движения скорость поезда достигнет значения 2 3 м/с?

18. Камень, брошенный по льду со скоростью 5 м/с, останавливается на расстоянии 25l м от

места бросания. Путь s , пройденный камнем, за первые 2,0t с движения составляет …

19. Ускорение тела 1a м/с2 и направлено противоположно его скорости. За 2t с движения

скорость тела изменится на …

20. Тело за время 10t с прошло путь 60s м. Если при этом его скорость увеличилась в 5k

раз, то ускорение тела a составляет …

21. Автомобиль движется с ускорением 1,0a м/с2. Мимо наблюдателя он проезжает со

скоростью 10,5 м/с. На каком расстоянии s от наблюдателя он находился секунду назад?

22. Тело, двигаясь равноускоренно, за время t прошло путь s , причем за это время его скорость

увеличилась в 5k раз. Ускорение a тела равно …




___________________________________________________________________________________________________________

12

23. Тело двигалось равнозамедленно и через 8,0t с остановилось. За 4,0t с до остановки

скорость тела была 8,0 м/с. Весь путь s , пройденный телом до остановки, составил …

24. Двигаясь равноускоренно без начальной скорости, тело, пройдя некоторый путь, приобрело

скорость 1 7,0 м/с. Скорость 0 тела на середине этого пути была равна …

1.05.П. Фокусы равноускоренного

прямолинейного движения. Любую задачу на движение тела с ускорением можно решить с помощью стандартных формул,

рассмотренных в предыдущем параграфе. Однако иногда решение можно существенно упростить, если

применить хитрости, которые мы будем называть фокусами. Таких фокусов три.

«РЯД НЕЧЕТНЫХ ЧИСЕЛ»

При равноускоренном движении ИЗ СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ тело за последовательные равные

промежутки времени проходит пути, относящиеся, как числа нечетного ряда.

:7:5:3:1:::: 4321 LLLL

Действительно, например, за первую секунду разгона тело проходит путь

22

12

1

aaL

.

За вторую (напомним, путь за вторую секунду равен разности путей за ДВЕ секунды и пути за первую

секунду)

2

3

2

1

2

2 22

2

aaaL

.

За третью секунду

2

5

2

2

2

3 22

3

aaaL

.

Продолжая рассуждения, за n-тую секунду движения путь тела равен

2

)12(

2

)1(

2

22 annanaLn

.

Далее записанное ранее отношение путей получается тривиально.

Обращайте внимание на фразу: «тело начинает движение из состояния покоя». Возможно, в этой задаче

можно будет использовать ряд нечётных чисел.

«ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ УЧАСТКИ»

При решении задач, где тело с постоянным ускорением (не важно, замедленно или ускоренно, с

начальной скоростью или без нее) последовательно проходит два участка, важно сразу не искать

неизвестную величину, а создать систему уравнений для первого участка и двух участков вместе (даже

если даны параметры движения тела на втором участке!!!). Запомните, никогда не надо писать

уравнение для второго участка, так как в его начале скорость не такая, как в начале первого участка, и

Вам придется вводить дополнительную неизвестную.




___________________________________________________________________________________________________________

13

2

11 0 1

2

1 21 2 0 1 2

2

( )( )

2

atS t

a t tS S t t

«ОШИБКА КИНОМЕХАНИКА» Фокус заключается в следующем. Представьте, что на кинопленке снята остановка автомобиля перед

светофором. А киномеханик перепутал и поставил пленку вращаться в обратную сторону. Что увидит

зритель? Конечно, как автомобиль срывается с места и, разгоняясь, удаляется от светофора. При этом

ускорение автомобиля будет таким же, как и при торможении, за то же время он пройдет такой же путь.

То есть при решении задач на замедленное движение до остановки его можно заменять

ускоренным движением из состояния покоя. Но математически формулы станут значительно проще,

ведь начальная скорость теперь равна нулю!

ТЕСТ 1.05.

1. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, начинает двигаться со средним ускорением 0,2 м/с2. Какой

путь пройдет автомобиль за десятую секунду от начала разгона? Определите мгновенную скорость

автомобиля в конце десятой секунды.

2. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло за 6 с расстояние 450 м. За какое время тело

прошло последние 150 м пути?

3. Автомобиль, двигаясь равноускоренно с некоторой начальной скоростью, за первые 5 с прошел расстояние

40 м, а за первые 10 с – 150 м. Определите начальную скорость и ускорение автомобиля.

4. По наклонной доске пустили снизу вверх шарик. На расстоянии 30 см от начала движения шарик побывал

дважды: через 1 с и через 2 с после начала движения. Определите начальную скорость и ускорение

шарика, считая его постоянным.

5. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости за 4 с, равен 4,8 м. Какой

путь прошло тело за четвертую секунду движения?

6. С каким ускорением движется тело, если за шестую секунду своего движения оно прошло путь, равный 11

м? Начальная скорость движения равна нулю.

7. Шарик скатывается по желобу без начальной скорости с ускорением 12 см/с2. Какой путь он пройдет за

четвертую секунду от начала движения?

8. При равноускоренном движении точка проходит за два первых равных последовательных промежутка

времени, по 4 с каждый, пути 24 и 64 м. Определите начальную скорость и ускорение движущейся точки.

9. Реактивный самолет летит со скоростью 720 км/ч. С некоторого момента времени самолет движется с

ускорением в течение 10 с и в последнюю секунду проходит путь 245 м. Определите ускорение и конечную

скорость самолета.

10. Тело 1 движется равноускоренно с начальной скоростью 2 м/с и с ускорением а. Через 10с после начала

движения тела 1 из той же точки начинает двигаться равноускоренно тело 2 с начальной скоростью 12

м/с и с тем же ускорением. Определите ускорение а, при котором тело 2 сможет догнать тело 1.

11. Первый вагон отходящего от остановки поезда проходит за 3 с мимо наблюдателя, находящегося до отхода

поезда у начала этого вагона. За сколько времени пройдет мимо наблюдателя весь поезд, состоящий из

девяти вагонов? Промежутки между вагонами не учитывать.

12. За пятую секунду равнозамедленного движения точка проходит 5 см и останавливается. Какой путь

проходит точка за третью секунду этого движения?

13. Тело начало движение с ускорением 4 м/с2. Определите путь, пройденный телом за третью и четвертую

секунды.

14. Двигаясь равноускоренно, тело прошло путь 5,8 м, при этом вторая половина пути было пройдена за 1 с.

Определите величину ускорения тела, считая начальную скорость движения равной нулю.

15. Тело, двигавшееся равноускоренно, прошло за первую секунду 1 м, за вторую – 2 м и т.д. Какова его

начальная скорость?

16. За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом при равноускоренном движении втрое

больше пути, пройденного в предыдущую секунду, если начальная скорость тела равна нулю?




___________________________________________________________________________________________________________

14

17. Если при равноускоренном движении тело за первые 1 4,0t с проходит путь

1 2,0s м, а следующий

участок длиной 2 4,0s м – за

2 5,0t с, то ускорение a тела составляет …

18. По наклонной доске пустили снизу вверх шарик. Если на расстоянии 30l см от начала движения шарик

побывал дважды через 1 1t с и

2 2t с после начала движения, то начальная скорость 0 шарика

составляет …

1.06. Координатный и векторный

методы описания движения. Существуют два равноправных метода описания механического движения: координатный и

векторный. Они одинаково эффективны, примерно одинаковы по сложности. Выбирать можно тот, к

которому Вы больше привыкли.

1. Векторный метод.

Используем формулы, связывающие перемещение xS , начальную x0 и конечную x скорость и

ускорение xa .

2 2 2

0 00 0; ; ;

2 2 2

x x x x xx x x x x x x

x

a tS t S t S a t

a

.

Здесь индекс «х» у величин означает ПРОЕКЦИЮ вектора на

координатную ось.

Вспомним еще раз, что такое проекции вектора, и как они

определяются.

Проекции – это «тени» вектора на координатных осях. Так, на рисунке

проекция вектора S

на ось OX (обозначается xS ) – это длина отрезка xS .

Надеюсь, Вы помните, что проекция считается положительной, если вектор

и ось направлены в одну сторону, и отрицательной – если в

противоположные. Например, вектор S (см. рисунок) имеет положительные

проекции как на ось Х так и на ось Y. Вектор А имеет положительную

проекцию на ось Y (направлен в ту же сторону, что и ось Y) и

отрицательную на ось Х (направлен против оси Х). Вектор В имеет отрицательную проекцию на ось Y и

равную нулю на ось Х (вектор перпендикулярен оси Х).

Итак, переходим к решению задачи. Делаем схематический рисунок, обязательно указывая

направление всех существенных величин: начальной и конечной скорости, перемещения, ускорения.

Выбираем на рисунке координатную ось OX. Ее направление, в общем, случайно. Можно по

направлению движения (желательно), можно против. Ответ не изменится. И записываем уравнения,

используя правило знаков: если величина направлена в ту же сторону, что и выбранная ось, то в




___________________________________________________________________________________________________________

15

формулах она берется со знаком «+». А если против – то со знаком «–». Заметим, что до сих пор Вы

пользовались векторным методом решения задач интуитивно.

2. Координатный метод.

Состоит в использовании аналогичных формул, не использующих величину перемещения.

Действовать надо так. Изобразить (схематически) движение тела. Обозначить начальную и конечную

точку A и B , вектор перемещения S . Выбрать систему

координат. Пусть координаты начальной точки движения

0 0;A x y , а конечной – ;B x y . Как видно из рисунка, проекции

перемещения на координатные оси определяются

соотношениями

0 0;x yS x x S y y .

Используем стандартные уравнения для равноускоренного движения, и окончательно получаем

2

0 02

xx

a tx x t .

Заметьте, что аналогичная формула получается и для равномерного движения, когда ускорение

равно нулю. Получаем

0 0xx x t .

Смысл индексов «х» и правило выбора знаков такое же, как и в векторном методе.

Пример:

Движение тела задано уравнением 22 8 32x t t . Описать движение тела и найти его координату в

момент остановки.

Решение:

Сравнивая уравнение движения с основным уравнением, определяем, что 0 8x м,

0 32x м/с, 4xa

м/с2. Таким образом, тело начало движение из точки, лежащей на 8 м правее начала координат с

начальной скоростью 32 м/с. Поскольку начальная скорость направлена по оси OX, а ускорение –

против, то тело тормозит. Составим уравнение для скорости движения тела. Нам известно, что

0x x xa t . Нас интересует момент времени, когда тело остановится, то есть, его скорость обратится в

нуль. Подставляем найденные численные данные, и получаем

0 32 4t .

Отсюда легко находим момент остановки 8t с, подставляем его в уравнение для координаты и

окончательно получаем: ост 136x м.

ТЕСТ 1.06.

X х х0

y

y0

S

Y




___________________________________________________________________________________________________________

16

1. Из городов А и В, расстояние между которыми 120 км, одновременно выехали навстречу друг

другу две автомашины, скорости которых постоянны и равны 20 и 60 км/ч. Через какое время и на

каком расстоянии от города С, находящегося на полпути от городов А и В, встретятся

автомашины?

2. Зависимости координаты от времени для движений двух велосипедистов заданы уравнениями:

х1=5t и x2=150-10t. Определите место и время встречи велосипедистов.

3. Движения двух автомобилей по шоссе заданы уравнениями: x1 = 2t+0,2t2 и x2 = 80-4t. Определите

время их движения до встречи и место встречи; расстояние между автомобилями через 5 с после

начала движения; координату первого автомобиля в тот момент времени, когда второй находился

в начале отсчета.

4. Дано уравнение движения тела S = 12t – t2. Определите скорость тела в конце пятой секунды

движения.

5. Зависимость координаты тела от времени t задана уравнением x = A + Bt + Ct2, где А = 6 м, В = 3

м/с, С = 2 м/с2. Определите среднюю скорость и среднее ускорение тела в интервале времени от 1

до 4 с.

6. Зависимость координаты тела от времени t задана уравнением x = A + Bt + Ct2, где А = 3 м, В = 2

м/с, С = 1 м/с2. Определите среднюю скорость и среднее ускорение тела за первую, вторую и

третью секунды его движения.

7. Координата точки изменяется по закону 2 1x t . Путь S , пройденный точкой за 2t с после

начала движения, составит …

8. Дано уравнение движения тела: S=4t+0,1t2 (м). Через какое время от начала движения скорость

тела будет равна 6 м/с?

9. Материальная точка движется прямолинейно вдоль оси Х по закону х=9-0,5t2, где х – расстояние в

метрах, t – время в секундах. Определить модуль скорости точки в момент времени t=1с.

10. Зависимость проекции скорости точки от времени имеет вид: Vx=5-6t (м/с). Начальная координата

X0=10 м. Какой вид имеет зависимость проекции перемещения этой точки от времени?

11. Проекция скорости движения точки зависит от времени по закону Vx=6-4t. Начальная координата

точки X0=2м. Какой вид имеет зависимость координаты точки от времени?

12. Движение тела описывается уравнением: x = –4t2+4t+3 (м). Чему равна скорость тела в конце

четвертой секунды?

13. Зависимость координаты тела от времени задана уравнением x=3+t2-4t. Чему равна координата

тела в момент остановки?

14. Материальная точка движется по прямой, совпадающей с осью Х. Проекция вектора скорости

точки на ось Х меняется по закону v=(14-3t) м/c, где t – время в секундах. Определить модуль

перемещения точки за время от t=1 с до t=3 с.

1.07. Свободное падение по вертикали.

На все тела, находящиеся в поле тяготения Земли, действует сила тяжести. В отсутствие опоры

или подвеса эта сила заставляет тела падать к поверхности Земли. Если пренебречь сопротивлением

воздуха, то движение тел ТОЛЬКО под действием силы тяжести называется свободным падением.

Сила тяжести сообщает любым телам, независимо от их формы, массы и размеров, одинаковое

ускорение, называемое ускорением свободного падения. Вблизи поверхности Земли ускорение

свободного падения составляет:

2 2

ì ì9,8 10

ñ ñg .




___________________________________________________________________________________________________________

17

Это значит, что свободное падение всех тел вблизи поверхности Земли является

равноускоренным (но не обязательно прямолинейным) движением.

Вначале рассмотрим простейший случай свободного падения, когда тело движется строго по

вертикали. Такое движение является равноускоренным прямолинейным движением, поэтому все

изученные ранее закономерности и фокусы такого движения подходят и для свободного падения.

Только ускорение всегда равно ускорению свободного падения.

Традиционно при свободном падении используют направленную вертикально ось OY. Ничего

страшного здесь нет. Просто надо во всех формулах вместо индекса «х» писать «у». Смысл этого

индекса и правило определения знаков сохраняется. Куда направлять ось OY – Ваш выбор, зависящий

от удобства решения задачи. Вариантов 2: вверх или вниз. На ответ и простоту решения это не влияет.

Пример:

Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли со скоростью 20 м/с. На какую максимальную

высоту поднимется тело? Через какое время оно упадет назад?

Решение:

Во-первых, можно решить задачу УСТНО. Начальная скорость 20 м/с. Ускорение свободного падения

10 м/с2. Что это значит? Что тело меняет свою скорость на 10 м/с за каждую секунду движения. В

данном случае, тормозит. Далее очевидно, что тело остановится (то есть, поднимется на максимальную

высоту) за 2 с.

Во-вторых, допустим Вам лень думать. Тогда делаем рисунок и решаем задачу

координатным методом. Учтем, что конечная скорость в наивысшей точке подъема

равна 0 . Перемещение и начальная скорость направлены по выбранной оси, поэтому

их берем со знаком «+», а ускорение – против оси, поэтому его с минусом. Конечная

координата y h как раз равна максимальной высоте подъема, а начальная 0 0y .

Тогда 2

2

0 0 0 20 52

y

y

g th y t t t , 00 20 10y yg t t .

Из второго уравнения находим время движения, а из первого – высоту подъема.

Наконец, очевидно, что тело падает вниз столько же времени, сколько поднимается вверх. Поэтому

полное время движения составит полн 4t с.

► В отсутствие силы сопротивления воздуха время движения вверх и время последующего падения

вниз ВСЕГДА РАВНЫ. Кроме этого, при последовательном движении вверх и падении вниз НА

ОДНОЙ ВЫСОТЕ ТЕЛО ИМЕЕТ ОДНУ И ТУ ЖЕ СКОРОСТЬ, НАПРАВЛЕННУЮ В

ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СТОРОНЫ. Например, если тело бросают вверх с поверхности земли, то

оно падает назад с такой же скоростью, с которой было брошено вверх.

Пример:

Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель заметил, что на высоте 75 м тело побывало дважды, с

интервалом времени 2 с. Найдите начальную скорость тела.




___________________________________________________________________________________________________________

18

Решение:

Движение выше отметки h1 = 75 м занимает время ∆t = 2 с. Очевидно, что в

течение 1 с тело поднимается, а потом 1 с падает. Тогда расстояние h2 от этой

отметки до верхней точки проще всего найти, рассматривая падение от верхней

точки до высоты h1

2

2

/ 25 м.

2

g th

Теперь найдем полную высоту h = hl+h2 = 80 м и начальную скорость

0 2gh 40 м/с.

ТЕСТ 1.07.

1. Камень бросили вертикально вверх на высоту 10 м. Через какое время он упадет на землю? На

какую высоту поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое?

Сопротивление воздуха не учитывать.

2. Тело свободно падает с высоты 19,6 м. Какой путь пройдет тело: за первые 0,1 с своего движения;

за последние 0,1 с своего движения?

3. Тело падает свободно с высоты 19,6 м. За какое время тело пройдет: первый 1 м своего пути;

последний 1 м своего пути?

4. Камень, брошенный вертикально вверх, упал на землю через 2 с. Определите путь и перемещение

камня за 1; 1,5 и 2 с. Какую скорость приобретет камень за эти промежутки времени? Чему

равна средняя скорость перемещения камня за все время движения?

5. Мячик брошен вертикально вверх из точки, находящейся на высоте h. Определите начальную

скорость мячика, время его движения и скорость падения, если известно, что за время движения

он пролетел путь 3h.

6. Тело, брошенное вертикально вверх, проходит в первую секунду половину высоты подъема. Какой

путь пройдет тело в последнюю секунду падения?

7. Тело свободно падает с высоты 540 м. Разделите эту высоту на такие три части, чтобы на

прохождение каждой из них потребовалось одинаковое время.

8. Определите, на сколько путь, пройденный свободно падающим телом за седьмую секунду, больше

пути, пройденного за шестую секунду.

9. За последнюю секунду свободного падения тело прошло путь втрое больший, чем в предыдущую

секунду. С какой высоты упало тело?

10. Свободно падающее тело в последнюю секунду проходит половину своего пути. Определите

время и высоту падения тела.

11. В последнюю секунду свободного падения тело прошло третью часть своего пути. С какой высоты

оно упало?

12. В ущелье упал камень. Последние 196 м камень летел 4 с. Сколько времени длилось падение? С

какой высоты упал камень? Сопротивление воздуха не учитывать.

13. Звук от выстрела и пуля достигают высоты 680 м одновременно. Какова начальная скорость

пули, если скорость звука 340 м/с?

14. Тело свободно падает с высоты 1960 м. За какое время оно пройдет последние 100 м своего пути?

15. Тело падает с высоты 1960 м. Какой путь оно проходит за последнюю секунду падения?

16. Пловец, спрыгнув с пятиметровой вышки, погрузился в воду на глубину 2 м. Сколько времени и с

каким ускорением он двигался в воде?

17. С вертолета, находящегося на высоте 490 м, упал камень. Через какое время камень достигнет

земли, если: 1) вертолет поднимается со скоростью 26 м/с; 2) вертолет опускается с той же

скоростью; 3) вертолет неподвижен?




___________________________________________________________________________________________________________

19

18. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 49 м/с. Каков путь, пройденный телом

по истечении 6 с от начала движения?

19. Тело падает с высоты h1. Спустя время τ с меньшей высоты h2 начинает падать второе тело.

Какова должна быть высота, с которой падает второе тело, чтобы они одновременно упали на

землю?

20. С высоты h бросают одновременно два тела: одно вверх со скоростью v1, другое вниз со

скоростью v2. Определите промежуток времени Δt, разделяющий моменты падения тел на

землю.

21. Определите перемещение свободно падающего тела за n-ю секунду его падения.

22. Сколько времени падало тело, если за последние 2 с оно пролетело 60 м?

23. Какую начальную скорость надо сообщить камню при бросании его вертикально вниз с моста

высотой 20 м, чтобы он достиг поверхности воды через 1 с? На сколько дольше длилось бы

падение камня с этой же высоты при отсутствии начальной скорости?

24. Аэростат начинает подниматься вертикально вверх с ускорением 2 м/с2. Через 5 с от начала

движения из него выпал предмет. Спустя какое время предмет упадет на землю?

25. Два шарика брошены с одинаковыми начальными скоростями из одной точки вертикально вверх

через t с один после другого. Шарики встретились в воздухе через T с после вылета первого из них.

Определите начальную скорость шариков.

26. Свободно падающее без начальной скорости тело спустя промежуток времени t после начала

падения находится на высоте 1100 м, а еще через 10 с – на высоте 120 м над поверхностью

земли. С какой высоты падало тело?

27. Тело, брошенное вертикально вверх, дважды проходит через точку на высоте h. промежуток

времени между этими прохождениями равен Δt. Определите начальную скорость v0 и время Δt0

от начала движения тела до возврата в начальное положение.

28. Тело свободно падает с некоторой высоты h1, одновременно с ним начинает движение другое

тело с большей высоты h2. Какова должна быть начальная скорость v0 второго тела, чтобы оба

тела упали на землю одновременно?

29. Из одного положения вертикально вверх брошены друг за другом с одинаковой скоростью два

шарика, причем второй шарик брошен в момент достижения первым максимальной высоты

подъема, равной 4,9 м. На какой высоте они встретятся?

30. Два тела начали падать с одной и той же высоты через промежуток времени τ одно после

другого. Через сколько секунд после начала падения второго тела расстояние между ними будет

равно l?

31. С крыши падают капли воды. Промежуток времени между отрывами капель 0,1 с. На каком

расстоянии друг от друга будут находиться через время 1 с после начала падения первой капли

следующие три?

32. Одно тело брошено с поверхности земли вертикально вверх с некоторой начальной скоростью v0,

а другое – падает с высоты H0 без начальной скорости. Движения начались одновременно и

проходят по одной прямой. Определите начальную скорость тела v0, если известно, что тело

через t с после начала движения расстояние между телами равно h.

33. Одно тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0, другое падает с высоты H0 без

начальной скорости. Движения начались одновременно и проходят по одной прямой. Определите

зависимость расстояния Н между телами от времени.

34. С крыши падают одна за другой две капли. Через 2 с после начала падения второй капли

расстояние между каплями стало равным 25 м. На сколько раньше первая капля оторвалась от

крыши?

35. С высоты 10 м над землей без начальной скорости начинает падать камень. Одновременно с

высоты 5 м вертикально вверх бросают другой камень. С какой начальной скоростью брошен

второй камень, если известно, что камни встретились на высоте 1 м над землей?

36. Два тела брошены вертикально вверх с одинаковыми начальными скоростями с интервалом

времени Т. С какой скоростью будет двигаться второе тело относительно первого?




___________________________________________________________________________________________________________

20

37. С крыши дома через каждые четверть секунды падают капли воды. На каком расстоянии друг

от друга будут находиться первые две капли в момент отрыва десятой? С какой скоростью

будет двигаться первая капля относительно второй?

38. С балкона, находящегося на высоте 25 м над поверхностью земли, бросили вертикально вверх

мячик со скоростью 20 м/с. Получите зависимость координаты мячика от времени, выбрав за

начало отсчета: 1) точку бросания; 2) поверхность земли. Определите, через какое время мячик

упадет на землю.

1.08. Горизонтальный бросок. При горизонтальном броске с начальной скоростью υ0 движение тела удобно рассматривать как

два движения: равномерное вдоль оси ОХ (вдоль оси ОХ нет никаких сил препятствующих или

помогающих движению) и равноускоренного движения вдоль оси OY.

Обратите внимание на рисунок. Скорость в любой момент времени направлена по касательной к

траектории. Ее можно разложить на две составляющих: горизонтальную x и вертикальную

y .

Горизонтальная составляющая ВСЕГДА остается неизменной. Поскольку в начальный момент времени

вертикальной составляющей у скорости нет, есть только горизонтальная, которая не изменяется, то

горизонтальная составляющая ВСЕГДА равна 0x . А

вертикальная возрастает по законам ускоренного движения

y gt . Знак показывает, что вертикальная составляющая

направлена вниз, или, т.е. против оси Y.

При этом важно понять, что время падения тела на

землю никоим образом не зависит от того, с какой

горизонтальной скоростью его бросили, а определяется

только высотой, с которой было брошено тело. Иными

словами пуля, вылетающая из винтовки в результате выстрела

и пуля, которая просто свободно падает с той же высоты, на

которой расположена винтовка во время выстрела, упадут на землю через один и тот же промежуток

времени.

Время падения тела на землю находится по формуле

падения

2.

Ht

g

Пока тело падает, оно одновременно движется вдоль горизонтальной оси. Следовательно,

расстояние, которое тело сможет пролететь вдоль оси ОХ, будет равно

0 падения 0

2.x

HS t

g

В момент падения тела на землю, вертикальная составляющая скорости будет равна




___________________________________________________________________________________________________________

21

y = –gtпадения или 2y gH .

При этом скорость тела будет состоять из двух составляющих: горизонтальной 0, которая не

менялась на протяжении всего полета, и вертикальной y:

2 2

0 .y

Если в задаче будут спрашивать об угле, под которым

приземлилось тело (угол между горизонтом и скоростью тела),

то его легко найти из соотношения (см. первый рисунок):

0 0 0

2tg .

y gHgt

Также иногда в задачах могут спросить о моменте времени,

при котором полная скорость тела будет наклонена под

определенным углом к вертикали. Тогда этот угол будет находиться из соотношения (см. второй

рисунок):

0 0tg .y gt

Важно понять, какой именно угол фигурирует в задаче (с вертикалью или с горизонталью). Это и

поможет вам выбрать правильную формулу.

Если же решать эту задачу координатным методом, то формула:

2

0 02

aty y t

примет вид:

2

.2

gty H

При ее помощи мы можем найти высоту на которой будет находится тело в любой момент

времени. При этом в момент падения тела на землю координата 0y тела будет равна нулю.

Очевидно, что вдоль оси Х тело движется равномерно, поэтому в рамках координатного метода

горизонтальная координата изменятся по закону

0 .x t

Пример:

С вертолета, летящего горизонтально на высоте 200 м со скоростью 144 км/ч, сбросили груз. На какой высоте от

поверхности Земли его скорость будет направлена под углом 450 к горизонту (g=10 м/с2)?

Решение:




___________________________________________________________________________________________________________

22

В таких задачах необходимо учитывать, что начальная скорость груза будет равна скорости вертолета, с которого

его бросают и направлена горизонтально, также как летел вертолет. Считается, что в момент бросания грузу не

придавали дополнительной скорости относительно вертолета, а просто отпустили в свободное падение.

Vx = Vo = 144 км/ч = 40 м/с

Vx

Vytg = tg (-45) = -1 = > Vy = - Vx = - 40 м/с

tgVY , = > t = 4 с.

2

tgyy

2

0

, где y0 = 200 м.

Ответ: 120 м.

ТЕСТ 1.08.

1. С крутого берега реки высотой 20 м бросают горизонтально камень со скоростью 25 м/с.

Определите время падения и скорость камня при падении в воду.

2. Определите скорость тела через 3 с после того, как его бросили горизонтально со скоростью

39,2 м/с.

3. Человек ныряет в воду с крутого берега высотой 5 м, имея после разбега горизонтально

направленную скорость 6,7 м/с. Определите модуль и направление скорости человека при

достижении им воды.

4. Камень брошен в горизонтальном направлении. Через 0,5 с после начала движения численное

значение скорости камня стало в 1,5 раза больше его начальной скорости. Определите начальную

скорость камня.

5. Камень, брошенный горизонтально с высоты 2,5 м, упал на расстоянии 10 м от места бросания (по

горизонтали). Определите его начальную и конечную скорости.

6. Камень брошен в горизонтальном направлении. Через 3 с его скорость оказалась направленной

под углом 45° к горизонту. Какова начальная скорость камня?

7. Самолет летит в горизонтальном направлении на высоте 20 км со скоростью 1440 км/ч. На каком

расстоянии от цели (по горизонтали) летчик должен сбросить бомбу, чтобы попасть в цель?

Какова скорость бомбы в момент поражения цели?

8. С вертолета, летящего горизонтально со скоростью 90 км/ч на высоте 125 м, сбросили груз. На

какой высоте его скорость будет направлена под углом 45° к горизонту?

9. В мишень с расстояния 50 м сделано два выстрела в горизонтальном направлении при одинаковой

наводке винтовки. Скорость первой пули 320 м/с, второй – 350 м/с. Определите расстояние

между пробоинами.

10. Камень, брошенный горизонтально с обрыва высотой 10 м, упал на расстоянии 4 м от точки

бросания. Определите его начальную скорость.

11. Самолет летит на высоте 400 м со скоростью 200 км/ч. С самолета надо сбросить вымпел на судно,

которое движется со скоростью 22 км/ч навстречу самолету. На каком расстоянии от судна нужно

сбросить вымпел?

12. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью 4,9 м/с, равна высоте, с

которой его бросили. Чему равна эта высота и под каким углом к горизонту тело упало на

землю?

13. С вертолета, летящего горизонтально со скоростью 1 160 км/ч на высоте 500h м,

сбрасывают вымпел. Встречным курсом по отношению к вертолету двигается теплоход со

скоростью




___________________________________________________________________________________________________________

23

2 20,0 км/ч. Чтобы вымпел упал на теплоход, летчик должен сбросить его, когда расстояние

l до теплохода по горизонтали составляет:

1) 250 м; 2) 500 м; 3) 400 м; 4) 450 м; 5) 1000 м.

14. Горизонтально летящая в начальный момент времени пуля пробивает последовательно два

вертикальных листа бумаги, расположенные на расстоянии 30l м друг от друга. Если

пробоина на втором листе оказалась на 2,0l мм ниже, чем на первом, то начальная скорость

0 пули была равна:

1) 750 м/с; 2) 1000 м/с; 3) 1500 м/с; 4) 1200 м/с; 5) 1700 м/с.

15. Тело, брошенное горизонтально с высоты 80,0h м, упало на землю на расстоянии 60,0l м

по горизонтали. Перемещение r тела за время, в течение которого его скорость увеличилась в

2 раза, составляет:

1) 51,6 м; 2) 100 м; 3) 140 м; 4) 82,6 м; 5) 68,2 м.

16. Тело, брошенное горизонтально со скоростью 4,9 м/с с высоты 5,0 м за время своего

падения совершит перемещение:

1) 8,3 м; 2) 25 м; 3) 7,0 м; 4) 9,9 м; 5) 5,0 м.

17. Камень брошен с вышки горизонтально. Когда камень опустился по вертикали на 20h м, его

скорость оказалась направленной под углом 45 к горизонту. Начальная скорость 0 камня

равна:

1) 36 м/с; 2) 24 м/с; 3) 18 м/с; 4) 20 м/с; 5) 31 м/с.

18. Камень брошен горизонтально со склона горы, образующего угол 45 с горизонтом. Если

камень упал на склон на расстоянии 50,0l м от точки бросания, то его начальная скорость

0 составляла:

1) 10,0 м/с; 2) 13,3 м/с; 3) 12,4 м/с; 4) 31,4 м/с; 5) 18,3 м/с.

19. Из одной точки вылетают одновременно две частицы с горизонтальными противоположно

направленными скоростями, модули которых 1 200 см/с и

2 500 см/с. Угол между

направлениями скоростей частиц станет 90 через время t … мс.

1.09.П. Бросок под углом к горизонту. ТЕСТ 1.09.

1. Тело брошено под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 10 м/с. Через 1 с после начала движения

скорость тела составит:

1) 2,5 м/с 2) 10 м/с 3) 6,7 м/с 4) 20 м/с

2. Тело брошено под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 40 м/с. Время, через которое тело

поднимется на половину максимальной высоты, составляет:

1) 0,2 с 2) 0,6 с 3) 1 с 4) 2 с

3. Тело брошено с поверхности земли с начальной скоростью 10 м/с. Если через 0,5 с скорость тела

составила 8,1 м/с, то максимальная высота, на которую поднимется тело в процессе движения,

равна:

1) 0,9 м 2) 1,2 м 3) 1,8 м 4) 2,7 м

4. Мячик бросили с некоторой высоты h под углом 300 к горизонту. Чтобы мячик достиг

максимальной высоты над поверхностью земли, равной 2h, и упал на землю через 4 с после броска,

его начальная скорость должна составить:

1) 16,2 м/c 2) 24 м/c 3) 32,5 м/с 4) 48,7 м/с

5. Минимальная скорость в процессе движения тела, брошенного под некоторым углом к горизонту,

равна 5 м/с, а максимальная 10 м/с. Определить в градусах угол, под которым брошено тело.




___________________________________________________________________________________________________________

24

1) 15 2) 30 3) 45 4) 60

6. Найдите высоту подъема сигнальной ракеты, выпущенной со скоростью 40 м/с под углом 60° к

горизонту.

1) 40 2) 48 3) 54 4) 60

7. Из точки, расположенной на высоте 15 м, бросают камень со скоростью 20 м/с под углом 30° к

горизонту. Через какое время камень упадет на землю?

1) 2 2) 3 3) 4 4) 5

1.10. Графическое описание равномерного

прямолинейного движения. Многие задачи на движение тела ГОРАЗДО проще решать, используя графические взаимосвязи

кинематических величин. Наиболее часто встречаются графики зависимости координаты, перемещения, пути,

скорости и ускорения от времени. Тому, какая именно зависимость изображена на графике, соответствуют

подписи этого графика по осям. По вертикальной оси обозначается зависимая величина (например: путь,

перемещение, скорость или ускорение), а по горизонтальной оси откладывается величина, от которой что-то

зависит (обычно время). Рассмотрим типичный вид таких графиков для равномерного движения.

1. Зависимость скорости от времени.

При равномерном движении constx . Поэтому график движения предельно прост:

2. Зависимость координаты от времени.

При равномерном движении 0 xx x t . Поэтому график зависимости ( )x t – линейная функция.

Рассмотрим различные варианты вида этой функции.

t

x

I

II

III

t

0x , тело движется по оси

0x , тело движется против оси

0x , тело покоится

υx




___________________________________________________________________________________________________________

25

t

Заметим, что точка, из которой начинается график (точка пересечения оси ординат) показывает

начальную координату (координату в момент времени, равный нулю). Чем отличаются приведенные на

рисунке графики?

Первый. Из рисунка видно, что с течением времени координата возрастает, значит, тело движется

по выбранной оси. Для этого движения 0x .

Второй. Координата постоянна, значит, тело покоится. Для этого движения 0x .

Третий. Координата уменьшается, значит, тело движется против выбранной оси. Для этого

движения 0x .

3. График зависимости проекции перемещения от времени.

Заметим, что при равномерном

прямолинейном движении 0x xS x x t .

Поэтому график будет таким же, как и график

зависимости ( )x t , только ОБЯЗАТЕЛЬНО

начнется из начала координат! Для примера на

рисунке указаны два графика зависимости ( )x t

(сплошные линии) и соответствующие им графики

зависимости ( )xS t (пунктирные линии). Как и в

случае зависимости координаты от времени,

тангенс угла наклона графика к оси времени

численно равен скорости движения тела.

4. Графики зависимости пути от времени.

Заметим, что, в отличие от проекции перемещения, путь не может уменьшаться. Поэтому, если график

зависимости ( )xS t идет вниз, то график зависимости ( )L t будет идти с такой же крутизной, но вверх. И

опять тангенс угла наклона равен скорости движения.

Вообще, крайне важно, что КАК БЫ НИ ДВИГАЛОСЬ ТЕЛО, знание графика зависимости

скорости от времени позволяет определить и проекцию перемещения, и пройденный

путь.

Для этого нужно построить график и рассчитать площадь фигур, ограниченных графиком и осью

времени (см. рисунок).

При расчете проекции перемещения площади фигур НАД осью времени берутся со знаком

«+», а под осью времени – со знаком «–». А при расчете пути все площади считаются

положительными.

1.11.П. Графическое описание равноускоренного

прямолинейного движения.

Основная идея такая же, как и в случае равномерного прямолинейного движения. Только

величины чуть-чуть по-другому зависят от времени. Напомним, что равноускоренным движением

называют движение с постоянным ускорением, независимо от того положительно оно или

отрицательно. Но иногда говорят о равнозамедленном движении, подчёркивая уменьшение скорости.

1. Зависимость ускорения от времени.

При равноускоренном движении constxa . Поэтому график движения предельно прост:




___________________________________________________________________________________________________________

26

Важно, что по знаку ускорения ничего нельзя сказать о том, разгоняется тело или тормозит.

Далее это будет показано на примере.

2. Зависимость скорости от времени.

При равноускоренном движении vx = v0 + ax·t. Поэтому график движения представляет собой

график линейной функции:

Первый график соответствует движению с 0xa . Второй – с 0xa (равномерное движение), а

третий и четвертый – с 0xa . Означает ли это, что первое тело разгоняется, а третье и четвертое –

тормозят? Давайте проанализируем графики подробнее.

У первого тела скорость 0x (то есть тело движется по оси OX). И ускорение 0xa , оно тоже

направлено по оси OX. Поскольку скорость и ускорение направлены в одну и ту же сторону, тело на

самом деле разгоняется.

У четвертого тела все скорость 0x (движется против оси OX). И ускорение 0xa , тоже

направлено против оси OX. Поскольку скорость и ускорение направлены в одну сторону, то это тело

тоже разгоняется. Запомните! Ускорение может быть отрицательным, а тело при этом может

разгоняться!

А вот у третьего тела все сложнее. Вначале его скорость положительна, а ускорение отрицательно.

Можно сделать вывод, что тело движется по оси OX, но тормозит. В тот момент, когда график

пересекает ось времени, скорость обращается в нуль, что соответствует остановке тела. А далее

скорость становится отрицательной, а ускорение – по-прежнему отрицательно. Тело разгоняется против

оси OX.

t

υx I

II

III IV

t

0xa

0xa

0xa

ax




___________________________________________________________________________________________________________

27

Угол наклона графика зависимости скорости от времени определяет

ускорение тела. На приведенном рисунке tga . Таким образом, чем круче

идет график зависимости скорости от времени, тем больше ускорение тела.

Площадь под графиком скорости по-прежнему определяет путь и

перемещение тела.

3. Зависимость координаты от времени.

Здесь сложнее. Дело в том, что при равноускоренном движении зависимость координаты от

времени задается уравнением 2

02

xx

a tx x t . Это уравнение

описывает параболу. Значит, график выглядит следующим

образом.

Графиком квадратичной функции является парабола. Если

коэффициент а (ускорение) при t2 положителен, то ветви

параболы направлены вверх, а если коэффициент а (ускорение)

при t2 отрицателен, то ветви параболы направлены вниз.

Обратите ещё раз внимание, что время отрицательным не

бывает, а значит, у параболы длина правой и левой ветви

необязательно будет одинаковой.

► Точка пересечения графиков показывает момент встречи тел.

► Большое значение имеет координата вершины параболы. Действительно, в этот момент

времени координата перестает меняться, то есть тело

останавливается. Итак, вершина параболы

соответствует моменту остановки тела.

График зависимости перемещения от времени будет всегда

начинаться в начале координат. Линия этого графика будет

параллельна линии графика х(t). График зависимости пути от

времени будет начинаться из начала координат, он будет

повторять форму графика зависимости координаты от времени,

но только таким образом, чтобы всегда возрастать.

ТЕСТ 1.10-1.11.

1. Какой из нижеприведенных графиков зависимости проекции скорости на ось х от времени

соответствует данному графику зависимости координаты от времени?




___________________________________________________________________________________________________________

28

2. Какой из графиков зависимости координаты от времени соответствует данному графику

зависимости проекции скорости на ось х от времени? Принять х0=0.

3. На рисунке приведены графики движения двух тел. Чему равно отношение скоростей V1/V2 ?

4. На рисунке представлен график зависимости скорости прямолинейного движения точки от

времени. Чему равны перемещение и путь, пройденные точкой за 8 с движения?




___________________________________________________________________________________________________________

29

5. На рисунке представлен график зависимости скорости прямолинейного движения точки от

времени. Чему равны перемещение точки и расстояние, пройденное точкой за 20 с движения?

6. На рисунке приведена зависимость координаты тела от времени. Чему равны путь и перемещение тела

за первые 3 с движения?

7. На рисунке представлены графики зависимости от времени проекций перемещения четырех тел.

Какое тело имело наибольшую скорость в момент времени t=2 с?

8. На рисунке приведены графики зависимости проекции скорости нескольких тел от времени. Какой

из этих графиков соответствует движению с максимальным ускорением?




___________________________________________________________________________________________________________

30

9. На рисунке представлен график зависимости проекции ускорения тела от времени. Определите

мгновенную скорость движения тела в конце десятой секунды. Начальная скорость равна 2 м/с.

10. На графике представлена зависимость проекции скорости тела на ось х от времени. В начальный

момент t=0, X0=6м. Найдите зависимость координаты тела от времени.

11. Какой из приведенных на рисунках графиков зависимости проекции скорости от времени

соответствует приведенному графику изменения проекции ускорения от времени. Начальная

скорость равна 2 м/с.

12. По графику зависимости проекции ускорения тела от времени определить, в какой момент

проекция скорости тела имела максимальное значение?




___________________________________________________________________________________________________________

31

13. Какому из графиков Vx(t) соответствует уравнение проекции перемещения Sx=2t+0,1t2?

14. График зависимости проекции скорости тела от времени имеет вид:

15. Какой из приведенных ниже графиков зависимости проекции перемещения от времени

соответствует движению этого тела?

16. График зависимости координаты тела от времени прямолинейного движения представлен на

рисунке.

17. Какой из приведенных ниже графиков зависимости проекции скорости от времени соответствует

движению этого тела?




___________________________________________________________________________________________________________

32

18. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V0=30 м/с. На каком из графиков

представлена зависимость проекции скорости Vy от времени? Сопротивлением воздуха

пренебречь. Ось y направлена вертикально вверх.

19. С некоторой высоты свободно падает тело. Какой из графиков проекции скорости описывает

данное движение (принять g=10 м/с2)? Ось y направлена вниз.

20. С некоторой высоты H на упругую горизонтальную плиту падает маленький шарик. Зависимость

проекции вектора скорости шарика на ось y (ось y направлена вертикально вверх, начало оси

находится на высоте H) от времени приведена на рисунке:




___________________________________________________________________________________________________________

33

21. По графику зависимости скорости от времени найдите путь, пройденный телом за промежуток

времени от t1=1c до t2=6c.

22. Путь, проходимый вагонеткой от места погрузки до места выгрузки угля, S=500 м. На участках

ускорения и торможения вагонетка движется с ускорением а=2м/с2. Определите минимальное

время движения вагонетки, если максимальное значение модуля скорости вагонетки Vmax=72 км/ч.

23. По графику проекции скорости найти путь и перемещение.

24. Зависимость координаты тела от времени имеет вид x=-2+4t-t2. Найдите путь пройденный телом

за первые 5 с движения.

25. Материальная точка движется по прямой, совпадающей с осью Х. Проекция вектора скорости

точки на ось Х меняется по закону v=(14-3t) м/c, где t – время в секундах. Определить модуль

перемещения точки за время от t=1 с до t=3 с.

26. В осях (t,v), где t – время в секундах, а v – скорость в метрах в секунду, зависимость модуля

скорости тела от времени имеет вид прямой, соединяющей точки (0;3) и (2;9). Какой путь

проходит тело за промежуток времени от t=0 с до t=2 с?

27. График скорости тела изображается прямой, проходящей через точки (0;5) и (2;0) (время - в

секундах, скорость – в метрах в секунду). Во сколько раз путь, пройденный телом, больше модуля

перемещения тела за 8 с движения?

28. При движении материальной точки вдоль прямой проекция вектора скорости на направление

движения меняется по закону v=(4-2t) м/c, где t – время в секундах. Определить путь, пройденный

точкой за интервал времени от t=1 с до t=3 с.




___________________________________________________________________________________________________________

34

29. Скорость движения материальной точки изменяется согласно приведенному графику. Путь и

перемещение точки через 4 с после начала движения равны соответственно:

30. На рисунке изображен график зависимости проекции вектора скорости некоторого тела на ось ОХ

от времени. Чему равен путь и перемещение этого тела за 10 с движения?

31. На рисунке представлен график зависимости ускорения тела от времени. Скорость тела и

пройденный путь к начальному моменту времени равны нулю. Найдите путь, пройденный телом, к

концу пятой секунды.

32. График ускорения, с которым двигалось тело, приведен на рисунке. Начальная скорость равна

нулю. Чему равна средняя скорость движения за 4 с?




___________________________________________________________________________________________________________

35

33. Зависимость проекции скорости прямолинейного движения тела от времени представлена на

рисунке. Чему равна средняя скорость пути на участке от 0 до 20 с?

34. Точка движется вдоль оси х по закону x=8-4t+2t2 (м). Чему равна средняя скорость движения за

время от 2 с до 5 с?

35. График зависимости проекции скорости прямолинейного движения материальной точки от

времени представлен на рисунке. Чему равна средняя скорость движения на отрезке времени от 2

до 8 с?

36. На рисунке приведена зависимость координаты от времени. Чему равна средняя скорость

движения и средняя путевая скорость тела за первые 5 с движения?

37. Зависимость х - координаты движущегося тела от времени выражается уравнением х(t)=6-3t+2t2

(х – в метрах, t – в секундах). Определить среднюю путевую скорость тела в интервале времени от

t=1 с до t=4 с.

38. Координата материальной точки изменяется по закону х=-2+6t-0,25t2. Чему равна средняя

скорость точки за первые 10 с движения?

39. График ускорения, с которым двигалось тело, приведен на рисунке. Начальная скорость равна

нулю. Чему равна средняя скорость движения за 4 с?




___________________________________________________________________________________________________________

36

40. По графику зависимости скорости от времени определите среднюю скорость на первой половине пути.

1.12.П. Несколько этапов движения.

Основной фокус задач данного типа заключается в том, что конечная скорость на первом участке всегда

будет равна начальной скорости на последующем участке.

ЗАМЕЧАНИЕ. Любые задачи данной темы ГОРАЗДО проще решать не по формулам, а построением

графика зависимости скорости тела от времени. Напомним, знание этого графика позволяет определить

и ускорение (тангенс угла наклона), и перемещение, и путь (площади под графиком).

И последнее. Очень важно, чтобы не сделать типичную ошибку, ВСЕ ЗАДАЧИ НА РАСЧЕТ

ПУТИ ПРИ УСКОРЕННОМ ДВИЖЕНИИ НАДО РЕШАТЬ ТОЛЬКО ГРАФИЧЕСКИ, ЧТОБЫ

НЕ ПОТЕРЯТЬ РАЗВОРОТ ТЕЛА.

ТЕСТ 1.12.

1. Груз поднимают лебедкой. Первые 2 с груз движется без начальной скорости с ускорением 0,5

м/с2, следующие 11 с – равномерно, последние 2 с – равнозамедленно с ускорением 0,5 м/с2. На

какую высоту был поднят груз?

2. Поезд отходит от станции А и в течение 6 с достигает скорости 20 м/с. Затем он в течение 1 мин

движется с этой скоростью, а перед станцией В в течение 6с движется равнозамедленно с прежним

ускорением. Определите расстояние между станциями.

3. Автомобиль трогается с места с постоянным ускорением а1 и, достигнув скорости v, некоторое

время идет равномерно, а затем тормозит с постоянным ускорением а2 до остановки. Определите

время t движения автомобиля, если он прошел путь S.

4. Велосипедист начал движение из состояния покоя и в течение первых четырех секунд двигался с

ускорением 1 м/с2. Затем в течение 0,1 мин он двигался равномерно и последние 20 м –

равнозамедленно до полной остановки. Определите среднюю скорость за все время движения

велосипедиста. Постройте график скорости v(t).

5. Расстояние между двумя станциями поезд прошел со средней скоростью 72 км/ч за 20 мин. Разгон

и торможение вместе длились 4 мин, остальное время поезд двигался равномерно. Какова была

скорость поезда при равномерном движении?

6. Расстояние между двумя станциями S = 3 км поезд метро проходит со средней скоростью 54 км/ч.

При этом он разгоняется в течение 60 с, затем идет равномерно некоторое время, а затем движется

равнозамедленно до полной остановки в течение 40 с. Постройте график скорости движения

поезда и определите его наибольшую скорость.

7. С отвесного обрыва упал камень. Человек, стоящий у обрыва, услышал звук его падения через 6 с.

Определите глубину обрыва. Скорость звука в воздухе 340 м/с.

8. Автомобиль без начальной скорости начинает двигаться с ускорением a . Через время t после

начала движения скорость автомобиля перестает изменяться. Путь автомобиля s , пройденный им

за время 2t , равен:

1) 2

2

at; 2)

22

3

at; 3)

23

2

at; 4)

25

2

at; 5) 23at .




___________________________________________________________________________________________________________

37

9. Камень падает в ущелье. Через промежуток времени 6,0t с слышен звук удара камня о землю.

Если скорость звука з 330 м/с, то глубина ущелья составляет:

1) 150 м; 2) 55 м; 3) 660 м; 4) 242 м; 5) 110 м.

10. Поезд прошел расстояние 17s км между двумя станциями со средней скоростью 60 км/ч.

При этом на разгон в начале движения и торможение перед остановкой он потратил в общей

сложности 1 4,0t мин, а остальное время двигался с постоянной скоростью , которая

равна … км/ч.

11. Тело движется вдоль оси OX . В момент времени 0t проекция вектора скорости на ось OX

составит 500x см/с. Проекция вектора ускорения на ось OX зависит от времени следующим

образом: в интервале 0 3t с 100xa см/с2, в интервале 3 6t с 20,0xa см/с2 и в

интервале 6 10t с 50,0xa см/с2. К моменту времени 10t с тело пройдет путь … м.

1.13. Сложение скоростей. Одномерный случай.

Движение тел можно описывать в различных системах отсчета. С точки зрения кинематики все

системы отсчета равноправны. Однако кинематические характеристики движения, такие как

траектория, перемещение, скорость, в разных системах оказываются различными. Величины, зависящие

от выбора системы отсчета, в которой производится их измерение, называют относительными. Таким

образом, покой и движения тела относительны.

Пусть имеются две системы отсчета. Система XOY условно считается неподвижной, а система

X'O'Y' движется поступательно по отношению к системе XOY со скоростью 0 . Система XOY может

быть, например, связана с Землей, а система X'O'Y' – с движущейся по рельсам платформой (см.

рисунок).

Пусть человек перешел по платформе за некоторое время из точки A в точку B. Тогда его

перемещение относительно платформы соответствует вектору ,S а перемещение платформы

относительно Земли соответствует вектору 0S . Из рисунка видно, что перемещение человека

относительно Земли будет соответствовать вектору ,S представляющему собой сумму 0S и :S

0S S S

Если рассмотреть перемещение за малый промежуток времени Δt, то, разделив обе части этого

уравнения на Δt, получим:

0

Это соотношение выражает классический закон сложения скоростей:




___________________________________________________________________________________________________________

38

Абсолютная скорость тела равна векторной сумме его относительной скорости и

переносной скорости 0 подвижной системы отсчета. Или, другими словами, скорость тела в

неподвижной системе отсчета равна векторной сумме скорости тела в подвижной системе отсчета

и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Здесь – скорость тела в «неподвижной» системе отсчета XOY, – скорость тела в

«движущейся» системе отсчета X'O'Y'. Скорости и иногда условно называют абсолютной и

относительной скоростями; скорость 0 называют переносной скоростью. Обычно в качестве

неподвижной системы отсчета выбирают ту, в которой в данной задаче будут измеряться расстояния

(путь, перемещение, длина и т.д.). Легко запомнить, ведь для измерения расстояния нужно приложить

линейку, а это гораздо проще сделать, если тело неподвижно, поэтому с ним и связана неподвижная

система отсчета.

В случае, когда вектора относительной скорости и переносной скорости 0 параллельны друг

другу, закон сложения скоростей можно записать в скалярной форме: υ = υ0 ± υ'

В этом случае все движения происходят вдоль одной прямой линии (например, оси OX).

Скорости υ, υ0 и υ' нужно рассматривать как модули абсолютной, переносной и относительной

скоростей.

Рассмотрим еще один пример.

Человек в лодке плывет по реке по течению. Скорость

лодки относительно воды лодки (это скорость, с которой лодка

двигается в стоячей воде), скорость реки относительно берега

реки, следовательно, скорость лодки относительно берега =

лодки + реки. Этот результат легко получить простыми

логическими рассуждениями. Если же лодка движется против

течения, то логично будет предположить, что скорость лодки

относительно берега будет равна = лодки – реки.

Как легко запомнить, когда складывать, а когда вычитать? Поможет принцип взаимопомощи,

который заключается в следующем: если два движения помогают друг другу (человек поднимается

по движущемуся вверх эскалатору, или два поезда, которые едут навстречу друг другу, помогая

друг другу сближаться, или катер, который плывет вниз по течению реки), то ставим знак

«плюс». И наоборот, если движения мешают друг другу, то ставим знак «минус». Например, когда

одна машина догоняет (или обгоняет) другую. Очевидно, что обгоняемый не очень хочет, чтобы его

догнали, и всячески этому препятствует. Поэтому для определения относительной скорости надо просто

вычесть скорости машин друг из друга.

Пример:

Сколько секунд пассажир, стоящий у окна поезда, идущего со скоростью 54 км/ч, будет видеть

проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого 36 км/ч, а длина 150 м?

Решение:

Перейдем в систему отсчета первого поезда. В этой системе отсчета наблюдатель (пассажир)

неподвижен, а встречный поезд приближается со скоростью равной

1 2 =25 м/с.

Это очевидно, так как поезда движутся навстречу друг другу. Искомое время равно

t = l/ = 6 с.

Пример:




___________________________________________________________________________________________________________

39

Мотоциклист выезжает их хвоста автоколонны длиной 1,2 км со скоростью 72 км/ч. За какое время он

достигнет головы колонны и вернется обратно, если скорость колонны 36 км/ч? Разворот мотоциклиста

происходит мгновенно.

Решение:

Очевидно, что когда мотоциклист едет из хвоста колонны к ее голове, их относительная скорость равна

1 10м к м/с. Тогда время движения от хвоста к голове составит 1

1

1200120

10

Lt

с. При

движении от головы к хвосту мотоциклист едет навстречу колонне, и их относительная скорость равна

2 30м к м/с. А время обратного движения 2

2

120040

30

Lt

с. Значит, полное время движения

1 2 160t t t с.

1.14.П. Сложение скоростей. Многомерный случай.

Основные задачами на сложение непараллельных

скоростей – это переправы через реку и сводящиеся к ним

задачи. На самом деле, нужно научиться решать всего лишь два

типа задач.

1. Переправа за минимальное время.

В задачах этого типа будет сказано, что «лодка

переплывает реку за минимальное время» или «лодочник

выдерживает курс, перпендикулярный течению».

В этом случае лодочник гребет так, чтобы скорость лодки относительно воды оставалась

перпендикулярной течению. Естественно, течение сносит лодку

вниз по реке (см. рисунок). Время переправы будет зависеть

только от ширины реки S и скорости движения лодки по воде

(то есть ее собственной скорости)

переправы

лодки

St

.

При этом от скорости течения реки зависит только

расстояние L, на которое лодка будет снесена течением вдоль

берега. При этом важно понять, что время переправы и время, в

течении которого лодка будет сносится рекой, будут одинаковы:

реки

переправы сноса

лодки реки лодки

.S L

t t L S

Скорость лодки относительно берега находится по теореме Пифагора

2 2

реки лодки .




___________________________________________________________________________________________________________

40

При этом угол, под которым плывет лодка по отношению к перпендикуляру, восстановленному к

берегу, легко находится по формуле

реки

лодки

tg

.

К этому же типу задач относятся и задачи на падение капель дождя.

Только рисунок получается перевернутым вверх ногами. На рисунке кв –

скорость падения капель (аналог скорости движения лодки относительно

воды), в – скорость ветра или скорость движения машины (аналог скорости

течения реки), а к – скорость движения капель или их скорость в системе

отсчета, связанной с землей. Из рисунка очевидно, что угол, под которым

падают капли к вертикали или оставляют след на боковом стекле

автомобиля, определяется из соотношения

tg в

кв

.

2. Переправа по кратчайшему пути.

В задачах этого типа будет сказано либо «лодка

переплывает реку по кратчайшему пути», либо «лодочник

выдерживает курс, перпендикулярный берегу», либо «самолет

летит при боковом ветре».

Очевидно, что для того, чтобы переплыть реку

перпендикулярно берегу, лодочнику нужно грести немного

против течения, чтобы компенсировать снос лодки вниз по реке.

Из-за этого скорость движения лодки относительно берега

будет меньше, чем скорость лодки относительно течения лодки . Как видно из рисунка, она будет

определяться по теореме Пифагора

2 2

лодки реки .

Тогда время переправы составит

2 2

лодки реки

L Lt

И будет больше, чем в случае, когда скорость лодки была перпендикулярна течению. Из рисунка

так же очевиден угол, под которым надо держать курс, чтобы переплыть реку по кратчайшему пути

реки

лодки

sin .

К этому же типу задач относятся задачи на полет самолета при боковом ветре. Часто ученики

допускают ошибку, считая, что полет самолета при боковом ветре – это задача первого типа. Это,

конечно, не так. Действительно, в задачах первого типа лодку (в данном случае самолет) сносит по

течению (ветру). Тогда он НЕ ПОПАДЕТ в пункт назначения, а пролетит мимо. В действительности при

боковом ветре самолет продолжает лететь по кратчайшему пути, по прямой, при этом скорость

самолета направлена под углом к траектории, чтобы компенсировать боковой снос, а скорость самолета

относительно земли станет меньше, чем относительно ветра, то есть при боковом ветре самолеты летят

медленнее, чем в отсутствие ветра!




___________________________________________________________________________________________________________

41

3. Есть еще задачи третьего типа: на определение относительной

скорости движения двух тел.

Надо запомнить, что относительная скорость – это векторная разность скоростей двух тел. Для ее

определения нужно совместить начала двух скоростей, дополнить получившуюся фигуру до

треугольника и геометрически найти длину третьей стороны, считая две известными. В случае,

представленном на рисунке, это проще всего сделать по теореме

косинусов:

.

Направлена относительная скорость к вектору, относительную

скорость которого мы находим. На рисунке указана скорость

первого тела относительно второго.

Пример:

Самолет летел на север со скоростью 48 м/с относительно земли. С какой скоростью относительно

земли будет лететь самолет, если подует западный ветер со скоростью 14 м/с?

Решение:

Изобразим на рисунке векторное равенство, соответствующее закону

сложения скоростей

c св в ,

где в – скорость ветра. Скорость самолета относительно воздуха

св

направлена, как и раньше, на север и равна 48 м/с. По теореме Пифагора

находим

2 2

c св в 50 м/c.

Пример:

Из пункта А по взаимно перпендикулярным дорогам выехали два

автомобиля: один со скоростью 80 км/ч, другой – со скоростью 60 км/ч. С какой

скоростью (в км/ч) они удаляются друг от друга?

Решение:

Скорость, с которой изменяется расстояние между движущимися телами,

проще всего вычислить в системе отсчета, связанной с одним из тел. Видно, что

«скорость удаления двух тел друг от друга» есть не что иное, как модуль их

относительной скорости:

2 2

12 1 2 = 100 км/ч.

ТЕСТ 1.13-1.14.

1. Пароход проплывает расстояние между двумя городами по течению за 6 сут, а против течения – за

8 сут. Как долго будет плыть плот от одного города до другого? Рассмотрите идеальный случай,

когда стоянки и задержки в движении исключены.

2. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение 1 мин. По

неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься

пассажир по движущемуся эскалатору?

2 2 2

1 2 1 22 cos




___________________________________________________________________________________________________________

42

3. Через реку переправляется лодка, выдерживающая курс, перпендикулярный берегу. Скорость

лодки 1,4 м/с, скорость течения 0,7 м/с, ширина реки 308 м. Найдите время, за которое лодка

пересечет реку. На сколько метров снесет лодку по течению?

4. Автоколонна длиной 1,2 км движется со скоростью 36 км/ч. Мотоциклист выехал в обратную

сторону из головы колонны со скоростью 72 км/ч. За какое время он достигнет конца колонны и

вернется обратно?

5. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в

первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 11 с. Какова длина

второго поезда?

6. Скорость движения лодки относительно воды в n раз больше скорости течения реки. Во сколько

раз больше времени занимает поездка на лодке между двумя пунктами против течения, чем по

течению? Решите задачу для значений n = 3 и n = 5.

7. Расстояние 240 м необходимо проплыть на лодке туда и обратно один раз по реке, скорость

течения которой 1 м/с, а другой раз – по озеру. Скорость лодки относительно воды в обоих

случаях одинакова и равна 5 м/с. Во сколько раз время движения лодки по реке отличается от

времени ее движения по озеру?

8. Лодка движется со скоростью 7,2 км/ч перпендикулярно берегу. Течение относит ее на расстояние

150 м вниз по реке. Найдите скорость течения реки и время, затраченное на переправу через реку.

Ширина реки 0,5 км.

9. С катера, движущегося по течению реки, упал спасательный круг. Через 15 мин после этого

катер повернул и начал двигаться в обратную сторону. Спустя какое время катер догонит круг?

10. Мимо пристани проплывает плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии 15 км

от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она доплыла до поселка за ¾ ч и,

повернув обратно, встретила плот на расстоянии 9 км от поселка. Каковы скорость течения

реки и скорость лодки относительно воды?

11. Когда две лодки равномерно движутся навстречу друг другу – одна по течению, а другая против

течения реки, расстояние между ними сокращается на 20 м за каждые 10 с. Если же лодки с

прежними по величине скоростями будут двигаться по течению реки, то расстояние между ними

за то же время будет увеличиваться на 10 м. Каковы скорости лодок относительно воды?

12. Вертолет летит из пункта А в пункт В, расположенный южнее пункта А на 150 км, и возвращается

обратно. Определите продолжительность полета, если известно, что во время рейса ветер дул с

запада на восток. Скорость вертолета относительно ветра 180 км/ч, скорость ветра 20 м/с.

13. Пункты А и В расположены на одном берегу реки, пункт С – на другом, напротив А. Расстояния

между пунктами А и В, А и С – одинаковые. Рыбак плывет на лодке один раз из А в В и обратно,

второй – из пункта А в С и обратно. Чему равна скорость лодки относительно воды, если

известно, что скорость течения воды 2 км/ч и что первая поездка требует времени в n = 1,1

раза больше, чем вторая?

14. Теплоход длиной L = 300 м движется по прямому курсу в неподвижной воде с постоянной

скоростью v1. Катер, имеющий скорость v2 = 90 км/ч, проходит расстояние от кормы движущегося

теплохода до его носа и обратно за время t = 37,5 с. Какова скорость теплохода?

15. От пристани А к пристани В по реке со скоростью 2 км/ч относительно воды плывет весельная

лодка. От пристани В к пристани А одновременно с лодкой отходит катер, скорость которого

относительно воды 10 км/ч. За время движения лодки между пристанями катер успевает

пройти это расстояние четыре раза и прибывает к пристани В одновременно с лодкой.

Определите скорость и направление течения реки.

16. Каким курсом должен лететь самолет, чтобы трасса его полета проходила строго с юга на

север, если собственная скорость самолета равна 360 км/ч, а скорость ветра, дующего с

востока, - 36 км/ч?

17. Самолет летит со скоростью 800 км/ч относительно воздуха. Ветер дует с запада на восток со

скоростью 15 м/с. С какой скоростью самолет будет двигаться относительно земли и под каким

углом α к меридиану необходимо держать курс, чтобы перемещение было: а) на юг; б) на север; в)

на запад; г) на восток?




___________________________________________________________________________________________________________

43

18. Самолет летит от пункта А до пункта В, расположенного на расстоянии 300 км к востоку. Какова

продолжительность полета, если: а) ветра нет; б) ветер дует с юга на север; в) ветер дует с запада

на восток? Скорость ветра 20 м/с, скорость самолета относительно воздуха 600 км/ч.

19. Два корабля движутся со скоростями v1 и v2 под углом α друг к другу. Определите величину и

направление скорости первого корабля относительно второго

20. Со станции со скоростью 36 км/ч вышел товарный поезд. Через 30 мин в том же направлении со

скоростью 72 км/ч вышел экспресс. Через какое время после выхода товарного поезда и на каком

расстоянии от станции экспресс догонит товарный поезд?

21. Расстояние из пункта A до пункта B катер проходит за 1 3,0t ч, а обратно – за

2 6,0t ч. При

выключенном моторе катер пройдет расстояние от A до B за:

1) 4,5 ч; 2) 3,0 ч; 3) 4,2 ч; 4) 9,0 ч; 5) 12 ч .

22. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 1 54v км/ч и 2 36 км/ч. Длина второго

поезда 250l м. Пассажир, сидящий в первом поезде, будет видеть проходящий мимо него

встречный поезд в течение:

1) 5,0 с; 2) 12 с; 3) 15 с; 4) 20 с; 5) 10 с.

23. Пловец переплывает реку перпендикулярно течению, двигаясь относительно воды со скоростью

п 0,60 м/с. Если скорость течения реки равна т 0,80 м/с, то скорость пловца относительно

берега реки составляет:

1) 1,4 м/с; 2) 0,20 м/с; 3) 0,52 м/с; 4) 1,0 м/с; 5) 0,48 м/с.

24. Теплоход длиной 1 300l м движется по озеру с некоторой скоростью. Катер со скоростью

k 90 км/ч проходит от кормы до носа движущегося теплохода и обратно за 37,5t с.

Скорость т теплохода составляет:

1) 18 м/с; 2) 15 м/с; 3) 25 м/с; 4) 32 м/с; 5) 30 м/с.

25. В безветренную погоду капли дождя оставляют на окне равномерно движущегося автобуса след,

направленный под углом 30,0 к вертикали. Если скорость автобуса 36,0 км/ч, то

скорость капель относительно земли составляет:

1) 6,20 м/с; 2) 22,7 м/с; 3) 17,3 м/с; 4) 12,8 м/с; 5) 8,40 м/с.

26. Мотоциклист едет со скоростью м 36,0 км/ч. Скорость ветра в 2,00 м/с. Если ветер

боковой, то его скорость относительно мотоциклиста составляет:

1) 12,0 м/с; 2) 10,2 м/с; 3) 8,40 м/с; 4) 10,0 м/с; 5) 5,00 м/с.

27. Пассажирский поезд, движущийся со скоростью п 54 км/ч, проходит мимо встречного

товарного поезда длиной т 300l м, идущего со скоростью т 36 км/ч, за 20t с. Длина

пl

пассажирского поезда составляет:

1) 250 м; 2) 400 м; 3) 200 м; 4) 300 м; 5) 150 м.

28. Человек поднимается по неподвижному эскалатору за 1 3,0t мин, а по движущемуся вверх

эскалатору – за 2 2,0t мин. По эскалатору, движущемуся вниз с той же скоростью, человек

поднимется за:

1) 12 мин; 2) 5,0 мин; 3) 8,0 мин; 4) 9,5 мин; 5) 6,0 мин.

29. Самолет в безветренную погоду взлетает со скоростью 0 40 м/с под углом к горизонту

10 . Если подует горизонтальный встречный ветер со скоростью в 10 м/с, то скорость

самолета относительно земли составит:

1) 30 м/с; 2) 25 м/с; 3) 46 м/с; 4) 38 м/с; 5) 20 м/с.

30. Автомобиль, двигаясь равномерно со скоростью 45 км/ч, в течение 1 10t с прошел такой

же путь, какой автобус, двигающийся в том же направлении, прошел за 2 15t с. Их

относительная скорость равна:




___________________________________________________________________________________________________________

44

1) 5,0 км/ч; 2) 10 км/ч; 3) 15 км/ч; 4) 20 км/ч; 5) 23 км/ч.

31. Из пункта A в пункт B с интервалом 10t мин вышли два электропоезда со скоростью

30 км/ч. С какой скоростью 2 двигался поезд, идущий из B в A , если он повстречал

электропоезда через 4,0t мин один после другого?

1) 15 км/ч; 2) 18 км/ч; 3) 24 км/ч; 4) 30 км/ч; 5) 45 км/ч.

32. Скорость катера к 7,0 м/с, скорость течения реки – т 3,0 м/с. Когда катер двигался

против течения, с него в воду сбросили поплавок. Затем катер прошел против течения 4,2s

км, повернул обратно и догнал поплавок. Общее время t движения катера составляет:

1) 28 мин; 2) 45 мин; 3) 54 мин; 4) 35 мин; 5) 48 мин.

33. За какое время t пассажирский поезд длиной п 150l м, идущий со скоростью п 72 км/ч,

обгонит идущий в том же направлении по параллельному пути товарный поезд длиной т 300l м,

скорость которого составляет т 54 км/ч?

1) 13 с; 2) 25 с; 3) 90 с; 4) 51 с; 5) 4,3 с.

34. Эскалатор спускает идущего по нему человека за 1 60t с. Если человек будет идти по эскалатору

вдвое быстрее, то он спустится за 2 45t с. Стоя на эскалаторе, человек спустится за:

1) 80 с; 2) 90 с; 3) 120 с; 4) 150 с; 5) 180 с.

35. Катер проходит расстояние между двумя пунктами по течению реки за к 3t ч, а плот – за

п 12t

ч. На обратный путь катер затратит:

1) 6 ч; 2) 8 ч; 3) 4 ч; 4) 7 ч; 5) 9 ч.

36. Два тела движутся навстречу друг другу так, что расстояние между ними за каждые 1 10t с

уменьшается на 1 16l м. Если эти тела будут двигаться в одном направлении с прежними по

величине скоростями, то за 2 5,0t с расстояние между ними увеличится на

2 3,0l м.

Скорости тел равны:

1) 1,6 м/с,

0,60 м/с;

2) 2,2 м/с,

1,0 м/с;

3) 1,1 м/с,

0,50 м/с;

4) 3,3 м/с,

1,6 м/с;

5) 0,80 м/с,

2,0 м/с.

37. При скорости ветра 1 10 м/с капли дождя падают под углом 1 30 к вертикали. Под углом

2 45 капли будут падать при скорости 2 ветра:

1) 15 м/с; 2) 12 м/с; 3) 20 м/с; 4) 19 м/с; 5) 17 м/с.

1.15. Равномерное движение по окружности.

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. При

криволинейном движении вектор скорости тела всегда направлен по касательной к траектории. То

же самое происходит и при движении по окружности (см. рисунок). Равномерное движение тела по

окружности характеризуется рядом величин.

Период (T) – время, за которое тело, двигаясь по окружности,

совершает один полный оборот. Единица измерения – 1 с.

tT

N .

Частота (v) – количество оборотов, которое совершило тело,

двигаясь по окружности, в единицу времени. Единица измерения – 1 об/с

или 1 Гц.




___________________________________________________________________________________________________________

45

.N

t

В обеих формулах N – количество оборотов за время t.

Период и частота величины взаимообратные

1 1, 1.T T

T

При равномерном вращении скорость тела будет определяется следующим образом

22 ,

l RR

t T

где l = 2πR – длина окружности или путь, пройденный телом за время равное периоду T.

При движении тела по окружности удобно рассматривать угловое перемещение φ (или угол

поворота), измеряемое в радианах (см. рисунок). Угловой скоростью ω тела в данной точке называют

отношение малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt:

.t

Очевидно, что за время равное периоду T тело пройдет угол равный 2π, следовательно

22 .

t T

Угловая скорость измеряется в рад/с. Например, угловая скорость 2π рад/с означает, что за 1

секунду тело поворачивается на угол 2π, то есть совершает один полный оборот. Угловая скорость 12π

рад/с означает, соответственно, что тело совершает 6 полных оборотов за 1 секунду. Не забывайте

переводить углы из градусов в радианы! Надеюсь, вы помните, как это делать?

Длина дуги l связана с углом поворота соотношением

l = Rφ.

C другой стороны

l = φt.

Откуда, приравнивая две последних формулы, получаем

.R Rt

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:

υ = ωR

При движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении

изменяется только направление вектора скорости υ, поэтому движение тела

по окружности с постоянной по модулю скоростью является движением с

ускорением (но не равноускоренным!!!), так как меняется

НАПРАВЛЕНИЕ СКОРОСТИ. Ускорение

nat

направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным, или центростремительным

ускорением, так как вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру (см.

рисунок).

Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями

соотношениями:




___________________________________________________________________________________________________________

46

22 .na R

R

Итого мы имеем пять величин, которыми можно характеризовать вращательное движение тела.

Некоторые из них уже связаны соотношениями. Некоторые нет. Вам предстоит самостоятельно

заполнить таблицу, выразив величину, стоящую в первом столбце через величину, стоящую в первой

строке. Некоторые ячейки уже заполнены, так некоторые формулы уже были выведены. В качестве ДЗ

заполнить остальные клеточки самостоятельно и для проверки продемонстрировать их

репетитору.

Также если тела (точки) находятся на вращающемся диске, шаре, стержне, то у всех тел

одинаковые период вращения, угловая скорость, частота.

Поэтому решение задачи удобно будет начинать с приравнивания этих величин, например:

1 21 2

1 2

.R R

Пример:

Линейная скорость точек обода вращающегося колеса равна 50 см/с, а линейная скорость его

точек, находящихся на 3 см ближе к оси вращения, равна 40 см/с. Определите радиус (в см) колеса.

Решение:

Выразим скорость каждой точки через расстояние до оси вращения и угловую скорость колеса,

учитывая, что угловая скорость всех точек данного колеса одинакова.

1

2

R

R l

,

где l = 3 см. Решая систему уравнений, находим R = 15 см.

► Зная радиус, теперь из любого из уравнений системы можно найти угловую скорость, а зная

угловую скорость затем можно найти и период и частоту.

Пример:

Точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, равной 1,5 м/с. Определите

центростремительно ускорение точки, если за время 2,5 с направление вектора ее скорости изменяется

на 57º.

Решение:

Центростремительное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса R с линейной

скоростью υ, определяется по формуле aц = 2/R. Неизвестный радиус окружности R можно выразить из

соотношения, связывающего линейную и угловую скорости: = R, откуда R = /. Тогда для

центростремительного ускорения получаем формулу aц = . В рассматриваемом случае угловая

скорость точки = /t. Поэтому ее центростремительное ускорение:

ц

1,5 1,0

2,5a

t

м/с2 = 60 см/с2.

1.16.П. Равномерное движение по

окружности. Фокусы.




___________________________________________________________________________________________________________

47

Некоторые типы задач на вращательное движение являются особыми. Их придется рассмотреть

отдельно.

ВРАЩЕНИЕ СТРЕЛОК ЧАСОВ.

При решении задач данной темы считается, что Вы ЗНАЕТЕ периоды вращения стрелок стандартных

механических часов и направление их вращения. Итак, период вращения секундной стрелки

составляет… правильно! 1 минута. Минутная стрелка совершает 1 оборот за 1 час, а часовая – за 12

часов. Не стесняйтесь использовать эти знания при решении задач.

ВРАЩЕНИЕ ЗЕМЛИ

Предполагается, что Вы ЗНАЕТЕ следующие утверждения. Земля участвует в двух основных

вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период

вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с

запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Наиболее часто в данной теме

встречается задача на определение скорости суточного вращения точки на поверхности Земли на

некоторой (известной) широте. Напомним, что широтой называется угол между плоскостью экватора и

направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

ПЕРЕДАЧИ

Часто в технических устройствах необходимо передать вращение от одного вала или колеса к другому.

На практике эта цель достигается тремя способами.

Соприкосновение колес

или шестерен Соединение колес ремнем Посадка колес на один вал

В этом случае колеса вращаются с

равными линейными скоростями.

υ1 = υ2

В этом случае колеса

вращаются с равными

линейными скоростями.

υ1 = υ2

В этом случае колеса

вращаются с равными

угловыми скоростями,

частотами и периодами.

ω1 = ω2, v1 = v2, T1 = T2

ТЕСТ 1.15.-1.16.

1. Определите орбитальную скорость движения Земли вокруг Солнца, если Земля удалена от Солнца

на 15∙1010 м, а продолжительность года на Земле составляет 3,14∙107 с.

2. Угловая скорость вала радиусом 5 см составляет 31,3 рад/с. Определите линейную скорость точек

на поверхности вала, период и частоту его вращения.

3. Путь, пройденный материальной точкой при движении по окружности радиусом 0,5 м, изменялся

по закону: 6S t . Определите угловую скорость вращения материальной точки.

4. Шкив электромотора диаметром 0,2 м совершает 12000 оборотов за 10 мин. Определите период и

частоту вращения, линейную и угловую скорости точек, лежащих на ободе шкива.

5. Как изменится линейная скорость вращения материальной точки на окружности, если угловую

скорость увеличить в 2 раза, а расстояние от точки до оси вращения уменьшить в 4 раза?




___________________________________________________________________________________________________________

48

6. Тело совершает 40 оборотов за 10 с. На каком расстоянии от оси вращения находится точка,

движущаяся со скоростью 10,7 м/с?

7. Искусственный спутник совершает круговой облет Земли за 90 мин. С какой угловой скоростью

движется спутник?

8. Линейная скорость точек, расположенных на ободе колеса, равна 5 м/с, а точек, находящихся

ближе к оси на 0,2 м, – 4 м/с. Определите период вращения колеса.

9. Какова линейная скорость точек земной поверхности на широте Лондона (φ = 60°) при суточном

вращении Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.

10. На вал намотана нить, к концу которой подвешена гирька. При равномерном движении гирьки за

10 секунд с вала смоталось 12 м нити. Каков радиус вала, если он совершает 60 об/мин?

11. Ведущее колесо электровоза диаметром 1,2 м совершает 300 об/мин. С какой скоростью движется

поезд, ведомый электровозом?

12. Во сколько раз угловая скорость минутной стрелки часов больше угловой скорости вращения

Земли вокруг своей оси?

13. Колесо велосипеда имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо

совершает 100 об/мин?

14. Когда колесо катится, верхние спицы часто сливаются, а нижние видны отчетливо. Объясните это

явление.

15. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии 0,5 м друг от друга, вращается, совершая

1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; при этом отверстие от пули во

втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол, равный 12º. Какова

скорость пули?

16. Определите радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей

на его ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

17. Мальчик вращает камень, привязанный к веревке длиной 1 м в вертикальной плоскости, совершая

3 об/с. На какую высоту от точки обрыва взлетел камень, если веревка оборвалась в тот момент,

когда вектор линейной скорости камня был направлен вертикально вверх?

18. Волчок, вращающийся с угловой скоростью 62,8 рад/с, свободно упал со стола высотой 1 м.

Сколько оборотов совершит волчок за время свободного падения?

19. При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного спутника Земли период его

обращения увеличивается в 8 раз. Как изменяется скорость движения спутника на орбите?

20. Минутная стрелка часов в 3 раза длиннее секундной. Определите отношение линейных скоростей

концов стрелок.

21. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R1 и R2, причем R1 < R2. Определите

отношение их центростремительных ускорений a2/a1 в случаях: а) равенства их линейных

скоростей; б) равенства их периодов.

22. Радиус рабочего колеса гидротурбины в 8 раз больше, а частота вращения – в 40 раз меньше, чем у

паровой турбины. Определите отношение линейных скоростей и ускорений точек ободов колес

турбин.

23. Велосипедист едет со скоростью 3,0 м/с. Скорости 1 верхней и 2 нижней точек обода

колеса велосипеда относительно земли составляют:

1) 6,3 м/с, 3 м/с; 2) 3 м/с, 3 м/с; 3) 3 м/с, 0; 4) 6 м/с, 0; 5) 3 м/с, 6 м/с.

24. Автомобиль движется без проскальзывания со скоростью 108 км/ч. Если внешний диаметр

покрышек колес автомобиля 60d см, то количество оборотов n , которое совершит каждое

колесо за 6,28t с, составит:

1) 10; 2) 20; 3) 50; 4) 100; 5) 200.

25. При равномерном движении по окружности тело проходит путь 500l см за 2,0t с. Если

период обращения равен 5,0T с, то центростремительное ускорение a , с которым движется

тело, составляет:

1) 3,1 м/с2; 2) 6,3 м/с2; 3) 1,6 м/с2; 4) 4,8 м/с2; 5) 2,4 м/с2.




___________________________________________________________________________________________________________

49

26. Линейная скорость точки, движущейся по окружности с угловой скоростью 8,0 рад/с, 4,0

м/с. Величина центростремительного ускорения a точки равна:

1) 0; 2) 8,0 м/с2; 3) 32 м/с2; 4) 0,25 м/с2; 5) 130 м/с2.

27. Линейная скорость точек обода вращающегося диска равна 4,0 м/с, а точек, расположенных

на 5,0l см ближе к оси вращения, 1 2,0 м/с. Какое количество N оборотов совершает диск в

минуту?

1) 3,2; 2) 190; 3) 2,6; 4) 96; 5) 380.

28. Два шкива радиусами 1R и

2 14R R соединены ременной передачей. Если период вращения

первого шкива 1 1T с, то угловая скорость

2 второго шкива равна:

1) 0,5 рад/с; 2) 0,5 π рад/с; 3) 2 рад/с; 4) π рад/с; 5) 2π рад/с.

29. Минутная стрелка часов в 3k раза длиннее часовой. Во сколько раз линейная скорость

минутной стрелки больше линейной скорости часовой?

1) 18; 2) 36; 3) 72; 4) 20; 5) 4.

30. Тело равномерно движется по окружности радиусом 200R см. Если период обращения тела

2,0T с, то за 3,0t с движения перемещение S тела составит:

1) 0; 2) 2,8 м; 3) 6,3 м; 4) 19 м; 5) 4,0 м.

31. Если период обращения точек обода колеса уменьшить в 3k раза, то центростремительное

ускорение точек:

1) уменьшится в

3 раза;

2) уменьшится в

9 раз;

3) увеличится в

3 раза;

4) увеличится в

9 раз;

5) не изменится.

32. Во сколько раз центростремительное ускорение тела на экваторе больше, чем на широте 30 ?

1) 2

2; 2) 2; 3) 2 ; 4) 5; 5)

2

3.

33. Тело движется по окружности радиусом 4R м с постоянной по модулю скоростью. Период

обращения 4T с. Модуль средней скорости перемещения за 6t с движения равен:

1) 2

3

м/с; 2) 2 м/с; 3)

4

3 м/с; 4)

2

3 м/с; 5)

4

3

м/с.

34. Период обращения материальной точки, движущейся равномерно по окружности, равен T .

Отношение пути, пройденного точкой за время 2

3

Tt от начала движения, к модулю ее

перемещения за это же время составляет:

1) 2

9

; 2)

3

2

; 3)

2 3

3

; 4)

2 3

3; 5)

4 3

9

.

35. Сколько раз в сутки встречаются часовая и секундная стрелки часов?

1) 2876; 2) 719; 3) 1800; 4) 1438; 5) 1244.

36. Два тела начинают движение по окружности из одной точки в одном направлении. Период

обращения первого тела 1 1,0T с, второго -

2 3,0T с. Первое тело догонит второе через время

t , равное:

1) 8,0 с; 2) 5,0 с; 3) 2,0 с; 4) 1,5 с; 5) 6,0 с.

37. Пуля попадает во вращающийся вокруг вертикальной оси с частотой 100 Гц тонкостенный

цилиндр диаметром 4,00d м. С какой максимальной по модулю скоростью должна лететь

пуля вдоль диаметра цилиндра, чтобы, пробив цилиндр, она оставила в нем одно отверстие?

1) 314 м/с; 2) 628 м/с; 3) 200 м/с; 4) 400 м/с; 5) 800 м/с.

38. С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 90R м,

чтобы центростремительное ускорение a равнялось ускорению свободного падения?

1) 10 м/с; 2) 80 м/с; 3) 22 м/с; 4) 15 м/с; 5) такое




___________________________________________________________________________________________________________

50

движение

невозможно.

39. Две точки равномерно движутся по окружности. Первая точка, двигаясь по часовой стрелке,

делает один оборот за 1 5,0t с, вторая точка, двигаясь против часовой стрелки, делает один

оборот за 2 2,0t с. Время t между двумя последовательными встречами точек составляет:

1) 3,0 с; 2) 1,4 с; 3) 1,5 с; 4) 3,5 с; 5) 7,0 с.

40. Цилиндр радиусом 10R см зажат между движущимися без проскальзывания со скоростями

1 12 см/с и 2 8 см/с параллельными рейками. Угловая скорость вращения цилиндра

равна:

1) 0,4 рад/с; 2) 0,8 рад/с; 3) 1 рад/с; 4) 2 рад/с; 5) 0,5 рад/с.

41. Точка движется по окружности с постоянной скоростью 15 м/с. Вектор скорости изменяет

направление на угол 60 за время 3,0t с. Центростремительное ускорение a точки равно:

1) 1,7 м/с2; 2) 10 м/с2; 3) 3,0 м/с2; 4) 9,0 м/с2; 5) 5,2 м/с2.

42. Тонкостенный цилиндр радиусом 2,00R м вращается с угловой скоростью 628 рад/с

относительно вертикальной оси. С какой максимальной по модулю скоростью летит вдоль

диаметра цилиндра пуля, если в его оболочке остается только одно отверстие?

1) 200 м/с; 2) 400 м/с; 3) 314 м/с; 4) 628 м/с; 5) 800 м/с.

43. Диск радиусом 2R м равномерно вращается относительно оси, проходящей через его центр

перпендикулярно поверхности. На каком максимальном расстоянии l друг от друга

расположены две точки диска, если отношение их линейных скоростей 2k ?

1) 3 м; 2) 1 м; 3) 0,5 м; 4) 4 м; 5) 2 м.

44. За время 10t с тело прошло половину окружности радиусом 10R м. Отношение средней

путевой скорости к модулю средней скорости составляет …

45. Пропеллер самолета радиусом 150R см вращается, совершая 2000n оборотов в минуту.

Если модуль посадочной скорости самолета относительно Земли 161 км/ч, то модуль

скорости 1 точки на конце пропеллера при посадке равен…м/с.

46. Два мальчика бегают по дорожке стадиона длиной 400l м. Первый пробегает круг за 1 50t , а

второй за 2 60t с. Сколько раз они встретятся при забеге на дистанцию

0 4l км, если

стартуют одновременно и бегут в одну сторону?


физика к цт

Documents

Transcript of физика к цт