KLIPING

MATEMATIKA

SOAL-SOAL SPLTV

D

I

S

U

S

U

N

OLEH :

1.Windi Andriyani2.Wulandari3.Neneng Hasanah4.Sukur5.Yusuf Buyamin

Guru Pembimbing : Fatmawati,S.Pd

NIP : 198009162008012004

DINAS PENDIDIKAN

SMA NEGERI 2 TANJUNG RAJA

TAHUN PELAJARAN 2016/2017

5.Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q.

Nilai 4p + 3q adalah . . . .

a. 17

b. 1

c. -1

d. -17

6.Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2

adalah . . . .

a. {(-2, -4 )}

b. {(-2 ,4)}

c. {(2, -4)}

d. {(2, 4)}

7.Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x + 2y = 29

adalah . .

a. {(7, 4)}

b. {(7,-4)}

c. {(-4, 7)}

d. {(4, 7)}

8.Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17,

Maka nilai dari 2x – y = . . . .

a. -7

b. -5

c. 5

d. 7

a. (2 : 125 : -15)

b. (2 : 120 : 15 )

c. (2 : 130 : -15)

d. (2 : 125 : 15 )

a .11

3.

b .12

3

c .21

3

9.

d .11

4

Tentukan ;Pn'a dengan menggunakan metode eliminasi

Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi

2x + y – z = 2 ………… (1)x – 2y + 3z = 1 ……….. (2)

1

1

1

1

1

1

3x – y + 2z = 3 ……….. (3)

Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi

x + 2y – 3z = -1 …………………………………………………. (1)3x - y + 2z = 7 …………………………………………………… (2)5x + 3y – 4z = 2 …………………………………………………. (3)

Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi

x + y + 2z = 9 ………………. (1)2x + 4y – 3z = 1 ……………. (2)3x + 6y – 5z = 0 ……………. (3)

Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi

2x + y – z = 2 ……………… (1)x – 2y + 3x = 1 ……………. (2)3x – y + 2z = 3 …………….. (3)

Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan Eliminasi

x + 2y – 3z = -1 …………. (1)3x - y + 2z = 7 …………. (2)5x + 3y – 4z = 2 ………… (3)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

1

1

1

2

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari Tiga

Variabel/Peubah.

- Bentuk Umum SPLTV:

Bentuk umum SPLTV x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, ∈ R

Persamaan a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, dan a3x + b3y + c3z = d3 merupakan

persamaan di R3. Ketiga bidang tersebut dapat saling berpotongan di sebuah titik, sebuah

garis, atau tidak berpotongan.

1) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa titik, maka SPLTV tersebut

mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya (mempunyai

penyelesaian tunggal), yaitu titik potong tersebut.

Dari gambar di atas terlihat, bahwa ketiga bidang bertemu (berpotongan) di satu titik,

yaitu titik (x1, y1, z1).

Jadi titik (x1, y1, z1) merupakan penyelesaian tunggal dari sistem persamaan linear tiga

variabel tersebut.

2) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa garis, maka SPLTV tersebut

mempunyai tak hingga banyak penyelesaian, yaitu titik-titik pada garis potong ketiga

bidang tersebut.

Terlihat pada gambar di atas, bahwa ketiga bidang berpotongan pada satu garis. Jadi

titik-titik pada garis berpotongan merupakan penyelesaian dari SPLTV tersebut.

Dengan kata lain SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak anggota dalam

himpunan penyelesaiannya (mempunyai lebih dari satu penyelesaian).

3) Jika ketiga bidang tidak berpotongan sama sekali, maka SPLTV tersebut dapat

digambarkan ke dalam tiga kemungkinan berikut ini.

Terlihat pada gambar di atas bahwa, ketiga bidang tidak mempunyai titik atau garis

potong. Dengan kata lain SPLTV ini tidak mempunyai anggota dalam himpunan

Penyelesaiannya (himpunan Penyelesaiannya adalah himpunan kosong).

Secara aljabar, penyelesaian SPLTV dapat dicari dengan beberapa cara/metode antara lain:

1) Metode substitusi

2) Metode gabungan/kombinasi eliminasi dan substitusi

3) Metode determinan

1. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi

Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode

substitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan x sebagai

fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

2) Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah pertama (1) ke dalam dua

persamaan yang lainnya sehingga diperoleh SPLDV.

3) Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah kedua (2)

Contoh:

1) Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan substitusi

x + y + 2x = 9 ……….. (1)

2x + 4y – 3z = 1 …….. (2)

3x + 6y – 5z = 0 …….. (3)

Jawab:

- Dari persamaan (1), kita dapatkan x = 9 – y – 2z ……….. (4)

- Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3)

2(9 – y – 2z) + 4y – 3z = 1

2y – 7 z = -17 ………………………………………………. (5)

Dan

3(9 – y – 2z) + 6 – 5z = 0

3y – 11z = -27 ……………………………………………….(6)

Sehingga diperoleh SPLTV berikut ini.

2y – 7z = -17 ………………………………………………… (5)

3y – 11z = -27 ……………………………………………….. (6)

Selanjutnya, kita dapat mencari nilai y dan z dengan cara substitusi seperti pada

SPLDV.

- Dari persamaan (5) diperoleh: y = 2

717 e+−

…………………. (7)

- Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6)

27112

7173 −=−

+−

ze

-51 + 21z – 22z = -54

-z = -3

z = 3

- Kemudian nilai z = 3 disubstitusikan ke persamaan (7), diperoleh nilai y = 2

- Substitusikan y = 2 dan z=3 ke persamaan (4) diperoleh nilai x= 1.

Jadi SPLTV tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu (1,2,3) atau

Himpunan Penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}.

2) Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi

2x + y – z = 2 ………… (1)

x – 2y + 3z = 1 ……….. (2)

3x – y + 2z = 3 ……….. (3)

Jawab:

Misalkan substitusi dimulai pada variabel z terlebih dahulu (persamaan yang paling

sederhana).

- Dari persamaan (1) diperoleh: z = 2x + y – 2 …………….. (4)

- Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) diperoleh:

x – 2y + 3(2x + y – 2) = 1

7x + y = 7 ………………………………………………….. (5)

Dan

3x – y + 2(2x + y – 2) = 3

7x + y = 7 …………………………………………………. (6)

- Persamaan (5) sama dengan persamaan (6), sehingga dari kedua persamaan ini

dapat kita peroleh nilai satu peubah sebagai fungsi dari peubah yang lain,

misalnya:

y = 7 – 7x ………………………………………………………. (7)

- Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (4), maka diperoleh:

z = 2x + (7 – 7x) – 2

z = -5x + 5

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah:

x = x

y = 7 – 7x

z = 5 – 5x

Penyelesaian dari SPLTV ini banyak sekali, tergantung pada nilai x yang kita

tentukan, misalnya.

Jika x = 1, maka y = 0 dan z = 0 atau

Jika x = 0, maka y = 7 dan z = 5 atau

Jika x = -1, maka y = 14 dan z = 10 dan seterusnya

Dengan kata lain SPLTV ini mempunyai tak hingga banyak anggota

dalam Himpunan Penyelesaiannya.

Cara lain

- Persamaan (5) sama dengan persamaan (6): berarti persamaan yang satu

merupakan kelipatan dari persamaan yang lain, maka himpunan penyelesaiannya

mempunyai tak hingga banyak anggota.

3) Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi

x + 2y – 3z = -1 …………………………………………………. (1)

3x - y + 2z = 7 …………………………………………………… (2)

5x + 3y – 4z = 2 …………………………………………………. (3)

Jawab:

- Misalkan substitusi dimulai pada variabel x, dari persamaan (1) diperoleh:

x = -2y + 3z – 1 ……………………………………………….. (4)

- Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) diperoleh:

3(-2y + 3z – 1) – y + 2z = 7

-7y + 11z = 10 …………………………………………….. (5)

dan

5(-2y + 3z – 1) + 3y – 4z = 2

-7y + 11z = 7 ………………………………………………. (6)

Persamaan (5) dan (6) menyatakan bahwa SPLDV tersebut tidak konsisten

sehingga SPLTV tidak mempunyai penyelesaian.

2. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi Substitusi

Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode

eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut:

1) Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh Sistem Persamaan

Linear Dua Variabel (SPLTV).

2) Selesaikan SPLTV yang diperoleh dari langkah (1)

3) Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah-langkah 2 ke dalam

salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lainnya.

Contoh:

1) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi

x + y + 2z = 9 ………………. (1)

2x + 4y – 3z = 1 ……………. (2)

3x + 6y – 5z = 0 ……………. (3)

Jawab:

- Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh:

x + y + 2z = 9 | x 3 3x + 3y + 6z = 27

2x + 4y – 3z = 1 | x 2 4x + 8y – 6z = 2 +

7x + 11y = 29 ……………..(4)

- Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh persamaan:

2x + 4y - 3z = 1 | x 5 10x + 20y - 15z = 5

3x + 6y – 5z = 0 | x 3 9x + 18y – 15z = 0 _

x + 2y = 5 ………….. (5)

- Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV, yaitu:

7x + 11y = 29 …………… (4)

x + 2y = 5 …………….. (5)

- Eliminasi x pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai y

7x + 11y = 29 | x1 7x + 11y = 29

x + 2y = 5 | x7 7x + 14y = 35 _

-3y = -6

y = 2

- Eliminasi y pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai x

7x + 11y = 29 | x2 14x + 22y = 58

x + 2y = 5 | x11 11x + 22y = 55 _

3x = 3

x = 1

- Substitusikan nilai x = 1 dan y = 2 ke persamaan yang paling sederhana (misal

persamaan (1)) sehingga diperoleh nilai z

x + y + 2x = 9

1 + 1 + 2z = 9

2z = 6

z = 3

∴ Penyelesaian SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 2, z = 3 atau

(1, 2, 3)

Sedangkan himpunan penyelesaiannya {(1,2,3)}

2) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi

2x + y – z = 2 ……………… (1)

x – 2y + 3x = 1 ……………. (2)

3x – y + 2z = 3 …………….. (3)

Jawab:

- Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (4)

2x + y – z = 2 | x3 6x + 3y – 3z = 6

x - y + 3z = 1 | x1 x - 2y + 3z = 1 +

7x + y = 7 ……………….. (4)

- Eliminasi z dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (5)

2x + y – z = 2 | x2 4x + 2y – 2z = 4

3x - y + 2z = 3| x1 3x - y + 2z = 3 +

7x + y = 7 ……………….. (5)

- Terlihat bahwa persamaan (4) sama dengan persamaan (5) sehingga kita peroleh

nilai satu variabel yang merupakan fungsi dari variabel yang lain, yaitu y = 7 –

7x.

- Substitusikan nilai y = 7 – 7x ke persamaan (1), diperoleh:

2x + (7 – 7x) – z = 2

z = -5x + 5

∴ Penyelesaian SPLTV tersebut adalah:

x = x

y = -7x + 7

z = -5x + 5

Dengan kata lain, SPLTV ini mempunyai banyak penyelesaian tergantung pada

nilai variabel x yang kita tentukan.

Cara Lain

Persamaan (4) sama dengan persamaan (5), berarti persamaan yang satu mrupakan

kelipatan dari persamaan yang lain, maka himpunan penyelesaiannya mempunyai tak

hingga banyak anggota.

3) Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan Eliminasi

x + 2y – 3z = -1 …………. (1)

3x - y + 2z = 7 …………. (2)

5x + 3y – 4z = 2 ………… (3)

Jawab:

- Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (4)

x + 2y – 3z = -1 | x3 3x + 6y – 9z = -3

3x – y + 2z = 7 | x1 3x – y + 2z = 7 _

7y – 11z = -10 ………… (4)

- Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (5)

x + 2y – 3z = -1 | x5 5x + 10y – 15z = -5

5x + 3y + 2z = 2 | x1 5x + 3y - 4z = 2 _

7y – 11z = -7 ………..… (5)

- Persamaan (4) dan persamaan (5) menyatakan bahwa persamaan tersebut tidak

konssten (sesuatu yang tak mungkin terjadi), sehingga dapat dikatakan bahwa

SPLTV tersebut tidak mempunyai penyelesaian.

3. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Determinan

Jika bentuk umum SPLTV:

a1x + b1y + c1z = d1 …………………………………………………… (1)

a2x + b2y + c2z = d2 …………………………………………………… (2)

a3x + b3y + c3z = d3 …………………………………………………… (3)

maka:

D =

333

222

111

cba

cba

cba

Dx =

333

222

111

cbd

cbd

cbd