17 QUANG TRUNG

TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG ÑT: 07103.751.929 Trang 1

TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

17 QUANG TRUNG

Cần Thơ 2013

Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929


ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng 1d : x 7y 17 0 ,

2d : x y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với 1 2d ,d một tam giác cân tại giao điểm của 1 2d ,d .

Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:

1

2 2 2 22

x 3y 13 0 ( )x 7y 17 x y 53x y 4 0 ( )1 ( 7) 1 1

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1 hoặc 2 .

KL: x 3y 3 0 và 3x y 1 0

Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng 1d : 2x y 5 0 . 2d : 3x 6y – 7 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm

P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.

Ta có d1 VTCP 1a (2; 1) ; d2 VTCP 2a (3;6)

Vì 1 2a .a 2.3 1.6 0

nên 1 2d d và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:

d : A(x 2) B(y 1) 0 Ax By 2A B 0

Do d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450

0 2 2

2 2 2 2

A 3B2A Bcos 45 3A 8AB 3B 0

B 3AA B 2 ( 1)

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x y 5 0

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x 3y 5 0

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán: d : 3x y 5 0 hoặc d : x 3y 5 0 .

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1d : 3x y 5 0 , 2d : 3x y 1 0 và điểm I(1; 2) . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt 1 2d ,d lần lượt tại A và B sao cho AB 2 2 .

Giả sử 1 2A(a; 3a 5) d ; B(b; 3b 1) d ; IA (a 1; 3a 3); IB (b 1; 3b 1)

Do I, A, B thẳng hàng b 1 k(a 1)

IB kIA3b 1 k( 3a 3)

+ Nếu a 1 thì b 1 AB = 4 (không thoả).


+ Nếu a 1 thì b 13b 1 ( 3a 3) a 3b 2a 1

22 2 2AB (b a) 3(a b) 4 2 2 t (3t 4) 8 (với t a b ).

2 25t 12t 4 0 t 2; t5

- Với t 2 a b 2 b 0,a 2 : x y 1 0

- Với 2 2 4 2t a b b ,a5 5 5 5

: 7x y 9 0

Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng 1d : x y 1 0 ,

2d : 2x – y –1 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 2MA MB 0

.

Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1).

Từ điều kiện 2MA MB 0

tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0

Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng 1 2d : x y 1 0, d : x – 2y 2 0 lần lượt tại A, B sao cho MB = 3MA.

Ta có 1

2

A (d ) A(a; 1 a) MA (a 1; 1 a)B (d ) B(2b 2;b) MB (2b 3;b)

.

Từ A, B, M thẳng hàng và MB 3MA MB 3MA

(1) hoặc MB 3MA

(2)

(1) 2 1A ;

(d) : x 5y 1 03 3B( 4; 1)

(2) A 0; 1

(d) : x y 1 0B(4;3)

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng 1 2d : 3x y 5 0, d : x y 4 0 lần lượt tại A, B sao cho 2MA – 3MB 0 .

Giả sử 1A(a;3a 5) d , 2B(b;4 b) d .

Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA 3MB nên 2MA 3MB (1)

2MA 3MB (2)

Từ 52(a 1) 3(b 1) a 5 5(1) A ; ,B(2;2)2

2(3a 6) 3(3 b) 2 2b 2

. Suy ra d : x y 0 .


Từ 2(a 1) 3(b 1) a 1

(2) A(1; 2),B(1;3)2(3a 6) 3(3 b) b 1

. Suy ra d : x 1 0 .

Vậy có d : x y 0 hoặc d : x 1 0 .

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA 3OB) nhỏ nhất.

PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): x y 1a b (a,b>0)

M(3; 1) d Cô si3 1 3 11 2 . ab 12

a b a b

.

Mà OA 3OB a 3b 2 3ab 12

min

a 3b a 6(OA 3OB) 12 3 1 1 b 2

a b 2

Phương trình đường thẳng d là: x y 1 x 3y 6 06 2

Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB nhỏ nhất.

ĐS: x 2y 6 0

Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua

điểm M(1; 2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho 2 2

9 4OA OB

nhỏ nhất.

Đường thẳng (d) đi qua M(1;2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên

A(a;0);B(0;b) với a.b 0 Phương trình của (d) có dạng x y 1a b .

Vì (d) qua M nên 1 2 1a b . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :

2 2

2 2

1 2 1 3 2 1 9 41 . 1. 1a b 3 a b 9 a b

2 2

9 4 9a b 10

2 2

9 4 9OA OB 10

.

Dấu bằng xảy ra khi 1 3 2: 1:3 a b

và 1 2 1a b 20a 10, b

9

d : 2x 9y 20 0 .


Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2;–2).

ĐS: x 3y 6 0;x y 2 0

Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4 .

Gọi A(a;0),B(0;b) (a,b 0) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: x yd : 1a b .

Theo giả thiết, ta có: 2 1 1a bab 8

2b a abab 8

.

+ Khi ab 8 thì 2b a 8 . Nên: 1b 2;a 4 d : x 2y 4 0 .

+ Khi ab 8 thì 2b a 8 . Ta có: 2b 4b 4 0 b 2 2 2 .

Với b 2 2 2 d : 1 2 x 2 1 2 y 4 0

Với b 2 2 2 d : 1 2 x 2 1 2 y 4 0 .

Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình 2x – y 3 0 . Lập phương trình đường thẳng () qua A và tạo với d

một góc α có cosα 110

.

PT đường thẳng () có dạng:

a(x – 2) b(y 1) 0 ax by – 2a b 0 2 2(a b 0)

Ta có: 2 2

2a b 1cos105(a b )

7a2 – 8ab + b2 = 0.

Chọn a = 1 b = 1; b = 7 (1): x + y – 1 = 0 và (2): x + 7y + 5 = 0

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng d : 2x 3y 4 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 045 .

PT đường thẳng () có dạng:

a(x – 2) b(y 1) 0 ax by – (2a b) 0 2 2(a b 0) .

Ta có: 0

2 2

2a 3bcos4513. a b

2 25a 24ab 5b 0

a 5b5a b

+ Với a 5b . Chọn a 5, b 1 Phương trình : 5x y 11 0 .

+ Với 5a b . Chọn a 1,b 5 Phương trình : x 5y 3 0 .


Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x y 2 0 và điểm I(1;1) . Lập phương trình đường thẳng cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 045 .

Giả sử phương trình đường thẳng có dạng: ax by c 0 2 2(a b 0) .

Vì 0(d, ) 45 nên 2 2

2a b 12a b . 5

a 3bb 3a

Với a 3b : 3x y c 0 .

Mặt khác d(I; ) 10 4 c

1010

c 6c 14

Với b 3a : x 3y c 0 .

Mặt khác d(I; ) 10 2 c

1010

c 8c 12

Vậy các đường thẳng cần tìm: 3x y 6 0; 3x y 14 0 ; x 3y 8 0; x 3y 12 0 .

Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng 1d ,

2d có phương trình lần lượt là 3x y 2 0 và x 3y 4 0 . Gọi A là giao điểm của 1d và 2d . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng 1d và

2d lần lượt tại B , C ( Bvà C khác A ) sao cho 2 2

1 1AB AC

đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có 1 2A d d A( 1;1) . Ta có 1 2d d . Gọi là đường thẳng cần tìm. H là

hình chiếu vuông góc của A trên . ta có: 2 2 2 2

1 1 1 1AB AC AH AM

(không đổi)

2 2

1 1AB AC

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2

1AM

khi H M, hay là đường thẳng đi

qua M và vuông góc với AM. Phương trình : x y 2 0 .

Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : x – 3y – 4 0 và đường tròn 2 2(C) : x y – 4y 0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1).

M (d) M(3b+4; b) N(2 – 3b; 2 – b)

N (C) (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 6b 0; b5

Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc 38 6 8 4M ; , N ;5 5 5 5


Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng : 2x 3y 4 0 . Tìm điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp với nhau góc 045 .

có PTTS: x 1 3ty 2 2t

và VTCP u ( 3;2)

.

Giả sử B(1 3t; 2 2t) . 0(AB, ) 45 1cos(AB;u)2

AB.u 1AB. u 2

2

15t13169t 156t 45 0

3t13

.

Vậy các điểm cần tìm là: 1 232 4 22 32B ; , B ;13 13 13 13

.

Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x 3y 6 0 và điểm N(3;4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc

tọa độ) có diện tích bằng152

.

Ta có ON (3;4)

, ON = 5, PT đường thẳng ON: 4x 3y 0 .

Giả sử M(3m 6;m) d .

Khi đó ta có ONMONM

2S1S d(M,ON).ON d(M,ON) 32 ON

4.(3m 6) 3m 133 9m 24 15 m 1; m

5 3

+ Với m 1 M(3; 1)

+ Với 13 13m M 7;3 3

Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng d : x 2y 2 0 . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC .

Giả sử B(2b 2;b),C(2c 2;c) d .

Vì ABC vuông ở B nên AB d dAB.u 0 2 6B ;

5 5

2 5AB5

5BC5


21BC 125c 300c 1805

= 55

c 1 C(0;1)

7 4 7c C ;5 5 5

Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng 1d : x y 3 0 ,

2d : x y 9 0 và điểm A(1;4) . Tìm điểm 1 2B d ,C d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Gọi 1 2B(b;3 b) d , C(c;9 c) d AB (b 1; 1 b)

, AC (c 1;5 c)

.

ABC vuông cân tại A AB.AC 0AB AC

2 2 2 2

(b 1)(c 1) (b 1)(5 c) 0(b 1) (b 1) (c 1) (5 c)

(*)

Vì c 1 không là nghiệm của (*) nên

(*) 22 2 2 2

2

(b 1)(5 c)b 1 (1)c 1

(5 c)(b 1) (b 1) (c 1) (5 c) (2)(c 1)

Từ (2) 2 2(b 1) (c 1) b c 2b c

.

+ Với b c 2 , thay vào (1) ta được c 4, b 2 B(2;1), C(4;5) .

+ Với b c , thay vào (1) ta được c 2, b 2 B( 2;5), C(2;7) .

Vậy: B(2;1), C(4;5) hoặc B( 2;5), C(2;7) .

Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có phương trình:

1d : (m –1)x (m – 2)y 2 – m 0 ; 2d : (2 – m)x (m –1)y 3m – 5 0 .

Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 d2. Tìm m sao cho PA PB lớn nhất.

Xét Hệ PT: (m 1)x (m 2)y m 2(2 m)x (m 1)y 3m 5

.

Ta có 2m 1 m 2 3 1D 2 m 0, m

2 m m 1 2 2

1 2d ,d luôn cắt nhau. Ta có: 1 2 1 2A(0;1) d , B(2; 1) d , d d APB vuông tại P P nằm trên đường tròn đường kính AB.

Ta có: 2 2 2 2(PA PB) 2(PA PB ) 2AB 16

PA PB 4 . Dấu "=" xảy ra PA = PB P là trung điểm của cung AB


P(2; 1) hoặc P(0; –1) m 1 hoặc m 2 .

Vậy PA PB lớn nhất m 1 hoặc m 2 .

Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (): x – 2y – 2 0 và hai điểm A( 1;2) , B(3;4) . Tìm điểm M() sao cho 2 22MA MB có giá trị nhỏ nhất.

Giả sử MM(2t 2; t) AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4)

Ta có: 2 2 22AM BM 15t 4t 43 f (t) 2min f (t) f15

26 2M ;15 15

Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x y 3 0 và 2 điểm A(1;0),B(2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA MB nhỏ nhất.

Ta có: A A B B(2x y 3).(2x y 3) 30 0 A, B nằm cùng phía đối với d.

Gọi A là điểm đối xứng của A qua d A ( 3;2)

Phương trình A B : x 5y 7 0 .

Với mọi điểm M d, ta có: MA MB MA MB A B .

Mà MA MB nhỏ nhất A, M, B thẳng hàng M là giao điểm của AB với d.

Khi đó: 8 17M ;11 11

.

ĐƯỜNG TRÒN

Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2x – y – 5 0 và đường tròn (C’): 2 2x y 20x 50 0 . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1).

A(3; 1), B(5; 5) (C): 2 2x y 4x 8y 10 0

Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 32

,

A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của ABC nằm trên đường thẳng d : 3x – y – 8 0 . Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.

Tìm được C (1; 1)1 , 2C ( 2; 10) .

+ Với 1C (1; 1) (C): 2 2 11 11 16x y x y 0 3 3 3

+ Với 2C ( 2; 10) (C): 2 2 91 91 416x y x y 0 3 3 3

Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: 1d : 2x y 3 0 ,

2d : 3x 4y 5 0 , 3d : 4x 3y 2 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3.


Gọi tâm đường tròn là I(t;3 2t) d1.

Khi đó: 2 3) d(I,d )d(I,d 3t 4(3 2t) 5

54t 3(3 2t) 2

5

t 2t 4

Vậy có 2 đường tròn thoả mãn:

2 2 4925

(x 2) (y 1) và 2 2 9(x 4) (y 5)25

.

Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : x 3y 8 0 , ' :3x 4y 10 0 và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc

đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng .

Giả sử tâm I( 3t 8; t) .. Ta có: d(I, ) IA

2 2

2 2

3( 3t 8) 4t 10( 3t 8 2) (t 1)

3 4

t 3 I(1; 3), R 5

PT đường tròn cần tìm: 2 2(x 1) (y 3) 25 .

Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : 4x 3y 3 0 và ' : 3x 4y 31 0 . Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng

tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '. Tìm tọa độ tiếp điểm của (C) và ' .

Gọi I(a;b) là tâm của đường tròn (C). (C) tiếp xúc với tại điểm M(6;9) và (C) tiếp xúc với nên

54 3a4a 3b 3 3a 4b 31d(I, ) d(I, ') 4a 3 3 6a 85

45 5IM u (3;4) 3(a 6) 4(b 9) 0 3a 4b 54

25a 150 4 6a 85 a 10; b 6

54 3a a 190; b 156b4

Vậy: 2 2(C) : (x 10) (y 6) 25 tiếp xúc với ' tại N(13;2)

hoặc 2 2(C) : (x 190) (y 156) 60025 tiếp xúc với ' tại N( 43; 40)

Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; 1) và tiếp xúc với các trục toạ độ.

Phương trình đường tròn có dạng: 2 2 2

2 2 2

(x a) (y a) a (a)(x a) (y a) a (b)

a) a 1; a 5

b) vô nghiệm.

Kết luận: 2 2(x 1) (y 1) 1 và 2 2(x 5) (y 5) 25 .


Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : 2x y 4 0 . Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).

Gọi I(m;2m 4) (d) là tâm đường tròn cần tìm.

Ta có: 4m 2m 4 m 4,m3

.

+ 4m3

thì phương trình đường tròn là: 2 24 4 16x y

3 3 9

.

+ m 4 thì phương trình đường tròn là: 2 2(x 4) (y 4) 16 .

Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (): 3x – 4y 8 0 . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng ().

Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB

d qua M(1; 2) có VTPT là AB (4;2)

d: 2x + y – 4 = 0 Tâm I(a;4 – 2a)

Ta có IA = d(I,D) 211a 8 5 5a 10a 10 2a2 – 37a + 93 = 0 a 3

31a2

+ Với a = 3 I(3;–2), R = 5 (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25

+ Với a = 312

31I ; 272

, R = 652

(C): 2

231 4225x (y 27)2 4

Câu 32. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x 2y 3 0 và : x 3y 5 0 .

Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 105

, có tâm thuộc d và tiếp xúc

với .

Tâm I d I( 2a 3;a) . (C) tiếp xúc với nên:

d(I, ) R a 2 2 10

510

a 6a 2

(C): 2 2 8(x 9) (y 6)5

hoặc (C): 2 2 8(x 7) (y 2)5

.

Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 4 3x 4 0 . Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C), bán kính R = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.

(C) có tâm I( 2 3;0) , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I là tâm của (C).

PT đường thẳng IA : x 2 3ty 2t 2

, I ' IA I (2 3t;2t 2) .


1AI 2I A t I '( 3;3)2

(C): 2 2(x 3) (y 3) 4

Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y – 4y – 5 0 . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm

M 4 2;5 5

(C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M

I 8 6;5 5

(C): 2 28 6x y 9

5 5

Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 2x 4y 2 0 . Viết phương trình đường tròn (C) tâm M(5; 1) biết (C)

cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 3 .

(C) có tâm I(1; –2), bán kính R 3 . PT đường thẳng IM: 3x 4y 11 0 . AB 3 .

Gọi H(x; y) là trung điểm của AB.

Ta có: 2 2

H IM3IH R AH2

2 2

3x 4y 11 09(x 1) (y 2)4

1 29x ;y5 10

11 11x ;y5 10

1 29H ;5 10

hoặc 11 11H ;5 10

.

+ Với 1 29H ;5 10

. Ta có :

2 2 2R MH AH 43 PT (C): 2 2(x 5) (y 1) 43 .

+ Với 11 11H ;5 10

. Ta có :

2 2 2R MH AH 13 PT (C): 2 2(x 5) (y 1) 13 .

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x 1) (y 2) 4 và điểm K(3;4) . Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).

(C) có tâm I(1;2) , bán kính R 2 . IABS lớn nhất IAB vuông tại I AB 2 2 .

Mà IK 2 2 nên có hai đường tròn thoả YCBT.

+ 1(T ) có bán kính 1R R 2 2 21(T ) : (x 3) (y 4) 4


+ 2(T ) có bán kính 2 22R (3 2) ( 2) 2 5 2 2

1(T ) : (x 3) (y 4) 20 .

Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam

giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), 1B ;0 , C(2;0)4

.

Điểm D(d;0) 1 d 24

thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A

khi và chỉ khi

22

22

91 3d 4DB AB 4 4d 1 6 3d d 1.DC AC 2 d 4 3

Phương trình

AD: x 2 y 3 x y 1 03 3

; AC: x 2 y 3 3x 4y 6 04 3

Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là 1 b và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:

2 2

3 1 b 4b 6b b 3 5b

3 4

4b 3 5b b31b 3 5b b2

Rõ ràng chỉ có giá trị 1b2

là hợp lý.

Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp ABC là: 2 21 1 1x y

2 2 4

Câu 38. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): 4x 3y 12 0 và (d2): 4x 3y 12 0 . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2) và trục Oy.

Gọi 1 2 1 2A d d ,B d Oy,C d Oy A(3;0),B(0; 4),C(0;4) ABC cân đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường

tròn nội tiếp ABC 4 4I ;0 ,R3 3

.

Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0 và hai đường tròn có phương trình:

(C1): 2 2(x 3) (y 4) 8 , (C2): 2 2(x 5) (y 4) 32 .

Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2).

Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I(a;a –1) d .

(C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên


1 1 2 2 1 1 2 2II R R , II R R II – R II – R

2 2 2 2(a 3) (a 3) 2 2 (a 5) (a 5) 4 2 a = 0

I(0; –1), R = 2

Phương trình (C): 2 2x (y 1) 2 .

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ABC.

ĐS: y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2C : x y 2x 0 . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30 .

2 2(C) : (x 1) y 1 I( 1;0);R 1 . Hệ số góc của tiếp tuyến () cần tìm là 3 .

PT () có dạng 1 : 3x y b 0 hoặc 2 : 3x y b 0

+ 1 : 3x y b 0 tiếp xúc (C) 1d(I, ) R b 3 1 b 2 32

.

Kết luận: 1( ) : 3x y 2 3 0

+ 2( ) : 3x y b 0 tiếp xúc (C) 2d(I, ) R b 3 1 b 2 3

2

.

Kết luận: 2( ) : 3x y 2 3 0 .

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 6x 2y 5 0 và đường thẳng (d): 3x y 3 0 . Lập phương trình tiếp

tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 045 .

(C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5 .

Giả sử (): ax by c 0 (c 0) .

Từ: d(I, ) 5

2cos(d, )2

a 2,b 1,c 10a 1,b 2,c 10

: 2x y 10 0: x 2y 10 0

.

Câu 43. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn 2 2(C) : (x 1) (y 1) 10 và đường thẳng d : 2x y 2 0 . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C) , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 045 .

(C) có tâm I(1;1) bán kính R 10 .

Gọi n (a;b) là VTPT của tiếp tuyến 2 2(a b 0) ,


Vì 0( ,d) 45 nên 2 2

2a b 12a b . 5

a 3bb 3a

+ Với a 3b : 3x y c 0 .

Mặt khác d(I; ) R 4 c

1010

c 6c 14

+ Với b 3a : x 3y c 0 .

Mặt khác d(I; ) R 2 c

1010

c 8c 12

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: 3x y 6 0; 3x y 14 0 ; x 3y 8 0; x 3y 12 0 .

Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): 2 2x y – 2x – 2y – 2 0 , (C2): 2 2x y – 8x – 2y 16 0 .

(C1) có tâm 1I (1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm 2I (4; 1) , bán kính R2 = 1.

Ta có: 1 2 1 2I I 3 R R

(C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

(C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 song song Oy.

Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : y ax b ( ) :ax y b 0 ta có:

2 2

1 1

2 2

2 2

a b 1 2 22 a ad(I ; ) R a b 4 4hayd(I ; ) R 4a b 1 4 7 2 4 7 21 b b

4 4a b

Vậy, có 3 tiếp tuyến chung:

1 2 32 4 7 2 2 4 7 2( ) : x 3, ( ) : y x , ( ) y x

4 4 4 4

Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): 2 2(x 2) (y 3) 2 và (C’): 2 2(x 1) (y 2) 8 . Viết phương trình tiếp tuyến

chung của (C) và (C’).

(C) có tâm I(2; 3) và bán kính R 2 ; (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R ' 2 2 .

Ta có: II ' 2 R R (C) và (C) tiếp xúc trong Tọa độ tiếp điểm M(3; 4).

Vì (C) và (C) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường thẳng qua điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II ( 1; 1)

PTTT:

x y 7 0


Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2

1(C ) : x y 2y 3 0 và 2 22(C ) : x y 8x 8y 28 0 . Viết phương trình tiếp

tuyến chung của 1(C ) và 2(C ) .

1(C ) có tâm 1I (0;1) , bán kính 1R 2 ; 2(C ) có tâm 2I (4;4) , bán kính 2R 2 .

Ta có: 1 2 1 2I I 5 4 R R 1 2(C ),(C ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp:

+ Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x c 0 .

Khi đó: 1 2d(I ,d) d(I ,d) c 4 c c 2 d : x 2 0 .

+ Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d : y ax b .

Khi đó: 1

1 2

d(I ,d) 2d(I ,d) d(I ,d)

2

2 2

1 b 2a 11 b 4a 4 ba 1 a 1

3 7a ; b4 23 3a ;b4 2

7 37a ;b24 12

d : 3x 4y 14 0 hoặc d : 3x 4y 6 0 hoặc d : 7x 24y 74 0 .

Vậy: d : x 2 0 ; d : 3x 4y 14 0 ; d : 3x 4y 6 0 ; d : 7x 24y 74 0 .

Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2

1(C ) : x y 4y 5 0 và 2 22(C ) : x y 6x 8y 16 0 . Viết phương trình tiếp

tuyến chung của 1(C ) và 2(C ) .

1(C ) có tâm 1I (0;1) , bán kính 1R 3 ; 2(C ) có tâm 2I (3; 4) , bán kính 2R 3 .

Giả sử tiếp tuyến chung của 1 2(C ), (C ) có phương trình: 2 2ax by c 0 (a b 0) .

là tiếp tuyến chung của 1 2(C ), (C )

1 1

2 2

d(I , ) Rd(I , ) R

2 2

2 2

2b c 3 a b (1)

3a 4b c 3 a b (2)

Từ (1) và (2) suy ra a 2b hoặc 3a 2bc2

.

+ TH1: Với a 2b . Chọn b 1 a 2,c 2 3 5 : 2x y 2 3 5 0

+ TH2: Với 3a 2bc2

. Thay vào (1) ta được: 2 2

a 0a 2b 2 a b 4a b

3

.

: y 2 0 hoặc : 4x 3y 9 0 .


Câu 48. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 4 3x 4 0 . Tia Oy cắt (C) tại điểm A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A.

(C) có tâm I( 2 3;0) , bán kính R 4 . Tia Oy cắt (C) tại A(0;2) .

Gọi J là tâm của (T).

Phương trình IA: x 2 3ty 2t 2

. Giả sử J(2 3t;2t 2) (IA) .

(T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên 1AI 2JA t J( 3;3)2

.

Vậy: 2 2(T) : (x 3) (y 3) 4 .

Câu 49. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 1 và phương trình: 2 2x y – 2(m 1)x 4my – 5 0 (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương

trình của đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C).

(Cm) có tâm I(m 1; 2m) , bán kính 2 2R ' (m 1) 4m 5 ,

(C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1, OI 2 2(m 1) 4m , ta có OI < R

Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong.

R – R = OI ( vì R’ > R) 3m 1; m5

.

Câu 50. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình 2 2

11(C ) : (x 1) y2

và 2 22(C ) : (x 2) (y 2) 4 . Viết phương trình đường

thẳng d tiếp xúc với 1(C ) và cắt 2(C ) tại hai điểm M, N sao cho MN 2 2 .

1(C ) có tâm 1I (1;0) , bán kính 11R2

; 2(C ) có tâm 1I (2;2) , bán kính 2R 2 . Gọi

H là trung điểm của MN 2

22 2 2

MNd(I ,d) I H R 22

Phương trình đường thẳng d có dạng: 2 2ax by c 0 (a b 0) .

Ta có: 1

2

1d(I ,d)2

d(I ,d) 2

2 2

2 2

2 a c a b

2a 2b c 2 a b

.

Giải hệ tìm được a, b, c. Vậy: d : x y 2 0; d : x 7y 6 0 ; d : x y 2 0 ; d : 7x y 2 0


Câu 51. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y – 6x 5 0 . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 060 .

(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Oy

Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB

0

0

AMB 60 (1)

AMB 120 (2)

Vì MI là phân giác của AMB nên:

(1) AMI = 300 0

IAMIsin 30

MI = 2R 2m 9 4 m 7

(2) AMI = 600 0

IAMIsin60

MI = 2 33

R 2 4 3m 93

Vô nghiệm

Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0; 7 )

Câu 52. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng định bởi: 2 2(C) : x y 4x 2y 0; : x 2y 12 0 . Tìm điểm M trên sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600.

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R 5 .

Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra IM 2R=2 5 .

Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: 2 2(x 2) (y 1) 20 .

Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng , nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ

phương trình: 2 2(x 2) (y 1) 20 (1)

x 2y 12 0 (2)

Khử x giữa (1) và (2) ta được:

2 2 2y 3

2y 10 y 1 20 5y 42y 81 0 27y5

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M 6;3 hoặc 6 27M ;5 5

Câu 53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x 1) (y 2) 9 và đường thẳng d : x y m 0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.

(C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 IA 3 2

m 5m 1

3 2 m 1 6m 72


Câu 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x 1) (y 2) 9 và đường thẳng d : 3x 4y m 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho PAB là tam giác đều.

(C) có tâm I(1; 2) , bán kính R 3 . PAB đều PI 2AI 2R 6 P nằm trên đường tròn (T) có tâm I, bán kính r 6 . Do trên d có duy nhất một điểm P thoả

YCBT nên d là tiếp tuyến của (T) m 1911 md(I,d) 6 6m 415

.

Câu 55. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn 2 2(C) : x y 18x 6y 65 0 và 2 2(C ) : x y 9 . Từ điểm M thuộc đường tròn

(C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8 .

(C’) có tâm O 0;0 , bán kính R OA 3 . Gọi H AB OM H là trung điểm

của AB 12AH5

. Suy ra: 2 2 9OH OA AH5

và 2OAOM 5

OH .

Giả sử M(x; y) .

Ta có: 2 2

2 2

M (C) x y 18x 6y 65 0OM 5 x y 25

x 4 x 5y 3 y 0

Vậy M(4;3) hoặc M(5;0) .

Câu 56. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x 1) (y 2) 4 . M là điểm di động trên đường thẳng d : y x 1 . Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến 1MT , 2MT tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng 1 2T T đi qua điểm A(1; 1) .

(C) có tâm I(1; 2) , bán kính R 2 . Giả sử 0 0M(x ;x 1) d .

2 2 20 0 0IM (x 1) (x 3) 2(x 1) 8 2 R M nằm ngoài (C) qua M

kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C).

Gọi J là trung điểm IM 0 0x 1 x 1J ;2 2

. Đường tròn (T) đường kính IM có tâm

J bán kính 1IMR2

có phương trình

2 2 2 20 0 0 0x 1 x 1 (x 1) (x 3)(T) : x y2 2 4

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C) 01 2 1 2IT M IT M 90 T ,T (T)

1 2{T ,T } (C) (T) toạ độ 1 2T , T thoả mãn hệ:


2 22 20 0 0 0

2 2

0 0 0

x 1 x 1 (x 1) (x 3)(x ) (y )2 2 4

(x 1) (y 2) 4(1 x )x (3 x )y x 3 0 (1)

Toạ độ các điểm 1 2T , T thoả mãn (1), mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1 đường thẳng nên phương trình 1 2T T là 0 0 0x(1 x ) y(3 x ) x 3 0 .

A(1; 1) nằm trên 1 2T T nên 0 0 01 x (3 x ) x 3 0 0x 1 M(1;2) .

Câu 57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x –1) (y 1) 25 và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.

M/(C)P 27 0 M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.

Mặt khác:

2M/(C)P MA.MB 3MB MB 3 BH 3

2 2IH R BH 4 d[M,(d)]

Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).

2 2

a 06a 4bd[M,(d)] 4 4 12a ba b 5

.

Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.

Câu 58. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình 2 2(x 2) (y 1) 25 theo một dây cung có độ dài bằng l 8 .

Ta có d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0) Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C)

đến d bằng 3.

2 2

2 2

2a b a 2bd I,d 3 a 3b 3 a ba b

2

a 08a 6ab 0 3a b

4

+ a = 0: chọn b = 1 d: y – 2 = 0

+ a = 3 b4

: chọn a = 3, b = – 4 d: 3x – 4 y + 5 = 0.

Câu 59. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2x y 2x 8y 8 0 . Viết phương trình đường thẳng song song với đường

thẳng d : 3x y 2 0 và cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài l 6 .

(C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5.

PT đường thẳng có dạng: 3x y c 0, c 2 .


Vì cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:

2

c 4 10 13 4 cd I, 4

3 1 c 4 10 1

.

Vậy phương trình cần tìm là: 3x y 4 10 1 0 hoặc 3x y 4 10 1 0 .

Câu 60. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2(C) :(x 4) (y 3) 25 và đường thẳng : 3x 4y 10 0 . Lập phương trình

đường thẳng d biết d ( ) và d cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6.

(C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d nên PT của d có dạng: 4x 3y m 0 .

Ta có:

1d(I,( )) = IH = 2 2 2 2AI AH 5 3 4 2 2

m 2716 9 m 4m 134 3

Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: 4x 3y 27 0 và 4x 3y 13 0 .

Câu 61. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 2x 2y 3 0 và điểm M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M

và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất.

(C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 2 5 M nằm trong đường tròn (C).

Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d.

Ta có: AB = 2AH = 2 2 2 22 IA IH 2 5 IH 2 5 IM 2 3 .

Dấu "=" xảy ra H M hay d IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI (1; 1)

Phương trình d: x y 2 0 .

Câu 62. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho OAB có diện tích lớn nhất.

Tam giác OAB có diện tích lớn nhất OAB vuông cân tại O.

Khi đó 5 2d(O,d)2

.

Giả sử phương trình đường thẳng d: 2 2A(x 2) B(y 6) 0 (A B 0)

5 2d(O,d)2

2 2

2A 6B 5 22A B

2 247B 48AB 17A 0

24 5 55B A47

24 5 55B A47


+ Với 24 5 55B A47

: chọn A = 47 B = 24 5 55

d: 47(x 2) 24 5 55 (y 6) 0

+ Với 24 5 55B A47

: chọn A = 47 B = 24 5 55

d: 47(x 2) 24 5 55 (y 6) 0

Câu 63. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 6x 2y 6 0 và điểm A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A

và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).

(C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3) (C). PT đường thẳng d có dạng:

2 2a(x 3) b(y 3) 0, a b 0 ax by 3a 3b 0 .

Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B AB = 4 2 . Gọi I là tâm hình vuông.

Ta có: 1 1d(I,d) 2 2 ( AD AB)2 2

2 2

3a b 3a 3b2 2

a b

2 2 2 24b 2 2 a b a b a b . Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.

Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x y 6 0 hoặc x y 0 .

Câu 64. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): 2 2x y 13 và (C2): 2 2(x 6) y 25 . Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

(C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13 . (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm A(2; 3).

Giả sử d: 2 2a(x 2) b(y 3) 0 (a b 0) . Gọi 1 2 2d d(O,d), d d(I ,d) .

Từ giả thiết 2 2 2 21 1 2 2R d R d 2 2

2 1d d 12

2 2

2 2 2 2

(6a 2a 3b) ( 2a 3b) 12a b a b

2b 3ab 0 b 0b 3a

.

+ Với b = 0: Chọn a = 1 Phương trình d: x 2 0 .

+ Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Phương trình d: x 3y 7 0 .

Câu 65. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : mx 4y 0 , đường tròn (C): 2 2 2x y 2x 2my m 24 0 có tâm I. Tìm m để đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.


(C) có tâm I(1;m) , bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.

2 2

m 4m 5mIH d(I, )m 16 m 16

;

22 2

2 2

(5m) 20AH IA IH 25m 16 m 16

IABS 12 2m 3

d(I, ).AH 12 3m 25 m 48 0 16m3

Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2(C) : x y 1 , đường thẳng (d) : x y m 0 . Tìm m để (C) cắt (d) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.

(C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B d(O;d) 1

Khi đó: OAB

1 1 1S OA.OB.sin AOB .sin AOB2 2 2

. Dấu "=" xảy ra 0AOB 90 .

Vậy AOBS lón nhất 0AOB 90 . Khi đó 1d(I;d)2

m 1 .

Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) : 2x my 1 2 0 và đường tròn có phương trình 2 2(C) : x y 2x 4y 4 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C) . Tìm m sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.

Ta có (C) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B d(I,d) R

22 2m 1 2 3 2 m

2 2 21 4m 4m 18 9m 5m 4m 17 0 m R

Ta có: 1 1 9S IA.IBsin AIB IA.IBIAB 2 2 2

Vậy: SIAB lớn nhất là 92

khi 0AIB 90 AB = R 2 3 2 3 2d(I,d)2

3 2 21 2m 2 m

2 22m 16m 32 0 m 4

Câu 68. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn 2 2(C) : x y 4x 6y 9 0 và điểm M(1; 8) . Viết phương trình đường thẳng d

đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).


(C) có tâm I( 2;3) , bán kính R 2 .

PT đường thẳng d qua M(1; 8) có dạng: d : ax by a 8b 0 ( 2 2a b 0 ).

IAB

1S IA.IB.sin AIB 2sin AIB2 .

Do đó: IABS lớn nhất 0AIB 90 2d(I,d) IA 22

2 2

11b 3a 2a b

2 27a 66ab 118b 0 a 7b7a 17b

.

+ Với b 1 a 7 d : 7x y 1 0

+ Với b 7 a 17 d :17x 7y 39 0

Câu 69. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 4x 4y 6 0 và đường thẳng : x my – 2m 3 0 với m là tham số

thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích IAB lớn nhất.

(C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.

Kẻ đường cao IH của IAB, ta có: SABC = IAB

1S IA.IB.sin AIB2

= sin AIB

Do đó IABS lớn nhất sinAIB = 1 AIB vuông tại I IH = IA 12

(thỏa IH < R) 2

1 4m1

m 1

15m2 – 8m = 0 m = 0 hay m = 8

15

Câu 70. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 0 và đường tròn (C): 2 2x y 2x 4y 8 0 . Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông ở B.

Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình 2 2 y 0;x 2x y 2x 4y 8 0

y 1;x 3x 5y 2 0

.

Vì Ax 0 nên ta được A(2;0), B(–3;–1).

Vì 0ABC 90 nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4).

Câu 71. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ): 2 2x y 2x 4y 8 0 và đường thẳng ( ): 2x 3y 1 0 . Chứng minh rằng

( ) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn (C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất.


Ta có (C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 . 9d(I, ) R13

đường thẳng ( ) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là điểm nằm trên

(C), ta có ABM1S AB.d(M, )2 .

Trong đó AB không đổi nên ABMS lớn nhất d(M, ) lớn nhất.

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với ( ). PT đường thẳng d là 3x 2y 1 0 .

Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của hệ phương trình:

2 2x y 2x 4y 8 03x 2y 1 0

x 1, y 1x 3, y 5

P(1; –1); Q(–3; 5)

Ta có 4d(P, )13

; 22d(Q, )13

. Như vậy d(M, ) lớn nhất M trùng với Q.

Vậy tọa độ điểm M(–3; 5).

Câu 72. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 2x 4y 5 0 và A(0; –1) (C). Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường

tròn (C) sao cho ABC đều.

Ta có (C) có tâm I(1;2) và R= 10 . Gọi H là trung điểm BC.

Suy ra AI 2.IH

3 7H ;2 2

ABC đều I là trọng tâm. Phương trình (BC): x 3y 12 0

Vì B, C (C) nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình:

2 2 2 2x y 2x 4y 5 0 x y 2x 4y 5 0

x 3y 12 0 x 12 3y

Giải hệ PT trên ta được: 7 3 3 3 3 7 3 3 3 3B ; ;C ;2 2 2 2

hoặc ngược lại.

Câu 73. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x 3) (y 4) 35 và điểm A(5; 5). Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Ta có (C) có tâm I(3; 4). Ta có: AB ACIB IC

AI là đường trung trực của BC.

ABC vuông cân tại A nên AI cũng là phân giác của BAC . Do đó AB và AC hợp với AI một góc 045 .

Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc 045 . Khi đó B, C là giao điểm


của d với (C) và AB = AC. Vì IA (2;1)

(1; 1), (1; –1) nên d không cùng phương với các trục toạ độ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0. Gọi u (1;a)

là VTCP của d. Ta có:

2 2 2

2 a 2 a 2cos IA,u21 a 2 1 5 1 a

22 2 a 5 1 a a 3

1a3

+ Với a = 3, thì u (1;3) Phương trình đường thẳng d:

x 5 ty 5 3t

.

Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là:

9 13 7 3 13 9 13 7 3 13; , ;2 2 2 2

+ Với a = 13

, thì 1u 1;3

Phương trình đường thẳng d: x 5 t

1y 5 t3

.

Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là:

7 3 13 11 13 7 3 13 11 13; , ;2 2 2 2

+Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là:

7 3 13 11 13 9 13 7 3 13; , ;2 2 2 2

và 7 3 13 11 13 9 13 7 3 13; , ;2 2 2 2

Câu 74. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y 4 và các điểm 8A 1;3

, B(3;0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB có diện

tích bằng 203

.

64 10AB 4 ; AB : 4x 3y 12 09 3

. Gọi M(x;y) và h d(M,AB) .

Ta có: 4x 3y 8 04x 3y 121 20h.AB h 4 44x 3y 32 02 3 5

+ 2 2

4x 3y 8 0 14 48M( 2;0);M ;25 75x y 4

+ 2 2

4x 3y 32 0x y 4

(vô nghiệm)


Câu 75. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn 2 2(C) : x y 2x 6y 9 0 và đường thẳng d : 3x 4y 5 0 . Tìm những điểm M (C) và N d sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.

(C) có tâm I( 1;3) , bán kính R 1 d(I,d) 2 R d (C) .

Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với d ( ) : 4x 3y 5 0 .

Gọi 0 01 7N d N ;5 5

.

Gọi 1 2M ,M là các giao điểm của và (C) 1 22 11 8 19M ; ,M ;5 5 5 5

MN ngắn nhất khi 1 0M M , N N .

Vậy các điểm cần tìm: 2 11M ; (C)5 5

, 1 7N ; d5 5

.

CÁC ĐƯỜNG CÔNIC

Câu 76. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 2x y 1

25 16 . A, B là các điểm

trên (E) sao cho: 1 2AF BF 8 , với 1 2F,F là các tiêu điểm. Tính 2 1AF BF .

Ta có 1 2AF AF 2a và 1 2BF BF 2a 1 2 1 2AF AF BF BF 4a 20

Mà 1 2AF BF 8 2 1AF BF 12

Câu 77. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm 1 2F ( 1;1),F (5;1) và tâm sai e 0,6 .

Giả sử M(x; y) là điểm thuộc elip. Vì nửa trục lớn của elip là c 3a 5e 0,6

nên

ta có: 2 2 2 2

1 2MF MF 10 (x 1) (y 1) (x 5) (y 1) 10

2 2(x 2) (y 1) 1

25 16

Câu 78. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E): 2 2x y 1

4 1 .

Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

ĐS: 2 4 3 2 4 3A ; , B ;7 7 7 7



100 25 . Tìm các điểm M

(E) sao cho 01 2FMF 120 (F1, F2 là hai tiêu điểm của (E)).

Ta có: a 10, b 5 c 5 3 .

Gọi M(x; y) (E) 1 23 3MF 10 x, MF 10 x

2 2 .

2 2 21 2 1 2 1 2 1 2FF MF MF 2MF .MF .cos FMF

2 2

2 3 3 3 3 110 3 10 x 10 x 2 10 x 10 x2 2 2 2 2

x = 0 (y= 5). Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5).

Câu 80. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm 1 2F ( 3;0);F ( 3;0) và đi

qua điểm 1A 3;2

. Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên

elip, hãy tính biểu thức: 2 2 21 2 1 2P FM F M – 3OM – FM.F M .

(E): 2 2

2 2 2 2

x y 3 11 1a b a 4b

, 2 2a b 3 2 2x y 1

4 1

2 2 2 2 2 2 2M M M M MP (a ex ) (a – ex ) – 2(x y ) – (a e x ) 1

Câu 81. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 24x 16y 64 . Gọi F2 là tiêu điểm bên phải của (E). M là điểm bất kì trên (E). Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M

tới tiêu điểm F2 và tới đường thẳng 8: x3

có giá trị không đổi.

Ta có: 2F ( 12;0) . Gọi 0 0M(x ; y ) (E) 02 0

8 3xMF a ex2

,

00

8 3x8d(M, ) x3 3

(vì 04 x 4 ) 2MF 3

d(M, ) 2

(không đổi).

Câu 82. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 2 25x 16y 80 và hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích MAB.

Phương trình đường thẳng (AB): x 2y 3 0 và AB 2 5

Gọi 2 20 0 0 0M(x ; y ) (E) 5x 16y 80.

Ta có: 0 0 0 0x 2y 3 x 2y 3d(M; AB)

1 4 5

Diện tích MAB: 0 01S .AB.d(M; AB) x 2y 32


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 2 cặp số 0 01 1; , ( 5x ; 4y )

25

có:

2

2 20 0 0 0

1 1 1 1 9. 5x .4y 5x 16y .80 362 5 4 205

0 0 0 0 0 0 0 0x 2y 6 6 x 2y 6 3 x 2y 3 9 x 2y 3 9

0 00 0

0 0

0 0

5x 4y5x 8y1 1

max x 2y 3 92 x 2y 65

x 2y 3 9

0

0

8x3

5y3

Vậy, MAB8 5maxS 9 khi M ;3 3

.

Câu 83. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp 2 2x y(E) : 1

9 4 và hai điểm A(3;–

2), B(–3; 2) . Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

PT đường thẳng AB: 2x 3y 0 .

Gọi C(x; y) (E), với x 0, y 0 2 2x y 1

9 4 .

ABC1 85 85 x yS AB.d(C,AB) 2x 3y 3.2 13 3 22 13

2 285 x y 1703 2 3

13 9 4 13

Dấu "=" xảy ra

2 2x y 21 x 39 4 2x y

y 23 2

. Vậy 3 2C ; 22

.

Câu 84. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip 2 2x y(E) : 1

25 9 và điểm M(1;1) . Viết

phương trình đường thẳng đi qua M và cắt elip tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB .

Nhận xét rằng M Ox nên đường thẳng x 1 không cắt elip tại hai điểm thỏa YCBT.

Xét đường thẳng qua M(1; 1) có PT: y k(x 1) 1 . Toạ độ các giao điểm A,B

của và (E) là nghiệm của hệ:

2 2x y 1 (1)25 9y k(x 1) 1 (2)


2 2 2(25k 9)x 50k(k 1)x 25(k 2k 9) 0 (3)

PT (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2x ,x với mọi k .

Theo Viet: 1 2 2

50k(k 1)x x25k 9

.

Do đó M là trung điểm của AB 1 2 M 2

50k(k 1) 9x x 2x 2 k25k 9 25

.

Vậy PT đường thẳng : 9x 25y 34 0 .


8 2 . Tìm điểm M

(E) sao cho M có toạ độ nguyên.

Trước hết ta có nhận xét: Nếu điểm (x;y) (E) thì các điểm ( x; y),(x; y), ( x; y) cũng thuộc (E). Do đó ta chỉ cần xét điểm 0 0M(x ; y ) (E) với 0 0 0 0x , y 0;x , y Z .

Ta có: 2 20 0x y 1

8 2 2

0y 2 00 y 2 0 0

0 0

y 0 x 2 2y 1 x 2

M(2;1) .

Vậy các điểm thoả YCBT là: (2;1), ( 2;1),(2; 1), ( 2; 1) .


8 2 . Tìm điểm M

(E) sao cho tổng hai toạ độ của M có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Giả sử M(x; y) (E) 2 2x y 1

8 2 . Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có:

2 22 x y(x y) (8 2) 10

8 2

10 x y 10 .

+ Với x y 10 . Dấu "=" xảy ra x y8 2x y 10

4 10 10M ;5 5

.

+ Với x y 10 . Dấu "=" xảy ra x y8 2x y 10

4 10 10M ;5 5


9 3 và điểm A(3;0) .

Tìm trên (E) các điểm B, C sao cho B, C đối xứng qua trục Ox và ABC là tam giác đều.

Không mất tính tổng quát, giả sử 0 0 0 0B(x ;y ),C(x ; y ) với 0y 0 .


Ta có: 2 2

2 20 00 0

x y 1 x 3y 99 3 . 0BC 2y và 0(BC) : x x

0d(A,(BC)) 3 x

Do A Ox , B và C đối xứng qua Ox nên ABC cân tâị A

Suy ra: ABC đều 3d(A,(BC)) BC2

0 03 x 3y 2 20 03y (x 3)

02 20 0

0

x 0x (x 3) 9

x 3

.

+ Với 0x 0 0y 3 B(0; 3), C(0; 3) .

+ Với 0x 3 0y 0 (loại).

Vậy: B(0; 3), C(0; 3) .


9 4 và các đường

thẳng 1d : mx ny 0 , 2d : nx+my 0 , với 2 2m n 0 . Gọi M, N là các giao điểm của 1d với (E), P, Q là các giao điểm của 2d với (E). Tìm điều kiện đối với m,n để diện tích tứ giác MPNQ đạt giá trị nhỏ nhất.

PTTS của 1 2d ,d là: 11

1

x ntd :

y mt

, 2

22

x mtd :

y nt

.

+ M, N là các giao điểm của 1d và (E)

2 2 2 2 2 2 2 2

6n 6m 6n 6mM ; , N ;9m 4n 9m 4n 9m 4n 9m 4n

+ P, Q là các giao điểm của 2d và (E)

2 2 2 2 2 2 2 2

6m 6n 6m 6nP ; , Q ;4m 9n 4m 9n 4m 9n 4m 9n

+ Ta có: MN PQ tại trung điểm O của mỗi đường nên MPNQ là hình thoi.

MPNQ1S S MN.PQ 2OM.OP2

= 2 2

2 2 2 2M M P P 2 2 2 2

72(m n )2 x y . x y(9m 4n )(4m 9n )

Áp dụng BĐT Cô-si:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2(9m 4n ) (4m 9n ) 13(9m 4n )(4m 9n ) (m n )2 2

2 2

2 2

72(m n ) 144S 13 13(m n )2

.


Dấu "=" xảy ra 2 2 2 29m 4n 4m 9n m n .

Vậy: 144min S13

khi m n .

Câu 89. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình: 2 2x y 1

16 9 . Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu

điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).

(H) có các tiêu điểm 1 2F ( 5;0);F (5;0) . HCN cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3),

Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: 2 2

2 2

x y 1a b

( với a > b)

(E) cũng có hai tiêu điểm 2 2 21 2F ( 5;0);F (5;0) a b 5 (1)

2 2 2 2M(4;3) (E) 9a 16b a b (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:2 2 2 2

2 2 2 2 2

a 5 b a 409a 16b a b b 15

. Vậy (E): 2 2x y 1

40 15

Câu 90. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình 2 2x y 1

9 4 . Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm

của (H), kẻ FM (d). Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó

(H) có một tiêu điểm F( 13;0) . Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 .

Khi đó: 9a2 – 4b2 = c2 (*)

Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( x 13) – a y = 0

Toạ độ của M là nghiệm của hệ: ax by c

bx ay 13b

Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*), ta được x2 + y2 = 9

Câu 91. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): 2y x và điểm I(0; 2). Tìm toạ độ hai điểm M, N (P) sao cho IM 4IN

.

Gọi 0 0 1 1M(x ; y ), N(x ; y ) là hai điểm thuộc (P), khi đó ta có: 2 20 0 1 1x y ;x y

20 0 0 0IM (x ; y 2) (y ; y 2)

; 2 2

1 1 1 1 1 1IN (y ; y 2) (y ; y 2); 4IN (4y ; 4y 8)

Theo giả thiết: IM 4IN

, suy ra: 2 20 1

0 1

y 4yy 2 4y 8

1 1 0 0

1 1 0 0

y 1 x 1; y 2; x 4y 3 x 9; y 6; x 36


Vậy, có 2 cặp điểm cần tìm: M(4; –2), N(1;1) hay M(36;6), N(9;3) .

Câu 92. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): 2y 8x . Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là 1 2x , x . Chứng minh: AB = 1 2x x 4 .

Theo công thức tính bk qua tiêu: 1FA x 2 , 2FB x 2

1 2AB FA FB x x 4 .

Câu 93. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): 2 2x 5y 5 , Parabol 2(P) : x 10y . Hãy viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng

( ) : x 3y 6 0 , đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P).

Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2

Tâm I nên: I(6 3b;b) . Ta có: 4 3b b b 1

6 3b 2 b4 3b b b 2

(C): 2 2(x 3) (y 1) 1 hoặc (C): 2 2x (y 2) 4

TAM GIÁC

Câu 94. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC biết: B(2; –1), đường cao qua A có phương trình d1: 3x – 4y 27 0 , phân giác trong góc C có phương trình d2: x 2y – 5 0 . Tìm toạ độ điểm A.

Phương trình BC: x 2 y 13 4

Toạ độ điểm C( 1;3)

+ Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d2, I là giao điểm của BB’ và d2.

phương trình BB’: x 2 y 11 2

2x y 5 0

+ Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ: 2x y 5 0 x 3

I(3;1)x 2y 5 0 y 1

+ Vì I là trung điểm BB’ nên: B' I B

B' I B

x 2x x 4B (4;3)

y 2y y 3

+ Đường AC qua C và B’ nên có phương trình: y –3 =0.

+ Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: y 3 0 x 5

A( 5;3)3x 4y 27 0 y 3

Câu 95. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung

tuyến CM và phân giác trong BD. Biết 17H( 4;1), M ;125

và BD có phương trình


x y 5 0 . Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC.

Đường thẳng qua H và vuông góc với BD có PT: x y 5 0 . BD I I(0;5)

Giả sử AB H' . BHH' cân tại B I là trung điểm của HH' H '(4;9) .

Phương trình AB: 5x y 29 0 . B = AB BD B(6; 1) 4A ;255

Câu 96. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(4; 3). Biết phương trình đường phân giác trong (AD): x 2y 5 0 , đường trung tuyến (AM): 4x 13y 10 0 . Tìm toạ độ đỉnh B.

Ta có A = AD AM A(9; –2). Gọi C là điểm đối xứng của C qua AD

C AB.

Ta tìm được: C(2; –1). Suy ra phương trình (AB):

x 9 y 22 9 1 2

x 7y 5 0 .

Viết phương trình đường thẳng Cx // AB (Cx): x 7y 25 0

Câu 97. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 32

,

A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4 0 .

PTTS của d: x ty 4 3t

. Giả sử C(t; –4 + 3t) d.

22 21 1S AB.AC.sin A AB .AC AB.AC2 2

= 32

24t 4t 1 3

t 2t 1

C(–2; –10) hoặc C(1;–1).

Câu 98. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –3), B(3; –2), có diện tích

bằng 32

và trọng tâm G thuộc đường thẳng : 3x – y – 8 0 . Tìm tọa độ đỉnh C.

Ta có: AB = 2 , trung điểm 5 5M ;2 2

. Phương trình AB: x y 5 0 .

ABC1 3 3S AB.d(C,AB) d(C,AB)2 2 2

.

Gọi G(t;3t 8) 1d(G,AB)2

t (3t 8) 5 12 2

t 1t 2

+ Với t 1 G(1; –5) C(–2; –10)


+ Với t 2 G(2; –2) C(1; –1)

Câu 99. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 3 0 và hai điểm A( 1;2) , B(2;1) . Tìm toạ độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2.

Ta có AB 10 , C( 2a 3;a) d. Phương trình đường thẳng AB : x 3y 5 0 .

ABCS 2 1 AB.d(C,AB) 22

a 21 10. 2

2 10

a 6a 2

+ Với a 6 ta có C( 9;6)

+ Với a 2 ta có C(7; 2) .

Câu 100. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện tích tam giác bằng 1,5 và trọng tâm I nằm trên đường thẳng d: 3x y 8 0 . Tìm toạ độ điểm C.

Vẽ CH AB, IK AB. AB = 2 CH = ABC2S 3AB 2 IK = 1 1CH

3 2 .

Giả sử I(a; 3a – 8) d. Phương trình AB: x y 5 0 .

d(I,AB) IK 3 2a 1 a 2a 1

I(2; –2) hoặc I(1; –5).

+ Với I(2; –2) C(1; –1)

+ Với I(1; –5) C(–2; –10).

Câu 101. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;0),B(0;2) , diện tích tam giác bằng 2 và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d: y x . Tìm toạ độ điểm C.

Phương trình AB : 2x y 2 0 . Giả sử I(t; t) d C(2t 1;2t) .

Theo giả thiết: ABC1S AB.d(C,AB) 22 6t 4 4 4t 0; t

3 .

+ Với t 0 C( 1;0)

+ Với 4t3

5 8C ;3 3

.

Câu 102. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 5); B(4; –3), đường phân giác trong vẽ từ C là d : x 2y 8 0 . Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi E là điểm đối xứng của A qua d E BC. Tìm được E(1;1)

PT đường thẳng BC: 4x 3y 1 0 . C d BC C( 2;5) .

Phương trình đường tròn (ABC) có dạng:


2 2 2 2x y 2ax 2by c 0; a b c 0

Ta có A, B, C (ABC) 4a 10b c 29

1 5 996a 10b c 34 a ;b ; c2 8 4

8a 6b c 25

Vậy phương trình đường tròn là: 2 2 5 99x y x y 04 4

.

Câu 103. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M( 1;2) , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2; 1) . Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình 2x y 1 0 . Tìm toạ độ đỉnh C.

PT đường thẳng AB qua M và nhận MI (3; 3)

làm VTPT: (AB) : x y 3 0 .

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y 3 02x y 1 0

4 5A ;

3 3

.

M( 1;2) là trung điểm của AB nên 2 7B ;3 3

.

Đường thẳng BC qua B và nhận n (2;1) làm VTCP nên có PT:

2x 2t3

7y t3

Giả sử 2 7C 2t; t (BC)3 3

.

Ta có: 2 2 2 28 10 8 10IB IC 2t t

3 3 3 3

t 0 (loaïi vì C B)

4t5

Vậy: 14 47C ;15 15

.

Câu 104. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với AB 5 , đỉnh C( 1; 1) , đường thẳng AB có phương trình x 2y 3 0 , trọng tâm của ABC thuộc đường thẳng d : x y 2 0 . Xác định toạ độ các đỉnh A, B của tam giác ABC.

Gọi I(a;b) là trung điểm của AB, G là trọng tâm ABC

2CG CI3

G

G

2a 1x3

2b 1y3

Do G d nên 2a 1 2b 1 2 03 3

Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:


a 2b 3 02a 1 2b 1 2 0

3 3

a 5b 1

I(5; 1) .

Ta có A,B (AB)

5IA IB2

Toạ độ các điểm A, B là các nghiệm của hệ:

2 2

x 2y 3 05(x 5) (y 1)4

1x 4; y23x 6; y2

1 3A 4; , B 6;2 2

hoặc 3 1A 6; , B 4;2 2

.

Câu 105. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm G(2;1) và hai đường thẳng 1d : x 2y 7 0 , 2d : 5x y 8 0 . Tìm toạ độ điểm 1 2B d ,C d sao cho tam

giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm, biết A là giao điểm của 1 2d , d .

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x 2y 7 05x y 8 0

x 1y 3

A(1;3) .

Giả sử 1 2B(7 2b;b) d ; C(c;8 5c) d .

Vì G là trọng tâm của ABC nên:

A B CG

A B CG

x x xx3

y y yy3

2b c 2b 5c 8

b 2c 2

.

Vậy: B(3;2), C(2; 2) .

Câu 106. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1) . Đường cao BH có phương trình x 3y 7 0 . Đường trung tuyến CM có phương trình x y 1 0 . Xác định toạ độ các đỉnh B, C. Tính diện tích tam giác ABC.

AC qua A và vuông góc với đường cao BH (AC) : x 3y 7 0 .

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: x 3y 7 0x y 1 0

C(4; 5) .

Trung điểm M của AB có:

B BM M

2 x 1 yx ; y2 2

. M (CM) B B2 x 1 y 1 02 2

.

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: B B

x 3y 7 02 x 1 y 1 0

2 2

B( 2; 3) .


Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ: x 3y 7 03x y 7 0

14 7H ;

5 5

.

8 10BH ; AC 2 105

ABC1 1 8 10S AC.BH .2 10. 162 2 5 (đvdt).

Câu 107. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 2) , phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là: x y 2 0 , 3x 4y 2 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B và C.

Đường thẳng AB qua A và vuông góc với đường cao CH (AB) : x y 2 0 .

Gọi B(b;2 b) (AB) , C(c;c 2) (CH)

Trung điểm M của BC: b c 4 b cM ;2 2

.

Vì M thuộc trung trực của BC nên:

3(b c) 4(4 b c) 4 0 b 7c 12 0 (1)

BC (c b;c b)

là 1 VTPT của trung trực BC nên

4(c b) 3(c b) c 7b (2)

Từ (1) và (2) 7 1c , b4 4

. Vậy 1 9 7 1B ; , C ;4 4 4 4

.

Câu 108. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A( 1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x y 4 0 . Xác định toạ độ các điểm B, C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

Gọi H là trung điểm của BC H là hình chiếu của A trên

7 1H ;2 2

9AH2

Theo giả thiết: ABC1S 18 BC.AH 18 BC 4 22 HB HC 2 2 .

Toạ độ các điểm B, C là các nghiệm của hệ:

2 2

x y 4 0

7 1x y 82 2

11 3x ; y2 23 5x ; y2 2

Vậy 11 3 3 5B ; ,C ;2 2 2 2

hoặc 3 5 11 3B ; , C ;2 2 2 2

.


Câu 109. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x y 5 0 , d2: x 2y – 7 0 và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0), điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do B d1 nên B(m; – m – 5), C d2 nên C(7 – 2n; n)

Do G là trọng tâm ABC nên

2 m 7 2n 3.23 m 5 n 3.0

m 1n 1

B(–1; –4), C(5; 1)

PT đường tròn ngoại tiếp ABC: 2 2 83 17 338x y x y 027 9 27

Câu 110. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;6) , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là

1d : 2x y 13 0 và 2d : 6x 13y 29 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Đường cao CH : 2x y 13 0 , trung tuyến CM : 6x 13y 29 0 C( 7; 1)

PT đường thẳng AB: x 2y 16 0 . M CM AB M(6;5) B(8;4) .

Giả sử phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp 2 2ABC : x y mx ny p 0.

Vì A, B, C (C) nên 52 4m 6n p 080 8m 4n p 050 7m n p 0

m 4n 6p 72

.

Suy ra PT đường tròn: 2 2x y 4x 6y 72 0 .

Câu 111. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng 1d : x y 5 0 và

2d : x 2y – 7 0 . Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG.

Giả sử 1 2B( 5 b;b) d ; C(7 2c;c) d .

Vì G là trọng tâm ABC nên ta có hệ: B C

B C

x x 2 6y y 3 0

B(–1;–4) , C(5; 1).

Phương trình BG: 4x – 3y – 8 0 . Bán kính 9R d(C,BG)5

Phương trình đường tròn: 2 2 81(x – 5) (y –1)25

Câu 112. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 3;6) , trực tâm

H(2;1) , trọng tâm 4 7G ;3 3

. Xác định toạ độ các đỉnh B và C.


Gọi I là trung điểm của BC. Ta có 2 7 1AG AI I ;3 2 2

Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có phương trình: x y 3 0

Vì I là trung điểm của BC nên B BB(x ; y ) thì B BC(7 x ;1 y ) và B Bx y 3 0 .

H là trực tâm của tam giác ABC nên CH AB ;

B B B BCH ( 5 x ;y ),AB (x 3; y 6)

B B B B

B B B B B

x y 3 x 1 x 6CH.AB 0

(x 5)(x 3) (y 6) 0 y 2 y 3

Vậy B 1; 2 ,C 6;3 hoặc B 6;3 ,C 1; 2

Câu 113. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao CH : x y 1 0 , phân giác trong BN : 2x y 5 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC.

Do AB CH nên phương trình AB: x y 1 0 .

+ B = AB BN Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:

2x y 5 0x y 1 0

x 4y 3

B( 4;3) .

+ Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A ' BC . Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x 2y 5 0 .

Gọi I (d) BN . Giải hệ: 2x y 5 0x 2y 5 0

.

Suy ra: I(–1; 3) A '( 3; 4)

+ Phương trình BC: 7x y 25 0 . Giải hệ: BC : 7x y 25 0CH : x y 1 0

13 9C ;4 4

.

+ 2 213 9 450BC 4 3

4 4 4

, 2 2

7.1 1( 2) 25d(A;BC) 3 2

7 1

.

Suy ra: ABC1 1 450 45S d(A;BC).BC .3 2. .2 2 4 4

Câu 114. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC , với đỉnh A(1; –3) phương trình đường phân giác trong BD: x y 2 0 và phương trình đường trung tuyến CE: x 8y 7 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C.

Gọi E là trung điểm của AB.


Giả sử B(b;2 b) BD b 1 1 bE ; CE

2 2

b 3

B( 3;5) . Gọi A là điểm đối xứng của A qua BD A BC. Tìm được A(5; 1)

Phương trình BC: x 2y 7 0 ; x 8y 7 0

C CE BC : C(7;0)x 2y 7 0

.

Câu 115. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; –4). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là 1d : x y 1 0 và 2d : 3x y 9 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.

Gọi 2C(c;3c 9) d và M là trung điểm của BC 1M(m;1 m) d .

B(2m c;11 2m 3c) .

Gọi I là trung điểm của AB, ta có 2m c 3 7 2m 3cI ;2 2

.

Vì I 2(d ) nên 2m c 3 7 2m 3c3. 9 02 2

m 2 M(2; 1)

Phương trình BC: x y 3 0 . 2C BC d C(3;0) B(1; 2) .

Câu 116. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng d đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

Gọi H là chân đường cao xuất phát từ A H đối xứng với A qua d H( 2; 2)

PT đường thẳng BC: x y 4 0 .

Giả sử B(m; 4 m) BC C( 4 m;m)

CE (5 m; 3 m), AB (m 6; 10 m)

.

Vì CE AB nên AB.CE 0 (m 6)(m 5) (m 3)(m 10) 0

m 0; m 6 .

Vậy: B(0; 4), C( 4;0) hoặc B( 6;2), C(2; 6) .

Câu 117. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;4) . Đường thẳng qua trung điểm của cạnh AB và AC có phương trình 4x 6y 9 0 ; trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d có phương trình: 2x 2y 1 0 . Tìm

tọa độ các đỉnh B và C, biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 72

và đỉnh C có

hoành độ lớn hơn 1.

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua , ta tính được 40 31A ' ;13 13


BC : 2x 3y 1 0

Ta gọi M là trung điểm của BC, thì M là giao của đường thẳng d và BC nên 5M ;22

.

Giả sử 3t 1C ; t (BC)2

. Ta có

ABC1 7 1 7S d(A;BC).BC .BC BC 132 2 2 13

13CM2

2

2 t 3 C(4;3)3t 6 13(t 2)t 1 C(1;1) (loaïi)2 2

B(1;1) .

Vậy: B(1;1) , C(4;3) .

Câu 118. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC có tọa độ đỉnh B(3; 5) , phương trình đường cao hạ từ đỉnh A và đường trung tuyến hạ từ đỉnh C lần lượt là

1d : 2x – 5y + 3 = 0 và 2d : x + y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và C của tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm AB thì M 2d nên M(a;5 a) .

Đỉnh A 1d nên 5b 3A ;b2

.

M là trung điểm AB: A B M

A B M

x x 2xy y 2y

4a 5b 3 a 22a b 5 b 1

A(1; 1).

Phương trình BC: 5x 2y 25 0 ; 2C d BC C(5; 0).

Câu 119. Trong mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Oxy, cho ABC với AB 5, đỉnh C( 1; 1) , phương trình cạnh AB : x 2y 3 0 và trọng tâm G của ABC thuộc đường thẳng d : x y 2 0 . Xác định tọa độ các đỉnh A,B của tam giác.

Gọi I(x; y) là trung điểm AB , G GG(x ; y ) là trọng tâm của ABC

G

G

2x 1x2 3CG CI

2y 13 y3

G d : x y 2 0 nên có: G Gx y 2 0 2x 1 2y 1 2 03 3

Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ: x 2y 3 0

I(5; 1)2x 1 2y 1 2 03 3


Gọi 2

2 2 2A A A A

AB 5A(x ; y ) IA (x 5) (y 1)2 4

.

Hơn nữa A AB : x 2y 3 0 suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

A A A A

2 2A A A A

x 2y 3 0 x 4 x 65 1 3x 5 y 1 y y4 2 2

Vậy: 1 3A 4, ,B 6;2 2

hoặc 1 3B 4, ,A 6;2 2

.

Câu 120. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết đỉnh C(3; 1) và phương trình của cạnh huyền là d : 3x y 2 0 .

Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên ABC vuông cân tại C. Gọi I là trung điểm của AB . Phương trình đường thẳng CI: x 3y 0 .

I CI AB 3 1I ;5 5

72AI BI CI5

Ta có: A,B d

72AI BI5

2 2

3x y 2 0

3 1 72x y5 5 5

3 19x ; y5 5

9 17x ; y5 5

Vậy toạ độ 2 đỉnh cần tìm là: 3 19 9 17; , ;5 5 5 5

.

Câu 121. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; –5) và đường thẳng có phương trình: 3x 4y 4 0 . Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua

5I 2;2

sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15.

Gọi 3a 4 16 3aA a; B 4 a;4 4

ABC1S AB.d(C, ) 3AB2

AB = 5.

2

2 a 46 3aAB 5 (4 2a) 25a 02

.

Vậy hai điểm cần tìm là A(0; 1) và B(4; 4).

Câu 122. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với B(1; 2) đường cao AH :x y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, C của tam giác ABC biết C thuộc đường thẳng d :2x y 1 0 và diện tích tam giác ABC bằng 1.

Phương trình BC : x y 1 0 . C = BC d C(2; 3) .


Gọi 0 0 0 0A(x ;y ) AH x y 3 0 (1); 0 0x y 1BC 2, AH d(A,BC)

2

0 00 0ABC

0 0

x y 1 2 (2)x y 11 1S AH.BC 1 . . 2 1x y 1 2 (3)2 2 2

Từ (1) và (2) 0

0

x 1A( 1;2)

y 2

.

Từ (1) và (3) 0

0

x 3A( 3;0)

y 0

Câu 123. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A(2;1) , điểm B nằm trên trục hoành, điểm C nằm trên trục tung sao cho các điểm B, C có toạ độ không âm. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Giả sử B(b;0), C(0;c), (b,c 0) .

ABC vuông tại A AB.AC 0

c 2b 5 0 50 b2

.

ABC1S AB.AC2 = 2 2 2 2 21 (b 2) 1. 2 (c 1) (b 2) 1 b 4b 5

2

Do 50 b2

nên ABCS đạt GTLN b 0 B(0;0),C(0;5) .

Câu 124. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A( 1; 3) , trọng tâm G(4; 2) , trung trực của AB là d : 3x 2y 4 0 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm của BC 3AM AG2

13 3M ;2 2

.

AB d AB nhận du (2; 3) làm VTPT Phương trình AB : 2x 3y 7 0 .

Gọi N là trung điểm của AB N = AB d N(2; 1) B(5;1) C(8; 4) .

PT đường tròn (C) ngoại tiếp ABC có dạng: 2 2x y 2ax 2by c 0 ( 2 2a b c 0 ).

Khi đó ta có hệ: 2a 6b c 1010a 2b c 2616a 8b c 80

74a21

23b7

8c3

.

Vậy: 2 2 148 46 8(C) : x y x y 021 7 3


Câu 125. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 0) và phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x y 14 0 ; 2x 5y 2 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

ĐS: A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)

Câu 126. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H( 1;6) , các điểm M(2;2) N(1;1) lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

Đường thẳng CH qua H và vuông góc với MN CH : x y 5 0 .

Giả sử C(a;5 a) CH CN (1 a;a 4)

Vì M là trung điểm của AC nên A(4 a;a 1) AH (a 5;7 a)

Vì N là trung điểm của BC nên B(2 a;a 3)

Vì H là trực tâm ABC nên:

AH.CN 0

(a 5)(1 a) (7 a)(a 4) 0 a 3

11a2

.

+ Với a 3 C(3;2),A(1;2),B( 1;0)

+ Với 11a2

11 1 3 9 7 5C ; ,A ; ,B ;2 2 2 2 2 2

Câu 127. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phân giác trong AD và đường cao CH lần lượt có phương trình x y 2 0 , x 2y 5 0 . Điểm M(3;0) thuộc đoạn AC thoả mãn AB 2AM . Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Gọi E là điểm đối xứng của M qua AD E(2; 1) .

Đường thẳng AB qua E và vuông góc với CH (AB) : 2x y 3 0 .

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 2x y 3 0x y 2 0

A(1;1)

PT (AM) : x 2y 3 0

Do AB 2AM nên E là trung điểm của AB B(3; 3) .

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ: x 2y 3 0x 2y 5 0

C( 1;2)

Vậy: A(1;1) , B(3; 3) , C( 1;2) .


Câu 128. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC có phương trình x 2y 2 0 . Đường cao kẻ từ B có phương trình x y 4 0 , điểm M( 1;0) thuộc đường cao kẻ từ C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.

Toạ độ đỉnh B là nghiệm của hệ: x 2y 2 0x y 4 0

B( 2;2) .

Gọi d là đường thẳng qua M và song song với BC d : x 2y 1 0 .

Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B Toạ độ của N là nghiệm của hệ:

x y 4 0x 2y 1 0

N( 3;1) .

Gọi I là trung điểm của MN 1I 2;2

. Gọi E là trung điểm của BC IE là

đường trung trực của BC IE : 4x 2y 9 0 .

Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ: x 2y 2 04x 2y 9 0

7 17E ;

5 10

4 7C ;5 5

.

Đường thẳng CA qua C và vuông góc với BN 3CA : x y 05

.

Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ: 4x 2y 9 0

3x y 05

13 19A ;10 10

.

Vậy: 13 19A ;10 10

, B( 2;2) , 4 7C ;5 5

.

Câu 129. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 0 , cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x y 3 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình: y x .

Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ :

2xx 4y 2 0 2 23 A ;y x 2 3 3y

3

Vì M là trung điểm của AC nên 8 8C ;3 3

Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình: xy 24


x y 3 0 x 4

BH BC B : B( 4;1)x y 1y 24

Câu 130. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao BH : 3x 4y 10 0 , đường phân giác trong góc A là AD có phương trình là x y 1 0 , điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Gọi N đối xứng với M qua AD . Ta có N AC và N (1;1)

PT cạnh AC : 4x 3y 1 0

Vì A AC AD A(4;5) . AB đi qua M, A

PT cạnh AB : 3x 4y 8 0 1B 3;4

Gọi C(a;b) AC 4a 3b 1 0 , ta có MC 2 C(1;1) hoặc 31 33C ;25 25

.

Kiểm tra điều kiện B, C khác phía với AD, ta có cả hai điểm trên đều thỏa mãn.

Câu 131. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x y 2 0 và d2: 2x 6y 3 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y 2 02x 6y 3 0

15 7A ;

4 4

.

Giả sử: B(b;2 b) d1, 3 2cC c;

6

d2. M(–1; 1) là trung điểm của BC

b c 12

3 2c2 b6 1

2

1b4

9c4

1 7B ;4 4

, 9 1C ;4 4

.

Câu 132. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ABC cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB : y 3 7(x 1) . Biết chu vi của ABC bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

B AB Ox B(1;0) , A AB A a;3 7(a 1) a 1 (do A Ax 0, y 0 ).

Gọi AH là đường cao ABC H(a;0) C(2a 1;0) BC 2(a 1),AB AC 8(a 1) .

Chu vi ABC 18 a 2 C(3;0),A 2;3 7 .


Câu 133. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x 3y – 4 0 ; x – y –1 0 . Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng x 2y – 6 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình:

4x 3y 4 0 x 2A( 2;4)

x 2y 6 0 y 4

Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình 4x 3y 4 0 x 1

B 1;0x y 1 0 y 0

Phương trình AC qua điểm A(–2;4) có dạng: a(x 2) b(y 4) 0 ax by 2a 4b 0

Gọi 1 2 3: 4x 3y 4 0; : x 2y 6 0; : ax by 2a 4b 0

Từ giả thiết suy ra 2 3 1 2; ; .

Do đó 2 3 1 2 2 2

1.a 2.b 4.1 2.3cos( ; ) cos( ; )25. 55. a b

2 2 a 0a 2b 2 a b a(3a 4b) 0

3a 4b 0

+ Với a = 0 b 0 . Do đó 3 : y 4 0

+ Với 3a – 4b = 0: Chọn a = 4 thì b = 3. Suy ra 3 : 4x 3y 4 0 (trùng với 1 ).

Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y – 4 = 0.

Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình:y 4 0 x 5

C(5;4)x y 1 0 y 4

Câu 134. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Gọi C(c; 2c 3) và I(m;6 m) là trung điểm của BC.

Suy ra: B(2m c; 9 2m 2c) .

Vì C’ là trung điểm của AB nên: 2m c 5 11 2m 2cC' ; CC'2 2

nên 2m c 5 11 2m 2c 52 3 0 m2 2 6

5 41I ;6 6

.

Phương trình BC: 3x 3y 23 0 14 37C ;3 3

19 4B ;3 3

.


Câu 135. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC lần lượt là H(2;2), I(1;2) và trung điểm 5 5M ;2 2

của cạnh BC.

Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết B Cx x ( Bx , Cx lần lượt hoành độ điểm B và C).

Gọi G là trọng tâm ABC ta có : GH 2GI

4G ;23

Mặt khác vì GA 2GM

nên A( 1;1) . Phương trình BC: 3x y 10 0 . Đường tròn (C) ngoại tiếp có tâm I(1; 2) và bán kính R 4 1 5 .

Do đó (C) : 2 2(x 1) (y 2) 5 .

Khi đó toạ độ B ;C là nghiệm hệ : 2 2 x 2 x 3(x 1) (y 2) 5

y 4 y 13x y 10 0

Vì B Cx x nên B(3;1) ; C(2;4). Vậy : A(–1; 1); B(3; 1) ; C(2; 4).

Câu 136. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại C có diện tích bằng 10, phương trình cạnh AB là x 2y 0 , điểm I(4; 2) là trung điểm của AB,

điểm 9M 4;2

thuộc cạnh BC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết tung độ điểm B

lớn hơn hoặc bằng 3.

Giả sử B BB(2y ; y ) AB B BA(8 2y ;4 y ) . Phương trình CI: 2x y 10 0 .

Gọi C CC(x ;10 2x ) CCI 5 4 x

; BAB 20 y 2

.

Ta có ABC B C C B1S CI.AB 10 4y 2x x y 8 22

C B B C

C B B C

x y 4y 2x 6 (1)x y 4y 2x 10 (2)

Vì C B

C B

4 x k 2y 4M BC CM kMB 11 92x k y

2 2

C B B C2x y 6y 5x 16 0 (3)

Từ (1) và (3): C B B C B

C B B C B

x y 4y 2x 6 y 1 22x y 6y 5x 16 0 y 1 2

(loại, vì By 3 )

Từ (2) và (3): C B B C B

CC B B C

x y 4y 2x 10 y 3x 22x y 6y 5x 16 0

(thoả)

Vậy A(2; 1), B(6; 3), C(2; 6).


Câu 137. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, các đỉnh A, B thuộc đường thẳng d: y = 2, phương trình cạnh BC: 3x y 2 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3 .

B d BC B(0; 2). Giả sử A(a;2) d, (a 2) , C(c;2 c 3) BC,(c 0) .

AB ( a;0),AC (c a;c 3),BC (c;c 3)

2 2AB a ,AC (c a) 3c ,BC 2 c

ABC vuông ở A và r 3 AB.AC 0S pr

AB.AC 01 AB BC ACAB.AC . 32 2

2 2 2 2

a(c a) 0

a (c a) 3c a 2 c (c a) 3c 3

c a 0

a 3 3

c a 3 3 A(3 3;2),C(3 3;5 3 3)

c a 3 3 A( 3 3;2),C( 3 3; 1 3 3)

Câu 138. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm toạ độ các đỉnh của tam giác vuông cân ABC, có phương trình hai cạnh AB : x 2y 1 0 , AC : 2x y 3 0 và cạnh BC

chứa điểm 8I ;13

.

Ta có: AB AC ABC vuông cân tại A A(1;1) .

Gọi M(x ; y) thuộc tia phân giác At của góc BAC . Khi đó M cách đều hai đường thẳng AB, AC. Hơn nữa M và I cùng phía đối với đường thẳng AB và cùng phía đối

với đường thẳng AC, tức là:

x 2y 1 2x y 35 5

8(x 2y 1) 2 1 0 x 3y 4 0316(2x y 3) 1 3 03

BCAt BC n (3; 1) BC : 3x y 7 0 ;

x 2y 1 0B AB BC : B(3;2)

3x y 7 0

;

2x y 3 0

C AC BC : C(2; 1)3x y 7 0

.

Câu 139. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết các đỉnh A, B, C lần lượt nằm trên các đường thẳng d: x y 5 0 , d1: x 1 0 , d2: y 2 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, biết BC = 5 2 .


Chú ý: d1 d2 và ABC vuông cân tại A nên A cách đều d1, d2 A là giao điểm của d và đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 A(3; 2).

Giả sử B(–1; b) d1, C(c; –2) d2. AB ( 4;b 2), AC (c 3; 4)

.

Ta có: 2

AB.AC 0BC 50

b 5, c 0b 1, c 6

A(3;2), B( 1;5), C(0; 2)A(3;2), B( 1; 1), C(6; 2)

.

Câu 140. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại đỉnh C biết phương trình đường thẳng AB là: x y – 2 0 , trọng tâm của tam giác ABC là

14 5G ;3 3

và diện tích của tam giác ABC bằng 652

. Viết phương trình đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi H là trung điểm của AB

CH AB CH: x y 3 0 5 1H ;2 2

C(9;6) .

Gọi A(a;2 a) AB B(5 a;a 3) 13 13AB (5 2a;2a 5); CH ;2 2

2ABC

a 065 1 65S AB.CH 8a 40a 0a 52 2 2

+ Với a 0 A(0;2);B(5; 3)

+ Với a 5 A(5; 3), B(0;2)

PT đường tròn (C) ngoại tiếp ABC có dạng: 2 2 2 2x y 2ax 2by c 0 (a b c 0)

Do (C) qua A, B, C nên

137a264b c 45910a 6b c 34 b

2618a 12b c 117 66c

13

2 2 137 59 66(C) : x y x y 013 13 13

Câu 141. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABC có phương trình cạnh AB: x y – 3 0 ,

phương trình cạnh AC: 3x y – 7 0 và trọng tâm 1G 2;3

. Viết phương trình

đường tròn đi qua trực tâm H và hai đỉnh B, C của tam giác ABC.


Ta có A AB AC A(2;1) . Giả sử B(m;3 – m), C(n;7 – 3n) .

1G 2;3

là trọng tâm ABC nên: 2 m n 6 m 11 3 m 7 3n 1 n 3

B(1; 2), C(3; –2)

H là trực tâm ABC AH BC

BH AC

H(10;5) .

PT đường tròn (S) qua B, C, H có dạng: 2 2 2 2x y 2ax 2by c 0 (a b c 0)

Do B, C, H (S) 2a 4b c 5 a 66a 4b c 13 b 220a 10b c 125 c 15

.

Vậy (S): 2 2x y –12x – 4y 15 0 .

Câu 142. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d: x – 2y 2 0 . Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và AB = 2BC.

ĐS: 2 6B ;5 5

; 1 24 7C (0;1); C ;5 5

Câu 143. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân ngoại tiếp đường tròn 2 2(C) : x y 2 . Tìm toạ độ 3 đỉnh của tam giác, biết điểm A thuộc tia Ox.

A là giao của tia Ox với (C) A(2;0) .

Hai tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) là: x y 2 0 và x y 2 0 .

Vì ABC vuông cân nên cạnh BC tiếp xúc với (C) tại trung điểm M của BC

M là giao của tia đối tia Ox với (C) M 2;0 .

Phương trình cạnh BC: x 2 . B và C là các giao điểm của BC với 2 tiếp tuyến trên

Toạ độ 2 điểm B, C là: 2;2 2 , 2; 2 2 .

Câu 144. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm của cạnh BC là điểm M(3; 1) , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua điểm E( 1; 3) và đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm F(1;3) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết rằng điểm đối xứng của đỉnh A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm D(4; 2) .

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta chứng minh được BDCH là hình bình hành nên M là trung điểm của HD suy ra H(2;0) . Đường thẳng BH có VTCP là EH (3;3)

VTPT là BHn (1; 1) BH : x y 2 0


+ AC vuông góc với BH nên AC BHn u (1;1) AC : x y 4 0

+ AC vuông góc với CD nên DC ACn u (1; 1) DC : x y 6 0 .

+ C là giao của AC và DC nên tọa độ C là nghiệm của hệ: x y 4 0

C(5; 1)x y 6 0

+ M là trung điểm của BC nên B(1; 1) . AH vuông góc với BC AH : x 2 0

+ A là giao điểm của HA và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ

x 2 0A(2;2)

x y 4 0

.

Vậy: A(2;2) , B(1; 1) , C(5; 1) .

Câu 145. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Đường phân giác trong của góc ABC là d : x 2y 5 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua điểm K(6;2)

Giả sử B(5 2b;b),C(2b 5; b) d , O(0;0) BC

Gọi I đối xứng với O qua phân giác trong gócABC nên I(2;4) và I AB

Tam giác ABC vuông tại A nên BI (2b 3;4 b)

vuông góc với

CK (11 2b;2 b)

2 b 1(2b 3)(11 2b) (4 b)(2 b) 0 5b 30b 25 0

b 5

+ Với b 1 B(3;1),C( 3; 1) A(3;1) B (loại)

+ Với b 5 B( 5;5),C(5; 5) 31 17A ;5 5

Vậy 31 17A ; ;B( 5;5);C(5; 5)5 5

Câu 146. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 4 7A ;5 5

và

phương trình hai đường phân giác trong BB: x 2y 1 0 và CC: x 3y 1 0 . Chứng minh tam giác ABC vuông.

Gọi A1, A2 lần lượt là điểm đối xứng của A qua BB, CC A1, A2 BC.

Tìm được: A1(0; –1), A2(2; –1) Phương trình BC: y 1 B(–1; –1), C(4; –1)

AB AC

A vuông.


Câu 147. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho phương trình hai cạnh của một tam giác là 5x 2y 6 0 và 4x 7y 21 0 . Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc toạ độ.

Giả sử: (AB) : 5x 2y 6 0 , (AC) : 4x 7y 21 0 A(0;3) .

Đường cao BO đi qua B và vuông góc với AC (BO) : 7x 4y 0 B( 4; 7) .

Cạnh BC đi qua B và vuông góc với OA (BC) : y 7 0 .

Câu 148. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 3) và hai đường trung tuyến của nó có phương trình là: x – 2y 1 0 và y –1 0 . Hãy viết phương trình các cạnh của ABC.

ĐS: (AC): x + 2y – 7 = 0; (AB): x – y + 2 = 0; (BC): x – 4y – 1 = 0.

Câu 149. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B( 12;1) , đường

phân giác trong góc A có phương trình d : x 2y 5 0 . 1 2G ;3 3

là trọng tâm tam

giác ABC. Viết phương trình đường thẳng BC.

Gọi M là điểm đối xứng của B qua d M( 6;13) (AC) .

Giả sử A(5 2a;a) d C(8 2a;1 a) . Do MA,MC

cùng phương a 2 C(4;3) . Vậy: (BC) : x 8y 20 0 .

Câu 150. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(2; 1) , đường cao xuất phát từ A và đường phân giác trong góc C lần lượt là 1d : 3x 4y 27 0 ,

2d : x 2y 5 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Đường thẳng BC qua B và vuông góc với 1d (BC) : 4x 3y 5 0 .

Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ: 4x 3y 5 0x 2y 5 0

C( 1;3) .

Gọi B là điểm đối xứng của B qua 2d B (4;3) và B (AC) .

Đường thẳng AC đi qua C và B (AC) : y 3 0 .

Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ: y 3 03x 4y 27 0

A( 5;3) .

Đường thẳng AB qua A và B (AB) : 4x 7y 1 0 .

Vậy: (AB) : 4x 7y 1 0 , (BC) : 4x 3y 5 0 , (AC) : y 3 0 .

Câu 151. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình d1: x y 1 0 . Phương trình đường cao vẽ từ B là d2: x 2y 2 0 . Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

Ta có B(0; –1), BM (2;2)

MB BC. Kẻ MN // BC cắt d2 tại N thì BCNM là hình chữ nhật.


PT đường thẳng MN: x y 3 0 . N = MN d2 8 1N ;3 3

.

NC BC PT đường thẳng NC: 7x y 03

. C = NC d1 2 5C ;3 3

.

AB CM PT đường thẳng AB: x 2y 2 0 .

AC BN PT đường thẳng AC: 6x 3y 1 0

Câu 152. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là AB : 5x – 2y 6 0 và AC : 4x 7y – 21 0 . Viết phương trình cạnh BC, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.

AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 A(0;3)

Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 B(–4; –7)

A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy BC: y + 7 = 0.

Câu 153. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x y 2 0 , phương trình cạnh AC: x 2y 5 0 . Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC.

A AB AC A(3; 1). Gọi B(b;b 2) AB,C(5 2c;c) AC .

Do G là trọng tâm của ABC nên 3 b 5 2c 91 b 2 c 6

b 5c 2

B(5; 3), C(1; 2)

Phương trình cạnh BC: x 4y 7 0 .

Câu 154. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho AE 2EB

. Biết rằng tam giác AEC cân tại A và

có trọng tâm là 13G 2;3

. Viết phương trình cạnh BC.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có 2AG AM3

M(2; 3). Đường thẳng EC qua

M và có VTPT 8AG 0;3

nên có PT: y 3 E(0; 3) C(4; 3).

Mà AE 2EB

nên B(–1; 1) Phương trình BC: 2x 5y 7 0 .

Câu 155. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, choABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM: 2x y 1 0 và phân giác trong CD: x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng BC.

Điểm C CD : x y 1 0 C(t;1 t) .

Suy ra trung điểm M của AC là t 1 3 tM ;2 2

.

Từ A(1;2), kẻ AK CD : x y 1 0 tại I (điểm K BC ).


Suy ra AK : (x 1) (y 2) 0 x y 1 0 .

Tọa độ điểm I thỏa hệ: x y 1 0I 0;1

x y 1 0

Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của K( 1;0) .

Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: x 1 y 4x 3y 4 07 1 8

Câu 156. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là (d1): x y 2 0 , phương trình đường cao vẽ từ B là (d2): 2x – y 1 0 , cạnh AB đi qua M(1; –1). Tìm phương trình cạnh AC.

Gọi N là điểm đối xứng của M qua (d1) N AC . N NMN (x 1, y 1)

Ta có: 1dMN / /n (1; 1)

N N N N1(x 1) 1(y 1) 0 x y 2 (1)

Tọa độ trung điểm I của MN: I N I N1 1x (1 x ), y ( 1 y )2 2

1 N N1 1I (d ) (1 x ) ( 1 y ) 2 02 2

N Nx y 4 0 (2)

Giải hệ (1) và (2) ta được N(–1; –3) Phương trình cạnh AC vuông góc với (d2) có dạng: x + 2y + C = 0. N (AC) 1 2.( 3) C 0 C 7.

Vậy phương trình cạnh AC: x + 2y + 7 = 0.

Câu 157. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương trình các cạnh AB, BC lần lượt là x 2y 1 0 và 3x y 5 0 . Viết phương trình cạnh AC biết AC đi qua điểm M(1;–3).

Đường thẳng AC có VTPT: 1n (1;2) . Đường thẳng BC có VTPT 2n (3; 1)

.

Đường thẳng AC qua M(1; –3) nên PT có dạng: 2 2a(x 1) b(y 3) 0 (a b 0)

ABC cân tại đỉnh A nên ta có: cos(AB,BC) cos(AC,BC)

2 2 2 2 2 2 2 2

3 2 3a b1 2 3 1 a b 3 1

2 2 1 222a 15ab 2b 0 a b a b2 11

+ Với 1a b2

, chọn a = 1, b = 2 ta được AC: x 2y 5 0 (loại vì AC//AB)

+ Với 2a b11

, chọn a = 2, b = 11 ta được AC: 2x 11y 31 0 .


Câu 158. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(2; 3), đường phân giác trong góc A có phương trình x y 1 0 , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(6; 6) và diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác IBC. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. (C) có tâm I(6;6) và bán kính R IA 5 (C): 2 2(x 6) (y 6) 25

Gọi D là giao điểm của (C) với đường thẳng x y 1 0 D(9;10)

Ta có: ID BC ID (3;4)

là VTPT của BC Phương trình BC có dạng : 3x 4y m 0

Theo đề bài ta có ABC IBCS 3S d(A,BC) 3d(I,BC) 18 m 3 42 m m 54m 36

Vậy có hai đường thẳng thỏa YCBT : 3x 4y 54 0 và 3x 4y 36 0

Câu 159. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H( 1;4) , tâm đường tròn ngoại tiếp I( 3;0) và trung điểm của cạnh BC là M(0; 3) . Viết phương trình đường thẳng AB, biết điểm B có hoành độ dương.

Giả sử N là trung điểm của AC.

Vì ABH ~ MNI và HA // MI nên HA 2MI

A( 7;10)

Ta có: IA IB, IM MB Toạ độ điểm B thoả hệ:

2 2(x 3) y 116

3x 3(y 3) 0

B(7;4) .

Vậy phương trình AB : 3x 7y 49 0 .

Câu 160. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và chia ABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 2.

ĐS: 3x 2y –15 0; 2x 5y –12 0 .

Câu 161. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng 1d :2x 5y 3 0 ;

2d :5x 2y 7 0 cắt nhau tại A và điểm P( 7;8) . Viết phương trình đường thẳng

3d đi qua P tạo với 1d , 2d thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng 292

.

Ta có A(1; 1) và 1 2d d . PT các đường phân giác của các góc tạo bởi 1d , 2d là:

1: 7x 3y 4 0 và 2: 3x 7y 10 0

3d tạo với 1d , 2d một tam giác vuông cân 3d vuông góc với 1 hoặc 2..

Phương trình của 3d có dạng: 7x 3y C 0 hay 3x 7y C 0


Mặt khác, 3d qua P( 7;8) nên C = 25 ; C = 77.

Suy ra : 3d : 7x 3y 25 0 hay 3d :3x 7y 77 0

Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng 292

cạnh huyền bằng 58

Suy ra độ dài đường cao A H = 582

= 3d(A,d )

+ Với 3d : 7x 3y 25 0 thì 358d(A;d )2

( thích hợp)

+ Với 3d : 3x 7y 77 0 thì 387d(A;d )58

( loại )

Câu 162. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ( ) : 3x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.

Phương trình tham số của : x ty 3t 5

, M M(t; 3t – 5)

MAB MCDS S d(M,AB).AB d(M,CD).CD

7t 9 t3

7M( 9; 32), M ;23

Câu 163. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình 2 cạnh AB, AC lần lượt là x 2y 2 0 và 2x y 1 0 , điểm M(1;2) thuộc đoạn BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho DB.DC

có giá trị nhỏ nhất.

Phương trình BC có dạng: 2 2a(x 1) b(y 2) 0,a b 0 .

ABC cân tại A nên 2 2 2 2

a ba 2b 2a bcosB cosC

a ba b . 5 a b . 5

Với a b : chọn b 1,a 1 BC: x y 1 0 2 1B(0;1), C ;3 3

M

không thuộc đoạn BC.

Với a b : chọn a b 1 BC : x y 3 0 B(4; 1), C( 4;7) M thuộc đoạn BC.

Gọi trung điểm của BC là I(0;3) .

Ta có:2 2

2 BC BCDB.DC (DI IB).(DI IC) DI4 4

Dấu "=" xảy ra D I . Vậy DB.DC

nhỏ nhất khi D(0; 3).


Câu 164. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC

có diện tích bằng 32

; trọng tâm G của ABC nằm trên đt (d): 3x – y – 8 0 . Tìm

bán kính đường tròn nội tiếp ABC.

Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0

d(C; AB) = ABCa b 5 2SAB2

a b 8 (1)

a b 5 3a b 2 (2)

Trọng tâm G a 5 b 5;3 3

(d) 3a –b =4 (3)

+ Từ (1), (3) C(–2; 10) r = S 3p 2 65 89

+ Từ (2), (3) C(1; –1) S 3rp 2 2 5

Câu 165. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 96 . Gọi M(2;0) là trung điểm của AB, phân giác trong của góc A có phương trình:

d : x y 10 0 . Đường thẳng AB tạo với d một góc thỏa mãn 3cos5

. Xác

định các đỉnh của tam giác ABC .

Gọi M ' đối xứng với M(2;0) qua d : x y 10 0 M '(10; 8) .

PT đường thẳng AB qua M(2;0) có dạng: a(x 2) by 0 .

AB tạo với d : x y 10 0 một góc 2 2

a 7ba b 3cosb 7a5a b 2

+ Với a 7b AB:7x y 14 0 , AB cắt d tại A A(3; 7) B(1;7) AB 10 2

AM ' B ABC1 1S AB.d(M ',AB) 48 S AC 2AM ' C(17; 9)2 2

+ Với b 7a AB: x 7y 2 0 . AB cắt d tại A A(9; 1) B( 5;1) AB 10 2

AM 'B ABC1 1S AB.d(M ',AB) 48 S AC 2AM ' C(11; 15)2 2

Vậy, A(3; 7), B(1;7), C(17; 9) hoặc A(9; 1), B( 5;1),C(11; 15) .

Câu 166. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Đỉnh B(1; 1). Đường thẳng AC có phương trình: 4x 3y 32 0 . Trên tia BC lấy điểm M sao cho BC.BM 75 . Tìm đỉnh C biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

AMC bằng 5 52

.

Đường thẳng (AB) qua B và vuông góc với (AC) (AB):3x 4y 1 0 A(5;4) .

Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMC với BA thì ta có:


BA.BE BM.BC 75

( vì M nằm trên tia BC ) tìm được E(13;10) .

Vì AEC vuông tại A nên CE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp AMC EC 5 5 . Do đó C là giao của đường tròn tâm E bán kính r = 5 5 với đường thẳng AC.

Toạ độ của C là nghiệm của hệ 2 2

4x 3y 32 0(x 13) (y 10) 125

x 2;y 8x 8; y 0

.

Vậy C(2;8) hoặc C(8;0) .

Câu 167. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC: 3x y 3 0 , các đỉnh A và B nằm trên trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: 3x y 3 0y 0

B(1;0) .

Đường thẳng BC có hệ số góc k 3 nên 0ABC 60 đường phân giác trong

BE của tam giác ABC có hệ số góc 3k3

nên có phương trình: 3 3y x3 3

.

Tâm I(a;b) của đường tròn nội tiếp ABC thuộc BE và d(I,Ox) 2 nên: b 2 .

+ Với b 2 a 1 2 3 I(1 2 3;2) .

+ Với b 2 a 1 2 3 I(1 2 3; 2) .

Đường phân giác trong AF có dạng: y x m . Vì AF đi qua I nên:

+ Nếu I(1 2 3;2) thì m 3 2 3 (AF) : y x 3 2 3 A(3 2 3;0) .

Do AC Ox nên AC có phương trình: x 3 2 3 . Từ đó suy ra C(3 2 3;6 2 3) .

Suy ra toạ độ trọng tâm 4 4 3 6 2 3G ;3 3

.

+ Nếu I(1 2 3; 2) thì m 1 2 3 (AF) : y x 1 2 3 A( 1 2 3;0) .

Do AC Ox nên AC có phương trình: x 1 2 3 . Suy ra C 1 2 3; 6 2 3 .

Suy ra toạ độ trọng tâm 1 4 3 6 2 3G ;3 3

.

Vậy có hai điểm thoả YCBT: 4 4 3 6 2 3G ;3 3

hoặc 1 4 3 6 2 3G ;3 3

.

Câu 168. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A. Đỉnh A có toạ độ là các số dương, hai điểm B, C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB : y 3 7(x 1) . Biết chu vi của ABC bằng 18, tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.


Ta có: B (AB) Ox B(1;0) .

Giả sử A a;3 7(a 1) (a 1 vì A Ax 0, y 0 ).

Gọi AH là đường cao của ABC H(a;0) C(2a 1;0) .

BC 2(a 1), AB AC 8(a 1) . ABCP 18 a 2 C(3;0),A 2;3 7 .

Vậy A 2;3 7 , B(1;0) , C(3;0) .

TỨ GIÁC

Câu 169. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình 1d : 3x y 0 , đường thẳng BD có phương trình 2d : x 2y 0 , góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB bằng 450. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.

Ta có 1 2D d d D(0;0) O . VTPT của đường thẳng AD và BD lần lượt là

1n (3; 1) , 2n (1; 2)

.

Mặc khác 01cosADB ADB 452

AD = AB.

Vì 0(BC,AB) 45 nên 0BCD 45 BCD vuông cân tại B DC = 2AB.

2

ABCD1 3.ABS 24 (AB CD)AD 242 2

AB = 4 BD 4 2 .

Gọi BB 2 B

xB x ; d ,x 02

.

22 BB B

x 8 10BD x 4 2 x2 5

8 10 4 10B ;

5 5

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với 2d

Phương trình BC là: 2x y 4 10 0 .

Câu 170. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB// CD, AB < CD). Biết A(0; 2), D(–2; –2) và giao điểm I của AC và BD nằm trên đường thẳng có phương trình d : x y 4 0 . Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại của hình thang khi góc 0AOD 45 .

Vì I d I(x;4 x) . 2AD 2 5; IA 2x 4x 4 ; 2ID 2x 8x 40

Trong AID có: 2 2 2IA ID AD cos AID

2IA.ID

x 2x 4


+ Với x 2 IA = 2, ID = 4 2 IDID .IBIB

B 2 2;2 2 , C 2 4 2;2 4 2

+ Với x 4 B 4 3 2;2 2 , C 4 4 2; 2 2 .

Câu 171. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2(x 1) (y 1) 2 và 2 điểm A(0; –4), B(4; 0). Tìm tọa độ 2 điểm C và D sao cho đường tròn (C) nội tiếp trong hình thang ABCD có đáy là AB và CD.

2 2(C) : (x 1) (y 1) 2 có tâm I(1; 1) và R 2 .

PT cạnh AB: x y 4 0 . PT cạnh CD có dạng: x y c 0; c 4

CD tiếp xúc với (C) 1 1 cd(I,CD) R 2 c 02

PT cạnh CD: x y 0

Nhận thấy các đường thẳng x 0, x 4 không phải là tiếp tuyến của (C).

Giả sử phương trình cạnh AD có dạng: kx y 4 0 (k 1) .

Ta có: 2 2d(I,AD) R k 3 2(k 1) k 6k 7 0 k 7

PT cạnh AD: 7x y 4 0 1 1D ;2 2

.

PT cạnh BC: x 7y 4 0 1 1C ;2 2

.

Câu 172. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y x . Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

Ta có: AB ( 1;2) AB 5

. Phương trình AB: 2x y 2 0 .

I (d) : y x I(t; t) .

I là trung điểm của AC và BD nên: C(2t 1;2t), D(2t;2t 2)

Mặt khác: ABCDS AB.CH 4 (CH: chiều cao) 4CH5

.

Ngoài ra: 4 5 8 8 2t C ; ,D ;6t 4 4d(C;AB) CH 3 3 3 3 3

5 5 t 0 C( 1;0),D(0; 2)

Vậy 5 8 8 2C ; ,D ;3 3 3 3

hoặc C( 1;0),D(0; 2) .


Câu 173. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A(0; 1), B(3; 4) nằm trên parabol (P): 2y x 2x 1 , tâm I nằm trên cung AB của (P). Tìm tọa độ hai đỉnh C, D sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất.

Do I nằm trên cung AB của ( P) nên 2I(a;a 2a 1) với 0 < a <3.

Do AB không đổi nên diện tích IAB lớn nhất khi d(I,AB) lớn nhất

Phương trình AB: x y 1 0 .

d(I,AB) = 2a a 2a 1 1

2 =

2a 3a2

= 2a 3a

2 (do a (0;3))

d ( I, AB) đạt GTLN 2f (a) a 3a đạt GTLN 3a2

3 1I ;2 4

Do I là trung điểm của AC và BD nên ta có 1 7C 3; ; D 0;2 2

.

Câu 174. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1I ;02

.

Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x – 2y 2 0 , AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết đỉnh A có hoành độ âm.

ĐS: A(–2;0), B(2;2), C(3;0), D(–1; –2) .

Câu 175. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB 2BC ,

đường thẳng AB đi qua điểm 4M ;13

, đường thẳng BC đi qua điểm N(0;3) ,

đường thẳng AD đi qua điểm 1P 4;3

, đường thẳng CD đi qua điểm Q(6;2) .

Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD.

Dễ thấy đường thẳng AB không song song với trục Oy

PT AB có dạng: 4y k x 13

.

Phương trình DC: y k(x 6) 2 , BC: x ky 3k 0 , AD: kx ky 4 03

.

Vì AB 2BC nên d(P,BC) 2d(M,DC) 2 2

k 44 3k k 1 6k 23 3

1 k 1 k

10k 12 6 44k10k 12 44k 6

1k3

3k17

.

+ Với 1k3

thì


1 13AB : y x3 9

, 1DC : y x3

, 1BC : x y 1 03

, 1 35AD : x y 03 9

.

+ Với 3k17

thì

3 13AB:y x17 17

, 3 52DC: y x17 17

, 3 9BC : x y 017 17

, 3 71AD: x y 017 17

.

Câu 176. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm M(4;5), N(6;5),P(5;2),Q(2;1) và diện tích bằng 16. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

PT cạnh AB có dạng: 2 2a(x 4) b(y 5) 0 (a b 0) .

PT cạnh BC: b(x 6) a(y 5) 0 .

Diện tích hình chữ nhật: 2 2 2 2

a 3b 4b 4aS d(P,AB).d(Q,BC) . 16a b a b

2 2(a 3b)(a b) 4(a b ) a 1, b 1

1a , b 13

.

Vậy: AB : x y 1 0 hoặc AB : x 3y 11 0 . Từ đó suy ra PT các cạnh còn lại.

Câu 177. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB: x 2y 1 0 , đường chéo BD: x 7y 14 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Ta có B BD AB B(7;3) . PT đường thẳng BC: 2x y –17 0 .

A AB A(2a 1;a),C BC C(c;17 2c),a 3,c 7 .

2a c 1 a 2c 17I ;2 2

là trung điểm của AC, BD.

I BD 3c a 18 0 a 3c 18 A(6c 35;3c 18)

M, A, C thẳng hàng MA,MC

cùng phương 2c –13c 42 0 c 7 (l)c 6

Với c = 6 A(1; 0), C(6; 5) , D(0; 2), B(7; 3).

Câu 178. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng

12, tâm I thuộc đường thẳng (d) : x y 3 0 và có hoành độ I9x2

, trung điểm

của một cạnh là giao điểm của (d) và trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết Ay 0 .

9 3I ;2 2

. Gọi M=dOx là trung điểm của cạnh AD, suy ra M(3;0). AB 2IM 3 2 .


ABCDABCD

S 12S AB.AD = 12 AD = 2 2.AB 3 2

AD (d)M AD

, suy ra phương trình AD: x y 3 0 .

Lại có MA = MD = 2 . Vậy tọa độ A, D là nghiệm của hệ phương trình:

2 22 2

x y 3 0 y x 3

(x 3) y 2(x 3) y 2

x 2y 1

hoặc

x 4y 1

.

Vậy A(2;1), D(4;–1),

9 3I ;2 2

là trung điểm của AC, suy ra:

A CI

C I A

A C C I AI

x xx x 2x x 9 2 72y y y 2y y 3 1 2y

2

Tương tự I cũng là trung điểm BD nên ta có: B(5;4). Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A(2;1), B(5;4),C(7;2),D(4; –1) .

Câu 179. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x y – 5 0 . Viết phương trình đường thẳng AB.

Ta có I(6; 2); M (1; 5). : x + y – 5 = 0, E E(m; 5 – m); Gọi N là trung điểm của AB.

I trung điểm NE N I E

N I E

x 2x x 12 m

y 2y y 4 5 m m 1

N (12 – m; m – 1)

Tính MN (11– m;m – 6)

; IE (m – 6;3 – m)

Vì MN.IE 0

(11– m)(m – 6) (m – 6)(3 – m) 0 m 6; m 7

+ m 6 MN (5;0)

(AB) : y 5

+ m 7 MN (4;1)

(AB) : x – 4y 19 0 .

Câu 180. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các đường thẳng AB, AD lần lượt đi qua các điểm M(2;3), N( 1;2) . Hãy lập phương trình các

đường thẳng BC và CD, biết rằng hình chữ nhật ABCD có tâm là 5 3I ;2 2

và độ dài

đường chéo AC bằng 26 .

Giả sử đường thẳng AB có VTPT là 2 2ABn (a;b) (a b 0) , do AD vuông góc với

AB nên đường thẳng AD có vtpt là ADn (b; a) . Do đó phương trình AB, AD lần

lượt là: AB :a(x 2) b(y 3) 0; AD : b(x 1) a(y 2) 0 .


Ta có 2 2 2 2

a 3b 7b aAD 2d(I;AB) ; AB 2d(I;AD)a b a b

Do đó: 2 2

2 2 22 2

(a 3b) (7b a)AC AB AD 26a b

2 2

a b3a ab 4b 0 4ba

3

Gọi M', N' lần lượt là điểm đối xứng của M, N qua I suy ra M (3;0) (CD), N (6;1) (BC)

+ Nếu a b , chọn a 1, b 1 suy ra AB ADn (1; 1), n (1;1)

PT đường thẳng CD có VTPT là ABn (1; 1) và đi qua điểm M (3;0) :

(CD) : x y 3 0

PT đường thẳng BC có VTPT là ADn (1;1) và đi qua điểm N (6;1) :

(BC) : x y 7 0

+ Nếu 4ba3

, chọn a 4, b 3 suy ra AB ADn (4;3), n (3; 4)

PT đường thẳng CD có VTPT là ABn (4;3) và đi qua điểm M (3;0) :

(CD) : 4x 3y 12 0

PT đường thẳng BC có VTPT là ADn (3; 4) và đi qua điểm N (6;1) :

(BC) :3x 4y 14 0

Vậy: (BC) : x y 7 0 , (CD) : x y 3 0

hoặc (BC) :3x 4y 14 0 , (CD) : 4x 3y 12 0 .

Câu 181. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 đơn vị, biết toạ độ đỉnh A(1; 5), hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng (d): x 2y 4 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D.

C đối xứng với A qua đường thẳng d C(3; 1). B,D dAB AD 5

B(–2; 1), D(6; 5).

Câu 182. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x y –1 0 , các điểm A( 0;–1), B(2; 1). Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên đường thẳng . Tìm tọa độ các điểm C, D.

Gọi I(a; b) là tâm của hình thoi. Vì I nên a + b – 1 = 0 hay b = 1 – a (1).

Ta có: AI (a;b 1)

và BI (a – 2;b –1)

.

Do AI BI a(a 2) (b 1)(b 1) 0 (2)

Từ (1) và (2) 2a 2a 0 a 0 a 2 .

+ Với a = 0 thì I(0; 1) C(0;3) và D(–2;1).

+ Với a = 2 thì I(2; –1) C(4; –1) và D(2; –3).


Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D(–2;1) hoặc C(4;–1) và D(2;–3).

Câu 183. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với A(1;0), đường chéo BD có phương trình d : x – y 1 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D , biết BD 4 2 .

Ta có AC BD Phương trình AC: x y 1 0 .

Gọi I AC BD I(0;1) C 1; 2

BD 4 2 IB 2 2 . PT đường tròn tâm I bán kính IB 2 2 : 22x y 1 8

Toạ độ B, D là nghiệm của hệ : 2 22 B(2;3),D( 2; 1)x 4x y 1 8B( 2; 1), D(2;3)y x 1x y 1 0

Câu 184. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là d :3x y 7 0 , điểm B(0;–3). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi biết diện tích hình thoi bằng 20.

Ta có B(0; 3) d A, C d.

Phương trình BD: x 3y 9 0 . Gọi I AC BD I(3; 2)

D(6; 1) . BD 2 10 . Gọi A(a;7 3a) d .

ABCD 2 2

a 3(7 3a) 9S d(A, BD).BD .2 10 20

1 3

a 2a 4

1 1

2 2

A (2;1);C (4; 5)A (4; 5);C (2;1)

Câu 185. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) và

AC 2BD . Điểm 4M 2;3

thuộc đường thẳng AB , điểm 13N 3;3

thuộc đường

thẳng CD . Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.

Tọa độ điểm N đối xứng với điểm N qua I là 5N 3;3

N nằm trên đường thẳng AB.

Đường thẳng AB đi qua M, N có PT:

x 3y 2 0 3 9 2 4IH d(I, AB)10 10

Do AC 2BD nên IA 2IB .

Đặt IB a 0 . 2 2 2

1 1 1IA IB IH

2 2

1 1 5 a 2a 4a 8

Đặt B(x; y) . Do IB 2 và B AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ:

2 2 214x x 4 35y 18y 16 0x 3 y 3 2 58 y 2x 3y 2x 3y 2 0 y5


Do Bx 3 nên ta chọn 14 8B ;5 5

.

Vậy phương trình đường chéo BD là: 7x y 18 0 .

Câu 186. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo BD nằm trên đường thẳng : x y 2 0 . Điểm M(4; 4) nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC, điểm N( 5;1) nằm trên đường thẳng chứa cạnh AB. Biết BD 8 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết điểm D có hoành độ âm.

Lấy M là điểm đối xứng với M qua BD M ( 2;2) .

Đường thẳng AB qua N( 5;1) và M ( 2;2) Phương trình AB: x 3y 8 0 .

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ: x y 2 0x 3y 8 0

B(7;5) .

Giả sử D(d;d 2) , do 2 2BD 8 2 (d 7) (d 7) 128 d 1 D( 1; 3) .

Gọi I là tâm của hình thoi I(3;1) , khi đó đường thẳng AC qua I và vuông góc với BD Phương trình AC : x y 4 0 .

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: x y 4 0

A(1;3)x 3y 8 0

C(5; 1) .

Câu 187. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB và AD lần lượt là x 2y 2 0 và 2x y 1 0 . Điểm M(1;2) thuộc đường thẳng BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi.

Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ: x 2y 2 0 4 5A ;2x y 1 0 3 3

PT các đường phân giác góc A là: x 2y 2 2x y 15 5

1

2

(d ) : x y 3 0(d ) : 3x 3y 1 0

.

+ Trường hợp 1(d ) : x y 3 0 .

Đường thẳng (BD) đi qua M và vuông góc với 1(d ) nên (BD) : x y 3 0 .

Suy ra B AB BD B(4; 1) , D AD BD D( 4;7) .

Gọi 1I BD (d ) I(0;3) . Vì C đối xứng với A qua I nên 4 13C ;3 3

.

+ Trường hợp 2(d ) : 3x 3y 1 0 .

Đường thẳng (BD) đi qua M và vuông góc với 2(d ) nên (BD) : x y 1 0 .

Suy ra B AB BD B(0;1) , 2 1D AD BD D ;3 3

.

Gọi 21 2I BD (d ) I ;3 3

. Vì C đối xứng với A qua I nên 2 1C ;3 3

.


Vậy: 4 5A ;3 3

, B(4; 1) , 4 13C ;3 3

, D( 4;7)

hoặc 4 5A ;3 3

, B(0;1) , 2 1C ;3 3

, 2 1D ;3 3

Câu 188. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) có phương trình 2 2(x 2) (y 1) 8 và điểm A thuộc đường thẳng (d): x 2y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D, biết rằng BD 2AC và hoành độ của điểm A không nhỏ hơn 2.

(C) có tâm I(2; 1) , bán kính R 2 2 , IB 2IA .

Trong tam giác vuông IAB ta có

2 2 2 2

1 1 1 5 1 IA 10IA IB IH 4IA 8

IB 2 10 .

Giả sử A(2t 3; t) d và Ax 2 . Ta có IA 10 2 2(2t 5) (t 1) 10 t 2

Suy ra A(1;2) , do I là trung điểm AC nên C(3; 4) .

Gọi là đường thẳng qua I và vuông góc với AC : x 3y 5 0 .

Ta có B, D và IB ID 2 10 Toạ độ của B, D là các nghiệm của hệ:

2 2

x 3y 5 0(x 2) (y 1) 40

x 8; y 1x 4; y 3

B(8;1), D( 4; 3) hoặc B( 4; 3), D(8;1) .

Vậy: A(1;2) , B(8;1),C(3; 4),D( 4; 3) hoặc A(1;2) , B( 4; 3), C(3; 4), D(8;1) .

Câu 189. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm 5 5I ;2 2

, hai

điểm A, B lần lượt nằm trên các đường thẳng 1d : x y 3 0 và đường thẳng

2d : x y 4 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.

Giả sử 1 2A(a;3 a) d ;B(b;4 b) d 5 1 5 3IA a ; a ; IB b ; b2 2 2 2

Do ABCD vuông tâm I nên IA IB

IA.IB 0

a 2 a 1b 1 b 3

+ Với a = 2; b = 1 A(2; 1); B(1; 3), C(3; 4); D(4; 2).

+ Với a = 1; b = 3 A(1; 2); B(3; 1), C(4; 3); D(2; 4).

Câu 190. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): 2 2(x 2) (y 3) 10 . Xác định toạ độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB

đi qua điểm M(–3; –2) và điểm A có hoành độ xA > 0.

(C) có tâm I(2; 3) và bán kính R 10 .

PT AB đi qua M(–3; –2) có dạng ax by 3a 2b 0 2 2(a b 0) .


Ta có d(I,AB) R 2 2 2

2 2

2a 3b 3a 2b10 10(a b ) 25(a b)a b

a 3bb 3a

.

+ Với a 3b AB: 3x y 7 0 . Gọi A(t;3t 7), (t 0) .

Ta có IA R 2 t 0; t 2 (không thoả mãn).

+ Với b 3a AB: x 3y 3 0 . Gọi A(3t 3; t), (t 1) .

Ta có IA R 2 t 1t 1 (loaïi)

A(6; 1) C(–2; 5).

Câu 191. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm 3 1I ;2 2

. Các đường thẳng

AB, CD lần lượt đi qua các điểm M( 4; 1) , N( 2; 4) . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông đó biết B có hoành độ âm.

Gọi M,N là các điểm đối xứng với M, N qua I M (7;2) , N (5;5) . Ta có N AB.

Phương trình AB: 2x 3y 5 0 . Gọi H là hình chiếu của I lên AB 1H ;22

Gọi B(a;b),a 0 . Ta có 22

2a 3b 5B AB a 1

1 13HA HI b 1a (b 2)2 4

B( 1;1) .

Khi đó A(2;3),C(1; 2), D(4;0) .

Câu 192. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD trong đó A thuộc đường thẳng 1d : x y 1 0 và C, D nằm trên đường thẳng 2d : 2x y 3 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết hình vuông có diện tích bằng 5.

Giả sử 1A(a;1 a) d . Ta có ABCD 2S 5 d(A,d ) 5 a 1 hoặc 7a3

.

+ Với a 1 A(1;0) Phương trình cạnh AD : x 2y 1 0 D( 1;1) .

Giả sử C(x; y) . Ta có: 2C d

DC 5

C(0;3) hoặc C( 2; 1)

– Với C(0;3) Trung điểm I của AC là 1 3I ;2 2

B 2;2

– Với C( 2; 1) Trung điểm I của AC là 1 1I ;2 2

B 0; 2

+ Với 7a3

7 10A ;

3 3

. Tương tự như trên ta tìm được:

1 7D ;3 3

, 4 1C ;3 3

, 10 4B ;3 3

hoặc 1 7D ;3 3

, 2 13C ;3 3

, 4 16B ;3 3

.

Vậy có 4 hình vuông ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán:


hoặc A(1;00,B(2;2),C(0;3), D( 1;1)

hoặc A(1;0), B(0; 2),C( 2; 1), D( 1;1)

hoặc 7 10 10 4 4 1 1 7A ; , B ; ,C ; , D ;3 3 3 3 3 3 3 3

hoặc 7 10 4 16 2 13 1 7A ; , B ; ,C ; ,D ;3 3 3 3 3 3 3 3

Câu 193. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm E(1; 1) là tâm của một hình vuông, một trong các cạnh của nó có phương trình d : x 2y 12 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông.

Giả sử cạnh AB nằm trên đường thẳng d : x 2y 12 0 . Gọi H là hình chiếu của E lên đường thẳng AB H( 2;5) AH BH EH 45 .

Ta có: A, B d

AH BH 45

2 2

x 2y 12 0(x 2) (y 5) 45

x 4; y 8x 8; y 2

A(4;8), B( 8;2)

C( 2; 10)

Phương trình các cạnh còn lại: AD : 2x y 16 0 ; BC : 2x y 14 0 ; CD : x 2y 18 0 .

Câu 194. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2; 1); N(4; –2); P(2; 0); Q(1; 2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông.

Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là n (a;b) (a2 + b2 0)

VTPT của BC là: 1n ( b;a) .

Phương trình AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0 ax + by –2a –b =0 BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 – bx + ay +4b + 2a =0 Do ABCD là hình vuông nên

d(P; AB) = d(Q; BC) 2 2 2 2

b 2ab 3b 4ab aa b a b

+ Với b –2a, AB: x – 2y 0, CD: x – 2y – 2 0, BC: 2x y – 6 0, AD: 2x y – 4 0

+ Với b= –a,AB: –x + y+ 1 =0;BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ 2 =0

Câu 195. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2x y – 8x 6y 21 0 và đường thẳng d : x y 1 0 . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A d.

(C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2. Ta thấy I d . Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn. Ta có: x 2 và x 6 là 2 tiếp tuyến của (C) nên:

– Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x 2 A(2; –1)


– Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x 6 A(6, –5)

+ A(2, –1) B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)

+ A(6, –5) B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)

Câu 196. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A( 2;6) , đỉnh B thuộc đường thẳng d : x 2y 6 0 . Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên 2 cạnh BC, CD sao cho BM = CN. Xác định tọa độ đỉnh C, biết rằng AM cắt BN tại điểm

2 14I ;5 5

.

Giả sử B(2y 6; y) d .

Ta thấy AMB = BNC AI BI IA.IB 0 y 4 B(2; 4)

Phương trình BC : 2x y 0 C(c;2c) , AB 2 5, 2 2BC (c 2) (2c 4)

AB BC c 2 2 C(0;0); C(4;8)

Vì I nằm trong hình vuông nên I,C cùng phía với đường thẳng AB C(0;0) .

Câu 197. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD trên đoạn AC lấy điểm M sao cho AC = 4AM và N là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.

Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ABCD . Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho A(0;0), B(a;0) , C(a;a) và D(0;a)

1 1M a; a4 4

, 1N a;a2

1 3MN a; a4 4

, 3 1MB a; a

4 4

Từ đó có MN.MB 0

và 5MN MB a8

BMN vuông cân tại M .

Câu 198. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh A( 4;5) và một đường chéo có phương trình : 7x y 8 0 . Viết phương trình các cạnh của hình vuông.

Vì A nên đường chéo BD nằm trên .

PT đường thẳng d đi qua A có dạng: a(x 4) b(y 5) 0 ( 2 2a b 0 )

d hợp với BD một góc 045 2 2

7a b 2250 a b

a 3, b 4

a 4, b 3

.

(AB) :3x 4y 31 0 , (AD) : 4x 3y 1 0 .

Gọi I là tâm hình vuông 1 9I ;2 2

C(3;4)

(BC) : 4x 3y 24 0 , (CD) :3x 4y 7 0

Câu 199. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(4;5) , đường chéo BD có phương trình y 3 0 . Tìm toạ độ các dỉnh còn lại của hình vuông đó.

Đường chéo AC vuông góc với BD nên PT có dạng: x c 0 .


Vì AC đi qua A nên c 4 (AC) : x 4 0 I(4;3) .

Đường tròn (C) ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm I(4;3) , bán kính R AI 2

Phương trình (C): 2 2(x 4) (y 3) 4 .

Toạ độ các điểm B, D là các nghiệm của hệ: 2 2

y 3(x 4) (y 3) 4

x 6, y 3x 2, y 3

.

Vậy: B(6;3),C(4;1), D(2;3) hoặc B(2;3),C(4;1), D(6;3)

Câu 200. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của BC, phương trình đường thẳng DM : x y 2 0 , đỉnh C(3; 3) , đỉnh A nằm trên đường thẳng d :3x y 2 0 . Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình vuông đó.

Giả sử A(t;2 3t) d .

Ta có: d(A,DM) 2d(C, DM) 4t 4 2.42 2

t 3t 1

A(3; 7) hoặc A( 1;5) .

Mặt khác, A và C nằm về hai phía đối với DM nên chỉ có A( 1;5) thoả mãn.

Gọi D(m;m 2) DM AD (m 1;m 7)

, CD (m 3;m 1)

.

ABCD là hình vuông nên

DA.DC 0DA DC

2 2 2 2

(m 1)(m 3) (m 7)(m 1) 0m 5

(m 1) (m 7) (m 3) (m 1)

D(5;3) ; AB DC B( 3; 1)

.

Vậy: A( 1;5) , B( 3; 1) , D(5;3) .

TRUNG TAÂM 17 QUANG TRUNG

Chuùc caùc em hoïc taäp toát

17 QUANG TRUNG

Documents

Transcript of 17 QUANG TRUNG