เอกสารประกอบการสอน - WordPress.com

1 www.krusukhum88.wordpress.com

เอกสารประกอบการสอน

เรื่อง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม

ส าหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5

รวบรวมและเรียบเรียงโดย นายสุขุม กุมมาน้อย ครู กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ โรงเรียนทับกฤชพัฒนา อ าเภอ ชุมแสง จังหวัด นครสวรรค์ ส านักงานเขตพื้นท่ีการศึกษามัธยมศึกษา เขต 42

ชื่อ – สกุล .................................................. ชั้น ม. 5/…… เลขที่.......


ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม

1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล โดยต้องรู้ สมการความสัมพันธ์ของมันถ้าเขียนกราฟ กราฟมีหน้าตาอย่างไร

โดเมนและเรนจ์อยู่ในขอบเขตไหน เป็นฟังก์ชันชนิดอะไร ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียลประยุกต์ การแก้สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเซียล อินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล ประเด็นที่ 1 นักคณิตศาสตร์ก าหนดสมการความสัมพันธ์ของฟังก์ชัน

เอกซ์โพเนนเซียลอย่างไร และมีมุมมองอย่างไรว่าเป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล

บทนิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล คือ 1a0,a,aR/yRyx, f x ต้องรู ้

พิจารณา กราฟของฟังก์ชัน y = 3x เมื่อ x เป็นจ านวนตรรกยะ

x -2 -1 0 1 2 y

Note


แบบทดสอบความเข้าใจ

1. จงระบุว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล

xaR/yRyx, f

เป็นเอกซ์โพเนนเซียลเม่ือ ....................................

1. x3/yyx, f

2.

x

3

1/yyx, f

3. -x2/yyx, f

4.

-x

5

1/yyx, f

5. x1/yyx, f 6. -x1/yyx, f 7. 12/yyx, f 2 xx 8. xπ/yyx, f 9. 1/yyx, f x

10.

-x

3

2/yyx, f

ข้อสังเกต 1. y = a -x = a

1x

2. y = a

1-x

= a x


2. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

2.1 การเขียนกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล 1. y = 2x 2. y = 3x

x -2 -1 0 1 2 3 y

x -2 -1 0 1 2 3 y

สรุป

สรุป


3. y = 2

1x

4. y = 3

1x

x -2 -1 0 1 2 3 y

x -2 -1 0 1 2 3 y

สรุป

สรุป


แบบทดสอบความเข้าใจ 1. จงระบุว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด

ฟังก์ชัน ฟังก์ชันลดเพ่ิมหรือลด

เหตุผล

1. -x2/yyx, f

2.

x

8

7/yyx, f

3.

-2x

4

5/yyx, f

4. 5x4 y

5. xsin2 y

6. xcos4 y

7. xtan45 y

8. xey 9. xπy

10. xtan60 y

สรุป กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล มีลักษณะดังนี้ 1. กราฟของฟังก์ชัน y = a x , a > 0 และ a 1 จะผ่านจุด (0,1) เสมอ ทั้งนี้เพราะ 1a 0 2. แบ่งได้เป็น 2 ชนิด คือ f ลด เมื่อ 0 < a < 1 f เพ่ิม เมื่อ a > 1 3. เป็นฟังก์ชัน


2.2 การเปรียบเทียบกราฟ เมื่อ a มีค่าต่างกัน 1) จงวาดกราฟของฟังก์ชัน x2y , x3y และ x4y ลงในระบบพิกัดฉากเดียวกัน

X -2 -1 0 1 2 3 x2y

x3y x4y

สรุป กราฟ xay เมื่อ a > 1


2) จงวาดกราฟของฟังก์ชัน x

2

1y

,

x

3

1y

และ

x

4

1y

ลงในระบบพิกัดฉากเดียวกัน

X -2 -1 0 1 2 3

x

2

1y

x

3

1y

x

4

1y

สรุป กราฟ xay เมื่อ a > 1


แบบทดสอบความเข้าใจ 1. เมื่อ a > 0 จงเปรียบเทียบค่าของจ านวนที่ก าหนดให้ โดยระบุจ านวนที่มากกว่า

1) 24 และ 54 2) 5

3

1

และ 3

3

1

3) -53 และ -73 4) -2

4

3

และ -3

4

3

5) 2.63 และ 2.62 6) 0.3

2

1

และ 0.3

3

1

7) -1.5

3

1

และ -1.5

2

1

8) a

1a

2

และ a

1a

3

สรุป เปรียบเทียบกราฟพวกเดียวกันได้ f ลดด้วยกัน ค่า a ยิ่งมาก ยิ่งหนีแกน y f เพ่ิมด้วยกัน ค่า a ยิ่งมาก ยิ่งใกล้แกน y


2. จงเรียงล าดับค่าจากมากไปน้อย 1)

342 , 432 ,

234 , 324

2) 100100 , 100010 , 101000 3) 7157 , 7255


2.3 การสะท้อนของกราฟหรือการเลื่อนกราฟ 1) กราฟของ y = xa และ y = -xa มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร 2) กราฟของ y = xa และ y = xa- มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร 3) กราฟของ y – k = h-xa เมื่อ a > 1 มีกราฟเหมือน y = xa แต่ย้ายจุดก าเนิดไปอยู่ท่ี x = h และ y = k


4) กราฟของ y = xa =

0 x , a

0x, a

x

x

5) กราฟของ y = h-xa =

h x , a

hx, a

hx

h-x



1. จงเขียนกราฟของสมการต่อไปนี้ 1) y = 13 x 2) y = 12 2 x 3) y = 22 x


4) y = 15

1

x

2. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ พร้อมหาเมน และเรนจ์ของฟังก์ชัน 1) y = x24

2) y = 13

1

x

3) y = 22 2 x

4) y = 12 x

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..


5) y = 12

1

x

6) y = 12

11

x

7) y = 13 2 x

8) y = 23

13

x

3. จงหาค่าสูงสุด และค่าต่ าสุดของสมการต่อไปนี้ 1) y = xsin3 2) y = xsin18

3) y = 1cos

2

1

x

4) y = yx cossin3

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..


3. การหาค่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลที่อยู่ในรูปแบบเฉพาะ

แบบทดสอบความเข้าใจ 1. จงหาค่าของ

1. ...2222

2. 4 4 44 ...7777

3.1 การหาค่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลท่ีอยู่ในรูป n n n n ...aaaa

n n n n ...aaaa = 1-n a

ท าให้ ...aaaa = a


แบบทดสอบความเข้าใจ จงหาค่าของ

1. ...2222

2. ...3333

3.2 การหาค่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลท่ีอยู่ในรูป ...aaaa

...aaaa = 2

4a11


แบบทดสอบความเข้าใจ จงหาค่าของ

1. ...77777

2. ...33333

3.3 การหาค่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลท่ีอยู่ในรูป ...aaaaa

...aaaaa = 2

3-4a1


4. ฟังก์ชันลอการิทึม เนื่องจากเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชัน อีกค าถามหนึ่งที่จะต้องรู้ ก็คือ อินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ อะไร ก็น่าจะตอบได้ท้ังในแง่ของสมการและกราฟโดยใช้หลักทั่วไปของฟังก์ชันลองมาพิจารณา มองในแง่ของสมการ xa y expo : f y-1 a x expof (เปลี่ยน x เป็น y เปลี่ยน y เป็น x ) -1f ที่ท าให้ต้องจัด y = ? แล้วจัดได้ไหม นี่คือปัญหาที่เกิดข้ึน นักคณิตศาสตร์จึงก าหนดนิยามบางอย่างมาอธิบายโดยก าหนดว่

โดยอ่าน xlogy a ว่า “วายเท่ากับล็อกเอ็กซ์ฐานเอ” และเรียกอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกช์โพเนนเชียลว่า ฟังก์ชันลอการิทึม

xa y สมมูลกับ xlogy a

ต้องรู ้

1a 0,a,a/yRRyx, expo f x 1a 0,a,aR/xRyx, f expo f y

log

-1 1a 0,a,logR/yRyx, a

ซึ่งเราจะเรียกแต่ละส่วนพร้อมขอบเขต (โดยพิจารณาจากเอกช์โพ) เรียก x ว่า ตัวล็อก R (มาจากค่า y ของเอกช์โพ : ค่าของเลขยกก าลัง) a ว่า ฐานของล็อก ซึ่ง a > 0, a 1 (มาจากค่า a ของเอกโพ : ฐานของเลขยกก าลัง) y ว่า ค่าล็อก R (มาจากค่า x ของเอกโพ : เลขชี้ก าลังของเลขยกก าลัง)

ต้องรู ้



จงเขียนสมการต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปลอการิทึม 1. yx 3

2. y

x

3

1

3. y

x

10

1

4. yx 2


5.1 การเขียนกราฟของฟังก์ชันลอการิทึม 1) สมการ y = xlog a เมื่อ a > 1

5. กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

2) สมการ y = xlog a เมื่อ 0 < a < 1



1. ฟังก์ชันที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด 1. xy 3log

2. xy4

3log

3. xy 2log

4. xy2

1log

5. yx 3

6. y

x

3

1


2. จงหาโดเมนของฟังก์ชัน f ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ 1. xlogxf 5

2. x31-xlogxf 3

3. 2log2logxf 20.5 xx

4. 43log5xf 2

25 xxx

5. 1log1log10xf 2

510 xxx


5.1 การเปรียบเทียบกราฟ เมื่อ a มีค่าต่างกัน พิจารณาการเขียนกราฟ xy 2log และ xy 4log ในระบบแกนพิกัดฉากเดียวกัน

พิจารณาการเขียนกราฟของ xy5

1log และ xy25

1log ในระบบแกนพิกัดฉากเดียวกัน


5.1 การสะท้อนของกราฟ หรือการเลื่อนกราฟ 1) กราฟชอง xlogy a และ x-logy a มีแกน Y เป็นสมมาตร 2) กราฟชอง xlogy a และ xalogy มีแกน Y เป็นสมมาตร 3) กราฟชอง h-xlogk-y a เหมือนกับกราฟ xalogy แต่ย้ายจุดก าเนิดไปอยู่ท่ีx=h และ y =k


1log และ xy25



5.1 การสะท้อนของกราฟ หรือการเลื่อนกราฟ 4) กราฟชอง xlogy a 5) กราฟชอง xlogy a และ xalogy มีแกน Y เป็นสมมาตร


1log และ xy25




1. พิจารณาการเขียนกราฟต่อไปนี้ 1) 1-xlogy 2

2) 11xlogy 3

3) x-logy 10


4) 32-x-logy 5

5) x3logy

6) 1logy3

1 x


2. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ พร้อมหาเมน และเรนจ์ของฟังก์ชัน 1) y = x4log

2) y = x5

4log

3) y = 1

3log x

4) y = 1

2.0log x

5) y = x7log

6) y = x 5log

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..

โดเมน =………………………………………….. เรนจ์ =…………………………………………..


6. ลอการิทึม (Logarithm)

แบบทดสอบความเข้าใจ 1.จงเขียนสมการต่อไปนี้ให้อยู่รูปสมการลอการิทึม 1) 64 43 2) 8 23

3) 27 9 2

3

4) 9 81

5) 0.2 04.0 6) 16

1 4 2

2. จงเขียนสมการต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปเลขยกก าลัง 1) 4 81log 3

2) 0 1log 3

3) 3

1 5log125 4) 10- 4log 5

2

1

5) 1- 2

1log 2

6) 2 2log8

2

6.1 บทนิยามของลอการิทึม นิยาม ก าหนดให้ a > 0, a 1 และ x > 0 ลอการิทึมฐาน a ของ x หมายถึง จ านวนจริง y ซ่ึง ya = x นั่นคือ y = xlog a ดังนั้น y = xlog a ก็ต่อเมื่อ x = ya



ก าหนดให้ 3010.02log10 , 4771.03log10 และ 6990.05log10 จงหาค่าของ 1) 18log10 2) 10log10 3) 300log10

6.2 สมบัติของลอการิทึม ทบ.1 ถ้า a, M, N เป็นจ านวนจริงบวก และ a 1 แล้ว alog MN = alog M + alog N เช่น 15log 2 = 53log 2 = 5log3log 22



ก าหนดให้ 3010.02log10 , 4771.03log10 และ 6990.05log10 จงหาค่าของ

1) 5

4log10

2) 25

60log10

3) 20

36log10

6.2 สมบัติของลอการิทึม

ทบ.2 ถ้า a, M, N เป็นจ านวนจริงบวก และ a 1 แล้ว N

Mlog a = alog M - alog N

เช่น 3

5log 2

= 3log5log 22

= 5log3log 22


แบบทดสอบความเข้าใจ จงหาค่าของ 1) 72log10

2) 84log 3

3) 3

10 101log

4) 8

8log10

5) 8log15log

64log2

327log125log

77

777

6.2 สมบัติของลอการิทึม ทบ.3 ถ้า a, M, N เป็นจ านวนจริงบวก และ a 1 แล้ว N

a Mlog = M log N a เช่น 64log 3 = 6

3 2log = 2log 6 3

5log 2 = 2

1

2 5log = 5log2

12



จงหาค่าของ

1) 81

27log 3

2) 2

4949

1log

3) 81log2

39

4) 16log1 43

6.2 สมบัติของลอการิทึม ทบ.4 ถ้า a, M, N R และ a 1 จะได้ว่า 1log a = 0 alog a = 1

M

a alog = M alog M a

a

a Nlog = N

1 alog

N

1a

M

aalog N =

N

M alog

N

Ma

เช่น 1 5log 5 , 1 10log10 1log 2 = 0, 0 1log 0.2

5log2

3 5log 125log 3

3

39 2


จงหาค่าของ

5) 27log27log27log9

1log

9

19

3

13

6) 9log5log12log15log 10101010

ข้อสังเกต 3 2log 8log 3

22 2 5log 25log 2

55 7 10log 7

10 จะเห็นว่า การหาค่า log ก็คือ การหาค่าก าลังของจ านวนนั้น ๆ เทียบกับฐานนั่นเอง


แบบทดสอบความเข้าใจ 1. เมื่อ a > 0 จงระบุค่าที่มากกว่า 1) 7log

2

1 และ 12log2

1

2) 11log 3 และ 17log 3

3) 3log 5 และ 3log3

1

4) 5.0log 5 และ 5.0log3

1

5) 5.2log3

1 และ 5.2log2

1

6) 5.0log 5 และ 5.0log 2


แบบทดสอบความเข้าใจ จงหาค่าของ 1) 16log33

2) 9log42

3) 27log1 82

4) 5log1 28

6.2 สมบัติของลอการิทึม ทบ.5 ถ้า a, M, N R และ a 1, N 1 จะได้ว่า xalog

a = x

Mlog N = Nlog

Mlog

a

a

Mlog N = Nlog

Mlog

10

10

Mlog N = Nlog

1

M


5) 3log)3log1(3 117 117

6) 3log

3log49log2 2

1

57 857

7) 5log

2

1

4log 95 815

8) 2100log2

1010

9) 63log...4log3log2log 64543

10) 24log

1

24log

1

24log

1

432


7. ลอการิทึมสามัญ และลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมสามัญ หมายถึง ลอการิทึมท่ีมีฐานเป็นสิบ การเขียนนิยมเขียนโดยไม่มีฐานก ากับ เช่น 3 log 3log10


1log และ xy25




1.จงระบุค่า Mantissaและ Characteristic ของลอการิทึมต่อไปนี้

1) 12.3log

2) 00145.0log

3) 4600log

4) 6.321log

5) 01324.0log

6) 462300log

2. ก าหนดให้ 7818.00430.6log จงหาค่าของ

1) 6043log 2) 30. 604log 3) 6043000 . 0log


3.ก าหนดค่าของ log x ตามตารางต่อไปนี้

X 5.70 5.71 5.72 5.73 5.74 5.75 5.76

0.7559 0.7566 0.7574 0.7582 0.789 0.7597 0.7604

1) 57300log

2) 5760.0log

3) 00571.0log

4) 000575.0log

4. ก าหนดให้ 6345.031.4log และ 1303.035.1log จงหาค่าของ

1) 4310log

2) 00431.0log

3) 5.13log431.0log

4) 0135.0log431000log2



1.จงหาค่าของ

1) antilog (log 4)

2) antilog (3 log 5)

3) antilog

2

1log

4) antilog (log 9 – log 8)

2. ก าหนดให้ antilog 0.3243 = 2.11 จงหาค่า N

1) 2.3243 N log

2) 0.6757- N log

3) 3 - 0.3243 N log

4) 8 - 6.3243 N log

7.2 แอนติลอการิทึม ถ้า N log = A แล้ว จะได้ว่า N = antilog A


3.จงหาค าตอบ

1) ก าหนดให้ 0.7582 5.73 log และ 4.7582 N log จงหาค่า N 2) ก าหนดให้ 0.5766 5.71 log และ -2.4234 N log จงหาค่า N 3) ก าหนดให้ antilog 0.4082 = 2.56 จงหาค่า antilog (8.4082 - 10) 4) จงหาว่าจ านวน 30

1800 เป็นเลขก่ีหลัก ก าหนด log 2 = 0.3010 และ log 3 = 0.4771


7.3 ลอการิทึมธรรมชาติ ลอการิทึมฐาน e เมื่อ e แทนจ านวนอตรรกยะ ซึ่งมีค่าประมาณ 2.7182818 เรียกลอการิทึมฐาน e ว่า “ลอการิทึมแบบเนเปียร์” หรือ “ลอการิทึมธรรมชาติ” ลอการิทึมของ x ฐาน e คือ xlog e มักเขียนแทนด้วย In x

พิจารณา xlog e = e log

xlog

In x = e log

xlog

เมื่อ log e = log 2.718 (e 2.718) = 0.4343

ดังนั้น In x = 0.4343

xlog

หรือ In x = (2.3026) log x

ข้อสังเกต

1. xlog e = In x 2. xlog e =e log

xlog

3. log e 0.4343 4. In e = 1

5. In x = e log

xlog = 0.4343

xlog = (2.3026) log x



1.ก าหนดให้ log 3.71 = 0.5694

1) In 371

2) In 0.371

3) 2 In 0.0000371

4) -3 In 371000

2. จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) ln121

2) ee...eeln

3) 0.9ln 0.01ln e 10ln -2ln2

4) 1.3

e

105 eloglneln log


8. สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล


1.จงหาค่า x ของสมการ (โจทย์ฐานเลขเดียวกัน)

1) 243 3 2x

2) 8 x 4

3

3) 25

1 5 12x-

4) 312x

6

7

7

6

5) 21

5

4

5

4

x

6) 113

4

5

5

4

xx

8.1 สมการเอกซ์โพเนนเชียล จากสมการเอกซ์โพเนนเชียล y = xa โดยที่ a > 0 และ a 1 ถ้า 21 xx

aa แล้ว 21 xx ดังนั้น หลักการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ ต้องท าฐานให้เท่ากัน แล้วจะถือได้ว่า ก าลังเท่ากันด้วย แล้วน าเฉพาะก าลังมาแก้สมการ


1.จงหาค่า x ของสมการ (โจทย์ฐานเลขเดียวกัน)

7) 2

5x12x-

9 33

8) 320 4 4 1 xx

9) 1

2

23

1 23

x

x

4) 32

23 232

xx


1.จงหาค่า x ของสมการ (โจทย์ฐานไม่เท่ากัน แต่ก าลังเท่ากัน)

1) 0 35 22x x

2) 122 2 3

xx

โจทย์พหุนาม

1) xx 232 642 22

2) 842 24 xx

3) 0 2x 3

1

3

2

x

4) 0 104- 2 13282 x23 xx


โจทย์พหุนาม

5) 2228 55 327 2 xx

6) 93 33129 xx

7) 12

25

4

3

3

4

xx

8) 0 2xx

6xx


แบบทดสอบความเข้าใจ 1.จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ

1) 36 4 4

2) 3

1

4

1

3 3

3) 6

5

5

6

3.1 3.1

4) 71

6

1

2 2

5) -12

9

1

3

1

6) 43

2

1

2

1

2.จงแก้อสมการ (โจทย์ฐานเดียวกัน)

1) 53x3-7x 5 5

2) 742

3

1

3

12

xx

8.2 อสมการเอกซ์โพเนนเชียล การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล ต้องใช้ความรู้เรื่องฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด มาช่วยในการแก้อสมการ ดังนี้ 1) ถ้า a > 1 แล้ว 21 xx

aa ก็ต่อเมื่อ 21 xx 2) ถ้า 0 < a < 1 แล้ว 21 xx

aa ก็ต่อเมื่อ 21 xx


2.จงแก้อสมการ (โจทย์ฐานเดียวกัน)

3) 434

2

1

4

12

xx

4) 22 8

12

x

5) 3x9x 64 28

6) 2348 2 2

xx

7) 3 -x 3x-x3sin 3sin

2

2) 61

5sin 5sin

1

x


2.จงแก้อสมการ (โจทย์ฐานไม่เหมือนกัน)

1) 3-5x35 5 7 xx

2) 7272

5

9

5

11

xx

2.จงแก้อสมการ (โจทย์ไม่ทราบฐาน) 1) 6xx xx

2 เมื่อ x > 0

2) 12x3 2

x x

x

เมื่อ x > 0


2.จงแก้อสมการ (โจทย์แยกตัวประกอบพหุนาม) 1) 0 42 18-2 x 32x

2) 0 1223-6 2 1xx x


9. สมการและอสมการลอการิทึม


1.จงแก้สมการ (โจทย์พื้นฐาน)

1) 3 x log

2) 2

5 x log 4

9.1 สมการลอการิทึม 1) วิธีการเปลี่ยนสมการลอการิทึมเป็นสมการเลขยกก าลัง y x log a ก็ต่อเมื่อ x = ya 2) วิธีการใช้สมบัติของฟังก์ชันแบบ 1 – 1 คือ Nlog Mlog aa ก็ต่อเมื่อ M = N โดยที่ M, N > 0 3) สมการเอกช์โพเนนเชียลที่ต้องใช้การ take log เข้าช่วย เพื่อหาค าตอบของสมการ 1xx 2 3 take log 1xx 2 log 3 log 2 log1x 3 xlog จากนั้น หาค่า log 3 และ log 2 แล้วย้ายข้างแก้สมการหาค่า x (ตรวจค าตอบทุกครั้ง)



3) x 4 log 4

4) 4 625 log x

5) 5- x log 2

6) 3 x log2

1

7) x 8log16

8) 2

3 x log 9



9) 1 1-2xlog 2

10) 1 9xxlog 2

11) 1 1x

8-xlog

12) 2 1x

x log 4

13) 341822log 4

xxxx

14) 1 log5log4log 543 x


2.จงแก้สมการ (โจทย์ยุบ log)

1) 2- 32xlog -x log 33

2) 1-2xlog 1xlog1-xlog

3) 3log

3333x2logxlog

4) xx 3

2

9 2log 1-1 2log


3.จงแก้สมการ (โจทย์ใช้สมบัติอ่ืน ๆ ช่วย)

1) 2log2log1 59 5814

x

2) 3

2log16x

x

1

x

4.จงแก้สมการ (โจทย์พหุนาม) 1) 0 logx 2 xlog

2

4) 35

2

55 log xlog x log 2 x


5.จงแก้สมการ (โจทย์ take log)

1) 5

2 x 5

2log

2) 100x x logx


แบบทดสอบความเข้าใจ 1.จงแก้สมการ

1) 2 3 x

2) x35 12x

3) 35x-2 812 x = 16

4) 313223 4747 xxxx

สมการที่ต้องใช้การ take log ค่าของลอการิทึมท่ีต้องจ า log 2 0.3010 log 3 0.4771

log 5 1 – log 2 0.6990 log 7 0.8451


แบบทดสอบความเข้าใจ 1.จงแก้สมการ

1) 1 loglog 23 x

2) 0 43logloglog 2

234 x

3) 0 90logloglog 2

32 xx

4) 0 43

2logloglog 3

2

2

1

3

1

4

1 xx

สมการที่อยู่ในรูป log ซ้อน log ถ้า c loglog ba x แล้ว x = b

ca


2.จงหาค าตอบ

1) ก าหนดให้ 2 4b3logalog 22 และ 6blog 4a3log 22 จงหาค่า 2

1

2a

2 blogba

2) ถ้า y log x log 2log2 yx จงหาค่า y

x

3) ให้ 2 y-xlog-43xlog 22

3 yxy และ 46y log 2x log 22 จงหาค่า x + y


แบบทดสอบความเข้าใจ 1.จงหาค่า x จากอสมการ (โจทย์พื้นฐาน)

1) 3-xlog 12log 22 x

2) 2x5log 13log2

1

2

1 x

3) 2

1x2logx

4 4 42

4) 21xlog4

1

9.2 อสมการลอการิทึม หลักในการแก้อสมการลอการิทึม เมื่อ x > 0 และ y > 0 จะได้ 1) จากอสมการ yaa log x log เมื่อ 0 < a < 1 จะได้ x < y 2) จากอสมการ yaa log x log เมื่อ a > 1 จะได้ x > y


2.จงหาค่า x จากอสมการ (โจทย์ค่าสมบูรณ์)

1) 23log1sin sin1

2 x

2) 2log 1-2xlog4

1

4

1 x

3.จงหาค่า x จากอสมการ (โจทย์ประยุกต์) 1) 9log x log x9 เมื่อ x > 1

2) 222 log4xlog 164xlog x


10. การประยุกต์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม

จงหาค าตอบ 1) ในเวลา 10 ปี ฟาร์มเลี้ยงกระต่ายแห่งหนึ่งมีกระต่ายจ านวน 8,500 ตัว และอัตราการเติบโต 56% ต่อปี 1.1) จงหาฟาร์มแห่งนี้มีกระต่าย ณ จุดเริ่มต้นประมาณก่ีตัว 1.2) อีก 10 ปีข้างหน้า จะมีจ านวนกระต่ายประมาณกี่ตัว

10.1 การเติบโตของประชากร การเติบโตของประชากร ณ เวลาหนึ่ง ในกรณีที่การเพิ่มไม่ได้เป็นไปอย่างต่อเนื่องตลอดเวลา มีสูตรดังนี้ n(t) = t

0 r1n เมื่อ n(t) แทน จ านวนประชากรเมื่อเวลาผ่านไป t 0n แทน จ านวนประชากร ณ จุดเริ่มต้น r แทน อัตราการเติบโตของจ านวนประชากรต่อเวลา t แทน เวลา


จงหาค าตอบ การเจริญเติบโตของจ านวนแบคทีเรียที่เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง n(t) ตัว เมื่อเวลาผ่านไป t ชั่วโมง คือ

n(t) = 0.04t

0 2.72n เมื่อ 0n เป็นจ านวนเชื้อแบคทีเรียเริ่มแรก จงหาว่า นานเท่าไรที่ท าให้แบคทีเรีย 10,000 ตัว เพิ่มข้ึนเป็น 30,000 ตัว

10.2 การเติบโตของจ านวนเชื้อแบคทีเรีย ซึ่งเป็นไปอย่างต่อเนื่องตลอดเวลา มีสูตรดังนี้ n(t) = rt

0en เมื่อ n(t) แทน จ านวนประชากรเมื่อเวลาผ่านไป t 0n แทน จ านวนประชากร ณ จุดเริ่มต้น r แทน อัตราการเติบโตของจ านวนประชากรต่อเวลา t แทน เวลา


จงหาค าตอบ ธาตุซีเซียม -137 มีครึ่งชีวิต 30 ปี ถ้ามีธาตุซีเซียมที่เป็นกลุ่มตัวอย่างจ านวน 12 กรัม 1) จงหาปริมาณของซีเซียมท่ีเหลือ เมื่อเวลาผ่านไป t ปี 2) จงหาปริมาณของซีเซียมท่ีเหลือ เมื่อเวลาผ่านไป 60 ปี 3) จะใช้เวลานานกี่ปี จึงจะมีซีเซียมเหลือ 6 กรัม

10.3 การสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ที่มีครึ่งชีวิตเท่ากับ h ปริมาณสารที่เหลืออยู่ มีสูตรดังนี้ m(t) = -rt

0em เมื่อ m(t) แทน ปริมาณของสารกัมมันตรังสีที่เหลืออยู่ เมื่อเวลาผ่านไป t 0m แทน ปริมาณของสารกัมมันตรังสี ณ จุดเริ่มต้น

r แทน h

2ln


จงหาค าตอบ จงหาระดับความเข้มเสียงของเครื่องบินไอพ่นเมื่อก าลังบินขึ้นสู่ท้องฟ้ามีความเข้มเสียง 150 วัตต์/ตารางเมตร

10.4 การวัดระดับความเข้มเสียง เป็นการวัดความเข้มเสียง โดยเทียบกับความเข้มเสียงที่หูคนปกติเริ่มได้ยินเป็นเกณฑ์อ้างอิง ระดับความเข้มเสียง มีสูตรดังนี้

β = 0I

I10log

เมื่อ β แทน ระดับความเข้มเสียง มีหน่วยเป็นเดซิเบล I แทน ความเข้มเสียงที่ท าการวัด 0I แทน ความเข้มเสียงที่หูคนปกติเริ่มได้ยิน ซึ่งเท่ากับ -1210 วัตต์/ตารางเมตร


จงหาค าตอบ กลุ่มตัวอย่างของคนคนหนึ่งมีความเข้มข้นของประจุไฮโดรเจน H เท่ากับ 3.99 x 810 โมล จงหาค่า pH

พร้อมทั้งพิจารณาความเป็นกรด – ด่างของกลุ่มตัวอย่างเลือดนี้

10.5 ระดับความเป็นกรด – ด่าง ของสารละลาย มีสูตรดังนี้ pH = Hlog- เมื่อ pH แทน ระดับความเป็นกรด – ด่าง ของสารละลาย

H แทน ความเข้มข้นของประจุไฮโดรเจนในสารละลาย 1 ลิตร มีหน่วยเป็นโมล โดยสารละลาย ค่า pH เท่ากับ 7 เป็นสารละลายที่มีความเป็นกลาง ค่า pH น้อยกว่า 7 เป็นสารละลายที่มีความเป็นกรด ค่า pH มากกว่า 7 เป็นสารละลายที่มีความเป็นด่าง


จงหาค าตอบ เงินต้น 1,000 บาท อัตราดอกเบี้ย 6% โดยจ่ายดอกเบี้ยปีละ 4 ครั้ง จงหาเงินรวมเม่ือครบ 10 ปี

10.6 เงินรวมจากการคิดดอกเบี้ยแบบทบต้น มีสูตรดังนี้

A = nt

n

r1p

เมื่อ A แทน เงินรวม P แทน เงินต้น r แทน ดอกเบี้ย n แทน จ านวนครั้งที่จ่ายต่อปี t แทน จ านวนปี


บรรณานุกรม

คณิต อ.เอ๋. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม. กรุงเทพฯ. ธนวัฒน์ สนทราพรพล. แบบฝึกทักษะและวิธีคิดเร็วคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4-6 เล่ม. 3. กรุงเทพฯ.

ส านักพิมพ์ SCIENCE CENTER.

เอกสารประกอบการสอน - WordPress.com

Documents

Transcript of เอกสารประกอบการสอน - WordPress.com