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我 们 周 围 的 圆 锥 曲 线

圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现。在笛卡尔直角

坐标系中,这些曲线的方程是二次方程,所以圆锥曲线又叫做

二次曲线。对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过

高。在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线。例如,我们的

地球绕太阳运行的轨道是椭圆。太阳系的其他行星的运行轨

道都是椭圆。这个事实是由开普勒第一定律确定的。

之所以沿着椭圆轨道运动,是因为每一个行星在每一个

瞬间都有不超过某一个值的速度。事实证明,假如这个速度

过大了,运动就会沿着抛物线或双曲线轨道进行。相对于一

个静止的物体,并按照万有引力定律受他吸引的物体运动,不

可能有任何其他的轨道。因此,二次曲线实际上是以我们的

宇宙为基础的。

又如,如果让抛物线绕其轴旋转,就得到一个叫做旋转抛

物面的曲面。在抛物面的轴上,有一个具有美妙性质的焦点,

任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后,在指向

上都平行于抛物面的轴。而这意味着如果把探照灯做成抛物

面的形状,并且把灯泡放在焦点上,那么从抛物面上反射回来

的所有光线就形成一束平行光束。这显然是一个很大的优

点,因为正是这样一束光线在空间中,甚至于在离光源距离相

当大的情况下,很少扩散。当然,实际上我们得不到理想的平

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行光束,因为灯泡不是一个点,但对于实用的目的来说,只要

接近于这样的光束就够了。

天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的。

它的作用刚好和探照灯的作用相反:探照灯的反射镜把光线

反射到空间,天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦

到自己的焦点上。只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了,这

样,我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息,这比肉眼

观察所能提供的信息要多得多。

那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴。如果使

双曲线绕这条轴旋转,那么,形成的曲面(这样的曲面称为单

叶双曲面)也有许多实际用处。单叶双曲面是直纹曲面。上

面有两组母直线族,各组内母线彼此不相交,而与另一组母线

永远相交。正是这种性质在技术中得到了应用。例如,用直

立木杆造水塔,如果把这些杆垂直地放置,那就只能得到一个

很不牢固的建筑物,他会因为非常小的负荷而损坏。如果立

杆时,使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族),并使他

们的交点处连接在一起,就会得到一个非常轻巧而又非常坚

固的建筑物。许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个

原理。

在尝试解决古代名题的过程中,所发现的各种美妙曲线

远不限于螺线,蚌线和圆锥曲线。可是,不管找到了多少美妙

的曲线,他们还是解决不了古代名题。要知道,正像我们还记

得的那样,要求不只是解出这些名题,而是除了直尺和圆规

外,不准利用其他任何工具。而仅仅利用这两种工具能否解

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决其中任何一个问题呢 ? 这个问题该如何回答呢 ?

如果这个答案存在的话,对这个问题给予肯定的回答,原

则上显得比给予否定的回答更容易,只不过需要尝试才能找

到这个答案。经过或多或少,接连不断的寻找,这种题解通常

可以找到。

在题解不存在的情况下,事情则难办的多。这时,只有停

留在普通的几何直观上,几乎不可能得到所需要的答案。在

这种情况下,可以对问题进行精确的代数分析,以便用归结为

完成某些代数方程问题的不可能性证明解答这个问题的不可

能性。这样,就要求助于代数 !

矫 正 闹 钟

星期天,起床后发现闹钟停了,我估计了一下时间,就将

闹钟的时针拨到 7 时整。然后,我离家步行的博物馆,这时看

到博物馆楼顶上的电子钟在 8 时 50 分。我又游玩了一个半

小时后从博物馆以同样的速度返回家中。到家后,看到闹钟

指在 11 时 50 分。请问,这时我应将闹钟拨到何时才是准

确的 ?

答案:我总共用去的时间为 4 小时 50 分(7∶00—11∶

50),除去游玩的时间一个半小时,走路的时间应为 3 小时 20

分钟。因为来去时的步行时间相等,都为 1 小时 40 分钟,并

且离开博物馆开始往家走的准确时间应为 8∶50 + 1∶30 =

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10∶20,所以回到家里的时间应为 10∶20 + 1∶40 = 12。这

时,应将闹钟拨到 12 时才是准确的。

海 盗 分 金 问 题

(本帖改编自《科学美国人》杂志中 IanStewar t 的

《凶猛海盗的逻辑》)

海盗,大家听说过吧。这是一帮亡命之徒,在海上抢人钱

财,夺人性命,干的是刀头上舔血的营生。在我们的印象中,

他们一般都瞎一只眼,用条黑布或者讲究点的用个黑皮眼罩

把坏眼遮上。他们还有在地下埋宝的好习惯,而且总要画上

一张藏宝图,以方便后人掘取。不过大家是否知道,他们是世

界上最民主的团体。参加海盗的都是桀骜不驯的汉子,是不

愿听人命令的,船上平时一切事都由投票解决。船长的唯一

特权,是有自己的一套餐具———可是在他不用时,其他海盗是

可以借来用的。船上的唯一惩罚,就是被丢到海里去喂鱼。

现在船上有若干个海盗,要分抢来的若干枚金币。自然,

这样的问题他们是由投票来解决的。投票的规则如下:先由

最凶猛的海盗来提出分配方案,然后大家一人一票表决,如果

有 50 % 或以上的海盗同意这个方案,那么就以此方案分配,

如果少于 50 % 的海盗同意,那么这个提出方案的海盗就将被

丢到海里去喂鱼,然后由剩下的海盗中最凶猛的那个海盗提

出方案,依此类推。

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我们先要对海盗们作一些假设。

1)每个海盗的凶猛性都不同,而且所有海盗都知道别人

的凶猛性,也就是说,每个海盗都知道自己和别人在这个提出

方案的序列中的位置。另外,每个海盗的数学和逻辑都很好,

而且很理智。最后,海盗间私底下的交易是不存在的,因为海

盗除了自己谁都不相信。

2)一枚金币是不能被分割的,不可以你半枚我半枚。

3)每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼,这是最

重要的。

4)每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。

5)每个海盗都是现实主义者,如果在一个方案中他得到

了 1 枚金币,而下一个方案中,他有两种可能,一种得到许多

金币,一种得不到金币,他会同意目前这个方案,而不会有侥

幸心理。总而言之,他们相信二鸟在林,不如一鸟在手。

6)最后,每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。

在不损害自己利益的前提下,他会尽可能投票让自己的同伴

喂鱼。

现在,如果有 10 个海盗要分 100 枚金币,将会怎样 ?

要解决这类问题,我们总是从最后的情形向后推,这样我

们就知道在最后这一步中什么是好的和坏的决定。然后运用

这个知识,我们就可以得到最后第二步应该作怎样的决定,等

等等等。要是直接就从开始入手解决问题,我们就很容易被

这样的问题挡住去路:“要是我作这样的决定,下面一个海盗

会怎么做 ?”

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以这个思路,先考虑只有 2 个海盗的情况(所有其他的海

盗都已经被丢到海里去喂鱼了)。记他们为 P1 和 P2,其中

P2 比较凶猛。P2 的最佳方案当然是:他自己得 100 枚金币,

P1 得 0 枚。投票时他自己的一票就足够 50 % 了。

往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗 P3。P1 知道

———P3 知道他知道———如果 P3 的方案被否决了,游戏就会

只由 P1 和 P2 来继续,而 P1 就一枚金币也得不到。所以 P3

知道,只要给 P1 一点点甜头,P1 就会同意他的方案(当然,如

果不给 P1 一点甜头,反正什么也得不到,P1 宁可投票让 P3

去喂鱼)。所以 P3 的最佳方案是:P1 得 1 枚,P2 什么也得不

到,P3 得 99 枚。

P4 的情况差不多。他只要得两票就可以了,给 P2 一枚

金币就可以让他投票赞同这个方案,因为在接下来 P3 的方

案中 P2 什么也得不到。P5 也是相同的推理方法只不过他要

说服他的两个同伴,于是他给每一个在 P4 方案中什么也得

不到的 P1 和 P3 一枚金币,自己留下 98 枚。

依此类推,P10 的最佳方案是:他自己得 96 枚,给每一个

在 P9 方案中什么也得不到的 P2,P4,P6 和 P8 一枚金币。

下面是以上推理的一个表(Y 表示同意,N 表示反对):

P1 2

0 100

N Y

P1 2 3

1 0 99

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Y N Y

P1 2 3 4

0 1 0 99

N Y N Y

P1 2 3 4 5

1 0 1 0 98

Y N Y N Y

⋯⋯

P1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 0 1 0 1 0 1 0 96

N Y N Y N Y N Y N Y

现在我们将海盗分金问题推广:

1)改变一下规则,投票中方案必须得到超过 50 % 的票数

(只得到 50 % 票数的方案的提出者也会被丢到海里去喂鱼),

那么如何解决 10 个海盗分 100 枚金币的问题 ?

2)不改变规则,如果让 500 个海盗分 100 枚金币,会发生

什么 ?

3)如果每个海盗都有 1 枚金币的储蓄,他可以把这枚金

币用在分配方案中,如果他被丢到海里去喂鱼,那么他的储蓄

将被并在要分配的金币堆中,这时候又怎样 ?

通过对规则的细小改变,海盗分金问题可以有许多变化,

但是最有趣的大概是 1)和 2)(规则仍为 50 % 票数即可)的情

况,本节只对这两种情况进行讨论。

首先考虑 1)。现在只有 P1 和 P2 的情形变得对 P2 其糟

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无比:1 票是不够的,可是就算他把 100 枚金币都给 P1, P1 也

照样会把他丢到海里去。可是 P2 很关键,因为如果 P3 进行

分配方案的话,即使他一枚金币也不给 P2, P2 也会同意,这

样一来 P3 就有 P2 这张铁票 ! P3 的最佳方案就是:独吞 100

枚金币。

P4 要 3 张票,而 P3 是一定反对他的,而如果不给 P2 一

点甜头,P2 也会反对,因为 P2 可以在 P3 的方案中得救,目前

为什么不把 P4 丢到海里呢 ? 所以要分别给 P1 和 P2 一枚金

币,这样 P4 就有包括他自己 1 票的 3 票。P4 的方案为:P1,

P2 每人 1 枚金币,他自己 98 枚。

P5 的情况要复杂点,他也要 3 票。P4 是会反对他的,所

以不用给,给 P3 一枚金币就能使他支持自己的方案,因为在

接下来的 P4 方案中他什么也得不到。问题是 P1 和 P2:只要

其中有一个支持就可以了。可是只给 1 枚金币是不行的, P4

方案中他们一定有 1 枚金币可得,所以只要在他们中随便选

一个,给 2 枚金币,另一个就对不起了,不给。这样 P5 的方案

是:自己 97 枚,P3 得 1 枚,P1 或 P2 得 2 枚。

P6 的方案建立在 P5 的上面,只要给每个 P5 方案中不得

益的海盗 1 枚金币。要注意的是,P1 和 P2 都应该看作在 P5

方案中不得益的:他们可能得 2 枚,可是也可能 1 枚不得,所

以只要 P6 给他们 1 枚金币,根据“二鸟在林,不如一鸟在手

“的原则,就可以让他们支持 P6 的方案。所以 P6 的方案是

唯一的:P1,P2,P4 每人 1 枚金币,P6 自己拿 97 枚。

这样继续下去,P9 的方案是: P3,P5, P7 每人 1 枚金币,

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然后在 P1,P2, P4,P6 中任选一人给 2 枚金币,P9 自己得 95

枚。最后,P10 的方案是唯一的: P1, P2,P4, P6, P8 每人 1 枚

金币,P10 自己得 95 枚。

2)是最有趣的(提醒:我们回到 50 % 票即可的规则)。原

题解中的推理过程直到 200 个海盗都是成立的:P200 给每个

偶数号的海盗 1 枚金币,包括他自己,其他海盗什么也得不

到。从 P201 开始,继续推理就变得有点困难了:P201 为了不

被丢到海里去,必须什么也不留给自己,而给从 P1 到 P199

中所有奇数号海盗每人 1 枚金币,从而争取到 100 票,加上他

自己 1 票,逃过一劫。P202 也什么都得不到,他必须用这 100

枚金币买通 100 个从 P201 的方案中什么也得不到的海盗,要

注意到现在这个方案不是唯一的:P201 的方案中得不到金币

的海盗是所有奇数号的海盗,有 101 个(包括 P201),所以有

101 种方案。

P203 必须得到 102 票,除了自己的 1 票外,他只有 100

枚金币,所以只能买到 100 票,所以可怜的家伙就被丢到海里

喂鱼了。但是,P203 是个很重要的角色,因为 P204 知道如果

自己的方案不被通过,P203 也一样会完蛋,所以他有 P203 的

一张铁票。所以 P204 可以大出一口气:他自己一票,加上

P203 一票,然后加上用 100 枚金币买的确 100 票,他就得救

了 ! 100 个有幸得到 1 枚金币的海盗,可以是 P1 到 P202 中

任何 100 个:因为其中的偶数号的从 P202 的方案中什么也得

不到,如果 P204 给他们中某个海盗 1 枚金币,这个海盗一定

会赞同这个方案;而编号为奇数的海盗呢,只是有可能从

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P202 的方案中得益罢了(可能性为 100/ 101),所以根据“二

鸟在林,不如一鸟在手”的原则,如果能得到 1 枚金币,他也会

赞同这个方案。

接下去 P205 是不能把希望放在 P203 和 P204 这两张票

上的,因为就算他被丢到海里去, P203 和 P204 还可以通过

P204 的方案机会活下来。P206 虽然可以靠 P205 的铁票,加

上自己 1 票和 100 枚金币搞到的 100 票,只有 102 票,所以他

也被丢到海里喂鱼。P207 好不了多少,他需要 104 票,而他

自己以及 P205 和 P206 的铁票加上 100 枚金币搞到的 100 票

只有 103 票———只好下海。

P208 运气比较好,他同样也要 104 票,可是 P205,P206,

P207 都会投票赞成他的方案 ! 加上他自己的 1 票和买来的

100 票,他终于逃脱了做鱼食的命运。

这样我们就有了一种可以一直推下去的新逻辑。海盗可

以什么也不留给自己,买上 100 票,然后依靠一部分一定会被

丢下海的海盗的铁票,从而让自己的方案通过。有这样运气

的海盗分别是 P201, P202, P204, P208, P216, P232, P264,

P328 和 P456⋯⋯我们看到这样的号码是 200 加上一个 2 的

次幂。

哪些海盗是受益者呢,显然铁票是不用(不能)给金币的。

所以只有上一个幸运号码及他以前的那些海盗才有可能得到

1 枚金币。于是我们得到 500 海盗分 100 枚金币的结论是:

前 44 个最凶猛的海盗被丢进海里,然后 P456 给 P1 到 P328

中的 100 个海盗每人 1 枚金币。

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就这样,最凶猛的海盗被丢进海里,而比较凶猛的什么也

得不到,而只有最温柔的那些海盗,才有可能得到 1 枚金币。

正如《马太福音》所说:“温柔的人有福了,因为他们必承受

地土 !

米 勒 智 断 项 链

法国画家米勒从农村来到里昂,参加一个美术讨论班,身

上仅带了一条共 23 条环的金项链,他来到旅店,拿出这条项

链对老板说:“把它作为旅店费吧。”老板说:“你每天付一环,

当天必须结清房费。但最多只能切断这条项链中的四环。”米

勒说:“我只切断两环就可以了。”老板认为这是不可能的,便

说:“如果真能这样,到时候我把这条项链仍旧还给你。”米勒

果然在住满 23 天后,又把项链取了回来。

你知道米勒是如何切断项链的呢 ?

趣 味 数 字

现在数字 8 牛气十足,电话号码、汽车号码都喜欢带 8

的。37 码 的 脚 偏 要 穿 38 码 的 鞋 ! 其 实, 没 有 8 的 数

12345679 也是很精彩的。

12345679×9 = 111111111

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12345679×18 = 222222222

12345679×27 = 333333333

12345679×36 = 444444444

12345679×45 = 555555555

12345679×54 = 666666666

12345679×63 = 777777777

12345679×72 = 888888888

12345679×81 = 999999999

12345679×3 = 37037037

12345679×84 = 1037037036

12345679×165 = 2037037035

12345679×246 = 3037037034

12345679×327 = 4037037033

12345679×408 = 5037037032

12345679×489 = 6037037031

12345679×570 = 7037037030

12345679×651 = 8037037029

12345679×732 = 9037037028

你有新发现吗 ?

动 物 中 的 数 学 天 才

蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角

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形开口,另一端是封闭的六角菱锥形的底,由三个相同的菱形

组成。组成底盘的菱形的钝角为 109 度 28 分,所有的锐角为

70 度 32 分,这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚 0.073 毫米,

误差极小。

丹顶鹤总是成群结队迁飞,而且排成“人”字形。“人”字

形的角度是 110 度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一

半———即每边与鹤群前进方向的夹角为 54 度 44 分 8 秒 ! 而

金刚石结晶体的角度正好也是 54 度 44 分 8 秒 ! 是巧合还是

某种大自然的“默契”? 蜘蛛结的“八卦”形网,是既复杂又美

丽的八角形几何图案,人们即使用直尺的圆规也很难画出像

蜘蛛网那样匀称的图案。

冬天,猫睡觉时总是把身体抱成一个球形,这其间也有数

学,因为球形使身体的表面积最小,从而散发的热量也最少。

真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下

“日历”,它们每年在自己的体壁上“刻画”出 365 条斑纹,显然

是一天“画”一条。奇怪的是,古生物学家发现 3 亿 5 千万年

前的珊瑚虫每年“画”出 400 幅“水彩画”。天文学家告诉我

们,当时 地球一天 仅 21 .9 小 时,一年不 是 365 天, 而 是

400 天。

奇 妙 的 自 然 数

1,2,3,4,5,⋯⋯这些简简单单的自然数,是我们从呀呀

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学语开始就认识的。它们是那样自自然然,因而显得平淡无

奇。但我们如果认真研究一下这些数字,就会发现其中妙趣

横生。聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数列

之和,这正是由于他对自然数有深刻的了解。高斯小时候在

德国的一所农村小学读书。数学老师是位从城里来的先生。

他瞧不起穷人的孩子,从不认真教他们,甚至还打骂学生。有

一天,他情绪很坏,一上课就命令学生做加法,从 1 一直加到

100,谁算不到就不准回家。所有的孩子都急急忙忙地算起

来,老师却在一边看小说,不一会儿,小高斯就算出了结果是

5050。老师大吃一惊,奇怪他怎么算得这么快。原来,高斯并

不是按 1 + 2 + 3 + 4⋯⋯的顺序计算的。而是把 1 到 100 一

串数,从两头向中间,一头一尾两两相加,每两个数的和都是

101。例如:1 + 100、2 + 99、3 + 98⋯⋯,直到 50 + 51,和都是

101。这样, 100 个数正好是 50 对, 因此, 101×50 就得出

5050 的总和了。从此,老师再也不敢轻视穷孩子们了。他还

从城里买来书,送给高斯,热心帮助他学数学,高斯进步得更

快了。小高斯所用的方法,正是许多数学家经过长期努力才

找到的等差数列求和的办法。这个故事人人皆知,它说明努

力发现和巧妙利用规律是多么重要。现在让我们再看看自然

数还有哪些有趣的性质。

我们前面提到过完全数和友好数,除了这两种有趣的数

以外,自然数中还有一类数被称为“自守数”。所谓自守数就

是自己和自己相乘以后得到的数,尾数不变。在自然数中凡

末尾数是 1、5 和 6 的数,不论自乘多少次,尾数仍然是 1、5、

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6。例如:

21×21 = 421

21×21×21 = 9261

325×325 = 105625

6×6×6×6 = 1296

这样的结论是不是完全正确呢 ? 我们可以用代数方法加

以证明。让我们以末尾是 6 的数为例。这样的数可以表示成

a,这里 a 为任意自然数,那么:

由于 a 是自然数,得到的结果也必定是自然数,可见它的

个位必定是 6。高次方情况下也如此,证明从略。用同样方

法可以证明 1、5 结尾的数也是自守数。

如果把尾数取到两位,还有没有自守的性质呢 ? 有。比

如末尾是 25 和 76 的数就是自守数。

如果尾数取到三位、四位或更高位数,还能找到自守数

吗 ? 经过数学家的计算寻觅,发现尾数为 376、9376、109376、

7109376⋯⋯以及末尾是 625、0625、90625、890625、2890625、

⋯⋯的数都是自守数。

让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。

奇数数列是 1,3,5,7,⋯ n ,⋯ (n 为项数)偶数数列是

2,4,6,8,⋯ 2n ,⋯(n 为项数)人们研究奇数,发现如下的

性质:

这个结论可以用数学归纳法来证明,不过相当麻烦。其

实我们只要画一张最简单的方格图,这个性质就一目了然了。

自然数中偶数数列则有如下的性质:

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2 = 1×2 2 + 4 = 6 = 2×3

2 + 4 + 6 = 12 = 3×4

2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4×5

⋯⋯

2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + n = n(n + 1)

不论用数学归纳法还是用画图方法也都能证明这个结

论。此外,对所有的自然数,下面的规律也成立并且十分

有趣:

自然数中还有一类数被称为回文数。回文数就是一个数

的两边对称,如 11,121,1221,9339,30203 等等。回文数本身

倒也没有什么奇特。不过人们发现大多数的自然数,如果把

它各位数字的顺序倒置,再与原数相加,将得数再按上述步骤

进行,经过有限的步骤后必能得到一个回文数:

如:95 + 59 = 154

154 + 451 = 605

605 + 506 = 1111

1111 就是一个回文数。

又如:198 + 891 = 1089

1089 + 9801 = 10890

10890 + 09801 = 20691

20691 + 19602 = 40293

40293 + 39204 = 79497

79497 又是一个回文数。

是不是所有的自然数都有这个性质呢 ? 不是。例如三位

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数中的 196 似乎用上述办法就得不到回文数。有人用计算机

对 196 用上述办法重复十万次,仍然没有得到回文数。但至

今还没有人能用数学证明办法对这个问题下结论,所有“196

问题”也成了世界性数学难题之一。经过计算,在前十万个自

然数中有 5996 个数就像 196 一样很难得到回文数。

让我们再看一个有趣的数字现象:

随意取 4 个数,如 8,3,12,5 写在圆周的四面。用两个相

邻数中的大数减小数,将得数写在第二圈圆周 。如此做下去

不久,必会得到 4 个相同的数。这个现象是意大利教授杜西

在 1930 年发现的,所以叫作“杜西现象”。

在自然数中还有一些数,看起来貌不惊人,但却十分特

别,令人百思不得其解。6174 就是其中之一。

把 6174 各位数字从大到小排列,再从小到大排列,然后

用大数减小数,结果还得到 6174。

7641 - 1467 = 6174

有趣的是,不仅 6174 本身,就是任意一个四位数字,只要

4 个数字不完全相同,用上述办法重复多次,最后终能得到

6174 这个数。

例如:1234 这个数,我们用下列步聚运算:

4321 - 1234 = 3087

8730 - 0378 = 8352

8532 - 2358 = 6174

再举一例,如 2883,则有:

8832 - 2388 = 1998

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9981 - 1899 = 7982

9872 - 2789 = 7083

7830 - 0387 = 7443

7443 - 3447 = 3996

9963 - 3699 = 6264

6642 - 2466 = 4176

7641 - 1467 = 6174

对三位数字,用这个办法最终将得到 495。例如 867,运

算如下:

876 - 678 = 198

981 - 189 = 792

972 - 279 = 693

963 - 369 = 594

954 - 459 = 495

你还可以用其它数字来验证一下,看看对不对。

五位以上的数字,这个规律就不明显了。

最后再让我们看两组有趣的数:

第一组为:1 , 6 , 7 , 23 , 24 , 30 , 38 , 47 , 54 , 55

第二组为:2 , 3 , 10 , 19 , 27 , 33 , 34 , 50 , 51 , 56

这两组数有什么奇特之处呢 ?

首先,这两组数都没有公因数,而且两组数各自的和都是

285。不过这算不上奇怪,拼拼凑凑,谁也弄得出来。不要着

急,我们再往下看。如果计算一下它们的方幂之和,你就会大

为惊奇。

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因为数字太多,我们不能一一列下去,让我们把结果列

出来。

方幂次数 每组数方幂和

0 D285 ±

1 D11685 �

2 D536085 S

3 D26043813 ¿

4 D1309753125 +

5 D6734006805

6 D3512261547765 Í

7 D185039471773893

8 D

10

从 0 次幂到 8 次幂,两组数的方幂和都相等,谁能不感到惊奇

呢 ? 不过算到 9 次方幂,两组数的方幂和就不相等了,这又是

为什么呢 ? 这两组有趣的数和它们有趣的性质吸引了不少人

进行研究。

专门研究整数性质的数学分支叫作数论。数论中有许多

看似简单实则相当困难,甚至近乎神秘的问题等待人们去解

决,哥德巴赫猜想就是其中之一。

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建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。

基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计

数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使

用的英语 calcu late(计算)一词是从希腊文 calculus(石卵)演

变来的。中国古代《易·系辞》中说,上古结绳而治,后世圣人

易之以书契,这都是匹配计算法的反映。

集合的基数具有元素“个数”的意义,当集合是有限集时,

该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定

义自然数的加法与乘法(见算术)。

为了计数,必须有某种数制,即建立一个依次排列的标准

集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素

顺次与标准集合中的项对应,所对应的最后的项,就标志着给

定集合元素的个数。这种想法导致 G. 皮亚诺 1889 年建立

了自然数的序数理论。

皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理,这里“集合”、

“含有”、“自然数”、“后粥”等是不加定义的。

① 是自然数。

② 不是任何其它自然数的后继。

③ 每个自然数都有一个后继(a 的后记为)

④ a/ = b/ 蕴含 a = b

从上述公理出发,可以定义加法和乘法,它们满足交换律

与结合律,加法与乘法满足分配律。

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错 抱 的 婴 儿

在某个医院,四个婴儿的身份标签被搞错了。两个婴儿

的标签不错,其他两个婴儿的标签弄错了。发生这种错误的

情况有多少种 ?

一种简单的计算方法是把所有可能的情况列成一个表

格,其结果表明两个婴儿搞错的情况共有六种。现在假设标

签搞乱了后,恰有三个是正确的,只有一个搞错了,问这个问

题有多少种不同情况 ? 你是否用列表的方法求解 ? 还是凭灵

机一动想出来的 ?

A B D C

A D C B

A C B D

D B C A

C B A D

B A C D

这个问题许多人都茫然不解,其原因是他们作了下列错

误的假设:在四个婴儿中,三个婴儿与其标签相符的情况有许

多种。但是你如果用“鸽笼原理”思索一下,情况就一清二楚

了。假设有四个鸽笼,一一标出应放物品的名称。若三样物

品都放在了正确的位置中,那么第四样物品只有一处可放,自

然该处即为那件物品应放的位置,正确的可能只有一种,即所

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有四样物品都放置恰当这一情况,而不可能有其他更多的情

况。一般地,如果 n 件物品,其中已经有 n - 1 件放对了地

方,那么剩下的一件也必定放置在正确的位置上了。

有一个关于三样东西都标签错误的古典问题。一旦领悟

到可以把情况的数目缩小为 1,这个问题也就迎刃而解了。

设在桌子上有三个盖着盖子的盒子,其中一个盒子内有两粒

绿豆,第二个盒子内有两粒红豆,另一个盒子内有一粒绿豆和

一粒红豆,三个盒子盖子上分别写着“红豆”,“红绿豆”和“绿

豆”,但是所有标签都标错了。你能从任意一个盒子内取出一

粒豆子后,便能判断出所有盒子内都装着什么豆子吗 ?

同上面的讨论一样,人们一般总是首先考虑有多少种不

同的可能性,但是你如果能够洞悉底蕴,一眼就可以看出只可

能有一种情况,从误标为“红绿豆”的盒子中取出一粒豆子,如

果不是一粒绿豆就是一粒红豆,若是一粒绿豆,那么盒子里的

另一粒也必定是一粒绿豆,那么两粒红豆必定在标着“绿豆”

的盒子内,反之,若取出的是一粒红豆,那么另一粒必定也是

红豆,两粒绿豆肯定放在标着“红豆”的盒子内,其他一盒内的

情况就一清二楚了。可以看出,三个盒子全都误标的情况只

可能有如上两种。从标着“红绿豆”的盒子内取出一粒便可以

排除一种情况,仅剩下唯一正确的情况。

有时,上述问题也会以稍微复杂的形式出现。在三个盒

子中,从任意一个盒子内取出最少的豆子数进行试看,以此来

判断三个盒子内各装有什么豆子。唯一的办法是从标着“红

绿豆”的盒子中取出一粒豆子试看。也许你能提出一些更加

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复杂的问题,诸如每个盒子内不只两粒豆子,或者盒子不只三

个等等。

其他许多发人深省的难题都与上面的婴儿问题有关,同

样也涉及到初等概率论。例如,假设婴儿的标签以随机的方

式搞乱,那么四个标签全部正确的概率是多少 ? 全部弄错的

概率是多少 ? 至少有一个正确的概率是多少 ? 恰好有一个正

确的概率是多少 ? 至少有两个正确的概率是多少 ? 恰好有两

个正确的概率是多少 ? 最多有两个正确的概率又是多少 ? 诸

如此类,不一而足。

“至少一个”的问题,就一般的形式来说,属于古典趣味数

学著作中的问题。这个问题通常如下所述:在一家旅店,由 n

个人在仔细检查自己的帽子。寄存部的粗心女郎没能使寄存

牌和帽子做到一一对应,她随便地把寄存牌发了出去,问至少

一人取回自己的帽子的概率是多少呢 ?

炙 肉 片 的 策 略

约翰逊先生在户外有个炙肉架,正好能容纳 2 片炙肉。

他的妻子和女儿贝特西都饥肠辘辘,急不可耐。问怎样才能

在最短时间内炙完三片肉。

约翰逊先生:“瞧,炙一片肉的两面需要 20 分钟,因为每

一面需要 10 分钟。我可以同时炙两片,所以花 20 分钟就可

以炙完两片。再 花 20 分钟炙第 三片,全部 炙完需要 40

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分钟。”

贝特西:“你可以更快些,爸爸。我刚算出你可以节省 10

分钟。”

啊哈 ! 贝特西小姐想出了什么妙主意 ?

为了说明贝特西的解法,设肉片为 A,B,C。每片肉的两

面记为 1,2。第一个 10 分钟炙烤 A1,和 B1。把 B 肉片先放

到一边。再花 10 分钟炙烤 A2 和 C1。此时肉片 A 可以炙

完。再花 10 分钟炙烤 B2 和 C2,仅花 30 分钟就炙完了三片

肉,对吗 ?

这个简单的组合问题,属于现代数学中称之为运筹学的

分枝。这门学科奇妙地向我们揭示了一个事实:如果有一系

列操作,并希望再最短时间内完成,统筹安排这些操作的最佳

方法并非马上就能一眼看出。初看是最佳的方法,实际上大

有改进的余地。在上述问题中,关键在于炙完肉片的第一面

后并不一定马上去炙其反面。

提出诸如此类的简单问题,可以采用多种方式。例如,你

可以改变炙肉架所能容纳肉片的数目,或改变待炙肉片的数

目,或两者都加以改变。另一种生成问题的方式是考虑物体

不止有两个面,并且需要以某种方式把所有的面都予以“完

成”。例如,某人接到一个任务,把 n 个立方体的每一面都涂

抹上红色油漆,但每个步骤只能够做到把 k 个立方体的顶面

涂色。

今天,运筹学用于解决事物处理,工业,军事战略等等许

多领域的实际问题。即使是像炙肉片这样简单的问题也是有

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意义的。为了说明这一点,请考虑下列一些变相问题:

琼斯先生和夫人有三件家务事要办。

1. 用真空吸尘器清洁一层楼。只有一个真空吸尘器,需

要时间 30 分钟。

2. 用割草机修整草地。只用一台割草机,需要时间 30

分钟。

3. 喂婴儿入睡,需要时间 30 分钟。

他们应该怎样安排这些家务,以求在最短时间内全部完

成呢 ? 你看出这个问题与炙肉片问题是同构的吗 ? 假设琼斯

先生和夫人同时进行操作,一般人开始往往以为做完这些家

务需要 60 分钟。但是如果一件家务(譬如说用真空吸尘器做

清洁工作)分为两个阶段,第二阶段延后进行(像炙肉片问题

那样),那么三件家务可以在 3/ 4 的时间内即 45 分钟内完成。

下面有一个关于准备三片热涂奶油的烤面包问题。这个

运筹学问题比较困难。烤面包架是老式的,两边各有一扇翼

门,可以同时容纳两片面包,但是只能单面烘烤。如果要烤双

面,需要打开翼门,把面包片翻过身来。

将一片面包放入烤面包架需要时间 3 秒钟,取出来也需

要 3 秒钟,将面包片在烤面包架内翻身又需要 3 秒钟。这些

都需要双手操作,即不能同时进行放,取或把两片面包同时翻

身,也不能在放入一片面包,将其翻身或取出的同时把另一片

涂抹上奶油。单面烘烤一片面包需要 30 秒钟,把一片面包涂

抹上奶油需要 12 秒钟。

每片面包仅限于单面涂抹上奶油。未经烘烤不得事先在

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任何一面涂抹上奶油。单面已经烤过的和涂抹上奶油的面包

片可以重新放入烤面包加内继续烘烤其另一面。如果烤面包

架一开始就是热的,试问双面烘烤三片面包丙涂抹上奶油最

少需要多少时间 ?

在两分钟内完成上述工作并不太难。然而,如果你领悟

到:一片面包在单面烘烤尚未结束的情况下,也可以取出,以

后再放回烤面包架内继续烘烤这一面,那么全部烘烤时间就

可以缩减至 111 秒钟。使你想到这一点,统筹安排这些操作

使效率达到最高也远非是一件易事。在这方面,尚有无数比

此更为复杂的实际问题,需要借助于与计算机和现代图论有

关的高度复杂的数学手段。

穿 高 跟 鞋 真 使 人 觉 得 美 些 吗

美是一种感觉,本应没有什么标准。但是在自然界里,物

体形状的比例却提供了在匀称与协调上一种美感的参考。在

数学上,这个比例称之为黄金分割(golden section)。

在线段 AB 上,若要找出黄金分割的位置,可以设分割点

为 G,则点 G 的位置符合以下特性:AB:AG = A G:GB。

设 AB = l;AG = x,

则 l:x = x:( l - x),即 x2 + lx - l2 = 0 解后舍去负值,得 x

≈0.6181

由求得黄金分割点的位置为线长的 0. 618。

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在人体的躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割

点。换言之,若此比值愈接近 0。618,愈给与别人一种美的

感觉。很可惜,一般人的躯干(由脚底至肚脐的长度)与向高

比都低于此数值,大约只有 0.58 至 0. 60 左右(脚长的人会有

较高的比值)。

为了方便说明穿高跟鞋所产生的美的疚效应,假设某女

的原本躯干与身高比为 0. 60,即 x:l = 0. 60,若其所穿的高跟

鞋的高度为 d (量度单位与 x、l 相同),则新的比值为:(x +

d):(l + d) = (0.60l + d):( l + d)。如果该位女士向高为 1.60

米,则下表显示出高跟鞋怎样改善了脚长与身高的比值:

原本躯干与身高比值

身高(kcm)

高跟鞋高度(dcm)

穿了高跟鞋后的新比值

0 ¢•. 60 160 ç2 ��. 54 0 Á́.606

0 ¢•. 60 160 ç5 ��. 08 0 Á́.612

0 ¢•. 60 160 ç7 ��. 62 0 Á́.618

由此可见,女士们相信穿高跟鞋使她们觉得更美是有数

学根据的。不过,正在发育成长中的女孩子还是不穿为妙,以

免妨碍了向高的正常增长。何况,穿高跟鞋是要承受身体重

量所脚部不适的代价。若真的需要提高脚长与身高比值,不

穿高跟鞋也可跳芭蕾舞吧。

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数 学 名 言

数学的本质在于它的自由。

———康托尔

在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更

为重要。

———康托尔

没有任何问题可以向无穷那样深深的触动人的情感, 很

少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想,

然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明。

———希尔伯特(H ilbert)

数学是无穷的科学。

———赫尔曼外尔

问题是数学的心脏。

———P. R. H almos

只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命

力, 而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。

——— Hilber t

数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事

实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深。

高 斯

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美 在 数 学 中

舞台上,少女随着音乐翩翩起舞,那是向你展示的音乐艺

术美,青城天下幽,峨嵋天下秀,那是展示的自然风光美,“风

停了,太阳堆起笑脸,将温暖尽情地泻在原野上”,“冬天的风

苍白如纸,⋯⋯懒洋洋的阳光无处悬挂⋯⋯”,那是给你的动

人的语言美,而数学美在何方 ?“哪里有数,哪里就有美”。

简洁美简洁、有效、直观,这是数学中的一美。简单的这

样一个图形:以代表世上一切方形的物体,它给人们简洁、大

方,但它并不仅是为了简洁而简洁,还极大地给人以方便,给

人以联想;又正如没有人愿把一亿写成 100000000,而要写成

108 ,把千万分之一写成 10000000,而是乐于写成 1 - 7 更没有

多少人身上带着几万元甚至几百万的钞票在大街上走来走

去,而是带着一张银行卡,只需记着由 0,1,2,⋯⋯9 中几个数

字组成密码就可敲定,就这么几个数字,就这么简单。化繁为

简,化难为简,力求简洁、直观。数学不仅仅是在运算上,论证

也更是如此。数学的公式与公理就是简洁美的最佳证据之

一。几个公理、定理、概念、命题就能把庞杂的数学分支处理

好,井然有序,完整地体现着直观、和谐美。

和谐美看一看 1、2、3、4、5、6、7 这几个数字,代表不同的

音阶,就能谱出优美动人和谐的曲调,让世人在音乐中陶醉。

再看看越来越复杂的数系吧,它们同样是和谐的。整数

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和分数统一为有理数,有理数和无理数统一在实数内,而复数

又包含着实数与虚数。在这些数系之中,1 是最简单的数,但

同时可以说一切又起源于 1。由 1 演变为所有自然数 2,3,4

⋯,后来又有它的相反数—1, —2,—3⋯,之后又加进 0,再就

是两个整数所表示的分数,这样就构成有理数系,而南北朝时

期,祖冲之就已经在计算π的值,无理数也早就出现了。i 在

几百年前就有,i 可表示成 0 + 1。i,而它正好有实数中具有代

表性的数 1 和 0 来表示的。实数、虚数中的 1,0, i 都有其独

特的地位,超越无理数中,π和 e 又是相当独特的,这 5 个数

1,0, i,π,e 都融合在一个奇妙式子中,e⋯ + 1 二 0,这就是一

种和谐美,统一美。

几何中的和谐美也到处体现,它们也使人赏心悦目。简

单的点、线段、三角形、矩形、正方形,就能构造出美丽的图案,

平面的,立体的,让人美不胜收。再看一看黄金分割律这个奇

妙的规律吧。符合这个分割律的物体和几何图形,无不使人

们感到和谐与美。我们的人体本身就是黄金分割律的一个杰

出的样本,T 型台上迈着款款细步的女模,她们姣好的面容,

魔鬼般的身材,无一不是黄金分割律的体现,样本中之典型。

现实生活中让人叹为观止的一些伟大、精彩的建筑杰作,正是

由于它们高、宽、柱间距离比例符合着黄金分割律,而让人欣

赏、品味,影响甚深。

看一看:加法与减法统一于代数和,指数函数把乘方与开

方统一起来,解析几何又体现了代数与几何统一性。⋯⋯

毕达哥拉斯有句名言:“一切立体图形中最美的是球形,

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一切平面图形中最美的是圆形”。而圆和球形正是几何中对

称美的杰出体现,圆是关于圆心对称的,也是关于圆心的任一

条直线对称的。球形既是点对称,又是线对称,还是面对称

的。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称,才

构成了美丽的图案,精美的建筑,巧夺天工的生活世界,也才

给我们带来丰富的自然美,多彩的生活美。

是不是只有几何中才有对称美呢 ? sin(α+β) = sinα·

cosβ+ cosα· sinβ就已经体现出对称美。下列是对称的杨辉

三角。美吗 ? 当然 !

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 4

1 5 10 10 5 1

新奇美平淡中见新奇、新奇中才有艺术。未曾料到才能

引人入胜,峰回路转,柳暗花明,也这正是数学的魅力、数学

的美。

数学上的许多发现是令人惊奇的,曾几何时,代数与几何

曾认为是平行发展的,几何与代数相比处于支配地位。而 17

世纪竟发现两者是密切联系在一起的,研究了数千年的漂亮

的圆锥曲线竟被一个简单的二次方程:Ax2 + Bxy + cy2 + Dx

+ Ey + F = 0 所包罗无遗。哥德巴赫猜想激励着人们不断去

探索或研究,它的证明将会给人带来无尽的惊奇、无穷的乐

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趣;数学史上的许多高峰也正等待人们去攀登,山越高,路才

越奇,越奇才有惊美的发现,也正如此有人说陈景润的证明也

许要等上百年才能发现它们伟大实用之处。

动静美静如处子,动若飘仙,正是解析几何中点的轨迹真

实写照。思维也是一种美,数学中严密的思维与论证本身就

是一种完美。“越思量越美丽”,在思维中发现,在发现中

思维。

曾有学生感叹数学的无味与枯燥,也正是如此,数学美对

于不同的对象有相对不同的感受。司空见惯者不会有新奇

感,全然不知其然、亦不知其所以然,也更不会体验到思维的

乐趣。就比如给一个圆形“O”,有人说它是鸡蛋,有的人说它

是月亮,有的人也就说只是一个圆,⋯,不同的角度,不同的理

解,不同的感悟。也正因为如此,数学的教学不仅仅是让学生

学习着,还应该针对学生情况,老师应当有所预料,有所设计,

从学生的角度出发,为他们着想,给学生以惊奇,提高学习的

动机与兴趣,让学生欣赏着数学的奇异、趣味,领悟它的和谐,

它的简洁,享受它带给我们的乐趣。

在美中学习,在学习中享受美。

数 学 比 喻

许多名人喜欢用数学比喻,往往出语幽默、恢谐,好比深

山闻钟,记人记忆久远。

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古希腊哲学家芝诺号称“悖论之父”,他有四个数学悖论

一直传到今天。他曾讲过一句名言:“大圆圈比小圆圈掌握的

知识要多一点,但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长,所以它与

外界空白的接触面也就比小圆圈大,因此更感到知识的不足,

需要努力去学习”。

人民教育家陶行知先生曾经说,他有八位好朋友做帮手,

使他少犯错误,甚至可以不犯错误。他编了一首歌,读起来非

常动听:

我有八位好朋友,肯把万事指导我。

你若想问真姓名,名字不同都姓何。

何事、何故、何人、何如、何时、何来、何去,好像弟弟与

哥哥。

还有一个西洋派,姓名颠倒叫几何。

若向八贤常请教,虽是笨人少错误。

美国作家杰克·伦敦成名后,曾收到过一位女士的求爱

信:“你有一个出众的名声,我有一个高贵的地位。这两者加

起来,再乘上万能的黄金,足以使我们建立起一个天堂都不能

比拟的美满家庭。”杰克·伦敦连忙回信,他答得很妙:“根据

你列出的那道爱情公式,我看还要开平方 ! 不过这个平方根

却是负数”。

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一 曲 千 古 悲 歌

希帕蒂娅(H.ypa tia,约公元 370—415)是古希腊一位伟

大的女数学家,她一生为数学的传播和发展作出了卓越的贡

献。然而,这样一位杰出的女性却遭到宗教的残酷杀害. 希

帕蒂娅的死为数学史写下悲壮的一页,同时,也在人类文明史

上记录了宗教曾经是怎样扼杀科学的罪恶。

聪慧好学的童年

公元 370 年,希帕蒂娅诞生在埃及的亚历山大里亚城。

在公元前 290 年,亚历山大里亚城建起一座博学园。它里面

有图书馆,藏书 75 万卷,当时东西方著名的典藉应有尽有。

在图书馆旁,还修建了一座研究院、一座画廊和一幢样式别致

的雕塑大厅。研究院是古希腊的最高学府之一,许多名流学

者,如欧几里得(Euclid,约公元前 330 - 275)、阿基米德(Ar-

chimedes,分元前 287 - 212)等人都先后在这所学府里从事

过教学和研究工作. 此外,博学园里还辟有幽静、美丽的植物

园和供人游览欣赏的动物园。到公元前一世纪,博学园成为

古罗马帝国与世界各国进行文化交流的场所,是古代人类文

明的象征。小希帕蒂娅的父亲西翁(Theon)是一位知名的学

者、数学教授,就在博学园里的研究院工作,后来荣任研究院

院长。西翁非常爱怜小希帕蒂娅,对她要求严格,十分注意对

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女儿进行文化教育,他决心在女儿幼小的心灵里播下知识的

种子,把女儿培养成一个智慧超群的人才。希帕蒂娅生长在

一个有着很高文化素养的家庭里,像一株得到阳光雨露滋润

的幼苗,很快地成长起来。

10 岁的希帕蒂娅已经掌握了丰富的数学知识,并能熟练

地运用学过的数学理论解决实际问题。有一次,希帕蒂娅和

父亲到博学园的林间草地去散步,西翁有意识地启发女儿怎

样利用他们俩个人的影子来测量建筑物的高度,还说过两天

我们去测量金字塔的高。两天很快就过去了,她仍然感到有

些疑难问题无法解决,测量金字塔高度的方案还没有想出来。

当西翁和爱女希帕蒂娅骑着马向金字塔所在地进发时,

父亲看见女儿骑在马上忧心忡忡的样子,知道女儿测金字塔

的办法还没有成熟,为解除女儿的沉重心情,西翁尽量找些别

的话题来转移她的注意力,便滔滔不绝地讲述沙漠的风光、金

字塔的传说⋯⋯。这样一路谈笑风生,不知不觉地来到了目

的地。

这时,太阳西斜,天色已近黄昏,夕阳把他们的影子拉得

长长的,小希帕蒂娅跳下马背跟着父亲一前一后向金字塔走

去。蓦地,希帕蒂娅回头看见自己的身影和父亲的身影重合

在一起,发现太阳与他们俩头顶在一条直线上,立刻想起可以

用前几天学过的相似三角形对应边成比例的定理计算金字塔

的高度。她把这突然想到的方法讲给父亲听,老西翁听后欣

慰地笑了。希帕蒂娅领会到这种办法是对的,高兴得朝着金

字塔方向飞快地跑去。

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童年时代的希帕蒂娅在父亲热心地指导下,悉心地学习

数学或阅读经典,表现出聪慧好学,进步很快,智力发育微露

端倪,为日后的深造打下了基础。

才华横溢的学者

希帕蒂娅愉快的度过 19 岁生日,在父亲的帮助下,学识

已有了长足的进步。一年前,她认真地读完一些大数学家的

著作,比如:欧几里得的《几何原本》、阿基米德的《论球和圆

柱》、阿波罗尼斯(Apollonius,约公元前 260 - 170)的《圆锥曲

线论》。同时,她又协助父亲修订欧几里得的《几何原本》,这

部书成为现代版本《几何原本》的基础。此外,她还接触过哲

学、文学和天文学,扩大了知识领域。希帕蒂娅特别喜爱哲

学,阅读了不少希腊哲学家的著作。西翁为了活跃女儿的思

想,训练雄辩的能力,鼓励她参加各种学术辩论会。17 岁的

希帕蒂娅在博学园参加了由父亲主持的关于数学和哲学问题

的讨论会。在会上,希帕蒂娅就芝诺(Zeno,约公元前 496 -

430)悖论问题发表了演讲,她以深邃的思想、善辩的口才,引

起参加讨论会人们的注意。父亲还经常教诲她要善于独立思

考,每个人要珍惜自己思考的权力,即使思考错了也比不思考

强,以此激励女儿养成思考的习惯。希帕蒂娅由于有着深刻

的哲学思想和丰富的科学知识,对各种宗教著作提出了许多

质疑。在父亲的影响和熏陶下,她分清了虚妄的宗教信条和

科学真理的界限,曾在日记中写道:“把迷信当作真理是一件

十分可怕的事,人们必须维护真理而战胜迷信”。这标志着希

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帕蒂娅已经初步树立唯物主义的自然观,为她以后从事科学

研究奠定了坚实的思想基础。

在公元 389 年,希帕蒂娅在强烈求知欲望的诱惑下,乘商

船到希腊的雅典求学。在这里她成为受人景仰的数学家。雅

典城许多名流、学者争相来到她的住所请教数学,或者讨论哲

学问题。

希帕蒂娅在雅典留学期满又返回亚历山大里亚城,该城

的行政长官聘请她到博学园任教,讲授数学和哲学。因为她

学识渊博,品德高尚,擅长修辞和雄辩,吸引了各国学生前来

听课,成为举世注目的女学者。希帕蒂娅在研究院供职期间,

除授课之外,主要是从事科学研究,开始了创造发明的生涯。

这段时间,希帕蒂娅在各个领域都取得了研究成果,更多的成

就还是在数学领域。

在教学过程中,希帕蒂娅为了帮助学生理解丢番图(Dio

- phantus,约公元 246 - 330)的代数学,撰写了一本颇有创

见的教科书。书中对丢番图的《算术》作了评注,发展了一次

方和二次方程的解法。她深入地研究了阿波罗尼奥斯,的《圆

锥曲线论》、并对此书作了详细的注释。圆锥曲线包括椭圆、

抛物线、双曲线和二次曲线,这些重要曲线,直到 17 世纪才又

重新引起一些著名数学家的重视和研究。除此之外,希帕蒂

娅还写过天文学专著和一些数学论文,这些论著均被遗失。

到 15 世纪末,在梵蒂岗图书馆发现希帕蒂娅原著的一些残

页,这就成为研究她的学术思想的重要资料。她的创造才能

是多方面的,曾设计过观天仪、流体比重计和压力测试器等

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仪器。

希帕蒂娅热爱科学,追求真理,主动上门求婚的哲学家、

贵族子弟,都被她一一谢绝了。她想人的一生要为社会做出

贡献,现在正是埋头钻研学问的黄金时代,不能沉溺在爱情之

中,应该把爱情献给真理。因此,希帕蒂娅对每一个求婚者能

意味深长地说:“我只愿嫁给一个———他的名字叫真理”。公

元前 30 年,古罗马帝国侵占了埃及,亚历山大里亚从此落入

罗马贵族之手。古罗马帝国的皇帝凯撒为了加强在这块土地

上的统治,利用宗教作为精神统治的工具。当时已成为古罗

马帝国的国教———基督教迅速地在这里传播开来。到公元

392 年,罗马皇帝提奥多西下令拆毁希腊神庙,禁止老百姓信

奉异教,由此基督教在社会上逐渐取得统治地位。

希帕蒂娅反对迷信,不信奉基督教。她自从雅典返回家

乡之后,更加笃信理性是真知的唯一源泉。她在研究院里讲

课,就宣传科学的理性主义,揭露教会的黑暗和虚伪,在基督

教徒中也产生了巨大影响。因此,基督教廷十分恐慌,视她的

哲学和数学为“异教邪说”。然而,一些正直的学者和社会人

士却称赞希帕蒂娅的才华和品格,甚至和她结下了深厚的友

谊。当时亚历山大里亚城的行政长官奥伦茨就是其中的一

个,他经常来访希帕蒂娅,征询她对各种事务的处理意见。

公元 412 年,披着宗教外衣的阴谋家西里尔(Cyril,公元

376 - 444)当上了亚历山大里亚督教的大主教,他极力推行反

对“异教邪说”的计划。西里尔上台后不久,就施用各种诡计,

篡夺了地方长官奥伦茨的一部分权力,并借用这些权力迫害

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“异己分子”。西里尔夺权的野心越来越大,这就引起了他与

奥伦茨之间的矛盾。阴险毒辣的西里尔深知希帕蒂娅在宣传

“异教邪说”,而且她与奥伦茨有着共同的信仰和深厚的友谊,

便决定先除掉希帕蒂娅。于是,西里尔到外散布谣言,说希帕

蒂娅是解决主教与行政长官之间矛盾的障碍,应该对她进行

惩罚。希帕蒂娅听到谣言之后,预感到这是不祥之兆,但并没

有在压力面前屈服,而是继续去研究院授课,传播科学思想。

公元 415 年 3 月的一天,希帕蒂娅坐着马车去研究院讲

课。当马车行至一个教堂的门口,事前由西里尔策划好的一

群暴徒,迎面赶来拦截马车,把希帕蒂娅从马车上拉下来,拖

进教堂。一群教徒在牧师的指挥下,施行了惨无人道的暴行。

首先把她的衣服剥光,一根一根地拔掉她的头发,然后用锋利

的蚝壳把她身上的肌肉一片一片地割下来。最后,把还在颤

动的肉体投进熊熊的烈火之中。一位才华超众、贡献卓著的

女数学家就这样遭到宗教的野蛮、残忍、无情的杀害,悲壮地

离开了人间。希帕蒂娅的死讯传到奥伦茨那里,他悲愤万分,

一面惩罚了拦车杀人的凶手,一面写报告给罗马教廷,要求调

查,惩办策划者。由于罗马教廷要维护基督教的威严,就把调

查的事情一再拖延。千方百计地阻止调查。奥伦茨发现势头

不对,被迫离开了亚历山大里亚,流亡国外。后来,罗马教廷

为了掩人耳目,制造谎言,由罗马大主教宣布说:“此案查无实

据,据传希帕蒂娅在雅典,并没有发生任何悲剧”。一桩骇人

听闻的惨杀案,就这样销声匿迹了。

女数学家希帕蒂娅之死,能给我们一些什么样的启示呢 ?

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首先,宗教神学是科学大敌. 因为神学的本质是唯心论,它主

张精神第一,上帝万能,既不尊重客观事实,也不接受实践的

检验。而科学却恰恰相反,它是揭示自然界和人类社会各种

现象的本质和规律,是不容许存在半点虚伪和谎言的,它毫不

掩饰地揭露宗教神学的反动本质。科学上的每一个发现,都

是对宗教迷信的一次打击。因而,宗教神学必然要疯狂地反

对科学。其次,科学家必须具有为真理而献身的精神。宗教

神学一旦成为统治阶级的工具,科学就会受到严重的摧残。

希帕蒂娅由于冲破了神学的禁锢,追求科学的睦理,教廷便向

她伸出魔爪。希帕蒂娅在残酷的迫害面前不屈服、不妥协,最

终为维护真理献出了宝贵的生命。宗教的火刑场虽然焚烧了

科学家的躯体,但不能泯灭科学真理的光辉,科学发展到今

天,已经形成一个庞大的体系,正在不断地造福于人类。

钱 币 的 学 问

古今中外的钱币多种多样,与钱币有关的数学更是丰富

多彩,趣味无穷。让我们以现在我国通行的人民币为例,一起

来讨论一些与钱币有关的问题。

我们所看到的硬币的面值有 1 分、2 分、5 分、1 角、5 角和

1 元;纸币的面值有 1 分、2 分、5 分、1 角、2 角、5 角、1 元、2

元、5 元、10 元、20 元、50 元和 100 元,一共 19 种。但这些面

值中没有 3、4、6、7、8、9,这又是为什么呢 ?

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事实上,我们只要来看一看 1、2、5 如何组成 3、4、6、7、8、

9,就可以知道原因了。

3 = 1 + 2 = 1 + 1 + 1

4 = 1 + 1 + 2 = 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1

6 = 1 + 5 = 1 + 1 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 +

1 + 1 = 2 + 2 + 2

7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 5 = 2 + 2 + 2 + 1 = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 1 +

1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

8 = 1 + 2 + 5 = 1 + 1 + 1 + 5 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1 +

1 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

= 2 + 2 + 2 + 2

9 = 2 + 2 + 5 = 1 + 1 + 2 + 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 1 + 1 + 1 +

1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2

= 1 + 2 + 2 + 2 + 2

从以上这些算式中就可知道,用 1、2 和 5 这几个数就能

以多种方式组成 1～9 的所有数。这样,我们就可以明白一个

道理,人民币作为大家经常使用的流通货币,自然就希望品种

尽可能少,但又不影响使用。下面我们就来解答一些实际

问题。

例 1 将一张 1 元的人民币兑换成若干张 1 角、2 角、5

角的人民币,共有几种兑换方法 ?

[分析与解]如果只有 5 角面值的钞票,那么 5 + 5 = 10,

就只有一种兑换方法;如果有一张 5 角的钞票,其余是 1 角、2

角面值的,那么 5 + 2 + 2 + 1 = 10,5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10,5 + 1

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+ 1 + 1 + 1 + 1 = 10,就有三种兑换方法;如果没有 5 角面值的

钞票,只有 1 角、2 角面值的钞票,那么 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10,2

+ 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 10,2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10,2 + 2 + 1

+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10,2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10,1

+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10,就有 6 种兑换方法。

这样,总兑换方法数为 1 + 3 + 6 = 10(种)。

例 2 有 3 枚 5 分的硬币、2 枚 1 分的硬币、5 枚 1 元的硬

币,用这些硬币中的 1～3 枚能得出多少种不同的钱数 ?

[分析与解]如果只用 1 枚,钱数就有 5 分、1 分、1 元三

种;如果用 2 枚,就有:5 分 + 5 分 = 1 角,1 分 + 1 分 = 2 分,1

元 + 元 = 2 元,5 分 + 1 分 = 6 分,5 分 + 1 元 = 1 元零 5 分,1

分 + 1 元 = 1 元零 1 分共 6 种;如果用 3 枚,就有 5 分 + 5 分

+ 5 分 = 1 角 5 分,5 分 + 5 分 + 1 分 = 1 角 1 分,5 分 + 1 分 +

1 分 = 7 分,5 分 + 1 分 + 1 元 = 1 元零 6 分,1 元 + 1 元 + 1 元

= 3 元,1 分 + 1 分 + 1 元 = 1 元零 2 分,5 分 + 5 分 + 1 元 = 1

元 1 角,1 元 + 1 元 + 1 分 = 2 元零 1 分,1 元 + 1 元 + 5 分 = 2

元零 5 分,共 9 种。

这样,共有 3 + 6 + 9 = 18 种不同的钱数。

试一试:

1. 把 50 元面额的钱币兑换成若干张 1 元、2 元、5 元的

钞票,共有几种兑换方法 ?

2. 在 4 张 2 元的纸币、3 张 5 元的纸币中,选出 1～6 张

能得出多少种不同的钱数 ?

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余数的妙用

兴趣小组活动时,老师出了这样一道题:我喜欢数学小灵

通我喜欢数学小灵通⋯⋯依次排列,第 999 个汉字是什么 ?

我利用从《数学小灵通》上学到的解答方法试着做了起来。因

为“我喜欢数学小灵通”这 8 个字是依次重复的,那么,一个循

环周期就有 8 个数,把 8 个数看成一组。999÷8 = 124(组)

⋯⋯7(个),这就是说,第 999 个汉字应该是第 125 组的第 7

个字———“灵”

同学们,你们说第 2001 个汉字是什么呢 ?

工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三个相邻房

间里。当晚先是工程师的咖啡机着了火, 他嗅到烟味醒来,

拔出咖啡机的电插头, 将之扔出窗外, 然后接着睡觉。过一

会儿化学家也嗅到烟味醒来, 他发现原来是烟头燃着了垃圾

桶。他自言自语道:“怎样灭火呢 ?应该把燃料温度降低到燃

点以下, 把燃烧物与氧气隔离。浇水可以同时做到这两点。”

于是他把垃圾桶拖进浴室, 打开水龙头浇灭了火, 就回去接

着睡觉。数学家在窗外看到了这一切, 所以, 当过了一会儿

他发现他的烟灰燃着了床单时, 他可一点儿也不担心。说:

“嗨, 解是存在的 !”就接着睡觉了。

数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里, 看着

人们从街对面的一间房子走进走出。他们先看到两个人进

去。时光流逝。他们又看到三个人出来。物理学家:“测量不

够准确。”生物学家:“他们进行了繁殖。”数学家:“如果现在

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再进去一个人, 那房子就空了。”

一天,数学家觉得自己已受够了数学,于是他跑到消防队

去宣布他想当消防员。消防队长说:“您看上去不错,可是我

得先给您一个测试。”消防队长带数学家到消防队后院小巷,

巷子里有一个货栈,一只消防栓和一卷软管。消防队长问:

“假设货栈起火,您怎么办 ?”数学家回答:“我把消防栓接到软

管上,打开水龙,把火浇灭。”消防队长说:“完全正确 ! 最后

一个问题:假设您走进小巷,而货栈没有起火,您怎么办 ?”数

学家疑惑地思索了半天,终于答道:“我就把货栈点着。”消防

队长大叫起来:“什么 ? 太可怕了 ! 您为什么要把货栈点着 ?”

数学家回答:“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问

题了。”

数学的组成是:50 % 公式,50 % 证明,50 % 想象力。拓扑

学家不能区分咖啡杯与面包圈。统计学家的头在烤炉脚在寒

冰时,会说:“平均感觉是良好的。”

一队工程师在丈量一根旗杆的高度,他们只有一根皮尺,

不好固定在旗杆上,因为皮尺总是落下来。一位数学家路过,

拔出旗杆,很容易就量出了数据。他离开后,一位工程师对另

一位说:“数学家总是这样,我们要的是高度,他却给我们

长度 !”

工程师认为自己的方程与现实很接近。物理学家认为现

实与自己的方程很接近。数学家根本不在乎。

物理教授走过校园,遇到数学教授。物理教授在进行一

项实验,他总结出一个经验方程,似乎与实验数据吻合,他请

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数学教授看一看这个方程。一周后他们碰头,数学教授说这

个方程不成立。可那时物理教授已经用他的方程预言出进一

步的实验结果,而且效果颇佳,所以他请数学教授再审查一下

这个方程。又是一周过去,他们再次碰头。数学教授告诉物

理教授说这个方程的确成立,“但仅仅对于正实数的简单情

形成立。”

工程师、物理学家和数学家同时接到一个任务:将一根钉

子钉进一堵墙。工程师造了一件万能打钉器,即能把任何一

种可能的钉子打进任何一种可能的墙里的机器。物理学家对

于榔头、钉子和墙的强度做了一系列的测试,进而发展出一项

革命性的科技——— 超低温下超音速打钉技术。数学家将问

题推广到 N 维空间,考虑一个 1 维带扭结的钉子穿透一个 N

- 1 维超墙的问题。很多基本定理被证明。当然啦,这个题

目之深奥使得一个简单解的存在性都远非显然。

一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来,想用最少的

篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆,宣称这是

最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线,假设篱

笆有无限长,认为围起半个地球总够大了。数学家嘲笑了他

们一番。他用很少的篱笆把自己围起来,然后说:“我现在是

在外面。”

物理学家和工程师乘着热气球,在大峡谷中迷失了方向。

他们高声呼救:“喂——— ! 我们在哪儿 ?”过了大约 15 分钟,

他们听到回应在山谷中回荡:“喂——— ! 你们在热气球里 !”

物理学家道:“那家伙一定是个数学家。”工程师不解道:“为

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什么 ?”物理学家道:“因为他用了很长的时间,给出一个完全

正确的答案,但答案一点也没有用。

牛顿说过:“如果说我比别人看得远些,那是因为我站在

巨人的肩膀上。”那么,如果我看得没有别人远,是不是因为

巨人正站在我的肩膀上 ?

常函数和指数函数 ex 走在街上,远远看到微分算子,常

函数吓得慌忙躲藏,说:“被它微分一下,我就什么都没有啦 !”

指数函数不慌不忙道:“它可不能把我怎么样,我是 ex!”指数

函数与微分算子相遇。指数函数自我介绍道:“你好,我是

ex。”微分算子道:“你好,我是 d/ dy !”

证明所有大于 2 的奇数都是质数, 不同专业的人给出不

同的证明: 数学家: 3 是质数, 5 是质数, 7 是质数, 由数学

归纳可知, 所有大于 2 的奇数都是质数。物理学家: 3 是质

数, 5 是质数, 7 是质数, 9 是实验误差, 11 是质数, ⋯⋯ 工

程师: 3 是质数, 5 是质数, 7 是质数, 9 是质数, 11 是质数,

⋯⋯ 计算机程序员: 3 是质数, 5 是质数, 7 是质数, 7 是质

数, 7 是质数, ⋯⋯ 统计学家: 让我们来试几个随机抽取的

数: 17 是质数, 23 是质数, 11 是质数, ⋯⋯

世界上有两种数学家: 会数数的和不会数数的。世界上

有两种人: 一种相信世界上的人分为两种, 一种不相信。世

界上有两种人: 一种可以被归类于两种人之一, 一种不

可以。

Pi 是什么 ?数学家: Pi 是圆周长与直径的比。工程师:

Pi 大 约 是 22/ 7。 计 算 机 程 序 员: 双 精 度 下 Pi 是

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3.141592653589。营养学家: 你们这些死心眼的数学脑瓜,

“派”是一种既好吃又健康的甜点 !

物理学家、天文学家和数学家走在苏格兰高原上, 碰巧

看到一只黑色的羊。“啊,”天文学家说道,“原来苏格兰的羊

是黑色的。”“得了吧, 仅凭一次观察你可不能这么说。”物理

学家道,“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的。”“也

不对,”数学家道,“由这次观察你只能说: 在这一时刻, 这

只羊, 从我们观察的角度看过去, 有一侧表面上是黑色的。”

某 月 某 日 是 星 期 几 的 心 算 方 法

在上小学时,有一位同学和我作过这样一个游戏:他让我

随便说出当年的某一月某一日,他不用看日历就能很快、准确

地说出这天是星期几。

我拿来了一本日历,与他试验了几次。果然他每次都说

得很快也很准。我知道他不可能把一年三百六十五天每天星

期几都背下来,所以他的本事引起了我很大的兴趣。

后来我知道了他的计算方法:他心里记住了十二个数字,

这十二个数字分别对应于当年的十二个月。要计算当年的某

月某日是星期几,只要用那日的日数加上那月所对应的数字,

然后除以 7,余几就是星期几,恰好除尽就是星期日。

我清楚地记得那年的十二个月所对应的数字依次是:

1,4,4,0,2,5,0,3,6,1,4,6

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碰巧,1991 年的十二个月所对应的数字依次也是这十二

个数字。下面就以 1991 年为例具体地谈一下这种方法。

我们先要把下表中的各数牢牢地记在心里:

1991 年的月份 1 E2 ç3 ‰4 +5 Í6 o7 �8 ³9 U10 �11 ´12 V

各月对应的数字 1 E4 ç4 ‰0 +2 Í5 o0 �3 ³6 U1 ÷4 ™6 ;

例如要计算 1991 年 6 月 25 日是星期几。我们心里想到

6 月份对应的数字是 5,就用 25 加上 5,得到 30;再用 30 除以

7,余 2,则 1991 年 6 月 25 日是星期二。

再如,要计算 1991 年 9 月 1 日是星期几。9 月对应的数

字是 6,1 + 6 = 7,7 除以 7 没有余数,所以 1991 年 9 月 1 日是

星期日。

可见,只要心里熟记 144025036146 这一串数字,就能算

出 1991 年的几月几日是星期几。

144025036146 这一串数字是从哪儿来的呢 ? 它们就是

分别所对应的月份的上一个月的最后一天的星期数。例如,

1991 年 1 月 31 日是星期四,所以 1991 年 2 月份对应的数字

就是 4。每月 1 日的星期数,当然是头一天(即上个月的最后

一天)的星期数的基础上加上 1;所以很容易想通这个方法。

为了找出 1992 年 12 个月份所对应的各个数字,也就只

需记下 1992 年每个月份的上一个月的最后一天是星期几。

利用年历容易查得下表:

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1992 年的月份 1 £2 E3 ç4 ‰5 +6 Í7 o8 �9 ³10 p11 �12 ´

1992 年的月份

各月对应的数字2 E5 ç6 ‰2 +4 Í0 o2 �5 ³1 U3 ÷6 ™1 ;

例如要计算 1992 年 8 月 15 日是星期几。我们查到

1992 年 8 月份对应的数字是 5,15 + 5 = 20,20 除以 7 余 6,所

以 1992 年 8 月 15 日是星期六。

平年每年有 365 天。365 = 52×7 + 1,即:平年每年有 52

个星期零 1 天。所以,如果连续两年都是平年,则第二年每月

对应的数字就是在第一年对应月份对应的数字的基础上加

上 1。

闰年的 2 月有 29 天。闰年全年 365 天,是 52 个星期零

两天。从闰年的 3 月份开始的连续 12 个月中,每个月对应的

数字等于一年前同一月份对应的数字加上 2。

例如,1992 年是闰年。1992 年 3 月至 12 月各月对应的

数字都等于 1991 年对应月份的数字加上 2。从 1992 年 3 月

份到 1993 年 2 月份才满 12 个月,所以 1993 年 1 月和 2 月对

应的数字也分别等于 1992 年 1 月和 2 月对应的数字加上 2

(逢 7 变 0,逢 8 变 1)。

1993 年是平年。从 1993 年 3 月份开始,直到下一个闰

年(1996 年)的 2 月份,每个月所对应的数字都等于一年前同

一月份所对应的数字加上 1。

下表所列的是近几年每个月对应的数字:

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月

年1 E2 ç3 ‰4 +5 Í6 o7 �8 ³9 U10 �11 ´12 V

1991 年 1 E4 ç4 ‰0 +2 Í5 o0 �3 ³6 U1 ÷4 ™6 ;1992 年 2 E5 ç6 ‰2 +4 Í0 o2 �5 ³1 U3 ÷6 ™1 ;1993 年 4 E0 ç0 ‰3 +5 Í1 o3 �6 ³2 U4 ÷0 ™2 ;1994 年 5 E1 ç1 ‰4 +6 Í2 o4 �0 ³3 U5 ÷1 ™3 ;1995 年 6 E2 ç2 ‰5 +0 Í3 o5 �1 ³4 U6 ÷2 ™4 ;1996 年 0 E3 ç4 ‰0 +2 Í5 o0 �3 ³6 U1 ÷4 ™6 ;1997 年 2 E5 ç5 ‰1 +3 Í6 o1 �4 ³0 U2 ÷5 ™0 ;1998 年 3 E6 ç6 ‰2 +4 Í0 o2 �5 ³1 U3 ÷6 ™1 ;

每年记住一串(12 个)数字就能心算出全年每一天是星

期几,应该说是相当方便的。

三 十 六 军 官 问 题

大数学家欧拉曾提出一个问题:即从不同的 6 个军团各

选 6 种不同军阶的 6 名军官共 36 人,排成一个 6 行 6 列的方

队,使得各行各列的 6 名军官恰好来自不同的军团而且军阶

各不相同,应如何排这个方队 ? 如果用(1,1)表示来自第一个

军团具有第一种军阶的军官,用(1,2)表示来自第一个军团具

有第二种军阶的军官,用(6,6)表示来自第六个军团具有第六

种军阶的军官,则欧拉的问题就是如何将这 36 个数对排成方

阵,使得每行每列的数无论从第一个数看还是从第二个数看,

都恰好是由 1、2、3、4、5、6 组成。历史上称这个问题为三十六

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军官问题。

三十六军官问题提出后,很长一段时间没有得到解决,直

到 20 世纪初才被证明这样的方队是排不起来的。尽管很容

易将三十六军官问题中的军团数和军阶数推广到一般的 n 的

情况,而相应的满足条件的方队被称为 n 阶欧拉方。欧拉曾

猜测:对任何非负整数 t,n = 4t + 2 阶欧拉方都不存在。 t = 1

时,这就是三十六军官问题,而 t = 2 时,n = 10,数学家们构造

出了 10 阶欧拉方,这说明欧拉猜想不对。但到 1960 年,数学

家们彻底解决了这个问题,证明了 n = 4 t + 2( t≥2)阶欧拉方

都是存在的。

讨 价 还 价 中 的 数 学

在当前市场经济条件下,在商店,尤其是私营个体商店中

的商品,所标价格 a 与其实际价值 b 之间,存在着相当大的差

距。对购物的消费者来说,都希望这个差距越小越好,即希望

比值λ接近于 1,而商家则希望λ> 1。

这样,就存在两个问题:第一,商家应如何根据商品的实

际价值(或保本价)b 来确定其价格 a 才较为合理 ? 第二,购

物者根据商品定价,应如何与商家“讨价还价”?

第一个问题,国家关于零售商品定价有相关规定,但在个

体商家实际定价中,常用“黄金数”方法,即按实际价 b 定出的

价格 a,使 b:a≈ 0。618。虽然商品价值 b 位于商品价格 a 的

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黄金分割点上,考虑到消费者 ? quot;讨价还价“,应该说,这

样定价还是较为合理的。

对消费者来说,如何”讨价还价“才算合理呢 ? 一种常见

的方法是”对半还价法“:消费者第一次减去定价的一半,商家

第一次讨价则加上二者差价的一半;消费者第二次还价要减

去二者差价的一半;如此等等。直至达到双方都能接受的价

格为止。

阿 拉 伯 数 字

在生活中,我们经常会用到 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这些

数字。那么你知道这些数字是谁发明的吗 ?

这些数字符号原来是古代印度人发明的,后来传到阿拉

伯,又从阿拉伯传到欧洲,欧洲人误以为是阿拉伯人发明的,

就把它们叫做“阿拉伯数字”,因为流传了许多年,人们叫得顺

口,所以至今人们仍然将错就错,把这些古代印度人发明的数

字符号叫做阿拉伯数字。

现在,阿拉伯数字已成了全世界通用的数字符号。

十 进 制 的 演 化

早期的计数形式,并没有位置值系统。约于公元前 1700

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年,60 进位制开始出现,这种进制给了米索不达米亚人很大

的帮助。米索不达米亚人发展了它,并将它用于他们的 360

天的日历中。今天人们已知的最古老的真正的位置值系统是

由古巴比伦人设计的,而这种设计获自幼发拉底河流域人们

所用的 60 进制。为了替代所需要写的,从 0 至 59 这六十个

符号,他们只用了计算,只是其中没有设置零的符号,而是在

数的左边留下一个空位表示零。也得以广泛发展。在公元后

的早些年,希腊人和印度人开始使用十进制,但那时他们依然

没有位置的记数法。为了计算,他们利用了字母表上的头十

个字母。而后,大约于公元 500 年,印度人发明了十进制的位

置记数法。这种记数法放弃了对超过 9 的数采用字母的方

法,而统一用头九个符号。大致于公元 825 年左右,阿拉伯数

学家阿尔·花拉子米写了一本有关对印度数字仰慕的书。

十进制传到西班牙差不多是 11 世纪的事,当时阿拉伯数

字正值形成。此时的欧洲则处于疑虑和缓慢改变的状态。学

者和科学家们对十进制的使用表示沉默,因为它用并不简单

的方法表示分数。然而当商人们采用它之后,便逐渐变得流

行起来,而且在工作和记录中显示出无比的优越性。后来,大

约在 16 世纪,小数也出现了。而小数点,则是 J. 纳皮尔于公

元 1617 年建议推广的。

或许,将来会有一天,随着我们的需要和计算方法的改

变,一个新的系统将替代我们现有的十进制 !

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毕 达 哥 拉 斯 定 理

任何一个学过代数或几何的人,都会听到毕达哥拉斯定

理。这一著名的定理,在许多数学分支、建筑以及测量等方

面,有着广泛的应用。古埃及人用他们对这个定理的知识来

构造直角。他们把绳子按 3,4 和 5 单位间隔打结,然后把三

段绳子拉直形成一个三角形。他们知道所得三角形最大边所

对的角总是一个直角(32+ 4

2= 5

2)。

毕达哥拉斯定理:

给定一个直角三角形,则该直角三角形斜边的平方,等于

同一直角三角形两直角边平方的和。

反过来也是对的:

如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,则该

三角形为直角三角形。

虽然这个定理以后来的希腊数学家毕达哥拉斯(大约公

元前 540 年)的名字命名,但有证据表明,该定理的历史可以

追溯到毕达哥拉斯之前 1000 年的古巴比伦的汉漠拉比年代。

把该定理名字归于毕达哥拉斯,大概是因为他第一个对自己

在学校中所写的证明作了记录。毕达哥拉斯定理的结论和它

的证明,遍及于世界的各个大洲、各种文化及各个时期。事实

上,这一定理的证明之多,是其他任何发现所无法比拟的 !

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视 幻 觉 与 计 算 机 绘 图

绘图是人们用计算机探索的又一个领地。它属于一种振

动错觉的范畴。

我们的理解力和悟性受过去的经验和暗示的影响。最初

的理解取决于我们观察一个物体的方式。当经过一定时间

后,观点便可能发生改变。时间的因素会影响我们的注意力,

并很快对最初的视觉焦点感到厌烦。在斯洛德的幻影中,看

久了对楼梯的感觉会猝然出现倒置。

摆 线

摆线是数学中众多的迷人曲线之一。它是这样定义的:

一个圆沿一直线缓慢地滚动,则圆上一固定点所描出的轨迹

称为摆线。

摆线最早可见于公元 1501 年出版的 C. 鲍威尔的一本

书中。但在 17 世纪,大批卓越的数学家(如伽利略,帕斯卡,

托里拆利,笛卡儿,费尔马,伍任,瓦里斯,惠更斯,约翰·伯努

里,莱布尼兹,牛顿等等)热心于发现这一曲线的性质。17 世

纪是人们对数学力学和数学运动学爱好的年代,这能解释人

们为什么对摆线怀有强烈的兴趣。在这一时期,伴随着许多

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发现,也出现了众多有关发现权的争议,剽窃的指责,以及抹

煞他人工作的现象。这样,作为一种结果,摆线被贴上了引发

争议的“金苹果”和“几何的海玲”的标签。

17 世纪,人们发现摆线具有如下性质:

1. 它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。尤为令人感兴趣

的是,它的长度是一个不依赖于π的有理数。

2. 在弧线下的面积,是旋转圆面积的三倍。

3. 圆上描出摆线的那个点,具有不同的速度———事实

上,在 P5 的地方它甚至是静止的。

4. 当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时,它们

会同时到达底部。

有许多与摆线有连带关系的令人迷惘的悖论。其中火车

悖论格外引人关注:———在任一瞬间,一辆移动的火车绝不可

能整个地都朝机车拖动的方向移动。火车上总有一部分是朝

火车运动的相反方向移动 !

这个悖论能够用摆线加以说明。这里形成的曲线称为长

幅摆线———该曲线由旋转轮外沿的固定点描出。当火车的车

轮向右滚动的时候,它凸出部分外沿的点,却沿长幅摆线的轨

迹向左方向(相反的方向)移动。

上述定理可以用著名的英国谜题专家 H. E. 杜登尼

(Henry Ernest Dudeney,1847—1930)的一个谜题加以说明。

杜登尼把一个等边三角形通过切为四块,变为一个正方形。

这里有四块,把它们拼在一起,先组成一个等边三角形,

然后再组成一个正方形。

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哈 雷 彗 星

天体的轨道是这样一种观念:它应能很容易用方程或它

们的曲线加以描述。研究曲线图有时能够揭示轨道的循环和

周期。

这里提到的哈雷彗星,便是一例。

直至 16 世纪,彗星还是一种无法解释的天文现象。它似

乎并不遵从太阳系的哥白尼和开普勒定律。公元 1704 年,

E. 哈雷对各种彗星的轨道进行了颇有成效的研究。在广为

收录的资料中,有不少是关于 1682 年的彗星的。他注意到该

彗星的轨道与 1607,1531,1456 等年份的彗星穿过天空的同

样的区域。由此他得出结论,它们应是同一个彗星,它绕太阳

的轨道呈椭圆形,周期约 75 至 76 年。他成功地预测该彗星

应于 1758 年回归。它就是后来变得非常著名的哈雷彗星。

新近的研究表明,在公元前 240 年,中国人就已记录到了哈雷

彗星。

哈雷彗星的每一次出现,其渐渐淡去的彗尾奇观,就像最

近 1985—1986 年这一次出现的那样明显。

人们确信,彗星最初是从一些冰体小行星而来。这些冰

体小行星绕着太阳,在差不多距太阳 1 至 2 光年的球面上运

转。这些小行星是冰块和部分硅酸盐物质微粒的掺合物。在

太阳的边缘,处于冰冻的低温,这些小行星绕着太阳以每分钟

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3 英里的速度,用 30000000 年的时间绕太阳旋转一周。由于

过往其他天体引力的偶然性干扰,使它逐渐落向太阳,并因此

改变其圆形的轨道为椭圆形。自从它开始进入太阳的椭圆形

轨道,它的部分冰块便开始气化,这就形成了彗尾,它永远指

向背离太阳的方向,因为这种尾巴受到太阳风吹拂的缘故。

彗尾是气体和少量的微粒的掺合物,它受太阳的照射而发光。

彗星在继续运行中如果没有受到木星和土星引力的影响,它

将不会改变绕太阳的椭圆形轨道。每一个轨道都带给彗星一

次靠近太阳的机会,这时冰融化得更多,从而造成了彗尾的扩

展。彗尾使得彗星的尺寸显得更大(一个典型的彗星直径约

10 千米)。在彗星的尾部也漂游着一些陨石,它们最初是嵌

在彗星的冰条里的。陨石是彗星分化后在轨道上的残留物。

而当它的轨道与地球的轨道巧合时,便造成了流星雨。

不 可 能 的 三 接 棍

许多图案和实例,一旦熟悉起来便觉得当然。在 1958 年

英国的《心理学杂志》上, R. 朋罗斯发表了他的不可能的三

接棍。

他称之为立体的矩形构造:三个直角显示出垂直,但它是

不可能存在于空间的。这里三个直角似乎形成一个三角形,

但三角形是一个平面而非立体的图形,它的三个角的和为

180°,而非 270°。

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新近,朋罗斯推出了一种磁扭线的理论:虽说磁扭是看不

见的,但朋罗斯坚信,由于磁扭线之间的互相影响,空间和时

间会绞扭在一起。

你能说出为什么海哲的视觉幻影,从数学上讲也是不可

能的 ?

结 绳 法

印加帝国的领地,是环绕库斯科城的一方地域,那里现在

大部分属于秘鲁,还有一部分属于厄瓜多尔和智利。虽然印

加人那时还没有一个数学记数系统或一种语言书写法,但他

们用结绳的方法,管理着他们长达两千英里的帝国。

结绳法是利用一种十进的位置系统在绳子上打结。在干

绳中最远的一行一个结代表 1,次远的一个结代表 10,如此

等等。

秘鲁的结绳法。左下角有一个计算盘,在上面可以用玉

米仁来施行计算,而后转换为结绳。在一股绳子上没有结便

意味着零。结的尺寸,颜色和形状则记录有关庄稼,产量,租

税,人口及其他资料和信息。例如,黄色的绳可用于表示黄金

或玉米;又如,在一根表示人口的结绳上,头一套代表男人,第

二套代表女人,第三套代表小孩。武器诸如矛、箭、弓等也有

着类似的约定。

对于整个印加帝国的帐目,则由一批结绳的记录员来做。

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这些人过世了,工作由他们的儿子继承。在每一个管理层次

都有着相应的记录员,他们各管着某个特定的范畴。

在没有书写记录的年代,结绳法也担负了记载历史的作

用。这些历史的结绳,由一些聪明人担任,他们过世了则转给

下一代,就像讲故事那样,一代一代地留传了下来。而正是这

些原始的计算器———结绳———在他们的记忆库里,系结着印

加帝国的信息。

印加的王室道路,从厄瓜多尔到智利,延绵 3500 英里,连

接着帝国版图内的各个区域。沿着王室道路由一些职业长跑

手传递信息。这些跑手每人负责两英里地段。他们非常熟悉

各自道路的细节,因此他们能够以最快的速度日夜地跑。他

们接转信息,直至到达要求他们到达的场所。他们服务的项

目就是用结绳法联系,以保持印加帝国有关人口的改变,配

备,庄稼,领地,可能的反叛,以及其他任何有关的资料。信息

每 24 小时更换一次,而且极为精确和切时。

书 法 、印 刷 与 数 学

建筑学、工程学、装潢术和印刷术,是一些几何原理应用

的领域。丢勒(Albrecht Dürer)生于 1471 年。卒于 1528 年。

在他的一生中,他把自己的几何知识与艺术才华结合在一起,

创造出许多艺术形式和艺术方法。他把罗马字母的构造加以

系统化,这对于建筑物或碑石上的大写字母的准确和一致,无

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疑是很根本的。今天,计算机科学家们用数学设计了标准的

电脑程序,借以产生高质量的印刷和图式。一个突出的例子

是,由 Adobe 系统发展而来的 POS T SCRIP T 程序语言,通过

激光打印进行工作。

麦 粒 与 棋 盘

如果按下述方式在棋盘上放置麦粒,那么共需多少麦粒 ?

在第一个方格上放一粒麦粒,第二个方格上放两粒,第三

个方格放四粒,第四个方格放八粒,如此等等,每一个新的方

格都比先前的方格翻一倍。

概 率 与 π

数学家和其他科学家总是对π感到兴趣。但当它在《星

际旅行》故事中竟挫败一台魔鬼计算机时,便又获得了完全新

的崇拜者。π拥有若干桂冠———如它是圆的周长与其直径之

比;它是超越数(一个不是整系数代数方程解的数)等等。

千百年来,人们总是试图把π算到小数后越来越多的位

数。在《圣经》和《编年史》中,π的值给出为 3。埃及数学家求

出π的近似值为 3.16。公元 150 年,托勒密给出了π的估值

为 3. 1416。

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从理论上讲,阿基米德的近似算法可以无限地延伸下去。

但随着微积分的发明,希腊人的方法便被舍弃。代之的是使

用收敛数列、无穷乘积、连分数等来计算π的近似值,计算π

的最为稀奇的方法之一,要数 18 世纪法国的博物学家 C. 蒲

丰和他的投针实验:在一个平面上,用尺画一组相距为 d 的平

行线;一根长度小于 d 的针,扔到画了线的平面上;如果针与

线相交,则该次扔出被认为是有利的,否则则是不利的。

蒲丰惊奇地发现:有利的扔出与不利的扔出两者次数的

比,是一个包含π的表示式。如果针的长度等于 d,那么有利

扔出的概率为 2/π。扔的次数越多,由此能求出越为精确的π

的值。

公元 1901 年,意大利数学家拉兹瑞尼作了 3408 次投针,

给出π的值为 3. 1415929———准确到小数后 6 位。不过,不

管拉兹瑞尼是否实际上投过针,他的实验还是受到了美国犹

他州奥格登的国立韦伯大学的 L. 巴杰的质疑。在用概率方

法计算π值中还要提到的是: R. 查特在 1904 年发现,两个

随意写出的数中,互素的概率为π。62 通过几何、微积分、概

率等广泛的范围和渠道发现π,这是着实令人惊讶的 !

地 震 与 对 数

用数学方式描述自然现象似乎是人类的需要。大概人们

希望从中发现一些方法,以便能够控制自然———也许只是通

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过预报。

就像地震那样,初看起来似乎很难与对数之间有什么关

联。但用以测量地震强度大小的方法,却把两者联系起来。

美国地震学家 C. F. 里兹特,在 1935 年设计了一种里氏震

级。那是由地震的震中释放出的能量来描述。里氏震级是释

放能量的对数。里氏度数上升 1 级,地震仪曲线的振幅增大

10 倍,而地震能量的释放大约增加 30 倍。例如,一次 5 级地

震是一次 4 级地震释放能量的 30 倍;而一次里氏 8 级地震所

释放的能量,差不多是一次里氏 5 级地震的 303即 27000 倍。

里氏震度从 0 到 9 分为十级。但从理论上讲,它并没有

上限。大于 4. 5 级的地震便会造成损害。强烈地震的震级大

于 7。如 1964 年阿拉斯加地震为里氏 8.4 级;而 1906 年旧

金山地震为里氏 7. 8 级。

今天,科学家们把对地震的研究,纳入了地震学和地球物

理学的领域。精密的仪器和方法被找到或被设计出来。最早

的仪器———地震记录仪一直使用至今。它能自动地发现、测

量地震或其他大地震动,并绘制出相关的图表。

美 国 国 会 大 厦 的 抛 物 天 花 板

在当今的高工艺世界里,去寻找 19 世纪建造的东西,似

乎相当有趣。美国国会大厦,以其非电子窃听设计。而符合

于这一目的。美国的国会大厦由 W. 桑顿博士筹建于公元

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1792 年。1814 年为英国侵略军所烧毁,公元 1819 年重建。

在国会山巨大圆顶厅的南面是雕塑厅。该厅的设立是缘

于 1864 年,各个州都要求捐献他们的两位著名市民的塑像而

得名。直至 1857 年,众议院都与雕塑厅相连。在这个厅里,

当时有一位叫阿达姆的议员,发现了一种奇特的声学现象:在

厅一边的某个定点,人们能够清楚地听到位于厅的另一边的

人的谈话,而所有站在两者之间的人,都听不到他们的声音,

他们发出的噪音也并不使传递于大厅间的谈话声变得模糊。

阿达姆的桌子正巧坐落在抛物天花板的一个焦点。这样,他

便能很容易地窃听到位于另一个焦点的其他国会议员的私人

谈话。

探奇:———在加利福尼亚的旧金山,有一个为公众设置的

抛物声音反射镜。它们设置在一间大房子相对的两边。它们

的焦点有标记可以识别。两个人分别在两个焦点作正常的谈

话。在房子中不管是否有其他人或其他音响,都不会对他们

的彼此倾听造成阻碍 !

计 算 机 、计 算 和 电 流

电子计算机是应用计算机语言传达信息。计算机语言依

次地翻译成某种数制系统,并通过电脉冲驱动计算机。当人

们用钢笔或铅笔计算时,十进制显得得心应手,但电子计算机

需要的却是另外一种数制系统。如果一种记忆设计是在十进

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制下运作的,那么它就必须含有十种不同的状态,以表现十个

不同的基数(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)。虽然从机械系统讲这

是可能的,但对于电学而言,却无法实行。另一方面,二进制

系统则完全适应于电子计算机。在二进制中只用两个基数 0

和 1。这两个数很容易通过电流,用以下三种方式表示出来:

(1)由通常开关的开或关状态;

(2)由一个方向或另一个方向去磁化一个线圈;

(3)由激发或不激发一个继电器。

在以上三种情况的任一种中,都可以取其一种状态作为

数 0,而另一种状态作为数 1。

计算机不按人们通常方式计数:一,二,三,四,五,六,七,

八,九,十,十一,十 二,⋯⋯ 代替它的 是: 1, 10, 101, 110,

111,⋯⋯

自计算机用电操作以来,它的机械装置便通过电来转换

符号,我们能够通过监测器了解它们的运转。当电流通过计

算机的复杂内部时,它使得其中的一部分开关的状态转换。

开或关对电来说是仅有的两种可能。这就是为什么它只有 0

和 1 两个数字,以及为什么在我们的电子计算机中要使用二

进制。当我们写一个数的时候,我们用数字 0,1,2,3,4,5,6,

7,8,9。这种记数法称为十进制,因为我们用 10 个数字构成

任何数。在一个数中,处于某个位置的数字,其真正的值相当

于该数字的一个 10 的乘方倍。当我们写数的时候,每一个数

字的值,都依赖于它在数中的位置。例如:5374 并不意味着 5

+ 3 + 7 + 4,而是意味着:5 个千 + 3 个百 + 7 个十 + 4 个一。

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在数中,每一个位置是 10 的一个乘方:

千 = 1000 = 10×10×10 = 103

百 = 100 = 10×10 = 102

十 = 10 = 101

一 = 1 = 100 而计算机写它们的数只用数字 0

和 1。这种数字系统称为二进制,因为我们只用两个数字构

成任何的数。在一个数中,每一个位置的值是一个 2 的乘方。

右起第一位是 1 的位置;接着是 2 的位置;再接着是 2×2 = 4

的位置;然后是 2×2×2 = 8 的位置;如此等等。

“ 占 地 ”——— 一 种 数 学 游 戏

“占地”是一种有许多可变策略的游戏。玩的人数不限。

不过,刚学的时候最好先从两个人开始。游戏一般分为三个

阶段:

Ⅰ. 构造游戏的区域;

Ⅱ. 在一些或全部区域上指定值;

Ⅲ. 占领区域。

Ⅰ. 每个选手轮流每次各画一个区域,以某种方式邻接

在前面已经画过的区域上。每个选手要各画 10 个区域,像图

A 那样。

Ⅱ. 各选手选用不同颜色的铅笔,然后一人一区域地轮

流指定数值,直至每人所指定的数总和为 100。如果有人希

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望某区域的指定数为 100,那么他就只能拥有这个区域。

Ⅲ. 游戏的目标:

游戏终结,拥有最多区域者胜。至于区域内的指定数则

不相干。

游戏的运行:

一个区域被占领,是指与该区域邻接的区域中有至少一

个区域属于另一个选手,而后者区域指定数的和大于该区域

的指定数。

一个区域一旦被占领,即退出游戏,而且标上占领者的

记号。

继续占领(由选手轮流),直至没有可占领为止。

“占地”有一些极为引人的变化。玩的次数多了,便会发

现许许多多在构造区域、指定数值和占领区域等方面的策略。

斐 波 那 契 数 列

斐波那契是中世纪占主导地位的数学家之一,他在算术、

代数和几何等方面多有贡献。他生于比萨的列奥纳多家族

(1175—1250),是一位意大利海关设在南部非洲布吉亚的官

员的儿子。由于他父亲的工作,使他得以游历了东方和阿拉

伯的许多城市。而在这些地区,斐波那契熟练地掌握了印度

—阿拉伯的十进制系统,该系统具有位置值并使用了零的符

号。在那时,意大利仍然使用罗马数字进行计算。斐波那契

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看到了这种美丽的印度—阿拉伯数字的价值,并积极地提倡

使用它们。公元 1202 年,他写了《算盘书》一书,这是一本广

博的工具书,其中说明了怎样应用印度—阿拉伯数字,以及如

何用它们进行加、减、乘、除计算和解题,此外还对代数和几何

进行了进一步的探讨。意大利商人起初不愿意改变老的习

惯,后来通过对阿拉伯数字不断地接触,加上斐波那契和其他

数学家的工作,终使印度—阿拉伯数字系统得以在欧洲推广,

并被缓慢地接受。

斐波那契数列———1,1,2,3,5,8,13,21,34, .

具有讽刺意味的是:斐波那契在今天的著名,是缘于一个

数列。而这个数列则来自他的《算盘书》中一道并不出名的问

题。他当时写这道题只是考虑作为一个智力练习。然而,到

了 19 世纪,法国数学家 E. 卢卡斯出版了一部四卷本的有关

娱乐数学方面的著作时,才把斐波那契的名字,加到该问题的

解答和所出现的数列上去。

《算盘书》中引致斐波那契数列的问题是:

1)假定一个月大小的一对兔子(雄和雌的),对于繁殖还

太年轻,但两个月大小的兔子便足够成熟。又假定从第二个

月开始,每一个月它们都繁殖一对新的兔子(雄和雌的)。

2)如果每一对兔子的繁殖都按上面说的同样的方式。试

问,从开始起每个月有多少对兔子呢 ?

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免 子 的 对 数

斐波那契数列的每一项,都等于它前两项的和。用公式

表示为:Fn = Fn - 1 + Fn - 2。

那时,斐波那契并没有去研究这种数列的结果,从而他没

有给出任何真正有意义的东西。一直到 19 世纪,当数学家们

开始对这个数列感兴趣时,它的性质和它所触及的领域,才开

始显现出来。

斐波那契数列出现在:

1)帕斯卡三角形,二项展开式和概率。

2)黄金比值和黄金矩形。

3)自然和植物。

4)感兴趣的数学戏法。

5)数学恒等式。

台 利 斯 与 大 金 字 塔

台利斯(Thales,公元前 640—546 年)是古希腊著名的七

位聪明人之一。是他最早将几何研究引进希腊,人们称之为

演绎推理之父。他既是一位数学家,又是一名教师,一名哲学

家,一名天文学家,一个精明的商人,而且是第一个采用一步

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步证实的办法来证明自己结论的几何学家。

公元前 585 年,台利斯正确地预言了当时的日蚀。他还

用影子和相似三角形来计算大金字塔的高度,并使埃及人为

之震惊 !

无 穷 旅 店

作为一名无穷旅店职员的资格之一,就是具有无穷的知

识。保罗的申请被接受,并定于次日傍晚开始工作。

保罗感到奇怪,为什么旅店要求它的所有职员都要知道

有关无穷、无限集合及超限数等内容。由于旅社有无穷多个

房间,所以保罗用图加以标示,以便客人找到房间不成问题。

在工作岗位上度过第一夜后,他为自己具备无穷的知识而感

到高兴。

当保罗再次当班时,白天的女职员告诉他,所有的无穷个

房间都已客满。女职员走后,进来了一个带有预订单的新的

客人。他想了一会,然后便叫每一号房间的旅客,搬到房号比

原先高一号的房间去。这样,第一号房终于被腾了出来,新客

人就被安排在一号房里。保罗对自己的解决方案颇感满意。

不料,此时一部载有无数个新客人的“无限汽车”开到。试问,

保罗该怎样给他们安排房间呢 ?

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晶 体 ——— 自 然 界 的 多 面 体

从古代起,多面体便出现在数学著作中,然而,它们的起

源却是那样地古老,几乎可以与自然界自身的起源联系在

一起。

晶体常常生长成多面体形状。例如,氯酸钠的晶体呈现

为立方体和四面体的形状;铬矾晶体有着八面体的形状。令

人迷惑不解的是,在一种海洋微生物放射虫类的骨骼结构中,

居然也出现十二面体和二十面体的晶状体。如果多面体是这

样的,它的所有面都相等,而且这些面的角也全相等,那么这

个多面体就称为正多面体。一个正多面体的所有面都一样,

所有边都相等,而所有角也全都相等。多面体有着无数种类

型,但正多面体却只有五种。正多面体也称柏拉图体,柏拉图

约于公元前 400 年独立发现了它,后人为此予以命名。然而

正多面体的存在,人们早在毕达哥拉斯之前就已知道。埃及

人甚至把它们中的某些,用在蔚为壮观的建筑和其他物件中。

帕 斯 卡 三 角 形

帕斯卡(Blaise Pascal,1623—1662)是法国著名的数学

家。要不是由于宗教信仰,瘦弱的体质,以及无意单单为数学

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课题而耗尽全部精力,他本来可以成为一名伟大的数学家。

帕斯卡的父亲担心他的孩子也像他自己那样嗜好数学,而希

望帕斯卡能在更宽阔的教育背景下发展,所以起初劝导他不

要学习数学,为的是能够使他引发起其他方面的兴趣。不料

帕斯卡在 12 岁小小年纪,便显露出几何方面的天赋,从而使

他的数学志向在此后深受鼓舞。他才华横溢,16 岁时便写下

了一篇关于圆锥曲线的论文,这使当时的数学家们倍感惊奇。

在文章中帕斯卡陈述了后来为人所共知的帕斯卡定理:一条

圆锥曲线的内接六边形的三组对边的交点共线。18 岁时,帕

斯卡发明了有史以来的第一台计算机。但就在这个时候,他

遭受到病魔的侵扰。为此,他向上帝许愿,将停止自己的数学

工作。此后三年,他写下了论述帕斯卡三角形及其性质的著

作。公元 1654 年 11 月 23 日夜,帕斯卡经历了一场宗教仪

式。在仪式上他被要求献身于神学,并放弃数学和科学。此

后,除一个短暂的时期外(1658—1659),帕斯卡不再从事数学

研究。

台 球 桌 的 数 学

谁能相信,数学知识竟有助于人们玩台球游戏 ?

给出一张长宽为整数比的台球桌,例如这个比为 7:5。

一个球从一个角落以 45°角击出,在桌子边沿回弹若干次后,

最终必将落入角落的一个球囊。事实上,回弹的次数跟台球

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桌长与宽的最简整数比 m∶n 联系在一起。到达一个角落前

的回弹次数,可由以下公式给出:

(m + n - 2)

上述台球桌回弹的总数为 10。

7 + 5 - 2 = 10(次回弹)

注意在确定球的通路中———等腰直角三角形的结构。

数 学 与 折 纸

我们中的大多数人都有过折纸的经历,只是折叠后便收

了起来。只有少数人折纸,是为了研究其间所揭示的数学思

想。折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动。连 L. 卡洛尔

也是一位折纸的热心者。虽然折叠纸张超越了许多文化,但

日本人却把它作为一种交谊的途径,并通过普及和发展,使之

成为一门称之为“折纸”的艺术。

纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候,很自然地

会出现许多几何的概念。诸如:正方形、矩形、直角三角形、全

等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯

定理及其他一些几何和代数概念。

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斐 波 那 契 的 秘 诀

在斐波那契数列中,每一项都由前两项的和产生。任何

按上述方法产生的数列,我们称之为类斐波那契数列。

任选两个数,并产生一个类斐波那契数列,使它以你所选

的两个数为起始。在你的数列中,头十个数的和,将自动地与

第七项的 11 倍相等。你能对任何两个起始数证明上述结

论吗 ?

数 学 符 号 的 演 化

从早期巴比伦泥板上的楔形文字,可以发现,那时人们把

空位充当零。数学家们设计出各种表达概念和运算的符号,

其明确的目的是为了节约时间、空间和气力。

在 15 世纪,人们最先使用的加和减符号分别是 p 和 m。

这时德国商人用“ +”和“ -”的记号,表示重量的增加和差缺。

很快地,这“ +”、“ - ”记号便为数学家们所采用。公元 1481

年之后,这些符号开始广泛出现在人们的手稿上。

乘的符号“×”要归因于 W. 奥托( William Ought red,

1574—1660)。但遇到了一些数学家的反对。后者认为,这个

记号会跟字母 x 产生混淆。经常会有这样的情况,对于同一

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个概念,由于数学家的不同,而出现了许多不同的符号。例

如,在 16 世纪, F. 韦达(Fran - coisVieta,1540—1603)先是

用一个词,而后又用符号“～”表示相等。笛卡儿则倾向于用

“∝”这一符号。但雷科德(Robert Recorde)的符号“ = ”,则

最终被人们普遍采用。雷科德表示,他选择两条等长的平行

线作为等号,是因为它们再相等不过了 !

虽然用字母代替未知量,早年古希腊的数学家欧几里得

和亚里士多德就曾使用过,但一直没有形成一种共有的习惯。

在 16 世纪,像 radix(拉丁语“根”), res(拉丁语“东西”), cosa

(意大利语“东西”),coss(德语“东西”)这类的词,都曾被用于

作未知数。在 1584—1589 年间,律师韦达出任布列塔尼议会

议员。此间他额外地从事了许多数学研究。他发展了用字母

表示正的已知或未知量的见解。笛卡儿修订了他的想法,并

建议用字母表开头的几个字母作为已知量,而最后的几个字

母作为未知量。最后,在 1657 年, J. 伍德则把字母用于正数

和负数两者。

其他符号的演化是这样的:括号用于 1544 年;中括号[]

和大括号{}用于 1593 年。同样地,实现这种几个世纪的演化

而能为人们所普遍接受,也是极为艰难的 !

卡 洛 尔 ——— 数 学 家

道奇森(Charles LutwidgeDodg son,1832—1898)是一位

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英国数学家和逻辑学家,但他的笔名 L. 卡洛尔,以及作为

《阿丽丝漫游奇境记》和《阿丽丝穿越镜子》等书的作者,则更

加知名。此外,他还出版了许多涉及多种数学领域的书籍。

他的书《枕边问题》中的 72 道题,几乎全是在他夜里睡醒后写

下并解出的,其内容论及算术、代数、几何、三角、解析几何、微

积分和抽象的概率。

《一个迷惘的故事》最初是作为一本月刊杂志的文章刊印

的,而后编辑成令人喜爱的数学谜题故事,共含十章。据说当

初维多利亚女王十分看重卡洛尔的有关阿丽丝的书,并要他

将所写的每一本书派人送给她。可想而知,当女王收到一大

堆数学的书时是何等地惊讶 !

《枕边问题》的第 8 题

“一些人坐成一圈,于是每个人便有两个相邻的人;而每

人身上有一定数目的先令。第一个人比第二个人多一先令,

第二个人又比第三个人多一先令,如此等等。现第一个人给

第二个人一先令,第二个人给第三个人两先令,如此等等,总

之每个人给出的先令数都比他收到的先令数多一,而且尽可

能地这样做下去。最后,有两个相邻的人,其中一人拥有的先

令数是另一人先令数的 4 倍。试问,总共有多少个人 ? 开头

钱最少的那个人身上有多少先令 ?”

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海 伦 定 理

许多人学习如何计算一个三角形面积时,用的是它的高

及与之相对的底的长度。然而,如果没有海伦定理,只知道三

角形三条边的长度而要求它的面积,就需要三角学的知识。

这里,a,b 和 c 是三角形三边的长度,而 s 是三角形三边

长度和的一半。海伦公式的出现已知要早于阿基米德,后者

或许证明了它,不过目前所知的最早的书面记录出自海伦写

的《测量》一书。将海伦描述为一位非正统数学家的典型是最

为合适的。他对数学的实用性,比对数学作为科学与艺术的

理论与学说更为注重。正因为如此,他同样由于诸如原始类

型蒸汽机的发明,各种各样的玩具,抽水救火机,一种塔门一

开便立即点燃祭坛圣火的装置,一种风琴,以及许多基于流体

性质和简单机械定律的机械设计而被后人记住。

哥 德 式 建 筑 一 瞥

哥德式设计方案显示了几何和对称在米兰的圆顶式建筑

中的应用。该方案发表于公元 1521 年,由米兰圆顶建筑大师

C. 卡沙里洛设计。纳皮尔骨算筹带有复杂计算的工作变得

越来越乏味,特别是科学家们进行的天文计算,海员们在实际

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航海中所要解决的定位问题,以及商人们在让利时的考虑等

等。然而,在 17 世纪,一位著名的苏格兰数学家 J. 纳皮尔

(John Napier,1550—1617),以他发明的对数引发了一场计

算上的革命。纳皮尔用对数和表来计算的方法,使得诸如乘、

除、乘方、开方这类困难的计算,变得简单化起来。

虽然对数和指数函数的理论是数学的精髓部分,然而一

旦现代电子计算器和计算机介入生活,对数表和它的使用就

像过时的法律那样被废弃了。但对数表的发展及其快捷的计

算法,曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家、天文学家和

科学家们所广泛应用。

应用对数,纳皮尔还发明了一种算筹,称为纳皮尔骨算

筹,它可以帮助商人们算账。商人们带一套象牙或木制的算

筹,用来进行乘、除及求平方根和立方根等运算。每根算筹都

是它顶部数字的乘法表。

艺 术 与 投 影 几 何

多少世纪以来,数学总是有意识或无意识地影响着艺术

和艺术家。投影几何;黄金分割;比例;比;视觉幻影;对称;几

何形状;图案和花样;极限和无限;以及计算机科学等等,这些

都是数学范围的内容,然而它们却影响着艺术的众多方面乃

至于整个时代———原始的、古典的、文艺复兴时期的、近代的、

流行的或艺术装饰的。

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一位油画家要在一张画布上画出一幅立体的场景,他必

须确定当眼光从不同的距离和位置观察时,物体会产生怎样

的改变。这便是文艺复兴时期艺术活动的主要部分和投影几

何发展的领域。投影几何是这样一种数学领地,它论及图形

及其投影的空间关系和性质———因此它包含了透视法的问

题。为了创作他们的现实主义的立体油画,文艺复兴时期的

艺术家们利用了新建立的投影几何概念———投影点、平行会

聚线、消失点,等等。

投影几何是最早的一门非欧几何。艺术家们希望描实,

他们推断,假如人们透过窗户去观察一个景观,并且眼睛保持

在一个焦点上,这时视点集中,外面的景观似乎是投影到窗户

上而被看到,这样窗户便可能充当画布那样的幕。各种各样

的图案赋予了艺术家们创造的灵感,他们把这种现实从窗户

转移到画布上来。

无 穷 与 圆

每个圆都有一个固定的周长———一个有限量的长度。一

种获得圆周长公式的方法,就是利用无穷的概念。研究圆内

接正多边形(所有的边具有相同的尺寸,所有的角具有相同的

度数)的周长序列。通过计算我们发现,随着多边形边数的增

加,它的周长也就越来越接近圆的周长。事实上,当边数趋于

无限时这种周长的极限便是圆的周长。当一个多边形的边数

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增大时,它的边更加贴近于圆,而多边形本身也更加形似

于圆。

令人惊奇的跑道,取两个大小任意的同心圆组成一个圆

环形的跑道。你能说出为什么该跑道的面积会相等于这样一

个圆的面积,这个圆的直径既是大圆的弦而又切于小圆 ?

弓 形

弓形一词源于拉丁词 lunar(月形)。弓形是由两个不同

的圆弧所围成的平面区域。巧斯岛的希波克拉底(公元前

460—公元前 380 年)———读者不要将他与可斯岛的那位同名

的医生,希波克拉底誓约的作者相混淆———对弓形进行了广

泛的研究。他大概相信这种图形可以用来解决化圆为方

问题。

他发现并证明了:

在内接于一个半圆的三角形的边上,作两个弓形,则两弓

形的面积和等于三角形的面积。

自 然 界 中 的 六 角 形

自然界创造出了许多像正方形和圆这样美丽的模型。正

六边形则是在自然界中发现的又一种几何形体。六边形具有

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六条边。如果它所有的边都相等,所有的角大小也一样,那么

这样的六边形便是正六边形。

数学家们表明,只有正六边形、正方形和等边三角形三种

正多边形能够镶嵌平面,使得没有剩余的空隙。

在上述三者中,当它们面积相等时正六边形有最小的周

长。这意味着,在建造蜂巢中为了获得同样的空间,蜜蜂把小

窝建成正六边形所用的蜂蜡较少,所做的工作也较少。六边

形的形状不仅可以在蜂巢中找到,而且可以在雪花、分子、晶

体、海洋生物等其他形式中找到。

如果你在一阵飞雪中漫步,那么你会感到自己位于某些

奇异的几何形状之中。雪花是自然界中六角形对称的最为令

人兴奋的一种例子。雪花在形成的过程中多少存在一些瑕

疵。一朵雪花则是由无数这样的六角形花样结合而成,这就

解释了为什么世界上没有两朵雪花是相像的。

英语中有个表示大数的新词叫 googol,一个 googol 是 1

后面跟 100 个零,即 10100 。 googol 这个字是数学科普作家

E. 卡斯纳博士的九岁的外甥造的。他的外甥还提出了另一

个比 googol 更大的数,叫做 googolplex。他把这个数描述为

1 后面跟许多零,零的个数则是尽你可能写到手累为止。

googolplex 的数学定义是 1 后面跟有 googol 个零。

使用大数:

1)如果整个宇宙充满了电子和质子而没有留下多余的空

间,那么这些粒子的总数为 101 10 。这是一个大于 googol 但远

小于 googolplex 的数。

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2)科尼岛(位于美国纽约州———译者注)的沙粒数大约

为 102 0 。

3) 从公元 1456 年古腾堡印刷第一部《圣经》开始,到

1940 年为止,全世界所有印刷的词量约为 1016。

分 形 ——— 真 实 还 是 想 象 ?

多少世纪以来,人们总是用欧几里得几何的对象和概念

(诸如点、线、平面、空间、正方形、圆、⋯⋯)来描述我们这个生

存的世界。而非欧几何的发现,引进了描画宇宙现象的新的

对象。分形就是这样一种对象。分形的思想初见于公元

1875 至 1925 年数学家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物

的标签,人们深信它没有丝毫的科学价值。它就是今天人们

众所周知的分形。分形一词是曼德勃罗于 1975 年创造的,曼

德勃罗在该领域有着广泛的发现。

雪花曲线是一个分形的例子,它是在现有等边三角形的

边上加上等边三角形而形成的 .

从严格意义上讲,分形是这样一种对象,将其细微部分放

大后,其结构看起来仍与原先的一样。这与圆形成了鲜明的

对比,把圆的一部分放大后便变得比较平直。分形可分为两

类:一是几何分形,它不断地重复同一种花样图案;另一种是

随机分形。计算机和计算机绘图能够把这些“畸形怪物”可靠

地带回到生活中,在计算机的屏幕上,几乎能够立即产生分

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形,并显示出它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观。

可能有人感到,只有欧几里得几何的正规形状才能应用

在科学中,然而上述新的形式却从不同的透视角度向我们提

供了认识自然的观点。分形是一个新的数学领域———有时也

把它归为自然界的几何,因为这些奇异而混饨的形状,不仅描

绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自然现象,而且在

天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。

皮亚诺曲线是又一个分形的例子,还是一条充满空间的

曲线。在一个空间充满曲线是指在给定范围内的每一个点都

被曲线经过,随曲线的描绘整个空间逐渐变黑。

一个电脉冲在十亿分之一秒里行进了 8 英寸。光在十亿

分之一秒里掠过了一英尺。今天的计算机每秒钟能运算百

万次。

让我们感受一下一台大型计算机能够以多快的速度进行

工作,假定我们考虑的时间为半秒。在半秒时间内计算机能

够执行以下任务:

1)将 200 张支票登入 300 个不同的银行帐目中;

2)检查 100 个病人的心电图;

3)对 3000 张试卷 150000 个答案计算得分,并评价每个

问题的效度;

4)为一个公司的 1000 名雇员计算工资;

5)还有多余的时间可做其他工作。

这是一个令人吃惊的想法:想象一台计算机如果由光驱

动,那不是比由电驱动更快吗 ? 在想象的光控计算机中,需要

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采用什么样的数制系统 ? 是否要基于光谱中颜色的数目 ? 或

许光的其他性质 ?

幻 方

多少世纪来人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣。从古代起

幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城

市,人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早记录,是

约于公元前 2200 年在中国出现的“洛书”。传说这个幻方最

初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。

在西方世界最早提到幻方的是公元 130 年伊士麦(现称

士麦那,土耳其西部的一个港口城市)的勒恩的著作。公元 9

世纪,幻方在占星学领域逐渐蔓延,阿拉伯占星家用它们来占

星和算命。最后,大约公元 1300 年,通过希腊数学家莫斯切

普罗的著作,幻方及其性质被传播到西半球(特别在文艺复兴

时期)。

幻方的一些性质:

幻方的阶数是由幻方的行或列的数目来规定的。

幻方的“幻”在于它具有令人迷惑的性质。其中一些性质

如下:

1)每行、每列及对角线上数的和为同一个数,这个数即变

幻常数,能够通过以下方法之一获得:

1,2,3,⋯⋯n2 构成的。

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2)取任意大小的幻方并从左上角开始,沿着每一行依次

写下连续的数。则每条对角线上数的和即为变幻常数。

3)任意两个与中心等距离的数(在同一行,同一列,或同

一条对角线)互补。一个幻方的数互补是指它们的和是同样

的,而且都等于该幻方最大数与最小数的和。

把已有的幻方变换为另一个幻方的方法:

1)把一个幻方的每一个数同时加上或乘以任一确定的

数,所得的依然是一个幻方。

2)如果把与中心等距离的两行及两列交换,所得结果还

是幻方。

3)在一个偶数阶幻方里交换两个象限,所得结果仍为

幻方。

4)在一个奇数阶的幻方里交换适当的象限和行,所得结

果仍为幻方。

关于幻方的论述比其他娱乐数学的课题都要多。B. 富

兰克林(BenjaminFranklin)花了很多时间用在设计幻方上。

构造 5 阶幻方具有相当的挑战性(即用头 25 个自然数组成 5

×5 方阵,使得每行、每列和每条对角线上数的和是同样的)。

行数和列数为奇数的幻方称奇数阶幻方;如果行数和列数是

偶数则为偶数阶幻方。偶数阶幻方的一般性构造方法人们仍

在探求。但另一方面,却已有不少的方法可以构造任意大小

的奇数阶幻方。其中劳伯尔(LaLoubere)发明的楼梯法,在

幻方热心者中最为知名。

楼梯法:

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1)从位于顶行中央的小方格的数字 1 开始。

2)下一个数放在位于右上对角的小方格里,除非该格已

被占据。如果下一个数落在幻方所在框架外头想象的小方格

里,那就必须在你的幻方中找出安放它的位置,这个位置在你

的幻方中与想象的方格处于对等的部位。

3)如果你的幻方中,原拟放下一个数(右上角)的小格已

被占据,则可以直接将此数写在原数下面的小格内。

4)继续 2)和 3)的步骤,直到幻方剩下的数都各得其所。

现在我们尝试用楼梯法来构造 5×5 幻方(用头 25 个自

然数)。检验一下方法中那些使得幻方改变的环节,看看它们

是怎样运作的。楼梯法(对于 3×3 幻方)用你所构造的任何

一个幻方,将它的每一个数都乘一个你所选择的常数,所得的

结果仍是幻方吗 ?

对于偶数阶幻方而言,有许多方法是为特殊的偶数而设

计的。

例如:对角线方法只用于 4×4 幻方。

作法:

由自然方阵(一个按行依次写下连续数的方阵)开始。如

果某数位于对角线上,则必须与它的互补数交换位置。

用一个 4×4 的幻方,通过适当的行或者列的交换,使得

结果仍是幻方。如果适当交换象限,结果也还会是幻方。

如果你能设计出构造其他偶数阶幻方的方法,那么或许

你也能发现对所有偶数阶幻方都适用的一般性方法。同样你

也有望找到或设计出构造任意奇数阶幻方的其他方法。

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一 个 特 殊 的“ 幻 ”方

斐波那契数列为 1,1,2,3,5,8,13, .,其中的每一项都是

前两项的和(从第三项起)。当用斐波那契数 3,5,8,13,21,

34,55,89,144 依次替换三阶幻方中的数 1,2,3,4,5,6,7,8,9

时,会形成一个新的方阵。这一方阵虽然不具有幻方通常的

性质,但它 3 个行的乘积的和(9078 + 9240 + 9360 = 27678)等

于 3 个列的乘积的和(9256 + 9072 + 9350 = 27678)。

中 国 三 角 形

数学具有普遍性。历史表明数学的发现和应用并不局限

于单一的地区,帕斯卡三角形的中国图式就是一个例子。虽

然帕斯卡对他的数的三角形作过一些有意义的发现,但同样

的三角形却早在帕斯卡诞生前 302 年(约公元 1303 年)就已

出现在中国刊印的书本上 !

阿 基 米 德 的 死

西那库斯的阿基米德(Archimedes,公元前 287—公元前

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212 年)是亚历山大大帝之后三百年间在希腊居主导地位的

数学家。

在公元前 214 至公元前 212 年的第二次罗马与迦太基的

战争期间,西那库斯为罗马军队所包围。这时阿基米德发明

了许多机巧的防卫武器(如石弩、将罗马战舰提起并撞碎的拖

钩、使战舰起火的抛物形镜,等等),有效地抵挡了罗马军队近

三年。虽然西那库斯终因弹尽粮绝而落入罗马人之手,但罗

马统帅马塞拉斯下令不许伤害阿基米德。然而,一个罗马士

兵进入了阿基米德的家,发现他还在为一道数学问题而苦苦

思索,完全无视于他的出现。士兵命令他停止工作,但阿基米

德没有予以理会,盛怒之下,士兵用剑刺进了阿基米德的

胸膛。

一 个 非 欧 世 界

19 世纪是一个在政治上、艺术上和科学上有着革命思想

的时代,数学也一样,这时非欧几何得到了发展。非欧几何的

发现标志着现代数学的起始,如同印象派油画标志着现代艺

术的起始一样。

在此期间,双曲几何(非欧几何之一)由俄国数学家罗巴

切夫斯基(NicolaiLobachevs ky, 1793—1856)和匈牙利数学

家 J. 波约伊(JohannBolyai,1802—1860)分别独立地发现。

可以发现,双曲几何也像其他非欧几何一样,描述着与欧

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氏几何不相协调的性质。例如,在双曲几何中线未必暗指是

直的,而平行线也不保持等距离(它们不相交而保持着渐近的

关系)。人们在详细研究了非欧几何后发现,它确实能够对宇

宙现象给出更为精确的描述。从而,这些几何能够为描述不

同的世界而存在。

法国数学家庞加莱(Henri Poincaré,1854—1912)创造了

一个这样的世界。他想象宇宙被囿限于一个圆内(对于三维

模型则可形象化为一个球体),其中心温度为绝对零度。当人

们从中心出发旅行,周围温度上升,但这个宇宙中的物体和居

民并不晓得温度在改变。今设想每件东西的大小也随着移动

而改变,即每个物体和生命在接近中心时变大而在接近边界

时依比例缩小,而且他自身并不晓得,也不可能发觉自己的大

小变化。这意味着一个人的步伐当他向边界移动时,将变得

越来越小,从而将出现这样的情形,即只能逼近于边界而无法

到达于它。这种现象使得这个世界显示为无限,而此间两点

间最短的距离是一条弯曲的线,如果我们沿着这条弧状线从

A 到 B 移动,则所需的步伐最少。

在这个世界里三角形的边由弧线组成。

实际上庞加莱的宇宙能够描述我们生活着的世界。如果

我们考虑自身在宇宙中的位置,而且我们能够进行用光年来

度量的距离的旅行,那么也许我们能够发现自己身体尺寸的

改变。事实上根据爱因斯坦的相对论,当速度接近光速时尺

子的长度变短 !

庞加莱是一位具有创见性的思想家。在巴黎大学文理学

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院当教授期间(1881—1912 年),他所开设学科的多样性说明

了这一点。他的著作和思想覆盖了诸如电学、势论、水力学、

热力学、概率、天体力学、发散数列、渐近展开、积分不变量、轨

道的稳定性、天体的形成等等科目。他的著作可以说在一定

程度上激励了 20 世纪的数学思想。

尼 科 梅 德 斯 蚌 线

在探索某些数学问题的解答时常常会引发新的概念和发

现。古代著名的三大作图问题———三等分角问题(即把给定

角分为相等的三部分),倍立方问题(即作一个立方体使它的

体积两倍于给定立方体的体积)及化圆为方问题(即作一个正

方形使它的面积等于给定圆的面积)———刺激了数学的思考,

结果许多想法在解决这些问题的努力中被发现。虽然最终表

明这古代三大作图问题不可能只用圆规和直尺作出,但却找

到了解决它们的其他办法,蚌线就是其中之一。蚌线是一种

历史悠久的曲线,它是由尼科梅德斯(约公元前 200 年)首先

发现并用于倍立方问题和三等分角问题的。

构造一条蚌线要从一条直线 L 和一点 P 开始。过 P 画

射线与 L 相交。在每条这样的射线上,以 L 为界向外截出一

段固定的长度 a 并取点。那么这些点轨迹便形成蚌线。

蚌线的弯曲程度依赖于 a 与 b 之间的关系。即 a = b,a

< b 或 a > b。蚌线的极坐标方程是:

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r = a + b·secθ。

三等分已知角∠P 可采取如下办法:取∠P 为直角三角

形△Q PR 的一个锐角。以 P 为极点,QR 为固定线 L 画一条

蚌线,使得它由 L 向外截出的固定长度等于斜边长|PR|的两

倍 2h。在 R 点作 RS⊥QR 并交蚌线于 S 点。现∠QP T 即为

∠Q PR 的三分之一(T 为 PS 与 QR 的交点)。

证明:

令 M 为 T S 的中点,则|RM| = h,这是因为△SR T 为直

角三角形,其斜边中点到各顶点等距离。

现因|MS| = |MR| = h,所以∠1 = ∠2 = k°。而∠3 是

△SMR 的一个外角,从而∠3 = 2k°。又因|MR| = |PR| = h,

又有∠3 = ∠4 = 2k°。

∵P Q 与 RS 共面,且同垂直于 Q R,∴PQ∥RS。

∵∠2 = ∠5 = k°。

由此,∠QPR 被三等分。

三 叶 形 结

系一个结对大多数人来说只是一种常规的过程,从我们

能够自由地系结自己的鞋带开始便是这样。当然,系结也是

一种艺术,特别当你看到一名水手为小船装上索具的时候,尤

其会有这种感觉。然而结的题材也是拓扑学领域中的一种数

学观念。结本身也形成了一个相关的新的领地。其中最重要

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的思想是证明了下述深远的结论,即一个结不可能在多于三

维的情况下存在。

作 一 个 三 叶 形 结

下面说明了三叶形结的形成:拿一张长纸条将它扭转 3

个半圈,并用胶带将其端头连接在一起,再用剪刀沿着纸带的

中线剪开,结果你将得到一条有着三叶形结的带。

富 兰 克 林 的 幻 方

变化多端是富兰克林幻方的特色,除具有一般幻方的通

常性质外,它还另有许多奇异的特性。例如,它的每一行总和

为 260,而每半行的和为 130;向上的阴影线上的四个数与对

称的向下的阴影线上的四个数(可接长)的总和为 260;任何

四个与中心等距离且位于各象限对等位置的四个数的和为

130;各象限内四个角与四个中心数的总和为 260;任何构成

小的 2×2 方块的四个数的和为 130;等等。

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无 理 数 与 毕 达 哥 拉 斯 定 理

无理数是这样的数,它不能表示为一个有限的或循环的

小数。例如当人们力图把一个无理数写为小数时,得到的将

是一个无限不循环的小数。

例如几千年来,数学家们设计出许多方法以便获得无理

数更为精确的近似值。用高功率计算机和无穷数列,可以将

这些近似小数求到任何精密的程度。当然,在设计这些方法

时要考虑到所耗费的时间及效果。令人惊奇的是,对于许多

无理数,用毕达哥拉斯定理可以将其准确地求出。古希腊数

学家不仅证明了华达哥拉斯定理,而且还用它作出了一些长

度为无理数(与单位长相比)的精确的线段。

使它以上述数的长度为斜边,并如下图所示用圆规画弧

将其定位于数轴上。

素 数

一个大于 1 的自然数,如果只有 1 和它自身作为因子,这

样的数就是素数。

1978 年 10 月 30 日下午 9 时,上述的数被发现,它成为

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那时最大的已知素数。这个素数可写为1

221701,它是 L. 尼

克尔和 C. 诺尔(两人均系中学生)在计算机上运作了 1800

小时后发现的。接着 C. 诺尔又独自发现了一个更大的素数

1223209

。1979 年 5 月利物浦实验室的 H. 尼尔森发现了一

个比诺尔大得多的素数1

244497。

虽然今天的计算机已经有了探寻素数的程序,但古希腊

数学家埃拉托斯散(Eratosthenes,公元前 275—公元前 194)

却早已发明了求比某给定数小的素数的筛法技巧。

黄 金 矩 形

黄金矩形是一种非常美丽和令人兴奋的数学对象,其拓

展远远超出了数学的范围,可见于艺术、建筑、自然界,甚至于

广告。它的普及性并非偶然,心理学测试表明,在矩形中黄金

矩形最为令人赏心悦目。

公元前 5 世纪的古希腊建筑师已经晓得这种协调性的影

响。巴特农神殿就是应用黄金矩形的一个早期建筑的例子。

那时的古希腊人已经具有黄金均值及如何作它的知识,还知

道如何近似于它以及如何用它来构造黄金矩形。黄金均值φ

(phi)的读音,与古希腊著名雕塑家菲狄亚斯(Phidias)名字的

头三个字母相同想来并非只是巧合。相信菲狄亚斯在他的作

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品中用了黄金均值和黄金矩形。既然毕达哥拉斯所处的那个

社会能够选择五角星作为等级的一种记号,那么用φ表示黄

金均值也就很难说与菲狄亚斯没有一点关系。除了影响建筑

之外,黄金矩形还出现在艺术中。在公元 1509 年 L. 帕西欧

里的《神奇的比例》一书中,达·芬奇为人体结构中的黄金均

值作了图解。黄金均值用在艺术上是以生动的对称技巧为标

志。A. 丢勒、G. 西雷特、P. 曼诸利安、达·芬奇、S. 达利、

G. 贝娄等人,都在他们的一些作品中用黄金矩形去创造富有

生气的对称。

从几何意义上讲,在给定线段 AC 上黄金均值可以这样

构成,在 AC 上取一点 B,使得则|AB|为黄金均值,也以黄金

分割、黄金比以及黄金比例等著称。

一条线段一旦分割出黄金均值,那么黄金矩形也就很容

易通过以下步骤作出:

1)给定任一线段 AC,用 B 点将线段 AC 分割出一个黄

金均值段,作正方形 ABED。

2)作 CF⊥AC。

3)延长射线 DE,使得线 DE 与 CF 交于 F 点。

则 ADN 是一个黄金矩形。

黄金矩形也可以不用已有的黄金均值段作出:

1)作任意正方形 ABCD。

2)用线段 MN 将正方形平分为两半。

3)用圆规,以 N 为中心,以|CN|为半径作弧。

4)延长射线 AB 直至与以上的弧相交于 E 点。

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5)延长射线 DC。

6)作线段 E F⊥AE,并令射线 DC 与 EF 交于 F 点。

则 ADF E 为一黄金矩形。

除了出现在艺术、建筑和自然界外,今天黄金矩形还在广

告和商业等方面派上用场。许多包装采用黄金矩形的形状,

能够更加迎合公众的审美观点。例如标准的信用卡就近似于

一个黄金矩形。

黄金矩形还跟许多其他的数学观念相联系。诸如无穷数

列、代数、圆内接正十边形、柏拉图体、等角螺线、极限、黄金三

角形和五角星形等等。

在 小 的 地 方 寻 找 无 穷

你能想象什么是无穷吗 ?

无穷是一个永远没有终结的数量。无穷的概念是难于掌

握的。

我们很容易掌握数 7,因为它能描述 7 个苹果;我们也容

易掌握十亿(写为 1000000000),因为它能描述一罐沙粒的

数。但无穷的数量是没有穷尽的。有一种非常精确的方法可

以使人感觉到无穷:取一面镜子放在另一个大一点镜子的前

面,那么会发生什么事呢 ? 你能看到一面镜子里有一面镜子,

里面又有一面镜子,又有一面镜子,⋯⋯永无终结。

有人可能会想,一个无穷的数量必然会占据很大的空间。

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这也未必,比如在一个小小的线段 AB 上,A 到 B 之间就有无

穷数量的点。

我们应用这样的概念,即任意两点之间必能找到另一个

点。于是,如果点 A 和点 B 位于一条线段上,那么它们之间

必能找到点 C。而在 A 和 C 之间又能找到另外的点,同样在

C 和 B 之间也能找到另外的点。这种在任意两点之间找另外

点的过程可以永远继续下去,这样在线段 AB 上便有无穷数

量的点。

另一种描述无穷数量的方法是用类似于“跳蚤的故事”。

一只叫“一半”的跳蚤想跳过房间。他的朋友告诉他,他

不可能到达另外一边,如果他每次跳时都留下距离的的话,

“一半”说他对到达房间的另一边并不发愁。第一次跳“一半”

便跳了全程的 1/ 2,剩下的也只有的路。接着第二次跳,“一

半”又跳过剩下路程的,如此一直继续下去。尽管他已非常接

近房间的另一边,但他仍须遵循以下的规律:即每一次跳跃只

能跳留下距离的。“一半”终于无法跳完那总是剩下的一半

路,于是他只能永不休止地跳下去。

然而,虽说无穷是一个永无终结的数量,它不可能等同于

一个数,但我们发现,它既适于一个非常小的空间,也适于一

个非常大的空间。

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五 种 柏 拉 图 体

柏拉图体是凸多面体,其边界由全等的正多边形构成。

这样的立体只存在五个。

体这个词意味着任何三维的对象,诸如一块岩石,一颗

豆,一座金字塔,一只盒子,一个立方体,等等。有一组非常特

殊的立体称为正多面体,它是由古希腊哲学家柏拉图发现的。

一个多面体称为正规的,如果它的每一个面具有同样的大小

和形状。于是立方体是一个正规多面体,因为它的所有的面

都是同样大小的正方形,而右边的盒子就不是正规多面体,因

为它的面不全是同样大小的矩形。柏拉图证明了只有五种可

能的正规凸多面体。它们是四面体,立方体或六面体,八面

体,十二面体和二十面体。

开 普 勒 — 波 因 索 特 体

虽然柏拉图发现了五种归属于他的柏拉图体(四面体,六

面体或立方体,八面体,十二面体和二十面体),而阿基米德也

有阿基米德体归属于他,但以下四种非凸面体却是古人所不

知道的。开普勒于 17 世纪初发现了其中的两种,而后波因索

特(LouisPoinsot,1777—1859)重新发现了它,并于公元 1809

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年又发现了另外两种。这些形状的立体,今天常用来作灯罩

和灯的装饰。

芝 诺 悸 论 ——— 阿 基 里 斯 与 乌 龟

悖论是有趣的,而且是数学的一个非常重要的部分。它

突出地表明,在陈述或证明某种想法时小心地使它不出现漏

洞是多么地重要。在数学中,我们常常试图使数学思想覆盖

尽可能多的方面,例如我们试图概括一个概念以使它能够用

于更多的对象。概括无疑是重要的,但它也可能导致危险。

我们务必谨慎从事。一些悖论就说明了这种危险的存在。

公元前 5 世纪,芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知

识,引发出以下著名的悖论:他提出让阿基里斯和乌龟之间举

行一场赛跑,并让乌龟在阿基里斯前头 1000 米开始。假定阿

基里斯能够跑得比乌龟快 10 倍。当比赛开始的时候,阿基里

斯跑了 1000 米,此时乌龟仍然前于他 100 米。当阿基里斯跑

了下一个 100 米时,乌龟依然前于他 10 米。

芝诺辩解说,阿基里斯能够继续逼近乌龟,但他决不可能

追上它。那么芝诺的理由正确吗 ? 如果阿基里斯追上了乌

龟,那么他是在赛程的哪一点追上呢 ?

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欧 布 利 德 悖 论 与 芝 诺 悖 论

希腊哲学家欧布利德断言,一个人绝不可能有一堆沙。

他的见解是:一粒沙不能构成一堆沙,如果在一粒沙上加上一

粒沙它们也不能构成一堆。如果你没有一堆沙,那么即使给

你加上一粒沙,也同样没有一堆,从而你永远不会有一堆沙。

依着同样的思路,芝诺把眼光瞄在线段上。他断言,如果

点是没有大小的,那么加上另一个点依然不会有大小。这样

人们就绝不可能得到一个有大小的物体,因为这些物体是由

点结合而成的。接着他进一步推断说,如果一个点有大小,那

么一条线段就必然有无限的长度,因为它是由无穷数量的点

所构成。

镶 嵌

简单地讲,平面镶嵌就是用同样形状的平板砖,无缝隙而

又不重叠地铺满整个平面。给定平板砖的形状,在实际铺设

之前我们能够通过数学的方法预先确定它们是否能够形成镶

嵌。演算前要先知道一个数学事实,即圆周角为 360°。

让我们研究一下用正五边形来覆盖地板,这只要用一些

器具和几何知识就可以了。一个正五边形有五条相等的边和

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五个相等的角。为了计算正五边形角的大小,我们把正五边

形分为五个全等三角形。由于对任意的三角形而言,其内角

和为 180°。由此我们可以确定正五边形的一个内角为 108°。

这样一来,当我们试图将同样的正五边形边对边放在一起时,

我们发现其间必有缝隙,因为正五边形只能铺出 108°+ 108°

+ 108°= 324°,而无法铺满一圈或 360°的周角。

现在让我们尝试用等边三角形来镶嵌地板。一个等边三

角形的内角为 60°。我们看到六个相等的等边三角形摆在一

起,是能够铺满一圈的。那么用正方形、正六边形、正八边形、

或者它们的结合体来镶嵌又怎么样呢 ? 下面我们给出一些平

面镶嵌的实例。

类似地,空间也能进行镶嵌,只是平板砖要用三维立体来

替代。下图是切掉角的正八面体。它们是仅有的能够填满空

间的阿基 米德多面体。享有盛誉 的荷 兰艺术 家埃舍 尔

(M. C.E scher)在他的作品中运用了许多数学概念,诸如莫比

乌斯带、短程线、投影几何、视幻觉、三叶形、镶嵌等等。在他

著名的作品中有不少采用他自己创造的动人的镶嵌,例如,

《变态》、《马术师》、《小而又小》、《正方形的界限》、《圆的界限》

等等。除艺术外,他对空间镶嵌的研究和应用,对建筑的内部

装饰以及商品包装等领域也怀有特殊的兴趣。

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丢 番 图 之 谜

丢番图常被人称为代数学之父。但人们除知道他生活于

公元 100 至 400 年间之外,对其生平知之甚少。然而,他死时

的年岁却是知道的。因为他的仰慕者之一在一则代数谜语中

描述了他的一生。

丢番图生命的六分之一是他的童年,再过了生命的十二

分之一他长出了胡须。又过了生命的七分之一丢番图结了

婚。五年后他得到了一个儿子。但儿子只活了他父亲所活年

岁的一半,而在他儿子死后四年丢番图也离开了人世。

试问,丢番图总共活了多少岁 ?

哥 尼 斯 堡 七 桥 问 题

拓扑学起源于公元 1736 年一个著名问题———哥尼斯堡

七桥问题———的解决。

哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市,它包含两个岛

屿及连接它们的七座桥。该河流经城区的这两个岛。岛与河

岸之间架有六座桥,另一座桥则连接着两个岛。星期天散步

已成为当地居民的一种习惯,但试图走过这样的七座桥,而且

每桥只走过一次却从来没有成功过。但直至引起瑞士数学家

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欧拉(LeonhardEuler,1707—1783)注意之前,没有人能够解

决这个问题。那时,欧拉正在圣彼得堡为俄国女皇凯瑟琳服

务。在解决该问题的过程中,欧拉创立了一个数学分支,即后

来人们所熟知的拓扑学。他在解哥尼斯堡七桥问题时,采用

了今天人们称之为网络的拓扑学知识。运用网络,欧拉证明

了要走过哥尼斯堡的七座桥且每桥只通过一次是不可能的。

这一问题及欧拉的解答,开创了拓扑学研究的先河。拓

扑学是一个相对较新的领域。19 世纪,数学家们才开始对它

以及其他的非欧几何开展研究。论述拓扑学的第一篇论文,

写于 1847 年。

网 络

一个网络基本上可以看成是一个问题的图样。哥尼斯堡

七桥问题的网络可以解释如下。

一个网络由顶点和弧线组成。一个可以遍历的网络是指

它可以准确一次地穿经所有的弧线,但顶点却可以通过任意

次数。哥尼斯堡七桥问题的网络顶点,比如有四条点,A,B,

C,D。注意每个顶点发出的弧线数———A 为 3,B 为 5,C 为

3,D 为 3。由于这些数全是奇数,这类顶点我们称之为奇顶

点或奇点。如果一个顶点发出的弧线数为偶数,我们则称之

为偶顶点或偶点。欧拉发现,对于一个可以遍历的网络,其

奇、偶点具有许多性质。特别地,欧拉注意到:一个奇顶点在

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这种遍历式的旅行中,要么是起点,要么是终点。由于一个遍

历的网络只能有一个起点和一个终点,因而这种网络的奇点

数不能多于两个。然而在哥尼斯堡七桥问题的网络中却有四

个奇点,因而它是不可能被遍历的。

阿 兹 特 克 历 法

最早和最重要的计算设计是日历———一种测度和记录时

间进程的系统。现实的自然界提供了一种有规律的季节顺

序,而这些季节则控制着作物的生长。

早期的人类试图揭示太阳日、太阳年以及月亮月之间的

相互关系。由于一个月亮月约有 29.5 天,而一个太阳年却有

365 天又 5 小时 48 分 46 秒,从而太阳年不可能是月亮月的

整数倍。在探求相互一致的日历中,这始终是一个主要的问

题。即使我们现在的日历也不是相一致的,因为每个不被

400 整除的世纪年(例如公元 1700 年,1800 年,1900 年)必须

失去它外加的闰日,虽然它依然还是一个闰年。

阿兹特克人有两种日历,第一种日历是宗教日历,这种日

历与月亮月和太阳年没有什么关系,但它对于决定宗教仪式

有着重要意义,而阿兹特克人还把这种日历中出生的日期作

为自己名字的一部分。这种日历含有 20 个记号和 13 个数,

并依此形成 260 天固定的循环。阿兹特克人的第二种日历一

年包含 365 天,且与农作相适应。天体的循环运行使阿兹特

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克人得以校正他们的日历,并准确地预测诸如日食、月食这类

事件。

公元 1790 年,阿兹特克人的“太阳石”或“石头日历”在整

修墨西哥城的一个大教堂时被发现。该教堂建于一个古代金

字塔的遗址上。该石呈圆盘状,直径 12 英尺,重 26 吨,它记

录了阿兹特克人宇宙观下的世界的历史。太阳神的浮雕位于

中心,四个太阳或宇宙开创时的四样东西(虎、水、风和火)围

绕在太阳神的四周,显示了阿兹特克人所认为的史前世界。

这里还出现了一些乐章的符号。另有二十个浮雕形成一个环

状的带,它们是:短鼻鳄鱼、风、房子、蜥蜴、蛇、死神、鹿、兔、

水、狗、猴、鹅、芦苇、虎、鹰、兀鹰、地震、石器、雨和花,分别表

示阿兹特克人宗教日中的二十天。

三 大 不 可 能 的 作 图 问 题

数学的美不在于它的答案,而在于它的方法。存在着这

样的问题,它的解答就是最终被判定为不可解。

不知什么缘故,“不可解”似乎像是一个令人失望的答案,

然而用以抵达这一结论的思维过程却是极具魅力的,而且在

这一进程中还能激发出新的思路。古代著名的三大作图问题

便是一个例子。三大作图问题是:

三等分角问题———把一个给定的角分为三个相等的角。

倍立方问题———作一个立方体使其具有给定立方体两倍

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的体积。

化圆为方问题———作一个正方形使其具有给定圆的

面积。

这些问题在两千多年的时间里,一直激励着数学的思维

和发现,直至 19 世纪,这三个作图问题才被最终证实为不可

能只用圆规和直尺作出。

上述结论可以这样推知:一根直尺可用于作直线,其方程

为线性的(一次方程),例如 y = 3x - 4 等等。

另一方面,一只圆规能作出圆和弧,其方程为一次的,例

如 x2 + y2 = 25 等等。而这些方程的联立不会产生高于二次

的方程。然而从代数上看,解上述三个作图问题所获得的方

程并非是一次或二次的,而是三次或者是带有超越数的,而这

样方程的解或数只用圆规和直尺是无法得到的。

三等分角问题:

像 135°或 90°这样的特殊角只用圆规和直尺是能够三等

分的。但对于任意给定的角,只用圆规和直尺要三等分则不

可能,因为用来解这个问题的方程显示为三次的形式:

a3- 3a - 2b = 0。

倍立方问题:

在试图将一个立方体体积加倍的努力中,曾有人尝试将

其长度加倍,然而这样实际上作出了一个八倍于原立方体体

积的立方体。

由于π是一个超越数,它不可能通过有限步骤的有理运

算和求方根的办法表示出来,从而只用圆规和直尺也不可能

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将一个圆化为等积的正方形。虽然我们看到以上三个作图问

题只用圆规和直尺是不可能作出的,然而人们却创造了不少

解决它们的精巧方法和设计。后者对于激发数学思想的发

展,同样起着重要的作用。尼科梅德斯蚌线、阿基米德螺线、

希庇亚斯割圆曲线、圆锥曲线、三次曲线、四次曲线以及一些

超越曲线,都发端于这古代三大作图问题的某些思考。

古 代 西 藏 的 幻 方

一个 3×3 的幻方,出现在古代西藏人印玺的中央。这是

数学思想没有国家和地区疆界的又一例证。幻方上的数是这

样的:

4 9 2

3 5 7

8 1 6

棋 盘 问 题

如果把一个棋盘对角的两个方格拿掉,你能用多米诺牌

覆盖这样的棋盘面吗 ?

假定每个多米诺牌的尺寸相当于棋盘上两个邻接着的小

方格的大小。多米诺牌必须平放,而且不能把一个摆在另一

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个上面。

帕 斯 卡 的 计 算 机

帕斯卡(Blaise Pascal,1623—1662)是法国著名的数学家

和科学家之一。他在诸如概率论、流体力学、水压机等理论数

学和科学发现方面多有建树。另外,他在 18 岁时还发明了计

算机。用这种机器可以对一长栏的数字实施加法运算。帕斯

卡的发明,有助于人们对现代计算机基本原理的了解。

牛 顿 与 微 积 分 学

牛顿(Isaac N ewton,1642—1727)是微积分学和引力理

论的创始人之一。尽管牛顿是一位数学天才,但他对神学的

研究却情有独钟。公元 1665 年,他所就职的剑桥大学由于当

时鼠疫横行而关闭。这期间他留在家中,发展了他的微积分

形式,使引力理论公式化,同时还钻研了其他物理学问题。遗

憾的是,他的前述工作直至 39 岁时才予以公开发表。

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日 本 的 微 积 分 学

记住下面一点是很重要的:在世界各区域的不同文化中,

数学的发展往往具有同时性。例如关孝和是一位 17 世纪的

日本数学家,他因对日本的微积分发展而受到称誉。下面是

公元 1670 年西吉可瓦在做学生时所画的图,图中用一系列矩

形面积的和来测定圆的面积。

晶 体 的 对 称

自然现象中的对称和图案是多姿多彩的。公元 1912 年,

物理学家 M. V. 劳厄用 X 射线穿过一个球形的晶体并射在

一张照片底版上。结果黑点出现了,它完全按对称的方式排

列,连接后形成了以下的图案。这里点的位置与晶体的对称

结构有关。

音 乐 的 数 学

自古以来,音乐和数学就有着关联。在中古时期,人们把

音乐与算术、几何和天文同列为教育的课程。就连今天的电

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子计算机也始终跟音乐联系在一起。

乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地

方。在乐曲的稿中,我们可以找到拍号(4:4,3:4 或 1:4 等)、

每个小节的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十

六分音符等等。谱写乐曲要使它适合于每音节的拍子数,这

相似于找公分母的过程———在一个固定的拍子里,不同长度

的音符必须使它凑成一个特定的节拍。然而作曲家创造乐曲

时却能极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有

机地融合在一起。对一部完整的作品进行分析,我们会看到

每一个音节都有规定的拍数,而且运用了各种合适长度的

音符。

除了上述数学与乐谱的明显联系外,音乐还与比例、指

数、曲线、周期函数以及计算机科学等相关联。毕达哥拉斯的

追随者们(公元前 585—400)最先用比例把音乐和数学结合

起来。他们发现在乐声的协调与所认识的整数之间有着密切

的关系,拨动一根弦发出的声音依赖于弦的长度。他们还发

现协和音是由长度与原弦长的比为整数比的绷紧的弦给出。

事实上被拨动弦的每一种和谐的结合,都能表示为整数比。

由增大成整数比的弦的长度,能够产生全部的音阶。

你可能感到惊奇,为什么平台钢琴有它特有的形状 ? 实

际上,许多乐器的形状和结构都跟不同的数学概念联系着。

指数函数和它的曲线就是这样概念中的一种。一条指数曲线

由形如 y = kx 的方程所描述,这里 k > 0。

音乐的器械,无论是弦乐还是管乐,在它们的结构中都反

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映出指数曲线的形状。

对乐声本质的研究,在 19 世纪法国数学家傅立叶的著作

中达到了顶峰。他证明了所有的乐声———不管是器乐还是声

乐———都能用数学表达式来描述,它们是一些简单的正弦周

期函数的和。每种声音都有三种品质:音调、音量和音色,并

以此与其他的乐声相区别。

傅立叶的发现,使人们可以将声音的三种品质通过图解

加以描述并区分。音调与曲线的频率有关,音量与曲线的振

幅有关,而音色则与周期函数的形状有关。

很少有人既通晓数学又通晓音乐,这使得把计算机用于

合成音乐及乐器设计等方面难于成功。数学的发现,即周期

函数,是现代乐器设计和计算机音响设计的精髓。许多乐器

的制造都是把它们产生的声音的图象,与这些乐器理想声音

的图象相比较然后加以改进的。电子音乐的忠实再生也是跟

周期图象紧密联系着的。音乐家和数学家们将在音乐的产生

和再生方面,继续担任着同等重要的角色。

数 字 的 回 文

回文可以是一个词、一句句子、一个数,等等,只要倒着写

与顺着写是一样的。

例如:

(1)madam, I’m Adam。

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(中译:女士,我是“亚当”。)

(2)dad

(中译:(口语)爸爸)

(3)10233201

(4)“Able was I ere I saw Elba。

(中译:“在我见到厄尔巴岛之前我无所不能。”)下面是一

种数的有趣的特性:

由任一整数开始。加上由它数字倒着写所形成的数。将

所得的和加上由和的数字倒着写所形成的数。继续这样的过

程,直至出现一个数字的回文时结束。

你永远会以一个数字的回文结束吗 ?

预 料 不 到 的 考 试 的 悖 论

一位老师宣布说,在下一星期的五天内(星期一至星期

五)的某一天将进行一场考试,但他又告诉班上同学:“你们无

法知道是哪一天,只有到了考试那天的早上八点钟才通知你

们下午一点钟考。”

你能说出为什么这场考试无法进行吗 ?

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阿 基 米 德 螺 线

螺线的形状出现在自然界的许多方面,诸如藤蔓、贝壳、

旋风、飓风、松果、银河系、漩涡,等等。

阿基米德螺线是一种二维螺线。想象一只臭虫沿着过螺

线中心(极点)的直线以一定的速率爬行,而同时这条直线又

按均匀的速率绕极点旋转。那么这只臭虫所经历的轨迹将是

一条阿基米德螺线。

数 学 思 想 的 演 化

“对于天体(一般而言)和大彗星(特殊而言)来说,三千年

算不了什么:在永恒的时间表上,那还不到一秒钟。但是,数

学家读者们,你们跟我一样清楚,三千年实在是很长很长的 !”

———[法]弗拉马利翁,1892

数学是一种思想的演化,它始于史前人类最早的发现,那

时人们由于分食物而发明了数的概念。每一种贡献,不管它

多么小,对数学思想的发展都是重要的。有些数学家甚至为

某种单一的想法而耗费了自己的一生,而这种想法有时也仅

仅是有别于他人的研究而已。例如,我们来看一看欧几里得

几何发展的概略。几何思想是由古代许多不同的人发现的。

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台利斯(Thales,公元前 640—546)最早用逻辑的方法对几何

的概念加以研究。大约在公元前 300 年,欧几里得把前人创

造的几何思想加以收集、整理。这是一项艰巨的工作。他把

所有有关的知识编辑成一个数学体系,这就是后来众所周知

的欧几里得几何。在欧几里得的书《几何原本》中,内容的编

排遵循着逻辑发展的顺序。《几何原本》写于两千多年前,虽

然今天的数学家们经过仔细推敲,发现它离一个完整的数学

体系相距尚远,但它依然作为非凡的一页而永载史册 !

阿波罗尼斯从欧几里得的著作中获得了灵感,对数学的

许多领域,诸如圆锥理论、天文学和弹道学等,作出了具有历

史性的贡献。

四 色 地 图 问 题

对地图制作者来说,一个画在平面或球面上的地图,只要

用四种不同的颜色便能把不同的国家区分开,这是一条未经

证明的永恒法则。1976 年,著名的四色地图问题由美国伊利

诺斯大学的 K. 阿佩尔和 W. 哈肯用计算机给予了证明,但

他们的计算机证明依然面临着挑战。

为了增添一些花样,我们考虑在不同的拓扑模型上的地

图着色。拓扑学研究了许多非同寻常的形状的表面———油煎

圈饼、油条式脆饼、莫比乌斯状的表面等等。一个球面能够通

过戳一个洞,然后将它张开、摊平而成为一个平面。因而从本

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质上讲,一个球面的着色跟一个平面的着色,所需求的颜色数

是一样的。拓扑学研究的是物体在如同橡皮膜那样伸张和皱

缩的变形下保持不变的性质。究竟有哪些性质在这些变形下

保持不变呢 ? 由于扭曲是允许的,所以我们推知拓扑学不考

虑对象的大小、长短、形状和刚性。拓扑学所要找的是位置的

特征,诸如点在一曲线的内部或外部,一个表面是单面还是双

面,一个对象是否是一条简单的闭曲线,或它所具有的内部或

外部的区域数等等。对于前面所提的那些拓扑学对象,地图

着色是一个完全新的问题,因而四色问题的解对它们也不

适用。

试对一张纸条上的各种不同的地图着色。然后把它扭转

半圈并将端头粘接在一起,做成一条莫比乌斯带。此时四色

总是够吗 ? 未必 ! 那么对于任意的这种地图最少需要多少颜

色呢 ? 试在一个环面上(具有油煎卷圈饼的形状)对地图着

色。最容易的方法是用纸张做一个想象的油煎圈饼,然后在

上面做试验。可先在纸的一面上对地图着色,然后卷成圆筒

状,再把圆筒弄弯并像油煎圈饼那样把两头接在一起。你能

确定在这样一个环面上的地图着色问题,最少需要多少种颜

色吗 ?

艺 术 与 动 态 的 对 称

在自然界里有许多的形状是对称的———树叶、蝴蝶、人

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体、雪花,等等。当然,也有许多自然界的形状是不对称的,像

蛋的形状,蝴蝶的翅膀,鹦鹉螺和花斑鲈鱼的形状等等。这些

非对称的形式同样具有一种美丽的均衡,而这种均衡就是人

们所熟悉的动态的对称。在所有动态对称的形状中,我们总

能找到黄金矩形、黄金比例或黄金分割。

把黄金矩形和黄金分割用于艺术是动态对称的技巧。

A. 丢勒、P. 曼诸利安、达·芬奇、S. 达利和 G. 贝娄等人都

在他们的作品中用黄金矩形去创造动态的对称。

逻 辑 问 题

这是一道逻辑问题,其写作年代可追溯到公元 8 世纪。

一个农夫要带他的羊、狼和白菜过河。他的小船只能容

下他以及他的羊、狼或白菜三者之一。如果他带狼跟他走,那

留下的羊将吃掉白菜。如果他带白菜走,则留下的狼也将吃

掉羊。只有当人在的时候,白菜和羊才能与他们各自的掠食

者安全相处。

试问农夫要怎样做才能把每件东西都带过河 ?

雪 花 曲 线

雪花曲线因其形状类似雪花而得名,它的产生假定也跟

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雪花类似。由等边三角形开始。然后把三角形的每条边三等

分,并在每条边三分后的中段向外作新的等边三角形,去掉与

原三角形叠合的边。接着对每个等边三角形尖出的部分继续

上述过程,即在每条边三分后的中段,向外画新的尖形。不断

重复这样的过程,便产生了雪花曲线。

雪花曲线令人惊异的性质是:它具有有限的面积,但却有

着无限的周长 ! 雪花曲线的周长持续增加而没有界限,但整

条曲线却可以画在一张很小的纸上,所以它的面积是有限的,

实际上其面积等于原三角形面积的 135 倍。

日 本 的 幻 圆

这个日本的幻圆引自关孝和的著作。关孝和是一个 17

世纪的日本数学家,他以发现微积分的一种形式及解方程组

的矩阵算法而享誉数坛。在幻圆中,每一条直径上数的和一

样。构成该幻圆的方法似乎类似于高斯求头 100 个自然数和

所用的方法。

传说高斯在念小学的时候。他的老师给班上的同学出了

一道题目,即求头 100 个自然数的和。但见全班同学顿时忙

碌起来,用通常人们解这类问题的办法而一个个地相加。此

时的高斯正端坐在自己的座位上思考着。老师以为他正在做

白日梦,于是催促他抓紧。不料高斯回答说,他已经解出了这

道题。老师问他是怎么解的,高斯说明了自已的解答。

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螺 旋 ——— 数 学 与 遗 传 学

螺旋是一种迷人的数学对象,它触及我们生活的许多领

域,诸如遗传的结构,扩张的模型,运动的姿态,等等。可能是

自然存在的,也可能是人造的。

要了解螺旋,重要的是要看它的构造。让一组全等的矩

形形状的砖,依纵长的方向连接,则会形成一个细长的矩形砖

柱。如果对一组有一个面倾斜的矩形砖施行同样的过程,结

果砖柱会弯曲并绕成一个圆。但如果将每块矩形砖都在对角

方向切一个面,那么砖柱将绕着它自身形成一个三维的螺旋。

去氧核糖核酸 DNA———遗传染色体,就是像这样的两条三维

螺旋构成。DNA 有两列磷酸盐醣分子,它将不对称的分子个

体,像上面讲的修整过的矩形砖那样连接起来。

螺旋有着不同的类型。直的矩形柱和圆的柱只是螺旋的

特殊情况。螺旋可能向顺时针方向扭转(右旋)或向逆时针方

向扭转(左旋)。一个右旋的螺旋有如一只螺丝锥一样,而当

它反映在一面镜子中时,则显示出左旋。螺旋的不同类型的

例子可见于我们这个世界的方方面面。像圆形楼梯、电缆、螺

丝钉、自动调温器弹簧、螺母、绳索、冰糖藤等等,它们有的是

右旋的,有的是左旋的。螺旋若是绕着圆锥旋进,则称为圆锥

形螺旋。这种螺旋可见于螺丝钻、弹簧床面、以及纽约博物馆

的螺线形的盘道(由 F. L. 赖特设计)。

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在自然界也能找到许多螺旋的形式———羚羊、公羊、角鲸

和其他有角哺乳动物的角;病毒;一些蜗牛和软体动物的壳;

植物的茎、梗(如豌豆等)、花、果、叶等结构。

人类的脐带也是一种三重的螺旋,它是由一根静脉管和

两根动脉管盘绕着留下来的。

左旋螺旋和右旋螺旋缠绕在一起的现象并不罕见。忍冬

(左旋)和常春藤(右旋)经常配对生长在一起。在莎士比亚的

不朽名著《仲夏夜之梦》里就有一个地方提到它:

蒂塔利娅皇后对波屯说:“就这样睡吧 ! 我将把你搂在我

的臂上⋯⋯就像蛇葡萄(一种普通的常春藤)和甜忍冬那样总

是扭缠在一起。”再看看其他领域里出现的螺旋。例如螺旋的

通道可以在以下地方发现:飓风、漩涡、一只松鼠上下树的路

线,以及新墨西哥卡尔巴大洞穴中的墨西哥蝙蝠的飞行线路

等等。

自从螺旋与 DNA 分子之间的联系被发现,在如此众多

的领域里呈现出螺旋的现象也就不足为奇了。在自然界中螺

旋以它们不同的形式生长着,这是受它们遗传密码控制的结

果。在遗传基因的控制下,生物能不断地按它们各自的图案,

自然地生长。

幻“ 直 线 ”

公元一千九百年,C. F. 布拉顿发现幻方能够用来构造

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艺术上令人喜爱的图案。他发现,如果将一个幻方中的数依

次连接起来,会形成一种有趣的图案,它就是著名的幻直线。

实际上幻直线并非一条直线,而是一个图样,当把该图样用黑

白交错着色时,一些非常珍奇的图案就被创造出来。作为一

名建筑师,布拉顿把幻直线用于建筑装修以及书籍和织品的

设计。

数 学 与 建 筑

我们非常熟悉某些用于建筑的数学形式,诸如正方形、矩

形、锥形和球形等等。但有一些建筑结构却以人们知之甚少

的形状设计。一个引人注目的例子便是旧金山圣母玛利亚大

教堂所用的双曲抛物面设计。该设计出自 P.A. 鲁安、J. 李

以及罗马的工程顾问 P. L. 奈维、马萨诸塞州工程学院的 P.

比拉斯奇等人。

在剪彩仪式上,当人们问到对于该教堂米开朗基罗会怎

么想时,奈维回答道:“他不可能想到它,这个设计是来自那时

尚未证明的几何理论。”建筑物的顶部是一个 2135 立方英尺

的双曲抛物面体的顶阁,楼面的上方有 200 英尺上升的围墙,

由四根巨大的钢筋混凝土塔支撑着,该塔延伸到 94 英尺的地

下。每座塔重达九百万磅。墙由 1680 间钢筋混凝土结构的

库房组成,含有 128 种不同的规格。正方形基础的大小为

255×255 平方英尺。一个双曲抛物面是抛物面(一条抛物线

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绕它的对称轴旋转)和一条三维的双曲线的结合。

视 幻 觉 的 历 史

19 世纪的下半叶,在视幻觉领域掀起了一阵兴趣的

波涛。

这期间将近有二百份由物理学家和心理学家撰写的论文

发表,这些论文对视幻觉和它为什么会发生作了细致的描述。

视幻觉是由人们的注意力、眼睛构造、或两者的结合而产

生的。我们看到什么并不意味着它总是存在,重要的是要凭

实际测量确定,而不是基于感觉的结论。

一位天体物理学家和天文学教授(他对彗星、太阳和行星

以及光度计的发明等方面作出了许多贡献)偶然间碰到了一

块类似于编织物的东西。其中垂直的线实际上是平行的,但

看起来却并非这样。对这种视幻觉的几种可能的解释是:

1)设置在平行线段上不同方向的锐角之间的差异。

2)眼睛视网膜的曲率。

3)有层次的线段使我们的眼睛集中和分散,它造成了平

行线段视觉上的弯曲。

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三 分 角 与 等 边 三 角 形

几何拥有一笔思想、概念和定理的财富。发现一些性质

并把它用于某些几何对象是极为有趣的。例如,任取一个三

角形,三等分它的三个角。然后研究三等分线所形成的图形。

请问你注意到什么了吗 ?

巴 贝 格 ——— 现 代 计 算 机 的 达 · 芬 奇

现代计算机的达·芬奇———巴贝格(Char les Babage,

1792—1871)是一位英国数学家、工程师和发明家,除了发明

速度计,各种精密机械,以及能让灯塔定时发出亮光的装置之

外,他还花费了大量的时间用于制造一台能够施行数学运算

和计算的机器。

巴贝格“差分机”的原始模型是用齿轮制作的,这些齿轮

固定在轴上,由一根曲柄转动而带动,它能产生一张 5 位数的

平方表。稍后,巴贝格又设计了更好的机器,包含有 20 位数,

而且能将答案刻在铜制的盘上。在制作零件的过程中,他成

为一名熟练的专家和技师,发展了更加优良的工具和预示着

现代方法的技巧。他对原有的零件和设计不断地加以完善。

他的至善主义以及那时的技术水准,在他所完成的最后制品

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中得以充分保留。当他放弃差分机时又萌生了分析机的想法

———能做任何数学运算,具有 1000 个 50 位数字的记忆容量,

能用自身数据库中的表,能比较答案并依据指令进行判断。

机器的执行结果能通过机械转换并打卡输出。虽然巴贝格的

想法在当时绝对无法实现,但他的分析机的逻辑结构则可用

于今天的计算机。

分析机实际上代表了这样的一类机器,它与我们今天的

计算机具有同样的意义。令人惊叹的是,巴贝格不仅开拓这

一现代的思想,设计了机器,发展了构造它的工具,策划了它

的各个阶段,而且还发展了程序设计方面所需要的数学。为

了表示对 C·巴贝格的敬意,IBM 公司专门建造了一台分析

机的工作模型,以资纪念。

数 学 与 穆 斯 林 艺 术

自从人类身体的画像为伊斯兰教徒们所戒禁以来,他们

的艺术形式便导入了其他领域,局限于装饰和镶嵌,并集中于

几何的图案。结果在他们的艺术与数学之间产生了一定的

联系。

他们所创造的丰富的图样显示出:

●对称

●镶嵌、反射、旋转、几何形状的转换

●黑白图样间的对等

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假 币 谜 题

有十堆银币,每堆十枚。已知一枚真币的重量,也知道每

个假币比真币重量多 1 克,而且你还知道这里有一堆全是假

币,你可以用一架台式盘秤来称克数。试问最少需要称几次

才能确定出假币 ?

巴 特 农 神 殿 ——— 一 种 视 觉 与 数 学 的 设 计

公元前 5 世纪的古希腊建筑师们是运用视幻觉和黄金分

割的能手。这些建筑师们发现,一个完全直的建筑结构,在我

们眼睛看起来未必显得是直的。这种歪斜是由于我们的视网

膜的曲率所造成的,当一条直线落在特殊角的范围内而我们

用眼睛看它时,便显示出曲的。巴特农神殿就是其中最为著

名的例子,它说明古代的建筑师们怎样对那些由于我们眼睛

造成的歪斜进行补偿。巴特农神殿成排的圆形柱子实际上是

向外弯曲的,神殿的矩形基座的边也是这样做的。

然而,由于进行了上面所说的补偿,整个神殿建筑和圆柱

便显得笔直而令人赏心悦目。

古希腊的建筑师和艺术家们也发觉,黄金分割和黄金矩

形会使建筑物和雕塑增添美感。那时他们已经具有黄金均值

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的知识,诸如怎样构造它,怎样近似它,以及怎样应用它作黄

金矩形等等。巴特农神殿说明,该建筑物应用了黄金矩形。

渐 开 线

把一根绳子缠卷在另一条曲线上,然后逐渐把卷曲的部

分展开,其端点会描出一条曲线,它便是渐开线。在自然界里

有许多渐开线的例子,例如一张悬挂着的棕榈叶的梢部,一只

鹰的嘴,一条鲨鱼的背鳍,等等。

五 边 形 、五 角 星 形 与 黄 金 三 角 形

由一个正五边形开始,画它的对角线,便会产生一个五角

星形、在五角星形中存在着许多黄金三角形,这些黄金三角形

分五角星形的边成黄金比。黄金三角形是一个等腰三角形,

它的顶角为 36°,每个底角为 72°。它的腰与它的底成黄金

比。当底角被平分时,角平分线分对边也成黄金比,并形成两

个较小的等腰三角形。这两三角形之一相似于原三角形,而

另一三角形可用于产生螺旋形曲线。

平分新的黄金三角形的底角并继续这样的过程,会产生

一系列黄金三角形,并形成一条等角螺线。

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三 人 面 墙 问 题

三个人位于垂直墙的一直线上,并将眼睛蒙起。然后从

装有三顶茶色帽子和两顶黑色帽子的箱中取出三顶让他们三

人戴上。并将以上信息告知他们。接着把他们眼睛上的蒙布

拿掉,并要求每人确定各自所戴帽子的颜色。离墙最远的那

个,他看到了前面两人帽子的颜色后说:“我不知道我所戴帽

子的颜色。”离墙第二远的那个人听到了上面的回答,又看到

了前面一个人戴的帽色,也回答自己不知道。而第三个人,虽

然他看到的只是墙,但他听到了前面两人的回答,却说:“我知

道自己所戴帽子的颜色。”试问,他所戴的帽子是什么颜色 ?

又是怎样确定的呢 ?

迷 宫

迷宫在今天只是一种供人消遣的谜题,但早期的迷宫却

使人感到神秘、危险和惶惑。人们的确会在迷宫那错综迂回

的通道上迷失去处,或者还担心会突然遭遇那隐匿于迷宫内

部的巨型怪兽。在古代,人们常常构筑迷宫以保卫要塞,入侵

者将被迫在迷宫中行进一段很长的距离,这样便容易暴露并

遭受攻击。

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迷宫出现于世界上各个不同的地区,遍及于几乎所有的

国家:

●爱尔兰石谷中的石雕———约公元前 2000 年。

●克利特岛上的迈诺斯迷宫———约公元前 1600 年。

●意大利的阿尔卑斯山、庞贝古城、斯堪的那维亚半岛。

●威尔士和英格兰的草地迷宫。

●在欧洲的教堂地板上的摩西迷宫。

●非洲人的织物迷宫。

●亚利桑那的印第安人的石雕。

今天,迷宫是心理学和计算机设计感兴趣的一个领域。

心理学家用迷宫对人类和动物的学习行为研究了几十年。计

算机专家在设计机器人时,第一步就是要先解决迷宫问题。

拓扑学是一个数学的领域,迷宫的研究则属于网络的一

个分支。在拓扑学中我们知道,若当曲线是由一个圆经扭转、

弯曲和环绕(但不自交)而得,它具有一个内部和外部,就像一

个圆而不像一个迷宫。要从若当曲线的内部走到外部,无论

如何必须跨越曲线。

自从机器人被用于解迷宫,解迷宫问题的系统方法便被

设计出来。

解迷宫的方法:

1)对一个简单的迷宫,只要遮掉你所见到的小路和环圈,

留下的路将会通达终点,接下来只要选择最直接的通路就可

以了。如果迷宫比较复杂,那么这种方法用起来就比较困难。

2)永远保持贴着墙的一边(左或是右)走过迷宫。这个方

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法很容易,但并非对所有的迷宫都能这样做。例外的情形有:

a)该迷宫有两个入口,而且有一条不通过终点的路线连

接它们;

b)迷宫的路中带有环绕终点的圈。

3)法国数学家 M. 特马克设计了一种解任意迷宫的一般

性方法。程序如下:

a)在你走过的迷宫路的右侧画一条线;

b)当你走到一个新交叉点时,你可以选取任意一条你想

走的路;

c)如果你在新的路上又回到旧的交叉点或死胡同,那你

便转回头;

d)如果你在旧路上走到一个旧的交叉点,那你就取任意

一条新路(假如有一条的话),否则就取一条旧路;

e)决不进入一条两侧都做了记号的路。

以上方法虽然简单,但却要花费不少时间。

无论从生活实际还是用手上的铅笔,迷宫都依然是一种

挑战,或提供娱乐,或激发思想。

圆 锥 截 线

有不少人对此感到迷惑不解,为什么数学对一个问题或

一种想法的执着追求,仅仅是因为它有趣或珍奇。回顾一下

古希腊的思想家,我们发现他们所研究的内容,并不注重于直

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接的应用,而是缘于兴趣、刺激或挑战。圆锥曲线的研究就是

一个例子。

对于圆锥曲线,他们当初的主要兴趣在于,用它来帮助解

决古代的三大作图问题———即化圆为方、倍立方和三等分角

问题。这些问题在当时没有什么实际的价值,只是人们感到

数学思想受到挑战和刺激而已。许多想法在很长的年代里都

无法显示出它们自身的价值。圆锥曲线产生于公元前 3 世

纪,然而直至 17 世纪数学家们才为它奠定了理论基础并加以

公式化。例如,开普勒用椭圆描述行星的轨道,而伽利略发现

抛物线吻合于地球上弹道的轨线,等等。

在宇宙中有许多构成圆锥曲线的例子。当代最为令人鼓

舞的例子之一就是哈雷彗星。

公元 1704 年,哈雷在研究不同彗星轨道资料的有效性时

得出结论:

1682,1607,1531,1456 等年份出现的是同一个彗星,它

沿椭圆形的轨道绕太阳运转,每运转一周约 76 年。他成功地

预言了这颗彗星将于 1758 年回归。从而使这颗后来以哈雷

名字命名的彗星,因之而举世闻名。新近的探索还表明,早在

公元前 240 年,中国人就已记录到了哈雷彗星。

在宇宙中圆锥曲线的例子:

抛物线———

●喷水的弧线

●闪光灯反射面的形状

椭圆———

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●某些行星和某些彗星的轨道

双曲线———

●某些彗星和另一些天体的轨道

圆———

●水塘中激起的波纹

●圆形的轨道

●轮子

●自然界中的物体

阿 基 米 德 螺 旋 装 置

当我们把阿基米德螺旋装置浸入水中并旋转摇柄时,它

能把水抽上来。现在世界上有不少地方仍然将它用于灌溉。

阿基米德(Archimedes,公元前 287—公元前 212 年)是

一位希腊的数学家和发明家。他发现了杠杆原理和滑轮原

理。他的发现导致了起重机械(能够容易移动重物)的发明。

他还发现了:将物体浸入水中而比较体积的方法,流体静力

学,浮力原理,微积分思想的应用;发明了:弩炮,用镜子将太

阳光线聚焦的方法,等等。

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光 渗 视 幻 觉

视幻觉是由于人们的注意力和眼睛的构造两者造成的。

当我们观察一个具有明暗对象的区域时,不固定的东西在我

们眼睛中是不完全清楚的,光线进入位于我们眼后的视网膜

时扩散了。结果明亮的光线或亮的区域便溢出,并渗入到视

网膜上影像的暗区。这样一来,亮的区域就显得比同等大小

的暗的区域要大一些。这也解释了为什么穿暗色的衣服,特

别是黑的,比起你穿亮丽的衣服或同等式样的白色衣服,会使

你显得更为瘦长。这种幻觉称为光渗,它是由 19 世纪德国的

物理学家和生理学家赫尔姆霍兹(H erman L .F .von H ellm-

holtz,1821—1894)发现的。

亚 里 士 多 德 的 轮 子 悖 论

在轮子上有两个同心圆。轮子滚动一周,从 A 点移动到

B 点,这时|AB|相当于大圆的周长。此时小圆也正好转动一

周,并走过了长为|AB|的距离。这不是表明小圆的周长也是

|AB|吗 ?

伽利略对亚里士多德轮子悖论的解析:

伽利略是通过正方形“轮子”进行分析的,他考虑的是两

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个同心的正方形。当大正方形翻动 4 次(横贯正方形轮子的

周长|AB|)时,我们注意到小正方形被带着跳过了 3 段空隙。

这说明小圆是怎样被带着走了长为|AB|的距离,所以|AB|

不能代表它的周长。

史 前 巨 石 柱

在英格兰的索尔斯堡大平原上,伫立着令人生畏的石头

建筑,它就是闻名于世的史前巨石柱。这些石柱始建于公元

前 2700 年,共分三个阶段,最后约于公元前 2000 年完成。

建造这些巨石柱是出于什么目的 ? 居然有那样多不同的

人群使用和发展它,这又意味着什么呢 ? 莫非它是:

●一座宗教的寺庙 ?

●一座月亮和太阳的观测台,用来观察冬至太阳的下落

和夏至太阳的升起 ?

●一种阴历 ?

●一台预测日食或月食的原始计算机 ?

然而所有这些,巨石柱的建设者和使用者们都没有写成

文字留下来,以致于到今天人们仍无法知道它的真正目的。

零碎的证据使所有的论断都处于推测之中。然而有一点却是

可以肯定的,那就是建筑者们已经有了关于几何图形和度量

方面的知识。

艺术是多种多样的,像早期的山洞壁画,拜占庭时期的偶

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像画,文艺复兴时期的油画,以及印象派艺术家的描写画,等

等,它们的存在要么是二维的,要么是三维的。然而艺术家、

科学家。数学家和建筑师们,他们都发展了各自的手法,使一

些对象显现为四维。其中一个例子就是称为超立方体的立方

体四维画,它是建筑师 C·布莱顿于 1913 年创造的。布莱顿

将他的超立方体画和其他的四维图案汇集在自己的作品中。

其中他设计的罗契斯特(在美国纽约州)的商会建筑就是一个

例子。

超过三维的其他维的存在,总是引人注目。在一个数学

家看来,高维的出现只是遵循思维逻辑发展的一种必然结果。

例如,从一个零维物体,即一个点开始,现在将该点向左

或向右移动一个单位,这便形成一条线段,这线段就是一维的

物体。现在将线段向上或向下移动一个单位,便会形成一个

正方形,这正方形就是二维物体。按同样的方式进行,把正方

形向里或者向外移动一个单位,便会形成一个立方体,它就是

一个三维物体。下一步要设法并想象移动这个立方体,使其

朝第四维的方向运动一个单位,以产生一个超立方体,也称作

立方镶嵌体。用同样的方式,人们可以得到超球,即四维球

体。但数学并没有停止在四维,而是进一步考虑 n 维。令人

惊异的数学图案表现出不同维数物体所涉及的顶点数、边数

和面数,有关的资料已被汇编成集。

第四维的可能存在使许多人感到兴趣。艺术家和数学家

们试图想象并描画一种物体使其显示出第四维。立方镶嵌体

和超立方体都是立方体的四维标本。一个立方体画在纸上其

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本身也只是一个透视图象(它暗示着三维的特征)。这样一

来,一个立方镶嵌体画在纸上,便是一种透视的透视。

计 算 机 与 维 数

人类是三维生物,所以最容易想象和理解的首先也是三

维物体。虽然就数学而言,存在超过 3 的维数,然而对于无法

看到或想象的一些东西,人们还是难于接受的。计算机则可

用来帮助我们想象高维物体。例如,T. 本车夫(一位数学家)

和 C. 斯特劳斯(一位计算机科学家)在布劳恩大学用一台计

算机产生一个超立方体迁入和迁出三维空间的运动图。由此

人们可以从不同的角度去捕捉超立方体在三维世界中的各种

不同图象。它类似于一个立方体(三维物体)从不同的角度穿

过一个平面(二维世界)。把它在平面上的截痕记录并搜集起

来,则有助于给出一个三维物体较为完美的二维形象。

现在我们已经有了三维物体的二维全息图。这种全息图

现在已用于商品的广告和图示。或许在将来,三维的全息图

也将发展并用于四维物体的图象。你是否考虑过你最要好的

朋友是一个四维生物,但他却以三维生物的形象呈现在你的

面前 ?

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“ 双 层 ”莫 比 乌 斯 带

拓扑学是研究物体在扭曲变形(拉伸或皱缩)下保持不变

的那些性质。与欧几里得几何不同,拓扑学不涉及大小、形状

和刚体,它研究的是弹性对象,这就是为什么人们说它是橡皮

膜上的几何学。莫比乌斯带是 17 世纪德国数学家 A. 莫比

乌斯创造的,它是拓扑学研究的对象之一。取一张纸条,把它

扭转半圈并将端头胶接在一起,一个莫比乌斯带便做成了。

它是令人迷惑的,因为它只有一个面,我们能用一根铅笔不离

纸地描遍整个表面。下面让我们考虑“双层”的莫比乌斯带。

取两张叠在一起的纸条,把它们同时扭转半圈,然后把端头胶

结在一起。整个看起来像是两条紧贴在一起的莫比乌斯带。

然而果真是这样吗 ?

似 而 是 非 的 曲 线 ——— 充 满 空 间 的 曲 线

曲线通常是作为一维考虑的,它是由零维的点构成。从

这个意义上讲,说一条曲线能够充满空间似乎是与上述矛盾

的。欧几里得曲线是平薄而无大小的。

那个时代的数学家还没有想到曲线可以通过以下自我产

生的方式构造。上述例子显示了曲线充满空间的步骤,它的

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特殊方式连续地自我产生,并逐渐包容了整个立方体空间。

算 盘

算盘是一种最为古老的用于计算的发明,也被人称为古

代的计算机。这种古代的计算工具最先在中国和其他亚洲国

家使用,可用来作加、减、乘、除及求平方根和立方根等计算。

算盘有不同的类型,如阿拉伯算盘,在每根金属线上有十个

球,没有中隔。历史显示,古希腊和古罗马人也曾用过算盘。

中国人的算盘一般含有十三档算珠,当中由一根横木隔开。

每档在横木下方有五个算珠,在横木的上方有两个算珠。每

档的一个上珠,等于五个同档的下珠。例如,在十位档上的一

个上珠,其值为 5×10 即 50。

数 学 与 编 织

数学的对象会怎样出现在编织物中呢 ?

让我们用数学的观点有意地去分析一些织物的图案。研

究以下一些织物的断片,人们会在其中发现许多数学概念

●对称的线条

●镶嵌

●几何的形状

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●成比例的对象

●反射图样

在这些织物图案中你能发现上面所列的数学概念吗 ? 你

还能从中发现其他的数学思想吗 ?

默 森 的 数

在 17 世纪,一个具有 69 位数字的数被法国数学家 M.

默森推测为素数 .1984 年 2 月,一批数学家成功地用计算机

解决了这个历经三个世纪的古老谜题。在经过 32 小时又 12

分钟之后,这一默森的数所包含的三个因子终于被发现。

数的分解技术使应用密码的人感到担忧,因为现代的许

多密码系统,为了保持密码的可靠性而选用了一些位数很大

而又难于分解的数作为设密的工具。

分解一个数是指把数分为较小素数的乘积。这项工作对

于较小的数可用小于它的素数来试除,因而比较简单。但对

于较大的数,则需要其他办法。这是因为随着数的增大,前述

方法的计算量将指数般地增加。对于一个有 60 位的数,即使

用每秒运行 10 亿次的计算机,也要花上几千年。

1985—1986 年,R. 西韦门和 P. 曼特哥美利发展了一种

既快又廉价的方法。该法用在微电脑上与用在大型计算机上

效果相当。他们新近完成了一个 81 位数的因子分解,用了八

台微电脑,每台运行 150 小时。

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三 角 形 数 、正 方 形 数 与 五 边 形 数

人们对给出的数予以许多不同的称呼,其中有些名称是

来自它们构成的几何对象的形状。

下面我们看到,奇数构成三角形的形状,因而也称三角形

数。完全平方数,即 12= 1,2

2= 4,3

2= 9,⋯⋯构成正方形的

形状,每一组数都跟一种图样相联系。试构成其他数的序列,

使其联系于某几何对象,并确定其特殊的图样。

埃 拉 托 斯 散 测 量 地 球

公元前 200 年,埃拉托斯散设计了一种测量绕地球一周

距离的巧妙的办法。

为测出绕地球一周的长度,埃拉托斯散运用了几何知识

和以下定理:

两平行直线为另一条直线所截,则所形成的内错角相等。

他知道在塞恩(埃及城市)每当夏至中午时分,直立的杆

没有影子,而此时 500 英里外的亚历山大里亚直立的杆,其影

子却偏离垂直方向 7°12′角。根据这一信息他算出了绕地球

一周的长度。计算结果与实际值的误差小于 2 % 。

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投 影 几 何 与 线 性 规 划

运用投影几何和解方程组的技巧,一位贝尔实验室的数

学家 N. 卡马克发现了一种快刀斩乱麻的方法。这种方法可

以用来解决非常繁杂的线性规划问题,这类问题经常出现在

卫星通讯的时间分配,大队飞机的起降编排,以及数百万部长

途电话的发送,等等。

直至新近, 数学 家 G.B. 丹齐 克所 发展的 单纯形 法

(1947)仍然有用。不过,对于巨型问题,即使使用大型计算机

也要花费很多时间,因而显得不够实用。数学家们把这类问

题想象成一个复杂的几何体,这个几何体有千千万万个的面,

每个面上的每一个角顶都表示一种可能的解。算法的任务就

是在不去计算每一个解的情况下求出最佳的解答。丹齐克的

单纯形法则是沿着体的棱,逐一检验顶点,以求取得最佳解。

在大多数问题中,只要未知量不多于 15000 至 20000 个,用这

种方法处理都足够有效。

卡马克算法总的思路是,通过体的中央取一条捷径。在

选定任一内点之后,通过算法使内部的结构变形,也就是说形

成了新的问题,在新问题中所选的点准确地成为中心。下一

步是在最佳解的方向上找一个新的点,然后再次变形结构,使

新的点此时成为中心。除非变形已经结束,否则都要继续同

样的步骤,每次都往最好的方向改进。这种一再施行的变换

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是基于投影几何的概念,它能迅捷地导出最佳的解答。

蜘 蛛 与 苍 蝇 问 题

H. E. 杜登尼是 19 世纪英国知名的谜题创作者。在今

天大多数的谜题书上都有他的杰作,只是他常常没有得到他

应有的赞誉。公元 1890 年,他与美国著名的谜题专家山姆·

洛依德合作发表了一系列谜题文章。

杜登尼的第一本书《坎特伯雷谜题集》出版于 1907 年,此

后又陆续出版了五本,它们为数学智力问题留下了一笔财富。

“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在 1903 年的英国报纸上,它

是杜登尼最有名的谜题之一:

在一个 30′×12′×12′的长方体房间,一只蜘蛛在一面墙

的中间离天花板 1 英尺的地方。

苍蝇则在对墙的中间离地板 1 英尺的地方。苍蝇是如此

害怕,以至于无法动弹。

试问,蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短的距离是多少 ?

(提示:它少于 42′)

数 学 与 肥 皂 泡

哪一类数学概念与肥皂泡相联系呢 ? 肥皂泡膜的形状是

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受表面张力的控制。表面张力总是使表面积尽可能地小。由

于每个肥皂泡里都包封住了一定量的空气,结果由于这一定

量的空气,使得表面积的减少有了一个最低的限度。这就解

释了为什么单个的肥皂泡总是变成球状的,而一大堆肥皂泡

集在一起便有不同的造形。在肥皂泡沫中,肥皂泡的边缘之

间交成 120°,这称为三部接合。在一个三部接合点,有三条

线段相会,各各交成 120°角。许多自然现象(一些例子如鱼

的鳞、香蕉的内部、玉米仁的构造、海龟壳等等)也都遵从三部

接合的规律,接合点则为自然界的均衡点。

硬 币 悖 论

顶上的硬币绕下方的硬币移动半圈,结果硬币中图案的

位置与开始时一样,然而滚过圆周的一半,人们原以为结果图

案会是朝下的 !

拿来两枚硬币并试照着移动。你能解释为什么不会出现

朝下的情形吗 ?

六 阶 米 诺

六阶米诺片是一种扁平的物体,它由六个正方形单位构

成。取一个体积为 1 立方单位的立方体,沿着它 12 条棱中的

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7 条将它切开,然后把它摊平。其结果的图形就是一种六阶

米诺片。由于沿着棱切开可以有多种方式,所以得到的六阶

米诺片就会有许多不同的形状,那么究竟有多少种不同形状

的六阶米诺片呢 ?

斐 波 那 契 数 列 与 自 然

斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁,人们深

信这不是偶然的。

a)细察下列各种花,它们的花瓣的数目具有斐波那契数:

延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合

花、蝴蝶花。

b)细察以下花的类似花瓣部分,它们也具有斐波那契

数:紫宛、大波斯菊、雏菊。

c)斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。

例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数 0,然后依序点

数叶子(假定没有折损),直至到达与那片叶子正对的位置,则

其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一

个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数

也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比

称为叶序(源自希腊词,意即叶子的排列)比。多数的叶序比

呈现为斐波那契数的比。

d)斐波那契数有时也称松果数,因为连续的斐波那契数

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会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种

情况在向日葵的种子盘中也会看到。此外,你能发现一些连

续的鲁卡斯数吗 ?

e)菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠

萝,我们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋

线数。

猴 子 与 椰 子

三名水手和他们的一只猴子因船舶失事而流落在一个岛

上,在那里他们发现仅有的食物是椰子。他们为收集椰子而

劳累了一天,于是决定大家先去睡觉,等第二天起来后再

分配。

夜间,一个水手醒来,决定拿走属于他的那份椰子而不想

等到早上。他把椰子分为相等的三堆,但发现多出了一个椰

子,于是把这个多出的给了他们的猴子。接着他藏好了自己

那份椰子又去睡觉了。不久,另一个水手也醒来,他做了与第

一个水手同样的事,也把此时正好多出来的一个椰子给了猴

子 .而最后第三个水手醒来,他也跟前两个水手一样做法分了

椰子,并把此时多出的一个给了猴子。早晨,当三名水手起来

时,他们决定为猴子留下一个椰子后把其余的椰子平分为

三堆。

试问,水手们收集到的椰子最少的数目是多少 ?

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试将同样的问题推广到四个和五个水手。

用于解这个问题的方程称为丢番图方程。希腊数学家丢

番图最早把这种类型的方程用于解特定类型的问题。

蜘 蛛 与 螺 线

四只蜘蛛从一只 6×6(单位米)正方形的四个角开始爬。

每只蜘蛛都以每秒 1 厘米的速度朝它右边的一个蜘蛛

爬。结果它们都以一定的速率朝中心移动。四只蜘蛛总是位

于一正方形的四个顶点。

多少分钟后它们会在中心相遇 ?

蜘蛛所走的路线形成等角螺线。试对其他形状的正多边

形思考同样的问题。

从 故 事 中 学 数 学

一切真知都来源于实践,来源于生活。

生活本身是美好的,有趣的,在生活中产生的数学故事,

自然更是十分有趣的。这是因为,故事一般都有人物、事件和

情节。将数学问题贯串在故事的事件、情节里,故事中便蕴含

着判断、推理和演算。你在听故事的同时,要动脑筋想问题。

在解决问题的过程中,发展了智力,提高了能力。从这个意义

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上讲,数学故事比一般的故事趣味性更浓,吸引力更大。

数学故事一般都比较短小、单纯。它的主要目的是通过

故事,讲述数学问题,当数学的条件、问题都交待明白了,故事

便不再延伸下去了。但是它却设置了悬念,留下了疑问,迫使

读者去回味,去破解。

怎样解数学故事呢 ?

听(或读)数学故事,不能像听一般故事那样,只迷恋它的

事件、情节,要边听(或读)边想,抓住重点,把核心问题从条

件、情节中分离出来,去掉那些枝枝节节,只保留与条件问题

有关的主干,使它成为一道单纯的数学题。而后根据题目的

特点,按照数学的方法,分析、解答。

数学故事虽然短小,却具有很强的艺术魅力,古今中外各

个民族都有数学故事。数学故事闪耀着人类智慧的光华。

这里既选取了部分脍炙人口的传统数学故事,也编选了

名著中、现实生活中有趣的数学故事。

咱们又听故事,又学数学,相信读者朋友会很高兴的。

1. 富翁打赌

有两个富翁,一个头脑精明,一个吝啬刁钻。贪财好利是

他们的共同特点。

一天,两个富翁遇到了一起,双方争强好胜,话不投机,竟

然打起赌来。精明的富翁说:“我可以每天给你一万元,只收

回你一分钱。”吝啬的富翁以为对方吹牛皮,便说:“你若真的

每天给我一万元,别说我给你 1 分,就是再给你一千我也干 !”

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“不 !”精明的富翁说,“条件只是第一天,你给我一分。”

“难道你第二天还要给我一万 ?”

“是的”,精明的富翁说:“只是你第二天收了我的一万,要

给我二分。第三天⋯⋯”

没等精明的富翁说完,吝啬的富翁急切地问:“第三天你

再给我一万,我给你。”

“四分 ! 就是说,我每天得到的钱都是前一天的两倍。”

吝啬的富翁心想:这家伙可能神经出了毛病,便问:“每天

送我一万,这样下去,你的钱够送多少天呢 ?”

“我是人人都知道的百万富翁。”精明的富翁说:“我不打

算都送给你,只拿出三十万,先送你一个月足够了。但是你给

我的钱也一个不能少 !”嘿,还当真呢 !

吝啬的富翁说:“你敢签订协议吗 ?”

“不签协议算什么打赌 ?”精明的富翁说:“咱们还要找几

个公证人呢 !”吝啬的富翁真是喜出望外。

于是他们签了协议,找来了几个公证人。协议上写道:

甲方每天给乙方一万元,乙方每天给甲方的钱数从一分

开始,以后每天都是前一天的两倍。双方持续时间为 30 天。

就这样,把手续办好了。

吝啬的富翁回到家,高兴得一夜没合眼,生怕对方反悔。

不料,天刚亮,对方提着一万元送上门来,按约定他给了对方

一分钱。

第二天,对方仍然如约送来了一万元。他简直像做梦一

般,这样下去一个月,便可以有 30 万元的收入了 ! 想着,想

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着,数钱的手都颤抖了 ! 于是自己也如约给了对方 2 分钱。

对方高高兴兴地拿走了 2 分钱,还叮嘱“别忘了,明天给

我 4 分钱 !”话休繁叙,当吝啬的富翁拿到十万元时,精明的富

翁只得到十元二角三分钱。但是,他仍高高兴兴地每天如约

送来一万。

可是,20 多天以后,吝啬的富翁突然要求打赌终止。

对方以及一些证人当然不会同意,30 天的时间已经过去

大半了,任何一方都无权不执行协议。到最后,吝啬的富翁竟

把全部家当都输光了。你说,这是为什么 ?

解:吝啬的富翁在一个月内共得到 300000 元。他需要付

给对方的钱,总数是:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32⋯ + 536870912

= 1073741823(分) = 10737418.23(元)。

即:一千零七十三万七千四百一十八元二角三分。

2. 阿诺德智慧

传说在德国的历史上曾发生过这么一件趣事。

16 世纪时,这个国家是由许多彼此独立的小国组成。其

中有两个相邻的小国,原先睦邻友好,人民相互自由进出,连

货币都可通用,并且价值相等。后来两国闹了矛盾,虽然人民

还可以自由来往,但甲国的国王下令,乙国的钞票若拿到本国

使用,100 元只能作本国的 90 元。

乙国得知这一消息后,也不示弱,迅即下了一道同样的命

令,以牙还牙,即甲国的钞票若拿到本国使用,100 元只作本

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国的 90 元 !

一个名叫阿诺德的人,得知这一消息,连忙劝说两国的国

王,万万不可如此。否则有人悄悄跑跑腿,便会趁机发了

大财。

两个国王都不相信。

阿诺德见说服不了他们,便自告奋勇亲自实践。两国国

王分别给他 100 元,让他试验。若果真他能利用这条命令发

了大财,便收回成命。阿诺德拿了 200 元钱,一会儿到甲国购

货,一会儿又到乙国购货,往返穿梭在两国的商店里,不消几

日,便腰缠万贯。接着他便把赚来的大宗财物,送到国王面

前。两国的国王见状都惊奇得目瞪口呆。忙问他:“是怎么赚

得的 ?”

阿诺德讲述了赚钱方法后,国王都信服地连连点头,深深

认识了分裂的危害,于是他们各自都收回了成命,和好如初。

你知道,阿诺德是怎样赚钱的吗 ?

解:阿诺德拿着甲国的 100 元,在甲国的商场购物 10 元,

对方找钱时,他声称要到乙国去,要求找回乙国的钞票,这样,

本应找回他 90 元甲国钞票,他却得到了 100 元乙国钞票。此

时,连同乙国国王给的 100 元,他有了 200 元乙国钞票。

阿诺德拿着乙国的 200 元钞票,迅速地跑到乙国商店要

20 元的货物,在对方找钱时,他又声称自己要到甲国去,要求

找回甲国钞票。这样,本应找他 180 元(90 元×2)的乙国钞

票,他却得到了 200 元的甲国钞票。

就这样,他在甲国购物,要求找回乙国钞票;在乙国购物,

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要求找回甲国钞票。如此循环往复,他手中的钱物便越聚越

多,用不了多长时间,便发了大财。

3. 智越沙漠

解放战争时期,我军的两名侦察员在取得了重要情报后,

大部队已经老早出发了。他们为了将情报及时送交部队首

长,必须抄近路迎头赶去。近路是一片荒无人烟的茫茫大沙

漠。据当地群众说,穿过沙漠需要 10 天时间,但是根据沙漠

的气候特点和人体负荷情况,每天最多只能带 8 斤食品和 8

斤水,而每人每天至少要消耗 1 斤食品和 1 斤水。这样,最后

2 天便会因无法得到食品和水的补充而葬身沙漠。

尽管当地可以找到民工,但是民工每人也只能带 8 斤食

品和 8 斤水,各自所带的粮食和水连自己都不够消耗的。

怎么办呢 ? 急得两个侦察员抓耳挠腮。

两人苦苦的思索着解决办法。

“有了,可以这么办 !”忽然一个队员想出了妙法。两人一

合计确实可行。

于是两个人便顺利地通过了沙漠,圆满地完成了任务。

他们想了什么办法呢 ?

解:他们雇用了一个民工,两天后,请民工回去,并给他 2

斤食品和 2 斤水供回去的路上用。民工余下的 4 斤食品和 4

斤水,两个队员平分,加上他们各自用剩的食品和水,每人仍

是 8 斤食品和 8 斤水,而此时余下的路程也只需 8 天了。

除此以外,还可以想出别的办法来。

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4. 孙悟空的紧脑箍

《西游记》中的孙悟空被观世音菩萨带了紧脑箍,保护唐

僧到西天取经。尽管孙悟空勇敢、机智、爱憎分明、忠心耿耿

地保护唐僧,可是唐僧却是非不分,常常念起紧箍咒,让孙悟

空屈服。

在去西天取经路上,白骨精三次变化成人诱骗唐僧,都被

孙悟空“火眼金睛”识破,把它击倒在金箍棒下。孙悟空本想

除恶务尽,唐僧却硬说他误伤好人。

孙悟空不听,唐僧便一次次的念着紧箍咒,疼得孙悟空满

地打滚。

假定孙悟空的脑袋直径是 20 厘米,唐僧每念一遍咒语,

紧箍缩短原长的,如果唐僧连念五遍咒语,那么紧箍将嵌入孙

悟空的头皮多 1100 深 ?

解:在唐僧没念咒时,紧脑箍的直径与孙悟空的脑袋直径

相等,都是 20 厘米。

紧箍的周长是:

20×π= 20π

唐僧念五遍咒后,紧箍的周长是:

20(15)× - ××π

1100 = 19π

这就意味着,紧箍直径缩短了 1 厘米(20～19)。这样,四

周都将嵌入孙悟空头皮 0. 5 厘米深。因而,孙悟空疼痛难忍,

满地打滚。

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5. 棋盘上的粮食

中国、印度、埃及和巴比伦是世界四大文明古国。

传说,古印度有一个人发明了一种游戏棋,棋盘共 64 格,

玩起来十分新奇、有趣。他把这种棋献给了国王。国王玩得

十分开心,便下令赏赐献棋人。臣下问献棋人想要什么。献

棋人说:“他只需要粮食,要求大王给点粮食便心满意足了。”

问他需要多少粮食,他说只要求在棋盘的第一个格子里放一

粒米,在第二个格子放两粒米,第三个格子里放四粒米。总

之,后面格子里的米都比它前一格增大一倍,把 64 格都放满

了就行。

国王一听,满口答应。大臣们也都认为:这点米,算得了

什么,便领献棋人去领米。岂料,到后来把所有仓库里的存米

都付出了,还是不够。你知道这是为什么吗 ?

解:米粒数根据制棋人的要求。可列式为:

1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + ⋯ + 264 - 1

= 18446744073709551615(粒)

如果造一个仓库来存放这些米,仓库应是多大呢 ? 有人

算过,若仓库高 4 米,宽 10 米,那么长应是地球到太阳距离的

2 倍。这样的长方体仓库在地球上是容不下的,当然这只是

个假设。传说,当时计算米粒数宫廷里就整整算了三天 ! 这

是中学数学中“等比级数求和”问题。在当时只是凭手工硬乘

出来的。国库中当然不可能有那么多的粮食。

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6. 难解的遗嘱

传说很久很久以前,在印度有个老农民,临终前他将三个

儿子叫到面前,有气无力地说:“我就要见真主去了,这一生没

有给你们留下更多的财产,只有 19 头牛,你们分了吧:老大分

总数的12,老二分总数的

14,老三分总数

15。”说完,上气不接

下气,不久便闭上了眼睛,停止了呼吸。

三个儿子办完了丧事,便开始分牛了。

当时的印度,有不准宰牛的教规,三个儿子既要遵守教

规,又要执行老人的临终遗嘱,可是,左思右想也没有办法

解决。

一天,有个邻居从门前经过,见他们兄弟唉声叹气,很是

奇怪。当这邻居问明了原因后,思索了一会,又从家里牵来了

一头牛,便很快帮他们把牛分好了。

按照邻居老农的办法,既没有宰杀一头牛,又遵照了老父

的遗嘱。弟兄三人顿时眉开眼笑。

邻居老人用了什么办法呢 ?

解:老人把自己的一头牛也加在 19 头牛内,总数是 20 头

牛。这样便容易分了:

老大分牛的头数是:

20×12

= 10 头

老二分牛的头数是:

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20×14

= 5 头

老三分牛的头数是:

20×15

= 4 头

这样,兄弟三人分得牛的总头数是:10 + 5 + 4 = 19(头)

邻居老人再把自己的一头牛牵回。

7. 巧分宝石

传说,古代有个守财奴,临死前留下 13 颗宝石,嘱咐三个

女儿:大女可得12,二女可得

13,三女可得

14,若不依此分配,

则作为随葬品放进棺材。

老人咽气后,三个女儿无论如何也难按遗嘱分配,只好请

教舅父。

舅父知道了原委后说:“你们父亲的遗嘱不能违背,但也

不能将这么珍贵的物品用来陪葬,这事就由我来想办法分

配吧。”

果然,舅舅很快将宝石分好,姐妹三人都如数拿走了应分

得的宝石。你知道舅舅是怎么分配的吗 ?

解:舅舅将宝石先取出一粒放在旁边,而后再分。这样,

还有 12 颗。

大姐得:12×12

= 6 颗

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二姐得:12×13

= 4 颗

三姐得:12×14

= 3 颗

可是,先用 12 颗分的,前两个姐姐拿去了 10 颗,只剩下

2 颗了 ! 舅舅将原先取出的一颗交给小女儿,便恰好是 3

颗了 !

8. 座位循环

一天晚上,大众餐厅来了一群穿着简朴,风尘仆仆的青年

顾客,原来他们是从家乡外出打工来到城里的。

服务员给他们上好了饭菜,不料,几位青年为了座次的安

排却发生了争执。

有人提议:“应该以年龄为序,年长的坐上席。”

可是立即遭到反对:“那不成,咱们都没带户口簿,谁知谁

啥年出生 ?”因此谁也不愿先报年龄,生怕自己把年龄说小了。

“要不以个头高矮为顺序,高个的坐上席 !”又有人提议。

“那不成,儿子高过老子的多得是,假如父子同在一桌,难

道能让儿子坐首席 ?”这话就更难听了 !

这样,便始终达不成协议,其他客人都走光了,他们仍在

争吵不休。服务员前来劝说也不成。

饭店经理知道情况后,便和颜悦色地来到餐桌前说:“各

位客人先坐下,听我说一句话。”

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争论的时间已经很长,各人只得临时先入座,听听经理的

意见。

经理态度从容、胸有成竹地说:“咱们的饭店,价廉物美,

首先我们欢迎各位光临。这样吧,你们把现在的入座情况记

下来,明晚再来,请按另一个次序排列,后天再来,再按一个新

的次序排列。一句话,你们每次来吃饭都不要重复上一天的

座次,这样不论首席、末席人人都会轮着,公平合理。同时本

店另有优惠:你们总共 8 位客人,等到全部轮流一遍,回复到

今晚这样座次时,我们饭店将不再收费。每晚免费供给你们

一顿晚餐,而且这顿晚餐,任你们挑选,要什么菜,就上什么

菜。各位意见如何 ?”

“免费供给晚餐,这太好了,你这是说好听话吧 ?”青年们

显然不相信。

“我是饭店的负责人”,经理说:“从来说话都是算数的,要

不,我可以给你们签协议。”

“好 !”青年们一致赞同,“就照你说的办,我们写个协议

吧 !”于是经理与青年们郑重地签了协议。

从此,这 8 位青年每晚都按不同座次到大众饭店就餐。

再也没有争论,气氛融洽友好。

就这样,日复一日,一个月过去了,两个月过去,春去冬

来,青年们挣了些钱都准备回家过春节了。可是他们在饭店

就餐的座次仍然没有与第一次座次重复。

你说,这是什么原因呢 ?

解:计算一下便找到答案了。

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假如只是 3 个人就餐,六次便可重复了,即:123、132、

213、231、312、321。

假定是四个人就餐,其中一人座位不动,其他三位需变化

六次,才重复,即:4123、4132、4213、4231、4312、4321。当第四

个人一动,则需 6×4 = 24 次才能重复。

同理,五人就餐需 24×5 = 120(次)

六人就餐需 120×6 = 720(次)

七人就餐需 720×7 = 5040(次)

八人就餐需 5040×8 = 40320(次)

一年 365 天,每天一次,40320 次需多少年才能重复呢 ?

40320÷365≈110(年)

这就是说,这八位青年即使终生都在这饭店就餐,也不会

再重复原来座次的。也就是说,这位精明的经理,用最好的饭

菜免费供给,原本是不可能实现的,因为不用到重复座位时,

他们都已经去世了 !

9. 公主的线团

古希腊米诺斯国王有个公主,名叫阿里安娜,她聪慧善

良,在提修斯王子准备闯进迷宫杀死牛头怪物时,她给王子送

一个线团。因为一旦闯进迷宫,记不住出来的路线,就会困死

在迷宫里。王子利用线绳作记号,打入谜宫,杀死了牛头怪,

又顺利地返回。

因此,“阿里安娜”的线团”成为一个象征吉祥的名称,法

国便命名它的运载火箭为“阿里安娜”。

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如今,“阿里安娜”火箭可把通信卫星发射到离地球

36000 千米的圆形轨道上,那么,它绕这个轨道一圈再回到地

面,这个线团至少要有多长 ?

解:地球的半径约是 6400 千米火箭运行轨道的半径是:

36000 + 6400 = 42400(千米)

火箭运行的圆周长是

2πr 2×3.14×42400

= 266272(千米)

火箭从地球发射点到静止卫星轨道的往返距离是

36000×2 = 72000(千米)

火箭绕轨道一圈再回到地面的距离,也即阿里安娜线团

的长度是:

266272 + 72000 = 338272(千米)。

10. 多少士兵

传说,古代有一位新上任的将军,在出征前举行了一次队

列演习。他先命令士兵每 12 人为一组排成一队,结果最后一

队缺 1 人。他觉得最后有空缺是不吉利的。于是又改命每组

10 人,结果最后一组仍缺 1 人。便又改每组 7 人,排到最后

还是不足 1 人,直到最后每 5 人一组,总是缺 1 人。

这个将军非常迷信,认为这支部队总不正好,必然难打胜

仗,于是一直不敢出兵。

据说,将军的士兵总数不足 500 人。实际究竟是多少

人呢 ?

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解:这队士兵,如果每排是 12、10、7、5 都不多不少,那么

士兵的总数一定是 12、10、7、5 的公倍数。

12、10、7、5 的公倍数是无限多的,可求出这四个数的最

小公倍数:

最小公倍是:2×5×6×7 = 420

恰好不超过 500 人。

因为 12、10、7、5 每种排法都少 1 人,可见士兵的总数比

这四个数的最小公倍数少 1,即:420 - 1 = 419(人)。

11. 吝啬鬼

莫里哀是法国著名的喜剧作家。在他的著名喜剧《吝啬

鬼》中,主人公阿尔巴贡是个自私贪婪、爱财如命的人。他想

娶玛丽亚娜,又嫌她带不来彩礼。

于是他将媒婆找来,那媒婆投其所好,把玛丽亚娜大大的

夸奖一番:

“这个姑娘吃得很节省,这等于一年节省了彩礼;她穿得

也很朴素,一年又等于节省下彩礼;她还讨厌赌钱,假如赌钱,

一年至少要输掉万法郎,按算吧,也不是个小数 ! 所以节省下

来,彩礼钱不是出来了吗 ?”

媒婆的这段话,可看作一道数学题。你能根据媒婆的话,

知道阿尔巴贡想要多少彩礼钱吗 ?

解:从媒婆的“万法郎,就按算”,可知:

玛丽亚娜不赌钱可少输:

200005000( ) × = 法朗

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彩礼的总数可图示如下:

可知阿尔巴贡想要彩礼的总数是:

20000[1(13 + 14)]×÷ - 14

= ÷5000[1 - 712]

= ÷5000512

= 12000(法郎)

12. 智进敌巢

在《深山剿匪记》中,有这么一段故事:

一批残匪在面临灭亡的前夕,躲进了深山老林,他们凭借

高山狭谷负隅顽抗,我军数次强攻不下,那“一夫当关,万夫莫

开”的险要地形,使得这批匪徒有恃无恐。

靠强攻硬取,显然难度极大。如果趁敌人扫荡归山时混

进内部,也不容易。敌人层层设卡,从内外出要有特别通行

证,从外入内要交“进山证”,进山证是一次性的。入第一道

岗,撕去证票一半,进入内山便全票收回。临时外出便发给特

别通行证。

后来,我军通过内线搞到两张进山证。凭着这两张进山

证,班长等三个人进入了内山,并且相继有十余个战士也混进

了第一道岗哨。

在敌人毫无觉察的情况下,突然枪声齐鸣,内外夹攻,迅

速地缴下了敌人的武器,把全部敌人一起俘获。

想一想,我军是怎样利用两张进山证,派三人进入内山,

并且又相继混进去那么多战士的 ?

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解:班长化妆后先拿着进山证,进入内山后借口有事外

出,领取了一张“特别通行证”,出了山外。把特别通行证交给

第二个人。

第二个人用特别通行证过了第一道岗哨,进内山时,用去

进山证的一半,此时他还有另一半。进入内山时,也借故外

出,又领了一张特别通行证。出山后交给第三个人。

第三个人用同样的方法也得到一张特别通行证,这样,他

们便有了三张通行证。

而后,每次进山三人,再出来一人,把三张通行证都带出,

再进三人,再出一人。这样,就可以有无数个战士混进第一道

岗了。

13. 卖蟋蟀

我国古代曾流行“斗蟋蟀”游戏,一些吃了饭没事干的少

爷公子们,还利用斗蟋蟀的胜败进行赌博。

这样,就有了买卖蟋蟀的交易。

一位老人把抓到的 90 只蟋蟀,分给三个儿子,让他们到

蟋蟀市场卖掉。老人为了考考三个儿子的智力。对他们说:

“我这儿有 90 只蟋蟀,你们拿去卖掉。老大拿 50 只,老二拿

30 只,老三拿 10 只。卖价高低随你们自己定,但三人卖的价

钱要统一,卖的钱数必须是 50 个铜元。”

弟兄三人领走了蟋蟀,好不愁人,蟋蟀相差这么多,卖价

要一样,总钱数也要相等,该怎样卖才符合老父的叮嘱 ?

他们一路走,一路商量。

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最后还是聪明的老三想出了办法,他把自己的想法一说

出来,立刻得到老大、老二的赞同。

于是他们高高兴兴的来到蟋蟀市场。

最后,果然卖价统一,总钱数相等。便带着各自卖的 50

个铜元,眉开颜笑的去见父亲了。

亲爱的读者,你可知道他们是怎么卖的吗 ?

解:弟兄三人是这样卖的:

他们各人将自己的蟋蟀按优劣分组出售。把最好的留作

余数。每 7 只作一组,于是各人的蟋蟀余数是:

老大的:50÷7 = 7⋯1

老二的:30÷7 = 4⋯2

老三的:10÷7 = 1⋯3

每组的 7 只只整批不零卖,每组 5 元。剩下的上等蟋蟀,

每只 15 元,少钱不卖。这样,老大卖的钱是:

5 元×7 + 15 = 50 元

老二卖的钱数是:

5 元×4 + 15 元×2 = 50 元

老三卖的钱数是:

5 元×1 + 15 元×3 = 50 元

正好符合老人的要求:价钱要统一,总钱数要相等。

14. 鸡蛋总数

从前有个农妇到集镇去卖鸡蛋,回家后,家人问她一共卖

了多少个鸡蛋。农妇说:“没有数,只记得今天遇到的几个买

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主很有趣。”接着,他讲述了全部过程:

遇上的第一个人,买了全部鸡蛋的一半又半个;后来的一

个又买了余下的一半又半个。第三个人又买了篮里余下的一

半又半个,最后来的一个人把篮里的鸡蛋全部买去了,他买的

鸡蛋数又正好是第三个人买后余下的一半又半个。

可是家里的人,谁也算不出是多少个鸡蛋。

小朋友,你能帮他算算吗 ?

解:解决这样的问题,必须从结果倒推上去:

第四个人买的是第三个人买后余下的“另一半”又半个鸡

蛋,可见篮里只有一个鸡蛋了。

即:

第三个人买后余下:0.5×2 = 1(个)

第二个人买后余下:(1 + 0.5)×2 = 3(个)

第一个人买后余下:(3 + 0.5)×2 = 7(个)

篮里共有鸡蛋:(7 + 0.5)×2 = 15(个)

15. 紧急任务

连云港港口武警部队一天接到一个举报电话:在距营部

10 公里的海岸上,有一贩毒团伙。上级指示,必须派 60 名战

士一小时内赶到现场。如果步行约需 2 小时,乘汽车也需 20

分钟。但当时只有一辆能坐 30 人的汽车,如果分两次运,来

回需 4 趟,也超过了规定时间。“绝不能让这伙危害人民的坏

蛋溜掉。”战士们同仇敌忾。

情况紧急,怎么办 ?

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战士们七嘴八舌,想不出办法。

“有了 !”一直在沉思着的指导员忽有所悟的说:“还是乘

汽车 ! 按我的办法,60 个战士保证可以准时到达 !”

指导员想了个什么办法呢 ?

解:指导员的办法是:

先用汽车送走 30 名战士,车行 15 分钟后,战士下车步行

前进。汽车返回再运余下的 30 名战士,直至出事地点。

这样,60 名战士便可在 1 小时内全部赶到出事现场。

16. 童话里的狗

《皇帝的新衣》很多小朋友都读过了,谁能不被那奇特的

故事、曲折的情节所吸引 ! 它的引人魅力来源于丰富的想象。

这篇童话是丹麦作家安徒生写的。

他在另一篇《打火匣》里,写了三条狗的故事,也令人

叫绝 !

他写道:

“打开第一道门。哎呀 ! 那儿坐着一只狗儿,它的眼睛有

茶杯那么大,正在瞪着他。‘你这个好家伙 !’兵士说。他走进

第二个房间里去,哎呀,这儿也坐着一只狗,它的眼睛大得简

直像一对水车轮。随后,他就走进第三个房间里去。乖乖,这

可真有点骇人 ! 这儿的一只狗,两只眼睛真正有圆塔那么大 !

它们在它的脑袋里转动着,‘晚安’兵士说。他把它抱下来放

在地上。”

这三条狗,在实际生活中谁也没有见到过,因为,我们用

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数学的方法,将它们估算一下,它们都大得惊人 !

假定普通狗体重 20 千克,眼的直径是 2 厘米,茶杯的直

径是 8 厘米,水车轮直径是 4 米,圆塔直径 10 米,你能估算出

这三条狗的重量吗 ?

解:因为要求只是估算,所以可以把狗眼的直径和狗的体

积近似的看作成正比例。我们可以先求出它们的体积比。

第一条狗与普通狗体积的比是:

83 ∶23 = 512∶8 = 64∶1

第二条狗与普通狗体积的比是:

4003 ∶23 = 64000000∶8 = 8000000∶1

第三条狗与普通狗体积的比是:

10003∶2

3= 1000000000∶8 = 125000000∶1

我们把狗的体重与它们的体积也近似的看成正比例,那

么,第一条狗体重是:

20 千克×64 = 1280 千克

第二条狗体重是:

20 千克×8000000 160000000(千克)

= 160000 吨

第三条狗体重是:

20 千克×125000000 2500000000 千克

= 250 万吨

世界上哪有这么大的狗 ! 真是不算不知道,一算吓一跳 !

这么大的狗,士兵却能“把它抱下来放在地上”,这士兵的

力气更大得令人惊奇了 !

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可是,类似这些生活中根本不可能、不存在的事情,却并

不是安徒生的疏忽,而是他有意地运用了夸张手法,运用丰富

的想象,有目的地扩大或缩小事物的形象特征,使表达的效果

更加强烈。

17. 植树比赛

每年的植树节同学们都进行植树比赛。

今年的 3 月 12 日,四年级和五年级负责在一条公路的两

旁栽树。当五年级同学赶到时,四年级已经栽了 3 棵。

五年级同学端详了一下:“你们负责左边的怎么栽到我们

这边来了 ?”果然栽错了 !

“没关系 ! 可以算得清的。”四年级倚仗他们人多,很不在

乎。于是移到另一旁从头栽起。

有的挖坑,有的灌水,说说笑笑,干得热火朝天,结果五年

级先栽完。为了发扬团结友爱的精神,又帮四年级栽了 6 棵,

便全部栽完。

五年级同学非常自豪的说:“怎么样 ? 还是老大哥行吧,

咱们虽然栽得晚些,却仍比你们多栽 6 棵 !”

四年级同学说:“不对,你们只比我们多栽 3 棵 ! 因为你

们右边有我们先栽的 3 棵 !”

可是五年级偏说:“多栽 6 棵。”四年级则坚持 6 棵再减去

他们先栽的 3 棵,只多 3 棵 !”

每棵树的株距都是相等的,但那么长的公路,谁还愿意去

一棵一棵的数一遍呢 !

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那么究竟五年级多栽几棵呢 ?

解:假定公路左右两旁都栽了 100 棵树。

五年级栽了 97 棵后又栽了 6 棵,共 103 棵。

四年级在右边只栽了 94 棵,加上在左边的 3 棵,总共栽

97 棵。

所以,五年级实际多栽 6 棵(103 - 97 = 6)树。

18. 物不知数

华罗庚是世界著名的数学家。他出生在江苏金坛。是金

坛县中学第一届初中毕业生。

华罗庚在读中学时就显露了他的数学才华。

有一次数学老师王维克讲了一道历史难题:

“今有物不知其数,三三数之剩二;五五数之剩三,七七数

之剩二;问物几何 ?”

王老师说:“这是历史上的一道名题,出自古老的《孙子算

经》。后来传到了国外,不知引发了多少数学家的兴趣,也不

知绞尽了多少人的脑汁。”

这时课堂上寂静无声,同学们一个个紧张而困惑地思

考着。

忽然,一个同学站起来回答:“23 !”

大家的目光齐刷刷的集中在那个同学的身上。

他,就是一向不大惹人注意的华罗庚。

王老师十分惊讶,忙问:“你是怎么算出来的 ?”

华罗庚不慌不忙的讲出了自己的解法。

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王老师听了连声称赞:“算得巧,算得巧啊 !”

你知道华罗庚是怎样计算的吗 ?

解:“物不知数”问题,还被称作“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪

管术”、“韩信点兵”、“神机妙算”等等。国外称作“孙子定理”

或“中国剩余定理”。

华罗庚说:“我是这么想的:三个三个的数余二,七个七个

的数也余二,那么,总数可能是三乘七加二,等于二十三。二

十三用五去除余数又恰好是三,所以二十三就是这个题目所

求的数。”

明代数学家程大位在他的《算法统完》里有一道解这类题

的口诀:

三人同行七十稀,五树梅花少一枝,七子团圆正半月,除

百零五便得知。

意思是:用三数余 1 作 70,用五数余 1 作 21,用七数余 1

作 15(半月)。将各数和求出后再减去 105,便求得。

其中 70 是 5、7 公倍数中被 3 除余 1 的数;21 是 3、7 公倍

中被 5 除余 1 的数;15 是 3、5 公倍数中被 7 除余 1 的数。105

则是 3、5、7 的最小公倍数。

如果得数较大,可以连续减去 105。

依此,上题可列式为:

70×2 + 21×3 + 15×2 = 233

233 - 105 - 105 = 23。

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19. 高斯算法

哥根廷大学的校园中,矗立着以正十七边形为底座的塑

像,他,就是被誉为欧洲的数学王子、德国数学巨星高斯。

高斯在读小学时,解了一道著名的数学难题,传为佳话。

一天,不知是谁得罪了数学教师,使全班同学受到惩罚。

老师怒气冲冲命令全班:

“今天,你们给我计算 1 加 2 加 3 加 4。一直加到 100 的

总和,算不出来,不许回家吃饭 !”

说完,老师坐到一旁,独自看书去了。

同学们都乖乖的埋头写呀,算呀。一个个忙个不停。

当老师刚打开书,准备翻看时,一个小孩拿着写有解答的

小板站到他的身旁。

“老师,我做完了,你看对不对 ?”那孩子说。

做完了 ? 这么快就做完了 ? 老师连头都没抬,连连挥手

说:“错了,错了,回去算算。”

可那孩子硬是犟,站着不走,硬说他的答数是对的。

老师定神一看,不禁吃了一惊,小石板上端端正正的写着

5050 ! 一点没错 !

这孩子就是高斯,老师再细看他的算式,就更加惊奇,他

用的竟是一种独特的解法 ! 这种方法比一个数一个数的相加

当然快捷,省时。

你能知道高斯是怎么计算的吗 ?

解:高斯分析了这些加数的特点,他不是用逐个连加的方

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法,而是从两头相加,把加法变成乘法来做的:

1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100

= (1 + 100) + (2 + 99) +.. + (50 + 51)

= 101×50

= 5050

这个式中,101 是“首项”与“尾项”的和,50 是 100(项数)

的一半。

据此,可列成公式:

连续数的总和 = (首项 + 尾项)×(项数÷2)

如果相加的连续数的项数是奇数,还可以更简便为:

总和 = 中间项×项数

如:

= 15×7

= 105

20. 韩信分油

韩信是汉代的大将,小时候便爱动脑筋,聪明过人。

传说有一天,街上的两个卖油人正在争吵不休。路过这

里的韩信,出于好奇,呆呆地看着。他终于明白,原来这两个

人合伙卖油,因意见不合,准备把油桶里还剩下的十斤油平分

后各奔东西,又为了分油不均而争执不下。韩信仔细端详着,

他们手头没有秤,只有一个能装 3 斤的油葫芦和一个能装 7

斤的瓦罐。他们用油桶倒来倒去,双方总不满意,因而吵嚷起

来。有没有办法把油分精确呢 ?

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韩信面对两个各不相让的卖油人和眼前的油桶、瓦罐、油

葫芦,默默沉思着。

忽然眼前一亮,大声说:“你们不要吵了,没有秤,也能够

分均匀 !”说着,他把办法告诉了卖油人。

按照韩信的办法,两个人重新再分,果然都很满意。

解:先用油葫芦连装三次,共装 9 斤,将 7 斤的瓦罐注满

后,油葫芦里还剩 2 斤。然后将瓦罐的 7 斤再全部倒入油桶,

这时油桶里是 8 斤油。再将油葫芦内的 2 斤油全部倒进瓦

罐。最后用空葫芦在油桶里灌满(3 斤),倒进瓦罐。这样,油

桶里剩下的油和瓦罐中装的油都正好是 5 斤。双方各分其

一,恰好各人所得完全相等。

21. 分配鱼钱

李老汉和张老汉在河里打鱼,眼看天已过午,便决定煮鱼

充饥,于是李老汉拿出 5 条鱼,张老汉拿出 4 条鱼,他们在河

边煮好了鱼,刚要吃时,有个又饥又饿的过路人,走过来,说,

自己实在饿得不行,在这漫野荒郊也找不到饭店。那副可怜

巴巴的模样实在令人同情,两个渔翁便同意三个人一块儿分

享,于是每人吃了 3 条鱼。

过路人非常感激,留下了 3.6 元钱,继续赶路了。

如果按各人拿出鱼的数量分配这 3. 6 元钱,李、张二人该

各得多少呢 ?

解:显然这是道按比例分配的问题。

有人这么想:

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李老汉 5 条鱼,张老汉 4 条鱼,鱼的数量比也就是钱数的

比,因此 3.6 元钱应 5∶4 分配给两人。

于是列成了下列算式:

李应得:3.6×59

= 2 元张应得:3. 6×49

= 1.6(元)

实际若这么计算就错了 ! 因为总数是 9 条鱼,每人吃了

3 条。过路人吃的 3 条鱼中有 2 条是李的,只有 1 条是张的。

过路人留下的 3. 6 元钱应按 2∶1 分配给李、张两人。

正确的算法应该是:

李应得:23×3.6 = 2.4 元张应得:

13×3.6 = 1.2 元

22. 打捞铁牛

“曹冲称象”的故事,大家都比较熟悉,可是“打捞铁牛”的

故事却很少有人知道。

事情发生在很久以前的宋代。

永济县的城门口贴了一张醒目的官府“告示”,上面写着:

黄河泛滥,城外浮桥冲毁。两岸拴桥的八大铁牛亦卷入

水中。为重建浮桥,镇住洪水,有能将铁牛一一捞出者,赏银

千两。告示前围着一堆人仰头观看,议论纷纷。人们常说“重

赏之下必有勇夫”,可是“赏银千两”,虽是重金,却没有勇夫。

一条铁牛数千斤重,那时候又没有现代起重机,谁有这么

大的力量,能把铁牛拖上来 ? 更何况铁牛还沉没在水下 !

有人说:“除非等水退下了,叫几百个人去抬。”“眼下洪水

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泛滥,没有铁牛镇住。怎么能等到河水干涸呢 ?”

官府担忧,百姓也心急。

告示贴出多日,无人敢揭榜应召。

一天忽然来了个穿着宽大法衣面目清瘦的和尚,他认真

地读了几遍告示后,便捋起衣袖,伸手揭下告示,将它折叠起

来,从容地拿走。

围观的人看着这位身体单薄的光头和尚,一片惊疑,有人

鄙夷地问道:

“师父,你揭榜是去捞铁牛吗 ?”

这话还用问吗 ? 和尚没有回答。

有人好奇地问道:“一个铁牛几千斤,八个铁牛数万斤重,

师父,莫非有神仙帮助你捞吗 ?”

和尚淡淡一笑,说:“铁牛是被水冲走的,我就让水再把它

送上来。”这神神秘秘地回答,更让大家捉摸不透。

打捞铁牛的那天,围观的人群黑压压一片。

只见那个光头和尚,请了一些助手,撑着两只木船,果然

把铁牛把一个个捞了出来。

后来人们才知道,这位和尚就是著名的工程学家怀丙。

你能知道怀丙是怎样把铁牛从水里捞出来的吗 ?

解:怀丙和尚的方法是:

将两只木船装满泥沙,直至重量使船舷稍高出水面,并在

两船之间横拴着一根粗大的木料,将船划到铁牛沉没的水上

停下。

再请水性好的人,带着绳索潜入水底,将绳的一端牢系在

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铁牛身上,另一端拉紧,绑在两船之间的木料上。

最后,叫人把船上的泥沙扔到河里,这样船的重量减轻

了,靠水的浮力,船舷便逐渐高离水面,从而通过木料上的绳

索把铁牛提起,吊在水中。这样划动船浆,铁牛便被拖到新建

浮桥的地方了。

23. 野 炊

毕业前夕,少先队举行了一次野营活动。大自然的美妙

景色,深深地吸引了每位同学。远山、近水、绿草、红花,连空

气都净洁、清爽。大家采标本、听故事、唱歌、说笑,忘记了疲

劳和饥饿。

中午开饭时,中队长到负责后勤的老师处领碗。老师问:

“你们中队多少人 ?”

“一共 36 个。”中队长回答。

后勤老师说:“你自己来取,按一个人一个饭碗,两个人一

个菜碗,三个人一个汤碗,不准多拿。”

可是中队长被难住了,算了好半天,也不知该领多少

个碗。

你能帮帮中队长吗 ?

解:我们可以这样想:如果按 6 个人一组,每组需要饭碗

6 只,菜碗 3 只,汤碗 2 只,这样每组就需要 6 + 3 + 2 = 11

只碗。

全班共有 36 人,可以分成 6 组,因而一共需要领碗:

(6 + 3 + 2)×(36÷6) = 11×6 = 66(只)

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24. 科学施工

宋代真宗在位时,传说皇宫曾遭到一次大火,一夜之间,

繁华壮丽的宫室楼台殿阁亭榭变成了一片废墟。

大火之后,宋真宗派晋国公丁谓主持修缮工程。

皇宫地处整个城市的腹心位置,人口密集,交通拥挤,面

对这项重大工程,必须解决三大问题:第一,要把大火留下的

大量废墟垃圾进行清理;第二,要运进大批的木、石等建筑材

料;第三,要有大量的新土供施工使用。而且在施工过程中不

能影响城内的交通和生活秩序。

面对这些复杂而棘手的问题,丁谓反复思索,终于设计出

一套科学的施工方案,十分圆满地解决了问题。

请你也设身处地考虑一下怎样才能把上述问题妥善

解决 ?

解:丁谓的施工方案是:

首先,从施工现场向外挖了若干条大深沟,把挖出来的土

作施工备用,解决了新土问题。

第二步,把汴河水从城外引入新沟,新沟便成了一条水上

运输线,木料、石料便可用木排和船运进建筑工地,解决了运

输问题。

第三步,建筑材料备好后,便将大沟中的水排出,把废墟

垃圾填入沟中,使大沟重新成为平地。

于是,下一步便可按部就班地进行施工了。

这个施工方案蕴含着运筹学的思想,不仅节约了时间和

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经费,还保证了工地秩序有条不紊。

25. 检验王冠

传说古希腊的国王,想制一顶与泰尔的王冠一模一样的

纯金王冠,便召见一位高明的首饰匠,向他说明了旨意,并如

数让他称走了黄金。

过了一段时间之后,首饰匠如期将王冠交来,外表金碧辉

煌,确实与泰尔的王冠完全相同,重量也恰如取走的黄金。国

王按照自己原先的许诺,给了首饰匠重重的奖励。

但是那个首饰匠的举止行动像个骗子,被取去的黄金会

不会偷换下来而掺进了别的金属 ? 面对这个金色的王冠,国

王的心一下子冷了 ! 但是不把王冠熔化,又怎能判定黄金中

是否掺了假 ? 这么美丽辉煌的王冠,又怎么舍得再熔化 ? 国

王被这个难解的疑团日夜缠绕,寝食不安,终于卧病不起。

最后,他召见了阿基米德。

阿基米德是当时最著名的智者。国王把这个难题交给了

他:必须检验王冠是不是纯金制造,却又不准损坏王冠的一丝

一毫。

阿基米德苦思冥想,把所有想到的办法,都作了尝试,然

而仍不能揭开王冠的秘密。他忘记了饮食、睡眠,忘记了洗

澡、治病,痴痴迷迷,连梦中都叨念着:“王冠⋯⋯国王⋯⋯首

饰匠⋯⋯银子⋯⋯金子⋯⋯”

几个星期以后,阿基米德蓬头垢面,妻子把他赶进了浴

室里。

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当阿基米德浸入水中之后,突然感到自己的体重减轻了,

只要轻轻用力,身体就能浮起。此时,他满脑袋的仍是王冠

⋯⋯国王⋯⋯首饰匠⋯⋯金子⋯⋯银子⋯⋯。身体一会儿沉

下,一会儿浮上,浴盆的水位也一会儿升,一会儿降⋯⋯

阿基米德忽翻身跳起,大声高呼:“有办法了,有办法了 !”

连衣服也没穿,光着身子直向王宫奔去,路上留下一条湿漉漉

的足迹。你知道,阿基米德从水的浮力中得到了什么启示吗 ?

解:阿基米德根据身体在浴缸中沉浮引起了水位升降的

道理,取了一只盛满水的容器,将王冠放进水中,容器里的水

必然溢出。他把溢出的水收集在另一个容器里。

接着他将一块与王冠同样重的纯金,也放进那个盛满水

的容器中,再把溢出的水收集起来。

如果王冠是纯金制成的,那么两次溢出的水应该同样多,

可是王冠排出的水,与纯金排出的水并不同,说明王冠中掺进

了比重与纯金不同的材料,从而断定金冠中被掺了假。

阿基米德终于解决了难题。狡诈的金匠因此受到了

惩罚。

26. 王冕取环

元代的大画家王冕,小时候家境贫苦,没有书读,常常独

自躲在学堂门外,听先生讲课。他聪明刻苦,放牛时,牛儿去

吃草,他便独自在池边用树枝作笔,大地为纸,临摹池中荷花。

最终成为远近闻名的大画家。

传说,他小时候曾为一个财主当雇工,讲明的条件是:每

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月以一个银环作工钱。

当王冕做完了一个月工作后,财主却拿了一串银环出来,

在他面前晃了晃,说:“喏,这都是你的工钱,但是有个条件:这

七个银环只准断开其中一个,你每月也只能取走一个。当月

付清当月的工钱,不拖不欠。假如你违反规定,不但捞不到工

钱,还要把已经付出的全部收回。”

王冕一听,这显然是在刁难他。但是穷人又上哪去讲理 ?

他只得答应照办。

为了挣钱活命,他每天一面给主人辛勤劳动,一面思考着

怎样才能按月取走工钱。

后来,他终于想到了办法,在七个银环中只断开一个,以

后每月都如数地取走一个银环的工钱。

王冕用了什么办法呢 ?

解:

王冕取第一个月的工钱时,断开了第三个环。并将第三

环取走。

第二个月将第一个月取走的银环退回,换走第一、二两个

连接在一起的银环。

第三个月再把断开的那只银环取走。

第四个月用前三个月领得的三个银环,换回四、五、六、七

四个银环。第五、六、七几月的取法分别与第一、二、三月取法

相同。

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27. 玩具猫之谜

两位美国专家去埃及参观金字塔。

一天,工程专家独自在街头闲逛,忽见一个老妇人卖一只

非常精致的玩具猫。标价 500 美元。

那老妇人说:“这是自家祖传宝物,眼下只因孙子病重,无

钱住院,才不得已拍卖的。”

专家用手掂了掂,猫体很重,全身黑色,像是黑铁铸成,一

双眼炯炯有神,凭着他丰富的知识,断定这两只眼确实是两颗

货真价实的珍珠。工程师说:“我只买下两只猫眼,给你 300

美元,可以吗 ?”

老妇人同意了。

工程师高兴地回到宾馆,对同伴说:“我只花了 300 美元,

便买下了这两颗硕大的珍珠。”

这位同伴是个逻辑学家,见这两颗大珍珠,少说也值上千

美元。便问:“是怎么回事 ?”

工程师如实讲述了事情的经过。

听完了工程师的叙述后,逻辑学家二话没说,飞快地奔向

街头。一会儿工夫,拿着那没了双眼的黑猫回来了。

“多少钱 ?”工程师问。

“200 美元。”逻辑学家答,“标价 500,已卖 300, 再给她

200 美元,卖主不是如愿以偿吗 !”

工程师不禁嘲笑地说:“你真愚笨,这没了双眼的铁猫,怎

么能值 200 美元呢 ?”

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逻辑学家没说话,只是用手不停地掂摩他的黑猫。

“上当了吧 ?”工程师仍不停地说三道四。

逻辑学家胸有成竹,态度从容,只是不说话。突然他灵机

一动,拿出小刀,细心地刮着猫脚。当一层黑色脱落后,他一

阵惊喜:“你瞧,我上当了吗 ?”工程师一见,惊得目瞪口呆,原

来愚蠢的正是自己,赚了大钱的却是逻辑学家。

你知道,这是为什么吗 ?

解:原来这只黑猫通体是用纯金铸就的。铸造这只金猫

的主人,怕金身暴露,便用黑漆将猫身涂盖起来,外表酷似

黑铁。

工程专家虽然知识渊博,能识别真假珍珠,可是他缺乏逻

辑学家的思维艺术,分析、判断不全面不深入。

在逻辑学家看来,玩具猫是个整体,既然猫眼是用珍贵的

珍珠做成,那么猫体不会用黑铁这种不值钱的金属铸造,表面

的颜色很可能是假象。事实证明逻辑学家的判断是正确的。

28. 什么、多少

一天,商店的王伯伯讲了一个有趣的故事。他说:“有一

次,来了一个奇怪的顾客,问他买什么,他不说名称,却顺口说

了一道谜语:大哥说话先喝水,二哥说话先挨刀,三哥说话口

流油,四哥说话雪花飘。

“我本来就是个猜谜能手,”王伯伯自豪地说,“他哪能难

住我 ! 我便拿出了他要买的四样东西,问他各要多少,他随口

说了个顺口溜:

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一支半、两支半,

三支半、四支半

再加八支请你算。

我又如数的清点出来。

“一共多少钱 ?”他终于说话了。

王伯伯说:“这回轮到我难他了,多少钱么———

一二三,三二一,

一二三四五六七,

七加八,八加七,

九加十分加十一。

这些数,先算好,再乘三十一便知晓。

不料,这人头脑真灵,只一会儿功夫,便把钱如数清点给

我了。”

小朋友,你能知道来人买的东西、数量和花的钱数吗 ?

解:来人买的四样东西是:钢笔、铅笔、圆珠笔、粉笔。笔

的数量和价钱用的都是加法。共 20 支。共用钱 31 元。

29. 考儿媳

传说清代有位田大人,因老伴体弱多病,他决定在儿媳中

选一个精明能干的代管家务。

他有四个儿子,只有小儿子尚未娶亲。

一天正是二月二儿媳妇回娘家的日子,田大人吩咐三个

儿媳说:“大媳妇回去住半个月,来时给我捎回二斤骨包肉;二

媳妇回去住三五天,回时捎二斤肉包骨;三媳妇回去住七八

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天,回来时稍二斤没肥、没瘦、没骨、没肉来。你们一起走,同

时回,谁也不能耽误 !”

在旧社会,长者的话就是命令,谁都不能违拗。

三个儿媳一同回娘家,岔路口要分手时,约定在这里等齐

一块回家。可是仔细一想,有的住半个月,有的住三五天,有

的住七八天,怎能在同一天回来呢 ? 再想想公公要捎回的东

西,那么奇巧,到哪里去寻 ? 禁不住坐了下来唉声叹气。

一会儿有位过路的聪明姑娘,见状忙问:“三位嫂子是什

么事这么愁眉苦脸泪眼汪汪的 ?”

妯娌三人便把公公吩咐的话如实相告。

不料,那位姑娘说:“这有什么难的 ?”说罢,便入情入理地

讲了出来。妯娌三人听了顿时眉开眼笑,十分感谢姑娘的指

点,便问那姑娘:“姓什么 ? 家住哪 ?”

那姑娘嫣然一笑,说:“我姓一月二十九,到期我就走,家

住二三里,空空树,门前有个磕米虫,房上有根空心柱。”说罢,

飘然而去。

后来三个媳妇准时回家,并按要求给公公捎来了他要的

东西。田大人知道了是过路姑娘的指点,急忙托媒人找到那

个姑娘提亲,姑娘答应了这门亲事,不久做了田家的四儿媳

妇,代替婆婆掌管了家务。

请问,这姑娘姓什么 ? 家住哪 ? 他向三位媳妇说了些

什么 ?

解:从“一月二十九,到期我就走”,推知姑娘姓“赵”,因为

二十九是小月,小月加走,便是“(赵)”。

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“家住二三里”,二三得六里,“空空树”,即树中空,是

“村”,是说姑娘在“六里村”。“磕米虫”是碾子,“空心柱”是烟

囱,是说她家门前有盘石碾,房上有个烟囱。

姑娘向三妯娌说:“半月是十五天,三五一十五也是十五

天,七加八也是十五,公公是要他们住十五天便回来,大媳妇

带二斤核桃,二媳妇带二斤红枣,三媳妇带二斤猪血。”

30. 斐波那契数列

斐波那契是意大利的数学家。他是一个商人的儿子。儿

童时代跟随父亲到了阿尔及利亚,在那里学到了许多阿拉伯

的算术和代数知识,从而对数学产生了浓厚的兴趣。

长大以后,因为商业贸易关系,他走遍了许多国家,到过

埃及、叙利亚、希腊、西西里和法兰西。每到一处他都留心搜

集数学知识。回国后,他把搜集到的算术和代数材料,进行研

究、整理,编写成一本书,取名为《算盘之书》,于 1202 年正式

出版。

这本书是欧洲人从亚洲学来的算术和代数知识的整理和

总结,它推动了欧洲数学的发展。其中有一道“兔子数目”的

问题是这样的:

一个人到集市上买了一对小兔子,一个月后,这对小兔子

长成一对大兔子。然后这对大兔子每过一个月就可以生一对

小兔子,而每对小兔子也都是经过一个月可以长成大兔子,长

成大兔后也是每经过一个月就可以生一对小兔子。那么,从

此人在市场上买回那对小兔子算起,每个月后,他拥有多少对

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小兔子和多少对大兔子 ?

这是一个有趣的问题。当你将小兔子和大兔子的对数算

出以后,你将发现这是一个很有规律的数列,而且这个数列与

一些自然现象有关。人们为了纪念这位兔子问题的创始人,

就把这个数列称为“斐波那契数列”。

你能把兔子的对数计算出来吗 ?

解:可以这么推算:

第一个月后,小兔子刚长成大兔子,还不能生小兔子,所

以只有一对大兔子。

第二个月后,大兔子生了一对小兔子,他有了一对小兔子

和一对大兔子。

第三个月后,原先的大兔子又生了一对小兔子,上月出生

的小兔子也长成了大兔子,他共有一对小兔子和两对大兔子。

第四个月后,两对大兔子各生一对小兔子,上月出生的小

兔子又长成了大兔子,他共有两对小兔子和三对大兔子。

第五个月后,三对大兔子各生一对小兔子,上月出生的两

对小兔子也长成了大兔子,他共有三对小兔子和五对大兔子。

以此类推,可知:每月的小兔子对数等于上月大兔子的对

数,每月大兔子的对数等于上月大兔子与小兔子的对数之和。

我们把大小兔子的对数写成上下两行,从买回小兔子算

起,每个月后他所拥有的兔子对数便是:

月 数 一 二 三 四 五 六 七 八 九

小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21

大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34

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仔细观察两行数发现它们是很有规律的:每行数,相邻的

三项中,前两项的和便是第三项。

有趣的是:雏菊花花蕊的蜗形小花,有 21 条向右转,有

34 条向左转,而 21 和 34,恰是斐波那契数列中相邻的两项;

松果树和菠萝表面的凸起,它们的排列也分别成 5∶8 和 8∶

13 这样的比例,也是斐波契数列中相邻两项的比。

这个数列不仅在数学、生物学中,还在物理、化学中经常

出现,而且它还具有很奇特的数学性质,真是令人叫绝 !

31. 数学家高斯

高斯(1777～1855 年)是继阿基米德和牛顿之后,世界上

最伟大的数学家之一。在超几何级数、复变函数、统计数学和

椭圆函数论等方面,都作出了十分重大的贡献。在天文学、测

地学、电磁学等方面也取得很大成就,并联系这些工作建立了

最小二乘法、曲面微分几何、势论等重要的数学理论。关于向

量分析的定理、代数基本定理的证明、质数定理的验算等也作

出著名的贡献。他还是非欧几何的创始人之一。

高斯出生于法国布伦瑞克的一个农家。早在童年时代,

就表现出非凡的数学天才。3 岁就学会了数学,10 岁时就用

简便计算回答了 1 到 100 连续相加的问题。1795 年进入了

他向往已久的哥廷根大学学习,1801 年他的巨著《算术研究》

问世,对后来的数学发展产生了重大影响。他的《曲面的一般

研究》是微分几何发展的一个里程碑。他的著作很多,留下的

遗著直到二战前夕,才由哥廷根大学的学者们研究整理,出版

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了高斯全集,共十一卷。

高斯一生中,培养了一些杰出的数学家。他对数学的深

刻理解和深刻的数学思想,吸引了大批优秀青年为数学献身。

高斯的形象成为数学告别过去走向现代数学时代的象征。人

们称他为“数学之王”,便是表明他的成就和崇高威望。

1855 年高斯在他的阿根廷寓所与世长辞了,后人给他的

墓碑基石制成了正十七棱柱形。你知道,这是为什么吗 ?

解:从欧几里德时代起,人们就对正多边形的尺规作图问

题进行了大量的研究。

正三角形和正四边形很容易只用圆规、直尺将图作出,对

正五边形,人们也会用黄金分割的方法,用尺规作图,但当正

多边形的边数是 7、9、11、13、17、19 时,能不能用尺规作图,却

长期得不到解决。

1796 年,年仅 19 岁的高斯却使数学界发生了一件轰动

一时的新闻:一个两千多年来一直悬而未决的关于正十七边

形的尺规作图难题,被他解决了 !

把高斯墓碑的基石刻成正十七边形,正是纪念他在青年

时代的最重要的数学发现。

1989 年 7 月在高斯的故乡举行第 30 届国际数学奥林匹

克赛,会徽也是正十七边形,中间镶着高斯的头像,同样是纪

念这位为数学作出重大贡献的伟人。

32. 算筹的故事

如果历史能够像电影胶卷那样可以倒转,我们将会看到

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———三国时期,数学家刘徽席地而坐,他正在全神贯注地计算

着圆周率。从圆内接正六边形,日复一日,直算到圆内接正

192 边形。他把圆周率算到了 3.1410。帮他完成这些计算

的,是手中那一把小棒棒。

南北朝时期,科学家祖冲之运用刘徽的方法,也在埋头计

算。他把圆周率计算到了小数点后面第七位,并断定圆周率

在 3.1415926～3. 1415927 之间。这么精密的计算,也是靠着

手里那一把小棒棒 !

你也许要问:这神奇的小棒是什么 ?

说起这种小棒,人们还记得一次考古发现。

一九七八年八月,陕西省千阳县城东北的一个建筑工地,

挖地基时意外地发现了一座古墓。考古学家认定是西汉时期

的墓葬,从那里挖出了陶罐、古钱、铜镜、铜铃等等生活用品。

令人奇怪的是,在墓主人的腰部还发现一个丝绢囊,里面装着

一把像筷子样的小棒棒。但是,若真是筷子,为什么却又不和

生活用品放在一起 ? 墓主人把它系在腰间,可见是珍贵的。

然而它既不是金银,也不是珍宝,仅仅是用一些兽骨精磨而

成的。

后来经过考古学家认真研究,终于弄明了真相,并且发现

它与算盘的发明有一定的关系。

你知道这是怎么回事吗 ?

解:原来这是古代的一种叫做“算筹”的计算工具。它可

以表示任何自然数,还能够进行加、减、乘、除、乘方、开方等复

杂的计算问题。刘徽和祖冲之用的正是这种称为“算筹”的

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小棒。

当时,人们对“算筹”是非常珍视的。木、竹、骨都可以制。

为了减少反复制作的麻烦,方便携带,还专门做了算袋或算子

筒。那位墓主人腰间的丝绢囊,正是装“算筹”的算袋。

随着社会的进步,生产的发展,需要计算的数字越来越

大。“算筹”用起来就显得很不方便了。为了避免算筹的丢

失,减少在地上摆放搬移筹棒的麻烦,人们便设法使“算筹”连

结到一起,固定在一定的物体上。于是,便想出了用一粒粒算

珠代替筹棒,用细棒把算珠穿起来,固定在木框上,用手指拨

动算珠代替移动筹棒。这样“算盘”就发明了 !

如果把“算筹”和算珠表示数的方法,作一比较,将会发

现:它们是多么相似啊 !

最初的算盘是什么样子,也无法知晓。明代初年的算盘,

中间是一根细木片将上下珠隔开。明代中叶,横梁(隔片)才

加固渐宽。明朝末年的算盘,已和近代相同了。

到了现代,人们为了减少拨珠清盘的麻烦,对算盘又作了

一些改进。由原来上档两株变为一珠,并加上了清盘装置。

算珠的形状、大小更适于操作。于是,古老算盘作为中华民族

的瑰宝,仍以它特有的功能,与现代计算器并肩携手摆放在财

会人员的办公桌上。

33. 计算工具的历史

在漫长的历史长河中,随着社会的发展和科技的进步,人

类进行运算时所运用的工具,也经历了由简单到复杂,由低级

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向高级的发展变化。这一演变过程,反映了人类认识世界、改

造世界的艰辛历程和广阔前景。现在我们溯本求源,看一看

计算工具是怎样演化的:

1. 石块、贝壳计数

原始社会,人类智力低下,当时把石块放进皮袋,或用贝

壳串成珠子,用“一一对应”的方法,计算需要计数的物品。

2. 结绳计数

就是在长绳上打结记事或计数,这比用石块贝壳方便了

许多。

3. 手指计数

人类的十个手指是个天生的“计数器”。原始人不穿鞋

袜,再加上十个足趾,计数的范围就更大了。至今,有些民族

还用“手”表示“五”,用“人”表示“二十”,据推测,“十进制”被

广泛运用,很可能与手指计数有关。

4. 小棒计数

利用木、竹、骨制成小棒记数,在我国称为“算筹”。它可

以随意移动、摆放,较之上述各种计算工具就更加优越了,因

而,沿用的时间较长。刘徽用它把圆周率计算到 3. 1410,祖

冲之更计算到小数点后第七位。在欧洲,后来发展到在木片

上刻上条纹,表示债务或税款。劈开后债务双方各存一半,结

帐时拼合验证无误,则被认可。

5. 珠算

珠算是以圆珠代替“算筹”,并将其连成整体,简化了操作

过程,运用时更加得心应手。它起源于中国,元代末年(1366

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年)陶宗义著《南村辍耕录》中,最初提到“算盘”一词,并说“拨

之则动”。十五世纪《鲁班木经》中,详细记载了算盘的制作

方法。

到了现代,一种新型的电子算盘已经问世,它把算盘与电

子计算器的长处集为一体,是一种中外结合的新型计算工具。

6. 计算尺

公元 1520 年,英国人甘特发明了计算尺,运用到一些特

殊的运算中,快速、省时。

7. 手摇计算机

最早的手摇计算机是法国数学家巴斯嘉在 1642 年制造

的。它用一个个齿轮表示数字,以齿轮间的咬合装置实现进

位,低位齿轮转十圈,高位齿轮转一圈。后来,经过逐步改进,

使它既能做加、减法,又能做乘、除法了,运算的操作更加简

捷、快速。

8. 电子计算机

随着近代高科技的发展,电子计算机在二十世纪应运而

生。它的出现是“人类文明最光辉的成就之一”,标志着“第二

次工业革命的开始”。其运算效率和精确度之高,是史无前例

的。在此之前,英国数学家桑克斯用了 22 年的精力,把圆周

率π算到小数点后 707 位,以至在他死后,人们在其墓碑上刻

着π的 707 位数值,表达了对他的毅力和精神的钦佩。

请问:假如桑克斯使用现代的计算机只需多长时间可完

成演算 ?

解:电子计算机是由电子原件构成的,具有逻辑运算和数

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字运算功能的计算工具。世界上第一台计算机是二十世纪四

十年代诞生的。当时体积大得如几间房屋。至二十世纪七十

年代,出现了晶体管计算机,继而产生了第三代集成电路和大

规模、超大规模集成电路的第四代计算机。目前已出现接近

人脑功能的第五代计算机(机器人)。它每秒钟能进行千万次

的运算。桑克斯手工花 22 年光阴完成的运算,若使用现代的

电子计算机只需数秒钟即可完成。

目前,一种新型的电子计算笔已经问世。它能将书写运

算式子的结果立即在晶液显示管中显示出来,而且能储存笔

迹。若在银行存款,可使作伪冒领者无机可乘 !

拼 移 智 慧

解决各种拼移问题,常常需要巧妙思维,打破常规,跳出

圈子,因势利导,独辟蹊径,才能在看似“不可能解”的问题中,

找到“可能”,进行巧妙的分割、接拼。

阅读了本章的内容,相信对你解决实际问题会有一定的

帮助。

拼移图形是一种技巧和智慧。

几根火柴棒组成一道算式或一个图形,本非难事。可是

只移动一根或几根,使它变成一个全新的算式或图形,却并不

容易。

将一个图形分割成几块拼成新的图形,或是将几个图形

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拼成一个图形,假如都是规则形,也许不难。问题是有些图形

与新拼的图形有天壤之别,常常是变曲为直,或变直为曲,而

又要拼接得天衣无缝,就更非易事了 ! 这就需要仔细观察,认

真思考。

别看这些好像很不起眼的“小杂耍”,可是它却蕴含着深

刻的道理,隐藏着重要的实用价值。

在日常生活和生产实际中,经常有一些难题。然而常常

见到甲是难题,碰到乙便轻而易举地解决了。

人们常说“木匠手下无废材”。为什么废材到了木匠的手

里便成了有用之材呢 ? 就是因为木工师傅有丰富的实际经

验。什么木头够什么料,一眼就看清了。工厂里的下料,工艺

美术的图案设计,都离不开拼移技术。

将来我们都要走向工作岗位,不论是从事农业生产还是

进行科学研究,都不可避免地会遇到各种各样的问题。缺乏

锐敏的观察力和分析判断本领,是难以应付纷繁的生活实

际的。

脑筋愈用愈活。

我们研究各种拼移趣题,就是要活跃头脑,丰富实践,使

我们变得“心灵手巧”。

解决各种拼移问题,常常需要巧妙思维,打破常规,跳出

圈子,因势利导,独辟蹊径,才能在看似“不可能解”的问题中,

找到“可能”,进行巧妙的分割、接拼。

阅读了本章的内容,相信对你解决实际问题会有一定的

帮助。

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1. 摆直角

有人问智者:“给你三根小棒,你能摆多少个直角 ?”

智者回答道:“最少可摆两个,最多可摆 12 个,还可以摆

4 个,5 个,6 个,8 个。”

你知道他是怎么摆的吗 ?

2. 排正方形

用 4 根火柴棒可以排一个正方形。

如果用 7 根排两个正方形、用 8 根排三个正方形,该怎

么排 ?

解:把两个正方形连在一起排,只用 7 根便可排成两个正

方形:用 8 根火柴棒排出三个正方形,就要很好地动动脑

筋了。

你是怎么排的 ?

3. 三个三角形

用 9 根火柴棒排成了三个三角形。仍用这 9 根火柴棒,

排成五个三角形,该怎样移动 ?

解:把下面的一个三角形移在上面,即可。

这样,外边是一个大三角形,里边是四个小三角形,一共

便是五个三角形了。

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4. 小猪转向

由 12 根火柴摆成一只小猪。现在要求只移动一根火柴,

使小猪站立调转方向,该如何移 ?

解:现在的小猪是头在右方而尾向左方的。要使它变成

头在左而尾在右方,没有必要打乱重摆。因为决定小猪站立

的方向,关键在头尾,现只准移动一根火柴,应把注意力集中

在头、尾部想办法。其实,只要把头下方的一根火柴,移放到

尾下方,小猪便调转方向了。

5. 摆三角形(一)

媛媛说:“因为三角形必须有三条边,所以三根火柴可以

摆成一个三角形。”

倩倩说:“不,用三根火柴我可以摆成四个三角形。”

媛媛看了倩倩摆的图形,果然是四个三角形。

你知道倩倩是怎么摆的吗 ?

解:这类问题,如果思路只停留在平面上,便不可能找到

解决办法,超越常规的问题,就要用超越常规的思路。倩倩是

将三根火柴立起来摆的。

6. 摆三角形(二)

老师拿出 6 根小木棒,3 根长的相等,3 根短的也相等,但

短的只有长的一半。

“谁能用这 6 根小棒,摆成四个完全相同的正三角形 ?”老

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师问。

同学们你看我,我看你,半晌无人回答。

小朋友,你能摆成吗 ?

解:六根小棒要是孤立地摆放,只能摆成两个三角形。现

在要摆成四个三角形,必然是组合在一起的。

摆成右面的图形,便符合要求了。

7. 巧移硬币

有 10 枚硬币排列成“十”字形,有人能将它移动几枚后,

使得不论横数或直数都成了 6 枚。

他是怎么移动的呢 ?

解:共 10 枚硬币,排成横直都是 6 枚,显然是不够的。这

就需要突破常规思维。如果在一个位置放两枚呢 ?

处在十字中心的一枚是与横直都有关联的。将这个位置

重叠一枚问题便迎刃而解了 !

8. 绳拴鲤鱼

用 1 米长的绳子拴着 6 条鲤鱼,每条鱼中均间隔 20 厘

米。卖掉 1 条鲤鱼后,绳子没有剪掉,其他各条鲤鱼也没有解

开重扣,两条鲤鱼间仍是间隔 20 厘米,这是怎么回事 ?

解:六条鲤鱼,绳子的两端各拴一条。中间 4 条,卖掉一

条,只剩 5 条了,仍用这根子,每条间距离仍是 20 厘米。思路

如果不拐个弯儿,便百思不得其解。

没有规定绳子必须是直的呀 ! 将余下的绳头弯转过来,

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系在末端的一条鱼上,使它们连成圆圈,问题不就解决了嘛 !

9. 空满相间

桌上有 6 只玻璃杯,并列的排成一行。左面的 3 个杯盛

满饮料,右面 3 个杯是空的。如果使空杯和满杯相间排列,必

须移动几个杯子 ? 只移动一个杯子,便可达到要求,你能做

到吗 ?

解:一般都认为必须移动两个杯子,即将 B 和 B′交换位

置,空杯与满杯恰好相间排列,只移动一只杯子,似乎不可能。

但是只移动 B 杯,将杯中的饮料倒进 B′杯中,不是同样

符合要求吗 ? 一般人的思路总是停留在移动杯子,不能跳跃

到“移动饮料同样也能达到目的”这个高度。

10. 仍是四枚

桌上放着 10 枚棋子,摆成相交于一点的三条直线,每条

直线上都有 4 枚棋子。拿走 2 枚以后,只用 8 枚棋子,仍摆成

原来的形状,每条直线上仍是 4 枚。你会排吗 ?

解:如果你按照一种思路,苦思冥想仍不能解决,就应打

破常规,重新开拓新的途径。

题中并没有规定棋子不能重叠排放呀 ! 只要思路跳跃到

这一步,便豁然开朗了:把相交点摆放 2 枚,问题便顺利的解

决了 !

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11. 巧分四块

一块中间有方孔的圆形板材上,对称的作了些标志符号。

现需要将它切割成大小、形状相同的四块,使每块都恰好带有

一个小圆圈和一个三角形,作为一个机器零件使用。

怎样切割才符合要求 ?

解:圆中的孔为正方形,切割成四块,每块应占有正方形

的一个边,围绕这个中心思考,才能找到途径。

12. 半圆中的三角形

在半圆周上任取一点,分别与直径端点 AB 可连接成三

角形。

你知道取圆上的哪一点连成的三角形面积最大 ?

解:因为三角形的面积等于“底×高÷2”。

在半圆内画三角形,因为底边都是圆的直径,是一定的。

那么,三角形面积的大小就决定于它的高了。而这个三角形

的高以通过圆心垂直于直径 AB 的半径 OC′为最高。因而连

接 C′A、C′B 所构成的三角形面积最大。

13. 找圆心

董尧画了一个圆,可是找不到圆心了。手里又没有量角

器和圆规,只有一根直尺。后来他用白纸裁了一个长方形,利

用这个边长大于直径的长方形,竟很方便的找出了圆心。

你知道董尧是怎么做的吗 ?

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解:董尧将长方形的顶点放在圆上,将纸的两边与圆弧的

交点 A 和 B 标出,连接 AB 便得出一条直径来。

再用同样的方法调换长方形的位置,再画一条直径,两条

直线的交点 O 便是圆心。

14. 剪五角星

五角星给人一种闪闪发光耀眼明亮的感觉。看到五角

星,心中便升腾一种美好的希望。

假如给你一张方纸,你能将它剪成五角星吗 ?

解:剪五角星有个非常简便的方法:

先将方纸对折,然后再从它的中点折叠,使折成的一边是

留下一边的 2 倍,再将已折的一边对折,未折的一边反折过

去,最后在长边对应的另一边约处斜剪一刀,五角星便剪

成了。

15. 画五角星

给你一个直尺和圆规,你能只用这两种工具画出一个五

角星来吗 ?

解:先用圆规作一个圆,再用直尺画两条互相垂直的直径

AB 和 CD,再分别以 B、D 为圆心,以 AB 为半径作弧,两弧相

交于 M,则 OM 近似等于该圆内接正五边形的边长,以 OM

为边长在圆上截点,连结各点便得到一个五角星。

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16. 用手等分直角

一天,天上下着蒙蒙细雨,爱因斯坦却毫不理会。他在桥

头来回地踱步,手里拿着一块方纸折来折去。

朋友见状,十分奇怪。便问:“您在这儿干什么呢 ?”

爱因斯坦说:“我应约在等一个学生,但他迟迟没来,一定

是考试把它难着了。”

“这太浪费您的时间了 !”朋友惋惜地说。

爱因斯坦连连说:“啊 ! 不,不,这段时间使我解决了不用

任何工具,用折叠的方法,可以将一个直角等分成三份呢 !”

你能知道,爱因斯坦是怎么折叠的吗 ?

解:先把方纸对折,然后将一个顶角对折到中线上,使它

的顶角恰在中线上,即成。

17. 地板图案

许多地面用瓷砖拼接成美丽的图案,使人们的生活环境

变得更加优美舒适。

地板砖的形状必须便于拼接,不留间隙。你知道满足这

种要求的基本条件是什么 ?

解:要使地板砖拼接起来,不留间隙,它的基本条件是:几

块相拼接的地板连接在一起的角度和是 360°。

如:正方形地板,四块相接每个角都是 90°,恰是 360°。

正六边形地板,三块相接,每个角都是 120°,它们接在一

起也没有空隙,因为三个角的和也是 360°。

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正三角形也可以拼满地面而不留空隙。正三角形的每个

内角是 60°,必须 6 块相拼。

正方形、正六边形、正三角形,它们的一个内角度数分别

是 90°、120°、60°,这些数都是周角 360°的约数,因此都可以拼

满地面而不留空隙。如果采用两种或更多的图形相拼接,那

么地板的图案便更加绚丽多姿了。

18. 重新握手

有一个正方形和一个正五边形,它们的边长相等。两图

相接,恰好形成两手相握的图形。现在使正方形顺时针转动、

五边形同时逆时钟转动,转动时始终保持两条边相接。

你能算出各需转多少圈,才能使两手重新相握 ?

解:这道题看似很难,其实是求最小公倍数问题。4 和 5

的最小公倍数是 20。每个图形的边数乘以它转动的圈数等

于 20 才对。因此,正方形转 5 圈、五边形转 4 圈,两手才重新

相握。

19. 圆七巧

在越南流行一种圆形七巧板。它的七块板都是带弧形的

多边形。

中国的七巧板多是由正方形剪开制成的,这种圆形七巧

板却是由圆剪开制成的。

制圆形七巧板方法比较复杂。

1. 先把圆等分 4 份:

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在硬板上用圆规作一个圆,通过圆心画两条互相垂直的

直径,相交于圆周的 A、B、C、D 四点,整个圆便等分成 4

份了。

2. 连接 OA,作 OA 的垂直平分线 MN,与圆周相交于

P、Q,以 P 为圆心,为半径,作 O AAO

3.BO CO DO 用同样的方法,作出、和。

4. 连接 AB,作 AB 的垂直平分线与圆相交于 E,则 E 为

AB 的平分点。用上面的方法,作出。

5. 分别以 C、D 为圆心,OA 为半径,在圆周上找到 F、G

点,再用上面介绍的方法,作出和作的垂直平分线,在圆外找

圆心。

CFDG(CF)

这样画图工作全部完成了。而后用剪刀沿画出的圆弧,

小心地剪开,圆七巧板便制成了。

试一试,你用这种圆七巧板能拼出哪些图形 ?

解:这种七巧板因为外形都是圆弧,最适合拼一些带有曲

线轮廓的图形。

20. 阿基米德游戏板

阿基米德游戏板是在苏联等国流行的双七巧板。它是由

两个正方形组成一个长方形剪成的,共有 14 块拼板。

阿基米德是古希腊著名的学者。他准确地测出金质皇冠

掺假的故事,举世闻名。以他的名字来命名,表明这种游戏十

分古老而有意义。

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双七巧板的制法:

长方形 ABCD 的长 AB(CD)恰是宽 AD(BC)的 2 倍。

1. 连接 AC、EC、ED。

2. 将正方形 AEFD 和 BCF E 沿纵横中点各作一条连线

MN、M′N′和 PQ 及纵横线交点 O 及 O′。

3. 正方形 AEFD 中,连接 MD、AN。

4. 在正方形 BCF E 中,连接 FO′,找出 BQ 中点 K,并连

接 KO′。将该剪开处用粗线标出,于是,整个长方形被分成

了 14 块。其中五边形 1 块、四边形两块、三角形 11 块。作图

工作便完成了。

21. 益智图

益智图共由 15 块板组成。据说是清代的童叶庚研制的。

他觉得七巧板的块数太少,每块板图形单调,拼图的花样不够

丰富。他从易经八卦中得到启示,在七巧板的基础上,将块数

增加到 15,剪成的图形也作了改进,于是制成功一种新型的

拼板玩具。并根据它变幻多姿,可以启迪智慧,发展思维的特

点,取名叫“益智图”。

益智图如同魔块一般,可以拼摆的图案更加形式多样、丰

富多彩:文字、数字、动物、植物、人物、建筑、机械、用具都可以

拼成。让想象的翅膀张开,还可以拼出一些充满诗情画意的

神话、寓言、戏文、故事,十分有趣。难怪许多学者、专家都把

它作为一种休息娱乐的工具。伟大的文学家鲁迅生前便是这

种玩具的爱好者,他在日记中还经常提到这种益智图。

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你会制作这种奇妙的玩具么 ?

解:益智图制作并不复杂,只要将一个正方形等分成 6×

6 的方块,而后按上图提示,沿实线细心地剪开则可。

22. 魔术蛋

魔术蛋也是九块板。这九块板合起来是一个椭圆,形如

鸟蛋,用它可以拼出各种鸟形,因而又名“百鸟拼板”。

魔术蛋的制法比较麻烦:

先绘制一个椭圆形鸟蛋:上部为半圆,下部为椭圆。

1. 作一个圆,圆心为 O,并通过圆心,作直径 AB 的垂

线 MN。

2. 连接 AN,并适当延长。再以 A 为圆心,AB 为半径作

圆弧交 A N 的延长线于 C。

3. 连接 BN,并适当延长。再以 B 为圆心,BA 为半径作

圆弧交 BN 延长线于 D。

4. 以 N 为圆心,NC 为半径,作圆弧 CD,于是下部成为

椭圆。

5. 在 OM 上作线段 MF 等于 NC。以 F 为图心,MF 为

半径作圆,交 AB 于 G、H,连接 FG、F H、F M 这样魔术蛋便制

好了。

利用这套拼板可以组合成各种各样千姿百态的小鸟来。

这么多的小鸟,竟然是由同一个鸟蛋变成的,魔幻般的神奇,

令人惊诧。

现在请你用它拼成“一唱雄鸡天下白”、“曲项向天歌”的

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诗意来。

解:鸟类在歌唱时一般都仰头的,要抓住这个本质特征,

进行摆放。

童 话 数 学

以数学知识作为童话的内容,这种数学,便成了童话数

学。这种童话,便叫做数学童话。

童话数学的最大特点是数字、符号以及概念、法则等抽象

的知识,都变得形象、具体、生动、活泼了。它们一个个会说

话,会游戏,会做工。本来我们认不清它们的面目,可是听它

们说话,看它们游戏,做工,便自然而然地熟悉了它们。

走进了童话,连自己也变成了数字、符号、概念、法则,我

们将在数学王国中愉快地观赏游玩。

大家也许还记得,《西游记》中孙悟空与铁扇公主的故事。

那孙大圣钻进了铁扇公主的肚子里,才打了胜仗。

走进童话中学习数学,也如同钻进了数学的肚子里,从里

向外才看得更清楚。那些混混沌沌的概念,奇奇巧巧的计算,

怪模怪样的图形以至千变万化的问题,在数学王国的内部,都

变得格外清朗了。

更有趣的是,童话里有饶有兴味的故事,有曲曲折折的情

节,还有栩栩如生的人物。看它们举止动作,听它们交谈辩

论,头脑中留下的印象便更深、更鲜明。

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1. 智慧树下的辩论

术语村头的那棵老槐树,枝繁叶茂。在烈日炎炎的盛夏,

如同一把巨大的遮阳伞。村民们不约而同地聚集在下面歇

凉、听故事、聊天、读书、看报、听收音机。总之,在老槐树下,

人们眼界变宽了,心胸开阔了。大家都把这棵树称为“术语村

的智慧树”。

这一回,树下聚集着那么多人,既不是聊天,也不是听故

事,而是看“增加”和“减少”两家的辩论。

“增加”和“减少”都常在“应用题列车”上露面,不知怎么

引起的。“增加”说:“只要我出现,货物必然多起来。”“减少”

则说:“那可不一定,我们出现时货物也不见得就少 !”双方各

不示弱,谁也说服不了对方。“多”和“少”两家也去参加辩

论了。

“多”站到了“增加”一边,“少”则帮着“减少”说话。

“见多就加,见少就减,我们一直是这么办的。”“多”并且

举出了例子来:“咱村有猪 40 头,羊比猪多 10 头,求羊,自然

是 40 + 10 = 50 头了 !”

“少”则说:“咱村有猪 40 头,比羊少 10 头,求羊,题中虽

然有‘少’字,难道能用‘40—10 = 30’求羊的只数么 ?”

这与“增加”和“减少”两家的辩论差不多。

“增加”说:“有我在,就得用加,例如:去年水稻亩产 512

公斤,今年比去年亩产增产 23 公斤,今年亩产多少公斤 ? 自

然是‘512 + 23’”“减少”说:“当我出现在题目中,同样不能用

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‘减’:去年水稻亩产 512 公斤,比今年亩产减少 23 公斤,今年

亩产多少 ?”

他们你一言,我一语,各有各的理由。

辩论还没有结果,那边“扩大”和“缩小”两家又吵起来了,

“扩大”坚持见到他要用乘法,而见到“缩小”就必然是除法,这

意见却又遭到了“缩小”一家的强烈反对。

真是一波未平,一波又起。

一直倚在智慧树上没有吭声的“概念”老人说话了:“要我

说,具体问题具体对待 ! 关键是要分清‘以谁为标准数’来比

较的。不管青红皂白见多就加,见少就减,见扩大就乘,见缩

小就除,肯定会出差错 ! 各位还是分析一些具体问题吧 !”说

罢,他从智慧树上扯下一把树叶,撒向人群。

说也奇怪,每片树叶上都有一道与争论相关的题目。人

们立即停止了争论,一个个都在专心地分析自己的问题,转而

又互相热烈的讨论了。

其中有几个题目是:

(1)公鸡有 12 只,比母鸡多 5 只,母鸡多少只 ?

(2)42 个人参加植树,6 个人一组,一共可分几组 ?

(3)妈妈买来一篮苹果,送给姥姥 5 斤,还剩 8 斤,妈妈买

来多少斤苹果 ?

(4)16 爸爸的全身照片是厘米,正好是他身高数值的长

度,爸爸 110 身高多少 ?

(5)今年发展 35 名少先队员入队,是去年发展队员数的

7 倍,去年发展了多少名少先队员 ?

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2.“数”老大耍杂技

会堂里人头攒动,掌声阵阵,人们正在兴高采烈地观看杂

技表演。杂技团的团长是数学城杂技研究会的“数”老大,这

就更引起了人们的兴趣。

“数”老大在舞台上一站,台下便爆发了雷鸣般的掌声。

只见“数”老大用手一招,一个与他同样高大的“位”字并

立在身旁,这时舞台上站立着“数位”两个字。随后,个、十、

百、千、万、十万、百万、千万、亿⋯⋯一个个载歌载舞从舞台上

飘过。他们所占的位置都用动作暗示了出来。

他向观众表明:

数位就是各个计数单位所占的位置。不同的数位占的位

置也不同。

转眼间,“数”老大又站到了“位”的右边,人们见到舞台上

是“位数”两个字。那些个、十、百、千⋯⋯也突然消失。

忽然“数”老大用手一指,舞台上立即出现了:

一位数:1、2、7、8、6⋯⋯

两位数:10、23、45、83、74⋯⋯

三位数:721、350、208、100⋯⋯

四位数:1000、2345、9672、8001

五位数:10000、17431、24856、12009⋯⋯

⋯⋯

舞台显得小了。

排头的标牌不停地舞动,后面的数字就不停地变换,黑压

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压一片,全是各种各样的自然数,一眼望不到边。

“数”老大虽然没说话,观众明白了他的意思,位数就是一

个自然数含有数位的个数。含有个、十两个数位就是两位数,

含有个、十、百、千四个数位,就是四位数。真是“此时无声胜

有声”啊 !

表演了两个节目后,只见“数位”在舞台上晃动起来,他们

做出各种优美的舞蹈动作,后来腾空一个跟头,站到舞台正

中。人们定睛一看,“位”变成了“字”,“数字”两人手拉手跳起

了“华尔兹”舞步,此时灯光大亮,乐声骤起。在“数字”后面,

此来彼往。进进出出全是记录各种数的符号:

1、2、3、74、93、100、2003、57400⋯⋯

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ⋯⋯

是的,这些全是数字 !

随着帷幕徐徐下落,“数”老大频频向观众点头致意。人

们用热烈的掌声等待着下一个新节目。

观众中鼓掌起劲的是小学生,他们由衷地感谢“数”大师

的无声指点,使他们终于彻底明白了“数位”、“位数”、“数字”

等抽象易混的数学概念。

3.“二”和“两”找法官

“二”和“两”本是同宗兄弟。在数的家庭里,他们都表示

同一个数值。

像“二万”,也就是“两”万,表示的数都是 20000。

可是,近一阶段,因为争着要多做点工作,便发生了纠纷。

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“二”要去干,“两”也要去干,有些工作又不能两人同时去做。

这样便常出差错。比如:“董尧尧做两十道题,对了十两道,得

了第两名。”本来应该让“二”去,“两”字偏要争着干,结果让人

听得莫名其妙;

又比如:“倩倩和媛媛二个人,买了二本书、二支笔,回家

又读了二小时书。”本应让“两”去的,“二”字挤上了,听起来多

别扭。

类似的问题很多,已经到了非解决不可的时候了,弟兄俩

议定,干脆请数学法官老 Q,作个公断,以后便按法官划定的

界限,该谁去干谁出面。法官 Q 听完了两人的陈述,思考了

一会,便说:“你们争着做工作,精神是好的。不过,你们俩谁

干都行的工作可不多。”

“难道一件也没有吗 ?”兄弟俩问。

“据我所知,在读多位数时,数位开头的亿位、万位、千位,

你们俩谁上都行,但是在亿、万、千等计算单位中间的‘二’,一

般‘两’就不应上了。比如:二千二百万、二万零五百,读成:两

千二百万、两万零五百都可以。”

“哪些事咱俩不能一齐上呢 ?”

老 Q 拍了拍脑袋说:“关于你们的分工虽没有明确法规,

但长期以来的习惯是:

(1)在表示‘序数’时,一般用‘二’不用‘两’。如上面的例

1,只有在通信中,为了使对方听清,特意把‘二’读成‘两’,这

是例外。

(2)在量词前面,一般用‘两’不用‘二’。

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(3)在读数时,除高位的亿、万、千外,一般用‘二’不用

‘两’,如二百五十二、零点二二,七分之二,不能读成两百五十

两、零点两两、七分之两。

我能想到的,也就是这些吧 !”

经 Q 法官这么一讲,“二”和“两”对各自的责任范围明白

了许多,兄弟俩高兴地说:“这样,咱们今后就可减少扯皮提高

工效了。”

于是弟兄俩高高兴兴地回到数学大院,准备在建设祖国

的事业中,作出更多的贡献。

4. 山羊爷爷传秘诀

山羊爷爷出了几道选择题让小羊们判断。

(1)四亿零五千写作( )。

①400005000 ②40005000 ③4000005000

(2)2000605 读作( )。

①二十万零零六百零五

②二百万零零六零五

③二百万零六百零五

④二十万零六百零五

小羊灰灰和白白思考了一下,第一题他俩先写下数位表,

凡是空位的都补上 0,很快便判断出正确:

千百十亿万万万万千百十个

400005000

可是做到第二题,他们先排除了①和④是错的,但是②和

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③谁对谁错难以确定了。

山羊爷爷见他俩总是判断不下,便说:“读数和写数都有

秘诀,只要记住它,做起来便容易了 !”

听说有秘诀,小山羊都拉着山羊爷爷要他快说。

山羊爷爷清了清嗓子念道:

写数的秘诀是:

“写数要从高位起,哪位是几就写几,熟记数位最要紧,空

位都用 0 补齐。”

读数的秘诀是:

“读数也从高位起,哪位是几就读几。

中间连续几个 0,读时只需读一个。

每级末尾若有 0,一律不读要记清。”

小羊用秘诀对照题目果然很容易,便确定了正确答案。

他俩暗暗地熟记了这两个秘诀,再遇到整数的读写,便再

也不用发愁了。

5. 胖胖 0 告状

水帘洞的门前,像堆满着气球,一群胖胖 0,叽叽喳喳一

齐来状告小猕猴,定要当面问问长臂猿,他的徒儿欺侮人,当

师傅的,管还是不管 ? 既然是徒弟惹了祸,当师傅的自然有责

任。长臂猿忙问:“各位都从何处来的 ?”

众人齐声高呼:“洁白广场的乘法工地 !”

长臂猿顿时明白,小猕猴在乘法运算中又犯了错误,连忙

说:“请将具体情况告知,我一定要好好教训教训他 !”

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于是胖胖 0 纷纷说出了小猕猴的过错。

(一)

“我是乘数中间的 0”,一个胖胖 0 说:“小猕猴在乘法计

算时,竟然不让我占有位置 !”

长臂猿没有听明白,便说:“你能讲得更具体些么 ?”

胖胖 0 拿出了一张纸:“瞧,这上面写得明明白白 !”

长臂猿接过状纸,只见那上面写道:

果然,算式中把 0 的位置忽略了:“这孩子又犯了快而不

准的老毛病了 !”长臂猿心想:“要是把 0 当作一个数去乘:

尽管麻烦些,也不至于搞错了部分积的位置呀 !”

长臂猿略一沉思,和蔼地说:“你速回乘法工地,叫他先把

我的问题做出来后,再重新处理你的问题,若还有差错,再来

找我 !”

说罢,长臂猿写下了几道题:

413×84 = ? 413×804 = ? 413×8004 = ?

胖胖 0 接过纸来,用力一纵,飘上了空中,向乘法工地

飞去。

(二)

第二个胖胖 0,一声没吭,便将状纸交来:

长臂猿一看,这是被乘数中间带 0,相乘时没用省略的方

法。小猕猴却把它与乘数中间带 0 混淆了,使部分积也多错

一位。

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胖胖 0 望着紧皱眉头的长臂猿,委屈地说:“瞧您的徒弟,

简直是任意摆布我们 !”

“是我没有教育好 !”长臂猿非常谦逊地说:“请您再耐心

地等一段时间,我重新设计一套功法,待他练习后,若仍随意

摆布你们,我定不饶恕 !”说罢,长臂猿写下了一些问题,要胖

胖 0 告诉小猕猴,练好功法后,立即来见。

胖胖 0 接过纸来,只见那上面写着:

胖胖 0 就纵身一跳,飘向蓝天,直奔洁白广场飞去。

(三)

“您的徒弟除了任意摆布被乘数、乘数中间的 0,对我们

这些积末尾的 0,也不放在眼里 !”

长臂猿一看,许许多多的胖胖 0,一下子拥向前来,七嘴

八舌把他团团围住。一张张告状的信纸,一个劲地往他手里

塞。一时间使他眼花缭乱:尽多是被乘数、乘数末尾带 0 的。

这类问题进行简便运算时,末尾的 0 都不要去乘,全部把

它添到积的末尾便可以了。可是小猕猴不是少补了 0,就是

多添了 0。

长臂猿非常气愤,便拨通了小猕猴办公室的电话,准备狠

狠的教训一顿。电话铃响,岂料,小猕猴的第一句话便是:“师

傅,我错了 ! 您教我练的功法,已全部学会,您派来的胖胖 0,

已全部安排妥当。师傅,您还有什么指教 ?”

徒儿这么虚心,听话,长臂猿还能说什么呢 ? 便轻言慢语

地告诉他:“我这里还有一大批被你任意丢掉的胖胖 0 哩 ! 我

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立即叫他们回到乘法工地,在他们到达之前你必须将下列功

法练好,并认真地总结教训 !”

小猕猴连连称是:“请师傅快说。”

长臂猿在电话中要小猕猴记下了:

25×6 250×6 250×60 2500×600

随即转过脸来,向大家说:“各位快回吧,小猕猴会给你们

安排妥当的。”于是,一个个胖胖 0 飞向空中,花果山像飘走了

一些美丽的气球。

6. 飘荡的胖胖 0

一些胖胖 0,浮在半空中飘动着。小花猫把它当成了气

球,仰着头,不停地往前追。近前细看,原来都是一个个没有

根梢的 0,感到很新奇,便问:“你们怎么不在算式里做事,却

四处飘荡呀 ?”

其中一个 0 哭丧着脸说:“我是商中间的 0,被人家抛弃

了,他们不让我呆在算式里 !”

另一个 0 接着说:“我是商末尾的 0,也是被赶出来的。”

小花猫更加迷惑不解:“胖胖 0 在算式中作用很大,谁这

么大胆,竟敢把你们赶走 ?”

0 伤心地说:“他们根本不把我们放在眼里,在除法求商

时,常常把我们扔掉不管 !”

“岂有此理 !”小花猫很气愤:“在数位表里,遇到空位时,

都特意把你请去补上座位,这样才能保证数的科学准确 ! 要

不,三千零五,把百位、十位空位的零扔了,3005 岂不成了 35 !

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请你们详细说说看,他们是怎么扔下你们的 ?”

胖胖 0 见小花猫很热心,就都一起飘动起来,领着他去看

现场。

在一片洁白的广场前,他们停下了。

小花猫一看,不禁大吃一惊:广场上,整整齐齐并列着许

多算式:果然,所有算式上,商中间、商末尾应该有 0 的,都没

有补足。“我们都没了安身之地,才四处飘荡的 !”胖胖 0 一个

个满腹委屈。小花猫看了这些错误的算式,气愤异常,他二话

没说,跑到水沟边,挖了一块湿泥作为墨汁,在手上涂了又涂,

然后把那一道道算式,都打上了大大的“×”。

而后,又根据“商×除数 = 被除数”的验算公式,写下了:

12×6 = ? 104×8 = ? 280×3 = ? 40×12 = ?

最后,安慰胖胖 0 说:“你们不要四处飘荡了,就坐在这儿

等着,算式的主人回来时,看了我写的东西,一定会给你安排

好座位的 ! 为了快一些解决问题,我先找找他们去 !”

说罢,小花猫便去找算式的主人了。

思考与练习:

1. 在下列各个除式中,要使商中间有一个“0”,□内可以

填什么数 ?

2. 下列除式中,除数是几时商的中间、末尾都有“0”?

3. 下列各式子是否正确 ? 为什么 ?

4. 口算求商。

4032÷4 = 2550÷5 = 2400÷12 =

3184÷8 = 9018÷18 = 55220÷11 =

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7. 长鼻象讲试商

加减乘除四兄弟,

只有除法最淘气,

求商必须先试商,

或大或小反复试,

一遍一遍真烦人,

生怕粗心出错误。

小山羊咪咪呀呀,不停地唱着自编的顺口溜,在山间的林

荫道上慢悠悠地走着。

“小羊,小羊,快来,快来 ! 我们正在研究试商呢 !”小山羊

抬头一看,嗬,山前的大松树下,围坐着一群小伙伴哩:长颈

鹿、金丝猴、小花猫、小白兔。一个个都端端正正坐在那儿。

听说研究试商,小山羊自然高兴,除数、被除数千变万化,

求商可真不容易呀 !

金丝猴让小山羊坐下后,悄悄地说:“这下好啦,咱们请来

了数学专家,专门给我们解决试商中的困难呢 !”

说话间,只听有人说:“来啦 ! 来啦 !”

小山羊只见一个身材魁伟的大象,慢腾腾地坐在了前面,

他晃动着长长的鼻子说:“小朋友,把你们碰到的问题提出

来吧 !”

话音刚落,只听“我说”、“我说”,一个个争相发言。

象专家用长鼻子指一指长颈鹿。

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“如果被除数的前几位数比除数大,除数的个位比较小,

例如:8468÷51,怎样试商呢 ?”长颈鹿一口气说出了自己的

疑问。

长鼻象不假思索地答道:“类似这样的情况,都可以用‘首

位试商法’,84 > 51,8÷5 商 1,商的首位必定是 1。例如:512

÷44 和 72468÷5,都可用这个法儿试商。”

众人一看,果然,商的首位数都是 1。

“假如被除数的前几位数比除数小,除数的个位却比较

大,该怎样试商 ?”说话的是小白兔。

“你的问题我明白。”长鼻象说,“例如,563÷68,56 < 68,

类似这样的情况就用‘五入法’,把除数先‘五入’,即把 68 看

作 70,再试商。像 24÷28 和 8840÷89 以及 32011÷37,都照

此处理 ! 当然了,如果除数的个位数比较小,就用‘四舍法’。

这两种方法,实际就是‘凑整法’。”

长鼻象果然学识渊博,伙伴听得豁然开朗。

小山羊连忙举手说:“专家叔叔,我计算中还遇到这样问

题,除数的首位数字与被除数的首位数字相同,次一位数字接

近却不够商。例如:2214÷27,该怎么试商 ?”

长鼻象眨了眨大眼睛,慢腾腾地说:“这种类型我们叫它

‘同头无除’,情况比较复杂。当被除数前两位数字的和大于

或等于除数的个位数字时,肯定商 9,其余情况,多数商 8,所

以说,‘同头无除商 8、9’。偶然,也有商 7、6、5 的。”

长鼻象讲后,同伴们热烈地议论了起来,各人都举出了一

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些例子,先估商、后试商:161÷19、124÷18、3113÷39

好长时间,没有提出问题了。长鼻象说:“还有一种情况:

当被除数的前一位数字或前两位数字,如果恰是除数的一半,

可直接商 5,这种方法,就叫‘折半法’吧 ! 如:801÷16、14360

÷28”

讲完了仍是没有人再提问,“有问题以后再研究吧 !”长鼻

象便站了起来,摆了摆大鼻子回去了。大家听得入了神,猛见

象专家离去,连忙高呼:

“谢谢象伯伯,下次再见 !”

思考和练习

1. 试商一般有哪些方法 ?

2. 下列各题应如何试商 ?

66951÷519 236318÷683

21675÷289 328427÷803

306000÷612

8. 小数点的家

数学城里有个自然数一条街,原先住着清一色的自然数,

由于这里靠近计算大道,交通发达,经济繁荣,后来有位姓

“零”的也迁到这里,大家便把这条街叫做“整数一条街”了。

本来大家都平平静静地过日子,各自干着各自的事情,各

家住着各家的房子:个、十、百、千、万⋯⋯井然有序,岂料自从

来了个身份不明的姓“零”者,由于他不断迁移,一下子秩序大

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乱,原来是“万”的陡然间变成了“百”、“千”或“个”、“十”,原来

是“百”、“千”的又一下子变成“个”、“十”。这样,许多人霎时

间成了“暴发户”,许多人霎时间又成了“穷光蛋”。

是谁这么神通广大呢 ?

原来是个名叫“小数点”的人。大家说:“你不是咱们数学

城的 ! 你是语文国的。”

可小数点“.”却沉着冷静不慌不忙地说:“我原本就是数

学王国的臣民,原来就住在数字一条街。”

自然数、整数都齐声说:“我们从没见过你 !”

“哈哈 ! 那只说明你们孤陋寡闻罢了,你们每一家的后面

都有我的一点小住处,只是我不愿出头露面而已 !”那个叫小

数点的人说得竟那么轻巧、自信。

自然数的领头“1”首先责问道:“难道我身后面有你的

住处 ?”

“那当然 !”小数点说,“你与 1.0 是不是一家 ?”

1 = 1.0,谁都知道,1 无话可说了。

两位数中的老大 99 说:“照你这么说,我身后面也有你的

住处 !”

“我已经说过,你们自然数、整数,不论谁的后面都有我,

99 = 99.0,难道你能不承认 ?”

小数点的一席话说得众人哑口无言。

“仅靠你们整数,数学城的好多问题你们解决不了 !”小数

点非常自信地说,“生产发展了,经济发达了,数字一条街自然

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要扩大,就拿这条计算大道吧,原先 10 米宽就够用的了,现在

扩展到 15 米 6 分米 5 厘米,还嫌太窄。就以这路宽为例,请

问用米怎么表示 ? 我一参加就好办了,15 米 6 分米 5 厘米 =

15.65 米”

“那你们的住宅怎么安排呀 ?”整数中有人问。

“这,管理数学城的建设部早给安排好了 !”说着,他把图

拿了出来:

众人一看,果然早已有人给小数点安排好了位置。

“就是大家承认了你的位置,可你也不能经常搬家呀 !”说

话的是 2850,你小数点向左移一位我便缩小了 10 倍,成了

285,移两位我成了 28.5,移三位我就成了 2.85”

“是呀,本来我安安静静的,”3 接着话茬,“你向右移一

位,把我变成 30,向右移两位又使我扩大了 100 倍成为 300,

一会儿你又把家搬到离我左边三位,使我变成 0.003 为啥要

这般折腾我们 ?”

“你们甭说啦 !”小数点打断了话茬,“请大家想想,我们这

些数,要是呆呆地坐在家里还能发挥什么作用 ? 只有天天在

计算大道上奔跑才能体现我们的价值。你们一会儿变成整

数,一会儿又变成小数,那都是实际需要,我的作用,正是体现

在不停地搬家中,咱们只有同心协力,才能使我们数字街更加

繁荣 !”

大家见小数点的话句句在理,而且他原本就是数字街的

成员,要发展,要繁荣,只有团结合作才能成功。从此也便与

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小数点友好相处了 !

9. 双重国籍的小圆点

语文国和数学国虽是两个友好睦邻国家,可是,风俗习

惯、人情事故却有着天渊之别。

这几年随着经济发展、交通发达,两国人民的交往越来越

频繁。

小圆点在语文国原来充当“着重号”的角色,顾名思义,他

若站在哪一段文字下边,就表明那段文字特别重要、特别需要

强调,如“要成就一件大事业,必须从小事做起 .....。”

后来因为总是在文字的下边,他向语文国王提了意见,国

王叫他兼做“隔音号”,像“阿伯拉罕·林肯,是美国第一位遇

刺总统”、“《星星·月亮·太阳》是一本畅销书”等等。这样,

把他放在一行文字的正中间,便与文字平起平坐了。更有意

义的是,如果他连点了 6 点,那就表示不论还有多少话语、多

少事情,统统“尽在不言中”,于是人们把 6 个并排的小圆点叫

做“省略号”。

因为在做“隔音号”的期间,常常与外国人名字在一起,小

圆点忽然萌生要出国的念头。

于是,他迁移到了数学国。

他到了数学国使大开眼界。移民局的同志十分欢迎,还

向他讲述了数学国王招贤纳士、尊重人才的种种优惠政策,带

着他周游数学王国。他观看了整数城,亲眼目睹了整数中质

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数、合数、奇数、偶数、约数、倍数、连续数的奇异风采。

接着又参观小数城。

在整数城和小数城交界的地方,移民局的同志说:“这里

就需要一个小圆点。在这里,你要更名为‘小数点’,在你左边

的全是整数,在你右边的就全是小数了 ! 不过你千万要记住:

只能站在整数和小数之间偏下方,不要站在数字正中,这与你

做‘隔音号’时不同。”

说着他们进了小数城。

一个奇怪的现象出现在面前:7 个人正在为平分一桩账

目撕扯不开:

22÷7 = 3.142857142857142857

“你们不必愁了 !”移民局的同志走近前说,这位新来的同

志可以为你们排忧解难,转脸又向小圆点,“这是循环小数,商

142857 总是不间断地重复出现,要是没有一个特殊的办法,

永远也写不完。你就在他们重复的首尾数字头上各点一点,

省工省时,有了‘循环点’意思就清楚了 !”

小圆点听了,觉得很新奇,“在语文里我总是在文字下面,

到这里叫我站在数字头上,而且只要首尾两点就行了。”想着

想着便进入了算式中:

“是的 ! 就这样,在这里你叫做‘循环点’。”

小圆点兴奋地说:“我就在小数城安家落户了 !”

移民局的同志说:“可以,不过在比和比例城有件工作还

要请你去做。

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这与你在语文国里做‘冒号’相当,只是咱们这里叫‘比

号’,表达的意思与‘÷’号差不多,如:3∶5 = 3÷5”

小圆点连连点头:“可以,可以,只要需要,我一定前往 !”

小圆点从此有了双重国籍。

10. 循环小数迷了路

和是对十分要好的朋友,假日里他们一同到南山采集植

物标本。

山中的景色美丽极了 !

各种各样的花草,绚丽多彩。除了在自然课本学到的,还

有许许多多认不出名字的奇异植物。悬崖峭壁上奇形怪状的

石头,更叫人想象万千 ! 他们蹦着跳着,说着笑着,不知不觉

天色晚了,两个人便匆匆忙忙往回赶。可是却忘了出山的

路线。

他们走呀走,走了好长一段路,仍没有出山。坏啦 ! 迷路

了 ! 于是加快步伐寻找归路。可是越走路途越生疏,眼看太

阳已快落山,急得他们像热锅上的蚂蚁。不禁大声哭了起来 !

哭声让住在山上的鹿爷爷听到了。忙问:

“出了怎么事 ?”

“我们找不到回家的路了 !”

“还记得你们的家吗 ?”鹿爷爷问。

“我家是 2∶3。”

泪眼汪汪地说。说:

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“我家是 16∶33。”

鹿爷爷听了说:“原来你们都是纯循环小数家族的 ! 好

吧,让我指给你们回去的路 !”

说罢,他在地上画了一条路线:

“听着,你本来是 0. 6666 是吗 ?

即:(1)0.6 = 0.666

(2)将两边同时扩大 10 倍,得:

×10 = 0.666×10 = 6.666

(3)在(2)式两边同时减去(1)式两边,得:

×10 - 6.666 - 0.666

= 0.6×(10 - 1) = 6

即:×9 = 6

(4)将等号两边都除以 9 就是:

“沿着我画的(1)、(2)、(3)、(4)路线走下去,便到家了。”

鹿爷爷说。听了鹿爷爷的指点,破啼为笑:“想起来了,我能找

到家了 !”

“爷爷,我还是找不到家。”急切地恳求道。

“别急,别急 !”鹿爷爷慢腾腾地说:“你 = 0.484848。你们

家的循环节是两个,回家路线有一点不同,一说也就明白了:

① = 0.484848

②将①两边都扩大 100 倍得:

×100 0.484848×100

= 48. 484848

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= 48. 48

③在②式两边同时减去①式得:

×100 - 0.48 48. 4848 - 0. 484848

= ×(100 - 1) = 48

也即:×99 = 48

④将等号两端都除以 99(即 100 - 1)

和听了,高兴地齐声说:“谢谢鹿爷爷指点 !”

于是他们便大步流星地下山了。

很快他们都各自找到了自己的家。

11.“≈”被告记

数学王国收到了一些举报信,都是冲着仲裁法官“≈”

来的。

事关重大,国王决定立即审理此案。于是把仲裁组的成

员都召集了来。“ =”,“≈”,“ >”,“ <”一个个都坐在会场上。

国王面带怒色,冷冷地说:“有人竟敢颠倒是非,知法犯法

.. 有此劣迹的,自己坦白交待 !”

会场气氛十分紧张。一个个面面相觑。

国王见无人交待问题,更加恼怒,便指着“≈”说:“约等

于,讲讲你的职责是什么 ?”

“≈”从容不迫地站了起来:“我的职责就是表示近似数。

遇到不可能或不必要得出精确值的情况,我便挺身而出。”

“那么有人反映麻袋和钢材的问题是怎么回事呢 ?”国王

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慢条斯理地提出了疑问。“≈”感到莫名其妙。

“≈自己说不清,我给他说一点。”说话的是“ = ”,请问

3724÷100 = 37.24≈37。这该会算吧 ? 上次命你去运回

3724 千克白糖,每条麻袋装 100 千克,你却硬要给 38 条麻

袋,这是为啥 ?”

“ >”站了起来,冲着“≈”责问道:“难道你连 38 > 37.24

也不懂么 ?”“还有,”“ =”接着又问,“上次你拿去 100 厘米圆

钢,每截 6 厘米便可制一个零件,很明显做 100÷6 = 16. 66≈

17,可你为啥只交 16 个 ?”“≈”仍是一声不响,默默地坐着。

大家见状非常气愤,纷纷责问:“你这样违法乱纪,咱数学

王国的‘四舍五入’法规,还执行不执行 ?”

“≈”终于说话了,他反问大家:“国王要求把全部白糖都

运回,要是只给 37 条麻袋,请问:剩下的 24 千克怎么办 ? 扔

了么 ?”稍停,他又说:“100 厘米的钢材,每 6 厘米做一个零

件,要是做成 17 个,请问:那最后一个还能用吗 ?”

“≈”一连串的反问像连珠炮,“ =”不吭声了,“ >”和“ <”

也都无话可说。

“≈”却并不甘休,最后气愤地说道:“有的人搞 1 = 1.0,1

> 0.9,0.9 < 1, 还认为自己绝对正确,倒是应该认真反省

一下 !”

弄清了事实真相之后,国王这才转怒为喜,他说:“现在我

宣布:‘≈’没有错,今后处理近似数可以根据‘四舍五入’,‘进

一法’和‘去尾法’,究竟用哪一种法,由‘≈’根据实际情况灵

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活处理。至于‘≈’提出的 1 = 1.0 及 1 > 0. 9 等问题是否属

实,待今后再议。”

12.0.1 与 0.10 的争吵

“ =”、“≈”、“ >”、“ <”刚从国王那儿开完会,只听前面的

路上一片喧哗。近前一看,原来是 0.1 和 0.10 正在争吵。

“0.10”说:“我就是与你 0. 1 不同。”

“0.1”反驳说:“你整天背着那无用的 0,还不是跟我同样

大小 ?”“仲裁法官来啦 ! 请他们裁定。”围观的人群中不知谁

喊了一声。“ >”和“ <”交换一下目光,无话可说。

总是认为自己一贯正确的“ =”说话了:

“我认为你们俩是相等的 ! 因为,,所以 0.1 =

1100.10 = 10100 = 110

0.1 = 0.10;你们都是小数,小数末尾的 0 添上或去掉,小

数的大小不变嘛 !”“对呀,我也这么说,”“0.1”接过“ =”的话,

“既然你 0.10 与我相等,何必背着那个末尾的 0 ?”

听了“ =”的话后,0.10 仍迷惑不解,说:“0. 10 = 0. 1 我承

认,然而,若绝对相同,国王又为什么偏要我背着个多余

的 0 ?”

“ =”无话可答。“ > ”、“ < ”齐声说:“还是去 请示国

王吧 !”

“甭请示国王啦 !”一直没有说话的“≈”开腔了,“在单纯

的式题计算中遇到结果是 0.10 的,末尾的 0 可以扔掉,如果

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题目要求近似值的,末尾的 0 千万不能丢了。”

“0.1”听了直发愣:“为什么呀 ? 照你这么说,0. 10 与我

0.1 不同了 ?”“当然不同 !”“≈”答道:“你们俩数值虽相等,但

在表示近似数时,精确度是有区别的 ! 根据‘四舍五入’法规:

你表示的是 0. 05～0. 14 间的任何数值,只是精确到十分位;

而 0. 10 呢,却表示 0. 095～0.104 间的任何数值,已经精确到

百分位了 !”

“0.1”恍然大悟:“怪不得我看到工厂里抽样测试机器零

件的数据,有 8.10,8. 11,8.09,还有 8.00 呢 ! 原来它表示的

是精确度啊 !”

“0.10”望着“0.1”和“≈”,“ >”,“ <”说:“我也明白了,今

后不该背 0 时,我便及时把它扔掉。该背时,再苦再累也背

下去。”

13. 游戏中的数学

数学广场上欢声笑语,山羊爷爷正带领一班小白兔在做

游戏呢 !

只见山羊爷爷把八个小白兔分成甲乙两队,每个人手里

都拿着数字标牌:

甲队的标牌是:2、4、6、12,

乙队的标题是:1、3、18、24,

小白兔们不明白,他们是来请教倍数、约数问题的,山羊

爷爷却领着他们做游戏。

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排好了队,山羊爷爷说:“你们每队的基础分是 100,听我

的口令做动作。凡是口令中涉及到的数,要高举过头顶,该举

没举起的和不该举的却举了,有一个扣 5 分。哪队的分数最

先被扣光了,便是输家 ! 大家明白吗 ?”两队齐声答道:“明

白了 !”

“现在游戏开始 !”山羊爷爷说:“3 的倍数请报告 !”

只听甲队中传出:“6 号”、“12 号”!

乙队中传出:“18 号”、“24 号”!

山羊爷爷眯缝着眼,扫了一下各队的标牌,笑眯眯地说:

“乙队扣去 5 分 ! 3 号该举没举。”

“都放下 ! 再来下一轮。”山羊爷爷说,“20 以内的质数请

报告 !”只听:“2 号”、“3 号”、“1 号”!

山羊爷爷走到 1 号前,笑着说:“你是质数吗 ?”

“错啦 ! 错啦 !”乙队的伙伴们大声地向 1 号说,“你既不

是质数,又不是合数 ! 不该举起。”

“乙队再扣 5 分 !”接着山羊爷爷加快了口令,并迅速的给

各队记分。

只听那些口令是:

“最小的偶数 !”

“最小的自然数 !”

“最小的质数 !”

“2 的倍数 !”

“24 的约数 !?

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“30 以内的合数 !”

“30 以内的奇数 !”

“18 的约数 !”

“既是偶数,又是质数 !”“既不是质数,也不是合数 !”

对约数、倍数、奇数、偶数、质数、合数,这些概念理解得比

较透彻的都能迅速作出反映,该举起的,迅速举起,不该举起

的则静立不动。开始时,乙队的分数最先被扣光了。几轮以

后,甲队又输给了乙队。最后,大家都理解了各个数学名词,

两队谁也没出现错误,双双打了个平手。“我们要山羊爷爷讲

数学,他却叫我们来做游戏。原来用意却在这里 !”小白兔总

算明白了山羊爷爷的苦心。

14. 字母兄弟帮了忙

“定律”带着他的弟兄们一大早来到自然数大院,他们敲

响了第一排第一家的门。

瘦“1”开门一看,加法交换律、结合律、乘法交换律、结合

律,还有乘法分配律都来了。连忙问:“五位先生有什么

指教 ?”

“我们是来找你们帮忙的 !”加法交换律首先说话,“一些

小朋友对我们弟兄几位总是记忆不住,分辨不清,你们自然数

弟兄多得数不清,能帮我们变得简洁精炼一些吗 ?”

瘦“1”似乎还没听明白,加法结合律补充说:“像我吧,别

人要是叫起我来得说‘三个数相加,先把前两个数相加,再和

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第三个数相加;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加,

它们的和不变’,瞧,多麻烦 !”自然数弟兄一向助人为乐,瘦

“1”听后连忙敲起了集合铃,一会儿大院的广场上聚满了黑压

压的人群:1、2、3、4、5、6,有头无尾望不到边。瘦“1”向大家说

明了情况,众人纷纷举手,乐于帮助。“先解决加法交换律的

问题吧 !”瘦 1 率先站了出来,接着“2”主动出队,他们排成:

1 + 2 = 2 + 1

排好了队,瘦“1”很自豪地说:“瞧,咱们这队形就可以说

明加法交换律 !”

定律弟兄看了却直摇头:“这只能表明‘1 加 2 等于 2 加

上 1’呀 ! 除此以外不能代替任何一个与你们不 同的式

子呀 !”

瘦“1”觉得对方说得有理,很不好意思,便拉着小 2 入

队了。

这时场上的自然数兄弟觉得很失体面 !“咱们这么多弟

兄难道就解决不了这点问题吗 ?”便纷纷相互组合成许许多多

的队形:

3 + 5 = 5 + 3 12 + 27 = 27 + 12

361 + 249 = 249 + 361 984 + 116 = 116 + 984

2573 + 4687 = 4687 + 2573

霎时,广场上熙熙攘攘,人声嘈杂,引来了许多看热闹的

人。字母家族的兄弟们:a、b、c,也站在一旁看热闹。

自然数弟兄的热情,使定律兄弟非常感动。可是他们组

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成的任何一个队形,都不能代替“加法交换律”,因为他们太具

体了,每一道式子只能说明他们自己是可交换的,而“定律”却

做了高度的概括,必须包含所有的式子。因此,仍是摇头

不语。

自然数弟兄无能为力了 !

字母弟兄也是一向助人为乐的。他们见自然数弟兄心急

火燎,便主动打招呼说:“让我们帮帮你们行吗 ?”

“当然行 ! 只要能把定律弟兄的问题解决了就好。”自然

数弟兄连忙应道,“来吧,来吧,都是咱们数学大家庭的事,不

必介意 !”一个个便迅速地归队了。

字母家族的弟兄也不客气地上场。他们先排了:

a + b = b + a

加法交换律一见连连点头,说:“这样可以,a 代表任何一

个数,b 也代表任何一个数。任何两个数相加交换它们的位

置,和不变 !”

接着,根据每一个定律的含义,字母弟兄把它们一个个都

表示了出来:

加法结合律:a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

乘法交换律:a×b = b×a

乘法结合律:a×b×c = (a×b)×c = a×(b×c)

乘法分配律:(a + b)×c = a×c + b×c

他们刚排完,五大定律兄弟们一齐围上来,与字母兄弟亲

切握手,连连说:“我们代表全体小朋友向你们致谢 ! 这样简

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洁明了,易读易记,把我们的意思全表达出来了 !”

自然数弟兄也纷纷感谢字母兄弟帮他们解决了困难 !

后来,“性质”、“公式”也都找字母兄弟帮了忙。

15. 比家兄弟演武术

数学城的体育场上,人声鼎沸,热闹非凡。

假分数的杂技表演,博得全场一片掌声。接着是比例的

武术表演。先上台的是“比”家弟兄。4∶3 和 12∶9,他们两

人一对,一前一后,在台上走动了几步之后,忽见一路筋斗翻

落到他们中间,霎时又一个筋斗不见了,大家看到的是等于号

牵着两个比:

4∶3 = 12∶9

此时,话筒传来了解说员的声音:“刚才表演的是‘比变比

例’。”他告诉观众,“台上的两个比是相等的,它们前项除以后

项都得,两个 113 相等的比,便可以组成比例。一个比只有前

后两个项,而比例却是有两个比,四个项,有两个内项和两个

外项。”

观众正在聚精会神端详着,等于号拉着两个比,不停地迈

着舞步,忽见他们身体一晃,一刹时,变成了:

4×9 = 3×12

大家仔细瞧瞧:4、9 是两个外项,3、12 是两个内项,他们

的积都是 36,众人恍然大悟:原来比例的两个外项积与两个

内项积相等啊。

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转眼间,台上的四个数又变幻出一长串比例来,只见:

4∶12 = 3∶9 3∶9 = 4∶12

9∶12 = 3∶4 3∶4 = 9∶12

4∶3 = 12∶9 12∶9 = 4∶3

9∶3 = 12∶4 12∶4 = 9∶3

他们你翻过来,他翻过去。一个个像闪电飓风,看得人们

眼花缭乱。“这套武术告诉我们:‘两两相乘,积相等的四个

数,可以组成八个比式’。”广播喇叭继续传出解说员的声音,

“这八个比例式也是有规律的。当组成第一个比例式后,先交

换内项,后交换外项,再使两个比换位。于是,异彩纷呈的景

象出现了。”

在场的观众,兴高采烈,有的当场根据解说员的解说也纷

纷写比,再组比例,再变化比例。嘿 ! 这套技术许多人也熟练

地掌握了。

一直到节目全部结束,人们才依依不舍地离开了体育场。

16. 比例尺找家

比例尺匆匆忙忙地赶路,他一边走着,一边好不烦恼,昨

天那个尴尬场面,现在想起来,还满肚子气呢 !

长度单位召集全家族的人开会,里、丈、尺、寸、分、公里、

米、分米、厘米,连不起眼的毫米、微米也都端端正正地坐着。

总之,不论公制的、市制的长度单位都来了。

可是比例尺到会场还没坐下,就被撵了出来,他们齐声吆

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喝:“比例尺不是尺,也不是长度单位,不能参加我们的会 !”

比例尺顿时愣了:“我明明有‘尺’字,不是长度是什么 ?”

“是什么,咱们不管 !”会场中有人说,“总之,咱们不是一

个家族的 !”

有个好心的老人说:“他们说的没错,看样子你可能是分

数吧 ! 请你到分数大院去 !”

比例尺心想:“对,分数单位有、、”

110000

谁料连分数大院的门还没有进,看门老头一看他是比例

尺,就说:“到比例城找家去吧 ?”

“”一想老人说的没错,我可能与比例是一家人。

于是他一气之下,决心到比例城寻找自己的家。他询问

了许多人,最后一位地理教师翻箱倒柜找到了一张比例尺是

的地图,说:“瞧,此地离比例城只有 10 厘米,你自己慢慢地走

去吧 !”

走了一天又一天,最后终于到达了比例城。

比例城的朋友,个个热情好客,人们围住他问长问短。

比例尺急于打听自己的家,便问:“我与比例是一家么 ?”

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“当然是 !”一个脑门上长了两个黑痣的白发老人说,“比

例尺就是图

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上距离与实际距离的比,你们家有三个兄弟呢 !”

图比例尺第一次听到这么说,忙问:“我哪有那么多兄

弟呀 ?”

老人不慌不忙地说:“你是分数比例尺,意思是图上厘米,

实际长度便是 10000 厘米,也即 100 米。如果用线段表示便

是,这就是线段比例尺,与你是同胞兄弟。”

“”听得十分入神。

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“你还有个弟兄叫放大比例尺,在一些精密仪器上,如手

表、显微镜等等,零件的实际大小比画出的图还要小得多,如:

∶或,表示图上距离是实际距离放大了倍后画出来的 !”

“原来如此 !”“”恍然大悟,他十分高兴,终于找到了自己

的家。

17. 比的魔法

“比”自称魔术师,他说:“一般的魔术师都是变化物体,比

如让手帕变成白鸽,使领带变成鲜花。而我变的是数,都是由

观众当场点题。”话刚说完,只见35

= 3∶5 站起来说:“能把我

变成比吗 ?”

35

“比”只用眼狠狠地向瞅了一会,果然出现了。

3535 = 35

“能把我们也变成比吗 ?”说话的是 6÷5。

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“比”看了看说话的两位,说:“咱们原本是一个家族的。”

只见他用手一指,6÷5 立刻变成了:

6÷5 = 6∶5

“比”果真有点小本事呢 !

观众中的“×”心想:除法你能变成比,咱们乘法,看你怎

么变 ?

便慢悠悠地站了起来。

4×7“比”好像看出了他们的心事:“请二位站稳。”说话

间,只见那两位观众慢慢地随着比的指令动了起来:

4×7 = 4×7∶117417 ???? = 47 = 47∶

又变成了比。

观众中 A 和 B,附耳低声说了一会儿话,然后 A 说:“咱

们忘记了自己是多少,只知道 A 被 B 除商是 0.6,能将咱们

A、B 两人变成比吗 ?”这可真是个难题,观众心想。

“这也不难 !”“比”说,“A 被 B 除商 0. 6,即,A÷B = A∶

B = 0.6,这就是说,A 是比的 60 % ,也即,3∶5,A = 3,B = 5。”

停了停,“比”又补充说,“当然了,根据比的基本性质,你们二

位同时扩大或缩小相同的倍数(0 除外),组成新的比,也都符

合你们的要求。”

场上响起了热烈的掌声。

A 和 B 也补充说:“要是只知道比少,咱俩的比是多

少呢 ?”

“比”不慌不忙地画一张图:

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A = 5 - 2 = 3

B = 5

A∶B = 3∶5

突然,观众中有人高声说:“咱们全场共有 300 名观众,其

中女同胞占男同胞人数的,求女同胞有多少人,你能用比来

解么 ?”

“这个问题问得好,”观众一片喝采声,把应用题也请来让

他变,大家心想:这回魔术师该黔驴技穷了吧 ?

只见“比”仍是沉着冷静地思考着,一面还用手比画着:

男∶女 = 3∶2

设:女同胞为 x 人,则男同胞为(300 - x)人。

3∶2 = (300 - x):x

3x = 2×(300 - x)

3x = 600 - 2x

5x = 600

x = 120

大家看了算式,没等“比”报出得数,便爆发出一阵雷鸣般

的掌声。“比”的善变能力,使观众们大开眼界。

会场上很长时间没有人再提出新的问题了,“比”的表演

便结束了。

18. 寻找三兄弟

“110 服务台”接到报告:线妈妈的三个孩子不见了 ! 这

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消息使几何城内一片惊慌。谁都知道,几何城内要是没了线

家兄弟,所有高楼大厦,田园道路,都将成为一片空白 !

听了这个消息后,“角”吓得连嘴也张不开了 !

三角形、四边形吓得两腿打颤。

长方体、正方体、圆柱、圆锥倒在地上。

“必须迅速将线段、射线、直线三兄弟找回 !”T 台长立即

命令各地 110 巡逻队。

“01 遵命 !”

“02 遵命 !”

“03 知道了 !”

无线电波很快接通了联系。 T 台长长吁了一口气,坐在

收发台旁,静静地等待消息。

时间一分一秒地流过,T 台长紧皱双眉。

忽然无线电波嘀嘀响起:

“01 报告,01 报告,我们已经发现了线段的行踪 !”

T 台长一阵惊喜,忙问:“他在哪里 ?”

“报告台长:线段从几何城出发,奔向学校,奔向工厂、农

村,到了课桌上,又飞上黑板边、还在场头、田边。一会儿直奔

莫斯科,又从莫斯科通向东京,通向纽约。”

“快,快将他截住,让他回到几何城来 !”T 台长果断地命

令,“必须派两名干警,一头一个方能截住 !”

台长话音未落,又传来了:“02 报告,射线不愿回家,他要

服务社会 !”

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“怎么 ? 他现在干什么 ?”台长焦急地问。

“他说,他要把温暖的阳光洒向大地,给人们送来绿色和

丰收;他要化作电光,给人们驱走黑暗;他还要走进实验室、放

射科,变成 x 线、红外线、激光。为人类造福,他说,即使战斗

到生命的最后一刻,也要像流星那样,放出全部的光和热,体

现自己的生命价值。”

听了 02 的报告,T 台长无话可说,只是要 02 告诉他不要

忘了几何城的父老乡亲 ! 一旦需要,请立即返回。

旋即台长拨动按钮:“03,你们可曾见过直线的身影 ?”

“我们在 03 台同时放出了两颗侦察卫星,他们向着相反

的方向各自追寻,找遍了大地、天空和茫茫宇宙。至今。”

“这么办吧 !”T 台长说,“线家弟兄一向助人为乐,一旦需

要,相信他们会不请自来。”稍停他命令各队,“天已不早,赶快

回城。”

线妈妈听说三个孩子都在各地忙碌着,并且都在做一些

服务社会、有益人类的工作,也就放心了。

19. 米、米2、米

3

“又把单位名称搞错 !”老师很不满意,宁宁也生自己的

气,“为什么总是分不清米、平方米、立方米 ?”他伏在桌上迷迷

糊糊地想着。

想着,想着,竟昏昏入睡了。

忽见米、米2 、米3 一起站在他面前,齐声说:“我们虽然都

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是一个家族的,都姓‘米’,可是各自的特点并不相同呀 !”

米说:“你看我,身子瘦成一线,行动离不开两个点。”说着

便指指头上、脚下,“我的身长就在这两点中。我干的工作是

量长度。要想知道直线的长度,找我好了。分米、厘米两个小

弟常常随我一起工作,遇到零头数,就让他们去处理。”

米的话音刚落,米2飘了过来:“请再看看我 !”又见他一

招手,四个点蹦蹦跳跳,连成四条长度都是 1 米的线段,头尾

相接,围成了一个正方形,“瞧,这围起来的平面才叫米2 !”

宁宁问:“你为什么非要四个点不可呢 ? 两个点不行吗 ?”

“不行,两个点只能连成一条线段,那是长度,至少要有三

个点才能围成面,”说着,他招呼一些小圆点,共同表演了各种

面的面积:

接着,米2说:“我的大哥叫(千米)

2。(分米)

2、(厘米)

2、

(毫米)2 都是我的小弟弟。遇到算县、省、国家范围的大小

时,总是大哥出动;算铁皮、图纸的面积时,我与几个小弟弟就

自告奋勇了 !”

宁宁听得津津有味,又问:“你们和米没有关系么 ?”

“有,要是没有关系,你就不会把我们搞混了。我家弟兄

工作起来,总要先请米家弟兄帮忙,他们给量出了长度,我们

才能算出面积来。米家兄弟工作(量长度)时,却从不用我们

插手。”

这时,米3过来了:“我与他们就更不相同了。”

说着,他向点、长度、面积招招手,他们立即聚拢到一起,

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“你看,我就是由点、线、面组成的。”

宁宁一看是个正方体:8 个顶点,6 个面,12 条棱。

“看清了吧 ? 米,瘦得像一条线,只有长度;米2,有长度、

有宽度,却没有厚度;我呢,不仅有长,有宽,还有高(厚) ! 有

人给咱们米、米2、米

3,编了个顺口溜,说是‘长度一条线,面积

成一片,体积占空间’。”稍停,米3又说:“量长度,找米去;算

面积用平方;算体积与求容量,要用立方来帮忙。”

宁宁听了大叫一声:“这下我可认清你们了 !”他一睁眼,

原来是做了一个梦。

20. F 查户口

户籍警 F 接到一份报告:在一座长方体的小屋里,住着

几个形迹可疑的人。

他骑着电动摩托,迅速来到了小屋前,大声喊:“谁是

户主 ?”

“我是 !”“我是 !”“我是 !”接连有三四个人应答。

说话间,一个叫 S 表首先来到面前,他如同覆在小屋上的

一张薄薄的塑料纸,轻轻飘了下来。

“你叫什么名字 ?”F 问。

“我叫表面积 !”S 表应声回答。

紧接着 V 体也来到面前。

“你叫什么名字 ?”

V 体应声答道:“体积 !”

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“这房里就你们两个人么 ?”F 继续问。

“还有我呢 !”屋内有人回答。

“请你出来说话 !”

“要是走出去,我就不是我了 !”屋内人答。

“怎么 ? 出不来 ? 你叫什么名字 ?”

“我是 V 容,就是容积的意思 ! 我和容量是孪生兄弟。”

那人回答得也很爽快。

F 户籍警满腹狐疑:真是三个怪人 ! 又问,“你们是什么

关系 ? 为啥三个人都是房主 ?”

“什么关系 ?”S 表听了直挠头,“我们一直住在一起,不论

到哪儿都是这样。”

“是谁把你们介绍来的 ?”F 继续问。

“长、宽、高 !”三个几乎同时回答,理直气壮。

既然有来头,那就找介绍人好了。于是,找来了长、宽、

高,他们分别是 5 米、4 米、3 米。谁也不否认,是他们介绍

来的。

“咱们又不是流窜犯,有名,有姓,大惊小怪干啥 ?”这声音

从屋里传出,显然是 V 容不耐烦了。

F 连忙解释:“我的责任是登记户籍,对数学城里的每一

位都要摸清楚来龙去脉。”

“既然是执行公务,那我们就自报一下吧 !”S 表先自我介

绍了:

“我叫表面积,专门负责油漆、粉刷一类工作,当然喽,像

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这座小屋用了多少木板,我也清楚,比如咱们这间木板屋共用

木板面积是:

(5×4 + 5×3 + 4×3)×2 = 94(平方米)

“啊 ! 原来如此 !”F 听了后说,“我在上小学时就听老师

说过,‘长方体表面积要计算,抓住长、宽、高三条线,两两相乘

得一半,再乘以 2 就得 6 个面’,说的就是你了 !”

“对、对,正是我 !”S 表非常自豪。

“计算物体占有空间的大小,是我的工作 !”V 体也自我

介绍,“咱们这间小屋共占 5×4×3 = 60(立方米)空间,这早

已报告了城建部门。”

三位证人见只有 V 容躲在屋里不说话。

F 户警说:“容积同志也请你自我介绍一下吧 !”

只听容积慢条斯理地说:“刚才体积的介绍不是已经把我

包括进去了么 ? 木板的厚度又没有告诉我,叫我怎么介绍自

己呀 ?”

三位证人恍然大悟 !“是啊 ! 容积是物体所能容纳的体

积大小,计算容积必须从里面量起。”于是,他们马上说,“长、

宽、高木板的厚度都是 0.05 米。”

“既然知道木板的厚度,我的长、宽、高你们还不知道吗 ?”

V 容看来很有点小脾气,“知道了我的长、宽、高,我的体积,

连小学生都会算,何必多口罗嗦 ?”

F 户警一听也是,既然他们都是好人,何必再详细考

查呢 ?

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21. 扇形不再回家

秋日的夜晚,明月高悬,清风送爽,微风飘动着圆锥姑娘

的喇叭裙,她漫步树林边,轻声吟诵诗句:人行幽径中,月上柳

梢头。

当她路过伐木场时,突然一阵凄楚的哭声打断了思维,听

声音是个小女孩。谁家的孩子,这么晚还在野外 ?

圆锥姑娘走进伐木场,循着声音,慢慢寻去,那哭声越来

越清晰,时断时续。她跨过了横七竖八躺在地上的各种木材,

来到一根被锯开的粗大的木料前停下了,声音就在这个木料

边。那木料的形状如下图:

小女孩听到有脚步声,哭声更大了。

圆锥姑娘俯身一看:“哎哟,这是哪家的小妹妹 ? 为什么

独自儿倚着木料头伤心呀 ?”

“我找不到家了 !”紧贴在木料头上的孩子揉了揉眼说。

圆锥姑娘端详了半晌,心想,看长像,这孩子很像圆。忙

问:“你多大啦 ?”

那孩子止住了哭,回答:“不知道 !”

圆锥姑娘沉思了一下,“有了 !”她量了一下这孩子的身

高,不禁一愣:

“哟 ! 原来你还是我亲戚呢 ! 你的老家也是圆啊 !”说罢,

她围着那孩子画了一个圆:

便拍了拍那孩子的脑袋说:“你名叫扇形,是圆的一部分

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啊 ! 瞧,r = 12 厘米 !”

那孩子突然想起,高兴的说:“是的 ! 是的 ! 大家都这样

喊我 !”

圆锥姑娘又叫她叉开两足,一量叉开的角度是 40°,便

说:“你有多大我知道了,所有的圆都是°,你占圆面积的19。”

说罢圆锥姑娘乘着月光,拿了根小棒,在地面上计算了起来:

圆的面积是:πr2

扇形的半径是:r = 12 厘米

扇形的面积是:

19πr

2=π×12

2×

19

= 16π= 50 .24(厘米)2

小扇形破涕为笑:“知道了 ! 知道了 ! 我是 50.24(厘

米)2,我的老家在圆里。姐姐快带我回家吧 !”

“小妹妹,你不能走 !”圆姑娘温和地安慰着扇形,“这里需

要你 !”小扇形随即又哭了起来:“为什么不能走 ? 这里要我做

什么 ?”

圆锥姑娘指了指那根躺着的木料说:“要是没有你,木工

师傅便不能计算这根木料的大小了,也就没法用这木料制造

各种工具了 !”

“为什么有我木工师傅才能知道这块木料大小呢 ?”

“只有用你的面积乘以木料的长度,才能算出体积来,要

是你走了,光有长度怎么计算啊 ?”圆锥姑娘耐心地解释着。

⋯⋯圆锥姑娘又好言安慰了一番,说:“这里有你的许多

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姐妹,它们有高有矮,总之,假定身高是 r,两腿叉开(也叫圆

心角)是 n°,那么πr2×n°/ 360 都是你的姐妹。”小扇形也挺听

话,于是她倚着木料安心地闭上眼睛。圆锥姑娘直到扇形睡

着了,才踏着月光,慢慢地回家。

22.“时间老人”讲时间

时间老人从很久很久的以前走来,又匆匆忙忙地向遥远

的未来走去,他的脚步一刻也没有停止。他经历了沧海桑田

的变化,目睹了三皇五帝的兴衰,他是一个无所不知永远年轻

的智慧老人。

时间老人是一部厚厚的历史,时间家族的小字辈一直跟

踪着他,盯着要老人讲故事。

老人急着赶路,便说:“想听故事 ? 那就跟我一直走吧 !”

时间老人答应了讲故事,时、分、秒,快步地跟上,年、月、

日,紧追不舍,“季节”、“星期”,也都来了,连“世纪”、“年代”,

也悄悄地尾随其后。

(一)

“就从你们年月日说起吧 !”老人一面脚不停步,一面讲

述着。

“远古时候,人们对我们时间家族,并不熟悉。他们日出

而作,日入而息。迷迷糊糊地过日子。时间久了,他们发现日

月星辰,寒来暑往,有着一定的规律。更兼相互交往,生产生

活常常需要确定的时间,于是把太阳(日)升起又落下到再升

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起经过的一段时间叫做‘一日’,又发现月亮圆缺一次的周期,

是 30 日左右,于是把 30 日叫做‘一个月’。日、月便这么产生

了 !”日月听了高兴得跳起来:“原来我们是这么诞生的 !”

跟在一旁的“年”忙问:“我是怎么诞生的呢 ?”

“人们又发现气候的变化也是有规律的 !”时间老人继续

说,“春、夏、秋、冬,寒来暑往,每 12 个月便周而复始,往复循

环,于是把 12 个月叫做‘一年’。又根据气候变化情况把一年

分春、夏、秋、冬四季,每三个月称作一季。”

年、月、日听了时间老人的讲述齐声欢呼,他们终于明白

了自己的身世。

“不料,这样做却出了不少麻烦 !”时间老人又冒出了这句

话,使他们顿时收住了欢乐的笑容。

(二)时间老人继续讲述着时间的历史:

“其实,一年就是地球绕太阳转一圈所用的时间。”老人

说,“后来知道地球绕太阳一圈实际用的时间是 365 天又 5 小

时 48 分 46 秒,而我们计算日期都是用整天数作单位,把 365

天当作一年。这样,①有的月份,就得规定 31 天。②一年中

相差了 5 小时 48 分 46 秒,每过四年就多出 23 小时 15 分 4

秒,已接近一天。每过 4 年就需增加 1 天,因此又规定 366 天

的年叫做‘闰年’,而把 365 天的年,叫做‘平年’。”

“年”听了忙问:“把 23 小时 15 分 4 秒当作一天实际还差

44 分 56 秒,这么算,时间长了,比如数百年以后,这误差不仍

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是不小吗 ?”

“你问得好 !”时间老人接着说,“于是又用减少一些闰年

来补救,规定:公历年份是整百数的,必须是 400 的倍数才作

闰年,否则仍作平年。如公元 1200 年是闰年,而公元 1300 年

便仍作平年。总之,四年一闰,百年不闰,四百年又闰,这样,

误差便越来越小。经过了四千年后,也只差 2 小时左右,当

然,仍是个近似值。”

“爷爷,你说的平年 365 天,闰年 366 天,这多出的 5、6 天

加在哪个月上呢 ?”“日”不禁又提出了新问题。

“这个问题,说来又话长了 !”时间老人说,“公元前四十六

年古罗马帝国的儒略·凯撒大帝下令编制新历法。因为他是

七月出生的,就规定将七月编为大月(31 天),这样所有的单

月:一、三、五、七、九、十一,都是 31 天,而把逢双的月份定为

30 天。可是平年只有 365 天,只有再从小月中减少一天,才

能保证所有单月都是 31 天。

“让哪个小月是 29 天呢 ?

“当时的罗马帝国,判处死刑的罪犯都在二月份处决,就

决定从这个不吉祥的月份减少一天。于是,二月只有 29

天了 !”

“月”对应着现时的大月月份是一、三、五、七、八、十、十

二,那么,再问:“可是现在八、十、十二,都是双月,怎么也成大

月了 ?”

“这事,说起来就更令人哭笑不得了 !”老人感慨万端地

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说,“后来,又出了位皇帝,叫做奥古斯都·凯撒,他是八月出

生的,为了炫耀自己,他下令把九、十一月改成小月,而将八、

十、十二月改为大月,这样就有七个大月,于是又从二月份抽

出一天,这么一来,二月便只有 28 天了 ! 只有在闰年时才是

29 天。就这样,一直沿用到现在。”

“这么改,远不如原来好记呢。”“月”不满地说,“真是胡

折腾 !”

“谁让他们有权呢 !”时间老人意味深长地说,“是是非非

我心里有数 !”

(三)

说话间,“世纪”和“年代”也跟了上来,没用他俩开口,老

人便说:“你们俩虽然表示的时间长,年龄却比年、月、日小。

一百年为一个“世纪”,每十年为一个‘年代’。”

“照这么说,10 年 = 1 个年代,10 个年代 = 1 个世纪了 ?”

世纪问。

“当然了,可是一些人常常把你们搞错,”老人说,“一个世

纪的一百年,是从第一年算起的,如公元七世纪,第一年是

601 年,最后一年是 700 年。公元二十世纪的第一年是从

1901 年起算的。年代就不同了,他是从 0～9 计算的,人们

说,公元二十世纪九十年代,是指 1990～1999 年。每个世纪

的最后一年,不包括在任何年代里,只说某世纪的最后一年,

如 2000 年是二十世纪的最后一年。”

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“啊 ! 原来是这样 !”世纪和年代异口同声地说,“今后,再

有谁把我们搞错了,咱们就要和他说清楚 !”

就在他们只顾说话的当儿,时间老人已经悄悄地离去老

远了 ! 他留下一张字条,上面写着这样几个题:

1. 你能讲出“四年一闰,百年不闰,四百年又闰”这种规

定的道理么 ? 2. 哪些月份是公历的大月 ?

3. 公历平年的二月份是多少天 ? 闰年呢 ?

23. x 侦探

x 是数学城里有名的侦探,许多疑难问题,都要找他去解

决。凡是布满疑团的“未知数”在他手中都变得条理清晰,头

绪清楚,最终真相大白。关于他的故事,远远近近都流传着,

提起他的名字人人都赞不绝口。

(一)知你所想

一次,有位数学魔术师,说他知道每个人内心想的数是什

么。开始谁也不相信,可是不论你想的是什么数,只要将这个

数乘以 2,再加上 3,再扩大 4 倍,最后再除以 2,把所得的结

果告诉魔术师,魔术师都能一个不差地说出每个人所想的数

是多少。尽管每人开始想的数和最后的运算结果都各不

相同。

比如:有人暗暗地想个 5 乘以 2 得 10,再加 3 得 13,再乘

以 4 得 52,最后除以 2 得 26,魔术师知道结果是 26 后,便立

即猜出你原先想的数是 5 ! 如果你想的是 15,按照上述程度

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结果是 66。

(15×2 + 3)×4÷2 = 33×4÷2 = 66

把 66 告诉魔术师后,他也立即猜出你原先想的数是 15 !

谁也不知其中藏着什么奥秘。

但是 x 却轻而易举给解开了。他假设自己就是每个人心

里想的数,而后列成了一道符合要求的算式:

4x + 6

这就是说,任何数经过那么一系列的运算后,结果总是那

个数的 4 倍多 6。魔术师只要把结果减去 6,再除以 4,便一

定是你原先想的那个数了 !

(二)和 = 积

我们知道 99×99 > 99 + 99,可是有人要求“ > ”号的两端

各加上一个相同的运算符号和数,使这个不等式成为等式。

面对这样的难题,许多人都束手无策。

最后找到了 x 侦探。x 端详了一会,便深入到式子中,使

不等式成为等式:

99 + 99x = 99·99x

99 = 99·99x - 99x

99 = 99x·(99 - 1)

99 = (99·98)x

1 = 98x

x = 198

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平常人们总以为只有 0 + 0 = 0×0,2 + 2 = 2×2,此外便

没有了。根据 x 侦探的结果,人们竟然找到了一个“和 = 积”

的万能公式。

(三)差 = 积

两数的差与积相等,这也是个难题。

在“和 = 积”中,一般还能找到“0 + 0 = 0×0,2 + 2 = 2×2,

可是在“差 = 积”时,一般人只能找到一个“0 - 0 = 0×0”!

问题到了 x 侦探的手里又是轻而易举地解决了。

假定:A - A = A·Ax 侦探便走进式中:

A - Ax = A·Ax

A = A·Ax + Ax

A = Ax(A + 1)

1 = x/ (A + 1)

x =1

(A + 1)

(四)“什么”、“多少”

x 侦探的高明之处在于他能把“未知”的,也当作“已知”

的,让他一道参与运算。

有位小朋友解题遇到了困难,问 x 侦探:

“什么数加上 20 的和与它乘以 20 的积相等 ?”

x 侦探说:“你就把我当成‘什么’,去列式计算吧 !”

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小朋友按照侦探的话,列出了:

x + 20 = x·20

x + 20 = 20x

20 = 20x - x

19x = 20

x =2019

他把代入算式,计算一下果然相等。

那位小朋友又问他:

“一个数扩大 3 倍后,再增加 100,然后缩小 2 倍,再减去

36,得 50,这个数是多少 ?”

“那你就把我当成‘多少’吧 !”x 侦探说。

“多少”就是“这个数”,小朋友又很快列出了算式:

3x + 1002

- 36 = 50

解得:x = 24

这个数是“多少”? 是 24 !

x 侦探果然神通广大 !

24. 划跑道

长鼻象因为有一个比手还灵活的长鼻子,虎大王安排他

负责赛场的跑道设计,并且告诉他即将举行的动物界长跑比

赛,将是每组 5 人,分场进行。划跑道对于长鼻象本是轻而易

举的,5 人一组需要划六条跑道,他也清楚,可是因为山下面

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那片空地作赛场,面积太小,跑道必须划成直线加圆弧,让运

动员在赛场转圈子,才能满足要求。

这样,问题就来了:跑内圈和跑外圈长度是不相同的,运

动员起点相同,终点必须有区别才能正确地评定成绩。可是

终点定在哪 ? 他左思右想也没找到解决的办法。

必须圆满地完成任务,因为虎大王的脾气他是知道的,倘

若发怒,自己会被撕成肉片。

他愁眉苦脸独自一人,耷拉着大耳朵在赛场上转悠。

长胡子山羊在山坡吃草,见此情景,忙问:“象大哥,你有

什么困难么 ? 老弟一定全力相助。”

长鼻象叹了口气,慢腾腾地说:“怕是老弟也 解决不

了啊 !”

“你且说说看,咱们可以共同想办法么 !”

在山羊的再三追问下,大象说出了自己的烦恼。

不料,山羊轻描淡写地说:“我当是啥,这有何难 ? 你想在

两端划多大的圆弧 ?”

“根据赛场情况,最大只能划半径 50 米 !”

“这就是说,直径是 100 米了。假定每两股道间距离是 1

米,那么每一个半圆的周长都可以求出来:

1 号跑道弧长是:

12πD = 157( )

2 号跑道弧长是:

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12π(D - 2) = 123.1498 = 153.86( )

3 号跑道弧长是:

12π(D - 2) = 150.72( )π××米

4 号跑道弧长是:

12π(D - 6) = 147.58( )π××米

5 号跑道弧长是:

12π(D - 8) = 144.44( )π××米

知道了每个半圆的长度,便可求出它们的差数来。

如 1 号跑道比 2 号跑道长:

157 - 153. 86 = 3. 14(米)

这样就在直线长度上确定两点,使它们间的距离是 3.14

米,便可确定两个跑道各自的终点位置。当然了,跑的圈数越

多,内外跑道的差数越大,但都可以计算出来。照此办理,每

一号跑道的终点都可以确定了。

长胡子山羊的一番话,使长鼻象豁然开朗,于是他很快地

划出了赛场跑道。

25. 公主求援

“天苍苍,野茫茫,风吹草低见牛羊。”

数学城的皇太后,满腹忧伤地听着宫女们唱着这支描写

北国风光的歌曲。

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自从女儿出嫁外族以来,她日夜思念。只有那只大雁来

往穿梭为她们母女沟通情感。每当思女情切时,太后便命宫

女唱这支歌给她解闷。她坐在皇宫的软椅上,听着听着,便睡

眼朦胧,仿佛自己也随着女儿置身在那辽阔无边的草原上。

忽然飘进一道白光,直扑太后怀中。众人大惊,太后定睛

一看,原来是那只美丽可爱的大雁 ! 太后双手捧起大雁,亲了

又亲。

只见那大雁气喘吁吁地禀道:“公主告急:敌国犯界,令使

者送一难题,能解出则立即退兵,解不出则踏平国土,掠走公

主。公主说,想我数学王国一向以聪明睿智闻名天下,女儿不

才,思之再三,终解不出,满朝文武束手无策,请母后急速

设法。”

太后急问:“是何题目 ? 竟连我那绝顶聪明的女儿也被难

住了 ?”

“敌国告知,他的首批人马是 31000,不要我朝求得总数,

只要能告知末位是几的方法,即不进犯 !”大雁继续叙述着。

太后一听,对方显然是有意刁难,否则用最笨的方法也可

求得,即:

太后连忙命人告知国王。国王立即召集群臣,研究对策。

军师“周期”献计说:“大王,咱们不妨先作几个简单的计

算,看它积的尾数有无规律。”

“爱卿尽管试验 !”

当下,军师“周期”便演算了起来:

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果然每 4 个数为一个周期,积的末位按 3、9、7、1 循环

出现。

再看 1000 个 3 中有多少个周期:

1000÷4 = 250(个)

恰好没有余数,说明了 31000 积的末位数是 1。

国王大喜,忙令修书告知女儿。

“且慢 !”“周期”军师说,“请大王将 2～9 各个数连乘的末

位数字及其变化周期也都告知对方,让他们从此再不敢小视

公主。”接着军师说,“数 2 的周期是 2,4,8,6;数 4 的周期是

4,6;数 5 的周期总是 5;数 6 的末两位总是 36、16、96、76、56

五个数循环;7 的末两位总是 07、49、43、01;8 的末位总是 8、

4、2、6;9 的末位总是 9、1 重复出现。”

国王按照军师的意见修书一封。

大雁以最快的速度将答案送给公主。公主又将答案以最

快的速度交给了敌兵。

敌兵将领一看,不仅没有难倒公主,反而连他们自己也不

知道的问题都解出来了,便乖乖地将兵撤退。

26. 编号里的秘密

“数字百货公司”接连发生了几件怪事,成了全城的热点

话题。

一件是进来的货物中神不知鬼不觉地被掺了假,弄得真

假难辨。一件是有的货物不翼而飞了。手段都极其高明,令

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人很难发觉。

案情报到公安局。

侦察员 y 亲临现场,他的任务一是要把所掺的假货挑出

来,决不能让它坑害消费者,二要把被偷走的货物查清。

y 找到了公司的保管员。

保管员打开“数字仓库”,只见那些被掺假的货物都编了

号,井然有序地摆放在地上:

第一批:0、2、6、12、20、30、36、42;

第二批:1、3、4、7、11、18、29、47、50;

y 认真观察了各个编号,反复分析,终于被他找到了

疑点:

第一批货物的编号,都是依照一定的规律排列的:

即:0 = 0×1,2 = 1×2,6 = 2×3,12 = 3×4,20 = 4×5⋯⋯

都是相邻的两个整数的积 ! 只有“36”例外。打开 36 的

包箱,果然是假货 !

第二批货物的编号:4 = 1 + 3,7 = 3 + 4,11 = 4 + 7⋯⋯后

一个数都是前两个数的和,但是其中又有一个例外,打开“50”

的包箱,果然也是假货。y 侦察员,又问盗失的货物在哪儿 ?

保管员说:“为了保护现场,所进的货物都按原来的顺序

依次排放的,被盗走的就空着位置。”说着又把侦察员带到另

一个保管室。

y 察看了现场,果然原封未动,依原包装编号整齐地摆

放着:

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第一批:64、32、□、8、4、2、1

第二批:1、3、7、15、31、63、□

y 心想,首先应该弄清被盗走货箱的编号,而后才便于破

案。可是被盗走的包箱编号是多少呢 ?

第一排被他很快破译了:前一个数都是它相邻的后一个

数的 2 倍,可以断定,□的编号是 16。

但是第二排反复推敲也没有解出来,只得抄下编号顺序

带回局里。

局长老 G,迅速召开全体干警会议,集体研究,最后终于

发现:从第二个数起,每一个后面的数都是它前面数的 2 倍 +

1,即:1×2 + 1 = 3,3×2 + 1 = 7,7×2 + 1 = 15 可知,□ = 63×

2 + 1 = 127。

G 局长迅速作了布署,一场打假追真的战斗便悄悄地展

开了。

32. 侦探 1667

数学城来了一位代号 1667 的侦探,他大言不惭地声称:

凡是他参加的案件,没有侦破不出的。就是任你心里随意想

的一个数,也能猜出。

这消息一传出,数学城的人纷纷前来找他。

“一位数大院”的瘦“1”说:“咱们一位数的弟兄中有一个

自从与你摔跤后,就没回家,你说他是几 ?”

1667 说:“你那位弟兄与我相乘的积,最末一位可有人

数 学 卷

趣

味

数

学

知

识

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看见 ?”

人群中忙有人应道:“我看见了,你们乘积的尾数是 9。

但谁与你相乘的,却没有看清 !”

1667 侦探眉头一皱说:“知道了,他是 7。”

瘦“1”连连点头,“正是,正是 !”接着又问道,“要是与你相

乘积的末位是 8,那么他是谁 ?”

1667 侦探不慌不忙地说:“那肯定是你家老 4 !”

众人算了一下:1667×4 = 6668,尾数果然是 8。

人群中 99 走出来,问:“要是我家弟兄与你相乘积的尾数

是 1,你知他是谁吗 ?”

1667 侦探一看说话的是“两位数”,忙说:“啊 ! 你是两位

数,就要告知我积的末两位;如果是三位数就要告知我末三位

⋯⋯”

99 补充说:“积的末两位是 41 !”

1667 略加思索,回答道:“与我们相乘的是 23 !”

1667 与 23 相乘的积是 38341,末两位果然是“41”。

“我们三位数与你相乘,积的末三位是 321,是谁与你相

乘的 ?”

“963 !”1667 立即报出了答案。

接着又有许多人说他们心里想好了数,请回答。

“末位是 3。”

“相乘的是 9。”

“末位的 16。”

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数

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“相乘的是 48。”

“末位是 207。”

“相乘的是 621。”

⋯⋯

1667 侦探果然功夫不凡。站在一旁观看的 x 侦探也看

不懂他是怎样测知的。心想,这种问题遇上我也无能为力。

之后,x 侦探专程拜访了 1667,向他请教破案方法。

1667 侦探非常热情地说:“老弟,我是利用‘1667×3 =

5001’这个特殊结果进行测算的。不论对方心里想的是几,只

要将他告知的尾数乘以 3 就得了。他是一位数,我也只取积

的末位。”

x 侦探回忆 1667 上次的侦探经过,果然如此。连忙道谢

说:“老兄高明,实在高明 !”说着便告别回家继续学习侦探本

领了。