Youblisher.com-240415-Controlador Pi Para Sistema de Primer Orden

DISEO E IMPLEMENTACION DE UN CONTROLADOR PI ANALOGO Y DIGITAL PARA UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN SIN TIEMPO MUERTO Control Anlogo / Control Digital 28/12/2011 Programa de Ingeniera Electrnica Universidad de Cundinamarca Msc. Ilber Adonayt Ruge Docente Control Anlogo

Programa de Ingeniera Electrnica Universidad de Cundinamarca | [email protected]

2

DESCRIPCION El documento muestra una manera didctica y de fcil comprensin para el diseo, simulacin e implementacin de controladores PID tanto anlogos (basado en amplificadores operacionales) como digitales (basado en microcontrolador). Para el caso en particular se trabajara como planta a controlar un sistema de primer orden sin tiempo muerto, considerando que este tipo de sistemas son de amplio uso en el rea de produccin industrial (ejm: sistemas de temperatura, nivel, entre otros). MODELO DE SISTEMA DE PRIMER ORDEN SIN TIEMPO MUERTO

12.3 1 (1)

Se desea sintetizar el anterior modelo hacienda uso de amplificadores operacionales para cuestiones de simulacin e implementacin futura del controlador PID.

Figura 1. Sntesis de sistema de primer orden con amplificadores operacionales.

Para el sistema de la figura 1, la funcin de transferencia viene dada por:

1

(2)

Si se compara la ecuacin (2) con la ecuacin (1) se puede deducir que:

1,

1 2.3

Si 10 entonces 23. Por tanto, 23 para que se cumplan las igualdades. De igual manera se asigna 23 (esta ultima etapa es para hacer que la fase del sistema sea positiva).


3

Figura 2. Respuesta del sistema de primer orden sintetizado ante una entrada escaln de

magnitud unitario. La figura 2 muestra efectivamente que la constante de tiempo del sistema sintetizado corresponde a 2.3s (el cambio en la entrada se aplico en t=1s), considerando que este tiempo corresponde al tiempo que tarda el sistema en adquirir el 63.2% de la magnitud de laganancia esttica ante una entrada escaln unitario, la cual es igual a 1 (( )/(

)). DISEO DE CONTROLADOR PID USANDO PIDWindUp Una vez validado el modelo sintetizado con amplificadores operacionales, se procede al diseo del controlador PID respectivo. Para tal fin se hace uso de la herramienta de software PIDWindUp, por tratarse de una herramienta fcil de usar y que permite variar los parmetros del controlador PID de manera interactiva y evaluar el desempeo del controlador de manera inmediata. Se opto por disear un controlador PI puesto que la adicin del parmetro derivativo no aportaba mayor cosa a la respuesta del sistema, entonces por practicidad de la implementacin se diseo un controlador PI. Para Kp=2.11 y Ti=2.23 se tiene un sistema de control en lazo cerrado con un tiempo de estabilizacin de aprox. 6 segundos, un sobrepico del 0% y un error en estado estacionario de cero.


4

Figura 3. Sintonizacin de controlador PI para sistema de primer orden.

Para cuestiones de validacin del controlador PI diseado, se hace uso tambin de Matlab para tal fin.

Figura 4. Validacin de controlador PI en Matlab/Simulink.

La figura 5 muestra efectivamente que el sistema ante una entrada de referencia escaln unitario, el sistema ofrece una salida con tiempo de estabilizacin de aprox. 6 segundos, no ofrece sobreimpulso y el error en estado estacionario es de cero. Lo anterior valida el funcionamiento del controlador PI diseado mediante PIDWindUp.


5

Figura 5. Respuesta del controlador PI mediante Matlab/simulink.

SINTESIS DEL CONTROLADOR PI CON AMPLIFICADORES OPERACIONALES Un controlador PID tiene como ecuacin caracterstica:

1

(3)

Usando transformada de Laplace, la funcin de transferencia del controlador es:

1

(4)

1

1

(5)

(6)

Donde / y . Se desea obtener un circuito basado en Amplificadores Operacionales que realice el mismo desempeo del controlador PID mostrado en la ecuacin (6), pero haciendo el termino derivativo igual a cero (pues se desea es un controlador PI solamente). Para tal fin se hace uso del circuito mostrado en la Figura 6.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

X: 6Y: 0.9989

Tiempo(seg)

Vol

taje

de

Sal

ida

(vol

ts)


6

Figura 6. Controlador PI.

La funcin de transferencia del controlador PI mostrado en la figura 6 es:

1

1

(7)

Comparando la ecuacin (7) con la ecuacin del PID dada en (6), se deduce que:

1

(8)

Segn los parmetros sintonizados mediante PIDWindUp (ver figura 3):

2.11

2.112.23 0.9462

Para valores comerciales de R y C que cumplan las anteriores igualdades se tiene que:

10 100 210

Para la validacin del controlador PI diseado, se hace uso del software de simulacin ISIS Proteus. Para tal fin, se hace uso de una seal pulsante de periodo 20 seg. con amplitud inicial de 1.5 voltios y amplitud final de 2.5 voltios como seal de referencia. Como resultado se tiene un tiempo de estabilizacin de aprox. 6 segundos, no hay sobrepico y el error en estado estacionario es cero, lo cual coincide con los resultados obtenidos en las simulaciones tanto en PIDWindUp como en Simulink de Matlab.


7

Figura 7. Control PI en ISIS Proteus.

Observacin: Segn la Figura 1 la salida de la planta debe invertirse, y segn la ecuacin

(7) la salida del control PI tambin debe invertirse, entonces por practicidad de implementacin estos dos inversores se omiten puesto que ambos aportaran una doble inversin de fase (es decir, no habra inversin de fase).

Recomendacin: Se recomienda el uso de seguidores de voltaje tanto a la salida de la

planta como en la entrada de Referencia, con el nimo de no afectar las impedancias propias tanto del circuito de la planta sintetizado con amplificadores operacionales como del restador.

La Figura 8 muestra el comportamiento de la seal de control. Se observa que esta nunca sobrepasa los limites de voltaje de alimentacin de los amplificadores operacionales (12v), lo cual lo hace apropiado para implementar (esto dado que si dichos limites se sobrepasan, dicha seal de control se encuentra en saturacin y por tanto cambiara la seal de salida real con respecto a la simulada).

Figura 8. Seal de control del regulador PI ante entrada de referencia cambiante.

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Figura 10. Comparacin de respuesta entre controlador anlogo y controlador digital.

Para calcular la ecuacin en diferencias que se desea implementar en el microcontrolador, se realiza las siguientes operaciones:

1. Dividir Numerador y Denominador por z, para obtener una ecuacin recursiva (ecuacin en trminos de valores presentes y pasados tanto de la entrada E(z) como la salida U(z)).

2.11 1.911

(12)

2. Hallar U(z).

2.11 1.91 (13)

3. Aplicar transformada Z inversa para calcular U[n].

1 2.11 1.91 1 (14)

La ecuacin (14) es la ecuacin a implementar en un microcontrolador PIC.


11

CODIGO FUENTE EN CCS COMPILER PARA MICROCONTROLADOR PIC18F2550

Para una entrada de referencia pulsante con amplitud inicial de 1v y amplitud final de 2v, el resultado de la simulacin en ISIS Proteus se muestra en la siguiente figura.

Figura 11. Resultado de la simulacin del controlador PI implementado en microcontrolador.

Como resultado da una seal de salida con un tiempo de estabilizacin aprox. 5 segundos, sin sobreimpulso y con error en estado estacionario igual a cero. Lo cual coincide con los resultados obtenidos por medio del controlador PI anlogo y las respectivas simulaciones hechas en Matlab/simulink.


12

Para finalizar, se hace un anlisis del comportamiento de la seal de control, con el animo de verificar que los voltajes aplicados a la planta no superen en ningn momento los voltajes de alimentacin de los amplificadores operacionales usados para sintetizar la planta modelo de primer orden sin tiempo muerto.

Figura 12. Evaluacin de la seal de control del regulador PI digital implementado en

microcontrolador. Se observa que las magnitudes de voltaje de la seal de control nunca superan los valores de voltaje de alimentacin, lo cual lo hace adecuado para su implementacin.

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