KELOMPOK : 6

GESERAN ( TRANSLASI )

DI SUSUN OLEH :

KELOMPOK : 6 ( ENAM )

NAMA : HERMANSYAH ( 4007002 )

: EKA ERLINAWATI ( 4007020 )

: LUSI ZULAIHA ( 4007027 )

: WENI WULANDARI ( 4007039 )

: HOIRI ( 4006134 )

SEMESTER :VI . A

M. KULIAH : GEOMETRI TRANSFORMASI

DOSEN: FADLI, S.Si.,M.Pd

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

( STKIP - PGRI ) LUBUK LINGGAU

TAHUN AKADEMIK 2009/2010

1

g h

A A”A’

N

B B’B”

y

x0

KELOMPOK : 6

GESERAN ( TRANSLASI )

1. Pengertian Translasi

Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan semua titik pada

bidang dengan jarak yang sama dan arah yang sama.

Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada garis berarah AB

sehingga setiap titik P pada bidang menjadi G(t) = P’ dan PP '= AB

Teorema 10.1

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B

maka AA ¿ = BB ¿ dengan A’’ = MhMg ( A ) dan B’’ = MhMg (B).

Bukti : Kita pilih sebuah sistem koordinatdengan misalnya h sebagai sumbu y

dan sebuah garis tegak lurus pada g, sebagai sumbu x.

Andaikan A= ( a1,a2 ) dan B= ( b1 ,b2 ). Kalau N tengah-tengah ruas garis A B¿

maka harus dibuktikan SN ( A ) = B”. Andaikan persamaan h adalah x = k ( k ≠ 0¿.

Apabila P = ( x,y ) dan P’ = Mh (P) maka PP memotong h di sebuah titik Q ( k,y )

2

KELOMPOK : 6

dengan Q sebagai titik PP , jadi P’ = Mh P = ( 2k-xy ) sedangkan Mg P = ( -x,y ).

Jadi MhMg (P) = Mh [ ( -x,y ) ] = ( 2k + x,y ).

Jadi pula A” = MhMg (A) = ( 2x + a1.a2 )

B” = MhMg (B) = ( 2x + b1.b2 )

Oleh karena N titik tengah A B ¿, maka

N = [ (2k+a1 )+b1

2,a2+b2

2 ]Sedangkan SN (A) = [2[ (2 k+a1)

2 ]−a1 .2[ a2+b2

2 ]−a2]SN (A) = ( 2k + b1.b2 ) = B”

Dengan demikian maka AA ¿ + BB ¿

Disetiap ruas garis berarah, dengan pangkal sebuah titik dan akhir di titik petanya

oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap garis berarah seperti di atas. Jadi hasil

transformasi MhMg seakan-akan penggeser setiap titik sejauh jarak dan searah.

Transformasi demikian dinamakan translasi.

Teorema 10.2 : Apabila AB =CD maka Gab = Gcd

Bukti : Jika X sebarang, maka harus dibuktikan GAB (X) = GCD (X).

Andaikan GAB (X) = X 1 dan GCD (X) =X 2

Jadi XX 1 = AB dan XX 2 =CD

Karena AB = CD maka XX 1 = XX 2 . Ini berarti bahwa X1=X2 sehingga GAB = GCD.

Contoh :

3

A B

B’

M N

P P’P”

KELOMPOK : 6

Diberikan tiga titik A, B, dan P yang tak kolinear.

Lukisllah :

a). Titik P’ sehingga GAB (P) = P dan

b). Titik P” sehingga GAB (P”) = P

PENYELESAIAN :

a) Karena GAB (P) = P’ maka PP ' = AB atau AB = PP ' . Dengan

pengetahuan ruas garis berarah,anda dapat lukis titik P’ yang memenuhi

syarat di atas.

b) Karena P = GAB (P”) maka P P ¿ = AB atau AB = P P ¿ juga dengan

pengetahuan anda mengenai ruas garis berarah anda dapat melukis titik P”

yang memenuhi syarat di atas.

Teorema 10.3 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis

berarah tegak lurus pada g dengan Cϵ g dan D ϵ h.

Apabila AB = CD maka GAB = MgMh

4

C” =MhMg (C)

C

”

D

A

C

gh

P

P”

B

KELOMPOK : 6

Bukti : Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika P’ = GAB (P) dan P” = MhMg (P).

maka harus dibuktikan bahwa P’ = P”

Menurut ketentuan geseran, PP '= AB. Oleh karena AB =2 CD, maka AB=2CD.

Berhubung C” = MhMg (C), C∈g. Maka C” = Mg (C). Jadi D adalah titik tengah

CC ¿ sehingga CC ¿ = 2CD. Oleh karena CC ¿ = PP ¿ maka PP ¿ = 2CD =

PP. Ini berarti bahwa P’=P”. Jadi GAB (P) = MhMg (P). Karena P sebarang, maka

GAB = MhMg.

Teorema 10.4 : Jika GAB sebuah geseran maka (GAB)-1 = GBA

Bukti : Oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grupbagian dari grup

tranformasi-transformasi. Maka setiap geseran memiliki balikan (GAB)-1. Dari

uraian diatas kita peroleh berturut-turut :

GAB = MhMg = MgMh

5

B

A

DC

k

n

g

KELOMPOK : 6

Sedangkan GBA = MgMh = MhMh

Sehingga (GAB)-1 = (MgMh)-1= Mh-1 Mg-1 = MhMg = GBA

Jadi (GAB)-1 = GAB

Contoh : Jika A = (3,4) dan B = (-1,2).Tentukan :

a. GAB(P) jika P = ( x,y)?

b. Koordinat titik D sehingga GAB (D) = (2,-2).

Jawab:

a. GAB (P) = GAB (x,y)

= { ( -1-3)+x , (2-4)+y }

= ( -4+x, -2 + y )

b. Titik D sehingga GAB (D) = (2,-2)

Karena GAB (P) = (-4+x,-2+y), jika P=(x,y).

Sehingga D = GAB(2.-2) = ( 4+x,2+y) = ( 4+2,2-2) = ( 6,0).

Jadi titik D = ( 6,0).

2. Hasilkali Geseran

Teorema 10.5 : Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik

sehingga AB = 2CD maka :

GAB = SDSC

Bukti : Andaikan g = CD . k g di C, n g di D

6

KELOMPOK : 6

Maka CD ruas garius berarah dari k ke n. Oleh karena AB=2CD maka GAB =

MmMk. Sedangkan SD = MmMg dan Sc = MgMk.

Jadi : SDSC = ( MmMg ) ( MgMk ) = Mm ( MgMg ) Mk

Atau : SDSC = Mm I Mk = MmMk

Dengan demikian GAB = SDSC

Contoh :

Jika A ( 3,-1 ), B ( 1,7 ) dan C ( 4,2 ) adalah titik yang diketahui, tentukan

sebuah titik D sehingga GAB = SDSC

Penyelesaian : Andaikan E sebuah titik sehingga CE = AB. Maka

E = ( 4 + [ 1-3 ], 2 + [ 7- (-1) ] ) atau E = ( 2,10 )

Apabila P titik tengah CE maka D = ( 3,6 ), sehingga CE = 2 CD

Jadi AB = 2 CD

Menurut teorema 10.5 diperoleh GAB = SDSC maka titik D yang dicari adalah

( 3,6 )

Teorema 10.6 : Komposisi suatu geseran dan suatu setengah putaran adalah suatu

setengah putaran.

Bukti : Andaikan GAB suatu geseran dan C sebuah titik sebarang. Andaikan E titik

( yang tunggal ) sehingga CE = AB. Andaikan D titik tengah CE maka CE =2

CD.

Menurut teorema 10.5 : GAB = SDSC

7

A

D C

B

B

A C

O

P R E

E’

E”

KELOMPOK : 6

Jadi GABSC = ( SDSC ) SC = SD (SCSC) = SD I = SD maka GABSC = SD

Akibat : Andaikan SA , SB dan SC masing-masing setengah putaran, maka SCSBSA =

SD dengan D sebuah titik sehingga AD = BC .

Bukti : Kita peroleh berturut-turut : SCSB = GZBC . Jadi SCSCSA = GZBCSA.

Andaikan GZBCSA = SX maka 2 BC = 2 AX atau BC = AX

Jadi SCSBSA = SD sehingga BC = AD.

Perhatikan dua geseran GAB dan GBC , maka GBC (A) = B dan GBC (B) = C, sehingga

dapat kita tulis bahwa GBCGAB (A) = C.

Apabila E titk sebarang, maka GAB(E) = F dengan EE = AB. Sedangkan GDC (E)

= E” sehingga EE ' = BC .

Jika GBCGAB (E) = E” dengan EE ¿ = AC , sehingga GEE”(E) = E” = GAC (E).

Jadi GACGAB = GAC.

8

KELOMPOK : 6

Andaikan P.Q dua titik sehingga 2 PQ = AB dan titik g sehingga 2 QR = BC

maka

GAD = SQSP dan GBC = SRSQ

Sehingga GBCGAB = ( SRSQ ) ( SQSR ) = SRSQ

Oleh karena 2 PR = AC maka SQSR = GAC

Jadi GBCGAB = GAC

Berdasarkan penguraian diatas terbukti teorema berikut :

Teorema 10.7 : Hasilkali dua transiasi adalah sebuah translasi.Catatan : Apabila

CD = BA maka GABGCD = GABGBA = I. Disini I adalah transformasi identitas. Jadi

kalau CD = BA maka kalau I dianggap sebagai translasi.

Teorema 10.8 : Jika GOA sebuah translasi yang ditentukan oleh titik O ( 0,0 ) dan

A ( a,b ) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik P ( x,y ) sebagai

T (P) = ( x + a,y + b ) maka T = GOA .

Bukti : Untuk P ( x,y ), T(P) = ( x+a, y+b ). Andaikan P’ = GOA (P), maka PP' =

OA sehingga P’ ( x+a-o, y+b-o ) = ( x+a, y+b ).

Soal- Soal:

1) Jika A = ( 2,3 ) dan B = ( -4,7 ) tentukan persamaan garis g dan h sehingga

MhMg = GAB.

2) Diketahui titik-titik A = ( -1,3 ), B = (-5,-1 ) dan C= ( 2,4 ).

a) Tentukan C’ = GAB(C)

b) Tentukan persamaan garis-garis g dan h sehingga C ε g dan sehingga MhMg=GAB.3) G adalah geseran yang ditentukan sebagai berikut :

9

AB

g

h

KELOMPOK : 6

Jika P = ( x,y ) maka G (P) = ( x+2,y+3).Diketahui C = (1,-7).Tentukan

koordinat D sehingga SDSC = G.

4) Jika A = (1,0), B = (2,3) dan C = (3,8) titik-titik yang diketahui, tentukan

koordinat-koordinat titik D sehingga GCD = SBSA.

5) Buktikan bahwa GABGBF = GBFGAB

6) Diketahui garis-garis g dan h dan ruas garis A B seperti pada gambar

dibawah ini.Gunakan translasi untuk melukis ruas garis PQ sehingga Pεg,

Q ε h dan PQ = AB

Penyelesaiannya:

1) Karena MhMg = GAB, maka g // h dan g AB, h AB. Karena koefisien

arah AB adalah y2− y1

x2−x1= 7−3

−4−2= 4

−6=−2

3 ; maka koefisien arah g dan h

adalah 32 .

Misalkan { C }=g ᴒ AB , {D }=h ᴒ AB , maka AB=2CD . Dalam hal ini

pasangan g dan h tak terhingga sesuai pasangan C dan D sehingga

AB=2CD . Ambil sebagai contoh C = (0,0), maka titik didapat:

AB=2CD=¿ 12

AB=CD

Misal AF=12

AB . Jadi F = ( 2−42

, 3+72 )=(−1,5 )

Karena AF=12

AB dan 12

AB=CD, maka AF=CD

Misal D ( x,y ) maka didapat:

10

KELOMPOK : 6

-1-2 = x - 0 dan 5-3 = y-0 atau x = -3 dan y = 2.Jadi D = (-3,2).

Sehingga g = { (x,y) │y = 32

x} dan h = { (x,y) │y-2 = 32 ( x + 3)}.

2) a) Karena C’ = GAB( C ) = GAB ( 2, 4) = ((-5+1)+2, (-1-3)+4) =(-2,0).

b)Karena MhMg = GAB. C ε g. Maka g // h, g AB, h AB. Misal g ᴒ

AB = { D }, maka AB=2CD atau 12

AB=CD. Misal AF=12

AB , maka F

= (−1−52

, 3−12 )=(−3,1 ) karena AF=1

2AB dan

12

AB=CD , maka

AF=CD . Misalkan D ( x,y ) maka didapat hubungan :

-3 + 1 = x dan 1-3 = y-4 atau x = 0 dan y = 0.Jadi D= ( 0,2 ).Dan karena

koefisien arah AB adalah −1−3−5+1

=44=1 , maka koefisien arah garis g dan

h adalah -1. Jadi persamaan g = { (x,y) │y-2 = -x }.

3 ) Misalkan D = ( x0,y0 ). Karena SDSC = G, maka (SDSC ) ( P ) = G ( P ).

Tetapi, G (P) = (x+2,y+3).

(SDSC ) ( P ) = SD [ SC(P) ] = SD ( 2-x, -14-y ) = ( 2x0-2 +x, 2y0 + 14+y)

akibat didapat :

( x +2, y+3) = ( 2x0-2+x, 2y0 +14+y). Apa bila diselesaikan untuk x0 dan y0

didapat: x0 =2 dan y0 = -112 . Jadi D = ( 2, -

112 ).

4)GCD = SBSA => CD=2 AB => 12

CD= AB, CF= AB , F titik tengah CD.

Misal D = ( x0,y0) => F = ( 3+x0

2,

8+ y0

2 )

CF= AB , => 3+x0

2−3=2−1 dan

8+ y0

2 -8 =3-0. X0 = 5 dan y0 = 14. Jadi D =

( 5, 14).

11

A

B

P

Q

t S

St = GAB (S)

KELOMPOK : 6

5) Ambil GAB dengan A = ( x0,y0 ), B = ( x1,y1) dan GEF dengan E = ( x2,y2), F =

( x3,y3).Kemudian ambil P = ( x,y) ε v.

Dimana:

( GABGBF) ( P ) = GAB[ GBF(P)] = GAB ( ( x3 - x2) + x, (y3- y2)+y)

= ((x1- x0) + ( x3 - x2)+ x,( y1- y0)+ (y3- y2)+y)

= (( x3 - x2)+ (x1- x0)+x, (y3- y2)+ ( y1- y0)+y)

= GEF (x1- x0 + x, ( y1- y0)+y)

= GEF ( GAB (x,y))

= (GEF GAB) ( P). Terbukti

6) Misalkan g’ = GAB(g) dan ambil {Q} = g’ ᴒ h.Kemudian misalkan P =

GAB( Q ), karena Q ε g’, maka P ε g.

Bukti : g’ = GAB (g), {Q} = g’ᴒ h, missal P = GAB (Q) maka Pε g.

GAB (Q) = P => Q => GAB (P), sehingga PQ=AB.

Jadi syarat bahwa P ε g, Q ε h sehingga PQ=AB di penuhi.

12

KELOMPOK : 6

13