MATERI KEGIATAN PEMBELAJARAN 6

ALJABAR BOOLEAN

Postulat sistem aljabar Boolean diperoleh dengan cara membuat asumsi-asumsi dari tabel kebenaran gerbang logika.

6.1. Postulat Aljabar Boolean yang diturunkan dari Gerbang logika

And

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Or

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Not

= 1

= 0

6.2. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan 1 variabel.

Postulat 1 diturunkan dari gerbang And

Pembuktian postulat 1.

Bila X = 0 maka, X . 0 = 0 . 0 = 0

Bila X = 1 maka, X . 0 = 1 . 0 = 0

Postulat 2 diturunkan dari gerbang And

Pembuktian postulat 2.

Bila X = 0 maka, X . 1 = 0 . 1 = 0

Bila X = 1 maka, X . 1 = 1 . 1 = 1

Postulat 3 diturunkan dari gerbang And

Pembuktian postulat 3.

Bila X = 0 maka, X . X = 0 . 0 = 0

Bila X = 1 maka, X . X = 1 . 1 = 1

Postulat 4 diturunkan dari gerbang And dan Not

Pembuktian postulat 4.

Bila X = 0 maka, X . = 0 . 1 = 0

Bila X = 1 maka, X . = 1 . 0 = 0

Postulat 5 diturunkan dari gerbang Or

Pembuktian postulat 5.

Bila X = 0 maka, X + 0 = 0 + 0 = 0

Bila X = 1 maka, X + 0 = 1 + 0 = 1

Postulat 6 diturunkan dari gerbang Or

Pembuktian postulat 6.

Bila X = 0, maka X + 1 = 0 + 1 = 1

Bila X = 1, maka X + 1 = 1 + 1 = 1

Postulat 7 diturunkan dari gerbang Or

Pembuktian postulat 6.

Bila X = 0, maka X + X = 0 + 0 = 0

Bila X = 1, maka X + X = 1 + 1 = 1

Postulat 8 diturunkan dari gerbang Or dan Not

Pembuktian postulat 8.

Bila X = 0 maka, X + = 0 + 1 = 1

Bila X = 1 maka, X + = 1 + 0 = 1

Variabel X pada postulat 1 sampai 8 dapat dipakai untuk menyatakan suatu exspresi yang mengandung lebih dari satu variabel.

Contoh

A . B = 0

Penyelesaian

Jika A dianggap X maka, B =

Pada postulat 4, X . = 0 jadi A . B = 0

Dengan cara yang sama semua postulat 1 sampai 8 dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu ekspresi yang mengandung lebih dari satu variabel seperti

6.3. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan Multivariabel.

Postulat 9 diturunkan dari hukum komutatif.

(9) X + Y = Y + X

Urutan variabel dalam suatu penjumlahan tidak akan mengubah hasil penjumlahan.

Postulat 10 diturunkan dari hukum komutatif.

(10) X . Y = Y . X

Urutan variabel dalam suatu perkalian tidak akan mengubah hasil perkaliannya.

Postulat 11 diturunkan dari hukum asosiaatif.

(11) X + (Y + Z)= (X + Y) + Z = X + Y + Z

Pengelompokan variabel dalam suatu penjumlahan dapat diubah sesuai dengan yang diinginkan tanpa merubah hasil penjumlahannya.

Postulat 12 diturunkan dari hukum asosiaatif.

(12) X (YZ)= (X Y)Z = XYZ

Pengelompokan variabel dalam suatu perkalian dapat diubah sesuai dengan yang diinginkan tanpa merubah hasil perkaliannya.

Postulat 13 diturunkan dari hukum distributif.

(13) X + (Y + Z)= (X + Y) + Z = X + Y + Z

Suatu ekspresi dapat dijabarkan dengan cara mengalikan term demi term atau menguraikan term demi term apabila ada dua atau lebih term yang mengandung suatu variabel yang sama.

Contoh

A C + = ( A C + )

A B C + A B D = A B ( C + D )

Contoh soal dan penyelesaian

Sederhanakan persamaan,

1. Y = A D + A

Dengan menggunakan Postulat 13 variabel-variabel A dapat dikeluarkan sehingga,

Y = A (D + )

Dengan menggunakan Postulat 8 term dalam kurung nilainya = 1 jadi,

Y = A (D + ) = A . 1 = A

2. Z = ( + B ) ( A + )

= A + + B A + B

Dengan menggunakan Postulat 4 term-term A dan B nilainya = 0 jadi,

Z = 0 + + B A + 0

= + B A

6.4. Persamaan Aljabar Boolean turunan dari postulat dengan pembuktian kasus.

Postulat 14 diturunkan dari pembuktian kasus

(14) X + (XY)= X

Pembuktian postulat 14.

Bila X = 0, Y = 0 maka, X +(X Y) = 0 + (0 . 0 ) = 0

Bila X = 0, Y = 1 maka, X +(X Y) = 0 + (0 . 1 ) = 0

Bila X = 1, Y = 0 maka, X +(X Y) = 1 + (1 . 0 ) = 1

Bila X = 1, Y = 1 maka, X +(X Y) = 1 + (1 . 1 ) = 1

Pembuktian postulat 14 dapat juga dilakukan dengan postulat 6 sebagai berikut,

X +(X Y) = X (1 + Y)

= X . 1 (disederhanakan dengan postulat 6)

= X (disederhanakan dengan postulat 2)

Postulat 15 (a) dan (b) diturunkan dari pembuktian kasus

(15 a) + (Y)= + Y

Pembuktian postulat 15(b).

Bila X = 0, maka X +( Y) = X + Y = 0 + (1. Y ) = Y

Bila X = 1, maka X +( Y) = X + Y = 1 + (0. Y ) = 1

(15 b) + XY)= + Y

Pembuktian postulat 15(a).

Bila X = 0, maka + (XY)= + Y = 1 + (0 . Y ) = 1 + 0 = 1

Bila X = 1, maka + (XY)= + Y = 0 + (1 . Y ) = 0 + Y = Y

Contoh Penyederhanaan

X = A C D + C D

= C D ( A + B) Variabel C D dikeluarkan

= C D ( A + B) dengan postulat 15 a ( A + B) diganti ( A + B)

= A C D + B C D

6.5. Postulat Aljabar Boolean dari Teorema DeMorgan.

Postulat 16 diturunkan dari Teorema DeMorgan.

(16) () = .

Komplemen dari suatu penjumlahan Or sama dengan perkalian And dari komplemen-komplemennya.

Postulat 17 diturunkan dari Teorema DeMorgan.

(17) () = +

Komplemen dari suatu perkalian And sama dengan penjumlahan Or dari komplemen-komplemennya.

6.6. Postulat Aljabar Boolean dengan Peta Karnough

Page 3 of 9