RANGKUMAN MATEMATIKA

Pengertian Bilangan Bulatartinya tidak terpecah atau pun terpotong.

Bilangan ini utuh baik negatif atau positif

Merupakan kelipatan dari angka 1 atau -1.

Kumpulan bilangan yang habis di bagi 1 seperti angka 100, 40, dan -7.

Bilangan Bulat Pada Garis Bilangan

Di lihat dari garis bilangan di atas, bilangan 1, 2, 3, 4, 5, … di namakan bilangan bulat positif dan letak nya di bagian sebelah kanan angka 0.

Bilangan -1, -2, -3, -4, -5, … disebut dengan bilangan bulat negatif dan letak nya di sebelah kiri angka  0.

Hubungan Antara 2 Bilangan Bulat

Jika ada 2 buah bilangan A dan B di tuliskan pada garis bilangan seperti di atas akan berlaku hubungan:

jika A terletak di sebelah kiri B maka nilai A lebih kecil dari nilai B ( A < B )

Jika A terletak di sebelah kanan B maka nilai A lebih besar dar nilaii B ( A > B )

Operasi Matematika

1. Penjumlahan

2 bilangan bulat bertanda sama:

Jika ada 2 buah bilangan bulat bertanda sama ( sama – sama negatif atau positif ). Jumlah kan kedua bilangan itu dan abaikan tanda ( + / – ).

2 bilangan bulat berlawanan tanda :

Jika 2 buah bilangan berbeda tanda positif dan negatif, kurangi bilangan yang nilai nya besar dengan bilangan yang nilai nya kecil dengan abaikan tanda.

Sifat-sifat pada Penjumlahan Bilangan Bulat:

1. Sifat nya tertutup2. Sifat nya komutatif atau pertukaran3. Unsur nya identitias4. Sifat nya asosiatif5. Memiliki invers

2. PenguranganPengurangan sama seperti penjumlahan lawan dari bilangan pengurang nya. perhatikan contoh berikut:

4 – 3

= 4 + ( -3 )

= 1

Kesimpulan nya pada pengurangan bilangan, mengurangi sebuah bilangan sama dengan menambah kan lawan bilangan pengurang itu sendiri.

Rumus nya:

a – b = a + ( -b )

3. Perkalianrumus:

p x q = pg

( -p ) x q = –( p x q ) = -pq

p x ( -q ) = –( pxq ) = -pq

( -p ) x ( -q ) = p x q = pq

Sifat – sifat perkalian bilangan bulat:

1. Sifat nya tertutup2. Sifat nya komutatif3. Sifat nya asosiatif4. Sifat nya distributif perkalian terhadap penjumlahan5. Sifat nya distributif perkalian terhadap pengurangan6. Unsur nya identitas

4. PembagianOperasi pembagian kebalikan dari operasi perkalian nya.

Jika p : q = r Maka: p = q x r

Tanda dalam pembagian bilangan bulat :

Jika dalam pembagian p : q = r maka:

jika p dan q bertanda sama maka r bilangan bulat positif

jika p dan q bertanda beda maka r bilangan bulat negatif.

Jika a x 0 = 0

Dalam pembagian a : 0 = hasil nya tidak terdefinisi

Sifat Pembagian Bilangan Bulat:

1. Tidak bersifat tertutup2. Tidak bersifat komutatif3. Tidak bersifat asosiatif

Pengertian, Teori, Konsep dan Jenis

Himpunan Matematika

Notasi Himpunan sebuah himpunan biasanya dinyatakan dengan simbol simbol tertentu Sebuah himpunan dinyatakan dengan menggunakan huruf besar/kapital seperti A, B, C,

D, E, dst. Bisa juga ditandai dengan adanya kurung kurawal, {…} Anggota dari himpunan tersebut biasanya ditandai dengan menggunakan huruf alfabet

kecil seperti a,b,c,d,e, dst. 

Untuk menyatakan sebuah himpunan, ada 4 buah cara yang bisa dilakukan. yaitu:

1. Enumerasi Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan seluruh anggota himpunan di

dalam kurung kurawal. Setiap anggota di dalamnya dipisahkan dengan tanda koma. Misalnya: x = {s,a,p,i}

2. Simbol bakuAda beberapa simbol tertentu yang sudah disepakati untuk menyatakan sebuah himpunan. sebagai contoh, simbol P biasanya digunakan utnuk menyatakan himpunan bilangan bulat positif, sedangkan huruf R digunakan untuk menyatakan sebuah himpunan yang berisi bilangan riil.

3. Notasi pembentukan himpunanhimpunan juga bisa dinyatakan dengan cara menulis ciri-ciri umum dari anggota yang ada di dalam himpunan tersebut. misalnya: A = {x|x adalah himpunan bilangan riil}

4. Diagram venn adalah cara menyatakan sebuah himpunan dengan menggambarkannnya dalam

bentuk grafis

Masing masing himpunan digambarkan dalam sebuah lingkaran dilingkupi olah himpunan semesta yang dinyatakan dalam bentuk persegi empat seperti pada gambar berikut:

Selain diagram venn, ada juga diagram garis dan diagram cartess, berikut penjelasannya:

Diagram garis

Diagram diatas menyatakan bahwa A dan B merupakan himpunan bagian dari C.

Diagram Cartes

Rene Descartes menjelaskan suatu himpunan dalam bentuk garis bilangan seperti gambar di bawah ini:

Macam-macam himpunanada beberapa jenis himpunan yang dikenal di dalam dunia matematika, yaitu:

Himpunan kosongHimpunan kosong merupakan sebuah himpunan yang tidak ada anggota di dalamnya, biasanya jenis himpunan ini dituliskan dengan simbol ø atau { }.

Himpunan Semestaadalah himpunan yang memuat atau mencakup keseluruhan anggota yang sedang dibahas, biasanya himpunan ini ditandai dengan huruf S.

Himpunan bilanganhimpunan bilangan terdiri dari:

Himpunan terhinggaHimpunan terhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya masih terhingga, meliputi himpunan kosong dan himpunan yang memiliki n elemen. Contohnya:X = {c, d, e, f} , Y = { }

Himpunan tak terhinggaHimpunan tak terhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak terhingga. Comtohnya himpunan bilangan ganjil atau genap, himpunan bilangan bulat, dsb.

Operasi pada himpunan matematika

Sifat-sifat operasi pada himpunan matematika

http://1.bp.blogspot.com/-WGrh_uhpmEs/VBIzzyeaGKI/AAAAAAAAELY/P8Aj6FrMwOE/s1600/sifat-sifat%2Boperasi%2Bpada%2Bhimpunan%2Bmatematika.jpg

Bentuk Aljabar

Ada beberapa istilah yang akan ditemui dalam bentuk aljabar, antara lain:

1. VariabelVariabel atau kadang juga disebut peubah adalah lambang yang menggantikan suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas.

Dalam contoh tadi (x + 5), x merupakan variabel.

2. KonstantaKonstanta adalah sebuah bilangan yang tidak mengandung variabel dan sudah diketahui nilainya dengan jelas.

Dalam contoh tadi 5 merupakan konstanta.

3. SukuSuku adalah konstanta dan variabel pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenisSuku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dengan masing-masing variabel memiliki pangkat yang sama.

Contoh: 2x dan -3x, dan , y dan 4y, …

Suku tak sejenisSuku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dengan masing-masing variabel memiliki pangkat yang tidak sama.

Contoh: 2x dan –3×2, –y dan –x3, 5x dan –2y, …

Suku satu Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 3x, 2a2, –4xy, …

Suku dua Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3×2 – 4x, …

Suku tiga Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2×2 – x + 1, 3x + y – xy, …

Suku banyakSuku banyak adalah Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

Operasi bentuk aljabar

1. Operasi penjumlahan dan penguranganOperasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku yang sejenis, dengan cara mengoperasikannya pada konstantanya.

contoh :

-> tidak dapat dijumlahkan karena bukan suku yang sejenisbisa dituliskan sebagai x saja.

-> bukan suku sejenis

2. Operasi perkalianOperasi perkalian bilangan bulat terdapat sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan, yaitu a(b + c)= ab + ac , dan a(b – c) = ab – ac.

Pada operasi perkalian bentuk aljabar sifat tersebut juga berlaku.

Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar.Untuk melakukan operasi perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar, yaitu dengan mengalikan konstanta tersebut dengan konstanta pada bentuk aljabar.

Contoh :

perkalian antara dua bentuk aljabar.Dalam perkalian dua bentuk aljabar berlaku juga sifat distributif.

Untuk suku yang sejenis, jika variabel dikalikan maka akan menjadi pangkat, misal , sedangkan konstanta dikalikan seperti biasa.

Untuk suku yang tidak sejenis maka variabelnya akan dituliskan saja, dan konstanta dikalikan seperti biasa.

Perkalian satu suku dengan dua suku,

Perkalian antara dua suku,

Perkalian antara dua suku dengan tiga suku,

Contoh :

4. Operasi pembagianOperasi pembagian pada bentuk aljabar dilakukan dengan cara membagi konstantanya seperti biasa, namun untuk variabelnya, dilihat dulu koefisien dari kedua variabel nya, kemudian bagi masing-masing variabelnya dengan koefisiennya.

Contoh :

 

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya.

Variable (peubah) adalah lambang (symbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan.

Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu.

Pada kalimat berikut x + 5 = 12.

Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah, sebab nilai (x) belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang bilangan cacah, barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau salah. Jika (x) diganti dengan “3” , kalimat itu bernilai salah ; tetapi bila (x) diganti dengan 7 , kalimat itu bernilai benar. Lambang (x) dapat pula diganti menggunaan huruf-huruf kecil dalam abjad lainnya, yaitu ; a, b,c,… x,y,z dari bentuk diatas.

x+5=12           (kalimat terbuka)3+ 5 = 12          (kalimat Salah )7+5 = 12          (kalimat benar)

Huruf x pada x + 5 = 12 disebut variable (peubah), sedangkan 5 dan 12 disebut konstanta.

Contoh :

kalimat terbuka : x + 13 + 17peubah : xKonstanta : 13 dan 17

Catatan :

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.

Contoh: x + 2 =5

Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu.

Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk umum Persamaan Linear Satu Variabel : ax + b = c dengan:

a≠ 0 ; x disebut variabel/peubah Semua suku di sebelah kiri tanda ‘=’ disebut ruas kiri Semua suku di sebelah kanan tanda ‘=’ disebut ruas kanan

Sebagai Contoh:

x – 4 = 0 5x + 6 = 16

Catatan :

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.

Contoh:

x + 2 =5p + 1 = 7x dan p disebut variabel

Jika x dan p diganti dengan suatu bilangan/angka maka kalimat matematika terbuka tersebut merupakan suatu pernyataan yang dapat bernilai benar atau salah.

Jika x dalam kalimat terbuka di atas diganti dengan nilai x = 3 maka x + 2 menjadi

3 + 2 = 5 à merupakan pernyataan benar dan jika diganti dengan nilai x = 1 maka x + 2 = 5 menjadi 1 + 2 = 5 à merupakan pernyataan salah.

Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Menambah atau mengurangi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang sama

contoh : Carilah penyelesaian dari : x + 10 = 5

Jawab : hal pertama yang harus kita selesaikan adalah bagaimana menghilangkan angka 10. Angka 10 dihilangkan dengan menambahkan lawan dari 10 yaitu -10 sehingga PLSV tersebut menjadi : x + 10 -10 = 5 – 10 x     = – 5

Carilah penyelesaian dari : 2x – 5 = 11

Jawab : lawan dari -5 adalah 5, sehingga PLSV tersebut menjadi :

Mengalikan atau membagi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang sama Suatu PLSV dikatakan ekuivalen (sama) apabila kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

contoh: Tentukan penyelesaian dari :

Jawab:

kalikan kedua ruas dengan penyebutnya (dalam soal di atas adalah 3)

bagi kedua ruas dengan koefisien dari x yaitu 2

Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan gabungan dari 1 dan 2

contoh :

Carilah penyelesaian dari : 3 (3x + 2) = 6 ( x -2)

Jawab :

9x + 6 = 6x – 129x + 6 – 6 = 6x – 12 – 6 à kedua ruas dikurang 6 9x = 6x – 189x – 6x = 6x – 18 – 6x à kedua ruas dikurangi -6x 3x = -18

Contoh :

~ x + 7 = 13~ 6 – 2x = 2

Kedua kalimat atau contoh tersebut disebut dengan persamaan. 

Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan samadengan (=).

Penyelesaian :

Tentukan persamaan dari 3y – 2 = 4

Jawab :

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang  dihubungkan dengan tanda sama dengan (=) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu.

Contoh:

1. x – 4 = 02. 5x + 6 = 16

Catatan :

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.

Contoh :

x + 2 =5p + 1 = 7x dan p disebut variabel

Persamaan Linier Satu Variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan (“=”) dan hanya mempunyai satu variable berpangkat 1 . bentuk umum persamaan linier satu variable adalah ax + b = 0

Contoh :

1.x – 3 = 72.4a + 5 = 25

Pada contoh diatas x, a, b adalah variable (peubah) yang dapat diganti dengan sembarang bilangan yang memenuhi.

Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

Himpunan Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari penyelesaian-penyelesaian suatu persamaan. Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linier satu variable, yaitu :

Subtitusi

Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen. Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, dengan cara :

1.Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.2.Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.

Persamaan yang ekuivalen.

Persamaan yang ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan penyelesaian sama jika pada persamaan tersebut dilakukan operasi tertentu suatu persamaan yang  ekuivalen dinotasikan dengan tanda.

Sebgai Contoh :

Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan lawan dan kebalikan bilangan

Contoh :

Carilah penyelesaian dari :

3 (3x + 4) = 6 ( x -2)

Jawab :

9x + 12 = 6x – 129x – 6x = -12-123x = -24x =− 24/3= -8Jadi , HP = {-8}

Pertidaksamaan Linear Satu VariabelPertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dinyatakan dengan menggunakan tanda / lambang ketidaksamaan / pertidaksamaan dengan satu variable (peubah) berpangkat satu.

Contoh :

3x + 6 2x – 5 ; 5q – 1 < 0x dan q disebut variabel

Demikian rangkuman matematika yang kami buat, semoga bermanfaat.