Web viewPendidikan Matematika. 5B. Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka. Jakarta. ... 3 =0...
Click here to load reader
-
Upload
truongtuong -
Category
Documents
-
view
219 -
download
1
Transcript of Web viewPendidikan Matematika. 5B. Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka. Jakarta. ... 3 =0...
Metode NumerikMetode Terbuka Metode Lelaran Titik Tetap
MEGA PUSPITA DEWI (1101125122)
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Pendidikan Matematika 5B
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka
Jakarta
2012
METODE TERBUKA
Tidak seperti pada metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan selang yang
mengurung akar. Yang diperlukan hanya sebuah tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang
tidak perlu mengurung akar. Inilah alasannya mengapa metode ini dinamakan metode terbuka.
Hampiran akar sekarang pada hampiran akar sebelumnya melalui prosedur lelaran. kadangkala
lelaran konvergen ke akar sejati kadangkala divergen. Namun, apabila lelarannya konvergen ,
konvergensinya berlangsung sangat cepat dibanding metode tertutup.
Ciri-ciri Metode terbuka sebagai berikut :
1. Tidak memerlukan selang [a,b] yang mengandung akar.
2. Mencari akar melalui suatu lelaran yang dimulai dari sebuah tebakan
(guest)awal.
3. Pada setiap lelaran kita menghitung hampiran akar yang baru.
4. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen),atau
mungkin juga menjauhi (divergen).
5. Karena itu ,metode terbuka tidak selalu menemukan akar ,kadang konvergen
dan kadang ia divergen
Yang termasuk ke dalam metode terbuka :
1. Metode lelaran titik tetap (fixed point iteration).
2. Metode Newton-‐Rhapson.
3. Metode Secant.
Metode yang dibahas dalam makalah ini adalah metode lelaran titik tetap.
Metode lelaran titik tetap ( metode iterasi sederhana )
Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain
sehingga diperoleh : x = g(x).
Contoh :
x – ex = 0
x = ex atau g(x) = ex
Lalu, bentuklah menjadi prosedur lelaran 𝑥r+1 = 𝑔(𝑥r)
Dan terkalah sebuah nilai awal x0 , lalu hitung nilai x1 , x2, x3 ,...,
f(s) = 0 dan s = g(s).
Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila
│ 𝑥r+1 − 𝑥r │ < 𝜀Atau bila menggunakan galat relatif hampiran
|xr+1−xrxr+1
|<δ
Dengan 𝜀 dan 𝛿 telah ditetapkan sebelumnya
Perhatikan contoh berikut :
Carilah akar persamaan f ( x )=x2−2x−3=0 dengan metode lelaran titik tetap.
Gunakan ε=0.000001.
Penyelesaian :
Terdapat beberapa kemungkinan prosedur lelaran yang dapat dibentuk
(a) 𝑥2 − 2𝑥 – 3 = 0 𝑥2 = 2𝑥 + 3
𝑥 = √(2 x+3)
Dalam hal ini, g ( x )=√2 x+3 . Prosedur lelaran adalah xr+1=√(2 xr+3). Ambil
terkaan awal x0 = 4.
Tabel lelarannya :
Hampiran akar x = 3.000000
(b) 𝑥2 − 2𝑥 – 3 = 0 𝑥 (𝑥 – 2) = 3
𝑥 ¿ 3x−2
Dalam hal ini, g ( x )= 3x−2 . Prosedur lelarannya adalah xr+1 ¿
3xr−2 . Ambil
terkaan awal x0 = 4.
Tabel lelarannya :
r xr | xr+1 – xr |
0 4.000000 -
1 3.316625 0.683375
2 3.103748 0.212877
3 3.034385 0.069362
4 3.011440 0.022945
5 3.003811 0.007629
6 3.001270 0.002541
7 3.000423 0.000847
8 3.000141 0.000282
9 3.000047 0.000094
10 3.000016 0.000031
11 3.000005 0.000010
12 3.000002 0.000003
13 3.000001 0.000001
14 3.000000 0.000000
r xr | xr+1 – xr |
0 4.000000 -
1 1.500000 2.500000
2 -6.000000 7.500000
3 -0.375000 5.625000
4 -1.263158 0.888158
5 -0.919355 0.343803
6 -1.027624 0.108269
7 -0.990876 0.036748
8 -1.003051 0.012175
9 -0.998984 0.004066
10 -1.000339 0.001355
11 -0.999887 0.000452
12 -1.000038 0.000151
13 -0.999987 0.000050
14 -1.000004 0.000017
15 -0.999999 0.000006
16 -1.000000 0.000002
17 -1.000000 0.000001
Hampiran akar x = -1.000000
( c ) 𝑥2 − 2𝑥 – 3 = 0
-2x = -x2+3
𝑥 ¿ x2−32
Prosedur lelarannya adalah xr+1 ¿xr
2−32
. Ambil terkaan awal x0 = 4.
Tabel lelarannya :
i xr | xr+1 – xr |
0 4.000000 -
1 6.500000 2.500000
2 19.625000 13.125000
3 191.070313 171.445312
4 18252.432159 18061.361847
. . .
Ternyata lelarannya divergen.
Teorema 3.2
Di dalam selang I = [s-h, s+h], dengan s titik tetap.
1. Jika 0 < g'(x) < 1 untuk setiap x ∈ I, maka lelaran konvergen monoton;
2. Jika -1< g'(x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka lelaran konvergen bersosilasi;
3. Jika g'(x) > 1 untuk setiap x ∈I, maka lelaran divergen monoton;
4. Jika g'(x) < -1 untuk setiap x ∈ I, maka lelaran divergen berosilasi.
Jenis-jenis kekonvergenan
Pertanyaan :
1. Dalam setiap soal apakah prosedur lelarannya selalu lebih dari satu? (Siska
Noviah)
2. Kapan iterasinya harus berhenti? (Vivi Vathillah)
3. Bagaimana menentukan tebakan akarnya? (Ulfa Nadiyah)
4. Apakah maksud dari konvergen monoton, konvergen berosilsi, divergen
monoton dan divergen berosilasi? (Siska Wullandari)
5. Dalam soal x2 – 2x – 3 =0 terdapat 3 cara untuk menentukan x=g(x). Menurut
kelompok anda cara mana yang lebih efektif? (Titik Enggar Puriyanti)
Jawaban :
1. Tidak, tergantung pada f(x) = 0 yang terdapat pada soal tersebut.
2. Kondisi berhenti ketika |xr+1−xr|<ε atau|xr+1−xrxr−1
|<δ3. Tebakan akar dilakukan secara bebas tetapi sebaiknya diambil dari akar yang
mendekati fungsi f(x).
4. Konvergen monoton : hasil dari |xr+1−xr| selalu turun dan mendekati akar
sejatinya.
Konvergen berosilasi : hasil dari |xr+1−xr| selalu naik turun tetapi mendekati
akar sejatinya.
Divergen monoton : hasil dari |xr+1−xr| selalu naik sehingga menjauhi
akar sejatinya.
Divergen berosilasi : hasil dari |xr+1−xr| selalu naik turun tetapi menjauhi
akar sejatinya.
5. i) x2 – 2x – 3 = 0
x2 = 2x + 3
x ¿√2x+3
ii) x2 – 2x – 3 = 0
x2 – 2x = 3
x (x – 2) = 3
x ¿ 3x−2
iii) x2 – 2x – 3 = 0
-2x = -x2 +3
x ¿ x2−32
Kita tidak bisa menentukan efektif / tidaknya suatu prosedur lelarannya
sebelum kita mencoba mensubstitusi tebakan akar ke dalam x = g(x) secara
satu persatu.
Soal
Hitung akar f(x) = x2 – 2x – 3 dengan epsilon 0.000001.
x2 – 2x – 3 = 0
x ( x – 2 ) = 3
xr+1 ¿ 3xr−2
r xr | xr+1 – xr |
0 4.000000 -
1 1.500000 2.500000
2 -6.000000 7.500000
3 -0.375000 5.625000
4 -1.263158 0.888158
5 -0.919355 0.343803
6 -1.027624 0.108269
7 -0.990876 0.036748
8 -1.003051 0.012175
9 -0.998984 0.004066
10 -1.000339 0.001355
11 -0.999887 0.000452
12 -1.000038 0.000151
13 -0.999987 0.000050
14 -1.000004 0.000017
15 -0.999999 0.000006
16 -1.000000 0.000002
17 -1.000000 0.000001
Daftar Pustaka
Munir, Rinaldi. Metode Numerik. Bandung : Informatika, 2010.
Minggu, 13 Oktober 2013 jam 10:13