PERILAKU HARGA PASAR SAHAM*EUGENE F. YAMA*

I. PENDAHULUAN

Selama beberapa tahun, pertanyaan berikut telah menjadi sumber kontroversi yang terus-menerus di kalangan akademik dan bisnis. Sejauh manakah sejarah lampaui harga pasar saham dapat digunakan untuk membuat prediksi yang berarti mengenai harga saham yang akan datang? Jawaban untuk pertanyaan ini telah diberikan di satu sisi oleh berbagai teori pergerakan harga dan di sisi lain oleh teori random walk.

Meskipun ada banyak teori pergerakan harga yang berbeda, mereka semuanya membuat asumsi dasar. Yaitu mereka semua beranggapan bahwa perilaku yang sebelumnya dari harga sebuah sekuritas kaya akan informasi mengenai perilakunya yang akan datang. Sejarah mengulangi itu sendiri pada “pola” perilaku harga yang sebelumnya, akan cenderung berulang di masa yang akan datang. Karena itu, meskipun melalui analisis grafik harga yang teliti, seseorang mengembangkan pemahaman tentang “pola” ini, hal ini dapat digunakan untuk memprediksi perilaku harga yang akan datang dan dengan cara ini meningkatkan keuntungan yang diharapkan.1

Sebaliknya, teori random walk mengatakan bahwa jalan tingkat harga sekuritas yang akan datang menjadi tidak lagi bisa diprediksi daripada jalan serangkaian angka acak yang terakumulasi. Dalam istilah statistik, teori itu mengatakan bahwa perubahan harga yang berturut-turut adalah variabel acak yang berdiri sendiri dan didistribusikan secara identik. Lebih sederhananya, ini berarti bahwa rangkaian perubahan harga tidak memiliki memori, yaitu yang lampau tidak bisa digunakan untuk memprediksi yang akan datang dengan cara yang berarti.

Tujuan makalah ini adalah untuk membahas pertama dalam lebih terperinci teori yang mendasari model random walk dan kemudian untuk menguji validitas empiris model tersebut. Kesimpulan utamanya adalah bahwa data tampaknya menyajikan dukungan yang konsisten dan kuat untuk model ini. Ini berarti tentu saja bahwa membaca grafik, meskipun mungkin hiburan yang menarik, tidak memiliki nilai yang sebenarnya untuk investor pasar saham. Hal ini menjadi pernyataan yang ekstrem dan pembaca grafik tentu saja bebas untuk mengambil pengecualian. Akan tetapi, kami menyarankan agar karena bukti empiris yang dihasilkan oleh penelitian ini dan penelitian yang lain mendukung model random walk sekarang ini besar sekali. Argumen tandingan pembaca grafik akan sepenuhnya tidak mempunyai kekuatan jika mereka tidak didukung sama baiknya oleh karya empiris.

II. TEORI RANDOM WALK DALAM HARGA SAHAM

1 Teori Dow, tentu saja, merupakan contoh teori pergerakan harga yang dikenal dengan paling baik.

Penelitian ini telah mengambil pelajaran dari kritik, saran, dan bantuan teknis banyak orang yang berbeda. Khususnya, aku ingin mengungkapkan rasa terima kasihku kepada Profesor William Alberts, Lawrence Fisher, Robert Graves, James Lorie, Merton Miller, Harry Roberts, dan Lester Telser, semuanya Graduate School of Business, Universitas Chicafo. Aku ingin secara khusus berterima kasih kepada Profesor Miller dan Robert karena memberikan tidak hanya stimulasi intelektual yang terus-menerus tetapi juga perhatian yang telaten dalam membaca berbagai rancangan awal.

Banyak ide dalam makalah ini muncul dari karya Benoit Mandelbrot dari IBM Watson Research Center. Aku telah mendapat keuntungan tidak hanya dari karya tertulis Dr. Mandelbrot tetapi juga dari banyak sesi diskusi yang tidak ternilai.

Pekerjaan pada makalah ini didukung sebagian oleh dana dari hibah oleh Ford Foundation untuk Graduate School of Business Universitas Chicago, dan sebagian oleh dana yang diberikan kepada Center for Research in Security Prices Fakultas tersebut oleh National Science Foundation. Waktu komputer yang besar diberikan oleh 7094 Computation Center Universitas Chicago.

*Asisten professor keuangan, Graduate School of Business, Universitas Chicago.

Teori random walk dalam harga saham sebenarnya melibatkan dua hipotesis yang terpisah: (1) perubahan harga yang berturut-turut menjadi dapat berdiri sendiri, dan (2) perubahan harga tersebut sesuai dengan beberapa distribusi probabilitas. Kami sekarang akan menguji masing-masing dari hipotesis ini secara terperinci.

A. KEBEBASAN

1. MAKNA KEBEBASAN

Dalam istilah statistik, kebebasan berarti bahwa distribusi probabilitas untuk perubahan harga selama jangka waktu t bebas dari urutan perubahan harga selama jangka waktu yang sebelumnya. Yaitu, pengetahuan tentang urutan perubahan harga yang menyebabkan hingga jangka waktu t tidaklah membantu dalam menilai distribusi probabilitas untuk perubahan harga selama jangka waktu t.2

Sekarang sebenarnya kita mungkin tidak pernah bisa berharap untuk menemukan serangkaian waktu yang ditandai dengan kebebasan yang sempurna. Dengan demikian, pada hakikatnya, teori random walk tidak dapat menjadi deskripsi realitas yang benar-benar akurat. Namun untuk tujuan praktis, kita mungkin bersedia menerima asumsi kebebasan model ini selama ketergantungan dalam rangkaian perubahan harga yang berturut-turut tidak berada di atas beberapa tingkat "minimum yang dapat diterima."

Apa yang merupakan tingkat ketergantungan "minimum yang dapat diterima" tergantung, tentu saja, pada masalah tertentu yang seseorang sedang coba untuk selesaikan. Sebagai contohnya, seseorang yang melakukan pekerjaan statistik di pasar saham mungkin ingin memutuskan apakah ketergantungan dalam rangkaian perubahan harga yang berturut-turut sudah cukup untuk memperhitungkan beberapa properti tertentu dari distribusi perubahan harga. Jika ketergantungan yang sebenarnya dalam rangkaian ini tidak cukup untuk menjelaskan properti yang bersangkutan, ahli statistik dapat dibenarkan dalam menerima hipotesis kebebasan sebagai deskripsi realitas yang cukup.

Sebaliknya pedagang pasar saham memiliki kriteria yang jauh lebih praktis untuk menilai apa yang merupakan ketergantungan yang penting dalam perubahan harga yang berturut-turut. Untuk tujuannya, model random walk berlaku selama pengetahuan tentang perilaku sebelumnya dari serangkaian perubahan harga tidak dapat digunakan untuk meningkatkan keuntungan yang diharapkan. Secara lebih spesifik, asumsi kebebasan adalah deskripsi realitas yang memadai selama tingkat ketergantungan yang sebenarnya pada serangkaian perubahan harga yang tidak cukup untuk memungkinkan sejarah masa lalu dari rangkaian tersebut dapat digunakan untuk memprediksi masa depan dengan cara yang membuat keuntungan diharapkan menjadi lebih besar dari yang mereka yang seharusnya akan berada di bawah model buy-and-hold yang murni.

Ketergantungan yang penting dari sudut pandang pedagang tidak perlu penting dari sudut pandang statistik, dan sebaliknya ketergantungan yang penting untuk keperluan statistik tidak perlu penting untuk tujuan investasi. Sebagai contohnya, kita dapat mengetahui bahwa pada hari alternatif harga sekuritas meningkat dengan ϵ dan kemudian menurun dengan ϵ. Dari sudut pandang statistik, pengetahuan ketergantungan ini akan menjadi informasi penting karena memberitahu kita sedikit tentang bentuk distribusi perubahan harga. Namun untuk tujuan perdagangan, asalkan ϵ sangat kecil, ketergantungan statistik yang sempurna dan negatif ini menjadi tidak penting. Setiap keuntungan dari mana pedagang mungkin berharap untuk dapatkan akan hanyut dalam biaya transaksi.2 Lebih tepatnya, kebebasan berarti bahwa Pr(xt = x | xt-1, xt-2, . . .) = Pr(xt = x), dimana istilah di sisi kanan tanda persamaan adalah probabilitas tanpa syarat bahwa perubahan harga selama waktu t akan mengambil nilai x, sedangkan istilah di sisi kiri adalah probabilitas bersyarat bahwa perubahan harga akan mengambil nilai x, bergantung pada pengetahuan sehingga perubahan harga sebelumnya mengambil nilai xt-1, xt-2, dan lain-lain.

Pada Bagian V dari makalah ini, kita akan berkaitan dengan pengujian kebebasan dari sudut pandang ahli statistik maupun pedagang. Akan tetapi dalam posisi ini, langkah logis berikutnya dalam pengembangan teori random walk pada harga saham adalah untuk mempertimbangkan situasi dan mekanisme pasar yang konsisten dengan kebebasan pada perubahan harga yang berturut-turut. Prosedur akan mempertimbangkan terlebih dahulu situasi yang paling sederhana dan kemudian berturut-turut memperkenalkan kesulitan.

2. SITUASI PASAR YANG KONSISTEN DENGAN KEBEBASAN

Kebebasan perubahan harga yang berturut-turut untuk sekuritas yang ditetapkan mungkin hanya mencerminkan mekanisme harga yang benar-benar tidak berhubungan dengan peristiwa ekonomi dan politik dunia nyata. Yaitu harga saham bisa saja merupakan akumulasi banyak kelumit suara yang dihasilkan secara acak, dimana dengan suara yang dalam hal ini maksud kami faktor psikologis dan faktor-faktor lainnya yang khusus dimiliki oleh individu-individu yang berbeda yang menentukan jenis-jenis “taruhan” yang mereka bersedia tempatkan di perusahaan-perusahaan yang berbeda.

Namun, bahkan ahli teori random walk akan menemukan pandangan pasar seperti itu tidak menarik. Meskipun beberapa orang mungkin terutama termotivasi oleh kemauan, ada banyak individu dan lembaga yang tampaknya mendasarkan tindakan mereka di pasar pada evaluasi (biasanya sangat melelahkan) keadaan ekonomi dan politik. Artinya, ada banyak investor dan lembaga swasta yang percaya bahwa sekuritas individual memiliki "nilai intrinsik" yang tergantung pada faktor-faktor ekonomi dan politik yang mempengaruhi masing-masing perusahaan.

Keberadaan nilai-nilai intrinsik sekuritas masing-masing tidak konsisten dengan hipotesis random-walk. Namun untuk membenarkan pernyataan ini, akan diperlukan sekarang untuk membahas lebih lengkap proses penentuan harga di pasar random walk nilai instrinsik.

Asumsikan bahwa pada sekarang ini ada, setidaknya secara tidak langsung, nilai intrinsik untuk setiap sekuritas. Nilai intrinsik sekuritas yang ditentukan tergantung pada prospek pendapatan perusahaan yang pada gilirannya berhubungan dengan faktor-faktor ekonomi dan politik beberapa dari yang khusus dimiliki perusahaan ini dan beberapa yang mempengaruhi perusahaan lain juga.3

Namun, kami menekankan bahwa harga pasar yang sebenarnya perlu tidak sesuai dengan nilai-nilai instrinsik. Di dunia ketidakpastian, nilai-nilai intrinsik tidak diketahui dengan persis. Karena itu, selalu terdapat pertentangan di kalangan individu-individu, dan dengan begini harga yang sebenarnya dan nilai-nilai instrinsik dapat berbeda. Untuk selanjutnya, ketidakpastian atau pertentangan menyangkut nilai-nilai intrinsik akan termasuk tujuan umum “suara” di pasar.

Selain itu, nilai-nilai intrinsik bisa berubah sendiri di waktu sebagai hasil dari baik informasi baru atau tren. Informasi baru berkepentingan hal-hal seperti keberhasilan penelitian dan pengembangan proyek ini, perubahan dalam manajemen, tarif yang dikenakan pada produk industri oleh negara asing, peningkatan produksi industri atau perubahan aktual atau yang diantisipasi lain faktor yang kemungkinan akan mempengaruhi prospek perusahaan.

3 Kita dapat memikirkan nilai-nilai intrinsik dengan salah satu dari kedua cara. Pertama, mungkin mereka hanya menggambarkan konvensi pasar untuk mengevaluasi nilai sekuritas dengan menghubungkannya dengan berbagai faktor yang mempengaruhi pendapatan suatu perusahaan. Di sisi lain, nilai-nilai intrinsik sebenarnya dapat menggambarkan harga keseimbangan dalam arti ekonomi, yaitu harga yang berkembang dari beberapa model keseimbangan umum yang dinamis. Untuk tujuan kita, hal ini tidak relevan sudut pandang mana yang seseorang ambil.

Di sisi lain, tren jangka panjang yang diantisipasi dalam nilai intrinsik sekuritas yang ditentukan dapat timbul dengan cara sebagai berikut.4 Misalkan kita memiliki dua perusahaan yang tidak terangkat yang identik dalam segala hal kecuali kebijakan dividen. Artinya, kedua perusahaan memiliki peluang investasi yang sama dan diantisipasi saat ini, tetapi mereka membiayai peluang ini dengan cara yang berbeda. Secara khusus, salah satu perusahaan membayar semua pendapatannya saat ini sebagai dividen dan membiayai investasi baru dengan mengeluarkan saham biasa yang baru. Namun, perusahaan lain membiayai investasi baru dari pendapatannya yang sekarang dan membayar dividen hanya jika ada uang yang tersisa. Karena saham di dua perusahaan tunduk pada tingkat risiko yang sama, kita akan mengharapkan laju pengembalian mereka yang diharapkan harus sama. Akan tetapi, hal ini akan terjadi hanya jika saham perusahaan dengan pembayaran dividen yang lebih rendah memiliki tingkat kenaikan harga yang diharapkan lebih tinggi daripada saham perusahaan pembayaran yang tinggi. Dalam hal ini, tren di tingkat harga hanyalah bagian dari pengembalian yang diharapkan untuk ekuitas. Kecenderungan itu tidak bertentangan dengan hipotesis random-walk.5

Alasan yang paling sederhana untuk asumsi kebebasan model random walk diusulkan pertama, dengan cara agak tidak jelas, oleh Bachelier [6] dan kemudian jauh kelak tetapi lebih eksplisit oleh Osborne. Argumennya berjalan sebagai berikut: Jika sedikit informasi baru yang berturut-turut muncul secara independen dari waktu ke waktu, dan jika suara atau ketidakpastian tentang nilai-nilai intrinsik tidak cenderung mengikuti pola yang konsisten, maka perubahan harga yang berturut-turut dalam saham biasa akan menjadi dapat berdiri sendiri.

Namun, seperti dengan banyak model sederhana lainnya, asumsi yang model Bachelier-Osborne dibangun agak ekstrim. Tidak ada alasan kuat untuk berharap bahwa perkiraan nilai-nilai intrinsik masing-masing individu akan menjadi independen dari perkiraan yang dibuat oleh orang lain (yaitu, suara dapat dihasilkan dengan cara tergantung). Sebagai contohnya, individu atau lembaga tertentu mungkin menjadi pemimpin opini di pasar. Artinya, tindakan mereka dapat menyebabkan orang-orang untuk mengubah pendapat mereka tentang prospek suatu perusahaan yang disepakati. Selain itu tidak ada alasan yang kuat untuk mengharapkan sedikit informasi baru yang berturut-turut yang akan dihasilkan secara independen dari waktu ke waktu. Misalnya, kabar baik mungkin cenderung diikuti lebih sering dengan kabar baik daripada dengan berita buruk, dan berita buruk mungkin cenderung diikuti lebih sering dengan berita buruk daripada dengan kabar baik. Jadi mungkin ada ketergantungan baik dalam proses menghasilkan suara atapunu dalam proses menghasilkan informasi baru, dan mungkin pada gilirannya menyebabkan ketergantungan pada perubahan harga yang berturut-turut.

Bahkan dalam situasi dimana ada ketergantungan baik pada informasi atau proses menghasilkan suara, namun, masih mungkin bahwa ada mekanisme yang mengimbangi di pasar yang cenderung menghasilkan kebebasan pada perubahan harga untuk saham biasa masing-masing. Sebagai contohnya, mari kita asumsikan bahwa ada banyak pedagang modern di pasar saham dan kecanggihan dapat mengambil dua bentuk: (1) beberapa pedagang mungkin jauh lebih baik saat memprediksi munculnya informasi baru dan memperkirakan dampaknya pada nilai-nilai intrinsik daripada yang lain, sementara (2) beberapa mungkin jauh lebih baik dalam melakukan analisis statistik perilaku harga. Dengan demikian, kedua jenis pedagang modern ini secara kasar dapat dianggap sebagai analis nilai intrinsik yang unggul dan pembaca grafik yang unggul. Kami lebih lanjut mengasumsikan bahwa, meskipun kadang-kadang ada perbedaan antara harga yang sebenarnya dan nilai-nilai

4 Sebuah tren di tingkat harga, tentu saja, sesuai dengan mean yang bukan nol dalam distribusi perubahan harga. 5 Pembenaran yang panjang lebar dan teliti untuk pernyataan ini diberikan oleh Miller dan Modigliani [40].

intrinsik, pedagang yang modern pada umumnya merasa bahwa harga yang sebenarnya biasanya cenderung bergerak ke arah nilai-nilai intrinsik.

Misalkan sekarang proses menghasilkan suara di pasar saham menjadi tergantung. Lebih khusus lagi asumsikan bahwa ketika seseorang memasuki pasar yang memikirkan harga sekuritas yang sekarang berada di atas atau di bawah nilai intrinsiknya, ia cenderung menarik orang lain dari perasaan suka dan ia menyebabkan beberapa orang lain mengubah pendapat mereka dengan cara yang tidak dibenarkan. Dalam dirinya sendiri, jenis ketergantungan ini dalam proses menghasilkan suara akan cenderung menghasilkan "gelembung" dalam rangkaian harga, yaitu, jangka waktu selama akumulasi dari jenis suara yang sama menyebabkan tingkat harga dapat berjalan dengan baik di atas atau di bawah nilai intrinsik.

Namun jika ada banyak pedagang yang modern di pasar, mereka dapat menyebabkan "gelembung" ini meledak sebelum mereka memiliki kesempatan untuk benar-benar akan dimulai. Sebagai contohnya, jika ada banyak pedagang yang modern yang sangat baik dalam memperkirakan nilai-nilai intrinsik, mereka akan mampu mengenali situasi dimana harga sebuah saham biasa mulai naik di atas nilai intrinsiknya. Karena mereka mengharapkan harga bergerak akhirnya kembali ke nilai-nilai intrinsiknya, mereka memiliki insentif untuk menjual sekuritas ini atau menganggapnya remeh. Jika ada cukup pedagang yang modern ini, mereka mungkin cenderung mencegah "gelembung" ini dari yang pernah terjadi. Dengan demikian, tindakan mereka akan menetralisir ketergantungan dalam proses menghasilkan suara, dan perubahan harga yang berturut-turut akan menjadi independen.

Kenyataannya, tentu saja, di dunia ketidakpastian, bahkan pedagang yang modern tidak selalu dapat memperkirakan nilai-nilai intrinsik dengan tepat. Namun, efektivitas kegiatan mereka dalam menghapus ketergantungan dalam rangkaian perubahan harga bisa diperkuat oleh mekanisme penetral lain. Selama ada ketergantungan yang penting dalam rangkaian perubahan harga yang berturut-turut, peluang untuk keuntungan perdagangan ada untuk setiap chartist yang cerdik. Sebagai contohnya, setelah mereka memahami sifat ketergantungan dalam rangkaian perubahan harga yang berturut-turut, para chartist yang modern akan dapat mengidentifikasi situasi statistik dimana harga mulai naik ke atas nilai intrinsik. Karena mereka berharap bahwa harga akhirnya akan bergerak kembali ke nilai intrinsiknya, mereka akan menjual. Meskipun mereka menjadi tidak jelas tentang nilai-nilai intrinsik, asalkan mereka memiliki sumber daya yang cukup, maka tindakan mereka akan cenderung menghapus ketergantungan dan membuat harga yang sebenarnya lebih dekat dengan nilai-nilai intrinsik.

Seiring waktu, nilai intrinsik dari saham biasa akan berubah sebagai hasil dari informasi baru, yaitu, perubahan yang sebenarnya atau yang diantisipasi dalam variabel yang mempengaruhi prospek perusahaan. Jika ada ketergantungan dalam proses menghasilkan informasi baru, ketergantungan ini pada dirinya akan cenderung menciptakan ketergantungan pada perubahan harga sekuritas yang berturut-turut. Namun, jika ada banyak pedagang yang modern di pasar, maka mereka pada akhirnya harus belajar bahwa menjadi menguntungkan bagi mereka untuk mencoba menafsirkan efek harga informasi baru yang sekarang maupun efek harga informasi yang akan datang yang disiratkan oleh ketergantungan pada proses menghasilkan informasi. Dengan cara ini, tindakan para pedagang ini akan cenderung membuat perubahan harga menjadi independen.6

Selain itu, perubahan harga yang berturut-turut mungkin menjadi independen bahkan jika biasanya ada ketidakjelasan atau ketidakpastian yang konsisten di sekitar informasi baru. Sebagai contohnya, jika ketidakpastian mengenai pentingnya informasi baru secara konsisten menyebabkan pasar meremehkan efek informasi baru pada nilai-nilai intrinsik, para pedagang

6 Pada dasarnya, ketergantungan pada proses menghasilkan informasi merupakan informasi yang relevan itu sendiri yang pedagang yang cerdik harus pertimbangkan.

yang cerdik pada akhirnya harus belajar bahwa menguntungkan untuk mempertimbangkan hal ini ketika informasi baru muncul di masa depan. Artinya, dengan memeriksa sejarah harga setelah masuknya informasi baru, akan menjadi jelas bahwa keuntungan dapat dibuat hanya dengan membeli (atau menganggap remeh jika informasi tersebut pesimistis) setelah informasi baru memasuki pasar karena rata-rata harga yang sebenarnya pada awalnya tidak bergerak sampai ke nilai-nilai intrinsik mereka yang baru. Jika banyak pedagang berusaha untuk memanfaatkan kesempatan ini, kegiatan mereka akan cenderung menghapus setiap kelambanan yang konsisten dalam penyesuaian harga yang sebenarnya kepada perubahan dalam nilai-nilai intrinsik.

Diskusi di atas menunjukkan, tentu saja, bahwa, jika ada banyak pedagang yang cerdik di pasar, rata-rata efek penuh informasi baru pada nilai-nilai intrinsik akan tercermin hampir seketika pada harga yang sebenarnya. Namun faktanya, karena ada ketidakjelasan atau ketidakpastian di sekitar informasi baru, "penyesuaian yang seketika" benar-benar memiliki dua implikasi. Pertama, harga yang sebenarnya pada awalnya akan lebih menyesuaikan diri dengan nilai-nilai intrinsik yang baru sesering mereka akan kurang menyesuaikan diri. Kedua, kelambanan dalam penyesuaian penuh harga yang sebenarnya dengan nilai-nilai intrinsik baru yang berturut-turut akan sendirinya menjadi variabel acak yang independen, yang kadang-kadang mendahului informasi baru yang merupakan dasar perubahan (yaitu, ketika informasi diantisipasi oleh pasar sebelum benar-benar muncul) dan kadang-kadang mengikuti. Hal ini jelas bahwa dalam hal ini, perubahan harga yang berturut-turut pada sekuritas masing-masing akan menjadi variabel acak yang dapat berdiri sendiri.

Singkatnya, diskusi ini sudah cukup untuk menunjukkan bahwa pasar saham dapat sesuai dengan asumsi kebebasan model random walk meskipun proses yang menghasilkan suara dan informasi baru itu sendirinya menjadi tergantung. Sekarang kita beralih ke diskusi singkat tentang beberapa implikasi kebebasan.

3. IMPLIKASI KEBEBASAN

Pada bagian sebelumnya, kita melihat bahwa salah satu kekuatan yang membantu untuk menghasilkan kebebasan perubahan harga yang berturut-turut mungkin merupakan adanya para pedagang yang modern, dimana kecanggihan bisa berarti (1) bahwa pedagang memiliki bakat khusus dalam mendeteksi ketergantungan dalam rangkaian perubahan harga untuk sekuritas masing-masing, ataupun (2) bahwa pedagang memiliki bakat khusus untuk memprediksi munculnya informasi baru dan mengevaluasi dampaknya pada nilai-nilai intrinsik. Jenis pertama dari pedagang mirip dengan pembaca grafik yang unggul, sedangkan yang kedua mirip dengan analis nilai intrinsik yang unggul.

Sekarang meskipun kegiatan pembaca grafik dapat membantu untuk menghasilkan kebebasan perubahan harga yang berturut-turut, setelah kebebasan ditentukan, membaca grafik tidak lagi menjadi aktivitas yang menguntungkan. Dalam rangkaian perubahan harga yang independen, sejarah masa lalu rangkaian tersebut tidak dapat digunakan untuk meningkatkan keuntungan yang diharapkan.

Namun, pernyataan dogmatis tersebut tidak dapat diterapkan pada analisis nilai intrinsik yang unggul. Dalam ekonomi yang dinamis, akan selalu ada informasi baru yang menyebabkan nilai-nilai intrinsik berubah dari waktu ke waktu. Akibatnya, orang-orang yang secara konsisten dapat memprediksi munculnya informasi baru dan mengevaluasi dampaknya pada nilai-nilai intrinsik biasanya akan membuat keuntungan yang lebih besar daripada orang-orang yang bisa lakukan yang tidak memiliki bakat ini. Fakta bahwa kegiatan para analis yang unggul ini membantu untuk membuat perubahan harga yang berturut-turut menjadi independen tidak berarti bahwa keuntungan mereka yang diharapkan tidak bisa lebih besar daripada orang-orang investor yang mengikuti beberapa kebijakan buy-and-hold yang naif.

Namun harus ditekankan bahwa keuntungan komparatif analis yang unggul atas pesaingnya yang kurang berbakat terletak pada kemampuannya untuk memprediksi secara konsisten munculnya informasi baru dan mengevaluasi dampaknya terhadap nilai-nilai intrinsik. Jika ada cukup analis yang unggul, keberadaan mereka akan cukup untuk memastikan bahwa harga pasar yang sebenarnya adalah, berdasarkan semua informasi yang tersedia, perkiraan nilai-nilai intrinsik yang terbaik. Dengan cara ini, tentu saja, para analis yang unggul akan menjadikan analisis nilai intrinsik sebuah alat yang tidak berguna bagi analis rata-rata dan investor rata-rata.

Diskusi ini memunculkan tiga pertanyaan yang jelas: (1) Berapa banyak analis yang unggul diperlukan untuk menjamin kebebasan? (2) Siapakah analis "yang unggul"? dan (3) Apa yang dimaksud dengan kebijakan investasi yang rasional untuk investor rata-rata yang dihadapkan dengan pasar saham random-walk?

Tidak mungkin untuk memberikan jawaban yang tegas untuk pertanyaan pertama, karena efektivitas para analis yang unggul mungkin lebih tergantung pada sejauh mana sumber daya mereka daripada jumlah mereka. Mungkin satu spesialis yang berpengetahuan luas dan diberkahi dengan baik di setiap sekuritas sudah cukup.

Hal ini, tentu saja, juga sangat sulit untuk mengidentifikasi ex ante orang-orang itu yang memenuhi syarat sebagai analis yang unggul. Akan tetapi, ex post memiliki kriteria yang sederhana. Seorang analis yang unggul adalah analis yang keuntungannya di banyak jangka waktu secara konsisten lebih besar daripada keuntungan pasar. Secara konsisten adalah kata penting di sini, karena untuk setiap jangka waktu tertentu yang singkat, bahkan jika tidak ada analis yang unggul, dalam dunia random walk beberapa orang akan melakukan yang jauh lebih baik daripada pasar dan beberapa akan melakukan yang jauh lebih buruk.

Sayangnya, dengan kriteria ini, penulis ini tidak memenuhi syarat sebagai seorang analis yang unggul. Namun ada beberapa penghibur karena, seperti yang akan kita lihat nanti, lembaga yang lebih diuji pasar lainnya tampaknya tidak memenuhi syarat juga.

Akhirnya, mari kita secara singkat merumuskan kebijakan investasi yang rasional untuk investor rata-rata dalam situasi dimana harga saham mengikuti random walk dan pada setiap titik waktu harga yang sebenarnya menggambarkan perkiraan nilai-nilai intrinsik yang baik. Dalam situasi seperti ini, perhatian utama dari investor rata-rata haruslah analisis portofolio. Hal ini benar-benar merupakan tiga masalah yang terpisah. Pertama, investor harus memutuskan jenis tradeoff apa antara risiko dan pengembalian yang diharapkan yang ia bersedia terima. Kemudian ia harus berusaha untuk mengklasifikasikan sekuritas menurut sifat berisikonya, dan akhirnya ia juga harus menentukan bagaimana sekuritas dari kelas risiko yang berbeda bergabung membentuk portofolio dengan berbagai kombinasi risiko dan pengembalian.7

Pada intinya di pasar random-walk, masalah analisis sekuritas investor rata-rata sangat sederhana. Jika harga yang sebenarnya pada setiap titik waktu merupakan perkiraan nilai-nilai intrinsik yang baik, ia tidak perlu khawatir dengan apakah sekuritas masing-masing memiliki harga yang berlebihan atau terlalu rendah. Jika dia memutuskan bahwa portofolionya memerlukan sekuritas tambahan dari kelas risiko tertentu, ia dapat memilih sekuritas secara acak dari dalam kelas tersebut. Rata-rata setiap sekuritas yang begitu dipilih akan memiliki sekitar efek yang sama pada pengembalian dan sifat berisiko portofolionya yang diharapkan.

B. DISTRIBUSI PERUBAHAN HARGA

1. PENDAHULUAN

7 Untuk formulasi masalah analisis portofolio yang lebih lengkap, lihat Markowitz [39].

Teori random walk dalam harga saham didasarkan pada dua hipotesis: (1) perubahan harga yang berturut-turut dalam sekuritas individu menjadi dapat berdiri sendiri, dan (2) perubahan harga sesuai dengan beberapa distribusi probabilitas. Dari dua hipotesis, kebebasan adalah yang paling penting. Entah perubahan harga yang berturut-turut menjadi dapat berdiri sendiri (atau paling tidak untuk semua tujuan praktis dapat berdiri sendiri) ataukah tidak; dan jika mereka tidak, teori ini tidak berlaku. Namun, semua hipotesis mengenai distribusi mengatakan adalah bahwa perubahan harga sesuai dengan beberapa distribusi probabilitas. Dalam teori umum random walk, wujud atau bentuk distribusi tidak perlu ditentukan. Dengan demikian, setiap distribusi konsisten dengan teori asalkan distribusi itu dengan benar mencirikan proses yang menghasilkan perubahan harga.8

Namun dari sudut pandang investor, spesifikasi bentuk distribusi perubahan harga sangat membantu. Pada umumnya, wujud distribusi merupakan faktor utama dalam menentukan sifat berisiko investasi dalam saham biasa. Sebagai contohnya, meskipun dua distribusi yang mungkin berbeda untuk perubahan harga mungkin memiliki perubahan harga rata-rata atau diharapkan yang sama, kemungkinan perubahan yang sangat besar mungkin jauh lebih besar untuk satu daripada yang lain.

Wujud distribusi perubahan harga juga penting dari sudut pandang akademik karena memberikan informasi deskriptif tentang sifat proses yang menghasilkan perubahan harga. Sebagai contohnya, jika perubahan harga yang sangat besar terjadi cukup sering, mungkin aman untuk menyimpulkan bahwa struktur ekonomi yang merupakan sumber perubahan harga itu sendiri tunduk pada perubahan yang sering dan tiba-tiba dari waktu ke waktu. Artinya, jika distribusi perubahan harga memiliki tingkat penyebaran yang tinggi, mungkin aman untuk menyimpulkan bahwa, untuk sebagian besar, hal ini disebabkan oleh variabilitas dalam proses yang menghasilkan informasi baru.

Akhirnya, wujud distribusi perubahan harga menjadi informasi penting untuk siapa saja yang ingin melakukan pekerjaan empiris di bidang ini. Kekuatan alat statistik biasanya berhubungan erat dengan jenis data yang diterapkan. Bahkan kita akan melihat di bagian berikutnya yang untuk beberapa distribusi probabilitas konsep penting seperti mean dan varians tidak bermakna.

2. MODEL BACHELIER-OSBORNE

Perkembangan lengkap yang pertama dari teori random walk dalam harga sekuritas disebabkan oleh Bachelier [6], yang karya aslinya pertama kali muncul sekitar pergantian abad. Sayangnya, karyanya tidak menerima banyak perhatian dari para ekonom, dan bahkan modelnya secara independen diambil oleh Osborne [42] lebih dari lima puluh tahun kemudian. Model Bachelier-Osborne dimulai dengan mengasumsikan bahwa perubahan harga dari transaksi ke transaksi dalam sekuritas individu merupakan variabel acak yang independen dan terdistribusi secara identik. Model ini lebih lanjut mengasumsikan bahwa transaksi cukup merata tersebar dari waktu ke waktu, dan bahwa distribusi perubahan harga dari transaksi ke transaksi memiliki varians yang terbatas. Jika jumlah transaksi per hari, minggu, atau bulan sangat besar, maka perubahan harga di interval yang berubah ini adalah jumlah banyak variabel yang independen. Dengan kondisi tersebut, kaidah batas pusat membawa kita untuk mengharapkan bahwa perubahan harga harian, mingguan, dan bulanan masing-masing akan memiliki distribusi normal atau Gaussian. Selain itu, varians dari

8 Tentu saja, teori tersebut benar-benar berarti bahwa parameter distribusi haruslah tidak berubah atau tetap. Namun asalkan kebebasan bertahan, maka sifat tidak berubah dapat ditafsirkan dengan bebas. Sebagai contohnya, jika kebebasan bertahan dengan cara yang ketat, maka untuk tujuan investor, model random walk merupakan penaksiran yang sah kepada realitas meskipun parameter distribusi probabilitas perubahan harga tersebut mungkin tidak tetap.

Untuk tujuan statistik, sifat tidak berubah berarti hanya bahwa parameter distribusi haruslah tetap setidaknya untuk jangka waktu yang tercakup oleh data.

distribusi akan sebanding dengan interval waktu masing-masing. Sebagai contohnya, jika σ2

adalah varians dari distribusi perubahan harian, maka varians untuk distribusi perubahan mingguan harus sekitar 5σ2.

Meskipun Osborne berusaha untuk memberikan pembenaran empiris untuk teorinya, sebagian besar datanya adalah cross-sectional dan tidak bisa memberikan tes yang memadai. Namun Moore dan Kendall telah memberikan bukti empiris yang mendukung hipotesis Gaussian. Moore [41, hlm. 116-231] menggambarkan dengan grafik perbedaan mingguan pertama harga log dari delapan saham biasa NYSE pada tulisan probabilitas normal. Meskipun bagian grafiknya yang ekstrem tampaknya memiliki terlalu banyak perubahan harga yang besar, Moore masih merasa bukti itu cukup kuat untuk mendukung hipotesis normalitas perkiraan.

Demikian pula, Kendall [26] melihat bahwa perubahan harga mingguan di saham biasa Inggris tampaknya kira-kira akan didistribusikan secara normal. Akan tetapi seperti Moore, dia menemukan bahwa sebagian besar distribusi perubahan harga adalah leptokurtik; yaitu, ada terlalu banyak nilai-nilai di dekat mean dan terlalu banyak keluar di ekor ekstrem. Dalam salah satu serinya, beberapa pengamatan yang ekstrem begitu besar sehingga ia merasa harus menjatuhkan mereka dari uji statistik yang selanjutnya.

3. MANDELBROT DAN KAIDAH BATAS PUSAT YANG DISAMARATAKAN

Hipotesis Gaussian tidak dipertanyakan dengan serius sampai saat ini ketika karya Benoit Mandelbrot pertama mulai muncul.9 Penegasan utama Mandelbrot adalah bahwa, di masa lalu, penelitian akademik telah terlalu mudah mengabaikan implikasi dari leptokurtosis yang biasanya diamati pada distribusi empiris perubahan harga.

Kehadiran, secara umum, dari leptokurtosis dalam distribusi empiris tampaknya tidak terbantahkan. Selain hasil Kendall [26] dan Moore [41] yang dikutip di atas, Alexander [1] telah mencatat bahwa data cross-sectional Osborne tidak benar-benar mendukung hipotesis normalitas; ada terlalu banyak perubahan yang lebih besar dari ± 10 persen. Cootner [10] telah mengembangkan teori secara keseluruhan dalam rangka untuk menjelaskan ekor distribusi empiris yang panjang. Akhirnya, Mandelbrot [37, Gambar 11] mengutip contoh lain untuk mendokumentasikan leptokurtosis empiris.

Pendekatan klasik untuk masalah ini adalah untuk menganggap bahwa nilai-nilai yang ekstrem dihasilkan oleh mekanisme yang berbeda daripada sebagian besar pengamatan. Akibatnya seseorang mencoba bukti empiris untuk menemukan penjelasan “kausal” bagi pengamatan yang besar dan dengan demikian untuk merasionalisasi pengecualian mereka dari setiap tes yang dilakukan pada tubuh data.10 Namun tidak seperti statistik, investor tidak bisa mengabaikan kemungkinan perubahan harga yang besar sebelum memasukkan dananya, dan begitu dia telah membuat keputusan untuk berinvestasi, dia harus mempertimbangkan pengaruhnya terhadap kekayaannya.

Mandelbrot merasa bahwa jika orang asing banyak, meniadakan mereka menghilangkan banyak makna dari setiap tes yang dilakukan pada sisa data. Proses pengecualian ini semuanya lebih tunduk pada kritik karena distribusi probabilitas tersedia yang secara akurat mewakili pengamatan yang besar serta badan utama data. Distribusi yang disebutkan adalah anggota dari kelas khusus yang Mandelbrot telah berikan label Pareto (Paretian) stabil. Sifat matematika distribusi ini dibahas secara rinci dalam lampiran tulisan

9 Karya utamanya dalam bidang ini adalah [37]. Referensi kepada karyanya yang lain ditemukan melalui laporan ini dan dalam daftar pustaka.10 Ketika nilai-nilai yang ekstrem dikecualikan dari sampel, prosedur sering kali disebut “trimming (pemangkasan).” Teknik lainnya yang melibatkan pengurangan ukuran pengamatan yang ekstrem daripada mengecualikan mereka disebut “Winsorization.” Untuk pembahasan, lihat J. W. Tukey [45].

ini. Pada titik ini, kita akan hanya memperkenalkan beberapa sifat deskriptif mereka yang lebih penting.

Parameter distribusi Pareto (Paretian) stabil.–Distribusi Pareto (Paretian) stabil memiliki empat parameter: (1) parameter lokasi yang akan kita sebut δ, (2) parameter skala yang selanjutnya disebut γ, (3) indeks kemiringan, β, dan (4) ukuran ketinggian daerah ekor distribusi yang ekstrem yang akan kita sebut eksponen karakteristik α.11

Ketika eksponen karakteristik α lebih besar dari 1, parameter lokasi δ adalah harapan atau rata-rata distribusi. Parameter skala γ dapat berupa bilangan positif yang nyata, tetapi β, indeks kemiringan, hanya dapat mengambil nilai-nilai dalam interval –1 ≤ β ≤ 1. Bila β = 0, maka distribusinya simetris. Ketika β > 0, maka distribusinya miring ke kanan (yaitu, memiliki ekor yang panjang ke kanan), dan derajat kemiringan kanan lebih besar semakin besar nilai β. Demikian pula, ketika β < 0, distribusinya miring ke kiri, dan tingkat kemiringan kiri lebih besar semakin kecil nilai β.

Eksponen karakteristik α dari distribusi Pareto (Parentian) yang stabil menentukan ketinggian, atau total probabilitas yang terkandung dalam, ekor distribusi yang ekstrem, dan dapat mengambil nilai dalam interval 0 < α ≤ 2. Bila α = 2, distribusi Pareto (Parentian) stabil yang relevan adalah distribusi normal atau Gaussian. Ketika α berada dalam interval 0 < α <2, ekor ekstrem dari distribusi Pareto (Parentian) yang stabil lebih tinggi daripada ekor distribusi normal, dan total probabilitas di ekor ekstrem lebih besar semakin kecil nilai α. Konsekuensi hal ini yang paling penting adalah bahwa varians ada (yaitu, terbatas) hanya dalam kasus yang ekstrem α = 2. Akan tetapi, rata-rata (mean) ada asalkan α > 1.12

Hipotesis Mandelbrot menyatakan bahwa untuk distribusi perubahan harga dalam rangkaian yang spekulatif, α berada dalam interval 1 < α < 2, sehingga distribusi memiliki rata-rata tetapi varians mereka tak terbatas. Hipotesis Gaussian, di sisi lain, menyatakan bahwa α persis sama dengan 2. Dengan demikian, kedua hipotesis mengasumsikan bahwa distribusi adalah distribusi Pareto (Paretian) yang stabil. Pertentangan antara mereka menyangkut nilai eksponen karakteristik α.

Sifat distribusi Pareto (Paretian) stabil.–Dua sifat penting distribusi Pareto (Paretian) yang stabil adalah (1) stabilitas atau invarians dengan tambahan, dan (2) fakta bahwa distribusi ini adalah satu-satunya distribusi yang mungkin membatasi untuk jumlah variabel acak yang independen dan didistribusikan secara identik.

Menurut definisi, distribusi Pareto (Paretian) yang stabil adalah distribusi yang stabil atau invarians dengan tambahan. Artinya, distribusi jumlah variabel Pareto (Paretian) stabil yang independen dan didistribusikan secara identik itu adalah bahwa variabel Pareto (Paretian) yang stabil itu sendiri, kecuali asal dan skala, memiliki wujud yang sama dengan distribusi peubah acak masing-masing. Secara paling sederhana, stabilitas berarti bahwa nilai-nilai parameter α dan β tetap konstan dengan tambahan.13

Properti stabilitas bertanggung jawab untuk banyak daya tarik distribusi Pareto (Paretian) yang stabil seperti deskripsi distribusi empiris perubahan harga. Perubahan harga saham untuk setiap interval waktu dapat dianggap sebagai jumlah perubahan dari transaksi ke transaksi selama interval tersebut. Jika transaksi cukup merata tersebar dari waktu ke waktu dan jika perubahan antara transaksi adalah variabel Pareto (Paretian) stabil yang independen dan didistribusikan secara identik, maka perubahan harian, mingguan, dan bulanan akan mengikuti distribusi Pareto (Paretian) stabil dari bentuk yang sama persis, kecuali asal dan skala. Sebagai contohnya, jika distribusi perubahan harian adalah Pareto (Paretian) yang

11 Derivasi sebagian besar sifat penting distribusi Pareto (Parentian) yang stabil dikarenakan P. Levy [29]. Laporan matematika teori yang teliti dan padat itu dapat ditemukan dalam B. V. Gnedenko dan A. N. Kolmogorov [17]. Laporan matematika yang lebih komprehensif dapat ditemukan dalam Mandelbrot [37].12 Untuk bukti pernyataan ini, lihat Gnedenko dan Kolmogorov [17], hlm. 179–83.13 Definisi yang lebih teliti tentang stabilitas diberikan dalam lampiran.

stabil dengan parameter lokasi δ dan parameter skala γ, maka distribusi perubahan mingguan (atau lima hari) juga akan Pareto (Paretian) yang stabil dengan parameter lokasi 5δ dan parameter skala 5γ. Akan sangat nyaman jika wujud distribusi perubahan harga dapat berdiri sendiri dari interval yang membedakan di mana perubahan dihitung.

Dapat ditunjukkan bahwa stabilitas atau invarians dengan tambahan menyebabkan properti konsekuensi yang paling penting dari distribusi Pareto (Paretian) yang stabil; mereka adalah satu-satunya distribusi yang mungkin membatasi untuk jumlah variabel acak yang independen dan terdistribusi secara identik.14 Hal ini juga diketahui dengan baik bahwa jika variabel tersebut memiliki varians yang terbatas, maka distribusi yang membatasi untuk jumlah mereka akan menjadi distribusi normal. Namun jika variabel dasar memiliki varians yang tak terbatas dan jika jumlah mereka mengikuti distribusi yang membatasi, maka distribusi yang membatasi haruslah distribusi Pareto (Paretian) yang stabil dengan 0 < α < 2.

Mengingat pembahasan ini, kita melihat bahwa hipotesis Mandelbrot sebenarnya dapat dilihat sebagai generalisasi argumen kaidah batas pusat Bachelier dan Osborne pada kasus dimana distribusi pokok perubahan harga dari transaksi ke transaksi diperbolehkan untuk memiliki varians yang tak terbatas. Maka dalam pengertian ini, versi teori random walk Mandelbrot dapat dianggap sebagai perluasan daripada kontradiksi model Bachelier-Osborne yang sebelumnya.

Kesimpulan.–Hipotesis Mandebrot bahwa distribusi perubahan harga adalah distribusi Pareto (Paretian) yang stabil dengan eksponen karakteristik α < 2 memiliki implikasi yang luas. Sebagai contohnya, jika varians distribusi perubahan harga berperilaku seolah-olah mereka, tidak terbatas, maka alat statistik umum tak terbatas yang didasarkan pada asumsi varians yang yang terbatas tidak akan bekerja ataupun dapat memberikan jawaban yang sangat menyesatkan. Maju tanpa alat-alat yang akrab ini tidak akan mudah, dan sebelum berpisah dengan mereka kita harus yakin bahwa langkah drastis seperti itu benar-benar diperlukan. Pada saat ini, potongan bukti tunggal yang paling mengesankan adalah tes langsung dari hipotesis varians yang tak terbatas untuk kasus harga kapas. Mandelbrot [37, Gambar 2 dan hlm. 404–7] menghitung saat-saat kedua sampel dari perbedaan pertama dari catatan harga kapas untuk meningkatkan ukuran sampel dari 1 sampai 1.300 observasi. Ia menemukan bahwa waktu sampel tidak menetap pada nilai yang membatasi melainkan terus bervariasi dengan cara yang benar-benar tidak menentu, persis seperti yang diharapkan menurut hipotesisnya.15

Adapun kasus harga saham biasa yang istimewa tapi penting, tidak ada bukti yang diterbitkan atau menentang teori Mandelbrot yang telah disampaikan. Salah satu tujuan utama kami di sini akan mencoba untuk menguji hipotesis Mandelbrot untuk kasus harga saham.

C. HAL-HAL YANG AKAN DATANG

Kecuali untuk bagian penutup, sisa makalah ini akan berkaitan dengan pelaporan hasil uji model random walk perilaku harga saham yang ekstensif. Bagian III dan IV akan memeriksa bukti-bukti pada bentuk distribusi perubahan harga. Bagian III akan berkaitan dengan alat statistik umum seperti distribusi frekuensi dan grafik probabilitas normal, sementara Bagian IV akan mengembangkan uji hipotesis Mandelbrot yang lebih langsung bahwa eksponen karakteristik α untuk distribusi ini adalah kurang dari 2. Bagian V dari makalah ini menguji asumsi kebebasan model random-walk. Akhirnya, Bagian VI akan berisi

14 Untuk bukti, lihat Gnedenko dan Kolmogorov [17], hlm. 162–63.15 Waktu kedua variabel acak x adalah hanya E(x2). Varian hanyalah waktu kedua dikurangi kuadrat rata-rata. Karena rata-rata diasumsikan konstan, maka uji waktu sampel kedua juga merupakan uji varian sampel.

Pada versi [37] sebelumnya yang beredar secara pribadi, Mandelbrot menguji hipotesisnya pada berbagai rangkaian harga yang spekulatif. Meskipun hasil pada umumnya cenderung mendukung hipotesisnya, mereka tidak seluas maupun sepasti seperti uji pada harga kapas.

ringkasan hasil sebelumnya, dan diskusi tentang implikasi hasil-hasil ini dari berbagai sudut pandang.

III. PANDANGAN PERTAMA PADA DISTRIBUSI EMPIRIS

A. PENDAHULUAN

Dalam bagian ini, beberapa teknik yang sederhana akan digunakan untuk memeriksa distribusi perubahan harga saham harian untuk sekuritas masing-masing. Jika hipotesis Mandelbrot bahwa distribusi adalah Pareto (Paretian) yang stabil dengan eksponen karakteristik kurang dari 2 adalah benar, maka fitur yang paling penting dari distribusi ini haruslah panjang ekornya. Artinya, daerah ekor yang ekstrem harus berisi frekuensi yang lebih relatif daripada yang diharapkan jika distribusi normal. Dalam bagian ini, tidak ada upaya yang akan dilakukan untuk menentukan apakah keberangkatan yang sebenarnya dari normalitas cukup untuk menolak hipotesis Gaussian. Satu-satunya sasaran adalah untuk melihat apakah keberangkatan biasanya dalam arah yang diprediksi oleh hipotesis Mandelbrot.

B. DATA

Data yang akan digunakan di seluruh makalah ini terdiri dari harga sehari-hari untuk masing-masing tiga puluh saham Dow-Jones Industrial Average.16 Periode waktu bervariasi dari saham ke saham, tetapi biasanya berjalan dari sekitar akhir tahun 1957 sampai 26September 1962. Tanggal terakhir sama untuk semua saham, tetapi tanggal awal bervariasi dari bulan Januari 1956 sampai April 1958. Jadi ada tiga puluh sampel dengan sekitar 1.200-1.700 observasi per sampel.

Tes yang sebenarnya tidak dilakukan pada harga harian itu sendiri, tetapi pada perbedaan pertama logaritma alami mereka. Variabel bunganya adalah

dimana Pt+1 adalah harga sekuritas di akhir hari t + 1, dan pt adalah harga di akhir hari t.Ada tiga alasan utama untuk menggunakan perubahan harga log daripada perubahan

harga yang sederhana. Pertama, perubahan harga log merupakan hasil, dengan peracikan yang terus-menerus, dari mempertahankan sekuritas untuk hari itu.17 Kedua, Moore [41, hlm. 13-15] telah menunjukkan bahwa variabilitas perubahan harga yang sederhana untuk saham tertentu adalah peningkatan fungsi tingkat harga saham tersebut. Karyanya menunjukkan bahwa mengambil logaritma ini tampaknya menetralkan sebagian besar efek tingkat harga ini. Ketiga, untuk perubahan kurang dari ± 15 persen, perubahan harga log sangat dekat dengan perubahan harga persentase, dan untuk banyak tujuan akan lebih mudah untuk melihat data berkenaan dengan perubahan harga persentase.18

Dalam bekerja dengan perubahan harian dalam harga log, dua situasi khusus harus diperhatikan. Mereka adalah pecah saham dan hari eks dividen. Pecah saham ditangani sebagai berikut: jika saham terpecah dua untuk satu pada hari t, harga penutupannya yang 16 Data ini dengan sangat murah hati disediakan oleh Profesor Harry B. Ernst dari Tufts University.17 Bukti pernyataan ini berjalan sebagai berikut:

18 Karena, untuk tujuan ami, variabel bunga selalu menjadi perubahan dalam harga log, pembaca harus memperhatikan bahwa untuk selanjutnya ketika kata-kata “perubahan harga” muncul dalam teks, kami sebenarnya merujuk pada perubahan dalam harga log.

sebenarnya pada hari t digandakan, dan perbedaan antara logaritma harga yang digandakan ini dan logaritma harga penutupan untuk hari t – 1 adalah perbedaan pertama untuk hari t. perbedaan pertama untuk hari t + 1 adalah perbedaan antara logaritma harga penutupan pada hari t + 1 dan logaritma harga penutupan yang sebenarnya pada hari t, hari pemecahan. Penyesuasian ini mencerminkan fakta bahwa proses pemecahaan saham melibatkan tidak adanya perubahan dalam nilai aset perusahaan ataupun dalam kekayaan pemegang saham masing-masing.

Namun pada hari eks dividen, hal yang lain sama, nilai saham masing-masing jatuh dengan sekitar jumlah dividen. Untuk menyesuaikan hal ini, perbedaan pertama antara hari eks dividen dan hari yang sebelumnya dihitung sebagai

dimana d adalah dividen per saham.19

Satu catatan terakhir mengenai data sedang diatur. Dow-Jones Industrials bukanlah sampel acak saham dari Bursa Efek New York. Perusahaan komponen berada di antara yang terbesar dan paling penting di bidang mereka. Jika perilaku saham blue-chip ini berbeda secara konsisten dari perilaku saham lain di pasar, maka hasil empiris yang akan disajikan di bawah ini akan sangat berlaku hanya untuk saham perusahaan besar yang penting.

Namun seseorang harus mengakui bahwa sampel saham konservatif dari sudut pandang hipotesis Mandelbrot, karena blue chip mungkin lebih stabil daripada sekuritas lainnya. Ada alasan untuk mengharapkan bahwa jika sampel tersebut dengan baik sesuai dengan hipotesis Mandelbrot, maka sampel acak akan cocok jauh lebih baik.

C. DISTRIBUSI FREKUENSI

Salah satu cara yang sangat sederhana untuk menganalisis distribusi perubahan dalam harga log adalah untuk menyusun distribusi frekuensi untuk saham masing-masing. Artinya, untuk setiap saham proporsi empiris perubahan harga dalam standar deviasi tertentu dari perubahan mean dapat dihitung dan dibandingkan dengan apa yang akan diharapkan jika distribusinya benar-benar normal. Hal ini dilakukan dalam Tabel 1 dan 2. Pada Tabel 1, proporsi pengamatan dalam 0,5, 1,0, 1,5, 2,0, 2,5, 3,0, 4,0, dan 5,0 standar deviasi perubahan mean, serta proporsi yang lebih besar dari 5 standar deviasi dari mean, dihitung untuk setiap saham. Pada baris pertama tubuh tabel, proporsi untuk distribusi normal unit diberikan.

Tabel 2 memberikan perbandingan distribusi normal unit dan empiris. Setiap entri dalam tabel ini dihitung dengan mengambil entri yang sesuai dalam Tabel 1 dan mengurangi darinya entri untuk distribusi normal unit dalam Tabel 1. Misalnya, entri dalam kolom (1) Tabel 2 untuk Allied Chemical ditemukan dengan mengurangi entri dalam kolom (1) Tabel 1 untuk normal unit, 0,3830, dari entri di kolom (1) Tabel 1 untuk Allied Chemical, 0,4595.

Bilangan positif di Tabel 2 harus ditafsirkan sebagai kelebihan frekuensi relatif dalam distribusi empiris atas apa yang akan diharapkan untuk interval tertentu jika distribusinya normal. Misalnya, entri pada kolom (1) yang berhadapan dengan Allied Chemical berarti bahwa distribusi empiris berisi sekitar 7,6 persen lebih banyak dari frekuensi total dalam satu setengah standar deviasi mean daripada yang akan diharapkan jika distribusinya normal. Jumlah pada kolom (9) berarti bahwa dalam distribusi empiris sekitar 0,16 persen lebih banyak dari frekuensi total lebih besar dari lima standar deviasi dari mean daripada yang akan diharapkan dalam hipotesis normal atau Gaussian.19 Aku mengakui bahwa karena efek pajak dan pertimbangan lainnya, nilai saham mungkin tidak diharapkan jatuh dengan jumlah penuh dividen. Karena ketidakpastian mengenai apa yang dimaksud penyesuaian yang benar, perubahan harga pada hari eks dividen diabaikan dalam versi awal makalah ini. karena hasil yang dilaporkan dalam versi awal berbeda sangat sedikit dari hasil yang akan disajikan di bawah ini, tampaknya menambahkan kembali jumlah penuh dividen menghasilkan tidak adanya penyimpangan penting dalam hasil empiris.

TABEL 1

DISTRIBUSI FREKUENSI

Demikian pula bilangan negatif dalam tabel tersebut harus ditafsirkan sebagai kekurangan frekuensi relatif dalam interval yang ditentukan. Misalnya, bilangan pada kolom (5) yang berhadapan dengan Allied Chemical berarti bahwa sekitar 1,21 persen frekuensi total yang lebih sedikit berada dalam 2,5 standar deviasi mean daripada yang akan diharapkan dalam hipotesis Gaussian. Ini berarti bahwa ada sekitar dua kali sebanyak frekuensi di luar standar deviasi daripada yang akan diharapkan jika distribusinya normal.

Fitur tabel ini yang paling mencolok adalah adanya beberapa tingkat leptokurtosis untuk setiap saham. Pada setiap kasus, distribusi empiris lebih berpuncak di pusat dan memiliki ekor yang lebih panjang daripada distribusi normal. Polanya paling baik digambarkan pada Tabel 2. Pada kolom (1), (2), dan (3), semua bilangan positif, menyiratkan bahwa dalam distribusi empiris, ada lebih banyak pengamatan dalam 0,5, 1,0, dan 1,5 standar deviasi daripada yang akan diharapkan dalam hipotesis Gaussian. Pada kolom (4) sampai (8), dominan bilangan negatif yang luar biasa menunjukkan bahwa terdapat kekurangan frekuensi relatif dalam setiap interval 2 hingga 5 standar deviasi dari mean dan karena itu kelebihan umum frekuensi relatif di luar poin-poin ini. Pada kolom (9), dua puluh dua dari tiga puluh bilangan adalah positif, yang menunjukkan kelebihan umum frekuensi relatif lebih besar daripada lima standar deviasi dari mean.

TABEL 2

PERBANDINGAN DISTRIBUSI FREKUENSI EMPIRIS DENGAN NORMAL UNIT

SAHAM

INTERVAL

Rata-rata

Pada pandangan pertama, tampaknya ukuran mutal deviasi dari normalitas yang dilaporkan pada Tabel 2 tidaklah penting. Misalnya, baris terakhir dari tabel itu memberitahu kita bahwa kelebihan frekuensi relatif di luar lima standar deviasi dari mean adalah, rata-rata, sekitar 0,12 persen. Namun hal ini menyesatkan, karena dalam hipotesis Gaussian total frekuensi relatif yang diprediksi di luar lima standar deviasi adalah 0,00006 persen. Dengan demikian, frekuensi kelebihan yang sebenarnya 2.000 kali lebih besar daripada total frekuensi yang diharapkan.

Gambar 1 memberikan wawasan yang lebih baik ke dalam sifat penyimpangan dari normalitas dalam distribusi empiris. Kurva yang terputus-putus menggambarkan fungsi kepadatan normal unit, sedangkan kurva yang solid menggambarkan bentuk umum distribusi empiris. Penyimpangan yang konsisten dari normalitas adalah kelebihan pengamatan dalam satu setengah standar deviasi mean. Rata-rata, ada 8,4 persen terlalu banyak frekuensi relatif dalam interval ini. kurva fungsi kepadatan empiris ini berada di atas kurva untuk distribusi normal. Namun sebelum 1,0 standar deviasi dari mean, kurva empiris memotong melalui kurva normal dari atas. Meskipun ada kelebihan umum frekuensi relatif dalam 1,0 standar deviasi, dalam dua puluh empat dari tiga puluh kasus, kelebihan tidaklah sebesar kelebihan dalam satu setengah standar deviasi. Dengan demikian, frekuensi relatif empiris antara 0,5 dan 1,0 standar deviasi harus kurang dari apa yang akan diharapkan dalam hipotesis Guassian.

Kirakira di antara 1,5 dan 2,0 standar deviasi dari mean, kurva empiris sekali lagi melintasi kurva normal, kali ini dari bawah. Hal ini ditunjukkan oleh fakta bahwa dalam distribusi empiris, terdapat kekurangan frekuensi relatif yang konsisten dalam 2,0, 2,5, 3,0, 4,0, dan 5,0 standar deviasi, menyiratkan bahwa ada terlalu banyak frekuensi relatif di luar interval ini. Hal ini, tentu saja, apa yang dimaksud dengan ekor panjang.

SAHAM

INTERVAL

Rata-rata

Variabel StandarisasiGAMBAR 2.–Perbandingan distribusi probabilitas normal empiris dan unit.

Hasil dalam Tabel 1 dan 2 dapat dimasukkan ke dalam bentuk yang berbeda dan mungkin lebih jelas. Dalam pengambilan sampel dari distribusi normal, probabilitas bahwa sebuah pengamatan akan lebih dari dua standar deviasi dari mean adalah 0,04550. Dalam sampel ukuran N, jumlah pengamatan yang diharapkan lebih dari dua standar deviasi dari mean adalah N X 0,04550. Demikian pula, jumlah yang diharapkan lebih dari tiga, empat, dan lima standar deviasi dari mean adalah masing-masing N X 0,0027, N X 0,000063, dan N X 0,0000006. Setelah prosedur ini, Tabel 3 menunjukkan untuk setiap saham jumlah pengamatan yang diharapkan dan sebenarnya lebih besar dari 2, 3, 4, dan 5 standar deviasi dari mean mereka.

Hasilnya konsisten dan mengesankan. Di luar tiga standar deviasi, seharusnya hanya ada, rata-rata, tiga hingga empat pengamatan per sekuritas. Jumlah yang sebenarnya berkisar dari enam hingga dua puluh tiga. Bahkan untuk ukuran sampel yang dipertimbangkan, jumlah pengamatan yang diharapkan lebih dari empat standar deviasi dari mean hanya sekitar 0,10 per sekuritas. Bahkan untuk semua saham kecuali satu saham, ada setidaknya satu pengamatan yang lebih besar dari empat standar deviasi dari mean, dengan satu saham yang memiliki sebanyak sembilan pengamatan dalam rentang ini.

Dalam istilah yang lebih sederhana, jika populasi perubahan harga sangat normal, rata-rata untuk saham tertentu kita akan mengharapkan pengamatan yang lebih besar dari 4 standar deviasi dari mean sekitar satu kali setiap lima puluh tahun. Sebenarnya pengamatan yang begitu ekstrem ini diamati sekitar empat kali dalam setiap periode lima tahun. Demikian pula, dalam hipotesis Gaussian untuk setiap saham tertentu, pengamatan lebih dari lima standar deviasi dari mean harus terlihat sekitar satu kali setiap 7.000 tahun. Kenyataannya, pengamatan seperti itu tampaknya terjadi sekitar satu kali setiap tiga hingga empat tahun.

Hasil ini dapat dimasukkan ke dalam bentuk uji signifikansi. Tippet [44] pada tahun 1925 menghitung distribusi nilai terbesar dalam sampel ukuran 3–1.000 dari populasi normal. Pada Tabel 4, hasilnya untuk N = 1.000 telah digunakan untuk menemukan tingkat signfikansi kitra-kira perbedaan pertama positif dan negatif harga log yang paling ekstrem untuk setiap saham. Tingkat signifikansi hanya kira-kira karena ukuran sampel yang sebenarnya lebih bsar dari 1.000. Efek hal ini adalah untuk menaksir terlalu tinggi tingkat signifikansi karena dalam sampel sebanyak 1.300, nilai yang ekstrem yang lebih besar dari ukuran yang ditentukan lebih mungkin daripada dalam sampel sebanyak 1.000. Namun dalam kebantakan kasus, kesalahan yang diperkenalkan dengan cara ini akan mempengaruhi paling banyak tempat desimal ketiga dan karena itu bisa diabaikan dalam konteks yang sekarang.

Kolom (1) dan (4) Tabel 4 menunjukkan perubahan negatif dan positif yang paling ekstrem dalam harga log untuk setiap saham. Kolom (2) dan (5) menunjukkan nilai-nilai ini yang diukur dalam satuan standar deviasi dari mean mereka. Kolom (3) dan (6) menunjukkan tingkat signifikansi nilai-nilai yang ekstrem. Tingkat signfikansi harus ditafsirkan sebagai berikut: dalam sampel 1.000 pengamatan dari populasi normal rata-rata dalam proporsi P untuk semua sampel, nilai paling ekstrem untuk ekor yang ditentukan akan menjadi lebih kecil dalam nilai mutlak daripada nilai ekstrem yang sebenarnya dilihat.

TABEL 3

ANALISIS DAERAH EKOR EKSTREM BERKENAAN DENGAN JUMLAH PENGAMATAN DARIPADA FREKUENSI RELATIF

*Ukuran sampel total

Seperti yang diharapkan dari pembahasan yang sebelumnya, tingkat signifikansi pada Tabel 4 sangatlah tinggi, menyiratkan bahwa nilai ekstrem yang dilihat jauh lebih ekstrem daripada yang diprediksi oleh hipotesis Gaussian.

SAHAM

INTERVAL

Total

TABEL 4

UJI SIGNIFIKANSI UNTUK NILAI-NILAI EKSTREM

D. GRAFIK PROBABILITAS NORMAL

Alat yang sensitif lainnya untuk menguji penyimpangan dari normalitas adalah penggambaran grafik probabilitas. Jika u adalah variabel acak Gaussian dengan mean μ dan varians σ2, maka variabel standarisasi

akan menjadi normal unit. Karena z hanyalah transformasi linear u, grafik z terhadap u hanyalah garis lurus.

Hubungan antara z dan u dapat digunakan untuk mendeteksi penyimpangan dari normalitas dalam distribusi u. jika ui, i = 1, . . ., N adalah nilai sampel N dari variabel u yang diatur dalam urutan menaik, maka ui tertentu merupakan perkiraan f fraktil distribusi u, dimana nilai f diberikan oleh20

Sekarang nilai z yang tepat untuk fraktil f distribusi normal unit tidak perlu diperkirakan dari data sampel. Ini dapat ditemukan dengan mudah dalam tabel standar mana

20Konvensi tertentu ini untuk memperkirakan f merupakan satu-satunya dari banyak konvensi yang ada.

Konvensi yang populer lainnya adalah , , dan . Keempat teknik

memberikan perkiraan fraktil yang masuk akal, dan dengan sampel laporan ini yang besar, membuat perbedaan yang sangat kecil di mana konvensi khusus dipilih. Untuk pembahasan, lihat E. J. Gumber [20, hlm. 15] atau Gunnar Blom [8, hlm. 138–46].

SAHAMNilai

Terkecil(1)

Variabel Standarisasi

(2)

Nilai Terbesar

(4)

Variabel Standarisasi

(5)

pun ataupun (jauh lebih cepat) dengan komputer. Jika u adalah variabel acak Gaussian, maka grafik nilai sampel u terhadap nilai z yang diperoleh dari fungsi distribusi kumulatif normal unit (c.d.f.) haruslah garis lurus. Mungkin ada, tentu saja, beberapa penyimpangan dari linearitas dikarenakan kesalahan pengambilan sampel. Namun jika penyimpangan dari linearitas tersebut ekstrem, maka hipotesis Gaussian untuk distribusi u harus dipertanyakan.

Prosedur yang dijelaskan di atas disebut penggambaran grafik probabilitas normal. Grafik probabilitas normal telah disusun untuk setiap saham yang digunakan dalam laporan ini, dengan u sama, tentu saja, dengan perbedaan pertama harian harga log. Grafiknya dapat ditemukan dalam Gambar 2.

Skala grafik dalam Gambar 2 ditentukan oleh dua nilai u dan z yang paling ekstrem. Asal grafik ini merupakan titik (umin, zmin), dimana umin dan zmin merupakan nilai u dan z yang paling kecil untuk saham tertentu. Titik terakhir di sudut kanan atas setiap grafik adalah (umax, zmax). dengan demikian, jika hipotesis Gaussian berlaku, maka alur z terhadap u harus untuk setiap sekuritas kira-kira menemukan garis lurus 45° dari asalnya.21

Beberapa komentar mengenai grafik tersebut dapat dibuat langsung. Pertama, penggambaran grafik probabilitas hanyalah cara lain untuk memeriksa distribusi frekuensi empiris, dan ada hubungan langsung antara distribusi frekuensi yang diuji sebelumnya dan grafik probabilitas normal. Ketika ekor distribusi frekuensi empiris lebih panjang daripada ekor distribusi normal, maka lereng di daerah ekor ekstrem grafik probabilits normal harus lebih rendah daripada lereng di bagian tengah grafik, dan kenyataannya inilah yang terjadi. Artinya, grafik pada umumnya mengambil bentuk S yang memanjang dengan lengkungan di bagian atas dan bawah yang berbeda langsung dengan kelebihan frekuensi relatif di ekor distribusi empiris.

Kedua, kecenderungan ini untuk ekor ekstrem untuk menunjukkan lereng yang lebih rendah dari bagian utama grafik akan ditonjolkan oleh fakta bahwa lonceng tengah distribusi frekuensi empiris lebih tinggi daripada lonceng tengah distribusi normal. Dalam situasi ini, bagian tengah grafik probabilitas normal akan lebih curam daripada yang terjadi jika distribusi pokok sangat normal. Penyimpangan dari normalitas semacam ini kelihatan di grafik.

Akhirnya sebelum munculnya hipotesis Mandelbrot, beberapa grafik probabilitas normal kami pasti telah dianggap bisa diterima dalam hipotsis normalitas “kira-kira.” Hal ini memang benar, misalnya, untuk Anaconda dan Alcoa. Namun hal ini tidak benar untuk sebagian besar grafik. Perilaku ekor saham seperti American Telephone and Telegraph dan Sears jelas tidak konsisten dengan hipotesis normalitas yang sederhana mana pun. Penekanannya berada pada kata langsung. Langkah alami yang selanjutnya adalah untuk mempertimbangkan kerumitan model Gaussian yang dapat menimbulkan penyimpangan dari normalitas jenis yang ditemui.

21 Pembaca harus memperhatikan bahwa asal setiap grafik merupakan titik sampel yang sebenarnya, meskipun tidak selalu kelihatan dalam grafik karena jatuh pada titik persimpangan dua sumbu. Kemungkinan menarik untuk diperhatikan bahwa grafik pada Gambar 2 dihasilkan oleh tabung sinar katoda komputer 7094 I.B.M. Universitas Chicago.

GAMBAR 2.–Grafik probabilitas normal untuk perubahan harian dalam harga log setiap sekuritas. Sumbu horizontal grafik menunjukkan u, nilai perubahan harian dalam harga log; sumbu vertikal menunjukkan z, sumbu variabel normal unit di titik fraktil berbeda yang diperkirakan.

GAMBAR 2.–Lanjutan

E. DUA KEMUNGKINAN PENJELASAN ALTERNATIF PENYIMPANGAN DARI NORMALITAS

1. CAMPURAN DISTRIBUSI

Mungkin pendekatan yang paling populer untuk menjelaskan distribusi berekor panjang adalah untuk menghipotesiskan bahwa distribusi perubahan harga sebenarnya campuran dari beberapa distribusi normal dengan kemungkinan mean yang sama, tetapi varians yang secara substansial berbeda. Ada, tentu saja, banyak variasi lini serangan yang mungkin ini, dan sedikit yang bisa dilakukan untuk mengujinya kecuali jika penyelidik siap

untuk menentukan beberapa rincian mekanisme bukannya hanya membicarakan secara tidak jelas tentang “kontaminasi.” Salah satu mekanisme yang masuk akal tersebut adalah mekanisme berikut yang disarankan oleh Lawrence Fisher dari Graduate School of Business, Universitas Chicago.

Mungkin bahwa satuan waktu yang relevan untuk generasi informasi yang berhubungan dengan harga saham merupakan hari kronologis daripada hari perdagangan. Berita politik dan ekonomi, bagaimanapun, terjadi terus-menerus, dan jika dijadikan satu secara terus-menerus oleh para investor, maka varians distribusi perubahan harga antara dua titik waktu akan mungkin sama dengan jumlah hari yang sebenarnya yang berlalu daripada jumlah hari perdagangan. Dengan demikian, dalam uji kami, campuran distribusi akan dihasilkan oleh fakta bahwa perubahan dalam harga log dari Jum’at (penutupan) hingga Senin (penutupan) melibatkan tiga hari kronologis sementara perubahan selama minggu tersebut melibatkan hanya satu hari kronologis.

Untuk menguji hipotesis ini, sebelas saham dipilih secara acak dari sampel tiga puluh, dan untuk setiap saham dua susunan dipersiapkan. Satu susunan berisi perubahan yang melibatkan hanya satu hari kronologis. Ini, tentu saja, merupakan perubahan harian dari Senin hingga Jum’at setiap minggu. Susunan lainnya berisi perubahan yang melibatkan lebih dari satu hari kronologis. Susunan ini meliputi perubahan Jum’at hingga Senin dan perubahan di hari libur.

Tabel 5 memberikan perbandingan varians total untuk setiap jenis perubahan harga. Kolom (1) menunjukkan varians untuk perubahan yang melibatkan satu hari kronologis. Kolom (2) berisi varians untuk perubahan akhir minggu dan hari libur. Kolom (3) menunjukkan rasio kolom (2) hingga kolom (1). Jika hari kronologis daripada hari perdagangan merupakan satuan waktu yang relevan, maka, menurut hukum varians jumlah variabel independen yang dikenal, varians perubahan akhir minggu dan hari libur seharusnya sedikit kurang dari tiga kali varians perubahan hari ke hari dalam minggu tersebut. seharusnya sedikit kurang dari tiga karena tiga hari berlalu antara Jum’at (penutupan) dan Senin (penutupan), tetapi hari libur biasanya melibatkan selang hanya dua hari. Namun sebenarnya, kenyataannya varians akhir minggu dan hari libur bukanlah tiga kali, tetapi hanya sekitar 22 persen lebih besar daripada varians dalam minggu tersebut–kesenjangan yang agak kecil.22

TABEL 5

PERBANDINGAN VARIANS PERUBAHAN HARIAN DAN MINGGUAN

Saham Varians Harian(1)

Varians Akhir Minggu

(2)

Varians Akhir Minggu /Varians Harian

(3)Alcoa 0,000247 0,000252 1,020A.T.&T .000091 .000105 1,154Anaconda .000212 .000252 1,189Chrysler .000278 .000363 1,306International Harvester .000186 .000226 1,215International Nickel .000146 .000145 0,993Procter & Gamble .000125 .000178 1,424Standard Oil (Calif.) .000162 .000215 1,327Standard Oil (N.J.) .000114 .000153 1,342Texaco .000153 .000209 1,366

22 Ketidakpentingan relatif efek akhir pecan juga didokumentasikan, dengan cara yang berbeda, oleh Goldfrey, Granger, dan Morgenstern [18].

U.S. Steel 0,000176 0,000198 1,125

Namun, untuk saat ini, mari kita lanjutkan dengan asumsi bahwa perubahan akhir minggu dan hari libur dan perubahan dalam minggu tersebut berasal dari distribusi normal yang berbeda. Ini berarti bahwa grafik probabilitas normal untuk perubahan akhir minggu dan harian masing-masing haruslah garis lurus, meskipun distribusi gabungan merencanakan sebagai S yang memanjang. Sebenarnya ketika perubahan dalam minggu tersebut dan akhir minggu direncanakan secara terpisah, grafik ternyata berbentuk sama persis seperti grafik untuk dua distribusi yang digabungkan. Penyimpangan yang sama dari normalitas ada dan bentuk S yang memanjang terjadi.

Sebagai contoh, Gambar 3 menunjukkan tiga grafik probabilitas normal untuk Procter and Gamble.23 Yang pertama menunjukkan grafik perbedaan pertama harga log untuk perubahan harian dalam minggu tersebut. Yang kedua adalah grafik perubahan Jum’at hingga Senin dan grafik perubahan di hari libur. Yang ketiga adalah grafik gabungan untuk perubahan dimana interval pembeda merupakan hari perdagangan dan waktu kronologis diabaikan.

23 Pembaca akan memperhatikan bahwa grafik probabilitas normal Gambar 3 (dan juga Gambar 3) mengikuti konvensi yang lebih populer untuk menunjukkan c.d.f. pada sumbu vertikal daripada variabel standarisasi z. karena ada korelasi satu per satu antara nilai z dan titik pada c.d.f., dari sudut pandang teoretis merupakan masalah tidak penting tentang variabel mana yang ditunjukkan pada sumbu vertikal. Namun dari sudut pandang praktis, ketika grafik dikerjakan dengan tangan, maka menjadi lebih mudah untuk menggunakan “kertas probabilitas” dan c.d.f. Ketika grafik dikerjakan dengan komputer, maka menjadi lebih mudah untuk menggunakan variabel standarisasi z.

Harian

GAMBAR 3.–Grafik probabilitas normal harian, akhir minggu, dan gabungan untuk Procter & Gamble. Sumbu horizontal menunjukkan u, nilai perubahan harian dalam harga log; sumbu vertikal menunjukkan fraktil c.d.f.

Kesimpulan yang diambil dari pembahasan di atas adalah bahkan tidak menjadikan perbedaan yang substansial apakah perubahan akhir minggu dan hari libur dipertimbangkan secara terpisah atau bersama dengan perubahan harian dalam minggu tersebut. Sifat ekor distribusi tampaknya sama dalam setiap jenis analisis.

2. MENGUBAH PARAMETERPenjelasan populer lainnya tentang distribusi empiris berekor panjang adalah

ketidaktetapan. Mungkin bahwa distribusi perubahan harga di setiap titik waktu adalah normal, tetapi dari waktu ke waktu parameter distribusi berubah. Suatu perusahaan mungkin menimbulkan pergeseran dalam varians perbedaan pertama. Demikian pula mean perbedaan pertama dapat berubah dari waktu ke waktu karena prospek perusahaan untuk keuntungan yang akan datang mengikuti jalan yang berbeda. Makalah ini akan mempertimbangkan hanya perubahan dalam mean.

Jika suatu pergeseran dalam perubahan mean dalam harga log rangkaian harian adalah untuk bertahan untuk waktu yang lama, maka haruslah kecil, kecuali jika perubahan yang mungkin terjadi pada harga sangatlah besar. Misalnya, harga saham akan menjadi dua kali lipas dalam kurang dari empat bulan jika mean perubahan harian pada harga log bergeser dari nol ke 0,01. Ini bukanlah karena perubahan yang besar dalam mean tidak menarik. Hal ini hanyalah karena kecuali perubahan harga yang mungkin terjadi menjadi fenomenal, perubahan yang besar dalam mean tidak akan bertahan cukup lama untuk diidentifikasi. Masalah yang mendasari adalah masalah identifikasi. “Tren” yang tidak bertahan sangat lama ada banyak sekali. Biasanya sulit untuk menjelaskan “tren” yang pendek ini dengan masuk akal apakah perubahan harga yang mungkin terjadi besar atau kecil. Di sisi lain, perubahan pada mean yang bertahan kemungkinan bisa diidentifikasi oleh kegigihan mereka sendiri. Hal ini khususnya tidak masuk akal untuk memperlakukan periode, katakanlah, satu tahun atau lebih yang menunjukkan tren yang cukup tetap secara berbeda dari periode lainnya.

Akhir minggu Gabungan

Dalam upaya untuk menguji hipotesis ketidaktetapan, lima saham dipilih yang tampaknya menunjukkan perubahan dalam tren yang bertahan untuk jangka waktu yang agak lama selama periode yang tercakup oleh penelitian ini.24 “Tren” “diidentifikasi” hanya dengan memeriksa grafik harga saham selama periode pengambilan sampel. Prosedurnya, meskipun dipraktikkan secara luas, tentu saja sepenuhnya berubah-ubah.

Namun hasilnya cukup menarik. Untuk setiap saham, grafik probabilitas normal dibangung untuk setiap periode tren yang terpisah. Di semua kasus, hasilnya sama; setiap subperiode tren yang jelas berbeda menunjukkan jenis perilaku ekor yang persis sama seperti sampel total perubahan harga untuk saham untuk seluruh periode pengambilan sampel.

Sebagai contoh, tiga grafik probabilitas normal untuk American Telephone and Telegraph disajikan pada Gambar 4. Yang pertama mencakup jangka waktu 25 November 1957–11 Desember 1961, ketika mean distribusi perbedaan pertama harga log adalah 0,00107. Yang kedua mencakup periode 11 Desember 1961–24 September 1962, ketika mean sebesar –0,00061. Yang ketiga adalah grafik sampel total dengan mean keseluruhan 0,000652. Seperti halnya dengan semua saham yang khas, grafiknya sangat sama. Jenis S memanjang yang sama muncul di ketiganya.

24 Saham yang dipilih adalah American Can, American Telephone and Telegraph, American Tobacco, Procter and Gamble, dan Sears..

GAMBAR 4.–Grafik probabilitas normal untuk American Telephone and Telegraph untuk jangka waktu yang berbeda. Sumbu horizontal menunjukkan u, nilai perubahan harian dalam harga log; sumbu vertikal menunjukkan fraktil c.d.f.

Dengan demikian, tampaknya perilaku distribusi di ekor dapat berdiri sendiri dari mean. Ini bukanlah benar-benar hasil yang sangat tidak biasa. perubahan dalam mean, jika ingin bertahan, haruslah sedikit kecil. Khususnya, pergeseran menjadi kecil relatif dengan nilai terbesar variabel acak dari distribusi berekor panjang.

Memang benar bahwa kita hanya mempertimbangkan perubahan pada mean yang bertahan untuk jangka waktu yang cukup lama, dan inilah kemungkinan kelemahan uji yang sebelumnya. Akan tetapi memang benar juga bahwa setiap distribusi, tidak peduli seberapa liarnya, dapat digambarkan sebagai campuran normal jika bersedia mendalilkan banyak periode ketidaktetapan yang pendek. Namun salah satu sumber utama daya tarik model Mandelbrot adalah bahwa model ini mampu menjelaskan periode turbulensi maupun periode kerenangan, tanpa meminta bantuan argumen ketidaktetapan.

F. KESIMPULAN

Hasil utama bagian ini adalah bahwa penyimpangan dari normalitas dalam distribusi perbedaan pertama logaritma harga saham berada dalam arah yang diperkirakan oleh hipotesis Mandelbrot. Selain itu, dua versi model Gaussian yang lebih rumit yang diuji tidak mampu menjelaskan penyimpangan. Pada bagian selanjutnya, uji yang lebih jauh akan digunakan untuk menentukan apakah penyimpangan dari normalitas sudah cukup untuk menjamin penolakan hipotesis Gaussian.

IV. MELIHAT LEBIH DEKAT PADA DISTRIBUSI EMPIRIS

Langkah pertama pada bagian ini adalah untuk menguji apakah distribusi perubahan harga memiliki sifat stabilitas yang sangat penting. Jika stabilitas tampaknya bertahan, masalah pasti sudah dikurangi untuk menentukan apakah eksponen karakteristik α proses Pareto (Paretian) stabil yang pokok kurang dari 2, seperti yang diasumsikan oleh hipotesis Mandelbrot, atau sama dengan 2 seperti yang diasumsikan oleh hipotesis Gaussian.

A. STABILITAS

Menurut definisi, distribusi Pareto (Paretian) stabil adalah stabil atau tidak pernah berubah dengan penjumlahan. Artinya, kecuali asal dan skala, jumlah variabel Pareto stabil yang independen dan didistribusikan secara identik memiliki distribusi yang sama seperti peubah acak masing-masing. Karena itu, jika perubahan harian yang berturut-turut dalam harga saham mengikuti distribusi Pareto stabil, maka perubahan di interval yang lebih lama seperti minggu atau bulan akan mengikuti distribusi Pareto stabil dari bentuk yang persis sama.25 Paling sederhananya, ini berarti bahwa eksponen karakteristik α distribusi mingguan dan bulanan akan sama seperti eksponen karakteristik distribusi perubahan harian.

Dengan demikian, cara yang paling langsung untuk menguji stabilitas adalah untuk memperkirakan α untuk berbagai interval pembeda untuk melihat apakah nilai yang sama bertahan di setiap kasus. Sayangnya, pendekatan langsung ini tidaklah layak. Kita akan lihat nantinya bahwa untuk membuat perkiraan α yang masuk akal, sampel yang sangat besar diperlukan. Meskipun sampel perubahan harga harian yang digunakan dalam laporkan ini kemungkinan akan cukup beasr, periode pengambilan sampel yang tercakup tidaklah cukup lama untuk membuat perkiraan α yang bisa diandalkan untuk interval pembeda yang lebih lama dari satu hari.

Namun situasinya tidaklah sia-sia. Kami mengembangkan sebuah cara alternatif, meskipun lebih sederhana dan lebih tidak langsung untuk mengujistabilitas dengan memanfaatkan sifat-sifat tertentu parameter α. Eksponen karakteristik α dari distribusi Pareto stabil menentukan panjang atau tingginya ekor ekstrem distribusi tersebut. Karena itu, jika α memiliki nilai yang sama untuk distribusi yang berbeda, maka perilaku ekor ekstrem distribusi tersebut setidaknya harus kira-kira sama.

Teknik yang sensitif untuk menguji ekor distribusi adalah penggambaran grafik probabilitas normal. Seperti yang dijelaskan pada Bagian III, alur probabilitas normal dari nilai peringkat variabel Gaussian adalah garis lurus. Karena distribusi Gaussian, stabil, jumlah variabel Gaussian juga akan beralur seperti garis lurus pada grafik probabilitas normal. Akan tetapi, distribusi Pareto stabil dengan α ˂ 2 memiliki ekor yang lebih panjang daripada distribusi Gaussian, dan karena itu grafik probabilitas normalnya akan memiliki penampilan S yang memanjang, dengan tingkat lengkungan di ekor ekstrem lebih besar jika semakin kecil nilai α. Jumlah variabel tersebut juga harus beralur seperti jumlah S yang memanjang dengan kira-kira tingkat lengkungan yang sama seperti grafik peubah acak individu.

Dengan demikian, jika perubahan harian yang berturut-turut pada harga log untuk sekuritas tertentu mengikuti distribusi Pareto stabil dengan eksponen karakteristik α ˂ 2, maka grafik probabilitas normal untuk perubahan itu seharusnya memiliki penampilan S yang memanjang. Karena, menurut properti stabilitas, nilai α sama untuk distribusi yang melibatkan interval pembeda yang lebih lama dari satu hari, grafik probabilitas normal untuk interval pembeda yang lebih lama ini juga seharusnya memiliki penampilan grafik S yang memanjang dengan sekitar tingkat lengkungan yang sama di ekor ekstrem seperti grafik untuk perubahan harian.

Grafik probabilitas normal untuk distribusi perubahan pada harga log di periode empat hari perdagangan yang berturut-turut dan tidak tumpang tindih telah direncanakan untuk setiap saham. Grafik untuk empat perusahaan (American Tobacco, Eastman Kodak, International Nickel, dan Woolworth) ditunjukkan pada Gambar 5. Di setiap kasus, grafik untuk perubahan empat hari pada Gambar 5 tampaknya, kecuali skala, hampir tidak bisa dibedakan dari grafik yang sama untuk perubahan harian pada Gambar 2. Atas dasar ini, kami menyimpulkan bahwa asumsi stabilitas tampaknya bisa dibenarkan. Masalah di sisa Bagian

25 Perubahan mingguan dan bulanan pada harga log adalah, tentu saja, hanya jumlah perubahan harian.

IV adalah untuk memutuskan apakah proses Pareto stabil yang mendasari memiliki eksponen karakteristik kurang dari 2, seperti yang diajukan oleh hipotesis Mandelbrot, atau sama dengan 2, seperti yang diajukan oleh hipotesis Gaussian.

GAMBAR 5.–Grafik probabilitas normal untuk perubahan harga di empat hari perdagangan. Sumbu horizontal menunjukkan u, nilai perubahan pada harga log; sumbu vertikal menunjukkan z, nilai variabel normal unit di titik fraktil berbeda yang diperkirakan

Namun sayangnya, perkiraan α bukanlah masalah yang sederhana. Di kebanyakan kasus, ada fungsi kepadatang ekspilisit yang tidak diketahui untuk distribusi Pareto stabil, dan karena itu hampir tidak ada teori pengambilan sampel yang tersedia. Karena hal ini, yang terbaik yang bisa dilakukan adalah untuk membuat perkiraan α yang berbeda sebanyak mungkin dalam upaya untuk mengumpulkan nilai yang sebenarnya. Di sisa Bagian IV, tiga teknik yang berbeda akan digunakan untuk memperkirakan α. Pertama, setiap teknik akan diuji secara terperinci, dan kemudian perbandingan hasil akan dilakukan.

B. MEMPERKIRAKAN α DARI GRAFIK LOG GANDA DAN PROBABILITAS

Jika distribusi variabel acak u adalah Pareto stabil dengan eksponen karakteristik 0 ˂ α ˂ 2, ekornya mengikuti bentuk asimtotik hukum Pareto sehingga

dimana U1 dan U2 adalah kosntan dan simbol → berarti bahwa rasio26

26 Dengan demikian, kita melihat bahwa nama Pareto stabil untuk distribusi ini muncul dari sifat stabilitas dan sifat Pareto secara asimtotik dari daerah ekor yang ekstrem.

dan

GAMBAR 6.–Grafik log ganda untuk variabel Pareto stabil simetris dengan nilai α yang berbeda. Beberapa garis adalah alur log ganda distribusi probabilitas Pareto stabil yang simetris dengan δ = 0, γ = 1, β = 0 dan beberapa nilai α. Sumbu horizontal menunjukkan log u; sumbu vertikal menunjukkan log Pr(u > u) log Pr(u ˂ –u). diambil dari Mandelbrot [37, hlm. 402].

Mengambil logaritma dalam pernyataan (4), kita memiliki,

Pernyataan (5) berarti bahwa jika dan dirancang melawan pada kertas log ganda, maka dua kurva seharunya menjadi lurus asimtotik dan memiliki lereng yang mendekati –α karena mendekati tidak terbatas. Dengan demikian, penggambaran grafik log ganda adalah salah satu teknik untuk memperkirakan α. Sayangnya,

karena

dan

teknik ini sangatlah tidak kuat jika α mendekati 2.27 Jika distribusi normal (yaitu α = 2), maka turun dengan lebih cepat daripada naiknya , dan lereng grafik log

terhadap log akan mendekati . Dengan demikian, hukum Pareto tidak berkuasa bahkan secara asimtotik untuk distribusi normal.

Bila α kurang dari 2, maka hukum Pareto akan berkuasa, tetapi pada grafik log ganda, lereng asimtotik yang sebenarnya hanya akan terlihat dalam daerah ekor yang berisi probabilitas total p0(α) yang lebih kecil jika semakin besar nilai α. Ini ditunjukkan pada Gambar 628 yang menunjukkan alur log terhadap log untuk nilai α dari satu ke dua, dan dimana parameter lokasi, kemiringan, dan skala diberikan nilai δ = 0, β = 0, dan γ = 1. Ketika α berada di antara 1,5 dan 2, maka nilai mutlak lereng tersebut di tengah grafik log ganda lebih besar dari lereng asimtotik yang sebenarnya, yang tidak tercapai hingga mendekati bagian bawah grafik. Misalnya, ketika α = 1,5, lereng asimtotik hampir diperoleh hanya bila , sehingga p0(α) = 0,015; dan ketika α = 1,8, p0(α) = 0,0011.

Jika, rata-rata, lereng asimtotik dapat dilihat hanya di daerah ekor yang berisi probabilitas total p0(α), maka akan perlu untuk memiliki lebih dari N0(α) = 1/p0(α) pengamatan sebelum lereng garik bahkan akan mulai mendekati –α. Ketika α mendekati 2, sampel yang sangat besar diperlukan sebelum lereng asimtotik menjadi bisa dilihat.

Sebagai ilustrasi, Tabel 6 menunjukkan p0(α) dan N0(α) untuk nilai α yang berbeda. Fitur tabel yang paling penting adalah peningkatan cepat N0(α) dengan α. Rata-rata, grafik log ganda akan mulai mendekati lereng asimtotiknya dalam sampel kurang dari 100 hanya jika α sebesar 1,5 atau kurang. Jika nilai α yang sebenarnya adalah 1,80, maka biasanya grafik hanya akan mulai mendekati lereng asimtotiknya untuk ukuran sampel yang lebih besar dari 909. Untuk nilai α yang lebih tinggi, ukurang sampel yang paling kecil menjadi hampir tidak bisa dibayangkan oleh kebanyakan standar.

TABEL 6

Selain itu, jumlah nilai ekstrem yang diharapkan yang akan menunjukkan lereng asimtotik yang sebenarnya adalah Np0(α), dimana N adalah ukuran sampel. Jika, misalnya, nilai α yang sebenarnya adalah 1,8 dan sampel berisi 1.500 pengamatan, rata-rata lereng asimtotik akan bisa dilihat hanya untuk satu atau dua pengamatan yang terbesar di setiap ekor. Jelas, untuk nilai α yang besar, penggambaran grafik log ganda menempatkan terlalu banyak beban pada satu atau dua pengamatan yang terbesar agar menjadi prosedur perkiraan yang baik. Kita akan lihat nantinya bahwa nilai α untuk distribusi perubahan harian pada harga log saham DJIA benar-benar lebih besar dari 1,5. Dengan demikian untuk data kami, penggambaran grafik log ganda bukanlah teknik yang cocok untuk memperkirakan α.

Namun situasinya tidaklah sia-sia, karena sifat Pareto asimtotik ekor ekstrem distribusi Pareto dapat digunakan, dalam kombinasi dengan penggambaran grafik probabilitas, untuk memperkirakan eksponen karakteristik α. Melihat kembali pada Gambar

27 Lih. Mandelbrot [35].28 Diambil dari Mandelbrot [37], hlm. 402.

6, kita melihat bahwa grafik log ganda teoretis untuk kasus α = 1,99 melepaskan diri dari grafik log ganda untuk α = 2 di sekitar titik dimana . Dari sudut pandang grafik probabilitas normal, ini berarti bahwa, jika α berada di antara 1,95 dan 1,99, maka kita harus melihat bahwa grafik probabilitas normal mulai menunjukkan lengkungan kira-kira di antara titik dimana dan titik dimana .

Hubungan grafik log ganda teoretis ini untuk nilai-nilai α yang berbeda dan grafik probabilitas normal memberikan prosedur yang alami untuk memperkirakan α. Melanjutkan pembahasan paragraf yang sebelumnya, kita melihat di Gambar 6 bahwa alur log ganda untuk α = 1,90 melepaskan diri dari alur untuk α = 1,95 di sekitar titik dimana . Dengan demikian, jika grafik probabilitas normal untuk beberapa saham mulai menunjukkan lengkungan kira-kira di antara titik dan , maka kita akan memperkirakan bahwa α mungkin kira-kira di interval 1,90 ≤ α ≤ 1,95. Demikian pula, jika lengkungan pada grafik probabilitas normal mulai menjadi kelihatan kira-kira di antara titik dimana dan , kita akan mengatakan bahwa α mungkin kira-kira berada di interval 1,80 ≤ α ≤ 1,90. Jika tak satu pun dari grafik probabilitas normal ini bahkan samar-samar lurus, kita akan mengatakan bahwa α mungkin kira-kira berada di interval 1,50 ≤ α ≤ 1,80.

Dengan demikian, kita memiliki teknik untuk memperkirakan α yang menggabungkan sifat-sifat grafik probabilitas normal dengan sifat-sifat grafik log ganda. Perkiraan yang dihasilkan oleh prosedur ini ditemukan di kolom (1) Tabel 9. Memang prosedur ini benar-benar subjektif. Kenyataannya, yang terbaik yang bisa kita lakukan dengannya adalah untuk mencoba menetapkan batas pada nilai α yang sebenarnya. Teknik ini tidak siap berguna untuk menunjukkan perkiraan. Namun teknik ini lebih baik daripada hanya grafik log ganda saja, karena teknik ini mempertimbangkan lebih banyak total daerah ekor.

C. MEMPERKIRAKAN α DENGAN ANALISIS RENTANG

Menurut definisi, jumlah variabel Pareto stabil yang independen dan didistribusikan secara identik adalah Pareto stabil dengan nilai eksponen karakteristik α yang sama seperti distribusi peubah acak individu. Namun proses mengambil jumlah memang mengubah skala distribusi. Bahkan ditunjukkan dalam lampiran bahwa skala distribusi jumlah adalah n1/α kali skala distribusi peubah acak individu, dimana n adalah jumlah pengamatan dalam setiap jumlah.

Sifat ini dapat digunakan sebagai dasar prosedur untuk memperkirakan α. Tentukan rentang interfraktil seperti perbedaan antara nilai variabel acak di dua fraktil distribusinya yang berbeda. Rentang interfraktil, Rn, dari distribusi jumlah n realisasi independen variabl Pareto stabil sebagai fungsi rentang interfraktil yang sama, R1, dari distribusi peubah acak individu diberikan oleh

Dengan memecahkan α, kita memiliki

Dengan mengambil interval penjumlah yang berbeda (yaitu nilai n yang berbeda), dan rentang interfraktil yang berbeda, (7) dapat digunakan untuk mendapatkan banyak perkiraan α yang berbeda dari set data yang sama.

Namun analisis rentang memiliki satu kekurangan yang penting. Jika perubahan harga yang berturut-turut dalam sampel tidak dapat berdiri sendiri, maka prosedur ini akan menghasilkan perkiraan α “yang bias.” Jika ada ketergantungan seri positif dalam perbedaan

pertama, maka kita harus mengharapkan bahwa rentang interfraktil distribusi jumlah tersebut akan lebih dari n1/α kali kisaran fraktil distribusi peubah acak individu. Di sisi lain, jika ada ketergantungan seri negatif dalam perbedaan pertama, maka kita harus mengharapkan bahwa rentang interfraktil distribusi jumlah akan kurang dari n1/α kali peubah acak individu. Karena rentang jumlah memasuki penyebut (7), maka bias ini akan bekerja ke arah yang berlawanan dalam perkiraan eksponen karakteristik α. Ketergantungan positif akan menghasilkan perkiraan α yang berbias turun, sementara perkiraan akan berbias naik dalam hal ketergantungan negatif.29

Namun kita akan melihat pada Bagian V bahwa tidak ada, kenyatannya, bukti ketergantungan yang penting pada perubahan harga yang berturut-turut, setidaknya untuk periode pengambilan data yang dicakup oleh data kami. Karena itu, mungkin aman untuk mengatakan bahwa ketergantungan tidak akan memiliki efek yang penting pada perkiraan α apa pun yang dihasilkan oleh teknik analisis rentang.

Analisis rentang telah digunakan untuk menghitung lima belas perkiraan α yang berbeda untuk masing-masing saham. Interval penjumlah empat, sembilan, dan enam belas hari digunakan; dan untuk setiap interval penjumlah, perkiraan α yang terpisah dibuat atas dasar rentang interkuartil, intersextile, interdecile, 5 persen, dan 2 persen.30 Prosedur ini dapat dijelaskan dengan menambahkan angka yang sudah dituliskan di atas ke formula untuk α sebagai berikut:

dimana n merujuk pada interval penjumlah dan i merujuk pada rentang fraktil tertentu. Untuk setiap nilai n, ada lima nilai i yang berbeda, rentang fraktil yang berbeda.

Kolom (2) Tabel 9 menunjukkan nilai-rata-rata α yang dihitung untuk setiap saham dengan teknik analisis rentang. Jumlah yang diberikan untuk saham tertentu adalah rata-rata lima belas nilai α yang berbeda yang dihitung untuk saham tersebut.

D. MEMPERKIRAKAN α DARI VARIANS BERURUTAN

Meskipun varians populasi proses Pareto stabil dengan eksponen karakteristik α ˂ 2 tidak terbatas, varians yang dihitung dari sampel mana pun akan selalu terbatas. Namun jika proses tersebut benar-benar Pareto stabil, karena ukuran sampel ditambah, maka kita harus berharap untuk melihat beberapa pertumbuhan atau tren yang naik dalam varians sampel. Kenyataannya lampiran menunjukkan bahwa, jika ut adalah variabel Pareto stabil yang independen yang dihasilkan dalam rangkaian waktu, maka median distribusi varians sampel kumulatif ut di waktu t1, sebagai fungsi varians sampel di waktu t0, diberikan oleh

29 Harus ditekankan bahwa “bias” bergantung pada ketergantungan seri yang ditunjukkan oleh sampel dan bukan ketergantungan sebenarnya dalam populasi. Misalnya, jika ada ketergantungan positif dalam sampel, maka rentang interfraktil jumlah sampel biasanya akan lebih dari n1/α kali rentang interfraktil peubah acak individu, meskipun tidak ada ketergantungan seri dalam populasi. Dalam hal ini, sifat ketergantungan sampel memungkinkan kita untuk menentukan dengan tepat arah kesalahan pengambilan sampel perkiraan α. Di sisi lain, ketika ketergantungan sampel menunjukkan ketergantungan yang sebenarnya dalam populasi, kesalahan dalam perkiraan α merupakan bias murni daripada sekedar kesalahan pengambilan sampel. Namun perbedaan ini tidak relevan untuk tujuan yang sekarang.30 Rentang dijelaskan sebagai berikut:

Interkuartil = 0,75 fraktil – 0,25 fraktil;Intersextile = 0,83 fraktil – 0,17 fraktil;Interdecile = 0,90 fraktil – 0,10 fraktil;5 persen = 0,95 fraktil – 0,05 fraktil;2 persen = 0,98 fraktil – 0,02 fraktil.

dan

dimana n1 adalah jumlah pengamatan dalam sampel di waktu t1, n0 adalah jumlah pada waktu t0, dan dan adalah varians sampel kumulatif. Dengan memecahkan persamaan (9), untuk α kita mendapatkan,

Memang mudah untuk melihat bahwa perkiraan α dari persamaan (10) akan sebagian besar bergantung pada perbedaan antara nilai-nilai varians sampel pada waktu t0 dan t1. Jika

lebih besar dari , maka perkiraan α menjadi kurang dari 2. Jika varians sampel telah menurun antara t0 dan t1, maka perkiraan α akan menjadi lebih dari 2.

Sekarang persamaan (10) dapat digunakan untuk memperoleh banyak perkiraan α untuk setiap saham. Ini dilakukan dengan membedakan titik awal n0 dan titik akhir n1 interval perkiraan. Untuk penelitian ini, titik awal dari n0 = 200 hingga n0 = 800 pengamatan dengan lompatan 100 pengamatan digunakan. Demikian pula untuk setiap nilai n0, α dihitung untuk nilai n1 = n0 + 100, n1 = n0 + 200, n1 = n0 + 300, . . ., dan n1 = N, dimana N adalah total jumlah perubahan harga untuk sekuritas tertentu. Dengan demikian, jika sampel perubahan harga untuk saham mengandung 1.300 pengamatan, maka prosedur varians berurutan untuk pernyataan (10) akan digunakan untuk menghitung lima puluh enam perkiraan α yang berbeda. Untuk setiap saham, median perkiraan α yang berbeda yang dihasilkan oleh prosedur varians berurutan dihitung. Nilai median α ini ditunjukkan pada kolom (3) Tabel 9.

Namun harus kami tekankan bahwa dari tiga prosedur untuk memperkirakan α yang digunakan dalam laporan ini, teknik varians berurutan mungkin merupakan prosedur yang paling lemah. Seperti penggambaran grafik probabilitas dan analisis rentang, perilaku pengambilan sampel teoretisnya tidak diketahui, karena pernyataan eksplisit untuk fungsi kepadatan distribusi Pareto stabil tidak diketahui. Akan tetapi selain itu, prosedur varians berurutan bergantung pada sifat-sifat perkiraan berurutan parameter sampel. Teori pengambilan sampel untuk perkiraan parameter berurutan tidak dikembangkan dengan baik bahkan untuk kasus dimana pernyataan eksplisit untuk fungsi kepadatan variabel dasar diketahui. Karena itu, kita dapat mengetahui bahwa pada umumnya varians sampel berurutan tumbuh secara proporsional ke (n1/n0)–1+2/α tetapi kita tidak tahu seberapa besar sampel harusnya sebelum kecenderungan pertumbuhan ini dapat digunakan untuk membuat perkiraan α yang berarti.

Masalah dalam memperkirakan α dengan prosedur varians berurutan digambarkan pada Tabel 7 yang menunjukkan semua perkiraan yang berbeda untuk American Tobacco. Perkiraannya cukup berubah-ubah. Mereka berkisar dari 0,46 sampai 18,54. Membaca di setipa baris pada tabel tersebut menjadikannya jelas bahwa perkiraan tersebut sangat sensitif terhadap titik akhir (n1) interval perkiraan. Membaca menuruni setiap kolom, kita bisa melihat bahwa mereka juga sangat sensitif terhadap titik awal (n0).

TABEL 7

PERKIRAAN α UNTUK AMERICAN TOBACCO DENGAN PROSEDUR VARIANS BERURUTAN

Melalui perbedaan, Tabel 8 menunjukkan perkiraan α yang berbeda untuk American Tobacco yang dihasilkan oleh prosedur analisis rentang. Berbeda dengan perkiraan varians berurutan, perkiraan pada Tabel 8 relatif stabil. Mereka berkisar dari 1,67 sampai 2,06. Selain itu, hasil untuk American Tobacco cukup mewakili. Untuk setiap saham, perkiraan yang dihasilkan oleh prosedur varians berurutan menunjukkan penyebaran yang jauh lebih besar daripada yang perkiraan lakukan yang dihasilkan oleh analisis rentang. Oleh karena itu, tampaknya aman untuk menyimpulkan bahwa analisis rentang merupakan prosedur perkiraan yang jauh lebih tepat daripada analisis varians berurutan.

TABEL 8

PERKIRAAN α UNTUK AMERICAN TOBACCO DENGAN PROSEDUR ANALISIS RENTANG

RENTANGINTERVAL PENJUMLAH (HARI)

Empat Sembilan Sembilan belas

Interkuartil 1,98 1,99 1,67

Interextile 1,99 1,87 1,70

Interdecile 1,80 2,02 1,87

5 persen 1,86 1,99 2,06

2 persen 1,80 1,89 1,70

3. PERBANDINGAN TIGA PROSEDUR UNTUK MEMPERKIRAKAN α

Tabel 9 menunjukkan perkiraan α yang diberikan oleh tiga prosedur yang dibahas di atas. Kolom (1) menunjukkan perkiraan yang dihasilkan oleh prosedur penggambaran grafik probabilitas normal log ganda. Karena sifat teknik ini yang subjektif, yang terbaik yang bisa dilakukan adalah untuk memperkirakan interval di mana nilai yang sebenarnya kelihatannya akan jatuh. Kolom (2) menunjukkan perkiraan α berdasarkan pada analisis rentang, sementara kolom (3) menunjukkan perkiraan berdasarkan pada prosedur varians berurutan.

Alasan mengapa teknik yang berbeda untuk memperkirakan α digunakan, serta kelemahan setiap teknik, sepenuhnya dibahas dalam bagian yang sebelumnya. Pada saat ini, kami hanya merangkum pembahasan yang sebelumnya.

Pertama-tama, karena pernyataan eksplisit untuk fungsi kepadatan distribusi Pareto stabil merupakan, kecuali untuk kasus tertentu yang sangat khusus, tidak diketahui, teori

pengambilan sampel untuk parameter distribusi ini praktisnya tidak ada. Karena tidak mungkin membuat pernyataan yang kuat tentang kesalahan pengambilan sampel untuk setiap penilai yang ditentukan, satu-satunya alternatif adalah untuk menggunakan banyak penilai yang berbeda untuk parameter yang sama dalam upaya setidaknya untuk mengumpulkan nilai yang sebenarnya.

Selain kurangnya teori pengambilan sampel, setiap teknik untuk memperkirakan α memiliki kelemahan tambahan. Misalnya, prosedur yang didasarkan pada sifat-sifat grafik log ganda dan probabilitas normal sepenuhnya subjektif. Prosedur rentang, di sisi lain, bisa sensitif terhadap apa saja yang ketergantungan seri ada dalam data sampel. Akhirnya, teknik varians berurutan menghasilkan perkiraan yang tidak tentu dan sangat tergantung pada interval waktu yang dipilih untuk perkiraan.

Namun ini tidak sepenuhnya masuk akal bahwa kesalahan dan bias dalam berbagai penilai dapat, hingga batas tertentu, mengimbangi. Masing-masing dari ketiga prosedur menyajikan pendekatan yang sangat berbeda kepada masalah perkiraan. Oleh karena itu, ada alasan yang bagus untuk mengharapkan hasil yang mereka hasilkan agar menjadi independen. Setidaknya, tiga prosedur perkiraan yang berbeda harus memungkinkan kita untuk memutuskan apakah α secara ketat kurang dari 2, sebagaimana yang diusulkan oleh hipotesis Mandelbrot, atau sama dengan 2, seperti yang diusulkan oleh hipotesis Gaussian.

TABEL 9

PERBANDINGAN PERKIRAAN EKSPONEN KARAKTERISTIK

Bahkan pandangan sekilas yang kebetulan pada Tabel 9 cukup menunjukkan bahwa perkiraan α yang dihasilkan oleh tiga prosedur yang berbeda secara konsisten kurang dari 2. Dalam kombinasi dengan hasil yang dihasilkan oleh distribusi frekuensi dan grafik

SahamGrafik Probabilitas Normal Log Ganda

(2)

Analisis Rentang

(2)

Varian Berurutan

(3)

Rata-rata

probabilitas normal, ini tampaknya menjadi bukti yang meyakinkan yang mendukung hipotesis Mandelbrot.

F. KESIMPULAN

Singkatnya, hasil Bagian III dan IV tampaknya menunjukkan bahwa perubahan harian pada harga log saham perusahaan besar yang sempurna mengikuti distribusi Pareto stabil dengan eksponen karakteristik mendekati 2, tetapi meskipun begitu kurang dari 2. Dengan kata lain, hipotesis Mandelbrot tampaknya lebih cocok dengan data daripada hipotesis Gaussian. Dalam Bagian IV, implikasi kesimpulan ini akan diuji dari banyak sudut pandang. Di bagian yang selanjutnya, kami mengalihkan perhatian kami kepada uji asumsi kebebasan model random walk.

V UJI UNTUK KETERGANTUNGAN

Pada bagian ini, tiga pendekatan utama kepada pengujian untuk ketergantungan akan diikuti. Yang prtama adalah aplikasi langsung model korelasi seri yang biasa; yang kedua akan memanfaatkan pendekaran baru terhadap teori keacakan; sementara yang ketika akan melibatkan teknik filter Alexander [1], [2] yang terkenal.

Di sepanjang bagian ini, kita akan tertarik pada kebebasan dari dua sudut pandang, sudut pandang ahli statistik dan investor. Dari sudut pandang ahli statistik, kami tertarik menentukan apakah penyimpangan dari normalitas dalam distribusi perubahan harga dikarenakan pola ketergantungan dalam perubahan yang berturut-turut. Artinya, kami ingin menentukan apakah ketergantungan dalam perubahan harga yang berturut-turut menjelaskan ekor panjang yang telah diamati dalam distribusi empiris. Di sisi lain dari sudut pandang investor, kami tertarik untuk menguji apakah ada ketergantungan dalam keacakan tersebut yang bisa dia gunakan untuk menambah keuntungannya yang diharapkan.

A. KORELASI SERI

1. MODELKoefisien korelasi seri ( ) memberikan ukuran hubungan antara nilai variabel acak

pada waktu t dan nilainya T periode yang sebelumnya. Misalnya, untuk variabel ut, yang ditentukan sebagai perubahan pada harga log sekuritas tertentu dari akhir hari t – 1 hingga akhir hari t, koefisien korelasi serial untuk lag T adalah

. (11)

Jika distribusi ut memiliki varians yang terbatas, maka dalam sampel yang sangat besar, kesalahan standar akan diberikan oleh

dimana N adalah ukuran sampel (lih. Kendal [25]).Namun bagian yang sebelumnya telah menunjukkan bahwa distribusi ut merupakan

Pareto stabil dengan eksponen karakteristik α kurang dari 2. Dengan demikian, asumsi varians yang terbatas mungkin tidak berlaku, dan sebagai akibatnya persamaan (12) bukanlah ukuran kesalahan standar yang tepat, bahkan untuk sampel yang sangat besar. Selain itu,

karena varians ut memasuki penyebut pernyataan untuk , akan kelihatan diragukan apakah analisis korelasi serial merupakan alat yang cukup untuk menguji data kita.

Namun Wise [49] telah menyebutkan bahwa selama eksponen karakteristik α proses Pareto stabil yang pokok lebih besar dari 1, statistik r, merupakan perkiraan yang konsisten dan tidak berbias untuk korelasi serial yang sebenarnya dalam populasi. Artinya, perkiraan sampel tidak berbias dan bertemu dalam probabilitas ke nilai populasinya saat ukuran sampel mendekati tidak terbatas.31

Untuk menjelaskan tingkat konvergensi ketika α ˂ 2, koefisien korelasi serial untuk lag T = 1 telah dihitung secara berurutan untuk setiap saham atas dasar perbedaan pertama yang diacak. Tujuan pengacakan adalah untuk memastikan bahwa harapan koefisien serial adalah nol. Prosedurnya terlebih dahulu untuk menyusun ulang secara acak susunan perbedaan pertama untuk setiap saham dan kemudian menghitung koefisien korelasi serial sampel kumulatif untuk ukuran sampel n = 5, 10, . . ., N. dengan demikian, kecuali lima pengamatan tambahan, masing-masing sampel mengandung nilai u yang sama seperti yang sebelumnya.

Meskipun penilai r1 konsisten dan tidak berbias, kita harus berharap bahwa, ketika α ˂ 2, variabilitas koefisien korelasi serial sampel akan lebih besar daripada jika distribusi ut

memiliki varians yang terbatas. Akan tetapi, perkiraan harus bertemu ke nilai yang sebenarnya, nol, saat ukuran sampel ditambah. Untuk menilai variabilitas koefisien sampel, dua σ batas kontrol dihitung dengan formula

Meskipun hasilnya harus dinilai secara subjektif, koefisien korelasi serial sampel untuk perbedaan pertama yang diacak tampaknya menjebol batas kontrol mereka hanya sedikit lebih sering daripada yang terjadi jika distribusi pokok perbedaan pertama memiliki varians yang terbatas. Dari sudut pandang konsistensi, fitur koefisien sampel yang paling penting adalah bahwa untuk setiap saham koefisien korelasi serial sangat mendekati nilai yang sebenarnya, nol, untuk sampel dengan lebih dari, katakanlah, tiga ratus pengamatan. Selain itu, koefisien sampel tetap mendekati nol setelah itu.

Untuk tujuan grafik ilustrasi koefisien korelasi acak berurutan untuk Goodyer dan U.S. Steel disajikan pada Gambar 7. Ordinat grafik menunjukkan nilai koefisien korelasi serial yang berurutan, sementara absis menunjukkan ukuran sampel yang berurutan. Garis yang tidak teratur pada grafik menunjukkan jalur koefisien sementara kurva yang halus menggambarkan dua σ batas kontrol. Fitur kedua grafik yang mencolok adalah kecepatan di mana koefisien sampel menetap hingga nilainya yang sebenarnya, nol, dan tetap mendekati nilai yang sebenarnya setelah itu. Atas dasar bukti ini, kami menyimpulkan bahwa, untuk sampel yang besar dan untuk nilai α yang diamati untuk saham kami, koefisien korelasi serial sampel tampaknya menjadi alat yang efektif dalam pengujian untuk kebebasan serial.

2. KOEFISIEN UNTUK PERUBAHAN HARIAN

Dengan menggunakan data saat mereka sebenarnya dihasilkan pada waktunya, koefisien korelasi serial sampel untuk perubahan harian pada harga log telah dihitung untuk masing-masing saham untuk lag T hari dari 1 hingga 30. Hasil untuk T = 1, 2, …, 10

31 Apa yang Wise sebenarnya tunjukkan adalah bahwa perkiraan kuadrat paling kecil dalam persamaan regresi,

Konsisten dan tidak berbias asalkan eksponen karakteristik α distribusi ξt lebih besar dari 1. Namun karena perkiraan kuadrat terkecil sama dengan perkiraan , hal ini sama dengan membuktikan bahwa perkiraan juga konsisten dan tidak berbias.

ditunjukkan pada Tabel 10. Pada dasarnya, koefisien sampel dalam tabel tersebut memberitahu kita apakah setiap perubahan harga untuk sepuluh hari terakhir kemungkinan banyak membantu dalam memprediksi perubahan keesokan hari.

Semua koefisien korelasi serial sampel pada Tabel 10 cukup kecil dalam nilai mutlak. Yang terbesar hanya .123. meskipun sebelas koefisien untuk T = 1 lebih dari dua kali kesalahan standar mereka yang dihitung, hal ini tidak dianggap penting dalam kasus ini. kesalahan standar dihitung menurut persamaan (12); dan, seperti yang kita lihat sebelumnya, formula ini mengabaikan variabilitas koefisien yang sebenarnya ketika variabel pokok merupakan Pareto stabil dengan eksponen karakteristik α ˂ 2. Selain itu, untuk sampel kami yang besar, kesalahan standar koefisien korelasi serial sangatlah kecil. Di kebanyakan kasus, koefisien yang sekecil .06 lebih dari dua kali kesalahan standarnya. “Ketergantungan” urutan besarnya tersebut, dari sudut pandang praktis, kemungkinan menjadi tidak penting bagi ahli statistik dan investor.

3. KOEFISIEN UNTUK PERUBAHAN EMPAT, SEMBILAN, DAN ENAM BELAS HARI

Meskipun koefisien korelasi serial sampel untuk perubahan harian semuanya sangat kecil, kemungkinan perubahan harga di interval pembeda yang lebih lama akan menunjukkan bukti ketergantungan yang lebih kuat. Untuk mengujinya, koefisien korelasi serial untuk lag T

= 1, 2, …, 10 dihitung untuk masing-masing saham untuk interval pembeda empay, sembilan, dan enam belas hari yang tidak tumpang tindih. Hasil untuk T = 1 ditunjukkan di Tabel 11.32

32 Tentu saja, dalam mengambil interval pembeda yang lebih lama, ukuran sampel sangat dikurangi. Sampel untuk perubahan empat hari hanya seperempat sebesar sampel untuk perubahan harian. Demikian pula, sampel untuk perubahan sembilan dan enam belas hari hanyalah satu persembilan dan satu perenambelas sebesar sampel yang sama untuk perubahan harian.

GAMBAR 7.–Koefisien korelasi serial berurutan yang diacak

Sekali lagi, semua koefisien korelasi serial sampel cukup kecil. Pada umumnya, ukuran mutlak koefisien kelihatan meningkat dengan interval pembeda. Namun hal ini tidak berarti bahwa perubahan harga atas interval pembeda yang lebih lama menunjukkan lebih banyak ketergantungan, karena kita tahu bahwa variabilitas r berbanding terbalik terkait dengan ukuran sampel. Faktanya ukuran rata-rata koefisien yang relatif dengan kesalahan standar mereka menurun dengan interval pembeda. Hal ini ditunjukkan oleh fakta bahwa untuk interval pembeda empat, sembilan, dan enam belas hari masing-masing ada lima, dua, dan satu koefisien yang lebih besar daripada dua kali kesalahan standar mereka pada Tabel 11.

Fitur Tabel 10 dan 11 yang menarik adalah pola yang ditunjukkan oleh tanda-tanda koefisien korelasi serial untuk lag T = 1. Pada Tabel 10, dua puluh tiga dari tiga puluh koefisien urutan pertama untuk perbedaan harian adalah positif, sementara dua puluh satu dan dua puluh empat dari koefisien untuk perbedaan empat dan sembilan hari adalah negatif di Tabel 11. Untuk perbedaan enam belas hari, tanda-tandanya hampir terbagi rata. Tujuh belas adalah positif dan tiga belas negatif.

Dominasi tanda-tanda positif dalam koefisien untuk perubahan harian konsisten dengan hasil Kendall [26] untuk perubahan harian di harga saham industri Inggris. Di sisi lain, hasil untuk perbedaan empat dan sembilan hari sesuai dengan hasil Cootner [10] dan Moore [41], keduanya yang menemukan dominasi tanda-tanda negatif dalam koefisien korelasi serial perubahan mingguan pada harga log saham di Bursa Efek New York.

TABEL 10

KOEFISIEN KORELASI SERIAL HARIAN UNTUK LAG T = 1, 2, …, 10

*Koefisiennya dua kali kesalahan standarnya yang dihitung.

Namun mengingat ukuran mutal koefisien korelasi serial selalu cukup kecil, kesesuaian dalam tanda di antara koefisien untuk sekuritas yang berbeda tidak selalu menjadi bukti untuk pola ketergantungan yang konsisten. King [27] telah menunjukkan bahwa perubahan harga untuk sekuritas yang berbeda terkait (meskipun tidak semua hingga batas yang sama) dengan perilaku komponen “pasar” yang sama dengan semua sekuritas. Untuk periode pengambilan sampel yang ditentukan, koefisien korelasi serial untuk sekuritas tertentu sebagian akan ditentukan oleh perilaku serial komponen pasar ini dan sebagian oleh perilaku serial faktor-faktor yang khas dengan sekuritas tersebut dan mungkin juga industrinya. Namun karena komponen pasar sama bagi semua sekuritas, perilakunya selama periode pengambilan sampen mungkin cenderung menghasilkan tanda umum untuk koefisien korelasi serial semua sekuritas yang berbeda. Dengan demikian, meskipun kedua komponen pasar dan faktor-faktor khas perusahaan dan industri masing-masing dapat ditandai dengan kebebasan serial, perilaku sampel komponen pasar selama periode waktu tertentu dapat diharapkan untuk menghasilkan kesesuaian di antara tanda-tanda koefisien korelasi serial sampel untuk sekuritas yang berbeda. Fakta bahwa kesesuaian dalam tanda ini yang disebabkan oleh kesalahan pengambilan sampel yang murni dalam komponen acak yang sama bagi semua efek ini dibuktikan dengan ukuran absolut koefisien sampel yang kecil. Hal ini juga dibuktikan oleh fakta bahwa, meskipun studi yang berbeda telah selalu menemukan semacam konsistensi dalam tanda, arah sebenarnya dari "ketergantungan" bervariasi dari studi per studi.33

33 Model ini, dalam bentuk yang agak digampangkan, adalah sebagai berikut. Perubahan pada harga log saham j selama hari t adalah fungsi linear perubahan dalam komponen pasar, It, dan istilah kesalahan acak, ξtj, yang mengungkapkan faktor yang khusus dimiliki oleh sekuritas individu. Wujud fungsi utj = bjIt + ξtj, dimana diasumsikan bahwa It dan ξtj keduanya dapat berdiri sendiri secara serial dan bahwa ξ tj dapat berdiri sendiri dari nilai-nilai It yang sekarang dan sebelumnya. Jika kita lebih lanjut mengasumsikan, hanya untuk kemudahan,

SAHAM

TABEL 11

KOEFISIEN KORELASI SERIAL URUTAN PERTAMA UNTUK PERUBAHAN EMPAT, SEMBILAN, DAN ENAM BELAS HARI

*Koefisiennya dua kali kesalahan standarnya yang dihitung.

Singkatnya, bukti yang dihasilkan oleh model korelasi serial tampaknya menunjukkan bahwa ketergantungan pada perubahan harga yang berturut-turut benar-benar sedikit ataupun sama sekali tidak ada. Namun kesimpulan ini harus dianggap sementara, hingga hasil yang lebih lanjut, yang akan diberikan oleh keacakan tes bagian yang selanjutnya, diuji.

B. UJI KEACAKAN

1. PENDAHULUAN

Keacakan didefinisikan sebagai urutan perubahan harga dari tanda yang sama. Misalnya, keacakan plus panjang i adalah urutan perubahan harga positif konsekutif i yang didahului dan diikuti oleh perubahan negatif maupun nol. Untuk harga saham, ada tiga kemungkinan tiga jenis perubahan harga yang berbeda dan karena itu tiga jenis keacakan yang berbeda.

Pendekatan untuk pengujian keacakan dalam bagian ini agak baru. Perbedaan antara jumlah keacakan yang diharapkan dan sebenarnya akan dianalisis dengan tiga cara yang

bahwa E(ξtj) = E(It) = 0 untuk semua t dan j, kita memiliki

Meskipun nilai kovarian yang diharapkan di sisi kanan persamaan semuanya adalah nol, nilai sampel mereka untuk setiap jangka waktu yang ditentukan biasanya tidak akan sama dengan nol. Karena cov (I t, I t – T) akan sama untuk semua j, maka akan cenderung membuat tanda cov (utj, ut-T, j) yang sama untuk j yang berbeda. Pada dasarnya, kita mengatakan bahwa koefisien korelasi serial untuk sekuritas yang berbeda untuk lag dan jangka waktu tertentu tidak dapat berdiri sendiri dari satu sama lain. Dengan demikian, kita seharusnya tidak terkejut ketika kita menemukan dominasi tanda-tanda di satu arah atau yang lain.

SAHAMPERBEDAAN INTERVAL (HARI)

Empat Sembilan Enam belas

berbeda, pertama dengan total, kemudian dengan tanda, dan akhirnya dengan panjang. Pertama, untuk setiap saham, perbedaan antara total jumlah keacakan yang sebenarnya, terlepas dari tanda, dan total jumlah yang diharapkan akan diuji. Selanjutnya, jumlah total dan sebenarnya dari keacakan perubahan plus, minus, dan tidak ada akan dipelajari. Akhirnya, untuk keacakan masing-masing tanda, jumlah keacakan yang diharapkan dan yang sebenarnya dari setiap panjang akan dihitung.

2. JUMLAH TOTAL KEACAKAN YANG SEBENARNYA DAN DIHARAPKAN

Jika diasumsikan bahwa proporsi sampel perubahan harga positif, negatif, dan nol merupakan perkiraan proporsi populasi yang baik, maka dengan hipotesis kebebasan, jumlah total keacakan yang diharapkan dari semua tanda untuk saham dapat dihitung sebagai

dimana N adalah jumlah total perubahan harga, dan ni adalah jumlah perubahan harga dari setiap tanda. Kesalahan standar m adalah

dan untuk N yang besar, distribusi pengambilan sampel m kira-kira normal.34

Tabel 12 menunjukkan jumlah total keacakan yang diharapkan dan sebenarnya untuk setiap saham untuk perubahan harga satu, empat, sembilan, dan enam belas hari. Untuk perubahan harian, jumlah keacakan yang diharapkan kurang dari jumlah yang diharapkan dalam dua puluh enam dari tiga puluh kasus. Hal ini sesuai dengan hasil yang dihasilkan oleh koefisien korelasi serial. Pada Tabel 10, dua puluh tiga dari tiga puluh koefisien korelasi serial urutan pertama adalah positif. Namun untuk perbedaan empat dan sembilan hari, hasil uji keacakan tidak memberikan dukungan kepada hasil yang dihasilkan oleh koefisien korelasi serial. Pada Tabel 11, dua puluh satu dan dua puluh empat koefisien korelasi serial untuk perubahan empat dan sembilan hari adalah negatif. Agar konsisten dengan ketergantungan negatif, jumlah keacakan yang sebenarnya di Tabel 12 harus lebih besar daripada jumlah yang diharapkan untuk interval pembeda ini. Bahkan untuk perubahan empat hari, jumlah keacakan yang sebenarnya lebih besar daripada jumlah yang diharapkan untuk hanya tiga belas dari tiga puluh saham, dan untuk perubahan sembilan hari, jumlah yang sebenarnya lebih besar daripada jumlah yang diharapkan dalam dua belas kasus saja. Untuk perbedaan enam belas hari, tidak ada bukti untuk ketergantungan dari bentuk apa pun dalam koefisien korelasi serial maupun uji keacakan.

TABEL 12

34 Lih. Wallis dan Roberts [48], hlm. 569–72. Harus diperhatikan bahwa sifat asimtotik distribusi pengambilan sampel m tidak bergantung pada asumsi varian yang terbatas untuk distribusi perubahan harga. Kita lihat sebelumnya bahwa hal ini tidaklah benar untuk distribusi pengambilan sampel koefisien korelasi serial. Khususnya, kecuali untuk properti konsistensi dan ketidakbiasan, kami tahu sangat sedikit tentang distribusi koefisien korelasi serial ketika perubahan harga mengikuti distribusi Pareto stabil dengan eksponen karakteristik α ˂ 2. Dari sudut pandang ini setidaknya, pengujian keacakan merupakan, untuk tujuan kami, cara yang lebih baik untuk menguji kebebasan daripada analisis korelasi serial.

JUMLAH TOTAL KEACAKAN YANG SEBENARNYA DAN DIHARAPKAN UNTUK INTERVAL PEMBEDA SATU, EMPAT, SEMBILAN, DAN ENAM BELAS HARI

Namun untuk sebagian besar tujuan, jumlah ketergantungan yang absolut pada perubahan harga lebih penting daripada apakah ketergantungan itu positif atau negatif. Jumlah ketergantungan yang ditunjukkan oleh uji keacakan dapat digambarkan oleh ukuran perbedaan antara jumlah total keacakan yang sebenarnya dan jumlah total yang diharapkan. Pada Tabel 13, perbedaan ini distandarisasikan dengan dua cara.

Untuk sampel yang besar, distribusi jumlah total keacakan kira-kira normal dengan mean m dan kesalahan standar σm seperti yang ditentukan oleh persamaan (13) dan (14). Dengan demikian, perbedaan antara jumlah keacakan yang sebenarnya, R, dan jumlah yang diharapkan dapat dinyatakan melaui variabel standarisasi yang biasa

dimana ½ dalam pembilang adalah penyesuaian diskontinuitas. Untuk sampel yang lebih besar, K kira-kira akan menjadi normal dengan mean 0 dan varians 1. Kolom yang dilabeli K pada Tabel 13 menunjukkan variabel standarisasi untuk empat interval pembeda. Selain itu, kolom yang dilabeli (R – m) / m menunjukkan perbedaan antara jumlah keacakan yang sebenarnya dan diharapkan sebagai proporsi jumlah yang diharapkan.

Untuk perubahan harga haria, nilai K menunjukkan bahwa untuk delapan saham, jumlah keacakan yang sebenarnya lebih dari dua kesalahan standar yang kurang dari jumlah yang diharapkan. Namun perhatian diperlukan dalam mengambil kesimpulan dari hasil ini. Jumlah keacakan yang diharapkan meningkat hampir sebanding dengan ukuran sampel, sementara kesalahan standarnya meningkat secara proporsional dengan akar kuadrat ukuran sampel. Dengan demikian, perbedaan persentase yang konstan tapi kecil antara jumlah

SAHAMHARIAN EMPAT HARI

SEMBILAN HARI

ENAM BELAS HARI

Sebenarnya

Diharapkan

Sebenarnya

Diharapkan

Sebenarnya

Diharapkan

Sebenarnya

Diharapkan

Rata-rata

keacakan yang diharapkan dan sebenarnya akan menghasilkan nilai variabel standarisasi yang semakin tinggi seiring bertambahnya ukuran sampel. Misalnya, untuk General Foods, jumlah keacakan yang sebenarnya sekitar 3 persen kurang dari jumlah yang diharapkan untuk perubahan harian maupun perubahan empat hari. Namun variabel standarisasi berjalan dari –1,46 untuk perubahan harian ke –0,66 untuk perubahan empat hari.

Pada umumnya, perbedaan persentase antara jumlah keacakan yang sebenarnya dan yang diharapkan cukup kecil, dan hal ini kemungkinan menjadi ukuran ketergantungan yang lebih relevan.

3. JUMLAH KEACAKAN SETIAP TANDA YANG SEBENARNYA DAN DIHARAPKAN

Jika tanda perubahan harga dihasilkan oleh proses Bernoulli yang independen dengan probabilitas P(+), P(–), dan P(0) untuk ketiga jenis perubahan untuk sampel yang besar, jumlah keacakan plus yang diharapkan dari panjang i dalam sampel N perubahan35 kira-kira akan menjadi

Jumlah keacakan plus yang diharapkan dari semua panjang adalah

Demikian pula, jumlah keacakan perubahan minus dan tidak ada yang diharapkan dari panjang adalah

dan (18)Untuk saham tertentu, hitungan jumlah perubahan keacakan plus, minus, dan tidak

ada akan menjadi sama dengan jumlah total keacakan semua tanda yang diharapkan, seperti yang ditentukan dalam bagian sebelumnya. Dengan demikian, pernyataan di atas memberikan perincian jumlah total keacakan yang diharapkan menjadi jumlah keacakan masing-masing tanda yang diharapkan.

Namun untuk tujuan yang sekarang, tidak diinginkan menghitung perincian dengan tanda jumlah total keacakan yang diharapkan. Hal ini akan mengaburkan hasil bagian ini, karena kita tahu bahwa untuk beberapa interval pembeda, ada perbedaan yang konsisten antara jumlah total keacakan yang sebenarnya dari semua tanda dan jumlah total yang diharapkan. Sebagai contohnya, untuk dua puluh enam dari tiga puluh saham, jumlah total keacakan yang diharapkan dari semua tanda untuk perubahan harian lebih besar daripada jumlah total yang sebenarnya. Jika jumlah total keacakan yang diharapkan digunakan untuk menghitung jumlah keacakan setiap tanda yang diharapkan, maka jumlah yang diharapkan oleh tanda akan cenderung menjadi lebih besar daripada jumlah yang sebenarnya. Dan inilah yang akan terjadi meskipun perincian jumlah total keacakan yang sebenarnya menjadi jumlah keacakan setiap tanda yang sebenarnya sepadan dengan perincian yang diharapkan.

TABEL 13

ANALISIS KEACAKAN: VARIABEL STANDARISASI DAN PERBEDAAN PERSENTASE

35 Lih. Hald [21], hlm. 342–53.

Inilah situasi yang ingin kita hindari di bagian ini. Apa yang akan kita uji di sini adalah perbedaan antara perincian yang diharapkan dengan tanda jumlah total keacakan yang diharapkan dan perincian yang sebenarnya. Untuk melakukannya, kita sekarang harus menentukan metode penghitungan perincian yang diharapkan oleh tanda jumlah total keacakan yang sebenarnya.

Probabilitas keacakan plus dapat dinyatakan sebagai rasio jumlah keacakan plus yang diharapkan dalam sampel ukuran N untuk jumlah total keacakan semua tanda yang diharapkan, atau sebagai

Demikian pula, probabilitas keacakan perubahan minus dan tidak ada dapat dinyatakan sebagai

P(– keacakan) (20), dan

P(0 keacakan) = N P(0)[1 – P(0)]/m. (21)

Perincian yang diharapkan oleh tanda jumlah total keacakan yang sebenarnya (R) kemudian diberikan oleh

,

(22), dan

,

SAHAMHARIAN EMPAT HARI

SEMBILAN HARI

ENAM BELAS HARI

Rata-rata

dimana , , dan merupakan jumlah keacakan perubahan plus, minus, dan tidak ada yang diharapkan. Formulasi ini telah digunakan untuk menghitung jumlah keacakan yang diharapkan setiap tanda untuk masing-masing saham untuk interval pembeda dari satu, empat, sembilan, dan enam belas hari. Jumlah keacakan yang sebenarnya dan perbedaan antara jumlah yang sebenarnya dan yang diharapkan juga telah dihitung. Hasil untuk perubahan harian ditunjukkan pada Tabel 14. Hasil untuk perubahan empat, sembilan, dan enam belas hari mirip, sehingga mereka dihilangkan.

TABEL 14

ANALISIS KEACAKAN DENGAN TANDA (PERUBAHAN HARIAN)

Perbedaan antara jumlah keacakan yang sebenarnya dan yang diharapkan semuanya sangat kecil. Selain itu, kelihatannya tidak ada pola yang penting pada tanda perbedaan. Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa perincian keacakan yang sebenarnya oleh tanda sangat erat sesuai dengan perincian yang akan diharapkan jika tanda tersebut dihasilkan oleh proses Bernoulli yang independen.

4. DISTRIBUSI KEACAKAN DENGAN PANJANG

Pada bagian ini, distribusi keacakan dengan panjang yang sebenarnya dan yang diharapkan akan diuji. Seperti di bagian yang sebelumya, upaya akan dilakukan untuk memisahkan analisis dari hasil uji keacakan yang dibahas sebelumnya. Untuk mencapai hal ini, perbedaan antara jumlah total keacakan yang sebenarnya dan yang diharapkan dan yang ada di antara jumlah keacakan yang sebenarnya dan diharapkan dari setiap tanda akan diambil seperti yang diberikan. Penekanan akan ditempatkan pada distribusi yang diharapkan oleh panjang jumlah total keacakan setiap tanda yang sebenarnya.

SAHAM

POSITIF NEGATIF TANPA PERUBAHAN

Sebenarnya

Diharapkan

Sebenarnya

Diharapkan

Sebenarnya

Diharapkan

Sebenarnya-

DiharapkaSebenarny

a-Diharapka

Sebenarnya-Diharapkan

Seperti yang ditunjukkan sebelumnya, jumlah keacakan plus panjang i yang diharapkan dalam sampel perubahan harga N adalah NP(+)i[1 – P(+)]2, dan jumlah total keacakan plus yang diharapkan adalah NP(+)[1 – P(+)]. Dari jumlah total keacakan plus yang diharapkan, proporsi keacakan plus panjang i yang diharapkan adalah

Proporsi ini setara dengan probabilitas bersyarat keacakan plus panjang i, mengingat keacakan plus telah diamati. Hitungan probabilitas bersyarat untuk keacakan plus semua panjang adalah satu. Probabilitas bersyarat analog untuk keacakan perubahan minus dan tidak ada adalah

Probabilitas ini dapat digunakan untuk menghitung distribusi yang diharapkan dengan panjang jumlah total keacakan setiap tanda yang sebenarnya. Formula untuk jumlah keacakan perubahan plus, minus, dan tidak ada yang diharapkan dari panjang i, i = 1, . . ., ∞, adalah

dimana i(+), i(-), i(0) adalah jumlah keacakan perubahan plus, minus dan tidak ada yang diharapkan dari panjang i, sementara R(+), R(–), dan R(0) adalah jumlah total keacakan perubahan plus, minus, dan tidak ada yang sebenarnya. Tabel yang menunjukkan distribusi keacakan yang diharapkan dan yang sebenarnya oleh panjang telah dihitung untuk masing-masing saham untuk interval pembeda satu, empat, sembilan, dan enam belas hari. Tabel untuk perubahan harian tiga sekuritas yang dipilih secara acak ditemukan bersama di Tabel 15. Tabel menunjukkan, untuk keacakan masing-masing tanda, probabilitas keacakan setiap panjang dan jumlah keacakan masing-masing panjang yang diharapkan dan yang sebenarnya. Pertanyaan yang dijawab oleh tabel tersebut adalah sebagai berikut: Mengingat jumlah total keacakan setiap tanda yang sebenarnya, bagaimanakah kami akan mengharapkan total agar didistribusikan di antara keacakan panjang yang berbeda dan apa ang dimaksud distribusi yang sebenarnya?

Untuk semua saham, distribusi keacakan yang diharapkan dan yang sebenarnya dengan panjang kenyataannya sangat sama. Mengagumkan adalah fakta bahwa terdapat sangat sedikit keacakan yang panjang, yaitu keacakan panjang yang lebih panjang dari tujuh atau delapan. Tampaknya tidak ada kecenderungan untuk jumlah keacakan panjang untuk menjadi lebih tinggi daripada yang diharapkan dengan hipotesis kebebasan.

5. RINGKASAN

Ada sedikit bukti, entah itu dari korelasi serial ataupun dari berbagai uji keacakan, tentang tingkat ketergantungan yang besar dalam perubahan harga harian, empat hari, sembilan hari, dan enam belas hari. Sepanjang yang menyangkut uji tersebut, tampaknya setiap ketergantungan yang ada dalam rangkaia ini tidak cukup kuat untuk digunakan untuk meningkatkan keuntungan pedagang yang diharapkan ataupun untuk menjelaskan penyimpangan dari normalitas yang telah diamati dalam distribusi empiris perubahan harga. Artinya, sepanjang yang menyangkut uji tersebut, tidak ada bukti ketergantungan penting dari sudut pandang investasi ataupun statistik.

dan

Namun harus kami tekankan bahwa meskipun korelasi serial dan uji keacakan merupakan alat umum untuk menguji ketergantungan, ada situasi di mana mereka tidak memberikan uji ketergantungan praktis ataupun statistik yang cukup. Misalnya, dari sudut pandang praktis, chartist tidak akan menganggap salah satu jenis analisis sebagai uji yang cukup tentang apakah sejarah keacakan yang sebelumnya dapat digunakan untuk meningkatkan keuntungan investor yang diharapkan. Hubungan linear yang sederhana yang mendasari model korelasi serial terlalu sederhana untuk mengambil “pola” yang rumit yang chartist cari pada harga saham. Demikian pula uji keacakan terlalu kaku dalam pendekatan mereka untuk menentukan dutasi pergerakan naik dan turun dalam harga. Secara khusus, keacakan dihentikan kapan saja ada perubahan pada tanda dalam urutan perubahan harga, terlepas dari ukuran perubahan harga yang menyebabkan perubahan pada tanda. Seorang chartist ingin memiliki metode yang lebih maju untuk mengidentifikasi pergerakan–suatu metode yang tidak selalu memprediksi dihentikannya pergerakan hanya karena tingkat harga sementara telah berubah arah. Salah satu metode tersebut, teknik filter Alexander, akan dibahas di bagian yang selanjutnya.

Di sisi lain, juga ada kemungkinan kelemahan untuk korelasi serial dan uji keacakan dari sudut pandang statistik. Misalnya, kedua model hanya menguji ketergantungan yang ada di sepanjang data. Namun mungkin bahwa perubahan harga tergantung hanya di kondisi khusus. Sebagai contohnya, meskipun perubahan kecil dapat menjadi independen, perubahan yang besar mungkin cenderung diikuti secara konsisten oleh perubahan besar tanda yang sama, atau mungkin oleh perubahan besar tanda yang berlawanan. Salah satu versi hipotesis ini juga akan diuji nantinya.

C. TEKNIK FILTER ALEXANDER

Uji kebebasan yang dibahas sejauh ini dapat diklasifikasikan sebagai terutama statistik. Artinya, mereka melibatkan penghitungan perkiraan sampel statistik tertentu dan kemudian perbandingan hasil dengan apa yang diharapkan dengan asumsi kebebasan perubahan harga yang berturut-turut. Karena perkiraan sampel sesuai erat dengan nilai-nilai yang akan diharapkan oleh model independen, kami menyimpulkan bahwa asumsi kebebasan model random-walk diperkuat oleh data. Dari sini kita kemudian menyimpulkan bahwa tidak mungkin ada aturan perdagangan mekanik yang hanya didasarkan pada sifat-sifat sejarah masa lalu perubahan harga yang dapat digunakan untuk membuat keuntungan pedagang yang diharapkan yang lebih besar dari yang seharusnya dengan aturan buy-and-hold sederhana. Namun kami tekankan bahwa sampai sekarang, ini hanyalah sebuah kesimpulan; profitabilitas yang sebenarnya aturan perdagangan mekanik belum diuji secara langsung. Dalam bagian ini, salah satu aturan perdagangan tersebut, teknik filter Alexander [1], [2], akan dibahas.

Suatu filter x persen didefinisikan sebagai berikut. Jika harga penutupan harian sekuritas tertentu bergerak naik setidaknya x persen, beli dan tahan sekuritas sampai harganya bergerak turun setidaknya x persen dari puncak yang berikutnya, pada saat yang bersamaan menjual dan menjual. Posisi setuju untuk menjual ini dipertahankan sampai harga penutupan harian naik setidaknya x persen di atas minimal yang berikutnya, pada saat yang seseorang harus secara bersamaan menutup dan membeli. Bergerak kurang dari x persen di kedua arah diabaikan.

Dalam tulisannya yang sebelumnya [1, Tabel 7], Alexander melaporkan uji teknik filter untuk filter berukuran mulai dari 5 persen hingga 50 persen. Uji ini mencakup periode waktu yang berbeda dari tahun 1897-1959 dan melibatkan “harga” penutupan untuk dua indeks, Dow-Jones Industrials dari tahun 1897-1929 dan Standard and Poor`s Industrials dari tahun 1929–1959. Hasil Alexander menunjukkan bahwa, pada umumnya, filter dari semua ukuran yang berbeda dan untuk semua periode waktu yang berbeda menghasilkan

keuntungan yang besar–memang, keuntungan secara signifikan lebih besar daripada yang dihasilkan oleh kebijakan buy-dan-hold sederhana. Hal ini membuatnya menyimpulkan bahwa asumsi kebebasam model random-walk tidak diperkuat oleh datanya.

Namun Mandelbrot [37] menemukan cacat dalam perhitungan Alexander yang menyebabkan pernyataan berlebih-lebihan profitabilitas filter yang serius. Alexander beranggapan bahwa pedagang hipotetisnya bisa selalu membeli dengan harga yang persis sama dengan minimal ditambah x persen dan menjual dengan harga yang persis sama dengan maksimal dikurangi x persen. Tentu saja tidak ada jaminan bahwa harga seperti itu pernah ada. Bahkan, sejak aturan filter didefinisikan berkenaan dengan palung ditambah setidaknya x persen atau puncak dikurangi setidaknya x persen, harga pembelian biasanya menjadi sesuatu yang lebih tinggi dari minimal ditambah x persen, sedangkan harga jual biasanya akan berada di bawah maksimal dikurangi x persen.

Namun dalam sebuah makalah yang kemudian [2 Tabel 1], Alexander memperoleh faktor bias dan menggunakannya untuk memperbaiki karyanya yang sebelumnya. Dengan koreksi bias tersebut, ternyata filter hanya jarang membandingkan dengan buy-and-hold dengan baik, meskipun komisi broker yang lebih tinggi yang terjadi di bawah aturan filter diabaikan. Kemudian tampaknya setidaknya untuk keperluan investor individu hasil filter Alexander cenderung mendukung asumsi kebebasan model random walk.

Namun dalam makalah yang kemudian [2, Tabel 8, 9, 10, dan 11], Alexander melanjutkan menguji berbagai teknik perdagangan mekanik lainnya, salah satunya melibatkan bentuk sederhana dari teori Dow. Ternyata sebagian besar teknik-teknik lain memberikan keuntungan yang lebih baik daripada teknik filternya, dan memang keuntungan yang lebih baik daripada buy-and-hold. Ini sekali lagi membuatnya menyimpulkan bahwa asumsi kebebasan model random-walk telah dijungkirbalikkan.

Sayangnya kesalahan yang serius tetap ada, bahkan dalam perhitungan terbaru Alexander. Kesalahan muncul dari fakta bahwa dia mengabaikan dividen dalam menghitung keuntungan untuk semua aturan perdagangan mekanisnya. Hal ini cenderung untuk melebih-lebihkan profitabilitas aturan-aturan perdagangan ini yang berhubungan dengan buy-and-hold. Alasannya adalah sebagai berikut. Berdasarkan metode buy-and-hold, total keuntungan adalah perubahan harga untuk jangka waktu ditambah dividen yang telah dibayar. Jadi dividen bertindak hanya untuk meningkatkan profitabilitas saham yang dimiliki. Namun semua aturan perdagangan Alexander yang lebih rumit melibatkan jual kosong (short sales). Dalam jual kosong, peminjam sekuritas biasanya wajib untuk mengganti kepada pemberi pinjaman untuk setiap dividen yang dibayarkan sedangkan posisi setuju untuk menjual mudah terlihat. Sehingga mempertimbangkan dividen akan selalu cenderung mengurangi profitabilitas aturan perdagangan mekanis yang berhubungan dengan buy-and-hold. Bahkan, karena dalam perhitungan Alexander, teknik yang lebih rumit tidak jauh lebih baik dibandingkan buy-and-hold, kita akan menduga bahwa dalam banyak kasus penyesuaian yang tepat untuk dividen mungkin akan benar-benar mengubah tabel yang mendukung metode buy-and-hold.

Diskusi di atas tampaknya akan menimbulkan keraguan yang serius tentang keabsahan hasil empiris Alexander yang terbaru dan dengan demikian kesimpulan yang ia ambil dari hasil ini. Namun karena kerumitan masalah ini, keraguan ini tidak bisa sepenuhnya atau secara sistematis diselesaikan dalam batas-batas makalah ini. Dalam studi yang sekarang berlangsung, berbagai aturan perdagangan mekanis akan diuji pada data untuk sekuritas individu daripada indeks harga. Sekarang kita beralih ke diskusi tentang beberapa hasil awal penelitian ini.

TABEL 15 – DISTRIBUSI KEACAKAN YANG DIHARAPKAN DAN YANG SEBENARNYA DENGAN PANJANG

Teknik filter Alexander telah diterapkan pada rangkaian harga untuk sekuritas individual dari Dow-Jones Industrial Average yang digunakan di seluruh laporan ini. Filter dari 0,5 persen hingga 50 persen digunakan. Semua keuntungan dihitung atas dasar blok

PANJANG

KEACAKAN PLUS KEACAKAN MINUS KEACAKAN TANPA PERUBAHAN

Probabilitas

Diharapkan No.

Sebenarnya

No.

Probabilitas

Diharapkan No.

Sebenarnya

No.

Sebenarnya No.

Diharapkan No.

Probabilitas

Total

Total

Total

perdagangan 100 saham, dengan mempertimbangkan dividen dengan tepat. Artinya, jika tanggal eks dividen terjadi selama beberapa periode waktu, jumlah dividen ditambahkan ke laba bersih posisi long (membuka posisi dengan beli) yang terbuka selama periode tersebut, atau dikurangi dari laba bersih posisi short (posisi setuju untuk menjual). Keuntungan juga dihitung kotor dan bersih dari komisi broker, dimana komisi adalah komisi yang sebenarnya di banyak 100 saham pada saat transaksi. Selain itu, untuk tujuan perbandingan, keuntungan sebelum komisi dari membeli dan menahan dihitung untuk setiap sekuritas.

Hasilnya ditunjukkan pada Tabel 16. Kolom (1) dan (2) tabel menunjukkan keuntungan rata-rata per filter, kotor dan bersih dari komisi. Kolom (3) menunjukkan keuntungan dari buy-and-hold. Meskipun mereka harus dianggap sebagai sangat awal, hasilnya tetap mengesankan. Kita lihat dalam kolom (2) bahwa, ketika komisi diperhitungkan, keuntungan per filter positif untuk hanya empat sekuritas. Dengan demikian, dari sudut pandang investor rata-rata, hasil yang dihasilkan oleh teknik filter tampaknya tidak membatalkan asumsi kebebasan model random walk. Dalam praktiknya, keuntungan terbesar dengan teknik filter tampaknya akan menjadi keuntungan broker.

TABEL 16

RINGKASAN PROFITABILITAS FILTER DALAM KAITANNYA DENGAN TEKNIK HOLD-AND-BUY YANG MURNI*

*Semua angka dihitung atas dasar 100 saham. Kolom (1) adalah total keuntungan yang dikurangi total kerugian pada semua filter, dibagi dengan jumlah filter yang berbeda yang dicoba pada sekuritas. Kolom (2) sama seperti kolom (1), kecuali bahwa total keuntungan dan kerugian dihitung bersihnya komisi. Kolom (3) adalah harga terakhir ditambah dividen apa pun yang dibayarkan selama periode, dikurangi harga awal untuk periode itu.†Filter yang berbeda berasal dari 0,5 persen hingga 5 persen dengan langkahlangkah 0,5 persen; dari 6 persen hingga 10 persen dengan langkah-langkah 1 persen; dari 12 persen hingga 20 persen dengan langkah-langkah 2 persen; dan kemudian 25 persen, 30 persen, 40 persen dan 50 persen.

SAHAM

KEUNTUNGAN PER FILTER†

Tanpa Komisi(1)

Dengan Komisi(2)

Buy-and-Hold(3)

Perbandingan kolom (1) dan (3) juga menghasilkan kesimpulan negatif yang berkaitan dengan teknik filter. Bahkan mengecualikan komisi, di hanya tujuh kasus keuntungan per filter lebih besar daripada keuntungan buy-and-hold. Jadi akan kelihatan bahwa bahkan untuk pedagang lantai bursa, yang tentu saja menghindari komisi broker, teknik filter tidak dapat digunakan untuk membuat keuntungan yang diharapkan lebih besar daripada keuntungan buy-and-hold. Maka tampaknya dari sudut pandang pedagang asumsi kebebasan model random-walk merupakan deskripsi reliatas yang cukup.

Meskipun dalam artikelnya yang kemudian [2], Alexander kelihatannya menerima validitas asumsi kebebasan untuk tujuan investor atau pedagang, dia berpendapat bahwa, dari sudut pandang akademikus, uji kebebasan yang lebih kuat dapat dipakai. Secara khusus, dia berpendapat bahwa peneliti akademik tidak tertarik pada apakah ketergantungan dalam rangkaian perubahan harga dapat digunakan untuk meningkatkan keuntungan yang diharapkan. Sebaliknya, dia sangat peduli dengan menentukan apakah asumsi kebebasan merupakan deskripsi realitas yang tepat. Pada dasarnya, dia mengajukan bahwa kita memperlakukan kebebasan sebagai hipotesis nol yang ekstrem dan mengujinya dengan tepat.

Pada saat ini, kami akan mengabaikan argumen lawan yang penting tentang apakah uji dari hipotesis nol ekstrem yang ketat cenderung bermakna, mengingat bahwa untuk tujuan praktis, hipotesis tampaknya akan menjadi pendekatan yang valid dengan kenyataan baik bagi ahli statistik dan investor. Kami hanya mencatat bahwa uji tanda-tanda yang diterapkan pada angka keuntungan dalam kolom (1) Tabel 16 tidak akan menolak hipotesis nol ekstrem kebebasan untuk setiap tingkat signifikansi standar. Enam belas angka keuntungan dalam kolom (1) positif dan empat belas negatif, yang tidak terlalu jauh dari pembagian yang rata yang akan diharapkan dengan model acak yang murni tanpa tren di tingkat harga. Jika kita memperboleh bias naik jangka panjang pasar, hasilnya akan sesuai bahkan lebih erat dengan prediksi dari hipotesis nol yang ketat. Demikian hasil yang dihasilkan oleh teknik filter tampaknya tidak menjungkirbalikkan asumsi kebebasan model random walk, terlepas dari betapa ketatnya asumsi itu ditafsirkan.

Akhirnya, kami menekankan lagi bahwa hasil ini harus dianggap sebagai awal. Banyak analisis teknik filter yang lebih rumit belum diselesaikan. Sebagai contohnya, meskipun keuntungan rata-rata per filter tidak membandingkan dengan baik dengan buy-and-hold, mungkin ada filter khusus yang secara konsisten lebih baik daripada buy-and-hold untuk semua sekuritas. Namun kami lebih suka untuk meninggalkan isu-isu tersebut untuk makalah yang kemudian. Untuk saat ini cukup untuk mengatakan bahwa hasil awal tampaknya menunjukkan bahwa teknik filter tidak membatalkan asumsi kebebasan model random-walk.

D. DISTRIBUSI PENGGANTI UNTUK NILAI YANG BESAR

Mandelbrot [37, hlm. 418–19] telah menyarankan bahwa salah satu bentuk ketergantungan yang masuk akal yang sebagian dapat menjelaskan ekor panjang distribusi empiris perubahan harga adalah sebagai berikut: Perubahan yang besar mungkin cenderung akan diikuti oleh perubahan besar, namun tanda acak, sedangkan perubahan kecil cenderung diikuti oleh perubahan yang besar, tetapi dari tanda acak, sedangkan perubahan kecil cenderung diikuti oleh perubahan yang kecil.36 Alasan ekonomi untuk jenis ketergantungan ini bergantung pada sifat dari proses informasi dalam dunia ketidakpastian. Hipotesis secara implisit mengasumsikan bahwa ketika informasi baru yang penting memasuki pasar, informasi itu tidak selalu dapat dievaluasi secara tepat. Kadang-kadang perubahan harga

36 Meskipun keberadaan jenis perilaku harga ini tidak dapat digunakan oleh investor untuk meningkatkan keuntungannya yang diharapkan, perilaku ini tidak masuk ke dalam definisi statistik ketergantungan. Artinya, pengetahuan perubahan harga hari ini tidak menentukan prediksi ukuran kami, jika bukan tanda, dari perubahan keesokannya.

langsung yang disebabkan oleh informasi baru akan terlalu besar, yang menggerakkan kekuatan untuk menghasilkan reaksi. Dalam kasus lain, perubahan harga langsung tidak akan sepenuhnya mengabaikan informasi, dan dorongan akan dibuat untuk menggerakkan harga sekali lagi ke arah yang sama.

Implikasi statistik hipotesis ini adalah bahwa probabilitas bersyarat di mana perubahan harga keesokannya akan menjadi besar, mengingat perubahan hari ini sudah besar, lebih besar daripada probabilitas tak bersyarat perubahan yang besar. Untuk mengujinya, distribusi empiris pengganting langsung untuk perubahan harga yang besar telah dihitung untuk perbedaan harian sepuluh saham. Enam saham dipilih secara acak. Mereka meliputi Allied Chemical, American Can, Eastman Kodak, Johns Manville, Standard Oil of New Jersey, dan U.S. Steel. Empat lainnya dipilih karena mereka menunjukkan ekor yang lebih panjang dari rata-rata dalam uji Bagian III dan IV. Perubahan harga harian yang besar ditentukan sebagai perubahan dalam harga log yang lebih besar dari 0,03 dalam nilai absolutnya.

TABEL 17

DISTRIBUSI PENGGANTI UNTUK NILAI YANG BESAR*

*Jumlah dan frekuensi pengamatan dalam distribusi pengganti dalam kisaran distribusi semua perubahan yang ditentukan. Kisaran itu ditentukan sebagai berikut: Intersextile = 0,83 fraktil–0,17 fraktil; 2 persen = 0,98 fraktil–0,02 fraktil; 1 persen = 0,99 fraktil–0,01 fraktil. Fraktilnya adalah fraktil distribusi semua perubahan harga dan bukan fraktil distribusi pengganti untuk perubahan yang besar.

SAHAM 2 Persen(2)

1 Persen(3)

>1 Persen

(4)

Jumlah

Frekuensi

Frekuensi yang diharapkan

Hasil penghitungan ditunjukkan pada Tabel 17. Tabel ini diatur untuk memudahkan perbandingan langsung antara distribusi frekuensi pengganti untuk perubahan harga harian yang besar dan distribusi frekuensi semua perubahan harga. Tabel ini menunjukkan untuk setiap saham, angka dan frekuensi relatif pengamatan dalam distribusi pengganti di dalam kisaran distribusi semua perubahan harga yang ditentukan. Sebagai contohnya, angka dalam kolom (1) yang berhadapan dengan Allied Chemical menunjukkan bahwa terdapat dua puluh tujuh pengamatan dalam distribusi pengganti untuk nilai-nilai yang besar yang jatuh dalam kisaran intersextile distribusi semua perubahan harga untuk Allied Chemical. Angka dalam kolom (6) yang berhadapan dengan Allied Chemical menunjukkan bahwa dua puluh tujuh pengamatan adalah 55,1 persen jumlah total pengganti untuk nilai yang lebih besar, sedangkan distribusi semua perubahan harga mengandung, menurut definisi, 66,7 persen pengamatannya dalam kisaran intersextilenya. Demikian pula, angka pada kolom (9) yang berhadapan dengan Goodyear menunjukkan bahwa dalam distribusi pengganti, 5,7 persen pengamatan jatuh di luar kisaran 1 persen, sedangkan menurut definisi hanya 2 persen pengamatan dalam distribusi semua perubahan berada di luar kisaran ini.

Hal ini terbukti dari Tabel 17 bahwa distribusi penghanti lebih datar dan memiliki ekor yang lebih panjang daripada distribusi semua perubahan harga. Hal ini diilustrasikan oleh frekuensi relatif. Dalam setiap kasus, distribusi pengganti memiliki frekuensi relatif yang lebih sedikit dalam setiap kisaran fraktil daripada distribusi semua perubahan, yang berarti bahwa distribusi pengganti memiliki terlalu banyak frekuensi relatif di luar kisaran tersebut.

Hasil ini dapat disajikan secara grafis melalui diagram pencar sederhana. Hal ini dilakukan untuk Amerika Telepon dan Telegraph dan Goodyear pada Gambar 8. absis dari grafik menunjukkan XI, nilai perubahan harga yang besar. Para koordinat menunjukkan Xz, perubahan harga pada hari segera setelah perubahan besar. Meskipun sulit untuk membuat pernyataan yang kuat dari grafik tersebut, seperti yang diharapkan dalam terang Tabel 17, hal itu tampaknya bahwa penerus tidak berkonsentrasi di sekitar absis dari grafik sebanyak seperti yang diharapkan jika distribusi mereka adalah sama dengan distribusi semua perubahan. Bahkan sekilas santai di grafik menunjukkan, bagaimanapun, bahwa tanda-tanda penerus memang tampak acak. Selain itu, pernyataan ini berlaku untuk grafik dari efek tidak termasuk dalam Gambar 8.

Singkatnya, ada bukti bahwa perubahan besar cenderung diikuti oleh perubahan besar, namun dari tanda acak. Namun, meskipun tampaknya tidak ada penyatuan nilai-nilai besar yang lebih banyak daripada yang diprediksi oleh model yang murni independen, kecenderungan ini tidak terlalu kuat. Pada Tabel 17, sebagian besar pengganti untuk pengamatan yang besar jatuh dalam kisaran intersextile meskipun lebih dari pengganti jatuh ke ekor ekstrem daripada yang diharapkan dalam model yang murni acak.

E. RINGKASAN

Tak satu pun dari uji dalam bagian ini memberikan bukti adanya ketergantungan penting dalam perbedaan pertama dari log harga saham. Ada beberapa bukti bahwa perubahan besar cenderung diikuti oleh perubahan besar dari salah satu tanda, tetapi ketergantungan dari sumber ini tampaknya tidak terlalu penting. Namun tidak ada bukti sama sekali bahwa ada ketergantungan dalam rangkaian harga saham yang akan dianggap penting untuk tujuan investasi. Artinya, sejarah masa lalu rangkaian tersebut tidak dapat digunakan untuk meningkatkan keuntungan yang diharapkan investor.

Namun harus ditekankan bahwa, sementara penyimpangan kebebasan yang diamati sangat sedikit, ini tidak berarti bahwa mereka tidak penting untuk setiap tujuan yang dapat dibayangkan. Misalnya, fakta bahwa perubahan besar cenderung diikuti oleh perubahan besar

mungkin tidak menjadi informasi yang menghasilkan keuntungan untuk para pembaca grafik; tapi mungkin sangat penting untuk ekonom yang ingin memahami proses penentuan harga di pasar modal. Pentingnya setiap ketergantungan yang diamati akan selalu bergantung pada pertanyaan yang harus dijawab.

GAMBAR 8

VI. KESIMPULAN

Tujuan dari makalah ini adalah untuk menguji secara empiris model random-walk perilaku harga saham. Model ini membuat dua asumsi dasar: (1) perubahan harga yang berturut-turut dapat berdiri sendiri, dan (2) perubahan harga sesuai dengan beberapa distribusi probabilitas. Kami memulai bagian ini dengan meringkas bukti mengenai asumsi ini. Kemudian implikasi hasilnya akan dibahas dari berbagai sudut pandang.

A. DISTRIBUSI PERUBAHAN HARGA

Dalam penelitian sebelumnya tentang distribusi perubahan harga, penekanan adalah tentang bentuk umum distribusi, dan kesimpulannya adalah bahwa distribusi kira-kira Gaussian atau normal. Namun Temuan terbaru dari Benoit Mandelbrot telah menimbulkan keraguan serius tentang validitas hipotesis Gaussian. Secara khusus, hipotesis Mandelbrot menyatakan bahwa distribusi empiris perubahan harga lebih sesuai dengan distribusi Pareto stabil dengan eksponen karakteristik kurang dari 2 daripada distribusi normal (yang juga Pareto stabil tetapi dengan eksponen karakteristik persis sama dengan 2). Kesimpulan dari penelitian ini adalah bahwa hipotesis Mandelbrot tampaknya didukung oleh data. Kesimpulan ini dicapai hanya setelah pengujian ekstensif telah dilakukan. Hasil pengujian ini sekarang akan diringkas.

Jika hipotesis Mandelbrot benar, distribusi empiris perubahan harga harus memiliki ekor yang lebih panjang daripada distribusi normal. Artinya, distribusi empiris harus berisi frekuensi relatif yang lebih banyak pada ekor ekstrem mereka daripada yang diharapkan di bawah hipotesis Gaussian yang sederhana. Dalam Bagian distribusi III, distribusi frekuensi dihitung untuk perubahan harian pada harga log masing-masing dari tiga puluh saham dalam sampel. Hasilnya cukup mengejutkan. Distribusi empiris untuk setiap saham mengandung frekuensi relatif yang lebih banyak pada lonceng tengahnya daripada yang diharapkan dengan hipotesis normalitas. Namun yang lebih penting, dalam setiap kasus, ekor ekstrem distribusi berisi frekuensi relatif yang lebih banyak daripada yang diharapkan dengan hipotesis Gaussian. Sebagai uji penyimpangan dari normalitas yang lebih lanjut, grafik probabilitas normal untuk perubahan harga setiap saham juga dihadirkan dalam Bagian III. Seperti yang diharapkan dengan distribusi frekuensi ekor panjang, grafik pada umumnya mengambil bentuk sebuah S yang memanjang.

Dalam upaya untuk menjelaskan penyimpangan dari normalitas dalam distribusi frekuensi empiris, dua kerumitan sederhana dari model Gaussian dibahas dan diuji di Bagian III. Salah satunya melibatkan varians campuran pendekatan distribusi dan menunjukkan bahwa mungkin perubahan akhir pekan dan hari libur berasal dari distribusi normal, tetapi dengan varians yang lebih tinggi dari distribusi perubahan harian dalam seminggu. Namun bukti empiris tidak mendukung hipotesis ini. Pendekatan kedua, varians hipotesis ketidaktetapan, menyarankan bahwa mungkin leptokurtosis dalam distribusi frekuensi empiris ini disebabkan oleh perubahan dalam mean perbedaan harian sepanjang waktu. Namun uji empiris menunjukkan bahwa nilai-nilai ekstrem dalam distribusi frekuensi begitu besar sehingga pergeseran yang wajar dalam mean tidak dapat cukup menjelaskan mereka.

Bagian IV berhubungan dengan pengujian properti stabilitas dan mengembangkan perkiraan eksponen karakteristik α proses Pareto stabil pokok. Ditekankan bahwa prosedur yang ditetapkan dengan ketat untuk memperkirakan parameter distribusi Pareto stabil praktis tidak diketahui karena untuk sebagian besar nilai-nilai eksponen karakteristik, ada pernyataan yang tidak diketahui dan eksplisit untuk fungsi kepadatan. Akibatnya, hampir tidak ada teori pengambilan sampel tersedia. Disimpulkan bahwa saat ini satu-satunya cara untuk mendapatkan perkiraan yang memuaskan dari eksponen karakteristik adalah dengan menggunakan lebih dari satu prosedur perkiraan. Jadi tiga teknik yang berbeda untuk memperkirakan α dibahas, digambarkan, dan dibandingkan. Teknik-teknik ini melibatkan penggambaran grafi probabilitas normal log ganda, perhitungan varians yang berurutan, dan analisis kisaran. Dalam kasus yang sangat sedikit, α tampaknya begitu dekat dengan 2 sehingga tidak bisa dibedakan dari 2 dalam perkiraan. Namun dalam sebagian besar kasus, nilai-nilai yang diperkirakan kurang dari 2, dengan beberapa penyebaran sekitar nilai rata-rata mendekati 1,90. Berdasarkan perkiraan α tersebut dan hasil yang dihasilkan oleh distribusi frekuensi dan grafik probabilitas normal, disimpulkan bahwa hipotesis Mandelbrot lebih sesuai untuk datanya daripada hipotesis Gaussian.

B. KEBEBASAN

Bagian V makalah ini berhubungan dengan pengujian validitas asumsi kebebasan model random-walk pada perubahan harga yang berturut-turut untuk interval pembeda satu, empat, sembilan, dan enam belas hari. Teknik utama yang digunakan adalah model korelasi serial, analisis keacakan, dan teknik filter Alexander. Untuk semua tes dan untuk semua interval pembeda, jumlah ketergantungan dalam data tampaknya sangat sedikit ataupun tidak ada. Akhirnya, ada beberapa bukti penyatuan nilai-nilai besar dalam perbedaan harian, tetapi tingkat penyatuan tampaknya hanya sedikit lebih besar dari yang diharapkan dalam model yang murni acak. Atas dasar semua uji tersebut, disimpulkan bahwa asumsi kebebasan model random-walk tampaknya menjadi deskripsi realitas yang memadai.

C. IMPLIKASI KEBEBASAN

Kita melihat di Bagian II bahwa situasi dimana perubahan harga yang berturut-turut dapat berdiri sendiri konsisten dengan keberadaan pasar "yang efisien" untuk sekuritas, yaitu suatu pasar dimana, mengingat informasi yang ada, harga yang sebenarnya pada setiap titik waktu menggambarkan perkiraan nilai intrinsik yang sangat baik. Kita juga melihat bahwa dua faktor yang mungkin bisa berkontribusi terhadap pembentukan kebebasan adalah (1) adanya banyak pembaca grafik yang modern yang secara aktif bersaing satu sama lain untuk mengambil keuntungan dari ketergantungan pada serangkaian perubahan harga, dan (2) adanya para analis modern, dimana kecanggihan menyiratkan kemampuan baik untuk memprediksi lebih baik terjadinya peristiwa ekonomi dan politik yang memiliki bantalan pada harga dan untuk mengevaluasi efek peristiwa tersebut yang mungkin terjadi pada harga.

Jika aktivitasnya berhasil dalam membantu membangun kebebasan perubahan harga yang berturut-turut, maka pembaca grafik yang maju telah mengalahkan tujuannya sendiri. Ketika perubahan harga yang berturut-turut dapat berdiri sendiri, tidak ada teknik membaca grafik yang membuat keuntungan yang diharapkan dari investor lebih besar daripada yang seharusnya di bawah model buy-and-hold yang murni. Namun pernyataan dogmatis seperti itu tidak berlaku untuk analisis nilai intrinsik unggul. Orang-orang yang secara konsisten dapat memprediksi terjadinya peristiwa-peristiwa penting dan mengevaluasi pengaruhnya terhadap harga biasanya akan membuat keuntungan yang lebih besar daripada orang yang tidak memiliki bakat ini. Fakta bahwa kegiatan para analis yang unggul ini membantu untuk membuat perubahan harga yang berturut-turut menjadi independen tidak berarti bahwa keuntungan mereka yang diharapkan tidak bisa lebih besar dari keuntungan yang diharapkan investor yang mengikuti kebijakan buy-and-hold.

Tentu saja dalam praktiknya, mengidentifikasi orang-orang yang memenuhi syarat sebagai analis unggul bukanlah tugas yang mudah. Kriteria sederhana yang dikemukakan dalam Bagian II adalah sebagai berikut: Seorang analis yang unggul adalah analis yang keuntungannya pada banyak periode waktu secara konsisten lebih besar daripada keuntungan pasar. Ada banyak lembaga dan individu yang mengklaim memenuhi kriteria ini. Dalam sebuah makalah yang terpisah, klaim mereka akan diuji secara sistematis. Kami menyajikan di sini beberapa hasil awal untuk reksa dana yang tidak terbatas.37

Dalam daya tarik mereka kepada publik, reksa dana biasanya membuat dua klaim dasar: (1) karena reksa dana menyatukan sumber daya banyak individu, dana dapat menjadi bervariasi jauh lebih efektif daripada investor kecil rata-rata; dan (2) karena kedekatan manajemennya ke pasar, dana tersebut lebih mampu mendeteksi "pembelian yang menguntungkan" pada sekuritas individu. Dalam kebanyakan kasus, klaim pertama mungkin benar. Namun klaim yang kedua menunjukkan bahwa reksa dana memberikan keuntungan

37 Hasil awal yang dilaporkan di bawah dipersiapkan sebagai makalah yang ditugaskan oleh salah satu muridku, Gerhard T. Roth. Sumber daya untuk semua kalkulasi adalah Wiesenberger [24].

yang lebih tinggi daripada keuntungan yang didapatkan oleh pasar secara keseluruhan. Ini adalah pernyataan yang kedua ini yang sekarang ingin kami uji.

Keuntungan diperoleh oleh "pasar" selama periode waktu dapat diukur dengan berbagai cara. Salah satu kemungkinan telah banyak dieksplorasi oleh Fisher dan Lorie [16] dalam edisi terbaru Journal ini. Asumsi dasar dalam semua perhitungan mereka adalah bahwa pada awal setiap periode yang dipelajari, investor menempatkan jumlah uang yang sama pada saham biasa yang tercatat masing-masing pada waktu itu di Bursa Efek New York. Tingkat keuntungan yang berbeda untuk periode tersebut kemudian dihitung untuk golongan pajak investor yang mungkin berbeda, pertama dengan asumsi bahwa semua dividen diinvestasikan kembali dalam bulan itu yang dibayar dan kemudian dengan asumsi bahwa dividen tidak diinvestasikan kembali. Semua perhitungan mencakup komisi para broker yang relevan. Mengikuti prosedur Lorie-Fisher, investor bebas pajak yang awalnya memasuki pasar pada akhir tahun 1950 dan menginvestasikan kembali dividen berikutnya pada sekuritas yang membayarkan mereka akan membuat tingkat tahunan gabungan keuntungan sebesar 14,7 persen pada pengurangan investasi seluruh portofolionya di akhir tahun 1960.

Perhitungan yang serupa telah dilakukan untuk tiga puluh sembilan reksa dana yang tak terbatas. Dana yang dipelajari telah dipilih dengan dasar sebagai berikut: (1) dana itu beroperasi selama seluruh periode dari akhir tahun 1950 sampai akhir tahun 1960; dan (2) tidak lebih dari 5 persen dari total asetnya diinvestasikan di obligasi pada akhir tahun 1960. Diasumsikan bahwa investor menempatkan $ 10.000 dalam setiap dana pada akhir tahun 1950, menginvestasikan kembali semua distribusi dividen berikutnya, dan kemudian menguangkan dalam portofolionya pada akhir tahun 1960. Hal itu juga diasumsikan, untuk sederhananya, bahwa investor itu bebas pajak.

Untuk tujuan kami, dua jenis tingkat keuntungan yang berbeda memang menarik, kotor dan bersih dari segala biaya beban. Sebagian besar dana memiliki biaya beban sekitar 8 persen pada investasi baru. Artinya, pada investasi bruto sebesar $ 10.000, investor hanya menerima sekitar $ 9.200 senilai saham dana itu. Sisa $ 800 adalah biasanya komisi pedagang yang dapat dipercaya dan tidak tersedia untuk manajemen dana untuk investasi. Dari sudut pandang investor, tingkat keuntung reksa dana yang relevan untuk membandingkan dengan harga "pasar" adalah kotor keuntungan biaya beban, karena jumlah kotor adalah jumlah yang investor alokasikan ke dana. Namun menarik juga untuk menghitung hasil pada bersih reksa dana dari biaya beban, karena jumlah bersih adalah jumlah sebenarnya tersedia untuk manajemen. Jadi keuntungan bersih adalah ukuran yang relevan dari kinerja manajemen dalam kaitannya dengan pasar.

Untuk periode tahun 1950-1960, investasi reksa dana kami memiliki keuntungan bruto sebesar 14,1 persen yang berada di bawah 14,7 persen yang diperoleh oleh "pasar," seperti yang didefinisikan oleh Fisher dan Lorie. Keuntungan, bersih dari biaya beban, pada reksa dana adalah 14,9 persen, sedikit tapi tidak signifikan di atas keuntungan "pasar". Jadi tampaknya, setidaknya untuk periode yang dipelajari, reksa dana pada umumnya tidak lebih baik daripada pasar.

Meskipun reksa dana yang diambil bersama-sama tidak lebih baik dari pasar, di dunia ketidakpastian, selama periode waktu tertentu, sejumlah dana akan lebih baik dari pasar dan beberapa akan lebih buruk. Namun ketika dana menjadi lebih baik daripada pasar selama beberapa periode waktu, hal ini belum tentu bukti bahwa manajemen dana memiliki pengetahuan yang unggul dari investor rata-rata. Penampilan yang baik selama periode tertentu mungkin hanya menjadi hasil kesempatan yang, dalam jangka panjang, diseimbangkan oleh penampilan yang buruk pada periode lainnya. Hal ini hanya bila dana secara konsisten menjadi lebih baik daripada pasar sehingga ada alasan untuk merasa bahwa

keuntungannya yang lebih tinggi daripada rata-rata tidak mungkin pekerjaan dewi keberuntungan.

Dalam upaya untuk memeriksa konsistensi hasil yang diperoleh oleh dana yang berbeda sepanjang waktu, dua uji yang terpisah dilakukan. Pertama, tingkat keuntungan gabungan, bersih dari biaya beban, dihitung untuk setiap dana untuk seluruh periode tahun 1950-1960. Kedua, keuntungan untuk setiap dana untuk setiap tahun dihitung dengan rumus

dimana Pjt adalah harga saham pada dana j di akhir tahun t, pj, t+1 adalah harga di akhir tahun t + 1, dan dj, t+1 adalah dividen per saham yang dibayarkan oleh dana selama tahun t + 1. Untuk setiap tahun, keuntungan pada dana yang berbeda kemudian digolongkan dalam urutan yang menaik, dan angka dari 1 hingga 39 ditetapkan pada masing-masing.

Hasilnya ditunjukkan pada Tabel 18. Urutan dana pada tabel tersebut sesuai dengan keuntungan, bersih dari biaya beban, yang ditunjukkan oleh dana untuk periode tahun 1950-1960. Keuntungan bersih ini ditampilkan dalam kolom (1). Kolom (2)–(11) menunjukkan peringkat relatif keuntungan tahun demi tahun masing-masing dana.

Fitur Tabel 18 yang paling mengesankan adalah inkonsistensi dalam peringkat keuntungan tahun demi tahun untuk setiap dana yang ditentukan. Sebagai contohnya, dari tiga puluh sembilan dana, tidak ada satu pun dana yang secara konsisten memiliki keuntungan yang cukup tinggi untuk menempatkannya di antara dua puluh dana teratas untuk setiap tahun dalam periode waktu. Di sisi lain, tidak ada satu pun dana yang memiliki keuntungan yang cukup rendah untuk menempatkannya di antara dua puluh dana terbawah setiap tahun. Hanya dua dana, Selected American dan Equity, gagal memiliki keuntungan di antara sepuluh teratas selama beberapa tahun, dan hanya tiga dana, Investment Corporation of America, Founders Mutual, dan American Mutual, yang tidak memiliki keuntungan di antara sepuluh terbawah untuk beberapa tahun. Dengan demikian, dana pada umumnya kelihatan menjadi tidak lebih baik daripada pasar; di samping itu, dana individu tidak kelihatan secara konsisten mengungguli pesaing mereka.38 Maka, kesimpulan kami adalah bahwa sejauh ini analis modern telah lolos dari deteksi.

D. IMPLIKASI HIPOTESIS MANDELBROT

Kesimpulan utama tulisan ini sehubungan dengan distribusi perubahan harga adalah bahwa distribusi Pareto stabil dengan eksponen karakteristik α kurang dari 2 tampaknya lebih cocok dengan data daripada distribusi normal. Kesimpulan ini memiliki implikasi dari dua sudut pandang, ekonomi dan statistik, yang sekarang akan kami bahas pada gilirannya.

1. IMPLIKASI EKONOMI

Perbedaan penting antara sebuah pasar yang didominasi oleh proses Pareto stabil dengan eksponen karakteristik α ˂ 2 dan pasar yang didominasi oleh proses Gaussian adalah sebagai berikut. Dalam pasar Gaussian, jika hitungan sejumlah besar perubahan harga di sepanjang jangka waktu yang lama ternyata sangat besar, kesempatannya adalah bahwa setiap perubahan harga individu selama jangka waktu tersebut bisa diabaikan bila dibandingkan dengan perubahan total. Namun dalam pasar yang Pareto stabil dengan α ˂ 2, ukuran totalnya lebih dari mungkin merupakan hasil sedikit perubahan yang sangat besar yang berlangsung selama subperiode yang jauh lebih pendek. Dengan kata lain, sedangkan jalur tingkat harga 38 Hasil ini tampaknya berada dalam kecocokan yang penuh dengan hasil Ira Horowitz [22] dan dengan “Study of Mutual Funds” yang sekarang terkenal, yang dipersiapkan untuk Securities and Exchange Commission oleh Wharton School, Universitas Pennsylvania (Kong. Ke-87, sesi ke-2. [Washington, D.C.: Government Printing Office, 1962]).

sekuritas tertentu dalam pasar Gaussian akan cukup kontinu, dalam pasar Pareto stabil dengan α ˂ 2, biasanya akan terputus-putus. Lebih sederhananya, dalam pasar Pareto stabil dengan α ˂ 2, harga suatu sekuritas sering kali akan cenderung melompat naik atau turun dengan jumlah yang sangat besar selama jangka waktu yang sangat pendek.39

TABEL 18

PERINGKAT TAHUN DEMI TAHUN KEUNTUNGAN DANA INDIVIDU

Ketika dikombinasikan dengan kebebasan perubahan harga yang berturut-turut, diskontinuitas dari tingkat harga di pasar Pareto stabil dapat memberikan wawasan penting ke dalam sifat proses tersebut yang menghasilkan perubahan pada nilai intrinsik sepanjang waktu. Kami melihat sebelumnya bahwa kebebasan perubahan harga yang berturut-turut konsisten dengan pasar "yang efisien", yaitu pasar dimana harga di setiap titik waktu merupakan perkiraan terbaik nilai-nilai intrinsik. Ini berarti pada gilirannya bahwa, ketika nilai intrinsik berubah, harga sebenarnya akan menyesuaikan "seketika," dimana seketika

39 Untuk bukti pernyataan ini, lihat darling [13] atau Anov dan Bobnov [4].

DANA

TAHUNKEUNTUNG

AN PADA BERSI

H

berarti, antara lain, bahwa harga yang sebenarnya awalnya akan melampaui nilai intrinsik baru sesering nilai itu akan melampauinya.

Dalam hal ini, kombinasi kebebasan dan distribusi Gaussian untuk perubahan harga berarti bahwa nilai-nilai intrinsik tidak terlalu sering berubah dengan jumlah yang besar. Di sisi lain, kombinasi kebebasan dan distribusi Pareto stabil dengan α ˂ 2 untuk perubahan harga berarti bahwa nilai-nilai intrinsik sering berubah dengan jumlah yang besar selama jangka waktu yang sangat singkat–situasi yang cukup konsisten dengan ekonomi yang dinamis di dunia ketidakpastian.

Namun sifat terputus pasar Pareto stabil memiliki beberapa implikasi yang lebih praktis. Fakta bahwa ada sejumlah besar perubahan yang mendadak di pasar yang stabil berarti bahwa pasar seperti itu secara inheren lebih berisiko daripada pasar Gaussian. Variabilitas hasil tertentu yang diharapkan lebih tinggi di pasar Pareto stabil daripada di pasar Gaussian, dan kemungkinan kerugian yang besar menjadi lebih besar.

Selain itu, di pasar Pareto stabil dengan α ˂ 2, para spekulan biasanya tidak dapat melindungi diri dari kerugian yang besar melalui perangkat seperti "stop-loss" order (order stop kerugian). Jika tingkat harga akan jatuh sangat banyak, total penurunan mungkin akan dicapai dengan sangat cepat, sehingga tidak mungkin untuk melaksanakan banyak "stop-loss" order dengan harga menengah.

Akhirnya, dalam beberapa kasus, ada kemungkinan bukti empiris untuk menemukan "penjelasan kausal" untuk perubahan harga tertentu yang besar dalam hal variabel ekonomi yang lebih mendasar. Namun jika perilaku variabel yang lebih mendasar ini sendirinya sebagian besar tak terduga, maka "penjelasan kausal '' tidak akan banyak membantu dalam meramalkan munculnya perubahan besar di masa depan. Selain itu, harus diingat bahwa dalam rangkaian ini yang telah kita pelajari, ada sangat banyak perubahan besar dan "penjelasan" jauh dari jelas. Misalnya, dua perubahan terbesar di Dow-Jones Industrial Average selama periode yang dicakup oleh data terjadi pada tanggal 28 Mei dan 29 Mei 1962. Para analis pasar masih berusaha untuk mencari "penjelasan" yang masuk akal untuk kedua hari ini.

2. IMPLIKASI STATISTIK

Implikasi statistik hipotesis Mandelbrot mengikuti sebagian besar dari tidak adanya varians yang terbatas untuk distribusi Pareto stabil dengan eksponen karakteristik kurang dari 2. Praktisnya, varians yang "tak terbatas" berarti bahwa varians sampel dan standar deviasi proses Pareto stabil dengan α ˂ 2 akan menunjukkan perilaku yang sangat tidak menentu bahkan untuk sampel yang sangat besar. Artinya, untuk ukuran sampel yang semakin besar, variabilitas varians sampel dan standar deviasi tidak akan cenderung mengurangi hampir sebanyak yang diharapkan dengan proses Gaussian. Karena perilaku mereka yang sangat tidak menentu, varians sampel dan standar deviasi bukanlah langkah-langkah variabilitas yang berarti yang melekat dalam proses Pareto stabil dengan α ˂ 2.

Namun tidak berarti bahwa kita tidak berdaya dalam menggambarkan penyebaran proses tersebut. Ada langkah-langkah variabilitas lain, seperti kisaran interfraktil dan deviasi absolut mean, yang memiliki harapan yang terbatas dan perilaku pengambilan sampel yang jauh lebih tidak menentu daripada varians dan standar deviasi.40

40 Deviasi absolut mean didefinisikan sebagai

Dimana x adalah variabel dan N adalah total ukuran sampel.

GAMBAR 9.–Deviasi standar berurutan dan deviasi mutlat rerata berurutan. Sumbu horizontal menunjukkan ukuran sampel berurutan; sumbu vertikal menunjukkan perkiraan parameter.

Gambar 9 menyajikan demonstrasi pernyataan ini yang mencolok. Ini menunjukkan jalan standar deviasi sampel yang berurutan dan deviasi absolut mean yang berurutan untuk empat sekuritas.41 Set poin atas pada setiap grafik menggambarkan jalan standar deviasi, sedangkan set bagian bawah menggambarkan deviasi mutlak rerata berurutan sampel. Dalam setiap kasus, deviasi mutlak rerata yang berurutan menunjukkan perilaku yang kurang tidak menentu saat ukuran sampel ditambah daripada standar deviasi yang berurutan. Bahkan untuk sampel yang sangat besar, standar deviasi yang berurutan sering menunjukkan lompatan berlainan yang sangat besar, yang tentu saja dikarenakan terjadinya perubahan harga yang sangat besar dalam data. Namun saat ukuran sampel ditambah, perubahan harga besar yang sama ini tidak memiliki efek yang hampir sekuat pada deviasi mutlak rerata berurutan. Hal ini tampaknya akan menjadi bukti yang kuat bahwa untuk distribusi perubahan harga, deviasi mutlak rerata adalah perkiraan variabilitas yang jauh lebih dapat diandalkan daripada standar deviasi.

Pada umumnya, ketika berhadapan dengan distribusi Pareto stabil dengan eksponen karakteristik kurang dari 2, peneliti harus menghindari konsep varians baik dalam karya empirisnya dan dalam setiap model ekonomi yang dapat ia susun. Sebagai contohnya, dari sudut pandang empiris, bila ada alasan yang baik untuk percaya bahwa distribusi sisanya memiliki varians yang tak terbatas, ini tidak sangat menarik untuk menggunakan teknik 41 Perhitungan suatu parameter yang berurutan berarti bahwa nilai sampel berurutan kumulatif parameter itu dihitung kembali pada interval tetap setelah awal periode pengambilan sampel. Setiap perhitungan baru parameter ini dalam urutan tersebut mengandung nilai variabel acak yang sama seperti perhitungan yang langsung mendahuluinya, ditambah nilai baru variabel yang sejak itu sudah dihasilkan.

regresi yang memiliki sebagai tolok ukurnya minimalisasi jumlah sisa kuadrat dari garis regresi, karena harapan jumlah itu akan tak terbatas.

Namun tidak berarti bahwa kita tidak berdaya ketika mencoba untuk memperkirakan parameter model linear jika variabel kepentingan tunduk pada distribusi Pareto stabil dengan variasi tak terbatas. Sebagai contohnya, suatu teknik alternatif, regresi nilai mutlak, melibatkan meminimalkan jumlah nilai absolut dari sisa garis regresi. Karena harapan nilai absolut sisa ini akan menjadi terbatas selama eksponen karakteristik α distribusi sisa lebih besar dari 1, kriteria peminimuman ini bermakna bagi berbagai proses Pareto stabil.42

Sebuah contoh yang baik dari model ekonomi yang menggunakan konsep varians dalam situasi dimana ada alasan yang baik untuk percaya bahwa variasi menjadi tak terbatas adalah analisis Markowitz klasik [39] tentang portofolio yang efisien. Dalam istilah Markowitz, portofolio yang efisien adalah portofolio yang memiliki keuntungan maksimal yang diharapkan untuk varians keuntungan tertentu yang diharapkan. Namun jika hasil pada sekuritas mengikuti distribusi dengan varians yang tak terbatas, maka hasil yang diharapkan dari portofolio yang terdiversifikasi juga akan mengikuti distribusi dengan varians yang tak terbatas. Dalam situasi ini, konsep mean-varians dari portofolio yang efisien kehilangan maknanya.

Namun tidak berarti bahwa diversifikasi adalah konsep yang tidak berarti di pasar Pareto stabil, atau bahwa tidak mungkin untuk mengembangkan model untuk analisis portofolio. Dalam sebuah makalah yang terpisah [15], penulis ini menunjukkan bahwa, jika konsep variabilitas selain varians digunakan, maka mungkin mengembangkan model untuk analisis portofolio di pasar Pareto stabil. Hal ini juga memungkinkan untuk menentukan kondisi di mana peningkatan diversifikasi memiliki efek mengurangi penyebaran distribusi keuntungan pada portofolio, meskipun varians distribusi itu bisa tak terbatas.

Akhirnya, meskipun distribusi Gaussian atau distribusi normal tampaknya tidak menjadi representasi yang memadai dari distribusi perubahan harga saham, hal ini belum tentu terjadi bahwa distribusi Pareto stabil dengan varians yang tak terbatas memberikan satu-satunya alternatif. Ada kemungkinan bahwa ada distribusi ekor panjang dengan varians yang terbatas yang juga dapat digunakan untuk menjelaskan data.43 Namun kami sekarang akan menyatakan bahwa seseorang dipaksa untuk menerima banyak kesimpulan yang dibahas di atas, terlepas dari posisi yang diambil sehubungan dengan argumen varians yang tak terbatas melawan varians yang terbatas.

Sebagai contohnya, meskipun seseorang mungkin merasa bahwa itu adalah omong kosong untuk berbicara tentang varians yang tak terbatas ketika berhadapan dengan variabel dunia nyata, seseorang tetap dipaksa untuk mengakui bahwa untuk distribusi perubahan harga saham, perilaku pengambilan sampel standar deviasi jauh lebih tidak menentu daripada perilaku pengambilan parameter penyebaran alternatif seperti deviasi mutlak rerata. Untuk alasan ini, mungkin lebih baik menggunakan parameter penyebaran alternatif ini dalam karya empiris meskipun seseorang mungkin merasa bahwa sebenarnya semua varians itu terbatas.

Demikian pula, sifat asimtotik parameter dalam analisis regresi kuadrat terkecil klasik sangat tergantung pada asumsi varians yang terbatas dalam distribusi residual. Dengan

42 Untuk pembahasan teknik regresi nilai mutlak, lihat Wagner [46], [47]. Wise [49] telah menunjukkan bahwa kektika distribusi residual memiliki eksponen karakteristik 1 ˂ α ˂ 2, penilai kuadrat terkecil parameter persamaan regresi yang biasa konsisten dan tidak berbias. Namun dia lebih lanjut telah menunjukkan bahwa ketika α ˂ 2, penilai kuadrat terkecil, yaitu adanya teknik lain di mana distribusi pengambilan sampel parameter regresi memiliki penyebaran yang lebih rendah daripada distribusi pengambilan sampel perkiraan kuadrat terkecil. Tentu saja mungkin juga beberapa teknik non linear, seperti regresi nilai mutlak, memberikan perkiraan yang bahkan lebih efisien daripada penilai linear yang paling efisien.43 Akan tetapi pentung untuk diperhatikan bahwa distribusi Pareto stabil dengan eksponen karakteristik kurang dari 2 merupakan satu-satunya distribusi berekor panjang yang memiliki sifat stabilitas atau invarians yang sangat penting dengan penambahan.

demikian, jika dalam beberapa situasi praktis orang merasa bahwa distribusi ini, meskipun berekor panjang, memiliki varians yang terbatas, pada prinsipnya seseorang mungkin merasa dibenarkan dalam menggunakan teknik kuadrat terkecil. Namun, jika orang melihat bahwa perilaku pengambilan sampel perkiraan parameter yang dihasilkan oleh teknik kuadrat terkecil jauh lebih tidak menentu daripada perilaku pengambilan sampel beberapa teknik alternatif, seseorang mungkin terpaksa menyimpulkan bahwa untuk alasan efisiensi, teknik alternatif lebih unggul setidaknya daripada kuadrat terkecil.

Jenis argumen yang sama dapat diterapkan untuk masalah analisis portofolio. Meskipun orang mungkin merasa bahwa pada prinsipnya distribusi dunia nyata keuntungan harus memiliki varians yang terbatas, hal ini juga diketahui dengan baik bahwa analisis set efisien jenis Markowitz yang biasa sangat sensitif terhadap perkiraan varians yang digunakan. Dengan demikian, jika sulit untuk mengembangkan perkiraan varians yang baik karena perilaku pengambilan sampel yang tidak menentu yang disebabkan oleh distribusi ekor panjang keuntungan, orang mungkin merasa terpaksa menggunakan ukuran alternatif penyebaran dalam analisis portofolio.

Pada akhirnya, dari sudut pandang investor individu, nama yang peneliti berikan kepada distribusi probabilitas keuntungan pada sekuritas tidaklah relevan, seperti argumen mengenai apakah varians itu terbatas atau tak terbatas. Satu-satunya kepentingan investor adalah pada bentuk distribusi. Artinya, satu-satunya informasi yang ia butuhkan menyangkut probabilitas keuntungan dan kerugian yang lebih besar dari jumlah yang diberikan. Selama dua hipotesis yang berbeda memberikan deskripsi yang memadai tentang frekuensi relatif, investor tidak peduli tentang apakah peneliti mengatakan kepadanya bahwa distribusi keuntungan adalah Pareto stabil dengan eksponen karakteristik α ˂ 2 atau hanya berekor panjang tetapi dengan varians yang terbatas.

Pada intinya, semua argumen di atas hanya mengatakan bahwa, mengingat distribusi frekuensi empiris yang berekor panjang yang telah diamati, dalam banyak kasus perilaku seseorang yang berikutnya mengingat hasil ini akan sama apakah seseorang condong ke arah hipotesis Mandelbrot atau ke arah beberapa hipotesis alternatif yang melibatkan distribusi ekor panjang lainnya. Untuk sebagian besar tujuan, implikasi karya empiris yang dilaporkan dalam makalah ini bebas dari kesimpulan mengenai nama hipotesis yang tampaknya didukung data.

E. KEMUNGKINAN ARAH UNTUK PENELITIAN YANG AKAN DATANG

Tampaknya aman untuk mengatakan bahwa tulisan ini telah mengajukan bukti yang kuat dan produktif yang mendukung hipotesis random-walk. Namun dalam penelitian bisnis dan ekonomi, seseorang tidak pernah dapat mengklaim telah membuat hipotesis dengan tidak diragukan lagi. Selalu ada uji tambahan yang akan cenderung untuk menegaskan validitas hipotesis ataupun untuk membantah hasil yang diperoleh sebelumnya. Dalam paragraf akhir dari tulisan ini, kami ingin menyarankan beberapa arah yang mungkin yang penelitian yang akan datang tentang hipotesis random-walk dapat ambil.

1. KEMUNGKINAN UJI KETERGANTUNGAN TAMBAHAN

Ada dua pendekatan yang berbeda untuk menguji kebebasan. Pertama, seseorang dapat melakukan uji murni statistik. Jika uji cenderung mendukung asumsi kebebasan, seseorang kemudian dapat menyimpulkan bahwa mungkin tidak ada aturan perdagangan mekanis berdasarkan pola dalam sejarah masa lalu perubahan harga yang akan membuat keuntungan investor lebih besar daripada yang seharusnya dengan kebijakan buy-and-hold. Kedua, seseorang dapat melanjutkan dengan langsung menguji aturan perdagangan mekanis yang berbeda untuk melihat apakah mereka memang memberikan keuntungan yang lebih besar daripada buy-and-hold atau tidak. Model korelasi serial dan uji keacakan yang dibahas

dalam Bagian V mewakili pendekatan pertama, sementara teknik filter Alexander mewakili pendekatan kedua.

Penelitian akademik sampai saat ini cenderung berkonsentrasi pada pendekatan statistik. Hal ini memang benar, misalnya, karya Granger dan Morgenstern [19], Moore [41], Kendall [26], dan lain-lain yang sangat modern. Selain karya [1], [2] Alexander, benar-benar ada usaha yang sangat sedikit oleh orang-orang akademik untuk menguji langsung berbagai teori chartist, yang menjadi populer di dunia keuangan. Validasi atau pembatalan sistematis teori ini akan menggambarkan kontribusi yang nyata.

2. KEMUNGKINAN PENELITIAN TENTANG DISTRIBUSI PERUBAHAN HARGA

Ada dua program yang mungkin yang penelitian yang akan datang tentang distribusi perubahan harga bisa ambil. Pertama, sampai saat ini sebagian besar penelitian telah berhubungan dengan hanya mencari distribusi statistik yang tampaknya bertepatan dengan distribusi empiris perubahan harga. Ada usaha yang relatif sedikit yang dihabiskan dalam mengeksplorasi proses yang lebih mendasar yang menimbulkan distribusi empiris. Pada dasarnya, belum ada model umum pembentukan harga di pasar saham yang menjelaskan tingkat harga dan distribusi perubahan harga dalam hal perilaku variabel ekonomi yang lebih mendasar. Mengembangkan dan menguji model seperti itu akan berkontribusi sebagian besar ke arah pembentukan dasar teoretis yang masuk akal di aera ini.

Kedua, jika distribusi perubahan harga benar-benar Pareto stabil dengan eksponen karakteristik α < 2, maka penting bagi kita untuk mengembangkan lebih lanjut teori statistik distribusi Pareto stabil. Secara khusus, teori ini akan menjadi lebih maju dengan bukti mengenai perilaku pengambilan sampel penilai parameter distribusi ini yang berbeda. Sayangnya, teori pengambilan sampel analitis yang teliti ini akan sulit berkembang selama pernyataan eksplisit untuk fungsi kepadatan distribusi ini tidak diketahui.

Namun dengan menggunakan teknik Monte Carlo, menjadi mungkin untuk mengembangkan teori pengambilan sampel yang diperkirakan, meskipun pernyataan eksplisit untuk fungsi kepadatan tetap tidak diketahui. Dalam studi yang sekarang berlangsung, perkiraan ekspansi serial kepada fungsi kepadatan Pareto stabil yang didapatkan oleh Bergstrom [7] sedang digunakan untuk mengembangkan generator angka acak Pareto stabil. Dengan generator angka acak seperti itu, akan mungkin untuk menguji perilaku penilai parameter distribusi Pareto stabil yang berbeda dalam sampel acak yang berturut-turut dan dengan cara ini untuk mengembangkan teori pengambilan sampel yang diperkirakan. Prosedur yang sama dapat digunakan, tentu saja, untuk mengembangkan teori pengambilan sampel untuk berbagai jenis alat statistik.

Singkatnya, telah ditunjukkan bahwa perbedaan pertama harga saham tampaknya mengikuti distribusi Pareto stabil dengan eksponen karakteristik suatu α ˂ 2. Langkah penting yang masih harus dilakukan adalah pengembangan berbagai alat statistik untuk menangani distribusi tersebut.

REFERENSI