Untai Elektrik I · Waktu dan Fase Kombinasi Fungsi Periodik Nilai Rerata ... Berikut disajikan 4...

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida

PergeseranWaktu danFase

KombinasiFungsiPeriodik

Nilai Reratadan Efektif(RMS)

FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Untai Elektrik IWaveforms & Signals

Dr. Iwan Setyawan

Fakultas TeknikUniversitas Kristen Satya Wacana

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Pendahuluan

Secara umum, tegangan dan arus dalam sebuah untai elektrikdapat dikategorikan menjadi tiga jenis fungsi waktu:

• Fungsi periodik

• Fungsi non-periodik

• Fungsi acak

Dalam kuliah ini ranah waktu fungsi adalah −∞ < t <∞.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Periodik (1)

Definisi

Sebuah fungsi v(t) disebut periodik dengan periode T jika

v(t) = v(t + T ) untuk semua t (1)

Berikut disajikan 4 contoh bentuk fungsi periodik.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Periodik (2)

Gelombang sinus:

v1(t) = v(t + T ) untuk semua t (2)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Periodik (3)

Pulsa periodik:

v2(t) =

V1 0 < t < T1

−V2 T1 < t < T(3)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Periodik (4)

Periodic tone burst:

v3(t) =

V0 sin 2πt/Λ 0 < t < T1

0 T1 < t < T(4)

dengan T = kΛ dan k integer

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Periodik (5)

Rekaman yang diulang-ulang secara periodik:

v4(t) (5)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Periodik (6)

Suatu fungsi periodik bisa sangat kompleks. Tapi denganmenggunakan analisis Fourier fungsi-fungsi seperti ini dapatdirepresentasikan sebagai jumlahan fungsi-fungsi sinusoida.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Sinusoida (1)

Definisi

Sebuah tegangan berbentuk sinusoida, v(t) didefinisikansebagai

v(t) = V0 cos(ωt + θ) (6)

Pada persamaan ini V0 disebut amplitudo, ω disebutkecepatan/frekuensi sudut (angular velocity/frequency) dan θdisebut sudut fase.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Kecepatan sudut ω dapat dinyatakan dalam T (periode) ataudalam f (frekuensi).

Definisi

Hubungan T dan f didefinisikan sebagai berikut

f = 1/T (7)

Frekuensi memiliki satuan Hertz (Hz) atau siklus/detik.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Karenacosωt = cos(ωt + 2π) (8)

maka hubungan antara ω dan T adalah

ωT = 2π (9)

Fungsi v(t) membutuhkan waktu T detik untuk kembali kenilai awalnya. Dengan kata lain, tiap detik fungsi tersebutmenjalani 1/T periode.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Summary

Untuk fungsi sinusoida, kita peroleh

ω = 2π/T = 2πf f = 1/T = ω/2π T = 1/f = 2π/ω

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal 1:

Diketahui fungsi v2(t) = sin t. Gambarkan fungsi tersebut,serta hitung periode dan frekuensinya!

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Gambar fungsi ini adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Periode dan frekuensi diperoleh sebagai berikut. Dari soal,dapat diketahui bahwa ω = 1 rad/sec. Oleh karena itu,

T = 2π/ω s

= 2× 3.1416/1 s

= 6.2832 s (10)

dan

f = 1/T Hz

= 1/6.2832 Hz

= 0.159 Hz (11)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal 2:

Diketahui fungsi v4(t) = 2 cos(πt/4− 45). Gambarkan fungsitersebut, serta hitung periode dan frekuensinya!

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Perhatikan bahwa

v4(t) = 2 cos(πt/4− π/4) = 2 cos[π(t − 1)/4] (12)

sehingga gambar fungsi ini adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Periode dan frekuensi diperoleh sebagai berikut. Dari soal,dapat diketahui bahwa ω = π/4 rad/sec. Oleh karena itu,

T = 2π/ω s

= 2π/(π/4) s

= 8 s (13)

dan

f = 1/T Hz

= 1/8 Hz

= 0.125 Hz (14)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Pergeseran Waktu dan Fase (1)

Jika fungsi v(t) = cosωt mengalami delay sebesar τ detik,maka diperoleh

v(t − τ) = cosω(t − τ) = cos(ωt − θ), θ = ωτ (15)

• Plot fungsi yang mengalami delay sebesar τ detik akanbergeser ke kanan sejauh τ detik.

• Delay (pergeseran waktu ke kanan) setara dengan sebuahphase lag sebesar θ = ωτ = 2πf τ .

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Fungsi v(t) = cosωt dapat juga maju sebesar τ detik,sehingga diperoleh

v(t + τ) = cosω(t + τ) = cos(ωt + θ), θ = ωτ (16)

• Plot fungsi ini akan bergeser ke kiri sejauh τ detik.

• Pergeseran waktu ke kiri ini setara dengan sebuah phaselead sebesar θ = ωτ = 2πf τ .

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Dengan analisis yang sama, dapat disimpulkan:

• Fungsi yang mengalami pergeseran fase (baik lag/lead)sebesar θ juga akan mengalami pergeseran waktu sebesarτ .

• Untuk sebuah θ yang sama, semakin tinggi frekuensisemakin kecil pergeseran waktu yang diakibatkan.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Diketahui sebuah untai yang memiliki pasangan input-output(yang berlaku untuk semua ω dan A) sebagai berikut:

vi (t) = A cosωt vo(t) = A cos(ωt − θ)

Jika diketahui vi (t) = cosω1t + cosω2t, carilah vo(t) jika:

• θ = 10−6ω (pergeseran fase sebanding dengan frekuensi)

• θ = 10−6 (pergeseran fase konstan)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Dari soal dapat diperoleh bahwa jika vi (t) = cosω1t + cosω2tmaka

vo = cos(ω1t − θ1) + cos(ω2t − θ2) (17)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Jika pergeseran fase proporsional, diperoleh

θ1 = 10−6ω1 θ2 = 10−6ω2

sehingga

vo = cos(ω1t − 10−6ω1) + cos(ω2t − 10−6ω2)

= cosω1(t − 10−6) + cosω2(t − 10−6)

= vi (t − 10−6)

= vi (t − τ), τ = 10−6 s (18)

Jadi, pergeseran fase proporsional ini mengakibatkan semuakomponen frekuensi input ter-delay sebesar 10−6 detik danoutput mengikuti bentuk input tanpa distorsi.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Jika pergeseran fase konstan, diperoleh

θ1 = θ2 = 10−6

sehingga

vo = cos(ω1t − 10−6) + cos(ω2t − 10−6)

= cosω1(t − 10−6/ω1) + cosω2(t − 10−6/ω2) (19)

Jadi, pergeseran fase konstan ini mengakibatkan nilai delayyang berbeda untuk masing-masing komponen frekuensi input.Akibatnya, bentuk sinyal output tidak sama dengan bentuksinyal input (terjadi distorsi).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Kombinasi Fungsi Periodik (1)

Teorema

Jumlahan 2 buah fungsi periodik dengan periodemasing-masing T1 dan T2 akan menghasilkan fungsi baru yangjuga periodik jika terdapat suatu periode T sedemikiansehingga T = n1T1 = n2T2 dengan n1 dan n2 adalah integer.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Apakah v(t) = cos t + cos2πt periodik? Jelaskan!

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Fungsi v(t) dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 buah fungsiperiodik, yaitu v1(t) = cos t dan v2(t) = cos 2πt yangmasing-masing memiliki periode T1 = 2π dan T2 = 1. Dari siniterlihat bahwa tidak ada bilangan integer yang memenuhin1T1 = n2T2. Jadi, v(t) tidak periodik.

Catatan:Dalam melakukan analisis untai, trigonometric identities sangatbermanfaat. Tabel 6.1 buku referensi merangkum beberapatrigonometric identities yang penting.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Nyatakan fungsi v(t) = cos 5t sin(3t + 45) sebagai jumlahan 2buah fungsi cosinus. Cari juga periode fungsi ini!

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Berdasarkan trigonometric identity, diperoleh

v(t) = cos 5t sin(3t + 45)

= [sin(8t + 45)− sin(2t − 45)]/2

= [cos(8t − 45) + cos(2t + 45)]/2 (20)

Periode v(t) adalah π (buktikan!).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Nilai Rerata dan Efektif (1)

Sebuah fungsi periodik f (t) yang memiliki periode T , memilikinilai rerata (average value):

Favg = 〈f (t)〉 =1

T

∫ T

0f (t)dt =

1

T

∫ t0+T

t0

f (t)dt (21)

serta nilai efektif (RMS):

Feff = Frms =

[1

T

∫ t0+T

t0

f 2(t)dt

]1/2(22)

Dari kedua persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwaF 2

eff = 〈f 2(t)〉. Nilai rerata dan RMS biasanya dihitung untuk 1periode.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Carilah nilai rerata dan RMS sebuah gelombang cosinusv(t) = Vm cos(ωt + θ)!

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Nilai rerata fungsi ini adalah:

Vavg =1

T

∫ T

0Vm cos(ωt + θ)dt

=Vm

ωT[sin(ωT + θ)]T0

= 0 (23)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Nilai RMS fungsi ini adalah:

V 2eff =

1

T

∫ T

0V 2

m cos2(ωt + θ)dt

=1

2T

∫ T

0V 2

m[1 + cos 2(ωt + θ)]dt

= V 2m/2 (24)

sehingga Veff = Vm/√

2 = 0.707Vm.

Dari jawaban soal ini, dapat disimpulkan bahwa Vavg maupunVeff tidak bergantung frekuensi dan fase. Dengan kata lain,semua gelombang cosinus selalu memiliki nilai rerata 0 dannilai RMS 0.707Vm.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Cari rata-rata disipasi daya (dalam satu periode T ) suaturesistor bernilai R ohm yang terhubung dengan tegangan v(t)yang berbentuk gelombang cosinus. Cari juga besar teganganDC Vdc yang akan memberikan disipasi daya sama dengan v(t)!

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Daya yang didisipasikan diberikan oleh:

P = vi = v2/R (25)

Karena v(t) berbentuk cosinus, maka

Pavg =1

RT

∫ T

0v2(t)dt

=1

RV 2

eff (26)

Jadi jika v(t) akan diganti dengan sebuah Vdc , makaVdc = Veff agar disipasi daya tetap.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Nonperiodik (1)

Bentuk fungsi non periodik untuk sembarang t tidak dapatditentukan dengan hanya mengetahui sebagian dari fungsitersebut.Contoh fungsi nonperiodik misalnya:

v1(t) =

0 t < 0

1 t > 0(27)

v2(t) =

0 t < 0

1/T 0 < t < T

0 t > T

(28)

v3(t) =

0 t < 0

sinωt t > 0(29)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Nonperiodik (2)

Contoh-contoh lain fungsi nonperiodik dapat dilihat padareferensi. Beberapa fungsi nonperiodik digunakan sebagai dasaruntuk membuat sinyal yang digunakan dalam analisis dandesain untai elektrik. Beberapa contoh fungsi seperti inidibahas pada bagian-bagian berikut.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Nonperiodik (3): Unit Step

Definisi

Sebuah fungsi unit step tidak memiliki dimensi, dandidefinisikan sebagai berikut:

u(t) =

0 t < 0

1 t > 0(30)

Perhatikan bahwa fungsi ini tidak terdefinisi untuk t = 0.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Gambar fungsi unit step adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh penggunaan fungsi unit step adalah sebagai berikut.Misalkan pada untai berikut, switch ada pada posisi ‘1’ untukt < 0 dan dipindah ke posisi ‘2’ pada t = 0. Tegangan antaratitik A dan B dapat dinyatakan sebagai vAB = V0u(t).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Misalkan switch pada untai diatas dipindah ke posisi ‘2’ padawaktu t = t0. Nyatakan vAB menggunakan fungsi step!

Jawab:

Dalam kasus ini, kemunculan tegangan vAB tertunda sampait = t0. Jadi, kita ganti t dengan t − t0 untuk memperolehvAB = V0u(t − t0).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Misalkan switch pada untai diatas dipindah ke posisi ‘2’ padawaktu t = 0 kemudian dipindah kembali ke posisi ‘1’ padawaktu t = 5 s. Nyatakan vAB menggunakan fungsi step!

Jawab:

Dalam kasus ini vAB dapat dinyatakan sebagai jumlahan fungsistep sebagai berikut: vAB = V0[u(t)− u(t − 5)].

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Nonperiodik (8): Unit Impulse

Perhatikan gambar berikut. Gambar ini menunjukkan sebuahfungsi sT (t) yang bernilai 0 untuk t < 0 dan naik secaraseragam dari 0 ke 1 dalam T detik.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Turunan fungsi diatas, dT (t) adalah sebuah pulsa selama Tdetik dengan amplitudo 1/T , seperti pada gambar berikut.

Fungsi diatas didefinisikan sebagai berikut:

dT (t) =

0 t < 0

1/T 0 < t < T

0 t > T

(31)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jika nilai T dikurangi, pulsa diatas akan makin kurus danmakin tinggi sedangkan luasan dibawah pulsa tersebut akantetap sebesar 1. Jika T dikurangi hingga mendekati 0, makalimit fungsi sT (t) akan menjadi fungsi unit step u(t) sedangkanturunannya, dT (t) akan menjadi fungsi unit impulse δ(t)dengan lebar 0 dan tinggi tak berhingga. Fungsi ini disebutjuga unit delta function dan didefinisikan sebagai berikut:

δ(t) = 0 untuk t 6= 0 dan

∫ ∞−∞

δ(t)dt = 1

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Fungsi unit impulse digambarkan sebagai berikut:

Sebuah fungsi impulse yang merupakan limit dari sebuah pulsasempit dengan luasan A dinyatakan dengan Aδ(t). Nilaimagnitude A sering disebut strength impulse tersebut. Sebuahunit impulse yang muncul pada t = t0 dinyatakan denganδ(t − t0).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Tegangan diantara terminal kapasitor 100 nF naik secara lineardari 0 sampai 10 V dengan bentuk seperti sT (t). Carilah:

• Muatan kapasitor pada waktu t = T .

• Arus iC (t) pada kapasitor untuk T = 1 s, T = 1 ms danT = 1 µs.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Pada waktu t = T , vC = 10 Volt. Jadi muatan dalamkapasitor adalah

Q = CvC

= 10−7 × 10

= 10−6 C

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Per definisi,

iC (t) = CdvC

dt(32)

atau

iC (t) =

0 t < 0

I0 = 10−6/T 0 < t < T

0 t > T

(33)

Jadi untuk T = 1 s, I0 = 10−6 A. Untuk T = 1 ms, I0 = 10−3

A. Untuk T = 1 µs I0 = 1 A.Dalam semua kasus diatas, jumlah muatan tidak bergantungpada T yaitu selalu sebesar 10−6 C.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Misalkan dT (t − t0) adalah sebuah pulsa dengan lebar T dantinggi 1/T yang mulai pada t = t0, atau

dT (t − t0) =

1/T t0 < t < t0 + T

0 otherwise(34)

Misalkan juga fungsi f (t) yang kontinu pada selang t0 dant0 + T seperti pada gambar berikut.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal (cont.):

Carilah limit integral berikut,

I =

∫ ∞−∞

dT (t − t0)f (t)dt (35)

untuk T → 0.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Dengan mensubstitusikan Persamaan (34) ke Persamaan (35),kita peroleh

I =1

T

∫ t0+T

t0

f (t)dt =S

T(36)

dengan S adalah daerah yang ditunjukkan pada gambarberikut.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Dengan asumsi nilai T kecil, fungsi f (t) dapat didekati dengansebuah garis lurus dari titik A ke titik B. Jadi luasan S adalahluasan sebuah trapezoid:

S = 12 [f (t0) + f (t0 + T )]T (37)

dan

I = 12 [f (t0) + f (t0 + T )] (38)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Jika T → 0, dT (t − t0)→ δ(t − t0) dan f (t0 + T )→ f (t0)sehingga

limT→0

I = limT→0

12 [f (t0) + f (t0 + T )] (39)

= f (t0) (40)

Tapi karena

limT→0

I =

∫ ∞−∞

δ(t − t0)f (t)dt (41)

sehingga ∫ ∞−∞

δ(t − t0)f (t)dt = f (t0) (42)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Persamaan terakhir disebut juga sifting property fungsiimpulse. Persamaan ini juga merupakan definisi lain untuk δ(t).

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Nonperiodik (21): Eksponensial

• Fungsi f (t) = est dengan s sebuah konstanta kompleksdisebut dengan fungsi eksponensial.

• Fungsi ini meluruh (decay) bersama waktu jika komponenreal s negatif.

• Fungsi ini tumbuh bersama waktu jika komponen real spositif.

• Dalam pembahasan ini, digunakan fungsi f (t) = eat

dengan a sebuah konstanta real.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


• Dimensi invers konstanta a adalah waktu dan disebutdengan time constant, τ = 1/a.

• Plot sebuah fungsi eksponensial meluruh, e−t/τ

ditunjukkan pada gambar berikut.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


• Nilai fungsi ini turun dari nilai awal (1) pada t = 0 ke 0pada t =∞.

• Setelah τ detik, nilai fungsi turun ke e−1 = 0.368.

• Jika τ = 1, fungsi e−t disebut normalized exponential. Halini ekuivalen dengan fungsi e−t/τ yang di-plot terhadapt/τ .

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


• Kita sering menjumpai fungsi dengan bentuk

f (t) = Ae−at + B (43)

• Fungsi ini ditentukan oleh 3 nilai A,B dan a yangmasing-masing didefinisikan sebagai berikut:

A = nilai awal− nilai akhir B = nilai akhir

a = invers konstanta waktu

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


• Dalam bentuk lain, dapat dituliskan

nilai awal = f (0) = A + B nilai akhir = f (∞) = B

konstanta waktu = τ = 1/a

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Carilah fungsi v(t) yang meluruh secara eksponensial dari 5 Vpada t = 0 ke 1 V pada t =∞ dengan konstanta waktu 3detik. Gambarkan fungsi tersebut.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Dari penjelasan sebelumnya, kita peroleh v(t) = Ae−t/τ + B,dengan

v(0) = A + B = 5 v(∞) = B = 1 τ = 3

jadiA = 5− B = 4

makav(t) = 4e−t/3 + 1

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Gambar fungsi ini adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Suatu tegangan v = V0e−|t|/τ , τ > 0, dihubungkan pada

sebuah kapasitor. Cari arus i dalam kapasitor. Gambarkan jugav dan i jika V0 = 10 V, C = 1 µF dan τ = 1 ms.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Menggunakan hubungan

i = Cdv

dt

kita peroleh:

v = V0et/τ dan i = I0e

t/τ , untuk t < 0

v = V0e−t/τ dan i = −I0e−t/τ , untuk t > 0

dengan I0 = CV0/τ . Dengan menggunakan data yang diketahuidalam soal, diperoleh I0 = 10 mA.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Gambar v adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Gambar i adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Fungsi Nonperiodik (33): Damped sinusoid

Damped sinusoid merupakan suatu gelombang sinus yangamplitudonya meluruh secara eksponensial. Fungsi ini memilikibentuk

v(t) = Ae−at cos(ωt + θ) (44)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Contoh soal:

Suatu arus i = I0e−at cosωt dilewatkan ke sebuah rangkaian

R-L seri.

• Cari persamaan untuk vRL

• Hitung nilai vRL jika I0 = 3 A, a = 2, ω = 40 rad/s, R = 5Ω dan L = 0.1 H.

• Gambar i sebagai fungsi waktu.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab:

Karena

vR = Ri = RI0e−at cosωt (45)

vL = Ldi

dt= −LI0e−at(a cosωt + ω sinωt) (46)

maka

vRL = vR + vL

= I0e−at [(R − La) cosωt − Lω sinωt]

= V0e−at cos(ωt + θ) (47)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Pada Persamaan (47),

V0 = I0

√(R − La)2 + L2ω2

θ = tan−1[Lω/(R − La)]

Dengan memasukkan data dari soal ke persamaan diatas, kitaperoleh V0 = 18.75 V dan θ = 39.8. Dari sini dapat diperoleh

i = 3e−2t cos 40t danvRL = 18.75e−2t cos(40t + 39.8)

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak


Jawab (cont.):

Gambar i sebagai fungsi waktu adalah sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Sinyal Acak (1)

• Semua sinyal yang sudah dibahas diatas dapatdideskripsikan dengan lengkap asalkanparameter-parameternya diketahui.

• Sinyal-sinyal seperti ini disebut deterministik.

• Terdapat sinyal-sinyal yang hanya bisa dideskripsikansecara sebagian berdasarkan besaran seperti nilai rerata,RMS atau frekuensinya.

• Sinyal seperti ini disebut sinyal acak (random signal).

• Sinyal acak dapat saja membawa informasi sehingga tidakboleh disamakan dengan derau.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Sinyal Acak (2)

• Contoh sinyal acak misalnya tegangan yang terukur padamikrofon karena ada suara yang ditangkap, intensitassuatu citra atau sinyal wicara atau musik yang memodulasigelombang pembawa pada radio AM.

• Nilai sinyal seperti ini untuk waktu yang akan datang tidakdapat ditentukan secara eksak.

• Nilai tersebut hanya bisa diprediksi secara rata-rata(“pada umumnya”).

• Meskipun demikian, sinyal-sinyal semacam ini masihmemiliki peran yang sangat penting dalam untai elektrik.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Sinyal Acak (3)

Contoh soal:

Sebuah sinyal biner, v(t) hanya memiliki 2 kemungkinan nilaiyaitu +0.5 V atau −0.5 V. Perubahan tanda hanya dapatberlangsung tiap 1 ms. Perubahan tanda ini tidak diketahuisecara a priori, tapi peluang polaritas positif sama denganpeluang polaritas negatif. Carilah nilai rerata dan efektif sinyalini selama jangka waktu 10 s.

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Sinyal Acak (4)

Jawab:

Dalam jangka waktu 10 s, terdapat 10000 interval (masing-masing) 1 ms). Secara rata-rata, jumlah interval denganpolaritas negatif sama dengan jumlah interval dengan polaritaspositif. Oleh karena itu, nilai rerata sinyal ini dapat didekatidengan

vavg = (0.5× 5000− 0.5× 5000)/10000 = 0

Untai 1

I. Setyawan

Pendahuluan

FungsiPeriodik

FungsiSinusoida




FungsiNonperiodik

Sinyal Acak

Sinyal Acak (5)

Jawab (cont.):

Nilai efektif sinyal dihitung sebagai berikut

V 2eff = [(0.5)2 × 5000 + (−0.5)2 × 5000]/10000

= (0.5)2

Veff = 0.5 V

Tidak seperti nilai rerata, nilai efektif sinyal ini eksak(mengapa?).

Untai Elektrik I · Waktu dan Fase Kombinasi Fungsi Periodik Nilai Rerata ... Berikut disajikan 4...

Documents

Transcript of Untai Elektrik I · Waktu dan Fase Kombinasi Fungsi Periodik Nilai Rerata ... Berikut disajikan 4...