Unit 8 Kamiran /233

UNIT PELAJARAN 8

KAMIRAN

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Menerangkan dan menganalisis konsep kamiran.

2. Membezakan antara pembezaan dan kamiran.

3. Menyatakan kamiran sebagai songsangan pembezaan.

4. Menilai kamiran tak tentu yang melibatkan fungsi aljabar.

5. Menilai kamiran tentu dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus.

6. Menggunakan petua-petua kamiran.

Kalkulus Asas|234

PENGENALAN

amiran merupakan konsep penting dalam kalkulus sama seperti pembezaan.

Istilah kamiran juga merujuk kepada antiterbitan, iaitu fungsi 𝐹 𝑥 yang

pembezaannya ialah fungsi 𝑓 𝑥 .

Idea kamiran dirangsang oleh masalah bagi penghitung luas dibawah lengkung.

Penghitung awal luas telah dilakukan oleh seorang ahli matematik Greek bernama

Archimedes (287-212 SM). Selepas beliau, ramai ahli matematik telah mengemukakan kaedah

penghitungan luas yang mereka fikirkan sesuai. Perkembangan besar dalam kamiran muncul pada

abad ke-17 apabila seorang ahli sains Inggeris bernama Sir Isaac Newton (1642-1727 M) dan

seorang ahli matematik Jerman bernama Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716 M) masing-masing

telah menerbitkan teori asas kalkulus secara berasingan. Teori ini membuktikan kaitan antara

kamiran dan pembezaan. Dengan teori ini membolehkan mereka mengira masalah luas dan

kamiran dengan mudah tanpa perlu mengira jumlah had. Kamiran juga dapat menyelesaikan

banyak masalah yang gagal diselesaikan dengan pembezaan.

Seperti juga pembezaan, kamiran mempunyai banyak kegunaannya dalam masalah seharian

seperti mengira panjang lengkuk, luas permukaan, isipadu bongkah dan penggunaan yang meluas

dalam pelbagai bidang seperti ekonomi dan kejuruteraan.

8.1 Anti pembezaan dan kamiran tak tentu

Dalam bab ini kita akan melihat hubungan antara kamiran dan pembezaan. Proses untuk

mendapatkan semula fungsi daripada pekali pembezaannya merupakan songsangan bagi operasi

pembezaan. Proses ini disebut sebagai proses mencari anti pembezaan.

K

Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah mengenai kamiran:

http://en.wikipedia.org/wiki/Integration

Unit 8 Kamiran /235

Takrif 8.1 (Anti Pembezaan)

Fungsi 𝐹 𝑥 dikatakan suatu anti pembezaan bagi suatu fungsi 𝑓 𝑥 jika

untuk setiap 𝑥 dalam domain 𝑓.

𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥)

Perhatikan bahawa, jika

𝐹 𝑥 =1

3𝑥3, maka 𝐹′(𝑥) = 𝑥2 = 𝑓 𝑥 ,

𝐹 𝑥 merupakan suatu anti pembezaan bagi 𝑓 𝑥 = 𝑥2. Begitu juga

𝐺 𝑥 =1

3𝑥3 + 100

𝐻 𝑥 =1

3𝑥3 + 50

⋮ ⋮ ⋮

𝐽 𝑥 =1

3𝑥3 − 2

merupakan sebahagian daripada anti pembezaan bagi 𝑓 𝑥 . Pada amnya, sebarang ungkapan

dalam bentuk fungsi 𝐾 𝑥 =1

3𝑥3 + 𝐶, dengan 𝐶 sebarang pemalar, merupakan anti

pembezaan bagi 𝑓. Ini boleh disahkan dengan melakukan pembezaan

Untuk perbincangan yang lebih umum, jika

𝑑

𝑑𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 ,

dan 𝐶 pemalar sembarangan, maka

𝑑

𝑑𝑥 𝐹 𝑥 + 𝐶 =

𝑑

𝑑𝑥 𝐹 𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥 𝐶

= 𝑓 𝑥 + 0

= 𝑓 𝑥 .

Hasil daripada perbincangan di atas dinyatakan dalam bentuk teorem tanpa bukti seperti berikut.

Kalkulus Asas|236

Teorem 8.1 (Kewujudan Anti Pembezaan)

Jika 𝐹′(𝑥) = 𝑓 𝑥 pada setiap titik dalam sebarang selang 𝑎, 𝑏 , maka setiap anti

pembezaan 𝐺 bagi 𝑓 dalam 𝑎, 𝑏 adalah berbentuk

dengan 𝐶 pemalar sembarangan untuk semua 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 .

𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶,

Takrif 8.2 (Kamiran Tak Tentu)

Set semua anti pembezaan bagi fungsi 𝑓 𝑥 dinamakan kamiran tak tentu bagi fungsi 𝑓

terhadap 𝑥, dilambangkan sebagai

Simbol ∫ merupakan tatatanda kamiran, 𝑓 𝑥 disebut fungsi yang dikamir dan 𝑥 ialah

pembolehubah kamiran.

𝑓 𝑥 𝑑𝑥.

Daripada Teorem 8.1 jelas bahawa proses mendapat anti pembezaan tidak akan menghasilkan

fungsi yang unik. Sebaliknya akan terhasil satu set fungsi-fungsi yang berbeza pada nilai

pemalarnya. Proses mendapatkan anti pembezaan ini biasanya disebut sebagai pengamiran.

Daripada Teorem 8.1 dan Takrif 8.2, jika 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥, maka

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶.

Pemalar 𝐶 disebut pemalar kamiran dan persamaan di atas dibaca sebagai “kamiran tak tentu bagi

𝑓 terhadap 𝑥 ialah 𝐹 𝑥 + 𝐶. Daripada penjelasan di atas, dapat dibuat kesimpulan bahawa

setiap rumus pembezaan

Unit 8 Kamiran /237

𝑑

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 ,

adalah setara dengan suatu rumus kamiran

𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶.

Simbol kamiran ∫ merupakan huruf besar S yang dipanjangkan. Simbol ini telah digunakan oleh

Leibnitz yang merupakan singkatan bagi perkataan Latin summa. Hasil daripada perbincangan

diatas dan juga pengetahuan tentang pembezaan (lihat Unit 5) boleh diringkaskan dalam Jadual

8.1. Jadual ini menunjukkan hubungan antara rumus pembezaan dan kamiran tak tentu untuk

beberapa fungsi mudah.

Jadual 8.1

Rumus pembezaan Rumus kamiran yang setara

𝑑

𝑑𝑥 𝑥2 = 2𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶

𝑑

𝑑𝑥 sin 𝑥 = 𝑘𝑜𝑠 𝑥 𝑘𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

𝑑

𝑑𝑥 𝑘𝑜𝑠 𝑥 = − sin 𝑥 − sin 𝑑𝑥 = kos 𝑥 + 𝐶

𝑑

𝑑𝑥 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶

Oleh kerana kedua-dua operasi ini adalah songsangan satu sama lain, maka

𝑑

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥

dan

𝑑

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶.

Kalkulus Asas|238

Contoh 8.1

Tentukan sama ada keputusan berikut benar atau salah.

a) 𝑥 𝑘𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + 𝐶.

b) 𝑥 𝑘𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + 𝑘𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶.

Penyelesaian:

a) Kamiran di atas adalah salah kerana pembezaan bagi ungkapan yang terdapat di

sebelah kanan tidak menghasilkan fungsi yang dikamir, iaitu

𝑑

𝑑𝑥 𝑥 sin 𝑥 + 𝐶 = sin 𝑥 + 𝑥 𝑘𝑜𝑠 𝑥 + 0

≠ 𝑥 𝑘𝑜𝑠 𝑥.

b) Kamiran di atas adalah benar kerana pembezaan bagi ungkapan yang terdapat di

sebelah kanan menghasilkan fungsi yang dikamir, iaitu

𝑑

𝑑𝑥 𝑥 sin 𝑥 + 𝑘𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 = sin 𝑥 + 𝑥 𝑘𝑜𝑠 𝑥 − sin 𝑥 + 0

= 𝑥 𝑘𝑜𝑠 𝑥.

8.2 Rumus Kamiran

Kebanyakan kamiran tak tentu diperolehi dengan ‘menyonsangkan’ rumus pembezaan.

Anda akan memahami maksud pernyataan ini dengan melihat beberapa rumus asas

kamiran bagi beberapa fungsi piawai seperti diberikan dalam Jadual 8.2.

Unit 8 Kamiran /239

Jadual 8.2

Kamiran Tak Tentu Rumus Pembezaan

𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑥 = 1

𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1

𝑑

𝑑𝑥 𝑥𝑛+1

𝑛 + 1 = 𝑥𝑛 , 𝑛 ≠ −1

𝑑𝑥

𝑥= ln 𝑥 + 𝐶

𝑑

𝑑𝑥 ln 𝑥 =

1

𝑥

sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑘𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑘𝑜𝑠 𝑥 = − sin 𝑥

𝑘𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 sin 𝑥 = 𝑘𝑜𝑠 𝑥

𝑠𝑒𝑘2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 tan 𝑥 = 𝑠𝑒𝑘2𝑥

𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘2 𝑑𝑥 = −kot𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑘𝑜𝑡 𝑥 = −𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘2𝑥

𝑠𝑒𝑘 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑘 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑘 𝑥 = 𝑠𝑒𝑘 𝑥 tan 𝑥

𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘 𝑥 𝑘𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘 𝑥 = −𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘 𝑥 𝑘𝑜𝑡 𝑥

𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

sinh 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘𝑜𝑠𝑕 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑘𝑜𝑠𝑕 𝑥 = sinh 𝑥

𝑘𝑜𝑠𝑕 𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑕 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑕 𝑥 = kosh 𝑥

𝑠𝑒𝑘𝑕2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑕 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑕 𝑥 = sekh 𝑥2 𝑥

𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘𝑕2 𝑥𝑑𝑥 = −𝑘𝑜𝑡𝑕 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑘𝑜𝑡𝑕 𝑥 = −kosekh2 𝑥

Kalkulus Asas|240

𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 tanh 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 = −𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 tanh 𝑥

𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 𝑘𝑜𝑡𝑕 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 + 𝐶 𝑑

𝑑𝑥 𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 = −𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 𝑘𝑜𝑡𝑕 𝑥

Contoh 8.2

Berdasarkan Jadual 8.2 nilaikan kamiran tak tentu berikut;

a) 𝑥3 𝑑𝑥. b) 𝑥 𝑑𝑥. c) 𝑑𝑥

𝑥3 . d) 𝑑𝑥

𝑥.

e) sin 𝑥 𝑑𝑥. f) 𝑘𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥. g) 𝑒𝑥𝑑𝑥. h) 𝑠𝑒𝑘𝑕2 𝑥 𝑑𝑥.

Penyelesaian:

Semua penyelesaian dalam contoh ini diselesaikan dengan berpandukan kepada Jadual

8.2.

a) 𝑥3 𝑑𝑥 =1

4 𝑥4 + 𝐶.

b) 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥12 𝑑𝑥 =

2

3𝑥

3

3 + 𝐶.

c) 𝑑𝑥

𝑥3 = 𝑥−3 𝑑𝑥 = −1

2𝑥−2 + 𝐶.

d) 𝑑𝑥

𝑥= 𝑥−1

2 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 𝐶.

e) sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑘𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶.

f) kos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶.

g) 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶.

h) 𝑠𝑒𝑘𝑕2 𝑥 𝑑𝑥 = tanh 𝑥 + 𝐶.

Unit 8 Kamiran /241

Teorem 8.2 (Sifat Asas Kamiran Tak Tentu)

a) Pemalar k boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran, iaitu

𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

b) Kamiran hasil tambah (hasil tolak) bersamaan dengan hasil tambah (hasil tolak)

kamiran, iaitu

𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥.

Berikut merupakan sifat asas kamiran tak tentu.

Teorem 8.2 (b) boleh diperluaskan kepada lebih daripada dua fungsi seperti berikut.

𝑓1 𝑥 ± 𝑓2 𝑥 ± ⋯ ± 𝑓𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 ± ⋯ ± 𝑓𝑛 𝑥 𝑑𝑥.

Contoh 8.3

Selesaikan kamiran berikut;

a) 3𝑥2 + 5 𝑑𝑥

b) −4𝑠𝑒𝑘𝑕𝑥 tanh 𝑥 𝑑𝑥

c) 𝑥4 + 3𝑥 − 4 𝑑𝑥

Penyelesaian:

a) 3𝑥2 + 5 𝑑𝑥 = 3𝑥2 𝑑𝑥 + 5 𝑑𝑥

= 3 𝑥2 𝑑𝑥 + 5 𝑑𝑥

= 3 𝑥3

3+ 𝐶1 + 5 𝑥 + 𝐶2

= 3𝑥3 + 5𝑥 + 3𝐶1 + 5𝐶2

= 3𝑥3 + 5𝑥 + 𝐶, 𝐶 = 3𝐶1 + 5𝐶2.

Kalkulus Asas|242

b) −4 𝑠𝑒𝑘𝑕𝑥 tanh 𝑥 𝑑𝑥 = −4 𝑠𝑒𝑘𝑕𝑥 tanh 𝑥 𝑑𝑥

= −4(−𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 + 𝐶1)

= 4𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 − 4𝐶1

= 4𝑠𝑒𝑘𝑕 𝑥 + 𝐶, 𝐶 = −4𝐶1.

c) 𝑥4 + 3𝑥 − 4 𝑑𝑥 = 𝑥4𝑑𝑥 + 3𝑥 𝑑𝑥 − 4 𝑑𝑥

=1

5𝑥5 + 𝐶1 + 3

1

2𝑥2 + 𝐶2 − 4(𝑥 + 𝐶3)

=1

5𝑥5 + 𝐶1 +

3

2𝑥2 + 3𝐶2 − 4𝑥 − 4𝐶3

=1

5𝑥5 +

3

2𝑥2 − 4𝑥 + 𝐶, 𝐶 = 𝐶1 + 3𝐶2 − 4𝐶3

Perhatikan bahawa penyelesaian terakhir hanya terdapat satu pemalar pengamiran.

Nota: Hasil kamiran tak tentu adalah pemboleh ubah dan pemalar.

Unit 8 Kamiran /243

1. Tentu sahkan dengan pembezaan bahawa keputusan berikut adalah benar.

a) 𝑥 𝑘𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = −𝑥 𝑘𝑜𝑠𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶.

b) 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 − 𝑒𝑥 + 𝐶.

2. Selesaikan kamiran tak tentu berikut.

a) 𝑥6𝑑𝑥

b) 1

𝑥8 𝑑𝑥

c) 𝑡45𝑑𝑡

d) 𝑥−1

2𝑑𝑥

8.3 Hasil tambah Riemann dan kamiran tentu

Hasil tambah Riemann dinamakan dengan mengambil nama seorang ahli matematik German,

Bernhard Riemann (1826-1866). Jika suatu fungsi f adalah positif, maka hasil tambah Riemann

boleh ditakrifkan sebagai jumlah luas segiempat dibawah kawasan bawah lengkuk.

Rajah 8.1

Latihan Formatif 8.1

Kalkulus Asas|244

Takrif 8.3 (kamiran tentu)

Kamiran tentu ditakrifkan sebagai berikut,

dengan 𝑎 dan 𝑏 ialah pemalar. 𝑎 disebut sebagai had bawah kamiran manakala 𝑏 disebut had

atas kamiran.

𝑓 𝑥 𝑏

𝑎

𝑑𝑥,

Teorem 8.3 (Sifat Asas Kamiran Tentu)

Jika 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) ialah fungsi selanjar di dalam selang 𝑎, 𝑏 , maka

a) 𝑓 𝑥 𝑎

𝑎𝑑𝑥 = 0, jika 𝑓 𝑎 wujud.

b) 𝑓 𝑥 𝑏

𝑎𝑑𝑥 = − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.

𝑎

𝑏

c) 𝑘𝑓 𝑥 𝑏

𝑎𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.

𝑎

𝑏

d) 𝑘𝑏

𝑎𝑑𝑥 = 𝑘 𝑏 − 𝑎 .

e) 𝑓 𝑥 𝑏

𝑎𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,

𝑏

𝑐

𝑐

𝑎 dengan 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏.

f) 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑏

𝑎𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥.

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Dalam unit ini, kita akan lebih menumpukan terhadap kamiran tentu.

Unit 8 Kamiran /245

Teorem 8.4 (Teorem Asas Kalkulus)

Jika suatu fungsi 𝑓 𝑥 adalah selanjar di dalam selang 𝑎, 𝑏 , maka

dengan 𝐹 𝑥 ialah sebarang fungsi sehingga 𝐹′(𝑥) = 𝑓 𝑥 untuk semua ∈ 𝑎, 𝑏 .

𝑓 𝑥 𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 ,

Contoh 8.4

Dengan menggunakan sifat asas kamiran, nilaikan 4 + 3𝑥2 𝑑𝑥1

0.

Penyelesaian:

4 + 3𝑥2 𝑑𝑥1

0= 4𝑑𝑥 + 3𝑥2𝑑𝑥

1

0

1

0

= 4𝑑𝑥 + 3 𝑥2𝑑𝑥1

0

1

0

= 4 𝑥 01 + 3

𝑥3

3

0

1

= 4[1 − 0] + 3[1

3− 0]

= 4 + 1

= 5.

8.4 Teorem asas kalkulus kamiran

Perbincangan dalam bahagian ini dimulakan dengan Teorem Asas Kalkulus bagi kamiran. Teorem

ini diberi tanpa bukti.

Kalkulus Asas|246

Contoh 8.5

Dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, nilaikan kamiran berikut;

a) (3𝑥2 + 7)2

0𝑑𝑥.

b) ( 𝑥 +1

𝑥)

4

1𝑑𝑥.

Penyelesaian:

a) Dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, diperoleh

3𝑥2 + 7 2

0

𝑑𝑥 = 𝑥3 + 7𝑥 02

= 8 + 14 − 0 + 0

= 22

b) Dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, diperoleh

( 𝑥 +1

𝑥)

4

1

𝑑𝑥 = 2

3𝑥

32 + 2𝑥

12

1

4

= 16 + 4

3 −

2

3+ 2

= 62

3

Contoh 8.6

a) 2𝑥 + 3 4

4𝑑𝑥 = 0

b) 𝑥 − 3 0

4𝑑𝑥 = − 𝑥 − 3

4

0𝑑𝑥

Unit 8 Kamiran /247

Penyelesaian:

a) Dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, diperoleh

2𝑥 + 3 4

4

𝑑𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 44

= 16 + 12 − (16 + 12)

= 0.

b) Dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus, diperoleh

𝑥 − 3 0

4

𝑑𝑥 = 1

2𝑥2 − 3𝑥

4

0

= 0 + 0 − (8 − 12)

= 4.

− 𝑥 − 3 4

0

𝑑𝑥 = − 1

2𝑥2 − 3𝑥

0

4

= − 8 − 12 − (0 + 0)

= 4.

Oleh itu

𝑥 − 3 0

4

𝑑𝑥 = − 𝑥 − 3 4

0

𝑑𝑥.

Kalkulus Asas|248

1. Nilaikan kamiran berikut dengan menggunakan Teorem Asas kalkulus ;

a) 𝑥5𝑑𝑥3

−1

b) (4𝑥 + 3)𝑑𝑥8

2

c) 𝑥𝑑𝑥4

0

d) 3

𝑡4 𝑑𝑡2

1

e) 𝑥5 + 2𝑑𝑥3

3

RUMUSAN

Secara amnya terdapat dua jenis kamiran iaitu kamiran tak tentu dan kamiran yang melibatkan

had, iaitu kamiran tentu. Pelajar perlu memahami teorem-teorem kamiran supaya dapat menguasai

unit ini dengan baik. Selepas ini kita akan mempelajari teknik-teknik pengamiran dan mempelajari

aplikasi kamiran dalam unit seterusnya.

KATA KUNCI

Anti pembezaan, kamiran tak tentu, teorem asas kalkulus, kamiran tentu.

Latihan Formatif 8.2

Unit 8 Kamiran /249

Nilaikan kamiran tentu atau kamiran tak tentu yang diberi;

1) 3𝑥𝑑𝑥1

0

2) (6𝑥2 − 3)𝑑𝑥

3) sin 𝑟 𝑑𝑟

4) 5 sek 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡

5) kos 𝑥 𝑑𝑥−0

−𝜋

6) 𝑡𝑑𝑡5

4

7) 4𝑥5 𝑑𝑥

8) 6

𝑥3 𝑑𝑥

9) 𝑥(𝑥 + 1) 𝑑𝑥

10) 5𝑥2

𝑥 𝑑𝑥

11) 𝑥 +1

𝑥 (𝑥 −

1

𝑥) 𝑑𝑥

12) 2𝑥2(3 − 4𝑥) 𝑑𝑥

13) 𝑥27

1𝑑𝑥

14) 1

𝑥2

7

1𝑑𝑥

15) 𝑥3 − 𝑥 𝑑𝑥3

−3

16) 3𝑥2 − 5 𝑑𝑥2

−2

17) 𝑥 − 𝑥3 + 6𝑥5 𝑑𝑥10

−10

18) 1

𝑥2𝑑𝑥

𝑁

10

RUJUKAN

Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.

Latihan Sumatif

Kalkulus Asas|250

Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF

Latihan Formatif 8.1

1. a) Salah b) Benar

2. a) 1

7𝑥7 + 𝐶. b) −

1

9𝑥−9 + 𝐶. c)

5

9𝑡

95 + 𝐶. d) 2𝑥

12 + 𝐶

Latihan Formatif 8.2

1. a) 364

3 b) 138 c)

16

3 d)

7

8 e) 0

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1) 3

2

2) 2𝑥3 − 3𝑥 + 𝐶

3) − kos 𝑟 + 𝐶

4) 5 sek 𝑡 + 𝐶

5) 0

6) 2

3(5

32 − 8)

7) 2𝑥6

3+ 𝐶

8) −3

𝑥2 + 𝐶

9) 𝑥3

3+

𝑥2

2+ 𝐶

10) 2𝑥52 + 𝐶

11) 𝑥3

3+

1

𝑥+ 𝐶

12) 2𝑥3 − 2𝑥4 + 𝐶

13) 114

14) 6

7

15) 0

16) -4

17) 0

18) 1

10−

1

𝑁