UncertaintyRepresentation

(Ketidakpastian)

• Dalam kenyataan sehari-hari banyak masalahdi dunia ini yang tidak dapat dimodelkan secara lengkap dan konsisten

• Penambahan fakta baru pada suatu penalaranmengakibatkan ketidakkonsistenan(Penalaran Non Monotonis), denganciri-ciri :1. adanya ketidakpastian2. adanya perubahan pada

pengetahuan3. adanya penambahan fakta baru

dapat mengubah konklusi yangsudah terbentuk

• Contoh :Premis-1 : Aljabar pelajaran yang sulitPremis-2 : Geometri pelajaran yang sulitPremis-3 : Kalkulus pelajaran yang sulitKonklusi : Matematika pelajaran yang sulit

Jika muncul premis baru :Premis-4 : Optika pelajaran yang sulitMaka konklusi sebelumnya menjadisalah

• Ketidakpastian pada penalaran non monotonisdapat diatasi dengan :1. Penalaran Statistik(Statistical Reasoning)• Probabilitas & Teorema Bayes• Faktor Kepastian (Certainty Factor)• Teori Dempster-Shafer

2. Logika Fuzzy

Probabilitas&

Teorema Bayes

• Probabilitas: menunjukkan kemungkinansesuatu akan terjadi atau tidak

𝑝ሺ𝑥ሻ= 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛

• Teorema Bayes :

𝑝ሺ𝐻𝑖|𝐸ሻ= 𝑝ሺ𝐸|𝐻𝑖ሻ∗𝑝ሺ𝐻𝑖ሻσ 𝑝ሺ𝐸|𝐻𝑘ሻ∗𝑝ሺ𝐻𝑘ሻ𝑛𝑘=1

dengan :p(Hi|E) = probabilitas hipotesis Hi benar jika diberikan fakta E

p(E|Hi) = probabilitas munculnya fakta E, jika diketahui hipotesis Hi benar

p(Hi) = probabilitas hipotesis Hi (menurut hasil sebelumnya) tanpa memandang fakta apapun

n = jumlah hipotesis yang mungkin

• Contoh:Ani mengalami gejala ada bintik-bintik diwajahnya. Dokter menduga Ani kena cacardengan :• p(Bintik2|Cacar) = 0,8• p(Cacar) = 0,4• p(Bintik2|Alergi) = 0,3• p(Alergi) = 0,7

Maka :• Probabilitas Ani terkena cacar karena ada

bintik-bintik di wajahnya :

𝑝ሺ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟|𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሻ= 𝑝ሺ𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2|𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟ሻ∗𝑝ሺ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟ሻ𝑝ሺ𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2|𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟ሻ∗𝑝ሺ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟ሻ+ 𝑝ሺ𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2|𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖ሻ∗𝑝ሺ𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖ሻ

• Probabilitas Ani terkena alergi karena adabintik-bintik di wajahnya :

𝑝ሺ𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖|𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሻ= 𝑝ሺ𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2|𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖ሻ∗𝑝ሺ𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖ሻ𝑝ሺ𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2|𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟ሻ∗𝑝ሺ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟ሻ+ 𝑝ሺ𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2|𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖ሻ∗𝑝ሺ𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖ሻ

• Muncul satu atau lebih fakta baru setelah pengujian hipotesis :

𝑝ሺ𝐻|𝐸,𝑒ሻ= 𝑝ሺ𝐻|𝐸ሻ∗𝑝ሺ𝑒|𝐸,𝐻ሻ𝑝ሺ𝑒|𝐸ሻ

dengan :e = fakta lamaE = fakta barup(H|E,e)= probabilitas hipotesis H benar jika muncul fakta baru E dari fakta lama ep(H|E) = probabilitas hipotesis H benar jika diberikan fakta Ep(e|E,H)= kaitan antara e dan E jika hipotesis H benarp(e|E) = kaitan antara e dan E tanpa memandang hipotesis apapun

• Contoh: Hubungan Bintik & Panas Terhadap Cacar

Bintik2 Panas

Cacarp(Cacar|Bintik2) = 0,8 p(Cacar|Panas) = 0,5

p(Bintik2, Panas) = 0,6

p(Bintik2|Panas, Cacar) = 0,4

Maka :• Probabilitas sesorang terkena cacar jika

badannya panas selain muncul bintik :

𝑝ሺ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟|𝑃𝑎𝑛𝑎𝑠,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሻ= 𝑝ሺ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟|𝑃𝑎𝑛𝑎𝑠ሻ∗𝑝ሺ𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2|𝑃𝑎𝑛𝑎𝑠,𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟ሻ𝑝ሺ𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2|𝑃𝑎𝑛𝑎𝑠ሻ

Certainty Factor

• CF: menunjukkan ukuran kepastian terhadapsuatu fakta atau aturan𝐶𝐹ሾℎ,𝑒ሿ= 𝑀𝐵ሾℎ,𝑒ሿ− 𝑀𝐷ሾℎ,𝑒ሿ

dengan :CF[h,e] = faktor kepastianMB[h,e] = ukuran kepercayaan terhadap hipotesis h, jika diberikan fakta e (antara 0 dan 1)MD[h,e] = ukuran ketidakpercayaan terhadap fakta h, jika diberikan fakta e (antara 0 dan 1)

Kombinasi aturan dalam CF

e1

e2

h

𝑀𝐵ሾℎ,𝑒1 ∧𝑒2ሿ= ൜0 𝑀𝐷ሾℎ,𝑒1 ∧𝑒2ሿ= 1𝑀𝐵ሾℎ,𝑒1ሿ+ 𝑀𝐵ሾℎ,𝑒2ሿ⋅ሺ1− 𝑀𝐵ሾℎ,𝑒1ሿሻ 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

𝑀𝐷ሾℎ,𝑒1 ∧𝑒2ሿ= ൜0 𝑀𝐵ሾℎ,𝑒1 ∧𝑒2ሿ= 1𝑀𝐷ሾℎ,𝑒1ሿ+ 𝑀𝐷ሾℎ,𝑒2ሿ⋅ሺ1− 𝑀𝐷ሾℎ,𝑒1ሿሻ 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

• Contoh:Ani mengalami gejala ada bintik-bintik diwajahnya. Dokter menduga Ani kena cacardengan :• MB[Cacar,Bintik2] = 0,80• MD[Cacar,Bintik2] = 0,01

Maka :

𝐶𝐹ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሿ= 0,80− 0,01 = 0,79

Observasi baru menunjukkan Ani juga terkenapanas badan dengan :• MB[Cacar,Panas] = 0,7• MD[Cacar,Panas] = 0,08

Maka :

𝑀𝐵ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2∧𝑃𝑎𝑛𝑎𝑠ሿ= 0,8+ 0,7∗ሺ1− 0,8ሻ= 0,94 𝑀𝐷ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2∧𝑃𝑎𝑛𝑎𝑠ሿ= 0,01+ 0,08∗ሺ1− 0,01ሻ= 0,0,0892 𝐶𝐹ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2∧𝑃𝑎𝑛𝑎𝑠ሿ= 0,94− 0,0892 = 0,8508

Kombinasi aturan dalam CF

h1 h2

𝑀𝐵ሾℎ1 ∧ℎ2,𝑒ሿ= 𝑚𝑖𝑛ሺ𝑀𝐵ሾℎ1,𝑒ሿ,𝑀𝐵ሾℎ2,𝑒ሿሻ 𝑀𝐵ሾℎ1 ∨ℎ2,𝑒ሿ= 𝑚𝑎𝑥ሺ𝑀𝐵ሾℎ1,𝑒ሿ,𝑀𝐵ሾℎ2,𝑒ሿሻ 𝑀𝐷ሾℎ1 ∧ℎ2,𝑒ሿ= 𝑚𝑖𝑛ሺ𝑀𝐷ሾℎ1,𝑒ሿ,𝑀𝐷ሾℎ2,𝑒ሿሻ 𝑀𝐷ሾℎ1 ∨ℎ2,𝑒ሿ= 𝑚𝑎𝑥ሺ𝑀𝐷ሾℎ1,𝑒ሿ,𝑀𝐷ሾℎ2,𝑒ሿሻ

• Contoh:Ani mengalami gejala ada bintik-bintik diwajahnya. Dokter menduga Ani kena cacardengan :• MB[Cacar,Bintik2] = 0,80• MD[Cacar,Bintik2] = 0,01

Maka :

𝐶𝐹ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሿ= 0,80− 0,01 = 0,79

Observasi tersebut juga memberikan kepercayaanbahwa Ani mungkin juga terkena alergidengan :• MB[Alergi,Bintik2] = 0,4• MD[Alergi,Bintik2] = 0,3

Maka :

𝐶𝐹ሾ𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሿ= 0,4− 0,3 = 0,1

Nilai faktor kepercayaan Ani menderita cacar dan alergi jika muncul gejalabintik-bintik :

𝑀𝐵ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟∧𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሿ= 𝑚𝑖𝑛ሺ0,8;0,4ሻ= 0,4 𝑀𝐷ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟∧𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሿ= 𝑚𝑖𝑛ሺ0,01;0,3ሻ= 0,01 𝐶𝐹ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟∧𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሿ= 0,4− 0,01 = 0,39

Nilai faktor kepercayaan Ani menderita cacar atau alergi jika muncul gejalabintik-bintik :

𝑀𝐵ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟∨𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሿ= 𝑚𝑎𝑥ሺ0,8;0,4ሻ= 0,8 𝑀𝐷ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟∨𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሿ= 𝑚𝑎𝑥ሺ0,01;0,3ሻ= 0,3 𝐶𝐹ሾ𝐶𝑎𝑐𝑎𝑟∨𝐴𝑙𝑒𝑟𝑔𝑖,𝐵𝑖𝑛𝑡𝑖𝑘2ሿ= 0,8− 0,3 = 0,5

Kombinasi aturan dalam CF

BA C

𝑀𝐵ሾℎ,𝑠ሿ= 𝑀𝐵′ሾℎ,𝑠ሿ∗𝑚𝑎𝑥ሺ0,𝐶𝐹ሾ𝑠,𝑒ሿሻ MB’[h,s] = ukuran kepercayaan h berdasarkan keyakinan penuh terhadap

validitas s

• Contoh:PHK = terjadi PHKPengangguran = muncul banyak pengangguranGelandangan = muncul banyak gelandangan

Aturan :/1/IF terjadi PHKTHEN muncul banyak pengangguran(CF[Pengangguran,PHK]=0,9)

/2/IF muncul banyak pengangguranTHEN muncul banyak gelandangan(MB[Gelandangan,Pengangguran]=0,7)

Maka :MB[Gelandangan,Pengangguran]= (0,7) * (0,9) = 0,63

TeoriDempster-Shafer

• Teori Dempster-Shafer : teori matematika untukpembuktian berdasarkan belief functions (fungsi kepercayaan) dan plausible reasoning(penalaran yang masuk akal)

• Digunakan untuk mengkombinasikan potongan informasi (fakta) yang terpisahuntuk mengkalkulasi kemungkinandari suatu peristiwa

• Teori Dempster-Shafer ditulis dalam bentukinterval :

ሾ𝐵𝑒𝑙𝑖𝑒𝑓,𝑃𝑙𝑎𝑢𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦ሿ

• Belief (Bel) : ukuran kekuatan fakta dalammendukung suatu himpunan proposisi,jangkauan nilai dari 0 (tidak ada fakta)hingga 1 (kepastian)

• Plausibility (Pl) : 𝑃𝑙ሺ𝑠ሻ= 1− 𝐵𝑒𝑙ሺ~𝑠ሻ

• Contoh :Diketahui nilai belief adalah 0,5 dan nilaiplausibility adalah 0,8 untuk proposisi“the cat in the box is dead”

Bel = 0,5 Fakta yang mendukung proposisitersebut memiliki nilai kepercayaan sebesar 0,5

Pl = 0,8Fakta yang melawan proposisi tersebuthanya memiliki nilai kepercayaansebesar 0,2

Interval berikut menunjukkan levelketidakpastian berdasarkan fakta padaproposisi tersebut :

Hypothesis Mass Belief Plausibility

Null (neither alive nor dead) 0 0 0

Alive 0,2 0,2 0,5

Dead 0,5 0,5 0,8

Either (alive or dead) 0,3 1,0 1,0

• Pada teori Dempster-Shafer dikenal adanyaframe of discernment (θ) yaitu semesta pembicaraan dari sekumpulan hipotesisContoh :

• Nilai probabilitas densitas (m) mendefi-nisikan elemen-elemen θ serta semuasubsetnya

• Jika θ berisi n elemen, subset dari θadalah 2n

𝜃 =ሼ𝐴𝑙𝑖𝑣𝑒,𝐷𝑒𝑎𝑑ሽ

• Jika θ berisi n elemen, subset dari θadalah 2n

• Jumlah semua m dalam subset θ adalah 1

• Jika tidak ada informasi untuk memilihhipotesis-hipotesis yang ada maka :𝑚ሼ𝜃ሽ= 1

• Jika diketahui X adalah subset dari θ dengan m1sebagai fungsi densitasnya, dan Y juga merupakan subset dari θ dengan m2 sebagaifungsi densitasnya, maka fungsi kombinasi m1 dan m2 :𝑚3ሺ𝑍ሻ= σ 𝑚1ሺ𝑋ሻ⋅ 𝑚2ሺ𝑌ሻ𝑋∩𝑌=𝑍1− σ 𝑚1ሺ𝑋ሻ⋅ 𝑚2ሺ𝑌ሻ𝑋∩𝑌=∅

• Contoh :Ada 3 jurusan yang diminati oleh Ali, TeknikInformatika (I), Psikologi (P), atau Hukum (H). Ali mencoba mengikuti beberapates ujicoba :• Tes logika : m1{I,P} = 0,75• Tes matematika : m2{I} = 0,8

Tentukan probabilitas densitas yangbaru untuk {I,P} dan {I}

Aturan kombinasi untuk m3

𝑚1ሼ𝐼,𝑃ሽ= 0,75; 𝑚1ሼ𝜃ሽ= 1− 0,75 = 0,25;𝑚2ሼ𝐼ሽ= 0,8; 𝑚2ሼ𝜃ሽ= 1− 0,8 = 0,2;

{I} (0,8) θ (0,2)

{I, P} (0,75) {I} (0,60) {I, P} (0,15)

θ (0,25) {I} (0,20) θ (0,05)

𝑚3ሼ𝐼ሽ= 0,6+ 0,21− 0 = 0,8

𝑚3ሼ𝐼,𝑃ሽ= 0,151− 0 = 0,15

𝑚3ሼ𝜃ሽ= 0,051− 0 = 0,05

Di hari berikutnya, Ali mengikuti tes ketigayaitu tes kewarganegaraan. Hasil tesmenunjukkan bahwa probabilitas densitasm4{H} = 0,3

Tentukan probabilitas densitas yang baruuntuk {I,P}, {I}, dan {H}

Aturan kombinasi untuk m4

𝑚4ሼ𝐻ሽ= 0,3

{H} (0,3) θ (0,2)

{I} (0,80) Ø (0,240) {I} (0,560)

{I,P} (0,15) Ø (0,045) {I,P} (0,105)

θ (0,05) {H} (0,015) θ (0,035)

𝑚5ሼ𝐼ሽ= 0,5601−ሺ0,240+ 0,045ሻ= 0,8

𝑚4ሼ𝜃ሽ= 1− 0,3 = 0,7

𝑚5ሼ𝐼,𝑃ሽ= 0,1051−ሺ0,240+ 0,045ሻ= 0,147

𝑚5ሼ𝐻ሽ= 0,0151−ሺ0,240+ 0,045ሻ= 0,021

𝑚5ሼ𝜃ሽ= 0,0351−ሺ0,240+ 0,045ሻ= 0,049