UKURAN PEMUSATAN -...
Transcript of UKURAN PEMUSATAN -...
UKURAN PEMUSATANMata kuliah : Statistika Terapan
Pengajar : Dany Juhandi, S.P, M.Sc
Semester : II
Pertemuan : IV
Pokok Bahasan : Ukuran Pemusatan; Mean, Modus
dan Median
PROGRAM STUDI AKUNTANSI PERPAJAKAN
Tujuan Pembelajaran:• Mahasiswa mampu menentukan unsur-unsur yang perlu diketahui sebelum
memperoleh nilai mean, modus dan median.
• Mahasiswa mampu menentukan nilai rata-rata hitung, modus dan median.
• Mahasiswa mampu memahami hubungan antara mean, modus dan median.
• Mahasiswa mampu membedakan antara mean, modus dan median.
Sub Pembahasan
1. Mean
2. Modus
3. Median
4. Hubungan Mean, Median dan Modus
5. Kuartil
6. Desil
7. Persentil
Rata-rata Hitung (MEAN)Merupakan jumlah dari seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya data.
ҧ𝑥 =𝑋1+𝑋2+𝑋3+⋯+𝑋𝑛
𝑛=
σ𝑖=1𝑖=𝑛 𝑋𝑖
𝑛
Di mana:𝜇 = rata − rata hitungan untuk populasiҧ𝑥 = rata − rata hitungan untuk sampel
1. Rata-rata Tertimbanga. Carilah mean dari 5 pertumbuhan tanaman kangkung berikut: X1 = 70, X2 = 65, X3 = 30, X4 =
45, X5 = 60.
Penyelesaian:
ҧ𝑥 =70+65+30+45+60
5= 54
2. Rata-rata Hitung Data Dikelompokkan
Rumusnya: ҧ𝑥 =σ 𝑓𝑖𝑋𝑖σ 𝑓𝑖
Di mana:
Xi = Titik tengah masing-masing kelas
Fi = Frekuensi masing-masing kelas
Contoh:
Carilah mean dari distribusi frekuensi berikut:No. Kelas Interval Frekuensi (fi) Xi Fi.Xi
1 53 – 58 2 55,5 111
2 59 – 64 12 61,5 738
3 65 – 70 10 67,5 675
4 71 – 76 23 73,5 1690,5
5 77 – 82 14 79,5 1113
6 83 – 88 10 85,5 855
7 89 – 94 5 91,5 457,5
8 95 – 100 4 97,5 390
Ʃfi = 80 Ʃfi.xi = 6030
Maka meannya adalah:
ҧ𝑥 =σ𝑓𝑖𝑋𝑖σ𝑓𝑖
=6030
80= 75,38
Mencari mean dengan cara coding atau short cut.
ҧ𝑥 = 𝑥0 + 𝑃σ𝑓𝑖𝑐𝑖σ𝑓𝑖
Di mana:
Ci = Pengkodean (mulai dari nol)
X0 = Nilai tengah kelas yang memakai kode 0
P = Panjang kelas/interval
Carilah mean dari distribusi frekuensi berikut:No. Kelas Interval Frekuensi (fi) Ci fi.ci X0
1 53 – 58 2 -3 -6 55,5
2 59 – 64 12 -2 -24 61,5
3 65 – 70 10 -1 -10 67,5
4 71 – 76 23 0 0 73,5
5 77 – 82 14 1 14 79,5
6 83 – 88 10 2 20 85,5
7 89 – 94 5 3 15 91,5
8 95 – 100 4 4 16 97,5
Ʃfi = 80 Ʃfi ci = 25
Maka meannya adalah:
ҧ𝑥 = 𝑥0 + 𝑃σ𝑓𝑖𝑐𝑖σ𝑓𝑖
= 73,5 + 525
80= 75,38
MODUS
Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi terbesar dalam suatu kumpulan data.
Contoh:
Data dari 10 pertumbuhan tanaman bayam sebagai berikut: 50, 40, 37, 50, 50, 60, 80, 80, 70, 90.
Maka modusnya adalah 50.
Rumus modus dari data kuantitatif degan data distribusi frekuensi:
𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑃𝑏1
𝑏1 + 𝑏2Di mana:
b = Tepi batas bawah kelas modus
P = Panjang kelas/interval
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya
b2 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas berikutnya.
Contoh:Diketahui distribusi frekuensi di samping:
Berdasarkan tabel di samping, didapat:
b1 = 25 – 20 = 5
b2 = 25 – 5 = 20
b = 80,5
P = 10
Jadi modusnya adalah
𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑃𝑏1
𝑏1 + 𝑏2= 80,5 + 10
5
5 + 20= 82,5
Kelas Interval f
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 20
81 – 90 25
91 – 100 5
Ʃf = 73
Latihan Soal :
Diketahui tabel distribusi frekuensi sebagai berikut:
Tentukan nilai modusnya!
No. Kelas Interval Frekuensi
1 20 – 29 4
2 30 – 39 7
3 40 – 49 8
4 50 – 59 12
5 60 – 69 9
6 70 – 79 8
7 80 – 89 2
50
MEDIANMerupakan nilai tengah dari nilai-nilai pengamatan yang disusun secara teratur menurut besarnya data:
Contoh:
Median dari data berikut: 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10 adalah 7 (untuk data ganjil)
Dan median dari data 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11 adalah (7+8)/2=7,4 (untuk data genap)
Untuk menentukan median dari data yang dikelompokkan dalam data distribusi frekuensi menggunakan rumus:
𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑃
12𝑛 − 𝐹
𝑓
Di mana:
b = Tepi batas bawah kelas median
P = Panjang kelas/interval
F = Jumlah frekuensi sebelum kelas median
n = Jumlah seluruh frekuensi
f = frekuensi kelas median
Contoh:Diketahui tabel distribusi frekuensi di samping:
Berdasarkan tabel di samping, kelas mediannya adalah:
73/2 = 36,5 (angka 36,5 terletak di kelas interval ke 5) sehingga didapat b = 70,5; P = 10; F=23; n = 73. Dengan demikian nilai mediannya adalah:
𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑃
12𝑛 − 𝐹
𝑓
= 70,5 + 10
12. 73 − 23
20= 77,25
Kelas Interval f
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 20
81 – 90 25
91 – 100 5
Ʃf = 73
Latihan Soal :
Diketahui tabel distribusi frekuensi sebagai berikut:
Tentukan nilai mediannya!
No. Kelas Interval Frekuensi
1 20 – 29 4
2 30 – 39 7
3 40 – 49 8
4 50 – 59 12
5 60 – 69 9
6 70 – 79 8
7 80 – 89 2
50
Hubungan Mean, Modus dan Median
• Bila nilai mean, nilai median dan nilai modus sama besar ( ҧ𝑥 = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜), artinya nilai mean, median dan modus terletak pada satu titik dari kurva distribusi frekuensi, dan kurva/data tersebut berbentuk simetris (symetrical curve)
• Bilai nilai mean lebih besar dari nilai median dan nilai modus ( ҧ𝑥 > 𝑀𝑒 > 𝑀𝑜), artinya nilai mean terletak di sebelah kanan kurva distribusi frekuensi, kemudian median di tengah dan modus di kiri, maka kurva/data tersebut bentuknya tidak simetris dan menceng ke sebelah kanan (skewed right)
• Bila nilai mean lebih kecil dari nilai median dan nilai modus ( ҧ𝑥 < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜), artinya nilai mean terletak di sebelah kiri kurva distribusi frekuensi, kemudian median di tengah dan modus di kanan, maka kurva/data tersebut bentuknya tidak simetris dan menceng ke sebelah kiri (skewed left)
KUARTILKuartil merupakan nilai-nilai membagi data yang telah diurutkanmenjadi empat bagian yang sama, sehinga dalam suatu gugus datadidapati 3 kuartil (kuartil 1, kuartil 2 atau median, dan kuartil 3). Untuklebih jelas diperhatikan gambar berikut:
Untuk menentukan nilai kuartil perlu diperhatikan langkah-langkahberikut:1. Susun data tersebut menurut nilainya2. Tentukan letak kuartil3. Tentukan nilai kuartil
Q1 Q2 Q3
¼ of items ¼ of items ¼ of items ¼ of items
1st quatile 2nd quatile(median)
3rd quatile
Lowest observation
Highest observation
Rumus:
a. Letak Kuartil
• Letak kuartil 1 (Q1):
𝑄1 =1 (9 + 1)
4= 2,5
• Letak kuartil 2 (Q2):
𝑄2 =2 (9 + 1)
4= 5
• Letak kuartil 3 (Q3):
𝑄2 =3 (9 + 1)
4= 7,55
Letak kuartil:
Di mana:
Qk = kuartil ke k
k = 1, 2, 3
N = Banyak data
Contoh:
Tentukan letak Q1, Q2, dan Q3 serta nilainya dari data berikut: 35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95
Penyelesaian:
25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95
1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑄𝑘 =𝑘 (𝑁 + 1)
4 b. Nilai Kuartil
• Nilai kuartil 1 (Q1) = data ke2 + ½ (data ke3 – data ke2)
𝑸𝟏= 𝟑𝟓 +𝟏
𝟐𝟒𝟎 − 𝟑𝟓 = 𝟑𝟕, 𝟓
• Nilai kuartil 2 (Q2) → adalah 61karena letak kuartil tepat berada di data ke-5
• Nilai kuartil 3 (Q3) = data ke7 + ½ (data ke8 – data ke7)
𝑸𝟑 = 𝟖𝟎 +𝟏
𝟐𝟗𝟎 − 𝟖𝟎 = 𝟖𝟓, 𝟓
Rumus mencari Nilai Kuartil Data dikelompokkan:
Di mana:
Qk = kuartik ke k
k = 1, 2, 3
B1 = Batas bawah kelas yang mengandung Qk
i = Interval Kelas
cfb = Jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung Qk
Fq = Frekuensi kelas yang mengandung Qk
n = Banyak observasi
𝑄𝑘 = 𝐵1 + 𝑖
𝑘4 𝑛 − 𝑐𝑓𝑏
𝑓𝑄
Contoh:Cari letak dan nilai Q1, Q2 dan Q3 dari data sebagai berikut:
Kelas Interval F
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 20
81 – 90 25
91 – 100 12
Ʃf = 80
Penyelesaian:
a. Letak kuartil: Qi = (k/4) x N• Letak Q1 = ¼ x 80 = 20• Letak Q2 = 2/4 x 80 = 40
• Letak Q3 = ¾ x 80 = 60
b. Nilai Kuartil:
• Untuk Q1k=1, cfb=8, B1=60,5, i=10, fq=15, N=80
𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝑸𝟏 = 60,5 + 1020 − 8
15= 68,5
• Untuk Q2k=2, cfb=23, B1=70,5, i=10, fq=20, N=80
𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝑸𝟐 = 70,5 + 1040 − 23
20= 79
• Nilai Q3 k=1, cfb=48, B1=80,5, i=10, fq=25, N=80
𝑵𝒊𝒍𝒂𝒊 𝑸𝟑 = 80,5 + 1060 − 43
25= 87,5
Letak Q1
Letak Q2
Letak Q3
𝑄𝑘 = 𝐵1 + 𝑖
𝑘4 𝑛 − 𝑐𝑓𝑏
𝑓𝑄
DESILJika kelompok suatu data dapat dibagi menjadi 10 bagian yang sama diperoleh 9 pembagi dan tiap pembagi disebut desil.
Rumus mencari letak desil untuk
data yang tidak dikelompokkan:
Di mana:
Dk = Desik ke k
k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
N = Banyaknya observasi
𝐷𝑘 =𝑘 (𝑁 + 1)
10
Rumus mencari letak desil untuk data yang dikelompokkan:
Di mana: Dk = Desik ke kk = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9B1 = Batas bawah kelas yang mengandung Dkcfb = Jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung DkFq = Frekuensi kelas yang mengandung Dkn = Banyak observasi
𝐷𝑘 = 𝐵1 + 𝑖
𝑘10 𝑛 − 𝑐𝑓𝑏
𝐷
D1Lowest observation
Highest observation
D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
Contoh→Menentukan letak dan nilai desil untuk data tidak dikelompokkan
Penyelesaian:
25, 30, 35, 40, 40, 46, 47, 50, 55, 60, 70, 80, 90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
a. Letak Desil
• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷2 =2 (13+1)
10=
28
10= 2,8
• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷4 =4 (13+1)
10=
56
10= 5,6
• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷6 =6 (13+1)
10=
84
10= 8,4
b. Nilai Desil
• Nilai D2 = data ke-2 + 0,8 (data ke3 – data ke2)
𝐍𝐢𝐥𝐚𝐢 𝑫𝟐 = 30 + 0,8 35 − 30 = 34
• Nilai D4 = data ke-4 + 0,6 (data ke6 – data ke5)
𝐍𝐢𝐥𝐚𝐢 𝑫𝟒 = 40 + 0,6 46 − 40 = 43,6
• Nilai D6 = data ke-6 + 0,4 (data ke7 – data ke6)
𝐍𝐢𝐥𝐚𝐢 𝑫𝟔 = 46 + 0,4 55 − 50 = 48
Carilah letak dan nilai D2, D4, D6 dari data sebagai berikut: 30, 46, 47, 50, 35, 25, 40, 40,55, 60, 70, 80, 90
Contoh →Menentukan letak dan nilai Desil untuk data dikelompokkan Cari letak dan nilai D8 dari data berikut:
Penyelesaian:
• 𝐿𝑒𝑡𝑎𝑘 𝐷8 =(8 ×80)
10= 64
Maka:
• 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐷8 = 80,5 + 1064 −43
25= 88,9
Kelas Interval F
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 20
81 – 90 25
91 – 100 12
Ʃf = 80
PERSENTILJika suatu data dibagi menjadi 100 bagian yang sama didapat 99 pembagi dan setiap pembagi disebut persentil.
Rumus mencari letak desil untuk data yang tidak dikelompokkan:
Di mana: Pk = Persentil ke kk = 1, 2, 3, 4,...........,99N = Banyaknya observasi
𝑃𝑘 =𝑘 (𝑁 + 1)
100
Rumus mencari letak desil untuk data yang dikelompokkan:
Di mana: Dk = Persentil ke kk = 1, 2, 3, 4,.........,99B1 = Batas bawah kelas yang mengandung Pkcfb = Jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung PkFq = Frekuensi kelas yang mengandung Pkn = Banyak observasi
𝑃𝑘 = 𝐵1 + 𝑖
𝑘100 𝑛 − 𝑐𝑓𝑏
𝑓𝑝
P1Lowest observation
Highest observation
P2 P3 P4 P5 .................................... P99
Contoh→Menentukan letak dan nilai persentil untuk data tidak dikelompokkan
Tentukan letak P20 serta nilainya dari data berikut ini:
35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95
Penyelesaian:
25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95
1 2 3 4 5 6 7 8 9
• Letak persentil 20 (P20)
𝑃20 =20 (9+1)
100= 2
Contoh →Menentukan letak dan nilai persentil untuk data dikelompokkan
Cari letak dan nilai P50 dan P75 dari data sebagai berikut:
Penyelesaian:
a. Letak Persentil
• Letak P50
𝑃50 =(50 ×80)
100= 40
• Letak P75
𝑃75 =(75 ×80)
100= 60
b. Nilai Persentil
• Nilai P50
𝑃50 = 70,5 + 1040 −23
20= 79
• Nilai P75
𝑃75 = 80,5 + 1060 −48
25= 85,3
Kelas Interval F
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 20
81 – 90 25
91 – 100 12
Ʃf = 80
Tugas1. Tabel berikut merupakan suatu distribusi frekuensi dari harga
barang.
a. Rata-rata hitung dengan metode langsung!
b. Rata-rata hitung dengan metode short cut!
c. Median
d. Modus
No. Harga Frekuensi
1 60 – 62 5
2 63 – 65 18
3 66 – 68 42
4 69 – 71 27
5 72 – 74 8
100
Lanjutan....
2. Seorang pengusaha membayar upah Rp 50.000 kepada 5 pekerjanya, Rp 60.000 kepada 4 pekerjanya dan RP 70.000 kepada 3 pekerjanya. Berapakah rata-rata tertimbang upah yang dibayarkan pengusaha tersebut?
Referensi:• Somantri, Ating et al.2006.Aplikasi Statistika Dalam
Penelitian.Bandung:Pustaka Setia
• Mulyono, Sri.1998.Statistika Untuk Ekonomi.Universitas Indonesia:Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia