DESCRIBING FUNCTIONSISTEM KENDALI NON LINIER

1. Konsep Dasar dan DefinisiTeori dan teknik describing function menggambarkan pendekatan matematika untuk menganalisa dan merancang aturan sistem non linier. Untuk menyajikan describing function, format matematika tertentu harus diberikan, terutama konsep persamaan diferensial seperti langkah respon dan sinusoidal input respon. Selain dasar persamaan diferensial sebagai cara untuk mendeskripsikan sistem aturan (sirkuit, penggerak listrik, robot, pesawat, reaksi kimia, ekosistem, dll) tambahan konsep matematika tertentu sangat penting untuk aplikasi dari describing function.Alasan utama untuk teknik describing function adalah kebutuhan untuk memahami aturan dari sistem non linier, yang didasarkan pada fakta sederhana bahwa setiap sistem adalah non linier kecuali pada sistem operasi yang sangat terbatas. Efek non linier dapat bermanfaat (banyak aturan yang hanya dapat dicapai dengan sistem non linier, sinyal periodik atau osilator). Sayangnya, matematika diperlukan untuk memahami aturan non linier yang jauh lebih maju dari itu diperlukan untuk kasus linier.Teori matematika untuk sistem linier menyediakan kerangka kerja yang terpadu untuk memahami semua kemungkinan aturan sistem linier. Hasil semacam itu tidak ada untuk sistem non linier. Sebaliknya, perbedaan jenis aturan umumnya memerlukan perhitungan matematika yang berbeda, beberapa diantaranya tepat, beberapa hanya perkiraan. Secara umum, metode yang tepat mungkin tersedia untuk sistem yang relatif sederhana. Sementara sistem yang lebih rumit mungkin hanya bisa menerima metode perkiraan. Describing function mendekati dalam kategori yang terakhir: metode perkiraan untuk sistem yang rumit.Salah satu cara untuk menangani sistem non linier adalah dengan melinearisasikan. Pendekatan standar, sering disebut linearisasi sinyal kecil, melibatkan turunan atau kemiringan masing-masing masa non linier dan menggunakan kemiringan sebagai keuntungan dari masa linier. Sebagai contoh sederhana, penyebab penting dari konsumsi bahan bakar yang berlebihan pada kecepatan yang lebih tinggi adalah tarikan gas.Daya tarik yang kuat dari linearisasi sinyal kecil adalah bahwa teori untuk sistem linier dapat dibawa untuk menanggung pada model linier yang dihasilkan. Namun, pendekatan ini hanya dapat menjelaskan efek dari variasi kecil tentang titik linearisasi, dan mungkin lebih penting, hanya dapat mengungkapkan aturan sistem linier. Pendekatan ini tidak cocok untuk memahami fenomena seperti osilasi nonlinier atau mempelajari batasan atau efek non linier.Ide dasar dari describing function adalah pendekatan untuk pemodelan dan pembelajaran aturan sistem non linier untuk mengganti setiap elemen non linier dengan deskripsi linier atau describing function yang mencapai fungsi input amplitudo. Bentuk fungsional dari keterangan tersebut diatur oleh beberapa faktor, jenis sinyal input, dan kriteria pendekatan, misalnya, minimalisasi dari error.Dua kategori describing function yang umum digunakan adalah describing function sinusoidal input dan describing function random input. Jenis lain dari describing function juga telah dikembangkan dan digunakan dalam mempelajari fenomena yang lebih rumit.Pendekatan describing function pada umumnya dapat digunakan untuk mempelajari fenomena periodik. Hal ini diterapkan untuk dua tujuan utama, batas analisis siklus dan karakteristik input / output dari non linier dalam domain frekuensi. Aplikasi yang terakhir sebagai dasar untuk berbagai analisis sistem kontrol dan metode desain, di sisi lain, digunakan untuk stochastic analisis sistem nonlinier dan desain (analisis dan desain sistem dengan sinyal acak), dengan cara analog dengan pendekatan sesuai describing function, meskipun describing function dapat dikatakan lebih umum dan serbaguna.Metode describing function juga ditunjukkan oleh metode penyetaraan linearisasi atau keseimbangan harmonis dan bertujuan untuk menganalisa aturan sistem di frekuensi domain. Ini mungkin terlihat aneh untuk dilakukan pada aturan sistem non linier sulit untuk menggambarkan di frekuensi domain karena harmonik yang lebih tinggi muncul tergantung pada jenis dan amplitudo sinyal input. Dengan mengabaikan harmonik yang lebih tinggi untuk input sinusoidal yang disebut sistem linearisasi dimana amplitudo gelombang input sebagai parameter untuk menganalisa stabilitas. Prinsip tersebut dapat secara sederhana dijelaskan dengan gambar 1.1

Gambar 1.1 Skema blok metode describing functionDalam hal ini seharusnya proses total dapat digambarkan dengan kaskade non linier dan bagian linear. Bagian non linear harus sedemikian rupa sehingga gelombang sinus pada input e mengarah ke sinyal periodik q dari periode yang sama dimana bentuknya tergantung pada input amplitudo gelombang sinus tetapi tidak pada frekuensi. Contoh non linier dapat ditemukan pada gambar 1.2

Gambar 1.2 Blok non linearMaka mudah untuk menyimpulkan fungsi non linier pada baris pertama dan kedua yang eksitasi dengan gelombang sinus akan menghasilkan sinyal periodik dari periode yang sama dimana bentuknya hanya bergantung pada amplitudo dari gelombang datang dan tidak dipengaruhi oleh frekuensi.Prinsip yang sama untuk fungsi non linier pada baris ke tiga didefinisikan dengan fungsi eksplisit dari nilai input sementara. Blok lainnya dapat digunakan untuk menyusun non linier yang lebih kompleks. Dalam hal ini pemenuhan dari asumsi tersebut harus diawasi. Asumsi penting tersebut, dalam kata lain, adalah bahwa blok non linier itu hanya efek kemungkinan penundaan (digambarkan oleh sebuah pergeseran fasa) dan menambahkan harmonik yang lebih tinggi ke sinyal datang sinusoidal tergantung pada amplitudo tetapi tidak pada frekuensi.Selanjutnya, blok non linier seharusnya menjadi stabil dan cukup low pass sehingga semua harmonik yang lebih tinggi dapat disaring secara efektif. Linearisasi ini memungkinkan kita untuk menganalisa aturan sistem untuk setiap frekuensi dengan mempertimbangkan describing function dari blok non linier. Describing function didefinisikan sebagai : (1)Dimana adalah amplitudo input sinyal sinusoidal dan a1 dan b1 adalah koefisien Fourier dari frekuensi harmonik . Jadi describing function hanya merupakan rasio pada keluaran dari masukan harmonik dalam bidang kompleks. Dapat juga dikatakan, frekuensi bebas, amplitudo kompleks oleh non linier dari frekuensi harmonik, bahwa amplitudo dari keluaran harmonik q adalah fungsi dari amplitudo dari gelombang sinus datang.

2. Describing Function Sinusoidal InputIde-ide dasar dan penggunaan pendekatan describing function sinusoidal terbaik dapat diperkenalkan dengan menggunakan aplikasi yang paling umum, yaitu menganalisa batas siklus untuk sistem dengan non linier tunggal. Siklus batas adalah sinyal periodik, untuk semua t dan untuk beberapa T (periode), siklus batas stabil atau menyimpang dari itu (tidak stabil). Secara garis besar analisa describing function sinusoidal input pada saat kondisi siklus batas yaitu ketergantungan describing function pada jenis sinyal input dan pendekatan kriteria. Berikut penjelasan definisi standar describing function sinusoidal input : Non linear dipertimbangkan sebagai f (y(t)), dan cukup terbatas dalam bentuk ; misalnya, f (y) mungkin terputus dan / atau tak terhingga Kelas sinyal input y (t) = y0 + a cos (t) dan amplitudo input ;diukur dengan parameter (nilai-nilai) y0, a Describing function sinusoidal input ditandai Ns (y0, a) untuk komponen sinusoidal dan F0 (y0, a) untuk bagian konstan, yaitu, output nonlinier didekati oleh (2) Kriteria pendekatan di Eqn. 10 adalah minimalisasi rata kuadrat error,(3)Sekali lagi, di bawah kondisi di atas dapat ditunjukkan bahwa F0 (y0, a) dan Ns (y0, a) adalah konstan (dc) dan koefisien harmonik pertama dari ekspansi Fourier f (y0 + cos (t)). Perhatikan bahwa pendekatan karakteristik non linier ini sebenarnya mempertahankan dua sifat penting, yaitu ketergantungan amplitudo dan hubungan antara dc dan masa harmonik pertama. Yang terakhir adalah hasil dari fakta bahwa superposisi tidak berlaku untuk sistem nonlinier, sehingga, misalnya, Ns tergantung pada keduanya (y0 dan a).

3. Describing Functions Random InputsPendekatan terpadu untuk menggambarkan fungsi derifasi dengan menggunakan konsep fungsi kepadatan amplitudo untuk menempatkan semua formula describing function pada satu kedudukan. Untuk mendefinisikan describing function random input, yaitu terdistribusi normal dengan variabel acak. Mengingat nonlinier yang sama dibahas sebelumnya, maka didapatkan : Ideal relay, f (y) = D sgn (y), di mana kita asumsikan tidak ada bias (b = 0) ;y (t) = z (t) merupakan normal variabel acak Kubik non linier, f(y) = K y (t), lagi dengan asumsi tidak ada biasHubungan tersebut membuktikan perkiraan rata-rata minimum kuadrat error. Untuk proses pemisahan, diasumsikan bahwa fungsi kepadatan amplitudo dari output non linier adalah dari kelas yang sama sebagai masukan, misalnya, describing function random input untuk kasus normal memberikan penguatan yang sesuai fungsi kepadatan amplitudo normal untuk fungsi kepadatan amplitudo sebenarnya dari output dengan rata-rata minimum kuadrat error. Hanya ada satu pembatasan dibandingkan dengan metode Fourier untuk menurunkan describing functio sinusoidal input, yaitu non linier tak terhingga (seperti relay dengan hysteresis) tidak dapat di selesaikan dengan menggunakan fungsi pendekatan kepadatan amplitudo. Jelas bahwa pendekatan yang sama tidak akan bekerja untuk sinyal yang hanya didefinisikan dalam hal fungsi kepadatan amplitudo.

4. KesimpulanMetode describing function mengikuti formula mengasumsikan bentuk sinyal, memilih kriteria pendekatan. Menggunakan metode ini sebagai penguatan quasilinier untuk menggantikan non linier dengan jangka linier, dan memecahkan masalah dengan menggunakan teori sistem linier. Kita harus ingat bahwa dengan demikian kita memutuskan apa jenis fenomena yang dapat kita selidiki dan dengan demikian menghindari kesalahan. Kita juga harus berhati-hati agar tidak keliru ke dalam pemikiran sistem linier dan menafsirkan terlalu banyak terhadap hasil describing function. Berikut beberapa contoh penggunaan describing function, diantaranya :1. Saturasi2. Relay3. Sistem pemanasan4. Kuantisasi eror dan pengambilan samplePendekatan describing function sangat berguna untuk aplikasi teknik. Alasan utama untuk hal tersebut adalah: Aplikasi teknik biasanya terlalu besar dan / atau terlalu rumit untuk diterima menjadi metode solusi yang tepat Kemampuan untuk menerapkan teori sistem linear, meredakan banyak beban analitik terkait dengan analisis dan desain sistem nonlinear Aturan describing function, sederhana untuk dipahami secara intuitif, sehingga bahkan dapat menggunakan describing function secara kualitatif tanpa analisisTeknik-teknik dan contoh yang disajikan dalam artikel ini dimaksudkan untuk menunjukkan point pentingnya. Bahan ini merupakan paparan yang sangat terbatas.