0leh:1. Hikma Prihatini A4100800662. Aditya Satya Nugraha A4100800673. Ristiana Eviria A4100800684. Ria Anggraini A410080081

Matematika tidak lain adalah pola yang terstruktur dan disusun menggunakan bahasa yang artifisial.

Pola dalam matematika dapat berupa rumus (persamaan, pertidaksamaan, identitas), gambar, diagram, bahkan benda konkrit.

Belajar matematika adalah belajar mengenali dan mengeksplorasi pola-pola.

Salah satu jenis pola yang fundamental adalah pola barisan dan deret.

Mengapa Barisan & Deret penting? Hampir semua masalah real (nyata) tidaklah kontinu

melainkan diskrit. Barisan (maupun deret) dapat dipandang sebagai

sebuah fungsi, yaitu fungsi dengan domain himpunan bilangan asli (segmen awal atau semuanya)

Deret juga dapat dipandang sebagai barisan. Banyak jenis barisan dalam matematika, salah satu yang

terpenting adalah barisan bilangan. Bila domainnya segmen awal disebut barisan yang

hingga (finite). Bila domainnya semua bilangan asli maka disebut barisan tak-hingga (infinite)

Deret tak-hingga terbagi dua: konvergen dan divergen. Konvergen bila deretnya menuju suatu bilangan real untuk suku mendekati tak-hingga. Divergen bila bukan deret konvergen.

Di antara berbagai jenis yang ada, barisan & deret polinomial dan barisan & deret eksponensial termasuk yang penting dan banyak dijumpai dalam kehidupan nyata.

Barisan & deret polinomial derajat satu dikenal sebagai barisan & deret aritmetika (hitung) dan barisan & deret eksponensial dikenal dengan nama barisan geometri (ukur).

Suatu deret dapat ditulis dalam bentuk sederhana menggunakan notasi “sigma” . (sigma adalah huruf Yunani untuk “S” yang berarti sum atau jumlah)

Suatu barisan disebut berderajat satu bila selisih tetap diperoleh dalam satu tingkat pengerjaan, disebut berderajat

dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tingkat pengerjaan dst

RUMUS SUKU KE-NRUMUS SUKU KE-N

BARISAN TK I : UBARISAN TK I : Unn = An + B = An + B

dengan A = Udengan A = U22 –U–U11 dan B = 2U dan B = 2U11 – U – U22

BARISAN TK II : UBARISAN TK II : Unn = An = An22 + Bn + C + Bn + C

dengan A = ½dengan A = ½ (U(U33 -2U-2U22 +U+U11))

B = ½B = ½ (-3U(-3U33 +8U+8U22 -5U-5U11))

C = UC = U33-3U-3U22 +3U+3U11

Barisan sebagai fungsi Barisan adalah (nilai) fungsi dengan domain

himpunan bilangan asli (baik segmen awal maupun semua bilangan)

Contoh: f(n) = Un = 7n – 2,4

1234...

4,611,618,625,6

.

.

.

kembaliBilangan asli Bilangan real

Deret sebagai BarisanU1

U2

U3

U4

U5

… Barisan

U1 + … Deret U2 + U3 + U4 + U5 +

Deret sebagai barisan

S1

S2

S3

S4

S5

…

S1 = U1

S1 =

S1 =

S1 =

U1 + U2

U1 + U2 + U3

U1 + U2 + U3 + U4

kembali

Barisan yang Hingga (finite)

Barisan abjad/huruf Latin: a, b, c, d, e, …, x, y, z. Barisan bilangan prima kurang dari 50:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 Barisan angka Hindu-Arab: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Barisan nama calon presiden RI ke-7 (sesuai urut nomor):

Megawati S.P., Susilo B.Y., Yusuf Kalla Barisan warna pelangi:

merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu Barisan nama satuan kuantitas (SI) berselisih 103 :

atto, femto, piko, nano, mikro, mili, kilo, mega, giga, tera Dan lain-lain.

kembali

Barisan yang Tak Hingga (infinite)

Barisan semua bilangan prima2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …

Barisan semua angka-angka desimal pi (π)1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, …

Barisan semua segibanyak beraturan: segitiga samasisi, persegi, segi-5 beraturan, …

Barisan semua bilangan bulat: 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, …

Barisan semua nama tanggal menurut kalender Gregorian: 1-1-1, 2-1-1, …, 1-1-2009, 2-1-2009, …, 30-6-2009, …

Dan lain-lain.

kembali

Contoh

BARISAN BILANGAN ASLI1, 2, 3, 4, 5, 6, … ; un = n

BARISAN BILANGAN (ASLI) GANJIL

1, 3, 5, 7, 9, … ; un = 2n – 1

BARISAN BILANGAN (ASLI) GENAP

2, 4, 6, 8, 10, … ; un = 2n

UNTUK SELANJUTNYA DOMAIN BARISAN DAN DERET ADALAH HIMPUNAN BILANGAN ASLI

Barisan Bilangan Asli:

D eret Bilangan Asli:

1 , 2, 3, 4, 5, 6, …

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

Barisan Bilangan Segitiga: 1 , 3, 6, 1 0, 1 5, … atau Jad i:

Jum lah n suku pertam a D eret B ilangan Asli:

1 + 2+ 3+ 4+ 5 + … adalah

1 1 + 2 1 + 2+ 3 1 + 2+ 3+ 4 1 + 2+ 3+ 4+ 5 1 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6

1 3 6 1 0 1 5 21

1 + 2 1 + 2+ 3 1 + 2+ 3+ 4 1 + 2+ 3+ 4+ 51

(1 ×2)21

(2×3)21

(3×4)21

(4×5)21

(5×6)21 (6×7)2

1

21

(1 ×2) 21

(2×3) 21

(3×4) 21

(4×5) 21

(5×6)

21n(n+ 1 )

Barisan Bilangan Ganjil:

D eret Bilangan Ganjil:

1 , 3, 5, 7, 9, 1 1 , …

1 + 3 + 5 + 7 + …

1 1 + 3 1 + 3+ 5 1 + 3+ 5+ 7 1 + 3+ 5+ 7+ 9 1 + 3+ 5+ 7+ 9+ 1 11 4 9 1 6 25

36

1 2 22 32 42 52 62

Barisan bilangan persegi: 1 , 4, 9, 1 6, 25, 36, …

Jum lah n suku pertam a D eret Bilangan Asli Ganjil: 1 + 3 + 5

+ 7 + 9 + … adalah n2

1 + 3 1 + 3+ 5 1 + 3+ 5+ 7 1 + 3+ 5+ 7+ 91

Jad i:

Barisan Bilangan Genap:

D eret Bilangan Genap:

2, 4, 6, 8, 10, 12, …

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + …

2+ 4 2+ 4+ 6 2+ 4+ 6+ 8 2+ 4+ 6+ 8+ 1 02 6 1 2 20 30

1 ×2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6

Barisan Bilangan Persegipanjang adalah: 2, 6, 1 2, 20, 30, …

atau 1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6, …

2+ 4 2+ 4+ 62

Jad i:

2 2+ 4+ 6+ 8

Jum lah n suku pertam a D eret B ilangan Asli Genap:

2+ 4+ 6+ 8+ 1 0 + … adalah n(n + 1)

Minggu

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

1

2

3

4

5

6

78

9

10

11

12

13

1415

16

1718

19

20

2122

23

2425

26

27

28

29

30

31

AGUSTUS 2007

Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?

Bagaimana sifat barisan bilangan tersebut?

Barisan Aritmetika

Barisan bilangan yang memiliki sifat: selisih tiap dua suku berurutan adalah sama besar (tetap). Selisih yang tetap itu dilambangkan dengan b.

Barisan aritmetika adalah barisan polinomial derajat satu. Bentuk umum: Un = a + (n – 1)b

dengan a = suku awal, b = selisih (beda) Bentuk lain: Un = pn + q

dengan b = p dan suku awal = p + q Jika n pada sumbu x dan Un pada sumbu y maka titik-titik (n, Un)

terletak pada sebuah garis lurus. Jika b = 0 maka menjadi barisan konstan.

Jika b > 0 maka menjadi barisan yang naik. Jika b < 0 maka menjadi barisan yang turun.

kembali

Deret Aritmetika

Jumlah deret Aritmetika hingga suku ke-n Sn = (1/2) n [2a + (n – 1)b]

= (1/2) n [ a + Un ]

= (1/2) n [U1 + Un ]

Jelas bahwa selisih dua jumlah deret yang berurutan adalah suku terakhir pada deret terakhir.

Sn – Sn – 1 = Un

kembali

Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dibuat berdasarkan metode yang dipakai oleh matematikawan Carl Friedrich Gauss (1777−1855) ketika ia masih kecil.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 100 = ?

nn

n(a + u )S =

2

n 2a+(n-1)bS =n 2

atau

Setiap 2 tahun karyawan di suatu perusahaan gaji pokoknya

dinaikkan Rp 120.000,00. Jika gajinya sekarang Rp

1.600.000,00 sedangkan gaji pertama yang diterimanya

pertama kali Rp 720.000,00, berapa tahun ia telah bekerja di

perusahaan itu?

a = 720.000

b = 120.000

= 1.600.000 un

n = 8

Bekerja selama ......... tahun 16

Barisan Geometri

Barisan bilangan yang memiliki sifat perbandingan dua suku berurutan adalah sama besar (tetap). Nilai perbandingan yang tetap itu dilambangkan dengan r.

Barisan geometri dapat dipandang sebagai barisan eksponensial. Bentuk umum: Un = arn – 1

dengan a = suku awal, r = rasio/perbandingan tetap. Bentuk lain: Un = prn

dengan rasio = r dan suku awal = pr. Jika n pada sumbu x dan Un pada sumbu y maka titik-titik (n, Un)

terletak pada sebuah grafik fungsi eksponensial. Jika r = 1 maka menjadi barisan konstan.

Jika r> 1 maka menjadi barisan yang menjauh dari nol. Jika r< 1 maka menjadi barisan yang mendekat ke nol.

kembali

Deret Geometri

Jumlah deret Geometri hingga suku ke-n Sn = a. [1 – rn ] / [1 – r] , r ≠ 1

Jelas bahwa selisih dua jumlah deret yang berurutan adalah suku terakhir pada deret terakhir.

S n – S n – 1 = Un

Jika r ≥ 1 maka deret divergen

Jika r< 1 maka deret konvergen ke a / (1 – r)

kembali