TUGAS PENGANTAR TEORI SISTEM

Oleh:

1. Ottow G. Sapulette

2. Rinawaty mille

3. Ilham D. Rianjaya

4. Ruth Dian Fitrio

5. Eka Novita Sari

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS CENDERAWASIH

JAYAPURA

2013

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalahnya adalah bagaimana cara

menentukan kestabilan dari sistem kontrol lup tertutup waktu kontinu.

1.3. Batasan Masalah

Dalam penulisan makalah ini, pengambilan masalah yang dibahas adalah model sistem

linear dan sistem kontrol. Dengan diasumsikan bahwa sistem tersebut dalam keadaan

terobservasi, terkontrol dan setimbang.

1.4. Tujuan

Tujuan dari makalah ini adalah mengetahui cara menentukan kestabilan dari sistem

kontrol lup tertutup waktu kontinu.

1.5. Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam menyusun makalah ini adalah metode jelajah internet,

untuk mendapat bahan referensi yang lebih beragam.

1.6. Sistematika Penulisan

Bab I : Bab ini berisikan latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan,

metode penelitian, sistematika penulisan.

Bab II : Bab ini berisi teori-teori yang mendasari pembahasan masalah pada bab III,

yaitu lebih dikenal dengan Landasan Teori

Bab III : Bab ini berisi tentang pembahasan ? ? ?

Bab IV : Bab ini merupakan bab penutup yang berisi kesimpulan.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Pengertian Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan A adalah sebuah matriks bujur sangkar dengan orde n x n, dan sebuah vektor

kolom x. Vektor x adalah vektor dalam ruang Euklidian Rn

yang dihubungkan dengan

sebuah persamaan:

Ax=λx

Dimana λ adalah suatu skalar. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari matriks

A. Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor x

adalah suatu vektor yang tidak nol untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan

vektor eigen (eigen vector) dari matriks A. Jadi vektor x mempunyai nilai tertentu untuk

nilai eigen tertentu.

2.2. Pengertian Kestabilan

Sistem dikatakan stabil jika seluruh akar (pole) dari persamaan karateristik sistem adalah

positif atau terletak di sebelah kiri bidang s. Sebaliknya, sistem akan tidak stabil jika

terdapat minimal satu buah pole yang positif atau terdapat di sebelah kanan bidang s.

2.3. Pengertian Kestabilan Sistem Kontrol Berumpan-balik Lup Tertutup

Sistem kontrol berumpan-balik lup-tertutup adalah stabil jika dan hanya jika semua akar

persamaan karakteristiknya negatif atau memiliki sepasang bilangan real negatif.

Sebaliknya, sistem tidak stabil.

2.4. Pengertian Transformasi

BAB III

PEMBAHASAN

Dalam teori kontrol, fungsi transfer secara umum digunakan untuk mengkarakterisasi hubungan

masukan-keluaran yang dinyatakan dengan persamaan diferensial linear yang tak bergantung

waktu. Fungsi transfer (fungsi alih) didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace

fungsi keluaran dan transformasi Laplace fungsi masukan, dengan asumsi semua syarat awal

adalah nol (Ogata Katsuhiko, 1997). Perhatikan sistem linear yang tak bergantung waktu

yang didefinisikan dengan persamaan diferensial berikut ini:

y(n )+a1 y(n−1)+a2 y(n−2 )+…+an−1 y+an y=b0 x(m)+b1 x(m−1)+…+bm−1 x+bm x

dimana y dan x berturut-turut adalah output dan input sistem.

Fungsi transfer dari persamaan di atas diperoleh dengan mentransformasikan Laplace kedua ruas

persamaan tersebut, dengan syarat awal nol.

Fungsi transfer=G (s )= L [ output ]L [input ]

¿Y (s)U (s)

¿b0 sm+b1 sm−1+…+bm−1 s+bm

a0 sn+a1 sn−1+…+an−1 s+an

Titik-titik di bidang s dimana fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner. Sementara titik-titik di

bidang s dimana fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singular. Titik-titik singular yang

menyebabkan fungsi G(s) atau turunannya, mendekati tak hingga disebut pole.

Kestabilan dari suatu sistem lup tertutup ditentukan dari letak pole lup tertutup di bidang s atau

nilai eigen dari matriks konstanta A. Jika terdapat pole lup tertutup yang terletak di sebelah

kanan sumbu imajiner bidang s (berarti bagian real dari pole bertanda positif), maka dengan

bertambahnya waktu, pole tersebut akan memberikan pengaruh yang sangat dominan, sehingga

respon sistem dalam selang waktu tertentu akan naik turun atau berosilasi dengan amplitudo

yang semakin besar. Sedangkan suatu sistem kontrol dikatakan stabil bila pole lup tertutup

terletak disebelah kiri sumbu imajiner bidang s. Jadi masalah kestabilan dari sistem kontrol lup

tertutup waktu kontinu dapat diselesaikan dengan tidak memilih pole-pole lup tertutup yang

terletak di sebelah kanan atau pada sumbu imajiner.

2.

Persamaan ruang keadaan waktu kontinu berbentuk:

x (t )=A (t )+Bu(t)

dimana x vektor keadaan (n x 1), u sinyal kontrol, A matriks konstan n x n, B

vektor konstan n x l.

Bila dipilih suatu kontrol , dan subtitusi u ke (2) menghasilkan persamaan

(3)

Solusi dari (3) adalah :

Kestabilan dari system (3) ditentukan oleh nilai eigen dari , artinya jika matriks

dapat dipilih secara tepat, maka bagian real dari nilai eigen matriks terletak di sebelah

kiri sumbu imajiner bidang s, hal itu berarti, untuk semua untuk .

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan nilai eigen dari adalah juga pole-pole

yang diinginkan. Masalah penempatan pole adalah memilih matriks umpan balik sedemikian

sehingga bagian real dari nilai eigen matriks berada di sebelah kiri sumbu imajiner

bidang s.

Metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah penempatan pole ini adalah metode

transformasi ke bentuk kanonik Jordan, yaitu menggunakan matriks transformasi untuk

mentransformasikan persamaan ruang keadaan menjadi bentuk kanonik terkontrol, kemudian

membandingkan persamaan karakteristik yang dikehendaki dengan persamaan karakteristik yang

memuat matriks . Dengan menyamakan koefisien dari suku-suku yang bersesuaian dari kedua

persamaan ini, matriks umpan balik dapat ditentukan.

Definisi [Ogata Katsuhiko, 1997]

Dinamik dari sistem waktu kontinu yang dinyatakan dengan persamaan (2), dikatakan

terkontrol pada jika terdapat kontrol yang membawa keadaan awal ke keadaan akhir dalam

suatu interval waktu berhingga. Jika setiap keadaan terkontrol, maka sistem tersebut dikatakan

terkontrol secara lengkap.

Syarat untuk suatu sistem terkontrol secara lengkap adalah tidak terdapat baris atau kolom

dari matriks keterkontrolan yang berkelipatan, atau

Syarat perlu dan cukup untuk penempatan pole dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema [Ogata Katsuhiko, 1997]

Jika diberikan suatu sistem, maka syarat perlu dan cukup untuk penempatan sebarang pole

yang diinginkan adalah bahwa sistem tersebut terkontrol secara lengkap.

Bukti

Akan dibuktikan syarat perlu terlebih dahulu dengan kontraposisi, yaitu jika

sistem tidak terkontrol secara lengkap maka ada nilai eigen dari yang

tidak dapat dikontrol oleh keadaan umpan balik (state feedback).

Misalkan sistem tidak terkontrol secara lengkap, maka Hal

ini berarti terdapat sebanyak vektor yang bebas linear. Misalkan vektor yang bebas linear

tersebut adalah: Pilih sebanyak vektor sedemikian sehingga

full rank. Maka menurut [1]

Bila didefinisikan maka

dimana dan berturut-turut matriks identitas berdimensi dan .

Dari persamaan (4) terlihat, bahwa nilai eigen dari tidak bergantung pada . Hal ini berarti

bahwa ada nilai eigen dari yang tidak bisa ditempatkan di

tempat yang diinginkan.

Kemudian akan dibuktikan syarat perlu, yaitu jika sistem terkontrol secara

lengkap maka sebarang nilai eigen dari dapat ditempatkan di sebarang tempat

yang diinginkan,

Dalam membuktikan syarat perlu ini, persamaan ruang keadaan yang diberikan

oleh persamaan (2) diubah menjadi bentuk kanonik terkontrol.

Untuk itu didefinisikan matriks transformasi dengan .

dengan adalah matriks keterkontrolan dengan bentuk dan

Dimana adalah koefisien dari suku banyak karateristik

Definisikan vektor keadaan baru dengan

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Jika rank dari adalah (berarti matriks kekontrolan dalam keadaan terkontrol lengkap),

maka invers dari matriks ada. Sehingga persamaan (2) menjadi

dimana

dan

Persamaan (10) dan (11) adalah bentuk kanonik terkontrol.

Jadi bila diberikan suatu persamaan ruang keadaan, maka persamaan (2) dapat diubah ke bentuk

kanonik terkontrol jika matriks keterkontrolan terkontrol secara

lengkap dan jika vektor keadaan ditransformasikan menjadi oleh matriks

transformasi seperti persamaan (8).

Kemudian akan dibuktikan, jika sistem dalam keadaan terkontrol secara lengkap,

maka dimungkinkan untuk memilih pole-pole yang diinginkan .

Misalkan nilai eigen (pole-pole) yang diinginkan adalah maka

persamaan karateristiknya adalah :

Tulis

Bila digunakan untuk mengontrol sistem persamaan (9) maka dihasilkan persamaan

Persamaan karateristik dari (14) adalah

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)(15)

Persamaan karateristik ini sama dengan persamaan karateristik untuk persamaan (2) untuk

Hal tersebut bisa dilihat sebagai berikut.

Subtitusi ke dalam persamaan (2), menghasilkan: . Persamaan karateristik

untuk adalah

Dengan menggunakan (10), (11) dan (13) diperoleh:

Persamaan karakteristik ini sama dengan persamaan karakteristik (12). Sehingga

dengan menyamakan koefisiennya diperoleh:

Menyelesaikan persamaan terakhir untuk dan disubstitusi ke

persamaan (13) diperoleh matriks umpan balik :

Jadi jika sistem terkontrol secara lengkap, dapat dipilih pole-pole yang diinginkan

dengan memilih matriks umpan balik seperti persamaan (16).

(16)

Dari pembahasan di atas, matriks umpan balik K dapat ditentukan dengan langkah-langkah

sebagai berikut:

1. Mengecek rank dari matriks keterkontrolan M. Jika M full rank, maka dilakukan langkah ke 2.

Jika tidak maka langkah berhenti sebab tidak dipenuhi syarat perlu dan syarat cukup untuk

penempatan pole.

2. Menentukan nilai a1 , a2 ,…,an suku banyak karakteristik untuk matriks A

|sI−A|=sn+α1 sn−1+α2 sn−2+…+α n−1 s+αn

3. Menentukan matriks transformasi T yang mentransformasikan ke bentuk kanonik terkontrol,

yaitu T=MW dengan W seperti persamaan (6). Jika dari sistem yang diberikan sudah dalam

bentuk kanonik terkontrol, maka dapat dipilih T=I .

4. Tulis suku banyak karakteristik dengan akar-akarnya adalah pole-pole yang diinginkan dalam

bentuk

( s−μ1 ) ( s−μ2 ) … ( s−μn )=sn+α1 sn−1+α2 sn−2+…+αn−1 s+α n=0

untuk menentukan nilai-nilai α 1, α 2 ,… ,α n.

5. Menentukan matriks umpan balik K dengan persamaan

K= [αn−α nα n−1−α n−1 …α2−α2 α1−α1 ] T−1

Berikut akan diberikan contoh dari teori di atas.

1. Diketahui suatu sistem dengan fungsi alih

Bila pole-pole yang dikehendaki adalah maka matriks umpan

balik dicari dengan cara sebagai berikut:

Karena yang diketahui adalah fungsi alih, maka langkah pertama adalah mengubah fungsi

alih tersebut menjadi persamaan ruang keadaan. Karena persamaan karakteristik dari matriks

keadaan adalah penyebut fungsi alih, maka diperoleh .

Sehingga

Dapat dicari bahwa rank , sehingga langkah penempatan pole dapat dilanjutkan.

Persamaan karateristik dari pole-pole yang diinginkan adalah:

sehingga diperoleh

Matriks umpan balik yang dicari adalah

2. Jika diberikan suatu sistem x (t )=Ax (t )+Bu(t) dengan

A=[1 70 09 2

0 1 32 1 31 0 3

1 10 5

3 2 30 2 0

] B=[21451]

Dan dikehendaki nilai eigen dari ( A−BK ) s1=−1 , s2=−3 , s3=−2, s4=−6 , dan s5=−4

maka matriks umpan balik K dapat dicari sebagai berikut.

BAB IV

PENUTUP

4.1. Kesimpulan