tugas-metriks (3)

8/17/2019 tugas-metriks (3)

http://slidepdf.com/reader/full/tugas-metriks-3 1/8

1

RUANG METRIK

A. Definisi 1

Ruang Metrik

Misal X adalah himpunan tidak kosong. Suatu fungsi bernilai real d yang didefinisikan pada X x X yaitu pasangan berurutan dalam X, disebut metrik atau fungsi jarak pada

X bila dan hanya bila fungsi tersebut memenuhi aksioma aksioma berikut, yaitu untuk

setiap a, b, c ∈ X:

(i) d(a,b) ≥ dan d(a,a) ! . Definit Positif

(ii) d(a,b) ! d(b,a) Simetris

(iii) d(a,c) ≤ d(a,b) " d(b,c) Ketaksamaan Segitiga

(i#) $ila ba ≠ maka d(a,b) %

$ilangan &eal d(a,b) disebut 'arak dari a ke b.

impunan X yang dilengkapi dengan suatu metrik d, dituliskan dengan (X, d) disebut

Ruang Metrik (Metric Space).

nggota ruang metrik (X, d) disebut titik atau point dan untuk setiap X ba ∈, ada

bilangan non*negatif d(a,b) yaitu 'arak titik a dengan b.

1. Metrik Biasa pada garis Rea R

+ungsi di yang didefinisikan oleh d(a,b)!a*b, dengan a dan b bilangan*bilangan

&eal, adalah metrik dan disebut Metrik Biasa pada garis Rea R .

$ukti:(i) d(a,b) ! a*b ≥ dan d(a,b) ! 'ika dan hanya 'ika a ! b.

(ii) (ii) d(a,b) ! a*b ! b*a ! d(b,a)

(iii) (iii) a*b " b*c ≥ a*b"b*c

! a*c

atau d(a,c) ≤ d(a,b)"d(b,c) , a-b-c

(i#) d(a,b) ! a*b % 'ika ba ≠

!. Metrik Biasa pada . R .

+ungsi d yang didefinisikan oleh ( ) ( ) ( )

11, babaq pd −+−= , dengan

( )1 ,aa p = dan ( )1,bbq = adalah titik dalam bidang . R adalah metrik dandisebut Metrik Biasa pada .

R .

$ukti:

a. ( ) ( ) ( )

11, babaq pd −+−= ≥ dan

d(p,/) !

( ) ( )

11 =−+− baba

( ) ( )

11 =−+− baba

( ) ( )

11 baba −−=−

( ) ( )11 baba −−=−

( ) 11 baba +−=−

Ruang Matriks Pengantar Topologi



11 bbaa +=+

0adi d(p,/) ! 'ika dan hanya 'ika 11 ba = dan ba = .

b. ( ) ( ) ( )

11, babaq pd −+−=

( ) ( )

111

1 bbaabbaa +−++−=

( ) ( )

111

1 abababab +−++−=

( ) ( )

11 abab −+−=( ) pqd ,=

( ) ( ) pqd q pd ,, =

c. ( ) ( )r qd q pd ,, +

! ( ) ( ) ( ) ( )

11

11 cbcbbaba −+−+−+−

( ) ( ) ( ) ( )

11

11 cbcbbaba −+−+−+−≥

( ) ( ) ( ) ( )

111

1

111

1 ccbbccbbbbaabbaa +−++−++−++−=

( ) ( )

111

1 ccaaccaa +−++−≥

( ) ( )

11 caca −+−=

0adi ( ) ( ) ( ) ( )

11

11 cbcbbaba −+−+−+− ( ) ( )

11 caca −+−≥

atau ( ) ( ) ( )r qd q pd r pd ,,, +≤ dengan ( )1 ,aa p = , ( )1 ,bbq = dan

( )1 ,ccr =

( ) ( ) ( )

11, babaq pd −+−= % 'ika q p ≠ , dimana p-/-r.

". Metrik Tri#ia

Misal X adalah suatu himpunan yang tidak kosong dan d adalah fungsi yang

didefinisikan oleh

( )

≠

==

ba

babad

,1

,,

Maka d adalah metrik pada X. +ungsi 'arak d biasanya disebut metrik tri#ia pada

X

atau metrik diskrit pada X.

$ukti:

a. d(a,b) ! 1 ≥ , 'ika ba ≠ dan d(a,b) ! 'ika dan hanya 'ika a ! b.

b. ( )

≠≠==

=abba

abbabad

,,1

,,,

d(a,b) ! d(b,a)

c. ( ) ( )

=+=+

=+11

,, cbd bad

( ) ( ) ( )

≠=

=≥+ca

cacad cbd bad

,1

,,,,

0adi d(a,c) ≤ d(a,b)"d(b,c) , a-b-c




d. ( )

≠

==

ba

babad

,1

,,

d(a,b)!1 % 'ika ba ≠ .

$. %seudometrik

Misal ),( 1 aa p = dan ),( 1 bbq = adalah titik*titik sebarang pada bidang . R

yaitu pasangan terurut dari bilangan*bilangan real. +ungsi 1d dan .d yang

didefinisikan oleh

( )..111 ,),( babamaksq pd −−= dan ..11. ),( babaq pd −+−=

adalah metrik*metrik yang berbeda pada . R . Maka d adalah metrik pada X.

+ungsi 'arak d biasanya disebut pseudometrik pada X

$ukti:

a. ( )..111

,),( babamaksq pd −−= ≥ , ..11. ),( babaq pd −+−= ≥

karena harga mutlak nilainya selalu positif, dan

),(1

=q pd

( )..11 , babamaks −− !

11 =−ba atau .. =−ba

11 =− ba =−ba

11 ba = ba =

b. ( )..111

,),( babamaksq pd −−=

( )..11 , ababmaks −−=

),(1 pqd =

..11. ),( babaq pd −+−=

..11

abab −+−=

),(. pqd =

c. Misalkan ),( 1 ccr =( ) ( )..11..1111 ,,),(),( cbcbmaksbabamaksr qd q pd −−+−−=+

....11....111111 cbbacbbacbbacbba −+−∨−+−∨−+−∨−+−=

....11....111111 cbbacbbacbbacbba −+−∨−+−∨−+−∨−+−≥

..1..111 cacacaca −∨−∨−∨−=

( )..1..111

,,, cacacacamaks −−−−= ( )..11 , cacamaks −−≥

),(1 r pd =

0adi),(),(),(

111 r pd r qd q pd

≥+ atau dapat ditulis),(),(),( 111 r qd q pd r pd +≤ .

2an

..11..11.. ),(),( cbcbbabar qd q pd −+−+−+−=+

....1111 cbbacbba −+−+−+−=

....1111 cbbacbba −+−+−+−≥

..11 caca −+−=

),(. r pd =

0adi ),(),(),( r pd r qd q pd ≥+ atau dapat ditulis

),(),(),( r qd q pd r pd +≤

d. $ila q p ≠ maka 0elas ( )..111 ,),( babamaksq pd −−= % dan




3

..11. ),( babaq pd −+−= %

B. &arak dan Diameter Antara 'impunan('impunan

Misal d adalah metrik pada impunan X. 0arak antara titik X p∈ dan X A ⊆/≠

didefinisikan oleh: ( ) { } Aaa pd A pd ∈= :),(inf , yaitu batas ba4ah terbesar dari 'arak*'arak p dengan titik*titik dari .

1. &arak

antara dua subset tidak kosong dan $ dari X didefinisikan oleh:

( ) { } Bb Aabad B Ad ∈∈= ,:),(inf ,

5aitu batas ba4ah terbesar 'arak*'arak dari titik*titik dari dan $.

!. Diameter

dari subset tidak kosong X A⊂ didefinisikan oleh

( ) { } Aaaaad Ad ∈= 6,:)6,(inf

5aitu batas atas terkecil dari 'arak titik*titik dalam .$ila diameter dari terhingga, yaitu ∞<)( Ad maka disebut ter)atas, dan bila

∞=)( Ad maka disebut tak ter)atas.

7ontoh:

Misal X adalah suatu himpunan yang tidak kosong dan d adalah metrik tri#ial. Maka

untuk X p∈ dan X B A ⊂,

( )

∉

∈=

A p

A p A pd

,

,1, , ( )

/≠∩/=∩

=,

,1,

B A

B A B Ad

*. Boa Buka dan Boa Tutup

Definisi !+ Misal X a∈ dan >r . Boa )uka dengan 'ari*'ari r dan titik pusat a

adalah himpunan { }r a xd X xa Br <∈= ),()( 2an Boa Tutup dengan 'ari*'ari r

dan titik pusat a adalah himpunan { }r a xd X xa Br ≤∈= ),()( .

7ontoh:

8ada & dengan 'arak euclid, bola )(a Br merupakan inter#al terbuka (a * r, a " r). 8ada.

R dengan 'arak euclid, bola )(a Br merupakan sebuah piringan dengan titik pusat a

dan 'ari r.




9

8ada R dengan 'arak euclid, bola adalah bola yang kita kenal sehari hari,

sedangkan 8ada . R dengan ( ) ( )..11.1.1

,),(),,(; babamaksbbaad −−= ,

bola ),(1 B berbentuk

Sedangkan pada . R dengan ( ) 1111 ),(),,(; bababbaad −+−= bola

berbentuk

D. Topoogi Metrik Definisi +

Misal d adalah metrik pada himpunan tidak kosong X. Suatu topologi τ pada X yang

dibangun oleh kelas dari bola*bola terbuka dalam X disebut topoogi metrik (atautopologi yang dibangun oleh metrik d).

impunan X dengan topologi τ yang dibangun oleh metrik d disebut ruang metrik

dan di tulis dengan (X,d).

0adi ruang metrik adalah ruang topologi dengan topologinya dibangun oleh suatu

metrik.

7ontoh :

1. $ila d adalah metrik biasa pada garis real & yaitu d(a,b)!a*b, maka bola*bola

terbuka di dalam & adalah inter#al buka terhingga.

0adi metrik biasa pada & adalah membangun topologi biasa pada &.

. Misal d adalah metrik tri#ial pada suatu himpunan X. <ntuk sebarang p(X, S(p,

= ))!>p?.




@

0adi setiap himpunan singelton adalah buka. 2engan demikian metrik tri#ial pada

X membangun topologi diskrit pada X.

a, -ifat(-ifat dari Topoogi Metrik

1. $ila p titik dalam ruang metrik X, maka kelas kontabel dari bola*bola terbuka,

>S(p,1), S(p, = ), S(p, 1A ), ... ? adalah basis lokal di p.. 8enutup dari subset dari ruang metrik X adalah himpunan dari titik*titik

yang ber'arak nol dari yaitu ?),(:> == A xd x A

. 2alam ruang metrik X, semua himpunan berhingga adalah tutup.

3. ksioma 8emisah : $ila dan $ subset*subset yang saling lepas dan tertutup

dari ruang metrik X, maka ada set*set buka B dan yang saling lepas,

sedemikian hingga G A⊂ dan H B ⊂ .

2ari Sifat ke 3, mungkin akan diduga bah4a 'arak antara dua himpunan yang

saling lepas lebih besar dari nol, tetapi hal tersebut belum tentu, seperti

ditun'ukkan oleh contoh berikut:

Misal himpunan berikut terletak dalam . R dan ditun'ukkan pada diagram

berikut: { },1:),( <−≥= x xy y x A dan { },1:),( <≥= x xy y x B

), Basis Untuk Topoogi

Definisi +

Misal (X, τ) suatu ruang topologi. Suatu kelas $ yang terdiri dari himpunan*

himpunan bagian buka dari X yaitu τ ⊂ B adalah basis untuk topologi τ bila dan

hanya bila: Setiap himpunan buka τ ∈G adalah gabungan dari anggota*anggota

$, dkl τ ⊂ B adalah basis untuk topologi τ bila dan hanya bila untuk suatu

titik p yang termasuk pada himpunan buka B ada B A ⊂ dengan G A p ⊂∈ .

7ontoh:??,,>?,,,>?,,>?,>?,>,,> d cbcbacbcbS /=τ Copologi untuk S!>a,b,c,d? /∪/=/

?,,>?,,> d cbcbaS ∪=?,,>?,,>?,,> cbacbacba ∪=


B

$

$

)

*1 1



D

?,,>?>?,,> cbabcba ∪=

?>?>?,> cbcb ∪=

?,,>?,,>?,,> d cbd cbd cb ∪=

0adi $asis ??,,>?,,,>?,>?,>,> d cbcbacb/=Β

E. Metrik(Metrik Eui#aen

Definisi +

2ua metrik d dan d; pada himpunan X disebut eui#aen bila dan hanya bila d dan d;

dibangun oleh topologi yang sama pada X, yaitu bila dan hanya bila bola*bola buka d

dan bola*bola buka d ; dalam X adalah basis*basis untuk topologi yang sama pada X.

*onto/+

$ila d adalah metrik biasa, dan misal ),( 1 aa p = dan ),( 1 bbq = adalah titik*titik

sebarang pada bidang . R yaitu pasangan terurut dari bilangan*bilangan real. +ungsi

1d dan .d adalah metrik yang didefinisikan oleh

( )..111 ,),( babamaksq pd −−= dan ..11. ),( babaq pd −+−=Maka d, d1 dan d ketiganya membangun topologi biasa pada bidang . R , karena

kelas dari bola*bola buka dari tiap*tiap metrik adalah basis untuk topologi pada . R .

0adi metrik*metrik tersebut adalah e/ui#alen.

0. Ruang Metrik Isometris

Definisi +

&uang metrik (X,d) disebut isometris dengan ruang metrik (5,e) bila dan hanya bila

ada fungsi f : X 5 yang satu*satu dan onto dengan 'arak*'arak yang utuh untuk setiap X q p ∈, , maka

))(),((),( q f p f eq pd =

7ontoh:

Misal d adalah metrik tri#ial pada himpunan X, dan mmisalkan e adalah metrik pada 5

yang didefinisikan oleh :

=

≠=

ba bila,

ba bila,.),( bae

Eita asumsikan bah4a X dan 5 mempunyai kardinalitas yang sama yang lebih dari

satu. Maka (X,d) dan (5,e) tidak isometris karena 'arak*'arak antara titik*titik dalam

tiap*tiap ruang adalah berbeda. Cetapi d dan e keduanya membangun topologi diskrit

dan dua ruang diskrit dengan kardinalitas sama adalah homoemorphik, 'adi (X,d) dan

(5,e) adalah homeomorphik.

G. RUANG M(EU*ID

Definisi +m

R adalah notasi untuk produk dari m buah himpunan & dari bilangan*bilangan real

yaitu yangmemuat semua m tuple (a1, a, F, am) dari bilangan*bilangan real.

Suatu fungsi d yang didefinisikan oleh:

∑∑==

−=−=−++−=m

i

ii

m

i

iimm babababaq pd 1

1

11 )()(...)(),(

2imana p ! (a1, a, ... , am) dan / ! (b1, b, ..., bm) adalah metrik dan disebutMETRIK EU*ID pada m

R




G

'. RUANG 'IBERT

Definisi +

Eelas dari semua barisan real tak hingga (a1, a, ... , am) sedemikian hingga

∑

∞

=

∞<1

.

n

na

yaitu sedemikian hingga ...

1 ++aa kon#ergen, ditulis oleh

∞

R

.Sekarang dimisalkan p!-an% dan / !-bn% adalah titik di dalam ∞

R . +ungsi d yang

didefinisikan oleh:

∑∞

=

−=1

.),(

n

nn baq pd adalah metrik dan disebut metrik *l . pada ∞

R disebut

Ruang 'i)ert atau ruang *l . dan ditulis dengan .

7ontoh:

8erhatikan barisan*barisan :

p ! -1, 1, 1, ... % dan / ! -1, = , H , 1AG, ...%

karena ...11 ++ tidak kon#ergen maka p bukan titik dalam &. Sebaliknya, deret

...31

11

+

+

+ adalah kon#ergen, 'adi / adalah titik dalam &.

I. RUANG TER'UBUNG

Definisi +),( τ S ruang topologi terhubung 'ika tidak terdapat ,$ /≠ , terbuka maka

S B A B A =∪∋/=∩ .

Definisi +),( τ S ruang topologi dan S B A ⊆, ,

i. , $ terpisah di S 'ika /=∩=∩ B A B A

ii. 0ika , $ terpisah di S dan S B A =∪ maka , $ bentuk pemisahan dari S.


tugas-metriks (3)

Documents

Transcript of tugas-metriks (3)