Tugas Kelompok Dekomposisi Schur

8/17/2019 Tugas Kelompok Dekomposisi Schur

1/16

A l j a b a r M a t r i k s | 1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam aljabar matriks, gagasan tentang matriks dan aspek-aspek yang terkait

didalamnya merupakan salah satu contoh yang dibutuhkan dalam penerapan dalam

bidang matematika pada dunia nyata. Penggunaan matriks yang sering ditemui adalah

teknik pemfaktoran matriks. Dalam hal ini matriks difaktorkan menjadi beberapa

matriks lain yang bersesuaian salah satu metode yang digunakan adalah metode

dengan dekomposisi Schur. Dekomposisi ini sangat berkaitan dengan nilai eigen

matriks. Sama halnya dengan proses diagonalisasi, proses dekomposisi ini

mengharuskan kita untuk menggunakan proses Gramm-Schmidt untuk mendapatkan

vector-vektor yang bersesuaian. Proses ini tentunya hanya berlaku untuk matriks

berukuran nxn atau persegi . Selain itu matriks yang berkaitan merupakan matriks

yang simetris. Matriks awalnya dikerjakan dengan metode diagonalisasi yang

kemudian dilanjutkan dengan proses dekomposisi.

Dengan dasar itulah makalah ini dibuat. Dalam makalah ini, dibahas mengenai

dekomposisi Schur yang dilakukan pada sebuah matriks persegi.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dari makalah ini antara lain:

1. Jelaskan teorema-teorema yang berkaitan dengan Dekomposisi Schur ?

2. Bagaimana menggunakan metode Dekomposisi Schur dalam matriks ?


2/16


1.3 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan makalah ini antara lain :

1. Untuk menyelesaikan tugas mengenai Dekomposisi Schur yang diberikan

oleh dosen pembimbing Aljabar Matriks.

2. Untuk mengetahui teorema-teorema yang berkaitan dengan dekomposisi

Schur dan aplikasi dari teori tersebut .

3. Untuk menyelesaikan soal-soal tentang matriks yang menggunakan

Dekomposisi Schur .

1.4

Manfaat

Adapun manfaat dari makalah ini yaitu agar dapat dijadikan pedoman dalam

menyelesaikan berbagai macam soal-soal matriks dengan menggunakan

Dekomposisi Schur . Selain itu, penulis berharap agar makalah ini membawa

kemaslahatan buat mahasiswa atau orang-orang yang berkecipung dalam bidang

Aljabar Matriks.


3/16


BAB 2

PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Dekomposisi Schur

Menurut Teorema setiap matriks Hermitian dapat didiagonalisasi yaitu disajikan

sebagai perkalian matriks-matriks uniter dengan matriks diagonal. Akan tetapi,

jika syarat matriks Hermitian diperlemah menjadi matriks persegi biasa, maka apakah

proses diagonalisasi masih dapat terjadi? Secara umum tidak, akan tetapi ada proses

“diagonalisasi” khusus yang nyaris serupa dengan proses diagonalisasi yaitu

menyajikan suatu matriks persegi sebagai perkalian matriks-matriks uniterdengan

matriks segitiga atas. Proses diagonalisasi ini dikenal dengan nama dekomposisi

Schur, dan menyatakan bahwa setiap matriks persegi dapat disajikan dalam bentuk :

dengan

matriks uniter, dan

matriks segitiga atas.

2.2 Teorema Dekomposisi Schur

Teorema 1

Diketahui matriks persegi dengan merupakan salah satu nilaieigennya dan merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ . Jika merupakan matriks non-singular dengan kolom ke-i nya adalah vektor x,maka kolom ke-i dari matriks S −1 AS adalah dengan


4/16


Teorema 2

Diketahui matriks persegi . Jika A dan B merupakan matriks uniter,maka AB juga merupakan matriks uniter.

2.3 Proses Dekomposisi Schur

Untuk melakukan proses dekomposisi, pertama dicari dahulu nilai-nilai eigen dari

matriks A. Karena matriks A berukuran m×m , maka terdapat sejumlah m nilai eigen

beserta m vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen tersebut. Misalkan merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan dan 1≤ i ≤ m. Kemudian,dipilih sebarang tepat satu dari m vektor eigen tersebut sebut saja yang bersesuaian dengan nilai eigen dengan . Jika vektor eigen k v bukanmerupakan vektor normal, maka vektor tersebut dinormalkan, yaitu dibentuk vektor

‖‖ Perlu diperhatikan bahwa menormalkan vektor eigen tidak akan berpengaruh terhadap nilai eigen yang bersesuaian dengannya, karena pada dasarnya

hanya mengalikan vektor eigen tersebut dengan skalar

Kemudian, dibentuk himpunan ortonormal V = {vk ',w1,...,wn} . Pembentukan


5/16


himpunan ortonormal tersebut dapat menggunakan Algoritma Gram-Schmidt.

Apabila dibentuk matriks yang kolom-kolomnya adalah anggota V maka

matriks tersebut akan berwujud matriks uniter, misalkan merupakan matriks yangdimaksud, maka : , - Sehingga dapat dibentuk atau . Matriks uniter merupakan matriks non-singular, dan menurut Teorema matriks 1 T akan berbentuk :

Matriks X dan T dalam decomposisi Schur tidak tunggal. Jika adalahdekomposisi Schur dari matriks A, maka juga merupakan dekompoisisiSchur dari A, dimana dengan P matriks uniter sebarang sedemikiansehingga matriks singular. Matriks T dan T0 mempunyai elemen diagonalyang sama, walaupun mungkin berbeda urutan.Sebagai contoh, matriks berikut juga merupakan dekompoisisi Schur dari A, yaitu dengan matriks dan sebagai berikut:


6/16


2.4 Soal-Soal Dekomposisi Schur

Contoh 1:

Tentukan dekomposisi Schur dari matriks

A=0 1 Solusi :

Pertama, tentukan vector eigen dari A. Diperoleh nilai eigen=

Diperoleh nilai eigen .Untuk nilai

= diperoleh basis ./ sehingga √ ./ Untuk nilai = Diperoleh basis = ./ sehingga √ ./ Selanjutnya menentukan basis orthonormal *+ yang span *+= Span2013=Span20 13 . Pilih √ 0 1 Selanjutnya transformasikan A menjadi basis orthogonal yang baru { }


7/16


,

-

√ 0 1

matriks dari A dalam basis { } adalah :, -{ } , - , - √ 0 1 0 1 √ 0 1

0 1 0 1

0 1 0 1 Karena A merupakan matriks 2x2, sehingga kemudian algoritmanya berhenti. Selanjutnya dapat ditentukan dekomposisi Schur dimana

0 1

merupakan segitiga atas dan

√ 0 1 Contoh 2

BentuklahdekomposisiSchurdarimatriks A=

Nilaieigenmatriks A ada 3 yaitu , , dan . Bila diambil nilaieigenλ=1makavektoreigenortonormal yang bersesuaianadalah √


8/16


Kemudiancarilagisebarang 2 vektorortonormalyakni

dan

√

.

Sehingga* +adalah himpunan ortonormal.Bentukmatriks unitary , - √ √

Bentuk √ √

, diperolehsubmatriks [ √

√ ]. Nilai-

nilaieigendarisubmatriksiniadalah , . Diambilnilaieigen ,makadidapatvektoreigenortonormal yang bersesuaianadalah √ [ √ ].Kemudianambilsebarangvektorortonormal √ [√ ],sehingga* +adalahhimpunanortonormal.Bentukmatriksunitary , - √ [ √

√ ].

Bentukkembali 0 1.Karenadidapathasilberupamatrikssegitigaatasmaka proses dekomposisiusai.

Matriks unitary dapatdiubahmenjadiberukuran 3x3 dengan tetap mempertahankansifat unitary nyayakni :

√ √ √

Sehinggadapatdiperoleh : Denganmengambilmatriks √ √ √ √ √ √


9/16


SehinggadiperolehlahdekomposisiSchur , yaitu: √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Perhatikanlahbahwaentri diagonal utamamatriksT adalahnilai-nilaieigendarimatriks A.

A U T U*


10/16


BAB 3

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dekomposisi Schur berlaku untuk matriks yang berbentu persegi dan simetris karena

proses dekomposisi ini melalui proses diagonalisasi yang hanya berlaku untuk

matriks simetris.

Dalam proses dekomposisi dimulai dengan menentukan nilai-nilai eigen. Selanjutnya

dengan proses Gram-Schmidt untuk menentukan vektor nilai eigennya. Langkah

terakhir yaitu dengan menggunakan teorema-teorema yang berlaku pada dekomposisi

Schur.

3.2 Kritik dan Saran

Sebelum menyelesaikan persoalaan matriks dengan menggunakan dekomposisi

Schur, sebaiknya kita terlebih dahulu memahami proses Gram-Schmidt seperti yang

berlaku pada proses diagonalisasi. Begitupun dalam menentukan nilai eigen,

seseorang harus mampu menentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks.

Selain itu kami penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca demi

pengembangan kualitas dari makalah kami.


11/16


DAFTAR PUSTAKA

Jusmawati. 2013. Dekomposisi Matriks. Makassar: Unhas

Mawius. 2007. Microsoft Word - Dekomposisi Matriks.doc.

Yusanti, Adhisti A. 2007. Dekomposisi Matriks. Yogyakarta: UGM.


12/16


Tugas

Tentukan Matriks P yang merupakan orthogonally diagonalizes A, dan Tentukannilai A = Jawab :

Persamaan Karakteristik dari A :

= 4. /5

, -

Sehingga diperoleh dan Untuk


13/16


⁄ ⁄ (

)

( )

Misalkan dan sehingga ( )

diperoleh basisnya yaitu :

dan

Dengan menggunakan proses Gram Schmidt

|| . /

=

=

=

(

)

||


14/16


. / =

=

= (

)

Untuk

⁄ ⁄ (

)

(

)

Misalkan dan sehingga (

)

diperoleh basisnya yaitu :

dan Dengan menggunakan proses Gram Schmidt


15/16


||

./ =

=

= ()

||

./ = = = ()

maka (

)

(

)

, diperoleh dengan menggunakan Teorema Matriks Blok Sehingga . / dan Inversnya yaitu . /.


16/16


sehingga (

)

dan (

)

(

)

(

) ( )

(

)

(

)

Tugas Kelompok Dekomposisi Schur

Documents

Transcript of Tugas Kelompok Dekomposisi Schur