BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada tahun 1965, L. A. Zadeh memperkenalkan konsep teori

himpunan fuzzy. Teori himpunan fuzzy adalah perluasan dari teori

himpunan klasik. Sebuah logika yang mengandung kekaburan disebut logika

fuzzy. Logika fuzzy merupakan cara yang tepat untuk melihat sesuatu dan

memanipulasi mereka jauh lebih kuat daripada cara yang tepat dan kemudian

memanipulasi mereka. Logika fuzzy adalah salah satu alat untuk membuat

sistem komputer yang mampu memecahkan masalah yang melibatkan

ketidakpastian. Logika fuzzy merupakan upaya untuk menangkap

ketidakpastian dengan generalisasi konsep yang ditetapkan untuk himpunan

fuzzy.

Dalam kehidupan sehari-hari sebagian besar masalah melibatkan

konsep kekaburan. Untuk menangani Konsep kekaburan, metode

konvensional teori himpunan dan jumlah tidak mencukupi kebutuhan dan

akan diperluas ke beberapa konsep lain. Konsep Fuzzy adalah salah satu

konsep untuk tujuan ini.

Suatu relasi adalah deskripsi matematis dari situasi di mana unsur-

unsur tertentu dari himpunan terkait satu sama lain dalam beberapa cara.

Hubungan Fuzzy adalah konsep penting dalam teori kabur dan telah banyak

digunakan di berbagai bidang seperti clustering fuzzy, kontrol fuzzy dan

ketidakpastian penalaran. Mereka juga memainkan peran penting dalam

diagnosis kabur dan pemodelan fuzzy. ketika hubungan Fuzzy digunakan

dalam praktek, bagaimana memperkirakan dan membandingkan mereka

adalah masalah yang signifikan. Pengukuran Ketidakpastian hubungan kabur

1

telah dilakukan oleh beberapa peneliti. kesamaan pengukuran ketidakpastian

diperkenalkan oleh Yager yang juga membahas penerapannya.

Dalam makalah ini, akan dibahas tentang dekomposisi dan proyeksi

dari suatu relasi fuzzy

1.2 Rumusan Masalah

a. Bagaimana pengertian dekomposisi relasi fuzzy?

b. Bagaimana pengertian proyeksi relasi fuzzy?

1.3 Tujuan Penulisan

a. Mengetahui pengertian dekomposisi relasi fuzzy.

b. Mengetahui pengertian proyeksi relasi fuzzy.

1.4 Manfaat Penulisan

a. Dapat memahami pengertian dekomposisi relasi fuzzy.

b. Dapat memahami pengertian proyeksi relasi fuzzy.

2

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Logika Fuzzy

Logika fuzzy adalah suatu cara yang tepat untuk memetakan suatu

ruang input ke dalam suatu ruang output. Sebagai contoh:

1. Manajer pergudangan mengatakan pada manajer produksi seberapa

banyak persediaan barang pada akhir minggu ini, kemudian manajer

produksi akan menetapkan jumlah barang yang harus diproduksi esok

hari.

2. Pelayan restoran memberikan pelayanan terhadap tamu, kemudian

tamu akan memberikan tip yang sesuai atas baik tidaknya pelayan

yang diberikan;

3. Anda mengatakan pada saya seberapa sejuk ruangan yang anda

inginkan, saya akan mengatur putaran kipas yang ada pada ruangan

ini.

4. Penumpang taksi berkata pada sopir taksi seberapa cepat laju

kendaraan yang diinginkan, sopir taksi akan mengatur pijakan gas

taksinya.

2.2 Himpunan Fuzzy

Himpunan fuzzy adalah himpunan yang unsur-unsurnya memiliki

derajat keanggotaan. Himpunan fuzzy diperkenalkan oleh Lutfih A. Zadeh

(1965) sebagai perluasan dari pengertian himpunan klasik. Pada teori

himpunan klasik, keanggotaan dari unsur-unsur dalam himpunan dinilai

dalam hal biner menurut kondisi bivalen-elemen baik termasuk atau tidak

termasuk dalam himpunan. Sebaliknya, teori himpunan fuzzy

memungkinkan penilaian bertahap dari keanggotaan elemen dalam

3

himpunan, ini digambarkan dengan bantuan sebuah fungsi keanggotaan yang

dinilai dalam unit nyata interval [0,1].

Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item x dalam

suatu himpunan A, yang sering ditulis dengan μA[x], memiliki 2

kemungkinan, yaitu:

satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu

himpunan, atau

nol (0), yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam

suatu himpunan.

Contoh :

Jika diketahui:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} adalah semesta pembicaraan.

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4, 5}

dapat dikatakan bahwa:

Nilai keanggotaan 2 pada himpunan A, μA[2]=1, karena 2 ∈ A.

Nilai keanggotaan 3 pada himpunan A, μA[3]=1, karena 3 ∈ A.

Nilai keanggotaan 4 pada himpunan A, μA[4]=0, karena 4 ∉ A.

Nilai keanggotaan 2 pada himpunan B, μB[2]=0, karena 2 ∉ B.

Nilai keanggotaan 3 pada himpunan B, μB[3]=1, karena 3 ∈ B.

Himpunan fuzzy memiliki 2 atribut, yaitu:

a. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup yang mewakili suatu keadaan

atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, seperti :

MUDA, PAROBAYA, TUA.

b. Numeris, yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran dari

suatu variabel seperti: 40, 25, 50, dsb.

4

2.3 Fungsi Keanggotaan

Fungsi Keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang

menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya

(sering juga disebut dengan derajat keanggotaan) yang memiliki interval

antara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan

nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Ada beberapa

fungsi yang bisa digunakan, yaitu :

a) Representasi Linear

b) Representasi Kurva Segitiga

c) Representasi Kurva Trapesium

d) Representasi Kurva Bentuk Bahu

e) Representasi kurva-S

f) Representasi Bentuk Lonceng

g) Koordinat Keanggotaan

2.4 Relasi Fuzzy

Misalkan X , Y ⊆R adalah semesta himpunan, maka

R={( ( x , y ) , μR ( x , y ) )|( x , y )ϵX ×Y }Disebut sebuah relasi fuzzy pada X ×Y ⊆R atau X , Y adalah dua

semesta himpunan relsi fuzzy (x , y )diberikan sebagai berikut :

R ( x , y )={μR ( x , y )(x , y ) |( x , y )ϵX ×Y }

Relasi fuzzy sering direpresentasikan pada bentuk tabel dua dimensi,

sebuah matriks berukuran mxn merepresentasikan hasil dari relasi fuzzy R.

y1 … yn

R=x1

⋮xn

[ μR ( x1 , y1 ) ⋯ μR ( x1 , yn )⋮ ⋱ ⋮

μR ( xm , ym ) ⋯ μR ( xm , yn )]Contoh :

5

Misalkan X={1,2,3 } dan Y={1,2 }. Jika fungsi keanggotaan untuk masing-

masing pasangan (x , y ) diberikan sebagai berikut:

μR (x , y )=e−( x− y )2

Tentukan relasi fuzzy.

Jawaban :

Relasi fuzzy dapat didefinisikan melalui dua cara tatanama standart, kita

punyai

Metode yang kedua menggunakan matriks relasi, kita punyai

R=[ 1 0.370.37 10.02 0.37]

Kemudian fungsi keanggotaan mendefinisikan kedekatan antara X dan

Y. dari matriks relasi jelas bahwa nilai yang lebih tinggi mengimplikasikan

relasi yang lebih kuat.

2.5 Komposisi Fuzzy

Dua relasi fuzzy R dan S didefinisikan pada himpunan A, B, dan C

dengan R⊆A × B ,S⊆B ×C. Komposisi S ⦁R=SR dari relasiRdanS yang

diekspresikan oleh relasi dari A ke C, dan komposisi didefinisikan sebagai

berikut:

Untuk ( x , y )∈ A × B, ( y , z )∈B ×C ,

6

Dengan demikian ⦁R ⊆ A ×C , jika relasi R dan S direpresentasikan oleh matriks

M R dan M S, matriks M S ⦁ R sesuai dengan S ⦁R yang diperoleh dari produk

kartesianM R dan M S .

M S ⦁ R=M S ⦁M R

7

BAB III

PEBAHASAN

Definisi (Relasi Dekomposisi) Relasi Fuzzy dapat dikatakan tersusun atas

beberapa Rα dengan sebagai berikut:

R=¿α α Rα

Dimana α adalah sebuah nilai pada level set, Rα adalah relasi α-cut, α Rα adalah

sebuah relasi fuzzy. Fungsi keanggotaan dari α Rα didefinisikan sebagai :

μα R α( x , y )=α . μR α

(x , y ) , untuk setiap ( x , y )∈ AxB

Sehingga kita dapat mendekomposisi sebuah relasi fuzzy R menjadi beberapa

α Rα.

Contoh :

Relasi R pada contoh sebelumnya dapat didekomposisi sebagai berikut :

Contoh 1:

Misalkan M R=|0.9 0.4 0.00.2 1.0 0.40.0 0.7 1.00.4 0.2 0.0

|M R=0.2 ×|1 1 0

1 1 10 1 11 1 0

|∪0.4 ×|1 1 00 1 10 1 11 0 0

|∪0.7 ×|1 0 00 1 00 1 10 0 0

|∪0.9×|1 0 10 1 00 0 10 0 0

|∪1.0 ×|0 0 00 1 00 0 10 0 0

|Contoh 2:

8

Misalkan M R=|0.1 0.2 1.00.6 0.8 0.00.0 1.0 0.3|

M R=0.1 ×|1 1 11 1 00 1 1|0.2×|0 1 1

1 1 00 1 1|∪0.3 ×|0 0 1

1 1 00 1 1|∪0.6 ×|0 0 1

1 1 00 1 0|∪0.8 ×|0 0 1

0 1 00 1 0|∪1.0 ×|0 0 1

0 0 00 1 0|

Definisi (Proyeksi). Kita dapat memproyeksi sebuah relasi fuzzy R⊆A × B

dengan A atau B seperti aturan berikut.

Untuk setiap x∈ A , y∈B,

μRA(x ) merupakan proyeksi ke A

μRB( y ) merupakan proyeksi ke B

Dimana relasi proyeksi dari R ke A dinotasikan sebagai RA dan ke B dinotasikan

sebagai RB.

Contoh:

Berikut adalah relasi R⊆A × B. Proyeksi antara A atau B seharusnya menjadi:

Contoh 1

9

Contoh 2:

M R =

M R X=|x1 0.8

x2 0.8x3 1 |

M R y=| y1 y2 y3 y 4

0.9 1 0.7 0.7|Pada proyeksi A, derajat paling besar dari relasi a1 adalah 1.0, sedangkan untuk a2

adalah 0.8 dan untuk a3adalah 1.0

10

BAB IV

SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan

a. Relasi Dekomposisi adalah relasi Fuzzy yang dapat dikatakan tersusun

atas beberapa Rα dengan sebagai berikut:

R=¿α α Rα

Dimana α adalah sebuah nilai pada level set, Rα adalah relasi α-cut, α Rα

adalah sebuah relasi fuzzy.

b. Proyeksi Relasi Fuzzy adalah sebuah relasi fuzzy R⊆A × B dengan A

atau B dengan aturan untuk setiap x∈ A , y∈B,

Dengan μRA(x ) merupakan proyeksi ke A dan μRB

( y ) merupakan

proyeksi ke B.

4.2 Saran

Dalam makalah ini dijelaskan tentang dekomposisi dan proyeksi dari

sebuah relasi fuzzy,untuk peneliti selanjutnya, diharapkan dapat lebih

banyak membahas masalah dekomposisi dan proyeksi relasi fuzzy serta

membahas masalah proyeksi n dimensi.

11

DAFTAR PUSTAKA

Lee, Kwang H. 2005. First Course on Fuzzy Theory and Applications. Springer

Berlin Heidelberg NewYork

Hussain, Majid. 2010. Fuzzy Relation. Thesis tidak diterbitkan. Blekinge Institute

of Technology, Department of Mathematics and Science, School of

Engineering.

12