A l j a b a r M a t r i k s | 1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam aljabar matriks, gagasan tentang matriks dan aspek-aspek yang terkait didalamnya

merupakan salah satu contoh yang dibutuhkan dalam penerapan dalam bidang matematika

pada dunia nyata. Penggunaan matriks yang sering ditemui adalah teknik pemfaktoran

matriks. Dalam hal ini matriks difaktorkan menjadi beberapa matriks lain yang bersesuaian

salah satu metode yang digunakan adalah metode dengan dekomposisi nilai singular.

Dekomposisi ini sangat berkaitan dengan nilai eigen matriks. Sama halnya dengan proses

diagonalisasi, proses dekomposisi ini mengharuskan kita untuk menggunakan proses Gramm-

Schmidt untuk mendapatkan vector-vektor yang bersesuaian. Matriks awalnya dikerjakan

dengan metode diagonalisasi yang kemudian dilanjutkan dengan proses dekomposisi.

Dengan dasar itulah makalah ini dibuat. Dalam makalah ini, dibahas mengenai dekomposisi

nilai singular yang dilakukan pada sebuah matriks persegi.

1.2 Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dari makalah ini antara lain:

1. Jelaskan teorema-teorema yang berkaitan dengan dekomposisi nilai singular ?

2. Bagaimana menggunakan metode dekomposisi nilai singular dalam matriks ?

1.3 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan makalah ini antara lain :

1. Untuk menyelesaikan tugas mengenai dekomposisi nilai singular yang diberikan oleh

dosen pembimbing Aljabar Matriks.

2. Untuk mengetahui teorema-teorema yang berkaitan dengan dekomposisi nilai

singular dan aplikasi dari teori tersebut .

A l j a b a r M a t r i k s | 2

3. Untuk menyelesaikan soal-soal tentang matriks yang menggunakan dekomposisi

nilai singular .

1.4 Manfaat Penulisan

Adapun manfaat dari makalah ini yaitu agar dapat dijadikan pedoman dalam

menyelesaikan berbagai macam soal-soal matriks dengan menggunakan dekomposisi

nilai singular . Selain itu, penulis berharap agar makalah ini membawa kemaslahatan buat

mahasiswa atau orang-orang yang berkecipung dalam bidang Aljabar Matriks.

A l j a b a r M a t r i k s | 3

BAB 2

PEMBAHASAN

Dalam teori matriks, dikenal beberapa teorema dekomposisi, di antaranya teorema faktorisasi

LU dan teorema faktorisasi QR. Selanjutnya, terdapat dekomposisi yang dikenal dengan

Dekomposisi Nilai Singular (Singular Value Decomposition atau SVD). SVD terkait dengan

nilai eigen dan nilai singular, yang hubungannya akan diuraikan dibawah ini :

Nilai Eigen :

Untuk suatu matriks persegi A, terdapat vektor tak nol x dan suatu skalar λ sehingga Ax = λ x

, x ≠ 0 Skalar λ disebut nilai eigen dari A dan vektor x ≠ 0 disebut vektor eigen yang

bersesuaian dengan λ.

Untuk menentukan nilai eigen dari matriks persegi A, tulis Ax = λ x sebagai Ax = λ Ix atau

ekuivalen dengan (A −λI )x = 0 . Untuk nilai eigen λ , persamaan tersebut mempunyai

penyelesaian tak nol jika dan hanya jika det (A −λI ) = 0 dan disebut persamaan karakteristik

matriks A.

Nilai Singular :

Diberikan A matriks dengan rank r. Nilai eigen positif dari (ATA)

1/2 disebut nilai singular dari

A. Dengan kata lain, jika σ adalah nilai singular dari A maka σ adalah nilai eigen positif

dari (ATA)

1/2 , atau σ 2 adalah nilai eigen dari A

TA .

Dari definisi di atas, dapat diketahui hubungan antara nilai eigen dan nilai singular.

Dengan kata lain, untuk matriks A dengan rank r dan nilai-nilai eigen dari matriks ATA

adalah λ1 ≥ λ2 ≥ …..≥ λr ≥ λr+1 = ….= λn= 0, maka σi = √ dengan i = 1, 2, …, r, r+1, …, n

disebut nilai singular dari matriks A.

Misalnya, Untuk menentukan nilai singular dari [

] dapat diperoleh dengan menghitung

nilai eigen dari ATA =[

]dan nilai eigen dari ATA adalah √ serta nilai singular

dari A adalah √ √ .

A l j a b a r M a t r i k s | 4

2.1 Pengertian Dekomposisi Nilai Singular

Metode dekomposisi nilai singular merupakan suatu metode yang digunakan untuk

memfaktorkan matriks berdasarkan nilai singularnya.

dengan U matriks orthogonal m x m, V matriks orthogonal n x n dan Σ matriks diagonal m x n

bernilai riil tak negatif yang disebut nilai-nilai singular. Dengan kata lain Σ = diag ( σ1, σ2, …

, σn ) terurut sehingga σ1 ≥ σ2 ≥ … ≥ σn . Jika U = (u1, u2, …, un) dan V = (v1, v2, … , vn) maka

∑

Dapat juga dinyatakan bahwa matriks Amxn dapat dinyatakan sebagai dekomposisi matriks

yaitu matriks U, Σ dan V . Matriks Σ merupakan matriks diagonal dengan elemen

diagonalnya berupa nilai-nilai singular matriks A, sedangkan matriks U dan V merupakan

matriks-matriks yang kolom-kolomnya berupa vektor singular kiri dan vektor singular kanan

dari matriks A untuk nilai singular yang bersesuaian. Menentukan SVD meliputi langkah-

langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks AAT atau A

TA. Vektor eigen

dari ATA membentuk kolom V, sedangkan vektor eigen dari AA

T membentuk kolom U. Nilai

singular dalam Σ adalah akar pangkat dua dari nilai-nilai eigen matriks AAT atau A

TA. Nilai

singular adalah elemen-elemen diagonal dari Σ dan disusun dengan urutan menurun.

2.2 Teorema Dekomposisi Matriks Singular

Teorema 1

Nilai singular tak nol dari matriks A∈Cm×n adalah akar pangkat dua ( √

) dari nilai

eigen matriks A*A atau A*A (nilai eigen dari kedua matriks ini sama).

Bukti

Menurut dekomposisi nilai Singular diperoleh bentuk sehingga dengan

demikian :

A l j a b a r M a t r i k s | 5

Diperhatikan bahwa matriks V adalah matriks uniter dan menurut teorema diagonalisasi

berakibat A*A dan Σ*Σ similar. Akibatnya matriks A*A dan Σ*Σ memiliki persamaan

karakteristik yaitu nilai eigen yang sama. Nilai Eigen matriks tak nol, matriks Σ*Σ tidak

lain adalah σ12, σ2

2,…, σr

2. Hal serupa berlaku juga untuk :

Teorema 2

Harga mutlak determinan dari matriks persegi A∈Cmxm , yaitu | |, adalah

perkalian semua nilai singular matriks A.

Bukti

Jika Q merupakan matriks uniter maka QQ* = I, sehingga dengan demikian berlaku

| || | = | |=| | = 1 atau dengan kata lain | |

| | . Menurut dekomposisi nilai singular, matriks A disajikan sebagai

. Karena U dan V* matriks uniter maka berlaku | |=| | ,

sehingga dengan demikian :

Karena matriks Σ merupakan matriks diagonal dengan entri-entrinya merupakan nilai

singular, yaitu merupakan bilangan positif atau nol, maka berlaku | | dan

nilai determinannya merupakan perkalian nilai-nilai singular matriks A.

2.3 Algoritma Dekomposisi Nilai Singular

1. Dibentuk matriks A*A dan tentukan sejumlah r nilai singular tak nolnya.

Misalkan {σ1, σ2,…, σr } merupakan nilai-nilai singular tak nol matriks A* A dengan

σ1 σ2 … σr σr+1= … = σn = 0

A l j a b a r M a t r i k s | 6

2. Dibentuk matriks diagonal Σ = [

]

3. Dicari himpunan vektor eigen matriks A* A. Misalkan { v1, v2, …, vn} merupakan

vektor-vektor eigen matriks A* A dengan vi merupakan vektor eigen yang

bersesuaian dengan λi.

4. Dibentuk matriks uniter [ ].

5. Dibentuk himpunan vektor { u1, u2, …, un}dengan

untuk setiap 1≤i ≤ n .

6. Dibentuk matriks uniter [ ].

2.4 Contoh Soal

1. Diketahiu matriks A = [

] , akan dicari bentuk dekomposisi nilai singularnya.

Dibentuk matriks A*A = [

] [

] [

]

Diketahui nilai eigen A*A adalah λ1=3 dan λ2=1

Kemudian dibentuk matriks singularnya Σ = [√

]

Nilai-nilai eigen λ1=3 dan λ2=1 masing-masing berkorespondensi dengan vector

eigen

[ √

⁄

√

⁄

]

dan

[ √

⁄

√

⁄

]

. Himpunan vector-vektor eigen tersebut

ortonormal sehingga dapat dibentuk matriks uniter V sebagai berikut :

[ ]

[ √

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄

]

Kemudian untuk matriks U yang dibentuk dari

diperoleh :

A l j a b a r M a t r i k s | 7

[

√

√

√

]

dan

[

√

√

]

. Kemudian dibentuk matriks uniter U :

[ ]

[ √

√

√

√

√

]

Sehinga bentuk dekomposisi dari matriks A adalah :

A = [

]

[

√

√

√

√

√

]

[√

]

[ √

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄

]

Diperhatikan matriks uniter U∈ ₵3x2

, agar matriks unitary U ini menjadi matriks

pesegi berukuran 3x3 , tambahkan satu kolom lagi. Namun vector yang menyusun

kolom tambahan tersebut harusnlah orthonormal dengan vector kolom lainnya.

Karena itu dipilih sebarang vector yang memenuhi syarat tersebut.

[

√

√

√

]

, sehingga menjadikan matriks

[ ]

[ √

√

√

√

√

√

√

√

]

A l j a b a r M a t r i k s | 8

Namun akibatnya matriks singular Σ harus menambah jumlah baris agar

mengimbangi jumlah kolom tambahan pada matriks unitary, maka baris tambahan

pada matriks singular Σ harus dibentuk oleh vector 0, sehingga :

A = [

]

[

√

√

√

√

√

√

√

√

]

[√

]

[ √

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄

]

Bentuk ini dinamakan bentuk dekomposisi nilai singular penuh karena matriks

unitary U dan V masing-masing berupa matriks pesegi. Sedangkan bentuk

sebelumnya dinamakan bentuk dekomposisi nilai singular tereduksi.

2. Tentukan SVD (Singular Value Decomposition) matriks A= [

]

Mencari nilai AAT = [

]

Selanjutnya menentukan nilai eigen dari AAT, yaitu λ1= 10 dan λ2=12

Diperoleh nilai singular dari A yaitu √ dan √

Untuk λ1= 10 diperoleh vector eigen yang bersesuaian adalah u1[

] dan untuk

λ2=12 diperoleh vector eigen yang bersesuaian adalah u2[ ]. Dengan

menormalisasisakn u1 dan u2 diperoleh

| | [

√

⁄

√

⁄] dan

‖ ‖ = [

√

⁄

√

⁄]

Diperoleh U = [

√

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄]

Selanjutnya cari nilai eigen dari

ATA = [

] dan nilai eigennya ialah λ1= 0 , λ1= 10 dan λ3=12

Diperoleh nilai singular dari A yaitu 0, √ dan √

A l j a b a r M a t r i k s | 9

Dengan mencari vector eigen yang bersesuaian u1= [

], u2= [

] dan u3= [ ].

Akibatnya , vector-vetor singular kanan yang orthomormal adalah

[

√ ⁄

√

⁄

√

⁄ ]

,

[

√ ⁄

√

⁄

]

, dan

[

√ ⁄

√

⁄

√

⁄ ]

Jadi VT=

[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄ √

⁄ ]

Diperoleh SVD matriks A adalah:

A = [

√

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄] [√

√ ]

[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√

⁄ √

⁄

√

⁄ √

⁄ √

⁄ ]

A l j a b a r M a t r i k s | 10

BAB 3

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dekomposisi nilai singular adalah suatu proses memfaktorkan sebuah matriks menjadi

lebih dari satu matriks, yaitu perkalian antara matriks diagonal yang memuat nilai-nilai

singular ( Σ) dengan matriks yang memuat vektor-vektor singular ( U dan V). Dimana

matriks U dan V merupakan matriks-matriks yang kolom-kolomnya berupa vektor

singular kiri dan vektor singular kanan dari matriks A untuk nilai singular yang

bersesuaian.

3.2 Kritik dan Saran

Sebelum menyelesaikan persoalaan matriks dengan menggunakan dekomposisi nilai

singular, sebaiknya kita terlebih dahulu memahami proses Gram-Schmidt seperti yang

berlaku pada proses diagonalisasi. Begitupun dalam menentukan nilai eigen, seseorang

harus mampu menentukan persamaan karakteristik dari suatu matriks. Dan juga harus

mampu menentukan nilai singular suatu vektor Selain itu kami penulis mengharapkan

kritik dan saran dari pembaca demi pengembangan kualitas dari makalah kami.