Transformasi ZOleh : Ibnu Hakim

FeriSiti Albaniah

Adalah suatu transformasi yang mengubah sinyal waktu diskrit ke dalam bentuk kompleks dalam domain frekuensi

Berguna untuk menyelesaikan persamaan beda (difference equation). Hal ini serupa dengan kegunaan transformasi Laplace, tetapi berlaku untuk sinyal dan sistem waktu diskrit.

Transformasi-z dari suatu sinyal x(n) didefinisikan sebagai:

n

nz)n(x)z(X

di mana z adalah suatu variabel bilangan komplek, yaitu z = re j .Im(z)

Re(z)

r

Transformasi-z adalah suatu deret tak hingga, sehingga mungkin divergen untuk beberapa nilai z.

Transformasi-z hanya didefinisikan untuk suatu daerah yang hasil transformasinya adalah terhingga, diberi nama Region of Convergence.

Region Of Convergence (ROC) dari transformasi-z berbentuk :

R1 < |z| < R2, dimana |z| = r. dengan batas R1 dan R2 adalah tergantung pada sinyal yang ditransformasikan.

Cari Transformasi-Z dari sinyal-sinyal berikut:a). x1(n) = {1, 2, 3, 5, 7, 0, 1} b). x2(n) = {0, 0, 1, 2, 5, 0, 1}

Jawaba). X1(z) = 1 + 2z-1 + 3z-2 + 5z-3 + 7z-4 + z-6 ; ROC: z ≠ 0b). X2(z) = z-2 + 2z-3 + 5z-4 + z-6; ROC: z ≠ 0

Cari Transformasi-Z dari sinyal:x3(n) = u(n) = {1, 1, 1, 1, … }

JawabX3(z) = 1 + z -1 + z -2 + z -3 + …jika z –1 = A, maka :X3(z) = 1 + A + A2 + A3 + ...kedua ruas dari persamaan di atas dikalikan dengan (1 – A), dihasilkan: X3(z) =

A11

Sifat-sifat Transformasi ZSifat-sifat Transformasi ZLinierPenggeseran WaktuPerkalian dengan WaktuPembalikan WaktuPerkalian dengan an

Teorema Nilai Awal Teorema Nilai Akhir

Z[a1 x1(n) + a2 x2(n)] = a1 X1(z) + a2 X2(z) Contoh:

Cari transformasi z dari x(n) = u(n) + 0,9n u(n)

Jawab:Transformasi z dari u(n) = z/(z – 1)Transformasi z dari 0,9n u(n) = z/(z – 0,9)maka transformasi z dari u(n) + 0,9n u(n) :

)9,0z)(1z(z9,1z2

)9,0z)(1z()1z(z9,0zz

9,0zz

1zz 2

Z[x(n–1)] = z -1X(z) + x(–1) Z[x(n–2)] = z -2X(z) + x(–2) + z -1x(–1) Z[x(n–k)] = z -kX(z) + x(–k) + z -1x(–k+1) + ...

+ z –k+1x(–1)   Z[x(n+1)] = z X(z) – z x(0) Z[x(n+2)] = z 2 X(z) – z2 x(0) – z x(1) Z[x(n+k)] = z k X(z) – zk x(0) – zk-1 x(1) – ...

– z x(k–1)

Contoh Cari transformasi z dari x(n) = u(n + 2)

Jawab:Z[u(n+2)] = z 2 X(z) – z2 x(0) – z x(1)

1z1zz

1z1zz

1zzzzz

1zzz 2222

1zz

1zzzzzz 2233

Z[n x(n)] = Contoh :

Tentukan transformasi z dari x(n) = n.u(n) Jawab :

Z[n.u(n)] = =

=

)z(Xdzdz

)z(Xdzdz

21z

)1(z11zz1z

zdzdz

22 1zz

1z1z

Z[x(–n)] = X(1/z) Contoh :

Cari transformasi z dari x(n) = u(–n) Jawab:

Z[u(–n)] =z1

11z

z1

1

Z[an x(n)] = X(z/a) Contoh :

Tentukan transformasi z dari x(n) = 0,8n u(n)

Jawab :Z[0,8n u(n)] = X(z/0,8) =

8,0zz

18,0/z8,0/z

Jika Z[x(n)] = X(z), maka x(0) = Contoh :

Tentukan nilai awal x(0) jika Jawab :

x(0) = = = 1

zXlimz

9,0zz)z(X

zXlimz

9,0zzlim

z

Jika Z[x(n)] = X(z), maka

Contoh :Tentukan nilai akhir x(∞) jika

Jawab : = = 0

)z(X1zlim)n(xlim1zn

9,0zz)z(X

)z(X1zlim)n(xlim1zn

9,0z

z1zlim1z

Tabel Pasangan Transformasi Z

No Sinyal diskritx(n)

Transformasi-zX(z)

ROC

1 (n) 1 Seluruh z

2 u(n) |z| > 1

3 a n u(n) |z| > |a|

4 n a n u(n) |z| > |a|

5 – a n u(– n –1) |z| < |a|

6 – n a n u(– n –1) |z| < |a|

1zz

z11

1

azz

az11

1

azz

az11

1

221

1

azaz

az1

az

221

1

azaz

az1

az

No Sinyal diskrit Transformasi-z ROC7 (cos 0 n) u(n) |z| > 1

8 (sin 0 n) u(n) |z| > 1

9 (an cos 0n) u(n) |z| > |a|

10 (an sin 0 n) u(n) |z| > |a|

1cosz2zcoszz

zcosz21cosz1

02

02

20

10

1

1cosz2zsinz

zcosz21sinz

02

0

20

10

1

20

20

2

220

10

1

acosaz2zcosazz

zacosaz21cosaz1

20

20

220

10

1

acosaz2zsinaz

zacosaz21sinaz

Tidak berisi informasi tentang sinyal x(n) untuk waktu negatif atau n < 0

Bersifat unik hanya untuk sinyal kausal, karena sinyal-sinyal ini yang bernilai nol untuk n < 0

Bila kita membahas transformasi z satu sisi, kita tidak perlu membahas ROC-nya.

0n

nz )n(x)z(X

Menghitung langsung integral kontur Ekspansi dalam deret pangkat, dengan

variabel z dan z–1

Ekspansi pecahan parsial dan melihat tabel pasangan transformasi

C

1n dzzzXj2

1)n(x

1. X(z) terdiri dari pole-pole riil dan tak berulang

2. X(z) terdiri dari pole-pole riil dan berulang3. X(z) terdiri pole-pole pasangan komplek

Pole Riil dan Tak berulangn mdengan ;

azazazbzbzbzb

)z(Xn1n

1n1

nm1m

1m1

m0

pzpzpz

bzbzbzb)z(X

n21

m1m1m

1m

0

n

n

2

2

1

1

pza

pza

pza

z)z(X

ipz

ii z)z(Xpza

Contoh 2•Tentukan invers transformasi z dari:

•Jawab:

1z :ROC jika ;z5,0z5,11

1)z(X 21

5,0z5,1zz)z(X 2

2

5,0za

1za

5,0z5,1zz

z)z(X 21

2

1z1z1 5,0z

z5,0z1z

z1za

Contoh 2 (lanjutan)

5,0z5,0z

2 1zz

5,0z1zz5,0za

5,0z1

1z2

z)z(X

5,0zz

1zz2)z(X

x(n) = 2 u(n) – (0,5)n

u(n)

Jika X(z)/z memiliki pole-pole berulang pada p1 dengan pangkat r, maka penyebut dapat ditulis sebagai: (z + p1)r (z + pr +1)(z + pr +2)…(z + pn)

Ekspansi pecahan parsial dari X(z)/z ditulis sebagai:

n

n

2r

2r

1r

1r

1

11r

1

1rr

1

r

pza

pza

pza

pzb

pzb

pzb

z)z(X

Nilai-nilai konstanta br, br-1, …, b1 dicari dengan rumus:

1

1

1

1

pz

r11r

1r

1

pz

r1j

j

jr

pz

r11r

pz

r1r

pzz

)z(Xdzd

!1r1b

pzz

)z(Xdzd

!j1b

pzz

)z(Xdzdb

pzz

)z(Xb

Contoh 3•Tentukan invers transformasi-z dari:

•Jawab: Pemfaktoran dari X(z)/z menghasilkan:

1zzzzz2z6)z(X 23

23

1z1z1z2z6

1zzz1z2z6

z)z(X

2

2

23

2

1za

1zb

1zb

z)z(X 1

22

Jika p1 dan p2 adalah pole-pole pasangan bilangan komplek, dan pole lainnya adalah pole riil dan tak berulang, maka ekspansi berikut dapat dipakai:

n

n

21

21

pza

pzpzz

z)z(X

nilai-nilai dari 1 dan 2 ditemukan dengan rumus: zBpzpzapzpzz 21nn321

B(z) adalah bagian pembilang dari X(z)/z.

Contoh 4•Tentukan invers transformasi z dari:

•Jawab: Ekspansi pecahan parsial dari X(z)/z adalah:

nilai a dicari dengan:

1zz1zzz

1z2z2zzz)z(X 2

2

23

2

1zzz

1za

1zz1z1z

z)z(X

221

2

21zz

1z1zzzXa

1z2

1z

Contoh 4 (lanjutan)

kemudian dicari nilai 1 dan 2 dengan menyamakan penyebut dari kedua ruas :

2(z2 – z + 1) + (z – 1)( 1z + 2) = z + 1

2z2 – 2z + 2 + (1z2 – 1z + 2z – 2) = z + 1

(2 + 1)z2 + (-2 – 1 + 2)z + (2 – 2)z0 = z + 1

1zzz

1z2

1zz1z1z

221

2

Contoh 4 (lanjutan)

sehingga :z2 : 2 + 1 = 0z1 : -2 – 1 + 2 = 1z0 : 2 – 2 = 1akhirnya didapatkan 1 = –2 dan 2 = 1, sehingga:

;1zz1z2

1z2

z)z(X

2

1zzz5,0z2

1zz2)z(X 2

2

Contoh 4 (lanjutan)

1zzz5,0z2 2

2

20

20

2

acosaz2zcosazz

Z[(an cos 0n) u(n)]

maka a = 1, cos 0 = 0,5, dan diperoleh 0 = /3,

sehingga didapat:x(n) = 2.u(n) – 2 u(n) cos (/3)n

Tentukan respon sistem berikut untuk input x(n)

adalah unit step:

0,25 y(n) = – y(n + 2) + y(n +1) + x(n + 2)

dengan y(0) = 1, y(1) = 2

Jawab: Dengan mengambil tranformasi-z satu sisi:

0,25 Y(z) = – [z2 Y(z) – z2 y(0) – zy(1)] + [zY(z) – zy(0)] + z2 X(z) – z2 x(0) –

zx(1) = – z2 Y(z) + z2 + 2z + zY(z) – z + z2 X(z) – z2 – z Y(z) [0,25 – z + z2] = z2 X(z) = z3 /(z – 1)

5,0zb

5,0zb

1za

5,0z1zz

25,0zz1

1zz

z)z(Y

12

22

2

2

2