Trans Sistem n Partikel Identik ( fisika kuantum )

8/3/2019 Trans Sistem n Partikel Identik ( fisika kuantum )

1/15

SISTEM N PARTIKEL IDENTIK

Sistem N partikel dinyatakan dengan fungsigelombang:

( x1, x2, ., xN)

Keadaan ternormalisasi:

dx1 dx2 . dxN ( x1, x2,., xN)2= 1

( x1, x2, ., xN)2 adalah generalisasidari (x)2

artinya:

probabilitas menemukan patikel 1 padax1, partikel 2 pada x2, dan partikel Npada xN.

Hamiltonian sistem N partikel:

H==

N

i 1 im

Pi

2

2

+ V(x1, x2, ., xN)


2/15

H= - 2 ( 21

2

12

1

xm

++ 2

2

2

1

NNxm

) + V(x1, x2, .,

xN)

SISTEM 2 N PARTIKEL

IDENTIK

Tinjau sistem 2 partikel identik, tidakberinteraksi satu dengan yang lain

dinamakan partikel 1 dan partikel 2.

e1 e2inti

Partikel sistem tidak saling berinteraksi,maka fungsi Hamilton total sistem adalah:

(1,2) = (1)+(2)..(1)

Parsamaan Schrodinger sistem 2 partikel:

(1,2) (1,2)= (E1 + E2) (1,2)

(2)


3/15

(1,2) adalah fungsi diri sistem 2 partikelidentik.

Ada 4 macam bentuk (1,2) yang

memenuhi persamaan (2):

1). (1,2) = (1) (2)2). (1,2) = (2) (1)

3). (1,2)=2

1[ (1) (2) + (2) (1)]

4). (1,2)=2

1[ (1) (2) - (2) (1)]

Buktikan apakah ke-4 solusi di atasmemenuhi persamaan (2)?

(1,2) = (1) (2)

(1,2) (1,2) = [( 1 + 2)] (1) (2)= (1) (1) (2) + (2)

(1) (2)= (E1 + E2) (1) (2)=(E1 + E2) (1,2)memenuhi pers.

(2)


4/15

Buktikan untuk 3 bentuk solusi (1,2) yanglain !!!!

Diantara 4 kemungkinan (1,2) manakah yang merupakan fungsi diri 2partikel identik?

cek dengan operator 12(penukar partikel 1 dengan 2)

(i) 12 (1,2) (1,2)= 12 (E1 + E2) (1,2)= (E1 + E2) 12 (1,2)

(*)

(ii) (1,2) 12 (1,2) = (1,2) (1,2)= (1,2) (1,2)= (E1 + E2) (1,2)

=(E1 + E2) (1,2)=(E1 + E2) 12 (1,2)

(**)

Dari (*) dan (**): 12 (1,2) = (1,2) 12[ 12, (1,2)] = 0 KOMUT

Harus dipilih fungsi diri bersama bagioperator 12 dan (1,2)


5/15

Misal (1,2) adalah fungsi diri 12 dengannilai diri :

12 (1,2) = (1,2)

122 = 12 . 12

12

2 (1,2) = 12 12 (1,2)

= 12 (1,2)= 12 (1,2)= 2 (1,2)

Karena setiap permutasi dua kali haruskembali ke keadaan semula, maka nilai 2

harus sama dengan 1.

2=1 = +1 dan = -1 s (1,2) a (1,2)(simetri) (antisimetri)

Untuk sistem 2 partikel identik, 1 partikel

dalam keadaan , lainnya dalam keadaan , maka fungsi gelombang simetri dananti simetri yang mungkin adalah:

s (1,2)= 21

{ (1) (2) + (2) (1)}


6/15

a (1,2)= 21

{ (1) (2) - (2) (1)}

1. Sistem yang mengandung partikel identik dengan

spin bilangan gasal (spin , 3/2, )

dideskripsikan dengan fungsi gelombang

antisimetris

Contoh: Elektron, proton dan netron

Partikel-partikel tersebut disebut Fermion

Mengikuti statistik Fermi-Dirac

2. Sistem yang mengandung partikel identik dengan

spin berupa bilangan bulat (spin 0, 1, 2, )

dideskripsikan dengan fungsi gelombang simetris.

Contoh:

Foton, partikel

Partikel tersebut disebut Boson

Mengikuti statistik Bose Einstein


7/15


8/15

Untuk 2 partikel fermion:

[ ])()()()(2

1)2,1( 12212211 xUxUxUxUU EEEEa =

Untuk 3 partikel fermion :

++

=)()()()()()()()()()()()(

)()()()()()(

6

1

)3,2,1(

233211231231

132231133221

331221332211

xUxUxUxUxUxU

xUxUxUxUxUxU

xUxUxUxUxUxU

U

EEEEEE

EEEEEE

EEEEEE

a

Secara umum untuk N partikel:


9/15

)(. .. . . . . . . . . .) . . . . . . . . .() . . . . . . .(

)(. .. . . . . . . . . .) . . . . . . . . .() . . . . . . .(

)(. .. . . . . . . . . .) . . . . . . . . .() . . . . . . .(

!

1), . . . .3,2,1(

21

22212

12111

NE NE NE N

NEEE

NEEE

a

xUxUxU

xUxUxU

xUxUxU

NNU

=

(x1), (x2), (xN) posisi partikel

UE1, UE2, .UEN fungsi diri

FERMION, PRINSIP ESKLUSI PAULI,ENERGI FERMI

FERMION

memenuhi statistika Fermi Dirac


10/15

Untuk sistem 2 fermion identik, bentukfungsi gelombang adalah:

a (1,2)= !21 1 (1) 1(2)2 (1) 2(2)

Bila 2 fermion ( elektron ) berada dalamkeadaan yang sama dan energi yangsama maka determinan = 0.

Jadi suatu keadaan yang energinyatertentu, dengan momentum sudut samadan spinnya berbeda, hanya dapat di isioleh 2 elektron.

Di kenal dengan prinsip esklusi Pauli

1. Tidak terdapat 2 elektron dalam sebuahatom yang dapat berada dalam keadaankuantum yang sama. Masing masingelektron dalam sebuah atom harusmemiliki kumpulan bilangan kuantum n,

l, mldan ms yang berbeda.

2. Elektron pada atom Hpada keadaannormal berada pada keadaan kuantumterendah.

Apakah 92 e-

pada uranium juga beradadalam keadaan kuantum yang sama?


11/15

Tidak Mungkin!

Mereka akan berdesakan dalam 1 orbitmengelilingi inti.

Ada perbedaan yang sangat besarterhadap sifat kimia unsur yang hanyamemiliki struktur atomik yang berbeda 1e- saja.

Contoh:

9F, 10Ne, 11Na

halogen gas mulia logam

Jika seluruh e- berada dalam keadaankuantum yang sama maka akan sulit bagikita untuk menjelaskan mengapa adaperbedaan sifat ketika jumlah e- berbeda.

Prinsip esklusi Pauli memiliki konsekuensibahwa:

keadaan dasar bagi N elektron

dalam suatu medan potensial


12/15

sangat berbeda di bandingkankeadaan dasar untuk N boson.

Untuk lebih jelasnya tinjau N buahpartikel identik dalam sumur potensialtak berhingga:

V(x)

0 1

V(x)= ; x


13/15

Jika N partikel identik tersebut adalahBOSON, maka dalam keadaan dasar (n=

1), energinya adalah:E = N

mb2

22

2

Energi per partikel (BOSON):

N

E = 222

2mb

Jika N partikel identik tersebut adalahFERMION, maka total energinya adalah:

E = 22

222/

1 22 n

mb

N

n

=

= =

2/

1

2

2

22 N

n

nmb

Setiap state di isi oleh 2 elektronsehingga state tertinggi n = 2N

E dnnmb

N

n

=

2/

1

2

2

22

2/13222

3

1 Nn

mb

3

12

22

mb

[( 2N )3-12]

4.2

3

2

22N

mb

Energi per partikel ( fermion ):

N

E =24

2

2

22N

mb


14/15

Fermion 1 dimensikerapatan fermion = b

N

Energi Fermi ( Ef ) Energi pada saat n = 2

N

Ef = En ( pada n = 2N )

Ef = ( )2

22

22

N

mb

=2

222

8 b

N

m

=m8

22 2

Tambahan:

Perbedaan s dan a : s : kedua partikel 1 dan 2 dapat berada

dalam keadaan kuantum yangsama secara serentak ( = )

a : jika = berarti a = 0, artinyakedua partikel tidak dapat berada

dalam keadaan kuantum yangsama, sehingga sehinggaa 0.

Sehingga jika kita bandingkan dengan

prinsip esklusi pauli maka berarti sistemelectron ( fermion ) harus di berikan oleh


15/15

fungsi gelombang antisimetri ( tandanyaberlawanan ) jika terjadi pertukaran tiappasang elektron.

Trans Sistem n Partikel Identik ( fisika kuantum )

Documents

Transcript of Trans Sistem n Partikel Identik ( fisika kuantum )