TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor€¦ · Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), (vi), dan...

1

TKS 4007 Matematika III

Diferensial Vektor (Pertemuan III)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Perkalian Titik

Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang

dinyatakan oleh A.B (baca : A titik B).

Secara geometri : A.B didefinisikan sebagai perkalian antara

besarnya vektor-vektor A dan B dan cosinus sudut antara

keduanya.

Secara analitik : misal 𝐀 = A1𝐢 + A2𝐣 dan 𝐁 = B1𝐢 + B2𝐣 adalah dua vektor pada bidang sistem koordinat x dan y, maka

A.B didefinisikan :

2

Perkalian Titik (lanjutan)

Sedangkan vektor pada bidang sistem koordinat x, y, dan z,

dimana 𝐀 = A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤 dan 𝐁 = B1𝐢 + B2𝐣 + B3𝐤 ,

maka A.B didefinisikan :

Ingat : hasil kali titik dari dua vektor menghasilkan skalar!


Lihat gambar berikut :

Gambar tersebut menunjukkan sebuah obyek yang diberi

gaya. Obyek tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke

titik B.

3


Usaha untuk gaya konstan tersebut dirumuskan sebagai :

Dengan menggunakan definsi perkalian titik, maka

diperoleh :

Jadi, usaha W merupakan hasil dari perkalian titik antara

gaya F dengan perpindahan r.


Perkalian Vektor-vektor Satuan

Dengan menggunakan definisi perkalian titik, didapatkan :

4


Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada

bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :


Sifat-sifat perkalian titik :

Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah

bilangan real, maka berlaku :

5


Bukti :

(i) 𝐀. 𝐀 = A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤 . A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤

Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh :

𝐀. 𝐀 = A12 + A2

2

= A12 + A2

2

2

𝐀. 𝐀 = 𝐀 2 (Terbukti!)


(ii) 𝐀. 𝐁 = A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤 . B1𝐢 + B2𝐣 + B3𝐤

Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh :

𝐀. 𝐁 = A1B1 + A2B2 + A3B3

Karena A1, A2, A3, B1, B2, dan B3 adalah bilangan real,

maka :

A1B1 = B1A1, A2B2 = B2A2, dan A3B3 = B3A3

sehingga :

𝐀. 𝐁 = B1A1 + B2A2 + B3A3

𝐀. 𝐁 = 𝐁. 𝐀 (Terbukti!)

Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), (vi), dan (vii) dijadikan

untuk latihan!

6


Contoh :

Jika A = i + 2j dan B = 2i – 3j, tentukan A . B dan sudut

yang dibentu oleh A dan B.

Penyelesaian

𝐀. 𝐁 = 𝐢 + 2𝐣 . 𝟐𝐢 − 3𝐣 = 1 2 + 2 −3 = 2 − 6 = 4

cos 𝜃 =𝐀.𝐁

𝐀 𝐁=

−4

12+22 22+(−3)2

=−4

5 13=

−4

65= −0,47

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos(−0,47) = 119,74o

Perkalian Silang

Perkalian silang dari dua buah vektor A dan B dinyatakan

dengan 𝐀 × 𝐁 (baca : A silang B).

Perhatikan gambar berikut :

Tinjau rotasi sebuah partikel dalam

lintasan dengan jari-jari r. Jarak

yang telah ditempuh dalam selang

waktu t adalah s dengan sudut yang

dibentuk adalah (dalam radian).

Hubungan s dan diberikan oleh

s = r.

7

Perkalian Silang (lanjutan)

Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar

kecepatan linier diberikan oleh :

Besaran 𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡, disebut sebagai kecepatan sudut yang

arahnya diberikan oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus

bidang lingkaran. Jadi, hubungan antara kecepatan linier

dengan kecepatan sudut diberikan oleh :


Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama

dengan kecepatan sudut kali silang vektor kedudukan dari

jari-jari lingkaran. Berikut ini definisi perkalian silang :

Secara geometri

Perkalian silang dari dua vektor A dan B adalah sebuah

vektor 𝐂 = 𝐀 × 𝐁 (baca A silang B), yang besarnya adalah

hasil kali antara besarnya A dan B dan sinus sudut antara

keduanya.

dengan u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari

𝐀 × 𝐁.

8


Secara analisis

Misal 𝐀 = A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤 dan 𝐁 = B1𝐢 + B2𝐣 + B3𝐤 ,

maka perkalian silang dari dua vektor A dan B didefinisikan

sebagai berikut :


Perkalian Vektor-vektor Satuan

Dengan menggunakan definisi perkalian silang, didapatkan :

9


Hasil perkalian silang dari vektor satuan-vektor satuan pada

bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :


Sifat-sifat perkalian silang :

Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah

bilangan real, maka berlaku :

10


Bukti :

Misal 𝐀 = A1𝐢 + A2𝐣 + A3𝐤 , 𝐁 = B1𝐢 + B2𝐣 + B3𝐤 dan

𝐂 = C1𝐢 + C2𝐣 + C3𝐤, maka :

(ii)


(iv)

Pembuktian sifat (i), (iii), (v), dan (vi) dijadikan untuk

latihan!

11


Contoh : Jika A = 2i - 2j + k dan B = 3i + j + 2k, tentukan A G B

dan sudut yang dibentu oleh A dan B.

Penyelesaian


Jadi sudut antara A dan B adalah 57,69o.

12

Latihan

1.

2.

3.

4.

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!

TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor€¦ · Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), (vi), dan...

Documents

Transcript of TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor€¦ · Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), (vi), dan...