SOAL APLIKASI PROGRAM LINEAR MATEMATIKA

1. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....A. Rp 176.000,00B. Rp 200.000,00C. Rp 260.000,00D. Rp 300.000,00E. Rp 340.000,00

Pembahasan

Misal :mobil kecil sebagai xmobil besar sebagai y

Luas parkir 1760 m2:4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadix + 5y ≤ 440.......(Garis I)Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan:x + y ≤ 200 ..............(Garis II)Syarat lain: x ≥ 0, y ≥ 0, x,y € RFungsi objektifnya adalah hasil parkiran:Z = 1000 x + 2000 y

Garis 1x + 5y = 440Titik potong sumbu x, y = 0x + 5(0) = 440x = 440Dapat titik (440, 0)

Titik potong sumbu y, x =00 + 5y = 440y = 440/5 = 88Dapat titik (0, 88)

Garis 2x + y = 200

Titik potong sumbu x, y = 0

x + 0 = 200x = 200Dapat titik (200, 0)

Titik potong sumbu y, x =00 + y = 200y = 200Dapat titik (0, 200)

Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2x + 5y = 440 x + y = 200 ____________ _4y = 240y = 60

x + y =200x + 60 = 200x = 140Titik potong kedua garis adalah (140, 60)

(0,0) Z = 1000(0) + 200(0) = 0(200,0) Z = 1000(200) + 200(0) = 200 000(0,88) Z = 1000(0) + 200(88) = 176 000

(140,60) Z = 1000(140) + 200(60) = 260 000

Jadi, penghasilan maksimum tempat parkir adalah Rp 260 000,- jika menampung mobil kecil sebanyak 140 unit dan mobil besar sebanyak 60 unit.

2. Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat?A. 6 jenis IB. 12 jenis IIC. 6 jenis I dan 6 jenis IID. 3 jenis I dan 9 jenis IIE. 9 jenis I dan 3 jenis II

Pembahasan

Misal :Barang I akan dibuat sebanyak x unitBarang II akan dibuat sebanyak y unit

x + 3y ≤ 182x + 2y ≤ 24Syarat lain: x ≥ 0, y ≥ 0, x,y € RFungsi objektifnya:Z = 250000 x + 400000 y

Titik potong x + 3y = 18 |x2| 2x + 2y = 24 |x 1|

2x + 6y = 362x + 2y = 24____________ _4y = 12y = 32x + 6(3) = 362x = 18x = 9Titik potong kedua garis (9, 3)

(x,y) Z = 250 000 x + 400 000y(0,0) Z = 250 000(0) + 400 000(0) = 0(12,0) Z = 250 000(12) + 400 000(0) = 3 000 000(9,3) Z = 250 000(9) + 400 000(3) = 3 450 000(0,6) Z = 250 000(0) + 400 000(6) = 2 400 000

Jadi, penjualan maksimum adalah Rp 3.400.000,- jika barang I dibuat sebanyak 9 unit dan barang II dibuat sebanyak 3 unit.

3. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak.Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp.6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapatmemuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kgdan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah....

Pembahasan

Misal :Buah mangga sebagai xBuah pisang sebagai y

Syarat : x ≥ 0 ; y≥ 08000x + 6000y ≤ 1200.0004x + 3y ≤ 600 ….(1)x + y ≤ 180 ….(2)

Laba penjualan mangga = 9200 – 8000 = 1200Laba penjualan pisang = 7000 – 6000 = 1000

Laba maksimum Z = 1200x + 1000y

Titik potong:

4x + 3y = 600 (×1) ⇒ 4x + 3y = 600

x + y = 180 (×4) ⇒ 4x + 4y = 720

- y = - 120y = 120

x + y = 180x = 180 – 120 = 60

titik potong = (60,120)

(x,y) Z = 1200x + 1000y(0,0) Z = 1200(0) + 1000(0) = 0

(150,0) Z = 1200(150) + 1000(0) = 180 000(60,120) Z = 1200(60) + 1000(120) = 192 000(0,180) Z = 1200(0) + 1000(180) = 180 000

Jadi, laba maksimum yang diperoleh adalah Rp 192.000,- jika memuat buah mangga sebanyak 60 dan buah pisang sebanyak 120 buah.

4. Sebuah pesawat terbang memiliki tempat duduk tidak lebih dari 60 buah. Setiap penumpang bagasinya dibatasi, untuk penumpang kelas utama 30 kg, dan untuk penumpang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat tersebut hanya dapat membawa bagasi 1.500 kg. Jika tiket untuk setiap penumpang kelas utama Rp. 600.000,00 dan untuk kelas ekonomi Rp. 450.000,00, maka penerimaan maksimum dari penjualan tiket adalah ….

Pembahasan

                  *Model matematikanya:x + y ≤ 60 30 x + 20 y ≤ 1500 →3x + 2y ≤ 150

x + y ≤ 60 X 0 60  Y 60 0(x,y) (0,60) (60,0)

3x + 2y ≤ 150X 0 50  Y 75 0(x,y) (0,75) (50,0)

titik Z =600.000x +4540.000y(0,60) Z= 600.000 (0) + 450.000 (60)  = 27.000.000(50,0) Z= 600.000 (50) +450.000 (0)   = 30.000.000(30,30 Z= 600.000 (30) +450.000 (30) = 31.500.000 

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp 31.500.000 dengan penumpang

utama 30kg dan penumpang ekonomi 30kg

5. Tanah seluas 10.000 m² akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m² dan tipe B diperlukan 75 m². Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp 6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp 4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ....

Jenis Berat

Utama   X 30

ekonomi  Y 20

   Total 60 1500

Metode Subtitusi                                   Eliminasi              x + y = 60      x3   3x + 3y = 180              x + y = 603x + 2y=150 x1    3x + 2y = 150 -         x + 30 = 60                                          y = 30                 x= 30titik potongnya (30,30)

Pembahasan

Misal:x = rumah tipe Ay = rumah tipe B

100x + 75y ≤ 10.000 ⇒4x + 3y ≤ 400 …..(1)x + y ≤ 125 …..(2)Syarat : x ≥ 0 ; y≥ 0Fungsi obyektif : Z = 6000.000 x + 4000.000 y

Mencari keuntungan maksimum dengan mencari titik-titik pojok dengan menggunakansketsa grafik:Grafik 1 :4x + 3y ≤ 400Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0 maka :4x + 3(0) = 400x = 400/4x = 100Titik potongnya (100 , 0)

Titik potong dengan sumbu Y, jika x = 0 maka :4(0) + 3y = 400y = 400/3y = 133,3Titik potongnya (0 , 133,3)

Grafik 2 :x + y ≤ 125titik potong dengan sumbu X jika y = 0 maka :x + 0 = 125x = 125Titik potongnya (125 , 0)

Titik potong dengan sumbu Y jika x = 0 maka :x + y = 125y = 125 Titik potongnya (0 , 125)

4x + 3y = 400 x 1 ⇒ 4x + 3y = 400

x + y = 125 x 4 ⇒     4x + 4y = 500 --y = -100y = 100x + y = 125x = 125 - y= 125 – 100 = 25 --> didapat titik potong (25, 100)Titik pojok 6000.000 x + 4000.000 y(100,0) 600.000.000(0,125) 500.000.000(25, 100) 150.000.000+ 400.000.000 = 550.000.000Keuntungan maksimum adalah Rp.600.000.000

6. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet 1 Rp. 4000,00 per biji dan tablet II Rp. 8.000,00 per biji, pengeluaran minuman untuk pembelian tablet per hari adalah….

Pembahasan

Misal :tablet Jenis I : xtablet Jenis II : y

Satu Tablet Jenis I (x)

Satu Tablet Jenis II (y)

Keperluan tiap hari

Kandungan Vit. A Kandungan Vit. B

53

101

255

Harga 4.000 8.000

5x + 10y ≥ 253x + y ≥ 5x ≥ 0y ≥ 0Fungsi obyektif : Z = 4000x + 8000y

Untuk 5x + 10y = 25Jika x = 0 maka y = 25/10 = 2 ½ ; titik ( x, y ) = (0,2 ½)Jika y = 0 maka x = 5 ; titik ( x, y ) = (5,0)

Untuk 3x + y = 5Jika x = 0 maka y = 5 ; titik ( x, y ) = (0,5)Jika y = 0 maka x = 5/3 ; titik ( x, y ) = (5/3,0)

5x + 10y = 25 (×3) →15x + 30y = 753x + y = 5 (×5) →15x + 5y = 25

25y = 50y = 2

5x + 10y = 255x + 10.2 = 255x = 25 – 205x = 5x = 1Jadi titik potongnya adalah (x,y) = (1,2)

Titik (x,y) Z = 4.000x + 8.000y Jumlah(0,5)(1,2)(5,0)

Z= 4000(0) + 8000(5)Z = 4000(1) + 8000(2)Z = 4000(5) + 8000(0)

Rp. 40.000,00Rp. 20.000,00Rp. 20.000,00

Jadi, ada 2 titik yang menghasilkan nilai minimum yaitu pada titik (0,5) dan titik (5,0)

7. Ling ling membeli 240 ton beras untuk dijual lagi. Ia menyewa dua jenis truk untuk mengangkut beras tersebut. Truk jenis A memiliki kapasitas 6 ton dan truk jenis B memiliki kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis A adalah Rp 100.000,00 sekali jalan dan truk jenis B adalah Rp 50.000,00 sekali jalan. Maka Ling ling menyewa truk itu sekurang-kurangnya 48 buah. Berapa banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum?

Pembahasan

Misal :Truk A sebagai xTruk B sebagai y

x + y ≥ 48,6x + 4y ≥ 240,x ≥ 0, y ≥ 0Fungsi objektifnya adalah Z = 100.000x + 50.000y

Jadi, biaya minimum yang harus dikeluarkan adalah Rp 2.400.000,- jika menggunakan truk jenis B sebanyak 48 unit.

8. Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp. 4.000,00/buah dan kue B dijual dengan harga Rp. 3.000,00/buah, maka pendapatan minimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah ….

Pembahasan

*20x + 20 y ≤ 4000   x + y ≤ 200 → pemakaian gula*60 x + 40y ≤ 9000   3x + 2y ≤ 450→P. tepung*x ≥ 0 ; y ≥ 0

x + y ≤ 200 X 0 200  Y 200 0

Jenis gula tepung

Kue A

X 20 60

Kue B

Y 20 40

Total 4000 gr 9000 gr

(x,y) (0,200) (200,0)

*3x + 2y ≤ 450X 0 150  Y 225 0(x,y) (0,225) (150,0)

titik Z =4.000x +3.000y(150,0) Z= 4000 (150) + 3000 (0) = Rp 45.000(0,200) Z= 4000 ( 0) + 3000 (200) = Rp 600.000(50,150) Z= 4000 (50) + 3000 (150) = Rp 650.000

Jadi, pendapatan minimum yang dapat diperoleh adalah Rp 45.000

9. Seorang penjahit mempunyai persediaan 84 m kain polos dan 70m kain batik. Penjahit tersebut akan membuat 2 jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 4m kain polos dan 2 meter kain batik, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 3m kain polos dan 5m kain batik. Jika pakaian jenis I dijual dengan laba Rp. 40.000, dan pakaian jenis II dijual dengan laba Rp. 60.000,00 per potong. Keuntungan minimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah ...

Pembahasan

Pakaian jenis I      = x : 4 kain polos, 2 kain batik

Pakaian jenis I      = y : 3 kain polos, 5 kain batik

84 m kain polos, 70 m kain batik

Model matematikanya:4x + 3 y ≤ 84

Metode Subtitusi                                   Eliminasi              x + y    =200   x3   3x+3y  =  600               x+y = 2003x + 2y = 450  x1   3x +2y =  450  -                    

   x+150=200  y  = 150                         x= 50    

titik potongnya (50, 150)

2x + 5 y ≤ 70

4x + 3 y ≤ 84   X 0 21  Y 28 0 (x,y) (0,28) (21,0)

2x + 5 y ≤ 70  X 0 35  Y 14 0(x,y) (0,14) (35,0)

titik Z = 40.000 x + 60.000 y(0, 14) Z= 40.000 (0)  + 60.000 (14) =  Rp.840.000(21, 0) Z= 40.000 (21)+ 60.000 (0)   =  Rp. 840.000(15, 8) Z= 40.000 (15) + 60.000 (8)  = Rp 1.080.00

Jadi, keuntungan minimum yang dapat diperoleh adalah Rp. 840.000

10. Seorang pengusaha mempunyai pabrik sepatu di dua kota, yaitu di Jakarta dan Semarang. Untuk memenuhi pesanan sebanyak 300 sepatu pria, 180 sepatu wanita dan 240 sepatu anak anak, maka pengusaha tersebut mengoperasikan kedua pabrik. Pabrik di Jakarta setiap hari menghasilkan sepatu pria, wanita dan anak – anak masing – masing 30, 12,dan 12 dengan ongkos pekerja Rp 30.000,00 tiap hari. Sedangkan pabrik Semarang setiap harinya menghasilkan sepatu pria, wanita dan anak-anak masing masing 15, 12, dan 24 dengan ongkos pekerja Rp 25.000,00 setiap hari. Buatlah model matematika untuk masalah tersebut jika diharapkan pengeluaran ongkos seminimal mungkin

Pembahasan

Dari soal diatas dapat dibuat table sebagai berikut :

  Jumlah sepatu yang dihasilkan Jumlah pesanan

Metode Subtitusi                                   Eliminasi             

4x+3y = 84 x1 4x + 3y  =  84 X+5y = 15                x+5y = 15  x2  2x+10y = 30 -           X+5(2 = 15                          -9y = -18                 X = 15-10                             Y =2                      X = 5 jadi titik potong (15,8)

Pabrik di Jakarta Pabrik di Semarang

Sepatu pria 30 15 300

Sepatu wanita 12 12 180

Sepatu anak – anak 12 24 240

Ongkos pekerja Rp 30.000,00 Rp 25.000,00

Atau dapat disederhanakan menjadi :2x + y ≥ 20x + y ≥ 15x + 2y ≥ 20x ≥ 0y ≥ 0x, y ϵ Cfungsi obyektif Z = 30.000x + 25.000y

(x,y) Z = 30.000x + 25.000y

(20,0) 600.000

(10,5) 425.000

(5,10) 400.000

(0,20) 500.000

Jadi, biaya total minimum untuk onkos pekerja adalah Rp 400.000,00. Hal ini tercapai jika pabrik di Jakarta menyelesaikan pesanan selama 5 hari dan pabrik di Semarang menyelesaikan pesanan selama 10 hari.