EPISTEMOLOGI DAN PSIKOLOGIPENDIDIKAN MATEMATIKA

Gerard Vergnaudwith the collaboration of

George Booker, Jere Confrey, Stephen Lerman, Jack Lochhead,Anna Sfard, Anna Sierpinska, and David Wheeler*

Pertanyaan-pertanyaan utamaEpistemologi berkaitan dengan satu pertanyaan utama: Apa itu pengetahuan?Dari pertanyaan ini, banyak pertanyaan lainnya dapat diturunkan: Bagaimana pengetahuan diperoleh? Apa

saja bagian-bagian yang dimainkan oleh tindakan, persepsi, menurut bahasa dan simbolisme dalam pengembangandan fungsi pengetahuan? Apa hubungan antara pengetahuan dirutinkan dan pemecahan masalah? Dan lainsebagainya.

Ada juga pertanyaan epistemologis yang khusus untuk matematika: Apa saja objek matematika? Apakah adaberbagai jenis? Apa hubungan matematika untuk ilmu-ilmu lain dan bidang lain dari pengalaman manusia? Dalamarti apakah matematika baik satu set alat dan satu set objek?

Untuk banyak peneliti pertanyaan seperti itu muncul filosofis, nonempiris, dan mungkin tidak berguna.Namun mudah untuk melacak epistemologi implisit dalam pekerjaan peneliti dan dengan cara guru mengajar. Olehkarena itu adalah bijaksana untuk mencoba untuk menjelaskan, sebanyak mungkin, masalah epistemologis utamayang dapat mengangkat dan negara secara eksplisit sudut pandang kita sendiri. Misalnya, beberapa guru berpikirbahwa matematika adalah kebenaran abadi, menunggu untuk ditemukan seperti negara yang tidak diketahui; lainberpikir bahwa mathemat¬ics dapat benar-benar diciptakan kembali oleh para mahasiswa. Debat epistemologispenting menyangkut bagian dari pengalaman biasa dan bagian dari fisika dan disiplin ilmu lainnya. dalam artikonsep-konsep matematika; kekhawatiran lain bagian dari simbolisme dan formalisme.

Setidaknya ada tiga tingkatan pertanyaan mengganggu: epistemologi mathemat¬ics, epistemologi psikologi,epistemologi pendidikan matematika.

Epistemologi matematika terdiri tradisional dari beberapa pendekatan: Satu berasal dari refleksi spontan olehmatematikawan sendiri pada sifat pengetahuan dan sifat dari proses penemuan dan penemuan. Beberapa ahlimatematika besar telah berusaha untuk memperjelas status pemikiran matematika, seperti Poincare (1913, 1920)dan Hadamard (1949) di Perancis. Pendekatan lain adalah sejarah; tujuannya adalah untuk memahami lingkunganilmiah dan sosial di mana konsep-konsep matematika baru dan teknik telah muncul dan berkembang. Pendekatanini dapat ditemukan dalam buku oleh Davis dan Hersh (1981) dan dalam banyak buku lain. Akhirnya, perdebatanmathematico-filosofis dasar matematika yang telah terjadi pada paruh pertama abad ini tentang logicism,intuitionism, formalisme, konstruktivisme, dan sebagainya (Benacerraf & Putnam, 1964) telah menyerang seluruhbidang epistemologi matematika.

Epistemologi psikologi memiliki akar yang berbeda. Salah satu perdebatan menyangkut sifat benda-bendayang berkaitan dengan psikologi, sebagai ilmu: perilaku? conscious¬ness? tidak sadarkan diri? modul dasartindakan, persepsi, dan memori? organisasi yang kompleks perilaku? representasi kompleks? Perdebatan lainmenyangkut jenis model yang dapat digunakan untuk memberikan penjelasan tentang fenomena psikologis:asosiasi? mekanisme bawaan? proses biologis yang umum seperti adaptasi? model neurofisiologis? linguistik?model ilmu komputer?

Epistemologi pendidikan matematika mewarisi pertanyaan dari kedua bidang (matematika dan psikologi) danmenambahkan baru karena pendidikan matematika berlangsung dalam masyarakat tertentu, lembaga tertentu, kelastertentu, dengan tujuan yang berbeda seperti pendidikan masa depan matematika dan pendidikan warga rank¬and-berkas. Kendala sosial pada pendidikan matematika tidak mengubah sifat pengetahuan matematika per se, tetapimereka memiliki implikasi yang kuat untuk cara guru melihat pengajaran matematika dan matematika itu sendiri.Tidak hanya siswa representasi matematika berbeda dari guru, tetapi juga guru representasi bervariasi banyak,menurut pandangan mereka tentang matematika, psikologi, dan masyarakat.

Tidak mungkin untuk menangani semua pertanyaan ini dalam bab singkat. Oleh karena itu kamimencurahkan perhatian kita untuk satu set terbatas pertanyaan epistemologis yang penting baik untuk mempelajariproses belajar-penemuan kembali-reinvention dalam pikiran siswa dan sejarah matematika: Apakah sifat danfungsi dari sebuah konsep baru, prosedur baru, tipe baru penalaran, representasi baru? Lebih tepatnya, apahubungan kompetensi matematika baru dan konsepsi terhadap masalah praktis atau teoritis yang membuat merekaberguna dan bermakna?

Pertanyaan semacam ini sangat penting untuk pilihan situasi oleh guru, karena identifikasi konsep yangterlibat dan sifat yang relevan dari teorema sangat penting untuk analisis kognitif tugas dan perilaku - terutamauntuk analisis baru.

Itu juga merupakan jenis pertanyaan epistemologis yang mendorong penyelidikan sejarawan ketika iamencoba untuk mencari tahu keadaan ilmiah dan sosial di mana penemuan matematika telah muncul. Ada banyakyang bisa diperoleh dari studi interaktif proses individu dan sejarah mengembangkan pengetahuan matematika.Studi tentang hambatan dipenuhi oleh matematikawan di masa lalu membantu kita untuk menafsirkan kesalahanyang dilakukan oleh siswa saat ini; pada gilirannya, studi kesalahan siswa, kesulitan, dan konseptualisasi salahgudang terang pada pemahaman kita tentang sejarah matematika (Arsac, 1987; Sierpinska, 1985). Bahkan jikaserangkaian masalah bahwa siswa dapat menguntungkan memenuhi berbeda dari serangkaian masalah yang parailmuwan telah bertemu dalam perjalanan sejarah, adalah penting untuk psikologi pendidikan matematika untukmempertimbangkan hubungan pengetahuan masalah.

Dalam banyak studi psikologi pendidikan matematika, peneliti menerima begitu saja bahwa siswa harusbelajar topik seperti itu, pada tingkat tersebut, dengan metode seperti itu, tanpa mempertanyakan kerangka kerjayang pilihan ini terjadi. Satu biasanya tidak mempertanyakan fakta bahwa penambahan adalah operasi biner, yangsatu tidak mengajarkan nomor diarahkan pada tingkat SD, atau yang memperkenalkan aljabar denganmenggunakan bilangan asli saja. Akibatnya satu merindukan (dan mahasiswa kehilangan) beberapa poin yangsangat penting tentang makna Selain itu, diarahkan angka, dan aljabar.

Epistemologi tidak hanya berkaitan dengan dasar matematika, seperti perdebatan tentang kemungkinanmengurangi aritmatika logika (Carnap, 1931/1964, Godel, 1947/1964, Russell, 1919) atau pada intuitionism(Brouwer, 1913/1964; Heyting 1956) mungkin menyarankan. Epistemologi diperlukan pada semua lantai gedungmatematika setiap kali kita perlu memperjelas hubungan pengetahuan matematika untuk masalah. Misalnya,konsep volume terbuat dari sifat yang berbeda dan hubungan yang berbeda untuk konsep-konsep matematikalainnya: Ada sifat dasar dari konsep yang dapat ditangkap oleh 6 atau 7-year-olds (dalam tugas-tugas sepertiperbandingan kontainer, penambahan dan pengurangan volume, dan pengukuran dengan satuan volume),sedangkan beberapa sifat tiga dimensi volume parallel¬epipeds kanan dan prisma (seperti hubungan antara rasiopanjang, daerah, dan volume) belum menguasai oleh mayoritas 15 sampai 16-year-olds. Masalah yang berbedamelibatkan sifat yang berbeda dari konsep yang sama dan konsep yang berbeda.

Hubungan pengetahuan dengan masalah yang harus diselesaikan dan situasi yang harus ditangani membuatrelevan untuk mempertimbangkan juga pengaruh lingkungan budaya pada belajar dan mengajar matematika.Pendidikan matematika adalah proses sosial yang terjadi dalam budaya yang berbeda dan masyarakat yang berbedadengan organisasi yang berbeda sekolah, latar belakang filosofis yang berbeda, dan tujuan yang berbeda. Yangdimaksud dengan pendidikan matematika berbeda dalam masyarakat teknologi yang sangat maju dari yang dimasyarakat pedesaan tradisional. Hal ini juga berbeda untuk subkelompok yang berbeda dari masyarakat yangsama. Matematika menjadi penting untuk semua orang: Kami butuh matematika untuk memahami mesin denganbantuan komputer, akuntansi, dan teknologi konvensional, dan juga untuk memahami informasi yang disampaikankepada kami oleh media massa. Persyaratan ini meningkatkan masalah tujuan pendidikan matematika. Jikamatematika tidak hanya bagian dari budaya ilmiah kita, tetapi juga satu set berguna kompetensi dan konsepsi untukberbagai kegiatan profesional dan lainnya, maka kita harus merevisi filosofi keseluruhan pendidikan matematika,terutama di tingkat dasar dan menengah.

Kita perlu mempertanyakan representasi mental implisit bahwa guru, orang tua, pengusaha, pengambilkeputusan, dan peneliti memiliki sekitar matematika dan matematika pendidikan. Kita perlu mempertanyakankurikulum dan tidak membawa mereka untuk diberikan. Kita perlu mempertanyakan buku sekolah; bahan lunak;dan guru kebiasaan, konsepsi, dan keputusan, dari sudut pandang tidak hanya kecukupan sosiologis dan psikologismereka tetapi juga dari yayasan epistemologis mereka. Misalnya, penggunaan program komputer membuat perlubagi banyak orang untuk memahami konsep fungsi pada tingkat umum jauh di atas pemahaman tentang covariationbarang dan biaya, atau massa dan volume.

Kami selanjutnya melaporkan dan mengomentari beberapa poin penting epistemologis pandang tentangpsikologi pendidikan matematika. Mereka berkisar di spektrum teoritis yang luas, dari teori Piaget denganpendekatan kecerdasan buatan. Kemudian kita menguraikan kerangka sintetis mungkin dan mencoba untukmenggambarkan beberapa ide teoritis penting dengan mengambil contoh pembangunan jangka panjang konsepangka. Akhirnya, kami menarik beberapa perspektif pendidikan matematika dan penelitian di masa depan.

Beberapa Kontribusi ke Epistemologi dari Perspektif Psikologis

Titik awal kita akan Piaget, karena ia mungkin yang pertama dan paling penting kontributor epistemologimatematika dari sudut pandang psikologi. Dia membuat banyak kontribusi untuk ontogenesis struktur matematikadan logis dengan bantuan kolaborator seperti Inhelder, Szeminska, Greco, dan Vinh Bang. Bab ini bukan tempatuntuk melaporkan karyanya pada konsep kuantitas dan nomor, representasi ruang, konsep peluang dan probabilitas,atau operasi logis mengenai kelas dan proposisi. Tetapi penting untuk dicatat bahwa Piaget menggunakanepistemologi kata berulang kali; misalnya, dalam buku tiga jilid nya Pendahuluan a l'Epistemologie GENETIQUE(1949) dan dalam koleksi Etudes d'Epistemo¬logie Ge'netique. Sulit untuk meringkas pandangannya dalambeberapa paragraf, tapi satu dapat mempertimbangkan ide-ide berikut sebagai penting.

1. Pengetahuan berasal dari adaptasi individu terhadap lingkungan nya. Tesis ini mencerminkan latarbelakang dalam biologi dari Piaget, yang menganggap proses mengetahui menjadi kasus tertentu prosesasimilasi dan akomodasi yang menjadi ciri khas semua organisme hidup: asimilasi situasi baru dan benda-benda baru untuk mantan struktur, dan accommoda¬tion (modifikasi ) dari struktur ini dengan karakteristikbaru objek.

2. Pengetahuan dapat ditelusuri dengan cara individu bertindak dengan benda-benda dan berurusan dengansituasi dan tidak hanya untuk deklarasi nya. Tindakan adalah faktor utama dalam proses mengetahui. Bahasadilihat oleh Piaget baik sebagai konsekuensi dan faktor pemikiran, tapi Piaget menekankan tindakan lebih daribahasa. Vygotsky ditempatkan stres berbeda.

3. Ketika bekerja pada benda, individu mengembangkan berbagai jenis pengetahuan, tergantung pada jenisabstraksi yang mereka buat: abstraksi empiris terdiri dalam mengisolasi sifat dan hubungan objek eksternal,sedangkan abstraksi reflektif terdiri dalam mengisolasi sifat dan hubungan operasi orang tersebut merekasendiri.

4. Untuk Piaget, pengetahuan logico-matematika berasal dari abstraksi reflektif, sedangkan pengetahuanfisik atau biologis berasal dari abstraksi empiris. Kami membahas hal ini di bawah.

5. Meskipun Piaget mempelajari perkembangan konsep-konsep matematika tertentu secara luas, ia berusahauntuk memberikan penjelasan tentang perkembangan kecerdasan dan pengetahuan dalam hal logis murni:Misalnya, ia mencoba untuk mengkarakterisasi "panggung beton" dan "panggung resmi" dari perkembangankognitif sebagai set operasi logis. Namun demikian, temuan itu tidak konten gratis, dan ia dihadapkan denganmasalah decalage: yaitu, ketika struktur logis yang sama tidak berlaku juga untuk objek yang berbeda atauaspek yang berbeda dari objek yang sama. Misalnya, ada decalage antara konservasi substansi (kuantitasmateri), berat, dan volume bagian yang sama dari plastisin.

6. Kegiatan simbolik adalah mitra dalam kegiatan nyata dan hasil terutama dari proses pembatinan dimanaaktivitas yang jelas (motorik, persepsi, komunikatif, dll) secara progresif dihapus dan membuat intern (Piaget,1945). Misalnya, kegiatan terbuka menghitung satu set objek dapat semakin interiorized: Gestures menjadikurang dan kurang terlihat, kata angka kurang dan kurang terdengar. Hal ini penting dalam teori Piaget, karenamengarah ke tesis bahwa pemikiran bukan hanya interiorized persepsi atau bahasa interiorized tetapi juga, danagak dasarnya, interiorized tindakan. Sebuah konsep operasional, atau tidak.

Sangat menarik untuk mengevaluasi ide-ide Piaget dalam terang penelitian ini. Nya "konstruktivis"Mengingat kompetensi matematika dan konsepsi (pengetahuan diproduksi oleh aktivitas pribadi anak) mungkinadalah salah satu yang paling banyak diterima hari ini di antara para peneliti dalam psikologi pendidikanmatematika, meskipun banyak dari mereka mengeluh bahwa Piaget tidak membayar perhatian yang cukup untuksosial aspek dari proses belajar-mengajar dan tidak mengintegrasikan pandangan penting yang telah dikembangkan

oleh Vygotsky, Bruner, dan lain-lain. Sebenarnya, Piaget pernah mempelajari proses belajar-mengajar, baik didalam kelas maupun di rumah. Ini adalah salah satu dari kelalaian, dan beban penting untuk penelitian sekarangdan masa depan pendidikan matematika.

Poin ketidak jelasan lain dalam teori Piaget adalah hubungan dari proses yang mengetahui dengankarakteristik fisik dan sosial dari situasi yang siswa dihadapkan dengan. Guru memainkan peran penting tidakhanya dengan menjelaskan, menunjukkan, dan mengelola situasi kelas, tetapi juga dengan memilih dengan hati-hati dan memadai situasi yang membuat pengetahuan matematika bermakna. Hubungan antara masalah yang harusdiselesaikan dan kompetensi dan konsepsi tertentu tidak benar-benar dijelaskan dalam karya Piaget. Ini mungkinadalah titik yang penelitian ini telah memberikan kontribusi yang paling mencolok: konsep awal nomor, aditif danstruktur perkalian, aljabar, geometri, pemrograman, dan konsep limit, konvergensi, dan kontinuitas (lihat babberikutnya buku ini).

Yang terakhir, tapi tidak kalah pentingnya adalah orang dapat menemukan yang menyesatkan tesis Piagetbahwa pengetahuan matematika berasal dari abstrak sifat dan hubungan operasi dan bukan dari obyek. Pandanganini dicegah Piaget dari memahami mengapa konsep awal jumlahnya terkait erat dengan konsep ukuran (kardinalitaskoleksi, ukuran besaran spasial, ukuran massa, dll). Memang benar bahwa angka memperoleh otonomi dalamproses perkembangan kognitif dan menyingkirkan, sampai batas tertentu, makna fisik mereka. Memang benar jugageometri yang ada hubungannya dengan objek murni spasial, sifat, hubungan, dan transformasi. Tapi baik jumlahmaupun geometri akan ada jika mereka tidak model diterima entitas fisik dan tidak membantu dalam menanganimasalah empiris. Matematika adalah cara untuk konsep dunia nyata, setidaknya pada tahap awal pendidikanmatematika.

Mungkin tidak ada psikolog lain yang menyajikan perhatian sebanyak Piaget mengenai topik bab ini. Tetapiyang cukup menarik adalah beberapa pandangan alternatif atau pelengkap dari hubungan antara epistemologi danpsikologi pendidikan matematika.

Vygotsky (1962), yang tertarik dalam peran simbol dan bahasa dalam pengembangan pemikiran, fokusperhatian pada hubungan antara pengetahuan implisit hadir dalam penalaran aritmatika anak-anak dan pengetahuaneksplisit diperlukan untuk memahami dan menggunakan aljabar. Dia bahkan menarik paralel antara pindah dariaritmatika ke aljabar dan bergerak dari bahasa lisan ke bahasa tulis, serta dari bahasa ibu ke bahasa asing. Dalamketiga kasus, Vygotsky mengatakan, orang dapat melihat kebutuhan untuk transformasi pengetahuan implisitaturan dan struktur ke dalam formalisasi eksplisit aturan dan struktur ini. Cara ini memandang aritmatika danaljabar tidak memberikan penjelasan tentang semua perbedaan yang menarik antara aritmatika dan aljabar, tetapimenunjukkan fakta bahwa fungsi simbol aljabar yang sangat berbeda dari kata-kata seperti dan fungsi angka dalamaritmatika. Abstraksi diperlukan untuk mengidentifikasi sebagai objek tidak hanya besaran yang terlibat tetapi jugahubungan mereka, dan untuk mewakili mereka dengan ekspresi formal.

Perbedaan penting lainnya antara aritmatika dan aljabar, yang Vygotsky tidak seyebutkan, bahwa aljabarmenawarkan para siswa kemungkinan pemecahan masalah yang mereka dinyatakan akan gagal untuk memecahkanmasalah - masalah yang melibatkan beberapa diketahui, misalnya. Aljabar juga menuntut siswa untukmengidentifikasi objek matematika baru seperti yang variabel dan fungsi, monomial dan jumlahnya banyak, danset terstruktur angka (lihat Kieran, buku ini).

Fungsi khusus dari simbol dalam aljabar menimbulkan masalah yang menarik dari sudut pandangepistemologis, karena mencontohkan kekuatan pemodelan: untuk mengekstrak hubungan fungsional sebagai modelsituasi, untuk beroperasi dalam model tanpa memperhatikan makna eksternal seperti operasi, dan untukmenginterpretasikan setelah hasil operasi tersebut. Fungsi yang sama muncul dalam sistem simbolik lain sepertitabel, diagram, dan grafik. Tetapi fungsi tertentu dari simbol tidak memberikan laporan lengkap tentang perananyang dimainkan oleh bahasa dan simbol-simbol dalam berpikir, yaitu konseptualisasi.

Kenyataannya, sebagian besar pengetahuan kita, karena dapat ditelusuri ke perilaku kita, hanya implisit:Kami mengambil informasi dengan bantuan invariants (kategori, hubungan, dan entitas tingkat yang lebih tinggi),tanpa mengungkapkan atau bahkan menjadi mampu mengungkapkan invariants ini. Hal ini terutama terlihat dalamperilaku matematika siswa, karena mereka sering memilih hal yang benar untuk dilakukan tanpa bisa menyebutkanalasan untuk itu. Analisis kognitif perilaku tersebut sangat sering mengungkapkan adanya konsep-konsepmatematika yang kuat implisit dan teorema, seperti yang kita tunjukkan di bawah ini. Mari kita menyebutnyakonsep-in-tindakan dan teorema-in-action. Pengetahuan tersebut tidak dapat tepat disebut "konseptual,"pengetahuan konseptual yang selalu eksplisit. Oleh karena itu kata-kata dan simbol, kalimat dan ekspresi simbolikadalah instrumen kognitif yang sangat diperlukan untuk transformasi invariants operasional implisit menjadi

konsep dan teorema. Fungsi kognitif yang paling penting dari bahasa adalah untuk memberikan kontribusi padaidentifikasi fitur yang relevan sebagai objek. Ini mungkin apa yang Vygotsky dalam pikiran, bahkan jika ia tidakmengungkapkan seperti itu.

Mungkin menarik untuk membandingkan pandangan-pandangan ini dengan epistemologi alternatifpendidikan matematika; misalnya, dengan konsepsi formalistik, titik intuitionistic pandang, atau pendekatankecerdasan buatan. Kontras tidak kontradiksi: Mungkin ada aspek yang saling melengkapi dalam perspektif-perspektif yang berbeda.

Hal ini penting untuk dicatat, pertama, bahwa formalistik dan epistemologi intuitionistic menyangkutmatematika itu sendiri dan bukan psikologi, sedangkan kecerdasan buatan memiliki pengaruh kecil padamatematika sampai sekarang dan pengaruh yang besar pada psikologi. Kita tidak akan membahas konsepsiformalistik dalam matematika di sini tapi hanya turunannya dalam pendidikan matematika. Pengaruhnya sangatkuat 20 tahun yang lalu, mungkin lebih di beberapa negara (seperti Perancis) daripada yang lain. Hal ini tentukurang berpengaruh sekarang.

Konsepsi formalistik mengharuskan semua dinyatakan secara formal, tanpa ambiguitas; tujuan akhir darimatematika adalah untuk mengurangi kebenaran matematika untuk koherensi sintaksis sistem formal dan simbolis.Jika ide-ide matematika mungkin implisit, maka konsepsi formalis tersesat ketika mengharuskan semua dinyatakansecara resmi. Jika ide-ide matematika tidak konsep sampai mereka dinyatakan, maka formalis benar dalamberusaha untuk mendapatkan dari siswa, setidaknya dari mahasiswa tingkat lanjut, definisi eksplisit dan aturan,formula yang terbentuk, dan kondisi yang didefinisikan dengan validitas. Apa yang salah dalam pandanganformalistik adalah kebutaan terhadap kenyataan bahwa ide-ide matematika tumbuh dan berubah dalam jangkapanjang perkembangan kognitif, melalui berbagai situasi dan kegiatan, dan bahwa pengetahuan formal danaxiomatized hanya bisa menjadi negara terakhir yang dikembangkan dari pengetahuan siswa, ujung terlihat kecildari gunung es. Masalahnya adalah apakah matematika dapat diajarkan dengan definisi dan aksioma atau harusdisajikan sebagai cara untuk mengkonseptualisasikan berbagai situasi melalui pemecahan masalah, dan denganbantuan progresif dan parsial "explicitation." Arti matematika pada dasarnya berasal dari masalah yang harusdiselesaikan, bukan dari definisi dan formula. Namun akan salah untuk menyangkal pentingnya definisi yang ketatdan formulasi dalam matematika ketika masalah yang harus dipecahkan adalah teorema negara dan kondisi ekspresjelas, untuk mendapatkan persetujuan matematika lain atau untuk membuat model otomatis (dan karena itusintaksis) dari bidang.

Titik intuitionistic pandang dalam psikologi pendidikan matematika, sebaik diungkapkan oleh FISCHBEIN(1987), tidak memiliki hubungan langsung dengan pekerjaan mathemati¬cians seperti Brouwer dan Heyting. TapiFISCHBEIN berpendapat sama, berbeda dengan pandangan formalistik, pemikiran yang hanya akan mungkin jikakita tidak bisa mengandalkan langsung, intuisi jelas. FISCHBEIN menggambarkan karakteristik yang berbeda dariintuisi: Sulit untuk bertindak melawan mereka; masih ada selama bertahun-tahun; mereka bersifat umum danglobal; mereka diperlukan untuk bertindak. Dia mengusulkan klasifikasi intuisi dan analisis beberapa mekanismeseperti terlalu percaya, penutupan dini (penghentian pencarian informasi baru), dan efek keutamaan (memberikanhak istimewa untuk interpretasi pertama). FISCHBEIN memberikan contoh intuisi matematika yang benar(transitivitas hubungan kesetaraan) dan intuisi overgeneralized (perkalian dan pembagian lebih besar membuatlebih kecil). Dia juga memberikan contoh intuisi primer (yang lebih banyak ruang, semakin banyak hal) dansekunder, atau dibangun, intuisi (konservasi kuantitas). Dalam arti, FISCHBEIN perjalanan jalan yang sama sepertiPiaget dan Vygotsky. Namun masalah teoritis adalah bahwa psikolog tidak dapat mengambil intuisi untukdiberikan melainkan harus mencoba untuk menganalisis konten mereka dan perkembangan mereka. Intuisi berubahdalam proses perkembangan kognitif: The intuisi pengurangan berbeda untuk 5¬year-tua dan berusia 16 tahun,seperti intuisi kesamaan. Perasaan kedekatan yang kita miliki dengan intuisi kita karena itu menyesatkan dan perludianalisis sebagai hasil dari akomodasi untuk mengalami dan sebagai perubahan dalam pengetahuan implisit. Sulituntuk memikirkan intuisi matematika yang tidak akan bergantung pada pengalaman dan karena itu beberapapenemuan atau konstruksi, namun sadar atau tidak sadar bahwa pembangunan mungkin.

Justru kebutuhan untuk membuat model berpikir implisit yang telah menyebabkan perkembangan pendekatanpemrosesan informasi dalam psikologi. Pendekatan ini telah cukup berhasil di beberapa bagian psikologi sepertistudi persepsi tetapi jauh lebih sedikit sehingga dalam studi perilaku yang kompleks. Bidang penerapan modelkecerdasan buatan yang telah terbukti menjadi yang paling bermanfaat untuk studi perilaku mathemati¬calmungkin bidang perhitungan (penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian), dan lebih umum bidang di manaorang dapat mengidentifikasi algoritma atau prosedur kuasi-algoritmik dan karena itu mencoba menebak aturan

yang digunakan oleh siswa di tempat yang benar. Setiap perilaku kali terdiri dari urutan pilihan di antara berbagaiterbatas kemungkinan jelas diidentifikasi, "produksi-aturan" paradigma dapat bekerja cukup mudah. Ketika pilihanbergantung pada konseptualisasi objek baru, atau hubungan baru, paradigma produksi-aturan gagal.

Ini adalah kelemahan epistemologis dasar model pemrosesan informasi: Mereka tidak memberikan teoriapapun tentang apa konsep itu sendiri, dan terutama karakter operasional (yaitu, hubungannya dengan berbagaimasalah). Misalnya ada model meyakinkan pengembangan konsep jumlah dan teorema yang terkait dengan aditifdan struktur perkalian.

Pendekatan kecerdasan buatan juga tidak menawarkan teori yang masuk akal dari bagian yang bahasa dansimbol bermain dalam berpikir. Entah itu mengidentifikasi dan mengurangi berpikir untuk manipulasi simbol, atauberhubungan dengan pemikiran implisit seolah-olah satu set jelas bernama objek.

Yang terakhir tapi tidak kalah pentingnya adalah tidak menawarkan pandangan yang masuk akal dariperkembangan jangka panjang kompetensi dan konsepsi siswa yang terjadi melalui interaksi dengan masalah dandengan individu lainnya, oleh karena itu melalui tindakan dan komunikasi.

Pertimbangan epistemologis pada sifat konsep yang mungkin adalah cara terbaik untuk mendeteksikelemahan teori atau model. Epistemologi tidak bisa menikah dengan teori terlalu sederhana perilaku danpemikiran.

Kebanyakan psikolog tertarik dalam penelitian pendidikan matematika saat ini di beberapa konstruktivisakal. Mereka percaya bahwa kompetensi dan konsepsi yang dibangun oleh siswa sendiri. Tapi fakta bahwakebanyakan peneliti tidak menentukan cukup kondisi fisik dan sosial di mana konstruksi pengetahuan berlangsungmembuka jalan untuk berbagai posisi epistemologis, dari konstruktivisme radikal, yang menyangkal kemungkinanpikiran untuk mencerminkan aspek realitas objektif dan meminimalkan peranan yang dimainkan oleh guru (Cobb,1986; von Glasersfeld, 1983), untuk konstruktivisme sosial, yang menekankan peran utama konflik kognitif dalampembangunan objektivitas (Balacheff, 1988b). Solusi epistemologis pada prinsipnya cukup sederhana: konstruksiPengetahuan terdiri dalam construc¬tion progresif representasi mental, implisit maupun eksplisit, yanghomomorphic dengan kenyataan untuk beberapa aspek dan bukan untuk orang lain. Representasi adalah baik aktif,pragmatis, dan operasional di satu sisi, dan diskursif, teoritis, dan simbolis di sisi lain. Objektivitas jarang lengkap,tapi dalam arti selalu ada objektivitas dalam representasi apapun. Cukup sering itu bukan representasi yang samayang mengatur tindakan dan wacana.

Teori bidang konseptualGambar yang akan diambil adalah kompleks. Kompleksitas ini terutama berasal dari fakta bahwa konsep-

konsep matematika menarik maknanya dari berbagai situasi dan bahwa setiap situasi tidak biasanya dapatdianalisis dengan bantuan hanya satu konsep melainkan memerlukan beberapa dari mereka. Ini adalah alasan kitaharus mempelajari belajar dan mengajar bidang konseptual, yaitu, set besar situasi yang analisis dan pengobatanmemerlukan beberapa jenis konsep, prosedur, dan representasi simbolik yang terhubung satu sama lain. Contohbidang konseptual adalah struktur aditif, struktur perkalian, proyektif dan geometri Euclid, logika kelas, dan aljabardasar.

Kompleksitas gambar berasal juga dari pembangunan jangka panjang konsep dan prosedur matematika:Misalnya, dibutuhkan siswa bertahun-tahun untuk menguasai struktur aditif. Beberapa aspek penambahan danpengurangan yang ditangkap oleh 4-year-olds, tapi ada satu kelas masalah, membutuhkan hanya satu penambahanbilangan bulat, yang berhasil dipecahkan oleh mayoritas 15-year-olds:

Thierry telah memainkan dua pertandingan kelereng. Dia telah kehilangan 17 kelereng di game kedua. Diatidak ingat apa yang terjadi di pertandingan pertama. Ketika ia menghitung kelereng nya di akhir, ia menemukanbahwa sama sekali ia telah memenangkan 25 kelereng. Apa yang terjadi di pertandingan pertama?

Alasan kegagalan terletak terutama pada kenyataan bahwa transformasi secara memadai diwakili oleh angkadiarahkan

x + (-17) = (+25)dan bahwa "benar" operasi adalah pengurangan angka negatif dari yang positif. Penambahan 17 + 25 Oleh

karena itu berlawanan. Kesulitan ini menyangkut sebagian besar masalah yang dapat diwakili oleh persamaan a + x= b ketika b dan memiliki tanda yang berbeda.

Yang tidak kalah pentingya adalah kompleksitas gambar berasal dari fakta bahwa kita perlu kerangka teoriyang menyediakan artikulasi yang kuat antara masalah yang harus diselesaikan dan pengetahuan, dan juga antaraskema, konsep, dan simbol.

Lembaga resmi pengetahuan tentang psikologi pendidikan matematika membutuhkan kerja yang sangatsistematis, baik teoritis dan empiris:

Menganalisis dan mengklasifikasikan berbagai situasi di masing-masing bidang konseptual; Jelaskan tepatnya berbagai perilaku, prosedur, dan penalaran mahasiswa pameran dalam menangani

setiap kelas situasi; Menganalisis kompetensi matematika sebagai skema terorganisir dan mengidentifikasi dengan jelas

properti lain di situasi di mana properti lain skema mengandalkan (konsep-in-tindakan dan teorema-in-action);

Menganalisis bagaimana bahasa dan kegiatan simbolik lainnya berlangsung dalam skema tersebut,bagaimana mereka membantu siswa, dan juga bagaimana guru menggunakan perantara simbolik seperti;

Meyelusuri transformasi invariants implisit, sebagai cara untuk memahami dan bertindak, ke dalamsumur-diidentifikasi objek matematika, yang menjadi semakin nyata seperti realitas fisik dan

Meyelusuri cara di mana siswa menjadi sadar bahwa prosedur memiliki hubungan kebutuhan baik untuktujuan yang hendak dicapai dan kondisi awal, dan kemudian bahwa teorema dapat dibuktikan.

Ini adalah program untuk penelitian. Kami hanya potongan-potongan informasi tentang garis-garis yangsaling melengkapi penyelidikan. Bahkan untuk bidang konseptual struktur aditif, yang telah dipelajari cukup baik,kita perlu banyak penelitian yang lebih empiris, terutama dengan siswa kelas empat dan kelima dan siswa sekolahmenengah.

Ini akan membutuhkan terlalu banyak ruang untuk menjelaskan yang bermanfaat klasifikasi sistematis situasidi bidang konseptual yang diberikan dan memberikan temuan empiris. Oleh karena itu kami hanya melacakperkembangan konsep bilangan sebagai produk dari interaksi beberapa kategori masalah pada fase yang berbedadari perkembangan kognitif ide-ide matematika.

Konsep angka adalah ilustrasi yang baik dari proses jangka panjang akuisisi pengetahuan. Ini alamat konsepdan memecahkan beberapa masalah penting bahwa konsep-konsep lain tidak memecahkan. Ini adalah tugas kitauntuk mengidentifikasi sejelas mungkin tugas kognitif anak-anak muda mengatasi ketika mereka belajarbagaimana menghitung dan juga tugas-tugas yang siswa dihadapkan dengan pada berbagai tingkat perkembanganmereka.

Pada dasarnya, anak-anak memahami konsep jumlah melalui situasi perbandingan dan situasi kombinasi.Dalam situasi seperti itu, mereka memenuhi pesanan dan kesetaraan hubungan di satu sisi, penambahan danpengurangan di sisi lain. Dengan kata lain, mereka perlu tahu, dan akhirnya mengatakan, yang memiliki lebih(permen, jus, kue, kelereng, dll), dan juga apa yang negara baru koleksi akan ketika seseorang menambah ataumengambil dari itu beberapa kuantitas, atau seseorang menempatkan dua bagian bersama-sama menjadi satu.Sebenarnya, masalah perbandingan saja tidak memerlukan konsep nomor: Setiap hubungan pesanan dan setiap setmemerintahkan simbol (seperti huruf alfabet atau memerintahkan bagian tubuh) akan cukup untuk membandingkanjumlah diskrit dan untuk peringkat satu set objek . Ini adalah penambahan dan pengurangan yang memberikankekhususan untuk konsep nomor: Dengan menghubungkan nomor ke koleksi (kardinal), anak-anak memungkinkanuntuk menambah dan mengurangi, dan oleh karena itu untuk mengantisipasi nilai yang diharapkan dari koleksiyang sedang meningkat atau menurun . Hal yang sama berlaku untuk penyatuan dua bagian menjadi keseluruhan.

Implisit Teorema-in-tindakan untuk kapasitas yang terakhir ini sangat mudah:Kartu (A u B) = kartu (A) + kartu (B),tersedia A n B = Ø.

Komentar: Anda dapat menemukan kardinal penyatuan dua koleksi dengan baik menghitung semuanya[kartu (A u B)] atau menghitung dua koleksi secara terpisah dan kemudian menambahkan kedua kardinal[card (A) + kartu (B)].

Teorema yang sama harus secara implisit diakui oleh anak-anak bagi mereka untuk dapat memahami Selainsebagai peningkatan dan pengurangan sebagai penurunan (Gelman & Gallistel, 1978) dan untuk menemukankeadaan akhir mengetahui keadaan awal dan transformasi.

Pengakuan teorema ini berjalan bersama-sama dengan penggunaan prosedur penghitungan-on untukpenambahan (bukan menghitung-semua prosedur), dan prosedur penghitungan-down untuk pengurangan (untuklebih jelasnya, lihat Bergeron & Herscovics, buku ini).

Sumber lain yang menarik dari penjumlahan dan pengurangan masalah bagi anak-anak adalah kuantifikasihubungan perbandingan: n permen lebih dari, n permen kurang dari.

Sekarang diakui bahwa dari tiga hubungan dasar ini Keadaan awal / transformasi / keadaan akhir Bagian / bagian / keseluruhan Wasit / hubungan perbandingan / rujukan

dapat diturunkan banyak kelas yang berbeda dari masalah (Carpenter & Moser, 1982; Nesher, 1982; Riley, Greeno,& Heller, 1983; Vergnaud, 1982a).

Tetapi juga perlu untuk mengakui bahwa, pada saat yang sama, anak-anak memiliki pengalaman tiga kalilipat dari angka: sebagai tindakan (kardinal), sebagai transformasi, dan sebagai hubungan perbandingan. Jikakardinal membuka jalan untuk konsep nomor alam, transformasi dan perbandingan membuka jalan untuk konsepbilangan diarahkan: Mereka dapat terbalik, dan mereka dapat dikombinasikan dengan cara yang sangat berbedadari cara kardinal dapat dikombinasikan. Misalnya, seseorang dapat melacak munculnya dua teorema-in-aksimenarik tentang nomor diarahkan.

Pada usia 5 atau 6, banyak anak-anak dapat mengenali bahwa peningkatan n dibatalkan oleh penurunan n,apapun keadaan awal mungkin, setidaknya untuk jumlah kecil:

(+ N) o (n) = 0.Pada usia 8 atau 9, kebanyakan anak-anak dapat menemukan keadaan awal, mengetahui keadaan akhir dan

transformasi, dengan membalik transformasi dan menerapkan transformasi inverse untuk keadaan akhir:

I = keadaan awal, T = transformasi, F = state akhirTeorema-in-action: F = T (I) → I = T -1 (F).

Inversi hubungan perbandingan (jika John memiliki n permen lebih dari Barbara, maka Barbara memilikipermen n kurang dari John) menunjukkan penalaran yang sama. Ada beberapa bukti yang dapat dipercaya bahwaseseorang dapat memperkenalkan nomor diarahkan sebagai operasi unary di tingkat sekolah dasar, mewakilimereka dengan simbol - misalnya,

-dan beroperasi sintaksis pada kalimat prealgebraic tersebut.

Namun, kita tidak boleh lupa bahwa beberapa masalah dengan nomor diarahkan masih sulit bagi sebagianbesar siswa usia15 tahun, seperti yang kita lihat dengan contoh di atas tentang dua pertandingan Thierry kelereng(halaman 23).

Sebenarnya, hasil empiris menunjukkan bahwa siswa dapat menangani kelas cukup baik tertentu masalahyang melibatkan transformasi dan hubungan, sedangkan mereka gagal pada beberapa orang lain. Ini adalahargumen yang paling penting dalam mendukung kerangka konseptual bidang: Ada aspek yang berbeda dan operasiyang berbeda untuk konsep yang sama yang penguasaan memakan waktu beberapa tahun, kadang-kadang banyak

Situasi ini lagi rumit ketika anak-anak dihadapkan dengan langkah-langkah, transformasi, dan perbandinganbesaran terus-menerus seperti panjang, berat, luas, dan volume. Penanganan besaran tersebut mendorong anak-anak jauh melampaui konsep seluruh nomor ke arah fraksi (termasuk pecahan desimal) dan bahkan bilanganirasional. Kebutuhan fraksi yang lebih kecil dari 1 muncul sangat cepat dalam pengukuran wadah (setengah gelas),dan guru juga dapat memperkenalkan situasi yang pada akhirnya akan mendorong anak-anak untuk kebutuhanuntuk jumlah yang sangat kecil, seperti menemukan ketebalan selembar kertas (Brousseau, 1981). Sumber lain daripengalaman untuk pecahan desimal adalah tugas yang mendekati ukuran sisi persegi panjang: Apa lebar persegi

panjang yang bidang adalah 12 cm2 dan yang panjangnya 7 cm? Satu bahkan dapat meminta siswa sekolah dasaruntuk mendekati panjang sisi persegi yang luasnya 27 cm2 (Douady, 1980).

Pendekatan untuk desimal dalam jenis percobaan mengajar terutama bergantung pada properti yang sangatpenting desimal: kepadatan mereka dalam kontinum bilangan real. Desimal memungkinkan kita untuk mendekatitanpa batas jumlah nyata. Kisah ekstensi berlangsung dengan bilangan kompleks, tetapi sudah ada sedikit studitentang pengajaran dan pembelajaran bilangan kompleks.

Mari kita tinggal untuk sementara waktu dengan masalah angka negatif, karena siswa mengalami kesulitandalam bekerja dengan mereka dan menafsirkan mereka ketika mereka menemukan angka tersebut muncul sebagaisolusi dari persamaan atau pertidaksamaan. Sangat menarik untuk mengingat bahwa angka negatif tidak diterimasebagai nomor oleh matematikawan dalam jangka panjang sejarah. Dengan keuntungan dari belakang sejarah,adalah mungkin untuk mengidentifikasi keterampilan yang Babilonia matematika telah dengan persamaan ordepertama: Mereka memiliki satu set lengkap prosedur bagi mereka yang memiliki persamaan solusi positif tetapidiklasifikasikan mereka yang akan mengakibatkan angka negatif sebagai terpecahkan. Matematikawan arab sekitarabad ke-10 telah tiba di kekuatan yang sama atas persamaan tingkat dua, mengakui bahwa banyak memiliki duasolusi yang positif dan hipotesa bahwa mungkin semua harus memiliki dua solusi. Dalam waktu, pekerjaan inimenyebabkan penerimaan tentatif angka negatif, dibuat lebih kuat dengan usulan gagasan garis bilangan dimanaangka bisa dilihat untuk melanjutkan negatif serta arah yang positif. Pertimbangan yang sama muncul selamaRenaissance, ketika solusi untuk persamaan orde ketiga juga dikategorikan, memperkuat penerimaan angka negatifdan memberikan dorongan untuk konsep dan penerimaan akhirnya perpanjangan dari konsep angka, yang"imajiner" angka.

Bahkan, lebih dari 1500 tahun yang dibutuhkan untuk aturan tanda-tanda, pertama kali diperkenalkan olehDiophantus, untuk menjadi sepenuhnya diterima oleh matematikawan. Sebagai Glaeser (1981) menunjukkan dalamstudi sejarah singkat yang menarik, beberapa matematikawan terkenal seperti Stevin, Descartes, Maclaurin, Euler,d'Alembert, Carnot, Laplace, dan Cauchy masih memiliki konsepsi yang aneh dan parsial angka negatif karenamereka juga tidak bisa memberikan makna untuk jumlah negatif; tidak dapat berpikir dengan cara yang homogendan koheren tentang garis bilangan, melihatnya sebagai dua setengah garis bukan sebagai totalitas tunggal; atautidak mampu untuk mendamaikan ide dari nol mutlak di bawahnya tidak ada yang seharusnya ada dengan ide nolsebagai asal sewenang-wenang. Glaeser mengidentifikasi beberapa jejak kesulitan ini bahkan dalam karya Cauchy:misalnya, kebingungan antara interpretasi operasi dan interpretasi predikatif dari "plus" dan "minus" tanda-tanda.Bagaimana mungkin kita membayangkan bahwa siswa akan mudah memahami angka negatif?

Tidak banyak studi tentang akuisisi angka negatif; mereka semua mengungkapkan hambatan tahan lama padasiswa usia antara 15 dan 16 tahun, terutama ketika mereka harus kalikan negatif oleh negatif atau ketika merekadatang ke solusi negatif. Paradoks, seperti telah kita lihat di atas, ada beberapa aspek dari angka negatif yang dapatdengan mudah dipahami oleh siswa sekolah dasar: transformasi negatif (penurunan, kehilangan, konsumsi,perpindahan mundur), hubungan negatif (kurang dari, utang), atau bahkan absis negatif (di bawah lantai dasar).

Paradoks ini dapat diselesaikan pada tingkat teoritis dengan gagasan bahwa angka negatif mendapatkanmaknanya dari kelas yang berbeda dari masalah yang tidak semua dapat menguasai pada tingkat yang sama.Operasi dengan angka negatif memiliki arti yang berbeda dan kekuatan yang berbeda ketika mereka mewakilipenurunan kuantitas, pembatalan atau kompensasi transformasi positif, inversi transformasi atau hubungan,pengurangan dari dua transformasi, atau penutupan aljabar dari himpunan bilangan untuk pengurangan.

Paradoks ini juga dapat diselesaikan pada tingkat empiris dengan menganalisis berbagai kompetensi siswadalam berbagai situasi yang melibatkan transformasi, hubungan, absis, nomor diarahkan, dan aljabar, dan denganmelakukan percobaan dengan percobaan mengajar disekolah dasar dan menegah.

Konsep angka adalah contoh mencolok dari interkoneksi berbagai aspek dalam konsep yang sama.Pertama, aspek-aspek operasional dan terkait dengan berbagai kategori tugas-tugas kognitif. Bahkan untuk

masalah yang sama, prosedur yang berbeda dapat mengungkapkan berbagai teorema-in-action: Misalnya,pengetahuan tidak sama yang mengarah ke pembalik transformasi dan menerapkannya pada keadaan akhir sepertiitu yang menyebabkan membuat hipotesis tentang awal negara, menerapkan transformasi langsung untuk itu, danmemperbaiki hipotesis sebagai fungsi dari hasil yang diperoleh.

Ide penting kedua adalah perilaku yang biasanya diselenggarakan dalam skema yang dapat digunakanberulang kali dalam situasi yang sama: Menghitung set, melaksanakan operasi numerik seperti pengurangan, ataumemecahkan persamaan dari beberapa jenis (ax + b = c, misalnya) adalah semua contoh skema, pada berbagaitingkat pendidikan matematika, dengan bahan-bahan yang berbeda.

Skema ini sering menyiratkan bahwa siswa bekerja dengan penanda linguistik atau representasi simbolislainnya: kata-kata dalam menghitung, angka dan tampilan spasial dalam pengurangan, simbol aljabar dan kalimatdalam pemecahan persamaan. Tapi bahasa dan simbol-simbol juga memiliki fungsi untuk mengekspresikan konsepdan teorema untuk berkomunikasi atau untuk akhirnya menghasilkan solusi. Dengan menggunakan kata-kata,simbol, atau gambar dari beberapa jenis, siswa mengidentifikasi objek yang relevan dan hubungan. Hal ini jugadapat menjadi guru yang menggunakan kata-kata, simbol, dan gambar untuk membantu siswa. Hal ini jugamungkin rekan. Dalam semua kasus, fungsi penanda adalah untuk mengidentifikasi, pilih, dan informasi artikulatif.

Masalah pembuktian tidak akan ada jika kita tidak memiliki kata-kata atau simbol untuk mengungkapkankalimat yang dibentuk diselenggarakan sebagai benar. Sebuah bukti hubungan antara kalimat. Tapi kalimat tidakdeklarasi belaka. Mereka akan sia-sia jika mereka tidak terkait dengan masalah dan prosedur. Sulit untukmenemukan contoh teorema yang akan memiliki tidak ada hubungannya dengan tindakan dan pemecahan masalah.Matematika telah menjadi sebuah badan besar pengetahuan, satu cenderung melihatnya sebagai seperangkatproposisi terikat satu sama lain secara deduktif. Tapi sangat asal perasaan keharusan mungkin berasal dari faktabahwa apa yang kita lakukan ditentukan oleh tujuan kita ingin mencapai dan kondisi di mana kita bertindak. Buktitidak diskursif pada dasarnya tetapi operasional, dan bukti-bukti pragmatis pertama, karena Balacheff (1988a,1988b) menyebut mereka, berasal dari dua kendala: untuk bertindak dan untuk mencapai kesepakatan denganorang lain. Kata Namun yang jelas, simbol formal, dan sintaksis eksplisit diragukan lagi memainkan bagian dalamklarifikasi progresif apa bukti yang. Di sini sekali lagi kita dapat melihat kontribusi bahasa dan simbol untukberpikir. Vygotsky datang ke bantuan Piaget.

Beberapa Implikasi PendidikanMasalah epistemologis hampir benar-benar diabaikan oleh guru, desainer kurikulum, dan bahkan peneliti.

Namun pentingnya mereka untuk pengajaran dan penelitian hampir tidak dapat berlebihan.Ada kesenjangan antara 'epistemologi dan siswa guru epistemologi, dan kesenjangan yang diperkuat oleh

fakta bahwa guru biasanya tidak mempertanyakan epistemologi mereka sendiri atau mereka yang tersirat dalambuku teks.

Epistemologi paling sering bersama adalah keyakinan bahwa aktivitas matematika terdiri dalam penemuankebenaran abadi (Platonisme), independen dari budaya, dan bahwa hal ini terutama soal penalaran logis. Kekhasankonseptualisasi matematika dan karakter mereka relatif jarang diungkapkan, kecuali dalam karya-karya sepertiLakatos (1976) Bukti dan Refutations dan dalam beberapa bagian lain dari penelitian tentang sejarah matematika.Jadi dalam pendidikan masalah besar mungkin berasal dari kenyataan bahwa banyak guru mengambil konsep-konsep matematika sebagai objek siap pakai, tanpa melihat bahwa konsep-konsep ini harus dibangun oleh siswasebagai alat fungsional yang akan memungkinkan mereka untuk menangani beberapa jenis situasi.

Visi struktural dan deskriptif matematika seperti yang muncul saat ini adalah hasil dari sejarah panjang.Siswa memiliki entah bagaimana untuk pergi melalui kesulitan konseptual utama yang sama, dan mereka harusmengatasi kendala epistemologis yang sama yang telah dipenuhi oleh matematikawan. Matematika adalah"konstruksi sosial fallibilist" (Ernest, 1985; Lerman, 1987), dalam arti bahwa konsep berkembang melaluinegosiasi dengan situasi dan dengan orang lain; konsep secara budaya dan temporal relatif dan berpotensi bisasalah. Objektivitas muncul di alam publik bersama teori dan konsep, bukan melalui korespondensi lengkap dengandunia nyata. Kebenaran, bukti, dan kekakuan juga dapat dilihat sebagai relatif. Pandangan relativis akarpengetahuan dalam ide-ide, hipotesis, "dugaan berani," sebagai Lakatos (1976) menyebut mereka, terbuka untukorang lain untuk menerima, mengubah, atau membantah. Pendekatan ini memiliki kemungkinan yang kaya untukpengembangan kurikulum dan penelitian dalam pengajaran dan pembelajaran matematika. Brousseau (1986b) telahdiresmikan ini dalam teorinya tentang situasi didaktik.

Masalah lain adalah bahwa guru matematika biasanya menjadi siswa yang baik matematika dan juga telahtertarik pada pelajaran. Sebagai guru, mereka harus mengajar berbagai macam siswa yang tujuan, kapasitas, danminat yang sangat berbeda. Untuk menghadapi situasi seperti itu, mereka harus menyerah pandangan pribadimereka matematika, setidaknya sebagian, dan mencoba untuk membayangkan spektrum yang lebih luas darikemungkinan mengenai arti bahwa matematika mungkin bagi siswanya. Kurangnya consider¬ation dari sejarahdan epistemologi matematika dalam pelatihan guru sudah pasti memiliki konsekuensi buruk dalam visi gurumatematika dan matematika pendidikan.

Ada tentu tidak hanya satu perspektif yang baik untuk studi pendidikan matematika. Psikologi sendirimerupakan salah satu pendekatan antara lain beberapa, dan psikologi tidak unik. Ada banyak yang bisa diperoleh

dari studi teoritis dan empiris yang berasal dari kerangka kerja yang berbeda. Tapi setidaknya perlu bahwa peneliti,guru, penulis buku, dan desainer kurikulum menyadari pentingnya penyelidikan epistemologis. Dengan tidakmelakukan hal itu, mereka meninggalkan hal-hal penting yang benar-benar tidak diragukan lagi kondisi pandanganmereka dan mencegah mereka dari meningkatkan masalah utama.

Pengenalan beberapa sejarah dan epistemologi dalam pengajaran matematika bisa bereksperimen dengan dandilaporkan. Perlu mempelajari apakah epistemologi matematika kontribusi langsung ke epistemologi pendidikanmatematika. Sejumlah laporan telah diberikan perubahan dalam pendidikan guru untuk mencerminkan ide-ide ini,dan penelitian lebih lanjut harus dilakukan pada 'sikap dan gaya mengajar dan siswa guru sikap dan gaya belajar.

Pendekatan budaya dan bahkan etnografis untuk mengajar matematika dan belajar, baik di sekolah luar dandi dalam kelas, ini tentunya sangat berguna; dapat mengungkapkan beberapa perbedaan yang menakjubkan, sepertiyang ditemukan oleh Carraher (1988) antara apa yang diajarkan dan apa yang digunakan dan antara apa yang kitaasumsikan bermakna bagi siswa dan ide-ide mereka benar-benar bekerja dengan. Pendekatan budaya tidak berartibahwa matematika tidak baik untuk semua. Sebaliknya, hal ini menjadi cepat masalah universal bahwa semuasiswa harus tahu lebih banyak matematika dan yakin dengan itu. Masalah ini juga budaya dalam arti, mungkin,bahwa masyarakat yang berbeda memerlukan konsepsi yang berbeda dari matematika dan konsepsi yang berbedadari pendidikan matematika.

Psikologi kognitif dan perkembangan tentu penting dalam bahwa mereka benar-benar mempertanyakan apakonsep adalah; apa perilaku operasional; bagaimana mereka mengembangkan; apa bagian dimainkan olehtindakan, persepsi, dan bahasa dalam pembentukan konsep; dan bagian yang dimainkan oleh interaksi sosial. Kamitelah membuat sketsa teori sintetis proses yang di atas. Emergence, ekstensi, dan sanggahan dari konsepsi yang adadalam matematika serta fisika dan biologi. Fakta bahwa jarak antara situasi dan model yang lebih pendek dalammatematika tidak harus menyembunyikan fakta bahwa seseorang dapat melihat dan memecahkan masalah yangsama secara berbeda dan menempel ide-ide yang salah untuk waktu yang lama.

Sangat penting bahwa penulis buku termasuk dalam materi mereka beberapa perspektif sejarah dan hadiahcontoh penting beberapa perubahan dalam ide-ide matematika. Hal ini juga penting bahwa siswa mengalamiperubahan penting dalam ide-ide mereka sendiri dengan memecahkan masalah, membahas dugaan dan proseduryang berbeda, dan menjadi lebih sadar konsepsi dan kesulitan mereka sendiri.

Tapi pendidikan matematika membutuhkan dari guru lebih memahami interkoneksi konsep, kompetensi,simbol, dan situasi dalam pembangunan jangka panjang pengetahuan matematika.