Unsteady-State Material and Energy Balances

6.1 Unsteady State Material Balance EquationsKetika massa sistem tidak konstan, biasanya kita perlu tahu bagaimana massa bervariasi sebagai fungsi waktu. untuk mengevaluasi laju perubahan massa dalam sistem, mari kita kembali kepersamaan umum keseimbangan, yaitu :

Gambar 6.1Pertimbangkan sistem aliran pada Gambar 6.1 dimana reaksi berlangsung. Spesies A terlibat dalam proses, M adalah massa A dalam sistem. Menggunakan 'topi' simbol ~ untuk menunjukkan tingkat.keterangan :M = massa A dalam sistemMi = aliran massa A yang masuk dalam sistemMo= aliran massa A yang keluarRG = Aliran massa pada generasi A pada reaksi kimiaRC = aliran massa pada konsumsi reaksi

Interval waktu antara waktu Pada t dan t + t. Meskipun variabel sistem dapat berubah,jika t cukup kecil kita dapat menafsirkan laju aliran M dan laju aliran M yang mana konstan selama periode ini. Dalam keadaan ini,persamaan umum kesetimbangan (4.1) dapat ditulis sebagai berikut.(i) Massa masuk. Selama periode t, massa spesies A diangkut ke dalam sistem adalah Mi t. Perhatikan bahwa dimensi Mi t adalah M, dengan unit g, kg, lb, dll.(ii) Mass keluar. Sama dengan, massa spesies A diangkut keluar selama waktu t adalah Mo t.(iii) Generation. Massa A dihasilkan selama t adalah RG t.(iv) Konsumsi. Massa A dikonsumsi selama t adalah Rc t(v) Akumulasi M adalah massa A yang terakumulasi kedalam sistem selama t.

Masukkan kedalam persamaan umum kesetimbangan massa (4.1) dengan akumulasi sebagai berikut : Kita dapat membagi kedua sisi dengan t menjadi :

6.2 Unsteady-State Energy-Balance equations

Keterangan : E = Total energi pada sistemWs = aliran sharft workQ = Aliran panas yang berpindah pada sistemMi dan Mo = Aliran massa kedalam dan keluar sistem

6.3 Solving Differential EquationsSetelah persamaan diferensial untuk sistem tertentu telah ditemukan, persamaan harus dipecahkan untuk memperoleh massa M atau E energi sebagai fungsi waktu. persamaan diferensial diselesaikan dengan integrasi. Rincian lebih lanjut dapat ditemukan di setiap buku kalkulus dasar, atau dalam matematika buku pegangan yang ditulis terutama untuk biologis ilmuwan. Sebelum kita lanjutkan dengan teknik solusi untuk unsteady state neraca massa dan energi, ada beberapa poin umum beberapa untuk dipertimbangkan.(i) Sebuah persamaan diferensial dapat diselesaikan secara langsung jika mengandung tidak lebih dari dua variabel. Untuk masalah massa dan energy balance persamaan diferensial harus memiliki bentuk:

dimana f(M, t) mewakili beberapa fungsi M dan t, dan f(E, t) mewakili beberapa fungsi E dan t. Fungsi mungkin berisi konstanta, tetapi tidak ada variabel lain selain M dan t akan muncul dalam dm/dt dan tidak ada variabel lain selain E dan t akan muncul dalam dE/dt.(ii) Solusi persamaan diferensial memerlukan pengetahuan kondisi batas. Kondisi batas mengandung informasi tentang sistem. Jumlah batas kondisi yang diperlukan tergantung pada urutan diferensial persamaan, yaitu sama dengan urutan tertinggi diferensial koefisien dalam persamaan. Misalnya, jika persamaan mengandung turunan kedua, misalnya d2X/dt2, yang Persamaan adalah urutan kedua. Semua persamaan yang dikembangkan dalam bab telah urutan pertama, mereka hanya melibatkan urutan pertama derivatif bentuk dX / dt. Salah satu syarat batas adalah diperlukan untuk memecahkan persamaan diferensial orde pertama, dua kondisi batas yang diperlukan untuk urutan kedua persamaan diferensial, dan sebagainya. kondisi batas yang berlaku pada awal proses saat t = 0 disebut kondisi awal.(iii) Tidak semua persamaan diferensial dapat diselesaikan secara aljabar, bahkan jika persamaan hanya berisi dua variabel dan kondisi batas yang tersedia. Solusi dari beberapa persamaan diferensial memerlukan aplikasi numerik teknik, sebaiknya menggunakan komputer. Dalam bab ini kita akan khawatir sebagian besar dengan persamaan sederhana yang dapat diselesaikan dengan menggunakan kalkulus dasar Cara termudah untuk memecahkan persamaan diferensial adalah untuk memisahkan variabel sehingga setiap variabel muncul hanya pada satu sisipersamaan. Sebagai contoh, perhatikan diferensial sederhanapersamaan:

dimana a dan b adalah konstanta. Pertama kita harus memeriksa bahwa persamaanhanya berisi dua variabel x dan t, dan bahwa lainnya parameter dalam persamaan adalah konstanta. Jika servis, persamaan dipisahkan sehingga x dan t masing-masing hanya muncul pada satu sisi dari persamaan. hal ini dilakukan dengan membagi setiap sisi persamaan dengan (b - x), dan mengalikan setiap sisi oleh dt:

Perhatikan bahwa konstanta integrasi dari kedua sisi Persamaan menjadi konstan K ini valid karena konstan a konstan =a konstan

6.4 Solving Unsteady-State Mass BalancesPenyelesaian pada kesetimbangan massa unsteady state kadang-kadang sulit kecuali di buat penyederhanaan tertentu. Karena tujuan di sini adalah untuk mengaplikasikan contoh pada kesetimbangan unsteady state menjadi pemecahan dalam integral kalkulus, masalah yang diajukan dalam bagian ini akan relatif sederhana. dibawah ini di tunjukkan batasan masalah pada kesetimbangan massa unsteady state, yaitu :(i) Sistem ini juga dicampur sehingga sifat dari sistem tidak berubah dengan posisi. Jika sifat dalam sistem adalah sama di semua poin, ini termasuk poin dari yang setiap aliran produk diambil. Oleh karena itu, ketika sistem itu bercampur, sifat aliran yang keluar adalah sama dengan di dalam sistem.(ii) Nyatakan untuk laju reaksi melibatkan konsentrasi hanya satu spesies reaktif. Persamaan massa keseimbangan untuk spesies ini kemudian dapat diturunkan dan diselesaikan, jika spesies lainnya dinyatakan dalam persamaan kinetik ini di tambahan variabel ke dalam larutan persamaan diferensial untuk membuat solusi lebih kompleks.

6.5 pemecahan masalah keadaan kesetimbangan energiSolusi kesetimbangan masalah dapat matematis cukup kompleks. Dalam masalah bab ini hanya dengan karakteristik berikut akan diperlakukan untuk kemudahan matematika penanganan. Sistem ini memiliki paling banyak satu input dan satu output stream. Selanjutnya, sungai-sungai ini memiliki tingkat aliran massa yang sama. Dengan kondisi tersebut, massa total dari sistem adalah konstan. Sistem ini juga dicampur dengan suhu seragam dan komposisi. Sifat aliran stop kontak karena itu sama seperti dalam sistem. Tidak ada reaksi kimia atau fase perubahan terjadi. Campuran dan solusi yang ideal. Panas kapasitas isi sistem dan inlet dan aliran stop kontak yang independen komposisi dan suhu,dan karena itu invarian dengan waktu Internal energi U dan entalpi H independen terhadap tekanan.Prinsip-prinsip dan persamaan untuk keadaan masalah saldo energi sepenuhnya berlaku bila kondisi tersebut tidak terpenuhi, sedangkan satunya perbedaan adalah bahwa solusi dari persamaan diferensial adalah sangat disederhanakan untuk sistem dengan karakteristik di atas. Prosedur untuk solusi dari keadaan masalah saldo energi diilustrasikan pada Contoh 6.4.

Contoh 6.4Sebuah pemanas listrik coil direndam dalam tangki berpengaduk. Solven 15oC dengan capasitas panas 2.1 kj kg-1 oC-1 dimasukan kedalam tangki dengan laju 15 kg/h. Dipanaskan pelarut dibuang dengan laju alir yang sama. Tangki diisi awalnya dengan 125 kg dingin pelarut pada 10 oC. Tingkat pemanasan oleh kumparan listrik 800 W. Hitung waktu yang diperlukan untuk suhu pelarut untuk mencapai 60 oC.jawab:(i) Arus Lembar dan batas sistem. Ini ditunjukkan pada Gambar 6E4.1

(ii) Tentukan variabel. Jika tangki tercampur, suhu aliran outlet yang sama seperti di dalam tangki. Misalkan T suhu dalam tangki; Ti adalah suhu aliran masuk, M adalah massa pelarut dalam tangki, dan M adalah laju aliran massa pelarut dan dari tangki.(iii) Asumsi.- Tidak ada kebocoran- tangki baik kerja poros campuran diabaikan- kapasitas panas tidak tergantung pada temperatur- Penguapan tidak ada- Panas kerugian terhadap lingkungan diabaikan(iv) Referensi. H = 0 untuk solven pada 10 0c i.e. Tref = 10 0c(v) Kondisi batas.Kondisi awal adalah: t = 0 , T = T0 = 10 0C (vi) Massa keseimbangan.Karena laju aliran massa pelarut ke dan dari tangki yang sama, M massa pelarut dalam tangki adalah konstan dan sama dengan nilai awal, 125 kg. Keseimbangan massa karenanya lengkap(vii) Energi keseimbangan.Persamaan Unsteady state kesetimbangan untuk dua aliran aliran diberikan oleh Eq. (6.10):

Dengan tidak adanya perubahan fasa, reaksi dan memanaskan dari pencampuran, entalpi input dan output stream dapat ditentukan dari masuk akal memanas saja. Demikian pula, setiap perubahan dalam kandungan energi dari sistem harus karena perubahan suhu dan masuk akal panas. Dengan entalpi pelarut didefinisikan sebagai nol pada Tref, perubahan E dapat dihitung dari selisih antara suhu sistem dan Tref. Oleh karena itu, ketentuan persamaan energi keseimbangan adalah:akumulasi :

adalah konstan

aliran masuk:

aliran keluar:

poros kerja: subtitusi ekspresi ini ke dalam persamaan energi keseimbangan memberikan:

Mengkonversi data untuk Q menjadi unit-unit yang konsisten

Q adalah negatif karena panas mengalir ke dalam sistem. Mensubstitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan energi keseimbangan.

Istilah Pengelompokan memberikan persamaan diferensial untuk laju perubahan temperatur :

di mana T memiliki unit 0C dan t memiliki unit h. Memisahkan variabel dan mengintegrasikan:

Menggunakan aturan integrasi (D-28) dari Lampiran D:

Kondisi awal adalah: pada t = 0, T = 15 0c Oleh karena itu, K = - 19.96 dan solusinya adalah:

Dari persamaan ini, didapat T = 60 oC, t= 5,65 h.(viii)Menyelesaikan. Dibutuhkan 5,7 jam untuk suhu mencapai 60 oC

6.6 Ringkasan Bab 6(i) Ketahui tentang jenis proses membutuhkan Unsteady state analisis(ii) dapat memperoleh persamaan diferensial yang sesuai untuk keadaan neraca massa dan energi(iii) memahami kebutuhan untuk kondisi batas untuk memecahkan persamaan diferensial yang mewakili proses yang sebenarnya(iv) dapat memecahkan keadaan massa sederhana dan energi kesetimbangan untuk memperoleh persamaan untuk parameter sistem sebagai fungsi waktu