Teoria de Vigas

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    4 FLEXION

    Las vigas son elementos que estn principalmente sometidos a una carga perpendicular a su eje longitudinal, que produce momentos y fuerzas cortantes, y prcticamente no hay carga axial, si la conexin es resistente a momento se tiene: (F.2.6 NSR-10)

    4.1 TEORIA DE VIGAS

    Una viga est bajo un momento flector constante, se trata de encontrar los esfuerzos , deformaciones y curvaturas en cualquier nivel, medidos desde el eje neutro. Para ello se requiere cinemtica, equilibrio y las leyes constitutivas del material.

    Cinemtica: Estudia las deformaciones de la estructura. Se define como la deflexin de la viga perpendicular al eje longitudinal. x = x x Curvatura : Radio de curvatura.

  • 82

    Se supone que las secciones permanecen planas durante la flexin, la deformacin de una fibra a una distancia y del eje neutro es: =

    Equilibrio: Se define el momento como: = :Distancia desde el eje centroidal hasta donde se calcula el Esfuerzo.

    La carga axial se define: = = 0Seccion solo bajo flexin.

    Ley constitutiva: Se supone un comportamiento elasto-plstico para el acero, no hay esfuerzos residuales para efectos de demostracin.

    4.2 COMPORTAMIENTO ELASTICO

    Si = = , Reemplazando: =

    Usando = = = =0

    Donde: = 0 Primer momento de rea respecto a un eje centroidal.

    Cuando F = 0, el Eje Neutro se localiza en un eje centroidal.

    Tomando momentos respecto al E.N. M =ydA = y. E. y. . dA = Ey&dA

  • 83

    Donde: y&dA = I Segundo momento de rea o de Inercia. M = EI = EI y = EI Ey = Iy = )* y Cuando y+, = C = )* C = )- , donde S = */ Modulo Elastico de la seccin.

    Si no hay esfuerzos residuales, el limite elstico ocurre cuando +, =Fy (Primera fluencia) M0 = S. Fy Momento en la primera fluencia

    4.3 COMPORTAMIENTO PLSTICO.

    La ecuacin P = dA = 0 no se puede igualar a cero y&dA = 0, ya que en el comportamiento inelstico no se sabe si el eje neutro es centroidal. Por lo tanto la ecuacin = 34 no se puede aplicar. El mximo esfuerzo es Fy.

    La variacin de esfuerzos normales producidos por flexin al aumentar la curvatura se muestran a continuacin:

    Mp: Momento plstico, momento para que todas las fibras de la seccin fluyan. El LFRD, Mp es un limite superior a Mn, Mn

  • 84

    4.4 SECCION PLASTIFICADA Y EJE NEUTRO PLASTICO (ENP)

    Para calcular Mp, primero se debe calcular el ENP, no necesariamente es el centroide, se puede hallar usando P=0 P = dA =.5 6dA +.56 8dA = 0.58 A6 = reaCompresin A8 = reaTensin

    Esfuerzos de Compresin y Tensin: A = y C =

    Fy: Esfuerzo de fluencia igual en toda la seccin. (El mismo valor). D = + .EA = 0.EC

    Por lo tanto Ac = At, el Eje Neutro Plstico (ENP) se localiza donde un eje que tiene la misma rea por encima que por debajo.

    En el LRFD la localizacin del eje centroidal es y y en ENP es "G".

    4.5 MOMENTO PLASTICO Mp (F.2.6.2-1 NSR-10) =

    Tomando momentos con respecto a ENP, = en toda la seccin. H = = = I,JKLI =

    Z: Modulo plstico de la seccin. Tabulado en el manual AISC-LRFD, alrededor de cada eje principal usando segmentos: I = NN

    N: rea del elemento O N: Distancia desde el ENP al centroide N.

    4.5.1 Vigas rectangulares.

  • 85

    I = bhR12 C = Y+, = h 2V S = */ = WXYW Modulo elstico. +, =MS = Mbh& 6V = 6Mbh& My = SFy = bh&6 Fy

    En la seccin plastificada, el ENP coincide con el eje centroidal principal tiene reas iguales. [M\]^ = 0 Mp = C h4 + T h4 Mp = Fy h2 h4 b + Fy h2 h4 b Mp =bh&4 Fy

    Usando Z = Aaya Z = bh2 h4 +bh2 h4 = bh&4 Por lo tanto: Mp = ZFy = WXYb Fy

    4.5.2 Momento Curvatura No hay endurecimiento por deformacin esfuerzos residuales.

  • 86

    Se define )c)d : FactordeForma Indica cuanto momento adicional puede introducirse en la seccin despus de la primera fluencia en la fibra externa, hasta plastificar toda la seccin. MfM0 =

    bh&4 Fybh&6 Fy = 1.5 La mayora de los perfiles W 1.09 3G3j 1.15

    4.6 ESFUERZOS RESIDUALES - La primera fluencia se presenta a un menor valor de My. - Causan reduccin de rigidez (menor pendiente EI de la curva M-) - Causan pandeo temprano en la aleta a compresin de vigas.

    Fr: Mximo esfuerzo residual de compresin en aletas. Fr 70MPa Para perfiles laminados en caliente Fr 110MPa Para perfiles soldados. Mr: Momento ala primera fluencia con esfuerzos residuales.

    Efecto esfuerzos residuales sobre la curva M-. La seccin resiste Mp, pero la primera fluencia My ocurre anticipadamente a Mr.

  • 87

    = klm + = kn + o k = n o nOo = 0,o = n =

    PROBLEMA: Calcular Mp para el perfil mostrado de acero A36, con flexin alrededor del eje fuerte Mpx y dbil Mpy.

    Mpx: el ENP se localiza en el centroide de reas iguales. Zx = [Aaya = p4x200x223 + 221x2x110.5rx2 = 454482mmR Mpx = ZxFy = 545.482x248 = 112.7kN.m

    Mpy ENP est en el centroide. Zy = [Aaya = p100x4x50x2 + 442x1x0.5rx2 = 80442mmR Mpy = ZyFy = 80442x248 = 19.9kN.m

    PROBLEMA: Calcular Mpx para la viga T mostrada.

  • 88

    rea aleta = 200 x 8 = 1600 mm rea Alma = 292 x 5 = 1460 mm

    Se observa por inspeccin que el ENP queda dentro de la aleta. Tomando el primer momento respecto al ENP. wxyz{ =wxyz& 200{ = 1460 + 2008 { 200{ = 1460 + 1600 200{ 400{ = 3060 y{ = 7.65mm A{ = 7.65 200 = 1530mm& A& = 1460 + 0.35 200 = 1530mm& Mpx = ZxFy Zx =[Aaya = 200 7.65 7.652 + 200 0.35 0.352 + 292x5 }0.35 + 2922 ~ Zx =[Aaya = 219535.5mmR Mpx = ZxFy = 219535.5x248 = 54.44kN.m

    PROBLEMA: Calcular Mpx usando los datos ejemplo anterior, si la aleta tiene un Fy = 248 MPa y el alma tiene un Fy = 345MPa.

    El ENP debe localizarse usando P = 0, si estuviera en la unin de las dos platinas. P{ = Fuerza por encima del ENP P& = Fuerza por debajo del ENP P{ = 200 8 248 = 396.8kN P& = 292 5 345 = 503.7kN

    El ENP se localiza en el alma, igualando P{ = P& en funcin de la distancia a la fibra inferior y P{ = 396.8 + 292 y 5 345

  • 89

    P& = 5y 345 900500 1.725.000y = 1.725.000y 900500 = 3.450.000y y = 0.261m = 261mm Mpx = ZxFy Mpx = 396.8 10 0.031 + 0.004 + 345 10 0.031 0.0312 0.05 + 345 10 0.261 0.005 0.2612 = 73.5kN.m

    4.6 COMPORTAMIENTO DE VIGAS DE ACERO Si se lleva a cabo un experimento sobre una viga simplemente apoyada como se muestra en la figura, se obtienen los resultados cualitativos P- y M- mostrados a continuacin.

    En el experimento mostrado arriba, una carga P se aplica a una viga simplemente apoyada. Al graficar P contra la deflexin de la viga , la carga aumenta hasta alcanzar un mximo y empieza a caer, es decir, hasta el colapso de la viga. A una carga D, la viga no puede resistir momentos adicionales, es decir, sufre una falla de flexin. El momento de flexin mximo que la viga puede soportar sin fallar se define como y representa la resistencia nominal a flexin. Se determina considerando todos los posibles modos de falla a flexin, a saber (Tabla F.2.6-1 Diseo a Flexin).

    1. Pandeo local: pandeo local de la aleta o patn (PLP) y pandeo local del alma (PLA) (F2.6.3.2 y F.2.6.4.3).

    2. Pandeo lateral torsional (PLT) (F2.6.3.1 y F.2.6.4.2). 3. Plastificacin completa de la seccin y falla por deformacin excesiva (F.2.6.6.1)

  • 90

    Tabla F.2.6-1 Seleccin de los numerales aplicables para el diseo a Flexin

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    Cuando una viga se somete a un momento flector, una parte de su seccin transversal est en compresin y otra parte est en tensin, como se muestra en la siguiente figura.

    La parte de la seccin bajo compresin puede fallar por inestabilidad (PLP, PLA o PLT). A continuacin se ilustra el pandeo local de la aleta o patn (PLP).

    En la siguiente figura se ilustra el pandeo local del alma (PLA).

    El pandeo lateral torsional se observa en la figura siguiente, donde la aleta superior est sometida a compresin. La seccin no solamente se torsiona sino que sufre un desplazamiento lateral. As mismo el pandeo ocurre entre riostras o soportes laterales.

  • 92

    En el caso del pandeo lateral torsional (PLT), la aleta en compresin se pandea lateralmente (como una columna) entre arriostramientos laterales. La aleta en tensin no se pandea y por lo tanto se resiste al movimiento lateral de la aleta en compresin. El resultado final es que la viga se desplaza lateralmente y se torsiona (lo que explica el nombre de la falla: pandeo lateral torsional). Para prevenir esta falla, la aleta en compresin de la viga debe arriostrarse lateralmente.

    El momento que una viga puede soportar antes de que el pandeo lateral torsional ocurra entre riostras laterales depende de la longitud arriostrada . Al disminuir , el momento flector que el perfil resiste sin pandeo lateral torsional aumenta (en forma similar al comportamiento de una columna).

    4.6.1 Riostras Laterales para Vigas

    En una estructura real, el arriostramiento lateral de las vigas es proporcionado por miembros transversales a ella o por la placa de entrepiso de concreto en edificios. La riostra lateral debe satisfacer al menos uno de los requisitos siguientes:

    1. Prevenir el desplazamiento lateral de la aleta en compresin. 2. Prevenir el torsionamiento de la seccin transversal.

    En el caso mostrado en la figura, la viga transversal acta como una riostra lateral para la viga principal ya que previene el desplazamiento lateral de la aleta en compresin de la viga principal.

    La losa de piso en un edificio proporciona arriostramiento lateral continuo a la aleta en compresin por lo que = 0 y por lo tanto, e