TEORI RELATIVITAS DAN KOSMOLOGI · 5.5 Pergeseran merah galaksi 127 5.6 Ekspansi Jagad Raya 130 5.7...

TEORI RELATIVITAS

DAN KOSMOLOGI

Dr. Eng. Rinto Anugraha NQZ Jurusan Fisika FMIPA UGM

2011

PRAKATA

Bismillahirrahmanirrahim

Alhamdulillah, akhirnya buku Teori Relativitas dan Kosmologi ini dapat kami

selesaikan. Buku ini disusun untuk digunakan sebagai bahan perkuliahan mata kuliah Teori

Relativitas di Jurusan Fisika FMIPA UGM. Isi buku ini sedapat mungkin disesuaikan dengan

silabus mata kuliah yang terdapat dalam Buku Panduan FMIPA UGM.

Penyajian buku ini dimulai dari Teori Relativitas Khusus, serta beberapa penerapannya,

baik pada bidang Elektrodinamika, maupun dinamika partikel relativistik. Selanjutnya

ditelaah Teori Relativitas Umum yang diawali dari analisis matematika tensor. Setelah

merumuskan persamaan gravitasi Einstein, disajikan beberapa penerapan Teori Relativitas

Umum, seperti pada lubang hitam, presesi orbit planet, pergeseran cahaya bintang, kosmologi

dan lain-lain. Khusus pembahasan kosmologi disediakan dua bab, yaitu pada Bab V dan VI.

Pada Bab penutup, ditelaah dinamika gerak partikel dan foton baik dalam lubang hitam

maupun di jagad raya.

Meski telah disiapkan cukup lama, kami menyadari bahwa buku ini masih memiliki

banyak kekurangan. Diantaranya, tidak terdapat soal-soal latihan. Barangkali pula di sana sini

masih terdapat salah tulis dan ketik. Karena itu kami dengan tangan terbuka sangat

mengharap masukan positif dari para pembaca, dalam rangka penyempurnaan buku ini.

Akhirnya kami berharap, semoga buku ini dapat bermanfaat bagi pengembangan fisika di

masa depan.

Yogyakarta, Mei 2011

Dr. Eng. Rinto Anugraha NQZ

DAFTAR ISI BAB I TEORI RELATIVITAS KHUSUS 1

1.1 Pendekatan Energetika dan Penjabaran Kaedah Transformasi Lorentz 2 1.2 Transformasi Lorentz untuk besaran ( p

,E ) 9 1.3 Metode lain penurunan bentuk eksplisit besaran-besaran fisis relativistik 15 1.4 Transformasi Lorentz Vektor-4 melalui Transformasi Koordinat-4 18 1.5 Kaedah Transformasi untuk Vektor 18 1.6 Ruang-Waktu Minkowski dan Kaedah Transformasi Lorentz 19 1.7 Transformasi Lorentz untuk besaran-besaran elektrodinamika 25 Soal-Soal Latihan Bab I 30 BAB II PENERAPAN TEORI RELATIVITAS KHUSUS 33 2.1 Paradoks Kembar 33 2.2 Tinjauan Gerakan Partikel relativistik yang dikenai Gaya Konstan dan Medan Gravitasi Seragam 38 2.2.1 Gerakan Partikel oleh Gaya Konstan 38 2.2.2 Gerakan Partikel dalam Medan Gravitasi Seragam 42 2.3 Efek Compton 51 Soal-Soal Latihan Bab II 58 BAB III ANALISIS TENSOR DAN TEORI RELATIVITAS UMUM 61 3.1 Analisis Ruang Riemann 61 3.2 Operasi pada Tensor 64 3.3 Ruang Datar dan Lengkung 65 3.4 Tensor Metrik 67 3.5 Turunan Kovarian 68 3.6 Tensor Riemann-Christoffel, Ricci dan Einstein 69 3.7 Persamaan Geodesik 71 3.8 Teori Relativitas Umum 72 3.9 Hukum Gravitasi Einstein 80 Soal-Soal Latihan Bab III 86 BAB IV PENERAPAN TEORI RELATIVITAS UMUM 93 4.1 Penyelesaian Schwarzschild 93 4.2 Presesi Orbit Planet 100 4.3 Pembelokan cahaya bintang di sekitar massa massif 105 4.4 Gelombang gravitasi 109 4.5 Lubang hitam Schwarzschild dan Kruskal-Szekeres 111 4.6 Struktur bintang 115 Soal-Soal Latihan Bab IV 119

BAB V KOSMOLOGI : SEJARAH JAGAD RAYA 121 5.1 Pendahuluan 121 5.2 Asas Kosmologi 124 5.3 Geometri Bolahiper 125 5.4 Metrik Robertson-Walker 126 5.5 Pergeseran merah galaksi 127 5.6 Ekspansi Jagad Raya 130 5.7 Sejarah Suhu Jagad Raya menurut Big Bang 133 5.8 Radiasi Kosmik Latar Belakang Gelombang Mikro 139 Soal-Soal Latihan Bab V 145 BAB VI KOSMOLOGI : DINAMIKA JAGAD RAYA 149 6.1 Dinamika Jagad Raya 149 6.2 Rapat Energi dan Tekanan Jagad Raya 155 6.3 Masa Dominasi Materi 157 6.4 Horison Partikel dan Horison Peristiwa 166 6.5 Masa Dominasi Radiasi 167 6.6 Data Fisis Jagad Raya 171 6.7 Masa Depan Jagad Raya 173 Soal-Soal Latihan Bab VI 175 BAB VII DINAMIKA GERAK PARTIKEL DAN FOTON 177 7.1 Persamaan Gravitasi Einstein 178 7.2 Persamaan Geodesik 179 7.3 Dinamika Gerak Partikel dalam Medan Schwarzschild 179 7.4 Dinamika Gerak Foton dalam Bidang Datar Medan Schwarzschild 183 7.5 Dinamika Gerak Foton secara Radial dalam Medan Schwarzschild 185 7.6 Dinamika Gerak Partikel dan Foton dalam Jagad Raya bermetrik Robertson-Walker 186 7.7 Solusi Persamaan Eisntein untuk Jagad Raya 187 7.8 Dinamika Gerak Partikel dalam Jagad Raya 188 7.9 Dinamika Gerak Foton dalam Jagad Raya 197 7.10 Dinamika Metrik de Sitter 198 7.11 Dinamika Gerak Foton dalam Metrik de Sitter 200 7.12 Dinamika Gerak Partikel dalam Metrik de Sitter 202 7.13 Metrik dan Jagad Raya de Sitter 204 7.14 Dinamika Gerak Foton dalam Jagad Raya de Sitter 205 Soal-Soal Latihan Bab VII 207 Daftar Pustaka 213

1 Teori Relativitas Khusus ___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________

BAB I

TEORI RELATIVITAS KHUSUS

Fisika adalah ilmu yang berupaya secara ilmiah menelaah gejala alam mulai

dari skala mikro (partikel elementer) hingga skala makro (jagad raya), serta mulai

dari kelajuan rendah hingga kelajuan maksimum. Teori relativitas merupakan salah

satu tulang punggung fisika modern. Sumbangannya terutama dalam bentuk

penataan dan pelurusan konsep−konsep dasar dalam fisika, khususnya yang

berkaitan dengan ruang−waktu, momentum−energi sebagai aspek kinematika semua

gejala alam, yang selanjutnya mengangkat cahaya sebagai pembawa isyarat

berkelajuan maksimum.

Sumbangan teori relativitas, dalam hal ini adalah teori relativitas khusus

adalah mampu menampilkan persamaan Maxwell, yang merupakan persamaan

dasar dalam elektrodinamika, dalam bentuk yang kovarian. Konsekuensi teori

relativitas khusus adalah kelajuan gelombang elektromagnet dalan ruang vakum

sama dengan c (laju cahaya di ruang hampa). Beberapa percobaan menunjukkan

bahwa dalam elektromagnetik, tidak ada kerangka istimewa. Dalam kerangka

inersial, kelajuan cahaya sama dengan c, atau dengan kata lain, c merupakan suatu

besaran invarian. Selain itu sistem persamaan Maxwell berlaku dalam smua

kerangka inersial, yang oleh karena itu konsep ruang−waktu dan momentum−energi

yang mutlak harus diganti.

Ada tiga asas yang melandasi teori relativitas khusus, yaitu :

Asas ke nol (Asas perpadanan / korespondensi) : untuk setiap gerakan berkelajuan

rendah (momentum rendah), konsep−konsep dan hukum−hukum relativistik

yang muncul harus sesuai dengan konsep−konsep yang telah ada dalam teori

Newton.

Asas pertama : Semua hukum alam bersifat tetap bentuknya (kovarian) terhadap

perpindahan peninjauan dari kerangka inersial satu menuju kerangka inersial

yang lain.


___________________________________________________________________

Asas kedua : Laju maksimal yang dapat dimiliki oleh isyarat tidak bergantung

(invarian) dari kerangka acuan inersial yang digunakan.

Nilai kelajuan maksimal c ini merupakan salah satu tetapan alam yang sangat

penting dalam fisika dan memegang peranan utama dalam penelusuran konsep

ruang−waktu serta momentum−energi. Nilainya sebagaimana yang ditetapkan oleh

Badan Umum Internasional mengenai Berat dan Ukuran adalah c = 299792458 m/s.

Hal ini berarti satu meter adalah jarak yang ditempuh oleh cahaya dalam ruang

vakum selama selang waktu 1/299792458 detik.

Terdapat dua pendekatan yang digunakan untuk menelusuri kaedah

transformasi antara besaran−besaran fisis (transformasi Lorentz) dari kerangka

inersial yang satu (K) menuju kerangka inersial yang lain )K~

( yang bergerak

dengan kecepatan konstan V

terhadap K.

Pendekatan pertama yang digunakan bersifat konvensional yaitu dengan

memilih ruang dan waktu sebagai variabel awal yang digunakan dalam

merumuskan kaedah transformasi Lorentz. Dengan pendekatan ini, kaedah

transformasi untuk besaran momentum dan energi baru ditelusuri kemudian.

Pendekatan kedua bersifat pendekatan energetika, yaitu dengan memilih

momentum−energi sebagai variabel awal, yang selanjutnya transformasi untuk

besaran ruang dan waktu baru ditampilkan kemudian. Menurut Muslim (1997),

pendekatan ini tampil lebih ringkas dan lebih sesuai apabila diterapkan untuk proses

mikroskopik pada zarah elementer, mengingat data−data pada proses hamburan dan

spektroskopi biasanya melibatkan besaran momentum dan energi.

Berikut ini akan dijabarkan perumusan kaedah transformasi Lorentz melalui

pendekatan energetika (momentum−energi), mengacu pada Muslim (1997).

1.1 Pendekatan Energetika dan Penjabaran Kaedah Transformasi Lorentz

Menurut asas korespondensi, perumusan hukum Newton kedua yang

berbentuk

dt

dpF

= dan r.F

ddE = = dW (1.1)


___________________________________________________________________

dapat pula berlaku dalam energetika relativistik (untuk momentum dan energi

relativistik), dengan modifikasi definisi bagi momentum p

. Dalam hal ini, F

adalah gaya luar yang melakukan kerja dW pada zarah dalam selang waktu dt,

dengan akibat terjadinya perubahan momentum sebesar p

d dan energi sebesar dE

sewaktu zarah tersebut melakukan pergeseran sejauh r

d . Perubahan tenaga tersebut

dapat dituliskan sebagai

r.p

ddt

ddE

= = p.vr

.p

ddt

dd =

. (1.2)

Pada saat zarah dalam keadaan rehat (v

= 0

), energi zarah bernilai 0E yang

dinamakan dengan energi rehat. Selanjutnya jika zarah bergerak (v

≠ 0

), energi

zarah tersebut akan bertambah dengan energi kinetik sebesar kE menjadi energi

total E yang dirumuskan sebagai

kEEE += 0 . (1.3)

Jika zarah tersebut bergerak lurus maka pv

// sehingga

dE = v dp. (1.4)

Untuk foton dengan v = c konstan dan invarian (asas kedua teori relativitas), maka

diperoleh energi foton sebesar

∫ ∫ +=== konstanpcdpcdEE . (1.5)

Mengingat tidak ada foton dengan kecepatan nol, maka disimpulkan bahwa tetapan

konstan tersebut sama dengan nol. Jadi diperoleh

222 cE p= untuk v = c. (1.6)

Selanjutnya untuk zarah bermassa dengan v atau p atau kE sembarang,

bentuk kuadrat momentum 2p

dapat diuraikan ke dalam suatu deret Taylor dalam

kE = 0EE − yang berbentuk

...2210

2 +++= kk EaEaap

(1.7)

Untuk zarah rehat (v = 0), nilai p maupun kE = 0, sehingga 0a = 0. Dari

sini, perilaku zarah untuk kecepatan rendah diberikan oleh koefisien 1a . Untuk


___________________________________________________________________

zarah berkelajuan tinggi, kE tinggi sehingga nilai 22kEE ≈ , mengingat untuk

daerah ini 0E dapat diabaikan. Dari kondisi ini diperoleh 20 /1 ca = , sedangkan

untuk 3a dan seterusnya sama dengan nol. Adapun untuk kelajuan rendah, tentu

saja 01 ≠a . Jadi untuk sembarang daerah kelajuan / energi kinetik, berlaku kaitan

dispersi untuk zarah bebas yang berbentuk

221

2 / cEEa kk +== p.pp

untuk 0 ≤ v ≤ c. (1.8)

Apabila ungkapan di atas diambil turunannya, serta dengan mengingat bahwa

dEEEddEk =−= )( 0 (1.9)

diperoleh

dEcEad k )/2(2 21 +=p.p

(1.10)

atau

p.p

dcEa

dEk

212

1 /+= (1.11)

yang harus = p.v

d . Dari sini diperoleh kesamaan

( )212

1 / cEa k+= vp

. (1.12)

Pangkat dua persamaan di atas adalah

++=

4

2

21

14122

c

E

c

Eaa kkvp

(1.13)

yang harus bernilai sama dengan

221

2 / cEEa kk +=p

. (1.14)

Dua persamaan terakhir di atas dapat dituliskan dengan mengumpulkan kE yang

berpangkat sama sebagai

2214

12

2

12

2

2

2

11 vaEc

va

c

E

c

vk

k =

−+

− . (1.15)

Dengan mengalikan persamaan di atas dengan )/1( 22

2

cv

c

−, diperoleh

)/1(4 22

22212

12

cv

cvaEcaE kk −

=+ (1.16)


___________________________________________________________________

yang ternyata sama dengan 22cp . Dengan demikian

22

1

/12 cv

vap

−= . (1.17)

Untuk kelajuan rendah, berlaku rumus Newton :

mvp = (1.18)

dan

1/1 22 ≈− cv (1.19)

sehingga

21va

mv =

atau

ma 21 = . (1.20)

Dengan mengisikan hasil ini ke dalam pers. (1.17) diperoleh vektor momentum

relativistik sebagai

22 /1 cv

m

−= v

p

= v

mγ (1.21)

dengan

22 /1

1

cv−=γ ≥ 1. (1.22)

Selanjutnya dengan mengisikan nilai ma 21 = ke dalam pers. (1.12) diperoleh

)/( 2cEmm k+= vvγ (1.23)

atau

)1(2 −= γmcEk . (1.24)

Mengingat energi kinetik partikel adalah energi relativistik partikel dikurangi

dengan energi rehatnya, atau yang dituliskan sebagai

0EEEk −= (1.25)

dengan E = energi relativistik partikel dan 0E = energi rehat partikel.

Selanjutnya dapat dilakukan identifikasi berikut :


___________________________________________________________________

22

22

/1 cv

mcmcE

−== γ (1.26)

dan

20 mcE = (1.27)

Untuk limit non−relativistik, bentuk

22222/122 2/1)2/1(1)/1(1 cvcvcv =−+≈−−=− −γ (1.28)

sehingga tenaga kinetik nonrelativistik menjadi

221222 )2/( mvcvmcEk == (1.29)

yang bersesuaian dengan teori Newton.

Kuadrat energi relativistik partikel bernilai

( )222222422222

422

/1

1

/1cvmcvmcm

cvcv

cmE +−

−=

−=

= 22422

2

2222

2242

/1)/1(

)/1(ccmc

cv

mv

cv

cvcmp+=

−+

−−

(1.30)

sehingga

4222 cmcpE += (1.31)

Hubungan antara vp

, dan E dapat dituliskan dalam bentuk

2

22 /c

Ecmcm

vvvp

=== γγ . (1.32)

Dari persamaan (1.31), dapat dibuat ilustrasi yang menggambarkan hubungan

tersebut dalam segitiga siku-siku, seperi yang terdapat pada Gambar 1.1.

E 2mc p

Gambar 1.1

Segitiga siku-siku antara E, pc dan 2mc


___________________________________________________________________

Contoh soal :

Tentukan kecepatan sebuah partikel dalam c atau laju cahaya dalam ruang hampa

agar

a. rumus Newton mvp = dapat digunakan dengan kesalahan 610− .

b. rumus 221 mvEk = dapat digunakan dengan kesalahan yang sama.

c. rumus mvp = hanya memberikan setengah dari nilai momentum yang

sebenarnya dimiliki partikel tersebut.

d. rumus 221 mvEk = hanya memberikan nilai setengah dari yang sebenarnya

dimiliki oleh partikel tersebut.

e. Tenaga kinetik partikel sama dengan 10 × tenaga rehatnya.

Jawaban :

a. Jika rumus momentum

2/122/122 )1()/1( −− −=−= βmvcvmvp

seperti yang terdapat pada persamaan (1.21) diuraikan menggunakan deret,

diperoleh

...)1( 4832

21 +++= ββmvp .

Dengan demikian rumus Newton yang hanya memuat suku pertama deret di

atas dapat digunakan dengan kesalahan 610− , jika

6221 10−≤β

atau

m/s1024,41041,1 53 ×=×≤ − cv .

Kecepatan ini cukup tinggi (lebih dari 100 kali kecepatan bunyi di udara).

b. Tenaga kinetik partikel seperti dirumuskan pada persamaan (1.24) adalah

]1)1[( 2/122 −−= −βmcEk

yang jika diuraikan ke dalam deret menjadi

...)1( 2432

21 ++= βmvEk .


___________________________________________________________________

Jadi supaya rumus tenaga kinetik klasik masih dapat digunakan dengan

tingkat kesalahan tersebut, maka

6243 10−≤β

atau

cv 31015,1 −×≤ .

Nilai ini sedikit lebih kecil dari nilai pada (a).

c. Untuk pertanyaan tersebut

2/12221 )/1( −−= cvmvmv

yang berarti

cv 321= .

d. Untuk pertanyaan tersebut

]1)/1[( 2/1222212

21 −−= −cvmcmv

yang berarti

2/122 )1(1 −−=+ ββ .

Bentuk ini dapat dituliskan dalam bentuk

11)1)(21( 246242 =+−−=−++ ββββββ

sehingga

0)1( 242 =−− βββ .

Bentuk persamaan kuadrat dalam 2β di atas memiliki akar positif

)15(212 −=β

sehingga

81036,279,0 ×== cv m/s.

e. Untuk

22/122 10]1)1[( mcmcEk =−−= −β

maka


___________________________________________________________________

11)1( 2/12 =− −β

sehingga

121

1202 =β

atau

810988,2 ×=v m/s.

1.2 Transformasi Lorentz untuk besaran ),( p

E

Ditinjau transformasi Lorentz antara kerangka K dan kerangka K~

yang

bergerak terhadap K dengan kecepatan V, yang secara linear menghubungkan

perangkat besaran ),,,( zyx pppE dan )~,~,~,~

( zyx pppE serta sebagai bentuk

pengkhususan dipilih transformasi yang hanya ditinjau ke arah salah satu sumbu

koordinat saja, dalam hal ini dipilih sumbu x. Bentuk transformasi Lorentz tersebut

adalah (Muslim, 1985)

zzyyxxx ppppaEppbpEE ==+Γ=+Γ= ~dan ~;)(~;)('~

. (1.33)

Jadi pada bentuk di atas, komponen momentum ke arah sumbu y dan z tidak

mengalami perubahan, sehingga transformasi hanya melibatkan pasangan ),( xpE .

Untuk mencari parameter−parameter transformasi yaitu a,',ΓΓ dan b, akan ditinjau

dua kasus khusus yaitu kasus partikel bermassa rehat m yang rehat masing−masing

di K dan K~

. Ilustrasi tentang kerangka K dan K~

terdapat pada Gambar 1.2.

z~ z

V

O~

y~ O y x x~

Gambar 1.2. Kerangka K dan K~


___________________________________________________________________

Saat partikel rehat di K

~, yang berarti

0~~~ === zyx ppp (1.34)

maka memberikan

0== zy pp (1.35)

serta

0=+ aEpx (1.36)

atau

aEpx −= . (1.37)

Padahal hubungan antara vp

, dan E adalah

2c

Evp

= (1.38)

sehingga diperoleh kesimpulan

2c

va −= . (1.39)

Mengingat partikel tersebut rehat di K~

, itu berarti partikel tersebut bergerak dengan

kecepatan xnV

== Vv di K. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa

2c

Va −= . (1.40)

Selanjutnya saat partikel rehat di K, yang berarti

0=== zyx ppp , (1.41)

yang dari transformasi Lorentz memberikan

0~~ == zy pp (1.43)

serta

.~ 22

2

Vmmcc

VaEpx Γ−=Γ−=Γ= (1.44)

Partikel tersebut berarti bersama−sama dengan kerangka K bergerak terhadap K~

dengan kecepatan xnV

−=−= Vv . Dengan demikian momentum partikel di K~

bernilai


___________________________________________________________________

22 /1 cV

mVpx

−−= (1.45)

sehingga diperoleh

22 /1

1

cV−=Γ . (1.46)

Kemudian dihitung nilai energi E~

di K~

menurut

)0('/1

~ 2

22

2

+Γ=−

= mccV

mcE (1.47)

sehingga diperoleh

Γ=−

=Γ22 /1

1'

cV. (1.48)

Untuk menentukan tetapan b, ditinjau kembali partikel yang rehat di K~

,

sehingga transformasi Lorentz untuk energi E~

di K~

menghasilkan

)('~ 22 mVbmcmcE Γ+ΓΓ== (1.49)

atau

( ) 222222

2

1/1 mVcVmcmcmc

bmV −=−−=−Γ

= (1.50)

yang berarti bahwa

Vb −= . (1.51)

Dengan demikian transformasi Lorentz antara kerangka K dan kerangka K~

yang bergerak dengan kecepatan V ke arah sumbu x untuk perangkat besaran

),,,( zyx pppE dan )~,~,~,~

( zyx pppE adalah

22 /1

~

cV

VpEE x

−

−= ; (1.52)

22

2

/1

/~

cV

cVEpp x

x−

−= ; (1.53)

zzyy pppp == ~;~ . (1.54)

Selanjutnya dilakukan perluasan jika arah V

sembarang. Dengan melakukan

substitusi :


___________________________________________________________________

//ppx → ; (1.55)

⊥→ ppp zy dan ; (1.56)

Vp

⋅=→ VpVpx // (1.57)

diperoleh

22 /1

~

cV

EE

−

⋅−= Vp

; (1.58)

22

2//

///1

/~

cV

cE

−

−= Vpp

; (1.59)

⊥⊥ = pp~

(1.60)

Karena K bergerak terhadap K~

dengan kecepatan − V

, maka transformasi balik

untuk bentuk di atas adalah

22 /1

~~

cV

EE

−

⋅+= Vp

; (1.61)

22

2//

///1

/~~

cV

cE

−

+= Vpp

; (1.62)

⊥⊥ = pp~

(1.63)

Ditinjau sebuah partikel bermassa m yang bergerak di K dengan kecepatan v

dan di K~

dengan kecepatan v~

. Kaedah transformasi untuk energi E~

di kerangka

K~

memberikan

−

⋅−−−

=−

=2222

2

2222

2

/1/1/1

1

/'1

~

cv

m

cv

mc

cVcv

mcE

Vv

(1.64)

yang dengan membalik pembilang dan penyebut persamaan di atas, kemudian

menyederhanakannya diperoleh

2

222222

/1

/1/1/'1

c

cvcVcv

Vv

⋅−−−=− . (1.65)

Jika pada persamaan di atas diisikan v = c, maka v’ juga sama dengan c. Hal ini

berarti kecepatan cahaya di semua kerangka acuan inersial bernilai tetap (invarian)

yang sama dengan c.


___________________________________________________________________

Akibat lain dari persamaan di atas adalah dengan menuliskannya sebagai

2/1

11

'

1

cVv

⋅−Γ=

γγ (1.66)

atau

)/1(' 2cVv

⋅−Γ=γγ

(1.67)

Sementara itu dari pers. (1.63) untuk komponen momentum tegaklurus diperoleh

⊥⊥ = vv

mm γγ ~' (1.68)

yang menghasilkan kaedah kecepatan tegaklurus sebagai

)/1(

~2cVv

vv

⋅−Γ= ⊥

⊥ . (1.69)

Sedangkan untuk komponen momentum yang sejajar, diperoleh

)()/(~

' //22

//// VvVvv

−Γ=−Γ= mcmcmm γγγγ (1.70)

sehingga

2//

/1

~

cVv

Vvv

⋅−−= . (1.71)

Dengan menggunakan kaedah penjumlahan kecepatan di atas, dapat

diturunkan transformasi koordinat ),( r

ct dan )~

,~( r

tc menurut resep

dtd /rv = (1.72)

dan

tdd ~/~~rv = . (1.73)

Untuk transformasi kecepatan tegaklurus, diperoleh

)/1(

~~ 2cdt

d

td

d

Vv

rr

⋅−Γ= ⊥

⊥ . (1.74)

Dengan berlakunya simetri gerak pada panjang yang tegaklurus V

, untuk vektor

koordinat yang tegaklurus diperoleh

⊥⊥ = rr~

(1.75)

dan sekaligus juga

⊥⊥ = rr

dd~

, (1.76)

sehingga


___________________________________________________________________

)/()/1(~ 22 cddtcdttd VrVv

⋅−Γ=⋅−Γ= . (1.77)

Untuk syarat awal : 0~ == tt dan 0r

= , integrasi persamaan di atas memberikan

hasil transformasi waktu koordinat :

)/(~ 2ctt Vr

⋅−Γ= . (1.78)

Sementara itu dari kaedah transformasi kecepatan yang sejajar, bentuknya dapat

ditulis sebagai

)/1()/1(

~~

~ 2//

2//

//cdt

dtd

cdt

d

td

d

Vv

Vr

Vv

rr

⋅−−=

⋅−Γ= (1.79)

atau

)(~

//// dtdd Vrr

−Γ= . (1.80)

Dengan menerapkan syarat awal

0~ == tt dan 0rr

== ////~

,

maka pengintegralan persamaan di atas memberikan

)(~

//// tVrr

−Γ= . (1.81)

Gabungan antara pers. (1.75) dan (1.81) menghasilkan

tV VVVrrr

Γ−⋅−Γ+= 2/))(1(~

(1.82)

Contoh Soal :

Sebuah pesawat antariksa dilihat dari bumi sedang bergerak ke arah timur dengan

kecepatan icv pˆ6,0=

dan dalam waktu lima detik akan bertabrakan dengan sebuah

komet yang sedang bergerak ke arah barat dengan kecepatan icvkˆ8,0−= .

a. Dilihat dari pesawat antariksa, berapakah kecepatan komet mendekatinya ?

b. Menurut pilot pesawat antariksa tersebut, berapa waktu yang tersedia untuk

menghindari tabrakan tersebut?

Jawaban :

a. Ditinjau dari pesawat antariksa yang bergerak dengan kecepatan pvV

=

terhadap bumi (kerangka K), kecepatan komet mendekati pesawat tersebut

dapat dicari dengan perumusan


___________________________________________________________________

icccc

cci

cVv

Vvv k

kˆ946,0

/)6,0)(8,0(1

6,08,0ˆ/1

'22

//

//// −=

−−−−−=

−

−=

.

Jadi kecepatan komet tersebut menurut pilot pesawat adalah c946,0

mendekati pesawat tersebut.

b. Dengan menggunakan dilatasi waktu, dapat ditentukan waktu yang tersedia

bagi pilot tersebut untuk menghindari tabrakan. Karena faktor dilatasi waktu

adalah

25,1)6,01( 2/12 =−=Γ −

maka

detik 4detik25,1

5' ==

Γ∆=∆ t

t .

1.3 Metode lain penurunan bentuk eksplisit besaran−−−−besaran fisis relativistik

Metrik ruang−waktu datar empat dimensi (metrik Minkowski) yang

digunakan dalam teori relativitas khusus muncul dari bentuk invarian metrik

222222222 r

ddtcdzdydxdtcdxdxds +−=+++−== νµµνη (1.83)

dengan vektor koordinat−4 kontravarian dirumuskan

),(),,,(),,,(),( 32100 r

ctzyxctxxxxxxx m ====µ (1.84)

Pada metrik pers. (1.83), komponen tensor metrik rank−2 kovarian adalah

133221100 ====− ηηηη (1.85)

dan

0=µνη untuk νµ ≠ . (1.86)

Sementara itu pasangan komponen tensor metrik rank−2 kontravarian adalah

133221100 ====− ηηηη (1.87)

dan

0=µνη untuk νµ ≠ (1.88)

Kaitan antara waktu pribadi τ dengan elemen garis s adalah

222 τdcds −= (1.89)


___________________________________________________________________

sehingga pers. (1.83) menjadi

( )2222

22 1dzdydx

cdtd ++−=τ (1.90)

Diperkenalkan vektor kecepatan−3 v

yang memiliki komponen−komponen

Cartesan

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx === ,, (1.91)

Dengan substitusi komponen−komponen kecepatan−3 di atas, pers. (1.90) dapat

dituliskan menjadi

[ ]

−=

++−=2

22222

222 1)/()/()/(

11

cdtdtdzdtdydtdx

cdtd

v

τ (1.92)

atau

γ

τ dtdt

cd =

−=

2/1

2

2

1v

, (1.93)

dengan

22 /1

1

cv−

=γ . (1.94)

Didefinisikan vektor kecepatan−4 kontravarian µV yang memiliki komponen

( ) ( )vr

,, cctdt

d

d

dt

dt

dx

d

dxV γγ

ττ

µµµ ==== (1.95)

sedangkan komponen vektor kecepatan−4 kovarian µV dapat dicari dari µV dengan

menggunakan tensor metrik kovarian pers. (1.85) − (1.86) :

),( v

cVV −== γη νµνµ . (1.96)

Sementara untuk vektor kecepatan−4 kontravarian µP , komponen−komponennya

adalah

( )

=

=== pvv

,,,2

c

Em

c

mccmmVP γγγµµ (1.97)

dengan energi :

2mcE γ= (1.98)


___________________________________________________________________

dan momentum−3 :

vp

mγ= . (1.99)

Hasil pers. (1.98) dan (1.99) berturut-turut sama dengan pers. (1.26) dan (1.21).

Sedangkan vektor momentum−4 kovarian µP adalah

),/( p

cEPP −== νµνµ η (1.100)

Adapun vektor gaya−4 kontravarian µF memiliki komponen−komponen

=== f

,cdt

dE

d

dt

dt

dP

d

dPF γ

ττ

µµµ (1.101)

dengan gaya−3 f

didefinisikan sebagai

dt

dpf

= (1.102)

Sementara itu vektor gaya−4 kovarian µF dirumuskan sebagai

−== f

,dtc

dEFF γη ν

µνµ . (1.103)

Perkalian dalam (inner product) antara dua vektor kovarian dan kontravarian

akan menghasilkan suatu skalar, seperti misalnya

22

2222222 1),(),( c

cccccVV −=

−−=+−=−= v

vvv

γγγγγµµ (1.104)

dan

( ) 22/),/)(,/( ppp

+−=−= cEcEcEPP µµ = 22cm− (1.105)

Dari turunan pers. (1.104) di atas diperoleh

( ) µµ

µµ

µµτ

FVVFVmVd

d +==0 =

−+

− fvvf

,),(),(,dtc

dEcc

dtc

dE γγγγ

=

⋅+− vf

dt

dE22γ (1.106)

sehingga diperoleh

vf

⋅=dt

dE (1.107)


___________________________________________________________________

Dengan hasil di atas, vektor gaya−4 kontravarian dan kovarian berturut−turut dapat

dituliskan menjadi

( )fvf

,/cF ⋅= γµ (1.108)

dan

( )fvf

,/cF ⋅−= γµ (1.109)

Dari pers. (1.105) berlaku kaitan

42222 cmcE += p

. (1.110)

Sementara dari pers. (1.107) :

pvfv

ddtdE ⋅=⋅= . (1.111)

Bentuk di atas sama dengan pers. (1.2)

1.4 Transformasi Lorentz Vektor−−−−4 melalui Transformasi Koordinat−−−−4

Berikut ini akan dijabarkan kaedah alih bentuk Lorentz untuk komponen

vektor−4, baik dalam bentuk kovarian maupun kontravarian melalui transformasi

koordinat−4 (1.3 dimensi ruang dan 1 dimensi waktu) di ruang−waktu Minkowski.

Mula−mula diberikan aturan transformasi koordinat untuk vektor dalam ruang

sembarang berdimensi N. Selanjutnya diberikan deskripsi ruang−waktu Minkowski

yang menjadi wahana teori relativitas khusus Einstein. Diberikan kaitan

transformasi koordinat di dalam ruang−waktu tersebut bagi dua kerangka inersial

yang salah satunya bergerak dengan kecepatan konstan V

terhadap lainnya.

Dengan kaitan tersebut selanjutnya melalui kaedah transformasi untuk vektor,

nilai−nilai komponen beberapa vektor−4 dihitung dan diperoleh relasi yang

mengaitkan besaran−besaran pada kedua kerangka tersebut. Vektor−4 yang dipilih

di sini berkaitan berkaitan dengan masalah dalam dinamika relativistik dan

elektrodinamika, seperti vektor kecepatan−4, vektor momentum−4, vektor gaya−4,

vektor potensial−4 dan vektor kerapatan−4.

1.5 Kaedah Transformasi untuk Vektor

Ditinjau suatu ruang berdimensi N dengan koordinat


___________________________________________________________________

Nx = ),...,,( 21 Nxxx . (1.112)

Jika dilakukan transformasi ke koordinat

Nx~ = Nxxx ~,...,~,~( 21 ) (1.113)

di dalam ruang tersebut, kaedah transformasi yang mengubungkan vektor

kontravarian νA dan µA~

serta antara vektor kovarian νA dan µA~

berturut−turut

adalah (Lawden, 1982)

νν

µµ A

x

xA

∂∂=~~

(1.114)

dengan inversi

µµ

νν A

x

xA

~~∂

∂= , (1.115)

serta

νµ

ν

µ Ax

xA ~~

∂∂= (1.116)

dengan inversi

µν

µ

µ Ax

xA

~~

∂∂= . (1.117)

Di sini telah digunakan kesepakatan penjumlahan Einstein, yaitu jika terdapat

indeks berulang, maka penjumlahan harus dilakukan meliputi jangkuan indeks

tersebut. Apabila penjumlahan tak ingin dilakukan, maka hal tersebut harus

diungkapkan secara eksplisit.

1.6 Ruang−−−−Waktu Minkowski dan Kaedah Transformasi Lorentz

Metrik ruang waktu Minkowski dengan koordinat

),,,( 3210 xxxxx =µ = (ct, x, y, z) = ),( r

ct (1.118)

dapat mengambil bentuk

222222222 r

ddtcdzdydxdtcdxdxgds +−=+++−== νµµν (1.119)

dengan

µνµν η=g 0,1,( 0000 ==−== mmmnmn ηηηδη ) (1.120)


___________________________________________________________________

Ditinjau dua kerangka inersial yakni kerangka K dengan koordinat µx dan

kerangka K~

dengan koordinat µx~ yang bergerak dengan kecepatan konstan V

terhadap kerangka K ke arah

//r

= VV

V.r

2 (1.121)

Kaitan Lorentz antara koordinat−4 di dalam ruang−waktu Minkowski adalah

(Zahara dkk, 1997)

//~r

= //(r

Γ )tV

− (1.122)

⊥⊥ = rr~

(1.123)

)/(~ 2ctt V.r

−Γ= (1.124)

dengan

22 /1

1

cV−=Γ . (1.125)

Kalau komponen ruang di atas ingin digabungkan, hasilnya

//~~rr

= + ⊥r~

= VVV

V.rr

c

ctΓ−−Γ+2

))(1( (1.126)

yang jika diuraikan ke dalam komponen−komponennya menjadi

i

i

iij

j

ii

ii nx

c

VnV

V

Vxnxnx

02

)1(~ Γ−−Γ

+= (1.127)

atau

02

)1(~ xc

Vx

V

VVx

ijj

iij

i Γ−

−Γ+= δ (1.128)

Sedangkan penguraian untuk komponen waktu adalah

)(~ ii xc

Vcttc −Γ= (1.129)

atau

)(~ 00 ii xc

Vxx −Γ= . (1.130)


___________________________________________________________________

Dari pers. (1.128) dan (1.130), jika dilakukan derivatif parsial koordinat K~

terhadap K, diperoleh

2

)1(~

V

VV

x

x ji

ijj

i −Γ+=

∂∂ δ (1.131)

c

V

x

x ii Γ−=∂∂

0

~ (1.132)

c

V

x

x ii

Γ−=∂∂ 0~

(1.133)

Γ=∂∂

0

0~

x

x. (1.134)

Ditinjau suatu vektor−4 kontravarian di ruang K

),(),( 00 S

SSSS m ==µ (1.135)

dan vektor−4 kontravarian di ruang K~

)~

,~

()~

,~

(~ 00 S

SSSS m ==µ . (1.136)

Dengan menggunakan kaedah transformasi untuk komponen vektor kontravarian,

diperoleh :

nn

Sx

xS

x

xS

x

xS

∂∂+

∂∂=

∂∂=

00

0

000

~~~~ νν = 0SΓ

⋅−Γ=Γ−c

SSc

V nn VS

0 (1.137)

dan

nn

mmmm S

x

xS

x

xS

x

xS

∂∂+

∂∂=

∂∂=

~~~~ 00

νν = 0S

c

V mΓ− + nnm

mn S

V

VV

−Γ+2

)1(δ

= mm VV

S2

)1( VS

⋅−Γ+ mVc

S 0Γ− (1.138)

yang jika dinyatakan dalam notasi vektor menjadi

VVS

SS

2

)1(~

V

⋅−Γ+= V

c

S 0Γ− . (1.139)

Mengingat bentuk

//2/)( SVVS

=⋅ V , (1.140)

kaedah untuk komponen vektor S

yang sejajar V

adalah


___________________________________________________________________

////// )1(~

SSS

−Γ+= V

c

S 0Γ− = ( )VS

)/( 0// cS−Γ . (1.141)

Sementara itu kaedah untuk komponen vektor S

yang tegaklurus V

adalah

⊥⊥ = SS~

. (1.142)

Selanjutnya ditinjau vektor kecepatan−4 kontravarian :

),( vγγµ cV = (1.143)

sehingga

cS γ=0 (1.144)

dan

vS

γ= . (1.145)

Dengan menggunakan hasil pers. (1.137), untuk komponen ke nol, diperoleh

⋅+Γ=c

ccVv

γγγ~ (1.146)

yang memberikan hasil

⋅+Γ=2

1~

c

Vv

γγ

. (1.147)

Persamaan di atas menghubungkan faktor dilatasi partikel yang bergerak di kedua

kerangka. Sedangkan dengan menggunakan pers. (1.139) untuk komponen vektor,

diperoleh

VVVv

vv

c

c

V

γγγγ Γ−⋅−Γ+=2

)1(~~ (1.148)

yang jika disederhanakan menjadi

⋅−Γ

Γ−⋅−Γ+=

2

2

1

)1(~

c

VVv

VVVv

vv

(1.149)

Persamaan di atas menghubungkan vektor kecepatan−3 di kedua kerangka acuan.

Kaedah untuk //v

adalah


___________________________________________________________________

2

////

1

~

c

VvVv

v

⋅−

−= (1.150)

Sedangkan untuk ⊥v

adalah

⋅−Γ= ⊥

⊥

21

~

c

Vv

vv

(1.151)

Berikutnya ditinjau vektor momentum−4 kontravarian yang memiliki

komponen :

),/( p

cEP =µ (1.152)

sehingga

cES /0 = (1.153)

dan

pS

= . (1.154)

Kaedah transformasi Lorentz untuk energi adalah

⋅−Γ=c

cEcEVp

//~

(1.155)

atau

( )Vp

⋅−Γ= EE~

. (1.156)

Bentuk (1.156) di atas sama dengan pers. (1.58). Adapun kaedah transformasi

Lorentz untuk vektor momentum−3 adalah

VVVp

pp

22

)1(~

c

E

V

Γ−⋅−Γ+= . (1.157)

Untuk komponen vektor momentum−3 sejajar dan tegaklurus, kaedahnya adalah

( )VpVppp

)/()1(~ 2

//2////// cEc

E −Γ=Γ−−Γ+= (1.158)

dan

⊥⊥ = pp~

(1.159)

Bentuk (1.158) dan (1.159) di atas sama dengan bentuk pers. (1.59) dan (1.60).

Selanjutnya ditinjau vektor gaya−4 kontravarian :


___________________________________________________________________

( )fvf

,/cF ⋅= γµ (1.160)

sehingga

c

Svf

⋅= γ0 (1.161)

dan

fS

γ= . (1.162)

Diperoleh

Vvf

VVf

ff

22

)1(~~cV

⋅Γ−⋅−Γ+= γγγγ (1.163)

yang dengan menggunakan pers. (1.139), bentuk di atas dapat dituliskan menjadi

⋅−Γ

⋅Γ−⋅−Γ+=

2

22

1

)1(~

c

cVVv

Vvf

VVf

ff

. (1.164)

Kaedah f

untuk komponen sejajar dan tegaklurus berturut−turut adalah

⋅−

⋅−=

⋅−Γ

⋅Γ−−Γ+=

2

2//

2

2////

//

11

)1(~

c

c

c

cVv

Vvf

f

Vv

Vvf

fff

. (1.165)

dan

⋅−Γ= ⊥

⊥

21

~

c

Vv

ff

. (1.166)

Selanjutnya jika ditinjau kasus khusus dengan Vv

= , atau partikel rehat di K~

,

yang berarti bahwa :

22

1 −Γ=⋅−c

VV

, (1.167)

2////)( VVf fVVVf

==⋅ , (1.168)

sehingga


___________________________________________________________________

//

2

2

2

2

//0

//

1

1~

f

f

f

=

−

−

=

c

V

c

V

(1.169)

dan

⊥−⊥

⊥ Γ=ΓΓ

= ff

f

20

~. (1.170)

Jadi untuk kerangka rehat partikel di K~

, kaedah transformasi Lorentz untuk vektor

gaya−3 adalah

⊥⊥ Γ+=+= fffff

//00

//0

~~~. (1.171)

1.7 Transformasi Lorentz untuk besaran−−−−besaran elektrodinamika

Diketahui ρ dan v

berturut−turut adalah rapat muatan dan kecepatan aliran

relatif terhadap suatu kerangka inersial K. Rapat arus j

dirumuskan sebagai

vj

ρ= . (1.172)

Persamaan kontinuitas muatan dirumuskan sebagai

0=∇+∂∂

j.

t

ρ (1.173)

Dalam elektrodinamika dikenal skalar potensial listrik φ dan vektor

potensial listrik−3 A

yang mana gabungan keduanya bersama−sama membentuk

suatu vektor potensial−4 µA dengan komponen

),/(),( 0 A

cAAA m φµ == (1.174)

Mengikuti sistem satuan SI, terdapat perumusan−perumusan berikut

012

=∇+∂∂

A.

tc

φ (1.175)

jAA

02

2

2

2

1 µ−=∇+∂∂−

tc (1.176)

20

22

2

2

1c

tcρµφφ −=∇+

∂∂− (1.177)


___________________________________________________________________

Gabungan dua persamaan di atas menghasilkan

µµ µ jA 0−=∆ (1.178)

dengan vektor kerapatan−4 µj didefinisikan sebagai

),(),( 0 jj

cjj ρµ == . (1.179)

Operator skalar−4 ∆ didefinisikan sebagai

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

11

zyxtctc ∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−=∇+

∂∂−=∂∂=∆ µ

µ (1.180)

Operator turunan koordinat−4 kovarian dan kontravarian masing-masing

dirumuskan sebagai

∇∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂=∂ ,

1,

0 tcxxx mµµ (1.181)

∇∂∂−=∂=∂ ,

1

tcνµνµ η (1.182)

Bentuk syarat Lorentz pers. (1.175) dapat dituliskan sebagai

0=∂ µµ A (1.183)

sedangkan bentuk persamaan kontinuitas muatan (pers. (1.173)) dapat dituliskan

menjadi

0=∂ µµ j (1.184)

Kaedah transformasi Lorentz untuk komponen vektor kerapatan−4 adalah

⋅−Γ=c

ccVj

ρρ~ (1.185)

atau

⋅−Γ=2

~c

Vj

ρρ (1.186)

serta

VVj

jj

2

)1(~

V

⋅−Γ+= V

ρΓ− , (1.187)

( )Vjj

ρ−Γ= ////

~, (1.188)


___________________________________________________________________

dan

⊥⊥ = jj~

. (1.189)

Sementara itu kaedah transformasi Lorentz untuk komponen vektor

potensial−4 adalah

⋅−Γ=ccc

VA

φφ~ (1.190)

atau

( )VA

⋅−Γ= φφ~ , (1.191)

serta

VVVA

AA

22

)1(~

cV

φΓ−⋅−Γ+= , (1.192)

−Γ= VAA

2////

~

c

φ, (1.193)

dan

⊥⊥ = AA~

. (1.194)

Jika kita ingin mencari transformasi balik dari kerangka K~

ke kerangka K,

hal itu dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan substitusi VV

−= . Dengan

substitusi ini, diperoleh kaedah transformasi Lorentz besaran-besaran berikut ini :

Vektor kecepatan−3 :

⋅+Γ

Γ+⋅−Γ+=

2

2

~1

~)1(~

c

VVv

VVVv

vv

(1.195)

2

//// ~

1

~

c

Vv

Vvv

⋅+

+= (1.196)

⋅+Γ= ⊥

⊥

2

~1

~

c

Vv

vv

(1.197)


___________________________________________________________________

Energi : ( )Vp

⋅+Γ=~~

EE (1.198)

Vektor momentum−3 :

VVVp

pp

22

~~)1(~

c

E

V

Γ+⋅−Γ+= (1.199)

+Γ= Vpp

2////

~~

c

E (1.200)

⊥⊥ = pp~

(1.201)

Vektor gaya−3 :

⋅+Γ

⋅Γ+⋅−Γ+=

2

22

~1

~~~)1(~

c

cVVv

Vvf

VVf

ff

(1.202)

⋅+

⋅+=

2

2//

// ~1

~~~

c

cVv

Vvf

ff

(1.203)

⋅+Γ= ⊥

⊥

2

~1

~

c

Vv

ff

. (1.204)

Rapat muatan

⋅+Γ=2

~~

c

Vj

ρρ (1.205)

Vektor rapat arus

VVj

jj

2

~)1(~

V

⋅−Γ+= V

ρ~Γ+ (1.206)

+Γ= Vjj

ρ~~

//// (1.207)

⊥⊥ = jj~

. (1.208)

Skalar potensial listrik :

⋅+Γ= VA

~~φφ (1.209)


___________________________________________________________________

Vektor potensial−3 listrik :

VVVA

AA

22

~~)1(~

cV

φΓ+⋅−Γ+= (1.210)

+Γ= VAA

2////

~~

c

φ (1.211)

⊥⊥ = AA~

. (1.212)

Dari telaah di atas, tampak bahwa teori relativitas khusus berperan besar

dalam menata dan meluruskan besaran-besaran fisika yang mendasar, seperti

besaran panjang, waktu, kecepatan, momentum, energi dan sebagainya. Selanjutnya

juga telah dikaji proses penurunan kaedah transformasi Lorentz besaran-besaran di

atas yang menunjukkan bahwa hukum fisika memiliki bentuk yang tetap di dalam

semua kerangka acuan inersial.


___________________________________________________________________

Soal-Soal Latihan Bab I

1. Sebuah pesawat bergerak ke arah timur dengan laju 0,8 c diukur menurut

menara yang diam. Pesawat tersebut melepaskan peluru dengan laju 0,6 c

terhadap pesawat. Carilah masing-masing laju dan arah gerak peluru terhadap

menara jika arah peluru terhadap pesawat adalah

(a) timur

(b) utara

(c) barat

(d) timur laut.

2. Sebuah partikel bermassa m bergerak terhadap kerangka I dengan kecepatan

)ˆ2ˆ2ˆ)(5/( kjic +−=v

. Jika terdapat kerangka II yang bergerak terhadap

kerangka I dengan kecepatan )ˆ2ˆˆ2)(5/( kjic −+=V

, carilah :

(a) momentum dan tenaga kinetik dan tenaga total partikel menurut

kerangka I.

(b) kecepatan, momentum, tenaga kinetik dan tenaga total partikel menurut

kerangka II.

3. Dua buah partikel bergerak sepanjang sumbu Z kerangka K masing-masing

dengan kecepatan 1v

dan 2v

dengan 21 vv > . Agar ditinjau dari K’, kedua

partikel tersebut mempunyai kecepatan yang berlawanan, tunjukkan bahwa

kecepatan gerak kerangka K’ ke arah sumbu Z terhadap K besarnya adalah

21

22

221

221

2 ))((

vv

vcvcvvc

−−−−−

.

4. Sebuah elektron dalam suatu akselerator tenaga tinggi bergerak dengan

kelajuan 0,5 c. Carilah kerja yang harus dilakukan terhadap elektron untuk

menaikkan kelajuannya menjadi

(a) 0,75 c


___________________________________________________________________

(b) 0,99 c

(c) Untuk kedua nilai kelajuan tersebut, tentukan faktor peningkatan tenaga

kinetik maupun momentum elektron.

5. Sebuah inti radioaktif bergerak dengan kecepatan icv ˆ6,0= terhadap

kerangka K (lab), sewaktu ia memancarkan partikel beta dengan kecepatan

jcv ˆ75,0=β

terhadap inti tersebut (kerangka 0K ).

(a) Tentukan besar dan arah kecepatan partikel beta menurut kerangka K.

(b) Jika partikel beta tersebut tetap dipancarkan dengan kelajuan c75,0 di

0K , namun arahnya dilihat dari K sejajar dengan sumbu y, tentukan

arah pancaran diamati dari inti dan kelajuan partikel beta diamati di K.

6. Di kerangka K, dua partikel A dan B bergerak masing-masing dengan

kecepatan iˆAA v=v

dan iBB v=v

( 0vv AB >> ). Jika terdapat kerangka

K~

yang bergerak terhadap K dengan kecepatan iˆV=V

(diketahui

0vAB >>> Vv ) :

(a) Tentukan kecepatan A dan B menurut K~

, yaitu A~v

dan B~v

.

(b) Jika menurut pengamat yang rehat di K~

, kecepatan A dan B sama besar

namun berlawanan arah, tunjukkan bahwa

BA

2B

22A

2BA

2 ))(()(

vv

vcvcvvcV

+−−−+

= .

7. Di kerangka K, sebuah partikel bergerak dengan kecepatan u

. Di K tersebut

juga terdapat medan E

dan B

. Bagaimanakah cara menentukan gaya Lorentz

pada partikel tersebut di kerangka K’, dimana K’ bergerak dengan kecepatan

V

terhadap K ? Jika gaya Lorentz di K’ tersebut telah diperoleh, bagaimana

cara menguji bahwa nilai yang diperoleh itu benar ?


___________________________________________________________________

8. Diketahui vektor−4 kontravarian : ),/( Z

ccYX γµ = dengan γ =

)/1( 22 cu− , u

= vektor kecepatan−3 dan c laju cahaya di ruang hampa.

(a) tuliskan kaedah tranformasi Lorentz untuk besaran Y danZ

. (Petunjuk :

jangan lupa relasi antara γ dengan γ ’ )

(b) Jika terdapat hubungan : ckY = dan ck /uZ

= dengan k suatu

invarian Lorentz, carilah invarian Lorentz yang dapat diperoleh dari

vektor−4 tersebut, serta berapakah nilainya ?

9. Jelaskan bahwa gaya Lorentz yang dirasakan oleh sebuah partikel di kerangka

K menjadi gaya Coulomb di kerangka diam K’. Bagaimana dengan

sebaliknya, gaya Coulomb di K’ menjadi gaya Lorentz di K ?

10. Di kerangka K’ , sebuah partikel bermassa rehat m bermuatan q bergerak

dengan kecepatan konstan u

’ . Di K’ tersebut terdapat medan listrik E ’ dan

medan imbas magnet B

’ . Jika kerangka K’ bergerak terhadap kerangka K

dengan kecepatan konstan V

:

(a) Tentukan energi, energi kinetik dan momentum partikel di K maupun di

K’ .

(b) Carilah kecepatan partikel, medan listrik dan medan imbas magnet di K.

(c) Nyatakan gaya Lorentz yang bekerja pada partikel di K maupun K’ .

(d) Tuliskan tiga invarian Lorentz yang melibatkan besaran-besaran di atas.

Penerapan Teori Relativitas Khusus ___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________

33

BAB II

PENERAPAN TEORI RELATIVITAS KHUSUS

Teori Relativitas Khusus sebagai salah salah satu pilar fisika modern memiliki

beberapa kegunaan dalam menelaah secara lebih kompak dan terpadu berbagai

gejala alam. Berikut ini akan disajikan beberapa penerapan teori relativitas khusus

pada beberapa fenomena, diantaranya adalah persoalan paradoks kembar, gerak

partikel relativistik dalam medan gaya konstan dan medan gravitasi seragam, efek

hamburan Compton dan sebagainya.

2.1 Paradoks Kembar (Twin Paradox)

Paradoks kembar (atau paradoks jam) adalah satu persoalan yang cukup

membingungkan dalam relativitas khusus. Kasus paradoks kembar dapat dinyatakan

sebagai berikut : Misalkan kita punya dua orang kembar : John dan Mary. John

diputuskan tetap tinggal di bumi, sementara Mary menjadi astronot yang akan

mengadakan perjalan ruang angkasa menuju sebuah bintang. Mary mengendarai

pesawat ruang angkasa dan terbang menuju bintang tersebut dengan kecepatan V

(diasumsikan agar nampak efek relativitas, nilai V dalam orde c) dan sesudah sesaat

tiba di bintang, Mary kembali ke bumi dan bertemu dengan John dengan kecepatan

yang sama. Lihat Gambar 2.1

Bumi Bintang

Gambar 2.1 Perjalanan pulang pergi bumi-bintang

Teori relativitas khusus menyatakan bahwa jika Mary bergerak terhadap John, maka

selang waktu dalam kerangka inersial Mary mengalami dilatasi sebesar γ yang

dirumuskan

22 /1 cV−=γ . (2.1)


___________________________________________________________________

34

Jadi pada akhir perjalanan Mary, dia lebih muda daripada John. Paradoks muncul

dari kenyataan bahwa (dengan mengabaikan selang waktu saat Mary bergerak

dipercepat dan diperlambat), Mary berada dalam kerangka inersial, dan selanjutnya

dari prinsip relativitas, Mary dapat mengklaim bahwa Johnlah yang bergerak, bukan

dia. Kalau demikian selang waktu John seharusnya yang mengalami dilatasi, bukan

Mary, sehingga saat Mary kembali, ia menjumpai saudara kembarnya itu lebih

muda daripadanya. Manakah yang benar ?

Untuk menyederhanakan kasus ini, diasumsikan perjalanan Mary terjadi saat

ia lahir (yang juga berarti saat John lahir). Pada saat itu, berarti waktu lokal T = 0

dan posisi X = 0. Selanjutnya akan dibandingkan jarak bumi−bintang menurut

kedua orang tersebut. Jarak antara bumi dan bintang diukur oleh pengamat yang

stasioner di bumi (John) adalah JD . Jarak bumi − bintang yang diukur oleh Mary

adalah

γ/JM DD = . (2.2)

Perumusan ini disebabkan oleh adanya kontraksi Lorentz. Indeks J dan M berturut-

turut menunjukkan pengukuran menurut John dan Mary. Akan diukur umur relatif

John dan Mary. Caranya, pertama dengan melakukan penghitungan dalam kerangka

John dan selanjutnya penghitungan dikerjakan dalam kerangka Mary. Nanti akan

ditunjukkan bahwa dua penghitungan tersebut akan memperoleh hasil yang sama.

Kesamaan ini menunjukkan tidak adanya perbedaan antara dua kerangka inersial

yang ditinjau.

Sekarang penghitungan dilakukan dalam kerangka John. Mary menempuh

perjalanan total (menuju bintang dan kembali ke bumi) sejauh JD2 dengan

kecepatan V (−V saat kembali). Perjalanan bumi−bintang bolak-baik ini memakan

waktu VDJ /2 . Transformasi Lorentz untuk waktu memberikan hubungan antara

waktu yang ditunjukkan oleh jam milik John (JT ) dan waktu yang ditunjukkan oleh

Mary ( MT ) sebagai

][2c

VXTT J

JM −= γ (2.3)


___________________________________________________________________

35

dengan JX adalah jarak antara mereka. Selama perjalanan Mary menuju ke

bintang, berlaku persamaan

JJ TVX = . (2.4)

Substitusi persamaan di atas ke dalam pers. (2.3), diperoleh

])/([ 22JJM TcVTT −= γ = JTcV )]/(1[ 22−γ =

γJT

. (2.5)

Dalam bentuk penulisan selang waktu,

γ

JM

TT

∆=∆ . (2.6)

Persamaan ini menunjukkan bahwa jam Mary bergerak lebih lambat daripada jam

milik John dengan faktor γ/1 . Di sini perlu diingat bahwa

γ ≥ 1. (2.7)

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan pula bahwa hal tersebut berlaku

pula untuk perjalanan Mary pulang ke bumi. Saat kembali ke bumi dengan

kecepatan yang sama, jam milik Mary juga bergerak lebih lambat dari jam milik

John dengan faktor yang sama : γ/1 . Maka selama perjalanan total, umur John

adalah

V

DA J

J2= , (2.8)

sedangkan umur Mary adalah

γ12

V

DA J

M = . (2.9)

Tampak bahwa umur John lebih besar daripada umur Mary, atau dengan kata lain

dalam kerangka John, saat Mary kembali ke bumi, John lebih tua. Selisih umur

mereka adalah

V

DAA J

MJ21

1

−=−

γ. (2.10)

Bagaimanakah penghitungan dalam kerangka Mary ? Seluruh besaran yang

tadinya dihitung pada kerangka John, sekarang diukur oleh Mary. Transformasi

Lorentz memberikan hubungan antara waktu milik jam John dan waktu milik jam

Mary sebagai


___________________________________________________________________

36

−=2c

VXTT M

MJ γ . (2.11)

Dan dengan penurunan selanjutnya dapat ditunjukkan kaitan untuk selang waktu

masing-masing jam sebagai

γ

MJ

TT

∆=∆ (2.12)

yang berarti jam milik John bergerak lebih lambat daripada jam milik Mary dengan

faktor 1/γ. Sekilas nampak adanya paradoks atau kontradiksi dengan ungkapan

sebelumnya yang menyatakan bahwa jam Mary bergerak lebih lambat daripada

John. Namun demikian yang sebenarnya tidak demikian, karena hal ini disebabkan

relativitas khusus menyatakan bahwa kita tidak dapat menghubungkan waktu yang

ditunjukkan oleh jam pada tempat yang berbeda (yang dalam hal ini umur orang

kembar yang terpisah) sampai kemudian kedua orang tersebut bertemu kembali.

Ketika mereka berdua bertemu kembali, baru tampaklah siapa yang lebih tua atau

lebih muda dengan cara membandingkan selang waktu yang ditunjukkan oleh jam

masing-masing.

Menurut Mary, perjalanannya memakan waktu VDM /2 , sehingga selama

perjalanan, umur Mary adalah

γ

MM

DA

2= . (2.13)

Perlu diingat bahwa telah diasumsikan bahwa waktu untuk mempercepat dan

memperlambat roket telah diabaikan. Karena jam John bergerak lebih lambat

dengan faktor 1/γ, John berumur

γ12

V

DA M

J = . (2.14)

Jika dilatasi waktu menjadi satu-satunya faktor dalam penghitungan, Mary

dapat mengklaim bahwa dirinya berusia lebih tua dari John dengan selisih umur

mereka adalah

V

DAA M

JM21

1

−=−

γ =

γγ121

1V

DJ

− (2.15)


___________________________________________________________________

37

dan dijumpai adanya ketidakcocokan dengan hasil sebelumnya. Bagaimana caranya

memecahkan masalah ini ?

Di sini terdapat faktor lain yang dapat menyelesaikan ketidakcocokan

tersebut. Ketika Mary sampai ke bintang dan kemudian kembali, dia mengubah

kerangka inersialnya. Sebelum Mary tiba di bintang, hubungan antara jam John dan

jam Mary yang diukur oleh Mary adalah

−=2c

VDTT M

MJ γ . (2.16)

Sesaat setelah ia meninggalkan bintang menuju bumi, relasi antara jam keduanya

adalah

+=2c

VDTT M

MJ γ . (2.17)

Dua persamaan terakhir di atas menunjukkan adanya kontradiksi dalam waktu / jam

milik John yang diukur oleh Mary, sesaat setelah Mary berganti keadaan (dari

menuju bintang menjadi meninggalkan bintang. Selisih pengukuran waktu milik

John ini menurut Mary adalah

22

22

c

VD

c

VD JM =γ

. (2.18)

Selisih ini terjadi akibat terjadinya perubahan kerangka inersial Mary. Dengan

demikian dalam kerangka Mary, selisih antara umur John dengan Mary adalah

selisih umur yang telah dihitung pada pers. (2.15) ditambah dengan selisih umur

mereka akibat terjadinya perubahan kerangka inersial Mary. Akhirnya selisih umur

Mary dengan John adalah

2

2121

1

c

VD

V

DAA JJ

MJ +

−=−

γγ =

γγ V

D

c

V

V

D JJ 2122

2

2−

+ . (2.19)

Karena

11

2

2

2=+

c

V

γ (2.20)

maka

γV

D

V

DAA JJ

MJ22 −=− =

V

DJ211

−

γ. (2.21)


___________________________________________________________________

38

Ternyata dalam kerangka Mary, selisih umur antara John dan Mary juga sama

seperti yang telah dihitung pada kerangka John. Dari dua penghitungan tersebut

ditunjukkan bahwa setelah kembali ke bumi, Mary yang menempuh perjalanan

berusia lebih muda daripada saudara kembarnya, John.

2.2 Tinjauan Gerakan Partikel Relativistik yang dikenai Gaya Konstan dan

Medan Gravitasi Seragam

Salah satu latihan yang cukup mudah dalam persoalan mekanika klasik

elementer adalah menyelesaikan problem gerakan sebuah partikel dalam dua

dimensi yang dikenai suatu gaya konstan. Untuk gerakan nonrelativistik, gaya yang

bekerja pada partikel dalam medan gravitasi seragam (uniform) bersifat konstan,

dan persamaan trayektori / lintasan partikel tersebut berbentuk parabola.

Dalam tinjauan teori relativitas khusus, gaya gravitasi yang berkaitan dengan

medan gravitasi seragam tidaklah bersifat konstan, namun merupakan fungsi

kecepatan partikel yang diperoleh dengan menetapkan massa gravitasi sama dengan

massa inersial. Berikut ini akan dicari penyelesaian eksak untuk gerakan pada kasus

tersebut dan juga gerakan dengan gaya konstan.

2.2.1 Gerakan partikel oleh gaya konstan

Pertama kali akan dicari penyelesaian untuk gerakan dibawah pengaruh gaya

konstan. Sebuah partikel dengan massa rehat m ditembakkan dari titik O dengan

kecepatan awal 0V pada bidang X−Y yang membuat sudut θ dengan sumbu X.

Sebuah gaya konstan F

bekerja pada partikel dengan arah sejajar pada sumbu Y

negatif. Didefinisikan

m

Fg

= . (2.22)

Persamaan gerakan partikel tersebut adalah

mgdt

d =p

(2.23)

atau


___________________________________________________________________

39

( ) gβ

mmcdt

d =γ (2.24)

dengan

c

Vβ

= dan 21

1

βγ

−= . (2.25)

Dengan mengintegralkan pers. (2.24) diperoleh

c

tgββ

+= 00γγ (2.26)

dengan

c0

0V

β

= dan 20

01

1

βγ

−= . (2.27)

Pers. (2.26) dapat dituliskan dalam komponen-komponen ke sumbu X dan Y

sebagai

θγβγβ cos00=x (2.28)

dan

σθγβγβ −= sin00y (2.29)

dengan

c

gt=σ . (2.30)

Dengan mengingat bahwa

221

1

yx ββγ

−−= , (2.31)

penyelesaian untuk yx ββ , dan γ dapat dinyatakan sebagai fungsi σ yang nilainya

adalah

2

0020

00

)sin2(

cos

σσθγβγθγββ

+−=x (2.32)

2

0020

00

)sin2(

sin

σσθγβγσθγββ

+−

−=y (2.33)

dan


___________________________________________________________________

40

200

20 )sin2( σσθγβγγ +−= . (2.34)

Dengan mengintegralkan pers. (2.32) dan (2.33) diperoleh

)sin1(

sin)sin2(ln

cos

00

002

002000

2

θβγθγβσσσθγβγθγβ

−−++−

=g

cx (2.35)

dan

( )200

200

2

)sin2( σσθγβγγ +−−=g

cy . (2.36)

Dalam limit nonrelativistik,

10 <<β dan 1<<σ (2.37)

sehingga pers. (2.35) dan (2.36) tereduksi ke bentuk

tvg

cx θσθβ coscos 00

2

== (2.38)

dan

20

22

0

2

2

1sin

2sin gttv

g

c

g

cy −=−= θσσθβ . (2.39)

Juga untuk gerakan nonrelativistik berlaku korespondensi

θββ cos0=x = konstan. (2.40)

Untuk 2/πθ = , pers. (2.34), (2.33) dan (2.36) tereduksi menjadi

200

20 2 σσγβγγ +−= (2.41)

2

0020

00

2 σσγβγσγββ

+−

−=y (2.42)

dan

( )200

200

2

2 σσγβγγ +−−=g

cy (2.43)

yang merupakan solusi untuk gerakan relativistik satu dimensi.

Posisi tinggi maksimum partikel pada sumbu y positif my dapat diperoleh

dengan mengisikan

0=yβ (2.44)

ke dalam pers. (2.33) sehingga


___________________________________________________________________

41

θγβσ sin00= . (2.45)

Substitusi hasil ini ke pers. (2.36) dihasilkan

( )θβγ 2200

2

max sin11 −−=g

cy . (2.46)

Untuk 2/πθ = , berarti

)1( 0

2

max −= γg

cy (2.47)

yang dalam limit non−relativistik akan tereduksi menjadi

g

vy

2

20

max = . (2.48)

Hasil di atas sama dengan hasil tinggi maksimum partikel yang ditembakkan tegak

lurus ke atas dengan kecepatan awal 0v dalam medan gravitasi g.

Sementara itu jarak maksimum pada arah x positif, dalam hal ini y = 0

sehingga dari pers. (2.36) diperoleh

θγβσ sin2 00= . (2.49)

Substitusi ke dalam pers. (2.35) diperoleh

θβθβθγβ

sin1

sin1ln

cos

0

0002

max −+=

g

cx . (2.50)

Dari persamaan di atas, tampak bahwa maxx merupakan fungsi 0β dan θ . Nilai

maksimum maxx untuk 0β tertentu dapat dicari dengan menurunkan persamaan di

atas ke θ kemudian hasilnya diisikan sama dengan nol. Hasilnya nilai maxθ yang

menyebabkan maxx diberikan oleh persamaan berikut

max

220

max2

0

max0

max0max

sin1

)sin1(2

sin1

sin1lnsin

θβθβ

θβθβθ

−−=

−+

. (2.51)

Ternyata nilai maxθ yang menyebabkan maxx masih merupakan fungsi kecepatan

zarah 0β . Limit non−relativistik untuk maxy dan maxx adalah

g

vy

2

sin220

maxθ= (2.52)

dan


___________________________________________________________________

42

g

vx

θ2sin20

max = . (2.53)

2.2.2 Gerakan Partikel dalam Medan Gravitasi Seragam

Persamaan keadaan untuk keadaan ini adalah

( ) gβ

mmcdt

d γγ = . (2.54)

Dengan memilih

jg ˆ−=g

(2.55)

maka komponen-komponen pers. (2.54) adalah

( ) 0=xmcdt

d βγ (2.56)

dan

( ) mgmcdt

dy γβγ −= . (2.57)

Integrasi pers. (2.56) menghasilkan

θγβγβ cos00=x . (2.58)

Dengan mengingat bahwa

221

1

yx ββγ

−−= , (2.59)

diperoleh

−+

−+−=

−−= ∫ 22

00

22

22ln

0αγγ

αγγ

αγγσ

γ

γ

d (2.60)

dengan

)sin1( 220

20

2 θβγα −= . (2.61)

Kemudian dari pers. (2.60) :

−++= )sin1(sin1

2 000 θβθβγγ σσ e

e. (2.62)

Dari pers. (2.58) :


___________________________________________________________________

43

[ ])sin1()sin1(

cos2

00

0

θβθβθββ σσ −++

= − eex . (2.63)

Akhirnya dari pers. (2.59) diperoleh

)sin1()sin1(

)sin1()sin1(

00

00

θβθβθβθββ σσ

σσ

−++−−+= −

−

ee

eey . (2.64)

Gerakan partikel dapat ditelusuri dengan mengintegralkan pers. (2.63) dan

(2.64) yang hasilnya adalah

+−−

+−

−= −−

θβθβ

θβθβ

θβθβ σ

sin1

sin1tan

sin1

sin1tan

sin1

cos2

0

01

0

01

220

02

eg

cx , (2.65)

dan

−++−=

−

2

)sin1()sin1(ln 00

2 θβθβ σσ ee

g

cy . (2.66)

Seperti halnya pada telaah di atas, untuk 0β dan σ kecil, pers. (2.63)−(2.66)

tereduksi ke bentuk limit non−relativistik berikut :

θcos0vvx = (2.67)

gtvvy −= θsin0 (2.68)

tvx θcos0= (2.69)

dan

221

0 sin gttvy −= θ . (2.70)

Untuk 2/πθ = , diperoleh solusi untuk persolan gerak jatuh bebas secara

relativistik sebagai

[ ])1()1(2 000 ββγγ σσ −++= − ee (2.71)

)1()1(

)1()1(

00

00

βββββ σσ

σσ

−++−−+= −

−

ee

eey (2.72)

x = 0 (2.73)

dan


___________________________________________________________________

44

−++−=

−

2

)1()1(ln 00

2 ββ σσ ee

g

cy . (2.74)

Dalam limit non−relativistik, pers. (2.72) dan (2.74) tereduksi ke

gtvvy −= 0 (2.75)

dan

221

0 gttvy −= . (2.76)

Tinggi maksimum maxy dapat diperoleh dengan mengisikan

0=yβ (2.77)

ke dalam pers. (2.72) dan untuk σ diperoleh

−+=

θβθβσ

sin1

sin1ln

0

021 . (2.78)

Substitusi nilai ini ke pers. (2.74), dihasilkan tinggi maksimum

)sin1ln(2

220

2

max θβ−−=g

cy (2.79)

Untuk 2/πθ = , persamaan di atas menjadi

)ln( 0

2

max γg

cy = (2.80)

yang dalam limit non−relativistik tereduksi menjadi

g

vy

2

20

max = . (2.81)

Jangkauan partikel maksimum pada arah sumbu x atau maxx dapat diperoleh

dengan mengisikan

0=y (2.82)

ke dalam pers. (2.66) dan untuk nilai σ yang bersangkutan diperoleh

−+=

θβθβσ

sin1

sin1ln

0

0 . (2.83)

Substitusi hasil ini ke pers. (2.65) dihasilkan jangkauan maksimum


___________________________________________________________________

45

+−−

−+

−= −−

θβθβ

θβθβ

θβθβ

sin1

sin1tan

sin1

sin1tan

sin1

cos2

0

01

0

01

220

02

max g

cx (2.84)

Kembali di sini maxx adalah fungsi 0β dan θ . Untuk nilai 0β tertentu, nilai

maxx dapat diperoleh sehingga untuk kondisi tersebut nilai sudut proyeksi maxθ

adalah solusi persamaan berikut :

max22

0max22

00

0

01

0

01max

sin1cos

sin1

sin1tan

sin1

sin1tansin

θβθγβ

θβθβ

θβθβθ

−=

+−−

−+ −−

(2.85)

Adapun limit non−relativistik untuk maxy dan maxx adalah

g

vy

2

sin220

maxθ= (2.86)

dan

g

vx

θ2sin20

max = . (2.87)

Selanjutnya ditinjau gerak sebuah partikel pada dua dimensi (x, y) yang

memiliki momentum awal 0p dalam arah sumbu x yang dikenai gaya konstan f

sepanjang sumbu y. Akan dicari bagaimanakah trayektori partikel tersebut secara

relativistik. Dimulai dari persamaan gerak zarah

Fp

=dt

d (2.88)

untuk mana komponen-komponen gaya F

adalah

0=xF = dt

dpx (2.89)

dan

dt

dpfF y

y == . (2.90)

Penyelesaian dua persamaan terakhir di atas memberikan

0ppx = (2.91)

dan


___________________________________________________________________

46

yptf = (2.92)

Kuadrat momentum dan energinya masing-masing diberikan oleh

2220

222 tfpppp yx +=+= (2.93)

dan

42220

22242222 cmcptcfcmcpE ++=+= . (2.94)

Untuk mengolah kedua hasil di atas lebih lanjut, hubungan antara momentum,

energi dan kecepatan relativistik dapat dituliskan sebagai

222 /)/( cEcmcm vvvp === γγ (2.95)

atau

pv

E

c2

= (2.96)

sehingga jika diambil komponen-komponennya adalah

4222

0222

02

cmcptcf

pc

dt

dxvx

++== (2.97)

dan

4222

0222

2

cmcptcF

tFc

dt

dyvy

++== . (2.98)

Pada pers. (2.97) dilakukan substitusi

ucmcpfct sinh42220 += (2.99)

sehingga

ucmcpucmcpcmcptcf 242220

242220

42220

222 cosh)()sinh1)(( +=++=++ (2.100)

dan

duucf

cmcpdt cosh

42220 +

= . (2.101)

Jadi

duucf

cmcp

cmcpu

pcdx cosh

cosh

42220

42220

02 +

+= = du

f

cp0 (2.102)

yang dengan mengintegralkan persamaan terakhir di atas diperoleh


___________________________________________________________________

47

Cuf

cpx += 0 . (2.103)

Untuk syarat batas,

0)0( ==tx (2.104)

serta mengingat bahwa untuk t = 0 maka u = 0 sehingga diperoleh C = 0 :

xcp

fu

0

= (2.105)

yang memberikan hubungan antara t dan x secara

+=

0

42220 sinh

cp

xf

cf

cmcpt . (2.106)

Selanjutnya dengan mengingat

+====

00

42220

0

sinh/

/

cp

xf

cp

cmcpt

p

f

v

v

dtdx

dtdy

dx

dy

x

y (2.107)

sehingga

Ccp

xf

f

cmcpxy +

+=

0

42220 cosh)( . (2.108)

Untuk syarat batas

0)0( ==xy (2.109)

maka

f

cmcpC

42220 +

−= (2.110)

sehingga

−

+= 1cosh)(

0

42220

cp

xf

f

cmcpxy (2.111)

Jadi persamaan trayektori partikel tersebut berbentuk kurva cosinus hiperbolik yang

melalui titik (0, 0).

Adapun jika ingin dicari kaitan y sebagai fungsi t, dapat digunakan identitas

dalam trigonometri hiperbolik :

uu 2sinh1cosh += (2.112)


___________________________________________________________________

48

sehingga dengan menggunakan pers. (2.112), bentuk pers. (2.111) dapat ditulis

menjadi

−

++

+= 11)(

2

42220

42220

cmcp

tcf

f

cmcpty

=

−

++++

14222

0

22242220

42220

cmcp

tfccmcp

f

cmcp

= ( )42220

22242220

1cmcptfccmcp

f+−++ . (2.113)

Sedangkan inversi pers. (2.106) adalah

+= −

42220

10 sinhcmcp

tcf

f

cpx (2.114)

Untuk kondisi tak relativistik, pada hubungan t sebagai fungsi x, nilai

10

<<cp

xf (2.115)

sehingga dengan menggunakan deret Maclaurin untuk u << 1 :

( ) uuu

uu

uee

uuu

=≈

−+−−

+++=−=

−2

2

1...

21...

21

2

1

2

)(sinh

22

(2.116)

serta mengingat

2220

22 mccpcm ≈+ (2.117)

maka

00

2

p

xm

cp

xf

cf

mct =≈ (2.118)

atau

tvtm

ptx 0

0)( == (2.119)

dengan 0v adalah kecepatan awal partikel pada arah sumbu x. Gerak yang diberikan

oleh persamaan di atas melukiskan gerak lurus beraturan (GLB) yang tak memiliki

percepatan.


___________________________________________________________________

49

Sementara itu hubungan tak relativistik antara y dan t diperoleh dengan

menuliskan pers. (2.113) untuk

42220 cmcp << dan 42222 cmtfc << (2.120)

dalam bentuk

=)(ty [ ] [ ]

+−++

2/142220

22/142222220

2 /1/)(11

cmcpmccmtfccpmcf

[ ] [ ]( )42220

242222220

2 2/12/)(11

cmcpmccmtfccpmcf

+−++≈

= 2

2t

m

f = 2

21 at (2.121)

dengan a adalah percepatan ke arah sumbu y yang besarnya sama dengan gaya ke

arah sumbu y dibagi massa partikel. Gerak yang diberikan oleh persamaan di atas

melukiskan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) dengan percepatan a searah

sumbu y.

Dari dua persamaan di atas, hubungan non-relativistik antara y dan x dapat

dituliskan sebagai

220

220 22

xv

ax

p

fmy == . (2.122)

Hubungan di atas dapat pula dicari dari rumus (2.111) yang untuk gerak non-

relativistik berlaku

10

<<cp

xf (2.123)

sehingga dengan mengingat untuk u << 1 :

++−+

+++=+=−

...2

1...2

12

1

2cosh

22 uu

uu

eeu

uu

2211 u+≈ (2.124)


220

2

0

2

12

11)( x

p

fm

cp

xf

f

mcxy =

−

+≈ (2.125)

Gerak yang diberikan pada persamaan di atas melukiskan gerak parabola.


___________________________________________________________________

50

Berikutnya ditinjau sebuah partikel yang bergerak dipercepat dari keadaan

rehat dengan percepatan tetap 0a dalam kerangka rehatnya ke kecepatan mv di K.

Untuk lintasan partikel yang lurus, akan dicari waktu yang diperlukan oleh partikel

tersebut untuk mencapai kecepatan mv , baik yang diukur di kerangka K, maupun di

kerangka rehat partikel tersebut 0K .

Kaedah transformasi percepatan 'a

di kerangka K’ dengan percepatan a

di

kerangka K dirumuskan sebagai (Muslim, 1985)

( )( )

322

21

)/1(

/)(1'

c

c

vV

vaVnanaa

⋅−Γ××−⋅−Γ+=

− (2.126)

dengan V

= n

V = kecepatan kerangka K’ terhadap K, v

= kecepatan partikel di

kerangka K dan 2/122 )/1( −−=Γ cV

Jika dipilih K’ = 0K = kerangka rehat partikel maka

vV

= (2.127)

dan

2/122 )/1( −−==Γ cvγ (2.128)

dan untuk gerakan zarah yang lurus maka anv

//// , sehingga

( )

2/322322

1

0)/1()/1(

1'

cvc −=

⋅−−+==

− a

vv

aaaa

γγ

(2.129)

Selain itu mengingat

2/12222

0 )/1(

1

)/1(

1

' cvcvdt

dt

dt

dt

−=

−==

γ. (2.130)

Jadi :

∫∫∫===

===)(

0

)(

00

1tv

v

tv

v

t

t

dva

dvdv

dtdtt

= 22

0

)(

02/322

0 /1)/1(

1

cva

v

cv

dv

a

tv

v −=

−∫=

(2.131)

sehingga waktu yang diperlukan partikel untuk mencapai kecepatan mv di kerangka

K adalah


___________________________________________________________________

51

22

0 /1 cva

vt

m

mm

−= . (2.132)

Sementara itu

∫∫∫=== −

=−==)(

022

00

22

000

/1

1/1

0

0

tv

v

t

t

t

t cv

dv

adtcvtt

= vc

vc

a

cdv

cvcva

ctv

v−+=

++

−∫=

ln2/1

1

/1

1

2 0

)(

00

. (2.133)

Jadi waktu yang diperlukan untuk mencapai kecepatan partikel mv menurut

kerangka 0K adalah

m

mm vc

vc

a

ct

−+= ln

2 00 . (2.134)

2.3 Efek Compton

Dalam percobaannya pada tahun 1927, Compton telah menemukan bahwa

sinar X (sebagai salah satu bentuk gelombang elektromagnetik) yang dihamburkan

oleh suatu bahan akan menyebabkan frekuensinya, sekaligus juga panjang

gelombangnya berubah. Jika mula-mula sebuah foton awal dengan panjang

gelombang λ maka foton tersebut akan dihamburkan oleh bahan yang dikenai foton

tersebut dengan panjang gelombang λ’ dan membentuk sudut θ terhadap arah

datang foton. Bagaimanakah hubungan antara tiga besaran tersebut dan juga massa

elektron sebagai partikel yang menghamburkan foton tersebut ? Berikut akan

diturunkan perumusan efek Compton. Lihat gambar 2.2 di bawah ini.

λ 'λ θ e φ

e

Gambar. 2.2 Hamburan Compton


___________________________________________________________________

52

Mula-mula foton awal dengan frekuensi ν atau panjang gelombang λ. Energi

dan momentum awal foton berturut-turut sama dengan hν dan hν/c. Setelah

dihamburkan, frekuensinya menjadi ν’ atau panjang gelombangnya λ’ . Energi dan

momentum akhir foton tersebut berturut-turut adalah hν’ dan hν’/c. Adapun untuk

elektron bermassa m, mula-mula dalam keadaan rehat sehingga energi dan

momentum awalnya berturut-turut adalah mc2 dan 0. Setelah ditumbuk foton,

elektron tersebut memiliki momentum akhir p dan energi 422 cmp + .

Pada peristiwa ini digunakan hukum kekekalan momentum yang menyatakan

bahwa momentum awal sama dengan momentum akhir, jika dituliskan dalam

komponen-komponennya menjadi :

Komponen x : φθννcoscos

'p

c

h

c

h += (2.135)

Komponen y : φθνsinsin

'0 p

c

h −= (2.136)

Sedangkan hukum kekekalan energi menyatakan bahwa energi awal sama dengan

energi akhir, maka

Khh += 'νν (2.137)

dengan K adalah tenaga kinetik elektron setelah ditumbuk foton.

Pers. (2.135) dan (2.136) dapat dituliskan menjadi

θννφ cos'cos hhpc −= (2.138)

dan

θνφ sin'sin hpc = (2.139)

Dengan menguadratkan dua persamaan di atas, kemudian menjumlahkannya,

diperoleh

θνννν cos'2)'()()( 2222 hhhpc −+= (2.140)

Adapun elektron yang terpental berlaku

KmcE += 2 (2.141)

dan

2222 )()( mcpcE += (2.142)

sehingga


___________________________________________________________________

53

222 2)( KmcKpc += . (2.143)

Dari pers. (2.137) :

'νν hhK −= (2.144)

sehingga dengan mengisikan (2.144) ke (2.143) diperoleh

22222 )'(2'2)'()()( mchhhhhpc νννννν −+−+= (2.145)

Dengan membandingkan (2.140) dan (2.145) dihasilkan bentuk

222 )'(2'2cos'2 mchhhh ννννθνν −+−=− (2.146)

yang jika masing-masing ruas dibagi dengan mch '2 νν yang kemudian dilakukan

pengaturan ruas, akhirnya diperoleh

)cos1(' θλλ −+=mc

h. (2.147)

Rumus di atas diturunkan dengan menggunakan dua asas yaitu asas kekekalan

momentum dan kekekalan energi. Padahal keduanya dapat disatukan dalam vektor

momentum−4. Karena itu perumusan efek Compton dapat pula diturunkan dengan

menggunakan notasi kovarian vektor momentum−4.

Ditinjau sebuah foton γ dengan frekuensi awal ν atau frekeuensi sudut ω.

Energi foton γ tersebut adalah E = νh sedang vektor momentum−3 foton adalah

kpℏ

= dengan c/ωk

= adalah vektor bilangan gelombang dan ω

adalah vektor

frekuensi sudut. Momentum−4 kovarian foton awal tersebut adalah

),/(),/( kpℏ

chcEP νγγ

γµ == . (2.148)

Dengan menggunakan komponen tensor metrik (+1, −1, −1, −1) maka bentuk

momentum−4 kontravarian foton awal tersebut adalah

),/( kℏ−= chP νγµ . (2.149)

Sedangkan momentum−4 kovarian dan kontravarian foton akhir γ’ tersebut

berturut-turut adalah

)',/'(),/( ''' kp

ℏ

chcEP νγγ

γµ == . (2.150)

dan

)',/'(' kℏ−= chP νγµ . (2.151)


___________________________________________________________________

54

Untuk elektron awal e yang berada dalam keadaan rehat, momentum−4 awal

kovarian dan kontravarian berturut-turut adalah

ePµ = ),(),/( 0p

mccE ee = (2.152)

dan

),( 0

mcP e =µ . (2.153)

Sedangkan momentum−4 elektron akhir 'e kovarian dan kontravarian berturut-turut

adalah

'ePµ = ),(),/( 222'' ppp

cmcE ee += (2.154)

dan

),( 222' pp −+= cmP eµ . (2.155)

Hukum kekekalan momentum−4 kovarian dan kontravarian untuk peristiwa

hamburan ini dapat dituliskan sebagai

'' ee PPPP µγµµ

γµ +=+ (2.156)

dan

'' ee PPPP µγµµγµ +=+ (2.157)

Dua persamaan di atas dapat ditulis menjadi

'' ee PPPP µγµµ

γµ =−+ (2.158)

dan

'' ee PPPP µγµµγµ =−+ (2.159)

Dengan mengalikan masing-masing ruas persamaan di atas dengan diperoleh

'''''''

'

eeee

eeee

PPPPPPPPPP

PPPPPPPPPP

µµ

γµγµ

µγµ

γµγµ

γµµ

µµ

γµµ

γµγµ

µγµ

γµγµ

=+−−−

++−+ (2.160)

Mengingat

0)2(

)()/(2

22

2

222 =−=−=

λπ

λνγµγ

µℏ

ℏh

chPP k , (2.161)

ePP µγµ =

λν hmc

mcc

h =+ 0 (2.162)


___________________________________________________________________

55

( )θλλπ

θννννγµγµ cos1

')2(

cos'''

' 2

2222' −=

−=⋅−= hkk

ch

c

h

c

hPP kk

ℏ (2.163)

λ

νγµµ

hmc

c

hmcPP e =+= 0 (2.164)

220))(( cmmcmcPP ee =+=µµ , (2.165)

'

0''

λνγµ

µhmc

c

hmcPP e =+= (2.166)

( )θλλπ

θννννγµγµ cos1

')2(

cos'''

' 2

2222' −=

−=⋅−= hkk

ch

c

h

c

hPP kk

ℏ (2.167)

ePP µγµ

' = '

0'

λν hmc

mcc

h =+ (2.168)

0'

)2(

')'()/'(

2

22

2

222'' =−=−=

λπ

λνγµγ

µℏ

ℏh

chPP k , (2.169)

222222'' )( cmcmPP ee =−+= ppµ

µ , (2.170)

maka

0 + λ

hmc− ( )θλλ

cos1'

2

−h +

λhmc

+ 22cm − 'λ

hmc− ( )θλλ

cos1'

2

−h −

'λhmc

+ 0 =

22cm

atau

)cos1('

2

'

112

2

θλλλλ

−=

− hhmc . (2.171)

Dengan mengalikan masing-masing ruas di atas dengan hmc2

'λλ, diperoleh

perumusan efek Compton

)cos1(' θλλ −=−mc

h. (2.172)

Selanjutnya akan dihitung berapakah tenaga kinetik elektron yang terpental

oleh tumbukan foton tersebut. Sebelum tumbukan energi foton dan elektron

berturut-turut adalah

λγhc

E = (2.173)


___________________________________________________________________

56

dan

2mcEe = . (2.174)

Setelah terjadi tumbukan, energi foton adalah

'γE = )cos1)(/(' θλλ −+

=mch

hchc (2.175)

Menggunakan asas kekekalan energi, energi elektron setelah tumbukan adalah

'' γγ EEEE ee −+= = )cos1(0

2

θλλλ −+−+ hc

mchc

. (2.176)

Dari nilai energi tersebut, tenaga kinetik elektron yang terpental tersebut adalah

energi elektron dikurangi energi rehatnya yang bernilai

−+−=

)cos1)(/(1

11

0' θλλλ

hcTe

)cos1(

)cos1(

0

0

θλλθλ

λ −+−= hc

. (2.177)

Hubungan antara sudut pentalan foton )(θ dengan sudut pentalan elektron

)(φ dan panjang gelombang foton datang (λ) dapat ditelusuri dengan dengan

menggunakan hukum kekekalan momentum. Untuk komponen ke arah y,

φθλ

sinsin' 'ep

h = . (2.178)

Momentum elektron setelah tumbukan dirumuskan sebagai

422

0

2422'' )cos1(

11cm

hchcmc

ccmE

cp ee −

−+−+=−=

θλλλ

= 42

2

0

02

)cos1(

)cos1(1cm

hcmc

c−

−+−+

θλλθλ

λ

= [ ]20

00222

20

)cos1(

)cos1()cos1(22)cos1(1

θλλθλθλλλ

λθλ

−+−+−+− hcmcmchc

c (2.179)

sehingga dengan mengisikan hasil di atas ke pers. (2.178) diperoleh

( )( ))cos1)(2(2)cos1(

sinsin

20

220 θλλλθλ

θφ−++−

=hcmcmchc

hc (2.180)

Mengingat identitas trigonometri berikut :


___________________________________________________________________

57

2

cos2

sin2sinθθθ = dan

2sin2cos1 2 θθ =− (2.181)

maka akhirnya diperoleh

( )( ))2/(sin)(/

)2/cos(sin

20

20 θλλλλ

θφmchmch ++

= . (2.182)


___________________________________________________________________

58

Soal-Soal Latihan BAB II

1. Pada kasus paradoks kembar, John tinggal di bumi selama 30 tahun

sedangkan Mary menempuh perjalanan menuju sebuah bintang yang berjarak

20 tahun cahaya dengan kecepatan 0,75 c pulang pergi.

(a) Berapakah selisih umur keduanya ketika Mary pulang ke bumi?

(b) Berapakah jarak yang ditempuh menurut Mary?

2. Sebuah partike yang memiliki momentum awal 0p dalam arah sumbu Y

dikenai gaya konstan F sepanjang arah sumbu X. Tentukan trayektori partikel

secara relativistik. Bandingkan hasilnya dengan yang diperoleh secara klasik

(mekanika Newton).

3. Sebuah partikel bermassa m bergerak sepanjang sumbu X di bawah pengaruh

gaya 22 )/(2 xaamcF −= . Pada saat t = 0, partikel tersebut rehat di titik O.

Tunjukkan bahwa waktu yang diperlukan partikel ini untuk bergerak dari O

ke titik x (< a) diberikan oleh

c

ax

a

xt

3

3+= .

4. Sebuah partikel bermassa m bergerak dengan kecepatan v sepanjang suatu

garis lurus di bawah pengaruh gaya gesekan sebesar −mv/k yang menentang

gerakannya. K adalah tetapan gaya yang dimensi waktu. Tunjukkan bahwa

selang waktu yang diperlukan gaya untuk mengubah kelajuan zarah dari 4c/5

menjadi 3c/5 adalah ]12/5)2/3[ln( +k .

5. Sebuah partikel dengan massa m bergerak sepanjang sumbu X di bawah

pengaruh gaya tarikan ke titik asal O sebesar 20

2 / xxmcF = . Mula-mula


___________________________________________________________________

59

partikel tersebut rehat di 0xx = . Tunjukkan bahwa gerakan partikel berupa

getaran selaras sederhana dengan periode cxT /2 0π= .

6. Tunjukkan bahwa kelajuan relatif v dua benda yang masing-masing memiliki

vektor kecepatan 1v

dan 2v

terhadap kerangka K, bernilai

2221

2221

2212

)/1(

/)()(

cvv

cvvvvv

.−×−−= .

Tunjukkan bahwa jika cv =2 maka v juga sama dengan c.

7. Tunjukkan bahwa sebuah benda yang bergerak lurus di bawah pengaruh gaya

konstan dan gaya gesekan 2kvFg −= yang sebanding dengan pangkat dua

kecepatan, mempunyai kecepatan pada saat t sebesar

)/exp()()/exp()(

)/exp()()/exp()()(

00

00mtkvvvmtkvvv

mtkvvvmtkvvvvtv

LLLL

LLLLL −−−+

−−++= dengan 0v dan Lv

berturut-turut adalah kecepatan awal dan kecepatan tertinggi benda.

8. Sebuah pesawat ruang angkasa bermassa m dan motor roketnya dimatikan,

meluncur dengan kecepatan tinggi v melintasi daerah antar bintang dan

menyebabkan gesekan yang menurut pengukuran awak pesawat dengan gaya

gesekan sebesar 2mvα− . Gunakan kaitan dpvdxF = serta mvp γ= untuk

menunjukkan bahwa jarak yang ditempuh pesawat sewaktu kecepatannya

berubah dari 1v ke 2v adalah

−+

−−

−+

−=2

2

21

1

1 1

1ln

2

11

1

1ln

2

111

γγ

γγγ

γαx

dengan

2/12211 )/1( −−= cvγ

dan

2/12222 )/1( −−= cvγ .

Tentukan pula nilai x jika 02 =v .


___________________________________________________________________

60

9. Pada hamburan Compton, tentukan hubungan antara sudut hamburan dengan

panjang gelombang foton sebelum tumbukan, dimana energi foton setelah

hamburan menjadi berkurang setengahnya.

Analisis Tensor dan Teori Relativitas Umum _________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

61

BAB III

ANALISIS TENSOR DAN

TEORI RELATIVITAS UMUM

Untuk setiap sistem fisis, setiap hukum yang menghubungkan besaran fisis

tidak akan bergantung kepada pemilihan sistem koordinat. Hal ini berarti,

persamaan gerak sistem (baik zarah maupun medan) akan memiliki bentuk yang

tetap (tidak berubah) di dalam semua sistem koordinat. Persamaan yang tidak

berubah bentuknya terhadap transformasi koordinat dikatakan memiliki sifat

kovarian terhadap transformasi tersebut. Sifat inilah yang menyebabkan tensor

banyak digunakan untuk menelaah suatu sistem fisis.

Tensor adalah besaran yang merupakan perluasan dari vektor, seperti halnya

vektor merupakan perluasan dari besaran skalar. Tensor memiliki komponen-

komponen seperti halnya vektor. Besaran vektor sangat penting di dalam fisikan

karena ia menyatakan objek dengan kaedah-kaedah yang tetap sama meskipun

kerangka acuan yang dipilih berubah-ubah. Perubahan kerangka acuan memang

menyebabkan nilai komponen tensor berubah pula, namun kaedah-kaedah yang

berlaku bagi komponen tensor tetap tidak berubah.

Teori Relativitas Umum adalah salah satu teori fisika modern yang cukup

besar peranannya dalam menerangkan struktur ruang-waktu dan jagad raya. Teori

ini adalah teori yang indah, memiliki daya pikat ramalan terhadap gejala alam

yang cukup menarik, namun memiliki persyaratan matematik berupa analisis

tensor. Karena itulah dalam hand out ini akan disajikan analisis tensor sebagai

jembatan untuk memahami teori relativitas umum.

3.1 Analisis Ruang Riemann

Pada pasal ini akan diuraikan landasan formalisme matematik hukum

gravitasi Einstein. Dimulai dari penjelasan tentang skalar, vektor, dan tensor,

dilanjutkan dengan analisis ruang Riemann, hingga pada penurunan rumus-rumus

tensor.


__________________________________________________________________

62

3.1.1 Skalar, Vektor dan Tensor

Ditinjau sebuah ruang berdimensi N dengan sistem koordinat

),...,,( 21 NxxxK = (3.1)

Sistem koordinat dalam ruang tersebut dapat ditransformasi menjadi

),...,,( 21 NxxxK = (3.2)

Akan ditinjau tiga perangkat besaran yang memiliki sifat tertentu pada perubahan

sistem koordinat tersebut, yaitu skalar, vektor dan tensor.

Misalkan ada sebuah perangkat besaran fisis yang memiliki nilai V di K dan

nilai V di K . Jika

VV = (3.3)

yaitu V bersifat invarian, maka besaran tersebut dinamakan skalar. Contoh besaran

skalar adalah laju cahaya di ruang-waktu datar vakum dan muatan listrik.

Misalkan terdapat seperangkat N besaran µA ( µ = 1, 2, …, N ) yang

nilainya ditentukan oleh N bilangan. Di K, besaran tersebut memiliki komponen

),...,,( 21 NAAA (3.4)

sedangkan di K dinyatakan sebagai

),...,,( 21 NAAA . (3.5)

Jika terdapat hubungan

∑∑==

∂=∂∂=

NN

AxAx

xA

11 µ

µνµ

µ

µµ

νν (3.6)

maka perangkat ),...,,( 21 NAAAA =µ adalah vektor kontravarian di K. Lambang

µ∂ menyatakan µx∂∂ / .

Analog dengan di atas, jika di K perangkat µA memiliki komponen

),...,,( 21 NAAA , (3.7)

sedangkan di K komponennya berbentuk

),...,,( 21 NAAA (3.8)

serta berlaku hubungan


__________________________________________________________________

63

∑∑==

∂=∂∂=

NN

AxAx

xA

11 µµ

µν

µµν

µ

ν (3.9)

maka µA disebut komponen kovarian di K. Lambang µ∂ menyatakan µx∂∂ / .

Dari pengertian di atas, vektor adalah besaran yang lambang komponennya

memiliki satu indeks. Jika indeksnya terletak di atas (bawah) dinamakan vektor

kontravarian (kovarian).

Tensor merupakan perluasan vektor. Indeks tensor lebih besar dari satu.

Banyaknya indeks disebut rank r dengan jumlah komponen rN . Tensor µνB ,

αβγC berturut-turut dinamkana tensor rank−2 kontravarian dan tensor rank−3

kovarian. Karena jumlah rank tensor lebih dari satu maka dimungkinkan terdapat

indeks yang terletak di atas dan di bawah. Tensor seperti ini dinamakan tensor

campuran (mixed tensor) Sebagai contoh µαβD dinamakan tensor rank−3

campuran. Selain itu dapat pula dikatakan bahwa vektor dan skalar tak lain

merupakan tensor rank−1 dan rank−0.

Persamaan transformasi untuk tensor kontravarian serupa dengan bentuk

produk (3.2) yaitu

αβ

βαβ

ν

α

µµν B

x

x

x

xB

N

∑= ∂

∂∂∂=

1,

. (3.10)

Demikian pula kaedah transformasi persamaan tensor kontravarian mengikuti

produk pers. (3.10) yaitu

αββα

ν

β

µ

α

µν Bx

x

x

xB

N

∑= ∂

∂∂∂=

1,

. (3.11)

Sedangkan untuk tensor campuran berlaku kaedah

αβ

βαν

β

α

µµ

ν Bx

x

x

xB

N

∑= ∂

∂∂∂=

1,

. (3.12)

Pers. (3.10), (3.11) dan (3.12) dapat dikembangkan untuk tensor dengan peringkat

yang lebih tinggi.

Selanjutnya untuk mempersingkat penulisan akan digunakan kesepakatan

penjumlahan Einstein meliputi indeks berulang yang menyatakan bahwa jika di


__________________________________________________________________

64

dalam sebuah bentuk terdapat sepasang indeks yang sama dengan salah satu

terletak di atas dan yang lainnya di bawah, maka penjumlahan harus dilakukan

terhadap bentuk tersebut meliputi jangkauan indeks berulang tersebut. Jadi dari

pers. (3.1) sampai dengan (3.12), tanda Σ tidak perlu dituliskan. Namun jika

bentuk yang memuat indeks berulang tersebut tidak ingin dijumlahkan, hal

tersebut harus ditegaskan secara eksplisit.

3.2 Operasi pada Tensor

Operasi yang berlaku pada tensor adalah :

1. Kombinasi linear

Berlaku jika tensor-tensor tersebut memiliki jenis yang sama seperti

µαβ

µαβ

µαβ cCbBaA =+ . (3.13)

Adapun bentuk µνα

µαβ bBaA + tidak didefinisikan.

2. Perkalian luar

Terhadap dua tensor atau lebih yang memiliki indeks yang berbeda, dapat

dilakukan perkalian luar seperti

βαµνµν

βα CBA = . (3.14)

3. Kontraksi

Proses menyamakan sepasang atau lebih pasangan indeks kovarian dan

kontravarian, seperti

µνββµν

βαβαµν CCC = → ),(kontraksi (3.15)

disebut kontraksi meliputi indeks ),( βα . Proses kontraksi menurunkan rank

tensor sebanyak 2.

4. Perkalian dalam

Proses ini dilakukan terhadap tensor sehingga faktor-faktornya memiliki

sepasang indeks sekutu atau lebih seperti

βµγ

αγ

βµα CBA = . (3.16)

5. Hukum pembagian


__________________________________________________________________

65

Ditinjau kasus berikut. Misalkan µµ BAC = merupakan suatu skalar untuk

sembarang vektor kontravarian µA , maka µB pasti merupakan suatu vektor

kovarian. Sebaliknya jika C merupakan suatu skalar untuk sembarang vektor

kovarian µB maka µA pasti merupakan suatu vektor kontravarian. Hal ini

dapat diperluas untuk tensor.

3.3 Ruang Datar dan Lengkung

Ditinjau dua buah titik yang berdekatan dalam ruang tiga dimensi yang

dinyatakan dengan koordinat Cartesan. Kedua titik itu masing-masing A (x, y, z)

dan B (x + dx, y + dy, z + dz). Kuadrat jarak antara keduanya adalah

2222 dzdydxds ++= . (3.17)

Jika dilakukan perpindahan ke koordinat silinder melalui transformasi

zzyx === ,sin,cos φρφρ (3.18)

maka jaraknya menjadi

22222 dzddds ++= φρρ . (3.19)

Melalui transformasi inversi

zzx

yyx ==+= ,arctan,22 φρ (3.20)

pers. (3.19) dapat diubah kembali menjadi pers. (3.17).

Ruang tiga dimensi dimana bentuk 2ds dapat dikembalikan ke bentuk

222 dzdydx ++ dinamakan ruang datar atau ruang Euclid. Jika tidak dapat dicari

suatu sistem koordinat ),,( zyx yang memenuhi pers. (3.17) maka ruang tersebut

dinamakan ruang lengkung atau ruang Riemann.

Bentuk 2ds untuk ruang datar satu dan dua dimensi berturut-turut adalah

2dx dan 22 dydx + . Contoh ruang datar untuk dimensi tersebut masing-masing

adalah garis lurus dan bidang datar. Sedangkan contoh ruang lengkung dua

dimensi adalah permukaan bola, ellipsoida, paraboloida, permukaan sadel kuda

dan lain-lain.


__________________________________________________________________

66

Contoh ruang datar empat dimensi (3 dimensi ruang berkoordinat x, y, z dan

satu dimensi waktu berkoordinat t) dengan invarian kuadrat elemen garis adalah

ruang-waktu Minkowski yang memiliki bentuk 2ds adalah

22222 dzdydxdtds +++−= . (3.21)

Adapun contoh ruang−waktu lengkung empat dimensi adalah apa yang dinamakan

dengan ruang bermetrik Schwarzschild untuk mana kuadrat elemen garisnya

berbentuk

)sin(11 222221

22 φθθ ddrdrr

rdt

r

rds SS ++

−+

−−=−

. (3.22)

Beberapa konsekuensi kelengkungan ruang yang membedakan antara ruang

Riemann (ruang lengkung) dengan ruang Euclid (ruang datar) adalah

1. Jumlah sudut dalam segitiga dengan sisi-sisi segitiga merupakan

penghubung terpendek antara titik sudutnya tidak sama dengan 1800.

2. Perbandingan antara keliling dengan diameter lingkaran ≠ π.

3. Garis penghubung terpendek antara dua titik tidak berbentuk garis lurus

melainkan garis lengkung.

4. Dua garis yang sejajar lokal dapat berpotongan.

5. Penggambaran ruang lengkung di dalam ruang datar memerlukan satu

dimensi tambahan. Karena itu jika ingin digambar, misalnya permukaan bola

(3.2 dimensi), diperlukan ruang datar 3 dimensi.

Ilustrasi antara ruang datar dan ruang lengkung dua dimensi terdapat pada

Gambar 3.1.

Gambar 3.1 Ruang datar (kiri) dan ruang lengkung dua dimensi (kanan)


__________________________________________________________________

67

3.4 Tensor Metrik

Ditinjau dua buah titik µx dan µµ dxx + di dalam ruang sembarang

berdimensi N. Kuadrat jarak antara kedua titik tersebut dinyatakan oleh

νµµν dxdxgds =2 (3.23)

dengan νµ, = 1, 2, …, N dan

g = det µνg =

NNN

N

gg

gg

⋯

⋮⋮

⋯

1

111

(3.24)

2ds disebut kuadrat elemen jarak dan µνg adalah tensor metrik kovarian.

Hubungan antara tensor metrik αβg dalam kerangka K dan µνg dalam

kerangka K adalah

µνβ

ν

α

µ

αβ gx

x

x

xg

∂∂

∂∂= (3.25)

Pers. (3.23) dapat diubah bentuknya menjadi

( ) νµνµµννµµν dxdxggggds )()(

212 −++= (3.26)

Dengan mengambil

νµνµµν dxdxgg )( − = 0 (3.27)

maka

νµµν gg = (3.28)

sehingga µνg efektif merupakan suatu tensor simetri.

Jika )(txx µµ = dengan t adalah suatu parameter maka

22 dtdt

dx

dt

dxgds

νµ

µν= (3.29)

sehingga jarak antara kedua titik adalah

∫

=

2

1

2/1t

t

dtdt

dx

dt

dxgs

νµ

µν . (3.30)


__________________________________________________________________

68

Perkalian dalam antara tensor metrik kontravarian µνg dan tensor metrik

kovarian µνg menghasilkan

≠=

==νανα

δνµναµ

,0

,1agg (3.31)

dengan ανδ adalah delta Kronecker. Jadi untuk mendapatkan tensor metrik metrik

kontravarian µνg dapat digunakan rumus

g

gg µνµν kofaktor

= (3.32)

dengan

kofaktor µννµ

µν gg minor)1( +−= . (3.33)

Kaitan antara µA dengan νA di suatu kerangka K tertentu dihubungkan

melalui persamaan

νµνµ AgA = (3.34)

dan

µνµν AgA = . (3.35)

Perumusan di atas dapat diperluas untuk tensor, seperti jika akan ditentukan suatu

besaran skalar B dari tensor kontravarian rank−2 µνB maka berlaku persamaan

µνµν BgB = (3.36)

3.5 Turunan Kovarian

Ditinjau persamaan transformasi untuk vektor berikut

νν

µµ A

x

xA

∂∂= . (3.37)

Dengan menurunkan µA terhadap αx , diperoleh

))(()( να

µν

νµαν

µα AxAxA ∂∂+∂∂=∂ (3.38)

yang bukan merupakan tensor. Karena itu perlu dicari cara untuk membentuk

tensor dengan menggunakan turunan parsial tersebut. Untuk itu didefinisikan

lambang Christoffel sebagai berikut :


__________________________________________________________________

69

1. Lambang Christoffel jenis pertama yang dinyatakan sebagai

( )µνββµννβµβµν ggg ∂+∂+∂=21],[ . (3.39)

2. Lambang Christoffel jenis kedua yang dinyatakan oleh persamaan

].,[ βµνµνα αβα

µν g=

=Γ (3.40)

Kedua lambang Christoffel tersebut bukan merupakan tensor.

Kedua lambang Christoffel tersebut digunakan untuk mendefinisikan

turunan kovarian. Turunan kovarian suatu vektor kontravarian µA didefinisikan

sebagai

αµαν

µν

µν AAA Γ+∂=; (3.41)

Sedangkan turunan kovarian vektor kovarian µA adalah

ααµνµννµ AAA Γ−∂=; (3.42)

Dapat ditunjukkan bahwa µν;A dan νµ ;A merupakan tensor. Generalisasi proses

penurunan kovarian pers. (3.41) dan (3.42) untuk tensor dengan rank yang lebih

tinggi adalah sebagai berikut.

1. Tensor kontravarian rank n

αµµµµνα

µαµµνα

µµµν

µµµν

121212121 ............; ... −Γ++Γ+∂= nnnnn AAAA (3.43)

2. Tensor kovarian rank n

αµµµα

νµµαµα

νµµµµννµµµ 121212121 .........;... ...−

Γ++Γ+∂=nnnnn

AAAA . (3.44)

3. Tensor campuran rank m kontravarian dan rank n kovarian

βµµµννν

µβα

µβµννν

µβα

µµµνννν

µµµνννν

121

21

2

21

121

21

21

21

......

...

......

......

;... ... −Γ++Γ+∂= m

n

mm

n

m

n

m

nAAAA

m

nn

m

nAA µµµ

βνννβ

ανµµµ

νβνβ

αν...

......

...21

121

21

21...

−Γ−−Γ− (3.45)

3.6 Tensor Riemann-Christoffel, Ricci dan Einstein

Dari pers. (3.44)

ηηµνµννµ AAA Γ−∂=; (3.46)

dan dengan menurunkan kovarian sekali lagi diperoleh


__________________________________________________________________

70

( ) βµβ

αννββµανµαναµ ;;;; AAAA Γ−Γ−∂= (3.47)

Jika pers. (3.46) disubstitusikan ke (3.47) dihasilkan

( ) ( ) ( )ηηµβµβ

βανη

ηβνβν

βµαη

ηµνµναναµ AAAAAAA Γ−∂Γ−Γ−∂Γ−Γ−∂∂=; (3.48)

Dengan menukar indeks µ dan α diperoleh

( ) ( ) ( )ηηµβµβ

βναη

ηβαβα

βµνη

ηµνµανανµ AAAAAAA Γ−∂Γ−Γ−∂Γ−Γ−∂∂=; (3.49)

Jika pers. (3.49) dikurangi pers. (3.48) akan dihasilkan

( ) ηβµα

ηβν

βµν

ηβα

ηµαν

ηµναναµανµ AAA ΓΓ−ΓΓ+Γ∂−Γ∂=− ;; (3.50)

Karena ναµανµ ;; AA − adalah tensor kovarian rank−3 dan ηA adalah tensor rank−1

sembarang kovarian maka ungkapan yang terdapat dalam kurung pada persamaan

di atas haruslah merupakan suatu tensor campuran rank−1 kontravarian dan rank−3

kovarian. Hal ini dapat dibuktikan melalui hukum pembagian. Dengan demikian

pers. (3.50) dapat dituliskan menjadi

ναµανµ ;; AA − = ηηµαν AR (3.51)

dengan ηµανR adala tensor Riemann-Christoffel yang dirumuskan sebagai

ηµανR = β

µαηβν

βµν

ηβα

ηµαν

ηµνα ΓΓ−ΓΓ+Γ∂−Γ∂ (3.52)

Pada ruang Euclid selalu dapat dipilih suatu sistem koordinat dengan

µνµν η= sehingga semua nilai lambang Christoffel lenyap. Nilai ηµανR juga

lenyap. Jadi nilai tensor Riemann-Christoffel lenyap di ruang datar.

Tensor kelengkungan βµανR dapat ditentukan dengan perkalian dalam antara

tensor metrik βηg dengan tensor Riemann-Cristoffel ηµανR menurut persamaan

βµανR = βηg ηµανR . (3.53)

Kontraksi ηµανR teradap indeks ),( νη menghasilkan tensor Ricci µαR

µανµαν

ηµαν RRR =→ = β

µανβν

βµν

νβα

νµαν

νµνα ΓΓ−ΓΓ+Γ∂−Γ∂ (3.54)

Skalar kelengkungan R diperoleh melalui perkalian dalam antara µαg

dengan µαR yang dituliskan sebagai


__________________________________________________________________

71

µαµα RgR = (3.55)

Tensor Einstein yang digunakan dalam teori relativitas umum didefinisikan

sebagai

RgRG µνµνµν 21−= (3.56)

Jika tetapan kosmologi Λ diikutsertakan, persamaan tensor Einstein menjadi

µνµνµνµν gRgRG Λ−−=21 (3.57)

3.7 Persamaan Geodesik

Ditinjau dalam ruang dua titik µx dan µµ dxx + . Menurut pers. (3.30), jarak

antara kedua titik tersebut adalah

∫∫ =

=

2

1

2

1

2/1

12

t

t

t

t

dtFdtdt

dx

dt

dxgs

νµ

µν (3.58)

Syarat stasioner bagi jarak kedua titik itu agar 12s bernilai ekstrem akan

dipenuhi jika

02

1

12 == ∫t

t

dtFs δδ . (3.59)

dengan 12sδ adalah variasi dari 12s . Bentuk (3.59) merupakan integral aksi fungsi

Lagrange F dan persamaan lintasan t. Dengan menggunakan persamaan Euler-

Lagrange berikut

0=∂

∂−

∂∂

µµ x

F

x

F

dt

d

ɺ (3.60)

maka

µµ x

F

Fx

F

Fdt

d

∂∂−

∂∂

2

1

2

1

ɺ =

∂∂−

∂∂−

∂∂

dt

dF

x

F

Fx

F

x

F

dt

d

F µµµ ɺɺ 2

1

2

1 = 0 (3.61)

Di sini t dapat diambil sama dengan jarak 12s sepanjang kurva lintasan. Untuk

kasus ini karena s parameter sembarang maka

ds

dx

ds

dxgF

ds

dxx

ds

dF νµ

µν

µµ === ,,0 ɺ (3.62)


__________________________________________________________________

72

sehingga diperoleh

νµνµ xg

x

Fɺ

ɺ2=

∂∂

(3.63)

dan

µαββα

µ x

gxx

x

F

∂∂

=∂∂

ɺɺ . (3.64)

Pers. (3.61) menjadi

0222

2

=∂∂

−∂

∂+=

∂∂−

∂∂

ds

dx

ds

dx

x

g

ds

dx

ds

dx

x

g

ds

xdg

x

F

x

F

ds

d βα

µαβ

νη

ηµν

ν

µνµµɺ (3.65)

Dengan menggunakan lambang Christoffel jenis pertama serta mengalikannya

dengan µηg , persamaan di atas pada akirnya dapat dituliskan menjadi

02

2

=Γ+ds

dx

ds

dx

ds

xd βαηαβ

η. (3.66)

Persamaan di atas dikenal sebagai persamaan geodesik. Persamaan ini digunakan

untuk menelaah gerakan jatuh bebas partikel dalam ruang bermetrik tertentu.

Lintasan partikel dalam ruang lengkung dari titik A ke B diilustrasikan pada

Gambar 3.2.

Gambar 3.2 Lintasan lengkung dalam ruang lengkung

3.8 Teori Relativitas Umum

Sebelum teori Relativitas Umum (TRU) diperkenalkan oleh Einstein pada

tahun 1915, orang mengenal sedikitnya tiga hukum gerak yaitu mekanika Newton,

relativitas khusus dan gravitasi newton. Mekanika Newton sangat berhasil di

dalam menerangkan sifat gerak benda berkelajuan rendah. Namun mekanikan ini

gagal untuk benda yang kelanjuannya mendekati laju cahaya. Di samping itu,


__________________________________________________________________

73

transformasi Galilei gagal apabila diterapkan pada hukum-hukum seperti

persamaan Maxwell yang sifatnya menjadi tidak kovarian di dalam kerangka

inersial.

Kekurangan ini ditutupi oleh Einstein dengan mengemukakan Teori

Relativitas Khusus (TRK). Teori ini dibangun di atas dua asas, yaitu :

1. Semua hukum fisika memiliki bentuk yang tetap (kovarian) di dalam

sebarang kerangka inersial.

2. Kelajuan cahaya di dalam ruang hampa bernilai tetap (invarian) dan tidak

bergantung pada gerak sumber maupun pengamat.

Asas kedua di atas merupakan tulang punggung TRK Einstein. Tanpa adanya

pernyataan kedua tersebut, tidak ada TRK Einstein, yang ada hanyalah teori

relativitas klasik (Newton-Galilei).

Teori Relativitas Khusus Einstein berhasil menerangkan fenomena benda

saat melaju mendekati laju cahaya. Di samping itu TRK berhasil merumuskan

kekovarianan persamaan Maxwell di sebarang kerangka inersial dengan

menggunakan transformasi Lorentz sebagai pengganti transformasi Galilei. Teori

ini juga lebih lengkap daripada mekanika Newton, karena untuk gerak dengan

kelajuan rendah, mekanika relativistik tereduksi menjadi mekanika Newton. Salah

satu implikasi teori ini adalah ungkapan tidak ada benda atau sinyal yang dapat

bergerak lebih cepat daripada cahaya.

Hukum yang ketiga adalah gravitasi Newton. Hukum ini berlaku pada

medan gravitasi lemah. Besarnya gaya gravitasi antara dua benda masing-masing

bermassa 1m dan 2m yang dipisah oleh jarak sejauh r adalah

)/)(( 321 rmGm rF

−= (3.67)

dengan G adalah tetapan gravitasi universal. Tanda minus pada persamaan di atas

menunjukkan bahwa gaya gravitasi bersifat tarik-menarik.

Hukum gravitasi Newton berhasil menerangkan fenomena gerak benda-

benda langit yang dipengaruhi oleh interaksi gravitasi antar benda-benda tersebut

dengan ketelitian tinggi. Namun sayangnya, hukum ini tidak konsisten dengan

TRK. Jika sebuah benda digerakkan maka gaya gravitasi benda tersebut terhadap

benda lain akan berubah dalam sekejap, atau terjadi aksi spontan. Dengan kata


__________________________________________________________________

74

lain, efek gravitasi haruslah merambat dengan kelajuan takhingga, sesuatu yang

bertentangan dengan TRK.

Einstein berkali-kali mencoba merumuskan teori gravitasi yang konsisten /

kompatibel dengan Teori Relativitas Khusus. Upayanya di tahun 1915

menghasilkan Teori Relativitas Umum (TRU). Ia mengemukakan saran yang

cukup revolusioner bahwa gravitasi bukanlah seperti gaya-gaya yang lain, namun

gravitasi merupakan efek dari kelengkungan ruang-waktu karena adanya

penyebaran massa dan energi di dalam ruang-waktu tersebut. Teori Relativitas

Umum ini dibangun di atas dua asas, yaitu pertama, asas kesetaraan (principle of

equivalence) dan kedua, kovariansi umum (general covariance) (Krane, 1992 ;

Weinberg, 1972).

Untuk menjelaskan asas kesetaraan ini perlu diberikan penggambaran

sebagai berikut (Krane, 1992). Misalnya seorang astronot berada di dalam roket

yang masih berada pada landasannya di permukaan bumi. Sebuah benda yang

dilepaskan teramati jatuh ke bawah dengan percepatan g = 9,8 m/s2 (Gambar 3.3a).

Kemudian diandaikan roket tersebut berada di ruang angkasa dengan medan

gravitasi amat kecil sehingga dapat diabaikan. Mesin peluncur kemudian

dinyalakan sehingga memberikan percepatan yang dikendalikan tepat sebesar g =

9,8 m/s2. Sekali lagi benda tersebut dilepaskan. Maka benda tersebut akan

meluncur ke bawah dengan percepatan a = 9,8 m/s2 (Gambar 3.3b). Kedua

percobaan yang bersifat angan-angan tersebut memberikan hasil sama.

Einstein menggunakan hasil percobaan angan-angan itu untuk

mengemukakan asas kesetaraan yang berbunyi, “Tidak ada percobaan yang dapat

dilakukan dalam daerah kecil (lokal) yang dapat membedakan medan gravitasi

dengan sistem dipercepat yang setara”. Pernyataan daerah kecil ini perlu

disebutkan karena alasan berikut. Seandainya kita melepaskan dua benda yang

terpisah sejauh jarak kecil r, maka di dekat permukaan bumi setiap benda bergerak

sepanjang lintasan jari-jari menuju pusat bumi sehingga kedua benda tersebut

makin lama makin dekat. Namun jika lebar roket cukup kecil, perbedaannya tidak

akan teramati. Hal ini persis seperti percobaan di dalam roket yang meluncur di

ruang angkasa yang dilepaskan dengan percepatan tertentu (Krane, 1992).


__________________________________________________________________

75

Gambar 3.3. (a) Roket berada di permukaan bumi dengan percepatan gravitasi 9,8 m/s2 (b) Roket bergerak dipercepat ke atas

sebesar 9,9 m/s2 di ruang angkasa dengan medan gravitasi yang dapat diabaikan

Salah satu implikasi asas kesetaraan adalah kesamaan massa inersia dan

massa gravitasi (Wospakrik, 1987). Sifat ini memungkinkan kita untuk

menghilangkan efek gravitasi yang muncul dengan menggunakan kerangka acuan

dipercepat yang sesuai. Sebenarnya hal ini sebagai konsekuensi dari medan

gravitasi yaitu semua benda yang berada di dalamnya akan merasakan percepatan

yang sama serta tidak bergantung dari ukuran maupun massanya. Misalnya sebuah

benda yang bermassa m jatuh di dalam medan gravitasi dengan percepatan

gravitasi sebesar g. Dengan memilih koordinat (y, t), menurut mekanika Newton,

persamaan gerak benda tersebut adalah

gmdt

ydm GI =

2

2

. (3.68)

Melalui persamaan transformasi :

221' gtyy −= dan tt =' (3.69)

pada koordinat )','( ty maka pers. (3.68) menjadi


__________________________________________________________________

76

gmgmdt

ydm GII =+

2

2

'

' (3.70)

Karena massa inersial Im sama dengan massa gravitasi Gm maka

0'

'2

2

=dt

ydm (3.71)

Dengan demikian kita dapat memilih kerangka acuan inersial )','( ty untuk

menghilangkan efek gravitasi pada kerangka (y, t). Atau dengan kata lain,

kerangka (y, t) adalah kerangka dipercepat dengan percepatan sebesar g terhadap

kerangka inersial )','( ty pada daerah tanpa medan gravitasi. Contoh penerapan

persamaan di atas adalah bahwa sebuah sistem pengamatan jatuh bebas dalam

medan gravitasi bumi seperti misalnya sebuah elevator yang kabel gantungnya

putus adalah kerangka inersial lokal. Seorang pengamat dalam elevator tersebut

dapat melepaskan sebuah benda dari keadaan rehat (dalam kerangka pengamat)

dan akan mendapati bahwa benda tersebut tetap rehat. Kesimpulannya adalah

hukum gerak pada kerangka inersial dalam daerah tanpa medan gravitasi sama

dengan hukum gerak pada kerangka jatuh bebas di dalam medan gravitasi.

Sebenarnya medan gravitasi nyata tidaklah sepenuhnya sama dengan medan

gravitasi yang setara dengan kerangka dipercepat. Pada tempat yang jauh dari

sumber, medan gravitasi nyata selalu lenyap, sementara medan gravitasi yang

setara dengan suatu kerangka dipercepat selalu memiliki nilai tertentu. Sebaliknya

medan gravitasi yang setara dengan kerangka dipercepat akan segera lenyap begitu

percepatan kerangka dilenyapkan. Sedangkan medan gravitasi nyata tidak dapat

dihilangkan oleh pemilihan kerangka acuan manapun.

Berkait dengan elevator yang jatuh bebas tersebut sebenarnya terdaat

takhingga banyakbya kerangka acuan inersial. Kemudian kita dapat menggunakan

transformasi Lorentz untuk mengaitkan kerangka-kerangka inersial tersebut.

Dengan kata lain, hukum alam yang berlaku pada kerangka inersial menurut asas

kovariansi TRK, harus pula berlaku pada kerangka tak-inersial (seperti kerangka

jatuh bebas dalam medan gravitasi). Inilah yang dimaksud dengan asas kovariansi

umum yang berbunyi, “Hukum alam harus memiliki bentuk yang tetap terhadap

sebarang pemilihan transformasi koordinat”.


__________________________________________________________________

77

Implikasi penerapan asas ini akan menuntun kita kepada beberapa ramalan

yang mengbah cara pandang kita tentang ruang-waktu (Krane, 1992). Andaikata

seberkas cahaya ditembakkan menembus roket dari sebuah sumber yang rehat

dalam ruang dengan medan gravitasi yang dapat diabaikan (Gambar 3.4a). Jika

roket dalam keadaan rehat terhadap sumber, lintasan berkas cahaya dalam roket

menurut pengamat di dalam roket akan berbentuk garis lurus. Kemudian roket

tersebut bergerak dengan laju tetap terhadap sumber dengan arah tegak lurus pada

arah rambat cahaya (Gambar 3.4b). Pengamat di dalam roket tersebut akan melihat

lintasan cahaya di dalam roket berupa garis lurus miring yang membentuk sudut

v/c (v << c) terhadap arah horisontal. Jika roket tersebut mengalami percepatan,

maka v akan selalu berubah sehingga v/c juga selalu berubah (Gambar 3.4c).

Pengamat dalam roket tersebut akan melihat berkas cahaya melintasi suatu lintasan

lengkung.

Jika asas kesetaraan benar, perilaku berkas cahaya dalam roket yang

dipercepat haruslah sama seperti dalam medan gravitasi. Berarti, berkas cahaya

harus pula menempuh lintasan lengkung dalam medan gravitasi.

Gambar 3.4 (a) Roket dalam keadaan rehat terhadap sumber cahaya (b) Roket bergerak dengan laju v konstan (c) Roket bergerak

dipercepat dengan percepatan a konstan Berkas cahaya memiliki tempat khusus dalam pemahaman kita tentang

ruang-waktu karena cahaya harus melintasi lintasan terpendek dan selangsung

mungkin antara dua titik dalam ruang. Jika tidak demikian, ada kemungkinan


__________________________________________________________________

78

terdapat benda lain yang menempuh kedua titik tadi dalam selang waktu yang

lebih singkat, yang dengan demikian lebih cepat dari cahaya, dan hal ini

bertentangan dengan relativitas khusus. Jika berkas cahaya menempuh lintasan

lengkung sebagai lintasan terpendek antara dua titik dalam ruang, maka ruang itu

tentulah lengkung, serta penyebab kelengkungannya adalah medan gravitasi.

Karena medan gravitasi ditimbulkan oleh materi, diperoleh kesimpulan bahwa

kelengkungan ruang-waktu terjadi karena adanya penyebaran materi di dalam

ruang-waktu tersebut. Jika materi tersebut dilenyapkan, ruang-waktu menjadi

datar.

Lintasan terpendek yang menghubungkan dua buah titik dalam geometri

lengkung disebut geodesik. Dalam ruang datar, lintasan geodesiknya adalh garis

lurus, sedangkan pada permukaan bola, lintasannya berupa busur lingkaran besar.

Penegertian tersebut akan lebih mudah dipahami dengan contoh berikut. Sebuah

batu di atas bumi akan jatuh karena adanya tarikan gravitasi. Menurut Newton,

batu tersebut akan bergerak menuju pusat bumi. Tetapi, apakah benda tersebut

mengetahui letak pusat bumi ?

Ini merupakan masalah mendasar dari gerakan benda oleh pengaruh

gravitasi. Apa yang diterangkan menurut teori Newton bersifat spekulatif, batu

tersebut dianggap mengetahui kemana arah yang hendak dituju. Sementara

menurut Einstein, batu tersebut sama sekali tidak mengetahui dimana pusat bumi,

namun ia hanya mengikuti garis kelengkungan setempat dari ruang-waktu. Garis

itu ada dimana-mana seperti halnya garis gaya medan listrik yang ditimbulkan oleh

muatan listrik (Krane, 1992).

Dengan konsep yang baru, teori relativitas umum benar-benar memberikan

pandangan yang baru sama sekali mengenai ruang−waktu. Konsep bahwa ruang-

waktu dapat melengkung jika di dalamnya terdapat materi massif memberikan

beberapa implikasi baru. Diantaranya, jika cahaya bintang melewati sebuah benda

langit massif seperti matahari, maka ramalan teori relativitas umum adalah cahaya

bintang tersebut akan dibelokkan di sekitar matahari tersebut. Membeloknya

cahaya bintang tersebut bukan disebabkan oleh tertariknya cahaya bintang karena

pengaruh gaya gravitasi bumi, melainkan ruang-waktu di sekitar matahari tersebut


__________________________________________________________________

79

melengkung. Jika bukan konsep teori relativitas umum yang digunakan, tetapi

konsep teori relativitas khusus dan gravitasi Newton, yang dalam hal ini cahaya

bintang dianggap memiliki massa yang sebanding dengan energinya, memang

penghitungan menunjukkan adanya pembelokan, namun sayangnya nilai

ramalannya hanya setengah dari ramalan teori relativitas umum. Pengamatan

astronomi menunjukkan bahwa ternyata ramalan teori relativitas umumlah yang

lebih sesuai.

Ramalan teori relativitas umum yang lain, bahwa orbit planet mengelilingi

matahari mengalami presesi. Lagi-lagi ramalan tersebut dibuktikan oleh

pengamatan. Selain itu teori relativitas umum juga menyajikan gagasan adanya

gelombang gravitasi (gravitational waves) yang muncul akibat terjadinya

pergerakan materi massif di dalam ruang-waktu. Cukup banyak orang yang

mencoba mengamati adanya gelombang gravitasi di jagad raya ini.

Salah satu implikasi yang cukup spektakuler adalah munculnya gagasan

lubang hitam (black hole) yang dibatasi oleh event horizon dimana segala

peristiwa yang terjadi di dalam event horizon tidak dapat diamati dari luar. Lubang

hitam adalah sebuah konsep matematik yang muncul dari solusi persamaan

gravitasi Einstein dengan memiliki sifat-sifat fisis tertentu. Karena itulah orang

berupaya untuk mencari, adakah lubang hitam di jagad raya ini.

Perkembangan lebih lanjut mengenai telaah lubang hitam diantaranya adalah

kajian tentang lubang putih (white hole). White hole adalah solusi lain dari

persamaan gravitasi Einstein, dimana sifat-sifatnya berlawanan dengan sifat-sifat

lubang hitam. Kalau pada lubang hitam, mater-materi di sekitarnya akan ditarik

masuk ke dalam, maka pada konsep lubang putih, materi-materi akan dilontarkan

keluar. Orang kemudian menciptakan gagasan bahwa lubang hitam dan lubang

putih disatukan melalui suatu kerongkongan (throat). Materi yang diserap oleh

lubang hitam akan dikeluarkan melalui lubang putih. Gabungan lubang hitam

dengan lubang putih tersebut dikenal dengan nama lubang ulat (worm hole).

Implikasi selanjutnya menghasilkan gagasan tentang time machine dan time travel

yang dilakukan dengan wahana lubang ulat.


__________________________________________________________________

80

Implikasi teori relativitas umum yang lain adalah mengenai jagad raya.

Solusi persamaan gravitasi Einstein untuk objek jagad raya memberikan hasil-hasil

yang sama sekali tak terduga dari pandangan orang sebelumnya. Diantaranya

ternyata jagad raya bersifat dinamik, ia mengalami pengembangan (dan mungkin

saja mengalami pengerutan). Jika jagad raya mengalami pengembangan / ekspansi,

tentunya pada masa lalu ia berukuran lebih kecil dari sebelumnya. Jikaterus ditarik

ke belakang, ada saat dimana jagad raya berukuran sangat kecil, bersuhu amat

tinggi dengan rapat energi amat tinggi. Analisis ini jika digabungkan dengan fakta-

fakta dalam fisika partikel tentulah amat menantang. Menarik untuk dikaji,

bagaimana jagad raya pada masa lalu sebagai media untuk melakukan penciptaan

dan pemusnahan partikel yang biasanya dikaji dalam fisika partikel. Hal menarik

lain adalah bagaimana masa depan jagad raya di masa depan.

3.9 Hukum Gravitasi Einstein

Sebuah kenyataan yang mencolok : hukum Gravitasi Newton memiliki

bentuk yang mirip dengan hukum Coulomb dalam listrik. Dalam hukum Coulomb,

terdapat persamaan potensial listrik

)(42 rρπφ k−=∇ (3.72)

dengan φ adalah skalar potensial listrik, k adalah tetapan dan )(rρ adalah rapat

muatan sumber. Analog dengan persamaan di atas, persamaan potensial medan

gravitasi Newton berbentuk

)(42 rρπφ G=∇ (3.73)

dengan G adalah tetapan gravitasi universal dan )(rρ adalah rapat massa sumber

medan gravitasi. Kedua persamaan di atas termasuk jenis persamaan Poisson.

Dengan digunakannya geometri Riemman, pers. (3.73) harus diubah dan

diperluas. Potensial gravitasi diperluas menjadi kelengkungan ruang-waktu yang

tertuang dalam tensor Einstein, yaitu

RgRG µνµνµν 21−= . (3.74)

Jika tetapan kosmologi Λ ingin diikutsertakan, persamaan tensor Einstein menjadi

µνµνµνµν gRgRG Λ−−= 21 . (3.75)


__________________________________________________________________

81

Adapun rapat massa yang menimbulkan potensial medan gravitasi diperluas

menjadi tensor energi−momentum µνT dengan rapat massa−energi termasuk salah

satu komponen di dalamnya.

Melihat bentuk pers. (3.73) yang menyatakan bahwa potensial medan

gravitasi sebanding dengan rapat massa sumber medan, maka dapat dilakukan

perluasan bahwa kelengkungan ruang−waktu sebanding pula dengan tensor

energi−momentum yang dirumuskan sebagai

µνµνµν κTRgR −=−21 . (3.76)

Persamaan di atas menampilkan hukum gravitasi Einstein dengan κ berupa suatu

tetapan positif yang ada hubungannya dengan G. Dua bentuk variasi persamaan

tersebut adalah

µν

µν

µν κδ TRR −=−

21 (3.77)

dan

µνµνµν κTRgR −=−21 . (3.78)

Secara berturut-turut, kedua persamaan terakhir di atas disajikan dalam bentuk

persamaan tensor campuran dan kontravarian. Jika dilakukan kontraksi terhadap

pers. (3.77), diperoleh

TR κ= (3.79)

sehingga hukum gravitasi Einstein dapat dibawa ke bentuk

)(21

µνµνµν κ TTgR −= . (3.80)

Jika tetapan kosmologi diikutsertakan, bentuk persamaan gravitasi Einstein yang

termodifikasi adalah

µνµνµνµν κTgRgR −=Λ−−21 . (3.81)

Salah satu keunggulan teori relativitas umum adalah teori yang kovarian ini

akan tereduksi menjadi hukum gravitasi Newton pada medan gravitasi lemah. Sifat

ini dikenal sebagai asas korespondensi. Dalam ruang-waktu yang berisi medan

gravitasi, geometri yang digunakan adalah geometri Riemann, sedangkan dalam

ruang-waktu tanpa medan gravitasi, geometri yang digunakan adalah geometri


__________________________________________________________________

82

Euclid. Pada ruang Euclid, metrik ruang-waktu diberikan oleh metrik Minkowski

yang dirumuskan sebagai

22222 dzdydxdtdxdxds +++−== νµµνη . (3.82)

Karena itu dalam medan gravitasi lemah, metrik ruang-waktu yang digunakan

tidak berbeda jauh dari metrik di atas. Tensor metrik µνg dalam medan gravitasi

lemah dapat didekati dengan bentuk

µνµνµν η hg += (3.83)

dengan µνη adalah tensor metrik Minkowski dan µνh kecil ( << 1).

Ditinjau sebuah partikel yang bergerak dalam medan gravitasi lemah, dengan

tensor metrik diberikan oleh persamaan di atas. Partikel tersebut dalam ruang-

waktu menempuh lintasan yang dinamakan sebagai lintasan geodesik. Persamaan

geodesik lintasan tersebut dirumuskan sebagai

02

2

=Γ+ds

dx

ds

dx

ds

xd βαµ

αβ

µ. (3.84)

Melalui kaitan

22 τdds −= (3.85)

persamaan di atas menjadi

02

2

=Γ+τττ

βαµ

αβ

µ

d

dx

d

dx

d

xd (3.86)

Dengan mengisikan 0== βα diperoleh

02

002

2

=

Γ+ττ

µµ

d

dt

d

xd. (3.87)

Karena medan tersebut bersifat stasioner, seluruh turunan µνg terhadap

lenyap, sehingga

0021

00 hg νµνµ ∂−=Γ . (3.88)

Dengan demikian persamaan (3.87) di atas dapat dipecahkan menjadi dua

persamaan berikut :

00

2

21

2

2

hd

dt

d

d ∇

=ττ

x

(3.89)


__________________________________________________________________

83

dan

02

2

=τd

td. (3.90)

Pers. (3.90) menyatakan bahwa τddt / bernilai konstan. Dengan membagi kedua

ruas pers. (3.89) dengan 2)/( τddt , diperoleh percepatan gerak benda

0021

2

2

hdt

d ∇=x

. (3.91)

Di sisi lain, jika φ adalah potensial gravitasi Newton pada jarak r dari titik

massa M yang besarnya

r

GM−=φ (3.92)

maka percepatan benda itu sama dengan φ∇− . Dihubungkan dengan pers. (3.91),

diperoleh hasil

00h = φ2− + tetapan. (3.93)

Pada tempat yang jauh dari sumber medan gravitasi, sistem koordinatnya

menjadi sistem koordinat Minkowski, sehingga 00h lenyap. Demikian pula dengan

φ sebagaimana pers. (3.92) sehingga tetapan di atas bernilai nol. Akhirnya

diperoleh

)21(00 φ+−=g (3.94)

sedangkan pasangan kontravariannya adalah

100 )21( −+−= φg . (3.95)

Selanjutnya hukum gravitasi Einstein akan direduksi ke hukum gravitasi

Newton pada kasus normal dimana intensitas medan gravitasi bernilai lemah dan

distribusi materi bersifat statik. Pereduksian ini akan menghasilkan hubungan

antara κ (gravitasi Einstein) dan G (gravitasi Newton).

Ditinjau bentuk tensor Riemann-Christoffel dalam medan lemah. Tensor

metrik diberikan oleh pers. (3.83). Nilai lambang Christoffel jenis kedua adalah

∂∂

−∂∂

+∂

∂=Γ β

µνµ

νβνβµαβα

µνx

g

x

g

x

gg

21 =

∂∂

−∂∂

+∂∂

βµν

µνβ

νβµαβη

x

h

x

h

x

h21 . (3.96)


__________________________________________________________________

84

Jika nilai perkalian µνh diabaikan, nilai tensor Ricci untuk 0== µµ bernilai

νν

νν 000000 Γ∂−Γ∂=R

=

∂∂−

∂∂

+∂∂

∂ βννβ

νβνβη

x

h

x

h

x

h0

00

21

0 −

∂∂−

∂∂

+∂∂

∂ βββνβ

ν ηx

h

x

h

x

h00

00

00

21

= ( )βννββννβνβη 000000002

1 hhhh ∂∂−∂∂−∂∂+∂∂ . (3.97)

Jika distribusi materi bersifat statis maka µνh bukan fungsi t atau

00 =∂ µνh (3.98)


( ) 003333

2222

1111

21

0021

00 hhR ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂= ηηηη βννβ = 00

221 h∇ (3.99)

dengan

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ . (3.100)

Dengan menggunakan pers. (3.73) dan (3.93), pers. (3.99) menjadi

ρπφ GR 4200 −=−∇= . (3.101)

Tensor energi-momentum fluida sempurna dirumuskan sebagai

pgVVpT µννµµν ρ ++= )( (3.102)

Karena distribusi materi bersifat statik (dapat dianggap sebagai kumpulan

debu / dust ) materi tersebut tidak memiliki tekanan internal p sehingga pers.

(3.102) tereduksi ke bentuk

νµµν ρ VVT = . (3.103)

Selain itu vektor kecepatan−4 adalah

),1( 0

−=µV (3.104)

sehingga seluruh komponen µνT lenyap kecuali ρ=00T . Skalar T dapat dihitung

dengan perkalian dalam antara tensor metrik kontravarian dengan tensor energi-

momentum kovarian untuk dust sebagai

φ

ρµν

µν

210000

+−=== TgTgT . (3.105)


__________________________________________________________________

85

Dengan menggunakan pers. (3.80), nilai 00R adalah

( )

−

+−+−=−= ρ

φρφκκ21

).21(.21

000021

00 TTgR = κρ21− (3.106)

Dihubungkan dengan pers. (3.101), akhirnya diperoleh

Gπκ 8= (3.107)

sehingga persamaan gravitasi Einstein (3.76) menjadi

µνµνµν πGTRgR 821 −=− (3.108)

Adapun persamaan gravitasi Einstein dengan hadirnya tetapan kosmologi

dirumuskan sebagai

µνµνµνµν πGTgRgR 821 −=Λ−− . (3.109)


__________________________________________________________________

86

Soal-Soal Latihan BAB III

1. Uraikan perbandingan antara Teori Relativitas Khusus dan Umum Einstein.

2. Dalam kerangka K berdimensi dua dengan koordinat xx =1 dan yx =2 ,

sebuah tensor αβT memiliki komponen

12211 =−= TT dan 02112 == TT .

Jika pada kerangka K~

yang berkoordinat

yxxx +== ~~1 dan yxyx −== ~~2 ,

tensor tersebut adalah µνT~

maka

(a) Tuliskan kaedah transformasi antara αβT dan µνT~

.

(b) Carilah seluruh nilai komponen µνT~

.

(c) Jika metrik di K adalah

222 dydxds −= ,

tuliskan tensor metrik di K, kemudian carilah seluruh komponen αβT .

(d) carilah metrik dan tensor metrik di K~

, tuliskan kaedah transformasi

antara αβT dengan µνT~

, serta tentukan seluruh komponen µνT~

.

3. Metrik permukaan bola dua dimensi berjari-jari 1 dengan koordinat

),( φθµ =x dirumuskan sebagai

2222 sin φθ ddds += .

Tunjukkan bahwa 02112 == RR . Gunakan persamaan geodesik untuk

menentukan lintasan terpendek antara titik ),( 11 φθ dan ),( 22 φθ .

4. Metrik ruang-waktu dalam suatu daerah ruang kosong tertentu diberikan

oleh


__________________________________________________________________

87

22222 )( dtedzdydxeds βα −++=

dengan βα, adalah hanya fungsi z . Tunjukkan bahwa persamaan gravitasi

Einstein memberikan

0'''''2 2 =++ βααα ,

0'''''2''4 2 =−++ βαββα ,

0'''''2 2 =++ βαββ .

Tanda ‘ menunjukkan turunan ke z. Tunjukkan bahwa

4)( zkAe −=α

dan

2)( −−= zkBeβ

dengan A, B dan k tetapan.

5. Tunjukkan bahwa persamaan Einstein dapat dituliskan dalam bentuk

)(21 µνµνµνµν κ TTggR −=Λ+ .

6. Di dalam suatu bola cairan homogen bergravitasi statik, rapat massa pribadi

adalah ρ (tetapan) dan tekanan p. Komponen tensor energi−momentum

lenyap kecuali untuk

pTTT === 33

22

11 , 24

4 cT ρ−= .

Diasumsikan bahwa metrik medan gravitasi di dalam bola tersebut diberikan

oleh persamaan

22222222 )sin( dtcbddrdrads −++= φθθ

dengan αexp=a dan βexp=b . Tunjukkan bahwa solusi persamaan

Einstein memberikan

22))]exp(1([ rcrdr

d ρκα =−− ,


__________________________________________________________________

88

ακαβexp

1exprp

rdr

d +−= ,

αρκαβαββexp)(

2

2

1

2

1 22

2

2cp

dr

d

rdr

d

dr

d

dr

d

dr

d −=−−

+ .

Asumsikan 0=α untuk r = 0 dan 0=p untuk r = a (permukaan bola),

kemudian tunjukkan bahwa

21)exp( rq−=−α

dengan

3/2ρκ cq =

dan

22

222

113

11

qrqa

qaqrcp

−−−

−−−= ρ .

7. Sebuah atom yang stasioner pada suatu jarak koordinat Schwarzschild r dari

pusat ), memancarkan cahaya berfrekuensi ν yang diamati oleh seorang

pengamat stasioner pada koordinat R (> r) dari pusat O. Tunjukkan bahwa

frekuensi yang diamati adalah δνν − dengan

−=Rr

m11

/νδν

sampai dengan orde pertama dalam m.

8. Diketahui ijA adalah suatu tensor kovarian. Jika jiij AB = , tunjukkan bahwa

ijB juga suatu tensor kovarian.

9. Di kerangka K dengan koordinat ),(tsx =µ terdapat suatu vektor µA

dengan komponen

11 =A dan 2A = 2.


__________________________________________________________________

89

Terdapat kerangka K’ dengan koordinat ),(' vux =µ dimana hubungan

antara koordinat-koordinat tersebut adalah

tsu += dan tsv −= .

Jika di K’ terdapat vektor µ'A , carilah komponen vektor tersebut.

10. Jika iA adalah sebuah vektor kovarian, tunjukkan bahwa

ij

jiij xAxAB ∂∂−∂∂= //

tertansformasi seperti sebuah tensor kovarian.

11. Dengan mendiferensialkan persamaan

ikjk

ij gg δ=

terhadap ix , tunjukkan bahwa berlaku hubungan

l

jkijmkl

im

x

ggg

x

g

∂

∂−=

∂

∂,

serta tunjukkan pula berlakunya

0=

+

+∂

∂lj

ig

lj

mg

x

g mjijl

im.

12. Jika θ dan φ adalah sudut azimut dan sudut polar pada permukaan

lingkaran dengan jari-jari 1, diperoleh metrik

2222 sin φθθ ddds +=

untuk permukaan tersebut. Tunjukkan bahwa lambang Christoffel yang tak

lenyap adalah

θθφφ

θcossin−=

dan

θθφ

φφθ

φcot=

=

.


__________________________________________________________________

90

Tunjukkan bahwa komponen tensor Ricci diberikan oleh

0== φθθφ RR , 1−=θθR , θφφ2sin−=R .

Tunjukkan pula bahwa skalar kelengkungan diberikan oleh R = −2.

13. ),( yx adalah koordinat Kartesan dan ),(θr adalah koordinat polar pada

sebuah bidang Euclidean. ijA adalah sebuah medan tensor simetrik yang

didefinisikan di dalam bidang tersebut melalui komponen-komponennya

yaitu

0== yyxx AA , xyyxAA yxxy // +== .

Tunjukkan bahwa komponen kutub kontravarian dari medan tensor tersebut

dinyatakan dalam variabel r dan θ adalah

2=rrA , rAA rr /)2cot2( θθθ == , 2/2 rA −=θθ .

14. zyx ,, adalah koordinat Kartesan datar dalam ruang tiga dimensi. Persamaan

parametrik untuk parabolida hiperbolik diberikan dalam bentuk vux += ,

vuy −= , uvz = . Sebuah medan tensor kovarian pada permukaan

parabolida hiperbolik tersebut memiliki komponen

2uAuu = , uvAA vuuv −== , 2vAvv = .

Tunjukkan bahwa komponen kontravarian medan tensor tersebut bernilai

seperempat dari komponen kovarian masing-masing.

15. yx, adalah koordinat Kartesan datar pada bidang Euclidean. vu, adalah

koordinat kurvilinear yang didefinisikan oleh

vuax coscosh= , vuay sinsinh= .

Sebuah vektor kovarian memiliki komponen xA , yA pada titik ( ),yx dan

komponen kurvilinear vu AA , . Tunjukkan bahwa

)2cos2(cosh

)sincoshcossinh(2

vua

vuAvuAA vu

x −−

= .


__________________________________________________________________

91

16. yx, adalah koordinat Kartesan datar pada bidang Euclidean. Koordinat

kuvilinear vu, didefinisikan melalui persamaan transformasi

)( 2221 yxu −= , xyv = .

Tunjukkan bahwa metrik dalam kerangka uv adalah

22

222

2 vu

dvduds

+

+= .

Sebuah vektor kovarian memiliki komponen Kartesan ),( yx AA dan

komponen kurvilinear ),( vu AA . Tunjukkan bahwa

22 yx

yAxAA

yxu

+

−=

serta carilah perumusan untuk vA .

17. Pada permukaan bola beruji satu dengan θ dan φ adalah koordinat azimut

dan kutub, tunjukkan bahwa geodesik permukaan bola memiliki bentuk

)sin(tantan βφαθ +=

dengan βα, adalah tetapan sembarang.

18. Diberikan ruang-waktu yang memiliki metrik

2222222 dtedzedydxds φθ −++=

dengan φθ , adalah fungsi z saja. Tunjukkan bahwa tensor Riemann-

Christoffel lenyap, jika dan hanya jika

02

2

2=

+−dz

d

dz

d

dz

d

dz

d φθφφ.

Jika θφ −= , tunjukkan bahwa ruang−waktu tersebut bersifat datar jika

)ln(21 bza +=φ ,

dengan a dan b tetapan.


__________________________________________________________________

92

19. Jika ruang−waktu memiliki metrik

222222 )( dtederdzdreds ρρλ φ −++= −

dengan ρλ, adalah fungsi r dan z saja, tunjukkan bahwa persamaan medan

gravitasi Einstein dalam ruang kosong ijR = 0 mempersyaratkan bahwa λ

dan ρ memenuhi persamaan

∂∂−

∂∂=

∂∂+

∂∂ 22

2 zr

r

rr

ρρρλ,

zrr

zz ∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂ ρρρλ

,

01

2

2

2

2=

∂∂+

∂

∂+∂

∂rrzr

ρρρ,

02

1 22

2

2

2

2

2

2

2

2=

∂∂+

∂∂+

∂

∂+∂

∂+∂

∂+∂

∂zrzrzr

ρρρρλλ.

20. Suatu ruang dua dimensi memiliki metrik

2222

2111

2 )()( dxgdxgds +=

dengan 11g dan 22g merupakan fungsi 1x dan 2x .

Carilah nilai 22211211 ,,, RRRR .

Jika

ijij RgR = ,

tunjukkan bahwa

ijij RgR21= .

Penerapan Teori Relativitas Umum _________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

93

BAB IV

PENERAPAN TEORI RELATIVITAS UMUM

Telah diturunkan persamaan gravitasi Einstein dengan pengabaian tetapan

kosmologi yang dirumuskan sebagai

µνµνµν π TcGRgR )/8( 421 −=− (4.1)

Selanjutnya persamaan tersebut akan diterapkan untuk menelaah beberapa gejala

alam. Pertama kali akan diturunkan solusi persamaan gravitasi Einstein untuk

objek statik bermassa M yang diletakkan pada pusat koordinat dengan pemilihan

koordinat empat dimensi berupa 3 dimensi koordinat ruang polar ),,( φθr dan satu

dimensi koordinat waktu (t). yang nantinya dikenal solusi Schwarzschild.

4.1 Penyelesaian Schwarzschild

Berikut ini akan diturunkan metrik yang mendeskripsikan medan gravitasi

isotropik statik. Agar lebih mudah diperoleh, metrik ruang−waktu 4 dimensi (3

dimensi ruang dan 1 dimensi waktu) akan dirumuskan dalam wakilan koordinat

bola. Dalam koordinat bola, 3 koordinatnya adalah

),,(),,( 321 φθrxxxxm == . (4.2)

Metrik ruang−waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh

)sin( 22222222 φθθ ddrdrdtcds +++−= . (4.3)

Mengikuti penulisan Weinberg (1972), nilai c sementara diisikan sama dengan 1

sehingga metrik di atas menjadi

)sin( 2222222 φθθ ddrdrdtds +++−= (4.4)

Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik.

Tensor metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini untuk komponen ttg dan

rrg hanya merupakan fungsi radial r. Bentuk metriknya menjadi

)sin()()( 2222222 φθθ ddrdrrAdtrBds +++−= (4.5)


_______________________________________________________________________________

94

dimana metrik di atas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan

gravitasi dilenyapkan. Dari metrik di atas, komponen tensor metrik kovarian yang

tak lenyap adalah

θφφθθ222 sin,),(,)( rgrgrAgrBg rrtt ===−= (4.6)

dengan fungsi )(rA dan )(rB ingin dicari untuk dapat menyelesaikan persamaan

medan gravitasi. Mengingat µνg bersifat diagonal, komponen tensor metrik

kontravarian bernilai

θ

φφθθ222 sin

1,

1,

)(

1,

)(

1

rg

rg

rAg

rBg rrtt ===−= . (4.7)

Selanjutnya determinan matriks yang menyajikan komponen tensor metrik adalah

g yang bernilai

θ24 sin)()( rrBrAg −= (4.8)

sehingga elemen volume invarian adalah

φθθφθ dddrrrBrAdddrgdV sin)()( 2== . (4.9)

Hubungan affine (affine connection) atau lambang Christoffel dapat

dihitung dengan menggunakan formula

∂∂

−∂∂

+∂

∂=Γ ρ

µνµ

νρνρµλρλ

µνx

g

x

g

x

gg2

1 . (4.10)

Dengan rumus di atas dan metrik yang diberikan oleh pers. (4.6) dan (4.7),

komponen-komponen lambang Christoffel yang tak lenyap bernilai

,)(

)(2

1

dr

rdA

rArrr =Γ (4.11)

,)(rA

rr −=Γθθ (4.12)

,)(

sin2

rA

rr θφφ −=Γ (4.13)

dr

rdB

rArtt

)(

)(2

1=Γ , (4.14)

,1

rrrrr =Γ=Γ=Γ=Γ φφ

φφ

θθ

θθ (4.15)


_______________________________________________________________________________

95

,cossin θθθφφ −=Γ (4.16)

,cotθφθφ

φφθ =Γ=Γ (4.17)

dan

dr

rdB

rBtrt

ttr

)(

)(2

1=Γ=Γ . (4.18)

Lebih lanjut, dibutuhkan besaran tensor Ricci yang dirumuskan sebagai

ηλη

ηµκ

λκη

ηµλλ

λµκ

κ

λµλ

µκ ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂

−∂Γ∂

=xx

R . (4.19)

Dari lambang-lambang Christoffel di atas, komponen-komponen tensor Ricci

diberikan sebagai

)(

)('1

)(

)('

)(

)('

)(

)('

4

1

)(2

)(''

rA

rA

rrB

rB

rA

rA

rB

rB

rB

rBRrr −

+−= , (4.20)

)(

1

)(

)('

)(

)('

)(2

11

rArB

rB

rA

rA

rA

rR +

+−+−=θθ , (4.21)

θθθφφ2sinRR = , (4.22)

)(

)('1

)(

)('

)(

)('

)(

)('

4

1

)(2

)(''

rA

rB

rrB

rB

rA

rA

rA

rB

rA

rBRtt −

++−= , (4.23)

dan

0=µνR untuk µ ≠ ν. (4.24)

Pada persamaan –persamaan di atas, tanda aksen berarti turunan / derivatif

ke r. Dari hasil di atas, komponen θφφθφθ RRRRR ttrr dan,,, lenyap, serta

θθθφφ2sinRR = yang menunjukkan konsekuensi dari invariansi terhadap

transformasi rotasi pada metrik tersebut. Sementara itu rtR lenyap akibat

konsekuensi adanya invariansi bentuk metrik ketika dilakukan transformasi

pembalikan waktu tt −→ .

Selanjutnya persamaan medan gravitasi Einstein akan diterapkan untuk

metrik isotropik statik tersebut. Persamaan medan gravitasi Einstein untuk ruang

kosong tersebut berbentuk


_______________________________________________________________________________

96

0=µνR . (4.25)

Dari pers. (4.20) dan (4.23), hubungan antara rrR dan ttR dapat ditulis menjadi

+−=+B

B

A

A

rAB

R

A

R ttrr ''1. (4.26)

Dengan menerapkan pers. (4.25), persamaan di atas menjadi

B

B

A

A '' −= (4.27)

atau

)()( rBrA = konstan. (4.28)

Selanjutnya syarat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk ∞→r , bentuk

metrik isotropik statik tersebut harus kembali ke bentuk metrik Minkowski dalam

koordinat bola, yang berarti

∞→∞→==

rrrBrA .1)(lim)(lim (4.29)

Dengan syarat batas ini hubungan antara )(rA dan )(rB dapat dituliskan secara

lebih eksplisit dalam bentuk

)(

1)(

rBrA = . (4.30)

Adapun komponen tensor Ricci yang lain pada pers. (4.20) − (4.21) dapat

dituliskan menjadi

)()('1 rBrrBR ++−=θθ (4.31)

dan

rB

R

rB

B

B

BRrr 2

''

2

'' θθ=+= (4.32)

yang dengan mengingat bahwa 0=θθR maka

( ) 1' ==+ rBdr

dBrB . (4.33)

Solusi persamaan diferensial di atas adalah

rrrB =)( + tetapan. (4.34)

Untuk menentukan nilai tetapan integrasi di atas, kita ingat bahwa untuk jarak

yang cukup jauh dari pusat massa M yang terletak di pusat koordinat O,


_______________________________________________________________________________

97

komponen Bgtt −= harus bernilai mendekati )21( U+− dengan U adalah

potensial Newtonian benda bermassa M pada jarak r yang bernilai U = −GM / r.

Jadi nilai tetapan integrasi di atas adalah −2GM, sehingga

−=r

GMrB

21)( (4.35)

dan

1

21)(

−

−=r

GMrA . (4.36)

Akhirnya bentuk metrik isotropik statik untuk ruang−waktu 4 dimensi

berkoordinat bola adalah

)sin(2

12

1 222221

22 φθθ ddrdrr

GMdt

r

GMds ++

−+

−−=−

. (4.37)

Bentuk metrik ini pertama kali diturunkan oleh K. Schwarzschild pada tahun

1916. Karena itu, metrik ini sering disebut metrik Schwarzschild. Bentuk metrik

tersebut masih mengisikan nilai c = 1. Apabila nilai c diisikan, bentuk metrik

Schwarzschild menjadi

)sin(2

12

1 222221

222

22 φθθ ddrdr

rc

GMdtc

rc

GMds ++

−+

−−=−

. (4.38)

Bentuk 2/2 cGM sering disingkat menjadi m (bersatuan panjang), sehingga

metrik di atas menjadi

)sin(2

12

1 222221

222 φθθ ddrdrr

mdtc

r

mds ++

−+

−−=−

(4.39)

Metrik Schwarzschild ini bersifat simetri bola dan merepresentasikan medan

gravitasi di luar suatu partikel bersimetri bola dengan pusat partikel terletak pada

pusat koordinat bola ),,( φθr .

Dari pers. (4.39) tampak bahwa metrik tersebut tidak valid untuk

2

22

c

GMmr == (4.40)

Jarak tersebut dinamakan radius Schwarzschild. Dalam satuan SI, c = 3 × 108 dan

untuk bumi, GM = 3,991 × 1014, sehingga radius Schwarzschild untuk partikel


_______________________________________________________________________________

98

bumi adalah sekitar 9 mm, karena itu tidak ada persoalan jika metrik ini

diterapkan untuk bumi. Namun ada keadaan tertentu jika radius Schwarzschild

cukup besar, untuk mana hal ini terjadi jika M bernilai cukup besar, sementara ruji

partikel tersebut cukup kecil, hal mana yang dapat terjadi pada lubang hitam

(black holes) . Penggambaran radius Schwarzschild dalam lubang hitam dapat

dilihat pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 lubang hitam Schwarzschild bermassa M beradius Sr

Metrik Schwarzschild dapat dinyatakan dalam bentuk “isotropik”, yaitu

dengan mengenalkan variabel koordinat radial baru :

( )mrrmr 2221 −+−=ρ (4.41)

atau transformasi baliknya adalah

2

21

+=

ρρ m

r . (4.42)

Substitusi bentuk di atas ke dalam metrik Schwarzschild akan memberikan

( ))sin(2

12/1

2/1 222224

222

2 θφθρρ dddr

mdtc

rm

rmds ++

++

+−−= . (4.43)

Dapat pula dibentuk koordinat harmonik

φθ cossin1 RX = (4.44)

φθ sinsin2 RX = (4.45)

θcos3 RX = (4.46)

dan

t = t (4.47)


_______________________________________________________________________________

99

dengan

mrR −= (4.48)

yang menghasilkan metrik

( )24

22

2222

/1

/11

/1

/1XXX

dR

m

Rm

Rmd

R

mdtc

Rm

Rmds ⋅

−++

++

+−−= (4.49)

dengan

22 X

=R . (4.50)

Metrik Schwarzschild dapat juga dinyatakan dalam bentuk koordinat kuasi-

Minkowski dengan mendefinisikan

φθ cossin1 rx = (4.51)

φθ sinsin2 rx = (4.52)

θcos3 rx = (4.53)

dan

t = t (4.54)

sehingga diperoleh

2

212222 )(

12

12

1r

d

r

mddtc

r

mds

xxx

⋅

−

−++

−−=−

. (4.55)

Adapun jika dilakukan transformasi

2/3

3

2r

avu += (4.56)

dan

−+−+=

ar

araratv ln2 2 (4.57)

dihasilkan metrik

)sin()()(9

4 2223/4223/2

222 φθθµµ

ddvuduvu

dvds +−+−

+−= (4.58)

dengan

ma 22 = (4.59)

dan


_______________________________________________________________________________

100

4

9 23 a=µ . (4.60)

4.2 Presesi Orbit Planet

Ditinjau partikel-partikel berupa planet-planet yang bergerak mengelilingi

matahari. Di sini dipilih koordinat bola dengan matahari diletakkan pada pusat

koordinat. Materi matahari tersebut menyebabkan ruang-waktu di sekitarnya

menjadi ruang-waktu bermetrik Schwarzschild. Tentu saja massa planet yang

mengelilingi matahari memberikan sumbangan perubahan metrik, namun

mengingat massa total planet jauh lebih kecil daripada massa matahari,

sumbangan tersebut dapat diabaikan. Dengan demikian sistem yang ditinjau

adalah partikel planet bergerak mengelilingi matahari dengan menempuh lintasan

geodesik.

Metrik Schwarzschild dapat diubah bentuknya menjadi

++

−−

−= )sin(/21

121 2222

2

222 φθθτ ddr

rm

dr

cdt

r

md (4.61)

dengan koordinat-4 tetap berbentuk

),,,(),( 0 φθµ rctxxx m == . (4.62)

Dengan menggunakan persamaan geodesik berikut (Lawden, 1982)

02 =∂∂

−

ττττ

νµ

αµν

β

αβ d

dx

d

dx

x

g

d

dxg

d

d, (4.63)

diperoleh set persamaan geodesik sebagai berikut

0sin)2(2

2

2

222

22

2=

+

−

−

−+

− ττφθ

τθ

τττ d

dt

r

mc

d

dr

d

dr

d

dr

mr

m

d

dr

mr

r

d

d

(4.64)

0cossin2

22 =

−

τφθθ

τθ

τ d

dr

d

dr

d

d (4.65)

0sin22 =

τφθ

τ d

dr

d

d (4.66)

dan


_______________________________________________________________________________

101

02 =

−ττ d

dt

r

mr

d

d. (4.67)

Bentuk metrik Schwarzschild (4.61) dapat dituliskan menjadi

2222

22

22

)2(sin

2c

d

dt

r

mrc

d

d

d

dr

d

dr

mr

r −=

−−

+

+

− ττφθ

τθ

τ. (4.68)

Selanjutnya dipilih koordinat bola sedemikian sehingga planet tersebut

bergerak pada bidang planar atau

2/πθ = . (4.69)

Maka

0=τθ

d

d (4.70)

dan dari integrasi pers. (4.66) dan (4.67) serta mengisikan 2/πθ = , diperoleh

2r

h

d

d =τφ

(4.71)

dan

mr

kr

d

dt

2−=

τ (4.72)

dengan h dan k adalah tetapan integrasi.

Substitusi τθ dd / dan τddt / dari dua persamaan terakhir di atas, serta

mengisikan 2/πθ = ke pers. (4.68), selanjutnya dihasilkan

r

mckcmr

r

h

d

dr 222

3

222

)1()2( +−=−+

τ. (4.73)

Selanjutnya dengan mengeliminasi τd dari persamaan di atas dan pers. (4.71)

didapat persamaan orbit planet dalam bentuk

3

2222

2

22

2

22)1(

r

mh

r

mckc

r

h

d

dr

r

h ++−=+

φ (4.74)

Dengan substitusi

r

u1= , (4.75)

bentuk di atas berubah menjadi


_______________________________________________________________________________

102

32

22

2

22

2

22

)1( muuh

mck

h

cu

d

du ++−=+

φ. (4.76)

Dengan menurunkan persamaan terakhir di atas ke φ , akhirnya dihasilkan

persamaan orbit planet mengelilingi matahari bermassa M dalam bentuk

22

2

2

2

3muh

mcu

d

ud +=+φ

. (4.77)

Sementara itu dalam mekanika klasik, persamaan orbit planet menurut

mekanika Newton adalah

22

2

h

GMu

d

ud =+φ

(4.78)

dengan M adalah massa matahari dan h adalah momentum sudut konstan

persatuan massa partikel planet yang dirumuskan sebagai

hdt

dr =φ2 . (4.79)

Jika variabel waktu t dalam mekanika klasik bersesuaian dengan swawaktu

(proper time)τ dalam teori relativitas, pers. (4.71) dan (4.79) menjadi identik dan

pemilihan nilai h yang terdapat dalam pers. (4.71) dapat diterima. Selanjutnya

juga diperoleh

2c

GMm = (4.80)

hal mana yang juga telah diperoleh sebelumnya dari pers. (40). Pers. (4.77) yang

diperoleh secara relativistik ternyata bersesuaian dengan hasil dari mekanika

klasik [pers. (4.78)] dengan adanya suku tambahan sebesar 23mu . Perbandingan

antara suku tambahan ini yang sebesar 23mu dengan bentuk awal dalam

mekanika klasik yang sebesar 22 / hmc adalah

2222

22 33 φɺrcc

ch = . (4.81)

Faktor φɺr adalah komponen transversal kecepatan planet, dan untuk planet-planet

yang terdapat dalam tata surya, nilai terbesar dimiliki oleh planet Merkurius, yaitu

sebesar 4108,4 × m/s. Mengingat c = 8103× m/s, nilai perbandingan di atas


_______________________________________________________________________________

103

untuk planet Merkurius adalah 8107,7 −× . Nilai ini sangat kecil, namun efek ini

bersifat akumulatif sehingga untuk rentang waktu yang cukup panjang, perubahan

nilai dapat diamati secara signifikan.

Penyelesaian untuk persamaan klasik (4.78) adalah

)cos(12

ωφµ −+= eh

u (4.82)

dengan e = eksentrisitas orbit dan ω = longitude perihelion.

Dari solusi klasik tersebut, suku tambahan relativistik bernilai

24

22 )cos(1

33 ωφµ −+= e

h

mmu . (4.83)

Pers. (4.77) dapat dituliskan menjadi

24

2

22

2

)cos(13 ωφµµ

φ−++=+ e

h

m

hu

d

ud. (4.84)

Dengan adanya suku tambahan yang telah diisikan di atas, diperoleh penyelesaian

yaitu penyelesaian mula-mula yang berbentuk pers. (4.83) ditambah dengan

penyelesaian khusus yang berbentuk

[ ])sin()(2cos13 2

612

21

4

2

ωφφωφµ −+−−+ eeeh

m. (4.85)

Dengan menjumlahkan penyelesaian di atas ke dalam penyelesaian pers. (4.82)

akan diperoleh

[ ])cos(1

)sin(3

)cos(1

2

22

δωωφµ

ωφφµωφµ

−−+=

−+−+=

eh

h

eme

hu

(4.86)

dengan

2

3

h

mµφδω = (4.87)

untuk mana suku berorde )( 2δωO telah diabaikan.

Persamaan di atas mengindikasikan bahwa longitude perihelion seharusnya

secara ajeg meningkat dengan besarnya pertambahan sebesar


_______________________________________________________________________________

104

φµφµφµδωlchch

m222

2

2

333 === (4.88)

dengan

µ

2hl = (4.89)

adalah semi latus rectum orbit. Dengan mengambil satuan SI : 201033,1 ×=µ

untuk matahari, c = 8103× dan 101079,5 ×=l untuk Merkurius, maka nilai

prediksi presesi orbit perihelion planet Merkurius selama seratus tahun (satu abad)

adalah

34 ′′ = derajat3600

43.

Prediksi ini ternyata bersesuaian dengan hasil eksperimen yang telah

dilakukan oleh Clemence pada tahun 1943 (Weinberg, 1972). Clemence

menemukan bahwa presesi planet Merkurius dalam jangka waktu 1 abad sebesar

')'45,011,43( ± . Ilustrasi presesi orbit planet yang bersifat kumulatif ini disajikan

pada Gambar 4.2.

Gambar 4.2 Presesi Orbit Planet

Sebenarnya nilai presesi orbit planet Merkurius yang diamati dalam

eksperimen jauh lebih besar itu. Nilai menurut eksperimen adalah

'')41,073,5600(eksp ±=∆φ (4.90)

Sedangkan teori Newton memberikan presesi Merkurius sebesar

')'20,062,5557(Newton ±=∆φ (4.91)

yang mana angka menurut prediksi teori newton tersebut meliputi ''5025 yang

berasal dari rotasi bumi berdasarkan sistem kerangka koordinat astronomik, dan


_______________________________________________________________________________

105

sekitar ''532 karena gangguan gravitasi yang dihitung oleh teori gangguan

Newtonian dari gerakan planet lain, seperti Venus, bumi dan Jupiter. Selisih

antara hasil eksperimen dengan prediksi Newtonian itulah yang murni akibat

digunakannya relativitas umum.

Adapun data perbandingan presesi beberapa planet antara prediksi relativitas

umum dengan hasil eksperimen diberikan pada tabel di bawah ini (Weinberg,

1972)

Tabel 4.1 Perbandingan presesi beberapa planet antara relativitas umum dengan hasil eksperimen

No Planet Sudut Presesi tiap

revolusi (detik)

Jumlah

revolusi / abad

Prediksi TRU

(detik/abad)

eksperimen

(detik/abad)

1 Merkurius 0,1038 415 43,03 43,11 ± 0,45

2 Venus 0,058 149 8,6 8,4 ± 4,8

3 Bumi 0,038 100 3,8 5,0 ± 1,2

4 Icarus 0,115 89 10,3 9,8 ± 0,8

Dengan membandingkan antara prediksi teori relativitas umum dengan hasil

eksperimen nampak adanya kecocokan yang cukup baik. Hasil ini mendukung

kebenaran teori relativitas umum dalam menelaah gejala jagad raya akibat adanya

interaksi gravitasi antar partikel massif.

4.3 Pembelokan cahaya bintang di sekitar massa massif

Cahaya melintasi ruang-waktu melalui lintasan geodesik. Untuk cahaya,

elemen garis yang ditempuh olehnya sama dengan nol atau

0=ds . (4.92)

Dari nolnya kuadrat elemen garis, swawaktunya juga nol. Karena itu

persamaan metrik Schwarzschild dengan dituliskan dengan substitusi τ → λ

yang merupakan parameter sembarang sebagai

0)2(sin2

2222

22

2

=

−−

+

+

− λλφθ

λθ

λ d

dtmr

r

c

d

d

d

dr

d

dr

mr

r. (4.93)


_______________________________________________________________________________

106

Tanpa kehilangan peninjauan secara umum, diisikan 2/πθ = sehingga

berkas cahaya ditinjau dalam bidang ekuator, dan dengan penurunan yang sama

seperti halnya pada presesi gerak planet, diperoleh persamaan diferensial

22

2

3muud

ud =+φ

(4.94)

dengan

r

u1= . (4.95)

Pada pendekatan pertama untuk solusi pers. (4.94), suku kanan diabaikan

terlebih dahulu. Bentuk penyelesaiannya adalah

)cos(1 αφ +=R

u (4.96)

dengan R adalah tetapan integrasi. Ini adalah persamaan polar untuk garis lurus,

dimana jarak tegak lurus dari pusat atraksi adalah R.

Tanpa kehilangan generalisasi, nilai α diisikan sama dengan nol. Dengan

mengisikan

R

uφcos= (4.97)

pada ruas kanan pers. (4.94), bentuk persamaan tersebut menjadi

φφ

222

2

cos3

R

mu

d

ud =+ . (4.98)

Penyelesaian dalam penghampiran kedua dalam bentuk persamaan polar sinar

cahaya adalah

)cos2(cos1 2

2φφ −+=

R

m

Ru . (4.99)

Pada akhir sinar, nilai

0=u (4.100)

sehingga

02

coscos2 =−−R

m

R

m φφ . (4.101)

Dengan asumsi


_______________________________________________________________________________

107

1<<R

m, (4.102)

persamaan kuadrat tersebut memiliki akar yang kecil dan akar yang besar. Untuk

akar yang kecil, penghampiran nilainya adalah

R

m2cos −=φ (4.103)

sehingga

+±=R

m2

2

πφ (4.104)

pada keadaan awal dan akhir lintasan cahaya. Maka nilai sudut pembelokan

cahaya bintang yang melintasi massa massif yang diletakkan di pusat koordinat

yang menimbulkan medan Schwarzschild adalah

R

m4. (4.105)

Untuk cahaya yang melintas dekat matahari : R = jari-jari matahari = 6,95 ×

108 m dan m = 1,5 × 103 m, sehingga nilai prediksi pembelokan adalah

=R

m4 8,62 × 10−6 radian = ''77,1 =

3600

77,1 derajat. (4.106)

Ilustrasi pembelokan cahaya bintang di sekitar massa massif terdapat pada

Gambar 4.3.

θ matahari

Gambar 4.3 Pembelokan cahaya bintang di sekitar matahari

Prediksi ini juga secara umum bersesuaian dengan hasil eksperimen.

Pengamatan pertama kali dilakukan pada tahun 1919, saat beberapa team

ekspedisi berangkat ke Sobral, Brazil dan Principe, Teluk Guinea untuk


_______________________________________________________________________________

108

mengamati adanya pembelokan cahaya bintang saat terjadi gerhana matahari.

Mengapa harus dilakukan pada saat terjadi gerhana matahari ? Cara cerdik ini

diusulkan oleh Einstein ketika mengajukan hipotesis adanya pembelokan cahaya

bintang saat cahaya tersebut melewati dekat matahari. Menurutnya, pada siang

hari, cahaya bintang tertutup oleh sinar matahari. Namun saat gerhana, cahaya

bintang tersebut dapat nampak. Dengan membandingkan antara posisi bintang

tersebut saat matahari lewat dekat cahaya bintang tersebut, dengan saat matahari

tidak berada di dekat cahaya bintang tersebut, dapat dibandingkan apakah terjadi

pergeseran posisi bintang. Pada pengamatan di tahun 1919 tersebut setelah

mempelajari sejumlah posisi bintang, akhirnya diperoleh kesimpulan bahwa

cahaya bintang yang lewat dekat matahari telah membelok dengan sudut sebesar

1,98 ± 0,16 detik dan 1,61 ± 0,40 detik. Nilai pengamatan pertama ini cukup dekat

dengan ramalan teori relativitas umum sebesar 1,75 detik.

Tabel 4.2 Pengamatan pembelokan cahaya bintang pada beberapa peristiwa gerhana

No Tanggal gerhana Tempat pengamatan Jumlah bintang

yang diamati

Sudut pembelokan

(detik)

1 29 Mei 1919 Sobral, Brazil 7 1,98 ± 0,16

Principe, Teluk Guinea 5 1,61 ± 0,40

2 21 September 1922

Australia 11 − 14 1,77 ± 0,40

Australia 18 1,42 s.d. 2,16

Australia 62 − 85 1,72 ± 0,15

Australia 145 1,82 ± 0,20

3 9 Mei 1929 Sumatra 17 − 18 2,24 ± 0,10

4 19 Juni 1936 Rusia 16 − 29 2,73 ± 0,31

Jepang 8 1,28 s.d. 2,13

5 20 Mei 1947 Brazil 51 2,01 ± 0,27

6 25 Februari 1952 Sudan 9 − 11 1,70 ± 0,10

Sejak tahun 1919 telah dilakukan pengamatan kira-kira terhadap 380

bintang sepanjang gerhana matahari yang terjadi pada tahun 1922, 1929, 1936,

1947 dan 1952. Data hasil eksperimen tersebut disajikan pada Tabel 4.2. Nilai


_______________________________________________________________________________

109

pengamatan tersebut bervariasi dari 1,3 hingga 2,7 detik, namun paling banyak di

antara 1,7 hingga 2 detik. Eksperimen terbaru pada hasil tersebut adalah 1,70 ±

0,10 detik, yang cukup baik kesesuaiannya dengan prediksi teori relativitas umum.

Hasil eksperimen ini semakin menguatkan kebenaran teori relativitas umum,

setelah bukti pertama di atas, yaitu prediksi presisi sudut orbit planet yang

berevolusi memutari matahari.

4.4 Gelombang gravitasi

Untuk menelaah gelombang gravitasi, diasumsikan bahwa medan gravitasi

bersifat lemah, sehingga koordinat µx bersifat quasi−Minkowski. Karena tensor

metrik diberikan sebagai

µνµνµν δ hg += (4.107)

dengan µνh < < 1 dan suku derajat dua atau lebih tinggi dari µνh atau

derivatifnya dapat diabaikan. Ditinjau kerangka koordinat tersebut bersifat

harmonik sehingga tensor metrik memenuhi persamaan

0=Γαµν

µνg . (4.108)

Untuk orde pertama, pers. (4.108) tereduksi ke bentuk

[ ] αµµµµααµµ ,21

,, hh −= = 0. (4.109)

Dengan diturunkan, bentuk di atas menjadi

0,21

, =− ναµµµνµα hh . (4.110)

Dengan menukar indeks ν dan α , kemudian menambahkan persamaan baru

tersebut ke pers. (4.110), diperoleh

0,,, =−+ ναµµµνµαµαµν hhh . (4.111)

Bentuk tensor Ricci untuk tensor metrik (4.107) adalah

∂∂∂

−∂∂

∂−

∂∂∂+

∂∂∂

= νµαµ

αµµν

µµνα

ανµµ

ναxx

h

xx

h

xx

h

xx

hR

2222

2

1 (4.112)

Dengan menggunakan hasil (4.111), pers. (4.112) tereduksi ke bentuk


_______________________________________________________________________________

110

µµνανα ,21 hR = (4.113)

sehingga skalar kelengkungan R bernilai

µµνννανα

,21 hRgR == . (4.114)

Selanjutnya tensor Einstein diberikan oleh

µµναµµββναµµνανανα δ ,21

,41

,21

21 'hhhRgR =−=− (4.115)

dengan

ββνανανα δ hhh21' −= . (4.116)

Akhirnya persamaan gravitasi Einstein dapat dinyatakan dalam bentuk ναµµνα κTh 2' , −= . (4.117)

Dalam ruang hampa, tensor energi-momentum lenyap, sehingga pers. (4.117)

tereduksi ke bentuk

0''22

2

2

2

2

2

2

2

, =

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂= ναµµνα h

tczyxh . (4.118)

Pers. (4.118) di atas merupakan persamaan gelombang yang menunjukkan bahwa

gelombang gravitasi merambat dalam ruang hampa dengan laju sama dengan laju

cahaya.

Selanjutnya ditinjau solusi untuk pers. (4.118) di atas dalam bentuk

persamaan gelombang−datar :

)exp()exp(' * λλµν

λλµνµν xikexikeh −+= . (4.119)

bentuk di atas memenuhi pers. (4.118) jika

0=µµ kk (4.120)

dimana hubungan antara vektor kontravarian νk dan vektor kovarian µk

dihubungkan oleh tensor metrik µνg sebagai

νµνµ kgk = . (4.121)

Bentuk matriks µνe bersifat simetri :

νµµν ee = (4.122)

yang sering pula disebut tensor polarisasi (polarization tensor)


_______________________________________________________________________________

111

4.5 Lubang hitam Schwarzschild dan Kruskal−−−−Szekeres

Geometri ruang−waktu Schwarzschild yang diberikan oleh metrik

)sin(/21

21 22222

2222 φθ drdr

rm

drdtc

r

mds ++

−+

−−= (4.123)

tampak memiliki sifat singularitas saat mr 2= , karena pada keadaan tersebut ttg

menjadi lenyap dan rrg bernilai takhingga. Daerah tersebut sering disebut sebagai

jari-jari Schwarzschild, permukaan Schwarzschild, horison Schwarzschild, bola

Schwarzschild atau singularitas Schwarzschild.

Pada daerah di sekitar mr 2= , ada sifat yang berbeda untuk koordinat r dan

t. Pada daerah r > 2m, pada t direction atau t∂∂ / bersifat bak−waktu (timelike)

karena 0<ttg , sedangkan r direction atau r∂∂ / adalah bak−ruang (spacelike)

karena 0>rrg . Sebaliknya pada daerah r < 2m, t∂∂ / adalah bak−ruang

(spacelike) karena 0>ttg dan r∂∂ / adalah bak−waktu (timelike) karena

0<rrg .

Dengan sifat di sekitar mr 2= ini, Kruskal dan Szekeres melakukan

transformasi koordinat yang menghubungkan antara koordinat r dan t dengan

koordinat radial takberdimensi u dan koordinat waktu takberdimensi v yang

dirumuskan sebagai

)4/sinh(12/

)4/cosh(12/

4/

4/

mtemrv

mtemru

mr

mr

−=

−= untuk mr 2> (4.124)

Dengan transformasi koordinat ini, metrik Schwarzschild berubah menjadi

)sin()()/32( 2222222/32 φθθ ddrdudvermds mr +++−= − (4.125)

Metrik di atas dikatakan sebagai geometri Schwarzschild dalam koordinat

Kruskal-Szekeres. Di sini, besaran r dapat dinyatakan dalam fungsi u dan v

sebagai

222/)12/( vuemr mr −=− . (4.126)


_______________________________________________________________________________

112

Motivasi untuk melakukan transformasi koordinat Kruskal-Szekeres diawali

dengan mengenalkan sistem koordinat yang berbeda, pertama kali dilakukan oleh

Eddington (4.1924) dan Finkelstein (4.1958) (Misner dkk, 1973). Mereka

mengenalkan koordinat U~

dan V~

yang masing-masing melambangkan koordinat

radial keluar (outgoing) dan masuk (ingoing) pada geodesik nol, yaitu untuk gerak

foton jatuh bebas (freely falling photon). Untuk gerakan radial foton jatuh bebas

02 =ds (4.127)

dan

0== φθ dd (4.128)

sehingga metrik Schwarzschild menjadi (c = 1)

rm

drdt

r

m

/21

210

22

−+

−−= . (4.129)

Untuk gerak foton keluar, dilakukan transformasi

*~

rtU −= (4.130)

sedangkan untuk gerak foton masuk, persamaan transformasinya adalah

*~

rtV += (4.131)

Di sini r* diberikan sebagai

12

ln2* −+=m

rmrr . (4.132)

Untuk gerakan radial foton keluar (outgoing), metrik Schwarzschild pada

pers. (4.123) menjadi

drVdVdr

m ~2

~210 2 +

−−= . (4.133)

Persamaan di atas memiliki dua akar, yaitu

0~

=dr

Vd (4.134)

dan

rmdr

Vd

/21

2~

−= . (4.135)


_______________________________________________________________________________

113

Sedangkan untuk gerak radial foton masuk (ingoing), bentuk metrik

Schwarzschild menjadi

drUdUdr

m ~2

~210 2 −

−−= . (4.136)

Persamaan di atas memiliki dua akar yaitu

0~

=dr

Ud (4.137)

dan

rmdr

Ud

/21

2~

−−= . (4.138)

Selanjutnya transisi dari koordinat Eddington−Finkelstein ke

Kruskal−Szekeres dilakukan, pertama dengan menuliskan dari pers. (4.130) dan

(4.131) sebagai

*2~~

rUV =− (4.139)

dan

tUV 2~~ =+ (4.140)

sehingga metrik Schwarzschild berubah menjadi

)sin(~~2

1 22222 φθθ ddrVdUdr

mds ++

−−= . (4.141)

Dalam metrik di atas masih terdapatbentuk rm /21− yang menunjukkan adanya

singularitas di mr 2= . Kemudian disusun persamaan berikut

−=

=

−m

r

m

r

m

r

m

UV

2exp1

22

*exp

2

~~exp . (4.142)

Berikutnya dengan mendefinisikan

−

−−=

−−=

m

t

m

r

m

r

m

Uu

4exp

4exp1

24

~exp~ (4.143)

dan

−=

−=

m

t

m

r

m

r

m

Vv

4exp

4exp1

24

~exp~ , (4.144)


_______________________________________________________________________________

114

substitusi ini akan menghilangkan bentuk rm /21− dalam koefisien koordinat.

Dalam wakilan koordinat yang baru, metrik Schwarzschild berbentuk

)sin(~~2

exp32 2222

32 φθθ ddrvdud

m

r

r

mds ++

−

−= (4.145)

Tampak bahwa bentuk rm /21− telah lenyap, sehingga metrik tersebut tetap valid

untuk mr 2= . Terakhir dengan melakukan substitusi berikut, diperoleh metrik

dalam koordinat Kruskal−Szekeres, yaitu :

−=−=m

t

m

r

m

ruvu

4cosh

4exp1

2)~~(

2

1 (4.146)

dan

−=+=m

t

m

r

m

ruvv

4sinh

4exp1

2)~~(

2

1 (4.147)

sehingga diperoleh pula

udvddudv ~~22 =− . (4.148)

Akhirnya diperoleh metrik berkoordinat Kruskal−Szekeres yang berbentuk

( ) )sin(2

exp32 222222

32 φθθ ddrdvdu

m

r

r

mds ++−

−

= . (4.149)

Ilustrasi metrik berkoordinat Kruskal−Szekeres disajikan pada Gambar 4.4.

Gambar 4.4 Ilustrasi ruang−waktu bermetrik Kruskal−Szekeres


_______________________________________________________________________________

115

4.6 Struktur Bintang

Berikut ini akan ditelaah struktur bintang statik simetri bola beserta

dinamika tekanan, rapat massa dan medan gravitasi. Dari metrik isotropik statik

(nilai c diisikan sama dengan 1) yang berbentuk

)sin()()( 2222222 φθθ ddrdrrAdtrBds +++−= (4.150)

komponen tensor metrik kovarian adalah

)(rAgrr = , 2rg =θθ , θφφ22 sinrg = , )(rBgtt −=

dan 0=µνg untuk νµ ≠ . (4.151)

Diasumsikan tensor energi-momentum pada keadaan ini berbentuk tensor untuk

fluida sempurna (perfect fluid) yang berbentuk

νµµνµν ρ UUppgT )( ++= (4.152)

dengan :

p = tekanan pribadi (proper pressure),

ρ = rapat energi total pribadi (proper total energy density), dan

µU = vektor kecepatan−4,

yang memenuhi persamaan

1−=νµµν UUg . (4.153)

Mengingat fluida dalam keadaan rehat, diambil nilai-nilai

0=== φθ UUU r (4.154)

dan

)(1

rBg

Uttt −=

−−= . (4.155)

Diasumsikan bahwa sistem yang ditinjau tak gayut waktu t serta bersifat simetri

bola yang membawa konsekuensi bahwa tekanan p dan rapat energi ρ hanya

fungsi koordinat radial r.

Dengan menggunakan nilai-nilai komponen tensor metrik, tensor energi-

momentum fluida sempurna ke dalam tensor Ricci dan persamaan gravitasi

Einstein, diperoleh persamaan-persamaan berikut :


_______________________________________________________________________________

116

ApGrA

A

B

B

A

A

B

B

B

BRrr )(4

'''

4

'

2

'' −−=−

+−= ρπ (4.156)

2)(41''

21 rpG

AB

B

A

A

A

rR −−=+

+−+−= ρπθθ (4.157)

dan

BpGrA

B

B

B

A

A

A

B

A

BRtt )3(4

'''

4

'

2

'' +−=−

++−= ρπ . (4.158)

Tanda aksen yang terdapat pada persamaan di atas menunjukkan ./ drd

Sebagai tambahan analisis, persamaan yang menyatakan keseimbangan

hidrostatik (hydrostatic equilibrium) diberikan oleh (Weinberg, 1972)

ρ+

−=p

p

B

B '2'. (4.159)

Langkah pertama untuk menyelesaikan persamaan-persamaan di atas adalah

mencari nilai )(rA , yaitu dengan membentuk persamaan berikut

ρπθθ GArrrA

A

B

R

r

R

A

R ttrr 811'

22 2222−=+−−=++ . (4.160)

Persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

281 rGA

r

dr

d ρπ−=

. (4.161)

Penyelesaian persamaan diferensial di atas dengan syarat )0( =rA berhingga

diberikan dalam bentuk

1

)(21)(

−

Μ−=r

rGrA (4.162)

dengan

∫=

=Μr

r

rdrrr0~

2 ~)~(~4)( ρπ . (4.163)

Untuk mengeliminasi )(rA dan )(rB dari pers. (4.157), digunakan pers. (4.159)

dan (4.162) yang kemudian menjadi

22 )(44'

12

11 rpGrGr

G

p

rp

r

G −−=−Μ+

+−

Μ−+− ρπρπρ

. (4.164)


_______________________________________________________________________________

117

Kita dapat menuliskan persamaan di atas dalam bentuk

13

2 )(21

)(

)(41

)(

)(1)()()('

−

Μ−

Μ+

+Μ=−

r

rG

r

rpr

r

rprrGrpr

πρ

ρ . (4.165)

Ketika kita menghitung )(),( rr Μρ dan )(rp , dapat dengan segera diperoleh

)(rA dari pers. (4.162). Selanjutnya untuk memperoleh )(rB , pers. (4.165) dapat

digunakan untuk menuliskan pers. (4.159) dalam bentuk

rG

pr

r

G

B

B

/21

)4(2' 3

2 Μ−+Μ= π

. (4.166)

Solusi untuk syarat batas 1)( =∞B adalah

( )

Μ−+Μ−= ∫∞

=

−

rdr

rGrprr

r

GrB

rr

~~

)~(21)~(~4)~(

2exp)(

~

13

2π (4.167)

Di luar bintang, )(rp dan )(rρ lenyap, dan )(rΜ adalah tetapan yang

bernilai )(RΜ , sehingga pers. (4.162) dan (4.167) memberikan

r

rG

rArB

)(21

)(

1)(

Μ−== untuk Rr ≥ . (4.168)

Sekarang ditinjau keadaan dimana bintang memiliki rapat energi konstan :

ρ = konstan. (4.169)

Dengan ρ konstan, pers. (4.164) dapat ditulis menjadi

]3/)(][)([

)('

ρρ ++−

rprp

rp =

12

3

814

−

− rG

Grρππ . (4.170)

Di permukaan bintang dengan r = R, nilai tekanan pribadi (proper pressure)

p haruslah lenyap atau

0)( == Rrp (4.171)

sehingga syarat batas ini memberikan bentuk

3/81

3/81)(3)(

2

2

rG

RG

rp

rp

ρπρπ

ρρ

−−=

++

. (4.172)

Untuk mencari tekanan p, rapat energi ρ dinyatakan dalam massa bintang secara

34

3

R

M

πρ = untuk Rr < (4.173)


_______________________________________________________________________________

118

sehingga diperoleh tekanan bintang

−−−

−−−=

)/2(13/2(1

/2(1)/2(1

4

3)(

32

32

3RGMRGMr

RGMrRGM

R

Mrp

π. (4.174)

Komponen tensor metrik )(rA dapat dihitung menggunakan pers. (4.162) :

1

3

221)(

−

−=

R

GMrrA (4.175)

sedangkan komponen tensor metrik )(rB dapat dihitung dengan menggunakan

pers. (4.174) ke dalam integral (4.167) yang memberikan

2

3

221

213

4

1)(

−−−=

R

GMr

R

GMrB . (4.176)


_______________________________________________________________________________

119

Soal-Soal Latihan BAB IV

1. Bagaimanakah konsep gravitasi Newton dan Einstein terhadap kasus :

sebuah massa M simetri bola ditempatkan di pusat koordinat.

2. Apakah metrik Schwarzschild menyimpan singularitas di dalamnya? Ketika

dilakukan transformasi koordinat ke koordinat Kruskal−Szekeres, apakah

seluruh singularitas menjadi lenyap? Jelaskan.

3. Tunjukkan bahwa transformasi Kruskal−Szekeres

)4/cosh()4/exp(12/ mctmrmru −= ,

)4/sinh()4/exp(12/ mctmrmrv −=

mengubah metrik Schwarzschild ke bentuk

)sin()2/exp(

)(32 2222223

2 φθθ ddrmrr

dvdumds ++−=

dengan r diberikan dalam bentuk u dan v oleh persamaan

)2/exp()12/(22 mrmrvu −=− .

Tunjukkan bahwa persamaan lintasan foton yang bergerak radial adalah

vu ± = tetapan.

4. Tunjukkan bahwa transformasi

arvu 3/2 2/3+= ,

])/()ln[(2 2 arararatv −+−+=

dengan ma 22 = akan mengubah metrik Schwarzschild ke bentuk

22223/423/2

222 )sin()(

)(9

4dvddvu

vu

duds −+−+

−= φθθµµ

dengan 4/9 23 a=µ .


_______________________________________________________________________________

120

5. Tunjukkan bahwa dengan melakukan transformasi koordinat

2

'21'

+=r

mrr

ke dalam metrik Schwarzschild diperoleh metrik dalam bentuk ‘isotropik”

yaitu

222

222222

2

'2/1

'2/1))sin(''(

'21 dtc

rm

rmddrdr

r

mds

+−−++

+= φθθ .

6. Pada metrik Schwarzschild :

(a) Tentukan jari-jari dimana sebuah foton menempuh gerakan melingkar.

(b) Tentukan periode orbit foton tersebut yang diukur oleh seorang

pengamat tetap.

7. Buktikan persamaan (4.43).




11. Buktikan bahwa jika peristiwa pembelokan cahaya bintang hanya dipandang

sebagai tarikan foton relativistik oleh medan gravitasi Newton benda massif,

maka sudut pembelokan cahaya bintang tersebut hanya bernilai setengah

dari ramalan relativitas umum.

12. Carilah lintasan gerak foton pada metrik Kruskal−Szekeres.

13. Buktikan persamaan (4.156)−(4.158).

Kosmologi : Sejarah Jagad Raya _________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

121

BAB V

KOSMOLOGI : SEJARAH JAGAD RAYA

5.1 Pendahuluan

Sebagaimana ditulis oleh Krane (1992), setiap kemajuan baru di dalam

pemahaman jagad raya ternyata semakin memperkecil peran kita di dalamnya.

Walaupun demikian, setiap kemajuan ini selalu menimbulkan rasa kekaguman

baru. Astronomi abad ke tujuh belas mengungkapkan fakta bahwa bumi bukanlah

pusat tata surya melainkan salah satu dari beberapa planet yang mengitari

matahari. Pada abad ke sembilan belas, para astronom mengarahkan teleskopnya

ke bintang-bintang dan menggunakan peralatan spektroskopi yang dikembangkan

untuk mengukur berbagai panjang gelombang cahaya bintang. Ditemukan fakta

bahwa matahari kita ternyata hanya sebuah bintang biasa yang kedudukannya

tidaklah istimewa dalam skala galaksi. Matahari kita ternyata adalah satu dari

sekitar 1011 bintang dalam galaksi kita yang dikenal dengan nama galaksi Bima

Sakti.

Dari teleskop para astronom, terungkap pula beberapa objek aneh seperti

gumpalan nebula redup yaitu sepotong cahaya lebar yang melebihi ukuran bintang.

Beberapa nebula ini kemudian dapat disimpulkan sebagai kabut gas dalam galaksi,

yang dapat menyatakan materi baru dari mana bintang dibentuk, atau sisa dari

bintang yang mengakhiri hidupnya dengan ledakan dahsyat.

Selain itu diperoleh pula nebula yang agak redup. Namun hal ini masih

menimbulkan pertanyaan, bagaimana sebenarnya hakikat nebula yang agak redup

ini. Kepastian tentang pertanyaan ini hanya dapat terpecahkan bila cahaya semua

objek redup dapat dipisahkan menjadi bintang-bintang tunggal. Hal ini adalah

persoalan eksperimental yang amat sulit, karena memerlukan pencahayaan sebuah

pelat foto sepanjang malam, pada saat mana para astronom bergulat dalam

kedinginan malam di atas puncak gunung untuk menjaga fokus teleskopnya tetap

mengarah ke nebula, sebagai akibat rotasi bumi dan perubahan suhu yang

menyebabkan perubahan ukuran teleskop. Pada tahun 1920−an, Edwin Hubble


__________________________________________________________________

122

berhasil memisahkan cahaya berbagai bintang dalam galaksi tetangga kita, serta

menyimpulkan ukuran, kecemerlangan dan jaraknya dari kita.

Semakin banyak nebula dan galaksi yang ditemukan, semakin pula

kedudukan kita di jagad raya. Matahari kita tidak saja hanya satu dari sekitar 1011

bintang dalam galaksi Bima Sakti, melainkan mungkin galaksi Bima Sakti sendiri

merupakan satu di antara 1011 galaksi yang ada di jagad raya.

Pengamatan Hubble juga menghasilkan pernyataan yang menarik : setiap

galaksi bergerak menjauhi kita (dan menjauhi yang lainnya) dengan kelajuan yang

amat tinggi. Semakin jauh sebuah galaksi dari kita, semakin tinggi lajunya.

Kesimpulan mengesankan ini akan menuntun kita ke model standar jagad raya

beserta asal usulnya. Jika semua galaksi bergerak saling menjauhi, maka mereka

sebelumnya tentulah berdekatan. Jika kita kembali cukup jauh ke masa lampau,

semua materi tentulah berasal dari sebuah titik singularitas berkerapatan takhingga

yang mengalami ledakan dahsyat. Peristiwa itu dikenal sebagai Big Bang (Ledakan

Besar).

Informasi yang lebih menghebohkan datang menyusul. Pada tahun 1965, dua

astronom yang bernama Arno Penzias dan Robert Wilson menemukan pijaran

radiasi latar belakang gelombang mikro dari sisa-sisa ledakan besar yang mengisi

seluruh jagad raya dan terus menghujami bumi, meskipun telah mengalami

pendinginan selama kurang lebih 15 milyar tahun.

Karya eksperimental yang telah dirintis oleh Hubble, Penzias dan Wilson

merupakan landasan untuk berspekulasi mengenai asal mula, evolusi dan masa

depan jagad raya. Semua teori ini termasuk dalam bidang kajian kosmologi yang

berasaskan pada teori relativitas umum dengan paduan bidang astronomi, fisika

partikel, fisika statistik, termodinamika dan elektrodinamika. (Krane, 1992)

Di dalam jagad raya paling tidak terdapat empat jenis interaksi dasar

(mungkin dapat ditambah satu lagi yaitu interaksi maha lemah atau superweak).

Keempat interaksi tersebut masing-masing adalah interaksi kuat, lemah,

elektromagnetik dan gravitasi. Interaksi elektromagnetik (EM) bermediator foton

dan berjangkauan jauh terjalin antara zarah−zarah bermuatan listrik dan/atau

bermomen magnet dan berlangsung secara makro dan mikro dalam atom inti dan


__________________________________________________________________

123

zarah elementer. Teori kuantum interaksi medan elektromagnetik dikenal dengan

nama Elektrodinamika Kuantum (QED) dan merupakan teori interaksi yang paling

akurat dan luas cakupannya. Interaksi kuat yang berjangkauan pendek serta

bersama−sama dengan interaksi EM mempertahankan paritas, hanya muncul

dalam daerah kuantum serta berperan dalam interaksi antar nukleon dalam inti

atom dan antar penyusun nukleon dan meson yaitu tiga jenis kuark (u, d dan s)

dengan mediator partikel gluon bermassa. Teori interaksi kuat yang melibatkan

zarah−zarah hadron ini disebut Kromodinamika Kuantum (QCD). Interaksi lemah

yang hanya muncul pada daerah mikro, melibatkan zarah neutrino dan bekerja

pada peluruhan beta inti, pion, muon dan sebagainya dengan mediator partikel

bermassa W± (bermuatan) dan Z (netral) serta melanggar kekekalan paritas. Teori

untuk interaksi ini disebut Flavordinamika Kuantum (QFD). Interaksi yang paling

lemah dari keempat interaksi dasar adalah interaksi gravitasi yang berperan dalam

interaksi jangkauan jauh antar massa dan antar massa dengan foton dengan

mediator graviton tak bermassa. Teori kuantum yang menjelaskan interaksi

gravitasi antar partikel bermassa dikenal dengan nama Geometrodinamika

Kuantum (QGD).

Pada materi massif seperti bintang dan galaksi, muatan mereka praktis netral

sehingga interaksi elektromagnetik tak bekerja pada struktur skala besar jagad

raya. Pada pada skala ini, hanya interaksi gravitasi saja yang bekerja. Oleh karena

itu hukum gravitasi Einstein yang didasarkan pada teori relativitas umum akan

sanggup memberikan gambaran jagad raya secara komprehensif, baik secara

kualitatif maupun kuantitatif.

Teori Gravitasi Einstein sendiri mampu meramalkan beberapa fenomena di

jagad raya dengan ketelitian tinggi. Teori ini adalah teori yang menyempurnakan

teori gravitasi Newton. Beberapa fenomena di jagad raya yang terbuktikan

ramalannya dengan ketelitian tinggi adalah :

1. pembelokan cahaya bintang

2. presesi orbit planet

3. pergeseran merah gravitasi

4. gema tunda waktu radar (Weinberg, 1972; Krane 1992).


__________________________________________________________________

124

Relativitas umum juga menyajikan beberapa ramalan menarik seperti adanya

lubang hitam (black holes), gelombang gravitasi (gravitational waves), singularitas

ruang-waktu dan sebagainya. Meskipun teori ini memiliki daya pikat, keindahan

estetis dan sementara ini lulus dalam tes eksperimental, jumlah tes tersebut

sebenarnya masih tergolong langka. Nampaknya agak berlebihan jika jagad raya

dapat ditelaah hanya dengan menggunakan teori ini. Namun akan diperoleh bahwa

paling tidak secara kuantitatif, ramalan teori relativitas umum sesuai dengan

beberapa pengamatan, seperti fenomena ekspansi jagad raya, ramalan sisa-sisa

radiasi Big Bang dan sebagainya.

Tidak digunakannya gravitasi Newton untuk menelaah interaksi gravitasi

dalam jagad raya disebabkan oleh keterbatasan teori itu sendiri. Memang gravitasi

Newton itu sendiri memberikan pemerian secara kuantitatif yang serupa dengan

solusi persamaan gravitasi Einstein untuk objek jagad raya (Weinberg, 1972).

Namun teori Newton menganggap bahwa ruang di jagad raya bersifat Euclid

(datar). Newton tidak mengenal istilah ruang lengkung. Padahal menurut Einstein,

keberadaan medan gravitasi dalam ruang menyebabkan ruang di jagad raya

menjadi lengkung, dengan geometri ruang bersifat Riemannian. Kelengkungan

ruang untuk skala galaksi memang masih dapat diabaikan, namun untuk skala

besar jagad raya, efek ini dapat dijumlahkan sehingga tak dapat diabaikan lagi.

Oleh karena itu penelaahan keadaan fisis jagad raya dilakukan dengan

menyelesaikan persamaan medan gravitasi Einstein untuk objek jagad raya.

5.2 Asas Kosmologi

Dalam skala besar jagad raya, mulai dari jarak 107 parsec, seluruh materi

dapat dianggap sebagai fluida yang kontinu, homogen dan isotrop. Pernyataan ini

membawa kepada kesimpulan bahwa tidak ada pengamat galaksi yang dipandang

istimewa di jagad raya ini. Dengan kata lain, seluruh pengamat bergerak bersama

galaksi dan melihat proses skala besar yang sama dalam evolusi jagad raya. Inilah

yang dinamakan dengan asas kosmologi (cosmological principle). Sedangkan teori

keadaan ajeg (steady state theory) didasarkan pada asas kosmologi sempurna

(perfect cosmological principle) yang menyatakan bahwa seluruh pengamat


__________________________________________________________________

125

galaksi melihat struktur skala besar jagad raya yang sama untuk seluruh waktu.

Berdasarkan fakta-fakta, ditemui bahwa yang lebih tepat adalah asas pertama,

bukan asas kedua.

5.3 Geometri Bolahiper (Hypersphere geometry)

Dalam ruang Euclid empat dimensi

),,,( 4321 xxxxxi = (5.1)

kuadrat elemen garis dirumuskan sebagai

242322212 )()()()( dxdxdxdxdxdxdl jiij +++== η (5.2)

Bentuk persamaan bolahiper (hypersphere) tiga dimensi dalam ruang empat

dimensi menyerupai bentuk persamaan permukaan bola dua dimensi dalam ruang

tiga dimensi. Persamaan bolahiper tersebut adalah

224232221 )()()()( Sxxxx =+++ (5.3)

dengan S adalah ruji bolahiper. Jika persamaan di atas diturunkan maka bentuknya

menjadi

044332211 =+++ dxxdxxdxxdxx (5.4)

atau

4

3322114

x

dxxdxxdxxdx

++−= . (5.5)

Dengan memasukkan pers. (5.5) ke (5.2) diperoleh

23

1

224

3

1

22 )()2(

1)(

+= ∑∑

== i

i

i

i xdx

dxdl (5.6)

yang menyatakan bentuk umum persamaan kuadrat elemen garis pada bolahiper.

Jika ruang Euclid tersebut dinyatakan dalam koordinat polar

),,( φθu (5.7)

melalui persamaan transformasi

θφθφθ cos,sinsin,cossin 321 uxuxux === (5.8)

maka

( ) 2/1332211 )()()( xxxu ++= (5.9)


__________________________________________________________________

126

dan

242 )(xuS += (5.10)

sehingga

22

22222222 )sin(

uS

duuddududl

−+++= φθθ (5.11)

= )sin()/(1

22222

2

φθθ dduSu

du ++−

. (5.12)

Dengan substitusi

Sru = (5.13)

diperoleh

++

−= )sin(

12222

2

222 φθθ ddr

r

drSdl . (5.14)

Jika pada pers. (5.3), 2S diganti dengan 2S− , pers. (5.14) menjadi

++

+= )sin(

12222

2

222 φθθ ddr

r

drSdl . (5.15)

Kedua metrik di atas dapat dituliskan sekaligus dalam ungkapan

++

−= )sin(

12222

2

222 φθθ ddr

kr

drSdl (5.16)

dengan k = 1 untuk pers. (5.14) dan k = −1 untuk pers. (5.15). Jika diisikan k = 0 ,

dihasilkan ruang Euclid tiga dimensi.

5.4 Metrik Robertson-Walker

Metrik Robertson-Walker dibangun di atas dua asumsi berikut :

1. Adanya waktu kosmik x0 dalam koordinat Gauss, yaitu koordinat yang ikut

bergerak bersama pengamat

2. Asas homogen dan isotrop jagad raya.

Metrik jagad raya mengambil bentuk

νµµν dxdxgds =2 (5.17)

Persamaan transformasi untuk 0ig adalah


__________________________________________________________________

127

000 ji

j

jk

k

i

j

i gx

xg

x

x

x

xg

∂∂=

∂∂

∂∂=

yang menggambarkan bahwa 0ig menentukan arah tertentu pada ruang tiga

dimensi. Hal ini bertentangan dengan asumsi kedua di atas sehingga ditarik

kesimpulan bahwa 00 =ig untuk i = 1, 2, 3. Bentuk metrik jagad raya tereduksi ke

bentuk

jiij dxdxgdxgds += 20

002 )( (5.18)

Ditinjau dua kejadian yang masing-masing terjadi pada waktu 0x dan

00 dxx + . Diketahui τd adalah swawaktu / waktu pribadi (proper time) antara dua

kejadian tersebut. Karena koordinat spatial pengamat tidak pernah berubah, bentuk

metrik (5.18) menjadi

2000

2 )(dxgd =− τ (5.19)

Berdasarkan asumsi pertama, swawaktu ∫= ττ d sama dengan waktu kosmik

tx =0 sehingga 100 −=g . Bentuk metrik (5.18) menjadi

jiij dxdxgdtds +−= 22 (5.20)

Dengan mengambil t konstan, metrik di atas menjadi

22 dldxdxgds jiij == (5.21)

Berdasarkan asas kosmologi, setiap pengamat akan mendapati ruang spatial

bersifat homogen dan isotrop. Oleh karena itu, bentuk 2dl adalah bentuk umum

elemen garis pers. (5.16) sehingga pers. (5.20) dituliskan sebagai

++

−+−= )sin(

12222

2

2222 φθθ ddr

kr

drSdtds (5.22)

Metrik di atas dinamakan metrik Robertson-Walker. S adalah faktor skala kosmik

yang merupakan fungsi t saja. Untuk k = +1, nilai S menyatakan ruji spatial

bolahiper 3 dimensi dalam ruang empat dimensi spatial.

5.5 Pergeseran merah galaksi


__________________________________________________________________

128

Informasi penting yang diperoleh mengenai faktor skala kosmik )(tS akan

membawa pada pengamatan pergeseran frekuensi cahaya yang dipancarkan dari

sumber tertentu. Untuk menghitung pergeseran frekuensi ini, kita akan

menempatkan diri kita pada titik awal koordinat r = 0. Ditinjau cahaya yang

merambat hanya pada arah r dengan θ dan φ konstan. Persamaan geodesik

cahaya tersebut adalah

2

2222

10

kr

drSdtd

−−== τ (5.23)

atau

21 kr

dr

S

dt

−=− . (5.24)

Jika cahaya meninggalkan galaksi dengan koordinat ),,( 111 φθr pada saat 1t

maka cahaya tersebut akan sampai pada kita pada saat 0t yang diberikan oleh

persamaan

)( 1

0

1

rfS

dtt

t

=∫ (5.25)

dengan

−==

+==

−=

−

−

∫1sinh

0

1sin

1)(

11

1

11

021

1

kr

kr

kr

kr

drrf

r

(5.26)

Galaksi tersebut memiliki koordinat ),,( 111 φθr konstan sehingga )( 1rf tak

gayut waktu. Selanjutnya jika cahaya berikutnya meninggalkan 1r pada waktu

11 tt δ+ , cahaya tersebut akan sampai kepada kita pada waktu 00 tt δ+ dengan

hubungan sebagai

)( 1

00

11

rfS

dttt

tt

=∫+

+

δ

δ

(5.27)

yang berimplikasi pada hubungan

)()( 1

1

0

0

tS

t

tS

t δδ = . (5.28)


__________________________________________________________________

129

Cahaya berfrekuensi 0ν yang dipancarkan akan teramati berfrekuensi 1ν melalui

hubungan

)(

)(

0

1

0

1

1

0

tS

tS

t

t ==δδ

νν

. (5.29)

Didefinisikan pergeseran merah z sebagai fraksi pertambahan panjang

gelombang

1

10

λλλ −=z . (5.30)

Karena

0

1

1

0

νν

λλ = (5.31)

maka

1)(

)(

1

0 −=tS

tSz . (5.32)

Jadi z akan bernilai positif jika

)()( 10 tStS > (5.33)

yang menyatakan adanya ekspansi jagad raya.

Jika galaksi yang diamati cukup dekat pada skala besar, 10 tt − relatif kecil

dan )( 1tS dapat dinyatakan dalam deret Taylor sebagai

...)()()()()()( 02

1021

01001 −−+−−= tStttStttStS ɺɺɺ

= ( )...)()(1)( 210002

11000 −−−−− ttHqttHtS (5.34)

dengan 0H dan 0q berturut-turut menyatakan tetapan Hubble dan parameter

perlambatan untuk saat ini. Kedua besaran itu dikatakan konstanta, meski

sebenarnya nilai gayut waktu. Namun untuk rentang waktu yang relatif kecil, jika

dibandingkan dengan usia jagad raya, kedua nilai di atas praktis konstan. Secara

umum keduanya didefinisikan sebagai

S

SH

ɺ

= (5.35)

dan


__________________________________________________________________

130

2S

SSq

ɺ

ɺɺ

−= (5.36)

Dengan substitusi pers. (5.34) − (5.36) ke (5.32) diperoleh hasil

...)()1()( 210

2002

1100 +−++−= ttHqttHz (5.37)

Dengan mengamati z untuk sejumlah galaksi serta menghitung )( 10 tt − setiap

galaksi, ekspansi z di atas menghasilkan nilai 0H dan 0q saat ini yang besarnya

masing-masing adalah (Weinberg, 1972)

0H = 75 km/sMpc (5.38)

0q = 1,2 ± 0,4. (5.39)

Selanjutnya kedua nilai tersebut dipakai untuk menelaah sifat fisis jagad raya.

5.6 Ekspansi Jagad Raya

Bukti adanya ekspansi jagad raya berasal dari efek pergeseran Doppler

cahaya yang dipancarkan oleh galaksi-galaksi jauh. Pergerakan bintang-bintang

atau galaksi dekat relatif terhadap kita tidaklah cukup memberikan bukti adanya

ekspansi jagad raya. Beberapa bintang di galaksi kita bergerak menuju kita dan

panjang gelombang yang dipancarkannya teramati mengalami pergeseran ke

panjang gelombang yang lebih pendek (pergeseran biru). Sementara itu beberapa

bintang lainnya bergerak menjauhi kita sehingga cahayanya mengalami pergeseran

ke arah panjang gelombang yang lebih besar atau dikenal sebagai pergeseran

merah.

Jika kita beralih ke cahaya yang berasal dari galaksi-galaksi di dekat kita,

kembali akan diperoleh beberapa di antara mereka mengalami pergeseran biru, dan

beberapa lainnya mengalami pergeseran merah. Hanya jika kita alihkan perhatian

kepada galaksi-galaksi jauh, barulah nampak secara konvergen galaksi-galaksi

tersebut bergerak menjauhi kita serta cahaya yang dipancarkannya mengalami

pergeseran merah.

Bagaimanakah kita dapat meyakini adanya pengembangan jagad raya yang

menyebabkan terjadinya pergeseran merah tersebut ? Sekurang-kurangnya terdapat

tiga alasan yaitu (Krane, 1992) :


__________________________________________________________________

131

1. Menurut pengamatan, jumlah galaksi yang mengalami pergeseran merah dan

biru tidak seimbang. Semua galaksi jauh bergerak menjauhi kita. Oleh

karena itu pergeseran merah ini tidak dapat dijelaskan sebagai pergeseran

acak sejumlah galaksi yang mematuhi suatu distribusi tertentu.

2. Pergeseran merah itu nampaknya bukanlah pergeseran merah galaksi

menurut relativitas umum. Hal ini disebabkan materi dalam galaksi tidaklah

terlalu padat sehingga tidak dapat menghasilkan pergeseran yang besar.

3. Pergeseran yang diamati berbanding lurus dengan jarak galaksi dari kita.

Agaknya kenyataan ini merupakan langkah paling penting untuk mendukung

gagasan ekspansi jagad raya yang biasanya diungkapkan sebagai Hukum

Hubble, yaitu

v = Hd (5.40)

dengan v adalah laju galaksi, H adalah tetapan Hubble dan d adalah jarak galaksi

dari kita.

Hukum Hubble tersebut dapat diturunkan dari metrik Robetrson-Walker.

Jika tempat kita dipilih dengan koordinat r = 0, maka jarak radial galaksi ),,( 1 φθr

terhadap kita pada waktu kosmik t adalah

)(1

10

2

1

rSfkr

drSd

r

r

=−

= ∫=

(5.41)

dengan )( 1rf seperti pada pers. (5.26). Laju pergerakan galaksi tersebut terhadap

kita diberikan sebagai

HdS

SSrf

dt

dSrfdv ====

ɺɺ )()( 11 (5.42)

yaitu hukum Hubble.

Bagaimanakah hukum Hubble melukiskan ekspansi jagad raya ? Ditinjau

kiasan jagad raya yang digambarkan oleh sistem koordinat tiga dimensi pada

Gambar 5.1 yang mana setiap titik mewakili sebuah galaksi. Galaksi Bima Sakti

dipilih pada titik O. Jarak mula-mula suatu galaksi terhadap Bima Sakti adalah d.

Setelah jagad raya mengembang yang digambarkan oleh menjauhnya semua titik

tersebut, jarak tersebut menjadi d’. Diasumsikan pengembangan tersebut terjadi


__________________________________________________________________

132

sedemikian sehingga seluruh jarak ukur bertambah dengan faktor pengali konstan

k pada waktu t. Rumus yang berlaku adalah kxx =' . Jadi kdd =' . Dengan

demikian jika dalam selang waktu t galaksi tersebut menempuh jarak dd −'

menjauhi Bima Sakti, laju pergerakannya adalah

t

ddv

−= ' =

t

kd )1( −. (5.43)

Jika kita bandingkan antara kelajuan galaksi 1 dan 2 diperoleh

2

1

2

1

d

d

v

v = (5.44)

yang identik dengan hukum Hubble. Pers. (5.44) di atas sekaligus menunjukkan

bahwa makin jauh jarak galaksi dari kita, makin cepat pula ia meninggalkan kita.

Gambar 5.1.

Kiasan pengembangan jagad raya dengan kiasan kawat

Perlu dicatat di sini bahwa ekspansi jagad raya berlangsung sedemikian

sehingga tidak ada satu tempat/ruang di jagad yang menjadi pusat ekspansi. Semua

titik/ruang mengalami ekspansi sehingga tidak ada titik yang memiliki kedudukan

istimewa di jagad raya. Jika kita mengecat beberapa titik pada balon kemudian

meniupnya, tampak bahwa setiap titik bergerak saling menjauhi. Semakin jauh

jarak antara dua titik, semakin cepat pula keduanya menjauh.

Peristiwa fisis ekspansi jagad raya ini melahirkan dua teori besar. Teori

pertama, jika setiap galaksi bergerak saling menjauhi, berarti di masa lampau jarak

mereka lebih dekat. Kalau kita menengok lebih jauh lagi, akan didapati seluruh

galaksi dan materi lainnya mula-mula berada pada titik singularitas dengan


__________________________________________________________________

133

kerapatan dan temperatur takhingga besar. Teori ini dikenal sebagai hipotesis Big

Bang (Ledakan Besar) yang dikemukakan oleh George Gamow dkk pada tahun

1948. Teori kedua, kerapatan jagad raya selalu konstan. Sewatu galaksi-galaksi

bergerak saling menjauhi, dalam ruang antargalaksi terus diciptakan materi baru

agar kerapatan jagad raya selalu konstan. Galaksi atau materi baru yang diciptakan

akan menyebabkan jagad raya tampak sama sepanjang masa, baik pada masa

lampau, sekarang maupun masa depan. Teori ini dikenal dengan hipotesis Steady

State (Keadaan Ajeg) yang dikemukakan oleh Hoyle dkk pada tahun 1960. Teori

kedua ini menggunakan asas kosmologi sempurna, sebagaimana tersebut pada

pasal 2. Pengamatan dengan teleskop radio yang dilakukan oleh Penzias dan

Wilson di tahun 1965 berhasil menyingkap adanya suatu radiasi latar belakang

kosmik pada daerah gelombang mikro yang diyakini sebagai sisa-sisa radiasi Big

Bang. Dengan demikian pengamatan tunggal ini mengunggulkan teori Big Bang

dari semua model kosmologi lainnya.

5.7 Sejarah Suhu Jagad Raya menurut Big Bang

Menurut teori Big Bang, jagad raya berasal dari suatu ledakan besar yang

menghamburkan seluruh isi jagad raya ke segala arah ruang. Saat ledakan terjadi,

jagad raya berukuran titik berkerapatan energi takhingga, bersuhu takhingga besar.

Saat jagad raya terus mengembang dan usianya bertambah, suhunya semakin

mengecil. Akhirnya suhu jagad raya sampai pada ambang penciptaan partikel-

antipartikel.

Menurut Weinberg (1972), garis besar sejarah suhu (thermal history) jagad

raya adalah sebagai berikut :

1. Pada suhu T > 1012 K, jagad raya berisi banyak sekali variasi partikel pada

kesetimbangan suhu, seperti foton, lepton, meson dan nukleon beserta

antipartikel masing-masing. Suhu ambang bagi penciptaan nukleon ini

adalah sekitar 1013 K. Di atas suhu tersebut, energi jagad raya sedemikian

tinggi sehingga mungkin mampu menciptakan kuark yang lebih berat dari

nukleon seperti kuark jenis charmed, bottom dan top (Griffith, 1987).


__________________________________________________________________

134

2. Pada T ≈ 1012 K, jagad raya berisi foton, muon, antimuon, elektron, positron,

neutrino dan antineutrino. Terdapat percampuran nukeon dalam jumlah amat

kecil, dengan neutron dan proton berjumlah kurang lebih sama. Semua

partikel masih berada dalam kesetimbangan suhu.

3. Ketika T < 10 12 K, muon dan antimuon mengalami proses pelenyapan

(annihilation). Setelah seluruh muon lenyap, pada T ≈ 1,3 × 1011 K, neutrino

dan antineutrino mengalami ketidakgandengan (decoupled) dengan partikel

lain. Partikel ±e , γ dan sebagian kecil nukleon berada pada kesetimbangan

suhu dengan T ∝ S −1.

4. Ketika T < 10 11 K atau t ≈ 10−2 s, perbedaan massa proton dan neutron

menyebabkan terjadinya perubahan percampuran nukleon sehingga proton

lebih banyak daripada neutron.

5. Ketika T < 5 × 109 K atau t ≈ 4 s, pasangan elektron-positron mengalami

pelenyapan sehingga melenyapkan seluruh positron dan menyisakan sedikit

elektron. Jagad raya hanya didominasi oleh foton, neutrino dan antineutrino

dengan suhu foton lebih tinggi 40,1 % daripada suhu neutrino-antineutrino.

Perbandingan neutron terhadap proton kira-kira 1 : 5.

6. Pada T ≈ 109 K atau t ≈ 180 s, terjadi fusi antara proton dengan neutron yang

membentuk inti yang lebih berat seperti deuterium dan helium.

7. Ekspansi bebas foton, neutrino dan antineutrino terus berlanjut dengan γT =

1,401 νT ∝ 1−S . Pada 103 K < T < 105 K, nilai rapat energi foton, neutrino-

antinuetrino menjadi di bawah rapat energi rehat hidrogen dan helium. Atom

hidrogen terbentuk kira-kira pada T ∝ 4000 K setelah elektron bergabung

dan inti atom membentuk atom hidrogen. Dimulailah masa dominasi radiasi.

Pada tabel 5.1 di bawah ini disajikan beberapa partikel elementer penyusun

jagad raya beserta energi rehat dan suhu ambang yang berkaitan suhu tersebut.

Nilai suhu ambang tersebut diperoleh melalui kaitan persamaan

k

ET = (5.45)

dengan k adalah tetapan Boltzmann.


__________________________________________________________________

135

Tabel 5.1. Partikel utama penyusun jagad raya beserta energi dan suhu ambang

No Partikel Energi (MeV) Suhu ambang (× 109 K)

1 Foton 0 0

2 νν , ≈ 0 ≈ 0

3 +− ee , 0,511 5,9

4 +− µµ , 106 1230

5 +− ππ , 140 1620

6 pp, 938 10880

7 nn, 940 10910

Kali ini akan ditelaah sejarah suhu jagad raya secara lebih rinci, dimulai dari

K103,1K10 1112 ×>> T ketika moun ( +µ ) dan antimuon ( −µ ) cukup jarang.

Pengisi penting jagad raya, adalah elektron-positron ( +− ee , ), foton (γ), neutrino-

antineutrino untuk elektron ( ee νν , ) serta neutrino-antineutrino untuk muon

( µµ νν , ) yang seluruhnya masih berada pada kesetimbangan suhu (thermal

equilibrium). Foton memenuhi distribusi Planck sedangkan elektron-positron dan

neutrino-antineutrino memenuhi distribusi Fermi. Neutrino dan antineutrino

tersebut dihasilkan, dilenyapkan dan dihamburkan melalui reaksi berikut :

µννµ +→←+ +−ee (5.46)

−− +→←+ ee µνµν (5.47)

++ +→←+ eeνµν µ (5.48)

µννµ +→←+ −+ee (5.49)

++ +→←+ ee µνµν (5.50)

−− +→←+ eeνµν µ . (5.51)

Pada masa dominasi radiasi berlaku kaitan antara rapat energi (ρ) dengan

suhu (T) jagad raya yang dirumuskan sebagai


__________________________________________________________________

136

4T∝ρ . (5.52)

Sedangkan juga pada masa dominasi radiasi, hubungan antara rapat energi dengan

ruji atau faktor skala kosmik (S) jagad raya dirumuskan sebagai

1−∝ ST . (5.53)

Ketika T turun hingga 1,3 × 1011 K, µν dan µν (mungkin juga eν dan eν )

mengalami ketidakgandengan (decoupled) dengan partikel dalam kesetimbangan

suhu dan mulai melakukan ekspansi bebas (free expansion). Tetapi,

ketidakgandengan ini tidak berdampak apa-apa pada distribusi partikel. Partikel

yang berada di dalam kesetimbangan suhu tersebut masih berperilaku seperti

partikel ultrarelativistik sehingga suhu mereka tetap sebanding dengan 1−S . Rapat

jumlah neutrino dan antineutrino bebas sebanding dengan 3−S dan mengalami

pergeseran merah oleh faktor 1−S seperti foton. Suhunya juga menurun mengikuti

1−S . Selanjutnya terjadi ketidakgandengan (decoupled) kedua neutrino ),( ee νν

pada saat T = 1010 K, namun hal ini juga tidak membawa pengaruh pada fungsi

distribusi neutrino dan antineutrino. Secara keseluruhan pada rentang suhu 1012 K

> T > 5 × 109 K, nilai rapat energi neutrino dan antineutrino baik untuk elektron

maupun untuk muon adalah sama yaitu sebesar

16

7 4aTee

===== ννννν ρρρρρµµ

(5.54)

dengan tetapan Stefan-Boltzmann

33

45

15

8

hc

ka

π= = 7,5 × 10−16 J m−3 K−4. (5.55)

Pada saat kTme < , ±e bersifat relativistik sehingga

8

72

4aTee

=== +− νρρρ . (5.56)

Rapat energi untuk elektron dan positron bernilai dua kali rapat energi neutrino

karena elektron dan positron memiliki dua keadaan spin. Rapat energi total jagad

raya saat rentang suhunya 1012 K > T > 5 × 109 K adalah jumlah rapat energi

neutrino, elektron, positron dan foton sebesar


__________________________________________________________________

137

2

9 4

totalaT=ρ . (5.57)

Berikutnya saat T di bawah suhu 1010 K, partikel yang berperan penting di

dalam kesetimbangan suhu hanyalah ±e dan γ. Neutrino dan antineutrino tidak

mengalami pemanasan ketika pelenyapan elektron-positron sehingga suhu

keduanya turun sebanding dengan 1−S . Selanjutnya untuk T < 5 × 109 K, suhu

neutrino dan antineutrino (νT ) harus dibedakan dengan suhu foton dan partikel

bermuatan lainnya (T). Suhu foton lebih besar daripada suhu neutrino dengan

faktor sebesar

401,14

113

K109

==

<TT

T

ν. (5.58)

Untuk T < 109 K, partikel yang tersisa di kesetimbangan suhu adalah sejumlah

kecil nukleon dan elektron setelah seluruh pasangan −+ee mengalami proses

pelenyapan. Kedua nilai νT dan T turun mengikuti 1−S dengan perbandingan

antara keduanya seperti yang disajikan pada persamaan di atas. Nantinya suhu

foton γT juga akan berbeda dengan suhu materi T setelah T turun di bawah 4000

K, yaitu saat suhu yang memungkinkan terbentuknya atom hidrogen. Suhu foton

ini akan terus menurun mengikuti 1−S .

Radiasi kosmik latar belakang gelombang mikro yang ditemukan orang

memiliki suhu saat ini sebesar

0γT = 2,7 K. (5.59)

Karena itu seharusnya suhu radiasi benda hitam neutrino dan antineutrino sebesar

3 4/11

0

0

γν

TT = = 1,9 K. (5.60)

Dari saat T ≈ 109 K hingga saat ini, rapat energi foton, neutrino dan

antineutrino yang membentuk rapat energi radiasi adalah

445,1 γρ aTR = . (5.61)


__________________________________________________________________

138

Selama masa dominasi radiasi, nilai rapat energi 4−∝ Sρ . Solusi persamaan

dinamika jagad raya untuk keadaan tersebut adalah

+=ρπG

t32

3 tetapan. (5.62)

Tabel 5.2

Deskripsi suhu, usia dan ruji jagad raya

T (K) νTT / 0/ SS T (detik)

1 × 1012 1,000 1,9 × 10−12 0

6 × 1011 1,000 3,2 × 10−12 1,94 × 10−4

3 × 1011 1,000 6,4 × 10−12 1,13 × 10−3

2 × 1011 1,000 9,6 × 10−12 2,61 × 10−3

1 × 1011 1,000 1,9 × 10−11 1,08 × 10−2

6 × 1010 1,000 3,2 × 10−11 3,01 × 10−3

3 × 1010 1,001 6,4 × 10−11 0,121

2 × 1010 1,002 9,6 × 10−11 0,273

1 × 1010 1,008 1,9 × 10−10 1,103

6 × 109 1,022 3,1 × 10−10 3,14

3 × 109 1,081 5,9 × 10−10 13,83

2 × 109 1,159 8,3 × 10−10 35,2

1 × 109 1,346 2,6 × 10−9 1,82 × 102

3 × 108 1,401 9,0 × 10−9 2,08 × 103

1 × 108 1,401 2,7 × 10−8 1,92 × 104

1 × 107 1,401 2,7 × 10−7 1,92 × 106

1 × 106 1,401 2,7 × 10−6 1,92 × 108

1 × 105 1,401 2,7 × 10−5 1,92 × 1010

1 × 104 1,401 2,7 × 10−4 1,92 × 1012

4 × 103 1,401 6,3 × 10−4 1,20 × 1013

Semenjak 1012 K > T > 5 × 109 K, rapat energi dirumuskan oleh pers. (5.57)

sehingga diperoleh (nilai c diisikan)


__________________________________________________________________

139

+=4

2

48 GaT

ct

π tetapan

= 1,09 ×

210 K10

T detik + tetapan. (5.63)

Jika t = 0 dimulai saat T = 1012 K (tentu saja yang benar tidak demikian), maka

diperlukan waktu 0,0107 detik agar suhu turun ke 1011 K dan selanjutnya sebesar

1,07 detik untuk turun ke 1010 K.

Adapun dari 109 K > T > 0γT , waktu yang diperlukan adalah

+=4

2

5,15 γπGaT

ct tetapan

= 1,92 × +

210K10

T tetapan. (5.64)

Waktu yang diperlukan agar suhu turun dari 109 K menuju 108 K adalah sekitar 5,3

jam. Jika radiasi terus lebih dominan daripada materi sampai terbentuknya atom

hidrogen pada T = 4000 K, usia jagad raya saat itu sekitar 400.000 tahun.

Pada Tabel 5.2 disajikan deskripsi suhu usia, usia dan ruji jagad raya dengan

sumber dari Weinberg (1972).

5.8. Radiasi Kosmik Latar Belakang Gelombang Mikro

Pengembangan jagad raya menyebabkan suhunya menurun, demikian pula

dengan suhu radiasi foton. Hal ini membawa pula pada perubahan panjang

gelombang foton yang bergeser ke arah yang lebih besar, yang dikenal sebagai

pergeseran merah (red shift). Meskipun demikian, distribusi spektrum radiasi foton

tetap seperti yang dimiliki oleh radiasi benda hitam. Pada tahun 1940-an, para

ilmuwan kosmolog Big Bang seperti Gamow dan lainnya meramalkan bahwa suhu

“bola api” sekarang menurun menjadi suhu yang berorde 5 sampai dengan 10 K.

Foton-foton tersebut akan memiliki energi kT dalam orde 10−3 eV yang berkaitan

dengan panjang gelombang berorde 1 mm, yaitu dalam daerah spektrum

gelombang mikro (microwaves).


__________________________________________________________________

140

Spektrum panjang gelombang radiasi ini dilukiskan oleh distribusi Planck

melalui perumusan

1)/exp(

8)(

5 −=

kThc

dhcdu

λλ

λπλλ (5.65)

dengan λλ du )( adalah rapat energi radiasi yang dipancarkan pada rentang

panjang gelombang λ dan λλ d+ . Distribusi panjang gelombang untuk suatu

suhu tertentu memiliki nilai maksimum pada maxλ yang dirumuskan dalam hukum

pergeseran Wien sebagai

Tmaxλ = 2,898 × 10−3 K m. (5.66)

Rapat energi radiasi total untuk seluruh panjang gelombang diperoleh dari hukum

Stefan-Boltzmann yaitu dengan mengintegralkan pers. (5.65) yang hasilnya

∫∞

=

=0

)(λ

λλρ du = 433

45

15

8T

hc

kπ. (5.67)

Ketika jagad raya mengembang, suhu T turun sehingga nilai maxλ membesar.

Panjang gelombang maxλ membesar dengan faktor f, yang berpadanan dengan

penurunan suhu T dengan faktor f sehingga ρ mengecil sebesar 4f .

Dengan substitusi

E

hc=λ , (5.68)

pers. (5.65) dapat dituliskan sebagai

1)/exp(

8)(

33

3

−=

kTE

dE

ch

EdEEu

π. (5.69)

Persamaan di atas menyatakan kerapatan energi foton. Jika nilai di atas dibagi E,

hasilnya menyatakan jumlah foton berenergi E persatuan volume atau n(E) yang

dirumuskan sebagai

1)/exp(

8)(

33

2

−=

kTE

dE

ch

EdEEn

π. (5.70)

Jumlah foton untuk seluruh rentang energi persatuan volume atau N dapat dicari

dengan mengintegralkan persamaan di atas yang nilainya adalah


__________________________________________________________________

141

∫∫∞

=

∞

= −==

0

2

33

33

01)exp(

8)(

xEx

dxx

ch

TkdEEnN

π (5.71)

untuk mana telah dilakukan substitusi

kT

Ex = . (5.72)

Nilai integral tersebut dapat dicari secara numerik, sehingga akhirnya diperoleh

jumlah foton persatuan volume sebesar

N = 2,03 × 107 T 3 foton m−3. (5.73)

Sementara itu nilai rapat energi dari pers. (5.67) adalah

ρ = 4,73 × 103 T 4 eV m−3, (5.74)

sehingga energi rata-rata tiap foton adalah

N

Eρ=−ratarata = 2,33 × 10−4 T eV. (5.75)

Selanjutnya beralih pada upaya eksperimental untuk mendeteksi radiasi

gelombang mikro serta penentuan suhunya. Dari pers. (5.65) tampak bahwa suhu T

dapat ditentukan dengan mengukur energi radiasi benda hitam pada sembarang

panjang gelombang. Namun untuk menunjukkan bahwa radiasinya mematuhi

aturan spektrum radiasi benda hitam, maka diperlukan pengukuran dalam suatu

rentang panjang gelombang.

Pada tahun 1965, Penzias dan Wilson menggunakan suatu teleskop radio

yang dipasang untuk panjang gelombang 7,35 cm. Pada panjang gelombang

tersebut terekam suatu “desis” yang mengganggu teleskop mereka yang sulit untuk

dihilangkan. Setelah upaya untuk menghilangkan gangguan itu ternyata sia-sia,

mereka berkesimpulan bahwa asal radiasi tersebut adalah suatu sumber tak dikenal

yang menghujami teleskop mereka dari segala arah, baik siang maupun malam.

Dari energi radiasi pada panjang gelombang 7,35 cm tersebut mereka

menyimpulkan bahwa suhu radiasi benda hitam adalah 3,1 ± 1,0 K. Dalam

perkembangan selanjutnya ternyata disimpulkan bahwa radiasi tersebut adalah

warisan dari “bola api” Big Bang. Pada Gambar 5.2 disajikan distribusi radiasi

benda hitam pada radiasi latar belakang gelombang mikro (Krane, 1992).


__________________________________________________________________

142

Gambar 5.2 Distribusi radiasi benda hitam pada radiasi latar belakang gelombang mikro

Sejak penemuan tersebut telah dilakukan pula pengamatan pada berbagai

panjang gelombang dalam rentang 0,1 hingga 100 cm. Semua pengamatan

memberikan kesimpulan suhu yang sama. Nilai baku suhu radiasi kosmik latar

belakang gelombang mikro adalah 2,7 ± 0,1 K. Semua hasil pengamatan

menampakkan kecocokan yang tinggi. Kecocokan ini akan lebih meyakinkan jika

dilakukan pula pengamatan pada panjang gelombang di bawah 0,1 cm. Hanya

sayangnya, radiasi pada panjang gelombang tersebut mengalami penyerapan kuat

oleh atmosfer bumi. Oleh karena itu teleskop radio di permukaan bumi tidak dapat

bermanfaat. Namun demikain data yang dicatat oleh stasiun balon yang

diterbangkan di atas atmosfer bumi membuktikan bahwa intensitas radiasi pada

rentang panjang gelombang di bawah 0,1 cm memang mematuhi aturan radiasi

benda hitam yang bersuhu 2,7 K (Krane, 1992).

Selain itu terdapat metode eksperimen lain yang mendukung kebenaran nilai

suhu yang disimpulkan dari pengukuran dengan teleskop radio. Salah satu molekul

dwiatom dalam ruang antarbintang yang dicirikan dari spektrum serapnya adalah


__________________________________________________________________

143

Sianogen atau CN. Tingkat energi molekul adalah gabungan dari keadaan

elektronik, vibrasi dan rotasi. Pada keadaan dasar, molekuk CN menyerap energi

radiasi pada panjang gelombang λ = 387,46 nm pada ujung biru spektrum tampak.

Keadaan rotasi pertama memiliki energi sebesar 4,70 × 10−4 eV di atas keadaan

dasar. Pada keadaan ini, panjang gelombang garis serapnya adalah 387,40 nm. Jika

kita mengukur spektrum serap, perbandingan intensitas kedua garis serap ini

merupakan ukuran perbandingan jumlah molekul pada keadaan dasar dan dalam

keadaan rotasi pertamanya.

Jika CN berada pada T = 0, semua molekulnya harus berada dalam keadaan

dasar. Pada suhu T, populasi keadaan eksitasi ditentukan oleh faktor Boltzmann

)/exp( kTE− . Bobot statistik tingkat tersebut dirumuskan sebagai

[ ]kTEEL

L

N

N/)(exp

12

1221

2

1

2

1 −−++= . (5.76)

Oleh karena itu penentuan jumlah relatif molekul pada kedua tingkat tersebut

adalah suatu cara untuk menentukan suhu gas. Pengamatan terhadap intensitas

kedua garis serap gas CN di atas menunjukkan bahwa sekitar 25 % molekulnya

berada dalam keadaan tereksitasi. Persamaan di atas menjadi

)/1070,4exp(102

112

%75

%25 4 kTeV−×−+×+×= (5.77)

yang berarti

T = 2,5 K. (5.78)

Hal ini berarti bahwa pada ruang antar bintang yang amat dingin, terdapat sesuatu

yang memanasi molekul-molekul gas CN sehingga memiliki suhu tersebut (Krane,

1992).

Pengamatan terhadap radiasi kosmik menunjukkan bahwa radiasi tersebut

bersifat isotrop (merata) pada seluruh arah hingga ketelitian 10−3. Sifat ini sesuai

dengan asas kosmologi.

Suhu T = 2,7 K ini dapat dikatakan sebagai suhu jagad raya. Hal ini tentu

saja berlaku untuk skala besar (large scale). Dengan menggunakan suhu ini, dapat

dihitung bahwa dalam setiap volume satu meter kubik ruang di jagad raya, terdapat

sekitar 4 × 108 buah foton. Sumbangannya bagi rapat energi jagad raya adalah


__________________________________________________________________

144

sekitar 2,5 × 105 eV m−3 atau kira-kira setengah dari energi rehat sebuah elektron.

Jadi setiap foton memiliki energi rata-rata sebesar 6,3 × 10−4 eV.

Mengingat fenomena di atas, pantaslah jika Big Bang merupakan salah satu

teori yang cukup menerangkan gejala penciptaan jagad raya dan ekspansinya.

Namun demikian terdapat teori baru yang mampu memberikan tambahan

penjelasan yang belum mampu dijelaskan oleh teori Big Bang, diantaranya adalah

teori jagad raya yang mengalami inflasi (inflationary universe). Hal-hal yang

belum dapat dijelaskan oleh teori Big Bang adalah, mengapa jagad raya nampak

begitu datar dan seragam, darimanakah munculnya ketidakteraturan rapat massa

jagad raya pada skala kecil, dan sebagainya. Namun demikian telaah jagad raya

yang mengalami inflasi tersebut tidak akan dibahas di sini.


__________________________________________________________________

145

Soal-Soal Latihan BAB V

1. Jelaskan alasan mengapa munculnya pergeseran merah galaksi-galaksi jauh

merupakan isyarat terjadinya ekspansi jagad raya?

2. Apakah tetapan Hubble benar-benar sebuah tetapan? Apakah terhadap jarak

yang jauh, ia mengalami perubahan? Bagaimanakah terhadap selang waktu

yang lama, akankah ia juga mengalami perubahan?

3. Bagaimanakah kesimpulan anda, bahwa saat umur jagad raya sekitar 410−

detik, perbandingan antara jari-jari jagad raya saat itu dengan jari-jari jagad

raya saat ini adalah sekitar 1210− (jari-jari jagad raya saat ini sekitar 2610

m)?

4. Jelaskan perbedaan antara jagad raya terbuka, datar serta tertutup.


5. Asumsikan suatu jagad raya bermetrik

)sin(sin)( 222222222 φθθ ddrdrtRdtcds +++−=

dengan

3/20)( tRtR = .

Seorang pengamat pada 1tt = mengamati suatu galaksi yang berjarak pribadi

D tegaklurus dengan garis sight pada 0tt = . Tentukan pergeseran merah

yang diamati dalam suku 100 ,, ttR .

6. Asumsikan jagad raya bersifat isotropik dan datar secara spasial. Metrik

jagad raya tersebut dapat mengambil bentuk

)sin)(( 222222222 φθθ drdrdrtadtds +++−=


__________________________________________________________________

146

dengan φθ ,,r adalah koordinat yang ikut bergerak (comoving coordinate).

Jagad raya ini diasumsikan didominasi matero dengan rapat materi )(tρ

pada waktu t. Solusi persamaan Einstein adalah

22

3

8a

Ga ρπ=ɺ dan a

Ga ρπ

3

4−=ɺɺ .

Dari fakta bahwa cahaya merambat sepanjang geodesik null, tunjukkan

bahwa pergeseran merah kosmologi dari garis spektrum yang dipancarkan

pada waktu et dan diterima pada waktu 0t yang didefinisikan sebagai

e

eZλ

λλ −= 0 ,

adalah

10 −=ea

aZ

dengan )( 00 taa = dan )( ee taa = .

7. Asumsikan bahwa geometri jagad raya dilukiskan oleh metrik Robertson-

Walker (c = 1)

Ω+

−+−= 22

2

2222

1)( dr

kr

drtRdtds .

Sebuah pesawat ruang angkasa bergerak relatif terhadap seorang pengamat

kosmologis dengan kecepatan v. Beberapa waktu kemudian ketika jagad raya

telah mengembang dengan faktor skala z+1 , tentukan kecepatan 'v relatif

terhadap pengamat tersebut.

8. Gunakan hukum Hubble untuk memperkirakan panjang gelombang 590 nm

spektrum garis Na yang diamati terpancarkan dari galaksi yang jaraknya dari

bumi adalah

(a) 1 juta tahun cahaya

(b) 100 juta tahun cahaya

(c) 1 milyar tahun cahaya


__________________________________________________________________

147

9. Carilah panjang gelombang dari puncak spektrum radiasi benda hitam yang

bersuhu 2,7 K.

10. Keadaan rotasi pertama sianogen berada pada energi 41070,4 −× eV di atas

keadaan dasar. Hitunglah populasi relatif keadaan dasar dan ketiga keadaan

rotasi pertama pada suhu T = 2,7 K.

11. Kapankah suhu jagad raya berada di bawah suhu ambang bagi

(a) Penciptaan nukleon

(b) Penciptaan meson π

(c) Terbentuknya atom hidrogen

12. Saat jagad raya memungkinkan foton menghasilkan meson K ( 5000 =E

MeV)

(a) Pada suhu berapakah peristiwa itu dapat terjadi?

(b) Pada usia berapakah jagad raya saat memiliki suhu tersebut?

13. Andaikata rapat jumlah neutrino saat terjadi Big Bang sama dengan rapat

jumlah foton sekarang, hitunglah energi diam seluruh neutrino yang dapat

memberikan kerapatan kritis yang diperlukan untuk menghasilkan jagad raya

tertutup.

14. Karena kita belum memiliki teori kuantum gravitasi, kita tidak dapat

menganalisis jagad raya sebelum waktu Planck, sekitar 4310− detik. Jika kita

menganggap bahwa sifat jagad raya selama masa iu ditentukan oleh teori

kuantum, relativitas dan grvitasi, waktu Planck haruslah ditentukan oleh

tetapan dasar dari ketiga teori ini : h, c dan G. Jadi kita dapat menuliskan

γβα GchtP = .

(a) Lakukan analisis dimensi untuk menentukan βα , dan γ .

(b) Hitunglah waktu Planck tersebut.


__________________________________________________________________

148

(c) Kita dapat pula melakukan hal yang sama untuk menentukan panjang

Planck Pl dan massa Planck Pm . Tentukan pula panjang Planck dan

massa Planck.

15. Mengapa suhu neutrino lebih rendah daripada suhu radiasi latarbelakang

gelombang mikro?

Kosmologi : Dinamika Jagad Raya ___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________

149

BAB VI

KOSMOLOGI : DINAMIKA JAGAD RAYA

Interaksi antar materi pada skala besar jagad raya saat ini hanya dipengaruhi

oleh gravitasi. Karena itu, pemecahan persamaan medan gravitasi Einstein akan

sanggup memberikan deskripsi jagad raya secara klasik, baik pada asperk kualitatif

maupun kuantitatif. Ada beberapa model jagad raya yang dapat disajikan sebagai

penyelesaian persamaan Einstein.

6.1 Dinamika Jagad Raya

Persamaan medan gravitasi Einstein akan diselesaikan untuk objek fisis jagad

raya. Terlebih dahulu akan dihitung tensor energi-momentum gas galaksi. Setiap

partikel (galaksi) di jagad raya bergerak mengikuti garis dunia (world line).

Kecepatan−4 partikel tersebut dapat dinyatakan oleh vektor kontravarian µV

τ

µµ

d

dxV = (6.1)

dengan µx adalah vektor koordinat−4 dan τ adalah swawaktu (proper time) yang

diukur oleh jam standar yang ikut bergerak bersamanya. Partikel-partikel di jagad

raya dapat dianggap sebagai fluida sempurna (perfect fluid). Tensor energi-

momentum untuk fluida sempurna dirumuskan sebagai (Anugraha, 1997)

µννµµν ρ pgVVpT ++= )( (6.2)

dengan ρ adalah rapat massa galaksi dan p adalah tekanan jagad raya.

Sepanjang garis dunia partikel gas galaksi, koordinat ),,( φθr bernilai

konstan. Dari keadaan ini, metrik Robertson-Walker (Anugraha, 1997) memberikan

22 dtds −= (6.3)

Padahal dari definisi,

22 τdds −= (6.4)

yang berarti

t=τ . (6.5)


___________________________________________________________________

150

Jadi kecepatan−4 partikel tersebut di kerangka Robertson-Walker adalah

),1( 0

=µV (6.6)

Komponen tensor metrik kovarian untuk metrik Robertson-Walker yang

nilainya tak lenyap adalah

100 −=g , 2

2

111 kr

Sg

−= , 22

22 rSg = dan θ22233 sinrSg = (6.7)

Adapun pasangan komponen kontravarian yang tak nol adalah

100 −=g , 2

211 1

S

krg

−= , 22

22 1

rSg = dan

θ22233

sin

1

rSg = (6.8)

Dari bentuk persamaan (6.1), tensor energi-momentum fluida sempurna

memiliki komponen kovarian

µννµµν ρ pgVVpT ++= )( (6.9)

Dari kecepatan−4 kontravarian di atas, nilai kecepatan−4 kovarian adalah

),1( 0

−=µV . (6.10)

Dengan demikian komponen kovarian tensor energi-momentum yang tak lenyap

adalah

22222

2

1100 ,1

, rpSTkr

pSTT =

−== ρ dan θ222

33 sinrpST = (6.11)

Lambang Christoffel jenis kedua dirumuskan sebagai (Lawden, 1992)

∂∂

−∂

∂+

∂∂

=Γ βµν

νβµ

µνβαβα

µνx

g

x

g

x

gg

21 (6.12)

Dari pers. (6.7), (6.8) dan (6.12), nilai-nilai lambang Christoffel jenis kedua

yang tak lenyap adalah

t

gmnmn ∂

∂=Γ210 , a

mam

am dt

dS

Sδ1

00 =Γ=Γ , 2

111

1 kr

kr

−=Γ , )1( 21

22 krr −−=Γ , =Γ233

θ2133 sinΓ ,

r

1331

313

221

212 =Γ=Γ=Γ=Γ , θ2sin

212

33 −=Γ , θcot332

323 =Γ=Γ (6.13)

Tensor Ricci dirumuskan sebagai (Lawden, 1982)

βµα

νβν

βµν

νβαν

νµα

α

νµν

µα ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂

−∂Γ∂

=xx

R (6.14)


___________________________________________________________________

151

Dengan nilai-nilai lambang Christoffel di atas, nilai komponen tensor Ricci

yang tidak lenyap adalah

βνβν

βν

νβν

ννν

000000

00

00 ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂−

∂Γ∂=

xxR

= )0()( 303

202

101 νxt ∂

∂−Γ+Γ+Γ∂∂

+ 0.303

330

202

220

101

110

νβνΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ

= 2

23

dt

Sd

S (6.15)

βνβν

βν

νβν

ννν

111111

11

11 ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂−

∂Γ∂=

xxR = )( 3

132

121111

Γ+Γ+Γ∂∂x

−

∂Γ∂+

∂Γ∂

1

111

0

011

xx

= ( )313

331

212

221

111

111

110

011

011

101 ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ

− ( )111

313

111

212

111

111

011

303

011

202

011

101 ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ

=

+

+−

− kdt

dS

dt

SdS

kr22

1

12

2

2

2 (6.16)

βνβν

βν

νβν

ννν

222222

22

22 ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂−

∂Γ∂=

xxR

= ( )323

332

122

212

022

2021

122

0

222

2

323 ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+

∂Γ∂+

∂Γ∂−

∂Γ∂

xxx

− ( )313

122

212

122

111

122

303

022

202

022

101


=

+

+− kdt

dS

dt

SdSr 22

2

2

22 (6.17)

βνβν

βν

νβν

ννν

333333

33

33 ΓΓ−ΓΓ+∂Γ∂−

∂Γ∂=

xxR

=

∂Γ∂+

∂Γ∂+

∂Γ∂−

∂∂

2

233

1

133

0

033

3)0(

xxxx

+ ( )332

233

331

133

330

033

233

323

133

313

033


− ( )233

323

133

313

133

212

133

111

033

303

033

202

033

101 ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ


___________________________________________________________________

152

=

+

+− kdt

dS

dt

SdSr 22sin

2

2

222 θ (6.18)

Nilai skalar kelengkungan adalah

3333

2222

1111

0000 RgRgRgRgRgR +++== µν

µν

=

+

+− kdt

dS

dt

SdS

S

2

2

2

2

6 (6.19)

Kini persamaan Einstein yang berbentuk

µνµνµνµν πGTgRgR 821 −=Λ−− (6.20)

akan diselesaikan dengan menggunakan hasil-hasil di atas. Untuk komponen−00

diperoleh

00000021

00 8 GTgRgR π−=Λ−−

2

23

dt

Sd

S − )1(

21 − .

+

+− kdt

dS

dt

SdS

S

2

2

2

2

6 − )1.(−Λ = ρπG8−

atau

2382

31

2

SGSkdt

dS ρπ=Λ−+

. (6.21)

Untuk komponen−11 diperoleh

11111121

11 8 GTgRgR π−=Λ−−

+

+−

− kdt

dS

dt

SdS

kr22

1

12

2

2

2

2

2

21

1 kr

S

−− .

+

+− kdt

dS

dt

SdS

S

2

2

2

2

6 )1.(−Λ−

= 2

2

1

8

kr

GpS

−− π

atau

222

2

2

82

GpSSkdt

dS

dt

SdS π−=Λ−+

+ . (6.22)

Untuk komponen−22 dan −33 juga diperoleh hasil yang sama dengan seperti pada

komponen−11.


___________________________________________________________________

153

Selanjutnya model jagad raya standar diperoleh jika Λ = 0. Bentuk pers.

(6.21) dan (6.22) berturut-turut menjadi

2382 SGkS ρπ=+ɺ (6.23)

22 82 GpSkSSS π−=++ ɺɺɺ (6.24)

Pada bentuk di atas telah digunakan lambang

dt

dSS =ɺ (6.25)

dan

2

2

dt

SdS =ɺɺ (6.26)

untuk menyingkat penulisan. Jika pers. (6.23) dan (6.24) digabungkan, diperoleh

SpG

S )3(3

4 +−= ρπɺɺ (6.27)

atau

SSpG

SS ɺɺɺɺ )3(3

82 +−= ρπ

. (6.28)

Sementara itu kalau pers. (6.23) diturunkan ke t, didapat bentuk

dt

SdGSS

)(

3

82

2ρπ=ɺɺɺ (6.29)

Dengan menyamakan ruas kanan (6.28) dan (6.29) diperoleh bentuk

0)3()( 2

=++ SSpdt

Sd ɺρρ. (6.30)

Jika pada ruas kiri persamaan terakhir dikalikan dengan S, bentuk terakhir tersebut

menjadi

0)()(

3)( 33

222

=+=++dt

Sdp

dt

SdSpSSS

dt

SdS

ρρρ ɺɺ (6.31)

atau

dt

Sdp

dt

Sd )()( 32

−=ρ. (6.32)

Alternatif bentuk lain untuk pers. (6.32) adalah


___________________________________________________________________

154

dt

pSd

dt

dpS

)]([ 33 += ρ

. (6.33)

Pers. (6.33) dikenal sebagai persamaan kekekalan energi. Sementara itu pers. (6.32)

dapat dibentuk menjadi

Sdt

Sdp

dt

SdS ɺɺ )()( 33

−=ρ (6.34)

atau

23

3)(

pSdS

Sd −=ρ. (6.35)

Dengan menyatakan persamaan keadaan )(ρpp = , persamaan terakhir dapat

digunakan untuk menyatakan ρ sebagai fungsi S. Sebagai contoh jika rapat energi

jagad raya didominasi oleh materi non-relativistik dengan pengabaian nilai tekanan

(p 0≈ ), pers. (6.35) memberikan

3Sρ = konstan. (6.36)

Pada keadaan dimana rapat energi didominasi oleh partikel relativistik (radiasi)

maka ρ31=p (Weinberg, 1972) sehingga dari (6.35) diperoleh

4Sρ = konstan. (6.37)

Dengan mengetahui ρ sebagai fungsi S, dapat ditentukan S(t) untuk seluruh

waktu t. Model jagad raya dengan metrik Robertson-Walker ini dikenal dengan

model Friedmann.

Dinamika jagad raya di masa lalu, sekarang dan masa depan dapat dianalisis

melalui persamaan-persamaan yang telah disebutkan di atas. Pers. (6.27)

menunjukkan bahwa “percepatan” SS /ɺɺ bernilai negatif karena besaran p3+ρ

selalu positif. Karena menurut definisi S > 0 dan SS /ɺ juga > 0 (karena yang

nampak pergeseran merah, bukan pergeseran biru), maka kurve S(t) dengan t

haruslah berbentuk kurve cekung dan memiliki nilai S(t) = 0 pada suatu waktu

tertentu di masa lalu. Didefinisikan pada saat itu sebagai awal waktu t = 0 sehingga

0)0( ==tS (6.38)


___________________________________________________________________

155

Waktu saat ini )( 0t disebut usia jagad raya sejak t = 0. Jika Sɺɺ = 0 untuk 0 ≤ t ≤ 0t

maka Sɺ = K = konstan dan S = Kt. Nilai

100

0

0

)(

)( −== tHtS

tSɺ (6.39)

atau

100−= Ht (6.40)

Karena Sɺɺ selalu negatif untuk 0 ≤ t ≤ 0t maka usia jagad raya haruslah lebih kecil

dari waktu Hubble yang dirumuskan sebagai

100−< Ht (6.41)

Untuk saat di masa depan, nilai tekanan p tidak pernah negatif. Dari pers.

(6.32) nampak bahwa rapat ρ harus lebih kecil dari kenaikan 3S .

Untuk nilai k = −1, )(tSɺ definit positif, sehingga )(tS monoton naik. Saat t

∞→ , )(tS ∞→ . Untuk k = 0, )(tS juga monoton naik, tetapi kenaikannya lebih

lambat dari t. Adapun untuk k = +1, )(tSɺ = 0 ketika GS πρ 8/32 = . Karena Sɺɺ

definit negatif maka )(tS akan membesar lalu mencapai nilai maksimum (saat )(tSɺ

= 0) lalu mengecil sampai S = 0 pada suatu waktu yang terhingga di masa depan.

Jadi secara kualitatif, model dan nasib jagad raya di masa depan ditentukan oleh

tanda kelengkungan ruang. Jika k = −1 atau 0, jagad raya akan berekspansi selama-

lamanya. Sedangkan jika k = +1, ekspansi terseut akan berhenti dan kemudian

mengalami kontraksi balik menuju keadaan singular S = 0.

6.2 Rapat Energi dan Tekanan Jagad Raya

Pada masa kini ( )0tt = , rapat energi dan tekanan jagad raya diberikan oleh

pers. (6.23) dan (6.24) sebagai

G

HSk

πρ

8

)/(3 20

20

0+= (6.42)

dan


___________________________________________________________________

156

G

HqSkp

π8

)21(/ 200

20

0−+−= (6.43)

Disini, 0S adalah faktor skala kosmik untuk saat sekarang )( 0tt = , 0H dan 0q

berturut-turut adalah konstanta Hubble dan parameter perlambatan, dengan nilai

masing-masing 75 km(s Mpc)−1 dan 1,2. Dari pers. (6.42), nilai kelengkungan ruang

20/ Sk dapat bernilai positif, nol atau negatif, sehingga 0ρ dapat bernilai lebih

besar, sama atau lebih kecil dari rapat kritis (critical density) yang dirumuskan

sebagai

G

Hc π

ρ8

3 20= = 1,1 × 10−26 kg/m3 (6.44)

untuk mana telah diisikan nilai k = 0.

Akan terlihat nanti bahwa nilai

00 ρ<<p (6.45)

sehingga dapat diambil nilai 0p = 0. Hal ini menunjukkan bahwa rapat energi jagad

raya saat ini didominasi oleh materi non-relativistik. Pers. (6.43) menjadi

2002

0

)12( HqS

k −= (6.46)

dan (6.42) memberikan perbandingan rapat energi saat ini dengan rapat kritis (6.44)

sebagai

00 2qc

=ρρ

(6.47)

atau

G

Hq

πρ

4

3 200

0 = . (6.48)

Pers. (6.48) di atas memberikan informasi bahwa 0q tidak pernah bernilai

negatif. Maka untuk 0q > 21 , kelengkungan jagad raya bernilai positif (k = +1),

sedangkan untuk 0q < 21 , kelengkungan jagad raya bernilai negatif (k = −1). Jika

rapat energi jagad raya saat ini sama dengan rapat kritis maka ruang-waktu bersifat

datar yang berkorelasi dengan nilai 21

0 =q .


___________________________________________________________________

157

Berdasarkan pengamatan, rapat massa-energi jagad raya yang disumbang oleh

materi yang tampak, yaitu galaksi adalah (Weinberg, 1972)

328galaksi /101,3 mkg−×=ρ . (6.49)

Jika massa-energi hanya terkonsentrasi di galaksi, pers. (6.48) memberikan nilai

parameter perlambatan

014,00 =q jika galaksi0 ρρ = (6.50)

yang berimplikasi pada model jagad raya terbuka dengan kelengkungan ruang

bernilai negatif. Namun, nilai 0q ini tidak sesuai dengan hasil analisis q antara

hubungan pergeseran dan luminositas yang memberikan nilai 0q = 1,2 (Weinberg,

1972). Di sini ada dua kemungkinan penyebab terjadinya ketidaksesuaian. Pertama,

penghitungan nilai q melalui hubungan pergeseran merah dan luminositas

menghasilkan nilai 0q yang tidak sesuai. Atau kedua, adanya massa yang hilang

(missing mass) berupa materi gelap (dark matter) yang belum dapat dideteksi orang.

Tampaknya, kemungkinan kedua inilah yang lebih masuk akal. Sebab paling tidak,

ada beberapa kandiidat materi jagad raya yang dapat menyumbang massa-energi

agar nilai rapat kritis dapat terlampaui, seperti lubang hitam (black holes), lubang

hitam mini, radiasi latar belakang gelombang mikro, “lautan” neutrino, graviton

serta materi antar galaksi. Faktor kesulitan teknologi yang menyebabkan orang

belum dapat memastikan materi apa saja yang dapat menyumbang massa jagad agar

dapat melebihi massa kritis jagad raya.

6.3 Masa Dominasi Materi

Dinamika jagad raya dapat ditentukan melalui solusi persamaan Einstein

(6.23) dan (6.24) dengan pengabaian tetapan kosmologi Λ

3

8 22 SG

kSρπ=+ɺ (6.51)

dan 22 82 GpSkSSS π−=++ ɺɺɺ . (6.52)

Pada masa dominasi materi, p dapat diabaikan (p 0≈ ) sehingga pers. (6.52)

menjadi


___________________________________________________________________

158

02 2 =++ kSSS ɺɺɺ . (6.53)

Bentuk terakhir ini dapat dituliskan menjadi

Skdt

SSd ɺɺ

−=)( 2

. (6.54)

Jika persamaan tersebut diintegralkan, dihasilkan bentuk

kSCSS −=2ɺ (6.55)

dengan C suatu tetapan integrasi. Dengan substitusi (6.55) ke (6.51) diperoleh

G

CS

πρ

8

33 = = tetapan (6.56)

yang menunjukkan bahwa C adalah suatu tetapan positif. Pers. (6.56) melukiskan

bahwa selama masa dominasi materi, berlaku persamaan kekekalan massa-energi

dengan bentuk yang serupa dengan pers. (6.12).

Pada saat sekarang ini, jagad raya didominasi oleh materi. Pers. (6.52) dapat

dituliskan menjadi

( ) 200

2

0022

0

122 HqS

S

S

SS

S

k −=

−

−=

ɺ

ɺ

ɺɺ

(6.57)

atau ( ) 200

20

12 Hq

kS

−= . (6.58)

dengan indeks−0 menyatakan keadaan pada masa sekarang. Pers. (6.55) dapat

dituliskan sebagai

020

300

200 kSHSkSSSC +=+= ɺ . (6.59)

Dengan substitusi (6.59) ke (6.56), besaran C dapat dinyatakan dalam besaran 0q

dan 0H untuk tiga nilai k :

• Untuk k = +1, 0q >21 :

2/300

0

)12(

2

−=

qH

qC (6.60)

• Untuk k = 0, 0q = 21 : 2

030HSC = (6.61)

• Untuk k = −1, 0q <21 :

2/300

0

)21(

2

qH

qC

−= (6.62)


___________________________________________________________________

159

Pers. (6.55) akan diselesaikan untuk menentukan nilai S dan t sebagai fungsi

suatu parameter θ yang dikenal dengan sudut pengembangan jagad raya

(development angel)

6.3.1 Untuk k = + 1


SCSS −=2ɺ . (6.63)

Melalui persamaan transformasi

2

)sin1( θ−= CS (6.64)

diperoleh

2

sinθθɺɺ CS = (6.65)


12

)cos1( =− θθ ɺC. (6.66)

Dengan mengintegralkan ke t diperoleh

DC

t +−=2

)sin( θθ (6.67)

dengan D suatu tetapan integrasi. Dari syarat awal S(t) = 0 dihasilkan D = 0.

Dengan substitusi nilai C dari pers. (6.60) akhirnya diperoleh

)cos1()12( 2/3

00

0 θ−−

=qH

qS (6.68)

dan

)sin()12( 2/3

00

0 θθ −−

=qH

qt . (6.69)

Pers. (6.68) dan (6.69) melukiskan kurva S sebagai fungsi t dengan parameter

θ yang berbentuk sikloid. Kurva tersebut ditampilkan pada Gb. 1. Jagad raya yang

dilukiskan oleh nilai k = +1 ini adalam jagad raya yang berhingga (finite universe).

Jagad raya pada model ini berekspansi dari keadaan singular

0=== θtS , (6.70)

lalu ketika πθ = mencapai ruji maksimum sebesar


___________________________________________________________________

160

2/3

00

0maks

)12(

2

−=

qH

qS (6.71)

pada saat

2/3

00

0

)12( −=

qH

qt

π (6.72)

kemudian kembali berkontraksi menuju singularitas ketika πθ 2= pada saat

2/3

00

0

)12(

2

−=

qH

qt

π. (6.73)

Jika pers. (6.68) dan (6.69) diturunkan ke θ akan diperoleh laju pertambahan

ruji jagad raya sebesar

θ

θ

θ

θsin

cos1+==

d

dtd

dS

dt

dS. (6.74)

Laju pertambahan ruji jagad raya pada saat awal ketika jagad raya mulai

berekspansi yaitu saat +→ 0t atau +→ 0θ adalah

+→

∞→0

lim

tdt

dS. (6.75)

Keanehan nilai tersebut sudah dapat diduga, mengingat adanya asumsi

pengabaian tekanan. Padahal pada masa awal, jagad raya didominasi oleh radiasi

sehingga pengabaian tersebut tidak benar. Namun demikian asumsi tersebut dapat

dibenarkan untuk masa sekarang ini. Dapat dihitung pula laju pengerutan ruji jagad

raya ketika mengakhiri masa kontraksi menuju keadaan singularitas adalah sebesar

−→

−∞→πθ 2

limdt

dS. (6.76)

Adapun laju pengembangan ruji jagad raya pada ruji maksimum tentu saja sama

dengan nol, yang terjadi saat πθ = .

Hasil dua persamaan di atas menunjukkan bahwa ada suatu masa tertentu

dimana laju pengembangan / pengerutan ruji jagad raya melebihi laju cahaya di

ruang hampa yang dirumuskan sebagai


___________________________________________________________________

161

cdt

dS =>+= 1sin

cos1

θθ

(6.77)

sehingga diperoleh

2/0 πθ << atau πθπ 22/3 << . (6.78)

Hal ini berarti setengah dari sudut sudut pengembangan jagad raya ketika

berekspansi atau setengah dari sudut pengerutan jagad raya ketika berkontraksi

menyebabkan laju pertambahan / pengerutan ruji jagad raya lebih besar daripada

laju cahaya di ruang hampa.

Selanjutnya akan ditentukan ruji dan usia jagad raya saat ini. Pers. (6.64)


112

1cos0

00 −=−=

qC

Sθ (6.79)

sehingga

−= − 1

1cos

0

10 q

θ (6.80)

dan

0

00

12sin

q

q −=θ . (6.81)

Jika hasil ini diisikan ke dalam pers. (6.68) dan (6.69) dihasilkan nilai-nilai

12

1

000 −

=qH

S (6.82)

dan

−−−

−= −−

12

1)1(cos

)12( 0

10

12/3

00

00 q

qqH

qt . (6.83)

Dengan mengisikan nilai 0H = 75 km (s.Mpc)−1 atau =−10H 13 milyar tahun dan

0q = 1,2 maka diperoleh nilai

Ruji jagad raya = 0S = 11 milyar tahun cahaya (6.84)

dan

Usia jagad raya = 0t = 7 milyar tahun (6.85)


___________________________________________________________________

162

Hubungan antara rapat energi dan sudut pengembangan θ dapat diturunkan

dari pers. (6.51). Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai

2

2

8

)1(3

GS

S

πρ +=

ɺ

(6.86)

Dengan menggunakan hasil (6.68) dan (6.74) diperoleh

32

0

30

20

)cos1(4

)12(3

θπρ

−−=

Gq

qH. (6.87)

Ini berarti ketika +→ 0t atau +→ 0θ maka ∞→ρ yang menunjukkan bahwa rapt

energi jagad raya saat terjadi Big Bang bernilai takhingga. Nilai rapat energi jagad

raya saat ini sebesar 0ρ dapat dihitung dengan hasil

G

qH

qGq

qH

ππρ

4

3

)2(4

)12(3 020

310

20

30

20

0 =−

−= − (6.88)

yang identik dengan hasil yang ditelaah sebelumnya.

Dari pers. (6.80), secara umum q berubah terhadap waktu t atau sudut

pengembangan θ yang dirumuskan sebagai

θcos1

1

+=q (6.89)

Karena θ mulai dari 0 − 2π sepanjang evolusi jagad raya, maka nilai q bernilai

mulai dari 21 sampai ∞ ketika ruji jagad raya mencapai maksimum lalu mengecil

kembali ke nilai 21 .

6.3.2 Untuk k = 0


2SS ɺ = C. (6.90)

Dengan mengintegralkan pers. (6.90) terhadap t kemudian menggunakan pers.

(6.61) akan dihasilkan

3/2

0

0 2

3

= tH

S

S (6.91)

Grafik S versus t terdapat pada Gb. 1. Limit ∞→t menghasilkan nilai ∞→S . Jadi

jagad raya dengan k = 0 adalah model jagad raya terbuka (open universe). Nilai S


___________________________________________________________________

163

tersebut tidak dapat dikatakan sebagai ruji jagad raya karena jagad raya menurut

model ini tidak bertepi. Oleh karena itu S(t) lebih tepat disebut sebagai suatu faktor

skala kosmik yang menyatakan pengembangan jagad raya. Nilai maksimum S(t)

tidak bermakna.

Usia jagad raya saat ini ketika 0SS = adalah

0

0 3

2

Ht = (6.92)

Dengan 10−H = 13 milyar tahun, diperoleh

Usia jagad raya = 0t = 8,7 milyar tahun. (6.93)

Jika pers. (6.91) diturunkan ke pers. t dihasilkan

3/130

20

3

2

=

t

SH

dt

dS (6.94)

yang menunjukkan bahwa laju pengembangan mula-mula bernilai tak hingga,

kemudian terus mengecil hingga mendekati nol saat ∞→t .

Rapat energi jagad raya dapat ditentukan yaitu

26

1

Gtπρ = . (6.95)

Rapat energi saat ini menjadi

12

00 3

26

−

=

HGπρ = cG

H ρπ

=8

3 20 (6.96)

sesuai dengan pers. (6.44). Jadi rapat energi saat ini sejak dari t = 0 hingga menuju

takhingga menurut model k = 0 sama dengan rapat kritis. Secara umum untuk

rentang waktu yang panjang, rapat energi jagad raya untuk model k = 0 selalu sama

dengan rapat kritisnya.

6.3.3 Untuk k = −1


SCSS +=2ɺ . (6.97)

Melalui persamaan transformasi


___________________________________________________________________

164

)1(cosh)21(2

)1(cosh2/3

00

0 −−

=−= ψψqH

qCS (6.98)

diperoleh

)(sinh)21(2

)(sinh2/3

00

0 ψψψψ −−

=−=qH

qCt (6.99)

Pada Gb. 1 ditunjukkan kurva S sebagai fungsi t. Seperti halnya pada model k

= −1, jika ∞→t atau ∞→ψ maka ∞→S . Jadi S di sini adalah faktor skala

kosmik, bukan ruji jagad raya karena nilainya tak memiliki makna. Ini dapat juga

dipahami dari nilai kelengkungan ruang yang negatif.

Jika (6.98) dan (6.99) masing-masing diturunkan ke ψ akan diperoleh laju

pengembangan jagad raya sebesar

ψ

ψψψ

sinh

1cosh

/

/ +==ddt

ddS

dt

dS. (6.100)

S k = −1 k = 0 k = +1

O t

Gambar. 6.1 Kurva S sebagai fungsi t untuk tiga nilai k

Ketika jagad raya mulai mengembang ( +→ 0t atau +→ 0ψ ) menurut model ini

didapat laju pengembangan faktor skala kosmik sebesar

+→

∞→0

lim

tdt

dS. (6.101)

Adapun untuk ∞→t maka nilainya adalah


___________________________________________________________________

165

∞→

==t

cdt

dS1lim . (6.102)

Hal ini menunjukkan bahwa laju pengembangan jagad raya pada model k = −1

sepanjang waktu selalu lebih besar dari laju cahaya di ruang hampa.

Dengan menggunakan hasil (6.97) dan (6.100), terdapat ungkapan

112

1cosh0

0 −=+=qC

Sψ (6.103)

sehingga

−= − 1

1cosh

0

10 q

ψ (6.104)

dan

2/3

000

)21(

1sinh

qq −=ψ . (6.105)

Jika hasil ini dimasukkan ke dalam pers. (6.99) akan dihasilkan bentuk

−−−

−=

−−

)21(

)1(cosh

21

11

0

10

10

000 q

qq

qHt . (6.106)

Dengan anggapan bahwa rapat massa-energi jagad raya hanya terkonsentrasi di

galaksi, maka nilai 0q = 0,0014. Dengan 10−H = 13 milyar tahun, diperoleh

Usia jagad raya = 0t = 12,4 milyar tahun. (6.107)

Hubungan antara rapat energi dan ψ dapat dituliskan sebagai

2

2

8

)1(3

GS

S

πρ −=

ɺ

. (6.108)

Dengan menggunakan pers. (6.98) dan (6.100), pers. (6.108) dapat dituliskan

menjadi

32

0

30

20

)1(cosh4

)21(3

−−=

ψπρ

Gq

qH. (6.109)

Ini berarti bahwa untuk +→ 0t atau +→ 0ψ maka ∞→ρ . Adapun untuk ∞→t

atau ∞→ψ maka 0→ρ . Nilai rapat energi saat ini sebesar 0ρ dapat dihitung

sebesar


___________________________________________________________________

166

G

qH

qGq

qH

ππρ

4

3

)2(4

)21(3 020

310

20

30

20

0 =−

−= − (6.110)

yang serupa dengan pers. (6.44).

Dari pers. (6.103), secara umum q menurut model k = −1 berubah terhadap

waktu t atau ψ dengan perumusan

ψcosh1

1

+=q . (6.111)

Karena ψ mulai dari 0 − ∞, maka q mulai dari 21 lalu mengecil sampai dengan nol.

6.4 Horison Partikel dan Horison Peristiwa

Ditinjau koordinat r untuk mana suatu objek memancarkan foton pada waktu

1t yang selanjutnya diamati pada waktu 0t di koordinat r = 0. Karena 1t tidak dapat

lebih kecil dari t = 0 saat ekspansi jagad raya dimulai, jarak objek terjauh dengan

koordinat r yang dapat diamati saat ini disebut dengan horison partikel (particle

horison) yang dirumuskan sebagai

∫∫ =−

=0

00

020

1

tr

H S

dtS

kr

drSd . (6.112)

Untuk k = +1, pers. (6.68) dan (6.69) memberikan

θdS

dt = (6.113)

sehingga dengan menggunakan pers. (6.80) dan (6.82) diperoleh

000

0

0

θθθ

SdSdH == ∫ = 12

)1(cos

00

10

1

−−−−

qH

q (k = +1) (6.114)

Untuk k = 0 dan −1, nilai Hd berturut-turut adalah

∫ ==0

0 03/2

000

2

)2/3(

t

H HtHS

dtSd (k = 0) (6.115)

== ∫0

00

ψ

ψdSdH00

10

1

21

)1(cosh

qH

q

−−−−

(k = −1) (6.116)


___________________________________________________________________

167

Dengan mengisikan nilai 10−H = 13 milyar tahun, 2,10 =q (k = +1) dan

0014,00 =q (k = −1), diperoleh horison partikel dengan nilai berturut-turut :

• 19 milyar tahun cahaya (k = +1),

• 26 milyar tahun cahaya (k = 0), dan

• 65 milyar tahun cahaya (k = −1).

Jika sebuah peristiwa di koordinat r terjadi pada waktu 0t , kita akan

mengamatinya pada waktu 1t yang dirumuskan oleh persamaan

∫ ∫=−

r t

tS

dt

kr

dr

02

1

01

. (6.117)

Jarak terjauh suatu peristiwa yang dapat kita amati adalah

∫=max

0

0

t

tE S

dtSd (6.118)

dengan

2/3

00

0max

)12(

2

−=

qH

qt

π untuk k = +1 (6.119)

dan

∞=maxt untuk k = 0 atau −1. (6.120)

Besaran Ed ini disebut sebagai horison peristiwa (event horison)

Pada kasus k = +1, nilai Ed adalah

)( 0max0 θθ −= SdE = 12

)1(cos

00

10

1

−−−2 −−

qH

qπ (6.121)

Dengan mengisikan nilai-nilainya diperoleh horison peristiwa untuk k = +1 sebesar

50 milyar tahun cahaya. Arti fisis horison peristiwa ini adalah cahaya yang

dipancarkan dari suatu peristiwa terjauh tidak akan kita amati sebelum jagad raya

jatuh menuju keadaan singularitas. Adapun untuk k = 0 atau −1, diperoleh Ed

takhingga sehingga peristiwa terjauh yang terjadi saat ini tidak akan dapat diamati.

6.5 Masa Dominasi Radiasi


___________________________________________________________________

168

Dibandingkan dengan masa kini, peran radiasi bak elektromagnetik pada

masa awal ekspansi jagad raya menjadi dominan (Peebles, 1971). Meskipun saat itu

radiasi dan materi berada dalam keadaan setimbang dengan yang satu menciptakan

yang lain atau sebaliknya, materi memiliki energi amat tinggi sehingga berperilaku

ultra relativistik. Dari teori relativitas khusus, energi materi ultra relativistik bernilai

pmE ≈+= 22p

, seperti yang berlaku bagi radiasi. Karena materi berperilaku

sama seperti radiasi, masa awal jagad raya ditelaah dengan asumsi seolah-olah

jagad raya hanya berisi radiasi. Dengan demikian rapat energi jagad raya saat itu

tidak lain adalah rapat energi radiasi bak radiasi elektromagnetik.

Radiasi latar belakang gelombang mikro yang ditemukan pada tahun 1965

oleh Penzias dan Wilson didapati bersifat isotrop untuk setiap pengamat galaksi.

Rapat energi radiasi adalah ρ yang bernilai sama untuk setiap pengamat. Untuk

pengamat yang ikut bergerak dalam kerangka Robertson-Walker, nilai kecepatan−4

pengamat kontravarian adalah

),1( 0

=µV (6.122)

Diasumsikan bahwa variasi wakttu terhadap komponen medan mE dan mB radiasi

tersebut bersifat acak. Kaitan antara komponen tersebut dirumuskan sebagai

mnnmnm ABBEE η=><+>< (6.123)

dengan tanda < > menunjukkan nilai rerata. Jika dilakukan penjumlahan pada

persamaan di atas meliputi jangkauan m, n = 1, 2, 3 maka diperoleh

∑=

><+><3

1,nm

nmnm BBEE = ρ222 =+ BE

= AAnm

mn 33

1,

=∑=η (6.124)

atau

3

2ρ=A (6.125)


3

2 mnnmnm BBEE

ρη=><+>< . (6.126)

Nilai komponen tensor energi−momentum medan elektromagnetik µνT

dirumuskan sebagai


___________________________________________________________________

169

=

mnTT

S

S

ρµν (6.127)

dengan

ρ=00T ( )2221 BE

+= adalah rapat energi medan elektromagnetik (6.128)

mmm TT S

== 00 m)( BE

×= adalah komponen ke−m vektor Poynting (6.129)

( ) ( )nmnmmnmn BBEET +−+= 2221 BE

η adalah tensor tegangan Maxwell. (6.130)

Akan dihitung nilai rata-rata komponen µνT dari nilai di atas. Dari pers.

(6.130) diperoleh

( ) ( )><+><−+><=>< nmnmmnmn BBEET 2221 BE

η (6.131)

Jika i ≠ j maka

>< mnT = 0. (6.132)

Sedangkan untuk i = j berlaku

32.

3

221332211 ρρρ =+−=>=<>=<>=<>< TTTT mn (6.133)

Selanjutnya mengingat radiasi bersifat ajeg (steady), laju aliran energi pada

sembarang arah bernilai nol sehingga nilai rata-rata vektor Poynting lenyap yang

dirumuskan sebagai

000 =><=><=>< mmm TTS

(6.134)

Sementara itu

ρ=>< 00T . (6.135)

Dengan demikian hanya untuk νµ = sajalah yang mengakibatkan nilai µνT tidak

lenyap. Jadi µνT dari pers. (6.127) tereduksi ke bentuk

ρηρ µννµµν31

34 += VVT (6.136)

dengan kecepatan−4 pengamat galaksi ),1( 0

=µV . (6.137)

Persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk kovarian sebagai

ρηρ µννµµν 31

34 += VVT (6.138)


___________________________________________________________________

170

Dalam kerangka Robertson-Walker, bentuk µνη diperluas menjadi tensor metrik

µνg . Sementara itu kecepatan−4 kovarian pengamat galaksi adalah ),1(0

=µV .

Dengan demikian komponen tensor medan elektromagnetik di dalam kerangka

Robertson-Walker dapat dihitung sebagai

3

sindan

3,

)1(3,

222

33

22

222

2

1100θρρρρ rS

TrS

Tkr

STT ==

−== (6.139)

Jika pers. (6.139) dihubungkan dengan pers. (6.11) untuk fluida sempurna,

nampak bahwa radiasi elektromagnetik berlaku untuk seperti fluida sempurna

dengan rapat energi ρ dan tekanan yang setara dengan nilai ρ31 . Dengan demikian

pada masa dominasi radiasi dapat dikatakan bahwa nilai tekanan jagad raya sama

dengan sepertiga nilai rapat energinya.

Dengan menggunakan nilai komponen tensor Ricci yang telah dihitung,

persamaan Einstein untuk objek jagad raya pada masa dominasi radiasi dapat

diselesaikan. Dengan mengabaikan tetapan kosmologi Λ, komponen−00

memberikan

3

8 22 SG

kSρπ=+ɺ (6.140)

sedangkan komponen−11, −22 dan −33 memberikan hasil yang sama berupa

3

82

22 SG

kSSSρπ−=++ ɺɺɺ (6.141)

Telah dijelaskan pada pembahasan-pembahasan sebelumnya bahwa pada

masa-masa awal ekspansi jagad raya, nilai

kdt

dSS =>>= 1ɺ (6.142)

untuk ketiga nilai k. Jadi nilai k pada dua penyelesaian persamaan Einstein di atas

dapat diabaikan. Dengan mengeliminasi nilai ρ diperoleh

0)(2 ==+

dt

SSdSSS

ɺɺɺɺ (6.143)

Melalui dua kali pengintegralan dihasilkan


___________________________________________________________________

171

S

AS =ɺ dan AtS 22 = (6.144)

dengan A tetapan positif. Substitusi hasil terakhir ini ke pers. (6.140) akan

dihasilkan

2

132

3

tGπρ = (6.145)

Jika diasumsikan bahwa selama masa ini, radiasi berada dalam kesetimbangan

suhu dengan materi, maka spektrum radiasi tersebut memenuhi aturan spektrum

radiasi benda hitam. Kaitan antara suhu T dengan rapat energi ρ diberikan dalam

hukum Stefan-Boltzmann (disini nilai c diisikan) dengan perumusan (Lawden,

1982)

4aT=ρ (6.146)

dengan

431633

45

KJm10.5,715

8 −−−==hc

ka

π (6.147)

adalah tetapan Stefan-Boltzmann. Besaran k, h dan c berturut-turut adalah tetapan

Boltzmann, tetapan Planck dan laju cahaya di ruang hampa. Akhirnya dengan

menyamakan pers. (6.145) dan (6.146) dihasilkan kaitan antara usia t dan suhu

jagad T pada masa dominasi radiasi yaitu

tGa

cT

1

32

3 2

=

π

= 2/1101052,1 −× t (6.148)

Jika diamati, persamaan di atas berisi tiga tetapan dasar dalam teori kuantum

gravitasi yaitu G, c dan h. Persamaan di atas juga menceritakan bahwa ketika jagad

raya berusia satu detik, suhunya kira-kira K1052,1 10× . Ketika waktu t bertambah,

maka suhunya menurun.

6.6 Data Fisis Jagad Raya

Kini data fisis jagad raya diungkap, dengan pembatasan hanya untuk model

jagad raya tertutup (k = +1)


___________________________________________________________________

172

Tabel 6.1 Data fisis jagad raya (k = +1)

No Besaran jagad raya Lambang Nilai

1 Tetapan Hubble 0H 75 km/secMpc

2 Waktu Hubble 10−H 13 milyar tahun

3 Parameter perlambatan 0q 1,2

4 Ruji saat ini 0S 11 milyar tahun cahaya

5 Ruji saat ekspansi maksimum maxS 19 milyar tahun cahaya

6 Usia saat ini 0t 7,1 milyar tahun

7 Waktu Big Bang−ekspansi maks. max21 t 29,5 milyar tahun

8 Waktu Big Bang − Big Crunch maxt 59 milyar tahun

9 Volume saat ini 30

22 Sπ 2,2 × 1079 m3

10 Rapat energi saat ini 0ρ 2,5 × 10−26 kg/m3

11 Volume saat ekspansi maksimum 3max

22 Sπ 1,1 × 1080 m3

12 Rapat energi saat ekspansi

maksimum minρ 5,0 × 1027 kg/m3

13 Sudut pengembangan 0θ 0,55π

14 Laju pertambahan ruji saat ini ( )0/ dtdS 0,85 c

15 Laju pertambahan volume saat ini 020

26 SS ɺπ 1,6 × 1062 m3/s

16 Massa total materi 00Vρ 5,6 × 1053 kg

17 Jumlah ekuivalen massa materi suntotal / mm 2,8 × 1028

18 Jumlah ekuivalen massa baryon protontotal / mm 3,4 × 1080

19 Horison partikel Hd 19 milyar tahun cahaya

20 Horison peristiwa Ed 50 milyar tahun cahaya


___________________________________________________________________

173

6.7 Masa Depan Jagad Raya

Bagaimanakah masa depan jagad raya ? Apakah akan terus mengembang

selamanya ataukah pada akhirnya akan terhenti dan kembali menyusut ? Apakah

akan terjadi suatu kebalikan Big Bang yaitu semacam Big Crunch (Penciutan

Dahsyat), ketika seluruh materi di jagad raya tertarik menuju satu titik, serta radiasi

2,7 K memanas kembali ? Setelah Big Crunch, apakah akan terjadi lagi the New

Big Bang yang memulai evolusi jagad raya yang baru ? (Krane, 1992).

Dari telaah pada pasal 3, rapat energi jagad raya yang disumbang oleh galaksi

tampak bernilai lebih kecil daripada rapat kritis yang memisahkan model jagad

terbuka dengan model jagad tertutup. Sementara itu analisis pergeseran merah

galaksi menunjukkan model jagad raya tertutup. Manakah yang lebih mendekati

fakta ?

Jika nilai 0H dan 0q berturut-turut adalah 75 km/secMpc dan 1,2, agaknya

masih sangat lama bagi jagad raya untuk mencapai ekspansi maksimum, terlebih

lagi untuk mencapai kontraksi akhir. Waktu yang diperlukan untuk keduanya

berturut-turut adalah 23 dan 52 milyar tahun.

Dalam kaitannya dengan alam, pertanyaan yang cukup mendasar adalah

tentang adanya peradaban lain di jagad ini. Apakah manusia hanyalah satu-satunya

makhluk beradab di jagad yang amat luas dan hampir kosong ini yang menempati

bumi yang tak istimewa ? Ataukah jagad raya penuh berisi bentuk-bentuk

kehidupan lain di luar jangkauan pemikiran manusia ? Apapun jawaban untuk

keduanya sama-sama menimbulkan rasa kagum, takut dan takjub.

Demikian pula masa depan jagad raya ini telah memiliki dua kemungkinan

yang sama-sama menimbulkan rasa takut dan kagum.

(1) Jagad raya akan mengembang selamanya, semua bintang dan galaksi akan

menggunakan seluruh energinya sampai habis hingga menjadi lubang hitam.

Seluruh proton akan meluruh menjadi antilepton. Jagad raya akan menjadi

dingin dan gelap, serta seluruh kehidupan berakhir.

(2) Ekspansi jagad raya akan berhenti yang diikuti dengan penyusutan gravitasi,

serta seluruh jagad raya luluh menjadi satu titik. Mungkin akan terbentuk jagad

raya yang baru dengan hukum-hukum alam yang berbeda. Tidak ada yang


___________________________________________________________________

174

mengetahui kapan dan bagaimana peristiwa itu akan terjadi, kecuali Tuhan yang

telah menciptakan jagad raya ini.


___________________________________________________________________

175

Soal-Soal Latihan BAB VI

1. Tunjukkan bahwa metrik Robertson−Walker dapat dinyatakan dalam bentuk

22222222

22 )]sin([

4/1dtcddudu

ku

Sds −++

+= φθθ


4/1 2ku

ur

+= .

2. Tunjukkan bahwa metrik de Sitter

2222222222 )sin)(2exp( dtcdrdrdrHTAds −++= φθθ

dapat ditransformasi ke bentuk

222222222222

22 )/1()sin(

/1dTcuHcddu

cuH

duds −−++

−= φθθ


222 /1

)exp(

cuHA

HTur

−

−= , H

cuHTt

2

)/1ln( 222−+= .

3. Tunjukkan bahwa untuk seluruh model Friedmann dengan 0==Λ p , jarak

galaksi dengan pergeseran merah z diberikan oleh

200

000 )]112)(1([

qH

zqqzqcd

−+−+= .

4. Tunjukkan bahwa jika Λ tidak lenyap dalam model Friedmann, maka )(tS

memenuhi

)3/( 322 SkSDcSS Λ+−=ɺ


___________________________________________________________________

176

dengan D adalah parameter rapat materi yang didefinisikan oleh persamaan

DSc 332 =ρκ . Tunjukkan bahwa untuk kasus khusus 0=k , 0=D akan

menghasilkan jagad raya de Sitter.

5. Suatu jagad raya yang berisi radiasi berapat energi U memiliki persamaan

keadaan

223122222 UScSckcSSS κ−=Λ−++ ɺɺɺ ,

222222 )(3 UScSckcS κ=Λ−+ɺ .

Tunjukkan bahwa

)( 4312222 SkSDcSS Λ+−=ɺ

dengan D adalah parameter rapat energi yang didefinisikan oleh persamaan

43 USD κ= .

6. Untuk jagad raya yang berisi radiasi, jika k = 1, D4/3=Λ dan S = 0 pada t =

0, tunjukkan bahwa pada sembarang t berlaku

)]/exp(1[22 DctDS −−= .

Jika DS 2= pada t = 0, tunjukkan bahwa jagad raya tersebut statik tetapi

tidak stabil.

Dinamika Gerak Partikel dan Foton ___________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________

177

BAB VII

DINAMIKA GERAK PARTIKEL DAN FOTON

Selama beberapa abad sejak kemunculannya di abad ke−17, gravitasi

Newton menjadi hukum yang melandasi dan mendeskripsikan gerak benda−benda

yang terikat dalam interaksi gravitasi. Keakuratannya untuk menganalisis dinamika

gerak benda langit misalnya, tak diragukan lagi. Namun, ada beberapa gejala yang

tak mampu dijelaskan dengan gravitasi Newton, seperti presesi orbit planet di

sekitar matahari (sebagai benda massif), pembelokan cahaya ketika melewati benda

massif (misalnya cahaya bintang yang lewat di sekitar matahari) dan sebagainya

(Bose, 1980)

Teori relativitas umum yang dirumuskan oleh Einstein pada tahun 1915

dalam bentuk teori gravitasi Einstein ternyata mampu menerangkan fenomena

tersebut. Teori ini menyempurnakan gravitasi Newton dengan memasukkan efek

kelengkungan ruang−waktu akibat hadirnya materi di dalamnya. Gravitasi Newton

merupakan bentuk khusus dari gravitasi Einstein untuk medan gravitasi lemah

(Lawden, 1982).

Persamaan gravitasi Einstein dirumuskan dalam bentuk persamaan tensor. Jika

dinamika sistem ingin diselidiki melalui persamaan ini, mula−mula metrik

ruang−waktu sistem tersebut dirumuskan sehingga diperoleh nilai tensor metrik.

Selanjutnya nilai komponen simbol Christoffel, tensor Ricci dan skalar

kelengkungan dapat ditentukan. Selain itu, tensor energi−momentum dalam sistem

tersebut harus dirumuskan pula. Pada akhirnya semua nilai tersebut diisikan ke

dalam persamaan gravitasi Einstein lalu diselesaikan.

Kasus yang dapat diselesaikan secara analitik harus memiliki persyaratan

simetri ruang−waktu misalnya penempatan materi statik bermassa M di pusat

koordinat. Untuk sistem ini, Schwarszchild menemukan penyelesaian berupa metrik

Schwarszchild (Misner dkk, 1973). Untuk objek bermassa M massif, terdapat

besaran ruji Schwarszchild 2/ cGMRs = . Dari metrik tersebut, dapat diturunkan


___________________________________________________________________

178

konsep lubang hitam yang dibatasi oleh horison peristiwa, dimana setiap

partikel/foton yang berada di dalam horison peristiwa tidak dapat keluar darinya.

Belakangan ditemukan salah satu sifat lubang hitam yang ternyata dapat

melepaskan sebagian materi, jika konsep kuantum diisikan ke dalamnya (Hawking,

1974). Yang jelas, lubang hitam telah menjadi salah satu objek fisis dan matematis

yang memancing rasa keingintahuan orang untuk mengetahui karakteristiknya lebih

dalam.

Pada bab ini dikaji berbagai perilaku gerak foton dan partikel (yang

bermassa jauh lebih kecil dari massa lubang hitam Schwarszchild) di sekitar lubang

hitam Schwarszchild.

7.1 PERSAMAAN GRAVITASI EINSTEIN

Persamaan gravitasi Einstein (Weinberg, 1972) dirumuskan sebagai

R g R G c Tµν µν µνπ− = −( / ) (8 / )1 2 4 (7.1)

dengan µνR = tensor Ricci kovarian rank−2, µνg = tensor metrik kovarian rank−2,

R = skalar kelengkungan, G = tetapan gravitasi universal, c = laju cahaya di ruang

hampa dan µνT = tensor energi−momentum kovarian rank−2.

Penyelesaian persamaan gravitasi Einstein untuk objek partikel statik bermassa

M yang diletakkan di pusat koordinat (0,0,0) dalam koordinat ruang−waktu 4

dimensi

),,,(),,,( 3210 φθµ rctxxxxx ==

adalah metrik (elemen garis) Schwarszchild yang berbentuk (Lawden, 1982)

( ) ( ) )sin(/21/21 222221222 φθθ ddrdrrmdtcrmds ++−+−−= − . (7.2)

dengan

2ds = kuadrat elemen garis, dan

m = GM/c2.

Dari metrik (7.2) di atas diperoleh komponen tensor metrik kovarian rank-2

sebagai berikut :

)/21(00 rmg −−= , 111 )/21( −−= rmg , 2

22 rg = , θsin233 rg =


___________________________________________________________________

179


7.2 PERSAMAAN GEODESIK

Dinamika partikel bermassa (dengan massa partikel = pm <<< M) yang

bergerak jatuh bebas di dalam ruang lengkung mematuhi persamaan geodesik

02

2

=Γ+ds

dx

ds

dx

ds

xd βαµ

αβ

µ (7.4a)

yang dapat diubah bentuknya menjadi

02 =−

ds

dx

ds

dx

x

g

ds

dxg

ds

d βα

µαβ

ν

µν ∂∂

. (7.4b)

Dinamika gerak untuk foton dapat diperoleh dengan mengisikan ds 2 = 0 pada

metrik ruang-waktu.

7.3 DINAMIKA GERAK PARTIKEL DALAM MEDAN

SCHWARZSCHILD

Dengan menggunakan persamaan (7.4b) untuk tensor metrik kovarian rank−2

yang terdapat pada persamaan (7.3), diperoleh set persamaan geodesik partikel di

ruang−waktu tersebut yaitu :

0sin)2(2

2

2

222

22

2=

+

−

−

−+

− ds

dt

r

mc

ds

dr

ds

dr

ds

dr

mr

m

ds

dr

mr

r

ds

d φθθ,

(7.5a)

0cossin2

22 =

−

ds

dr

ds

dr

ds

d φθθθ, (7.5b)

0sin22 =

ds

dr

ds

d φθ , (7.5c)

dan

02 =

−ds

dt

r

mr

ds

d. (7.5d)

Persamaan metrik

νµµν dxdxgds =2 (7.6a)


___________________________________________________________________

180


1=ds

dx

ds

dxg

νµ

µν , (7.6b)

sehingga persamaan (7.2) menjadi

1)2(

sin2

2222

22

2

=

−−

+

+

− ds

dt

r

mrc

ds

d

ds

dr

ds

dr

mr

r φθθ. (7.7)

Dalam rangka mengolah persamaan (7.5) lebih lanjut, selanjutnya

diintroduksikan kaitan antara s = elemen garis dengan τ = waktu pribadi yang

dirumuskan sebagai (Lawden, 1982)

222 τdcds −= . (7.8)

Dengan kaitan ini, persamaan (7.5a), (7.5b), (7.5c) dan (7.5d) dapat dilakukan

substitusi sehingga diperoleh hasil : untuk persamaan tersebut, bentuknya tetap

setelah melalui penggantian s → τ. Sedangkan persamaan (7.7) berubah sedikit

menjadi :

2222

22

22

)2(sin

2c

d

dt

r

mrc

d

d

d

dr

d

dr

mr

r −=

−−

+

+

− ττφθ

τθ

τ. (7.9)

Ditinjau partikel yang jatuh bebas pada daerah mr 2> secara radial dengan θ

dan φ konstan, yang berarti 0== φθ dd . Persamaan (7.5d) di atas dapat dituliskan

menjadi

)2/(/ mrkrddt −=τ , (7.10)

dengan k merupakan suatu suatu tetapan. Jika kita mengambil keadaan awal saat

mRrt 2,0 >==

dan

udtdr t ==0/

dengan cu <≤0 , akhirnya diperoleh

33

322222

)2(

))2()2)((2()2(

mRr

mrRumRrRmcmr

dt

dr

−−+−−−=

. (7.11)

Selanjutnya pengintegralan persamaan (7.11) di atas menghasilkan


___________________________________________________________________

181

∫∫== −+−−−

−==r

Rr

t

t mrRumRrRmcmr

drmRrtdt

2/13222

2/32/3

0 )2()2)((2)2(

)2(. (7.12)

Terlihat dari integral (7.12) di atas, jika batas atas integrasi r → 2m, maka t → ∞.

Hal ini mengindikasikan bahwa rentang waktu t digelar menuju takhingga.

Untuk kasus khusus dimana partikel dilepaskan dalam keadaan rehat (u = 0),

persamaan (7.11) tereduksi menjadi

)()/21()/21(2)/( 112122 −−− −−−= RrrmRmmcdtdr , (7.13)

atau

)/1/1()/21()/21/(2/ RrrmRmmcdtdr −−−±= . (7.14)

Dari persamaan (7.14), nilai dtdr / bergantung pada suku )/21( rm− dan

)/1/1( Rr − , karena

)/21/(2 Rmm − > 0 untuk mR 2> .

Untuk suku )/21( rm− , nilai r dapat bernilai sembarang, sehingga keadaan

dtdr / ditentukan oleh suku )/1/1( Rr − . Pada suku terakhir ini, agar nilai di

dalam akar tidak menjadi imaginer, haruslah dipenuhi syarat

0)/1/1( >− Rr atau r < R.

Hal ini berarti jarak radial partikel tersebut berkurang dengan bertambahnya waktu

t. Dari sini dapat ditarik kesimpulan bahwa gerakan partikel tersebut menuju ke

arah lubang hitam. Jadi tanda yang diambil pada persamaan (7.14) adalah tanda

minus, sehingga lebih tepat dituliskan sebagai

)/1/1()/21()/21/(2/ RrrmRmmcdtdr −−−−= . (7.15)

Penyelesaian persamaan (7.15) adalah

∫ −−−=

R

r rRmr

drrmRct

2/1

2/32/1

))(2()12/( . (7.16)

Dari integral (7.16) di atas tampak bahwa nilai t → ∞ saat r → 2m. Ini berarti dalam

koordinat Schwarzschild, partikel tersebut membutuhkan koordinat waktu (t) yang

tak terhingga untuk mencapai horison peritiwa berupa bola beruji 2m.


___________________________________________________________________

182

Kini yang diukur adalah waktu pribadi (τ) partikel tersebut. Jika persamaan

(7.10) diisikan ke dalam persamaan (7.9) untuk gerak radial, diperoleh

22

2222

3222

2)2(

)2()2(

2c

mr

r

RumRcR

mRc

r

mrc

d

dr

mr

r −=

−−−−−−

− τ

atau

2222

322222

)2(

)2()2)((2

RumRc

mrRumRrRmc

Rr

c

d

dr

−−−+−−=

τ. (7.17)

Dengan mengisikan syarat batas :

r = R saat 0=τ ,

persamaan (7.17) memberikan

∫ −+−−−−=

r

R mrRumRrRmc

drRumRcrRc

2/13222

2/122222/12/1

)2()2)((2

)2(τ . (7.18)

Untuk kasus khusus keadaan awal partikel adalah keadaan rehat (u = 0),

persamaan (7.17) tereduksi menjadi

)/1/1(2)/( 22 Rrmcddr −=τ . (7.19)

atau

)/1/1(2/ Rrmcddr −±=τ . (7.20)

Sama halnya pada telaah untuk nilai dr/dt di atas, agar nilai τddr / tidak imaginer

harus dipenuhi syarat

0)/1/1( >− Rr atau r < R

yang menunjukkan bahwa gerak partikel tersebut menuju ke arah lubang hitam.

Karena itu juga dipilih tanda minus sehingga (7.20) menjadi

)/1/1(2/ Rrmcddr −−=τ . (7.21)

Pengintegralan dengan syarat batas :

Rr == saat0τ

memberikan hasil

( ))12(cos)2/( 12123 −+−= − ρρρτ mRc , (7.22)

dengan


___________________________________________________________________

183

Rr /=ρ

dan nilai invers cosinus dapat diambil untuk kuadran satu atau dua. τ adalah waktu

yang dihitung oleh jam yang ikut bergerak bersama partikel. Berbeda dengan nilai t,

ternyata nilai τ tetap berhingga, walaupun r → 2m.

7.4 DINAMIKA GERAK FOTON DALAM BIDANG DATAR MEDAN

SCHWARZSCHILD

Selanjutnya ditinjau gerak foton khusus pada bidang datar dengan 2/πθ = .

Untuk gerakan demikian, metrik Schwarszchild (7.2) menjadi

( ) ( ) 2221222 /21/21 φdrdrrmdtcrmds +−+−−= − (7.23)

Lambang Christoffel dirumuskan sebagai (Weinberg, 1972)

∂

∂−

∂∂

+∂

∂=Γ ν

αββ

νααβνµνµ

αβx

g

x

g

x

gg2

1 (7.24)

Untuk metrik pada persamaan (7.23) digunakan lambang

tx =0 , rx =1 dan φ=2x ,

maka nilai lambang Christoffel yang tak lenyap adalah

12111

010

001 )/21( −− −=Γ=Γ=Γ rmmr , 121

00 )/21( −−=Γ rrmmc ,

)/21(122 rmr −−=Γ , 12

212

12−=Γ=Γ r . (7.25)

Dengan menggunakan persamaan geodesik (7.4a), diperoleh set persamaan

02 0102

2

=Γ+ds

dr

ds

dt

ds

td (7.26a)

02

122

2111

21002

2

=

Γ+

Γ+

Γ+ds

d

ds

dr

ds

dt

ds

rd φ (7.26b)

02 2212

2

=Γ+ds

dr

ds

d

ds

d φφ (7.26c)

Selanjutnya ditinjau kurva orbit foton di sekitar lubang hitam dengan r

= r0 = konstan. Dalam rangka melihat dinamika gerak yang berhubungan dengan

swawaktu, dilakukan substitusi s → τ, yang selanjutnya persamaan (7.26a), (7.26b)

dan (7.26c) memberikan


___________________________________________________________________

184

02

2

=τd

td (7.27a)

02

122

2100 =

Γ+

Γτφ

τ d

d

d

dt (7.27b)

02

2

=τ

φd

d (7.27c)

Penyelesaian persamaan (7.27a) dan (7.27c) adalah

21 kkt += τ (7.28a)

dan

43 kk += τφ (7.28b)

dengan tetapan ik adalah tetapan sembarang. Akhirnya untuk sRr >0 , persamaan

(7.27b) memberikan

30 )/(rmc

dt

d ±=φ (7.29)

Mengingat kaitan (7.8), bentuk metrik dapat dipakai untuk mendapatkan

∫∫ −−=−=∆ −− 220

20

211 )()/21( φτ νµµν drdtrmccdxdxgc (7.30)

yang dengan menggunakan persamaan (7.29) diperoleh

trmdtrmcrmcc ∆−=−−=∆ ∫−

002

021 /31/)/21(τ . (7.31)

Untuk foton, ∆τ = 0, mengingat swawaktu foton = 0, yang berarti lintasan gerak

foton tersebut adalah lingkaran dengan ruji mr 30 = .

Persamaan (7.26c) dapat dituliskan menjadi

0/)/( 2 =ττφ dddrd

yang berarti

Lddr == konstan/2 τφ (7.32)

dengan tetapan L adalah momentum sudut partikel per satuan massa lubang hitam.

Selain tetapan L tersebut terdapat tetapan lain yang dapat diperoleh dengan

menuliskan persamaan (7.26a) sebagai

0/)]/)(/21[( =− ττ dddtrmd

atau


___________________________________________________________________

185

Eddtrm ==− konstan)]/)(/21[( τ (7.33)

dengan tetapan 2Ec dapat diartikan sebagai energi total partikel (mencakup energi

potensial gravitasi) per satuan massa lubang hitam. Dengan menggunakan dua

tetapan di atas, persamaan (7.23) untuk 02 =ds dapat dinyatakan sebagai

)/21()/()/()( 222 rmrLddrEc −+= τ (7.34)

Persamaan (7.34) di atas dapat dibaca sebagai persamaan gerak partikel

dengan total energi sama dengan 221 )(Ec yang bergerak dalam potensial efektif satu

dimensi sebesar

)/21()/()( 221 rmrLrV −= . (7.35)

Nilai ekstrem (maksimum) potensial tersebut didapat melalui

0)/21(4

2

3

2

=+−−=r

mLrm

r

L

dr

dV

atau

mr 3= (7.36)

yang mana nilai r tersebut tak gayut terhadap L.

7.5 DINAMIKA GERAK FOTON SECARA RADIAL DALAM MEDAN

SCHWARZSCHILD

Selanjutnya untuk gerak foton ( 0=τd ) secara radial ( 0== φθ dd ), dari

persamaan (7.23) diperoleh

( ) ( ) 2122 /21/210 drrmdtcrm −−+−−=

atau

)/21(/ rmcdtdr −= . (7.37)

Nilai dtdr / dapat dikatakan sebagai laju foton pada daerah di sekitar lubang

hitam. Tampak dari persamaan (7.37) di atas bahwa untuk daerah di luar lubang

hitam )2( mr > , nilai laju foton selalu kurang dari c. Bahkan saat foton tepat berada

di horison peristiwa mr 2= , laju foton tepat sama dengan nol. Ini berarti ketika

horison peristiwa berimpit dengan foton yang tepat gagal melepaskan diri dari

lubang hitam (pada mr 2= ). Dari persamaan (7.37) disimpulkan bahwa nilai laju


___________________________________________________________________

186

foton hanya sama dengan c ketika foton berada di tempat jauh tak berhingga

∞→r , (arti fisisnya : pengaruh lubang hitam tidak mengenai foton tersebut) atau

jika lubang hitam tersebut dilenyapkan ( 0=m ) dengan arti fisis : ruang−waktu

menjadi datar (Minkowski) sehingga laju foton = c di sembarang tempat.

7.6 DINAMIKA GERAK PARTIKEL DAN FOTON DALAM JAGAD

RAYA BERMETRIK ROBERTSON-WALKER

Pada tinjauan klasik (non-kuantum), deskripsi jagad raya diperoleh melalui

solusi persamaan gravitasi Einstein. Persamaan ini dirumuskan dalam bentuk

persamaan tensor. Jika dinamika sistem ingin diselidiki melalui persamaan ini,

mula−mula metrik ruang−waktu sistem tersebut dirumuskan sehingga diperoleh

nilai tensor metrik. Selanjutnya nilai komponen simbol Christoffel, tensor Ricci dan

skalar kelengkungan dapat ditentukan. Selain itu, tensor energi−momentum dalam

sistem tersebut harus dirumuskan pula. Pada akhirnya semua nilai tersebut diisikan

ke dalam persamaan gravitasi Einstein lalu diselesaikan. Karena tensor yang terlibat

adalah tensor rank−2, maka untuk sistem ruang−waktu 4 dimensi terdapat 16

komponen penyelesaian. Namun tensor metrik sistem biasanya bersifat simetri

sehingga 16 komponen penyelesaian tersebut tereduksi menjadi 10 komponen.

Lebih khusus lagi, jika tensor metrik µνg bernilai tak lenyap hanya untuk µ = ν,

penyelesaian persamaan itu hanya berisi 4 komponen saja. Akan tetapi di dalam 4

komponen penyelesaian tersebut biasanya berisi suku persamaan diferensial orde 2

yang tak linier sehingga banyak kasus sulit diselesaikan secara analitik. Kasus yang

dapat diselesaikan secara analitik harus memiliki persyaratan simetri ruang−waktu.

Akan dikaji gerak foton dan partikel bermassa di dalam jagad raya yang

bermetrik Robertson−Walker. Dalam konteks teori relativitas umum, gerak foton

dapat ditinjau dengan nolnya selang waktu pribadi yang dimilikinya. Sedangkan

gerak partikel dapat ditelaah dengan menggunakan persamaan geodesik untuk gerak

jatuh bebas. Persamaan geodesik yang digunakan untuk menelaah gerakan partikel

berbentuk persamaan diferensial non linear orde 2 yang menggabungkan beberapa


___________________________________________________________________

187

observabel, seperti empat koordinat polar (r, t, θ, φ), parameter k yang menentukan

jenis kelengkungan ruang, faktor jarak S dan elemen garis s.

7.7 SOLUSI PERSAMAAN EINSTEIN UNTUK JAGAD RAYA

Persamaan gravitasi Einstein dirumuskan sebagai (Weinberg, 1972)

µνµνµνµν πΛ GTgRgR 8)2/1( −=−− (7.38)

Laju cahaya di ruang hampa telah dipasang pada nilai c = 1.

Penyelesaian persamaan (7.38) untuk objek jagad raya bermetrik Robertson-

Walker adalah dua buah persamaan diferensial (Anugraha, 1997)

222 )3/8()3/()/( SGSkdtdS ρπΛ =−+ (7.39)

dan

22222 8)/()/(2 GpSSkdtdSdtSdS πΛ −=−++ . (7.40)

Metrik Robertson-Walker itu sendiri dirumuskan sebagai (Weinberg, 1972)

)sin()1/( 222222222 φθθτ νµµν ddrkrdrSdtdxdxgd +−−−== (7.41)

dengan : 2τd = kuadrat swa-waktu, S = faktor skala jagad raya, dan k = tetapan

kelengkungan ruang yang dapat bernilai −1, 0 atau 1.

Untuk merumuskan tensor metrik di atas telah digunakan prinsip kosmologi

(cosmological principle) yang menyatakan bahwa setiap pengamat (galaksi)

memiliki kedudukan yang sama. Tidak ada pengamat yang memiliki kedudukan

yang istimewa di jagad raya.

Dari metrik (7.41) di atas diperoleh nilai-nilai tensor metrik

100 =g , )1/( 2211 −= krSg , 2

22 rg −= , θsin233 rg −=


Untuk memperoleh hasil persamaan (7.39) dan (7.40) telah diasumsikan jagad

raya bersifat homogen isotrop dengan gas galaksi seperti fluida sempurna (perfect

fluid) dengan tensor energi-momentum kovarian rank-2 yang bersangkutan adalah

pgVVpT µννµµν ρ ++= )( (7.43)

dan kecepatan-4 kovarian gas yang ikut bergerak bersama pengamat di dalam

kerangka Robertson-Walker adalah


___________________________________________________________________

188

),1( 0

−=µV . (7.44)

Dinamika partikel bermassa yang bergerak jatuh bebas di dalam ruang

lengkung mematuhi persamaan geodesik (Lawden, 1982)

02 =−

ττ∂∂

ττ

βα

µαβ

ν

µν d

dx

d

dx

x

g

d

dxg

d

d. (7.45)

Adapun dinamika gerak foton dapat diperoleh dengan mengisikan ds 2 = 0 pada

metrik tersebut.

7.8 DINAMIKA GERAK PARTIKEL DALAM JAGAD RAYA

Disajikan 3 model jagad raya untuk mana dinamika gerakan partikel dan foton

akan ditelaah. Ketiga model jagad raya tersebut sebagai bagian dari penyelesaian

persamaan (7.39) dan (7.40) yang mungkin adalah sebagai berikut (Anugraha,

1997).

1. Model debu (Λ = 0 dan p = 0) dengan k = 0

Pada model ini, sifat jagad raya adalah datar (flat) tak bertekanan, dimana

perubahan faktor skala sebagai fungsi waktu adalah

3/200 ))2/3(( tHSS = (7.46)

dengan S = faktor skala jagad raya, t = usia jagad raya, dan 0H = tetapan Hubble.

2. Model Einstein

Pada model ini nilai faktor skala adalah

S = konstan (7.47)

dengan S = faktor skala jagad raya.

3. Model de Sitter

Pada model ini nilai H sebagai salah satu papameter jagad raya selalu konstan setiap

saat sehingga penyelesaian persamaan gravitasi Einstein untuk faktor skala kosmik

sebagai fungsi waktu t adalah

)exp(0 HtSS = (7.48)

dengan S = faktor skala jagad raya, t = umur jagad raya, dan H = tetapan Hubble.

1. Model debu (ΛΛΛΛ = 0 dan p = 0) dengan k = 0


___________________________________________________________________

189

Kini ditinjau gerakan partikel secara jatuh bebas di jagad raya bermodel debu

datar. Pada model ini jagad raya bersifat datar (flat) dengan kelengkungan ruang

sama dengan nol. Akan ditinjau dua jenis gerakan partikel pada jagad raya model

ini yaitu gerakan radial (r sebagai fungsi t) dan sudut polar φ sebagai fungsi t.

Dari persamaan (7.46) dengan menurunkan S ke t diperoleh

3/10

00

)2/3( tH

HS

dt

dS = . (7.49)

Dengan mengisikan µ = 0, 1, 2, 3, ke dalam persamaan (7.45), diperoleh set

persamaan geodesik sebagai berikut.

µ = 0 ⇒ 022

332

222

1100 =

−

−

−

τφ

∂∂

τθ

∂∂

τ∂∂

ττ d

d

t

g

d

d

t

g

d

dr

t

g

d

dtg

d

d

atau

0sin)2/3(2

222

22

3/10002

2

=

+

+

+τφθ

τθ

ττ d

dr

d

dr

d

drtHHS

d

td (7.50)

µ = 1 ⇒ 022

332

2211 =

−

−

τφ

∂∂

τθ

∂∂

ττ d

d

r

g

d

d

r

g

d

drg

d

d

atau

0sin2

222

22 =

+

+

τφθ

τθ

ττ d

drS

d

drS

d

drS

d

d (7.51)

µ = 2 ⇒ 022

3322 =

−

τφ

θ∂∂

τθ

τ d

dg

d

dg

d

d

atau

0cossin2

2222 =

+

τφθθ

τθ

τ d

drS

d

drS

d

d (7.52)

µ = 3 ⇒ 0sin22 22233 =

−=

τφθ

ττφ

τ d

drS

d

d

d

dg

d

d (7.53)

Ditinjau gerakan partikel secara radial sehingga 0== φθ dd . Persamaan

(7.50) dan (7.51) tereduksi ke bentuk


___________________________________________________________________

190

0)2/3(2

3/10002

2

=

+ττ d

drtHHS

d

td (7.54)

dan

02 =

ττ d

drS

d

d. (7.55)

Dari persamaan (7.55) maka

3/4

02

02

02 )2/3( tHHS

A

S

A

d

dr ==τ

. (7.56)

Jika bentuk di atas dibawa ke persamaan (7.54) diperoleh

03/72

2

=+t

B

d

td

τ (7.57)

dengan

3/7

03

03

0

2

)2/3( HHS

AB = . (7.58)

Melalui substitusi

τd

dtp =

maka

dt

dpp

d

td =2

2

τ

sehingga persamaan (7.57) dapat dituliskan menjadi

dtBtpdp 3/7−−= .

Dengan melalukan pengintegralan diperoleh

CtB

d

dt +=

− 3/42

2

3

τ (7.59)

atau

CtB

d

dt += − 3/4

2

3

τ (7.60)

dengan C tetapan integrasi.


___________________________________________________________________

191

Persamaan (7.60) di atas dapat diatur sebagai

∫+

=C

t

B

dt

3/42

3τ . (7.61)

Persamaan (7.61) di atas menyatakan hubungan antara waktu pribadi partikel

yang bergerak jatuh bebas dengan waktu koordinatnya. Sayangnya, integral pada

persamaan di atas sulit diselesaikan secara analitik, sehingga diperlukan komputasi

numerik. Kecuali jika pada integral (7.61) di atas diambil nilai C = 0 maka integral

di atas dapat diselesaikan yaitu

∫ == dttB

3/2

3

2τ +3/53/8

02/3

03/2

5

)2/3(3t

A

HSkonstanta (7.62)

Jika hasil (7.60) diisikan ke persamaan (7.52) diperoleh

=+− CtB

dt

dr 3/4

2

33/4

02

02

0

3/4

)2/3( HHS

At −

atau

=r ∫+−

−

CtB

dtt

HHS

A

3/4

3/4

3/40

20

20

2

3)2/3( (7.63)

yang juga sulit diselesaikan secara analitik jika C ≠ 0. Jika dipilih C = 0 maka

penyelesaian analitik persamaan di atas adalah

∫−= dtt

HHSB

Ar 3/2

3/40

20

20 )2/3(3

2

6/1

24

03

03

128

= t

HS+ konstanta. (7.64)

Persamaan (7.63) maupun (7.64) sama-sama menyatakan hubungan antara

koordinat r dalam jagad raya dengan model di atas sebagai fungsi waktu

koordinatnya (t).

Selanjutnya ditinjau gerakan pada r konstan = 0r pada bidang planar θ = π /

2 . Persamaan (7.50), (7.51) dan (7.53) tereduksi ke bentuk


___________________________________________________________________

192

0)2/3(2

3/13/10

20002

2

=

+τφ

τ d

dtHrHS

d

td (7.65)

02

02 =

τφ

d

drS (7.66)

2S

A

d

d =τφ

. (7.67)

Untuk penyelesaian dengan memperhitungkan persamaan (7.66) terlebih

dahulu, diperoleh nilai φ = konstanta sehingga nilai tetapan A = 0, dan dari

persamaan (7.65) : += τt konstanta. Namun jika hanya diperhitungkan set

persamaan (7.65) dan (7.67) maka kalau hasil (7.67) diisikan ke (7.65) akan

diperoleh

01)3/2(

3/72

2

3/73/40

30

220

3/7

2

2

=+=+t

D

d

td

tHS

Ar

d

td

ττ. (7.68)

Bentuk persamaan di atas mirip dengan persamaan (7.57) sehingga dengan

model penyelesaian yang sama akan diperoleh

CtD

d

dt +=

− 3/42

2

3

τ (7.69)

atau

CtD

d

dt += − 3/4

2

3

τ (7.70)

dengan C tetapan integrasi.

Persamaan di atas dapat diatur sebagai

∫+

=C

t

D

dt

3/42

3τ . (7.71)

Lagi-lagi integral pada persamaan (7.71) di atas sulit diselesaikan secara

analitik, sehingga diperlukan komputasi numerik. Kecuali jika pada integral (7.34)

di atas diambil nilai C = 0 maka integral di atas dapat diselesaikan yaitu

∫ == dttD

3/2

3

2τ +3/5

0

3/20

2/30

3/2

5

)2/3(3t

Ar

HSkonstanta (7.72)


___________________________________________________________________

193

Selanjutnya dengan mengisikan (7.70) ke (7.67) diperoleh

CtD

dt

d

d

dt

dt

d += − 3/4

2

3φτ

φ

3/40

20 )2/3( tHS

A= atau

∫+

=−

−

CtD

dtt

HS

A

3/4

3/4

3/40

20

2

3)2/3(φ + konstanta (7.73)

yang juga sulit diselesaikan secara analitik, kecuali jika telah dipilih nilai tetapan

integrasi C = 0. Untuk kasus pemilihan tetapan C = 0 maka

6/1

60

40

30

2144

=

rHS

tφ + konstanta (7.74)

Persamaan (7.74) di atas menyatakan hubungan antara sudut polar φ sebagai fungsi

waktu t untuk partikel yang bergerak pada r konstan di bidang planar.

Dari dua model gerakan di atas masing-masing untuk r dan φ sebagai fungsi t,

ternyata diperoleh penyelesaian yang serupa yaitu keduanya sebagai fungsi 3/1t .

2. Model Einstein

Dari persamaan geodesik (7.65) dan nilai tensor metrik pada persamaan (7.41),

jika diisikan µ = 0 maka

02 00 =

ττ d

dtg

d

d atau

τd

dt= A = konstanta (7.75)

Jika diisikan µ = 1 diperoleh

0sin22)1(

2

1

12

222

222

2

2=

+

+

−−

−−

τφθ

τθ

ττ d

dr

d

dr

d

dr

kr

kr

d

rd

kr (7.76)

Untuk µ = 2 diperoleh

0cossin22

22

22 =

+−−τφθθ

τθ

ττθ

d

dr

d

d

d

drr

d

dr (7.77)

Sedangkan untuk µ = 3 diperoleh

θτ

φ22 sinr

B

d

d = (7.78)


___________________________________________________________________

194

dengan B = konstanta.

Sekarang ditinjau gerakan radial sehingga 0== φθ dd . Persamaan (7.77) dan

(7.78) berturut-turut menyatakan 0 = 0 dan B = 0. Persamaan (7.76) menjadi

02)1(2

2

22 =

+−ττ d

drkr

d

rdkr (7.79)

Dengan mengisikan (7.75) ke (7.79) diperoleh

02)1(2

2

22 =

+−dt

drkr

dt

rdkr (7.80)

Dilakukan substitusi dtdrv /= , maka persamaan (7.80) dapat dituliskan

menjadi

02)1( 2 =

+− krvdr

dvkrv (7.81)

dengan dua penyelesaian

0=v dan drkr

kr

v

dv

1

22 −

= (7.82)

Penyelesaian pertama memberikan nilai

r = konstan (7.83)

sedangkan dari penyelesaian kedua diperoleh untuk ketiga nilai k berturut-turut

adalah

k = 1 ⇒ )1(/ 2 −== rCdtdrv ⇒ )exp(1

)exp(1

EtD

EtDr

−+= (7.84)

k = 0 ⇒ 0=v ⇒ r = konstan (7.85)

k = −1 ⇒ )1(/ 2 +== rCdtdrv ⇒ )( EDttgr += . (7.86)

dengan C, D dan E adalah tetapan integrasi. Jadi penyelesaian untuk jagad raya

model Einstein untuk gerakan radial adalah persamaan trayektori persamaan (7.84)

− (7.86) yang bergantung pada nilai k.

3. Model de Sitter

Persamaan faktor skala jagad raya sebagai fungsi waktu untuk model de Sitter

ini adalah

)exp(0 HtSS = (7.87)


___________________________________________________________________

195

Persamaan geodesik yang bersangkutan adalah

µ = 0 ⇒ 0)2exp(2

20

2

=

+ττ d

drHtHS

d

td (7.88)

µ = 1 ⇒ 0sin2222

222

22 =

+

+

−τφθ

τθ

ττ d

drS

d

drS

d

drS

d

d (7.89)

µ = 2 ⇒ 0cossin222

2222 =

+

−τφθθ

τθ

τ d

drS

d

drS

d

d (7.90)

µ = 3 ⇒ θτ

φ222 sinrS

B

d

d = (7.91)

dengan B suatu konstanta.

Kembali ditinjau gerakan radial, sehingga 0== φθ dd . Untuk jenis gerakan

ini, persamaan (7.89) menjadi

2S

A

d

dr =τ

(7.92)

dengan A suatu tetapan. Dengan mengisikan persamaan (7.92) ke persamaan (7.88)

diperoleh

0)2exp(2

=−+ HtCd

td

τ (7.93)

dengan

40S

AHC = .

Dilakukan substitusi

τd

dtp =

sehingga

2

2

τd

td=

dt

dpp .

Persamaan (7.93) dapat dituliskan menjadi

dtHtCpdp )2exp(−−=

yang jika diintegralkan bernilai


___________________________________________________________________

196

DHtCHd

dt +−=

)2exp(2

τ (7.94)

atau

DHtCH

dtd

+−=

)2exp(τ . (7.95)

Untuk mengintegralkan persamaan (7.95) di atas dilakukan substitusi

DHtCHu +−= )2exp(

sehingga

])ln[))(ln[2/1( 2 CHDuHt −−−=

dan

)( 2 DuH

ududt

−−= .

Persamaan (7.95) menjadi

duDuDuDH ∫

−−

+= 11

2

1τ

=

−+−++−

DDHtCH

DDHtCH

DH )2exp(

)2exp(ln

2

1 + konstanta (7.96)

Hasil persamaan (7.94) selanjutnya diisikan ke persamaan (7.92) sehingga

dihasilkan

)2exp(

)2exp()/(20

40

2

HtS

HtSAHDA

dt

dr

−

−+= (7.97)

atau

∫ −+= dtHtSAHDHtS

Ar )2exp()/()2exp( 4

02

20

(7.98)

yang sulit diselesaikan secara analitik jika D ≠ 0. Namun jika D = 0 maka

)exp(40

2/3

HtS

Ar = + konstanta. (7.99)

Persamaan (7.99) di atas menyatakan hubungan antara r sebagai fungsi t untuk

gerakan partikel jatuh bebas dalam jagad raya bermodel de Sitter.


___________________________________________________________________

197

7.9 DINAMIKA GERAK FOTON DALAM JAGAD RAYA

Kalau pada dinamika partikel, gerakan jatuh bebasnya ditelaah dengan

persamaan geodesik, maka tidak demikian pada gerakan foton, mengingat nilai

τd foton = 0. Karena swa-waktu foton bernilai demikian maka gerakannya dikaji

dengan mengisikan 2τd = 0 dari metrik Robertson-Walker pada persamaan (7.41)

yang dapat dituliskan sebagai

1sin1

12

222

22

22 =

+

+

− dt

dr

dt

dr

dt

dr

krS

φθθ. (7.100)

Dari persamaan (7.100) di atas dapat ditelaah gerakan foton baik untuk koordinat r,

θ maupun φ sebagai fungsi t untuk model-model jagad raya di atas, bergantung pada

perumusan S sebagai fungsi t.

1. Model debu (ΛΛΛΛ = 0 dan p = 0) dengan k = 0

Pada model ini ditinjau gerakan radial saja, gerakan sudut polar saja dan

gerakan sudut θ saja. Untuk gerakan radial semata, persamaan (7.100) tereduksi

menjadi

3/200

3/2

)2/3( HS

dttdr

−

= (7.101)

yang jika diintegralkan akan menghasilkan

3/13/2

00 )2/3(

3t

HSr = + konstanta. (7.102)

Dengan cara yang sama dapat diperoleh nilai φ sebagai fungsi t untuk gerakan pada

r konstan = 0r di bidang planar θ = π / 2 yaitu

3/13/2

000 )2/3(

3t

HrS=φ + konstanta. (7.103)

Sedangkan nilai θ sebagai fungsi t untuk gerakan pada r konstan = 0r dan φ =

konstan ternyata serupa dengan persamaan (7.103) yaitu

3/13/2

000 )2/3(

3t

HrS=θ + konstanta. (7.104)


___________________________________________________________________

198

2. Model Einstein

Untuk model ini, bentuk persamaan gerakannya lebih sederhana lagi karena

nilai S yang konstan. Untuk ketiga gerakan foton jatuh bebas seperti halnya pada

model debu di atas, diperoleh penyelesaian berturut-turut sebagai berikut :

1. gerakan radial

1+=k ⇒ )/sin( CStr += (7.105)

0=k ⇒ CStr += / (7.106)

1−=k ⇒ )/( CSttgr += (7.107)

2. gerakan θ untuk ketiga nilai k ⇒ CSrt += )/( 0θ (7.108)

3. gerakan φ untuk ketiga nilai k ⇒ CSrt += )/( 0φ (7.109)

Untuk semua persamaan pada model ini, C adalah tetapan integrasi.

7.10 DINAMIKA METRIK DE SITTER

Untuk menelaah ruang de Sitter, pertama kali dirumuskan metrik

ruang−waktu de Sitter sebagai (Lawden, 1982)

νµµν dxdxgds =2

= )sin(/1

)/1( 222222

22222 φθθ ddr

Rr

drdtcRr ++

−+−− . (7.110)

dengan R konstan.

Lambang Christoffel dirumuskan sebagai (Lawden, 1982)

( )βµν

µνβ

νβµ

αβαµν xgxgxgg ∂∂−∂∂+∂∂=Γ ///

21 . (7.111)

Dari nilai-nilai lambang Christoffel, dapat dicari nilai tensor Ricci µαR yang

dirumuskan sebagai (Lawden, 1982)

βνα

νβν

βµν

νβαν

νµα

α

νµν

µα ΓΓ−ΓΓ+∂

Γ∂−

∂

Γ∂=

xxR . (7.112)

Untuk menelaah gerakan partikel jatuh bebas, dirumuskan persamaan

geodesik lintasan partikel dalam ruang bermetrik sebagai (Lawden, 1982)


___________________________________________________________________

199

02 =∂

∂−

ds

dx

ds

dx

x

g

ds

dxg

ds

d νµ

αµνβ

αβ . (7.113)

Gerakan foton dapat diselidiki dengan mengisikan nilai 02 =ds mengingat

swawaktunya lenyap.

Pada metrik (7.110) telah dipilih koordinat−4 yang berbentuk :

),,,(),,,( 3210 φθµ rctxxxxx == . (7.114)

Tampak bahwa koordinat−3 spatial dipilih dalam bentuk koordinat bola. Dari

metrik persamaan (7.110), nilai komponen tensor metrik kovarian yang tak lenyap

adalah :

1)/( 2200 −= Rrg , )/( 222

11 rRRg −= , 222 rg = , θ22

33 sinrg = . (7.115)

Adapun nilai µνg untuk νµ ≠ bernilai lenyap. Nilai komponen tensor metrik dari

persamaan (7.115) di atas bersifat simetri. Mengacu pada persamaan (7.115) di atas,

untuk r → R, tensor metrik mengalami singularitas.

Sementara itu relasi antara tensor metrik kovarian dan kontravarian adalah

≠=

==µαµα

δ µα

βµαβ ,0

,1gg , (7.116)

Hubungan di atas memungkinkan untuk mendapatkan komponen tensor metrik

kontravarian yang tak lenyap dengan nilai-nilai sebagai berikut :

)/( 22200 RrRg −= , )/(1 2211 Rrg −= ,

222 /1 rg = , )sin/(1 22

33 θrg = . (7.117)

Sama halnya dengan tensor metrik kovarian, nilai tensor metrik kontravarian juga

bersifat simetri. Demikian pula tensor metrik kontravarian mengalami simgularitas

untuk r = 0 dan r = R.

Langkah selanjutnya, dari nilai tensor metrik yang tertera pada persamaan

(7.115) dan (7.117), dapat dihitung nilai-nilai lambang Christoffel yang tak lenyap

dengan menggunakan rumus persamaan (7.111) sebagai berikut :

422100 /)( RRrr −=Γ ; )/( 220

01010 Rrr −=Γ=Γ ; )/( 221

11 rRr −=Γ ;


___________________________________________________________________

200

222122 /)( RRrr −=Γ ; r/12

12221 =Γ=Γ ; 22221

33 /)(sin RRrr −=Γ θ ;

r/1331

313 =Γ=Γ ; θ2sin)2/1(2

33 −=Γ ; θcot332

323 =Γ=Γ . (7.118)

Jika diamati, beberapa lambang Christoffel menuju tak hingga untuk r = 0, r = R

serta πθ n= dengan n = bilangan bulat.

Nilai-nilai lambang Christoffel yang terdapat pada persamaan (7.118) di atas

selanjutnya sapat digunakan untuk menghitung komponen simetri tensor Ricci

memanfaatkan persamaan (7.112) sebagai berikut :

00R = 4

22 )(3

R

rR −; 11R =

22

3

Rr −; θ2

2233 sinRR = = 2

22 sin3

R

r θ− . (7.119)

Untuk r → R, nilai ∞→11R , sementara 22R dan 33R lenyap untuk r = 0.

Akhirnya, skalar kelengkungan R dapat ditentukan menggunakan tensor

metrik kontravarian pada persamaan (7.117) dan tensor Ricci pada persamaan

(7.119) dengan nilai

µνµν RgR = =

2

12

R− . (7.120)

Sesuai sifatnya, skalar kelengkungan di atas bernilai konstan, bukan merupakan

fungsi variabel koordinat.

7.11 DINAMIKA GERAK FOTON DALAM METRIK DE SITTER

Ditinjau gerak foton untuk mana swa−waktunya lenyap, atau

0222 =−= − dscdσ , (7.121)

sehingga metrik de Sitter pada persamaan (7.110) untuk gerak foton menjadi

0)sin()( 2222

22

22

2

2222=++

−+− φθθ ddr

rR

drR

R

dtRrc. (7.122)

Akan diambil kasus khusus : pada t = 0, foton berada di r = 0r dan

selanjutnya bergerak keluar sepanjang garis lurus secara radial dengan θ = konstan

dan φ = konstan. Ini menyebabkan 0== φθ dd sehingga persamaan (7.122)

menjadi


___________________________________________________________________

201

4

22222 )(

R

rRc

dt

dr −=

. (7.123)

Jika diambil akar positif (mengingat untuk t positif, r bergerak keluar) diperoleh

222 R

dtc

rR

dr =−

. (7.124)

Pengintegralan menghasilkan

kR

ct

rR

rR

R+=

−+

2ln

2

1, (7.125)

dengan k tetapan integrasi. Dengan mengingat syarat batas : 0)0( rtr == , untuk

mana Rr <≤ 00 memberikan

0

0ln2

1

rR

rR

Rk

−+= , (7.126)

sehingga persamaan (7.125) dapat dituliskan dalam bentuk

))((

))((ln

2 0

0

rRrR

rRrR

c

Rt

+−−+= . (7.127)

Untuk bentuk khusus : 00 =r , persamaan di atas menjadi

rR

rR

c

Rt

−+= ln

2. (7.128)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa nilai t hanya valid untuk daerah Rr <≤0 .

Untuk Rr → maka ∞→t . Persamaan (7.128) dapat dinyatakan dalam ungkapan

1)/2exp(

1)/2exp(

+−=

Rct

RctRr . (7.129)

Selanjutnya diambil kasus khusus : foton bergerak dengan 0rr = = konstan

dan φ konstan sehingga persamaan (7.122) dapat dituliskan

22

0

20

222 )(

Rr

rRc

dt

d −=

θ = konstan. (7.130)

Jika diambil akar positifnya, diperoleh

dtRr

rRcd

0

20

2 −=θ , (7.131)


___________________________________________________________________

202

sehingga untuk syarat batas : 0)0( θθ ==t dihasilkan

tRr

rRct

0

20

2

0)(−

+=θθ . (7.132)

Gerakan foton pada kasus ini adalah berupa gerakan azimut melingkar pada

0rr = = konstan dengan kecepatan sudut azimut konstan sebesar

2/120

20 ))(/( rRRrc − .

Pada gerakan ini perlu diberikan pembatasan bahwa 00 ≠r kecepatan sudutnya

tidak tak hingga, juga Rr ≠0 agar kecepatan sudutnya tidak lenyap. Ini berarti,

syarat gerakan melingkar stabil terletak pada daerah Rrr <=< 00 .

Demikian pula untuk gerakan foton polar dengan 0rr = = konstan dan

0θθ = = konstan yang menyebabkan persamaan (7.122) memiliki ungkapan

Rr

rRc

dt

d

00

20

2

sinθφ −

= = konstan. (7.133)

Pengintegralan dengan syarat batas 0)0( φφ ==t memberikan

tRr

rRct

00

20

2

0 sin)(

θφφ

−+= . (7.134)

Mirip dengan gerakan foton secara azimut di atas, pada gerakan foton polar ini,

syarat agar gerakan stabil adalah 00 ≠r , Rr ≠0 , 00 ≠θ dan πθ ≠0 . Kecepatan

sudut polar gerak foton ini bernilai konstan = 2/120

200 ))(sin/( rRRrc −θ .

7.12 DINAMIKA GERAK PARTIKEL DALAM METRIK DE SITTER

Selanjutnya ditelaah persamaan geodesik lintasan partikel di dalam metrik de

Sitter. Metrik (7.110) dapat ditulis dalam bentuk

1sin2

22

22

22

22

2

22=

+

+

−+

−ds

d

ds

dr

ds

dr

rR

R

ds

dtc

R

Rr φθθ. (7.135)

Dengan menggunakan persamaan geodesik (7.113) maka diperoleh set persamaan

diferensial berikut :


___________________________________________________________________

203

)( 22

2

Rrc

Rk

ds

dt

−= , (7.136)

2

22

22

2

22

22

22

−∂∂−

−∂∂−

− ds

dr

rR

R

rds

dtc

R

Rr

rds

dr

rR

R

ds

d

( ) 22

∂∂−

ds

dr

r

θ ( ) 222 sin

∂∂−

ds

dr

r

φθ = 0, (7.137)

( ) 0sin22

222 =

∂∂−

ds

dr

ds

dr

ds

d φθθ

θ. (7.138)

θ

φ22 sinr

l

ds

d = . (7.139)

dengan k dan l tetapan integrasi.

Ditinjau gerakan partikel secara radial, sehingga 0== φθ dd . Persamaan

(7.135) tereduksi ke bentuk

12

22

22

2

22=

−+

−ds

dr

rR

R

ds

dtc

R

Rr. (7.140)

Dengan mengisikan nilai dsdt / dari persamaan (7.136) ke persamaan (7.140) di

atas, diperoleh

1)(

2

2222

42

22

2

22

22=

−−+

− dt

dr

Rrc

Rk

rR

R

Rr

Rk, (7.141)

yang jika disederhanakan menjadi

62

22222222 ][])1[(

Rk

rRrRkc

dt

dr −−+=

. (7.142)

Dari persamaan di atas, diambil akar positif yang memberikan ungkapan

32/122222 ])1([][ kR

dtc

RkrRr

dr =++−+−

. (7.143)

Ruas kiri persamaan di atas dapat diintegralkan dengan menggunakan rumus

(Abramowitz dkk, 1965) untuk bc > ad


___________________________________________________________________

204

∫ −−+−++

−=

++ 2/12/12

2/12/12

2/12/122 )()]([

)()]([ln

)]([2

1

))(( adbcxdcxb

adbcxdcxb

adbcbdcxbax

dx (7.144)

sehingga pengintegralan persamaan (7.143) memberikan

krrRk

krrRk

kR −−+

+−+222

222

2)1(

)1(ln

2

1 = K

kR

ct +3

, (7.145)

dengan K tetapan integrasi. Untuk syarat batas, misalnya 0)0( ==tr diperoleh K =

0 sehingga

krrRk

krrRk

c

Rt

−−+

+−+=

222

222

)1(

)1(ln

2. (7.146)

Dari persamaan di atas, terdapat syarat : 10 2 +≤≤ kRr agar nilai di dalam akar

tidak negatif serta Rr ≠ agar penyebut ≠ 0. Dua syarat tersebut dapat digabung

menjadi

Rr <≤0 atau 12 +<< kRrR . (7.147)

7.13 METRIK DAN JAGAD RAYA DE SITTER

Dari metrik de Sitter yang terdapat pada persamaan (7.110), dilakukan

transformasi dari koordinat−4 ),,,( φθrct ke ),,,( φθσcT melalui substitusi

−−=

2

22 )/2exp(1ln

R

RcTARcTct

σ (7.148)

)/exp( RcTAr σ= (7.149)

dengan A tetapan positif. Melalui transformasi tersebut metrik de Sitter menjadi

)]sin()[/2exp( 222222222 φθθσσ dddRcTAdTcds +++−= . (7.150)

Bentuk metrik ini sama dengan metrik jagad raya de Sitter yang berasal dari metrik

Robertson−Walker yang dirumuskan sebagai

++

−+−= )sin(

1

22222

22222 φθθσ

σσ

ddk

dSdTcds , (7.151)

kemudian dengan mengisikan untuk jagad raya de Sitter beberapa nilai berikut :


___________________________________________________________________

205

• )exp(HtAS = yang berasal dari asumsi bahwa nilai tetapan Hubble H =

)/(1 dtdSS − selalu konstan sepanjang waktu T. Selanjutnya diperoleh

hubungan RcH /= .

• jagad raya bersifat datar (flat) karena tidak memiliki rapat massa ρ maupun

tekanan p sehingga nilai tetapan kelengkungan k = 0.

Dari kedua asumsi di atas, diperoleh metrik de Sitter.

Invers transformasi persamaan (7.148) dan (7.149) adalah

22 /1

)/exp(

RrA

Rctr

−

−=σ (7.152)

22 /1ln RrRctcT −+= . (7.153)

7.14 DINAMIKA GERAK FOTON DALAM JAGAD RAYA DE SITTER

Ditinjau sebuah foton yang dilepaskan dari titik ),,( φθσ secara radial ke

pusat O pada waktu 0T dalam jagad raya de Sitter dengan metrik diberikan pada

persamaan (7.150). Mengingat untuk foton, swawaktunya lenyap serta gerakannya

dipilih bersifat radial, persamaan (7.150) berbentuk

2222 )/2exp( σdRcTAdTc = . (7.154)

Karena gerakan foton menuju O, diambil akar negatif dari persamaan di atas

sehingga dapat ditulis menjadi

σdcAdTRcT )/()/exp( −=− . (7.155)

Jika diintegralkan

∫∫ −=−0

0

)/exp(σ

σdc

AdTRcT

T

T

atau

)/()/exp()/exp( 0 RARcTRcT σ−−=− . (7.156)

Dengan menyederhanakan bentuk di atas, diperoleh

T = [ ])/exp()/(1ln 00 RcTRAc

RT σ−− . (7.157)


___________________________________________________________________

206

Dari hasil terakhir di atas, selang waktu yang diperlukan menurut pengamat di

ruang de Sitter bagi foton untuk menempuh gerakan tersebut adalah

[ ])/exp()/(1ln 00 RcTRAc

RTTT σ−−=−=∆ . (7.158)

Untuk nilai di atas, tentu saja harus dipenuhi

0)/exp()/(1 0 >− RcTRAσ (7.159)

atau

)/exp()/( 0 RcTAR −<σ . (7.160)


___________________________________________________________________

207

Soal-Soal Latihan BAB VII

1. Suatu daerah ruang-waktu memiliki metrik

222222 dtxdzdydxds −++= .

Sebuah partikel pada saat t = 0 berada pada posisi (1, 0, 0). Jika partikel

tersebut dilepaskan dan bergerak jatuh bebas, tunjukkan bahwa ia bergerak

sepanjang sumbu x dengan persamaan gerakan tx sech= . Sebuah foton

dipancarkan dari titik (1, 0, 0) pada t = 0 pada arah sumbu y positif.

Tunjukkan bahwa pada saat tersebut

0// == dtdzdtdx , 0/ =dtdy

serta lintasan foton tersebut adalah lingkaran dengan persamaan 122 =+ yx .

2. Jagad raya de Sitter memiliki metrik

222222212 )sin( dtAcddrdrAds −++= − φθθ

dengan

22 /1 RrA −=

dan R tetapan. Saat t = 0, sebuah foton meninggalkan pusat r = 0 dan bergerak

keluar sepanjang garis lurus dengan θ = tetapan dan φ = tetapan. Carilah

koordinat r pada waktu t dan tunjukkan bahwa

2/Rr = saat cRt 2/)3ln(=

serta

Rr → saat ∞→t .

3. zr ,,θ adalah koordinat kuasi−silindris dalam suatu medan gravitasi yang

memiliki metrik

)()( 222222 dtdzrddrrds −++= θ .

Sebuah partikel diletakkan pada titik 1=r , 0== zθ pada medan tersebut

dengan kecepatan 0// == dtdzdtdr , 2/3/ =dtdθ . Tunjukkan bahwa jika


___________________________________________________________________

208

partikel tersebut jatuh bebas, ia bergerak pada bidang z = 0 antara lingkaran

berjari-jari 1=r dan 3=r , pertama kali mengenai lingkaran terluar pada

πθ 3= . Sebuah foton dipancarkan dari titik 1=r , 0== zθ dan bergerak

dengan kecepatan awal 0// == dtdzdtdr . Tunjukkan bahwa lintasan foton

tersebut berbentuk spiral dengan persamaan

2411 θ+=r

pada bidang z = 0.

4. Metrik de Sitter dapat dinyatakan dalam bentuk

222222 ))(/2exp( dtcdzdydxRctds −++=

dengan R suatu tetapan, dan zyx ,, dapat diperlakukan sebagai koordinat

Kartesan tegaklurus. Tunjukkan bahwa trayektori partikel jatuh bebas dan

foton adalah garis lurus. Sebuah partikel ditempatkan pada pusat saat t = 0

dengan kecepatan V sepanjang sumbu x positif. Tunjukkan bahwa koordinat x

pada waktu t diberikan oleh

])/2exp(1()[/( 22 RctVccVRx −−−= .

Sebuah benda pada titik x = X di sumbu x memancarkan foton yang bergerak

menuju pusat saat t = 0. Tunjukkan bahwa foton tersebut akan tiba di O pada

waktu

)/1ln()/( RXcRt −−= .

5. φθ ,,r adalah koordinat kuasi−kutub bola pada sebuah medan gravitasi yang

bersifat simetri bola terhadap pusat r = 0. Metrik ruang−waktu adalah

2)sin(

)1(

22222

2

222

+−++

+=

r

dtrddr

r

drrds φθθ .

Sebuah partikel diletakkan pada titik ,1=r 2/πθ = , 0=φ pada waktu t = 0

dengan kecepatan sedemikian sehingga 0// == dtddtdr θ , 6/1/ =dtdφ .

Partikel tersebut kemudian bergerak jatuh bebas. Tunjukkan bahwa trayektori


___________________________________________________________________

209

lintasan partikel tersebut terletak pada bidang 2/πθ = dan memiliki

persamaan kutub

)3/8cos(3

)3/8cos(5

φφ

+−

=r .

6. Carilah persamaan gerakan foton yang bergerak secara radial di dalam bola

Schwarzschild dan tunjukkan bahwa foton tersebut bergerak keluar dari pusat

O mengambil koordinat waktu t yang tak hingga untuk mencapai bola

tersebut. Buktikan pula bahwa foton yang bergerak menuju pusat O dari

mRr 2<= membutuhkan waktu Tt = yang diberikan oleh

)2/1ln(2 mRmRcT −−−=

untuk mencapai O.

7. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis radial menuju O dalam daerah r >

2m. Untuk kondisi awal 0/,,0 === dtdrRrt , buktikan bahwa

−

−

−=

−

Rrr

m

R

mmc

dt

dr 1121

212

212

2

.

Selanjutnya tunjukkan pula bahwa

∫ −−

−=R

r rRmr

drr

m

Rct

2/1

2/32/1

))(2(1

2

= [ ]

+−−++−

− −γγ

1

1ln2/cos)4()(1

21

2/1

mRrmRrRrm

R

dengan

)2(

)(2

mRr

rRm

−−=γ .

Tunjukkan bahwa ∞→ct untuk mr 2→ .

8. Sebuah foton dipancarkan dari titik mr = , 0,2/ == φπθ di dalam lubang

hitam Shwarzschild dengan kecepatan sudut 0/ =dtdθ , mcdtd /)33(/ =φ .


___________________________________________________________________

210

Tunjukkan bahwa kecepatan awal diberikan oleh cdtdr 72/ ±= . Pada kasus

dimana nilai awal dtdr / adalah negatif, tunjukkan bahwa foton tersebut

bergerak pada bidang 2/πθ = dan jatuh ke O sepanjang trayektori

]12/)(coth3[6 2 −−= φαrm

dengan 215ln +=α .

9. φθ ,,r adalah koordinat Schwarzschild. Seorang pengamat tetap pada titik

φθ ,,R mengirim sinyal secara radial menuju pusat O. Sinyal dipantulkan

oleh sebuah benda kecil pada titik φθ ,,r dan kembali ke pengamat.

Tunjukkan bahwa waktu antara transmisi dan penangkapan sinyal kembali

yang diukur oleh jam standar pengamat adalah

−−+−−

mr

mRmrR

c

Rm

2

2ln2

/212.

10. Sebuah foton dipancarkan dari titik ),,( φθr sepanjang radius menuju pusat

pada waktu t dalam jagad raya de Sitter. Tunjukkan bahwa waktu yang

diperlukan untuk mencapai pusat O adalah

H

HtcHAr )exp()/(1ln( −− .

11. Dalam ruang dua dimensi dimana metriknya diberikan oleh

222

22

22

2222

)( ar

drr

ar

drdrds

−−

−

+= θ (r > a),

tunjukkan bahwa persamaan diferensial lintasan geodesik dapat dituliskan

dalam bentuk

42222

2 rkrad

dra =+

θ

dengan 2k adalah suatu tetapan, sedemikian sehingga 12 =k jika dan hanya

jika, geodesik tersebut null.


___________________________________________________________________

211

12. Didefinisikan koordinat ),( φr pada kerucut lingkaran yang memiliki sudut

setengah vertikal α sehingga metrik permukaan kerucut tersebut diberikan

oleh

22222 sin φα drdrds += .

Tunjukkan bahwa keluarga lintasan geodesik diberikan oleh

)sinsec( βαφ −= ar

dengan βα, adalah tetapan sembarang.

13. Suatu ruang tiga dimensi memiliki metrik

)sin( 222222 φθθλ ddrdrds ++=

dengan λ merupakan fungsi r saja. Tunjukkan bahwa sepanjang lintasan

geodesik untuk 2/πθ = serta 0/ =dsdθ saat s = 0, berlaku

ψλφ d∫=

dengan ψsecbr = .


)( 222222 dtdzdydxeds kx −++=

dengan k tetapan, serta

2222 )/()/()/( dtdzdtdydtdxv ++= ,

tunjukkan bahwa benda yang bergerak jatuh bebas memenuhi persamaan

kxeVv 222 )1(1 −=−

dengan Vv = untuk x = 0.


2222222 )( dtcdzdydxds αα −++=

dengan 1)1( −−= kxα dan k tetapan, serta


___________________________________________________________________

212

2222 )/()/()/( dtdzdtdydtdxv ++= ,

tunjukkan bahwa untuk benda yang bergerak jatuh bebas tersebut dipenuhi

persamaan

xkcvV 222 =−

dengan v = V untuk x = 0.

16. Jika metrik ruang−waktu adalah

222222 )( dtkdzdydxds αα −++=

dengan α adalah fungsi x saja dan k tetapan, carilah persamaan diferensial

yang membangun lintasan garis dunia partiel yang bergerak jatuh bebas. Jika

x, y dan z diinterpretasikan sebagai koordinat Kartesan tegaklurus oleh

seorang pengamat dan t adalah variabel waktunya, tunjukkan bahwa terdapat

suatu persamaan energi untuk partikel tersebut dalam bentuk

α22

21 k

v − = tetapan.

Daftar Pustaka _______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

213

DAFTAR PUSTAKA Anugraha, R., 1997 : Teori Relativitas Umum Einstein dan Penerapannya pada

Model Standar Alam Semesta pada keadaan awal, sekarang dan masa depan, Skripsi, Fakultas MIPA UGM, Yogyakarta.

Bose, S.K., 1980 : An Introduction to General Relativity, cetakan ke 10, Wiley Eastern Limited.

Farmer, G., 1966, Derivation of Compton Scattering Relation in Covariant Notation, American Journal of Physics, Vol. 34, p. 614.

Hawking, S., 1974 : Black Hole Explosion ? Nature, vol. 248, p. 30 − 33. Krane, K., 1992 : Fisika Modern, UI Press, Jakarta. Lapidus, I.R., 1972, Motion of a Relativistic Particle Acted Upon by a Constant

Force and a Uniform Gravitational Field, American Journal of Physics, Vol. 40, p. 984 − 988.

Lawden, D.F., 1982 : An Introduction to Tensor Calculus, Relativity and Cosmology, John Wiley & Sons, New York.

Misner, C.W., Thorne, K.S., Wheeler, J.A., 1973 : Gravitation, W.H. Freeman & Company, New York.

Muller, R.A., 1972, The Twin Paradox in Special Relativity, American Journal of Physics, Vol. 40, p. 966 − 969.

Muslim, 1985 : Teori Relativitas Khusus, Pasca Sarjana UGM, Yogyakarta. Muslim, 1986 : Analisis Vektor dan Tensor dalam Fisika Matematik, Fakultas

Pasca Sarjana UGM, Yogyakarta. Muslim, 1997 : Teori Relativitas Khusus, Produk dan Eksponen Paradigma

Simetri, Unifikasi dan Optimasi dalam Fisika Modern, Lab Atom−Inti FMIPA UGM, Yogyakarta.

Peebles, P.J.E., 1971 : Physical Cosmology, Princeton University Press Siemon, R.E., Snider, D.R., Elastic Collisions as Lorentz Transformations with

Application to Compton Scattering, American Journal of Physics, Vol. 34, p. 614 − 615.

Weinberg, S., 1972 : Gravitation and Cosmology : Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons, New York.

Wospakrik, H.J., 1987 : Berkenalan dengan Teori Kerelatifan Umum dan Biografi Albert Einstein, ITB, Bandung.

Zahara, M., Muslim, 1992 : Relativitas Khusus dan Mekanika Kuantum Sebagai Sokoguru Fisika Masa Kini, Berkala Ilmiah MIPA, No. 2, Tahun IV, FMIPA UGM Yogyakarta.

TEORI RELATIVITAS DAN KOSMOLOGI · 5.5 Pergeseran merah galaksi 127 5.6 Ekspansi Jagad Raya 130 5.7...

Documents

Transcript of TEORI RELATIVITAS DAN KOSMOLOGI · 5.5 Pergeseran merah galaksi 127 5.6 Ekspansi Jagad Raya 130 5.7...