TEORI PELUANG

BY :SRI REJEKI

KOMBINASI DAN PERMUTASI

• Dalil 1: Jika suatu operasi terdiri atas k langkah dan setiap langkahnya dapat dilakukan sebanyak n cara, maka keseluruhan operasi itu dapat dilakukan sebanyak n1n2...nk cara.

• Dalil 2: Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda adalah n!

Contoh

• Ali pergi ke suatu showroom mobil untuk membeli sebuah mobil sedan baru. Sesampainya di tempat tujuan, ia mendapatkan 6 macam mobil (Corolla, Accord, Civic, Mitsubishi, Daihatsu, dan Suzuki) masing-masing dengan 4 warna pilihan dan 3 macam model interior. Berapa banyak alternatif mobil baru yang dapat dipilih?

• Seorang Dosen memiliki 5 buah buku yang akan disusun di atas rak bukunya . Berapa kemungkinan susunan yang mungkin terjadi?

JAWABAN

• Jumlah alternatif mobil baru yang dapat dipilih = n1.n2.n3 = 6 x 4 x 3

= 72 pilihan• Jumlah kemungkinan susunan buku

= 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 120

Dalil 3

• Jika dari n objek yang berbeda pada setiap pengambilannya diambil sebanyak r objek, maka jumlah permutasinya adalah :P(n,r) = n!

(n-r)!Untuk r = 0,1,2,...n

Dalil 4

• Jumlah kombinasi r obyek yang diambil dari n obyek adalah n!/r!(n-r)!

Contoh : Berapa banyak kemungkinan kombinasinya apabila 3 mahasiswa teladan akan dipilih dari 8 nominasi?

Jawab : (8) = 8! = 8! = 56 (3) 3! (8-3)! 3!5!

Dalil 5• Probabilitas atau peluang (P) suatu peristiwa atau event (E) yang

kemudian ditulis dengan simbol P(E), selalu lebih besar atau sama dengan nol dan lebih kecil atau sama dengan satu. Secara aljabar, prinsip tersebut dapat ditulis sebagai berikut: 0 P(E) 1

• Contoh : soal 1 soal 2 skorS S 0B S 1S B 1B B 2

Berapa peluang terjadinya setiap skor?

JAWABAN

• P(E=0) = ¼=0.25• P(E=1) = 2=0.25• P(E=2) = ¼=0.25

Dalil 6

• Jika suatu peristiwa dapat terjadi dalam n cara dari N kemungkinan yang seimbang, maka peluang peristiwa itu adalah n/N, yang secara aljabar dapat ditulis : P(E) = n/N

Dalil 7• Kalau a dan b keduanya merupakan bilangan konstan, maka

E(ax+b)=aE(x) + b• Keterangan:a.Rata-rata bilangan konstan adalah bilangan itu sendiri. Jadi, jika b

merupakan bilangan konstan maka E(b) = b. Misalnya rata-rata dari perangkat data 8,8,8,8 dan 8 adalah 8. Disini angka 8 adalah bilangan konstan karena tidak berubah-ubah.

b.Jika setiap nilai dari seperangkat data dikalikan dengan bilangan konstan, maka rata-rata barunya adalah rata-rata lama dikalikan dengan bilangan konstan itu, aE(x). Contoh, rata-rata dari perangkat data 7,9,6,8,5 adalah 7. Jika setiap skor tersebut dikalikan dengan 5, maka rata-ratanya menjadi 5 x 7 =35.

c.Jika setiap nilai dari seperangkat data ditambah dengan bilangan konstan, maka nilai rata-rata barunya sama dengan rata-rata asal ditambah dengan bilangan konstan itu. E(x+b) = E(x) +b, jika b bilangan konstan. Jika setiap skor pada contoh (2) ditambah 5, maka rata-ratanya menjadi 7+ 5 = 12.

Dalil 8• Jika a dan b keduanya bilangan konstan maka Var(ax+b) = a2x

2

• Keterangan :a. Jika setiap nilai dari seperangkat data dikalikan dengan bilangan

konstan, maka variansi barunya menjadi variansi lama dikalikan dengan kuadrat dari bilangan konstan itu. Var(ax) =a2x

2

Misalnya, kita memiliki perangkat data yang variansinya 12,8. Jika setiap skor pada perangkat data tersebut dikalikan dengan angka 3, maka variansi perangkat data baru itu akan sama dengan 32 x 12,8 = 115,2.

b. Jika setiap nilai dari seperangkat data ditambah atau dikurangi bilangan konstan, maka variansinya tidak berubah, Var(x+b) = x

2. Misalnya, variansi perangkat data 5,6,8,7, dan 4 adalah 2,5. Jika setiap skor pada data tersebut ditambah 50, maka perangkat data baru adalah 55,56,58,57, dan 54 yang variansinya juga sebesar 2,5.