Teori Peluang dan Aturan Penjumlahan

POLITEKNIK

UNIVERSITAS ANDALAS

PROBABILITAS DAN STATISTIK

TEORI PELUANG

Peluang suatu kejadian

Aturan penjumlahan

Peluang bersyarat

Aturan perkalian

Aturan Bayes

PELUANG SUATU KEJADIAN

Definisi :

• Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A

• 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(ø) = 0, • P(T) = 1

PELUANG SUATU KEJADIAN

Contoh :

• Dua mata uang dilantumkan satu kali. Berapakah peluangnya bahwa paling sedikit muncul muka sekali ?

PELUANG SUATU KEJADIAN

• Jawab :Ruang sampel :T = {MM,MB,BM,BB}

Setiap titik sampel mempunyai kemungkinan muncul yang sama, maka masing-masing diberi ¼.

Bila A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul, maka :A = {MM,MB,BM}

dan

4

3

4

1

4

1

4

1)( AP

PELUANG SUATU KEJADIAN

N

nAP )(

PELUANG SUATU KEJADIAN

Contoh :

Sekantung permen berisi 6 rasa jeruk, 4 rasa kopi, dan 3 rasa coklat. Bila seseorang mengambil satu permen secara acak, tentukan peluang untuk mendapat

a. Satu rasa jeruk, atau

b. Satu rasa kopi atau coklat

PELUANG SUATU KEJADIAN

Jawab :J kejadian yang terpilih adalah rasa jeruk K kejadian yang terpilih adalah rasa kopiC kejadian yang terpilih adalah rasa coklatTotal =13, semuanya memiliki peluang yang sama

a. 6 dari 13 permen dengan rasa jeruk, maka :

b. 7 dari 13 permen dengan rasa kopi atau coklat ,maka

13

6)( JP

13

7

13

3

13

4)()()( CPKPCKP

ATURAN PENJUMLAHAN

• Teorema :

Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Gambar : Aturan penjumlahan peluang

ATURAN PENJUMLAHAN

• Akibat 1 :Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(A U B) = P(A) + P(B)

karena bila A dan B terpisah maka A ∩ B = ø sehingga P(A ∩ B) = P(ø) = 0

ATURAN PENJUMLAHAN

• Akibat 2 :

Bila A1,A2,A3,…,An saling terpisah, maka P(A1UA2U…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

• Akibat 3 :

Bila A1,A2,…,An merupakan suatu sekatan ruang sampel T, maka

P(A1UA2U…UAn)=P(A1) + P(A2)+…+P(An)

= P(T) = 1

ATURAN PENJUMLAHAN

• Teorema :Untuk tiga kejadian A, B dan CP(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Contoh :Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila peluangnya lulus kedua mata kuliah ¼ , Berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah ?

ATURAN PENJUMLAHAN

• Jawab :

Bila M menyatakan kejadian “lulus matematika” dan B “lulus biologi” maka menurut teorema 10

P(M U B) = P(M) + P(B) – P(M∩B)

=

=

4

1

9

4

3

2

36

31

ATURAN PENJUMLAHAN

• Teorema :

Bila A dan A’ kejadian yang berkomplementer, maka P(A) + P(A’) = 1

Bukti :

Karena A U A’ = T dan himpunan A dan A’ terpisah, maka

1 = P(T)

= P(A U A’)

= P(A) + P(A’)

ATURAN PENJUMLAHAN

• Contoh :

Bila peluang seorang montir mobil akan memperbaiki 3,4,5,6,7 atau 8 lebih mobil pada setiap hari kerja, masing-masing 0,12; 0,19; 0,28; 0,24; 0,10; dan 0,07

Berapakah peluang bahwa dia akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya ?

ATURAN PENJUMLAHAN

• Jawab :

Misalkan E kejadian bahwa paling sedikit 5 mobil yang diperbaiki.

P(E) = 1 – P(E’)

E’ kejadian bahwa kurang dari 5 mobil yang diperbaiki.

P(E’)=0,12 + 0,19 = 0,31, maka :

P(E)=1-0,31=0,69