Teori Geometri   Affin

Posted on April 24, 2008 by ismalianibaru

I. PENGANTAR

Geometri insidensi disebut geometri Affin jika memenuhi postulat berikut:

POSTULAT E. Jika titik A tidak terletak pada garis l maka terdapat satu dan hanya

satu garis m dimana m memuat A dan m l.

Geometri Affin meliputi sifat-sifat kesejajaran garis dan bidang yang ada pada geometri

bidang dan ruang Euclide. Pada geometri Affin yang digunakan hanyalah postulat-

postulat geometri Insidensi dan postulat E.

II. GARIS-GARIS TRANSVERSAL

Jika garis l, m sebidang maka akan memenuhi satu dari tiga kemungkinan yaitu:

(1) l m (2) l = m (3) l m dan l = m

Pada kasus yang ketiga l dan m berpotongan dan berbeda. Berhubungan dengan hal di

atas, kita memerlukan defenisi berikut:

DEFENISI. Garis l dikatakan transversal dengan garis m, atau garis l transversal

dari m, atau l dan m transversal, ditulis l tr m, jika l berpotongan dengan m dan l = m.

Sebagai akibat dari defenisi tersebut dapat kita kemukakan sifat sebagai berikut:

a) l tr m jika dan hanya jika irisan dari l dan m adalah sebuah titik.

b) Jika l dan m sebidang, maka:

(i) l m (ii) l tr m (iii) l = m

Hubungan antara kesejajaran dan ketransversalan ini dituangkan dalam teorema berikut:

Teorema 2:

Pada sebuah bidang apabila sebuah garis transversal dengan satu dari dua garis sejajar, maka

akan transversal dengan garis yang lainnya.

n

A l

m

Pernyataan : Jika l, m, n termuat pada bidang P, l m, n tr l, maka n tr m.

Bukti :

Misal A l m. Andai n tidak transversal m, maka n = m atau n m.

Jika n = m maka l n ( berkebalikan dengan ada A l m ) sehingga n = m.

Jika n m maka ada dua garis berbeda yaitu l dan n yang masing-masing memuat

A dan sejajar dengan m. Ini kontradiksi dengan postulat E maka n m.

Jadi pengandaian n tidak transversal m adalah salah, dan seharusnya n tr m.

III. GARIS TRANSVERSAL BIDANG

DEFENISI. Jika garis l dan bidang P tidak mempunyai titik persekutuan, kita sebut l

sejajar dengan P atau P sejajar dengan l, dan ditulis l P atau P l. Kita sebut l

transversal P, atau P transversal l, ditulis l tr P, atau P tr l, jika irisan l dan P adalah

sebuah titik.

Jadi untuk l, P berlaku :

(1) l P (ii) l tr P (iii) l terletak pada P

Teorema 3.

Sebuah bidang transversal dengan salah satu dari dua garis sejajar maka akan

transversal dengan garis lainnya.

Q

l m

P

n

A B

Pernyataan: Jika l m, P tr l, maka P tr m.

Bukti:

Misal A P l, ada Q yang memuat l dan m (defenisi kesejajaran).

Q = P (defenisi P tr l)

A l dan l termuat pada Q sehingga A Q. Jadi A (P Q).

n = (P Q), dengan A n.

Andai n = l, berarti l termuat di P, kontradiksi dengan P tr l. Jadi n = l.

Sehingga n tr l (defenisi garis transversal).

Jika l, m, n termuat pada Q maka n tr m (teorema 2)

Misal B n m, maka B termuat di P dan B P m.

Andai ada selain B yaitu C dimana C P m, maka m termuat di P (postulat I.5)

Karena m termuat juga dalam Q maka m = (P Q), sehingga m = n.

Ini kontradiksi dengan n tr m. Jadi pengandaian salah dan hanya ada satu titik

persekutuan m dan P yaitu B. Sehingga P lint m (defenisi transversal).

Corollary 1:

Jika l m dan P tidak tr l, maka P tidak tr m

Bukti:

Andaikan P tr m maka P tr l (teorema 3). Kontradiksi dengan P tidak tr l. Sehingga

pengandaian salah, haruslah P tidak tr m.

Corollary 2:

Jika l m dan P l, maka P m atau P memuat m

Bukti:

P l mengakibatkan P tidak tr l. Sehingga P tidak tr m (corollary 1). Maka

kemungkinannya adalah P m atau P memuat m.

Corollary 3:

Jika l m dan P memuat l, maka P memuat m atau P m

Bukti:

Jika P memuat l berarti P tidak tr l. Sehingga P tidak tr m (corollary 1). Maka

kemungkinannya adalah P memuat m atau P m.

Corollary 4: (Pernyataan ulang dari corollary 3)

Jika sebuah bidang memuat satu dari dua garis yang sejajar dan tidak pada garis

lainnya, maka bidang tersebut sejajar dengan garis lainnya. Ekivalen dengan jika sebuah

garis sejajar dengan garis yang terletak pada suatu bidang dan bukan pada dirinya

sendiri, maka garis tersebut sejajar dengan bidang.

Teorema 4:

Sebuah garis transversal dengan satu dari dua bidang yang sejajar maka akan transversal dengan bidang yang lainnya.

m l

P

Q

Pernyataan:

Jika P Q, l tr P, maka l tr Q.

Bukti:

Misal ada A Q dan A l maka ada m memuat A dan m l (postulat E).

Sehingga m tr P (teorema 3).

Karena A m Q maka m Q. …. (1)

Karena m berpotongan dengan P dan P Q maka m tidak termuat dalam Q. …. (2)

Dari (1) dan (2), m tr Q.

Karena m l maka l tr Q (teorema 3).

Corollary 1:

Jika P Q dan l tidak tr P, maka l tidak tr Q.

Bukti:

Andai l tr Q maka l tr P (teorema 4). Kontradiksi dengan l tidak tr P. Pengandaian salah,

haruskah l tidak tr Q.

Corollary 2:

Jika P Q dan l P, maka l Q atau l termuat di Q.

Bukti:

l P berarti l tidak tr P. Dengan corollary 1, l tidak tr Q. Maka kemungkinannya adalah l

Q atau l termuat di Q.

IV. SOAL-SOAL LATIHAN DAN PEMBAHASANNYA

1. Buktikan: pada sebuah bidang, jika l = m, dan setiap garis yang transversal dengan l

adalah transversal juga dengan m, maka l // m.

Penyelesaian:

Pernyataan: l = m, k tr l, k tr m, maka l // m.

k

A l

B m

P

Bukti:

k tr l berarti k = l dan A (k l)

k tr m berarti k = m dan B (k m)

Menurut postulat E, jika ada titik B l maka ada satu garis yaitu m memuat B dan l // m

Misal ada garis lain selain k, yaitu n dimana n tr l dan n tr m

k n

A C l

B D m

P

n tr l berarti n = l dan C (n l)

n tr m berarti n = m dan D (n m)

Menurut postulat E, jika ada titik D l maka ada satu garis yaitu m memuat D dan l // m

Jadi, terbukti pada sebuah bidang, jika l = m, dan setiap garis yang transversal dengan l

adalah transversal juga dengan m, maka l // m.