PROSIDING SNIPS 2018

328 9 – 10 Juli 2018

Tanggap Dinamis Struktur Balok Nonlinier Dalam Perspektif Deterministik dan Chaos

Anwar Dolu1,a), Amrinsyah Nasution2,b)

1Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik, Universitas Tadulako

Kampus Bumi Tadulako, Palu

2Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan, Institut Teknologi Bandung,

Jl. Ganesha No. 10 Bandung, Indonesia, 40132

a) anwardolu1972@gmail.com (corresponding author) b) ancedin@bdg.centrin.net.id

Abstrak

Perilaku struktur balok yang mengalami perpindahan besar (large deformation) dapat dimodelkan berdasarkan geometri non linier akibat peregangan bidang tengah (geometric nonlinearity mid-plane stretching) dengan adanya gaya aksial, yang merupakan bentuk persamaan diferensial balok nonlinier tipe persamaan Duffing. Identifikasi sistem dinamis dari persamaan diferensial balok nonlinier untuk tanggap deterministik dan chaos berdasarkan tinjauan sejarah waktu (time history), bidang fase (phase plane) dan pemetaan Poincare (Poincare map). Untuk tanggap chaos berdasarkan tinjauan sejarah waktu yang sangat sensitif terhadap syarat awal, dimana perubahan yang kecil terhadap syarat awalnya maka akan terjadi perubahan besar dalam sistem dalam hal ini perpindahan x(t) maupun kecepatan x’(t) dengan bertambahnya waktu (t). Berdasarkan bidang fase menunjukan lintasan yang tidak beraturan dan non stasioner, hal ini terlihat juga pada pemetaan Poincare yang menunjukan tarikan asing (strange attractor) dan menghasilkan pola fraktal (fractal pattern). Penyelesaian persamaan diferensial balok nonlinier tipe Duffing ini menggunakan metode numerik Runge – Kutta dengan aplikasi software MAPLE.

Kata-kata kunci: Perpindahan besar, persamaan Duffing, deterministik, chaos, Runge-Kutta, time history, phase plane, Poincare map, fraktal.

PENDAHULUAN

Secara umum dalam kondisi nyata sebagian besar sistem struktur bersifat non linier sampai taraf tertentu, dalam kasus khusus disederhanakan menjadi sistem yang linier. Pada sistem linier, sebab dan akibat berhubungan secara linier, sebaliknya dalam sistem nonlinier hubungan antara sebab dan akibat ini tidak sebanding lagi. Persamaan diferensial yang menyatakan sistem getaran non linier mempunyai bentuk umum [20][24] : 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 +  𝑓(𝑑𝑥𝑑𝑡

,  𝑥,  𝑡) = 0 (1) Tanggap sistem (response system) analisis dinamis sistem struktur non linier, dapat berupa tanggap

deterministik, chaos dan stokastik. Tanggap chaos dapat merupakan kasus khusus dari tanggap deterministik ataupun stokastik. Pada tanggap deterministik, perilaku sistem dalam ruang waktu yang panjang dapat diramalkan dengan baik dalam bentuk tertutup. Pada tanggap chaos merupakan perilaku yang sangat sensitif terhadap syarat-syarat awal sistem, dimana dua keadaan dengan kondisi awal dengan perbedaan yang tidak signifikan, tetapi pada masa yang panjang akan berevolusi menjadi dua keadaan yang jauh berbeda.

Dalam kajian ini, ditinjau perilaku balok non linier pada tumpuan sendi – rol, yang menerima beban / gaya aksial (N) tekan. Simulasi numerik dengan variasi beban aksial tekan, dan kondisi awal dari perpindahan tumpuan x(0), dengan tujuan melihat perilaku balok berdasarkan tanggap perpindahan (displacement) dan kecepatan (velocity) dalam ranah deterministik dan chaos.

ISBN: 978-602-61045-4-0

PROSIDING SNIPS 2018

329 9 – 10 Juli 2018

PERSAMAAN DIFERENSIAL BALOK NON-LINIER

Dengan meninjau balok sendi-rol yang mengalami gaya aksial awal Ns (tarik atau tekan) sesuai Gambar (1). Elemen balok pada potongan mengalami gaya geser (Q), momen (M), dan gaya aksial total N. Untuk gaya N = Ns + Nd, merupakan jumlah gaya aksial statik (Ns) dan gaya aksial akibat getaran (Nd). Bentuk Persamaan kesetimbangan dinamis [10]: 𝜕𝑀

𝜕𝑥+ 𝑄 − (𝑁𝑠 + 𝑁𝑑) 𝜕𝑣

𝜕𝑥= 0 (2)

𝜕𝑄𝜕𝑥

= 𝜌𝐴 𝜕2𝑣𝜕𝑡2 + 𝑐 𝜕𝑣

𝜕𝑡− 𝑓(𝑥, 𝑡) (3)

v+'vv

x+'xu

M+'M

Q+'Q's

q(x,t)

M

Q

x

u+'u

N+'NN

u, x

v, y

v(x)

P(x,t)

AB

L/2

L

E, I, A, U

'L

B`N

Gambar 1. Sistem kesetimbangan balok bergetar dengan gaya aksial

Dengan menyelesaikan persamaan (2) dan persamaan (3), diperoleh 𝜌𝐴 𝜕2𝑣

𝜕𝑡2 + 𝑐 𝜕𝑣𝜕𝑡

+ 𝐸𝐼 𝜕4𝑣𝜕𝑥4 − 𝑁 𝜕2𝑣

𝜕𝑥2 = 𝑓(𝑥, 𝑡) (4) Untuk suku pertama, kedua dan ketiga dari ruas kiri persamaan tersebut berhubungan dengan perilaku linier Teori Balok Euler-Bernoulli, sedang suku keempat merupakan komponen non linier akibat gaya aksial searah balok. Gaya aksial akibat total N diketahui 𝑁 = 𝑁𝑠 + 𝑁𝑑 (5) Gaya aksial Nd [21]

𝑁𝑑 = 𝐸𝐴2𝐿

∫ (𝜕𝑣𝜕𝑥

)2

𝑑𝑥𝐿0 (6)

Maka Gaya aksial akibat total N sesuai persamaan (5) dan persamaan (6) sebagai berikut

𝑁 = 𝑁𝑠 + 𝐸𝐴2𝐿

∫ (𝜕𝑣𝜕𝑥

)2

𝑑𝑥𝐿0 (7)

Dengan subtitusi persamaan (7) ke persamaan (4) maka diperoleh persamaan diferensial getaran balok non linier dengan gaya aksial Ns yang dapat berupa gaya aksial tarik ( + N ) atau gaya aksial tekan ( – N )

𝜌𝐴 𝜕2𝑣𝜕𝑡2 + 𝑐 𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝐸𝐼 𝜕4𝑣

𝜕𝑥4 − [𝑁𝑠 + 𝐸𝐴2𝐿

∫ (𝜕𝑣𝜕𝑥

)2

𝑑𝑥𝐿0 ] 𝜕2𝑣

𝜕𝑥2 = 𝑃(𝑥, 𝑡) (8) Persamaan (8) dapat diselesaikan dalam bentuk analisis modal (eigen-function) [6][7][17] : 𝑣(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝛷𝑛(𝑥)𝑞𝑛(𝑡)∞

𝑛=1 (9) Dengan proses Galerkin [19][28] ∫ 𝑅(𝑥)𝑊𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝑛 = 1,2,3, . . .𝐷 (10) Di sini D menyatakan wilayah (domain) suatu struktur atau benda yang ditinjau, Wn adalah fungsi pembobot, dan R(x) adalah residu. Pada metode Galerkin, fungsi percobaan sama dengan fungsi pembobot, maka 𝑊𝑛 = 𝛷𝑛 𝑛 = 1,2,3, . .. (11) Berdasarkan persamaan (10) dan persamaan (11) maka diperoleh : ∫ 𝑅(𝑥)𝛷𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0 𝑛 = 1,2,3, . . .𝐿

0 (12) Penyelesaian persamaan (8) sesuai persamaan dan (9, 10, 11,12) untuk tinjauan mode pertama (n=1)

ISBN: 978-602-61045-4-0

PROSIDING SNIPS 2018

330 9 – 10 Juli 2018

𝜌𝐴 𝑑2

𝑑𝑡2 𝑞1(𝑡)𝛷1(𝑥) + 𝑐 𝑑𝑑𝑡

𝑞1(𝑡)𝛷1(𝑥) + 𝐸𝐼𝑞1(𝑡) 𝑑4

𝑑𝑡4 𝛷1(𝑥)

+𝑞1(𝑡) 𝑑2

𝑑𝑥2 𝛷1(𝑥) [𝑇𝑠 + 𝐸𝐴2𝐿

∫ 𝑞1(𝑡)2 ( 𝑑𝑑𝑥

𝛷1(𝑥))2

𝑑𝑥𝐿0 ] − 𝐹 𝑐𝑜𝑠(𝛺𝑡) = 0 (13)

Dengan penerapan kondisi batas untuk tumpuan sendi – rol (sesuai gambar 1) : 𝛷(𝑥 = 0, 𝐿) = 0 ; 𝛷′′(𝑥 = 0, 𝐿) = 0 (14) maka diperoleh bentuk persamaan diferensial orde dua untuk pendekatan mode pertama : 1

2𝜌𝐴𝐿�̈�(𝑡) + 1

2𝑐𝐿�̇�(𝑡) + 𝜋4𝐸𝐼

2𝐿3 {1 + 𝑇𝑠𝐸𝐼𝜋2} 𝑞(𝑡) + 𝐸𝐴𝜋4

8𝐿3 𝑞3(𝑡) = 𝐹 𝑐𝑜𝑠( 𝛺𝑡) (15) Untuk 𝑀 = 𝜌𝐴𝐿

2 ; 𝐶 = 𝑐𝐿

2 ; 𝑘1 = 𝐸𝐼𝜋4

2𝐿3 ; 𝑘1𝑇 = [1 ± 𝑇𝑠 ( 𝐿2

𝐸𝐼𝜋2)] 𝑘1 ; 𝑘3 = 𝐸𝐴𝜋4

8𝐿3 (16) Pada persamaan (15) tersebut Ts berharga positif apabila gaya aksial tarik dan sebaliknya berharga negatif gaya aksial tekan. Maka diperoleh 𝑚�̈�(𝑡) + 𝑐�̇�(𝑡) ± 𝑘1𝑇𝑞(𝑡) + 𝑘3𝑞3(𝑡) = 𝐹 𝑐𝑜𝑠( 𝛺𝑡) (17) Atau dalam bentuk �̈�(𝑡) + 2𝜁𝜔𝑛�̇�(𝑡) ± 𝜔𝑛

2𝑞(𝑡) + 𝛽𝑞3(𝑡) = �̄� 𝑐𝑜𝑠( 𝛺𝑡) (18)

Penyelesaian Persamaan Diferensial Getaran Penyelesaian persamaan diferensial tipe linier secara umum dapat digunakan metode analitik (metode

eksak dan pendekatan) dan metode numerik, akan tetapi pada persamaan diferensial tipe non-linier akan lebih mudah diselesaikan dengan metode pendekatan dan metode numerik, dalam banyak kasus metode numerik yang paling banyak digunakan terutama metode Runge-Kutta. Untuk metode Runge-Kutta [24], persamaan diferensial orde dua mula-mula direduksi menjadi dua persamaan orde pertama. Sesuai persamaan (18), yang dapat ditulis sebagai berikut : �̇� = 𝑟 ; �̈� = �̄� 𝑐𝑜𝑠( 𝛺𝑡) − 2𝜁𝜔𝑛 �̇� − 𝜔𝑛

2𝑞 − 𝛽𝑞3 (19) Dengan mengambil �̇� = 𝑟, persamaan tersebut direduksi menjadi dua persamaan orde pertama : �̇� = 𝑟 ; �̇� = 𝑓(𝑞, 𝑟, 𝑡) (20) Untuk aplikasi metode numerik Runge-Kutta dapat digunakan software MATLAB yaitu dengan kode ode45 dan MAPLE dengan kode rkf45.

IDENTIFIKASI SISTEM DINAMIS

Tanggap Deterministik (Deterministic Response) Tanggap deterministik dalam artian suatu proses yang nilai sesaatnya serta perilaku jangka panjang dapat

ditentukan atau diramalkan dalam domain ruang dan waktu. Dalam tanggap deterministik dapat diidentifikasi menggunakan metode kuantitatif dan kualitatif [1][13][14][15][2][23]. Secara kuantitatif dengan identifikasi 1). Respons frekwensi, 2). Tanggap sejarah waktu (time history), dan secara kualitatif dengan identifikasi (1). Sejarah bidang fase (phase plane history), (2). Pemetaan Poincare (Poincare map), dan (3). Spektrum Fourier (Fourier spectra). Untuk tanggap sejarah waktu (time history) merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial non linier maupun linier yang diperoleh dari metode analitik maupun numerik. Identifikasi perilaku sistem dinamis melalui representasi bidang fase [24], dimana sistem dinamis persamaan gerakannya tidak memuat waktu secara eksplisit yang disebut sistem autonomi (autonomous system). Pada gambar (2), merupakan trayektori dari persamaan getaran linier, adalah suatu ellips tertentu untuk suatu tenaga total E dari energi kinetik dan energi potensial sistem : 𝐸𝑝 = 𝑘

2𝑎2 ; 𝐸𝑘 = 𝑚

2𝑏2 (21)

P� �b 2E m

� �a 2E k

r q

q

Gambar 2. Diagram fase

ISBN: 978-602-61045-4-0

PROSIDING SNIPS 2018

331 9 – 10 Juli 2018

Pada persamaan diferensial gerak non linier seperti persamaan (18), bidang fase dapat dinyatakan dalam dua persamaan orde pertama sesuai persamaan (18). Untuk pemetaan Poincare digunakan persamaan berikut :

�̇� = 𝑟 ; �̇� = �̈� = − 𝜔𝑛2𝑞  − 𝛽𝑞3 + �̄�  𝑐𝑜𝑠 (𝛺𝑡)

�̇� = 1 (22)

Dengan dimulai saat t=t0, titik-titik diplot pada permukaan / ruang fase dengan interval variabel periode T

Gambar 3. Pemetaan Poincare

Power Spektrum (Spektrum Fourier) Perangkat identifikasi yang penting lainnya adalah power spektrum. Misalkan persamaan diferensial yang mempunyai penyelesaian q(t) bergantung waktu (time dependent), yang berlaku untuk semua q (−∞ < 𝑡 < ∞). Untuk analisis frekuensi digunakan transformasi Fourier Q(f) dari q(t) melalui hubungan 𝑄(𝑓) = ∫ 𝑞(𝑡)∞

−∞ 𝑒−2𝜋𝑖𝑓𝑡𝑑𝑡 (23) dimana f adalah frekuensi dalam hertz (siklus/detik). Dengan diberikan Q(f) untuk semua f, maka q(t) dapat dihitung menggunakan invers transformasi Fourier 𝑞(𝑡) = ∫ 𝑄(𝑓)∞

−∞ 𝑒2𝜋𝑖𝑓𝑡𝑑𝑓 (24) Untuk pendekatan transformasi Fourier adalah

𝑄(𝑓𝑘) = ∑ 𝑞𝑛𝑒−2𝜋𝑖𝑓𝑘𝑡𝑛𝑇𝑠𝑁−1𝑛=0 = 𝑇𝑠 ∑ 𝑞𝑛𝑒

−2𝜋𝑖𝑘𝑛𝑁𝑁−1

𝑛=0 (25) Maka bentuk spektrum daya (power spectrum) dapat didefinisikan 𝑆𝑁(𝑘) = 1

𝑁|𝑄𝑘|2 (26)

Tanggap Caotik (Chaotic Response) Istilah Chaos pertama kali dipopulerkan oleh Tien Yien Li dan James Yorke pada tahun 1975 [27]. Chaos

didefinisikan antara lain : 1). Sejenis keteraturan tanpa periodesitas. 2). Perilaku berulang yang acak dalam sistem deterministik 3). Kemampuan model sederhana, yang tidak mengandung unsur yang acak, untuk menghasilkan perilaku yang sangat tidak teratur. Chaos adalah suatu fenomena dinamis, fenomena ini pertama kali dipelajari oleh Poincare (1854–1912). Contoh yang terkenal masalah chaos adalah perilaku cuaca dari Lorenz [12] dengan efek kupu-kupu (butterfly effect), dimana konsekwensi penemuannya “dua keadaan yang jumlah perbedaannya tidak signifikan pada saat awal akan berevolusi menjadi dua keadaan yang sangat besar perbedaannya diwaktu yang akan datang”.

Dalam banyak kasus, tanggap sistem non linier merupakan gejala chaotic. Gejala chaotic merupakan bidang yang banyak dikaji saat ini. Ueda menggambarkan fenomena chaotic dalam sistem dinamis diatur oleh persamaan Duffing pada akhir tahun 1970-an, yang membahas perilaku dinamika non linier yang berkaitan dengan gejala chaotic [2]. Moon, Nayfeh, Awrejcewicz mengkaji model Duffing pada struktur balok dengan konsekwensi tanggap chaotic [3][15][16].

Untuk identifikasi tanggap gerakan sistem yang chaos (chaotic motions), sesuai langkah pada tanggap deterministik secara kuantitatif dan kualitatif [1][13][14][15][2][23].

STUDI KASUS

Dengan meninjau model balok kontinu yang menerima beban aksial sesuai persamaan (16 – 18), maka diperoleh persamaan diferensial orde dua dengan kekakuan nonlinier orde 3. Dengan meninjau model balok kontinu yang menerima beban aksial dengan perlakuan variasi Beban aksial untuk kondisi saat terjadi beban kritis Euler (Pcr).

ISBN: 978-602-61045-4-0

PROSIDING SNIPS 2018

332 9 – 10 Juli 2018

u, x

v, y

v(x)

P(x,t)

A B

L/2

L

E, I, A, UNx

Gambar 4. Geometri Tumpuan Sendi Rol dengan Beban Aksial (Nx)

Sebagai uji sensitifitas, maka kondisi awal perpindahan dan kecepatan x(0)=0 dan v(0)=0, lalu kondisi awal

menjadi x(0)=0.01 dan v(0)=0. 𝑑2

𝑑𝑡2 𝑥(𝑡) + 0.04436 𝑑𝑑𝑡

𝑥(𝑡) + 0.4015𝑥(𝑡)3 = 9.7941 𝑐𝑜𝑠(0.50𝑡) (27) Penyelesaian persamaan (27) menggunakan metode Runge-Kutta, dengan aplikasi software Maple (kode rkf45). Untuk simulasi kondisi awal tipe (1) x(0)=0 dan tipe (2) x(0)=0.01. Penyelesaian persamaan (27) sesuai gambar (5a) menunjukan bahwa, pada waktu t=0 s sampai t=75 s dimana pengaruh kondisi awal tidak signifikan untuk dua tipe kondisi awal x(0) (tipe 1 dan 2), akan tetapi dengan bertambahnya waktu, maka kondisi sistem akan sangat jauh berbeda. Dengan meninjau ruang fase sesuai gambar 5b terlihat pola yang non stasioner dengan waktu semakin panjang. Berdasarkan tanggap sejarah waktu (gambar 5a), ruang fase (gambar 5b) pada model non linier (pers. 27) memperlihatkan ketergantungan sensitif terhadap kondisi awal.

Gambar 5a. Time History Perpindahan

Gambar 5a. Bidang Fase [ q(t) vs q’(t) ]

Gambar 6a. Pemetaan Poincare

Gambar 6b. Spektrum Fourier

Ketergantungan senssitif terhadap kondisi awal tersebut, dimana dengan perubahan yang tidak signifikan terhadap kondisi awal, tetapi secara signifikan berpengaruh terhadap tanggap (response) sistem yaitu perpindahan x(t) dan kecepatan v(t) dengan mengalirnya waktu (t). Perilaku ini disebut gejala chaotic. Gejala chaotic tersebut dapat dilihat juga pada Spektrum Fourier (6b) dan pemetaan Poincare (Gbr. 6a) yang menunjukan tarikan asing (strange attractor) dan pola fraktal dengan pemetaan 50.000 titik.

ISBN: 978-602-61045-4-0

PROSIDING SNIPS 2018

333 9 – 10 Juli 2018

Diagram Bifurkasi Dengan simulasi diagram bifurkasi, untuk langkah kenaikan beban kritis Pcr=0.1P. Diketahui beban kritis

Euler sesuai persamaan (16), Pcr = 610.69 kg. Terlihat bahwa kondisi chaotic terjadi saat beban P = Pcr, dan P > Pcr (lihat gambar 7). Sistem kembali menjadi deterministik setelah beban P > 800 kg.

Gambar 7. Diagram Bifurkasi dengan Variasi Beban Aksial

Simulasi tanggap deterministik dan chaotik Sebagai perbandingan tanggap determinisik dan chaotic, dengan simulasi variasi beban luar sesuai persamaan (16 – 18) berikut 𝑑2

𝑑𝑡2 𝑥(𝑡) + 0.04436 𝑑𝑑𝑡

𝑥(𝑡) − 0.3222𝑥(𝑡) + 0.4015𝑥(𝑡)3 = 3.2647 𝑐𝑜𝑠(0.50𝑡) (28)

𝑑2

𝑑𝑡2 𝑥(𝑡) + 0.04436 𝑑𝑑𝑡

𝑥(𝑡) − 0.3222𝑥(𝑡) + 0.4015𝑥(𝑡)3 = 9.79415 𝑐𝑜𝑠(0.50𝑡) (29) Sesuai kasus 1 pada persamaan (28), adanya perubahan kondisi awal dalam hal ini perpindahan x(t) tidak berpengaruh terhadap tanggap sistem walaupun dengan jangka waktu yang panjang (gambar 8a). Pada kasus 2 persamaan (29), dengan perubahan kondisi awal (perpindahan x(t)) yang tidak signifikan dari x(0)=0.00 menjadi x(0)=0.01 maka tanggap kedua sistem akan berbeda dalam jangka waktu yang panjang (lihat gambar 8b)

Identifikasi

Kasus 1 Kasus 2

Sejarah Waktu (Time

History)

Bidang Fase (Phase Plane)

ISBN: 978-602-61045-4-0

PROSIDING SNIPS 2018

334 9 – 10 Juli 2018

Ruang Fase (Phase Plane)

Pemetaan Poincare

(Poincare Map)

Spektrum Fourier (Fourier

Spectrum)

Gambar 8a. Kasus Deterministik Gambar 8b. Kasus Chaotic

KESIMPULAN

Untuk balok yang menerima beban aksial, masalah stabilitas sangat dominan, dalam kasus statik adanya gaya tekuk Euler (Pcr). Dalam kasus dinamis, tanggap sistem merupakan fungsi parameter sistem, dimana tanggap sistem dapat berupa tanggap deterministik atau tanggap chaotic. Dalam tanggap deterministik perubahan kondisi awal yang sangat kecil tidak berpengaruh terhadap tanggap sistem dengan bertambahnya waktu. Untuk tanggap chaotic, perubahan kondisi awal yang sangat kecil (tidak signifikan), sangat berpengaruh terhadap tanggap sistem dengan bertambahnya waktu. Perubahan kondisi awal dalam kasus balok berkaitan erat dengan aplikasi konstruksi dalam hal ini metode pelaksanaan konstruksi dalam hal ini perpindahan atau pergeseran pada tumpuan, ataupun pengaruh lingkungan misalnya suhu, beban angin, gempa, atau gangguan lainya.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Tim Dosen Promotor dan Tim Dosen Reviewer Disertasi Penulis, serta berbagai pihak yang telah membantu dalam penulisan makalah ini.

ISBN: 978-602-61045-4-0

PROSIDING SNIPS 2018

335 9 – 10 Juli 2018

REFERENSI

1. Argyris, J., Faust, G., Haase, M. (1994). An Exploration of Chaos, An Introduction for Natural Scientists and Engineers. North-Holland

2. Asayama, S., Aizawa, M. (2000). Respons of Base Isolated Structure in Chaotic Dynamic System Under Earthquake Motion with Large Amplitude.12th World Conference on Earthquake Engineering, Auckland, New Zealand

3. Awrejcewicz, J., Krysko, V.A. (2008). Chaos in Structural Mechanics, Berlin Heidelberg, Springer-Verlag

4. Bayat, M., Pakar, I., Shahidi, M. (2011). Analysis of Nonlinear Vibration of Coupled Systems with Cubic Nonliearity. Journal Mechanica.17(6):620– 629.

5. Belendez, A., Bernabeu, G., Frances, J., Mendez, DI., Marini, S. (2010). An Accurate Closed-form Approximate Solution for the Quintic Duffing Oscillator Equation. Journal Mathematical and Computing Modelling, Vol. 52, Issues 3-4, August 2010 : pp. 637 – 641.

6. Clough, R.W., Penzien, J. (2003). Dynamics of Structure. Third Edition. Computers & Structures, Inc. University Berkeley. USA.

7. Chopra, A.K., (2001). Dynamics Structure ; Theory and Application to Earthquake Engineering, Second Edition, byPrentice Hall.

8. Ens, R.H., McGuire, G.C. (2001). Nonlinear Phisics with Mathematica for Scientiest and Engineers. Birkhauser, Boston. USA.

9. Fahzi, A., Belhaq, M., Lakrad, F. (2009). Suppression of Hysteresis in a Forced Van der Pol – Duffing Oscillator. Journal Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 14 (2009) : 1609 – 1616.

10. Kovacic, I,. Brennan, MJ. (2011). The Duffing Equation – Nonlinear Oscillator and their Behaviour. London, John Wiley & Sons.

11. Lai, S.K., Lim, C.W., Wu, B.S., Wang, C., Zeng, Q.C., He, X.F. (2009). Newton–Harmonic Balancing Approach for Accurate Solutions to Nonlinear Cubic–Quintic Duffing Oscillators. Applied Mathematical Modelling 33, 852–866.

12. Lorenz, E.N. (1963). Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, Volume 20. March 1963. pp 130 -141

13. Lynch, S. (2010). Dynamical Systems with Applications using Maple, second edition. Birkhauser Boston - Springer Science Bussines Media. USA.

14. Moon, F.C. (1983). Chaotic Vibrations of a Beam with Non-LinearBoundary Conditions. Int Journal Non-Linear Mechanics, Vol. 18, No. 6, pp. 465-477. Great Britain.

15. Moon, F.C. (2004). Chaotic and Fractal Dynamics, An Introduction for Applied Scientist and Engineers.Wiley-VCH Verlag GmbH&Co.KgaA. Weinheim.

16. Nayfeh, A.H., Pai, P.F. (2004). Linear dan Nonlinear Structural Mechanics. John Wiley & Sons. USA. 17. Paz, M. (1996). Dinamika Struktur ; Teori dan Perhitungan. Penerbit Erlangga. Jakarta. 18. Pai, P.F. (2006). Highly Flexible Structures ; Modeling, Computation, and Experimentation. AIAA Inc,

Reston, Virginia 19. Portela, A., Charafi, A. (2002). Finite Elements using MAPLE, A Symbolic Programming Approach.

Springer-Verlag, Berlin. Germany 20. Rand, Richard H. (2012). Lecture Notes on Nonlinear Vibrations.

https://ecommons.cornell.edu/bitstream/handle/1813/28989/NonlinearVibrations_ver53.pdf 21. Sathyamoorthy, M. (1998). Nonlinear Analysis of Structures. CRC Press LLC. USA 22. Starosvetsky, Y., Gendelman, O.V. (2010). Bifurcations of Attractors in Forced System with Nonlinear

Energy Sink: the Effect of Mass Asymmetry. Journal Nonlinear Dynamic 59 : 711–731. 23. Thompson, J.M.T. and Stewart, H.B. (1986), Nonlinear Dynamics and Chaos Geometrical Methods for

Engineers and Scientists. John Wiley & Sons.New York 24. Thompson, W.T. (1982). Theory of Vibration with Applications. Second Edition. Prentice – Hall of India. 25. Ueda, Y. (1991). The Road to Chaos. Aerial Press, Inc. Santa Cruz. 26. Urabe, M. (1969). Numerical Investigation of Subharmonic Solutions to Duffing's Equation. Publ. RIMS,

Kyoto Univ. Vol. 5, pp. 79-112. 27. Zardar, Ziauddin,. Abrams, Iwona, (1998), Chaos for Beginners, Cambridge, Inggris, Icon Brooks 28. Zienkiewicz, O.C., Morgan, K. (1983). Finite Element and Approximation. John Wiley & Sons

ISBN: 978-602-61045-4-0