Pembebanan Nonlinier (analisis di kawasan waktu) · PDF fileDalam “ Analisis Rangkaian...

Darpublic www.darpublic.com

Sudaryatno Sudirham, “Pembebanan Nonlinier (Analisis di Kawasan Waktu)” 1/21

Pembebanan Nonlinier

(Analisis di Kawasan Waktu)

Sudaryatno Sudirham

Penyediaan energi elektrik pada umumnya dilakukan dengan menggunakan sumber tegangan

berbentuk gelombang sinus. Arus yang mengalir diharapkan juga berbentuk gelombang sinus.

Namun perkembangan teknologi terjadi di sisi beban yang mengarah pada peningkatan efisiensi

peralatan dalam penggunaan energi listrik. Alat-alat seperti air conditioner, refrigerator, microwave

oven, sampai ke mesin cuci dan lampu-lampu hemat energi makin banyak digunakan dan semua

peralatan ini menggunakan daya secara intermittent. Peralatan elektronik, yang pada umumnya

memerlukan catu daya arus searah juga semakin banyak digunakan sehingga diperlukan

penyearahan arus. Pembebanan-pembebanan semacam ini membuat arus beban tidak lagi

berbentuk gelombang sinus.

Bentuk-bentuk gelombang arus ataupun tegangan yang tidak berbentuk sinus, namun tetap

periodik, tersusun dari gelombang-gelombang sinus dengan berbagai frekuensi. Gelombang periodik

nonsinus ini mengandung harmonisa.

Sinyal Nonsinus

Dalam pembahasan harmonisa kita akan menggunakan istilah sinyal nonsinus untuk menyebut

secara umum sinyal periodik seperti sinyal gigi gergaji dan sebagainya, termasuk sinyal sinus

terdistorsi yang terjadi di sistem tenaga.

Dalam “Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1” kita telah membahas bagaimana mencari spektrum

amplitudo dan sudut fasa dari bentuk sinyal nonsinus yang mudah dicari persamaannya [2]. Berikut

ini kita akan membahas cara menentukan spektrum amplitudo sinyal nonsinus melalui pendekatan

numerik. Cara ini digunakan jika kita menghadapi sinyal nonsinus yang tidak mudah dicari

persamaannya. Cara pendekatan ini dapat dilakukan dengan bantuan komputer sederhana,

terutama jika sinyal disajikan dalam bentuk kurva hasil dari suatu pengukuran analog. Dalam praktik,

sinyal nonsinus diukur dengan menggunakan alat ukur elektronik yang dapat menunjukkan langsung

spektrum amplitudo dari sinyal nonsinus yang diukur.

Penafsiran Grafis Deret Fourier. Pencarian spektrum amplitudo suatu sinyal periodik y(t)

dilakukan melalui penghitungan koefisien Fourier dengan formula seperti berikut ini.

∫

∫

∫

−

−

−

>ω=

>ω=

=

2/

2/ 00

2/

2/ 00

2/

2/00

0

0

0

0

0

0

0 ; )sin()(2

0 ; )cos()(2

)(1

T

Tn

T

Tn

T

T

ndttntyT

b

ndttntyT

a

dttyT

a

dengan T0 adalah perioda sinyal.

Integral ∫−2/

2/

0

0

)(T

Tdtty adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva y(t) dengan sumbu-t dalam rentang

satu perioda. Jika luas bidang dalam rentang satu perioda ini dikalikan dengan (1/T0), yang berarti

dibagi dengan T0, akan memberikan nilai rata-rata y(t) yaitu nilai komponen searah a0.



Integral ∫− ω2/

2/ 00

0

)cos()(T

Tdttnty adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva )cos()( 0tnty ω

dengan sumbu-t dalam rentang satu perioda. Jika luas bidang ini dikalikan dengan (2/T0), yang

berarti dibagi (T0/2), akan diperoleh an. Di sini T0 harus dibagi dua karena dalam satu perioda T0

terdapat dua kali gelombang penuh berfrekuensi nω0.

Integral ∫− ω2/

2/ 00

0

)sin()(T

Tdttnty adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva )sin()( 0tnty ω

dengan sumbu-x dalam rentang satu perioda. Jika luas ini dikalikan dengan (2/T0) akan diperoleh bn.

Seperti halnya penghitungan an, T0 harus dibagi dua karena dalam satu perioda T0 terdapat dua kali

gelombang penuh berfrekuensi nω0.

Dengan penafsiran hitungan integral sebagai luas bidang, maka pencarian koefisien Fourier

dapat didekati dengan perhitungan luas bidang. Hal ini sangat membantu karena perhitungan

analitis hanya dapat dilakukan jika sinyal nonsinus yang hendak dicari komponen-komponennya

diberikan dalam bentuk persamaan yang cukup mudah untuk diintegrasi.

Prosedur Pendekatan Numerik. Pendekatan numerik integral sinyal y(t) dalam rentang p ≤ t ≤

q dilakukan sebagai berikut.

1. Kita bagi rentang p ≤ t ≤ q ke dalam m segmen dengan lebar masing-masing ∆tk; ∆tk bisa

sama untuk semua segmen bisa juga tidak, tergantung dari keperluan. Integral y(t) dalam

rentang p ≤ t ≤ q dihitung sebagai jumlah luas seluruh segmen dalam rentang tersebut.

Setiap segmen dianggap sebagai trapesium; sisi kiri suatu segmen merupakan sisi kanan

segmen di sebelah kirinya, dan sisi kanan suatu segmen menjadi sisi kiri segmen di sebelah

kanannya. Jika sisi kanan segmen (trapesium) adalah Ak maka sisi kirinya adalah Ak-1, maka

luas segmen ke-k adalah

( ) 2/1 kkkk tAAL ∆×+= − (1)

Jadi integral f(t) dalam rentang p ≤ x ≤ q adalah

∑∫=

≈m

kk

q

pLdttf

1

)( (2)

2. Nilai ∆tk dipilih sedemikian rupa sehingga error yang terjadi masih berada dalam batas-batas

toleransi yang kita terima. Jika sinyal diberikan dalam bentuk grafik, untuk mencari

koefisien Fourier dari harmonisa ke-n, satu perioda dibagi menjadi tidak kurang dari 10×n

segmen agar pembacaan cukup teliti dan error yang terjadi tidak lebih dari 5%. Untuk

harmonisa ke-5 misalnya, satu perioda dibagi menjadi 50 segmen. Ketentuan ini tidaklah

mutlak; kita dapat memilih jumlah segmen sedemikian rupa sehingga pembacaan mudah

dilakukan namun cukup teliti.

3. Relasi untuk memperoleh nilai koefisien Fourier menjadi seperti berikut:

[ ]

[ ]

[ ]∑

∑

∑∑

∑∑

=

−−

=

−−

=

−

=∆ω+ω

=

=∆ω+ω

=

=∆+

=

m

k

kbnkkkkn

kanm

k

kkkkn

kam

k

kkk

T

LttnAtnA

Tb

T

LttnAtnA

Ta

T

LtAA

Ta

1 0

1010

0

01

1010

0

0

0

1

1

00

2/2

)sin()sin(2

2/

2

)cos()cos(2

2

1

(3)



5. Formula untuk sudut fasa adalah

=ϕ −

n

nn a

b1tan (4)

6. Perlu disadari bahwa angka-angka yang diperoleh pada pendekatan numerik bisa berbeda

dengan nilai yang diperoleh secara analitis. Jika misalkan secara analitis seharusnya

diperoleh a1 = 0 dan b1 = 150, pada pendekatan numerik mungkin diperoleh angka yang

sedikit menyimpang, misalnya a1 = 0,01 dan b1 = 150,2.

7. Amplitudo dari setiap komponen harmonisa adalah 22nnn baA += . Sudut fasa dihitung

dalam satuan radian ataupun derajat dengan mengingat letak kuadran dari vektor

amplitudo seperti telah dibahas pada waktu kita membahas spektrum sinyal. Persamaan

sinyal nonsinus adalah

)cos()(1

022

0 ∑∞

=

ϕ−ω++=

nnnn tnbaaty (5)

Berikut ini kita lihat sinyal periodik yang diberikan dalam bentuk kurva yang tak mudah dicari

persamaannya. Prosedur pendekatan numerik dilakukan dengan membaca kurva yang memerlukan

kecermatan. Hasil pembacaan kita muatkan dalam suatu tabel seperti pada contoh berikut ini.

CONTOH-1:

Carilah komponen searah, fundamental, dan harmonisa ke-3 sinyal periodik y(t) yang dalam

satu perioda berbentuk seperti yang diperlihatkan dalam gambar di atas. Perhatikan bahwa

gambar ini adalah gambar dalam selang satu periode yang berlangsung dalam 0,02 detik, yang

sesuai dengan frekuensi kerja 50 Hz.

Penyelesaian: Perhitungan diawali dengan menetapkan nilai t dengan interval sebesar ∆t =

0,0004 detik, kemudian menentukan Ak untuk setiap segmen. Sisi kiri segmen pertama terjadi

pada t = 0 dan sisi kanannya menjadi sisi kiri segmen ke-dua; dan demikian selanjutnya dengan

segmen-segmen berikutnya. Kita tentukan pula sisi kanan segmen terakhir pada t = T0. Hasil

perhitungan yang diperoleh dimuatkan dalam Tabel-1.1 (hanya ditampilkan sebagian), dimana

sudut fasa dinyatakan dalam satuan radian. Pembulatan sampai 2 angka di belakang koma.

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0,016

0,018

0,02

y[volt]

t[detik]



Tabel-1. Analisis Harmonisa Sinyal Nonsinus pada Contoh-1.

T0 = 0,02 s

∆tk = 0,0004

s

Komp.

searah

Fundamental

f0 = 1/T0 = 50 Hz Harmonisa ke-3

t Ak Lka0 Lka1 Lkb1 Lka3 Lkb3

0 50

0,0004 75 0,025 0,025 0,002 0,024 0,006

0,0008 100 0,035 0,034 0,007 0,029 0,019

0,0012 120 0,044 0,042 0,014 0,025 0,035

: : : : : : :

0,0192 -5 -0,006 -0,006 0,002 -0,003 0,005

0,0196 20 0,003 0,003 0,000 0,003 -0,001

0,02 50 0,014 0,014 -0,001 0,014 -0,001

Jumlah Lk 0,398 0,004 1,501 -0,212 0,211

a0 19,90

a1, b1 0,36 150,05

a3, b3 −21,18 21,13

Ampli-1, ϕ1 150,05 1,57

Ampli-3, ϕ3 29,92 -0,78

Tabel ini memberikan

78,0)18,21/13,21(tan

92,2913,21)18,21( 13,21 ;18,21

57,1)36,0/05,150(tan

05,15005,15036,0 05,150 ;36,0

90,19

13

22333

11

22111

0

−=−=ϕ

=+−=⇒=−=

==ϕ

=+=⇒==

=

−

−

Aba

Aba

a

Sesungguhnya kurva yang diberikan mengandung pula harmonisa ke-dua. Apabila harmonisa

ke-dua dihitung , akan memberikan hasil

43,492 =a dan 36,02 −=b

43,49 2 =Aamplitudo dan 01,02 −=ϕ

Dengan demikian uraian sampai dengan harmonisa ke-3 dari sinyal yang diberikan adalah

)78,06cos(92,29

)01,04cos(43,49)57,12cos(05,15090,19)(

0

00

+π++π+−π+=

tf

tftfty

Elemen Linier Dengan Sinyal Nonsinus

Hubungan tegangan dan arus elemen-elemen linier R, L, C, pada sinyal sinus di kawasan waktu

berlaku pula untuk sinyal periodik nonsinus.

CONTOH-2: Satu kapasitor C mendapatkan tegangan nonsinus

)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100 +ω+−ω++ω= tttv V

(a) Tentukan arus yang mengalir pada kapasitor. (b) Jika C = 30 µF, dan frekuensi f = 50 Hz,

gambarkan (dengan bantuan komputer) kurva tegangan dan arus kapasitor.



Penyelesaian:

(a) Hubungan tegangan dan arus kapasitor adalah dt

dvCiC =

Oleh karena itu arus kapasitor adalah

A )07,35sin(50

)37,13sin(60)07,2sin(100

)5,15cos(50

)2,03cos(60)5,0cos(100

)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100

+ωω++ωω++ωω=

+ωω+−ωω++ωω=

+ω+−ω++ω=

tC

tCtC

tC

tCtCdt

tttdCiC

(b) Kurva tegangan dan arus adalah seperti di bawah ini.

Kurva tegangan dan arus pada contoh ini merupakan fungsi-fungsi nonsinus yang simetris

terhadap sumbu mendatar. Nilai rata-rata fungsi periodik demikian ini adalah nol. Pendekatan

numerik memberikan nilai rata-rata

14108,1 −×=rrv V dan 17105 −×=rri A.

Nilai Rata-Rata. Sesuai dengan definisi untuk nilai rata-rata, nilai rata-rata sinyal nonsinus y(t)

dengan perioda T0 adalah

∫=T

rr dttyT

Y00

)(1

(6)

Nilai rata-rata sinyal nonsinus adalah komponen searah dari sinyal tersebut.

Nilai Efektif. Definisi nilai efektif sinyal periodik y(t) dengan perioda T0 adalah

∫=T

rms dttyT

Y0

2

0

)(1

(7)

Dengan demikian maka nilai efektif sinyal sinus y1 = Ym1 sin(ωt + θ) adalah

2)(sin

1 1

0

221

01

mT

mrmsY

dttYT

Y =θ+ω= ∫ (8)

Nilai efektif sinyal nonsinus ∑∞

=θ+ω+=

100 )sin()(

nnmn tnYYty adalah

∫ ∑

θ+ω+=

∞

=

T

nnmnrms dttnYY

TY

0

2

100

0

)sin(1

Jika ruas kiri dan kanan dikuadratkan, kita dapatkan

detik

[V]

vC

iC

-150

-100

-50

0

50

100

150

0 0.005 0.01 0.015 0.02

[A] 5

2,5

0

−5

−2,5



∫ ∑

θ+ω+=

∞

=

T

nnmnrms dttnYY

TY

0

2

100

0

2 )sin(1

atau

∫

∑

∑

∑

∫ ∑

+

θ+ωθ+ω+

θ+ωθ+ω+

θ+ω

+

θ+ω+=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

T

nnmnm

nnmnm

nnmn

T

nnmnrms

dt

tnYtY

tnYtY

tnYY

T

dttnYYT

Y

0

30202

20101

100

0

01

0222

00

2

.................................

)sin()2sin(2

)sin()sin(2

)sin(2

1

)(sin1

(9)

Melalui kesamaan trigonometri

)cos()cos(sinsin2 β+α−−α=βα b

dan karena Y0 bernilai tetap maka suku ke-dua ruas kanan (8) merupakan penjumlahan nilai rata-rata

fungsi sinus yang masing-masing memiliki nilai rata-rata nol, sehingga suku ke-dua ini bernilai nol.

Oleh karena itu (9) dapat kita tulis

∫ ∑

θ+ω+=

∞

=

T

nnnmrms dttnYY

TY

01

0222

02 )(sin

1 (10)

atau

∑

∑ ∫∫∞

=

∞

=

+=

θ+ω+=

1

220

10 0

22

0

20

2

)(sin11

nnrms

n

T

nnm

trms

YY

dttnYT

dtYT

Y

(11)

Persamaan (11) menunjukkan bahwa kuadrat nilai efektif sinyal non sinus sama dengan jumlah

kuadrat komponen searah dan kuadrat semua nilai efektif konponen sinus. Kita perlu mencari

formulasi yang mudah untuk menghitung nilai efektif ini. Kita bisa memandang sinyal nonsinus

sebagai terdiri dari tiga macam komponen yaitu komponen searah (y0), komponen fundamental (y1),

dan komponen harmonisa (yh). Komponen searah adalah nilai rata-rata sinyal, komponen

fundamental adalah komponen dengan frekuensi fundamental ω0, sedangkan komponen harmonisa

merupakan jumlah dari seluruh komponen harmonisa yang memiliki frekuensi nω0 dengan n > 1. Jadi

sinyal nonsinus y dapat dinyatakan sebagai

hyyyy ++= 10

Akan tetapi kita juga dapat memandang sinyal nonsinus sebagai terdiri dari dua komponen

saja, yaitu komponen fundamental dan komponen harmonisa total di mana komponen yang kedua

ini mencakup komponen searah. Alasan untuk berbuat demikian ini adalah bahwa dalam proses

transfer energi, komponen searah dan harmonisa memiliki peran yang sama; hal ini akan kita lihat

kemudian. Dalam pembahasan selanjutnya kita menggunakan cara pandang yang ke-dua ini. Dengan

cara pandang ini suatu sinyal nonsinus dinyatakan sebagai

hyyy += 1 (12)



dengan )sin( 1011 θ+ω= tYy m

dan ∑=

θ+ω+=k

nnnmh tnYYy

200 )sin( .

Dengan demikian maka relasi (11) menjadi

221

2hrmsrmsrms YYY += (13)

Dalam praktik, komponen harmonisa yh dihitung tidak melibatkan seluruh komponen

harmonisa melainkan dihitung dalam lebar pita spektrum tertentu. Persamaan sinyal dijumlahkan

sampai pada frekuensi tertinggi yang ditentukan yaitu kω0; sinyal dengan frekuensi di atas batas

frekuensi tertinggi ini dianggap memiliki amplitudo yang sudah cukup kecil untuk diabaikan.

CONTOH-3: Suatu tegangan berbentuk gelombang gigi gergaji memiliki nilai maksimum 20

volt, dengan frekuensi 20 siklus per detik. Hitunglah nilai tegangan efektif dengan: (a) relasi

nilai efektif; (b) uraian harmonisa.

Penyelesaian:

(a) Perioda sinyal 0,05 detik dengan persamaan: ttv 400)( = .

Nilai efektif:

V 55,11 3

1600

05,0

1)400(

05,0

105,0

0

305,0

0

2 ≈

== ∫ tdttVrms

(b) Uraian sinyal ini sampai harmonisa ke-7 adalah diberikan dalam contoh di Bab-3, yaitu

V 7sin909,06sin061,15sin273,1

4sin592,13sin122,22sin183,3sin366,610)(

000

0000

ttt

tttttv

ω−ω−ω−ω−ω−ω−ω−=

Persamaan ini memberikan nilai efektif tegangan fundamental, tegangan harmonisa, dan

tegangan total sebagai berikut.

V 5,42

366,61 ≈=rmsV

V 5,102

10,2

2

166,310

222 ≈++=hrmsV

V 4,1135,1049,4 22221 ≈+=+= hrmsrmsrms VVV

Contoh ini menunjukkan bahwa sinyal gigi gergaji memiliki nilai efektif harmonisa jauh lebih

tinggi dari nilai efektif komponen fundamentalnya.

CONTOH-4: Uraian dari penyearahan setengah gelombang arus sinus A sin 0ti ω= sampai

dengan harmonisa ke-10 adalah:

A )10cos(007.0)8cos(010.0)6cos(018,0

)4cos(042,0 ) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,0)(

000

000

ttt

tttti

ω+ω+ω+ω+ω+−ω+=

Hitung nilai efektif komponen arus fundamental, arus harmonisa, dan arus total.

Penyelesaian:

Nilai efektif arus fundamental, arus harmonisa dan arus total berturut-turut adalah



354,02

5,01 ==rmsI A

A 5430, 2

007,0

2

01,0

2

018,0

2

042,0

2

212,0318,0

222222

=

+++++=hrmsI

A 5,0354,0354,0 22221 ≈+=+= hrmsrmsrms III

Contoh ini menunjukkan bahwa pada penyearah setengah gelombang nilai efektif komponen

fundamental sama dengan nilai efektif komponen harmonisanya.

CONTOH-5: Tegangan pada sebuah kapasitor 20 µF terdiri dari dua komponen yaitu

tv ω= sin2001 dan tv ω= 15sin2015 . Jika diketahui frekuensi fundamental adalah 50 Hz,

hitunglah: (a) nilai efektif arus yang diberikan oleh v1; (b) nilai efektif arus yang diberikan oleh

v15; (c) arus efektif total; (d) gambarkan kurva ketiga arus tersebut sebagai fungsi waktu.

Penyelesaian:

a). Komponen tegangan pertama adalah )100sin(2001 tv π= V. Arus yang diberikan oleh

tegangan ini adalah

ttdtdvi π=ππ×××=×= −− 100cos257,1 100cos1002001020/1020 61

61

Nilai efektifnya adalah: A 89,02

257,11 ==rmsI

b). Komponen tegangan ke-dua adalah )1500sin(2015 tv π= V. Arus yang diberikan oleh

tegangan ini adalah

t

tdtdvi

π=ππ×××=×= −−

1500cos885,1

1500sin1500201020/1020 615

615

Nilai efektifnya adalah: A 33,12

885,115 ==rmsI

c). Tegangan gabungan adalah

)1500sin(20)100sin(200 ttv π+π=

Arus yang diberikan tegangan gabungan ini adalah

tt

vvdt

ddtdvi

1500cos885,1100cos257,1

)(1020/1020 15166

+π=

+×=×= −−

Arus ini merupakan jumlah dari dua komponen arus yang berbeda frekuensi. Kurva arus ini

pastilah berbentuk nonsinus. Nilai efektif masing-masing komponen telah dihitung di jawaban

(a) dan (b). Nilai efektif sinyal non sinus ini adalah

A 60,133,189,0 22215

21 =+=+= rmsrmsrms III

d). Kurva ketiga arus tersebut di atas adalah sebagai berikut.



CONTOH-6: Arus tti ω+ω= 3sin2,0sin2 A, mengalir pada beban yang terdiri dari resistor 100 Ω

yang tersambung seri dengan induktor 0,5 H. Pada frekuensi 50 Hz: (a) gambarkan kurva

tegangan dan arus beban; (b) tentukan nilai efektif tegangan beban dan arus beban.

Penyelesaian:

(a) Arus beban adalah tti ω+ω= 3sin2,0sin2 . Tegangan beban adalah

V 3cos3,0cos3sin20sin200

ttttdt

diLiRvvv LR

ωω+ωω+ω+ω=

+=+=

Kurva tegangan dan arus beban dibuat dengan sumbu mendatar dalam detik. Karena frekuensi

50 Hz, satu perioda adalah 0,02 detik.

(b). Nilai efektif arus beban adalah

A 42,12

2,0

2

2 2223

21 =+=+= rmsrmsrms III

Tegangan beban adalah

V 3cos3,0cos3sin20sin200 ttttv ωω+ωω+ω+ω=

Nilai efektif tegangan beban, dengan ω=100π, adalah

V 272 2

)3,0(20

2

200 2222

=ω++ω+=rmsV

Daya Pada Sinyal Nonsinus

Pengertian daya nyata dan daya reaktif pada sinyal sinus berlaku pula pada sinyal nonsinus.

Daya nyata memberikan transfer energi netto, sedangkan daya reaktif tidak memberikan transfer

energi netto.

Kita tinjau resistor Rb yang menerima arus berbentuk gelombang nonsinus

hRb iii += 1

-4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06detik

A i1 i i15

-600

-400

-200

0

200

400

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02

2

4

0

−2

−4

AV

detik

v

i



Nilai efektif arus ini adalah 22

12

hrmsrmsRbrms III +=

Daya nyata yang diterima oleh Rb adalah

bhrmsbrmsbRbrmsRb RIRIRIP 221

2 +=×= (14)

Formulasi (14) tetap berlaku sekiranya resistor ini terhubung seri dengan induktansi, karena dalam

bubungan seri demikian itu daya nyata diserap oleh resistor, sementara induktor menyerap daya

reaktif.

CONTOH-7: Seperti pada contoh-1.5, arus tti ω+ω= 3sin2,0sin2 A mengalir pada resistor

100 Ω yang tersambung seri dengan induktor 0,5 H. Jika frekuensi fundamental 50 Hz: (a)

gambarkan dalam satu bidang gambar, kurva daya yang mengalir ke beban sebagai perkalian

tegangan total dan arus beban dan kurva daya yang diserap resistor sebagai perkalian

resistansi dan kuadrat arus resistor; (b) hitung nilai daya rata-rata dari dua kurva daya pada

pertanyaan b; (c) berikan ulasan tentang kedua kurva daya tersebut.

Penyelesaian:

(a) Daya masuk ke beban dihitung sebagai: p = v × i

sedangkan daya nyata yang diserap resistor dihitung sebagai: pR = i2R = vRiR

Kurva dari p dan pR terlihat pada gambar berikut.

(b) Daya rata-rata merupakan daya nyata yang di transfer ke beban. Daya ini adalah daya yang

diterima oleh resistor. Arus efektif yang mengalir ke beban telah dihitung pada contoh-3.5.

yaitu 1,42 A. Daya nyta yang diterima beban adalah

202100)42,1( 22 =×== RIP rmsR W.

Teorema Tellegen mengharuskan daya ini sama dengan daya rata-rata yang diberikan oleh

sumber, yaitu p = vi. Perhitungan dengan pendekatan numerik memberikan nilai rata-rata p

adalah

Prr = 202 W

(c) Kurva pR selalu positif; nilai rata-rata juga positif sebesar 202 W yang berupa daya nyata.

Pada kurva p ada bagian yang negatif yang menunjukkan adanya daya reaktif; nilai rata-rata

kurva p ini sama dengan nilai rata-rata kurva pR yang menunjukkan bagian nyata dari daya

tampak.

CONTOH-8: Tegangan nonsinus pada terminal resistor 20 Ω adalah

)5,15sin(10)2,03sin(20)5,0sin(100 +ω+−ω++ω= tttv V

Tentukan arus efektif yang mengalir dan daya nyata yang diserap resistor.

-400

-200

0

200

400

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02

W p = vi pR = i2R = vRiR

detik



Penyelesaian:

Arus yang mengalir adalah

)5,15sin(5,0)2,03sin()5,0sin(5 +ω+−ω++ω== tttR

vi A

Nilai efektif masing-masing komponen arus adalah

2

5,0 ;

2

1 ;

2

5531 === rmsrmsrms III

Arus efektif yang mengalir adalah

A 62,32

25,26

2

25,0

2

1

2

25 ==++=rmsI

Daya nyata yang diserap resistor adalah

W5,262202

25,0

2

1

2

252 =×

++== RIP rmsR

CONTOH-9: Tegangan nonsinus ttv ω+ω= 3sin10sin100 V, terjadi pada terminal beban yang

terdiri dari resistor 100 Ω tersambung paralel dengan kapasitor 50 µF. Jika frekuensi

fundamental adalah 50 Hz, (a) Tentukan persamaan arus total beban; (b) hitung daya nyata

yang diserap beban.

Penyelesaian:

(a). Arus total (i) adalah jumlah arus yang melalui resistor (iR) dan kapasitor (iC).

ttR

viR ω+ω== 3sin1,0sin

( )ttdt

dvCiC ωω+ωω×== − 3cos30cos1001050 6

Arus total beban:

tttti ωω+ω+ω+ω= 3cos0015.0cos005,03sin1,0sin

(b). Arus efektif melalui resistor

A 71,02

1,0

2

1 22

=+=RrmsI

Daya nyata yang diserap beban adalah daya yang diserap resistor:

W5010071,0 2 =×=RP

Resonansi

Karena sinyal nonsinus mengandung harmonisa dengan berbagai macam frekuensi, maka ada

kemungkinan salah satu frekuensi harmonisa bertepatan dengan frekuensi resonansi dari rangkaian.

Frekuensi resonansi telah kita bahas di bab sebelumnya. Berikut ini kita akan melihat gejala

resonansi pada rangkaian karena adanya frekuensi harmonisa.

CONTOH-10: Suatu generator 50 Hz dengan induktansi internal 0,025 H mencatu daya melalui

kabel yang memiliki kapasitansi total sebesar 5 µF. Dalam keadaan tak ada beban tersambung

di ujung kabel, tentukan frekuensi harmonisa sumber yang akan memberikan resonansi.

Penyelesaian:

Frekuensi resonansi adalah



4,2828105025,0

116

=××

==ω−LCr

Hz 4502

4,2828 =π

=rf

Inilah frekuensi harmonisa ke-9.

CONTOH-11: Sumber tegangan satu fasa 6 kV, 50 Hz, mencatu beban melalui kabel yang

memiliki kapasitansi total 2,03 µF. Dalam keadaan tak ada beban terhubung di ujung kabel,

induktansi total rangkaian ini adalah 0,2 H. Tentukan harmonisa ke berapa dari sumber yang

akan membuat terjadinya resonansi pada keadaan tak ada beban tersebut.

Penyelesaian:

Frekuensi resonansi adalah

rad/det 4,15691003,202,0

116

=××

==ω−LCr

atau Hz 78,2492

4,1569 =π

=rf

Resonansi akan terjadi jika sumber mengandung harmonisa ke-5.

Pembebanan Nonlinier Dilihat Dari Sisi Beban

Rangkaian yang akan kita tinjau terlihat pada Gb. 1. Sebuah sumber tegangan sinus

memberikan arus pada resistor Rb melalui saluran dengan resistansi Rs dan sebuah pengubah arus

p.i., misalnya penyearah; pengubah arus inilah yang menyebabkan arus yang mengalir di Rb

berbentuk gelombang nonsinus.

Menurut teorema Tellegen, transfer daya elektrik hanya bisa terjadi melalui tegangan dan

arus. Namun dalam tinjauan dari sisi beban ini, Rb hanya melihat bahwa ada arus yang diterima

olehnya. Cara bagaimana arus ini sampai ke beban tidaklah penting bagi beban.

hRb iii += 1 (15)

dengan )sin( 1011 θ+ω= tIi m

∑=

θ+ω+=k

nnnmh tnIIi

200 )sin(

Inilah arus yang diterima oleh Rb.

Daya nyata yang diterima oleh Rb adalah

bhrmsbrmsRb RIRIP 221 += (16)

inonsinus

Rb

p.i. vs + −

Gb.1. Pembebanan nonlinier.

Rs



Pembebanan Nonlinier Dilihat Dari Sisi Sumber

Tegangan sumber berbentuk gelombang sinus, yaitu tVv ss 0sin ω= . Daya yang diberikan oleh

sumber adalah tegangan sumber kali arus sumber yang besarnya sama dengan arus beban. Jadi daya

keluar dari sumber adalah

θ+ω+ω+θ+ωω=

=

∑=

k

nnnss

sss

tnIItVttIV

titvp

20001001 )sin(sin )sin(sin

)()(

(17)

Suku pertama (17) memberikan daya

)2cos(2

cos2

2

)2cos(cos)sin(sin

101

11

101110011

θ+ω−θ=

θ+ω−θ=θ+ωω=

tIVIV

tIVttIVp

ss

sss (18)

Walaupun suku ke-dua dari persamaan ini mempunyai nilai rata-rata nol akan tetapi suku pertama

mempunyai nilai tertentu. Hal ini berarti ps1 memberikan transfer energi netto.

Suku kedua (17) memberikan daya

[ ]

20

20000

sin)sin(sin

shs

nnnsssh

pp

ttnIVtIVp

+=

ωθ+ω+ω= ∑∞

= (19)

Suku pertama persamaan ini mempunyai nilai rata-rata nol. Suku kedua juga mempunyai nilai rata-

rata nol karena yang berada dalam tanda kurung pada (19) berbentuk fungsi cosinus.

( ) ( ) ∑∞

=

θ+ω−−θ+ω+=2

00 )1(cos)1(cos2n

nnn

s tntnI

Vy

yang memiliki nilai rata-rata nol. Hal ini berarti bahwa psh tidak memberikan transfer energi netto.

Jadi secara umum daya yang diberikan oleh sumber pada pembebanan nonlinier dapat kita

tuliskan sebagai terdiri dari dua komponen, yaitu

shss ppp += 1 (20)

Dari dua komponen daya ini hanya komponen fundamental, ps1, yang memberikan transfer energi

netto. Dengan kata lain hanya ps1 yang memberikan daya nyata, yaitu sebesar

1111

1 coscos2

θ=θ= rmssrmss

s IVIV

P (21)

dengan θ1 adalah beda susut fasa antara vs dan i1. Sementara itu Psh merupakan daya reaktif.

Menurut teorema Tellegen, daya nyata yang diberikan oleh sumber harus tepat sama dengan daya

yang diterima oleh beban. Daya nyata yang diterima oleh Rb adalah PRb , jadi daya nyata yang

diberikan oleh sumber, yaitu Ps1, haruslah diserap oleh Rb dan Rs.

Kasus Penyearah Setengah Gelombang

Sebagai contoh dalam pembahasan pembebanan nonlinier ini, kita akan mengamati penyearah

setengah gelombang. Dengan penyearah ini, sinyal sinus diubah sehingga arus mengalir setiap

setengah perioda. Rangkaian penyearah yang kita tinjau terlihat pada Gb. 2.a.



a).

b).

Gb. 2. Penyearah setengah gelombang dengan beban resistif.

Arus penyearah setengah gelombang mempunyai nilai pada setengah perioda pertama (yang

positif); pada setengah perioda ke-dua, ia bernilai nol. Uraian fungsi ini sampai dengan harmonisa

ke-6adalah

V )6cos(018,0 )4cos(042,0

) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,0)(

00

00

ω+ω+ω+−ω+

×=tt

ttIti m (22)

Dalam rangkaian yang kita tinjau ini hanya ada satu sumber yang mencatu daya hanya kepada

satu beban. Pada waktu dioda konduksi, arus sumber selalu sama dengan arus beban, karena

mereka terhubung seri; tegangan beban juga sama dengan tegangan sumber karena dioda dianggap

ideal sedangkan resistor memiliki karakteristik linier dan bilateral. Pada waktu dioda tidak konduksi

arus beban maupun arus sumber sama dengan nol. Gb. 2.b. memperlihatkan bahwa hanya kurva

tegangan sumber yang merupakan fungsi sinus; kurva arus dan daya merupakan fungsi nonsinus.

Pada persamaan (22) arus fundamental dinyatakan dalam fungsi cosinus yaitu

)57,1cos(5,0 01 −ω= tIi m

Fungsi ini tidak lain adalah pergeseran 1,57 rad atau 90o ke arah positif dari fungsi cosinus yang

ekivalen dengan fungsi sinus

)sin(5,0 01 tIi m ω=

Pernyataan i1 dalam fungsi sinus ini sesuai dengan pernyataan bentuk gelombang tegangan yang

juga dalam fungsi sinus. Dengan pernyataan yang bersesuaian ini kita dapat melihat beda fasa antara

keduanya; ternyata dalam kasus penyearah setengah gelombang ini, arus fundamental sefasa

dengan tegangan sumber.

CONTOH-12: Sebuah sumber dengan resistansi dan induktansi internal yang dapat diabaikan

mencatu beban resistif melalui penyearah setengah gelombang. Tegangan sumber adalah

V sin380 0tvs ω= dan resistansi beban Rb adalah 3,8 Ω. Hitung daya nyata yang diterima

oleh beban dan daya nyata yang diberikan oleh sumber.

Penyelesaian:

Tinjauan Di Sisi Beban. Nilai puncak arus adalah 380/3,8 = 100 A. Persamaan arus sampai

harmonisa ke-enam menjadi

A )6cos(8,1 )4cos(2,4

) 2cos(2,21)57,1cos(508,31)(

00

00

ω+ω+ω+−ω+

=tt

ttti

yang memberikan arus-arus efektif pada beban

vs R vR

vs is iR pR

00 90 180 270 360 450 540 630 720

Vs

−Vs

vs

iR

pR pR ωt [o]



A; 31,35 2

8,1

2

2,4

2

2,218,31

A; 2

50

2222

1

=+++=

=

bhrms

rmsb

I

I

Daya yang diterima beban adalah

( ) kW 5,9 W94888,3221

2 ≈=×+== bhrmsrmsbbrms IIRIP

Tinjauan Di Sisi Sumber. Tegangan sumber adalah tvs 0sin380 ω= . Komponen arus

fundamental yang diberikan oleh sumber adalah sama dengan arus fundamental beban

ttii Rbs 0011 sin50)57,1cos(50 ω=−ω== A

dengan nilai efektif 2/501 =srmsI A

Tak ada beda fasa antara tegangan sumber dan arus fundamentalnya. Daya dikeluarkan oleh

sumber adalah

kW 5,92

50

2

380rms 1rms 1 =×== sss IVP

Hasil perhitungan dari kedua sisi tinjauan adalah sama. Daya yang diberikan oleh komponen

fundamental sebagai fungsi waktu adalah

( )

( ) ( ) kW 2cos(119 2cos(12

50380

2cos(12

00

01

1

tt

tIV

p ss

ω−=ω−×=

ω−=

Gb.3 memperlihatkan kurva ps1 pada di atas. Kurva ps1 bervariasi sinusoidal namun selalu

positif dengan nilai puncak 19 kW, dan nilai rata-rata (yang merupakan daya nyata) sebesar

setengah dari nilai puncak yaitu 9,5 kW.

Kurva daya yang dikontribusikan oleh komponen searah, ps0 yaitu suku pertama (19), dan

komponen harmonisa psh2 yaitu suku ke-dua persamaan (19), juga diperlihatkan dalam Gb.3.

Kurva kedua komponen daya ini simetris terhadap sumbu waktu yang berarti memiliki nilai

rata-rata nol. Dengan kata lain komponen searah dan komponen harmonisa tidak memberikan

daya nyata.

Gb.3. Kurva komponen daya yang diberikan sumber.

Konfirmasi logis kita peroleh sebagai berikut. Seandainya tidak ada penyearah antara sumber

dan beban, arus pada resistor akan mengalir sefasa dan sebentuk dengan gelombang tegangan

sumber. Daya yang di keluarkan oleh sumber dalam keadaan ini adalah

t [det]

W ps0

ps1

psh2

-15000

-10000

-5000 0

5000

10000

15000 20000

0 0.005 0.01 0.015 0.02



kW )2cos1(382

0cos2cos38000

sin38000sin

00

02

02

tt

ttIVp sss

ω+=+ω

=

ω=ω=

Dalam hal penyearahan setengah gelombang, arus hanya mengalir setiap setengah perioda.

Oleh karena itu daya yang diberikan oleh sumber menjadi setengahnya, sehingga

kW )2cos1(19 0tp gelsetengah ω+= , dan inilah ps1.

CONTOH-13: Sebuah sumber dengan resistansi dan induktansi internal yang diabaikan,

mencatu beban resistif melalui kabel dengan resistansi 0,2 Ω dan penyearah setengah

gelombang. Tegangan sumber adalah V sin380 0tvs ω= dan resistansi beban R adalah 3,8 Ω.

Hitung daya yang diterima oleh beban.

Penyelesaian:

Rangkaian sistem ini adalah seperti berikut

Tinjauan Di Sisi Beban. Nilai puncak arus adalah

A 952,08,3

380 =+

=mI

Persamaan arus sampai harmonisa ke-6 menjadi

A )6cos(71,1)4cos(09,4

)2cos(14,20)57,1cos(5,4721,30

)6cos(018,0 )4cos(042,0

) 2cos(212,0)57,1cos(5,0318,095)(

00

00

00

00

tt

tt

tt

ttti

ω+ω+ω+−ω+=

ω+ω+ω+−ω+

×=

Nilai efektif arus fundamental dan arus harmonisa total adalah

A 54,332

71,1

2

09,4

2

14,2021,30

A; 33,592

5.47

2222

1

=+++=

==

hrms

rms

I

I

Daya yang diterima Rb adalah

W85638,3)54,3359,33( 222 =×+== brmsRb RIP

Tinjauan Di Sisi Sumber. Tegangan sumber dan arus fundamental sumber adalah

V sin380 0tvs ω=

A sin5,47)57,1cos(5,47 001 ttii Rbs ω=−ω==

Tidak ada beda fasa antara vs dan is1. Daya nyata yang diberikan oleh sumber adalah

W90252

5,47

2

3800cos o

1 =×== rmssrmss ivP

vs=380sinω0t Rb=3,8Ω Rs=0,2Ω



Daya ini diserap oleh beban dan saluran. Daya yang diserap saluran adalah

W7,450 )55,336,33(02,0

)(02,002,022

221

2

=+×=

+×=×= hrmsrmssrmssaluran iiiP

Perbedaan angka perhitungan PRb dengan (Ps – Psaluran) adalah sekitar 0,2%.

Perambatan Harmonisa

Dalam sistem tenaga, beban pada umumnya bukanlah beban tunggal, melainkan beberapa

beban terparalel. Sebagian beban merupakan beban linier dan sebagian yang lain merupakan beban

nonlinier. Dalam keadaan demikian ini, komponen harmonisa tidak hanya hadir di beban nonlinier

saja melainkan terasa juga di beban linier; gejala ini kita sebut perambatan harmonisa. Berikut ini

akan kita lihat gejala tersebut pada suatu rangkaian yang mendekati situasi nyata. Gb.4.

memperlihatkan rangkaian yang dimaksud.

Gb.4. Sumber mencatu beban paralel linier dan nonlinier.

Tegangan sumber berbentuk sinusoidal murni tVv sms 0sin ω= . Sumber ini mencatu beban

melalui saluran yang memiliki resistansi Rs. Beban yang terhubung di terminal A-B (terminal

bersama), terdiri dari beban linier Ra dengan arus ia dan beban Rb yang dialiri arus nonlinier ib = ib1 +

ibh dengan ib1 adalah komponen fundamental dari ib dan ibh adalah komponen harmonisa total dari ib.

Pada rangkaian sederhana ini, di sisi beban kita lihat bahwa aplikasi Hukum Arus Kirchhoff di simpul

A, yaitu simpul bersama dari kedua beban, memberikan

0)(//)( 1 =+++− bhbaAssA iiRvRvv

dan dari sini kita peroleh

)( 1 bhbas

ass

as

aA ii

RR

RRv

RR

Rv +

+−

+= (23)

Jadi sebagai akibat pembebanan nonlinier di suatu beban menyebabkan tegangan di terminal-

bersama juga mengandung harmonisa. Akibat selanjutnya adalah bahwa arus di beban lain yang

terhubung ke terminal-bersama ini juga mengandung harmonisa.

)( 1 bhbas

s

as

s

a

Aa ii

RR

R

RR

v

R

vi +

+−

+== (24)

Sementara itu di sisi sumber, dengan tegangan sumber berbentuk sinus tVv sms 0sin ω= , keluar arus

yang mengandung harmonisa yaitu

)(

)()(

1

11

bhbas

a

as

s

bhbbhbas

s

as

s

bas

iiRR

R

RR

v

iiiiRR

R

RR

v

iii

+

++

+=

++++

−+

=

+=

(25)

vs Rb Ra

ia ib=ib1+ibh

is

Rs

A

B



Adanya komponen harmonisa pada arus sumber dan beban yang seharusnya merupakan

beban linier dapat menyebabkan penambahan penyerapan daya pada saluran. Hal ini akan kita

bahas kemudian.

CONTOH-14: Sebuah sumber tegangan 50 Hz, V sin240 0tv ω= memiliki resistansi dan

induktansi internal yang diabaikan. Sumber ini mencatu beban resistif Ra = 5 Ω melalui saluran

yang memiliki resistansi 1Ω. Sebuah beban resistif lain yaitu Rb = 5 Ω dengan penyearah

setengah gelombang dihubungkan paralel dengan Ra. Hitunglah: (a) daya nyata yang diserap Ra

sebelum Rb dan penyearah dihubungkan; (b) daya nyata yang diserap Rb sesudah Rb dan

penyearah dihubungkan; (c) daya nyata yang diserap Ra sesudah Rb dan penyearah

dihubungkan; (d) daya nyata yang diserap saluran Rs; (e) daya nyata yang diberikan sumber; (f)

bandingkan daya nyata yang diberikan oleh sumber dan daya nyata yang diserap oleh bagian

rangkaian yang lain.

Penyelesaian:

(a) Sebelum Rb dan penyearah dihubungkan, rangkaian adalah seperti di bawah ini.

Arus efektif yang mengalir dari sumber, daya nyata yang diserap Ra dan Rs , serta daya nyata

yang diberikan sumber adalah

A 28,28)15/()2/240( =+=RarmsI

W4000528,28 2 =×=RaP ; W800128,28 2 =×=RsP

RsRas PPP +==×= W 48002/24028,28

(b) Setelah Rb dan penyearah dihubungkan, rangkaian menjadi

Untuk menghitung iRb kita buat rangkaian ekivalen Thévenin terlebih dulu di terminal A-B.

V sin200sin24051

500 ttvsTh ω=ω×

+= ; Ω=

+×= 833,0

51

51sThR

Setelah Rb dihubungkan pada rangkaian ekivalen Thévenin, rangkaian menjadi

Nilai maksimum arus iRb adalah

A 29,345833,0

200 =+

=RbmI

Arus yang melalui Rb menjadi

is

Rs=1Ω

A

B

Ra = 5Ω vs= 240sinω0t

vs Rb Ra

ia iRb= iRb1+iRbh

is

Rs

A

B

isTh

0,833Ω

A

B

5Ω vsTh = 200sinω0t

ib=ib1+ibh



)6cos(62,0)4cos(47,1

)2cos(27,7)57,1cos(14,179,10

)6cos(018,0)4cos(042,0

)2cos(212,0)57,1cos(5,0318,029,34

00

00

00

00

tt

tt

tt

ttiRb

ω+ω+ω+−ω+=

ω+ω+ω+−ω+

×=

Dari sini kita peroleh

A 1.122/62,02/47,12/27,79,10

A 12,122

14,17

2222

1

=+++=

==

Rbhrms

rmsRb

I

I

Daya yang diserap Rb adalah

W14705)1.1212,12( 22 ≈×+=RbP

(c) Untuk menghitung daya yang diserap Ra setelah Rb dihubungkan, kita kembali pada

rangkaian semula. Hukum Arus Kischhoff untuk simpul A memberikan

Rbs

s

asARb

a

A

s

sA iR

v

RRvi

R

v

R

vv−=

+⇒=++

− 110

( )

AhAbh

bh

bhbas

ass

as

aA

vvit

itt

iiRR

RRv

RR

Rv

−=−ω=

+ω××−ω×=

++

−+

=

10

00

1

V 6

5sin71,185

sin14,176

15sin240

6

5

)(

V 32,1312

71,1851 ==⇒ rmsAV

)6cos(51,0)4cos(23,1)2cos(06,609,9

)6cos(62,0)4cos(47,1

)2cos(27,79,10

6

5

6

5

000

00

0

ttt

tt

tiv bhAh

ω+ω+ω+=

ω+ω+ω+

×=×=

V 09,102

51,0

2

23.1

2

06,609,9

2222 =+++=⇒ AhrmsV

Daya yang diserap Ra adalah

W34695

09,10

5

32,131 22221 =+=+=

a

Ahrms

a

rmsARa R

V

R

VP

(d) Tegangan jatuh di saluran adalah

V sin29,54sin71,185sin240 000

11

ttt

vvv Ass

ω=ω−ω=−=∆

→ V 39,382

29,541 ==∆ rmssV

→ V 09,10==∆ Ahrmsshrms VV



Daya yang diserap saluran adalah

W1575 1

09,10

1

39,38 22221 =+=

∆+

∆=

s

shrms

s

rmssRs R

V

R

VP

(e) Tegangan sumber adalah

V sin240 0tv ω=

Arus fundamental sumber adalah

A sin29,54 01

1 tR

vi

s

ss ω=

∆=

Daya nyata yang diberikan sumber

W65152

29,54

2

24011 =×==

RIVp rmsssrmss

(f) Bagian lain rangkaian yang menyerap daya nyata adalah Rs, Ra, dan Rb. Daya nyata yang

diserap adalah

W6512146834691575 =++=++= RbRaRsRtotal PPPP

Hasil ini menunjukkan bahwa daya nyata yang diberikan sumber sama dengan daya nyata yang

diserap oleh bagian lain dari rangkaian (perbedaan angka adalah karena pembulatan-

pembulatan).

Ukuran Distorsi Harmonisa

Hadirnya harmonisa dalam sistem, menimbulkan dampak negatif. Oleh karena itu

kehadirannya perlu dibatasi. Untuk melakukan pembatasan diperlukan ukuran-ukuran kehadiran

armonisa.

Crest Factor. Crest factor didefinisikan sebagai

efektif nilai

puncak nilai =factorcrest

Total Harmonic Distortion (THD). THD digunakan sebagai ukuran untuk melihat berapa besar

pengaruh keseluruhan adanya harmonisa terhadap sinyal sinus. Pengaruh keseluruhan harmonisa

diperbandingkan terhadap komponen fundamental, karena komponen fundamental-lah yang

memberikan transfer energi nyata.

Untuk tegangan nonsinus, THD didefinisikan sebagai

rms

hrmsV V

VTHD

1

= (26)

Untuk arus nonsinus, THD didefinisikan sebagai

rms

hrmsI I

ITHD

1

= (27)



CONTOH-15: Arus penyearahan setengah gelombang dengan nilai puncak arus 100 A, memiliki

sampai harmonisa ke-enam sebagi

A )6cos(8,1 )4cos(2,4

) 2cos(2,21)57,1cos(508,31)(

00

00

ω+ω+ω+−ω+

=tt

ttti

Hitunglah crest factor dan THDI.

Penyelesaian: Telah dihitung nilai efektif arus dalam contoh soal tersebut

A 31,35 2

8,1

2

2,4

2

2,218,31

A; 2

50

2222

1

=+++=

=

bhrms

rmsb

I

I

Nilai efektif arus adalah

A 7,4931,352/50 22 =+=rmsI

Crest factor adalah: 22,49

100.. ==fc ;

THDI adalah: 12/50

31,35

1

≈==rms

hrmsI I

ITHD atau 100%

Crest factor dan THD hanyalah tergantung bentuk dan tidak tergantung dari nilai mutlak arus. Angka

yang sama akan kita peroleh jika nilai puncak arus hanya 1 ampere. Hal ini dapat dimengerti karena

persamaan arus secara umum adalah

ϕ−ω+= ∑

=

maksn

nnnm tnAAIti

100 )cos()(

sehingga dalam perhitungan Irms, I1rms, dan Ihrms faktor Im akan terhilangkan.

Daftar Pustaka

1. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB, Bandung, 2002.

2. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik Jilid-1”, Darpublic, Bandung, 2010.

3. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2”, Darpublic, Bandung, 2010.

4. Sudaryatno Sudirham, “Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan Kualitas Daya”,

Catatan Kuliah El 6004, ITB, Bandung, 2008.

5. Vincent Del Toro : “Electric Power System”, Prentice-Hall International, Inc., 1992.

6. Charles A. Gross : “Power System Analysis”, John Willey & Son, 1986.

7. Turan Gönen: ”Electric Power Transmission System Engineering”, John Willey & Son,

1988.

Pembebanan Nonlinier (analisis di kawasan waktu) · PDF fileDalam “ Analisis Rangkaian...

Documents

Transcript of Pembebanan Nonlinier (analisis di kawasan waktu) · PDF fileDalam “ Analisis Rangkaian...