B. Rumus Sudut RAngkAp

Buktikan Sin 2A = 2 sinA cosA Cos 2A = cos² A – sin²A Cos 2A = 2 cos² A – 1 Cos 2A = 1 – 2 sin² A tg 2A   =  2 tg 2A 

             1 - tg2A Ctg 2A = Ctg² A-1 2Ctg A Sin² A = ½ (1 – cos 2A) Cos² A = ½ (1 + cos 2A)

PemBuktiAn

Sin 2A = 2 sinA cosARuas kiri=>sin 2A = sin(A+A)

= sin A cos A+ cos A sinA= sinA cosA + sin A cosA= 2 sinA cosA(terbukti)

PemBuktiAn

Cos 2A = cos² A – sin²ARuas kiri => cos 2A =cos (A+A)

=cosA cosA- sinA sinA= cos² A – sin²A (terbukti)= cos² A –(1- cos² A )=2 cos² A -1 (terbukti)=1-2 sin² A

PemBuktiAntg 2A   =  2 tg 2A 

             1 - tg2ARuas kiri=> tg 2A =tg (A+A)

=tgA + tgA 1-tgA tgA=  2 tg 2A 

             1 - tg2A(terbukti)

PemBuktiAnCtg 2A = Ctg² A-1 2Ctg ARuas Kiri =>Ctg 2A = Ctg (A+A)

= Ctg A Ctg A -1 Ctg A + Ctg A

=Ctg² A-1 2Ctg A

(terbukti)

PemBuktiAn Sin² A = ½ (1 – cos 2A)Dari rumus Cos 2A = 1-2 sin² A2Sin² A = 1 – cos 2A Sin² A =½ (1 – cos 2A)

Cos² A = ½ (1 + cos 2A)Dari rumus

Cos 2A = 2 cos² A -1 2cos² A = 1 + cos 2A Cos² A =½ (1 + cos 2A)

Dari rumus di atas didapat :

Sin² A =½ (1 – cos 2A)Sin² ½ A = 1 – cos A

2Sin ½ A =±√1 – cos A

2Cos² A =½ (cos 2A + 1)Cos² ½ A = cos A + 1

2Cos ½ A =±√cos A + 1

2

Contoh soAl

1. Diketahui Cos α =4/5 ; sin α =3/5 ;tg α= ¾ Maka carilah :

a) Sin 2 α b) Cos 2 α c) Tg 2α

JAwAB

1. A. Sin 2α = 2 sin α cos α = 2*{(3/5)*(4/5)} = 24/25

B. Cos 2α = cos²α - sin²α = (4/5)²-(3/5)² = (16/25)(9/25) = 7/25

c. Tg 2α = (2tg α )/(1-tg²α )= [2*(3/4)]/[1-(3/4) ² = (6/4)/[1-(9/16)]= (6/4)*(16/7)

= (96/28)

Contoh SoAl

2. Diket Tg x = 1/3 Tg y = ¼ x dan y lancip Carilah :a) Tg 2xb) Ctg 2yc) Tg (2x+y)

JAwAB:2. Tg 2x = 2 tg x 

             1 - tg²x = 2.1/3 1-(1/3) = 2/3 8/9 = 3/4Ctg 2y = Ctg² y-1 2Ctg y

= 4²-1 2.4

= 16-1 = 15

8 8

Tg (2x+y) = Tg 2x+Tg y 1- Tg

2xTg y= ¾ + 1/4

1 –(3/4).(1/4)

= 1 1-(3/16)

= 16 13