Sudaryatno Sudirham
-
Upload
vernon-vance -
Category
Documents
-
view
89 -
download
12
description
Transcript of Sudaryatno Sudirham
1
Sudaryatno Sudirham
Klik untuk melanjutkan
Kapita Selekta MatematikaBilangan Kompleks
Permutasi dan KombinasiAritmatika Interval
2
BILANGAN KOMPLEKS
3
Definisi
Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks sebagai berikut
Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan
),( yxz
yzxz Im Re
Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan
nyata.
kita tuliskan
bagian nyata (real part) dari z
bagian khayal (imaginary part) dari z
4
Bilangan Nyata
Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata yang hanya dapat di angankan seperti . Walaupun hanya dapat diangankan, bilangan ini tetap nyata,
nilainya adalah 3,14……., dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya.
Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata,
| | | | | | | |
-2 -1 0 1 2 3 4 5
m
5
Tinjaulah suatu fungsi xy
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
x
tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatifnamun untuk x yang negatif dapat didefinisikan
suatu bilangan imajiner (khayal)
j 1
6
Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata, misalnya
seterusnya dan 11010
155
maka bilangan imajiner j = 1 menjadi satuan dari bilangan imajiner, misalnya
seterusnya dan 99 imajiner
3 3 imajiner
2 2 imajiner
j
j
j
7
Pernyataan Bilangan Kompleks
Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan
jbaz
bagian nyata
bagian imajinerbilangan kompleks
8
Bilangan kompleks dapat digambarkan di bidang kompleks
yang dibatasi oleh sumbu nyata (diberi tanda Re) dan sumbu imajiner (diberi tanda Im)
yang saling tegaklurus satu sama lain
setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks (x,,y)
dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya
9
a Re
Im
jb
cosa
sinb
)sin(cos jz
disebut argumen
disebut modulus
a
bz 1tan arg
22 modulus baz
)sin(cos22 jbaz
jbaz
Diagram Argand
10
CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
431 jz
Sudut dengan sumbu nyata adalah
o11 1,53)3/4(tan
Pernyataan z1 dapat kita tuliskan
oo
oo221
1,53sin1,53cos5
1,53sin1,53cos43
j
jz
11
CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
oo2 20sin20cos10 jz
Pernyataan ini dapat kita tuliskan
4,34,9)34,094,0(10
20sin20cos10 oo2
jj
jz
12
Kesamaan Bilangan Kompleks
22 ba merupakan nilai mutlakModulus
Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai yang sama akan tetapi dengan sudut yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai sama akan tetapi memiliki yang berbeda. Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka mempunyai baik maupun yang sama besar.
Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar..
13
Negatif dari Bilangan Kompleks
Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua
komponennyajbaz jbaz Jika mak
a
jbaz
Re
Im
a
jb
jbaz
o180
14
CONTOH
o11 3,56)4/6(tan
ooo2 3,2361803,56
Sudut dengan sumbu nyata
z1 dapat dinyatakan sebagai
oo
oo221
3,56sin3,56cos2,7
3,56sin3,56cos64
j
jz
696,383,055,02,7
)1803,56sin()1803,56cos(2,7 oooo1
jj
jz
641 jz Jika 6412 jzz maka
15
Konjugat Bilangan Kompleks
Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z*
yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.
jbazjbaz maka Jika
jbaz
Re
Im
jb
jb
a
jbaz
16
CONTOH:
65 jz Jika 65 jz maka
Sudut dengan sumbu nyata
o1 2,50)5/6(tan
o2,50
z dapat dinyatakan sebagai
oo
oo22
2,50sin2,50cos8,7
2,50sin2,50cos65
j
jz
oo 2,50sin2,50cos8,7 jz
65* jz
Re
Im
65 jz
17
CONTOH:
65 jz Jika 65 jz maka
65 jz
Re
Im
65 jz
65 jz Jika 65 jz maka
65 jz
Re
Im
65 jz
18
Operasi-Operasi Aljabar
19
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah
komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.
Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih
komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.
)()(
)()(
2121
221121
bbjaa
jbajbazz
)()(
)()(
2121
221121
bbjaa
jbajbazz
20
CONTOH:
43dan 32 21 jsjs
75
)43()32(21
j
jjss
11
)43()32(21
j
jjss
Diketahui
21
Perkalian Bilangan Kompleks
212121
21212121
221121
2
))(())((
bbajbaa
bbajbajbaa
jbajbazz
Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen
22
22
11
))((
ba
bjbajbaa
jbajbazz
12 zzJika
Perhatikan: 22
222
22111
baba
jbazzz
22
CONTOH:43dan 32 21 jzjz
176
12986
)43)(32())(( 21
j
jj
jjzz
CONTOH: 32dan 32 121 jzzjz
1394
9664
)32)(32())(( 11
jj
jjzz
1394322
222111 zzz
23
Pembagian Bilangan Kompleks
Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan
1
122
22
jba
jba
CONTOH: 43dan 32 21 jzjz
25
1
25
18
43
)98()126(
43
43
43
3222
2
1 jj
j
j
j
j
z
z
22
22
12212121
22
22
22
11
2
1
)()(
ba
ababjbbaa
jba
jba
jba
jba
z
z
24
Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar
25
Fungsi Eksponensial Kompleks
Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial xey
merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata
Jika z adalah bilangan kompleks jz
fungsi eksponensial kompleks didefinisikan
riil` aleksponensi fungsiadalah dengan
; )sin(cos)(
e
jeee jz
Melalui identitas Euler sincos je j
fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan jz eee
26
Bentuk PolarRepresentasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah jez
zzarg
Re
Im
jez
CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya z = 0,5 rad
Bentuk sudut sikunya adalah:
8,48,8)48,088,0( 10
)5,0sin5,0(cos 10
jj
jz
Re
Im
5,05 jez
rad 5,010
27
CONTOH:
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4
543 || 22 zModulus
Argumen rad 93,03
4tan 1 z
Representasi polar z = 5e j0,93
Re
Im
93,05 jez
rad 93,0
5
28
CONTOH:
Misalkan 02 jz
Modulus 204 || z
Argumen 2/0tan 1 tidak bernilai tunggal
Di sini kita harus memilih = rad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata 2
Re
Im
jez 2
2
29
CONTOH
Misalkan 20 jz
Modulus 240 || z
Argumen 2/0/2tan 1
komponen nyata: 0 komponen imajiner: 2
Representasi polar adalah
2/2 jez
.
Re
Im
2/2 jez2j
30
Manfaat Bentuk Polar
31
Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks
Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.
)(21
2121
21
21
))((
j
jj
e
eezz )(
2
1
2
1
2
1 21
2
1
jj
j
ee
e
z
z
CONTOH:
Misalkanz1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e j0,4
9,04,05,021 50510 jjj eeezz
1,04,0
5,0
2
1 25
10 jj
je
e
e
z
z
32
Konjugat Kompleksargumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya
Re
Im jez
jez
*
**
*
* atau ||*))((
2
1
2
1
2121
2
**
z
z
z
z
zzzz
ss|z|zzz
Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai
berikut
33
CONTOH:4,0
25,0
1 5dan 10 jj ezez
25
100 10 10
22
5,05,011
zz
eezz jj
9,04,05,0
9,09,04,05,021
505 10
0505 5 10jjj
jjjj
eee
eeeezz
1,0
4,0
5,0
1,01,04,0
5,0
2
1
2 5
10
052 5
10
jj
j
jjj
j
ee
e
eee
e
z
z
Misalkan
Kuliah Terbuka
Bilangan Kompleks
Sudaryatno Sudirham
34
Permutasi dan Kombinasi
Sudaryatno Sudirham
35
Permutasi
36
Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponenyang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap
kelompok urutan komponen diperhatikan
Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya
terdiri dari 2 huruf
Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah
BAAB dan diperoleh 2 kelompok
Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati posisi pertama yaitu A atau B
Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B
Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A
37
Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah:
ACB
ABC
BCA
BAC
CBA
CAB diperoleh 6 kelompok
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamatinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua
maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi terakhir yaitu posisi ketiga
Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah
6123 Jumlah kemungkinan
komponen yang menempati posisi pertama Jumlah kemungkinan
komponen yang menempati posisi kedua
Jumlah kemungkinan komponen yang
menempati posisi ketiga
38
Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf
ada 24 kelompok
Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1
ABCD BACD CDAB DABCABDC BADC CDBA DACBACBD BCAD CABD DBCAACDB BCDA CADB DBACADCB BDAC CBAD DCABADBC BDCA CBDA DCBA
jumlah kelompok yang mungkin dibentuk
4321=24 kelompokyaitu:
39
Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun dari n komponen
yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah
!1.........)2()1( nnnn
Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n!dan kita tuliskan
!nPnn Kita baca : n fakultet
Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,
tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masing-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n
kn P
Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan
40
Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah
123424 P
Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3.
Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.
Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan
1212
123424
P
41
Secara Umum:
)!(
!
kn
nPkn
Contoh:
30561234
123456
)!26(
!626
P
Contoh:
360345612
123456
)!46(
!646
P
42
Kombinasi
43
Kombinasi merupakan pengelompokan sejumlah komponen yang mungkin dilakukan
tanpa mempedulikan urutannya
Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu
ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA
namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu
ABC
karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan
ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA
44
Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan
jumlah permutasi nPk
dibagi dengan permutasi k
Kombinasi k dari sejumlah n komponen dituliskan sebagai nCk
Jadi! )!(
!
! kkn
n
k
PC kn
kn
45
Contoh:
Berapakah kombinasi dua-dua dari empat hurufA, B, C, dan D
61212
1234
!2)!24(
!4
!224
24
P
C
yaitu:
Jawab:
AB
AC
AD
BC
BD
CD
46
Contoh Aplikasi
Distribusi Maxwell-Boltzman
Distribusi Fermi-Dirac
47
Distribusi Maxwell-Boltzman
Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja
dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi
Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit; kita sebut
dst. 321 EEE
48
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada
dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah
dst.
elektron terdapat di
elektron terdapat di
elektron terdapat di
33
22
11
nE
nE
nE
maka jumlah cara penempatan elektron di E1 merupakan permutasi n1 dari N yaitu
)!(
!
11 1 nN
NPP Nn
49
Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari (Nn1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1
)!(
)!(
21
1)(2 12 nnN
nNPP nNn
)!(
)!(
321
21)(3 213 nnnN
nnNPP nnNn
dst.
Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari (Nn1n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2
50
Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara
satu elektron dengan elektron yang lain
Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari N yaitu
!)!(
!
!n
1111
1
nnN
NPC Nn
Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.
!)!(
)!(
!)!(
221
1
21
)(2
12
nnnN
nN
nN-n
PC nNn
!)!(
)!(
!)!(
3321
21
3331
)(3
213
nnnnN
nnN
nnnnN
PC nnNn
dst.
51
Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability
Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst.maka probabilitas tingkat-tingkat energi
dst.
elektron ditempati
elektron ditempati
elektron ditempati
33
22
11
nE
nE
nE
adalah
dst.
333
222
111
3
2
1
CgF
CgF
CgF
n
n
n
Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron seperti di atas adalah:
!.....!!
............... ....
321
321321321321
321
321
nnn
gggCCCgggFFFF
nnnnnn
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann
52
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini di buku-e
“Mengenal Sifat Material”
53
TkEii
BiegZ
Nn /
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann
Jumlah elektron pada tingkat energi Ei
temperatur
konstanta Boltzmann
tingkat energi ke-i
probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i
fungsi partisi
i
Ei
iegZ
54
Distribusi Fermi-Dirac
Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut
dst. 321 EEE
Setiap tingkat energi mengandung sejumlah tertentu status kuantum
dan tidak lebih dari dua elektron berada pada status yang sama.
Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat
energi yang bersangkutan
Yang berarti menunjukkan jumlah elektron yang mungkin berada di suatu
tingkat energi
55
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,
yaitu
dst.
elektron terdapat di
elektron terdapat di
elektron terdapat di
33
22
11
nE
nE
nE
56
Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah:
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut
permutasi dan kombinasi
Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst
!)!(
!
111 nnN
NC
!)!(
)!(
221
12 nnnN
nNC
!)!(
)!(
3321
213 nnnnN
nnNC
dst.
Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untuk menempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi
)!(!
!
111
11 ngn
gF
!)!(
!
222
22 nng
gF
!)!(
!
333
33 nng
gF
dst.
i iii
ii ngn
gFFFFF
)!(!
!...321
57
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e
“Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga
58
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac
1/)(
TkEEi
iBFie
gn
Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T 0
0)(untuk
0)(untuk 0lim /)(
0
Fi
FiTkEE
T
EE
EEe BFi
Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkat energi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat
elektron di atas EF
EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.
59
Kuliah Terbuka
Permutasi dan KombinasiSudaryatno Sudirham
60
Aritmatika Interval
Sudaryatno Sudirham
61
Pengantar
Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.
Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi interval.
62
Cakupan Bahasan
Pengertian-Pengertian Interval
Operasi-Operasi Aritmatika Interval
Sifat-Sifat Aritmatika Interval
63
Pengertian-Pengertian Interval
64
Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan
Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *)
*) Lihat pula “Fungsi dan Grafik”
Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan
Contoh:Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan
yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri (interval tertutup).
65
Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai
)}(:{ xpxS
menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk
menentukan apakah x benar merupakan elemen dari S
atau tidak
menunjukkan kumpulan yang kita tinjau
menunjukkan sembarang elemen
dari S
66
Contoh
}11090 ,:{ xRxxS
R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata
11090 ,)( xRxxp
67
Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara dan +
kita tuliskan
} ,, , ,:{ baRbabxaRxxX
Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi-operasi interval
Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval.
Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan hanya dengan batas-batas interval.
Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batas-
batas intervalnya.
68
],[ xxX
Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut
kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval.
Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan batas atas (nilai maksimum) kita tuliskanx
0(x )
interval Xbatas bawah batas atas
x
69
Suatu interval mengalami degenerasi jika
dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate.
Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi)
suatu bilangan nyata.
xx
70
Degenerasi
Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata
xxXw )(
]15 ,6[X 9615)( Xw
Contoh:
(0
)x
w(X)
x
71
Lebar Interval
Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah
2/)()( xxXm
Contoh:
}10 ,4{X 72/)104()( Xm titik tengah
Contoh:
}10 ,4{X
radius interval X adalah w(X)/2 = (104)/2 = 3.
Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval
2/)(Xw
72
Titik Tengah
Radius
Kesamaan
Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.
],[ xxX ],[ yyY Jika dan
YX yxyx dan maka jika dan hanya jika
Urutan
Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, yx
Contoh
X = {6, 10} dan Y = {13, 18}
X < Y.
0(x
) ( )X Yx y y
Dalam contoh ini w(X) < w(Y)
73
Nilai Absolut
Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya
} , max{ xxX
Contoh
X = {8, 4}
8} 4 , 8 max{ X
74
Jarak
Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya
|}| , |max{|),( yxyxYX
Contoh
X = {2,6}, Y = {8,18}
12|}186||,82max{| ),( YX
0( )x
( )
X Y
xy xy
x yy
Di sini
|||| yxyx
75
Simetri
Suatu interval X disebut simetris jika xx
Contoh: X = {5, 5}
0(x )
X
x
Interval simetris mengandung elemen bernilai 0.
Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.
Ia bukan degenerate interval.
76
Irisan
Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval.
Irisan antara interval X dan interval Y adalah
}],min{ },,[max{ yxyxYX
Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18} 9] ,6[YX
0(x )( )
X Y
y x y
YX
Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval
Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.
77
Gabungan
Gabungan antara interval X dan Y adalah
}]maks{ },,[min{ y,xyxYX
Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18] 18] ,2[YX
0(x )( )
X Y
y x y
YX
Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval.
Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya
gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.
78
Inklusi
Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika
)()(dan YwXwYX atau
YX yxxy dan jika dan hanya jika
Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16} YX
0(x )( )
X
Y
xy y
b). X ={5, 2} dan Y = {7, 7}
0(x )( )
X
Y
y x y
79
Operasi-Operasi Aritmatika
80
Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu:
Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut interval positif.
Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut interval negatif.
Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif termasuk nol.
Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif,
sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.
81
Penjumlahan dan
Pengurangan
82
Penjumlahan
Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai
} , :{ YyXxyxYX
Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval
Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan
adalah jumlah dari batas atas
Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.
] ,[ yxyxYX
83
X+Yyx yx
0(x ) ( )
X Y
( )x y y
] ,[ yxyxYX
Jumlah interval juga merupakan interval.
],[ yyY Jika dan , maka],[ xxX
tidak merupakan sebuah interval karena X < Y.
X dan Y adalah dua interval yang terpisah.
YX Penjumlahan berbeda dengan penggabungan.
Penggabungan dua interval tidak selalu menghasilkan suatu interval.
84
Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}
X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]
Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan.
Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan
biasa.
Perbedaan penjumlahan dan gabungan
Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6] 6] ,2[YX
10] ,5[YX
0(x
)( )
X Y
y x y
YX
(z )z
YX
85
Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai
} ,{ XxxX
yang dapat kita tuliskan
] ,[] ,[ xxxxX
0(x )
X
) x
(
X
x x
Batas atas X adalah x
Batas bawah X adalah x
86
Contoh: a). X = [2, 6] X = [6, 2]
0(x )
X
) x
(
X
x x
b). X = [2, 6] X = [6, 2]
0(x
)
X
) x
(
X
x x
87
Pengurangan
Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X dengan
negatif interval Y
] ,[],[],[ yxyxyyxxYX
Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]
X Y = [2, 6] [7, 12] = [2 12, 6 7] = [10, 1]
XY
0(x ) ( )
X Y( )( )
y y x y y
yx yx
Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan X Y merupakan interval negatif.
88
Perkalian dan
Pembagian
89
Perkalian Interval
Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai
} , :{ YyXxxyYX
yang dapat dituliskan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX
Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah
maupaun batas atas dari interval hasil kali.
Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada
sumbu bilangan nyata
90
Pada interval X selalu dipenuhi relasi xx maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisix x
0x 0x jika maka
0x 0atau 0 xx jika maka
Demikian juga pada interval Y
0y 0y jika maka
0y 0atau 0 yy jika maka
91
Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu:
interval positif kali interval positif
interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya
interval negatif kali interval negatif
perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol
92
Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah:
] ,[
0dan 0
yx yxYXZ
yx
x y y0( )x
( )X Y
1).
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yx
3).
x y y0( )x
( )X Y
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
2). x y y0
( )x
( )X Y
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
4).
x y y0( )x
( )X Y
93
6). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
yy x x0
( ) ( )Y X
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
7).yy x x0
( ) ( )Y X
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
y y x x0( ) ( )
Y X8).
}] ,maks{ }, ,min{[
0dan 0
yxyxyxyx
YXZ
yyxx
9). y yx x0( )( )
Y X
5). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
x y y 0
( )x
( )X Y
94
Contoh dan Penjelasan
]6 ,4[ ]3 ,1[ YX
]18 ,4[YX
Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas sedang
batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.
Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil
bilangan positif.
] ,[
0dan 0
yx yxYXZ
yx
x y y0( )x
( )X Y
1).
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
95
]8 ,4[ ]2 ,1[ YX
]16 ,8[ YX
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
2). x y y0
( )x
( )X Y
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
96
]4 ,1[ ]1 ,3[ YX
]1 ,12[ YX
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali
batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yx
3).
x y y0( )x
( )X Y
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
97
]3 ,1[ ]2 ,4[ YX
]4 ,12[ YX
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
4).
x y y0( )x
( )X Y
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
98
]1 ,4[ ]5 ,7[ YX
]82 ,5[YX
Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas.
Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.
5). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
x y y 0
( )x
( )X Y
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar
yang bisa dicapai
99
]1 ,3[ ]4 ,1[ YX
]1 ,12[ YX
6). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
yy x x0
( ) ( )Y X
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas
bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
100
]1 ,3[ ]5 ,2[ YX
]5 ,15[YX
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
7).yy x x0
( ) ( )Y X
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah
interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
101
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
y y x x0( ) ( )
Y X8).
]2 ,5[ ]3 ,1[ YX
]5 ,15[YX
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
Contoh dan Penjelasan
102
]1 ,4[ ]5 ,2[ YX
]8 ,20[8}] ,5{maks },20,2[min{ YX
}] ,maks{ }, ,min{[
0dan 0
yxyxyxyx
YXZ
yyxx
9). y yx x0( )( )
Y X
Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX
Akan bernilai negatif sehingga tak mungkin menjadi
batas maksimum
Akan bernilai positif sehingga tak mungkin menjadi
batas minimum
Contoh dan Penjelasan
103
Kebalikan Interval
Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai
} :/1{1
XxxX
Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka
]/1 ,/1[1
xxX
Contoh: X = [2, 10] 1/X = [0.1, 0.5]
Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0, kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain.
Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.
104
Pembagian Interval
Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara X dengan kebalikan Y.
]/1 ,/1[] ,[1
xxxxY
XY
X
Contoh: X = [4, 10], Y = [2, 10]
X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]
105
Sifat-Sifat Aritmatika Interval
106
Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi-operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan
biasa yang sudah kita kenal.
Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika
interval. Ternyata memang demikian.
Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang sangat menyolok.
107
} , :{ YyXxyxYX
} , :{ YyXxxyYX
Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan sebagai
Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.
XYYXZYXZYX ;)()(
YXXYZXYYZX ;)()(
108
Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi:
[0, 0] dan [1, 1]
yang dituliskan sebagai 0 dan 1
Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X·1
Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam aritmatika interval:
X X 0 dan X / X 1 jika w(X) > 0
]1 ,1)[(] ,[ XwxxxxXX
0 jika ]/ ,/[/
0 jika ]/ ,/[/
XxxxxXX
XxxxxXX
109
Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah:
X (Y + Z) = XY + XZ
Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:
1) Jika Y dan Z adalah interval simetris;
2) Jika YZ > 0
Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:
[0, 1] (1-1) = 0
tetapi
[0, 1] [0, 1] = [1, 1]
110
Kuliah Terbuka
Aritmatika Interval
Sudaryatno Sudirham
111