Sudaryatno Sudirham

1

Sudaryatno Sudirham

Kapita Selekta MatematikaMatriks

Sistem Persamaan LinierBilangan Kompleks

Permutasi dan KombinasiAritmatika Interval

Matriks

2

Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.

Contoh:

123

421

302

baris

kolomNama matriks: huruf besar cetak tebal,

123

421

302

A

203

142B

Contoh:

Notasi:

Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks.

Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.

3

Elemen Matriks

Isi suatu matriks disebut elemen matriks

Contoh:

203

142B

2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris

2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom

Ukuran Matriks

Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari bk elemen-elemen

Ukuran matriks dinyatakan sebagai bk

Contoh:

203

142B adalah matriks berukuran 23

4

123

421

302

A

b = k = 3 matriks bujur sangkar 33

Nama Khusus

Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar.

Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom.

Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris.

Matriks dengan b k disebut matrik segi panjang

Contoh:

203

142B

b = 2, k = 3 matriks segi panjang 23

4

2p k = 1

vektor kolom 423q b = 1 vektor baris

Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal

5

Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai

bk

mnmm

n

n

a

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A

elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama

Diagonal Utama

6

Matriks Segitiga

Contoh:

Matriks segitiga bawah :

343

011

002

1T

Matriks segitiga atas :

300

310

122

2T

Ada dua macam matriks segitiga yaitu

matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas

Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

7

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh:

000

010

002

D

8

Matriks Satuan

Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.

Contoh:

IA

100

010

001

Matriks Nol

Matriks nol, 0, yang berukuran mn adalah matriks yang berukuran mn dengan semua elemennya bernilai nol.

9

Anak matriks atau sub-matriks

203

142B

142 203- Dua anak matriks 1 3 , yaitu:

3

2

0

4

2

1- Tiga anak matriks 2 1, yaitu:

- Enam anak matriks 1 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];

- Enam anak matriks 1 2 yaitu: 42 12 14

03 23 20

03

42

23

12

20

14- Tiga anak matriks 22 yaitu:

Contoh:

Matriks B memiliki:

10

Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor

123

421

302

A

3

2

1

a

a

a

A dapat kita pandang sebagai matriks

dengan anak-anak matriks berupa vektor baris

3021 a 4212 a 1233 a

dapat kita pandang sebagai matriks 321 aaaA

3

1

2

1a

2

2

0

2a

1

4

3

3a

dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom

Contoh:

Contoh yang lain:

123

421

302

A

11

Kesamaan Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.

A = B

03

42AJika

03

42B maka haruslah .

Contoh:

12

Matriks Negatif

Negatif dari matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (1). .

Contoh:

03

42A

03

42A

13

Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan

untuk matriks yang berukuran sama

Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran mn adalah sebuah matriks C berukuran mn yang elemen-

elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama

ABBA

CBACBA

03

42 A

22

31B

Jika

25

73BAmaka

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

Contoh:

14

Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif

A0A

0AAAA )(

03

42 A

22

31B

21

11

22

31

03

42BA

Contoh:

15

Perkalian Matriks

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A

BAAB

16

pqmp

q

q

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

B

Jadi jika matriks A berukuran mn dan B berukuran pq

maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p.

Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran mq dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor

baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B

Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.

Perkalian matriks tidak komutatif.

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang seluruh elemennya bernilai a kali.

aA = Aa

646

462

244

2

323

231

122

323

231

122

2

Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

BABA aaa

AAA baba

AA abba

Contoh:

17

Perkalian Internal Vektor (dot product)

32a

3

4bvektor baris: vektor kolom:

.

Contoh:

2 kolom

2 baris

Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris

vektor b.

Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.

1733423

4 32

bac

Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda

96

128

3323

342432

3

4abd

perkalian internal dapat dilakukan

Perkalian matriks tidak komutatif. 18

Perkalian Matriks Dengan Vektor

43

12A

3

2bMisalkan dan

dapat dikalikan 2 kolom

2 baris

18

7

3423

3122

2

1

2

1

ba

bab

a

aAbC

Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

Contoh:

19

Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar

43

12A

35

24B dan

Contoh:

dapat dikalikan kolom = 2

baris = 2

Matriks A kita pandang sebagai

2

1

a

aA

Matriks B kita pandang sebagai 21 bbB

1832

713

34235443

31225142

2212

211121

2

1

baba

bababb

a

aABC

20

Perkalian dua matriks persegi panjang

231

342A

32

34

21

B dan

dapat dikalikan kolom = 3

baris = 3

1717

2525

323321224311

333422234412

32

34

21

231

342ABC

Contoh:

21

2

1

a

aA 21 bbB

2212

211121

2

1 baba

bababb

a

aABC

Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah

,

sehingga

.

Dalam operasi perkalian matriks:

matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris

matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom

Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom

22

BAABBA aaa

CABBCA

BCACCBA

CBCABAC

Sifat-sifat perkalian matriks

b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB BA

a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan

Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.

c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.

23

Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-

kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT

bk

mnmm

n

n

a

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A

pq

mnnn

m

m

a

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

TA

Jika

maka

24

Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom.

Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.

3

4

2

342 Taa

345

3

4

5T

bb

Contoh:

25

Putaran Jumlah Dua Vektor Baris

Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor

231dan 342 ba

573ba

TTT

2

3

1

3

4

2

5

7

3

baba

TTT baba

Jika

maka

Secara umum :

Contoh:

26

Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran

masing-masing dengan urutan dibalik

2

3

1

dan 342 ba

233412 ab

Jika

maka

Contoh:

TTT

3

4

2

231233412 abab

27

Contoh:

Jika 231dan

3

4

2

ba

maka

233313

243414

223212

ab

TTT 342

2

3

1

232422

333432

131412

abab

Secara umum :

TTT abab

28

Contoh:

Putaran Matriks Persegi Panjang

231

342A

23

34

12TAJika maka

ma

a

A 1

TT1

TmaaA

Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris

maka

maaaA 21Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom

ma

a

A 1

T maka

29

Putaran Jumlah Matriks

Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks.

Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.

TTT BABA

maaA 1 mbbB 1

mm babaBA 11

Jika

Dengan demikian

dan

maka

TT

T

T1

T

T1

TT

T1

T1

T

T11

T BA

b

b

a

a

ba

ba

ba

ba

BA

mmmmmm

30

Putaran Hasil Kali Matriks

Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat

pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.

TTT ABAB

ma

a

A 1

nbbB 1

nmnm

n

baba

baba

AB

111

Jika dan

maka

TT1

1111T ABaa

b

b

baba

baba

AB

m

nnmnm

n

Dengan demikian maka

31

Matriks Simetris

Jika

dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring.

BB T

Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila

AA T

Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika

elemen diagonal utamanya bernilai nol.

Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.

32

Sistem Persamaan Linier

33

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak

diketahui. Bentuk umum:

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxa

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.

Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.

Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun

bernilai nol Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan

tersebut disebut sistem persamaan homogen

34

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem

persamaan tersebut.

Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.

Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:

a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?

b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?

c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?

35

Operasi Baris

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxa

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut:

a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.

c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.

b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.

36

Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks

atau secara singkat bAx

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

; ; bxA

dengan

37

Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

|

|

|

|

~

21

222221

111211

A

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut

a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.

b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.

c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.

38

Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.

Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi

dan yang terakhir inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.

Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris

dengan matriks gandengan asalnya.

Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan

matriks gandengan asalnya.

39

Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.

Suatu sistem persamaan linier:

Contoh:

0234

8253

024

8

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:

0

8

0

8

2341

2531

0241

0011

D

C

B

A

x

x

x

x

40

Matriks gandengnya

adalah:

0|2341

8|2531

0|0241

8|0011

Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.

1) baris (

1) baris (

baris1) (

pivot

8|2330

0|2520

8|0230

8|0011

Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

41

Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

8|2330

0|2520

8|0230

8|0011

2) (-baris

2) baris 2/3(

(pivot)

0|2100

3/16|23/4500

8|0230

8|0011

42

Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat

0|2100

3/16|23/4500

8|0230

8|0011

0|2100

16|61100

8|0230

8|0011

43

0|2100

16|61100

8|0230

8|0011

Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

3 baris 11

pivot

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

44

Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:

1616

16611

823

8

D

DC

CB

BA

x

xx

xx

xxyang dengan substitusi mundur akan memberikan:

12 ; 4 ; 2 ; 1 ABCD xxxx

Hasil terakhir langkah ketiga adalah:

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:

16

16

8

8

16000

61100

0230

0011

D

C

B

A

x

x

x

x

45

Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu

Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.

Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.

Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.

Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.

46

Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi

823

024

8

CB

CBA

BA

xx

xxx

xx

Matriks gandeng:

8|230

0|241

8|011

Eliminasi Gauss:

8|230

8|230

8|011

0|000

8|230

8|011

Contoh:

47

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :

00

823

8

CB

BA

xx

xx

3/)28( CB xx Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan

3/)28(8 CA xx yang kemudian memberikan

Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu

48

Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi

1023

024

8

CB

CBA

BA

xx

xxx

xx

Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

10|230

0|241

8|011

10|230

8|230

8|011

2|000

8|230

8|011

Contoh:

49

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah

20

823

8

CB

BA

xx

xx

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita

lihat pada baris terakhir.

Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

50

Bentuk Eselon

Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.

000

230

011

2|000

8|230

8|011

dan

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

m

r

rrnrr

n

n

b

b

bkk

bcc

baaa

|0

|

|0

|

|

|0

|

1

2222

111211

Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah

51

dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk

m

r

rnrnrrr

nn

nn

b

b

bxkxk

bxaxc

bxaxaxa

0

0

1

22222

11212111

dengan 0 , 0 ,0 2211 rrkaa , dan r n

a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

nr mr bb ,,1

nr mr bb ,,1

nr nr mr bb ,,1

Perhatikan bentuk ini:

52

Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika

sama dengan nol atau tidak ada.

mr bb ,,1

Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika . nr

Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks

gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.

nr Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.

53

Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor

Misalkan maaa , , 21 adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].

Kita tinjau suatu persamaan vektor

02211 mmccc aaa

Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris

tersebut adalah bebas linier.

Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya

setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.

54

Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat

dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas

semua koefisien bernilai nol untuk dapat dipenuhi.

Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai

01

21

21 m

m

c

c

c

caaa

karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol

Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya

sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain.

55

Contoh: Dua vektor baris 21321 a 26242 a dan

Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena

026242132 212211 cccc aa

hanya akan terjadi jika 021 cc

Ambil vektor ketiga 42643 a

Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

4264213222 13 aa

Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

42642624 02132 202 213 aaa

Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.

56

Rank Matriks Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks.

Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A.

Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.

Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks baru sama dengan rank matriks

asalnya.

Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui

operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss.

Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas

linier telah tereliminasi.

Bagaimana menentukan rank suatu matriks?

57

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal

dalam contoh, adalah

16000

61100

0230

0011

16|16000

16|61100

8|0230

8|0011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks

sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4

Contoh:

58

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi,

adalah

Contoh:

000

230

011

0|000

8|230

8|011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank

matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.

59

Contoh:

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak

memberikan solusi, adalah

000

230

011

2|000

8|230

8|011

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks

koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari

kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.

60

Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.

c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.

a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;

b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;

61

Sistem Persamaan Homogen

Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk

0

. . . . . . . . . . .

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah

0|

|

0|

0|

~

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

62

Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan

0|000

|

0|0

0|

~ 222

11211

mn

n

n

a

aa

aaa

A

Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem

persamaan akhirnya akan berbentuk

0

0

0

2222

1212111

nmn

nn

nn

xa

xaxa

xaxaxa

Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .

0nx

nr

63

Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial

0234

0253

024

0

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah

0|2341

0|2531

0|0241

0|0011

0|16000

0|61100

0|0230

0|0011

Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi

016

0611

023

0

D

DC

CB

BA

x

xx

xx

xx0 ABCD xxxxyang akhirnya memberikan

Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan

nr

Contoh:

64

Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial

06134

0253

024

0

DCBA

DCBA

CBA

BA

xxxx

xxxx

xxx

xx

Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah

Contoh:

0|61341

0|2531

0|0241

0|0011

0|0000

0|61100

0|0230

0|0011

eliminasi Gauss:

Sistem persamaan menjadi

00

0611

023

0

DC

CB

BA

xx

xx

xx

65

1Dx

33

12 ;

33

12 ;

11

6 ABC xxx

Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh

.

Solusi ini membentuk vektor solusi

1

11/6

33/12

3312

1

/

x

yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0

0

0

0

0

1

6/11

12/33

12/33

0000

61100

0230

0011

1Ax

66

Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu

33Dx

12 33

33

18

12

12

xx

Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol

Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk

1xx cc

dengan c adalah skalar sembarang

67

Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi,

misalnya x1 dan x2.

111213 3433

33

18

12

12

1

11/6

33/12

33/12

xxxxxx

Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi

yang kita nyatakan sebagai

cj xx

68

Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n r), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan

rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak diketahui adalah 3

sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.

Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang

seluruhnya dapat diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-

vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.

Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali

skalar dengan vektor x1 .

69

Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2

04107

0254

0254

0

DCBA

DCBA

DCBA

BA

xxxx

xxxx

xxxx

xxContoh:

Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah

0|41071

0|2541

0|2541

0|0011

0|0000

0|0000

0|2530

0|0011

Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi

00

00

0253

0

DCB

BA

xxx

xx

70

0dan 1 DC xx

5/3 ; 3/5 AB xx

Jika kita memberi nilai

kita akan mendapatkan

.

0

1

3/5

3/5

1x adalah salah satu vektor solusi

Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor

0b

0

0

0

0

0

0

0550

3/53/5

0

1

3/5

3/5

0000

0000

2530

0011

1Ax

71

Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan

0xA 11k 0xA 12k

,

dan 0)( 111211211 xAxAxAxA ckkkk

Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka

)( , , 12111211 xxxx kkkk adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai .

0dan 1 DC xx

72

1dan 0 DC xx 3/2Bx

3/2Ax

Jika akan kita peroleh

dan yang membentuk vektor solusi

1

0

3/2

3/2

2x

Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti

)( , , 22212221 xxxx llll

Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah

21 xxx lk

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.

73

Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui dan rank

matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n r).

74

Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan

Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan untuk

matriks bujur sangkar n n.

Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A

akan menghasilkan matriks identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A1 sehingga definisi ini memberikan

relasi11 AAIAA

Jika A berukuran n n maka A1 juga berukuran n n dan demikian pula matriks identitasnya.

75

Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain

kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal.

Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan

hal ini hanya mungkin terjadi jika P = Q.

QQIAPQQAPPAQIPP )()(

Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut

matriks tak singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.

76

Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien A ada, atau jika matriks A tak singular.

Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana

mencari kebalikan matriks A jika ia tak singular.

Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak

homogen, yaitu

bAx

Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh

bAxIxbAAxA 111

77

Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A1 sama dengan n. Dengan perkataan

lain matriks A yang berukuran n n tak singular

jika rank A = n

dan akan singular jika rank A < n.

Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan

Ax = b.

IAX

Jika X adalah kebalikan matriks A maka

78

IAA ~

HU

HU

XI

Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan

A~

Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada

matriks gandengan ini berubah menjadi

dengan U berbentuk matriks segitiga atas.

yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I.

Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada

Langkah akhir ini akan menghasilkan

79

Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks

142

223

221

A

Kita bentuk matriks gandengan IA

100|142

010|223

001|221

IA

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini

1 baris 2

1 baris3

pivot

102|580

013|480

001|221

80

2 baris

pivot

111|100

013|480

001|221

Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan

)8/1(

111|100

08/18/3|2/110

001|221

baris35.0

3 baris2

111|100

2/18/58/7|010

223|021

2 baris2

111|100

2/18/58/7|010

18/68/10|001

81

Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu

111

2/18/58/7

18/68/101A

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya

0

0

8

142

223

221

3

2

1

x

x

x

vektor solusinya adalah

8

7

10

0

0

8

111

2/18/58/7

18/68/10

0

0

8

142

223

221

1

3

2

1

x

x

x

82

Kebalikan Matriks Diagonal

Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.

nnnn a

a

a

a

/100

00

00/1

00

00

00 111

11

Kebalikan Dari Kebalikan Matriks

Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.

AA 11

83

Kebalikan Dari Perkalian Matriks

Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan

dibalik. 111 ABAB

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut

1 ABABI

111111

11

111111

ABABIABBBAB

ABBA

ABIBABBAAABABAIA

84

Bilangan Kompleks

85

86

Definisi

Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks sebagai berikut

Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan

),( yxz

yzxz Im Re

Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan

nyata.

kita tuliskan

bagian nyata (real part) dari z

bagian khayal (imaginary part) dari z

87

Bilangan Nyata

Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata yang hanya dapat di angankan seperti . Walaupun hanya dapat diangankan, bilangan ini tetap nyata,

nilainya adalah 3,14……., dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya.

Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata,

| | | | | | | |

-2 -1 0 1 2 3 4 5

m

88

Tinjaulah suatu fungsi xy

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatifnamun untuk x yang negatif dapat didefinisikan

suatu bilangan imajiner (khayal)

j 1

89

Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata, misalnya

seterusnya dan 11010

155

maka bilangan imajiner j = 1 menjadi satuan dari bilangan imajiner, misalnya

seterusnya dan 99 imajiner

3 3 imajiner

2 2 imajiner

j

j

j

90

Pernyataan Bilangan Kompleks

Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan

jbaz

bagian nyata

bagian imajinerbilangan kompleks

91

Bilangan kompleks dapat digambarkan di bidang kompleks

yang dibatasi oleh sumbu nyata (diberi tanda Re) dan sumbu imajiner (diberi tanda Im)

yang saling tegaklurus satu sama lain

setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks (x,,y)

dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya

92

a Re

Im

jb

cosa

sinb

)sin(cos jz

disebut argumen

disebut modulus

a

bz 1tan arg

22 modulus baz

)sin(cos22 jbaz

jbaz

Diagram Argand

93

CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

431 jz

Sudut dengan sumbu nyata adalah

o11 1,53)3/4(tan

Pernyataan z1 dapat kita tuliskan

oo

oo221

1,53sin1,53cos5

1,53sin1,53cos43

j

jz

94

CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

oo2 20sin20cos10 jz

Pernyataan ini dapat kita tuliskan

4,34,9)34,094,0(10

20sin20cos10 oo2

jj

jz

95

Kesamaan Bilangan Kompleks

22 ba merupakan nilai mutlakModulus

Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai yang sama akan tetapi dengan sudut yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai sama akan tetapi memiliki yang berbeda. Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka mempunyai baik maupun yang sama besar.

Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar..

96

Negatif dari Bilangan Kompleks

Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua

komponennyajbaz jbaz Jika mak

a

jbaz

Re

Im

a

jb

jbaz

o180

97

CONTOH

o11 3,56)4/6(tan

ooo2 3,2361803,56

Sudut dengan sumbu nyata

z1 dapat dinyatakan sebagai

oo

oo221

3,56sin3,56cos2,7

3,56sin3,56cos64

j

jz

696,383,055,02,7

)1803,56sin()1803,56cos(2,7 oooo1

jj

jz

641 jz Jika 6412 jzz maka

98

Konjugat Bilangan Kompleks

Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z*

yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.

jbazjbaz maka Jika

jbaz

Re

Im

jb

jb

a

jbaz

99

CONTOH:

65 jz Jika 65 jz maka

Sudut dengan sumbu nyata

o1 2,50)5/6(tan

o2,50

z dapat dinyatakan sebagai

oo

oo22

2,50sin2,50cos8,7

2,50sin2,50cos65

j

jz

oo 2,50sin2,50cos8,7 jz

65* jz

Re

Im

65 jz

100

CONTOH:


65 jz

Re

Im

65 jz


65 jz

Re

Im

65 jz

101

Operasi-Operasi Aljabar

102

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah

komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.

Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih

komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.

)()(

)()(

2121

221121

bbjaa

jbajbazz

)()(

)()(

2121

221121

bbjaa

jbajbazz

103

CONTOH:

43dan 32 21 jsjs

75

)43()32(21

j

jjss

11

)43()32(21

j

jjss

Diketahui

104

Perkalian Bilangan Kompleks

212121

21212121

221121

2

))(())((

bbajbaa

bbajbajbaa

jbajbazz

Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen

22

22

11

))((

ba

bjbajbaa

jbajbazz

12 zzJika

Perhatikan: 22

222

22111

baba

jbazzz

105

CONTOH:43dan 32 21 jzjz

176

12986

)43)(32())(( 21

j

jj

jjzz

CONTOH: 32dan 32 121 jzzjz

1394

9664

)32)(32())(( 11

jj

jjzz

1394322

222111 zzz

106

Pembagian Bilangan Kompleks

Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan

1

122

22

jba

jba

CONTOH: 43dan 32 21 jzjz

25

1

25

18

43

)98()126(

43

43

43

3222

2

1 jj

j

j

j

j

z

z

22

22

12212121

22

22

22

11

2

1

)()(

ba

ababjbbaa

jba

jba

jba

jba

z

z

107

Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar

108

Fungsi Eksponensial Kompleks

Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial xey

merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata

Jika z adalah bilangan kompleks jz

fungsi eksponensial kompleks didefinisikan

riil` aleksponensi fungsiadalah dengan

; )sin(cos)(

e

jeee jz

Melalui identitas Euler sincos je j

fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan jz eee

109

Bentuk PolarRepresentasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah jez

zzarg

Re

Im

jez

CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya z = 0,5 rad

Bentuk sudut sikunya adalah:

8,48,8)48,088,0( 10

)5,0sin5,0(cos 10

jj

jz

Re

Im

5,05 jez

rad 5,010

110

CONTOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4

543 || 22 zModulus

Argumen rad 93,03

4tan 1 z

Representasi polar z = 5e j0,93

Re

Im

93,05 jez

rad 93,0

5

111

CONTOH:

Misalkan 02 jz

Modulus 204 || z

Argumen 2/0tan 1 tidak bernilai tunggal

Di sini kita harus memilih = rad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata 2

Re

Im

jez 2

2

112

CONTOH

Misalkan 20 jz

Modulus 240 || z

Argumen 2/0/2tan 1

komponen nyata: 0 komponen imajiner: 2

Representasi polar adalah

2/2 jez

.

Re

Im

2/2 jez2j

113

Manfaat Bentuk Polar

114

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks

Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.

)(21

2121

21

21

))((

j

jj

e

eezz )(

2

1

2

1

2

1 21

2

1

jj

j

ee

e

z

z

CONTOH:

Misalkanz1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e j0,4

9,04,05,021 50510 jjj eeezz

1,04,0

5,0

2

1 25

10 jj

je

e

e

z

z

115

Konjugat Kompleksargumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya

Re

Im jez

jez

*

**

*

* atau ||*))((

2

1

2

1

2121

2

**

z

z

z

z

zzzz

ss|z|zzz

Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai

berikut

116

CONTOH:4,0

25,0

1 5dan 10 jj ezez

25

100 10 10

22

5,05,011

zz

eezz jj

9,04,05,0

9,09,04,05,021

505 10

0505 5 10jjj

jjjj

eee

eeeezz

1,0

4,0

5,0

1,01,04,0

5,0

2

1

2 5

10

052 5

10

jj

j

jjj

j

ee

e

eee

e

z

z

Misalkan

Permutasi dan Kombinasi

117

Permutasi

118

Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponenyang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap

kelompok urutan komponen diperhatikan

Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya

terdiri dari 2 huruf

Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah

BAAB dan diperoleh 2 kelompok

Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati posisi pertama yaitu A atau B

Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B

Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A

119

Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah:

ACB

ABC

BCA

BAC

CBA

CAB diperoleh 6 kelompok

Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamatinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua

Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua

maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi terakhir yaitu posisi ketiga

Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah

6123 Jumlah kemungkinan

komponen yang menempati posisi pertama Jumlah kemungkinan

komponen yang menempati posisi kedua

Jumlah kemungkinan komponen yang

menempati posisi ketiga

120

Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf

ada 24 kelompok

Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1

ABCD BACD CDAB DABCABDC BADC CDBA DACBACBD BCAD CABD DBCAACDB BCDA CADB DBACADCB BDAC CBAD DCABADBC BDCA CBDA DCBA

jumlah kelompok yang mungkin dibentuk

4321=24 kelompokyaitu:

121

Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun dari n komponen

yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah

!1.........)2()1( nnnn

Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n!dan kita tuliskan

!nPnn Kita baca : n fakultet

Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,

tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masing-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n

kn P

Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan

122

Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah

123424 P

Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3.

Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.

Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan

1212

123424

P

123

Secara Umum:

)!(

!

kn

nPkn

Contoh:

30561234

123456

)!26(

!626

P

Contoh:

360345612

123456

)!46(

!646

P

124

Kombinasi

125

Kombinasi merupakan pengelompokan sejumlah komponen yang mungkin dilakukan

tanpa mempedulikan urutannya

Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu

ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA

namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu

ABC

karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan

ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA

126

Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan

jumlah permutasi nPk

dibagi dengan permutasi k

Kombinasi k dari sejumlah n komponen dituliskan sebagai nCk

Jadi! )!(

!

! kkn

n

k

PC kn

kn

127

Contoh:

Berapakah kombinasi dua-dua dari empat hurufA, B, C, dan D

61212

1234

!2)!24(

!4

!224

24

P

C

yaitu:

Jawab:

AB

AC

AD

BC

BD

CD

128

Contoh Aplikasi

Distribusi Maxwell-Boltzman

Distribusi Fermi-Dirac

129

Distribusi Maxwell-Boltzman

Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja

dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi

Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit; kita sebut

dst. 321 EEE

130

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada

dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah

dst.

elektron terdapat di



33

22

11

nE

nE

nE

maka jumlah cara penempatan elektron di E1 merupakan permutasi n1 dari N yaitu

)!(

!

11 1 nN

NPP Nn

131

Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari (Nn1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1

)!(

)!(

21

1)(2 12 nnN

nNPP nNn

)!(

)!(

321

21)(3 213 nnnN

nnNPP nnNn

dst.

Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari (Nn1n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2

132

Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara

satu elektron dengan elektron yang lain

Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari N yaitu

!)!(

!

!n

1111

1

nnN

NPC Nn

Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.

!)!(

)!(

!)!(

221

1

21

)(2

12

nnnN

nN

nN-n

PC nNn

!)!(

)!(

!)!(

3321

21

3331

)(3

213

nnnnN

nnN

nnnnN

PC nnNn

dst.

133

Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability

Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst.maka probabilitas tingkat-tingkat energi

dst.

elektron ditempati

elektron ditempati

elektron ditempati

33

22

11

nE

nE

nE

adalah

dst.

333

222

111

3

2

1

CgF

CgF

CgF

n

n

n

Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron seperti di atas adalah:

!.....!!

............... ....

321

321321321321

321

321

nnn

gggCCCgggFFFF

nnnnnn

Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann

134

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian

permutasi dan kombinasi

Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini di buku-e

“Mengenal Sifat Material”

135

TkEii

BiegZ

Nn /

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann

Jumlah elektron pada tingkat energi Ei

temperatur

konstanta Boltzmann

tingkat energi ke-i

probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i

fungsi partisi

i

Ei

iegZ

136

Distribusi Fermi-Dirac

Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut

dst. 321 EEE

Setiap tingkat energi mengandung sejumlah tertentu status kuantum

dan tidak lebih dari dua elektron berada pada status yang sama.

Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat

energi yang bersangkutan

Yang berarti menunjukkan jumlah elektron yang mungkin berada di suatu

tingkat energi

137

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,

yaitu

dst.




33

22

11

nE

nE

nE

138

Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah:

Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak membicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tidak menyangkut


Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst

!)!(

!

111 nnN

NC

!)!(

)!(

221

12 nnnN

nNC

!)!(

)!(

3321

213 nnnnN

nnNC

dst.

Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untuk menempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi

)!(!

!

111

11 ngn

gF

!)!(

!

222

22 nng

gF

!)!(

!

333

33 nng

gF

dst.

i iii

ii ngn

gFFFFF

)!(!

!...321

139

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian


Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e

“Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga

140

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac

1/)(

TkEEi

iBFie

gn

Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T 0

0)(untuk

0)(untuk 0lim /)(

0

Fi

FiTkEE

T

EE

EEe BFi

Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkat energi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat

elektron di atas EF

EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.

141

Aritmatika Interval

142

Pengantar

Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.

Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi interval.

143

Cakupan Bahasan

Pengertian-Pengertian Interval

Operasi-Operasi Aritmatika Interval

Sifat-Sifat Aritmatika Interval

144

Pengertian-Pengertian Interval

145

Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan

Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *)

*) Lihat pula “Fungsi dan Grafik”

Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan

Contoh:Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan

yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri (interval tertutup).

146

Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

)}(:{ xpxS

menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk

menentukan apakah x benar merupakan elemen dari S

atau tidak

menunjukkan kumpulan yang kita tinjau

menunjukkan sembarang elemen

dari S

147

Contoh

}11090 ,:{ xRxxS

R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata

11090 ,)( xRxxp

148

Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara dan +

kita tuliskan

} ,, , ,:{ baRbabxaRxxX

Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi-operasi interval

Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval.

Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan hanya dengan batas-batas interval.

Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batas-

batas intervalnya.

149

],[ xxX

Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut

kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval.

Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan batas atas (nilai maksimum) kita tuliskanx

0(x )

interval Xbatas bawah batas atas

x

150

Suatu interval mengalami degenerasi jika

dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate.

Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi)

suatu bilangan nyata.

xx

151

Degenerasi

Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata

xxXw )(

]15 ,6[X 9615)( Xw

Contoh:

(0

)x

w(X)

x

152

Lebar Interval

Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah

2/)()( xxXm

Contoh:

}10 ,4{X 72/)104()( Xm titik tengah

Contoh:

}10 ,4{X

radius interval X adalah w(X)/2 = (104)/2 = 3.

Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval

2/)(Xw

153

Titik Tengah

Radius

Kesamaan

Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.

],[ xxX ],[ yyY Jika dan

YX yxyx dan maka jika dan hanya jika

Urutan

Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, yx

Contoh

X = {6, 10} dan Y = {13, 18}

X < Y.

0(x

) ( )X Yx y y

Dalam contoh ini w(X) < w(Y)

154

Nilai Absolut

Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya

} , max{ xxX

Contoh

X = {8, 4}

8} 4 , 8 max{ X

155

Jarak

Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya

|}| , |max{|),( yxyxYX

Contoh

X = {2,6}, Y = {8,18}

12|}186||,82max{| ),( YX

0( )x

( )

X Y

xy xy

x yy

Di sini

|||| yxyx

156

Simetri

Suatu interval X disebut simetris jika xx

Contoh: X = {5, 5}

0(x )

X

x

Interval simetris mengandung elemen bernilai 0.

Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.

Ia bukan degenerate interval.

157

Irisan

Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval.

Irisan antara interval X dan interval Y adalah

}],min{ },,[max{ yxyxYX

Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18} 9] ,6[YX

0(x )( )

X Y

y x y

YX

Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval

Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.

158

Gabungan

Gabungan antara interval X dan Y adalah

}]maks{ },,[min{ y,xyxYX

Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18] 18] ,2[YX

0(x )( )

X Y

y x y

YX

Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval.

Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya

gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.

159

Inklusi

Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika

)()(dan YwXwYX atau

YX yxxy dan jika dan hanya jika

Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16} YX

0(x )( )

X

Y

xy y

b). X ={5, 2} dan Y = {7, 7}

0(x )( )

X

Y

y x y

160

Operasi-Operasi Aritmatika

161

Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu:

Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut interval positif.

Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut interval negatif.

Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif termasuk nol.

Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif,

sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.

162

Penjumlahan dan

Pengurangan

163

Penjumlahan

Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai

} , :{ YyXxyxYX

Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval

Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan

adalah jumlah dari batas atas

Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.

] ,[ yxyxYX

164

X+Yyx yx

0(x ) ( )

X Y

( )x y y

] ,[ yxyxYX

Jumlah interval juga merupakan interval.

],[ yyY Jika dan , maka],[ xxX

tidak merupakan sebuah interval karena X < Y.

X dan Y adalah dua interval yang terpisah.

YX Penjumlahan berbeda dengan penggabungan.

Penggabungan dua interval tidak selalu menghasilkan suatu interval.

165

Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}

X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]

Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan.

Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan

biasa.

Perbedaan penjumlahan dan gabungan

Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6] 6] ,2[YX

10] ,5[YX

0(x

)( )

X Y

y x y

YX

(z )z

YX

166

Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai

} ,{ XxxX

yang dapat kita tuliskan

] ,[] ,[ xxxxX

0(x )

X

) x

(

X

x x

Batas atas X adalah x

Batas bawah X adalah x

167

Contoh: a). X = [2, 6] X = [6, 2]

0(x )

X

) x

(

X

x x

b). X = [2, 6] X = [6, 2]

0(x

)

X

) x

(

X

x x

168

Pengurangan

Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X dengan

negatif interval Y

] ,[],[],[ yxyxyyxxYX

Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]

X Y = [2, 6] [7, 12] = [2 12, 6 7] = [10, 1]

XY

0(x ) ( )

X Y( )( )

y y x y y

yx yx

Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan X Y merupakan interval negatif.

169

Perkalian dan

Pembagian

170

Perkalian Interval

Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai

} , :{ YyXxxyYX

yang dapat dituliskan

} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX

Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah

maupaun batas atas dari interval hasil kali.

Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada

sumbu bilangan nyata

171

Pada interval X selalu dipenuhi relasi xx maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisix x

0x 0x jika maka

0x 0atau 0 xx jika maka

Demikian juga pada interval Y

0y 0y jika maka

0y 0atau 0 yy jika maka

172

Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu:

interval positif kali interval positif

interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya

interval negatif kali interval positif dan sebaliknya

interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya

interval negatif kali interval negatif

perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol

173

Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah:

] ,[

0dan 0

yx yxYXZ

yx

x y y0( )x

( )X Y

1).

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yx

3).

x y y0( )x

( )X Y

] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yxx

2). x y y0

( )x

( )X Y

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yyx

4).

x y y0( )x

( )X Y

174

6). ] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yx

yy x x0

( ) ( )Y X

] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yyx

7).yy x x0

( ) ( )Y X

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yxx

y y x x0( ) ( )

Y X8).

}] ,maks{ }, ,min{[

0dan 0

yxyxyxyx

YXZ

yyxx

9). y yx x0( )( )

Y X

5). ] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yx

x y y 0

( )x

( )X Y

175

Contoh dan Penjelasan

]6 ,4[ ]3 ,1[ YX

]18 ,4[YX

Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas sedang

batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.

Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil

bilangan positif.

] ,[

0dan 0

yx yxYXZ

yx

x y y0( )x

( )X Y

1).

} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX Formula umum:

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

176

]8 ,4[ ]2 ,1[ YX

]16 ,8[ YX

] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yxx

2). x y y0

( )x

( )X Y

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang

lain (yang positif).

Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.





177

]4 ,1[ ]1 ,3[ YX

]1 ,12[ YX

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali

batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.

Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yx

3).

x y y0( )x

( )X Y





178

]3 ,1[ ]2 ,4[ YX

]4 ,12[ YX

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yyx

4).

x y y0( )x

( )X Y

Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas

bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.

Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.





179

]1 ,4[ ]5 ,7[ YX

]82 ,5[YX

Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas.

Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.

5). ] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yx

x y y 0

( )x

( )X Y



Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar

yang bisa dicapai

180

]1 ,3[ ]4 ,1[ YX

]1 ,12[ YX

6). ] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yx

yy x x0

( ) ( )Y X

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas

bawah interval negatif dan batas atas interval positif.

Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif





181

]1 ,3[ ]5 ,2[ YX

]5 ,15[YX

] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yyx

7).yy x x0

( ) ( )Y X

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah

interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif).

Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.





182

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yxx

y y x x0( ) ( )

Y X8).

]2 ,5[ ]3 ,1[ YX

]5 ,15[YX

Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas

bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.

Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.





183

]1 ,4[ ]5 ,2[ YX

]8 ,20[8}] ,5{maks },20,2[min{ YX

}] ,maks{ }, ,min{[

0dan 0

yxyxyxyx

YXZ

yyxx

9). y yx x0( )( )

Y X

Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum

} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX

Akan bernilai negatif sehingga tak mungkin menjadi

batas maksimum

Akan bernilai positif sehingga tak mungkin menjadi

batas minimum


184

Kebalikan Interval

Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai

} :/1{1

XxxX

Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka

]/1 ,/1[1

xxX

Contoh: X = [2, 10] 1/X = [0.1, 0.5]

Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0, kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain.

Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.

185

Pembagian Interval

Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara X dengan kebalikan Y.

]/1 ,/1[] ,[1

xxxxY

XY

X

Contoh: X = [4, 10], Y = [2, 10]

X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]

186

Sifat-Sifat Aritmatika Interval

187

Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi-operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan

biasa yang sudah kita kenal.

Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika

interval. Ternyata memang demikian.

Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang sangat menyolok.

188

} , :{ YyXxyxYX

} , :{ YyXxxyYX

Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan sebagai

Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.

XYYXZYXZYX ;)()(

YXXYZXYYZX ;)()(

189

Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi:

[0, 0] dan [1, 1]

yang dituliskan sebagai 0 dan 1

Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X·1

Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam aritmatika interval:

X X 0 dan X / X 1 jika w(X) > 0

]1 ,1)[(] ,[ XwxxxxXX

0 jika ]/ ,/[/

0 jika ]/ ,/[/

XxxxxXX

XxxxxXX

190

Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah:

X (Y + Z) = XY + XZ

Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:

1) Jika Y dan Z adalah interval simetris;

2) Jika YZ > 0

Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:

[0, 1] (1-1) = 0

tetapi

[0, 1] [0, 1] = [1, 1]

191

Kapita Selekta Matematika Sudaryatno Sudirham

192

Sudaryatno Sudirham

Documents

Transcript of Sudaryatno Sudirham