SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL...

Seminar Nasional Sains dan Teknologi Nuklir 2013 PTNBR – BATAN Bandung, 12 Juni 2013

Tema: Pemanfaatan Sains dan Teknologi Nuklir di Bidang Kesehatan, Lingkungan dan Industri untuk

Pembangunan Berkelanjutan

588

SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL SIKLOTOMIK

Euis Hartini1, Edi Kurniadi2

1,2Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung Sumedang KM 21 Jatinangor 45363

[email protected], [email protected]

ABSTRAK

SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL SIKLOTOMIK. Dalam makalah ini diteliti polinomial siklotomik dan sifat-sifatnya. Lebih jauh diteliti juga penerapan polinomial siklotomik dalam pembuktikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga. Selain melengkapkan bukti yang telah dilakukan oleh Vladimir Dotseno, dalam laporan akhir ini juga diteliti reduksi polinomial dalam polinomial siklotomik. Terakhir diaplikasikan juga polinomial siklotomik dalam pemecahan soal-soal olimpiade matematika.

Kata kunci : nol kompleks, akar pangkat ke n primitive satuan, redusi polinomial, generator grup siklik

ABSTRACT

A REVIEW TO POLYNOMIAL CYCLOTOMIC. In this paper, a research about polynomial

cyclotomic and its properties had been done. Further we discussed the applications of cyclotomic polynomial in the proof of the Direchlet’s Theorem and the division ring. Besides give the complete proof that has be done by Vladimir Dotseno, in this final report we did research reducible of in cyclotomic polynomial. Finally, we applied cyclotomic polynomial in problems solving of mathematics olympiad.

Keywords: generator of cyclic group, reducible of polynomial, the primitive nth roof of unity, zeros

complex.

1. PENDAHULUAN Titik kulminasi dari kajian teori grup, ring,

lapangan, konstruksi geometri, dan sejarah matematika adalah polinomial siklotomik [Gallian2010]. Polinomial ini berperan dalam teori bilangan dan kombinatorik[Gallian and Rusin1979]. Dua hal utama yang diteliti dalam laporan akhir ini adalah menerapkan polinomial siklotomik untuk membahas Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga. Dalam [Yimin1990] telah diperoleh sifat-sifat dasar dari polinomial siklotomik dan aplikasi polinomial siklotomik dalam pemecahan soal-soal International Mathematics Olympiad (IMO).

Dalam makalah ini telah diberikan bukti yang lebih detail dalam membutikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian melalui polinomial siklotomik dan contoh dalam

problem solving soal IMO.

2. TINJAUAN PUSTAKA

Kompleks nol dari adalah:

1, .

Jadi, splitt field atas adalah . Lapangan ini disebut perluasan

siklotomik akar pangkat ke atas dan faktor tak tereduksi dari atas disebut polinomial siklotomik.

Polinomial siklotomik akar pangkat ke didefinisikan sebagai dengan

bergerak atas akar pangkat ke dari 1. Dalam [Dotsenko2001] telah didapat bahwa polinomial siklotomik mempunyai koefisien bilangan bulat dan tak tereduksi atas bilangan bulat. Masalah pertama yang muncul adalah memberikan suatu




589

tinjauan ulang Teorema Dirichlet untuk prim yang menyatakan bahwa untuk

setiap bilangan bulat positif senantiasa terdapat tak hingga banyaknya prim

. Selanjutnya masalah ke dua telah didapat

bahwa setiap ring tidak selalu komutatif. Dalam hal suatu ring pembagian hingga maka faktanya suatu lapangan yang tentunya komutatif. Di sini diberikan bukti dua masalah tersebut dari yang telah didapat oleh [Donsetko 2001] dengan lebih detail melalui polinomial siklotomik.

2.1 Splitting Field dan Primitive nth roots of unity

Splitting field dari polinomial atas lapangan

bergantung tidak hanya pada polinomial tetapi juga bergantung pada field. Oleh karena itu, splitting field dari atas adalah perluasan field terkecil dari dengan split. Secara formal permasalahan di atas dituangkan dalam definisi berikut

Definisi 1 [Gallian2010] Misalkan E suatu

extension field dari F dan misalkan f(x) F[x]. Kita katakan bahwa split di E jika f(x) dapat difaktorkan sebagai produk faktor linear di E[x]. Kita sebut E splitting field untuk f(x) atas F jika f(x) split atas E tapi tidak di subfield proper dari E.

Ilustrasi 1 Pandang polinomial

. Dapat ditunjukkan bahwa split di dengan splitting field-nya atas adalah . Hal yang serupa dapat dilihat untuk .

Definisi 2 [Yimin1990] Misalkan

bilangan bulat positif. Suatu bilangan kompleks disebut nth root of unity jika


bilangan bulat positif dan nth roof of unity. Maka bilangan bulat positif terkecil k yang memenuhi disebut order dari dan dinotasikan dengan ord( )

Lema 1 [Yimin1990] Misalkan bilangan

bulat positif dan nth roof of unity. Maka untuk setiap bilangan bulat , jika dan hanya jika ord( )|


bilangan bulat positif dan nth roof of unity. Maka disebut primitive nth roof of unity jika ord(

Lema 2 [Arnold2007] Misalkan bilangan

bulat positif dan primitive nth root of unity, maka primitive nth roof of unity jika dan hanya jika gcd(

Ilustrasi 2 Pandang polinomial . Nol kompleksnya adalah 1 dan -1. Dapat ditunjukkan bahwa -1 hanya stu-satunya primitive 2th roof of unity

2.2 Polinomial Siklotomik dan Sifat-Sifatnya

Perhatikan bahwa

adalah pembangun

dari grup siklik yang berorder di bawah operasi perkalian. Dari Lema 2 diperoleh bahwa pembangun berbentuk dengan

dan gcd( .Polinomiall yang semua nolnya adalah fungsi Euler’s Totient

[Yves2000] primitive nth roof of unity mempunyai nama sendiri yang disebut dengan polinomial siklotomik.

Definisi 5 [Gallian2010] Untuk sembarang

bilangan bulat positif , misalkan menotasikan primitive nth roof

of unity. Polinomial siklotomik akar pangkat ke adalah polinomial berbentuk

Ilustrasi 2 Tabel 2.2.1 Polinomial Siklotomik untuk

Tabel 2.2.1 Polinomial Siklotomik untuk

1 2 3 4 5 6 7

Untuk mempermudah proses perhitungan polinomial siklotomik, ada beberapa sifat




590

polinomial siklotomik sebagai berikut

Teorema 1 [Gallian2010] Untuk setiap bilangan bulat positif ,

dengan produk

bergerak untuk yang membagi .

Ilustrasi 3 memberikan penjelasan terhadap Teorema 1 di atas

,

dst BUKTI Perhatikan bahwa kedua

polinomial tersebut monik. Cukup ditunjukkan bahwa kedua polinomial tersebut mempunyai nol yang sama dan multiplisitasnya sama dengan

1. Misalkan . Maka

grup siklik dengan ord dan memuat semua nth roots of unity. subgrup dari dan oleh karenanya subgrup siklik dari . Menurut Teorema Dasar Grup Siklik maka membagi . Oleh karena itu,

muncul sebagai faktor . Di sisi lain jika

faktor linear dari untuk suatu pembagi dari , maka , oleh karenanya, . Jadi, faktor dari

.

Lema 3 [Yimin1990] Misalkan

dan polinomial

dengan koefisien rasional. Jika semua koefisien polinomial bilangan bulat, maka demikian halnya dengan koefisien dan

BUKTI Misalkan dan bilangan bulat

positif terkecil sedemikian sehingga dan polinomial dengan koefisien bilangan

bulat. Misalkan dengan

dan dengan

dan . Maka

Karena maka semua

koefisien dapat dibagii oleh . Andaikan dan misalkan pembagi

prim dari . Maka ada bilangan bulat sedemikian sehingga . Oleh

karenanya, jika maka dan jika maka untuk semua

yang mengakibatkan . Hal yang terakhir ini kontradiksi dengan

minimalitas . Hal yang serupa, terdapat

sedemikian sehingga . Misalkan dan bilangan bulat terbesar antara dan . Maka koefisien dari di adalah

Dengan bilangan bulat. Koefisien

dapat dibagi oleh . Hal ini

kontradiksi dengan koefisien dapat dibagi oleh .

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Aplikasi Polinomial Siklotomik Dalam Pembuktian Teorema Dirichlet

Sebelum membahas aplikasi polinomial

siklotomik, berikut suatu teorema yang cukup membantu dalam proses pembuktian Teorema Dirichlet.Sifat-sifat teori bilangan dalam [Shanks1973] digunakan untuk membantu proses pembuktian.

Teorema 2 [Yimin1990] Misalkan

bilangan bulat positif dan sembarang bilangan bulat. Maka setiap pembagi prim dari

memenuhi salah satu berikut atau

BUKTI

Misalkan pembagi prim dari . karena . Misalkan

. Karena maka . Jadi, .

Selanjutnya jika maka , yaitu, karena

. Sekarang misalkan . Karena

Maka terdapat pembagi dari

sedemikian sehingga . Tetapi dan . Akibatnya

Teorema 3 (Dirichlet) [Yimin1990] Untuk setiap bilangan bulat positif , terdapat tak hingga banyaknya bilangan prim yang memenuhi

BUKTI Untuk bukti trivial. Sekarang pandang untuk . Andaikan ada sebanyak hingga bilangan prim yang




591

memenuh . Misalkan produk dari prim-prim tersebut dan semua prim tersebut adalah bentuk penguraian dari . Diperoleh

. Misalkan suatu bilangan positif yang cukup besar sedemikian sehingga dan misalkan pembagi prim dari . Karena membagai , tidak membagi

, sehingga dan . Hal ini kontradiksi dengan Teorema 2.

3.2 Aplikasi Polinomial Siklotomik Dalam Pembuktian Ring Pembagian Hingga

Masalah berikutnya adalah aplikasi

polinomial siklotomik dalam ring pembagian hingga yang dituangkan dalam teorema berikut

Teorema 4 [Dotsenko2001] Setiap division

ring hingga komutatif

BUKTI Tujuan kita harus membuktikan bahwa . Misalkan . Karena

ruang vektor atas maka dengan dimensi dari ruang vektor ini. Karena

division ring maka grup. Kita peroleh

Setiap Centraliser seperti conjugacy

class, dengan nol di dalamnya membentuk subring yang memuat , yaitu ruang vektor atas .

Misalkan dimensi ruang vektor tersebut

dengan . Kita punya

Dapat ditunjukkan bahwa bilangan

bulat jika dan hanya jika membagi .

Polinomial dan koprim. Demikian juga dengan dapat dibagi oleh produknya. Jadi persamaan di atas semua sukunya kecuali dapat dibagi oleh . Jadi, dapat dibagi oleh . Tetapi yang terakhir tidak mungkin terjadi untuk : untuk semua root of unity

. Demikian juga, . Yang

menunjukkan bahwa .

3.3 Aplikasi Polinomial Siklotomik dalam Problem Solving Olimpiade Matematika

Aplikasi lain dari polinomial siklotomik

adalah problem solving dalam soal-soal IMO. Berikut beberapa contoh aplikasi polinomial siklotomik dalam problem solving soal IMO

Problem (IMO Shortlist 2006) Temukan

semua bilangan bulat yang merupakan solusi

SOLUSI Persamaan di atas ekuivalen

dengan

Dari Teorema 4, diperoleh bahwa setiap pembagi prim memenuhi atau

. Hal ini mengakibatkan setiap pembagi dari salahsatunya dapat dibagi oleh atau kongruen terhadap 1 modulo 7. Jadi,

atau , yaitu atau

. Jika maka demikian

juga maka . Hal ini

kontradiksi. Selanjutnya jika maka

, juga suatu kontradiksi. Oleh karena itu, persamaan tersebut tidak mempunyai solusi bilangan bulat. 4. KESIMPULAN

Polinomial siklotomik dapat diaplikasikan

untuk membuktikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga. Selain itu, sifat-sifat polinomial siklotomik dapat diaplikasikan untuk problem solving IMO. Kajian lebih jauh dapat diteliti tentang aplikasi polinomial siklotomik dalam konstruksi regular dalam Teorema Gauss.

5. UCAPAN TERIMAKASIH

Kami mengucapkan terima kasih kepada Jurusan Matematika FMIPA Unpad yang telah mendanai penelitian swadana ini tahun anggran 2012.




592

6. DAFTAR PUSTAKA 1. ARNOLD, ANDEW. 2007. Algorithms for

Computing Cyclotomic Polynomials.. University of British Columbia. (Online), (www.cecm.sfu.ca/CAG/theses/arnold.pdf, diakses 1 Desember 2012).

2. DOTSENKO, VLADIMIR. 2001. Two Application of Cyclotomic polynomials, Mathematics Magazine.

3. GALLIAN. 2010. Contemporery Abstract Algebra, Seventh ed.

4. GALLIAN and RUSIN. 1979 Cyclotomic Polynomials and Nonstandard Dice,

Discrete mathematics 27 (hlm. 245-259). 5. Mathlinks, IMO Shortlist 2006, N5. (Online), (http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?

p=780855, diakses 1 Desember 2012). 6. SHANKS. 1993. Solved and Unsolved

Problems in Number Theory, 4th ed. Chelsea, New York.

7. YIMIN GE. 1990. Elementary Properties of Cyclotomic Polynomials, Mathematics Magazine.

8. YVES. 2000. Cyclotomic polynomials and prime numbers, Mathematics Magazine .

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=780855

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=780855

SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL...

Documents

Transcript of SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL...