STRUKTUR SK 4 :HALAMAN JUDUL (OK)DAFTAR ISI (OK)RANGKUMAN (ABSTRAK) (OKE)BAB I : DESKRIPSI PENELITIAN DISERTASIMINIMAL ISINYA :MASALAH, TUJUAN, HIPOTESA, METODOLOGIRENCANA TAHAP PENELITIAN PADA PROPOSAL (PERUBAHAN JIKA ADA)RINGKASAN KEMAJUAN TIAP SKBAB II : DESKRIPSI PENELITIAN SK IVMINIMAL ISI :LIngkup Pekerjaan Peneletian SK IV, HASIL, KESIMUPLAN, DANREKOMENDASI, DIHARAPKAN SINKRONDENGAN BAB IBAB III : RANGKUMAN SUBSTANSI PENELITIAN (TAHAP 1 S.D. TAHAP4), DIGUNAKAN SEBAGAI REFERENSI DALAM RANGKAPENULISAN DISERTASILAMPIRAN : DATA DLL, SEBAGAI PELENGKAP BAB II.

1

TEKNIK PENGINDERAAN KOMPRESIF UNTUKESTIMASI ARAH KEDATANGAN SUDUT

LAPORAN KEMAJUAN 4

OlehKOREDIANTO USMAN

NIM: 33213002(Program Studi Teknik Elektro dan Informatika)

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNGJanuari 2017

TEKNIK PENGINDERAAN KOMPRESIF UNTUK ESTIMASIARAH KEDATANGAN SUDUT

OlehKoredianto Usman

NIM: 33213002(Program Studi Teknik Elektro dan Informatika)

Institut Teknologi Bandung

MenyetujuiTim Pembimbing

Tanggal : 12 Januari 2017

Ketua,

(Prof. Andriyan Bayu Suksmono, Ph.D)

Anggota,

(Prof. Hendra Gunawan, Ph.D)

i

ABSTRAK

Pada Seminar Kemajuan 3, telah dipaparkan tentang penggunaan tekniknon-exhaustive untuk estimasi arah kedatangan sinyal dengan teknik penginderaankompresif (Compressive Sensing). Metode yang digunakan pada teknik rekonstruksipenginderaan kompresif adalah dengan menggunakan optimisasi konvex (convexoptimization). Penggunaan teknik pemindaian ini memberikan hasil yang memuaskan,namun juga telah menginisiasi pengembangan teknik rekonstruksi baru. Padalaporan untuk Seminar Kemajuan IV ini, diusulkan metode rekonstruksi baru yangditurunkan berdasarkan interpretasi fisis dari minimisasi norma L1 untuk rekonstruksipenginderaan kompresif tersebut. Penurunan ini selanjutnya berkembang menjadialgoritma baru yang diberi nama dengan minimisasi L1 via L2. Algoritma baru inimemiliki waktu komputasi yang lebih cepat dibandingkan dengan metode penyelesaiandengan optimisasi konvex. Di samping itu, metode ini juga memiliki kelebihandibandingkan dengan metode algoritma greedy yang lebih rentan pada lingkungan yangmemiliki tingkat koherensi tinggi.

Kata kunci : penginderaan kompresif, Norma L1, Norma L2, matrikspenginderaan, sparsitas, optimisasi konveks, algoritma greedy.

ii

DAFTAR ISI

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiDAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vDAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viBAB I Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 State of The Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.3 Premis dan Hipotesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.4 Perbandingan Kemajuan 4 dengan Kemajuan sebelumnya . . . . 6I.5 Publikasi terkait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.6 Kontribusi dan Kebaruan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

BAB II Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.1 Model matematis sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.2 Compressive Sensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.3 Compressive sensing pada estimasi DoA . . . . . . . . . . . . . . 12II.4 CS solver dengan CVX Programming . . . . . . . . . . . . . . . 15

BAB III Metode yang diusulkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.1 Teknik Non-Exhaustive Search . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.2 Teknik Tail-scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18III.3 Metode Titik Berat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21III.4 Algoritma Minimisasi L1 via L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

BAB IV Hasil Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38IV.1 Simulasi non-exhaustive search dengan tail-scan . . . . . . . . . . 38

BAB V Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iii

DAFTAR GAMBAR

I.1 Perbandingan kemajuan yang dicapai pada Tahap Kemajuan 1, 2, 3,dan 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.2 Publikasi yang telah dilakukan dan yang direncanakan . . . . . . . . 8

II.1 Antennas arrangement in ULA with distance d between element . . . 9II.2 Ilustrasi skema sparsitas sudut. Sensing matrix A disusun dari steering

vector sudut-sudut yang dipindai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III.1 Ilustrasi exhaustive search. Algoritma memindai pada semua arahuntuk memperoleh arah sumber sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III.2 Blok diagram skema non-exhaustive search dengan fungsi pemindaiankasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

III.3 Ilustrasi non-exhaustive search. (a) Skema dalam diagram arah/sudutdalam koordinat polar (b). dalam koordinat kartesian . . . . . . . . . 18

III.4 Ilustrasi tracking object dengan teknik non-exhaustive search sertaupdate scanning window pada setiap waktu. (a),(b), dan (c)pergerakan objek beserta update scanning window yang bersesuaian.(d). ilustrasi pergeseran scanning window pada setiap waktu; W1, W2,W3 adalah scanning window berturut-turut pada t1, t2 dan t3 . . . . 19

III.5 Ilustrasi detail tentang proses update scanning window denganmenggunakan median dari posisi objek. (a) hasil scanning kasardengan algoritma klasik pada semua sudut,(b) penerapan scanningwindow pada sudut yang dianggap memiliki objek, (c) objek bergeraksehingga puncak scanning bergeser menuju batas window. (d). updatescanning window, sehingga puncak scanning berada di tengah scanningwindow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

III.6 Hasil simulasi: perbandingan skema exhaustive search terhadap . . . . 21III.7 Non-exhaustive search dengan tail-scan . . . . . . . . . . . . . . . . . 21III.8 Non exhaustive search dengan tail scan. (a) uniform tail scan, (b)

random tail scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22III.9 Solusi persamaan Ax=y terletak pada garis (A). Solusi dari Norm-L1

(B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22III.10 (a). Iterasi awal dengan k0 yang cukup besar sehingga kurva Ax = y

dan ‖x‖1 = k0 berpotongan di P1 dan P2. Titik tengah M1 dipilihsebagai iterasi berikutnya. (b). Norm di M1 dipilih sebagai nilai kberikutnya. Proses ini diulangi sehingga diperoleh titik yang konvergen. 23

III.11 (a). Kasus dimensi 3, ‖x‖1 = k0 membentuk oktahedron. Solusi dariAx = y dengan matrik A 1x3 adalah suatu bidang. Jika k0 cukupbesar, ‖x‖1 = k0 akan memotong Ax = y. (b). Bidang perpotongandengan titik sudut P1 sampai P5. Titik M1 dipilih sebagai kombinasikonveks dari titik-titik P1 sampai P5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

iv

DAFTAR GAMBAR

III.12 Faktorisasi QR Householder dengan pivot kolom (a). Pivot kolomdengan urutan L2-norm dari yang terbesar ke yang terkecil (b). Pivotkolom dengan urutan L2-norm dari yang terkecil ke yang terbesar . . 26

III.13 Perpotongan antara oktahedron norm L1 dengan solusi dari fungsiobjektif yang berupa garis. Titik potong bidang dan garis dinotasikandengan P1 dan P2. Titik M1 yang merupakan kombinasi konveks dariP1 dan P2 diilustrasikan pada gambar kanan . . . . . . . . . . . . . . 27

III.14 Ilustrasi arah terdekat (shortest path) untuk vector x tiga dimensi . . 29III.15 Titik mulai pencarian arah terdekat dengan menggunakan solusi

minimisasi L2. Lokasi Minimisasri L2 (Xp) . . . . . . . . . . . . . . . 29

IV.1 The impact of spurios spikes in 3D DOA estimation . . . . . . . . . . 39IV.2 Side Scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40IV.3 Side-scan patterns in azimuth and elevation direction. The main-scan

is indicated by dense area. (a) uniform side-scan. (b) random side-scan.(c) progressive side-scan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

IV.4 Perbandingan estimasi DOA secara 3D menggunakan MVDR dan CSdengan progresif side-scan; dua objek berada di azimuth 120 dan 190

dengan elevasi yang sama di 320. (A) MVDR menggunakan 180 ×180 grid pemindaian. (B) CS dengan progresif sisi-scan menggunakan60×50 arah pemindaian juga berhasil mendeteksi arah objek. . . . . 43

IV.5 Perbandingan tiga skema non-exhaustive dengan skema exhaustivedalam hal akurasi estimasi (MAE) sebagai fungsi dari jumlah side-scan(Ntail). Skema exhaustive diberikan sebagai referensi. . . . . . . . . . 44

IV.6 Percentage of convergence failure as function of number of side-scan(Ntail). Exhaustive scheme is given as reference. . . . . . . . . . . . . 45

IV.7 Perbandingan Probabilitas Resolusi dari metode yang diusulkansebagai fungsi dari SNR (dB) kanal pada sumber yang tidak berkorelasi 45

IV.8 Perbandingan Probabilitas Resolusi dari metode yang diusulkansebagai fungsi dari SNR (dB) kanal pada sumber yang berkorelasi . . 46

v

DAFTAR TABEL

I.1 Perbandingan Referensi State of The Art . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.2 Premis dan Hipotesis yang dirumuskan dalam penelitian . . . . . . . . 5

IV.1 Hasil simulasi pada pencarian non-exhaustive dalam hal akurasi . . . . 38

vi

BAB I Pendahuluan

I.1 Latar Belakang

Teknik compressive sensing untuk estimasi arah kedatangan sinyal memperolehperhatian yang besar pada dekade saat ini. Meski pun CS mulai dianggap sebagaibidang ilmu yang cukup matang pada pertengahan tahun 2000an (Donoho (2006),Candes dan Wakin (2008), Baraniuk (2007)), teknik yang mendasarinya telahberkembang lebih dahulu, seperti matching pursuit (Mallat dan Zhang (1993)), basispursuit Chen dkk. (2001), algoritma greedy (Tropp (2004)) maupun wavelet. Penerapanteknik CS telah dilakukan pada berbagai bidang, antara lain: kompresi data (Candesdan Wakin (2008), Wahidah dan Suksmono (2010)), channel coding (Candes dan Wakin(2008)), MRI imaging (Swastika dan Haneishi (2012)), wireless channel estimation(Hayasi dkk. (2013)).

Saat ini, teknik CS telah pula diterapkan pada bidang radar. Secara umum radarmemiliki tiga fungsi, yaitu: estimasi arah kedatangan, estimasi jarak, dan estimasikecepatan. Pada bidang estimasi arah kedatangan sinyal, teknik Compressive Seningditujukan untuk mengurangi jumlah sampel yang harus diakuisisi oleh penerima.Jumlah sampel yang sedikit akan memberikan keuntungan pada kebutuhan bandwidthtelekomunikasi yang rendah. Dengan demikian, skema distributed radar system dapatdiimplementasikan lebih mudah untuk menjangkau wilayah yang luas.

Secara perkembangan, teknik estimasi arah kedatangan sinyal sendiri telahberkembang sejak era analog, sampai dengan era digital. Pada era digital, teknikestimasi arah kedatangan sinyal dipelopori antara lain oleh algoritma Capon atauMVDR (Dmochowski dkk. (2007)). Dengan memanfaatkan kovariansi matrik sinyalpenerima, serta steering vector pada arayh yang dipindai, algoritma ini berhasilmemperoleh estimasi arah kedatangan sinyal dengan spektrum puncak yang cukuptajam. Schmidt melakukan terobosan pada bidang estimasi DoA ini denganmengusulkan algoritma MUSIC (Multiple Signal Classification, Schmidt (1986)).Algoritma ini membuka dimensi baru dengan penggunaan teknik sub-space yangberasal dari dekomposisi nilai eigen dari matrik kovariansi. Roy dkk. (1986) jugamenggunakan teknik sub-space untuk melakukan estimasi arah kedatangan sinyal.Teknik ini berbeda dengan MUSIC karena teknik ini tidak melakukan estimasi arahkedatangan sinyal dengan memindai semua arah, namun ia memanfaatkan strukturdari susunan antena penerima. Estimasi arah kedatangan diperoleh dengan manipulasimatematis dari susunan ini. Teknik ini populer dengan istilah ESPRIT (Estimation

1

of Signal Parameters via Rotational Invariant Techniques). Veen dan Buckley (1988)mengajukan skema yang sederhana dibandingkan dengan MUSIC dan ESPRIT, yaituskema delay and sum (DAS). Skema ini memiliki prinsip estimasi arah kedatangandengan mendelay fasa dengan suatu mekanisme pada setiap elemen antena. Pada nilaifasa tertentu, diperoleh sinyal terima terkuat. Sudut yang berkorespondensi dengandelay tersebut diambil sebagai estimasi arah kedatangan sinyal.

Teknik klasik pada umumnya bersandar pada teorema sampling klasikShannon-Nyquist dalam mengakuisisi data. Akuisisi data dilakukan dengan kecepatansampling sekurang-kurangnya dua kali frekuensi tertinggi sinyal informasi. Akibatdari adanya skema akuisisi ini, data yang diolah oleh algoritma klasik adalah sangatbesar. Teknik distributed radar system yang bersandar pada komunikasi antar unit(seperti wireless sensor network) akan memiliki masalah jika harus mentransmisikandata besar setiap saat. Oleh karena itu teknik CS untuk DoA sangat diperlukan padakondisi tersebut.

Secara umum, terdapat tiga kategori besar dalam pemanfaatan compressive sensinguntuk estimasi arah kedatangan sinyal: skema sparsitas waktu, skema sparsitas ruang,dan skema sparsitas sudut. Sparsitas waktu mengambil asumsi bahwa sinyal yangditerima sensor bersifat sparse secara sampel per sampel. Mengambil asumsi ini, makapengurangan sampel dilakukan dalam ranah waktu. Penelitian yang memanfaatkanskema ini antara lain adalah Wang dkk. (2009). Di sisi lain, skema sparsitas ruangmengambil asumsi bahwa sinyal yang diterima suatu sensor adalah sama dengan sinyalyang diterima oleh sensor yang lain dengan perbedaan pada fasa. Dengan asumsi ini,maka jumlah sensor dapat dikurangi sampai menjadi sebanyak sinyal yang diterima.Pengurangan jumlah sensor berarti juga mengurangi jumlah sampel yang diterima.Penelitian yang memanfaatkan skema ini antara lain adalah Gurbuz dan McClellan(2008), dan Jouny (2011). Skema sparsitas sudut mengambil asumsi bahwa sinyalyang datang hanya pada sudut-sudut tertentu. Dengan asumsi ini, maka algoritmaestimasi arah kedatangan dilakukan dengan mencari spektral tak nol pada matriksinyal penerima yang disusun terdiri dari semua sudut arah kedatangan yang dipindai.Penelitian yang menggunakan skema ini antara lain adalah Gorodnitsky dan Rao(1997) dan Stoica dkk. (2011).

Skema sparsitas sudut memiliki keuntungan utama dari pada skema sparsitas waktudan sparsitas sensor yaitu pada jumlah sampel yang sedikit. Penelitian Gorodnitskydan Rao (1997) mengusulkan penggunaan satu sampel untuk estimasi arah kedatangan.Untuk keperluan rekonstruksi, Gorodnitsky dan Rao menggunakan algoritma FocalUnderdetermined System Solver (FOCUSS). Dalam lingkungan dengan derau yangrendah, hasil estimasi arah kedatangan yang dilaporkan oleh Gorodnitsky dan Raotersebut memiliki resolusi yang tajam. Meski keuntungan ini, algoritma FOCUSS

2

yang ditawarkan mengalami masalah pada lingkungan dengan derau tinggi (Usmandkk. (2014)). Teknik multi sampel yang dilakukan oleh Stoica dkk. (2011) memperbaikiperforma yang lebih baik, namun proses komputasi yang lebih tinggi. Proses komputasiyang lebih tinggi ini disebabkan antara lain oleh jumlah sampel yang lebih banyakdan basis perhitungan pada bilangan kompleks. Permasalahan yang juga perludiatasi pada skema sparsitas sudut adalah pemindaian yang dilakukan pada semuaarah menyebabkan sensing matrix A memiliki dimensi yang sangat besar. Hal inimenyebabkan proses rekonstruksi CS berjalan lambat. Penelitian yang dilakukan iniadalah untuk menjawab permasalahan tersebut.

I.2 State of The Art

Pada bagian ini, dipilih tiga referensi yang dijadikan sebagai state of the art. Pemilihantiga referensi ini dikarenakan karena ketiga referensi ini adalah referensi langsung yangterkait pada upaya penyelesaian masalah yang diusulkan. Ketiga referensi ini adalahGorodnitsky dan Rao (1997), Stoica dkk. (2011), dan Dai dkk. (2013). Detail dariketiga referensi tersebut adalah sebagai berikut :

1. Gorodnitsky dan Rao (1997): Sparse Signal Reconstruction form Limited dataUsing FOCUSS: a re-weighted minimum norm algorithm, Publikasi : IEEETransaction on Signal Processing, Vol. 45, No.3 (Referensi #1)

2. Stoica, Babu, dan Li (2011): SPICE: A sparse covariance-based estimationmethod for array processing, Publikasi : IEEE Transaction of Signal Processing,Vol.59, No.2 (Referensi #2)

3. Dai, Xu, dan Zhao (2013): Direction-of-Arrival Estimation Via Real-ValuedSparse Representation, Publikasi : IEEE Antennas and Wireless PropagationLetters (Referensi #3)

Referensi #1 menjadi referensi utama dari skema sparsitas sudut. Sejauh yangpenulis teliti, Referensi #1 dapat dianggap sebagai karya seminal dari teknik sparsitassudut. Hal yang menarik dikaji adalah bahwa teknik ini dapat bekerja denganmenggunakan satu sampel sinyal saja. Referensi #2 membahas tentang teknikrekonstruksi dengan metode covariance-based. Teknik ini memperbaiki hasil dariReferensi #1 dalam hal ketahanan dalam lingkungan derau tinggi. Teknik inimengakomodasi penggunaan multi sampel. Referensi #3 membahas tentang teknikpenyederhaan perhitungan rekonstruksi compressive sensing dengan cara mengubahnilai-nilai kompleks menjadi nilai-nilai riil. Pengubahan ini diklaim oleh parapenulisnya dapat mempercepat komputasi menjadi 4 kali. Dalam kerangka tiga

3

referensi ini penelitian ini dilakukan dan dikembangkan. Tabel IV.1 memperlihatkanperbandingan tekniks dari ketiga referensi ini.

Tabel I.1. Perbandingan Referensi State of The Art

Perihal Referensi #1 Referensi #2 Referensi #3Aplikasi Estimasi arah

kedatangan sinyaldengan algoritmaFOCUSS

Estimasi arahkedatangan sinyaldengan algoritmaSPICE

Estimasi arahkedatangan dengancompressive sensingdengan nilai riil

Tujuan Menunjukkan bahwateknik CS dengansatu sampel dapatmenghasilkan estimasiarah yang baik danresolusi tinggi

Teknik estimasi arahkedatangan beberapasampel sekaligus

Mempercepatperhitungan compressivesensing dengantransformasi unitaryuntuk memperoleh nilaimatrik riil

Skema Jumlah sumber : 3(pada sudut -44, -33,56); Jumlah sensor :8; Jumlah sampel 1; Algoritma InisialisasiMVDR

Jumlah sumber :3 (pada sudut 10,40 dan 55 derajat);Jumlah sensor : 10 ;Jumlah sample : 200; Algoritma inisialisasiSPICE

2 sumber (pada sudut-2.5 dan 3.5 derajat) ;Jumlah sensor : 10 ;Jumlah sampel : 100; Algoritma inisialisasi :MUSIC

Kekurangan Tidak robust padalingkungan denganderau tinggi

Kompleksitas tinggikarena melakukanexhaustive search padasemua arah

kompleksitas tinggi:teknik Singular ValueDecomposition (SVD)diterapkan pada matrikbesar serta perhitungandekomposisi memerlukanwaktu yang besar

Kelebihan Hanya menggunakansatu sampel, sangatefisien bandwidth jikaditransmisikan

Mengakomodasimulti-sample sehinggalebih robust padalingkungan denganderau tinggi

komputasi yang lebihringan dibandingkan

I.3 Premis dan Hipotesis

Pada Tahap Kemajuan 1 telah disampaikan premis yang mendasari penelitian ini, yaitu: 1). Skema sparsitas sudut memiliki kelemahan pada lingkungan dengan derau tinggi,2). Skema sparsitas sudut memiliki kompleksitas rekonstruksi yang tinggi. Keduapremis tersebut telah dibuktikan dengan simulasi komputer yang dilakukan. Hasilpembuktian tersebut telah dipublikasikan sebagai publikasi awal dari penelitian ini(Usman dkk. (2014)).

4

Pada Tahap Kemajuan 2 dilakukan simulasi lanjutan yaitu perbaikan skema yangada dengan teknik non-exhaustive search. Dari percobaan-percobaan yang dilakukan,maka diperoleh premis-premis lanjutan, yaitu: 3). Skema sparsitas sudut dapat bekerjadengan sudut pindai yang lebih sempit (non-exhaustive search).

Pada Tahap Kemajuan 3 telah dilakukan percobaan yang lebih intensif padateknik tail-scan serta pengembangan teknik rekonstruksi CS dengan dengan tekniktitik berat (weight point) untuk memperoleh solusi yang dijamin kekonvergenannya.Premis-premis yang diajukan untuk tahap ini adalah: 4). teknik tail-scan memilikikinerja yang lebih baik dari pada tanpa tail-scan, 5). Tail-scan uniform secara statistikmemiliki kinerja yang lebih baik dari pada tail-scan random, 6). Rekonstruksi CSdengan menggunakan titik berat dari bidang perpotongan norm L1 dan fungsi objektifmemberikan solusi CS yang dijamin kekonvergenannya.

Tabel I.2. Premis dan Hipotesis yang dirumuskan dalam penelitian

Premis HipotesisSkema sparsitas sudut memilikiakurasi yang buruk padalingkungan derau tinggi

Akurasi pada lingkungan derau tinggidapat ditingkatkan dengan teknik yangmengolah beberapa sampel sekaligus

Skema sparsitas sudut memilikikompleksitas rekonstruksi yangtinggi

Pengurangan kompleksitas dapatdilakukan dengan pra-pemindaian danpemindaian pada arah tertentu sajanon-exhaustive search

Metode teknik scanningnon-exhaustive memilikipermasalahan pada konvergensi,khususnya jika menggunakanteknik rekonstruksi CS denganpemrograman convex

Perbaikan dilakukan denganmemberikan scanning tambahandi luar arah utama atau tail-scanuntuk memberikan basis scanningpada semua arah agar konvergensidapat dijamin

Teknik pemrograman convexyang berdasarkan metodeinterior point method daniterasi Newton menimbulkanpermasalahan pada nilai awalyang dapat menyebabkanketidakkonvergenan

Penggunakaan metode titik beratdapat memperbaiki masalahkekonvergenan tersebut

Pada Tahap Kemajuan 4 ini, dilakukan pendekatan berbeda dalam upaya untukmengurangi permasalahan ketidak-konvergenan skema optimisasi konveks denganmengembangkan teknik rekonstruksi baru. Teknik rekonstruksi baru ini dikembangkanberdasarkan interpretasi geometris dari permasalahan rekonstruksi yaitu denganminimisasi norma L1. Pengembangan dari metode ini menghasilkan dua algoritmabaru yaitu algoritma titik berat dan algoritma minimisasi L1 via L2.

5

I.4 Perbandingan Kemajuan 4 dengan Kemajuan sebelumnya

Pada Tahap Kemajuan 1, penelitian diarahkan pada teknik sparsitas sudut yangdipelopori oleh Goronitsky dan Rao Gorodnitsky dan Rao (1997). Perbaikandilakukan dengan menggunakan teknik transformasi unitary untuk mempercepatproses perhitungan dari algoritma tersebut. Pada Kemajuan I ini, belum dilakukanupaya untuk mempercepat perhitungan dengan mengurangi lebar sudut pindai.Pengurangan lebar sudut pindai dilakukan pada Tahap Kemajuan 2. Proses yangdilakukan adalah memindai pada semua sudut untuk memperoleh arah kedatangansinyal, setelah itu, pada proses berikutnya (proses update), pemindaian dilakukan padaarah tertentu saja (non-exhaustive search) pada arah yang diidentifikasi terdapat objek.Pada Tahap Kemajuan 3 permasalahan ketidakkonvergenan diatasi dengan dua carayaitu dengan teknik tail-scan (uniform dan random) dan dengan teknik rekonstruksiCS baru yang dikembangkan sendiri menggunakan metode titik berat dari bidangperpotongan norm L1 dan fungsi objektif rekonstruksi. Penggunaan metoda titik beratini dilakukan sebagai alternatif dari metoda iterasi Newton dengan kelebihan padajaminan konvergensi. Pada Tahap Kemajuan 4, dikembangkan metode rekonstruksibaru yaitu algoritma titik berat dan algoritma minimisasi L1 via L2 untuk rekonstruksipemindaian kompresif. Algoritma baru ini selanjutnya akan diterapkan pada estimasiarah kedatangan sudut.

Gambar III.14 memperlihatkan skema penelitian yang dilakukan pada setiapkemajuan ini.

I.5 Publikasi terkait

Gambar III.15 memperlihatkan publikasi yang telah dilakukan dan yang direncanakanpada setiap kemajuan.

I.6 Kontribusi dan Kebaruan

Kontribusi dan kebaruan yang diperoleh pada tahapan-tahapan penelitian yang telahdilakukan adalah:

• Teknik Non-Exhaustive Search

• Teknik Tail-Scan (uniform dan random)

• Algoritma baru untuk rekonstruksi CS : algoritma titik berat dan algoritmaminimisasi L1 via L2.

6

Direction of ArrivalEstimation

Classical

Time Sparsity

Angle Sparsity

Compressive Sensing

Spatial Sparsity

Unitary Transf.

Non-Exhaustive

SearchPre-Scanning

Teknik

Tail Scan

SK I

SK IIL1-Solver

Weight PointAlgorithm SK III

CS Solver

L1 via L2 AlgorithmSK IV

Gambar I.1. Perbandingan kemajuan yang dicapai pada Tahap Kemajuan 1, 2, 3, dan4.

7

Angle Sparsity

Unitary Transf.

Non-Exhaustive

SearchPre-Scanning

Teknik

Tail Scan

SK II

L1-SolverWeight PointAlgorithm

SK III

Peningkatan Kinerja Skema

Estimasi Arah Kedatangan Sinyal

dengan Compressive SensingSparsitas Sudut dan sampel Multisnap

2014 — Jurnal Nasional INKOM LIPI

Multiple Measurement Vector

for Improving FOCUSS algorithm

in Direction of Arrival Estimation

2014 — ICoDSEInternational Conference

Uniform Non-ExhaustiveSearch on SparseReconstruction for Directionof Arrival Estimation

International Conference

2015 — APWIMob

Journal of ICT2016 — SUBMITTED

L1 Sparse Reconstruction using

Iterative Weight Point Method

ITB

SK IVCS ReconstructionUsing L1 Minimizationvia L2 minimization

EURASIP

2016 — SUBMITTED

Sparse-based Reconstructionfor DOA Estimation

using non-Exhaustive Search

Adv. in Sig. Proc.

Elsevier

2017 — to be submitted

Sparse Signal Reconstructionvia L2 Minimization

Applied Math. Journal

Gambar I.2. Publikasi yang telah dilakukan dan yang direncanakan

8

BAB II Landasan Teori

II.1 Model matematis sistem

Untuk keperluan simulasi, maka model matematis dari sistem yang ditinjau perludijabarkan terlebih dahulu. Tinjau susunan antena (antenna array) yang terdiri dariM buah elemen antena. Elemen antena ini disusun sehingga terletak pada satu garis,dengan jarak antar antena konstan. Susunan ini disebut sebagai uniform linear array/ ULA. Misalkan bahwa sumber sinyal datang pada jarak yang jauh dengan sudutkedatangan sebesar θ relatif terhadap garis normal susunan antena (Gbr. II.1). Jikajarak sistem antena ke sumber jauh lebih besar dari pada dimensi susunan antena,maka berkas yang sampai ke masing-masing antena dapat dianggap sejajar.

d

d

θ

l1

l2

l3

lM

∆

2∆

(M − 1)∆

R

x1(t)

x2(t)

x3(t)

xM(t)

Gambar II.1. Antennas arrangement in ULA with distance d between element

Dengan menggunakan antena paling atas sebagai referensi, serta jarak antar elemenantena adalah d, maka perbedaan jarak tempuh pada masing-masing antena (∆) dapatditulis sebagai

∆ = d · sin(θ). (II.1)

Perbedaan jarak ini berkorespondensi dengan delay fasa sebesar :

φ= 2πλ·d · sin(θ) (II.2)

Dengan mengumpulkan sinyal yang diterima oleh masing-masing antena pada suatuvektor x, maka persamaan sinyal terima pada keluaran array adalah :

9

x= a · s+n (II.3)

Pada pers.II.3, s adalah sinyal pada masukan antena (dengan dimensi p kali Nsnaps;p adalah jumlah objek), x menotasikan sinyal pada keluaran antena (dengan dimensiM kali Nsnaps), n dalah white gaussian noise, dan a adalah array steering vectoratau array manifold. Steering vector a dapat dinyatakan sebagai :

a=[1 e−jψ e−j(M−1)ψ

]T(II.4)

Sebagai penerima, steering vector menyatakan bobot pada antena yangberkorespondensi dengan arah penerimaan maksimum dari sinyal datang (main beam).

II.2 Compressive Sensing

Compressive Sampling/Sensing (CS), adalah pendekatan baru yang menyatukanantara proses sampling dan kompresi. Dengan kekhususan bahwa sinyal yangdisampling bersifat sparse (mayoritas sinyal adalah nol dan sedikit sisanya tak nol).Dengan asumsi ini, maka teknik CS dapat digunakan untuk mensampling sinyaldengan rate yang jauh lebih kecil dari pada sampling rate klasik Nyquist. Padasampling rate yang rendah ini, CS tetap masih mampu untuk merekonstruksi sinyalsemula. Kemampuan ini membuka peluang CS dapat menggantikan peralatan yangada saat ini dengan peralatan yang bekerja berdasarkan prinsip CS yang efisien. Secaraprinsip, pensamplingan dengan CS dilakukan dengan mengumpulkan secara randomdari sampel lengkap.

Pada teknik sampling klasik Nyquist, proses sampling dan rekonstruksi secaraprinsip adalah sederhana dibandingkan dengan sampling dan rekonstruksi pada CS.Proses sampling pada teknik sampling klasik dilakukan dengan melakukan pencuplikanpada sinyal analog dengan jarak antar sampel yang sama/konstan. Pada bagianrekonstruksi, sinyal hasil sampling difilter dengan filter Nyquist untuk memperolehkembali sinyal semula.

Pada teknik CS, sebelum proses sampling dapat dilaksanakan, pertama harusditentukan terlebih dahulu basis dua basis, yaitu basis sparsitas Ψ dan basis projeksiΦ. Keberhasilan teknik CS tergantung pada keberhasilan menentukan kedua basistersebut. Dengan demikian proses modifikasi dari sinyal pada sisi penerima perludilakukan. Ini berarti bahwa perangkat CS akan lebih kompleks dibandingkan denganperalatan sampling klasik. Pada sisi rekonstruksi, solusi dari teknik CS tidaklahunik/tunggal. Dengan kata lain, setelah set solusi ditemukan, maka diperlukanoptimasi dengan suatu kriteria (biasanya adalah norm orde-n) dari set solusi yangada untuk memperoleh satu solusi terbaik sesuai kriteria tersebut. Solusi terbaik

10

diharapkan (secara statistik) sama atau mendekati sinyal asal.Beberapa peralatan telah dikembangkan dengan prinsip CS ini. Antara lain adalah

kamera-satu-piksel (Baraniuk (2007)), sparse MRI (Swastika dan Haneishi (2012)),spectra-denoising (Mingxia dkk. (2013)) dan sebagainya.

Formulasi matematika dari compressive sensing. Ada banyak cara untukmenjelaskan prinsip kerja dari compressive sensing. Tapi yang akan dibahas di siniadalah dengan menggunakan prinsip ketidakpastian (uncertainty principle atau UP).Prinsip ini menyatakan bahwa suatu sinyal tidak mungkin secara bersamaan dapatdilokalisasi dengan baik pada ranah waktu dan frekuensi. Dengan kata lain, jika suatusinyal terlokalisasi pada ranah waktu, maka sinyal tersebut tidak terlokalisasi padaranah frekuensi. Sebaliknya jika suatu sinyal terlokalisasi pada ranah frekuensi, makaia tidak terlokalisasi pada ranah waktu.

Jika suatu sinyal f tidak terlokalisasi pada suatu ranah, maka akan selalu dapatdicari suatu transformasi Ψ pada f untuk menghasilkan suatu sinyal textbfF yangbersifat sparse. Dengan kata lain:

F = Ψf (II.5)

Pada sinyal sparse F tersebut, CS dapat dilakukan dengan mengalikan di awal(pre-multiplying) dengan suatu pencuplik Φ yang merupakan suatu matrik CS.

g = ΦF = ΦΨf (II.6)

Jika sinyal asal, f dan hasil transformasinya, F memiliki panjang N , maka sinyal f,dapat direkonstruksi kembali dari sinyal g dengan panjang M (M<<N), dengan syaratM lebih besar dari suatu nilai yang diberikan oleh persamaan

M ≥ C ·µ2(Φ,Ψ) ·K · log(N) (II.7)

dimana K menyatakan tingkat sparsitas dari sinyal f, C adalah suatu konstanta(sekitar 2), dan µ(Φ,Psi) menyatakan fungsi pengukur tingkat koherensi dari Φ danΨ. Tingkat koherensi ini diberikan oleh

µ(Φ,Ψ) = maxφ3Φ,ψ3Ψ

|〈φ,ψ〉| (II.8)

Perkalian antara fungsi sparsitas Ψ dan fungsi sampling Φ dalam bentuk matriktersebut dapat dinyatakan sebagai matrik sensing A :

A= ΨΦ (II.9)

11

Dengan demikian

g = ΨΦf = Af (II.10)

Proses rekonstruksi secara matematis dilakukan menyelesaikan II.10 dalam f.Namun, oleh karena f memiliki N nilai yang tidak diketahui, sedangkan II.10 memilikiM buah persamaan (M <<N), maka penyelesaian II.10 membelikan banyak alternatifsolusi bagi f. Kondisi ini disebut sebagai ill-posed problem.

Agar solusi menjadi unik dan sama atau mendekati dari sinyal semula, makadilakukan optimasi dari solusi yang diperoleh. Optimasi yang umum dilakukan adalahdengan menggunakan optimisasi norm orde-n. Orde yang lazim dipakai dengan asumsisinyal f bersifat sparse adalah norm- orde 1.

Proses rekonstruksi CS ini secara umum dapat dituliskan sebagai

min |f |1 s.t. A ·f = g (II.11)

Minimisasi |f |1 berarti mencari solusi f yang paling sparse.Pada lingkungan yang memiliki derau atau noise, maka sinyal terima akan

memasukkan faktor derau ini, sehingga permasalahan CS seperti pada II.10 menjadi :

g = Af +n (II.12)

Proses rekonstruksi CS dengan demikian dimodifikasi menjadi:

min |f |1 s.t. A ·f −g ≤ ε (II.13)

Dengan ε adalah suatu bilangan kecil.

II.3 Compressive sensing pada estimasi DoA

Pada bidang radar yang ditinjau, khususnya pada algoritma estimasi arah kedatangansinyal (Direction of Arrival Estimation - DoA), terdapat beberapa skema CS yang telahdilakukan pada penelitian terdahulu. Penerapan CS pada estimasi DoA secara umumterbagi ke dalam tiga skema : sparsitas waktu (Gurbuz dan McClellan (2008), Kimdkk. (2012)), sparsitas ruang (Wang dkk. (2009), Wang dkk. (2010)), and sparsitassudut (Gorodnitsky dan Rao (1997), Stoica dkk. (2011), Usman dkk. (2014)).

Sparsitas waktu mengambil asumsi bahwa sinyal yang dikirim adalah sinusoidal, olehkarena itu, sinyal terima bersifat sparse dalam waktu (atau frekuensi). Sinyal terimax yang dikumpulkan oleh M buah antena N dilakukan sampling pada ranah waktudengan teknik sampling klasik sebanyak N buah sampel untuk menghasilkan blok sinyalterima sebesar M kali N sinyal masukan. Dengan menggunakan pemrosesan blok,

12

setial blok sinyal terima ini dikalikan-sebelum (pre-multiplied) dengan sensing matrixA (berukuran M kali k, dengan k << N) untuk memperoleh sinyal keluaran y yangberdimensi M kali k, jauh lebih kecil dari pada ukuran sinyal masukkan semula x.Untuk proses estimasi arah kedatangan, sinyal yang telah dikompres ini kemudiandikembalikan ke sinyal semula sebelum algoritma DoA diterapkan.

Sparsitas ruang memiliki prinsip kerja yang mirip dengan sparsitas waktu. Jikasparsitas waktu mengasumsikan bahwa sinyal tersebut sparse dalam waktu, makasparsitas ruang mengasumsikan bahwa masing-masing antena pada susunan antenapenerima sebenarnya menerima sinyal yang sama dengan perbedaan hanya pada waktukedatangan (delay). Dengan demikian, sinyal terima diasumsikan bersifat sparse padaarah antena, atau ruang. Sinyal yang dikumpulkan oleh M buah antena, sepertihalnya pada sparsitas waktu, memiliki dimensi M kali N . Proses sensing dilakukandengan dengan mengalikan sinyal terima dengan sensing matrix A yang berdimensik kali N . Seperti halnya sparsitas waktu, sinyal semula perlu direkonstruksi ulangdengan sebelum estimasi arah kedatangan dapat dilakukan. Dibandingkan dengansparsitas waktu, skema sparsitas ruang memiliki kekurangan yaitu tingkat kompresiyang rendah, sedangkan kelebihannya adalah ketahanan sinyal terhadap derau lebihbaik, serta lebih mudah direalisasikan dalam bentuk perangkat keras, karena matriksensing A telah secara langsung memberikan arah panduan pada pembuatan perangkatkerasnya. Skema sistem penerima dengan sparsitas ruang dapat dilihat pada Wang dkk.(2009) dan Wang dkk. (2010).

Sparsitas sudut memiliki pendekatan yang berbeda dibandingkan dengan sparsitaswaktu dan sparsitas ruang sebelumnya. Skema sparsitas sudut tidak melakukankompresi pada arah waktu dan ruang. Skema ini mengasumsikan bahwa sinyal yangditerima berasal dari sejumlah sumber sinyal yang terbatas. Beberapa sumber sinyalini datang pada sudut-sudut yang berbeda. Berdasarkan pada anggapan ini, makakonstruksi permasalahan CS dilakukan dengan menggunakan sensing matrik A yangtersusun atas steering vector dari sinyal datang. Deskripsi matematis yang lebih rincidiberikan pada sub-bab berikutnya. CS formulasi dilakukan dengan menggabungkansensing matrix A, sparse vektor s, dan snapshot dari sinyal terima x. RekonstruksiCS tersebut dituliskan sebagai

A · s= x (II.14)

Jika terdapat derau AWGN, maka Rekonstruksi CS tersebut dimodifikasi menjadi(analogi dengan Persamaan II.12):

A · s= x+n. (II.15)

Dengan menggunakan pendekatan ini, maka sparsitas sudut memiliki keuntungan

13

signifikan dibandingkan dengan skema sparsitas waktu dan sparsitas ruang, karenaskema ini memerlukan sangat sedikit sinyal terima, serta proses estimasi DoA dilakukanbersamaan dengan rekonstruksi CS. Dengan kata lain, penyelesaian CS pada sparsematrik s sekaligus juga adalah penyelesaian masalah estimasi arah kedatangan.Estimasi arah kedatangan sinyal diperoleh berdasarkan posisi element tak nol daridari matrik solusi sparse s (Gorodnitsky dan Rao (1997)).

Gambar II.2 mengilustrasikan proses penyusunan konstruksi CS teknik sparsitassudut.

a11

a21

aM1

a12

a22

aM2

a1p

a2p

aMp

As1

s2

s3

sp

x1i

x2i

x3i

xMi

s x

a(θ1) a(θ2) a(θM)

steering vectorat angle θi

Gambar II.2. Ilustrasi skema sparsitas sudut. Sensing matrix A disusun dari steeringvector sudut-sudut yang dipindai

Meski pun memiliki keuntungan ini, skema sparsitas sudut memiliki kelemahan,yaitu kurang tahan terhadap derau lingkungan. Hal ini diverifikasi oleh Usmandkk. (2014). Pada penelitian tersebut, Usman dkk. (2014) mengusulkan peningkatanperforma sinyal dengan menggunakan teknik multi-snaps CS. Skema multi-snaps CSini dilakukan dengan memperluas vektor sinyal terima x menjadi beberapa snap-shots.Solusi sparse s dengan demikian akan mengikuti perluasan ini. Dengan kata lain,vektor s terdiri dari beberapa kolom, yang masing-masing kolom berkorespondensidengan hasil estimasi arah kedatangan pada setiap snap-shots. Estimasi DoAdilakukan dengan merata-ratakan nilai estimasi pada setiap snap-shots. Dengandemikian estimasi yang diperoleh menjadi lebih robust dibandingkan dengan hanyamenggunakan satu snap-shot.

Upaya untuk melakukan perbaikan skema sparsitas sudut dilakukan pula oleh Stoicadkk. (2011) secara terpisah. Skema yang diusulkan oleh Stoica dkk. (2011) diistilahkandengan independently covariance-based estimation technique (SPICE). Skema Stoicadkk. (2011) juga mengakomodasi kemampuan multi-snaps untuk meningkatkanketahanan terhadap noise.

14

Permasalahan lainnya dari sparsitas sudut adalah besarnya sensing matrix A.Sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya, sensing matrix A disusun berdasarkansteering vector dari arah kedatangan yang dipindai. Pemindaian yang dilakukan padasemua arah kedatangan sinyal (dari−900 sampai 900) disebut dengan exhaustive search.Bab selanjutnya membahas dengan terperinci tentang exhaustive search tersebut sertaskema peningkatan yang diusulkan.

II.4 CS solver dengan CVX Programming

Ada beberapa CS solver yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahanestimasi sudut dengan rekonstruksi sparse. Dua solver yang umum dipakaiadalah CVX-programming dan l1-magic. CVX-programming dikembangkan olehBoyd (2014), sedangkan l1-magic dikembangkan oleh oleh Candes dan Romberg(2005). CVX-programming bersifat umum dengan kemampuan melakukan optimasipada berbagai permasalahan pemrograman linier (Linear Programming - LP).CVX-programming juga dapat mengoptimasi pilihan solusi dengan konstrain norm.Dengan demikian, CVX-programming bersifat sangat fleksibel. Engine solver yangdigunakan pada CVX-programming antara lain adalah SDPT3 and SeDumi. Terdapatpula solver lain yang berlisensi yang dapat digunakan pada cvx seperti Gurobi danMOSEK (Boyd (2014)). Untuk menyelesaikan persamaan CS seperti yang terdapatpada persamaan ??, pada CVX-programming, dapat kita tuliskan seperti contohberikut:

begin cvxvariable s(n) complex;minimize(norm(s,1));subject to

norm(A*s-x,2) < epsilon;end cvx.

15

BAB III Metode yang diusulkan

III.1 Teknik Non-Exhaustive Search

Sebelum dibahas tentang teknik non-exhaustive search, terlebih dahulu akan dibahastentang metode Exhaustive search. Exhaustive search adalah upaya untuk menemukanarah kedatangan sinyal dengan melakukan pemindaian pada semua arah kedatangansinyal yang mungkin. Peneliti sebelumnya melakukan pemindaian secara exhaustiveini. Pada makalahnya, Gorodnitsky dan Rao (1997) melakukan pemindaian padasemua sudut antara −900 sampai 900. Stoica dkk. (2011) melakukan pemindaian dari−900 sampai 900 dengan resolusi 0.10, dengan demikian terdapat 1800 arah pindaiyang berkorespondensi dengan matriks sensing A yang berdimensi M kali 1800. Halyang sama dilakukan oleh Usman dkk. (2014).

Gambar III.1 menunjukkan ilustrasi pemindaian dengan teknik exhaustive search.

objek

arahpemindaian

objek

-900900

00

Gambar III.1. Ilustrasi exhaustive search. Algoritma memindai pada semua arah untukmemperoleh arah sumber sinyal

Permasalahan yang dihadapi oleh teknik exhaustive search, seperti yang telahdikemukakan sebelumnya, adalah besarnya sensing matrix A. Sensing matriks yangbesar memerlukan proses komputasi rekonstruksi CS yang besar, sumber daya yangtinggi, serta waktu yang lama. Penyelesaian permasalahan ini diusulkan pada sub-babberikutnya yang membahas tentang pemindaian non-exhaustive search.

Kemajuan yang dicapai pada penelitian ini berkisar pada eksplorasi tekniknon-exhaustive search. Teknik ini adalah perbaikan dari teknik exhaustive searchberupa pengurangan rentang pemindaian dari semua sudut yang mungkin (tipikalpada −900 sampai 900), ke dalam rentang yang lebih sempit. Tentu pemindaian pada

16

rentang yang lebih sempit ini dimungkinkan jika telah ada gambaran tentang arahsumber sinyal.

Untuk keperluan memperoleh gambaran tentang arah sumber sinyal tersebut,maka diperlukan suatu pemindaian kasar, misalnya dengan menggunakan estimasiDoA klasik (DAS, MVDR, MUSIC, atau ESPRIT). Setelah gambaran kasar arahkedatangan sinyal ini diperoleh, maka proses DoA selanjutnya dilanjutkan denganteknik CS dengan rentang sudut sempit, yang diperbarui setiap saat, sesuai denganarah gerakan objek. Skema pemindaian kasar sebelum teknik CS disebut dengan istilahpra-pemindaian.

Skema non-exhaustive search dengan pra-pemindaian selengkapnya diberikan padaGambar III.2.

Akuisisi

Pemindaian KasarPengaturan

CS

CS Solver

Snapshot Konstruksi

DoA

Sinyal

terima

JendelaPemindaian

Gambar III.2. Blok diagram skema non-exhaustive search dengan fungsi pemindaiankasar

Pada Gambar III.2 tersebut, sinyal mula-mula diakuisisi oleh sistem antenapenerima. Pada awal operasi, sinyal dimasukkan ke blok pemindaian kasar. Prosespada blok pemindaian kasar ini bertujuan untuk memperoleh gambaran umum tentangposisi sinyal. Blok pemindaian kasar ini dapat menggunakan salah satu algoritmaklasik, seperti DAS, MVDR, MUSIC, dan ESPRIT. Pada proses kemajuan ini II ini,digunakan teknik MVDR. Teknik ini sederhana serta memiliki resolusi yang tinggi.Skema MUSIC dan ESPRIT memerlukan komputasi yang lebih tinggi, sedangkan DASmemiliki resolusi yang rendah.

Gambar III.3 menunjukkan ilustrasi skema non-exhaustive search. Pada gambartersebut, rentang sudut pemindaian dinyatakan sebagai jendela pindai (scanningwindow).

Tracking objek pada skema CS-DoA. Keuntungan utama pada skema yangditawarkan ini adalah penambahan kemampuan tracking terhadap gerakan objekmudah untuk dilaksanakan. Hal ini dikarenakan sampling objek dapat dilakukan

17

objek

objek

Scanning Window

θ1 θ2

Scanning Window

θ

Objek

(a) (b)

Gambar III.3. Ilustrasi non-exhaustive search. (a) Skema dalam diagram arah/sudutdalam koordinat polar (b). dalam koordinat kartesian

pada interval tertentu, dan pengambilan sampel sinyal yang sedikit setiap kalipengambilan. Jendela pemindaian (scanning window) dapat digeser-geser pada setiapiterasi menyesuaikan dengan dengan posisi objek.

Untuk melakukan update scanning window ini, maka diperlukan suatu skemaupdate. Pada penelitian ini, skema update dilakukan dengan terlebih dahulumenetapkan lebar scanning window (konstan). Pada setiap scanning, titik tengahdari scanning window diupdate sehingga berimpit atau mendekati lokasi dari posisiobjek (Gbr III.5).

Proses update dengan menjadikan lokasi objek sebagai median dari jendela pindaidapat dinyatakan dengan :

θPmax =med([θmin, θmax]) (III.1)

Pada Pers.III.1, θPmax menyatakan sudut estimasi objek, θmin dan θmax

berturut-turut menyatakan batas kiri dan batas kanan dari jendela pindai.

III.2 Teknik Tail-scan

Skema non-exhaustive search dilakukan dengan pembatasan wilayah sudut pindaihanya pada arah-arah tertentu saja. Namun pembatasan ini ternyata memberikanmasalah baru pada proses rekonstruksi CS, yaitu CS Solver yang dalam hal ini adalahcvx-programming, tidak berhasil memperoleh solusi yang konvergen. Fenomena initidak diperkirakan sebelumnya, karena dengan asumsi bahwa titik optimal dari CSsolver terletak pada lokasi sudut keberadaan sinyal, sedangkan sudut ini sendiri beradapada cakupan sudut yang dipindai. Namun ternyata, cvx-programming tidak berhasilmemperoleh solusi yang konvergen.

Gambar III.6 mengilustrasikan permasalahan ini.

18

(b)

objek

(a)

objek

(c)

objek

W1W2

W3

θ

t1 t2 t3

(d)

objek objek objekP

Gambar III.4. Ilustrasi tracking object dengan teknik non-exhaustive search sertaupdate scanning window pada setiap waktu. (a),(b), dan (c) pergerakanobjek beserta update scanning window yang bersesuaian. (d). ilustrasipergeseran scanning window pada setiap waktu; W1, W2, W3 adalahscanning window berturut-turut pada t1, t2 dan t3

Pada gambar III.6 tersebut, terdapat tiga macam skema yang digunakan. Skematersebut adalah skema exhaustive search (lebar jendela pindai adalah−900 sampai 900),skema non-exhaustive search dengan lebar jendela −300 sampai dengan 900, dan skematerakhir adalah non-exhaustive search dengan lebar jendela 00 sampai dengan 900.Sebagai pembanding, posisi aktual dari objek diberikan. Objek tersebut bergerak darisudut 300 sampai dengan 900 dengan kecepatan 1,40 per detik. Sumbu datar adalahwaktu (dalam detik), dan sumbu tegak adalah sudut (dalam derajat). Pada gambarIII.6 tersebut skema exhaustive search dan skema non-exhaustive search dengan sudutpindai lebar (−300 sampai dengan 900) berhasil mengikuti pergerakan objek denganbaik. Namun untuk lebar jendela pindai yang terlalu kecil (00 sampai dengan 900),cvx-programming gagal memberikan hasil konvergen. Hasil yang diperoleh, iterasicvx-programming terjebak pada solusi semu di 50 dan 650.

Untuk mengatasi permasalahan ini, maka area pemindaian diperluas mencakup padaarah selain dari arah utama. Arah tambahan ini disebut dengan tail scanning. GambarIII.7 memperlihatkan ilustrasi tail-scanning.

Sifat dari tail scan adalah :

1. jumlahnya lebih sedikit dibandingkan dengan pemindaian pada arah utama

19

P

θθx1

P

θθx1

P

θθx2

P

θθx2

(a)

(b)

(c)

(d)

Gambar III.5. Ilustrasi detail tentang proses update scanning window denganmenggunakan median dari posisi objek. (a) hasil scanning kasar denganalgoritma klasik pada semua sudut,(b) penerapan scanning windowpada sudut yang dianggap memiliki objek, (c) objek bergerak sehinggapuncak scanning bergeser menuju batas window. (d). update scanningwindow, sehingga puncak scanning berada di tengah scanning window

(main-scan)

2. mengarah pada sudut yang tidak terdapat objek

3. berfungsi mencegah algoritma cvx-programming tidak konvergen atau terjebakpada solusi semu

Pada penelitian ini, diusulkan dua macam tipe tail scan yaitu uniform tail scan danrandom tail scan. Uniform tail scan adalah tail scan yang terpisah pada jarak yangseragam, sedangkan random tail scan adalah tail scan yang jarak antar pemindaiansatu dan lainnya terpisah. Gambar III.8 menunjukkan ilustrasi uniform tail scan danrandom tail scan.

20

0

10

20

30

40

50

60

70

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

angl

e (

de

gre

e)

time(second)

w 0 to 90

w -30 to 90

w -90 to 90

Actual

Gambar III.6. Hasil simulasi: perbandingan skema exhaustive search terhadap

objek

-900900

00

Tail scan

Gambar III.7. Non-exhaustive search dengan tail-scan

III.3 Metode Titik Berat

Metode titik berat dikembangkan pada tahap Kemajuan III ini sebagai jawabanatas permasalahan konvergensi yang dialami oleh metode convex programming yangdikembangkan oleh Boyd (Boyd dan Vandenberghe (2004); Boyd (2014)). Metode titikberat didasarkan pada fakta geometri bahwa rekonstruksi CS dapat diselesaikan denganmembesarkan atau mengecilkan norm L1 sehingga norm tersebut bersinggungandengan fungsi objektif rekonstruksi. Sebagai ilustrasi, kita tinjau kasus dua dan tigadimensi berikut. Pada kasus dua dimensi, misalkan vektor asal adalah x =

(x1x2

)Tdan

A =(A11A12

)T, sehingga y = A ·x = y1. Permasalahan rekonstruksi adalah : diberikan

A dan y, kita perlu mencari x sedekat mungkin dengan nilai asal. Kriteria sedekatmungkin dengan nilai asal dapat diukur misalnya dengan nilai kesalahan absolutrata-rata. Karena permasalahan ini bersifat underdetermined, kita dapat memilikinorm L1 sebagai kriteria rekonstruksi. Dengan kriteria ini, maka permasalahanrekonstruksi dapat didefinisikan kembali menjadi : diberikan A dan y, selesaikan

21

objek

-900900

00

Tail scan

objek

-900900

00

Tail scan

(a) (b)

Gambar III.8. Non exhaustive search dengan tail scan. (a) uniform tail scan, (b)random tail scan

A ·x = y untuk x sehingga ‖x|1 minimum.Oleh karena A adalah matrik dengan ukuran 1x2, maka solusi A ·x = y adalah garis

yang berada pada diagram kartesian x1-x2 seperti yang ditunjukkan pada Gbr III.9.

x1

x2

A · x = y

x1

x2

A · x = yxs

(A) (B)

Gambar III.9. Solusi persamaan Ax=y terletak pada garis (A). Solusi dari Norm-L1

(B)

Norm orde p (p-norm) dari vektor x =(x1 x2 · · · xN

)Tdiberikan oleh

persamaan:

‖x‖p = p√xp1 +xp2 + · · ·+xpN (III.2)

Sebagai contoh, 0-norm (L0), 1-norm (L1), dan 2-norm (L2) berturut-turut adalahm, |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xN |, and 2

√x2

1 +x22 + · · ·+x2

N . Dengan, m adalah jumlah elementak nol dari x.

Misalkan vektor x adalah x =(2 3

)T. Misalkan pula x =

(0.6 0.4

). Oleh karena

itu y = Ax menghasilkan y =(1.2). Dengan demikian permasalah rekkonstruksi

adalah : diberikan y =(1.2)

dan x =(0.6 0.4

), perlu dicari x, sedemikian sehingga

‖x‖1 minimum.Oleh karena x tidak diketahui, maka misalkan x =

(x1 x2

). Oleh karena itu Ax = y

menghasilkan 0.6x1 + 0.4x2 = 1.2. Ada tak hingga banyak solusi dari(x1 x2

)yang

memenuhi 0.6x1 +0.4x2 = 1.2. Oleh karena kita ingin mencari pasangan(x1 x2

)yang

meminimalkan ‖x‖1. Maka sebagai langkah awalkita pilih ‖x‖1 = k0, dengan k0 adalah

22

nilai awal yang cukup besar sehingga ‖x‖1 = k0 dan 0.6x1 + 0.4x2 = 1.2 berpotongandi P1 dan P2 (Gbr.III.10).

Potongan garis ‖x‖1 = k0 yang dibatasi oleh P1 dan P2 adalah konveks. Oleh karenaitu, setiap titik M yang merupakan kombinasi konveks dari P1 dan P2

M = t ·P1 + (1− t) ·P2, (III.3)

(0≤ t≤ 1), akan terletak di dalam interval P1 dan P2 tersebut.

x1

‖x‖1 = k0x2

P1

P2

M1

x1

x2

P1

P2

M1

P3 M2

‖x‖1 = k0

‖x‖1 = k1

(a) (b)

Gambar III.10. (a). Iterasi awal dengan k0 yang cukup besar sehingga kurva Ax = ydan ‖x‖1 = k0 berpotongan di P1 dan P2. Titik tengah M1 dipilihsebagai iterasi berikutnya. (b). Norm di M1 dipilih sebagai nilaik berikutnya. Proses ini diulangi sehingga diperoleh titik yangkonvergen.

Dari Gbr III.10 juga terlihat bahwa setiap titik M yang berasal dari kombinasikonveks dari P1 dan P2 juga memiliki norm L1 yang lebih kecil dibandingkan dengannilai awal.

Selanjutnya kita akan turunkan kasus yang lebih rumit pada dimensi 3 yangkemudian kita generalisasi untuk kasus dimensi n.

Misalkan sinyal sparse x adalah x=(0 2 0

)T. Maka sensing matriks A memiliki

dua kemungkinan yaitu matriks 1x3 atau matriks 2x3. Pada kondisi matriks 1x3, sinyalkompresi y adalah vektor 1x1 dan untuk kondisi matrik A 2x3, maka vektor y adalahberdimensi 2x1.

Permasalahan rekonstruksi CS adalah sama dengan kasus dua dimensi: diberikanvektor y dan matrik A, tentukan x dengan ‖x‖1 minimum. Solusi dari Ax = y padakasus matriks A 1x3 adalah suatu bidang, sedangkan untuk matriks A 2x3 adalahsuatu garis. Kita tinjau kasus matriks A 1x3 terlebih dahulu. Pada iterasi awal,kita ambil k0 cukup besar sehingga bidang Ax = y berpotongan dengan oktahedron‖x‖1 = k0 (Gbr.III.11).

Bentuk dari bidang perpotongan dari ‖x‖1 = k0 dan Ax = y dapat berupa politop4-sisi atau politop 5-sisi seperti pada Gbr.III.11b. Pada algoritma titik berat, makaadalah penting untuk menentukan bidang perpotongan ini, khususnya titik sudut dari

23

solution of Ax = y

‖x‖1 = k0

P1

P2P3

P4

P5

(a)

(b)

M1

Gambar III.11. (a). Kasus dimensi 3, ‖x‖1 = k0 membentuk oktahedron. Solusi dariAx = y dengan matrik A 1x3 adalah suatu bidang. Jika k0 cukupbesar, ‖x‖1 = k0 akan memotong Ax = y. (b). Bidang perpotongandengan titik sudut P1 sampai P5. Titik M1 dipilih sebagai kombinasikonveks dari titik-titik P1 sampai P5.

politof, sehingga kita dapat mencari titik berat M1 yang memiliki norm L1 yang lebihkecil dari nilai sebelumnya.

Menemukan tiap sisi dari politop dapat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan‖x‖1 = k0 dan Ax = y. Akan tetapi, karena sistem persamaan ini bersifatunderdetermined, maka mencari titik sudut politop menjadi sulit.

Di sini diusulkan suaatu teknik langsung untuk menyelesaikan permasalahanini dengan menggunakan faktorisasi QR dari Householder (detail teori diberikandi Lampiran A). Penyelesaian dengan teknik ini disebut juga dengan istilahQR-factorization dengan pivot kolom Golub dan Loan (1996)). Pada teknik ini, prosespermutasi kolom dari matrik A dilakukan sehingga suatu kriteria terpenuhi. Kriteriayang umum dipakai adalah pengurutan kolom dari kolom dengan norm L2 terbesarsampai dengan yang terkecil. Kolom dengan nilai norm tidak signifikan diabaikan.Dengan demikian, solusi dari metode ini menghasilkan nilai yang banyak memiliki nol.Transformasi Householder dengan pivot kolom dijelaskan pada Golub dan Loan (1996),dengan algoritma adalah sebagai berikut. Householder QR dengan pivot kolom.Given A 3 Rmxn.l1 for j=1:nl2 c(j) = A(1 :m,j)TA(1 :m,j)l3 endl4 r = 0; τ =max{c(1), · · · , c(n)}l5 cari k terkecil dengan 1≤ k ≤ n sehingga c(k) = τ

l6 while τ ≥ 0l7 r = r+ 1l8 piv(r) = k ; A(1 :m,r)↔A(1 :m,k) ; c(r)↔ c(k)

24

l9 [v,β] = house(A(r;m,r))l10 A(r :m,r : n) = (Im−r+1−βvvT )A(r :m,r : n)l11 A(r+ 1 :m,r) = v(2 :m− r+ 1)l12 for i= r+ l : nl13 c(i) = c(i)−A(r, i)2

l14 endl15 if r ≤ nl16 τ = max{c(r+ 1), ..., c(n)}l17 Find smallest k with r+ 1≤ k ≤ n so c(k) = τ

l18 elsel19 τ = 0l20 endl21 end

Proses pivot kolom terjadi pada baris l8 pada algoritma di atas. Pivot dilakukanberdasarkan nilai tertinggi (baris l4 dan l5 ). Namun kriteria ini dapat diganti dengannilai terendah dari L2-norm dengan mengganti max menjadi min pada baris l4. Prosesfaktorisasi QR Householder adalah pada baris l9. Setiap matriks A dapat difaktorkanatas matrik orthonormal Q dan matrik segitiga atas R sedemikian rupa sehingga

A = QR. (III.4)

.Proses transformasi Householder itu sendiri adalah:

Householder transformation.Given x 3 Rn.l1 n= length(x)l2 σ = x(2 : n)Tx(2 : n)

l3 v = 1

x(2 : n)

l4 if σ = 0l5 β = 0l6 elsel7 µ=

√x(1)2 +σ

l8 if x(1)≤ 0l9 v(1) = x(l)−µl10 elsel11 v(1) =−σ/(x(1) +µ)l12 end

25

l13 β = 2v(1)2/(σ+ v(1)2)l14 v = v/v(1)l15 end

Dengan menerapkan faktorisasi QR Householder serta pivot kolom akanmenyelesaikan sistem persamaan linier dengan pada solusi di titik sudut dari bidangdatar perpotongan norm orde 1 dan fungsi objektif. Akan tetapi, jika terdapat Ntitik sudut, teknik ini akan mendeteksi N−1 titik sudut. Titik sudut dengan L2-normterkecil tidak dapat terpilih oleh algoritma ini.

Untuk mengatasi permasalahan ini, ditambahkan langkah khusus setelah faktorisasiQR Householder dengan pivot kolom. Pivot kolom pada langkah tambahan inidilakukan dengan urutan nilai norm L2 yang terkecil, yang berkebalikan dengan kolompivoting sebelumnya yang didasarkan pada nilai terbesar. Langkah ini disebut denganbackward column pivoting. Kombinasi dari kedua langkah pivot kolom ini menghasilkansolusi lengkap dari semua titik sudut perpotongan (Gbr.III.12).

P5

P4

P3

P2

P1

O

P5

P4

P3

P2

P1

O

(a) (b)

Gambar III.12. Faktorisasi QR Householder dengan pivot kolom (a). Pivot kolomdengan urutan L2-norm dari yang terbesar ke yang terkecil (b). Pivotkolom dengan urutan L2-norm dari yang terkecil ke yang terbesar

Sama dengan kasus dua variabel sebelumnya, setiap titik M yang berasal darikombinasi konveks dari titik-titik sudut pada bidang solusi memberikan nilai k baruyang lebih kecil dari nilai sebelumnya.

M = α1 ·P1 +α2 ·P2 + · · ·+αN ·PN (III.5)

dengan

α1 +α2 + · · ·+αN = 1 (III.6)

dan 0≤ αi ≤ 1 untuk semua i.

Untuk kesederhanaan, pada metode yang diusulkan ini, dipilih setiap nilai αi yangsama. Dengan demikian,

α1 = α2 = · · ·= αN = 1N. (III.7)

26

Secara geometri, pemilihan nilai αi yang sama maka akan dihasilkan titik M yangmerupakan titik berat dari politop. Pada umumnya, metode titik berat ini tidakmenjamin konvergensi pada arah yang tercepat, namun ia menjamin konvergensi padasolusi optimal.

Setelah kita tinjau matrik A dengan dimensi 1x3, maka sekarang akan ditinjaukondisi ketika matrik A berdimensi. Solusi dari permasalahan rekonstruksi Ax = yadalah berupa irisan dari dua buah bidang yang menghasilkan suatu garis. Setiapbidang dinyatakan pada setiap baris dari persamaan linier.

Seperti halnya kondisi terdahulu, untuk nilai awal, dipilih k cukup besar sehinggaoktagon ‖x‖1 = k0 berpotongan dengan garis solusi fungsi objektif (Gbr.III.13).Misalkan titik potong tersebut adalah P1 dan P2. Kondisi ini dengan demikian samadengan kondisi pada dua variabel. Oleh karena itu, setiap titik M1 yang berasal darikombinasi konveks dari P1 dan P2 akan memberikan nilai k yang lebih kecil. Nilai kini selanjutnya digunakan untuk iterasi berikutnya.

Solution ofAx = y

‖x‖1 = k0

P1

P2P2

P1

M1

Gambar III.13. Perpotongan antara oktahedron norm L1 dengan solusi dari fungsiobjektif yang berupa garis. Titik potong bidang dan garis dinotasikandengan P1 dan P2. Titik M1 yang merupakan kombinasi konveks dariP1 dan P2 diilustrasikan pada gambar kanan

Generalisasi untuk dimensi n Setelah pembahasan pada dimensi 2 dandimensi 3, maka langkah-langkah yang dilakukan pada kedua dimensi tersebut dapatdigeneralisasi menjadi suatu algoritma untuk dimensi n. Algoritma ini disebut denganmetode titik berat weight point. Sebelum algoritma tersebut dikemukakan, berikut iniadalah dua teorema fundamental yang menjadi dasar dari algoritma titik berat ini.Teorema 1 Jika suatu bidang dibatasi oleh ‖x‖1 = k dan solusi dari persamaaan linierAx= y saling berpotongan, maka bentuk dari perpotongan tersebut adalah berupa suatupolitop.Bukti : - .

Teorema 2 Jika P1, P2, · · · , PN adalah titik-titik sudut dari politop yang dideskripsikan

27

pada Teorema 1, maka setiap kombinasi konveks dari P1, P2, · · · , PN akanmenghasilkan titik yang memiliki norm orde 1 kM yang lebih kecil dari norm orde1 semula yang melalui Pi.Bukti : - .

Setelah kedua teorema di atas, berikut ini adalah algoritma weight point untukdimensi n.

Algoritma titik berat.

1. pilih nilai awal k yang cukup besar.

2. susun persamaan ‖x‖1 = k untuk setiap kombinasi dari x

3. susun set persamaan linier [A;xhi] = [y;k]

4. selesaikan set persamaan linier [A;xhi] = [y;k] dengan faktorisasi QRHouseholder dengan pivot kolom pada pengurutan prioritas maksimum

5. selesaikan set persamaan linier [A;xhi] = [y;k] dengan faktorisasi QRHouseholder dengan pivot kolom pada pengurutan prioritas minimum

6. kombinasikan solusi langkah 3 dan 4 untuk memperoleh semua titik sudut daripolitop (P1, P2, · · · , PN ).

7. hitung titik berat Mi = (P1 +P2 + · · ·+PN )/N

8. hitung norm L1 dari titik berat Mi dan gunakan nilai norm ini untuk iterasiberikutnya

9. ulangi langkah 2 sampai dengan 8 sampai abs(ki+1− ki)≤ epsilon, dengan < ε

adalah suatu bilangan positif kecil.

III.4 Algoritma Minimisasi L1 via L2

Penyelesaian solusi l1 via l2 dapat segera konvergen pada solusi l1 yang diinginkandengan mencari arah terdekat (shortest path) ke arah bidang x terdekat.

Tinjau kasus sederhana tiga variabel seperti yang diperlihatkan pada Gambar III.14.Pada ilustrasi tersebut, matriks A berdimensi 2×3 memberikan solusi Ax=y berupaperpotongan kedua bidang yang mencakup titik M dan N yang juga merupakan titiksolusi minimisasi norma L1. Algoritma yang dikembangkan harus dapat menentukanmana dari kedua titik ini yang merupakan solusi L1.

28

Xp

A

B

C

R

PQ

M

N

Gambar III.14. Ilustrasi arah terdekat (shortest path) untuk vector x tiga dimensi. Dengan matrik A berdimensi 2×3, maka Ax=y diwakili oleh perpotongan dua bidang.Arah terpendek dicari pada garis perpotongan bidang.

Ax = y

Xp

Xp solusi norma l2

Ax = y

Xp

Xp solusi norma l2

Gambar III.15. Titik mulai pencarian arah terdekat dengan menggunakan solusiminimisasi L2. Lokasi Minimisasri L2 (Xp)

29

Metode sederhana untuk memulai adalah mencari solusi L1 ini adalah denganmemulai dengan mencari solusi L2 yang secara matematis lebih mudah dihitung atauditentukan.

x1

x2

x3

P

Q

Ax=y P

Q

x1

x2

x3

S

x1

x2

x3

P

Q

Ax=y

S

S′

S =

0.9091

1.1636

0.76360.7636

1.1636

0.9091

Shortest path

x1 ada; x2 ada; x3 nol;

Permasalahan minimisasi l2−norm :

min ‖x‖2 s.s. Ax= y, (III.8)

dapat diselesaikan dengan cara analitis. Metode Lagrange dapat digunakan untukkeperluan ini.

Gabungkan fungsi objektif dan konstrain dengan metode Lagrange diperoleh

f(x,λ) = ‖x‖2 +λT · (y−Ax) (III.9)

= xT ·x+λT · (y−Ax) (III.10)

differensiasi terhadap x dan set sama dengan 0, diperoleh

df(x,λ)dx

= 2x−λT ·A (III.11)

= 2x−AT ·λ= 0. (III.12)

30

Kita kalikan kedua ruas dengan A, diperoleh

2Ax−A ·AT ·λ= 0. (III.13)

Substitusi Ax dengan y, maka diperoleh

A ·AT ·λ= 2y. (III.14)

Sehingga

λ= (A ·AT )−1 ·2y. (III.15)

Langkah dari III.14 ke III.15 valid, karena A ·AT full-rank, sehingga memiliki invers.Selanjutnya dengan mengingat bahwa 2x= AT ·λ, oleh karena itu

2x= AT · ((A ·AT )−1 ·2y), (III.16)

atau

x= AT · (A ·AT )−1 ·y (III.17)

Dengan demikian, solusi minimalisasi L2 sebagaimana yang dirumuskan dalammemiliki solusi analitis seperti yang terdapat pada .

Sebagai ilustrasi, mari kita lihat conton minimalisasi L2 untuk contoh berikut.

Diberikan A = 1 2 −2−2 3 5

dan y =1

2

akan dicari x sehingga Ax=y sehingga

‖x‖2 minimum.Kita hitung

A ·AT =9 2

2 38

sehingga (A · AT )−1 = 0,1242 −0,0059−0,0059 0,0266

, dan AT (A · AT )−1 =0,1243 −0,0592−0,2426 0,09170,1953 0,1213

Dengan demikian

x = AT (A ·AT )−1 ·y =

0,1243 −0,0592−0,2426 0,09170,1953 0,1213

·1

2

=

0.0059−0.05920.4379

Setelah diperoleh solusi norma l2 (xp), maka tidak perlu semua kuadran diperiksa

31

untuk keperluan algoritma titik berat, namun cukup pada kuadran tempat solusi normal2 berada.

Contoh : Pada ilustrasi sebelumnya : A = 1 2 −2−2 3 5

dan y =1

2

diperoleh solusi l2 yaitu xp =

0.0059−0.05920.4379

Periksa sign xp yaitu sign(xp) =

1−11.

Sehingga hanya ada 3 bidang potong yang perlu diperiksa yaitux1

−x2

0

;

x1

0x3

dan

0−x2

x3

alih-alih 8 :

x1

x2

x3

;

x1

x2

−x3

;

x1

−x2

x3

;

x1

−x2

−x3

;

−x1

x2

x3

;

−x1

x2

−x3

;

−x1

−x2

x3

;

−x1

−x2

−x3

;

Untuk tiga variabel : x =

x1

x2

x3

2 kemungkinan A :

A matriks 1×3 : x =(a11 a12 a13

)A matriks 1×3 : x =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

Untuk A matriks 1×3 : titik potong iterasi dicari pada bidang :

x1

00

,

0x2

0

dan

00x3

Untuk A matriks 2×3 : titik potong iterasi dicari pada bidang : A matriks 1×3 :x1

x2

0

,

0x2

x3

, dan

x1

0x3

Secara umum, untuk A matriks M×N : maka akan ada

N !M ! · (N −M)! (III.18)

titik potong yang harus dicari, dengan bantuan norma l2 ini. Dibandingkan dengan2N dari metode brute force sebelumnya.

32

Contoh : Untuk A matriks sensing 3 x 10, metode brute force memerlukan 210 =1024 perhitungan titik potong. Sedangkan metode via l2 memerlukan 10!/(3! ·7! = 120),sekitar seperdelapan dari brute force.

Diberikan A=

−1 0.2 −0.8 0.4 −0.881.2 0.6 0.8 −0.9 0.78−0.1 0.2 −0.3 0.11 −0.3

dan

y =

−2.83.2−0.5

Tentukan x yang meminimalkan normal l1 dari x dengan Ax=y.Jawab:

Solusi l2 dari Ax = y adalah

S = AT (AAT )−1y =

1,88850,06120,3873−0.0790.6617

dari solusi l2 S = AT (AAT )−1y =

1,88850,06120,3873−0.0790.6617

Arah Steepest descent dari solusi norma l2 ini adalah : gm =

1,88850

0,38730

0.6617

Dengan kata lain : x1 ada, x2 = 0, x3 ada, x4 = 0, dan x5 ada.

Dengan demikian solusi l1 adalah X = AT (AAT )−1y =

20100

Dengan

A =

−1 0 −0.8 0 −0.881.2 0 0.8 0 0.78−0.1 0 −0.3 0 −0.3

33

Contoh : Misal A = 8 16 8

12 6 8

dan y =32

24

Solusi norma orde 2 : S =

AT (AAT )−1y =

0,90911,16360,7636

Dengan mengetahui : x1 ada, x2 ada, dan x3 = 0 maka solusi Ax=y dengan A = 8 16 812 6 8

dan y =32

24

yang meminimalkan normal l1 adalah :

X =

1.331.33

0

Yaitu : X = AT ∗ (AAT )−1yDengan

A = 8 16 0

12 6 0

Ide mengeneralisasi algoritma baru ini ke bilangan kompleks terinspirasi dari

bagaimana algoritma Orthogonal Matching Pursuit - OMP yang semula bekerjauntuk bilangan riil yang dapat diperluas untuk bilangan kompleks.

Algoritma OMP : memandang Ax sebagai kombinasi linear dari kolom pada Auntuk menghasilkan y.

Contoh : Misal A = 8 16 8

12 6 8

dan y =32

24

Dengan memisalkan x =

x1

x2

x3

Maka

Ax = 8 16 8

12 6 8

x1

x2

x3

= 8

12

x1 +16

6

x2 +8

8

x3 =32

24

Selanjutnya dari 8

12

x1 +16

6

x2 +8

8

x3 =32

24

OMP bekerja secara mundur

dengan mencari siap di antara x1, x2 dan x3 yang memberi kontribusi terbesar

terhadap y :32

24

Kontribusi ini dihitung dengan besarnya nilai dot product antara tiap basis

812

,

34

166

, dan8

8

dengan y tersebut.

Setelah elemen dengan kontribusi terbesar dipilih, dihitung nilai y sisa, danselanjutnya dipilih komponen x berikutnya yang memiliki kontribusi terbesar1.

Algoritma OMP tersebut digeneralisasi ke bilangan kompleks dengan penyesuaianantara lain:

dot product dilakukan seperti biasa, dan kemudian dihitung nilai magnitudanyauntuk menentukan besar kontribusi.

Contoh:

A =1 + j j −1− j

0.5j 0.6 −0.1

dot product tiap kolom dengan2.8 + j

0.9j

memberikan

berturut-turut : 1.35 + 3.8j ; -1+3.34j ; dan -2-3.33j

Magnituda dari dot product ini adalah 4.0327, 3.4865, dan 3.8844. Dengandemikian kolom pertama dari matriks A yang memiliki kontribusi terbesar pada y.

Dengan prinsip yang sama, maka algoritma baru (l1 solver via l2 dansteepest descent) tadi dapat digeneralisasi ke bilangan kompleks denganpenyesuaian-penyesuaian ekivalen seperti pada OMP.

Contoh dengan A =1 + j j −1− j

0.5j 0.6 −0.1

dan y =2.8 + j

0.9j

, maka solusi l2nya

adalah :

S = AT (AAT )−1y =

1,6173−0.3574j−0,417 + 0.2214−0.7149 + 0.4147j

Magnituda dari vektor kompleks S adalah

|S|=

1.65630.47210.8265

|S|=

1.65630.47210.8265

Dengan demikian steepest descent ada pada arah:

1.6563

00.8265

Atau: x1 ada ; x2 = 0; x3 ada.

Solusi l1 dengan demikian adalah :

1Joel A. Tropp dan Anna Gilbert, Signal Recovery from Random Measurement via OrthogonalMatching Pursuit, IEEE Trans. Inf. Theory, 2007

35

X = AH(AAH)−1y =

20j

Dengan

A =1 + j 0 −1− j

0.5j 0 −0.1

Contoh yang lebih besar : x=

(2 2 + j 0 0 0 0 0 0

)TA=2

0.1487 − 0.2389i −0.2523 + 0.2957i −0.3258 − 0.2629i −0.0517 + 0.0217i 0.2425 − 0.2223i 0.3999 − 0.5419i 0.2101 + 0.3357i 0.4504 + 0.2181i

0.5074 + 0.0214i −0.0836 − 0.1485i 0.7326 + 0.0079i −0.0313 − 0.3764i −0.4360 + 0.2701i 0.2809 − 0.5497i −0.2713 + 0.0690i 0.1018 + 0.2615i

−0.6249 − 0.3359i 0.0661 + 0.0716i 0.1751 + 0.1334i 0.3759 − 0.1873i 0.2590 − 0.0695i −0.1173 + 0.1887i −0.2528 + 0.0468i −0.2364 − 0.0763i

0.2385 − 0.3081i 0.6903 − 0.0435i −0.0152 + 0.2657i 0.3555 − 0.2679i 0.5886 + 0.3209i 0.1136 − 0.0686i −0.1914 + 0.3755i 0.4291 + 0.0675i

0.0882 − 0.0019i 0.5343 + 0.2156i 0.1725 + 0.3728i 0.3576 + 0.5931i 0.1765 − 0.2762i −0.3043 − 0.0758i −0.6963 − 0.1903i −0.5359 − 0.3651i

T

y=Ax=

−0.5027−0.1388i0.9959−0.3378i−1.1893−0.4624i1.9013−0.0128i1.0294 + 0.9616i

Selanjutnya, diberikan A dan y, cari x!Solusi l2 adalah :

S = AH(AAH)−1y =

1.8884−0.3308i1.5049 + 1.0833i0.1088−0.4415i0.0982−0.2915i0.0685−0.1719i−0.2532 + 0.0245i−0.1041−0.5014i0.2895 + 0.0988i

Nilai magnituda dari S adalah

|S|=(1.9171 1.8543 0.4548 0.3076 0.1851 0.2544 0.5121 0.3059

)TDimensi dari A adalah 5 × 8, dengan demikian kita membuang (8-5=3) nilai-nilai

terkecil pada |S| untuk memperoleh steepest descent.

Mg =(1.9171 1.8543 0.4548 0.3076 0 0 0.5121 0

)T.

Dengan demikian x5, x6, dan x8 bernilai 0.

2A terpotong. A lengkap dapat dilihat di akhir slide ini

36

Solusi l1 adalah :

xl1 = AH(AAH)−1y =(2 2 + j 0 0 0 0 0 0

)T

Solusi xl1 adalah sama dengan nilai x semula. (Catatan : Algoritma OMPmemberikan hasil yang sama!)

Diberikan : A dan y

Dicari : x sehingga Ax=b dan ‖x‖1 minimal.A matriks m×N ; m<<N

Langkah penyelesaian :

1. Cari solusi S yang merupakan solusi Ax=y dengan norma l2 minimal. S =AH(AAH)−1y; dengan AH : A hermitian3.

2. Hitung magnituda S : |S|.

3. Set nol N-m element terkecil dari |S|

4. Solusi norm l1 minimal adalah Xl1 = AH(AAH)−1y; dengan A = A denganposisi kolom di set nol berkorespondensi dengan posisi elemen |S| yang di-setnol pada langkah 3.

3AH = (A∗)T ; A∗ = complex conjugate dari A. Untuk A riil, AH = AT

37

BAB IV Hasil Simulasi

Pada bagian ini diberikan beberapa percobaan terkait dengan simulasi yang dilakukanpada penelitian ini.

IV.1 Simulasi non-exhaustive search dengan tail-scan

Skema non-exhaustive search menghasilkan permasalahan ketidakkonvergenan solusi,sehingga lokasi aktual objek tidak dapat ditentukan seperti hasil simulasi yangditunjukkan pada Gambar III.6. Permasalahan ini muncul karena adanyapuncak-puncak palsu yang mengganggu puncak asli yang berkorespondensi denganarah kedatangan sinyal.

Untuk mengukur dampak dari puncak-puncak palsu ini, dikembangkan simulasipelacakan DOA dari obyek bergerak ke arah sudut dari 300 sampai 600 dengankecepatan sudut dari 1,40 per detik. kecepatan sudut ini bersesuaian dengan, misalnya,sebuah pesawat bergerak pada ketinggian 7 km dan kecepatan 600 km per jam. Limarentang scanning diuji yang -900 - 900 (exhaustive), -450 - 900 (very wide), -300 - 900

(wide), 00 - 900 (medium), dan 200 - 700 (narrow).Tabel IV.1 menunjukkan kinerja masing-masing skema sebagai fungsi dari rata-rata

mutlak kesalahan (mean absolute error, MAE) dan miss-frequency. Miss-frekuencymenunjukkan persentase kegagalan konvergensi yang dihitung sebagai persentasekesalahan estimasi yang lebih dari 5 0. Dari tabel tersebut, terlihat bahwa metodenon-exhaustive mulai menderita kesalahan deteksi saat memindai kisaran kurang dari900 (kasus medium dan narrow).

Tabel IV.1. Hasil simulasi pada pencarian non-exhaustive dalam hal akurasiNo Rentang pemindaian miss-frequency(%) MAE(0)1 exhaustive 0 0.122 very wide 0 0.143 wide 0 0.244 medium 28.5 11.75 narrow 100 19.5

Dampak dari puncak-puncak palsu palsu pada scanning 3D dari objek menggunakanrentang pemindaian sempit ditunjukkan pada Gambar ref fig: FIG06. Objek yang

38

sebenarnya diletakkan pada azimuth 100 dan elevasi 500. Rentang pemindaian di keduaazimuth dan elevasi arah adalah 00 sampai 900 (kasus medium). Puncak-puncak palsuseperti yang ditunjukkan pada Gambar IV.1 telah membuat deteksi lokasi yang benarmenjadi tidak mungkin.

Gambar IV.1. The impact of spurios spikes in 3D DOA estimation

Dari Tabel IV.1, kita amati degradasi MAE tidak terus menurun. Sebaliknya, itumenurun perlahan-lahan dan drop tajam pada titik di mana optimasi konveks gagaluntuk konvergen. Ide sederhana untuk memperbaiki situasi ini adalah menambahkanarah pemindaian pada daerah di luar area memindaian utama scanning jendela(pemindaian sisi) untuk memastikan optimalisasi konveks memiliki basis yang cukupuntuk konvergen. Skema baru ini disebut pencarian non-exhaustive dengan side-scan.

Menggunakan side-scan, kita memodifikasi penginderaan matriks mathbfA untukmenjadi

A =[Ap Am Aq

](IV.1)

di mana Ap dan Aq berturut-turut adalah steering matriks yang terbentuk olehside-scan pada sudut kurang dari dan lebih dari sudut di jendela utama, sementaraAm adalah steering matriks pada jendela pemindaian utama.

Jika kita mengalokasikan side-scan pada P arah, kita dapat menempatkan ini Parah ini baik seragam (uniform side-scan) atau acak (random side-scan). Dalam kasusuniform side-scan, kita menempatkan setiap scan di sudut yang berjarak sama dengan

39

sudut tetangga. Di sisi lain, random side-scan menempatkan scan pada arah acak.Selain uniform dan random side-scan, kami juga mengusulkan teknik yang disebut

progresif side-scan. Dalam skema ini, pemindaian dilakukan dengan resolusi yang lebihtinggi di sekitar jendela utama dan secara bertahap diturunkan sebagai arah yanglebih jauh dari jendela utama seperti yang ditampilkan pada Gambar IV.2. Skema inimengintegrasikan jendela utama dan side-scan dengan gradual.

θx

1 2 M

xW2

W1

∆

W

Gambar IV.2. Non-exhaustive search with a progressive side-scan. The main windowhas width W and the side scan of width W1 and W2 with gradualscanning angles of base ∆.

Dalam progresif side-scan, jika kita telah menetapkan P arah side-scan, maka kitamenempatkan mereka sudut pada peningkatan linear, yaitu (∆, 2∆, ..., k1 ·∆) didaerah kiri, dan (∆, 2∆, ..., k2 ·∆) di daerah kanan pemindaian utama (Gambar ??).Jumlah pemindaian di setiap sisi (k1 dan k2) dan basis sudut selisih (∆) dapat dihitungdengan memecahkan persamaan-persamaan berikut secara bersamaan

∆ · k1 · (k1 + 1)2 =W1 (IV.2)

∆ · k2 · (k2 + 1)2 =W2 (IV.3)

andk1 +k2 = P (IV.4)

di mana W1 dan w2 masing-masing adalah lebar sudut di sisi kiri dan kanan jendelapemindaian utama. Pola uniform, random, dan progresif side-scan ditunjukkanmasing-masing pada Gambar IV.3 (a), (b), dan (c).

Sebagai contoh untuk menunjukkan bagaimana sisi-scan menghilangkan

40

(a)

(b)

(c)

Gambar IV.3. Side-scan patterns in azimuth and elevation direction. The main-scanis indicated by dense area. (a) uniform side-scan. (b) random side-scan.(c) progressive side-scan

41

puncak-puncak palsu, kita menjalankan simulasi estimasi DOA menggunakanpemindaian non-lengkap dengan progresif side-scan dengan 30 scan ini side-scan. Duabenda yang dihasilkan di lokasi: azimuth 120 dan 190; elevasi kedua objek yang di 320.Sebagai perbandingan dengan CS, kita menggunakan MVDR untuk memperkirakanarah kedatangan baik arah azimuth maupun elevasi arah. Hasil simulasi ditampilkanpada Gambar IV.4 (a) dan (b). Estimasi MVDR yang ditunjukkan di (a) menunjukkandeteksi yang benar dengan resolusi tinggi. Sebuah garis padat pada arah tegak luruspada dasar kurva menunjukkan menunjukkan grid pencarian yang exhaustivepada sudut -900 sampai 900. pencarian non-lengkap di CS seperti pada (b) jugamenghasilkan estimasi yang benar pada resolusi yang lebih tinggi. Dasar padat di(b) menunjukkan kisaran pemindaian utama, sedangkan daerah jarang menunjukkansisi-scan. Dalam contoh ini, algoritma MVDR melakukan pada 180 kali180arahpencari, sementara pencarian non-lengkap melakukan pada 60 kali50arah pencari.

Pada bagian berikutnya, kita akan memverifikasi efektivitas skema non-exhaustivemenggunakan simulasi komputer.

Pada bagian ini, kinerja pemindaian non-exhaustive yang diusulkan dengan tigateknik side-scan berbeda: uniform, random, dan progresive. Untuk simulasi pertama,kami mengevaluasi akurasi estimasi sebagai fungsi dari jumlah sisi-scan. Untukparameter simulasi, digunakan ULA dengan 12 elemen dan antena jarak adalahsetengah dari panjang gelombang. Diasumsikan bahwa derau saluran adalah AWGN(additive white gaussian noise) dengan SNR dari 20 dB. Estimasi DOA menggunakanskema lengkap CS digunakan sebagai referensi.

Dalam simulasi ini, kita menggunakan objek bergerak dengan kecepatan sudutkonstan 1,40 per detik dari 300 sampai 600. Setiap skema melacak posisi objek denganmemperbarui estimasi dalam setiap detik. Sebuah snapshot dari sinyal yang diterimadigunakan untuk setiap estimasi. Indeks kinerja dievaluasi menggunakan MAE. Dalamskenario ini, seperti yang ditunjukkan pada Gambar IV.5, diamati bahwa metodeyang diusulkan, terutama progresif side-scan memiliki kinerja terbaik dan memilikikinerja yang serupa dengan skema lengkap setelah jumlah side-scan lebih dari 8 arahpemindaian.

Dalam simulasi berikutnya, dievaluasi kinerja skema yang diusulkan menggunakanindeks kegagalan konvergensi sebagai fungsi dari jumlah side-scan.

Hasil simulasi yang ditampilkan pada Gambar IV.6, menunjukkan kecenderunganyang sama dengan hasil dalam simulasi sebelumnya. Teknik progresif side-scanmemberikan hasil terbaik dan mendekati skema pemindaian exhaustive setelah jumlahside-scan lebih dari 8 arah pemindaian.

Simulasi terakhir ini dilakukan untuk memperjelas kemampuan resolusimasing-masing skema. kemampuan resolusi diuji menggunakan dua objek di

42

(a)

(b)

Gambar IV.4. Perbandingan estimasi DOA secara 3D menggunakan MVDR dan CSdengan progresif side-scan; dua objek berada di azimuth 120 dan 190

dengan elevasi yang sama di 320. (A) MVDR menggunakan 180 ×180 grid pemindaian. (B) CS dengan progresif sisi-scan menggunakan60×50 arah pemindaian juga berhasil mendeteksi arah objek.

43

Gambar IV.5. Perbandingan tiga skema non-exhaustive dengan skema exhaustivedalam hal akurasi estimasi (MAE) sebagai fungsi dari jumlah side-scan(Ntail). Skema exhaustive diberikan sebagai referensi.

32,50 dan 38,50. Dalam simulasi ini, dilakukan percobaan Monte Carlo dengan 200run setiap Ntail. Dalam simulasi ini, digunakan 20 arah di sisi-scan dan 50 arah dimain-scan (200 sampai 700). Dengan kata lain, kita menggunakan 70 arah scanningdalam skema non-exhaustive, sekitar seperlima dibandingkan dengan pemindaianarah dalam skema exhaustive.

Untuk simulasi ini, digunakan ukuran probabilitas resolusi seperti yang didefinisikanoleh Dai dkk. (2013). Dikatakan bahwa dua sinyal diselesaikan jikamaxk=1,2{

∣∣∣θk− θk∣∣∣}lebih kecil daripada |θ1− θ2|. Dua skenario diuji yang merupakan sumber yang takberkorelasi dan berkorelasi. Probabilitas resolusi disimulasikan sebagai fungsi dari SNRkanal. Hasil untuk sumber tak berkorelasi dan berkorelasi diberikan masing-masingpada Gambar IV.7 dan Gambar IV.8. Pada kedua gambar tersebut, kita mengamatibahwa skema progresif dan uniform side-scan melakukan erat dengan skema lengkap,sementara acak sisi-scan melakukan yang terburuk, terutama pada SNR yang tinggi.

44

Gambar IV.6. Percentage of convergence failure as function of number of side-scan(Ntail). Exhaustive scheme is given as reference.

Gambar IV.7. Perbandingan Probabilitas Resolusi dari metode yang diusulkan sebagaifungsi dari SNR (dB) kanal pada sumber yang tidak berkorelasi

45

Gambar IV.8. Perbandingan Probabilitas Resolusi dari metode yang diusulkan sebagaifungsi dari SNR (dB) kanal pada sumber yang berkorelasi

46

BAB V Penutup

Pada Kemajuan IV ini, telah dilaporkan mengenai penjelasan tentang topik penelitianserta hasil-hasil yang dicapai sampai sejauh ini. Beberapa ide baru yang dicapai padakemajuan ini dan kemajuan sebelumnya yaitu tentang teknik tail-scan, disimulasikansecara lebih mendalam pada Kemajuan IV ini. Pada kemajuan IV ini dilaporkantentang metode baru terkait dengan rekonstruksi CS yaitu algoritma titik berat yangdisempurnakan dengan metoda minimisasi L1 via L2. Teknik metode titik berat danminimisasi L1 via L2 ini dikembangkan karena keterbatasan metode optimisasi konveksyang memiliki masalah konvergensi ketika diterapkan pada estimasi arah kedatangandengan sudut pindai yang sempit. Di samping teknik side-scan, algoritma baru ini jugamenambah khasanah pengetahuan baru dalam lingkup pemindaian kompresif.

47

Daftar Pustaka

Baraniuk, R. (2007): Compressive Sensing, IEEE Signal Processing Magazine, 24(4),118–121.

Boyd, S. (2014): CVX: Matlab Software for Disciplined Convex Programming, URLhttp://cvxr.com/cvx/.

Boyd, S. dan Vandenberghe, L. (2004): Convex Optimization, Cambridge UniversityPress.

Candes, E. dan Romberg, J. (2005): l1-Magic : Recovery of Sparse Signals via ConvexProgramming, URL http://users.ece.gatech.edu/ justin/l1magic/.

Candes, E. dan Wakin, M. B. (2008): Compressive Sampling, Proceedings of theInternational Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 25(2), 21 – 30.

Chen, S. S., Donoho, D. L., dan Saunders, M. A. (2001): Atomic Decomposition byBasis Pursuit, SIAM Review, Society for Industrial and Applied Mathematics,43(1), 129–159.

Dai, J., Xu, X., dan Zhao, D. (2013): Direction-of-Arrival Estimation Via Real-ValuedSparse Representation, Antennas and Wireless Propagation Letters, IEEE, 12,376–379.

Dmochowski, J., Benesty, J., dan Affes, S. (2007): Direction of Arrival EstimationUsing the Parameterized Spatial Correlation Matrix, Audio, Speech, andLanguage Processing, IEEE Transactions on, 15(4), 1327–1339.

Donoho, D. L. (2006): Compressed Sensing, IEEE Transactions on InformationTheory, 52(4).

Golub, G. H. dan Loan, C. V. (1996): Matrix Computation, Johns Hopkins UniversityPress; 3rd edition (October 15, 1996).

Gorodnitsky, I. F. dan Rao, B. D. (1997): Sparse Signal Reconstruction fromLimited Data Using FOCUSS: A Re-weighted Minimum Norm Algorithm, IEEETransactions on Signal Processing, 45(3).

48

Gurbuz, A. C. dan McClellan, J. H. (2008): A Compressive Beamforming Method,Proceeding of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech and SignalProcessing.

Hayasi, K., Nagahara, M., dan Tanaka, T. (2013): A UserŠs Guide to CompressiveSensing for Communications Systems, In IEICE Transaction on Communication,E96-B(3), 685–712.

Jouny, I. (2011): Music DOA estimation with compressive sensing and/or compressivearrays, Antennas and Propagation (APSURSI), 2011 IEEE InternationalSymposium on, 2016–2019.

Kim, J. M., Lee, O. K., dan Ye, J. C. (2012): Compressive MUSIC: Revisiting the LinkBetween Compressive Sensing and Array Signal Processing, IEEE Transctions onInformation Theory, Vol. 58, No. 1, January 2012.

Mallat, S. dan Zhang, Z. (1993): Matching Pursuits With Time-Frequency Dictionaries,IEEE Transactions on Signal Processing, 41(12), 3397–3415.

Mingxia, X., Changhua, L., Xing, M., dan Weiwei, J. (2013): The Application ofCompressive Sensing on Spectra De-noising, TELKOMNIKA, 11(10), 6151–6157.Telkomnika Ahmad Dahlan.

Roy, R., Paulraj, A., dan Kailath, T. (1986): Estimation of Signal Parameters viaRotational Invariance Techniques Ű ESPRIT., Proceeding of IEEE MilitaryCommunications (MILCOM) Conference - Communications, 3.

Schmidt, R. (1986): Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation,IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 34(3), 276–280.

Stoica, P., Babu, P., dan Li, J. (2011): SPICE: A Sparse Covariance-Based EstimationMethod for Array Processing, Signal Processing, IEEE Transactions on, 59(2),629–638.

Swastika, W. dan Haneishi, H. (2012): Compressed Sensing for Thoracic MRI withPartial Random Circulant Matrices, Telkomnika, 10(1), 147–154.

Tropp, J. A. (2004): Greed is Good : Algorithmic Results for Sparse Approximation,IEEE Transactions on Information Theory, 50(10).

Usman, K., Suksmono, A. B., dan Gunawan, H. (2014): Peningkatan Kinerja SkemaEstimasi Arah Kedatangan Sinyal dengan Compressive Sensing Sparsitas Sudutdan Sampel Multisnap, Inkom Journal, 8(1), 21–27.

49

Veen, B. V. dan Buckley, K. M. (1988): Beamforming: A Versatile Approach to SpatialFiltering, IEEE ASSP Magazine.

Wahidah, I. dan Suksmono, A. B. (2010): Recontruction Algorithms for CompressiveVideo Sensing Using Basis Pursuit, Proceeding of the 6th InternationalConference on Information & Communication Technology and Systems.

Wang, Y., Leus, G., dan Pandharipande, A. (2009): Direction Estimation UsingCompressive Sampling Array Processing, Proceeding of IEEE SSP.

Wang, Y., Pandharipande, A., dan Leus, G. (2010): Compressive sampling basedMVDR spectrum sensing, Proceeding of IAPR.

50